江苏省考折纸盒可以旋转的图形

好，各位同学，那么这节课呢，陈老师带着大家一块来学习图形推理里面六面题，这个题目我们该如何去速解？那么对于这种题型啊，有些同学呢，他不会做，还有一些同学啊， 可能你这个速度呢，做的比较慢，那么今天呢，跟着老师呀，好好学，咱们看这种题有什么方法可以解决这三道例题呢？咱们先不讲，我们最后再去讲啊，我们先看方法。 老师想问大家一个问题，我们这个六面体问题啊，或者叫折纸盒，咱们折的方向有没有要求？比如说这个平面展开图， 老师呢，给大家涂上颜色，你说我应该怎么折呢？如果你细心一点的话，你会发现出替人他的题目问法都会告诉你， 这个平面展开图呀，是原立体图形的外表面，也就是说咱们这个平面展开图，他只涂了这一层，他的底下，他的背面是没有任何图案的啊，是一个空白面。 那么咱们在折的时候呀，就有原则了，我们一定要保证把纸盒折成之后呢，带图案的这一层要呈现出来，要露出来。比如说以面衣为例，同学们， 我们把一这个面沿着这条红线在折的时候，你应该往屏幕上面折，还是往屏幕底下去折呢？ 你应该往屏幕底下去折，你只有把这个一这个面往屏幕底下去折之后，咱们还原成的立方体，是不？他才是一个带有图案的立方体啊，这一点很重要啊，折纸和 方向不能折反了，千万不能折了一个空白纸盒出来。那么老师在解决真题的时候呢，有两个方法，第一个就是通过马走日快速的确定公共点，第二个就是画箭头，可以弥补我空间想象能力的不足。我们一个一个来啊， 咱们先看什么叫公共点，在正方体中一共有八个顶点，大家应该能看到，哎，这个正方体上边四个，是不是底下四个呀？一共是八个， 每个顶点是不都必须连了三个面？以这个顶点为例，同学们，他连接了黄色、灰色还有白色，那这时候呢，老师想问大家一个问题，平面展开图他还有多少点？你可以数一下，一 二三四五六七八九十十一十二十三十四，数变成十四个嘞，数肯定是变多了，怎么就从八个变到十四个了呢？意味着什么？大家可以思考一下，它意味着我们再把这个立方体啊给它拆开的过程中， 我们把有些点给他分加了。举个例子啊，同学们，以这个点为例， 比如我把这个点命名为是点五，好，此刻在平面展开图里边，这个点是点五，这个点呢，也是那个点五，你应该能看出来，同学们， 我们黄灰白、黄灰白，是不是就这三个面啊？这条边，这条边啊，是不是就是这两条边？也是这 这个缝给他这么一剪，给他拆开的吗？其实这个点和这个点啊，都是点五，你说为什么从立体图形到平面展开图点变多了？因为我在拆纸盒的过程中，你本来是一家人，你本来就这一个点五，我是不是给你拆成两个了呀？甚至有的可能给他拆成三个了， 八个零点，如果咱给他有编号一到八的话，有些点是很幸运的，他没有被拆过，就是咱们平面展开图的拐角处。同学们，你看点一点二、拐角处啊，点三 点四，他们很幸运，没有被拆过，因为你发现在平面展开图里边，点一是不是依然连接了三个面？同学们，是这样吧，他依然连接了三个面，二也是，三也是，四也是。拐角处的点， 都是很幸运的，从来没有被拆过。我们的立体图形无非也是每个钉点连了三个面吗？ 倒霉的是谁呢？倒霉的应该是那个五六七八，他们被拆家了。而我们如何去找共点呢？ 老师的方法来了，叫马走日。马走日什么意思？在平面展开图中任意一个点呢？连着跳两次之后，落脚点就是他的公共点，就是他自己。 什么意思啊？同学们，我们玩过象棋的话，应该知道马这个子啊，比如他在这个位置， 他想去走，必须是不是挑日子的对角。哎，他只能这样去走，挑日子的对角就可以了啊。那举个例子，比如是这个点，考试的时候，你告诉我他是点一，我能一眼就看出来他 的共点在哪。你看啊，跳两步，往这是不是跳了一个日子呀？再往这是不是跳了两步了呀？那这个落脚点就是他自己，这就是点一，这个方法是非常快的。哦，原来在这个平面展开图里边，他和他 其实是一家人，他们是同一个点，再给他找一个啊，比如说，我把这个命名为点二。牛老师，你一秒钟就给我找到他的共点，可以 跳一下，跳两下，是不是这个地方就是他的落脚点嘞？没问题吧？你再比如说老师，这个点，我把它称为点三，他，他的家人在哪啊？他的供点在哪啊？还跳两步呗？ 往这跳了一步，往这跳了两步，那这个落脚点就是他，他俩绝对就是公共点，能理解吗？同学们，任意 一个点啊，连跳两次之后，落脚点就是他自己了，就是他的共点。当然，这种拐角处啊，同学们，比如说这个点四，你就不需要再去找他的共点了。为什么呀？拐角处的点都是很幸运的，他没有被拆解过，他依然连接了三个面吗？对吧？ 我们立体图形，每个点无非也就是连三个面而已。像这种拐角处的点，他是很幸运的，没有被拆过。以这个点为例，同学们，我把它称为点六，你来快速的判断他的共点在哪。 跳两步，往这跳了一个，往这跳了两步。好，那这就是点六了。也就是说，把这个平面展开图还原成立方体之后，这个点和这个点一定是同一个点。就这么简单啊，大家可以截个图，自己再去练两次来。那你说老师这个方法 有什么用吗？咱们通过真题去练习使用一下啊。他问咱们这个纸盒呢？削掉了一个角，哪一项不是他的展开图？那咱来判断一下，通过左边这个立体图形的观察，你们知道这个点呢？连接了三个缺口啊。好，咱直接去判断， 找找你的共点，跳一步，跳两步。嘿，你们还真是共点，对吧？从这再重新开始，跳一步，跳两步，知道了这三个缺口处是不是确实是同一个点，因为他们都能通过马走日连跳两步连起来。 好，咱再验证一下 b 选项啊， b 选项，比如从这个点开始，往这跳了一步，往这跳两步。嗨，落脚点确实也对，比如从这个点开始，跳了一步，跳了两步， b 是不是也没问题啊？ b 也是正确的啊， a、 b 都对，那 c 选项呢？ c 一步两步，哎，落脚点没问题，比如说再重新开始 往这跳了一步，再往这跳两步，坏了，出现问题了。同学们， c 这个点啊，应该在这个位置出吗？你应该是缺口吗？三个缺口都在同一个地方，所以说 c 就错了，然后 d 选项 验证一下，跳一步，跳两步，哎，缺口数很完美，从这开始，跳一步，跳两步，缺口数是不是也很完美啊？所以这个题咱选 c 就可以了， 它是很科学的一个方法。为什么推荐大家用这个马走日啊？因为它真的很快，我只需要瞪一下就能知道了。哦，原来在平面展开图里边，谁和谁是同一个点，再来练一个啊。同学们，这就是这个标准的真题， 给咱们一个平面展开图，问咱们 a、 b、 c、 d 谁是对的？能折成吗？好，咱来看啊，这种题我们需要判断的是什么呢？是选项里边 立方体这三个面是不是相对位置是否正确？那我会怎么做呢？我会在这三个面里边随便挑一个，我默认某个面正确，把这个点给他找到，比如说把它称为点一。同学们， 这个题我默认这个面正确。