七上几何图形，150至156页

各位同学大家好，今天我们一起来学习几何图形的第一节课。在小学，我们已经学习过许多有关几何图形的知识，知道三角形、长方形、平行、四边形、圆这些图形的形状特征， 以及会进行有关周长面积的计算。那么进入初中后，我们将继续用数学的眼光观察身边的世界，学习新的数学知识、数学方法，感受数学之美， 感受用数学知识解决实际问题的乐趣。大家知道数和型是数学的研究对象，本章我们将继续学习更多的 几何图形，进一步探究直线、射线、线段、角等最基本的几何图形的性质，进一步了解他们的应用。 今天就让我们在丰富多彩的图形世界中开始我们这节课吧！ 大家来看，这是大自然中漂亮的植物，造型奇特的动物。这是晶莹的雪花，放大后的样子简直就是一件艺术品。 这是小蜜蜂的杰作。一排排整齐排列的蜂房，数学家已经证明过，在相同体积条件下，这 这种建造方式是最节省材料的。可见小蜜蜂不但勤劳，还是非常聪明的建筑师呢。那么人类呢，也从大自然中获取灵感和启发，建造了很多雄伟漂亮的建筑。 可以说，用心观察我们身边的世界，是改变世界的开始。 这是二零零八年北京奥运会的主会场国家体育场，又称鸟巢。它位于北京奥林匹克公园中心区南部，建筑总面积达到了二十一公顷， 可以容纳观众九万一千人。在这里举办了奥运会、残奥会的开幕式和闭幕式， 以及一些田径比赛和足球比赛的决赛。在奥运会结束后，这里成了广大北京市民参与体育活动、享受体育娱乐的大型专业场所， 那么这里也成了地标性的体育建筑和奥运遗产。同学们来仔细观察，在这张国家体育场的照片中，你能看到哪些熟悉的图形呢？ 好同学们找到了，这里有我们熟悉的线段， 三角形、四边形，这里还有一 一个半圆形。同学们表现的都非常不错。刚刚我们就是在用数学的眼光来观察我们身边的事物，从而发现这些丰富多彩的图形其实都是由一些基本的几何形状构成的。 让我们把目光从国家体育场转回到我们的教室内，大家再找一找，在教室里有哪些我们熟悉的基本的几何形状呢？ 好同学们找到了很多，这是我们国家的国旗，五星红旗， 他是我们中华人民共和国的象征和标志。那么我们来看五星红旗的外形， 它的基本几何形状是可以看成平面上的一个长方形。这是教室里的钟表，它的外形可以看成是平面上的一个圆。 这是我们同学带来的地球仪，它外形的基本几何形状可以看成是一个球。 这是我们同学用来喝水的水杯，它外形的基本几何形状可以看成是一个圆柱。 那么老师也准备了一些大家熟悉的图片，大家再来找一找，这里又有哪些基本的几何形状呢？同学们来看这幅图片，这个人戴的 这个叫斗笠，那么过去在山村水乡是随处可见的。唐代有一个诗人柳宗元，他有一首诗，江雪 千山鸟飞绝，万径人踪灭。孤舟蓑笠翁，独钓寒江雪。其中第三句孤舟蓑笠翁描绘的就是一个穿着蓑衣，带着斗笠的老渔翁， 一个人孤零零的坐在船上的画面。那么现在这个斗笠基本上都是作为集实用与美观于一身的工艺品了。 那么斗笠的外形的基本几何形状，我们可以看成是一个圆锥， 下面这是一个非常精美的茶叶块，它外形的基本几何形状是一个柱体，我们观察这个柱体有六条侧棱，所以我们称它为六棱柱。 这是一个帐篷，这是它外形的基本几何形状。那么它的名称是什么呢？ 通过观察我们发现左边这幅图是个三棱柱， 而我们把它换个方位放置，得到的就是右边的这幅图形，所以右图也是一个三棱柱，所以这个帐篷外形的基本几何 形状是一个三棱柱。 这是二零零八年北京奥运会的主游泳馆。国家游泳中心，又称水立方，它也位于北京奥林匹克公园内， 在奥运会期间承担了游泳、跳水、水球等比赛项目，可以容纳观众一万七千人。 在奥运会结束后，他也是成了具有国际先进水平的集游泳、健身、运动、休闲于一身的中心。 