九下数学湘教版二次函数学法答案

大家好，欢迎来到刘老师数学课堂，我们这一次课主要讲解的是二次函数 y 等于 a x 方的图像与形式。第一是要掌握用秒点法画 y 等于 a x 方函数图像的画法， 第二个是要掌握 y 等于 a x 方函数图像的性质。首先我们导入一下本堂课的主要内容， 我们已经学过了用描点法画依次函数的图像，反比例函数的图像，那么同学们回忆一下，我们如何用描点法画图呢？ 或者说我们用描天法画图的一个通用的解决办法是什么呢？ 列表描点眼线 主要分为三步，首先确定自变量、 音变量并列表。第二步要把表中的每一个点一对一的划到直角坐标系当中，叫秒点。第三步用平滑的曲线把直角坐标系当中的所有点连到一起， 通过这三步就可以画出任何一个函数的曲线图。那么我们如何画二次函数的曲线图呢？大家来看一下。如果我们要画 y 等于 x 方的曲线图像， 首先我们要观察 y 等于 x 方的表达式，选择适当的 x 值， 并计算相应的 y 值，完成下表。我们来看，如果说 x 等于负三的时候，把 x 的值代入 y 等于九，如果 x 等于负二的时候呢？把 x 的值代 入职后， y 等于四，那么依次类推，可以得到如下的这样一张表格， 在这个表当中，我们把每一个点都一一对应到直角坐标系当中去， 得到的就是如下一些点，把这些点连接成线，用平滑的曲线连接得到，就是一个开口向上的二次函数曲线， 也叫抛物线。 那么同学们大家想一下，你能不能够描述出这个曲线的形状呢？ 当然可以，我们只需要通过三步列表秒点连线，就可以把任何一个二次函数的曲线图像描绘出来。那么二次函数 y 等于 x 方的图像形容物体抛射时所经过的路线，所以我们把它形象的称为抛物线。 这条抛物线是关于 y 轴对称的，而且是轴对称，所以我们把 y 轴称为 y 等于 a x 方，这样 像一条抛物线的对称轴，当然还是要要求 a 不等于 好。下面一条对称轴与抛物线的交点，我们称之为抛物线的顶点。对于 y 等于 a x 方，且 a 不等于零这样一条抛物线而言，那么它的顶点是什么呢？应该是零，逗号零。 好，大家再来想一下，二次函数 y 等于 a x 方有哪些性质呢？ 首先，当 a 大于零的时候， a 大于零，这个函数二次项的系数是大于零的，那么这个抛物线它的开口一定是方向向上，抛物线的顶点坐标呢？大家看 应该是 y 轴与抛物线的焦点就是这一点，这一点的坐标是零的号零，它的对称轴呢？是 y 轴抛物线。关于 y 轴轴对称， 对于抛物线 wedding a x 方而言， a 的绝对是越大，抛物线的开口就会越小，这个大家怎么来理解呢？大家来看二层的关系是， 当 a 绝对值越大的时候，说明什么呢？说明这个函数增长的越快，也就是说这个函数会越陡，那么这个函数如果越陡呢？ 它这个开口就越小，所以大家通过这种方法来记忆， a 的绝对值越大， 抛物线的开口越小， 那么这是当 a 大于零的时候一些基本的性质， 我们在进一步的探究 a 大于的时候，两个非常重要的性质叫增减性和最值。问题， 那么 a 大于零的时候，函数的增减性是怎么样的呢？通过图像我们可以看到，在对称轴的左侧， y 随着 x 的增大而减小。在对称轴的右侧， y 随着 x 的增大而增大， 所以函数的增减性是左降右升的函数的最小值。首先我们要确定这个函数有没有最小值， 看这个图像是不是这一点，应该说是这个函数的最小值点，所以当 x 零的时候，这个图像取得最小值，它的最小值呢？也就是零。所以我们得到结论是开口向上的二三数有最小值。 好，那么如果说这个参数 a 是小于零，那么这个函数的性质有没有什么变化呢？我们一起来看一下。 如果 a 小于零，通过秒点法可以得到函数的图像是开口向下的一个二次函数图像， 那么如下四条性质，第一条开口方向向下，第二条顶点坐标还是对称轴 y 轴与函数图像的交点，也就是零字号零对称轴了，依旧是歪轴图像，依旧。关于歪轴对称，第四条还是 a 的绝对是越大，抛物线的开口越小，因为 a 就是越大，这个抛物线将会越陡， 所以 a 的值值越大，抛物线的开口越小。同学们还是可以类比刚刚我们讲过的方法来记忆。这是四条基本性质，那么我们再来看一下两条非常重要的性质，还是增减性和最值。