数学八下19章常见几何模型

每次几分钟解决一个数学问题。大家好，我是张老师。那今天的话，我们来看一下八年级期末他的常考的几和压轴题中的模型。那么在几和压轴题中，我们常考的有三大模型， 首先，呃，包容性最强，考的最多的叫做截长不短啊，这个我们之后再说。其次的话，就是我们出现频率比较高的一线三指甲，还有今天我们将要讲的共点旋转，也称为手拉手、子母型切锁模型。 不同的老师可能有不同的叫法啊，其中叫手拉手的可能就多一些。那么什么叫模型呢？就是我们在场平时的做题过程中，根据现有的一些知识体系，我们推倒的一些类似于二级结论一样的东， 就是说像这种模型如果出现的频率比较高的话，你只要一看到图，哎，你可能就知道啊，他怎么做辅助线，他可能会问什么问题，可能给你什么条件，那么这也是我们提高效率以及区分 学的好和学的不太好的重要的标准之一。那么我们在做一个模型之前，我们一定要注意三个问题啊。第一个问题，那我们今天讲的是供点旋转，那利用什么是供点旋转呢？ 对吧？我怎么知道他是供电旋转呢？他能够带给我什么结论？常见的辅助线该如何做，那这是我们必须要搞清楚的。 第二个，也是最重要的，很多学生平时更关注的是供点模型是供点旋转是什么，我们怎么做辅助线，但是忽略了什么时候用它。你如果跟这个学生说，哦，这个你考了供点旋转，他不 不用你讲题了就会了，但你不跟他说过年旋转，他想半天不知道，所以除了我们要知道过年旋转是什么，我们更重要的是知道什么什么时候用他，那我怎么知道什么时候用呢？关键是这也是我一直提倡的一个学习观念啊，我们任何一个思维，他不是突然之间凭空产生的， 我怎么想到他的？因为是有原因的，是由一个词，一个点，一个图的一角得到的啊，那这就是我们需要去总结了。那么第三个，我们学了这个模型之后，是用来解决实际问题的，那他有哪几种常见的考法以及常见的变形，那这需要我们同学通过做题过程中去总结和反思啊。 好，首先我们来看一下什么是供点旋转，嗯，供点旋转的话也叫做手拉手模型，也叫做跟大家讲的字母型。 那为什么呢？他为什么称为这么多模型？到底是怎么给他取名字的？首先我们来看一下啊，那么像这种图形的话，他有个核心，什么核心呢？就是我们需要注意的啊， 比如说我们看到这个等面三角形里面，我把它给加粗，你们看一下这是不是一个大的等面三角形，那么在他的旁边呢，我们能够很轻易的发现有一个小的等面三角形，我们把这个小的也把它怎么样画出来啊？ 那么这样的话，我们就有两个等面三角形的，看到没有？那为什么叫他子母型呢啊？就像一个妈妈牵着一个孩子一样嘛，对不对？子母型，那为什么叫手拉手模型呢？那么到底为什么是拉着手了，那我们把这个点他们相接的一个点称为牵手啊。 那又为什么叫供点旋转呢？那如果我们看到有一个大的等边跟一个小的等边供着一个点之后，你会发现这个点小的我们假设大的不动啊，这个小的他是可以绕着大的转圈圈的，我们看到第二个图以及他延伸出来第三个图， 他们都是同一个图形，只是说这个小的等门生长线它的位置旋转了，所以称它为共的点旋转。 那么这个供点旋转在我们九年级的上册也考的比较多啊，他特别是在九上的期中考试，因为我们会学一当家旋转，当然现在我们不多说，我们依然力度八年级啊， 这是我们等边三角形，那共点旋转的话也常见于等边三角形中啊。那我们来看一下等腰直角三角形。有同学说，老师没有等腰直角啊，只有正方形啦，那我们再出八 大面积阶段啊，初二阶段，记住正方形的一半就是等腰直角，等腰直角中间再切一刀，又变成了两个小的等腰直角，我们一定要去善于发现啊，我们还是一样老规矩，我们把这一个妈妈跟孩子把它给怎么样画出来。 