数学建模小美赛是认证杯吗

同学你好，这一次课呢，我们来介绍温方城方法建模当中的传染病模型啊，那么在二零二零年啊，我们国家呢，包括全世界范围内都能在呃流行一场传染病啊，那么这个模型呢啊，正好呢可以用来描述啊这个传染病过程当中发生的一些事情啊。 首先我们来看我们的剑门的目的是为了干什么啊？我们的剑门目的啊，其实呢，呃，很简单，也就说呢，在这个二零二零年七月十二号的时候啊，全球的呃， covid nineteen， 他的这个累积患者呢已经到了一千二百八十四万啊，当然后来呢更多， 那么呃这个患者人数有这么多呀？啊，我们说呢，呃为什么啊？全球呢这么多国家慢慢的这个患者会发展到这么个大的规模啊。其实呢，你说这个美国呀，包括呢欧洲这些国家 家啊，他有没有这样的防范能力，他是有的啊，但是呢他为什么没有把他那个防止住呢啊？实际上呢，归根结底一个主要的原因啊啊，每一国家都没有意识到这个传染病啊，居然传不得这么快啊，影响的范围这么大啊。所以说呢，如果我们能事先对他呢作为更精确的预测的话 啊，那么我们呢就能够提前啊采取更有力的措施来防止这个传染病的传播。 好，我们来看我们的目的就是为了预测传染病患者的人数的变化啊，看一看他在短时间内到底会怎么样的变化啊， 那么根据这个变化的情况，我们呢可以给出一些合理的防控策略，包括什么呢？包括是不是要求做一些呃这个街区的隔离，城市的隔离啊，要不要呢抓紧时间建一些啊专用的 防控的隔离医院啊，包括呢要不要发动企业啊，去大量的生产这样的一些防护的用具啊？那么呃实际上在这个呃新冠肺炎呢发生之后，我们国家呢迅速的启动了这些工作 啊，那么对于我们中国的防疫呢起到了非常大的作用啊，那么很多国家呢，实际上呢就是没有预测到啊，传染人数会有这么大的变化啊，他们没有把这些呢充分的发动起来，导致他的患者人数啊，一直是居高不下啊 这是呃我们说的我们的建模目的就在于给出这些防控的策略好，那么在对他做更进一步的分析之前，我们首先要解释一下传染病到底是怎么传播的 啊？那么在自然界啊，传染病的传播途径呢，有很多啊，有的是通过空气和飞沫，有的呢通过昆虫，有的通过水源 啊，水里面的一些病毒啊，他呢是在在这个水里面传播，结果呢导致其他人呢接触水或者饮用水啊造成的感染，还有些食物啊，那么有这样的一些传播途径啊，那么归根结底呢，我们说呢主要是人与人之间的这样的接触 啊，那么在这呢，我们把这些呢都抽象为是人与人之间的接触造成的传播啊， 那么现在呢，我们提出一些假设啊，假设呀，人口总是为大，恩，我们不考虑出生和死亡，也不考虑呢人群的迁移啊，不考虑这因素 在信任当中啊，人群的出生死亡和人群的迁移啊，都属于一个比较小的数量，那么他跟人口总数相比的是微乎其微的，所以你可以把他忽略掉，不管他。那么再一个呢，我们假设人群呢，只分感染和易感两个人群 啊，易感者呢，就是说他没有感染，但是呢容易被感染啊，这所所说的人群呢，分成这么两类啊，那么易感者呢，一旦被感染的话，就变成了感染者啊，变成感染者啊，但是呢，我们假设呢，感染者不能够被治愈 啊，那么这什么意思呢？就是说在这个传染病啊，爆发的早期啊，我们呢还不知道怎么去治它啊，所以说呢，它呢不能够被治愈啊，在短期内，我们可以这么去假设， 接着呢，我们假设 t 时刻一杆者的占比是 s t， 感染者的占比呢是 yit 啊，因为呢，我们假设人群当中啊，只有这么两类人，所以任意时刻呢，都是 s t， 加上 it 呢，是等于一的 啊。