三角函数第一节任意角和弧度制

同学们大家好，现在给同学们更新的是高中数学人教 a 版 b 修第一册第五章的内容。那今天咱们这堂课呢，是一堂习题课，我们要讲的是辨识训练三杠一以及辨识训练三杠二。那么在讲这两个题之前呢，我建议同学们先把前面的两堂课听纳， 因为我们今天这两个题所要用到的做题方法，我们在前面的两堂课都已经给同学们总结过了，那么今天就不会讲的那么仔细，我们直接用之前的方法来做这两个题就可以了。 首先我们来看到变式训练三杠一，写出角阿尔法的中边，在下列位置时的集合。 s 来看到括号一角阿尔法的中边在如图括号一所示的阴影中包括边界，那其实呢，就是让我们去表示出区域角，对吧？ 首先我们来看到括号一，我们要去表示这个区域角的话，我们会发现呀，他有两部分区域对不对？那这个时候怎么办？我们可以先把各自的区域角表示出来，最后给他去并结。 首先我们来看到第一部分区域，这个地方我们可以写成九十度加上三百六十度的整数倍，而这个地方我们可以把它写成一百二十度加上三百六十度的整数倍，从而这个地方的区域角我们就表示出来了， 我们就可以这么写，你的这个角阿尔法他就是大于等于。注意题目已经讲了，包括边界对吧？大于等于九十度，加上 k 乘以三百六十度。然后呢 呢是小于等于一百二十度，加上 k 乘以三百六十度，其中 k 属于 z。 好，同样的方法，这个地方我们可以把它表示成二百七十度加上三百六十度的整数倍，而这个地方可以把它表示成三百度加上 三百六十度的整数倍。从而这个地方的区域角就是阿尔法要大于等于二百七十度，加 k 乘以三百六十度。小于等于三百度，加 k 乘以三百六十度。最后我们将这两个结果给他并起来， 好来看到这个地方，这个集合，他是这个结果所对应的集合，而这个集合呢，是这个结果所对应的集合。现在我们要将这 两个集合呢？取并集，只要取并集之后就得到了题目让我们去求的这个集和 s， 好，当然到这个地方呢，我们这两个集合并起来之后，这个结果我们可以进一步化解的。 可能有同学好奇说，两个集合取病集还可以化解吗？可以的呀，举个最简单的例子，比如说给定一个集和 a， 这个 x 是大于零小于一的，对吧？再给定一个几何 b， 这个 x 它是大于二分之一小于三的，这个时候你两个几何一并起来，你的这个几何这个 x 不就是大于零小于三吗？对不对？ 所以在这种情况下，咱们的这两个集合一旦去并集之后，最终的结果我们是可以 将它化解的，当然也不是所有的情况都可以化解。假如我把这个集和 a 给他改了，好，这个地方我改成 x 大于七小于八，这个时候你的这个集合 a 并上集合 b， 你就不能够化解呢？你就只能够将这两个集合并起来。只是说并起来之后，我们可以这么去表示， x 大于二分之一小于三，或者 x 大于七小于八， 但是你这两部分呢，不能够再化解，你必须要把他们各自的分开来写，所以在我们的这个题目中，我们要去看一看 这两个集合，一旦取了并集之后，他们最终的结果是否可以化解。那么这个时候同学们就好好的看好了这两个集合左端点 他们之间有什么样的关系，来看一下。特别是我们的这个地方，我们把它换一个写法，这个二百七十度，我可以把它写成九十度，加上一百八十度， 对吧？然后呢再加上 k 乘以三百六十度，好，从而我就可以把它写成九十度，加上这两项都有一百八十度，我就把一百八十度给他提出来， 把这个一百八十度给他提出来之后，这个地方就剩下了二 k， 对吧？好，这个地方就剩下了一，所以括号里头是二 k 加一。 现在我们来看这个地方的左端点，我们可以把它写成九十度，加上二 k 乘以一百八十 十度。如此一来我们就发现呀，这两个集合的左端点值是有关系的，这个地方是九十度加上一百八十度的二 k 倍，对吧？由于你的这个 k 是整数，那么二 k 肯定是偶数， 而这个地方呢，他的左端点是九十度加上一百八十度的二 k 加一倍，那么你的 k 属于整数的时候，你的二 k 加一必定是基数。 同样的我们来看到右端点，好，首先我们来看到这个地方三百度，我可以把它写成一百二十度，加上一百八十度，对吧？ 最后再加上 k 乘以三百六十度，同样的这两项都有一百八十度，我们把这个一百八十度给他提 出来，提出来之后括号里头还是二 k 加一好。再来看这个地方，我们又可以把它写成一百二十度，加上二 k 乘以一百八十度，同样二 k 它是偶数， 二 k 加一它是基数。这个时候呢，我们来观察，这个地方是偶数，这个地方也是偶数， 这个地方是激素，这个地方是激素，所以两个几合一并起来的话，总的来说，你这个阿尔法他始终是大于等于九十度加上 一百八十度的整数倍，小于等于一百二十度加上一百八十度的整数倍，这个时候的 k 他就属于 z 了。只要你 你的这个 k 学偶数，你这个地方就是偶数，对不对？他就对应到这个集合。如果你的这个 k 他是基数，这个地方也是基数，就会对应到这个集合。因此我们统一的写成这个样子，他就包含了这两种情况， 换句话来说，这两个集合的并集就是他。所以对于咱们括号一而言，咱们的这个集和 s， 他就是这样的一个集合， 九十度加上 k 乘以一百八十度，小于等于阿尔法，小于等于一百二十度加上 k 乘以一百八十度， 其中咱们的这个 k 属于整数及 z。 同学们老师用的这个方法在图上是非常清晰明了的，唯 一的缺点就是说在这两个集合取并集的时候，为什么会得到他？