在二零二二年北京冬奥会期间，他将转型成为宾利方 作为冰湖项目的比赛场馆，这也是世界上首座在泳池上架设冰湖轨道的场馆。那么水立方外形的基本几何形状，我们可以把它看成是一个长方体， 也可以叫它四棱柱， 这是古埃及的金字塔，它外形的基本几何形状是一个锥体，我们观察它有四条侧棱，所以我们称它为四棱锥。 那么这些丰富多彩的图形都是我们从现实世界的物体的外形中得到的，那么各种各样的物 除了具有颜色、质量、材质等性质外，还具有形状，如圆的、方的等，大小如长度、面积、体积等 和位置关系如香蕉垂直、平行等。那么物体的形状大小和位置关系是几何中研究的内容， 我们先从物体的形状开始我们的研究，一个物体的美和它的功能离不开它的形状， 大家看这是一张跑车的照片，它流线型的外形既体现了一种动感的美， 同时也有效的降低了风的阻力，提升了它的行驶速度。 这是北京大兴国际机场，它外形的寓意是浴火凤凰，那么它的外形就是把我们的中国文化和功能和谐的统一到了一起。 三角形的稳定性在这辆自行车的结构中得到了应用， 而我们常见的伸缩门则又很好的利用了平行四边形的不稳定性。 大家再来看这里有圆形的井盖，也有六棱柱形状的铅笔，那么 那么他们的外形又都考虑到了哪些因素呢？有兴趣的同学可以课下去研究一下。 那么这些物体的形状在数学家的眼中都可以看成是一些基本的几何图形构成的，那么下面我们就来看与几何图形有关的几个概念。 一、几何图形，长方体、圆柱球、圆锥、棱锥圆、长方形、正方形、线段点等都是从形形色色的物体外形中得出的， 他们都是几何图形，是数学研究的主要对象之一，大家看到的这些都是 几何图形，也都是我们刚刚从各种物体的外形中得出的。那么这种从物体的外形的形状得到几何图形的过程，应用的就是一种从具体到抽象的思维方法。 那么这些图形中有些图形，如长方体、正方体、圆柱、圆锥球等的各部分不都在同一平面内，他们是立体图形。 各部分不都在同一平面内，指的是这个立体图形的有些部分在一个平面内，而有些部分则不在一个平面内。我们以长方体为例，大家来看这两条红色的棱，他们都在 上底面所在的平面内。我们再来看此时这条红色的棱和这条绿色的棱则不在同一个平面内。 而有些图形，如线段、角、三角形、长方形、圆的各部分都在同一平面内，他们是平面图形。 我们以后对几何图形的学习也是分为立体图形和平面图形两部分进行的。 四、立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但是他们是互相联系的。立体图形中某 有些部分是平面图形，我们还是以水立方为例，观察它的外形，从整体上看，它的形状是一个长方体，也就是立体图形。而我们只看它的侧面，得到的是长方形， 只看他的棱，我们得到的是线段，只看他的顶点，我们得到的就是点。那么大家知道长方形、线段点，他们都是平面图形，而此时他们也都是这个长方体的某些部分。 好，那么这里为什么说立体图形中的某些部分是平面图形，而不说所有部分是平面图形呢，我们来看下面这个立体图形， 这是一个圆锥，它的底面是个圆，是平面图形，而它的侧面是个曲面，并不是平面图形，所以我们用立体图形中某些部分是平面图形来描述则更加的严谨。 好，那么刚刚呢，我们明确了立体图形和平面图形的相关概念以及二者的关系后，下面我们老师来考考大家，我们来完成几个练习。 我们先来看练习一，如图说出下图中的一些物体的形状所对应的立体图形。 好，这位同学找的 又快又全，而且也准确说出了这些立体图形的名称，在这里有长方体、圆柱和球。那么练习一告诉我们，这些丰富多彩的图形其实都是来源于我们的现实生活的。 好，我们再来看练习二，说出图中各立体图形的名称，找出其表面中包含的哪些平面图形，是指出这些平面图形在立体图形中的位置。 好，以上五位同学回答的非常好。