那么再接着，我们假设每个感染者单位时间有效接触到 lam 那个人 啊，你注意啊，他有效接触，什么叫有效接触，也就说呢，会造成感染的这种接触啊，那么这个拉姆那个人你要注意啊，他里面既含埃列的人，也含 s 类的人，哎，既有易感者，也有呢感染者啊，所以大家要注意这个拉姆岛的含义，拉姆岛呢代表的是感染率 啊，他呢也代表的是当地的一个卫生水平啊，如果说当地的人呢，大家都戴口罩，都注意洗手，那么这个拉姆呢就会比较低啊，如果说大家呢经常的聚会啊，那么谁跟谁呢接的啊，靠近的非常接近，那么拉姆呢呢就会比较高啊，所以这是拉姆呢的实际意义。 好，那么现在呢，我们开始呢，来构造模型啊，假设呢，感染这个一感者占比的为 st， 见感染者的占比的是为 it， 人口总数为 n， 感染率呢，为拉姆达啊，我们来考虑啊，时间梯 到 t 家都是 t 时刻啊，感染者的增量是多少啊？我们说呢，感染者增量是这么多啊， n 是人口总数， it 呢是患者所占的比例啊，所以你两者一成呢，这就是患者的总人数 啊，这是七十克的患者的人数，那么这个呢是 t 加嘚的七十克的患者的人数，两者之差呢，就是这段时间里面感恩者的增量。 我们再看另外一个另外一边啊，那么这是患者的总人数啊，这些患者呢，单位时间会有效接触到外者外面的多少人呢？每一个患者会接触到外界的拉姆的个人 啊，一共有这么多患者，他会接触到外界多少人呢？是拉姆的承上藏啊，这就是说呢，患者有效接触到的外界的总人数啊，那么这个总人数啊， 你注意看啊，它里面既有患者也有感染者啊，他只有接触那些易感者的话啊，他呢才是一个造成感染者增加的情况，对不对啊？所以说呢，你要从这个里面找出那些属于易感者的人数有多少， 那么这个里面到底有多少易感者呢？我们说呢，你能让他承认 s c 对吧？ s c 呢就是易感者所占的比例，那么你一共接受了这么多人，拿他承上易感的比例，这就是患者呢接受到的易感者的人数 啊，拉姆呢，我们说的是单位时间接触到的人数，那么呈上这段时间的长度呈上多少梯 啊，那么这个呢，就是这段时间里面患者有效感染的那些易感者的总人数啊，就是新增的 感人者的人数啊，啊，那么现在呢，我们说呢，两边应该是相等的关系啊，那么接着呢，我们让两边都除以 n 和道的 t 啊，变成这个形式 啊，那么这个再让呢，都是 t 呢趋于零，我们就得到一个温方程啊，这个温方程啊，就是组织增长模型啊，又叫做呢 logistic 模型啊，他在传染病系统里面呢，叫做 si 传染病模型啊，因为他假设系统里面只有 s 和 a 两类人群啊， 好，那么接着呢，这个模型啊，建立起来之后，我们怎么去用它？我们看啊啊，裸接四个模型是可以求解的，你把他的解呢求一下啊，解的表达是这样啊，我们呢啊，输入处是值啊，给定参数，那么就可以呢，给出他的解 的曲线变化，那么埃玲是处世值啊，就是患者呢初始的比例，拉姆呢的感染率往里没带的话，那么我发现啊，他的接轨线呢，是遵循这么一个情况啊，我们这么一看的话，你会看到一个什么情况啊， 是不是 lam 的越大的话啊，初始阶段啊，患者的比例啊，增长的就越大，对不对？增长的越快 啊，拉姆的越小的话，那么你的患者呢，增长的这个速率就越小啊，所以这么一看啊，怎么样在传染病爆发的早期啊，我们能够让患者增长的速度达到比较小的程度呢，我们就是要加强的隔离，让这个拉姆的呢，尽尽量的小化 啊，戴口罩，经常洗手啊，人与人之间的加强隔离啊，大家都在家里呆着，不要在外面外出，对不对？这是呢，让这个 拉姆的尽量的小啊，把拉姆的降下来，好，那么现在呢，我们来看降低拉姆的，我们呢可以有效延缓呢这个患者的增速啊，暂时的压低曲线 啊。