同学们呢？还是会有所疑问，刚刚呢也给同学们做了相关的解释。 这个地方呢，还要给同学们提个问题，就是说我的这两个集合取了病集之后，到底能不能对最终的结果化解？这是一个非常关键的问题。 有同学也会这样想，我一下子可以把这两个集合都写出来，我也知道他们俩要取并集， 但是呢，我还是不能够快速的去判断出这两个集合，一旦取了并集之后，他们最终的结果到底能不能化解？那么这个时候如何去解决这个问题呢？此时同学们可以从图像出发来看到 这个地方，这个地方的话，这个位置他作为起始边界，而这个位置他作为终止边界。对于这一部分来说，这个地方他作为起始边界，而这个地方他作为终止边界。 咱们的这个角阿尔法他肯定是大于等于起指边界，小于等于中指边界的，对不对？这个时候我们来观察这幅图，我们就会发现他的起始边界 是在同一条直线上的，他的中指边界也在同一条直线上。好，我们又知道这个地方我们可以把它看成是九十度角的中边，这个时候呢，我们可以看到他转一个一百八十度，到这个地方也是起始边， 转两个一百八十度又回去了，还是起始边界，转三个一百八十度又到这个地方，还是起始边界，对吧？所以咱们的这两部分，他的起始边界我们都可以看成是九十度加上 一百八十度的整数倍，他只要赚了一百八十度的整数倍，都会回到起始边界。 同样的道理，我们来看到中指边界这个地方一百二十度题目标了，对不对？好，这个一百二十度，他转一个一百八十度到这个地方的中指边界， 两个一百八十度又到这个地方的中指边界。所以总的来说，只要你的这个一百二十度，他是转了一百八十度的整数倍，也 就是加上一百八十度的整数倍，最终还是会回到中指的边界。所以我们最终得到这个阿尔法肯定是大于等于他，小于等于他的，和咱们的这个结果也是一样的。 因此呀，很多同学他一下子就能够写出我们的括号一的这个答案就是这样的一个集合， 这个括号二看着是简单，但实际上他是有陷阱的。很多同学他一下子他就写这个阿尔法肯定是大于等于三百度，加上 k 乘以三百六十度，小于等于六十度，加上 k 乘以三百六十度， 很多同学一下子就写出这个结果，实际上你的这个结果问题特别的大，你可以去验证一下，如果可以取零，你 最终得到阿尔法大于等于三百度，小于等于六十度这样的一个范围，可能吗？根本就不可能呀，所以你写出来的这个结果肯定是有问题的。如果还不知道问题在哪个地方的同学，我建议去听一听，上一堂课，去好好的搞懂 咱们的这个区域角是如何去表示的。对于这个题目而言，我们要找到他的起始位置与中指位置，而且是逆时针方向来找，对吧？好，这个地方呢，就是 起始位置，逆时针方向这个地方他就是中指位置。接下来我们就要在负三百六十度到三百六十度这个范围之内，找到他的起始位置的边界，以及中指位置的边界所在 的角。并且我们在标记角的时候呢，一定是要从小到大来标记。比如如果你这个地方你标的是三百度，这个地方是六十度，你在表示区域角的时候，你就没有遵循从小到大的原则， 那这个时候咱们就换一种标法吗？他不是这个地方写了三百度吗？对不对？他代表的是这个角，他是三百度，既然这个角他是三百度的话，意味着这个角他就是负六十度。 此时你看三百度和负六十度的中边是重合的，都在这个地方，所以这个时候咱们的这个角我就不标三百度，把它标成负六十度，而这个角我们就把它标为六十度吗？这样一来的话，你看 负六十度、六十度，这两个角的范围都在这个范围之内，而且遵循了从小到大的原则。与负六十度中边相同的角，我们可以表示成负六十度，加上 k 乘以三百六十度。 与六十度中边相同的角，我们可以表示成六十度，加上 k 乘以三百六十度。从而我们就得到这个题的答案，这个阿尔法他就要大于等于 负六十度，加上 k 乘以三百六十度，小于等于六十度，加上 k 乘以三百六十度。其中 k 属于整数级， z 包括了边界，所以我们这个地方是取得了等号的。题目已经说的很清楚了，包括了边界，那最终我们的这个结果要用集合来表示，而我们的 题目讲了这个几何用 s 来表示，对吧？所以最终这个 s 就是这样的一个几何，负六十度加 k 乘以三百六十度，小于等于阿尔法，小于等于六十度加 k 乘以三百六十度，其中 k 属于整数及 z。 好了，这个呢，就是我们的辨识训练三杠一。接下来我们来看到辨识训练三杠二， 做这种题，我们之前是提到了两种方法，同学们两种方法都必须要去掌握的。在听今天这堂课之前，先去看一看咱们的历三高二，你把这个题目 只要听懂了，那么咱们下边的这个便是训练三杠二，你不做都没有关系的。好，那现在我们就简单的来提一提，我们能够判断 这些角是第几象限角就可以了，具体的解题过程肯定不会像之前那么详细。首先我们来看到他说阿尔法是第一象限角，既然阿尔法是第一象限角，就意味着什么呢？意味着你这个阿尔法肯定要大于 k 乘以三百六十度，小于九十度，加上 k 乘以三百六十度，其中 k 属于 z。 对于象限角的表示，同学们必须要会，我们之前是给同学们讲过的， 当时我还给同学们讲，对于咱们的象限角的表示以及非象限角的表示，不需要同学们去背那些集合，一定要通过画平面直角坐标系，然后根据图像去理解那些集合，只有在理解了之后，那么你能够轻轻松松的就可以 把咱们的象限角表示出来了。好，这个地方呢，由于阿尔法是第一象限角，我们就把它的范围表示出来了。