两个供点旋转啊，这是我们需要去注意的一个点啊。 好，这个图我们把它画的稍微有一点点偏差啊，但大家同学们注意一下就可以啊。那我们来看一下这个地方， 呃，这个刚刚我这个地方划错了一点啊，但是现在就不改了，看一下我们正方形的话，我们把它分成了两个，什么等腰直接， 那么他们是不是也是牵着这个手啊？那么在这边的话，这个手相当于就怎么样 牵出去了啊，这个地方也是一样的，那这个地方相当于他们已经把转出去了啊。共点旋转了嘛？已经旋转开来了，那我们一遇到这种图，我们就要知道哦，他可能考察的就是我们的什么东西 供点旋转，那如果你发现他是两个等于二直角三角形或者等面三角形在旋转，那又有什么用呢？我通过图形或者通过题目知道呢，等要直角两个功能点， 那么他能带给我们什么呢？那这就是我们需要去注意的啊。呃，首先通过刚刚的题目分析，我们要总结一些关键词，这关键词是用什么呢？干什么的呢？你什么时候能够发现他是有手拉手模型的，那么我们刚刚看他图的 都是比较简易的图啊，他都是有两个等腰供着顶点旋不旋转，你看图是看不出来的啊，那么题目文字里面会跟你说出来。当然我们一般虽然说等腰就够了，但是我们真正在考的时候，他们应该发现我们考的最多的是等边三角形或者等腰直角三角形， 因为他是两种特殊的三角形啊，他的应用度或者现在考试的呃，方面 侧重点方面会更多更丰富。那么这是第一阶段的，就是我们刚学的时候，我们知道有两个等腰共顶点， ok， 够了啊。那么第二阶段呢，我们需要注意的啊，就是如果只出现了一个等边， 或者只出现了一个等药指甲，我们也可以用手拉手模型固定旋转，我们这个时候就需要做出另外 一个，那么这是第二阶段，也是后期我们压住最后一门常考的，那么第一阶段搞明白之后，第二阶段的题我们就需要再去总结了。 那如果是图形呢？那么如果你如果是想通过图形去看，能不能朝这方面去思考的话，一定要注意哦，你不需要百分百确定他是的啊， 只要有长得像的，这就是我们的一个切入点啊，有长得像，等下指甲会等别人就行。我们真正的做几合题有你两个层次啊，第一个层次是你看到题之后啥想法都没有，那这个层次的话，那就相当于你什么该记的，该掌握的，啥都没有知道啊，头脑是糊的。那么第二个层次呢？ 你会读一道题，他会给你十个条件，那么每一个条件你都会有自己的想法和延伸的点，那么你的想法会太多，但你又不知道哪种想法是正确的，那第二个层次相比第一个层次来说就好一些，至少你总结了 一些东西。那么当然第还有第三个层次就是你一看有十个想法，而且你立刻知道哪个想法是重要的，或者哪个想法就是这个题目需要的答案，那这样的话，你做题的速度以及这个题的难易程度，在你心中就没有那么恐怖了啊。好的，那我们继续来看。 那么这个模型到底给我们带来了什么结论呢？这是全等的模型，那当然他的核心 啊，有一个全等，全等在哪里？等一下我来跟大家说。那么全等是怎么证明的？既然是模型，他证明了方法以及条件，就是固定不变的，不管在什么图形中出现， 你只要看到两个顶腰直角三角形，拉着手来供顶点，那么我们就可以用 sa s 来证明。他怎么证明的，等下回过头我们去证明一下。那么第二个结论，那第一个结论的话，大部分同学都还有印象或记得啊， 但是第二个结论呢？那记得同学就比较少了，所有对应边的夹角等于等腰的顶角，那这也是我们常考的，一般如果一个简单题，我们分两文呐，第一问就考第一个全等，第二问就是考这个角度是多少度。 