问题， 通过图像来研究这个 r、 c、 m 的增减性。在对称轴的左侧， y 随着 x 啊增大而增大，在对称轴的右侧呢， y 随着 x 的增大而减小，所以这个函数的图像是左升右降，它的最大值，当 x 的零的时候取得最大值， y 的最大值也等于零， 那么它没有最小值。通过这个图像我们可以看出来，它一直可以延伸到负无穷远处，所以无最小值。那么对于 a 大零的时候，这个图像呢？ 我们可以看出来，它一直可以延伸到正无穷远处，所以它没有最大值。大家一定要注意，开口向下的抛物线有最大值，开口向上的抛物线有最小值。好， 我们来看一个典型的例题，如何来画函数 y 等于二分之一 x 方的图像呢？三步骤，列表秒点连线。 首先我们列表取圆点零的号零，并以圆点为中心对称的选取 x 值，可以选择负一，正一，负二，正二，负三，正三，以此类推。 第二步是瞄点，把我们对应的点与坐标系当中 两点关系对应起来，一二分之一，二二，这些点分别在坐标器当中表示出来。 好，其他的点同理对应到对标题当中来，那么我们接下来呢，就可以画图像了。 对应完之后，这些点用平滑的曲线连接起来，得到的就是 y 等于二分之一 x 方的图像。 请同学们来看这样一道题，函数 y 等于 k， x 方与函数 y 等于 k， x 加 k 的图像在同一直角坐标器当中可能的是哪种情况？ 首先我们教大家一个对依次函数图像的判别办法， y 等于 k， x 加 k， 我们 如果把这个参数 k 提出来的话，这个图像应该是什么？是 y 等于 k 倍的 x 加一， y 等于 k， v 的 x 加一，当 x 等于负一的时候， y 等于零，所以我们就知道了这个意思，函数的图像一定是过定点 负一逗号零的，这一点很关键啊。同学们来看这个 a、 b、 c、 d 四个选项当中，是不是 只有 c 选项是图像过定点负一得考零的呀？所以我们直接通过这一点就可以判断 出来，这个题最终应该是选择 c 选项，这是我们的一个简便算法。那么我们如果利用到二次函数和一次函数的性质，怎么来判断他的这个图像呢？ 我们要分类讨论。首先，如果说 k 大于零的话，那么二次函数图像的开口是向上，那么一次函数图像呢？ k 大于零，它是一个增函数，所以 应该是在 b 和 d 当中选，又因为二层要求开口向上，所以 d 是错的，那么 b 很有可能是一个对的选项，我们先把它画上，那么如果说可以小于零呢？ k 小于零的话，二次函数的开口向下， k 呢，也是小于零的，所以依次函数是一个减函数，所以呢， c 也有可能是对的，那么 a 就是错的。 在 b 和 c 当中，我们选择什么呢？还是要选择 c？ 为什么？因为如果说当 k 大于零的话， y 等于 k， s 加 k 这样一条依次函数曲线应该是过一二、三象限的， 是我们用红颜色的笔画出来的这条线，而不是这个题当中原来的这条线，所以 b 选项也是错的。最后答案呢，也是 c 选项，希望同学们把这两种方法能够熟练的应用，记住我们讲的简便算法。 好，我们再看下一个课堂练习。如图所示，在同一坐标系当中做出 y 等于 a 一 x 方， y 等于 a 二 x 方， y 等于 a 三 x 方的图像，那么 a 一 a 二 a 三的大小关系是， 我们之前说了， a 的绝对值越大，那么这个函数应该是开口是越小的。我们根据这一点可以看出来，一图像 a 的绝对值是最大的。二，其次三是最小的，所以 a 一大于 a 二大于 a 三，因为开口向上嘛，所以他们三个都是大于零的。好，我们继续来看下一个题，如何画 答出函数 y 等于三 x 方的图像呢？首先列表第二步，瞄点连线就得到这样一个曲线，它表示的就是 y 等于三 x 方。 我们来归纳一下我们这一次课学的主要内容。首先第一个就是二次函数图像的画法，它与一次函数图像的画法 以及反比例函数图像的画法都是一样的，都是利用列表、描点、连线三种方法进行描述。第二步就是说我们如何确定 抛布线 y 的 a x 方，它的一些性质，包括它顶点、对称轴增减性还有 最值得问题。那么要分 a 大于零和 a 小于零两种情况进行讨论。 如果说 a 小于零的时候，抛物线是开口向下，顶点呢？是抛物线的最高点，对阵轴的左侧 y c s 的增大而增大，对阵轴的右侧 y 随 s 的增大而减小。 那么如果说对于抛物线 a 小于零来讲呢？整个开口变成是向上的，最高点变成是最低点， 增碱性也是相反的，那么对于 y 等于 a， x 方整个这个曲线来说， a 的绝对是越大，那么抛物线的开口是越小的啊，谢谢大家。