首先来看这个地方有一个负阿尔法，我们要判断负阿尔法是第几象限角，对吧？对于他，我们同时乘以负一，那这个时候首先要明确的一点就是不等号的方向必须要改变， 因为你乘的负一，它是一个负数，如此一来，中间就变成了负阿尔法。好，那这个时候呢，左边就变成了负 k 乘以三百六十度，右边呢就变成了负九十度减 k 乘以三百六十度，其中 k 属于整数减 z， 而这个不等式呢，咱们给它换一个写法，写成负阿尔法，大于负九十度，减去 k 乘以三百六十度， 然后呢，小于负 k 乘以三百六十度，而这个地方负 k 乘以三百六十度呢？我们可以在他后边给他加上一个零度吗？如此一来，咱们这个负阿尔法，他的中边一定是介于负九十度到零度之间的。 好了，同学们，从负九十度到零度之间的话，那么这个负阿尔法，他的中边肯定落到了第四象限，因此负阿尔法，他是一个第四象限奖。 接下来我们以同样的方法来判断一下二倍阿尔法，它是一个地级象限角，同时乘以二不等号，不改变方向，对吧？我们就会得到，二 k 乘以三百六十度，小于二阿尔法小于一 百八十度，加上二 k 乘以三百六十度。好来看到这个地方二 k 乘以三百六十度，我们可以给他加上一个零度，那如此一来的话，当你的 k 属于整数的时候，二 k 肯定也是整数， 所以这个地方他还是表示三百六十度的整数倍，对不对？如此一来，你的这个角，他的中边肯定和零度角的中边相同， 这个角的中边肯定和一百八十度的中边相同，所以你的这个二阿尔法，他的中边肯定是介于你 零度到一百八十度之间的，而这个零度到一百八十度之间的话，你这个二阿尔法，他的中边可能落到第一象限，那么他就是一个第一象限角，也可能落 到第二象限，那这个时候他就是第二象限角。还有一种情况比较特殊，就是他的中边落到了歪轴的非负半轴上， 如此一来我们就判断了二阿尔法他的这个情况就有三种，对吧？接下来我们来看三分之阿尔法，那我们就用咱们之前讲的那种结论来做就可以了，三分之阿尔法的话，相当于咱们的这个 n 取了三，对不对？这个时候我们就将每个象限等分为三份。好，第一象限等分为三份，第二象限等分为三份。同理，第三象限等分为三份，第四象限等分为三份。好，然后标序号从 x 轴的 非副伴奏这个地方开始标，而且是逆时针标，对吧？一二三 四，一二三四，一二三四。好，这个时候阿尔法他是第一项线脚，我们就找到一这个位置，一这个地方，一这个地方。如此看来，我们的这个三分之阿尔法， 咱们的这个三分之阿尔法，他有可能是第一象限脚，也有可能是第二象限脚，也有可能是第三象限脚。 好了，同学们，我们今天的题目呢，就讲到这个地方，那么从下一堂课开始呢，将要给同学们讲的是新课五点一任意角和弧度字。第二课时弧度字。

今天我们讲一下任意角和弧度质以及三角函数概念的第一课式。先看一下知识梳理，角的概念 可以看成平面内一条射线绕着他的一个端点，从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。 那么首先大家通过定义发现他是动态的，初中时我们是从一点出发，两条射线所成的夹角，这是一个静态的。 到了高中，角的概念变成一个动态的，这样大家就会看到什么呢？像体操比赛或者跳水比赛里面旋转七百二十度，旋转多少度可以超过三百六十度啊，就是因为他是一个动态变化的问题。那么角的 分类按照旋转方向不同，如果是逆时针旋转，他是正角，如果是顺时针旋转，那他就是负角，不转就是菱角。 按照中边位置不同呢，可以分为象限角和轴线角，轴线角就是在坐标轴上，象限角就是第几象限，第一象限，第二象限等等。 第三个中边相同的角，所有与阿尔法角中边相同的角呢？连同阿尔法在内，可以写成这样一个集合的形式啊， k 属于整数， z 写在括号里面。 第二个弧度值的概念，我们把长度等于半径的圆弧所对的圆形角叫做一弧度 的角，弧度字啊， e 弧度，有些时候呢，为了方便期间呢弧度字三个字可以把它三个字母可以省略。 相应的计算公式，角的弧度等于所对应的扇形的弧长 除以半径，这个是角二法，这个是半径，这是 l。 弧长等于圆形角，绝对值乘以半径二，那倒过来，弧长除以半径二就是圆形角的绝对值， 那么旋转三百六十度之后，对应的正好就是一个圆周。所以说我们把二派对应三百六十度，通过转换啊，一度约等于一百八十分之派弧度一弧度呢， 约等于派分，就等于派分之一百八十度，那么派分之一百八十度，这个大概约等于五十七点三度啊，比较接近六十度。弧长公式扇形的面积公式扇形的面积公式这边类似于什么呢？ 三角形的面积公式，二分之一个底乘高应该是类似三角形。第三个任意角的三角函数定义 在平面直角坐标器中，中边上任意一点 p 的坐标是 x， y， 它到圆点的距离是二。有同学可能会问了，为什么是任意一点？ 其实按照什么呢？按照相似比 p 点在这，它的坐标是 x， y 到这个距离是二。撒也阿尔法 y 比上二，那么如果我们给它稍微向这边移动一点，比方说这个是 x e y 一，它到这边距离是二一，那 cy 阿尔法应该是 y 一比上二一。但是呢，其实大家会发现 两个三角形是相似的，比值是相同的，所以说呢，这个地方位置就是任意的啊，为什么我们不给他规定位置，就是因为这个原因。 那么三元 alpha 等于 y 比上二口三元 alpha 呢？横坐标 x 比上二贪念 alpha 呢？