第一个立体图形的名称是圆柱， 其表面包含的平面图形有两个圆，分别位于它的上下底面。 第二个立体图形的名称是圆锥，其表面包含的平面图形有一个圆，位于他的底面。 第三个立体图形的名称是五棱柱，其表面包含的平面图形有两个五边形和五个长方形，分别位于它的上下底面和侧面。 第四个立体图形是一个六棱锥，其表面包含的平面图形有一个六边形和 六个三角形，分别位于它的底面和侧面。最后一个有点难度，这是一个组合体， 是由一个长方体和一个四棱锥构成，其表面包含的平面图形有四个三角形和五个长方形，分别位于四棱锥的侧面以及长方体的下底面和侧面。 那么刚刚练习二则让我们又感受了一下立体图形和平面图形二者之间的关系， 即立体图形的某些部分是平面图形。我们再一起来看练习三如图，你能看到哪些立体图形 好？这个同学找的非常的全，他在这里发现了有圆柱、长方体和球。我们再来看练习四如图，你能看到哪些平面图形呢？ 好，这位同学找的也非常的好，他在这个图形中发现了有三角形、长方形、五边形、六边形、椭圆和曲线。 那么刚刚的练习三和练习四其实又在说明我们把一些几何图形的形状进行拼接，其实我们会发现它可以构成很多 内容丰富的图形，而这一过程则体现了你的几何思维和精彩的创意。我们曾经玩过的七巧板和积木也在体现这一点。 七巧板是由七块板构成，其中有五块是等腰直角三角形形状的， 有一块是正方形形状的，还有一块是平行四边形形状的。据统计，利用这七块板可以拼成的图形有一千六百种以上。 老师在这呢展示了其中的三个，第一个是一个小房子，第二幅图形拼成的是一个奔跑的人， 第三幅图形拼成的是一条小鱼。 那么积木大家小时候都玩过，这也是我们儿时特别爱玩的一个玩具，那么相信同学们在搭积木的过程中 既得到了快乐，同时也一定培养了自己的创造力和想象力，当然还有动手能力。当然了，在这过程中大家也认识了很多的几何图形。 好，下面我们对这节课的学习内容进行一下小结。我们这节课主要是学习立体图形和平面图形，知道了什么是立体图形和平面图形。 那么在学习立体图形和平面图形的过程中，我们尝试着用数学的眼光观察各式各样的物体，比如这个水杯，我们就可以把它看成是几何图形中的圆柱， 那么从中经历了从物体的外形抽象出几何图形的过程，体现了现实生活与我们数学的密切联系。 今天这节课同学们都做到了积极思考，踊跃发言，表现非常好，也期待着下节课大家能有更精彩的表现。我们今天这节课就上到这里，好，同学们，再见！

各位同学大家好，我是北京市第八中学的刘江峰老师。今天我们一起来学习几何图形的第一节课。 在小学，我们已经学习过许多有关几何图形的知识，知道三角形、长方形、平行、四边形、圆这些图形的形状特征，以及会进行有关周长面积的计算。 那么进入初中后，我们将继续用数学的眼光观察身边的世界，学习新的数学知识、 数学方法，感受数学之美，感受用数学知识解决实际问题的乐趣。大家知道，数和行是数学的研究对象， 本章我们将继续学习更多的几何图形，进一步探究直线、射线、线段、角等最基本的几何图形的性质，进一步了解他们的应用。 今天就让我们在丰富多彩的图形世界中开始我们这节课吧！ 大家来看，这是大自然中漂亮的植物，造型 奇特的动物。这是晶莹的雪花，放大后的样子简直就是一件艺术品。 这是小蜜蜂的杰作，一排排整齐排列的蜂房， 数学家已经证明过，在相同体积条件下，这种建造方式是最节省材料的。可见小蜜蜂不但勤劳，还是非常聪明的建筑师呢。 那么人类呢，也从大自然中获取灵感和启发，见到了很多雄伟漂亮的建筑。 可以说，用心观察我们身边的世界，是改变世界的开始。 这是二零零八年北京奥运会的主会场国家体育场，又称鸟巢。它位于北京奥林匹克公园中心区南部，建筑总面积达到了二十一公顷， 可以容纳观众九万一千人。