那么第三个呢？那制造的同学就更少了，他对应这一个固定的角平纹线，有部分压轴题的，第三个考的就是这个东西啊啊，当然这个东西因为比较简单，所以考的频率也不高，但是会出现，你只需要知道角平纹线是哪一个，他怎么来的， 那这三个结论你都心中有数呢？那我们才可以去做更难的，还有更难的吗？当然有更难的一个模型，你正着考不算难事，因为我们学的很多，他逆着考才是真正难的，我们等下来看啊，先把这三个结论跟大家解释一下，我们就以等边三角形 为例啊。首先我们看到第一个图，第一个图之后呢，他有两个等腰直角三角形，他是牵着手的，我们就知道呢，他一定是符合我们的啊，过年旋转牵手模型，那么一定能得到一组全等，全等在哪里呢？那么怎么找全等他是有方法的啊。 呃，这个图的话，我们为什么我喜欢叫他供点旋转，因为这个图我们要用动态的思想去看，那么全等是怎么找呢？首先我们想象一下，把这个红色的三角形啊，我们把它旋转回去， 我们把这个红色的三角形旋转到跟蓝色的，绕着 a 点旋转一下，跟蓝色的怎么样重合，大家看一下啊，我们把这个红色的旋转到跟蓝色的重合，我们再回头看一下，你们看 a d 这条， 他是不是跟 ab 重合的，那反过来呢？这个 a 一这条边呢？他是跟这个 ac 重合的， 看到没有？那这就能够让我们找到这一组全等三角形，能从合的腰旋转出去之后，他们会组成一个新的三角形，比如说 ab， 我们刚刚 ab 这条边，他是跟 ad 是重合的啊， 也就是说最后他们这两条边出现在了新的一个三角形中，这个三角形叫做 abd 啊， ab 旋转开来到了 ad 嘛，三个点 bad， 那么同理，我们再看第二个 ac， 他也旋转出去了，是旋转到 a 一旋转出去的，旋转到 a 一这个地方的啊，那么旋转出去之后呢？我们 把这一个图形把它给怎么样标注出来，我们就可以发现了啊，他又得到了一个图形，叫做 a e、 c， 那么这两个三角形是全等的啊，那我们怎么记呢？就是说能重合的腰旋转开去之后，那么我们组成了新三角形全等， 从和腰组成的三角形全等，就是把小的旋转到跟他妈妈重合的地步，那么他们会有一个对应的地方，那么对应的地方展开之后变成了三角形啊，就全等，那怎么证明的呢？首先这个题目一定会给你两个等边，所以呢，我们的条件，第一个就是什么？就是 a b 等于 a c， 这是第一条腰啊，这是第一个腰。那么第二个条件呢？就是我们的小等边，三角形里面的腰 a d 等于 a 一， 那么第三个条件呢？就是夹角两边的夹角，角 bad 等于角 c 个一， 那么我们就跟构成了 sas， 那这两个是安全的，我就这里不多写了啊。 好，那为这个题唯一不好找的条件就中间这一个，但是大部分同学到现在期末阶段呢，看这个条件应该算是比较好理解的，跟大家简单来讲一下啊，角一是等于六十度的，这个角三也等于六十度， 他们都加上这个中间的角 x， 两个小角相等，加上公共的一部分，得到了大角也相等。角 bad 就是角一加 x， 角 c 一就是角三加 x 啊，这个不多说了，同理，我们来看一下第二个，第二个也是一样的，我们如果做熟练之后， 你直接一看图哦， b a， 我们可以把它旋转出去，一直到 d 这个地方，他就组成了一个什么东西，他就组成了一个新的三角形，一个蓝色的 bad 啊。同理，如果我们把 ca 旋转开来，从 a 一从 ca 旋转开去，到这边来了啊，他也组成了一个新的三角形， 那么这个三角形呢？我们同样把它飙升颜色，那么他就是 eac， 那这样的话，这两个三角形就是全等的。