双曲线渐近线的推导过程

双曲线是圆锥曲线中一个重要的内容，我们学到选取合适的坐标系后，他的表达式其实是这样的，与双曲线相伴的是他的渐进线。传说这里的黄渐进线与蓝双曲线无限接近，但是从不相交。 我们学到渐进线的方程长成这样，是两个斜率相反的直线。从式子上，渐进线方程似乎可以从双曲线的方程巧妙的获得。具体来说就是将双曲线方程右侧的一替换为零，然后外平方移过去开根号即可。关于渐进线为什么是这个表达式， 书上的证明是与双曲线作差，证明趋于零，但不是零。但是这个解释总是有点马后炮的意思，你是怎么事先知道是这个方程，然后进行证明的呢？此外，关于渐进线其实还有另一套说法，那就是 渐进线其实是双曲线的切线，这又是怎么回事呢？今天我们来讲两件事，第一，圆锥曲线的切线方程是什么？怎么来的？第二，为什么渐进线其实是双曲线的切线？我们将看到在引入了之前说的摄影平面以后，渐进线其实就是无穷圆点上的切线。 我们首先声明接下来讲的内容，高考不能用，且可能会涉及一点线性代数。从线性代数的角度来看，推广切线方程是漂亮的事情，这或许会帮助大家更好的理解二次性到底有啥用。 当然，如果实在看不懂，我同时会用初中水平的方法把一样的内容证明一遍。同时后文中的摄影几何内容都是以前讲过的，可以参考之前的视频。我们先从圆的切线开始说起，我们考虑最简单的圆，单位圆，它的方程就 就是 x 平方加 y 平方等于一。关于圆的切线，我们其实知道很多，比如他肯定与圆只交于一点，并且垂直于切点与圆心的连线。我们考虑一个最简单的情况， x 等于一，这个点 过这一点，并且与 x 轴垂直，我们瞬间就能锁定他的方程 x 等于一。然后我们自然而然的想问一个问题，原上任何一点，比如 x 零， y 零过这一点的切线方程又是什么呢？因为原是单位原，所以上面任何一点其实可以用一个角度的三角函数表示， 比方说假设成这个形式，那么它与圆点的连线和 x 轴的夹角为 zeter。 我不知道现在高中是否还会学级坐标，在级坐标中，我们会遇到一种旋转变换，实际上就是这样，将 x 和 y 进行这样一个线性 组合，然后作为新的坐标值。这个变换的实际效果是让这个平面里面的图形绕着圆点逆时针旋转 zet 角度，比如说一零，这个点就转到了扣三 zet， 三 zet， 也就是 x 零 y 零这个点。眼尖的同学同时还会发现， 这个变换不会改变圆的形状，因为圆不论怎么绕圆点转都保持圆样，只是上面的点变了位置，同样的将点转过去的同时，也将直线转了过去。所以我们只要求出旋转后的直线的方程，就得到了切线方程。怎么样得到旋转后的直线方程呢？ 我们从式子的角度来看，需要的是旋转后的直线的方程，那么其实就是旋转后的点 x 撇和 y 撇之间的关系。但是我们对 x 撇和 y 撇一无所知，所以必须借助已知的 x 和 y 的关系。正因如此， 我们就要从上面的旋转变换中把 x 和 y 反解出来，解出来结果是这样的，这个不难，就是二元一次方程组 旋转直线， x 和 y 满足，怎样的式子哦， x 等于一，和 y 没关系，所以旋转后的坐标 x 撇和 y 撇的这样的线性组合等于 x， 并且等于一， 这样我们就得到了旋转后坐标 x 撇和 y 撇满足的方程。接下来我们需要说明一个事情，因为我们是描述同一个平面中的变换，所以方程的变量形式上应该都是 x 和 y。 所以我们在最后一步，将 x 和 y 上面的撇拿掉，就像左上角写的那样，得到最终的旋转后的方程。