这个点一，在咱们平面展开图里边哪个位置呢？是不是应该是在这个位置？ 点一啊，应该在这个位置。好，咱们平面展开图里边点一，连了黑面，连了空白，你不老实了， a 选项你连了黑面没错，但是你没有连空白，所以 a 是不是就排了？咱再看一下 b 选项，同学们， b 选项这三个面，你说老师 你在做的时候，你喜欢默认哪个面正确呢？我不得不告诉你，我喜欢默认右侧面正确，为什么啊？因为咱们都不傻，你看这个黑面啊，还有这个一个大斜线的这个面啊，他是不好确定方向的， 他是不利于我确定这个点到底在哪，所以咱们尽量给自己省事。我默认右侧面正确，那这个点如果把它称为点二的话，在平面展开图里面，点二在哪呢？是不是一下就看出来了，点二在这，就是这个小三角形尖这个位置吗？是吧， 那你得问老师了，老师你的马走日怎么用啊？考试的话我默认右侧面正确，我一看这个点就在这个位置，好马走日跳两步，往这跳了一步，往这跳了一步，这个也是点二。我们刚刚往这跳了一步， 往这也是不也是跳两次呀，这个也是点二，你看吧， b 直接排了，为什么你 b 选项怎么点二连了一个黑面呢？平面展开图啊，点二是不是都是有一条线穿踏而过呀？所以 b 直接排掉，我也是不会动手的， 只是为了给大家去讲题，所以我去标一标，那真考试的话，我点二连跳两次，我就知道了，他根本就不会连这个黑面说就排掉了。再比如 c 选项 c 选项，你说老师你喜欢默认哪个面正确，那这个我默认这个面吧，都可以啊，默认这个面正确，那这个点如果把它称为点三，请问点三在平面展开图的哪个位置处？ 点三是不是应该在这啊？你得把这个面啊，给他顺时针旋转个一百八你就知道了。点三应该在这个位置处，我们的点三连了空白，你 c 选项不老， 没连空白面排掉，那只能是四 d 了，考试时候就选四 d， 当然 d， 咱现在不是考试，可以验证一下他这个点呢，如果把它称为点四的话，你会发现他有特点。点四连了一个黑面，是不还能连了两个空白大直角？两个空白大直角， 比如说把这个点称为点四啊，同学们，他没有任何问题。点四找共点，跳一步跳两步，是不？确实没问题啊，好，跳一步跳两步，这个点是不是也是点四呀？他肯定也没问题吗？那这个题咱选四 d， 通过这两道练习题啊，同学们，大家一定能够掌握马走日是什么意思了。哦，原来他是很快的找共点的方式来，咱们再来第二个技巧， 朋友们，叫画箭头，这个画箭头啊，他有一个非常好的地方，就是可以避免你的空间想象，比如说程程老师问你同学们呢，这个立体图形的正面就这个面啊，红色圈出来，这个面在平面展开图里边存在吗？ 同学们思考一下， 存不存在？你可能说老师，这个面不长得有点像，这个也有点像，这个吗？应该存在吧，不，你要告诉我，他根本就不存在，这个地方是大家容易出错的一个点， 为什么啊？同学们，你乍一看感觉是不是很像啊？其实我要告诉你，他根本就不是同一个面，怎么判断啊？画箭头，举个例子，我从这个视角画个箭头，同学们， 从这个梯形这个地方不是有个梯形吗？这个地方啊，同学们，是不是有个梯形啊？对吧？你从梯形的长边往短边画个箭头，这个就代表咱们的脸朝这个方向看过来的。沿着箭头看过来啊，你会发现 这个小直角是不是在我的右上角，在我箭头的右上角，那咱们来判断一下方向，以这个面为例，我从长边看到短边，从梯形的长边看到短边啊，划了箭头看过来，这个角是跑在我箭头方向的左上角嘞， 是这个意思吧，所以说肯定不是这个面，那能是这个吗？试一下从长边往短边看过来，划箭头，从这个梯形的长边往短边看啊，你这 个直角是不还是在我箭头方向的左侧呀？在这个箭头方向的左上角还是左上？你们知道？同学们，哎，很遗憾，我们这个都叫右上角，你这俩是不是都是在左上角？就说白了不存在这个面，可以这样直接去排除啊， 这叫画箭头。那程程老师呢，想问一下大家，这个方向大家能不能吃的开？能不能判的出来？你看啊，我这个箭头看过来，这个五角星在我箭头的什么侧，是不是在我箭头的右侧呀？ 这个你能直观的看出来，那我重新给大家画一个，比如说我画这样一个箭头，这个五角星在这，这叫什么侧呢？五角星是不是还是处于我箭头方向的右侧呀？你这个小能力还是 得有的啊。同学们，我再给大家画一个，比如说我画了这样一个箭头，从这个视角看过来，这个五角星是不还是处于我箭头方向的右侧呀？你要理解啊，同学们，是我箭头方向的右侧， 来，我们来个练习题，黑面白面，让咱们找这个对应边啊，就一二三四分别对应的 a、 b、 c、 d 哪一个啊？咱们来看一看，画个箭头， 同学们，从黑面往白面看， a 是不是在我箭头的左侧呀？好，同样的视角，出发，从黑面往白面看过来，画了一个箭头，此刻在我这个箭头方向左侧的是不是二了呀？那二就是 a 吗？ 我们右侧是 c， 对吧？好，那此刻在我这个箭头右侧的是不是就是 e 啊？那就是 c 嘛。当然，三就是箭头指向的地方，三是 b 啊。出答案，二是 a， 二是 a， 二是 a， 一是 c， 一是 c， 一是 c。 好，再找找，三是 b， 三是 b。 错了，选 a 这个题啊，再选 a， 选项。 来，再来一个题，同学们，这个词啊，咱看能不能把老师讲的马走日快速确定共点，再加上画线头，快速的弥补你空间想象的不足，把这种题全解决掉，你看陈老师怎么做啊？来，咱们来判断一下，你说这个 a、 b、 c、 d 谁？对啊， 我也不挑，考试的时候从 a 出发就可以了，找这个点，这个点在原图里边是不是就是这个点，我给他命。 比如你这个点叫点一，那咱们这个地方你也得叫点一，对吧？点一真的连了右侧面吗？判断一下， 马走日来了，快速找工地，考试的时候直接瞪着眼睛看，跳两步，到这跳了一步，到这跳了一步。嘿，你也叫点一，我们的点一连了这个小三角形，这个面，你的点一是不是确实也连了这个小三角形这个面啊，别太开心啊。然后呢，画箭头，再确定一下方向？ 我画箭头，从梯形的长边往短边看，你的点一在我箭头方向的左侧，而且是左下角。 好，从梯形的长边往短边看过来，划箭头。你一在我这个箭头方向的左侧，而且是不是也是在左下角？所以 a 是正确的，选 a 走人这个题昂，同学们就结束了，他是 很快的。那这里边程程老师呢？ b、 c、 d 就不讲了啊，他肯定有错误。我想问大家一句，四 d 这个正面存在吗？ 来判断一下同学们四 d 这个正面存不存在？比如老师，这个大灰色的梯形，那不就是这个面吗？ 如果你这样回答我呀，陈老师得伤心了，他，是啊，不存在的，这个面是错的。为什么啊？同学们，画箭头啊，比如说，这次咱是从短边往长边看，画个箭头就可以了，你的空白直角是不是在我箭头的右侧呀？ 好，保持同样视角出发。从短边往长边看，咱得保持同样的视角去画箭头吗？你的空白是不是跑我箭头左侧来了？