在这里举办了奥运会、残奥会的开幕式和闭幕式，以及一些田径比赛和足球比赛的决赛， 在奥运会结束后，这里成了广大北京市民参与体育活动、 享受体育娱乐的大型专业场所，那么这里也成了 地标性的体育建筑和奥运遗产。同学们来仔细观察，在这张国家体育场的照片中，你能看到哪些熟悉的图形呢？ 好同学们找到了，这里有我们熟悉的线段，三角形、四边形，这里还有一个半圆形。 同学们表现的都非常不错，刚刚我们就是在用数学的眼光来观察我们身边的事物，从而发现这些丰富多彩的图形其实都是由一些基本的 几何形状构成的。让我们把目光从国家体育场转回到我们的教室内，大家再找一找，在教室里有哪些我们熟悉的基本的几何形状呢？ 好同学们找到了很多，这是我们国家的国旗五星红旗， 它是我们中华人民共和国的象征和标志。那么我们来看 五星红旗的外形，它的基本几何形状是可以看成平面上的一个长方形。这是教室里的钟表 的外形，可以看成是平面上的一个圆。 这是我们同学带来的地球仪，它外形的基本几何形状可以看成是一个球。 这是我们同学用来喝水的水杯，它外形的基本几何形状可以看成是一个圆柱。 那么老师也准备了一些大家熟悉的图片，大家再来找一找，这里又有哪些基本的几何形状呢？ 同学们来看这幅图片，这个人戴的这个叫斗笠，那么过去在山村水乡是随处可见的。 唐代有一个诗人柳宗元，他有一首诗，江雪千山鸟飞绝，万径人踪灭。孤舟蓑笠翁，独钓寒江雪。 其中第三句孤舟蓑笠翁描绘的就是一个穿着蓑衣带着斗笠的老渔翁，一个人孤零零的坐在船上的画面。 那么现在这个斗笠基本上都是作为集实用于美观于一身的工艺品了。 那么斗笠的外形的基本几何形状，我们可以看成是一个圆锥， 下面这是一个非常精美的茶叶罐，它外形的基本几何形状是一个柱体，我们观察这个柱体有六条侧棱，所以我们称它为六棱柱。 这是一个帐篷，这是它外形的基本几何形状。那么它的名称是什么呢？ 通过观察，我们发现左边这幅图是个三棱柱， 而我们把它换个方位放置，得到的就是右边的这幅图形，所以右图也是一个三棱柱， 所以这个帐篷外形的基本几何形状是一个三层柱。 这是二零零八年北京奥运会的主游泳馆，国家游泳中心，又称水立方， 他也位于北京奥林匹克公园内，在奥运会期间承担了游泳、跳水、水球等比赛项目，可以容纳观众一万七千人。 在奥运会结束后，他也是成了具有国际先进水平的集游泳、健身、运动、休闲于一身的 中心。在二零二二年北京冬奥会期间，他将转型成为兵力方，作为冰湖项目的比赛场馆， 这也是世界上首座在泳池上架设冰湖轨道的场馆。 那么水立方外形的基本几何形状，我们可以把它看成是一个长方体，也可以叫它四棱柱， 这是古埃及的金字塔，它外形的基本几何形状是一个锥体，我们观察它有四条侧棱，所以我们称它为四棱锥。 那么这些丰富多彩的图形都是我们从现实世界的物体的外形中得到的。那么各种各样的物体除了具有颜色、质量、 材质等性质外，还具有形状，如圆的、方的等，大小，如长度、面积、体积等 和位置关系如相交、垂直、平行等。那么物体的形状、大小和位置关系是几何中研究的内容。我们先从物体的形状开始， 是我们的研究，一个物体的美和它的功能离不开它的形状。 大家看这是一张跑车的照片，它流线型的外形既体现了一种动感的美，同时也有效的降低了风的阻力，提升了它的行驶速度。 这是北京大兴国际机场，它外形的寓意是浴火凤凰， 那么它的外形就是把我们的中国文化和功能和谐地统一到了一起。 三角形的稳定性在这辆自行车的结构 中得到了应用， 而我们常见的伸缩门则又很好地利用了平行四边形的不稳定性。 大家再来看这里有圆形的井盖，也有六棱柱形状的铅笔，那么它们的外形又都考虑到了哪些因素呢？有兴趣的同学可以课下去研究一下。 