从上面的过程我们看到旋转变换将一条特殊的切线变成了一般点上的切线。我们可以拍着胸脯保 证说，这个圆上任何一个过扣三三点的切线方程就是长成这个样子的。好了，目前为止，我们都是考虑半径唯一的情况，那么其他情况如何？这里我们介绍一个新的变换，伸缩变换，具体而言就是将坐标乘一个系数二，我们重复之前的操作， 反解出 x， 将 x 和 y 带入圆方程，然后将片拿掉，就得到变换以后的圆。这个圆的半径是二，符合预期。 那么直线的情况怎么样？一样，变换得到的结果是一个新的直线，它就是圆的切线。 这里我们故意将两边多成一个二，然后和 cosin 和三组合在一起，是因为这样可以凑出切点，你看半径为二的圆，上面的一点其实就是二乘三角函数值。按照这个说法，我们可以把 三角函数替换为 x 零和五二零，得到一个相对紧凑的方程，这就是过圆上一点 x 零五二零的切线方程。我们仔细观察这个式子的形式，它看起来是很对称漂亮的，然后我们再将它和圆自己的方程进行比对，会发现一个神奇的现象，这个切线的方程 似乎就是圆方程里面把 x 平方中的一个 x 替换为 x 零， y 平方中的一个 y 替换为 y 零得到的。换句话说，只要你给我一个圆的标准方程和上面一个点，我只需要将 x 平方替换一下 y 平方替换一下光速，就得到切线了。就是这种半带入的方式，让我们无需做任何前置计算就能得到结果。看到这个结果以后，我们会进行思考，与圆方程类似的椭圆和双曲线，他们的切线是否遵循类似的规律呢？ 同时我们还会提出一个问题，在得到切线的时候，我们做了坐标的变换，并且默认做这些变换后，相切依旧成立。这是为什么呢？这就要从我们上次说的摄影几何与摄影变换说起了。我们之前说了，为了解决平行线不相交的问题， 迪沙格在每条直线上加了一个点，叫做无穷远点，然后这些无穷远点构成了一条无穷远直线。据此 我们知道，圆锥曲线都是一回事。之所以分为椭圆、双曲线和抛物线，完全是因为我们肉眼凡胎，其实他们之间的区别仅仅是与无穷远直线的关系不同而已。有了摄影平面，就可以引入点和线的其次坐标，他有三个参数， 其中如果第三个 z 是零，那就表示无穷原点，否则就表示一个正常点。然后可以证明任意摄影变化 可以写成这样的形式。我们用九个参数表示这个变换，他包含了前面说的旋转变换和伸缩变换，同时还包含了之前其次画的时候平移曲线的平移变换。可以说摄影变换是平面变换的极大成者。我们之前证明了三种圆锥曲线，也是通过摄影变换联系的 圆的。其次方程是这样的，其实原理很简单，确定是二次曲线以后，哪里低于二次，就乘 z 乘到总体二次即可。现在我们确定其上一点，可以用这个坐标，当然因为是其次的，所以可以同乘一个长数。 我们前面总结的替换原理是否成立呢？我们看到将 x 平方替换， y 平方替换， z 平方也跟着替换，然后因为 z 零是一就得到结果，很完美。那么接下来的问题是，为什么变之前是切线， 变以后还是切线呢？这就要说到所谓的摄影不变性了，在摄影变换下，不变的性质就是不变性， 比如说三线共点变以后，相应的直线还是交于疑点，这个可以用方程组证明。镶嵌这件事情从直观来看， 确实是摄影不变的性质，因为相切从本质上是与二阶曲线交于两个重合的点的直线。我们有两个考虑方向，第一种是直接从连力相交，然后算二次方程， dealt 说明不变。第二种是首先考虑直线与曲线相交于两个点， 然后逐渐变成相切的，在这个变换过程中，两边同时达到焦点重合，这也就说明相切是摄影不变的了。