同理，第三个我就不画了啊，感兴趣的同学们可以自己画一下。那么这是第一个结论，全等全等也是我们牵手模型里面最重要的结论， 那么这个最重要的结论的话，同学们一定要重视了啊，那你连这个全等都找不到，那第二个跟第三个结论，那我们就不需要再去找了啊。好的，那么第一个结论已经搞定了，那么第二个结论呢？第二 这个结论是什么意思呢？就是只要是对应边，他的夹角就等于我们等腰的顶角。首先我们先要找一下等面三角形的顶角是多少度，那这个不用说了，角 a 这个地方一定是多少度，一定是六十度， 那如果这个是六十度的话，同学们一定要记住了啊，只要是对应边的夹角都为六十度。首先我们看到图一啊，图一里面三角形第一个 成分里面，他的 b、 a 对应的是哪一个？ ca， 这个不说了，他本身就是一个等背上的两条腰，那他的夹角肯定是六十度，那么我们为什么要记非那个对应边的夹角是六十度呢？ 因为还有两条边是我们后期常考的，就是 b、 d 和 c 一，那 b d 和 c 一的话，这两条边的话，我们同学们需要注意了啊， 他这个是我们在途中条件里面不能直接看出来的，所以我们要需要通过全等去证明他， 那怎么证明的呢？哦，大部分的题的话都有一个简单的方法啊，什么简单的方法？你把这个小的或者大的等下已经擦掉，比如说我们在这个图中，我们把这个什么，我们把这一个小等边把它给擦掉， 你把小等边擦掉之后呢，你就可以发现你清晰的看到了这个图中存在的一个八字形，看到没有， 那么通过这个八字形，我们就很轻易的能够得到这个角一，跟这个角四是相等的，那为什么角一等于角四呢？因为我们全等的时候得到这两个角啊，这个橙色跟紫色是相等的，那么角一等于角四，角一是等于二的底角 顶角，那么所以角四也等于六十度啊，那么这个是我们第二个节能的证明方法，这个要记下来啊。那么我们看第三个图，刚刚我们是没有画的啊，第三个图如果他全等的话，那意味着 c 一， 这是哦，我们有一条边啊，我们看一下他跟我们的什么东西，他跟我们的 b、 d， 他会形成一个什么夹角， 这个 c 一跟 b、 d 的夹角他没画出来啊，但是我们可以找到他的夹角也一定是多少度，六十度，同样的还是一样，你如果眼睛哎这种图形接触的多了，你不用画掉小字名三角形，你可以直接找到这个八字啊 啊，当然这个八字是大部分百分之八十的题，可以用八字去证明脚相等，但是还有一点题的话，我们可能需要用脚加脚，也比较简单，我们等下遇到了再说啊。那么至于 第三个结论，角平分线是怎么来的呢？我们需要看一下啊，角平分线是怎么来的？角平分线的话，这个地方我们发现呢，刚刚有两个特殊的形成角的地方，叫做 ce 跟 bd， 他们不是等边上形成的腰啊，他们是 转出来的一条三角形里面的一条边，那么他们会一个焦点，这个焦点的话，一般图形会画出来，有少部问题是需要你自己延长画的，我们称这个点为 h 点啊， 那么我们连接 a h a h， 它就是一条角平分线，它平分什么东西呢？ ah 这条线他就是一个角平衡线啊，他平分的是我们的角 bh 一 ah， 他就是以我们这个焦点 b h 这个地方为顶点的一个角的角平平线啊，那这是一般一些比较简单的压轴题，他希望考的一个概念，那么同样的，这边也是一样，这个地方也有个 h 啊，连接 ha， 他也是角平平线，这个地方一个 h 连切 ha， 他也是一个角平平线啊，平分的都是 bh 一 啊，同一 b h 一，为什么呢？