大家好，欢迎来到刘老师的数学课堂，我们今天主要讲解的是二次函数， 我们的学习目标主要分为以下两点，第一点，要理解二次函数的概念，掌握二次函数的表达式。第二点，要学会根据实际问题建立二次函数的模型。 首先我们先来想一下一个一元二次方程的一般表达形式是什么？大家可以看到，一元二次方程的一般表达形式是 a x 方加 b， x 加 c 等于零。 a、 b、 c 均代表的是参数，而且是表示的是一个常数的参数。 那么为什么我们需要先定 a 不等于零呢？因为如果 a 等于零的话，这个方程就变成了 b x 加 c 等于零， b x 加 c 等于零，它实际上应该是一个一元一次方程。所以如果我们想让这个方程表示一元二次方程的话，一定要限定参数 a 不等于零。 好，第二个，我们学习过哪些函数？他们的一般解析式是如何来表示的？我们在之前的课堂上学习过依次函数 y 等于 k， s 加 b。 后面大家注意还有一个是 k 不等于零的限制条件，为什么需要限制 k 不等于零呢？因为一旦 k 等于零，这个函数就变 变成了 y 等于 b， b 是一个长数，那么这样的函数我们称它为长函数、 依次函数、长函数，它们两个的区别就在于这个依次项系数 k 是否等于零。 我们之前还学过正比例函数，正比例函数是在依次函数的基础上， b 如果等于零的话， 这个依次函数我们就称它为正比例函数。当然，只要它是一个依次函数的形式，那么 k 一定是不能等于零的， 否则这个函数就是一个长函数了。我们之前还学过反比例函数，反比例函数一般形式是 y 等于 x 分之 k， 其中 k 也是不等于零的，因为如果 k 等于零的话，这个函数就是 y 等于零，它又是一个长函数。 那么在反比例函数当中， x 的取值范围有没有限制呢？我们知道，对于一个分式来讲，它的分母是不可以等于零的，所以在反比例函数当中， x 不能等于零， 因为 x 不能等于零， k 呢？也不能等于零，所以 y 永远都没有可能等于零，所以 y 也不等于零。对于一个反比的函数，同学们要知道， 他的 x 也就是字变量不等于零， y 也就是音变量也不等于零。好，这是我们之前学过的几列函数，那么我们今天要讲的是什么样的函数呢？这种形式的曲线，同学们来想， 他们是一个什么类型的曲线呢？喷泉，这一类的曲线包括我们沿水平方向抛出一个物体，这个物体在空间当中所形成的曲线，我们给他们一个称呼，都叫做抛物线。 抛物线它的本质就是我们这一次课主要讲的二次函数。 好，那么这些曲线如果真的用函数来表达的话，应该是二次函数的形式来表示。 接下来请同学们思考这样一个问题，学校准备在校园里利用围墙和一段篱笆围成一个矩形的植物园，已知篱笆墙的总长度是一百米， 设与围墙相邻的一篱笆墙的长度为 x， 求矩形植物园的面积 s 与我们之前设的篱笆墙的长度 x 之间的函数关键是好，请同学们来看下面的这个图。 根据我们题里面的已知条件，我们是设与篱笆墙相邻的这条边为 x， 那么总的篱笆的长度呢？是一百米，所以整个是一百米，那么这一条边的长度就应该是一百 减去二 x， 因为这一条边是 x， 这一条边是 x， 总的篱笆墙的长度是一百，所以这一条边的长度就应该是一百减去二 x， 那么 x 等于什么呢？我们来看一下 x 对于一个矩形的面积来说，它应该等于长乘宽，那么它的乘是一百减去二 x， 它的宽是 x， 所以这个矩形的面积 x 就等于 x 乘以一百减去二 x， x 是大于零小于五十的。为什么 x 要大于零小于五十呢？因为我的篱笆墙一共就只有一百米宽， 那么如果 x 大于五十的话，这个篱笆墙的总长度是不够的，所以 x 必须是在零到五十这个范围内。 整理一下，把括号打开， x 就等于负二 x 方加上一百 x 还是 x 大于零小于五十。 