既然相切是摄影不变的，那么只要知道某种圆锥曲线的切线方程，然后找到变换，把它变过去不就完事 是了。是的，之前的操作就是在说这个。接下来我们来看看椭圆和双曲线的切线方程是什么样的。我们从单位圆出发，他做这样的伸缩变换就能变成椭圆。记住我们之前的三步，反解出 x 和 y， 带入原始方程，去掉 x 和 y 的撇， 然后切线方程也是一样，毫无感情的三步走。这里记得 x 零和 y 零也得变，就能瞬间得到过椭圆上一点的切线方程。 当然这个方程依旧是符合我们之前说的替换原理的，就是将 x 平方中的一个 x 替换为 x 零， y 平方也一样。而双曲线那边情况其实并没有太大的差别。之前我们介绍过怎么从圆变成双曲线，这里我们再次给出变换，这个变换就不是简单的伸缩或者旋转了，仔细观察， 我们看到 z 和 x 之间进行了交换。我们在其次话那一次说了， x 轴、 y 轴和无穷远直线可以构成摄影坐标系，通过这个变换我们会发现无穷远直线被移动到了 y 轴上，而 y 轴移动到了无穷远直线的位置上。需要说明的一点是， 我们看待变换，可以理解为图形的变换，也可以理解为坐标系变换。至于到底用哪种视角，反正我是怎么方便怎么来。 比如这种情况，我觉得理解为坐标轴的变换比较好理解，我们想象沿着外轴切一刀圆两边不就酷似双曲线了吗？所以我愿称这个变换为换轴变换 老三步反解带入去撇儿，得到双曲线的方程，切线也一样，还是要注意切点本身也要变换。或者更简单的理解，你就 把零视而不见，跟上面一样变，然后把零加上去。从这个过程来看，替换原理依旧成立。而在我这里推倒的过程中，他的基石是单位源的切线，而替换其实就是摄影变换的直接结果。好的，到这里，我们就有足够的能力揭开渐进线的面纱了，把无穷远直线画出来。 双曲线和它有两个焦点，分别是红点和蓝点。注意，这里上下的红点是同一个，蓝点也是同一个。连立一下，两个方程得到双曲线和无穷远直线的两个焦点得到坐标，我们看到积分量是零， 确实是无穷原点。接下来干什么？很简单，双曲线方程知道了，切点知道了，带入切线方程呗。这一带入，结果瞬间得到两个切线，或者按照原来所说渐进线。按照我们以前的说法，确实双曲 线和渐进线是没有焦点的，因为这个无穷原点是后来加进来的，而二者无限接近也是很自然的。因为切线吗，就是在某点近似，越接近切点，或者说无穷原点切线离双曲线也就越近，这也是我们以前就知道的。如果你对切线这个事情还是觉得难以理解， 我们不妨把无穷远直线移过来。这两个图形在摄影平面上是等价的，我们可以清楚的看到无穷远处的情况。 绿色的无穷远直线确实和双曲线交于两点，而两条渐进线确实是切线。我们重申一次，这两条直线是平行的，因为我们已经将远点作为无穷远点，而平行直线会在无穷远处相交。 好的，现在我们已经搞明白了圆、椭圆和双曲线的切线方程。接下来的问题是抛物线从 单位圆到抛物线的摄影变换是这样的，我们看到 x 和 z 又相互变化了，还酷似 x 和 y 的旋转变换。为了更直观的看到这个变换主要干了什么？我们观察两条直线，第一个是 x 等于 z， 也就是我们俗称的 x 等于一的线，也就是最开始我研究的圆的切线， 他会在摄影变换下变成无穷远直线。我们说了相切关系不变，所以之前圆和红线相切，而变换后抛物线和无穷远直线相切。 然后我们看另一个切线， x 等于负 c， 俗称 x 等于负一，它会变成谁呢？答案是 x 等于零，俗称外轴。你看，原来相切，现在还相切，很合理。