就是纵坐标比上横坐标。在我们具体应用 的过程中，实际上我们有些时候会把它反过来应用。根据正弦和余弦的定义，首先大家会发现 x 等于二乘口三元二法， y 等于二乘三元二法。所以说我们很多时候在向量中会利用三角函数 把向量转化成坐标，用向量坐标形式来解题啊，这是三角形的基本定义啊。我们看一下概念辨析问题， 锐角是第一象限角，那么第一象限角也是锐角，对吧？这个是错的，因为大家知道什么呢？顺时针，逆时针的旋转，第一象限的角，它可以 是顺时针转过去，当然也可以逆时针转一圈再转过去。比方说三百九十度，他也在第一象限，但他不是锐角。 第二个角 alpha 等于 k 派加三分之派，它是第一象限角啊，这个其实是打了一个周期的盲区，如果前面加的是二 k 派，那么第几象限角值和这个是 有关的，但前面他只是半个周期。所以说，不仅在第一象限 k 等于一的时候呢，他也可以出现在第三象限，这个也是错的。 那么撒引阿尔法等于撒引七分之派，阿尔法等于七分之派，对吧？这个肯定错的，因为这个是考虑 一个单调性的问题。第四个负三百度和六十度竹边相同，对吧？这个是对的，这个是逆时针，这个是顺时针转。 第二题，中边落在第一象限角平分线上，角的集合 落在第一象限角平分线上，那么大家会发现第一象限应该是这一段啊，没有下面这一段，那所以说呢，我们发现这个是 四分之派哎，转圈对吧？转周期的整数位就转回来了，所以说呢，这个角啊，大啊，这个地方要求用角度表示， 那就应该是 k 乘三百六，加上四十五度， k 属于整数 z。 第三题，一条弦的长等于半径，这条弦所对圆形角的大小，那么这个应该是三分之 pa 弧度是吧？圆形角的绝对值等于 l 除以 r， 那么这是什么呢？大家会发现这是弧，这个地方是弦， 这样他正好其实是一个等边三角形，角应该是三分之半啊，这个细节啊，大家看清楚这个字是弦长还是弧长？ 第四题，如果角 alpha 的顶点在坐标原点，使边和矮格子轴正半轴重合，对吧？这是标准的角的摆放形式， 那么经过点 p p 点坐标应该是一二负一二。第二象限， 按照定义，大家可以得到它到原地的距离应该是根号五，所以说三一阿尔法 y 比上二，那就应该是五分之二倍，根号五扣三一阿尔法 x 比上二是负的五分之，根号五 tiny alpha y b x 正好等于负二，大家把它带到里面去，正好是五分之三倍，根号五减十。 好，这个题目呢，考了一下基本定义，第五题，已知 alpha 的中边在 x 轴的上方，那 alpha 的范围是多少？ 在 x 轴上方，大家从我们一开始定义，从旋转的角度来说，就是零转到 pa， 所以说我们可以得到阿尔法大于零小于 pa， 那么只要加上周期旋转 就可以了。因此呢，除二之后，二分之派加 cat pi， 这边是 cat pi， 那大家会发现，当 cat 等于一的时候，正好在 第一象限到啊， k 等于零的时候，在第一象限 k 等于一的时候呢，跑到了第三象限。因此呢，这个题目呢，它应该是 a 和 c， 一旦这边他不再是完整的周期，他就会横跨两个区间啊。所以说这个地方大家要注意这个细节，如果我们把这个问题和大家推广到一个更一般的结论， 那就是 两个坐标轴再加两条角平分线 啊，正好把它发成八个区域。当阿尔法角在第一象限的时候，二分之二法就在这，和它对顶角此代区间。如果 阿尔法在这，那二分之阿尔法啊就在这两个位置。如果阿尔法在第三象限，那二分之阿尔法啊就在这。如果阿尔法是第四象限角，那二分之阿尔法 就在这，正好呢。两条坐标轴加两条角平分线，把它分成八个区间，正好是四个二分之二法所在的范围。这个不好，大家不妨的记住，这样判断一下就更方便一些了啊。 第六题，已知角 c 塔的顶点与圆点重合，使边与矮格四周正半轴重合。如果 a 点负一， y 是角 c 塔中边上的一点， 让大家求一下，当撒 in c 塔等于负的十分之三倍根号时，时 y 等于多少？那么我们根据定义，撒 in c 塔应该是 y 比上二， y 比上根号下负一的平方加 y 的平方等于负的十分之三倍根号十。大家把这个式子一平方很容易可以解出 y 的值。 平方之后，其实大家得到的是 y 平方等于九，那么这个地方隐含了一个细节，大家会发现这是一个小于零的数，这边分母是一个大于零的数，所以说它隐含了 细节，其实 y 是一个小于定的数。这边大家一开方，正好得到 y 等于负三啊，这个值等于负三。第六题啊，一方面考察的一个基本定义， 另一方面呢，就是平方有时候会产生增根，所以说这个细节大家要注意一下。 好，这是我们刚才讲的任意角的和弧度质的问题哈。从基本概念来说，一个最大的区别就是我们现在学的角，他是动态的旋转产生的。好，再见。