那么另外一方面呢，我们注意到啊，组织增长模型，或者说呢 logic 这个模型，我们都知道，当 t 区正红熊的时候，那么他呢会区一 啊， i 呢会去一，这就意味着什么呀，最终所有人呢都会变成患者啊，这是裸接四个模型啊，告诉我们的这么一个结论。那么我们来看啊，这个呢是西班牙的情况 啊，下面是意大利的情况啊，在六七月份的时候啊，西班牙和意大利的这个患者的总人数啊，现在已经基本上达到一个顶峰了啊，看起来曲平了啊，呃，那么看他的曲线，我们看起来呢，跟我们刚才画的这个非常 像，对吧？很像，像是像，但是呢不对，不对，在哪呢？组织增长模型告诉我们啊， it 呢是要屈一的，什么意思啊？最终所有的人呢都会变成患者， 但是呢，你注意到啊，意大利呢，最终呢他的患者呢，会大概会稳定在二十四万左右啊，那么西班牙呢，看他的患者总数啊，会稳定在三十万左右， 但是呢，意大利人口啊，可是六千多万啊，西班牙的人口呢是四千六百多万啊，所以你看啊，你的患者总人数啊，跟这个实际的他的人口呢是差的很多， 这就说明什么呀？啊，说明呢，你这个模型，你拿这个罗杰斯的模型来描述传染病啊，实际上是有很大的问题的啊，既然有问题我们呢就得想办法呢，呃，来对他加一些这个别的 处理啊，比如说呢，我们不把总人口作为这个大恩，我们拿什么呢？我们根据数据来估算大恩来 啊，估算答案和这个拉姆的和这一系列参数啊，那么这个怎么去估算呢？我们在前面建立模型的时候到了这一步啊，我们先不要着急啊，让嘚的 t 区领取极限做成温方程，我们呢先把那个差分化啊，化成差分方程来讨论 啊，换了这么一个长安方程啊，那么这个里面呢？阿尔法贝塔里面含了我们这个已有的这些参数， 包含了大恩，包含了拉姆达，包含了嘚的踢啊，都含在阿尔法和贝塔里面去啊，那么有了这个长安方程啊，我们呢带入数据计算阿尔法和贝塔啊，根据阿尔法贝塔给出来大恩和拉姆达分别是多少啊？这是我们说的做这些参数估计， 我们呢拿西班牙的数据来作为验证啊，二月二十三号的时候呢，只有两个确诊患者啊，那么到六月十二号的时候呢，已经到了二十九万了 啊，我们呢根据这个数据呢？呃，你注意看他是五天采集一次数据啊，五天采集一次，拿这个数据啊，带到刚才的呃，这个差文方程模型里面去估算阿尔法和贝塔，那么一算的话呢，你看啊，构造出来关于阿尔法贝塔这么一个线性方程组 啊，然后呢我们用麦特莱吧求出来这个阿尔法贝塔这两个未知数 啊，根据数据来算啊，那么一算的结果呢，我们可以得到的是多少啊？我们来看你算的结果呢是阿尔法啊，是一点四三七三七，贝塔呢是零 零点零零零零很多个零幺五，对吧？啊，那么这个时候呢，我们看一看，你把它返回到这个拉姆的和大恩分别是多少啊？我们把它返回去来算一算的啊，一看的话呢，拉姆的是零点零八七， 也就说呢当地的感染率大概是零点零八七啊，大恩呢是二十八万四千八百六十三啊，这就意味着什么呀，也就说呢，西班牙的患者的累积的数量应该在稳定在二十八万左右啊，最终啊达到二十八万左右，达到顶峰啊，最终呢稳定在这个阶段啊这个数字上， 那么实际上是不是这样啊，我们跟实际的情况呢，对比一下，你会发现呢是有一点问题的啊，实际上呢说这个偏差比较大啊，其实呢在很快啊，西班牙的人口慢慢的 超过了将三十万啊，再后来啊，西班牙呢放开了限制，结果的这个患者人数又上去了啊，那么咱不管的后面这种情况啊，我们先看前面这个情况，你算的出来是二十八万，二十八万五千左右，但实际上呢实际上已经这到了三十万上下了 啊，所以我们这个结果呢是存在一些问题的啊，首先有可能有哪些情况呢？一个是我们的数据有问题，数据有没有问题啊？