那么这些物体的形状在数学家的眼中都可以看成是一些基本的几何图形构成的， 那么下面我们就来看与几何图形有关的几个概念。 一、几何图形，长方体、圆柱球、圆锥、棱锥圆、长方形、正方形、线段点等都是从形形色色的物体外形中得出的 他们都是几何图形，是数学研究的主要对象之一， 大家看到的这些都是几何图形，也都是我们刚刚从各种物体的外形中得出的。 那么这种从物体的外形的形状得到几何图形的过程，应用的就是一种从具体到抽象的思维方法。那么这些图形中 有些图形，如长方体、正方体、圆柱、圆锥球等的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形， 各部分不都在同一平面内，指的是这个立体图形的有些部分在一个平面内，而有些部分则不在一个平面内。我们以长方体为例， 大家来看这两条红色的棱，他们都在上底面所在的平面内。 我们再来看此时这条红色的棱和这条绿色的棱则不在同一个平面内。而有些图形，如 线段、角、三角形、长方形、圆的各部分都在同一平面内，他们是平面图形。 我们以后对几何图形的学习也是分为立体图形和平面图形两部分进行的。 四、立体图形与平面图形是两类不同的几何图形， 但是他们是互相联系的。立体图形中某些部分是平面图形， 我们还是以水立方为例，观察它的外形。从整体上看，它的形状是一个长方体， 也就是立体图形。而我们只看它的侧面，得到的是长方形，只看它的棱，我们得到的是线段， 只看他的顶点，我们得到的就是点。那么大家知道长方形、线段点，他们都是平面图形，而此时他们也都是这个长方体的某些部分。 好，那么这里为什么说立体图形中的某些部分是平面图形，而不说所有部分是平面图形呢？ 我们来看下面这个立体图形，这是一个圆锥，它的底面是个圆，是平面图形， 而它的侧面是个曲面，并不是平面图形，所以我们用立体图形中某些部分是平面图形来描述则更加的严谨。 好，那么刚刚呢，我们明确了立体图形和平面图形的相关概念以及二者的关系后，下面我们老师来考考大家，我们来完成几个练习。 我们先来看练习一，如图说出下图中的一些物体的形状所对应的立体图形。 好，这位同学找的又快又全， 而且也准确说出了这些立体图形的名称，在这里有长方体、圆柱和球。那么练习一告诉我们，这些丰富多彩的图形其实都是来源于我们的现实生活的。 好，我们再来看练习二，说出图中各立体图形的名称，找出其表面中包含的哪些平面图形，试指出这些平面图形在立体图形中的位置。 好，以上五位同学回答的非常好。第一个 立体图形的名称是圆柱，其表面包含的平面图形有两个圆，分别位于它的上下底面。 第二个立体图形的名称是圆锥，其表面包含的平面图形有一个圆，位于它的底面。 第三个立体图形的名称是五棱柱，其表面包含的平面图形有两个五边形和五个长方形， 分别位于他的上下底面和侧面。 第四个立体图形 型是一个六棱锥，其表面包含的平面图形有一个六边形和六个三角形，分别位于它的底面和侧面， 最后一个有点难度，这是一个组合体，是由一个长方体和一个四棱锥构成，其表面包含的平面图形有四个三角形和五个长方形， 分别位于四棱椎的侧面以及长方体的下底面和侧面。 那么刚刚练习二则让我们又感受了一下立体图形和平面图形二者之间的关系。记， 立体图形的某些部分是平面图形， 我们再一起来看。练习三如图，你能看到哪些立体图形 好？这个同学找的非常的全，他在这里发现了有圆柱、长方体和球。 我们再来看练习四如图，你能看到哪些平面图形呢？ 好，这位同学找的也非常的好，他在这个图形中发现了有三角形、长方形、 五边形、六边形、椭圆和曲线。 那么刚刚的练习三和练习四其实又在说明我们把一些几何图形的形状进行拼接， 其实我们会发现它可以构成很多内容丰富的图形，而这一过程则体现了你的几何思维和精彩的创意。 