同学们大家好，现在给同学们更新的是高中数学人教 a 版必修第一册第五章的内容。那咱们今天这堂课呢，是一堂习题课，我们来看到探究二，用弧度表示角集齐范围。首先我们来看到第二杠一写出中编在第一第三象限 角平分线上的角的集合。那么这个题呢，老师从两个方面给同学们讲怎么去做。首先第一个方面，咱们从这个图像出发， 首先咱们画一个平面直角坐标线，那么这个角的中边他要落到第一象限和第三象限角平分线上，对吧？那这个时候呢，我们可以把这条直线画出来 这样的一条直线，这个地方他将第一象限平分了，这个地方将第三象限平分了，那么由于是平分嘛， 咱们这个地方这个角肯定是四十五度，对吧？而且这条直线它的表达是我们是可以算得出来的，是 y 等于 x。 老师说一下，为什么会是 y 等于 x 呢？首先你完整的来看这条直线，这条直线过圆点，那么他肯定就是正比零函数，我们就可以是 y 等于 k， x， 其中 k 不等于零，对吧？由于这个地方他是四十五度，我在这条直线上 第一项线去找一个点好，然后我做一个直角三角形，这个直角三角形肯定是个等腰直角三角形，假如这个地方 是 a， 那么这个地方就是小 a， 那么这个点的坐标就是 a 斗 a， 对吧？而这个点他在这条直线上，他肯定会满足他的这个表达式呀，我们带进来就是 a 等于 k 乘以 a， 从而 k 等于一，那么 y 就等于 x， 那么结合咱们的这个提议，我们就知道呀，实际上他就是让我们写出中边落在这条直线上的角的几何。那首先呢，我们可以看到四十五度这个角，他的中边一定是落到这条直线上的，对不对？ 四十五度这个角的中边在这个地方。好，那这个时候我们可以看到在四十五度他的基础上，我们给他转一个一百八十度，哎，也是落到这条直线上的， 转两个一百八十度也是落到这条直线上的。以此类推，我们只要在四十五度的基础上，加上一百八十度的整数倍，那么这个角的中边一定会落到这条直线上。因此我们题目要求 图的这个角的几何实际上就是这样的，这个几何里边的代表元素符号，我们用阿尔法来表示，那么这个阿尔法它就等于四十五度加 k 乘以一百八十度， k 属于整数结。 z 这个题目呢，他对这个单位没有要求，如果同学们想用弧度作为单位，那这个地方可以改成四分之派， 然后一百八十度呢，可以改成派。同学们，我刚刚呢是从这个图像出发，直接给同学们写出了这个几何，现在我们用第二种方法来做，那这种方法呢，可能比第 一种方法要复杂一点，但是呢他也是比较严谨的一种方法。我们来看到咱们的这个角的中边要 落到 y 等于 x 这条直线上，那我就可以看成是由两部分构成的，第一部分角的中边落到这个地方，第二部分角的中边落到这个地方。好，我们来看，首先对于第一部分而言，如果角的中边落到了 这个位置，那么就意味着他与四十五度的中边是相同的，对不对？与四十五度角中边相同的角，我们就可以表示为四十五度加上三百六十度的整数倍， k 属于整数 gz。 好，第二部分注意看了，这个时候呢，我们要选取一个角，而这个角我们就可以选这个角吗？这个角多大呢？这个角应该是一百八十度加上四十五度，对不对？那么也就是 二百二十五度。好，那么与二百二十五度这个角中边相同的角，我们就可以表示为二百二十五度加上三百六十度的整数倍。 这两部分咱们都要，都要我们最终去并集。但是有个问题有同学他不太清楚， 他们俩是直接并起来呢？还是说我们还是要去化解一下，得到最终的结果？其实这种情形我们不是第一次遇到了，我们在五点一第二节讲那个 飞向线角的时候，以及在五点一第十节讲变式训练三杠一的时候，我们都遇到了两个集合求并集的情形。那现在我们来看，他们俩如果取并 应急，最终的结果等于多少呢？首先我们来观察，他们都有 k 乘以三百六十度，咱们暂时不用管他们最大的区别在于这个地方四十五度，这个地方二百二十五度，但是同学们不要着急， 我的这个式子，二百二十五度加上 k 乘以三百六十度，我可以把它写成四十五度加上一百八十度，再加 k 乘以三百六十度，对吧？没有问题吗？好，接下来呢，我们再来看四十五度加上 这两项，我给他提一个一百八十度出来，提一个一百八十度出来之后，括号里头就是二 k 加一。再来看咱们的这个设置，他本来是四十五度加上 k 乘以三百六十度， 对吧？好，对于他而言呢，我们给他做一个变形，把它写成四十五度加上二 k 乘以一百八十度， 当你的这个 k 它是属于 z 的时候，它可以取到任意一个整数，对吧？那么你这个地方二 k 加一，它就可以取到任意一个基数，你这个二 k， 它就可以取到任意一个偶数。 如此一来，所有的基数和所有的偶数是不是就构成了所有的整数？所以这两部分咱们一合起来，一并起来，最终得到的就是四十五度加上 一百八十度的整数倍。当然我们用几何来表示 k 属于 z， 你看 得到的结果和这个地方是完全一样的，只是我这个地方是以度作为单位，而这个地方呢，是弧度，用什么作为单位都是可以的，因为题目没有要求。 好了，同学们自己下去能把这个题目整理到自己的书上，这个过程的话呢，同学们也可以去看一看，参考答案他的这个书写过程。现在呢，通过咱们的这个题的这种方法，我们呢可以得到这样的一个结论， 来看到反思感悟的第三点，中边在同一直线上的角的结合可以合并，但在合并的时候呢，一定要做到准确无误。 接下来我们来看到第二杠二，在讲这个题之前，我们先来看反思感悟的第二点，表示角或 或者区域角的集合时，具体方法参照第一课时探究三，反思感悟，这个呢是我们在讲这个五点一第一课时任意角的时候，探究三象限角及区域角的表示讲过这个探究题，而在这个地方我们就 讲了一个逆三杠三，对吧？还有一个辨识训练，三杠一这种题怎么做，当时在这个地方反思感悟，这个地方讲的非常非常的清楚。 第三点表示区域角的三个步骤，我们当时结合咱们的这个例题呢，是给同学们讲了的，而且讲的还是比较仔细的。所以同学们我们在完成今天的这个第二杠二之前呢，我还是建议同学们先去把咱们的这两个题搞懂，搞懂 之后呢，我们再一起来做一，做咱们的立二杠二。