肯定有问题啊，因为这个呃实际情况啊，拿到的数据他没有那么精确，再一个呢，模型呢？可能太粗略 啊，我们没有办法去把数据啊能够做得更好一些，只能怎么办呀？把我的模型啊再加以改进。怎么去做改进啊？那么这是，呃，二零二零年啊，大概三月 月份的时候啊，这个英国啊，帝国理工学院那么有一位研究人员，他呢写了份报告啊，他在报告里面用了一个什么模型呢？用了一个 sir 模型啊，因为什么呀？后来呢？随着时间的推移啊，新冠肺炎呢，后来慢慢能够被治愈，对不对？很多人被治愈了 啊，至于之后呢，有人检验了他里体内有抗体啊，所以说他不会再被感染啊，那么这么以来啊，传染病从原来的 si 模型就转变成了 sir 模型， 易感者被感染之后呢变成感染者，感染者被治愈之后呢变成了遗书者，遗书者呢，他有了抗体，所以呢不参与整个的系统的传播了 啊，所以说呢，我们就要在这个基础上啊，再建立一个 sir 模型啊。那么这是咱们这个下次课呢要介绍的啊，这次课呢就介绍到这啊，同学，再见。

好同学，您好啊，这一次课呢，我们来介绍温方程方法建模当中的种群增长模型，咱们在差温方程部分呢，咱们介绍了一些种型增长模型啊，那么我们来看一看温方程里面呢一样可以呢用来建立呢很多种群增长模型 啊，我们首先呢来看一看啊，种君多朗模型啊，他的一些现实的意义是什么啊？比如说呢，如果说一个城市，一个民族，一个国家，那是全球的人口的话 啊，那么他的数量呢，一般来说是比较大的啊，那么如何预测他的人口变化呢？我们呢可以用文方程来描述他， 还有呢如何预测池塘内的鱼群的规模啊，岛上的某种植物的数量变化等等啊，这些呢都可以呢用这个种型的呢模型啊来描述的 啊，那么人口预测生物种菌规模的预测它呢涉及到政治经济啊，以及呢生态环境啊各个方面的一些因素，所以呢很受呃各个国家包括呢一般这个民众的一些关注啊，这是一个非常重要的问题。 那么呃，我们首先呢来介绍一个比较简单的模型啊，马尔萨斯人口模型 啊，那么呃，我们中国啊，自古就说呢，王朝更替的非常频繁啊，每次王朝更替啊，都跟农民起义呢密不可分啊，为什么每隔一两百年呢啊，王朝内部呢，总会爆发全面战争 啊，那么古人呢，也总结过啊，说呢，呃，有的说是王朝腐败啊，有的说呢是一些偶发因素啊，那么实际上呢，你从这个政 经济啊，包括呢就人口的因素来看呢啊，很大程度上啊，很大程度主要是什么呀？主要是比如说呢人口太多，那么土地呢供养不足了啊，主要是有这样的问题， 这个说起来音色很多对不对啊？土地煎饼啊，灾患啊，外毒入侵呢啊，这些呢，其实很多时候呢只是一些外音内音呢啊，主要是这个人口的问题 啊，人口太多啊，生活资料呢严重不足，那么这个时候呢就出现呢很多人吃不上饭，吃不上饭的话就要怎么样啊，爆发战争啊，所以说很多时候呢，呃，他是跟这个人口是有问题的啊，那么在 一七九八年啊，英国人呢？马尔萨斯，那么他呢出版了著名的人口原理，他在寿中呢指出人口呢会呈现一个几何基数的 增长情况啊，而生活资源的增速呢，则跟不上人口的增速啊，所以说呢，他说饥荒，战争和疾病啊，就不可避免， 那么这都是就说呢历史当中啊经常出现的这样的现象，那么他这个地方呢，他是怎么去预测出来人口是呈现一个几何技术增长呢啊，他是这么来看的啊，基本假设单位时间 人口的相对增长率，他假设呢是一个长数 r。 什么叫人口的相对增长率呢啊，就是这么个定义啊，你的人口的增量除以呢人口的基数啊，再除以呢这个时间 啊，再说这个时间，那么这就是所谓的 r 的定义啊，他认为这个东西应该是个长数啊，那么我们呢两端都出一对的踢啊，两端都出一对， 再把呢分模里面的 xt 啊挪到等式的右边来的话啊，变成这样，我们再让第二梯呢趋于零 啊，结果呢就构成这么一个文方程啊，构成了文方程，文方程，他呢是比较容易求解的，对吧？