所以一个比较简单的图像是这个变换把单位圆的右边一直拽到了无穷远，只看 圆的左半边，是不是挺像抛物线的，神奇吧。圆的方程中进行老三步得到抛物线外平方等于 x 乘 z， 二 p 呢，你伸缩一下就行。切线呢，我们继续变换，这里难度看起来是增大了， 但是经过简单的计算，我们依旧得到了切线的方程。这个方程中我们能够看到替换原理的影子， x 和 z 乘在一起，结果是首先将一个 z 换成 z 零，然后加上一个 x， 换成 x 零，最后除以二。 这让我们想到，对于最一般的圆锥曲线，似乎不能总用替换原理，因为很显然，一般情况有类似 x 乘 z 的交叉项。怎么办呢？办法出乎意料的漂亮，有请二次性登场。我们现在假设一个一般的二次曲线的方程是这样的，他每一项都有，我已经贴心的把它其次画了， 优秀大学生一眼就看出他可以写成这样的形式，二次行吗？然后用 x 表示列向量，这就是二次行等于零的方程。我们看到这里的系数矩阵是对称矩阵， 所以一定可以对角画。至于怎么对角画，相信大家练了无数次了，不再坠数。我们知道的事情是，一定存在一个正交矩阵 p， 他两边加 a 成为一个对角矩阵，这个矩阵 p 是三乘三的，并且存在逆， 所以他一定表示一个摄影变换，而这个摄影变换具有这样的威力，让原来的 x 摄影到 y， 而变换后的曲线只有 x， y 和 z 的二次项交叉项消失了， 消失了那还得了，那它岂不就是椭圆或者双曲线吗？当然，如果 lamd 等于零或者符号有问题，它会退化为直线。但是我们现 在就假定他是椭圆或者双曲线，而这两者我们很明白，直接用替换的办法就行了。我们现在既然知道了他是椭圆或者双曲线，那么瞬间就得到切线，或者我们写成矩阵的样子， 其实就是这样的形式。现在我们思考一下，我们知道了切线方程，那么把它变换回去不就完事了，这不就是咱前面一直在做的事情吗？摄影变换是 p， 那么变回去就得到原来的二次曲线的切线方程。我们看看得到的切线方程， 他和原本的方程实在太像了，甚至向导，其实只需要将原始的二次性矩阵前面的航向量替换为这个切点就行了。至此，我们终于得到了最一般的切线方程。 替换是对的，但是是替换二次型的项链。当然高考玩家到这里恐怕是一脸猛，所以我会用出 中的办法证明这个事情。简单来说就是应算 delt 等于零。我们把二次曲线写成这样， x， y， c 换成下标，然后我们让 p 是切点， q 是切线上一点，那么切线直接就能写出来，用我们熟悉的参数方程的形式，然后还有啥好说的？连力背，暴力代入， 然后展开。这个是关于 lamt 的二次方程，所以整理一下就可以开始算 dealt 了。这里将相应的系数整理出来， dealt 等于零，那么 s 们就满足这个关系，而 p 在曲线上，所以 spq 等于零，这个就是切线方程。 然后我们将 p 替换成原来的 x， 零的模式， q 替换为直线的 x， 就得到相应的切线方程了。这个方法说到底就是暴利算没啥很有意思的地方。现在我们举几个例子来看看怎么求切线。比如说 要算这个抛物线的，我们就假设其为 s， x 和 z 分别替换，然后 y 替换两次，正好就是前面的结果。当然我们还可以用更紧凑的记号来看，比如设二次型为 s， 那么这样求偏导成就是切线，当然这也是一个显然的事实， 因为这其实就是合法向量的乘积等于零，用这个式子的话，只需要类似权威分的办法替换即可。总而言之，我们通过各种办法彻底搞清楚了圆锥曲线的切线方程，到此结束，谢谢大家。