所以他俩肯 肯定不是同一个面啊。第一，这个面就没有这个面是错的，不存在一定要划箭头判断他是不是同一个面，不能只是乍一看长得想死，那不可以啊， 来，再来练一个一九年的国考题，你看陈老师呀，怎么用马走日，再加上花箭头快速解决这三个面，你看哪个面好欺负呀， 这个面肯定不行啊，因为他是啊，中心对称图形，不好确定这个点到底在哪，这右侧面也不好惹，咱就找这个顶面， 默认顶面正确。这个点如果把它称为点一的话，点一是不是就在这个位置呀？你能很快找到这个面吗？好，那点一真的连了瘦瘦的菱形和这个吗？找一找，确实连了这个面，没错，对吧？你的右侧面也对了， 马走日，快速找空点，跳一步，跳两步，哎，这个是点一直接排，你的点一明明是连了这个小小的菱形，而不是这个瘦瘦的菱形。说 a 就排， 你会发现这个过程是很快的。同学们，因为陈老师在考试的话是不会标这些点的，我就直接看就可以了啊，这个点，这个点不就在这吗？跳两步一二啊，你连的是那个胖胖的小菱形，而不是连这个面就排了吗？大差不多两三秒排一个选项， 那 b 选项，你说这几个面哪个好欺负？我不会喜欢这个，也不会喜欢这个，因为他们都是啊，中心对称图形，不好确定这个点在哪，我会默认顶面正确。那这个点如果我把它称为点二的话， 点二是不是就在这啊？点二在这找共点，跳一步，跳两步，哎， 点二在这，对吧？咱判断一下你的点二连了这个瘦瘦菱形吗？嘿，还真连了，是不是连了这样一个瘦瘦菱形啊，这时候你千万不要开心，这种题难就难在哪了， 乍一看是同一个面，其实不是，怎么办呢？画箭头去解决。同学们，画箭头啊，保持同样视角出发，比如说我沿着他瘦瘦的这个方向给他画个箭头， 沿着这个方向给他画箭头。点二是不是在我这个箭头方向的左侧呀？而且是啊，左下角是吧？ 左下角在我箭头方向的左下角啊，你来看一下，你来看一看。咱这个点二真的在这个瘦瘦的方向的左下角吗？我画的箭头看过来，是不是他跑我左上角去了呀？点二是不是在我箭头的左上角，这才叫左下角， 这个地方才是左下角啊。所以说 b 就拍了右侧面，画错了。乍一看你老开心了，哎，好像是对的，其实呢，他不对，一定要画箭头啊。 来，那 a b 都不对，咱再验证一下 c， 给 c 选项一个机会呗。 c 选项哪个面好？欺负？这个面不喜欢，这个面也不喜欢，那就右侧面，默认右侧面正确。这个点如果把它称为点三的话，在原图里边，点三是不是应该在这啊？ 在这啊，如果你不好想象的话啊，怎么办呢？划箭头呗，从这个大三角形的 底下，沿着这个方向看过来，三在我的右上角，从底下往尖看过来，三是不是在我右上角？这个点肯定就是点三啊，很快确定下来了，那点三真的连了正方形和这个射手菱形吗？拿走， 快速跳两步，往这跳了一步，往这跳了一步。好，这个就是点三。点三真的连了正方形，方向肯定是对的，因为这种啊，没有方向感，随便你怎么转，重点判断这个菱形，我画个箭头， 你这个点三在我这个箭头的右上角，你看，同样的视角，出发画个箭头，点三是不是还是可以在他的右上角点三，此刻在这个箭头的右侧，而且是右上角， c 对选， c 走人。这个题叫结束了。 当然，这个题呢，陈老师还想验证一下四 d， 再给大家去讲一讲，这三个面，哪个面好欺负呀？肯定是右侧面，右侧面不是中心对称图形，对吧？默认你正确这个点，我现在把它称为点四。好，那点四在原图里边是不是应该在这个位置嘞？ 应该能看出来啊。沿着这个方向看过来，他在我的左上角吗？沿着这个方向看过来，左上角就是点四，在这点四连了一个正方形，哎，你这没有了底，拍掉这个题结束了啊， 再往下，同学们，就是咱们这立体了，可能立体呢，有些变形题大家可能做起来比较难，但其实现在你用老师的马走日搭配花箭头足以解决。举个例子啊，同学们， a、 b、 c、 d 哪三个不一样呢？找那个另类的啊，咱来看一看，谁是不一样的。 我，这时候我可以随便长个面，比如说这个小正方形。同学们，马走日啊，正方形，从这个视角看过来，他的左下角这个点连了谁呢？哦，连了这个面还连了 谁呀？马走日，一步两步。哎，你俩是同一个点，是不？还连着这个面，没问题吧？同学们，我给他命个名吧。比如这这两个点都叫点二。 看清楚啊， a 选项，我画箭头的这个面的左下角这个点，他连接了这个球，也连接了这个球，对吧？好，咱再看一下 b 选项， 先把这个面找到，画个箭头。同样的视角画个箭头啊，咱是从底下往上看的吗？你也从底下往上看左下角这个点，对吧？那这个点，左下角这个点连了谁呀？跳两步，一步两步还二在这坏了。 你的点二怎么连了这个面和正方形呢？ a 选项可没有连正方形啊。同学们， a 选项是不是他的左下角连了两个球啊？你连了什么呢？你连了一个正方形？哎， a 和 b 不一样了，看看 c 和 d 占谁的。对，先把这个面找到在这，从这黑色往白色看啊，我们找的是左下角这个点连的谁？嗨，连的正方形， bc 是一伙的， bc 是一伙的啊，那 d 呢？验证一下 左下角这个点是不是他也连了正方形？这个面是这样的吧， b， c d 是一样的。 a 错了啊，拍掉 是不是很快？同学们，那再看一看，你们比如说上课之前做这个题啊，哪个不一样啊？这是二年的练考题。 还是找一个比较吸引你的边边角角上找一个就行。比如说这个面，我就找这个点吧，这个点也比较好确定。比如说点二，他连了谁呢？连了这个面还连了谁？马走日。哎，一步两步好了，点二此刻全了，因为他是不是已经连 借了三个面？来，咱来判断一下啊。 b 也是这么连的吗？这个点先给他找到点二吗？好，跳一步，跳两步， 点二还在这，目前看着好像没啥问题啊。那 c 选项这个点是点二，你连了这个面没错，你还连了谁啊？跳两步， 往这跳一步，往这跳两步。好，这个点是不是也是点二？点二是不是也是在这个空白扇形的直角处呀？你看目前点二是不是都是在空白扇形的直角处？ 都没有错，那得是低血压的问题了。有可能啊，这个点试一下。点二，跳两步，一步两步，这个点是点二，当然啊，重新跳一步两步，这个点是不是也是点二？此刻点二是不是连接了三个面嘞？ 可是连的这三个面有问题了。同学们，你能明显看到啊，连的这三个面绝对有问题，我们 a、 b、 c 都是连谁啊？连这个小直角三角形的面，对吧？你可没有连这个小直角三角形的面，你连的是一个两个曲线， 你可以根据这个把底排掉，当然，你也可以根据什么呢？我们的点二是不是都是在空白直角处呀？你的点二怎么没有跑到这个位置来呢？怎么跑这个位置来了？是不是也可以再把底排一遍？都可以啊， 这就是画箭头搭配马走日，很快可以解决来。同学们，看这个题，问的是 a、 b、 c、 d 和一二三四对应起来，那你说 这 c 和 d 啊，肯定对应的是一和三了，对吧？ a 和 b 肯定对应二和四里边的，你到底是怎么个顺序呢？那一三一可能对应的是 d， 一是不是有可能对应 c 啊？怎么办啊？你会发现黑面和灰面是有一个棱把他们连起来的，那这条棱到底是在这还是在这呢？ 试一下朋友们，马走日其实可以快速确定，比如说啊，这个点我给他称为点五，他的共点在哪？同学们，马走日跳两步，一二，这个点是点五，应该还有一个，因为目前点五只点了两个面，一二，哦，点五在这 是这样吧？好，咱再来看啊。同学们，这个点如果把它称为点六，点六的共点在哪呢？一步两步是不是在这啊？到这你就懂了，我们这条红色的棱就是这个五六，这条棱就是这条棱， 因为在咱们平面展开图里边，这个五六啊，肯定是同一条棱了，五六是同一条棱，对应位置不就出来了吗？ d， 五六这条棱 c， e， 五六这条棱三，对吧？那 d 就是 e， c 就是三嘛， 这个也很好对应了。四这条棱二 a， 这条棱 b， 对吧？ 答案就出来了啊，那一应该是 d， 然后咱们二的话是对应的是 b 啊，选 c 嘛， 你可以这样去解决，也就是说，我们的马走日，除了确定共点以外，你还可以通过找到两个共点，是不是确定那个公共边啊？五六这条边其实跟这条五六折起来之后一定会重合，就是这条红线。 再来一个例题一，那这题怎么办呢？这个题应该也够难了吧，同学们，有两种处理方式啊。第一种啊，就是你要清楚，咱们平面展开图拐角处呀，就这种拐角处，他肯定呢是公共边，就是当你把它还原成立方体之后， 这两条红线一定会重合，这是毋庸置疑的拐角处啊，那同样的道理，咱这个面虽然是小了点，但你这也有个拐角吗？你这么一折之后，他肯定重合了，你把这个面啊给他转过来就行。 转过来之后画成什么样子呢？是不是应该就是这个样子嘞？有这样一个箭头，我给大家画大一点，放大一下， 它就是这么一个位置关系啊，又朝这儿的，又它朝这儿， 因为你把这个面逆时针转过来，他就是长这个样子，到这足以选出二 b 选项来了。同学们，有这个位置关系的，有这种位置关系的，只有二 b 这个地方有。仔细看一看啊，是这样吧，尖头尾巴， 一种交叉相连那种感觉。选二 b 选项，那再一个，你说陈老师，我能不能把这四个面全给他还原出来呢？你看陈老师怎么做啊？同学们， 我会用马走日搭配上花箭头，把它还原出来，我们这个题它难在哪呢？ 他给了五个完整的面，一二三四五，但是咱都知道这是六面体啊，有一个面他拆开了，对不对？好，那我现在呢，想办法去还原他，你看老师怎么还原啊？举个例子， 我想把这个面给他搞过来，对吧？到底是哪个位置呀？你直接马走日找他的共点就可以了，从这个点开始啊，跳一步，跳两步。好了，你能知道这个点一是不是就是在这个位置呀？ 我们的箭头和这个点一是什么位置关系？是箭头方向，咱就不用画箭头了啊，因为他已经给咱画了一个了，就相当于咱画了这样一个箭头。从这个方向看过来，他点一是不是在我箭头方向的左侧，而且是左下角，对吧？那这个箭头怎么画呢？你应该这么画吗？ 这么划过来，点一在我箭头方向的左侧，而且是在左下角，这不就还原起一个来吗？这个怎么还原啊？马走日跳两步，一步两步，这个点也是点二，还没到这个面来，再跳两 二还可以跳一步两步，这个也是点二好。此时此刻，同学们，我箭头方向看过来，点二在我箭头的右侧，而且是右上角，我应该怎么画他了呢？ 从这个方向看过来，点二在我箭头方向的右侧，是不？而且是右上角，得多合适呀？当然，这个面的话，咱就直接转过来就可以了，你看吧，同学们选哪个？我们把这四个面为他画大一点，四个面的样子， 这个就是 b 选项，怎么看呢，你应该把它逆时针旋转九十度，就成了 r b 这个样子了。好吧， 那么这节课的最后呢？这节课时间比较长了啊，陈老师呢，还是重点去讲了两个方法，第一个就是马走日，快速的找共点， 第二个就是画箭头，弥补你空间想象能力的不足。这两个技巧一块用足以解决。绝大都是题目啊，变形题都可以解决，而且呢速度是很快的，你用熟了之后甚至都不需要动笔，只需要盯着眼睛看就可以了。那这节课咱们就先到这啊，同学们。

这种题记住，黄老师喜欢给他们编个号，我们要有，要，我们要有我们的暗号啊！我们有一个母图，这叫不是我们图，我们可以旋转让他变成我们的母图啊。然后首先对立面排除一三二四 五六对对面啊，然后平移，谁能平移一四？平移四格不变， 一跑到四的右边去，四跑到一的左边去，只要平移，然后旋转旋转一个格，你说公共点公共编那种方法，嗯，真的是太慢了啊，平移一个格大家都能看明白，旋转两个格才难呢。 旋转两格，如果旋转两格，一般都说的是五六哈，如果五六是中 新对称，那么旋转移动两格不变， 如果非对称，非中心对称，上变下左变 有，真的，无论你立体空间感怎么样，你练好我这个方法真的就是秒杀题啊。来，各位，我们来看 a 选项 a 选项，我把它转过来。你首先六号位，如果是这个样子，他上面必须得是白的，他上面必须得是白的，上面不能是他，不能是二号图， a 选项错误，完事了， 那 b 选项 b 选项，大家看华老师画哈。首先把它平移四个格不变，他是这样的，旋转九十度，这样没毛病。 一号位图横移过来看，跟避雪箱是不是一模一样啊，跟避雪箱是不是一模一样， 非常的完美。同学们再说一遍啊，这是一号位，一号位直接平移过去不变，他直接平移四个格也不变，然后旋转九十度，就是 b 选项的样子，听懂了吗？好， c 选项五六对面 肯定不能挨着，五六对地面的选项二四对地面不能挨着。所以这道题答案选 b， 不仅要快速的选到 b， 还要不？不仅要选对比，还要快速的就十几秒完成这道题。

哈喽，大家好，本节课咱们来学习图形推理，三十秒拿下折纸盒。先来看一道题目，遇到折纸盒的题目，直接用箭头法。先来看 a 选项，找一下这三个面在原图中的位置，对应的分别是这三个面 根据相对面没法排除，所以咱们来找一下基准面，比如说也右面作为基准面，这条线对应的就是这一条。然后咱们先画一个向左的箭头，对应的原图形应该就是这样的，所以要把这个 t 字 给他滚动九十度变成这样，所以向左的箭头可以对上，没问题。然后再画一个向上的箭头，对应原图就是这个，所以咱们要把这个三角形给他滚动 过来，就变成了这样的，所以向上的箭头也可以匹配上，没问题，考场上直接选一走人，就是这么简单粗暴。市面上给的解析啊都非常的繁琐，什么共编法啊，时针法啊，都非常复杂，难理解，并且做的慢， 尤其是对于空间想象能力差的同学，简直就是折磨。今天学了箭头法以后，下次再遇到这种题，妥妥的就是送分题。接下来咱们给大家详细讲一下原理，接下来你要听到的事情对你来说可能过于震撼，你 最后有心理准备。箭头法其实就是三步走，第一步，依次分析选项，找基准面。