我们曾经玩过的七巧板和积木也在体现这一点。 七小板是由七块板构成，其中有五块是等腰直角三角形形状的， 有一块是正方形形状的，还有一块是平行四边形形状的。据统计，利用这七块板可以拼成的图形有一千六百种以上。 老师在这呢展示了其中的三个，第一个是一个小房子，第二幅图形拼成的是一个奔跑的人，第三幅图形拼成的是一条小鱼。 那么积木大家小时候都玩过，这也是我们儿时特别爱玩的一个玩具， 那么相信同学们在搭积木的过程中既得到了快乐， 同时也一定培养了自己的创造力和想象力，当然还有动手能力，当然了，在这过程中大家也认识了很多的几何图形。 好，下面我们对这节课的学习内容进行一下小结。 我们这节课主要是学习立体图形和平面图形，知道了什么是立体图形和平面图形。那么在学习立体图形和平面图形的过程中， 我们尝试着用数学的眼光观察各式各样的物体，比如这个水杯，我们就可以把它看成是几何图形中 中的援助，那么从中经历了从物体的外形抽象出几何图形的过程，体现了现实生活与我们数学的密切联系。 今天这节课同学们都做到了积极思考，踊跃发言，表现非常好，也期待着下节课大家能有更精彩的表现。我们今天这节课就上到这里，好，同学们，再见！

各位同学大家好，我是北京市第八中学的刘江峰老师。今天我们一起继续学习几何图形的第二节课。 在上一节课的学习中，我们发现我们日常生活中存在各种形状的物体，这些物体的外形都可以抽象成几何图形。 有些物体的外形可以抽象成立体图形，有些物体的外形则可以抽象成平面图形。比如这个地球仪，它的外形可以抽象成 立体图形中的球。这个水杯，它的外形可以抽象成立体图形中的圆柱。教室里的钟表，它的外形可以抽象成平面图形中的圆。 五星红旗的外形可以抽象成平面图形中的长方形。那么对几何图形形状大小、位置关系的研究可以帮助我们更好地认识我们身边的世界。 那么这节课就让我们从如何正确观察几何图形开始吧。如图，这是一 一个立体图形还是一个平面图形呢？它看起来很像立体图形，实际上它是一个画在一张纸上的平面图形。 他很容易让我们认为他是立体图形的原因是我们的日常经验和大脑有时候容易影响我们对客观事实的判断， 它实际上是一幅立体画。再看这支笔是放在台阶上吗？显然，这也同样是一幅立体画。 立体画可以将任意一幅平面的图画转换制作成具有三 d 效果的立体图画。 在一个位置看到立体效果，画中的事物既能深藏画中，又能飘逸画外活灵活现，栩栩如生，给人以强大的视觉冲击， 让人看后流连忘返，过目不忘，被誉为有生命的图像。下面再让我们看几幅神奇的立体画， 这是跃然纸上的功夫熊猫， 这是晶莹剔透的一只酒杯， 这是正在休息的米老鼠， 这是栩栩如生的一批骏马。 哇， 这是朝你飞来的蜘蛛侠， 这是让我们如临其境的地面装饰。那么这些绘画大师们高超的绘画水平让我们感叹的同时，也让我们的视觉产生了错觉，看来眼见不一定为实。 当然，这些立体化的神奇效果是需要有一个特定的位置去观察的。 如果我们换一个位置再去看这幅立体画，可能得到的立体效果就不那么明显，甚至看不出立体效果。下面让我们再来看生活中的 几个物体的图片。我们来看一支笔能穿过并列放置的两个正方形木框吗？ 我们亲眼看到一支笔穿过了并列放置的两个正方形木框，这看似不可能的事，问题出在哪里呢？我们换个方向再去看它， 这时我们发现这两个目框并非并列放置的， 那么实际上是从特定的方向看，像是并列放置的两个正方形木框。 存在这样的三角形吗？这是一个全然不可能的三角， 他不可思议的创造了一种视觉扭曲感。英国数学家罗杰彭罗斯和他的父亲推广了这个图案，在一九五八年二月的英国心理学月刊上发表， 称它为最纯粹形式的不可能，因此我们也称它为铜螺丝三角形。 