首先我们看一下角平线的字谜方法啊，我们只需要过这个 a 点做两条垂线，我这里就不画规范的图了啊，跟大家画个草图，简单讲一下，画一个垂线过去， 那么这个 am， 我们可以想象一下这个 am 他是不是一个高了，是不是这个橙色三角形的高？ am 他是一个高线啊，他是这个第一个全等三角形 里面的一个膏，那同样的，我们再画第二条啊，第二条膏，第二条膏的话就是过 a 点做这个的膏啊，做这边这一条的膏， 那如果是 a n 的话，我们可以想象一下 a n 是不是第二个紫色三角形的一个高， 那如果两个三角形全等，他们对应边上的高也是相等的，因为这两个高相等，所以他是角平分线，角平分线上的点到角两边的距离相等。立定理，如果一个点到角两边的距离相等，这个点一定在角平分线上啊，那这次跟大家讲的呃，我们共点旋转的三个结论 啊，同样的，我们看看这边合适吗？我们看一下第二个图，好吧，因为第一个图的话画的稍微有点乱的啊，那首先的话，我们看到了两个等边三角形啊，两个等边三角形，那么他们共 重点旋转的话，我们直接把这一个共点旋转之后的全等做出来，一个是 b a， 他是从 ac 旋转过去的， ok， 我们把它给加出 啊，成色啊。第二个图呢，就是 a c， 他本来是跟 a 一这边是可以重合的， ok， 我们把它给加错 好，一个红色，一个橙色，那么这两个摄像机是全等的啊，全等的理由还是跟刚一样 s s 这点我就不追溯了啊，证明的方法都是固定不变的。 然后第二个结论，他们非等腰，就是所有对应边的夹角都有顶角，那么等腰直角的顶角是九十度啊，九十度的话我们就可以得到，重点是得到哪一个心 是呢，重点我们是可以得到这个啊， c 一和 b 机，他的夹角这个地方是九十度哦，理由呢？也是一样，你可以把这个小的什么所以正方形给擦掉，然后就得到一个八字形，得到八字形之后，他跟这个角 是相等的啊，八字相等，那这个不对数了。第三个这个地方如果一个 h 的话，同理连接 ah， ah 是平分角 bh 一的 理由呢？他们同样他们垂线段就是两个三角形的高，这个不追数了。那么三个结论 我们如果都了解了，那证明供点选择的第一阶段啊，我们已经没问题了啊，没问题了，没问题之后，那是不是因为在供点选择我们就会了啊，我们还有个常见的题型啊，这是最基础的题型了，那么首先告诉你 ab 的坐标啊， ab 的坐标告诉你目的就是告诉 a、 o、 b 是一个怎样只要三角形，那么他又做了一个怎样的三角形，这就是一个最基础的供点选择题，这个题当然在一些简单的题中，他也可以作为一个比较难的题出现啊，但是在宜昌这种城市的话，这种题的难度太低了，肯定只能作为一个八分题出现啊。那么这道题我们来看一下啊， 看一下他的全等，只要我们得到这个信息了，我们就能得到一组全等，那这一组全等做熟练之后，我们是很轻易就能写出来了啊，如果你还需要想半天才能想出这种全等，那就证明我们供电选站做的还不太熟，熟练啊，需要平时在刻意的去练一下，当然练的同时多总结啊， 那么一看就知道这组全等之后呢，好，我们该有的信息就基本有了，紫色跟蓝色是全等的，全等之后呢，他要问 loc 跟 bd 的关系，那这个加是有一个坑的啊，什么叫关系？有数量关系，有 位置关系，首先数量关系的话， oc 跟 b 的对应边那肯定是相等的，那位置关系呢？那么就是我们的第二个结论了，我们的 bd 跟 oc 是对应边，对应边的夹角等于原本这个三角形的顶角，原本是等于直角，三角形嘛，九十度嘛，所以他们一定是九十度，那这个怎么证明呢？ 这个证明的话，你看到没有？