那么第二个问题同学们来看，如果说某型号的电脑两年前的售价额 为六千元，现在降价销售，如果每年平均降价率为 x， 求一下现在的售价 y 与平均降价率 x 之间的函数关系。 我们来想，最开始的售价是多少？是六千元， 现在降价销售，而且呢是每年都降价，一共要降价两次。那么第一年降价之后，我们 设它的售价为 y 一 y 一应该等于什么呢？应该等于六千 乘以一减 x， 这是第一年降价之后它的售价，那么第 第二年进价之后，它的售价应该是什么呢？是 y 等于六千乘以一减 x 的平方， 这个就是我们现在的售价 y 与平均降价率 x 之间的关系式， 再整理一下，结果就应该是这样的形式。那么我们通过这两个问题观察一下，他们两个函数的表达式之间有什么联系，有什么区别呢？ 首先上面这个函数关系式是没有常数项，下面这个函数关系式呢，是有常数项的，上面这个函数关系式在二次项前面的系数 数是小于零的。下面这个函数关于是二次项前面的系数是大于零的， 而且他们经过化解之后，统一的表达形式，或者说一般形式都是 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c 这种形式，而且 a、 b， c 是长数， a 不能等于。 为什么这里我们要强调 a 不能等于零呢？这就和我们之前依次函数当中强调 k 不等于零是一样的。 因为一旦 a 等于零，这个形式就变成了 y 等于 b， x 加 c， 这个函数就 不是一个二次函数，而是一个一次函数。好，我们给出二次函数的定义， 我们把形如 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 其中 a， b， c 是长数， a 不等于零，这样的函数叫做二次函数。 那同学们可能会问，这里面 b 和 c 可不可以等于零呢？当然可以，只要二次项前面的系数不等于零，其他一字项和长数项都是可以等于零的。比方说，给大家举个例子， y 等于 x 方， y 等于 x 方加一， y 等于 x 方加二 x， 这些个函数它都是二次函数，第一个函数它的 b 等于零， c 等于零， a 等于一。第二个函数，它的 b 等于零， a 等于 c 等于一。第三个函数呢，它的 c 等于零， a 等于一， b 等于二。 好，我们把这里面的 a 称为二次项系数， a、 x 方叫做二次项， b 称为一次项系数， b、 x 叫做一次项， c 为常数项。所以二次函数当中一共是三个参数， 同学们来看一下如下一个题，下列函数哪一个函数是二次函数呢？那么这种题我们 怎么做呢？我们的做法就是利用二次函数的定义制， y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 括号， a 不等于 满足这个式子就是二次函数。不满足这个式子就不是二次函数。首先看 a 选项， a 选项满足这个式子吗？当然不满足，因为 a 选项相当于是在二次函数的一般式当中。另， a 等于零， b 等于一， c 等于一了，所以 a 并不是一个二次函数。 b， b 选项当中相当于是 b 等于零， a 等于 c 等于一，所以 b 是一个二次函数。这个题 b 是正确的。那么 c 选 c 选项，我们来看，虽然他有二次项，但是呢，他还有一个反比例项，那么这一项在我们二次函数一般形式当中没有，所以因为他有这一项， c 选项也不是一个二次函数。 d 选项 d 选项它只说了 y 等于 a， x 方，并没有强调 a 不能等于零。如果说 a 等于零的话， d 选项就不是一个二三数。如果这个题 d 选项强调了 a 不等于零， 那么 d 选项就是一个二次函数，所以如果他没强调 d 选项就是错的， 我们继续来看， 如何根据实际问题建立二次函数的模型呢？ 在生产和生活当中，有很多的实际问题与二次函数有着密切的关系，那么解决此类问题的关键就是把实际问题转化为二次函数问题，正确的写出二次函数的表达形式。 那么我们如何列出函数表达式的步骤？第一步是审题，要找出已知量和未知量， 第二步是找出等项关系。第三步呢就是列函数表达式。