当然呢，如果之前的那两个题你都搞懂了，那咱们一起来看一看咱们今天的这个题。立二杠二这个题和之前的那两个题最大的区别就在于单位不一样， 之前的单位是度，而今天这道题呢，要求用弧度来表示，其他的做题方法完全是一样的。好，我们来看这个题，如图用弧度表示顶点在原点是边，重合于 x 轴的非负半轴中边落在阴影部分内的角的结合，不包括边界。 现在我们来看到括号一，先给他选出初始边界就是 ob， 还有他的中指边界就是 oa， 对吧？现在我们在负三百六十度到三百 六十度这个范围之内，找到初始边界和中指边界对应的角，这个地方三十度，这个地方九十度，我们这个时候没有考虑方向，那加起来就是一百二十度，好，然后咱们再考虑方向，这个角就是负一百二十度， 所以这个地方就是负一百二十度。好。再来看这个地方，三十度吗？那中指边界就是三十度，当然我们这个题目要求用弧度来表示，那么三十度就是六分之拍， 负一百二十度的话就是负三分之二拍。我们在找这两个角的时候，一定要遵循由小到大的原则，而且还是逆时针方向好。找到之后呢，我们知道吗？这个他整圈整圈的转，还是会回到 这个地方，对吧？所以在这个地方给他加上三百六十度的整数倍，也就是二 k 牌，好，同理这个地方加上二 k 牌， 这样一来咱们的这个中边落在阴影部分类的角的结合，就是这样的一个结合，结合的代表元素符号选阿尔法，那么这个阿尔法他就必须要大于负三分之二派 加上二 k 派，小于六分之派加上二 k 派， k 属于整数级 z。 第一问咱们就搞定了，没有包括边界，所以这个地方是没有取到等号的。接下来我们来看到第二个，第二个的话咱们可以分成两部分来写，左边和右边，将左边 和右边表示出来之后，最后给他取并极就可以了。首先我们来看到这个地方初始边界我们可以把它取为零度，那么也就是零弧度，对吧？而这个地方中指边界的话，也就是六十度，那么就是三分之派， 好，当然他可以整圈整圈的转，所以后边就是加二 k 派，加二 k 派 k 属于整数 gz， 好。再来看左边 初始边界 ob， 也就是一百二十度三分之二派，当然他也可以整圈整圈的转，那么就是加二 k 派。中指边界这个位置，也就是一百八十度派， 也可以整圈整圈的转，那么就是再加二 k 派， k 属于 z， 这样一来的话，我们来看左边 中边落在这个地方角的几何呢？我们把它记为 m 一吧。好，那么这个几何，这个阿尔法他就必须要大于三分之二派，加上二 k 派小于派，加二 k 派， 不包括边界没有取到等号 k 属于整数级 z， 而右边我们把它记为 m 二，好，那这个时候呢，咱们的这个阿尔法 它就必须要大于零加二 k 派，也就是大于二 k 派，小于三分之派，加二 k 派， k 属于整数及 z。 这个时候我们最终要求的是中边落到阴影部分的 角的结合，我们把它记为大 m， 你这个大 m 他就是 m 一，并上 m 二，此时这两个结合并起来的话，咱们是不能够化解的， 我们只能够这么去写，阿尔法大于三分之二派，加二 k 派，小于派加二 k 派，也就是这一部分把它照抄下来，或者 阿尔法大于二 k 派，小于三分之派，加二 k 派， k 属于 z， 只能够这样写出来，无法再化解呢。其实从我们的这个图我们也可以看到，左边的初始边界在这个地方，右边的初始边界在这个地方，左边的中指边界在这个地方，右边的中 边界在这个地方，所以他们的这些初始边界不在同一条直线上，中指边界也不在同一条直线上，我们是没有办法合并的，所以我们在取这两个结合的并集的时候呢，这个地方直接给他抄下来用或者来连接就可以了。 现在我们来看到反思感悟的第一点，我们还没有讲用弧度表示区域角，实质是角度表示。区域角在弧度之下的应用其实就是单位不一样， 必要时需进行角度与弧度的换算，注意单位要统一，角度数与弧度数不能混用。好了，反思感悟的这三点呢，同学们下去再看一看，特别是括号二，如果已经忘记了的同学，赶紧去翻书 或者翻之前的视频，把它搞懂了。接下来我们来看到变式训练二，用弧度字表示顶点在原点，使边重合于 x 轴的非负半轴中，边落在阴影部分类的角的结合包括边界，如图所示。好，首先我们来看到括号一， 注意题目要求用弧度至单位必须是弧度，这个地方初始边界对吧？然后这个地方是中指边界， 这个题会有一个陷阱，其实和我们之前在第一课时讲探究三的时候也遇到过，就是有同学呀， 他想把这个地方就记为三百三十度，然后转化为弧度吗？然后把这个地方就记为七十五度，把它转化为弧度。你这么去想是错的，因为咱们刚刚也才讲 了吗，你这个地方必须是由小到大，逆时针方向，很明显你这个七十五度比三百三十度要小呀，所以你直接这么去标角度肯定是错的。 好了，那这两个地方最好标的就是他的中指边界七十五度，七十五度，也就是四十五度加上三十度，对吧？ 好，那么也就是四分之派加上六分之派，也就是十二分之五派，所以最好标的是这个位置 十二分之五拍。但是你注意了，如果你这个地方是七十五度的话，你这个地方就不能够标三百三十度，那怎么标呢？注意看这个三百三十度，这个角的中边落到了这个地方，而他的死边是在这个位置， 对不对？他代表的是这个角是三百三十度，所以这个时候咱们的这个角他就是负三十度，因此我们要把它记为负三十度，也就是负六分之拍，看到没有？