求出来呢就是一个指数函数啊，这就说呢，指数增长模型他就是这么来的啊，那么根据指数增长模型， 我们说呢，随着时间期的增加，人口呢会呈现一个加速增长的这个趋势，而且增长的越来越快 啊，越来越快啊，马尔萨斯呢，就告诉我们啊，你的生活资源呢，增长不了那么快，人口增长的却这么快啊，所以说呢，最终啊，肯定会爆发战争啊，这样的消耗一定的这个人口啊，因为很多人吃不上饭，那么就去抢别人的啊，所以呢造成这样的这个战争啊， 那么呃，我们说呢，这个马尔萨德人口模型啊，他在短期内来做预测呢，还是比较有效的，但是时间一长啊，就不够了啊，尤其是呢，按照马尔萨德人口模型的预测，将来人口呢需要区域无穷啊，但实际上呢是不可能是这样的 啊，所以说呢，呃，有人就说呢，建立起来一个组织增长模型啊，考虑资源环境对人口的限制啊，这个呢又叫做呢 logist 这个模型啊， logist 这个模型 我们来看啊，马尔萨斯模型呢，告诉我们人口呢会越来越快，趋于无穷增长的越来越快啊，那么现实当中的人口情况呢，实际上不是这样啊， 无论是从欧洲来看啊，从亚洲来看啊，从哪个国家来看啊，人口呢都是呈现一个这么一个情况，最终和稳定在一定的数值附近啊，他不会超过某个界限的。 那么我们说呢，这是为什么啊？主要是因为啊，资源环境会对人口增长呢有一个组织作用啊，而且呢人口越多，组织作用呢就越大， 因为粮食啊，生活空间呢，就越来越不够，对不对啊？像现在很多国内的大城市啊，房价呀，包括物价呀，都很贵啊，很多人在这生存不下去，那怎么办呀？我我自己呢，挪到一个宜居的城市去，对不对啊？这是呢资源环境啊，对人口的一个自然的调节啊，那么 我们呢，可以在以前的我们刚才建的这个指数增长模型的基础上啊，给他呢做些改进。 那么原来假设的人口的相对增长率 r 是一个长数啊，现在呢，我们说了，他呢应该是 x 的一个减函数啊，既然是这个减函数，我们就把它设一下， 假设呢 r 就等于呃，这个 r 呈上一减去呃，一个 xm 分 x 啊，假设成这么个形式， 这是 x 的一个减函数，对不对啊？那么你呢，把它呢带到指数模型里面去啊，就做成这个样子啊，这个呢就是咱们经典的 logic， 这个模型又叫做呢组织增长模型 啊，组织的毛形啊，它是可以求解的啊，求解出来的话，解的表达甚的是这个样子啊，那么大家注意看啊，当时间踢去无穷的时候，去正穷的时候会怎么样 啊？你看啊，时间 t 区正物熊的时候，那么这一项呢，是曲玲的这一项，曲玲啊，就意味着呢，这整个这一块呢都是曲玲的，那么他一旦曲玲的话，那就意味着 x t 呢会无限靠近的 xm 啊，也就是 时间梯啊，增加他去无穷的时候，总人口呢会无限趋于 xm 啊，这就是环境所能允许的上线。 xm 啊，就是环境所能够容许的人口的上线啊，这是 xm 的意义。 那么我们呢，呃，看一下 x 啊，他的这个函数啊，随着时间梯增加，他的趋势是什么样的啊？一开始呢，他会呈现一个加速上升啊，这个下凸的啊，这个下凸的这么一个形式啊，然后呢，到了某一个时间点的时候 啊，什么时间点啊？就是达到了人口的上限的二分之一的时候啊，这个时候呢，人口呢，变成了一个减速上升啊，减速增长啊，减速增长趋势，那么这样一看的话呢，呃，这个他最终啊减速上升，那么最终无限区域哪呢？