大家一定要注意二次函数的自变量的取值范围，在解决 实际问题的时候，要根据实际问题而定，我们在 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， a 不等于零， 这样一个二次函数当中， x 是可以去复制的，但是很多实际问题当中呢， x 的取值我们要求它必须是正值，所以这就是说要根据实际问题确定二次函数自变量的取值范围。好， 我们来看一道典型例题。某农产品市场经销一种销售成本为四十元的水产品，据市市场分析，如果说按每千克五十元销售，一个月能销出五百千克，那么 如果我们销售单价每增长一元，月销售额就会减少十千克， 设销售单价为每千克 x 元，月销售利润为 y 元。我们想要求 y 与 x 的函数关系是， 首先我们先来看，如果说就按原价销售的话，每千克呢是五百元， 所以我们要利用每千克的利润乘以销量求得总利润的话，我们就要关注每千克的利润到底是多少， 这个利润和什么有关系呢？这个利润和每千克售价涨一元之后销量减少十千克 这句话有关系，所以我们列出它的表达是， y 等于 x 减四十乘以五百减去十倍的 x 减五十， x 减四十这一项表示的是什么呢？表示的是我们售卖一千克的水产品得到的利润，因为每千克的水产品它的成本是四十元，所以售卖一千克的水产品的利润就是售价减成本。 那么我们一共每个月能够售卖出去多少千克呢？要根据这一句话来算， 正常情况下一个月可以售卖五百千克，但是货每涨价一元就会减少十千克，所以最终 不能够卖出去多少千克，要看你到底涨价了多少元。应该是五百减去十乘以 x 减五十，所以应该选择 c 选项， 这个就是我们如何应用二次函数解决实际问题。好，大家做一个课堂练习，判断一下下列函数当中哪些是二次函数。 首先，第一个有二次项，没有一次项，没有常用项，所以它是二次函数。第二个没有二次项，所以它不是二次函数。第三个，把式子整理化解一下，应该是 x 减去 x 方，它有二十项，有一次项也是一个二次函数。第四个式子，我们还是把式子整理化解，它等于 x 方减二， x 加一，减 x 方 等于负二， x 加一，那么它本质上是一个依次函数，没有二次项，所以这个也不是一个二次函数， 在这四四个式子里面，只有一和三是二次函数。 好，大家再来做一个练习。关于 x 的函数， y 等于 m 加一倍的 x 的二， m 减二次密是二次函数，请求一下 m 的值。首先，如果它是一个二次函数，我们要求什么？要求必须有二次项， 在这样一个函数它只有一项的情况下，那么这一项必须是二次项。所以我们得到的第一个式子句应该是二， m 加二等于二。 同学们看，这里面写的是 r m 减二，所以我们把这个加号改成减号，应该是 r m 减二等于二， m 加一呢，不能等于零。 通过这两式子，我们就可以确定这个函数是一个二次函数了，所以最后得到的结果应该是 m 等于二。 大家再来做一个课堂练习，矩形的长为四厘米，宽为三厘米，如果将其长增加 x 厘米，宽增加 r x 厘米，则面积增加到 y 平方厘米。求 y 与 x 的关系式。 好，我们增加后的长是四加 x 厘米，增加后的宽呢是三加二 x 厘米。所以长方形的面积公式 y 就应该等于 四加 x， 乘以三加二 x， 整理一下是二 x 方加十一， x 加十二。对于这种形式，我们可以看到 他完完全全是和我们二次函的表达形式相同的，所以最后得到的这个 y 与 x 的关系式就是一个二次函的关系式。 大家再来看这样一个问题，函数 y 等于 m 减二倍的 x 方加 m， x 减三， m 为长数。 那么什么时候这个函数是一个二次函数呢？当 m 不等于二的时候，因为我们二次函数要求的就是二次项前面的系数不能等于零吗？那么什么时候是一个一次函数呢？ m 等于二的时候， 它刚好是 y 等于 r x 减三，这种形式呢，就是一个一层函数。 我们把这一节课所讲的内容归纳总结一下。首先我们把形如 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 其中 a， b， c 为长数， a 不等于零的函数叫做二次函数。 第二条，根据实际问题列函数表达式的步骤，第一步就是审题，要找出已知量和未知量，第二步要找出等量关系，第三步要列函数的表达式。好，谢谢大家。