负六分之拍他要小一点， 十二分之五派他要大一点。同样的可以转圈吗？加二 k 派，再加二 k 派， k 属于 z， 这样一来咱们的括号一就完成了呀。我们要求的这个几何，这个阿尔法，他就必须要大于负六分之派，加二 k 派， 包括边界。那么要取到等号小于等于十二分之五派，加二 k 派， k 属于 z。 接下来我们来看到第二个，第二个我们可以分成两部分来求，对吧？然后最终取并极来看到， 首先这一部分他的起始边界，我们可以把它借为三十度，也就是六分之派。然后再给他加上二 k 派吗？ 他的中指边界在这个地方九十度，也就是二分之派，再给他加上二 k 派， k 属于 z， 这个是他的中指边界。 这个时候呢，我们就得到一个集合，把它借为大。 me 嘛？好，那你这个阿尔法呢？他就必须要大于等于六分之派加二 k 派，小于等于二分之派， 加二 k 派， k 属于整数接 z。 现在来看到这一部分，我们选 ob 作为起始边界，对吧？好，那这个时候 ob 对应的角 度是多少呢？注意看，你这个地方是三十度，这个地方是一百八十度，一加的话就是二百一十度，对吧？所以这个位置就是二百一十度，而这个二百一十度把它转化为弧度，也就是一百八十度，加上三十度，那么就是 派加六分之派，也就是六分之七派再加二 k 派，中指边界在这个位置， 此时中指边界就是二分之三派再加二 k 派，从而我们又得到一个结合，是 m 二，对吧？好， m 二的话呢？ 这个阿尔法他就必须要大于等于六分之七派加二 k 派，小于等于二分之三派加二 二 k 派， k 属于整数 gz， 我们就得到了两个结合，得到了两个结合之后，最终我们要将他们两个并起来， 所以我们最终要求的这个集合把它借为大 m 的话，你这个大 m 他要等于 m 一，并上 m 二。问题就来了，这两个集合取并集的话，会不会像咱们上一个题一样，直接把这个地方抄一下， 没有化解呢？在这个地方是可以化解的。为什么可以化解？注意看你这个地方作为起始边界，对吧？也就是这条边 他是起始边界，而这个地方也是起始边界。你会发现两部分的起始边界在同一条直线上，这个地方作为中指边界，这个地方作为中指边界，两个地方的中指边 边界也在同一条直线上，所以他们量取并极的时候肯定能够合并化解。 如果基础较好的同学，马上他就能够反应出来，他的起始边界在这条直线上，那么他的起始边界我可以统一的表示成六分之拍加， 可以拍，你看这个地方三十多页就是六分之拍，转一个一百八十度回到七十边界，转两个一百八十度回到七十边界， 以此类推，我们只需要在六分之派的基础上加上派的整数倍，就一定能够回到起始边界，对吧？同理，咱们的这个中指边界就可以表示成二分之派加 k 派， 所以最终得到他们俩的病急，一定是这样的一个结合，你这个阿尔法肯定是大于等 等于起始边界六分支派加 k 派， 小于等于中指边界二分之派加 k 派，其中 k 属于整数级 z。 好，那咱们如果要严谨的去推一推啊，那怎么去推呢？这个我们暂时不动他，然后来看到这个几何， 这个几何同学们，这个地方不是有一个六分之七派吗？对不对？这个六分之七派，我可以给他写成六分之派加派，没有问题吧？ 这样一来，你的这一部分他不就变成了六分姿派加派，再加二 k 派吗？对不对？好，然后呢，我们又可以把它写成六分姿派，加上 这两项都有派，直接把派提出来，那么括号里头就是二 k 加一，所以这个地方他就变成了六分之派加上二 k 加一派，小于等于阿尔法。同样的道理，我们来看右边的这部分， 你这个二分之三派，我可以给他拆成二分之派加派，再加二 k 派。好，那么就变成二分之派加，把派提出来，括号里头 二 k 加一，所以这个地方就是二分之派加上二 k 加一派，这个时候同学们，你们来观察这两个式子，我们来好好看一看。当你的 k 他取得任意一个整数的时候，你这个地方二 k 他肯定 取到任意一个偶数，对不对？这个地方也是任意一个偶数，而这个地方二 k 加一可以取到任意一个基数， 二 k 加一可以取到任意一个基数，那这两个几何，你把他们俩一合并起来的话，总的来说不就是说你这个阿尔法他应该要大于等于六分之派加派的整数倍吗？ 这个地方是派的偶数倍，派的基数倍一并起来不就是派的整数倍吗？对不对？同理，你的右端这个地方是二分之派加派的偶数倍， 这个地方是二分之派加派的基数倍，一并起来不就是二分之派加派的整数倍吗？对不对？所以他们俩取并集，最终就得到这样的一个集合。 其实咱们这个辨识训练二和我们之前在探究三遇到的那个题，应该是咱们的辨识训练三杠一几乎是一样的做法， 就是咱们的这个题目在五点一第一课时，任意角便是训练三杠一，做法完全是一样的，仅仅就是单位不一样。 好了，同学们，我们今天呢就讲到这个地方，同学们下去把今天所讲的题目好好的整理到自己的书上，如果有必要的话，自己去拿答案翻一翻。