比如说咱们来看一选项，先找一下这三个面在原图中的位置，对应的 分别是这三个，根据相对面没法排除，所以找一下基准面，比如说以正面或者说前面作为基准面，这条线对应的就是这条线。 接下来呢，将箭头画在展开面相同的位置，也就是 a 选项，你给他画一个向上的箭头，在原图里呢，也画一个相同方向的箭头，你看箭头的上方 对应的这两个图形是不长得不一样啊，说明 a 选项直接就能排除。再来看一下 b 选项，先找一下这三个面在原图中的位置，对应的分别是这三个， 那根据相对面没法排除，所以咱们来找基准面，比如说还是以正面作为基准面，画一个像 上的箭头，对应的呢？应该就是这样的啊，所以向上的箭头没问题，刚好可以匹配上。再来画一个向右的箭头，对应原图 就是这一个，你看向右的箭头刚好也能够匹配上，说明 b 选项就是对的，考场上直接选 b 走人。然后咱们再来看 c 选项，先找到这三个面， 对应的分别是这三个啊，这个时候你会发现这三个面他没有挨着，所以咱们要利用三位归一， 先把这三个面给他挪到一起。什么叫做三位皈依呢？就是三种技巧。第一种是九十度角的面直接滚动一百八十度角的面，上下颠倒，比如 比如说这个字母 b， 你给他滚动九十度，那他其实就变成了这个形状，如果再给他滚动九十度， 就变成了这个形状，那所以像这种九十度角的面和一百八十度角的面转完了以后的形状，大家一定要非常熟练。那接下来咱们再来看第二招，是一四一结构，首尾平移。 给大家举个例子啊，比如说这就是一个正方体，你可以把它想象成一个魔方，现在你用手指同时捏住他的上底和下底， 前后左右这四个面他就可以进行转动了，是吧？也就是上底面和下底面不变，前后左右这四个面可以 来回的转动啊。所以像这个 a 面，你可以直接给他挪到最右面， 方向不变，或者说这个 f 面呢，也可以给他挪到最左边，是吧？形状也是不变的，这就是一四一结构，首尾可以直接平移。再来看第三招， 二二二三三结构，直接左上到右下瞬移，你看左边，这就是二加二加二的结构，然后左上角的这一个可以直接瞬移到右下角， 他的方向是不变的，右边就是三加三的结构。同样的道理，也是左上角这一个直接可以瞬移到右下角，他的方向是不变的。那像这个证明也非常简单，你给他多 滚动几次就可以滚过来了。但是对于大家来说，你不需要知道怎么挣，只需要记住结论会用就可以了啊。所以这三招就是三位归一， 可以帮助咱们快速把那三个不挨着的面让他们挨在一起。还有一招技巧叫做相对面排除， 这招啊，很多同学应该之前都学过，咱们大概的来梳理一下，比如说这里的 a 面和 c 面就是相对面，他不可能同时出现，对吧？像这里的 b 面和 e 面也是相对面，不可能同时出现。 接下来咱们找一些题目让大家加以练习。 好，咱们来总结一下箭头法，就是三步走，第一步，依次分析选项，找基准面画箭头，然后将箭头画在展开面相同的位置，判定四周是否满足，如果满足的话，再画第二个箭头，判定是否满足， 用到的两个辅助技巧，一个是三位归一，一个是相对面排除， ok， glass， very happy 啊！好，接下来咱们找一些题目让大家加以练习。一起先看一选项，找一下这三个面 在原图中的位置，对应的分别是这三个，根据相对面没法排除，所以咱们来找一些基准面，比如说也正 正面这个作为基准面，先画一个向右的箭头，对应原图也画一个，所以咱们需要把最左边这个面，那根据三位归一的第二招，一四一首尾平移，直接给他移过来， 你看向右的这个面，他就是满足的。然后再画一下向上的箭头，这个时候需要把最上面这个面给他滚动两次，也就是一百八十度啊，一百八十度相当于是上下旋转啊，是吧？所以 画一下横着这条线不变，竖着这条线本来是偏左的，你给他旋转一百八十度，他就要偏右了啊，所以看一下向上的这个面，是不是就不满足啊？ a 选项就可以排除。再来看 b 选项，先找到 这三个面，在原图形中对应的就是这三个，这个时候你发现最上边这个和最下边这个他是相对面啊，是吧？不可能同时出现，所以 b 选项直接就可以排除。再来看下 c 选项，先找到这三个面， 那对应的分别是这一个，这一个，还有这一个，根据相对面没法排除，咱们来找一下基准面，比如说以正面作为基准面，对应的就是这条线， 先画一个向上的箭头对应原图，那刚好是满足的。再画一个向右的箭头，那这个时候依然是把最上面这个面要滚动一百八十度，所以啊，他应该是这样的， 你看向右的这个箭头和原图刚好就是满足的，是吧？这条横线在箭头的下方，这条横线在箭头的下方，所以 c 选项就是满足的，考场上直接选 c 走人啊。 d 选项大家可以自己分析一下。 第二题，先来看一下 a 选项，找到这三个面，在原图中的位置，对应的分别是这三个，然后你看这两个他就是相对面啊，不可能同时出现，所以 a 选项直接排除。 再来看 b 选项，先找到这三个面，你看像这个面和这个面都好找，右边这个面他其实有两种情况啊，所以啊，不好分析，咱们就直接找一下基准面，比如说以他作为基准面，画一个向上的箭头，他对应的呢，其实应该就是 以它作为基准面，向上的，咱们需要把这几条线给它滚动过来， 所以你看向上的这个箭头，它就是满足的呀，再画一个向右的箭头，对应原图也画一个向右的，这个时候需要把左上角给它瞬移过来呀。 那接下来呢，像这个你还得再给他滚动九十度，就变成这样的了， 所以你看向右的箭头好像也没问题，他也是满足的，考场上直接选 b 走人，剩下两个选项大家可以自己分析一下。第三题，咱们先来看 a 选项，找到这三个面在原图中的位置对应的，你像这个 是只有一个，但是像这个黑的有两个，像白的也有两个，所以咱们直接找基准面， 比如说以正面作为基准面，这条线对应的就是这条线，先画一个向上的箭头，你看向上的箭头，原图对应的是白的， a 选项对应的是黑的，所以 a 选项直接排除。再来看 b 选项，先找到这三个面，对应的也就是这三个。 接下来咱们来画一下基准面，你像这两个白的，他有两个图，所以你可以以上面作为基准面，他情况是唯一的呀，是吧？所以这条线对应的就是这条线， 然后你看，先画一个向下的基准面，刚好是一个白的没问题。再画一个向右的基准面，刚好也是这 这个白的没问题。考场上直接选币走人。剩下两个选项大家可以自己分析一下。好，咱们简单总结一下，再继续做题。六、面体折纸盒就是箭头法， 那具体来说呢？分成这三步走，用到的两种策略，一个是三位归一，一个是相对面排除。像图推里所有的核心考点和技巧都给大家整理成了思维导图，你像这就是对称图形， 这个就是普通图形，还有立体图形，整理的非常详细，需要的同学直接找我领取，霸气外露。 好，咱们继续看题。第四题，先来看 a 选项，找到这三个面在原图形的位置，对应的应该分别是这三个，你看像这两 两个图就是相对面啊，不可能同时出现。 