用尺规作图圆心角45度的扇形做法

哈喽，同学们大家好，我是栗子老师，一日不见，甚是想念。今天我们来学习弧长和扇形面积。先来看一下本节课的学习目标， 第一，掌握弧长计算公式和扇形面积计算公式。第二，了解了弧长和扇形面积计算公式之后，我们能用公式来解决实际问题。好，我们来看新课讲解。 老师先给大家抛出两个问题，我们来看问题一，半径是 r 的圆，它的周长是多少？ 那根据前面我们小学的时候已经学习过咱们圆的这个周长了，我们圆的周长 c 就等于二派二，这个二就是半径。问题二，下 大图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几，我们知道咱们一整个圆，对吧？他的周长是二排 r， 我们来看第一个，第二个 我们来看把第一个一百八十度的，我们将它进行旋转之后，发现他这个圆心角，一百八十度的圆心角是不刚好对应的这个弧长这边，他是圆周长的二分之一，对吧？那我们来看第二个他这个九十度，对的，这个 弧长是不是圆整个周长的四分之一，是四分之一个半圆，对吧？好，我们来看一下这个，这个是不相当于是九十度的一半？是不是它是四分之一，它是不是就相当于分成了八份是八分之一？那我们来看这个，那这个我们要怎么算呢？我们 类比我们前面的这个，我们来看那圆周长，我们是拿圆心角，我们知道圆的一个圆圆心角是不是三百六十度啊？那我们来看那一百八十度所对的这个圆周角，那这个弧长是不我们拿一百八十度比上三百六十度， 是不相当于是占了整个弧长的二分之一。我们拿圆心角去除以咱们整个圆心角的这个占比，整个圆周的这个圆心角的占比看，占整个圆周长的几分之几，是不就相当于他占了整个圆周长的几分之几啊？ 那我们来看一下，那九十度，是不是拿九十度除以三百六十度，是不是占了占了整个圆周长的四分之一？好，那四十五，拿四十五度除以三百六十度，是不是相当于就占了整个圆周长的八 八分之一？那我们 n 度，那是不是相当于我们拿 n 乘以三百六十除以三百六十度，看看 n 这个度数占了整个圆心角的这个几分之几，是不是相当于占了整个圆周长的这个几分之几？他这个弧长。好，我们把这个来做一个 小节，我们来看圆心角是一百八十度，他占整个周角的三百六十分之一百八，所以他对应的弧长也是圆弧长的三百六十分之一百八。 好，类比圆心角是九十度的时候，他占周角九十，占三百六十度的这么多，对不对？那他对的弧长也占了圆周长的这么多，那依次类推， 四十五度的，我们占整个圆周角的三百六十分之四十五，那圆心角是 n 的时候，那占整个周角的三百六十分之 n， 就相当于他这个圆 圆心角占了整个周角的几分之计，那么它对应的弧长也就占了圆整个周长的几分之计。由此我们来给出我们这个弧长公式， 这个弧长也就是他所对的那一段的弧长到底是多少呢？我们来看一下，他就等于 我们这个啊，圆心，这个圆心角弧长对应的圆心角是 n 度，那 n 他到底占了整个圆周角了这个多少？就拿 n 除以三百六十度，这是他的占比，我们要求的是这一段的弧长，那他占了 角，占了占比了多少？是不是弧也占了整个圆周的弧了多少？所以他是几分之几？我们要看乘上整个圆周是二派尔，所以我们就看约分，经过约分之后，我们把这个二和三百六十度约了之后，上面剩下一，下面剩下一百八， 所以我们的弧长 l 就等于一百八十分之 n 派 r， 这里的 n 就是圆个圆心角的那个度数，圆心角的那个度数，然后这个 r 就是它的半径。 好，我们就得出来了，这个弧长公式 l 就等于一百八十分之 n 派 r。 我们需要注意一个点，就是用弧长公式来计算公式的时候，要注意中，要注意公式中 n 的这个意义， n 表示的是一度圆心角的倍数，因为你不知道这个角是多少度，比如说他是一百八十度，是不是相当于是一百八十个那个一度，对不对？ 他是不带单位的，因为我们经常说就说，嗯，他的圆形角是 n 度，对吧？他已经相当于这带了单位，所以这 n 我们在带数值的时候，我们带数的时候，我们直接带那个数值就可以了， 不用再带这个度数了，他是不带单位的，同学们要注意一下。好，我们这个哭场公式啊，大家要牢记记清楚。我们现在来做一道例题，来看一下 已知弧所对的圆心角是六十度，是不是咱们这个 n 呐？ n 他就等于六十，对吧？半径是 r， 是不是那个 r 就是四，那弧长是多少？那根据我们刚才学的这个弧长计算公式， l 就等于什么呀？