迪达课堂带你每天进步一点点这节课我们一起来做一下中边相同的角的练习题。来看例子题。第一小题，与六十度角中边相同的角是下面两个选项， 与他中边相同的角可以表示为六十度，加上配备的三百六十度，那么与他中边相同的角是相差整数倍的三百六十度。 a 选项它相差的是六十度，不满足 b 选项呢？负三百度与六十度刚好相差整数倍的三百六十度为三百六十度，所以 b 选项正确。 个题主要考察了与 r 法角中边相同的角的集合，是相差整数倍的三百六十度。第二题，与六百一十度角中边相同的角可以表示为什么样子？我们直接写就是六百一 适度加上配备的三百六十度就行了。但是要注意，通常情况下我们的基础小，要小于三百六十度。好，我们把它画 成小于三百六十度，角是三百六十度加上两百五十度，再加上开背的三百六十度， 他们俩合并是 k 加一倍的三百六十度。因为 k 是整数，所以我们直接可以写成是两百五十度加上 k 倍的三百六十度。整数还用 k 来表示，那么他的结合是 k 乘上三百六十度加上两百五十度， k 是属于整数。 第三题，若尔法贝塔两脚的中边互为反向延长线，且尔法是等于负的一百二十度，那么问贝塔它是为多少与尔法它的反 像延长线？我们在之前的公式中有讲过，反差像延长线是等于一百八十度，加上尔法再加上 k 倍的三百六十度就行了。 k 是属于整数尔法呢，是负的一百二十度，那么用公式来代替奶，负的一百二十度代替奶是等于 一百八，减一百二是等于六十度，加上 k 背的三百六十度，这是脚背，他表示出来是这样子的，注意 k 的取出范围。那么我们写下来，这是用公式直接来带另外一种方式呢，我们也可以画图来看一下 角 r 法是等于负的一百二十度，负的一百二十度大概在这里，这样的一个角负的一百二十度，那么角杯它呢？是不是它的反向延长线，这里就是六十度，对顶角，这里也是六十度， 那么就是六十度角与他中间相同的角的集合北塔也是等于六十度，加上配备的三百六十度，用公式或者画图都是可以来做， 这是利息第一。接下来看一下利息第二。第一角题已知减二法等于四十五度，在区间负的七百二十度到零度，这个必须间内找出所有与角二法有相同中边的角贝塔的值为多少。 那么先来看一下与角二法有相同中间的角的几何为多少呢？是四十五度加上 k 倍的三百六十度， 而现在 b 他的值在这个区间里边，那么 k 要取到负的里边的话， k 一定要负数，我们来带一下 k 等于负一的时候，带一下是四十五度，减去 三百六十度，那么是等于负的三百一十五度满足要求，当 k 等于负二的时候呢，四十五度减去两倍的三百六十度，是七百二十度，是 等于负的六百七十五度，也在这个曲线里面，但当 k 等于负三的时候呢，这里是减去一千零八 八十度，四十五度，减去一千零八十度，他是小于负的七百二十度，所以不在这个区间里边。那么 k 的值只能取负一和负二，那么背他的值，一个是负的三百一十五度，一个是负的六百七十五度，这是有关背他的值。 第二题，如阿尔法与五倍的阿尔法的中边重合，那么先问阿尔法的值为多少？与角阿尔法中边重合的角的集合可以表示为尔法加上 k 倍的三百六十度 就行了，那么我们把它的集合表示用贝塔的表示，贝塔等于阿尔法加上 k， 贝的三百六十度是与角阿尔法中边重合的角度集合。现在说五倍的尔法的中边也与阿尔法的中边重合，那么贝塔是不是可以用五倍的尔法来代替 来戴一下？五倍的阿尔法是等于阿尔法加上 k 倍的三百六十度，那么把阿尔法移到左边，是四倍的阿尔法等于 k 乘上三百六十度，那么阿尔法是等于 k 乘上九十度， 所以 r 法的集合是 k 乘上九十度， k 都属于整数，注意这里的 k 都是属于整数。最后我们来做一下小节有关，这节课我们学习了中边相同的角的集合，与阿尔法中边相同的角的集合是阿尔法加上 k 的三百六十度，这是一条设， 所以加上整数倍的三百六十度。第二呢，与阿尔法中边互为反向延长线的角的集合，那么是这条边，我们首先要找出一个基础角，以他为基础角，这个基础角是一百八十度加上尔法， 因为这是一条射线，所以再加上配备的三百六十度。第三个与角二法中边在同一条直线上的角的集合是这条直线，那么我们也要找上一个技术角，记住角，我们就以阿尔法为基础角，因为也是以他为中边是直线，那么我们加上整数倍的一百八十度， 中边与阿尔法中边垂直的角的结合，使这一条直线问他的角的结合为多少？首先我们找出一个基础角，以他为中边，基础角是九十度，加上尔法基础角，我们找出 因为是一条直线，所以我们加上 k 背的一百八十度与脚二法中边关于 s 轴对称的脚的集合。首先找出一个 技术角与 s 轴对称，这边是耳法，那么这边呢？是负的耳法，技术角找出来了，因为是射线，所以加上 k 边的三百六十度 与角二法中边关于外轴对称的角的集合。首先我们来找出一个基础角，是关于外轴对称，这里是尔法，那么这里呢也是尔法，这是逆时针旋转的，那么这个基础角的话，以他为中边是一百八十度 减去二法，所以他的记住角是一百八十度，减去二法，因为是射线，所以加上整数倍的三百六十度。有关与中边相同的角的集合该怎么样来做呢？通常情况下，用 一个假二法表示中边所在的位置，就是一个确定的度数，也可以是集合，现在我们学的是确定的度数，在后边我们可以学到集合有关假二法的一个中边表示， 在此基础上再加上整数倍的某个度数，这个度数呢，看是中边转多少度到下一个中边。为什么说十二线是加上整数倍的三百六十度呢？因为你看一下 这里是耳法的度数，那么再转到这边的话，是要多转了一个三百六十度，所以加上整数倍的三百六十度。 为什么直线的时候是加上一百八十度呢？这边是阿尔法度，那么转到他下一条中边的时候呢？是不是尔法加上一百八就行了？所以这样射线和直线加上整数倍的三百六十度和整数倍的一百八十度是这么来的。好，这节课我们就讲到这。