a 选项直接排除。再来看 b 选项，先找到这三个面在原图形中的位置啊，对应的就是第三个。根据相对面没法排除，咱们来找一下基准面，比如说以正面作为基准面，画一个向上的箭头，他对应的 那就是这一个，然后再画一个向右的箭头，这个时候就需要把最左边这个面给他平移过来， 那然后你看这个 b 选项和原图形是一样的吗？你像这里焦点是在左右两条边，而在原图里焦点是在上下两条边，所以 b 也排除。 再来看 c 选项，先找到这三个面啊，对应的分别是这三个， 根据相对面没法排除，所以咱们来找一下基准面，比如说以他 那作为基准面，画一个向上的箭头，这个时候大家注意啊，你对应的应该是这条边，画一个向上的箭头，他才能匹配上，是吧？然后再来画一个向右的箭头 啊，这个时候需要把最上边这个面给他往左滚动一百八十度啊，那就变成这样的了， 所以你看向右的这个箭头是不刚好也可以匹配上啊，考场上直接选 c 走人啊。 d 选项大家可以自己分析一下 第五题，像这个第五题啊，他和前面几道题稍微的有些区别，你看前面几道题都是给了一个二维的，问咱们选项里边哪一个三维的满足。像第五题 刚好反过来，他是给了一个三维的，问选项里边哪一个二维的满足啊？但是方法基本上是一样的，咱们根据原图形先来找到基准面，你看如果以正面作为基准面的话，你会发现正面他是一个中心对称图形， 可以上下翻转，这个时候他也就有两种情况，所以正面作为基准面不好分析，咱们可以以上面这个面作为基准面，那所以这条线对应 a 选项的话，应该就是这条线， 然后画一个向下的箭头，对应 a 选项，就是这样，向下的箭头，你看好像没问题，是吧？接下来呢，你再以正面作为基准面，画一个向右的箭头，对吧？对应原图的话，不就是这样的吗？那你看一下这个是满足的吗？好像 a 选项刚好就是满足的呀。考场上直接选一走人，那剩下的几个选项，大家可以自己分析一下。第六题，先来看 a 选项，找一下这三个面对应的 啊，其中有两个是确定的，然后右上角这个矩形他其实有两种情况啊，所以不好分析，咱们直接来找基准面。 找基准面的时候啊，你如果以正面这个作为基准面，他是一个中心对称图形，他是有两种情况的，因为他可以旋转一百八十度，不好分析。这个时候咱们可以右面作为基准面，因为他的情况是唯一的呀，所以这条线对应的 只有这条线啊。咱们先画一个向左的箭头，对应原图也是向左的，这个时候看满足吗？很明显就不满足了，像这个图在 a 选项 是在他的左边，然后在原图中是在他的右边，所以 a 选项直接排除。 再来看 b 选项，先找到这三个面在原图中的位置啊，其中这两个是确定的，另一个他有两种情况，所以咱们来找基准面，比如说以正面作为基准面，这条线对应的就是这一条。先画一个向上的箭头 啊，刚好是啊，满足的再画一个向右的箭头啊，这个时候也就是把这个矩形给他转一下啊，所以转一下以后， 你看，刚好和 b 选项是一致的，所以考场上直接选 b 走人。好，简单总结一下，今天咱们学习了箭头法的三步走，第一步就是依次分析选 要找基准面画箭头。第二步将箭头画在展开面相同的位置，判断四周是否满足，如果满足的话再画第二个箭头。那这里边用到的两种技巧，一个是三位归一，还有一个就是相对面排除。 像这种常见的技巧啊，在思维导图里给大家整理的非常详细了，需要的同学直接找我领取就可以了。好，本节课的内容到此结束，公考笔试不行就找笔行。

双箭头法秒杀四面体折纸盒问题，今天教大家一个非常简单的方法，在不需要空间想象能力的情况下，可以快速的去做题。各位同学大家好，我是北航宝贝老师，今天来跟大家分享一下，我们如何用双箭头发在三秒之内就能快速的拿下四面体折纸盒的问题。好，那么我们先通过题目呢来看一下。首先我们来看这道题， 那么做这种题的时候，第一步我们先从选项的角度去画箭头，比如说 a 选项，我们选明他左边的面做一个箭头，那这个箭头如果说我要在右图当中找到相同的面来画，我只能是这样去画， 画完之后，你观察一下，我这个阴影是在箭头的左边，而这个阴影在箭头的右边，说明 a 选项这个面跟左图的面是镜像面，是经过翻转得来的 折组合的本质是面的旋转，所以你肯定得不到翻转之后的图案，那么 a 选项我们可以直接呢把它排掉。接下来我们再往下看，来看一下 b 选项， b 选项如果我们从左侧面做箭头，大家好做，你可以从右侧面来做箭头。好，那么这个时候呢，我同样把这个箭头啊左边的这个图形当中 应该是这样去画，这样就可以保证我的箭头跟面的团方向一致。你来看我这个时候这个箭头的左侧的面是这个面，而这个箭头左侧的面他是这个面，那这两个面他也就说明 b 选项他整不出来，所以 b 也可以排掉。然后来看新选项，新选项我还是以右侧面来去做箭头，因为右侧面的方向比较好判断，对吧？那这个箭头应该是这样去画的， 然后你来看我箭头的左侧的面是这个面，那这个箭头的左侧面在这，在这的话他右边没有，但是我折成折之后，因为这条边跟这条边是公共边，所以我看这个边跟看这个边是一样的，那我在这个边的终点画一个箭头，接下来是在这个终点画一个箭头，你看我这个箭头跟图案的方向和这个箭头跟图案的方向，他长得一不一样的，是不是一样的呀？只是这个地方的这个角度稍微有点偏差，所以这两个面他是一样的， 所以说呢，这个 c 选项他是能够做出来的。然后接下来我们再往下看，来看一下 d 选项。好，那么 d 选项的话呢？我们给你讲来看的，比如说我以这个面来去直接去做这个箭头，我以这个面的方向来做箭头，那这个面你看一下他现在是这个面，对吧？他现在是这个面， 那么我以这个面去做箭头像的，那这个面跟这个面是不是也是镜像面啊？那镜像面是得不到的，所以第一选项怎么出来？本题它应该选是第三或者是 c， 这个是箭头法，然后接到我们上下看第二题。第二题的话呢？自习到比方的模考题稍微难一点。好， a 选项我直接以这个面做箭头，那么我这个箭头画到左图当中，你来找一下它应该是在这个位置，因为在这分开嘛，对吧？所以这样去做。 然后你看他右边的面，那么右边的面我们怎么确定方向呢？找到箭头右边的边的终点，然后到顶点这个箭头，箭头右边的边的终点到顶点，这个箭头做完之后，你看这一大块在箭头的左边，这两个小的在右边，这两个小的在右边，说明右侧的面跟这个面的方向是一样的，那么 a 选项他就是能折出来的，直接本题选 a 走人就可以了。 b 选项我们以这个面做一个箭头。好，那么这个箭头应该是坐在这，然后判断箭头右边的面找右边的终点，然后做一个箭头找右边的终点的右边。不是在这吗？从这开始做一个箭头。好，那你来看，我这个大的阴影在箭头的左边，而我这 就是箭头穿过的，这个阴影在他的顶点的位置，那么 b 选项右边的方向跟这个方向不一样，所以 b 选项可以排掉。