一百八十分之 n 派 r， 那现在我们把代进去，那就是一百八十分之 n 是六十，好，乘以派乘以 r r 四，那我们来看一下，进行约分之后，我们来看 一百六十和八十，我们一百八，我们能够相当于是约去六十，还是上面还剩下一，下面还剩下三，那就是三分之四派， 好，所以这个弧长就是三分之四派。我们要把这个公式啊记清楚啊，你在记这个公式的时候不是老死记得，你可以就是借助你那个去推理，对不对？咱们这个弧长是怎么算的呀？ 就是他占了整个圆周的几分之几，是不是相当于先看他的圆心角占了整个周角的几分之几，然后这个占比出来之后，我们再去他拿他去乘以整个这个圆周的这个周长。所以说咱们就把这个弧长的公式咱们就推出来了，我们来看一下咱们与扇形面积相关的计算， 我们先来回顾一下什么叫做扇形，圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的这个图形，我们把它叫做扇形。我们来看好，我们看圆的一条弧，比如说这个弧 a b， 对吧？好，弧 ab 和经过这个弧端点的两条半径，这个弧 b 是它的一个端点， a 是它的一个端点，经过这个两个端点的半径分别是 oa 和 ob 组成的这个图形，我们把它叫做扇形， 这个我们就把叫把它叫做扇形 o a、 b 啊，比如说我们这个黄色的部分是一个扇形，记住扇形 o a、 b， 那假设啊，老师随机画出一个，我们来看一下， 那你看这个它叫做扇形吗？它并不叫做扇形，因为为什么？因为你有了一段弧长之后，你必须要有两个经过这个端点的半径，我们看这一节和这一节没有做连接，所以它不是扇形，再画一个，那同学们 们看这一节是扇形吗？这一节他虽然对吧他有一段弧，但是他这有一段弧是不错，但是我们来看一下，必须是经过这两，这条这条弧两个端点他也经过端点了，但是必须是半径。我们来看一下， 半径是不连接圆心到圆上任意一点的这个距离定，但这个线段啊，他并没有经过这个圆心，所以这两个他并不是半径，所以说这两个他都不 不能称为扇形。好，大家需要注意一下啊，必须是一条弧和经过这条弧端点的两个半径啊，必须要和这个 o 有连接，对不对？半径好，所围成的这个图形，咱把它叫做扇形。那我们来看一下 半径为 r 的圆，我们来记，我们来想一下它的面积是多少？我们之前学过圆的面积公式， s 就等于派 r 的 平方。好，那我们来看下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几呢？具体又是多少呢？我们来看一看， 我们来看第一个圆心角占周角的这个比例，我们看一百八十度，他占圆周角是不相当于是一百八比上三百六十度，对吧？那我们类比一下刚才我们学习的弧长，那圆心角占了周角的几分之几，我们拿 这个占比去乘以那个整个的周长，是不就算出来那个弧长。哎，那我们今天是不是可以相当于圆心角占了整个周角的几分之几？好，那我们来看一下圆心角占了周角的这么多，那我们看扇形面积占了圆面积的是不是也是这么多呀？因为你看 圆心角都占了一半了，那你扇形这个面积是不是也占了圆面积的一半了？所以说我们圆心角占周角的占比，就跟我们扇形面积占圆面积的比例，它是一样的。 那我们来看，那我们整整个扇形面积占了圆面积的这么多，我们想要求这个圆的面积，是不是拿这个比例乘以咱们这个圆整个的这个周长？ 好，我们来看一下他的占比是一百八除以三百六是不二分之一啊？然后我们来看一下那扇形的面积是不是二分之一个这整个圆周的面积啊？这是派，这是派二分之一派尔的平方，我们就把这个扇形的面积算出来了，那我们接着往下看。 好，我们来看一下这个他圆心角占周角的比例是九十，比上三百六，那是不是也等于咱们单 形这个面积是不是也占了圆的这个面积的四分之一，对吧？也是三百六十度，分之九十，那扇形的面积是不是四分之一占了它的占比，对吧？四分之一，那是不是相当于是四分之一胎儿的平方？ 好，那我们接着往下看，四十五度，对吧？那四十五度，我们先看那四十五比上三百六十度，扇形的占比跟他是一样的，那相当于是我们是占了他的八分之一，那扇形的这一点的面积就是八分之一配 r 的平方，因为你 后面是整个圆的周长，你占了他的几分之几，我们就写几分之几分，几分之几派 r 的平方。 好。最后一个，那 n 那是不类比，我们 n 除以三百六十度，那扇形的面积也占了圆的三百六十度，那我们就是拿它的占比 去乘上整个圆周的这个面积，派儿的平方，所以扇形的面积就是 n 除以三百六十乘上派儿的平方，也就是我们把三百六十放在下面，就是相当于是分母，那分子上面就是派儿的平方。 好，这是我们圆面积的计算公式，我们来做一下总结。