他的渐进线就是 x 等于 xm， 环境允许的，这个上届啊，他呢突破不了啊，这是组织增长模型呢，告诉我们他最终呢会区域某一个确定的极限， 那么这个就要做 s 型曲线， x 是先增，然后呢增长速度啊，先快后慢，这样的曲线在现实当中是非常非常的多见啊，经常会被用到，比如说呢，经济增长，人口变化，行业发展等等问题 啊，一个新的行业出现之后，往往呢，呃，是朝阳行业，对不对啊？所以说呢，它增长很快，后来呢，到达某一个时刻，增长到一定程度啊，增速啊，就越来越慢 啊，进入了夕阳状态啊，那么就像早期呢，像这个，呃，计算机行业对不对啊？计算机行业，一开始啊，我们说呢，欣欣向荣，增长的越来越快，后来呢，到达一定程度，市场慢慢饱和了，那么就区域的平 啊，那么还有呢，像手机产业也是一样，对吧？啊，这是我们说的这个现实当中啊，有很多这样的反应啊，那么刚才呢是这么一个组织增长模型，那么接着我们看，如果考虑年龄结构的话，那么会建立一个什么样的温方针模型？ 考虑年龄结构什么意思呀？不同年龄他的生育和死亡情况各不相同啊，我们呢考虑啊，把人群呢按照年龄段来划分， 那么像这个，呃，这个青年期啊，然后呢壮年期以及呢老年期啊，当然呢，可以有不同的划分，也可以按每个年龄段啊，十到十四，二十到二十四等等，按照这样的划分，都可以 按照自己的需要来划分。我们看这个地方呢，做了这么一个划分，零到十七岁，十八 八到四十五岁和四十六岁以上，这是按什么来划分的呀？啊，那么大家一看啊，在中国来说呢，这是相当于生育年龄，对吧？零到十七岁，中国呢是一般来说呢，不会生育孩子啊，十八到四十五岁啊，这是生育孩子的主力年龄段， 四十六岁以上往往呢生育孩子啊，这个呃可能就非常小了啊，那么我们看啊，把他的分成这么三个年龄段， 假设七十克，各自的数量分别是 xyz 啊，生育率，你看只有这个十八岁到四十五岁啊，有一个生育率啊，其他年龄段呢都没有生育率。 那么接着呢，死亡率啊，各有各的死亡率啊，一般来说呢，呃，这个年轻年龄段还有老年年龄段，这个死亡率会高一些啊，中间层呢会这个小一些啊，还有呢，这个所谓的转移率 啊，什么叫转移率啊？那就说呢，单位时间内有多少零到十七岁的人呢，会转移到下一个年龄段， 其实就相当于呢，十七岁的人长到了十八岁啊，这是这个 p 的概念啊， q 呢啊，也就说呢，原来四十五岁长到了四十六岁啊，所以有 q 的比率啊，那么四十六岁以上啊，是包容了所有这个四十六岁往上的所有的年龄段，所以他再没有别的这个转移去向了。 好的，那么我们根据上面这个表格里面的这个假设呀，我们呢可以建立起来这么一个方程组啊，那么这是零到十七岁年龄段的啊，那么首先呢，他有定的死亡率啊，死亡率部分还有呢，他一部分呢，会变成什么样 啊？一部分呢，是生育来的啊，谁生育来的呢？是由这个年龄段 y 这个年龄段他生育来的 啊，也就是这个育龄期间呢，这波人呢，生育过来的啊，然后还有一个呢，是 pxt 啊，有一部分 x 转走了， 有十七岁的人长成了十八岁啊，转走了啊， y 呢，是十八到四十五岁的人群啊，那么首先呢，他会有一定量的啊，会怎么样啊？是从十七岁啊啊转过来的一部分 啊，然后呢，会有一定的死亡率，接着呢，十八到四十五岁的也会有一个转移率，他转移到哪去了？转移到四十六岁了， 四十五岁转成了四十六岁啊，那么这是这一块啊，那么最后这一块，四十六岁往上的啊，他呢会从四十五岁呢，这个成长啊，留到转移到这个四十六岁的啊，还有一部分呢，死亡掉 啊，所以我们构成这么一个方程组啊，他呢可以用来描述啊。呃，这个三个年龄段啊，人口的变化啊。那么当然这个呢，仍然属于一个比较简单的情况啊。嗯，我们下一次呢会介绍一些更复杂的情况啊。好的，这次课就到这啊，同学，再见。