好，那么 c 选项我们来看一下，我以这个面来去做一个箭头，那这个面在哪？这个面是在这，对吧？这个箭头如果要画的话，应该是这样去画， 保证这个大的阴影在箭头的左边嘛，然后来看一下他的右边，他的右边是这个面，而这个箭头的右边是这个面，这两个面长得不一样，所以 c 选项可以排掉。 d 选项我以这个方向做箭头，那这个箭头在这，同样这个面是我左边这个面的镜像面是翻转得来的，是没有办法折出来的，那么本题大家应该选的是 a。 好，这就是箭头法在折四面体折纸盒当中的一个应用，那我们来去看一下。首先第一个要记住知识，这个非常的重要，四面体的展开图在我们考试的时候呢，它主要是有两种情况，我们需要关注的是什么呢？是需要关注公共边。好，那么我在折成纸盒之后，你看 a 一这条边和 a 二这条边，他俩是不是要重合在一起啊？所以 a 一这条边和 a 二这条边 现在是同一条边，这叫公共边。那么同理， b 一和 b 二这两条边，它也要组合在一起，也是公共边， c 跟 c 二它也是公共边，所以左边的这个图形当中，它存在的三组公共边，那么右边这个图形也是一样的，这是我们四面积折纸和展开图的第二第二种方式，我折成折之后，上面的 a 一和 a 二它俩是要重合的，所以这是公共边， b 一和 b 二是要重合的。 好，那么这个 c 一和 c 二呢，它也是要重合的，所以四面题展开图当中，它用存在三组公共边，这个公共边对我们画箭头呢，是非常的重要的，这是第一步，我们要知道它的公共边。 好。第二步，我们先在立体图形当中选定一个基准面去做箭头，这个基准面往往是他的方向比较好看的，一般情况下选左边的面，左边的面方向不好判断，你可以选右边的面，因为立体图形你看到就两面，对吧？ 好，并且我们要在展开图当中相同的位置把这个箭头画出来。画完箭头之后，你就要判断一下，首先箭头所在的这个面跟展开图当中是不是一次的，因为很多时候他 出题的时候就会给你画一个翻转面，那么同时再看跟箭头相邻的这个面是不是一次的，不一次那一定就折不出来。好，那么如果说相邻的面也一次，我还要保住他的方向一次，这个时候怎么办？我们去做第二个箭头，第二个箭头咋做呢？比如说我在左边的面做了个箭头，那么第二箭头就选择箭头右边的一个面的终点，然后到顶点的位置画一个箭头。 如果说我在右边的面做个箭头，那我第二箭头就选择箭头左边这个公共边的中点，然后呢到顶点这个箭头，你根据箭头跟这个面上图案的位置关系，就能判断这个面的方向对不对？那这样的话，你就知道这个纸盒他能不能折出来了。 好，那么我们通过这个视力啊，给大家展示一下，比如说我们来看一下这个图，那么我先到他左边的面做一个箭头，你看这个箭头啊，他是穿过了我的网格，让这个点在他的左下方，那么我在画的时候，我要想穿过网格，我只能这样画。但是这个时候你看我这个点点点的这角面，他在箭头的右下边，而这 在箭头的左下面，说明这个面跟这个面他俩是个镜像面，那么这个面本身就折不出来，你就不用看他右边是不是一样的了，直接排掉就可以了。好，那么比如说我们再来看 第二个图，我以这个方向做一个箭头，那么这个时候呢，我以这个方向做一个箭头，这个时候这个面的方向跟这个面的方向一样的，对吧？我们来看一下右边的面， 右边的面都是网格加灰色，网格加灰色也一样的来判断一下他的方向，如果你直接能看出来就可以直接看，看不出来可以画个箭头，取右边的终点到顶点画一个箭头，这个，这个箭头穿过了这个横格，取右边的终点到顶点画个箭头，箭头穿过了横格， 这个灰色在箭头的右下方，这个灰色在箭头的右下方，所以说右边这个面跟这个面的方向呢？这一次，那么这个图形他是能折出来的，就是这样的一个过程。好，那么我们来看真题，比如说我们来看 a 选项以左边的面做箭头，这个箭头是这样画的。好，你看箭头的右边的面是线条，这是阴影，所以 a 选项右边的面不一致，做不出来。然后接下来我们看 b 选项，我以这个面做箭头， 我以这个面做箭头。好，那就是他右边没有了，这就用到我们刚才讲公共边的原理了，那么他右边的面是啥呢？因为这条边跟这条边是公共边，所以你看这条边和看这条边是一样的。好，那么我以右边来做一个箭头，我以右边来做个箭头，你看右边这个面和箭头的方向完全一致，对吧？所以 b 选项它是能够去做出来的。然后接下来我们再往下看，来看一下前选项， c 选项以左边的面做箭头，这个箭头这样画，他的右边带阴影，他的右边不带阴影，所以 c 选项可以排掉，然后 d 选项以左边的面做箭头，那这个箭头是这样的，那箭头的右边的面还是要走公共边，这条边和这条边公共边，所以右边的面是这个面，那他右边的面带阴影，那也不一样，所以也做不出来。本题答案选的是 b 选项。 好，接下来我们往下看，来看一下第二道题。第二道题的话呢，你来看，我先找到 a 选项，这两个面我以这个方向做箭头，箭头是相交的， a 选项这两个面做箭头，箭头是相交的，所以 a 选项，那么他就是能折出来的。这道题直接选 ab 选项，我以这个面做箭头的，这个箭头下是。 好，你看我箭头啊，然后你找右边的面，右边的面都是一个三角形，方向不好判断，你可以用箭头来判断一下，右边的终点画箭头，右边的终点画箭头。你看我大的这块在箭头的左边，而这个大的这块在箭头的右边，是不是说明这个面的方向错？好，有的人如果空间想象能力强一点就能看出来，你没有必要画箭头，空间想象能力弱的话，你可以画箭头来判断一下，所以 b 就错了， 然后来看新选项，这个呢？还是我以这个面做箭头，为什么不画他呢？因为这个面有两个，对吧？好，我以这个面做箭头，找箭头的左边，箭头的左边好，画一个箭头是这样的，那箭头的左边画一个箭头是这样的，这个阴影在这个箭头的右边，而这个阴影在这个箭头的左边，说明这个新选项这个面的方向错了。然后接到我们看 b 选项，我以这个方向画箭头，我以这个方向画箭头。 好，然后进来，我再往下看，箭头的左边画一条线，那这个箭头的左边是在这，因为这条边和这条边是公共边，对吧？所以我这样去画一条线，你看我这个线跟这个面的位置和这个线跟这个面的位置是不是也不一样啊？所以我们第一选项他左侧面的方 也错了，本题答案选的是 a。 好，那么像关于箭头法对于折纸盒过程的一个作用啊，不光是体现在我们的四面题当中，六面题呢，我们依然也可以用箭头法来去解决纸盒的问题，而且非常的快。那么相关的知识呢，已经系统的帮大家做了下的梳理，完整的去送给大家，而且是免费的，大家如果有需要的话可以直接来联系我。 好，现在我们再往下看，我们来看第三题，那么第三题的话呢，他说我上面这两个是四面体的表面，为你展开之后，那我直接做箭头呗，所以这个三这个方向做箭头，二在他的右边。 