半径为 r 的圆中圆心角为 n 度的扇形面积，我们来看一下， 就等于三百六十分之 n 派 r 的平方，这个前面这一部分就相当于是那个圆心角 占整个周点的这个占比，然后再乘上整个圆的这个面积，看看扇形的面积占了圆的这面积的几分之几，一乘，我们就把扇形的面积计算出来了。好，我们需要注意，公式中 n 的 e 跟刚才咱们计算这个弧长他是一样的，他表示的是一度圆心角的倍数。不带单位啊，我们带带的时候这个 n 他是一个数值，不用带单位。公式啊，要理解记忆还是跟老师刚才说的啊，我们要按照推导的这个过程去记忆他是怎么推导出来的。圆心角占了 圆周角的几分之几，那就相当于是占了整个圆面积的几分之几，对吧？扇形面积占了整个圆面积的几分之几，我们拿圆形角比上三百六十度去乘以那个圆的面，整个面积就可以了。 好，我们来类比学习。扇形的弧长公式和面积公式，他们之间有联系吗？我们来看一下，扇形的弧长是 l 等于一百八十分之 n p r， 那扇形的面积公式是三百六十分之 n p r 的平方，那大 r 跟高 刚才咱们写的那个小啊，都是一样的啊，就是你只是用来表示咱们这个扇形他的这个半径，或者是圆的这个半径。 那我们来看一下，我把这个扇形的面积公式去做一个变换，下面分子，下面分母这三百六十，我给他写成什么呢？写成一百八十乘以二， 不改变它的大小，对吧？上面这个 n 派 r 的平方，我把这个 r 给它拆成两部分，拆成 nprr， 再乘以 r， 把这个 r 的平方拆成两部分，那整个式子就变成了前面的 一百八十分之 n 派 r， 乘以后面的二分之 r， 所以这个啊，并没有改变它的大小。你乘起来之后，下面还是三百六十分之 n 派 r 的平方，那我们看， 我现在把中间的 n 派 r， 我把它挪出来好，因为二分之 r 它其实就相当于是二分之一乘上 r。 好，所以我把这个二分之 r 二分之一挪到前头，把一百八十分之 n 派 r 挪到中间，把 r 放在最后头。那 刚才咱们这个一百八十分之 n p r 就是等于咱们这个 l， 所以把中间这个 n p r， 我们给它换成 l， 扇形的面积公式跟弧长的面积公式就有了关联， s 就等于二分之一 l r。 好，扇形的面积啊，就等于二分之一 l r， 这个 l 就是我们的弧长。假设下次有道题直接告诉你这个弧长，让你计算这个扇形的面积，我们直接可以代代数值，我们就可以把它算出来了。好，这是他的一个推导过程啊。那我们来看列， 已知扇形的圆心角为一百二十度，半径为 r， 那问扇形的面积是多少？那刚才啊，我们学了那个扇形的计算公式啊，我们一定要熟练啊，那是三百六十分之 n 派 r 的平方，我们现在把 该带的带进去。三百六十分之 n， 现在相当于是一百，这个 n 就相当于是 nn 度，对不对？ n 就是一百二十，我们不用带单位。好，乘以派，再乘以 r 的平方，我们来看一下， r 是二，他的平方是四。 好，那我们来将它进行约分，一百二和三百六，我们可以约一个一百二，他剩下一，他剩下三，所以他的扇形面积是三分之四派。好，就算出来了。如果他这半天带了单位，你这后面也要记得要带单位啊，因为他这没有 在单位，所以老师也没有在单位，我们就牢牢把握住咱们这个扇形的面积计算公式就可以了。好，我们看例三，已知半径是二厘米的扇形，那就是二等于二。 弧长为三分之四派，那就是 l 等于三分之四派，那问他的面积是多少？刚才我们推到了咱们扇形和弧长之间的扇形面积和弧长之间的一个关联， s 就等于二分之一 l r， 那我们就把 l 和 r 分别带进去，二分之一乘以三分之四派，再乘以咱们的二。好，那我们得出来，咱们的扇形就是三分之四派，但前面咱们是有单位的，所以是三分之四派。 cm 的平方是我们扇形的面积。 好，咱们还是就牢牢把握住这个公式，以及他的推导过程是怎么得来的，然后会利用咱们这个公式去 进行计算就可以了。我们来做一个小节，咱们本节课主要学习了无常的计算公式， l 等于一百八十分之 npr， 我们不要应用这个公式来进行计算。 扇形的面积公式 s， 扇形等于三百六十分之 n p， r 的平方。好，这里跟咱们这个弧长做一个区分啊，这里的面积它是一个平方，对吧？ n 同样是那个圆形角的度数， r 就是我们的半径。 好，第三个弧长， l 和面积 s 之间的关系， s 扇形就等于二分之一 l r， 并能以知一方求另一方。比如说我们知道了弧长，我们去求善行，但是我们如果知道了善行，我们去求这个弧长。反推，正推啊，我们都要能求出来，以知一方，求另一方。那咱们今天的课程就上到这里，同学们记得来评论区完成老师的作业，我们下节课见。