这个地方还没有擦掉啊，他就是四十五度，看到没有？为什么四十五度他跟这个角一相等吗？角一 oab 是等要直角，所以他四十五度，角一跟角二呢？看到这个地方角二没有，角二也是四十五度，四十五度加四十五九十度，这个就结束了啊。那如果在延长线上是否依然沉淀呢？沉溺，不管你怎么转， aoc 这个三角形跟 adb 这个三角形一定是全等的啊，知名的方法也大同小异，这里我就不说了啊。第二问，这种叫做内笔模型，后期我们要讲的这种模型就是什么呢？从里面转变到从外面转的。他的结论一般有两种情况，要么不变， 要么变，如果是变的话，一般就是结算不短类型的，本来是一加二等于三的，后面的话就变成一号，减去二号等于三号。然后内柄模型的话是一个很重要的核心思维啊，但你第三问不会做，但你第二问会做的时候，你很轻易的写出第二问的什么情况好， 我们看这这一个，这个也是一样的啊，第一问啊，共全等，第二问对应编的夹角，第三问角平分线啊，那么这个就不对数了。那重点跟大家讲一下，像这一种啊， 这个的话是曾经考过的一道压轴题，十一分的题啊，这个题呢，他告诉我们的信息就是他需要你证明这两条现象的 m n 跟 pn 相等，然后这是要智能结论，所以你不能用啊，这个地方一个六十度，这是给你的能用的条件。那么我们假设一下，如果结论是真 的话，那他就是个等边三角形啊，也就说这个题可能核心是让我们正等边，对吧？正等边，那你让我正等边的话，我有什么方法去正呢？这个就涉及到供点悬站的利用啊， 倒过来用，我们共点旋转。原来是两个等边，一个等边加一个等边，可以得到一组什么东西？ 全等？那么我们数学的常考思维模式，我给你一个等一，一个等边加上这个全等，我提前告诉你，你能不能得到第二个等边，一般这种都是成立的啊，这也是我们数学的数题模式，那这个同学们可以注意一下，那这道题就是一样的啊，那你现在我们只需要把四角短号为证明 pmn 是一个等边三角形， 那么我们要找到一个已有的等变呢？已有的等变这个题也告诉了我们，具体的思路就不说了，同学们感兴趣可以把它截图去 去看一下啊。那么这原本是一个等边，为什么是等边？题目给的很清晰啊，主干条件结合具体的条件会出现，那么这是个等边，那么有两个等边呢？这个结论等边我们先用着，我们就知道如果结论成立，那么这两个饲料型应该是全等的，那反过来呢， 我们只需要证明这两个是全等，那么这个粉色的它就是一个等边三角形，节目就成立了。所以呢，第一个等边题目给了这个全等就是我们核心要正的，只要我们证明这个全等了，那么我们就能得到这个粉色的 pmn 是等变，这道题就结束啊，这个也是一样的，那这个我们只看第三问，他要证明这个是四十五度，那么通过前几分的话，我们呢很轻易的得到这个地方就是一个等腰直角三角形，如果这是一个等腰直角三角形的话，如果我们要证明这个 hk 这个地方是四十五度，那四十五度是一个特殊角，我们必须要想到做九十度，那么既然你是做九十度，就是不是有个等腰直角，既然有个等腰直角，能不能跟他构成两个供点牵手的等腰直角呢？可以，我们只需要在这个地方做一个，如果我们能够证明这也是一个等腰直角，那个角度当然是四十五度了，那他凭什么是 等下直角呢？跟刚刚一起同工啊，给了你一个等下直角，你加一组全等就可以得到第二组等下直角，那这是我们供点旋转的一个利用，就是倒着用啊，我们只需要证明这个十角形全等即可。好，这就是跟大家讲的 供电旋转，不是以题为主啊，主要是跟大家把知识点梳理一遍，把这个大家好好看一下啊，有疑问的同学可以单独私聊我。好，再见。