好，我以三做方向做箭头，那么这个一在他的右边， a 选项排掉，我这个以三的方向做箭头，那他右边是这条边，也是条边还是一，所以 b 也排掉，然后 c 选项以三的方向做箭头。好，这个是二在他的右边，那么我就来判断一下这个右边的二的方向对不对？ 你看，我以终点到顶点两个箭头，他跟二是这样的一个形状，那么我以这个终点到顶点两个箭头，我这个箭头呢出现在二的左边，而我这个箭头出现在 二的右边，说明这个方向错了。好， d 选项以三做箭头，然后呢，这个是二是不是跟他一样呢？所以本题当中选的是 d， 后面这个二四呢，几乎就不用看了。好，咱们再来看一下这道题啊，这道题呢是一个选 c 的一个题目，那么这个题大家做题都可以稍微灵活点，比如说 a 选项， a 选项，你看这两条线他是连在一起的，而左图当中这两条线恰好是连在一起的，所以他一定是能折出来的，对吧？所以 a 排掉 b 选项，你看这两条线的话呢，它是相交一个顶点，那么这条线和这条线就是相交一个顶点，所以 b 选项它一定也能做出来。然后我们来看 c 选项， c 和 d 的话呢，不要判断，当然你看 c 和 d 当中这两个三角形的高线，它都是不相交的，我们左图当中一共是出现了三个高线，它俩相交，它俩相交不相交的，是不是只能是这一条和这一条它俩不相交？ 那么我可以把这个面，因为这条边跟这条边公共边可以把这个面整体给他挪过来，挪过来之后这个线应该是这样的，那么我们来看 c 选项，其实 c 选项比较好判断，我要换一种颜色，如果我这条边对应的是这条边。 好，那么这个时候你看我另一条边，就是在他的尾部，他的尾部到这个顶点画一条线，他的尾部到顶点画一条线，画完之后，那你看我这个边是不是从箭头的右边到左边，这个线跟这个线的方位是完全一样的，所以说 c 选项他也能折出来。好，那么 c 选项能折出来的情况下，我把这个再画回来， 那么我们来看一下这个 d 选项。 d 选项的话，比如说我以其中的这个边作为基准，那么我这个边如果是他的话，那我这个面出现在他左边了，而这个面在他右边不行，如果我这个面是他的话，那这时候他出现在他的底下，那我这个是他的话，他也没有出现在底下，在他的右边，所以 d 选项一定是要读出来的问题，大家应该选的是 d， 好，那么接下来我们再往下看来看第五题。首先 a 选项我们去做一个箭头，那这个箭头的话呢？在这个图当中是这样去画的，画完之后，你看我这个阴影在箭头的左边，这个在右边，说明 a 选项左边的面是展开图当中的镜像面是翻转过来的，那就没法， 所以这个 a 选项我们把它排掉，然后接下来我们再往下看来看一下这个 b 选项， b 选项当中呢，我们以这个面来做个箭头好，那这个箭头应该是这样去画的好，这个手段还是一样的，找箭头右边的终点做一条线好，找箭头的右边的终点做一条线，你看这个是黑的，而这个是灰色的，所以 b 选项它右边的面本身就不一样， b 可以排掉 第一选项，我是以这个面来去做箭头好，还是以这个面做箭头，然后右边的终点做一条线，右边的终点做一条线好， 你看这个黑色的在箭头的左边，黑色的在左边，灰色的在箭头的右下角，灰色的在右下角，说明这个面的方向跟这个面方向完全一致，提醒一下他是可以折成的。 然后 d 选项我们来看一下，以这个面来做箭头，那么现在是以这个面来做箭头，箭头的右边是黑色加灰色，而箭头的右边都是黑色，所以右边的面不一次 d 也折不出来。本题答案应该选择是第三个，应该是 c 选项。好，这就是我们的双箭头法，解决市面体的 折纸盒的问题，给大家做个总结。首先第一个，我们在立体图形当中啊，选择一个基准面做箭头，这个基准面一般是方向比较好判断的，而且把箭头呢画在展开图当中相同的位置，先判断一下这个面自身的方向对不对。 好，那么如果对的话，再看一下他相邻的面是不是一样的，如果不一样可以直接排掉，如果一样的情况下，如果你能够看出来他的方向，直接判断看不出来，可以做第二个箭头，辅助于我们去判断他面的方向。通过这几步，那么所有的市面停车者的问题都可以非常快的去解决出来。这个知识点给大家分享到这，关注我中分大学吧，带你冲刺，他能给你满分！

我们来构造一个旋转的对话啊，首先呢我们做一个竖直的一个对称轴，然后呢我们先随便做一个几何都行啊，比如说我们现在做一个四边形出来，我们选中这四个点啊， 然后这里点构造构造了一个四边形啊，那这个图形就出来了，接下来我们在四边形的边界上呢，随便选一个点啊，那这一点呢，我们来做他的这个镜像点，我们选择这一 调这个直线啊，双击，双击呢，其实就是帮他，呃，定义为我们这个镜面的这个意思啊，其实你选择这个直线，在选择标记镜面效果是一样的啊， 那我们选择刚才哎定义的这个动点，还有呢我们这个直线啊，那这个，然后我们来构造一个这个镜摄镜镜面的这个图形的点啊， 用反射功能就可以了。那点击反射之后，那这时候呢，你看啊，这个两个点他们是关于这个直线是对称的啊，也就是说我们把这个哎左边这个点进行移动的时候，右面这个点呢也会跟着移动啊，这样就构成了我们所需要的一个镜像的图形。 那接下来我们把这两个点呢连接起来啊，那你看这时候连接起来之后，我们在这个线段上来定义一个自由的点啊，那这个自由点呢？哎，这时候我们 选中刚才定义的自由点和原来的这个四边形象的点啊，这两个点我们选择来构造这个轨迹啊， 这时候呢你就会发现啊，随着我们这个自由点的移动哎，左边这个点的轨迹呢，他也会跟着移动啊，当我们移到最右边的时候，我们左边这个点的轨迹呢，哎， 他完全移动到右边去了，这样就构成了我们翻转所需要的这个图形啊，那接下来呢，我们就是一个图色的一个过程啊，我们可以 把原来这个图形呢给涂颜色也行啊，不涂也行啊，那接下来我们可以做的一件事情呢，就是来设置我们的这个动画啊，我们选择这个动点，然后呢点击这个编辑 来选择这个动画的这个按钮啊，那这个动画速度呢，你可以选择慢速啊，这样看的会慢一点，那点击我们这个动画点， 相应的这时候你会发现，哎，我们这个图形翻转是不是就已经在进行这个变换了，对不对？那有时候你觉得右边也需要弄一个区域出来啊，那这个挺好办的，你就选择，哎，这个四边形啊，你就直接选择这个图形啊，然后再 双击中间的这个分界线啊，让我们来构造一个镜像，构造一个反射，那这个反射图形是不是有的，你给他改个颜色啊，这样让我们就看起来更清楚一点。那这样我们再来看这个动画啊，这个移动的过程从左到右，哎，这是不是一个 翻折的一个过程啊？现在再来一遍，从左到右，哎，这个图形就正在实现这个翻折的动画啊，这就是我们所需要的这个效果。好，那我是张亮老师啊， 好，这个视频讲解就到这里。