虽然他被称为最纯粹形式的不可能，但是有的同学可能不相信他的模型是可以制造出来的。 这个模型最早是有一位瑞典的艺术家在一九三四年制作完成，同学们可能会很好奇， 这个模型是怎么制造出来的？下面我们一起来寻找答案。 大家一起来看。这是一个彭罗斯三角形形状的装饰品，既美观又神奇。这是他的第一张照片。我们再来看第二张照片， 这时我们会发现这个彭罗斯三角形的装饰品好像并不是一个完整封闭的整体。 再看第三张照片就更加明显了。有的同学可能发现这个不可思议的彭罗斯三角形好像并不是那么神秘了。在澳大利亚东坡斯也有一座彭罗斯三角形 的雕塑，这是他的第一张照片。我们再来看他的另外两张照片。 看完这三张照片后，我们终于发现了这个彭罗斯三角形的真实的图形结构，也知道了为什么这个被称为最纯粹形式的不可能的雕塑是可以被制造出来的。 当然了，这主要是因为我们从不同的方向去观察，才发现了它的完整的形状， 所以这同样和我们观察一个物体的方向有关系。 下面我们再来看几幅有意思的图片，这是一个羊驼人吗？显然不是，是 相机的拍摄方向造成了一种羊驼人的效果。 这是一个悬浮空中的演讲者吗？这个演讲者真的能悬浮在空中吗？答案应该也是否定的，我们仔细观察，发现地面上的阴影其实是其中一面旗子的影子， 当然这也和拍摄这张照片的方向有关系。那么楼梯呢？在我们生活中呢，很常见，我们来看这幅图中的楼梯到底是下楼的角度还是上楼的角度呢？ 这很难看清楚，因为这张照片中的特征并不明显，如果想要 调整清楚，可能还是要去问问拍摄者，也就是我们要知道拍摄这张照片的方向。这是一个袖珍女孩吗？ 当然，这其实也是一个有趣的视觉误差，其中这个站立的女子的手误导了我们的眼睛。 我们仔细观察，会发现地面上有一个标志，也就是只有站在这个标志上才能形成这种视觉效果。当然，更重要的还需要一个从特定的方向去拍摄它。 这是一栋薄薄的建筑吗？同学们看，这个建筑看起来只有薄薄的一层，显得很不真实， 而事实上，它是存在于我们的现实世界的，就位于德国的汉堡。那么我们一个建筑的形状也不一定都是四棱柱形状的，也可以是三棱柱形状的，对吗？ 那么在看了上述的这些照片后，我们发现，当我们观察一个物体时，形成的画面与我们观察的方向是有关系的。那么避免上述错觉的最好方法就是从不同方向去观察。 那我们从哪些方向去观察一个物体，才能够获取它完整的信息呢？ 我们以长方体为例，长方体有六个面，如果我们从上下 下、左右前后都去观察它，是可以确定它的形状和大小的。 而实际上，对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究和处理。 一般情况下，我们观察一个立体图形都是从正面看，从左边看，从上面看，从不同方向看，立体图形往往会得到不同形状的平面图形， 那我们从正面看这个长方体可以得到一个长方形，这个长方形的一组林边对应的是原长方体的长和高。我们从左面看这个长 方体还是可以得到一个长方形，而这个长方形的一组林边对应的是这个长方体的宽和高。 我们从上面看这个长方体得到的同样还是一个长方形，而这个长方形的一组林边对应的是原长方体的长和宽。 那么我们从正面、从上面、从左面去观察这个长方体，得到了三个平面图形。 根据这三个平面图形所对应的原长方体的数据，我们把它按照如图所示的位置进行 关于他放置位置的描述。我们有一句口诀 叫长对正，高平齐宽相等。那么如何去理解呢？我们来看，我们先把从正面看得到的平面图形放好， 然后在这个平面图形的正下方放置从上面看得到的平面图形，从而体现了长对正， 然后在他的水平右侧放置从左面看得到的平面图形，这样既体现了高平齐，同时更加直观的体现了宽向 下面。我们就尝试着从三个方向去观察一些立体图形。我们先来看例一， 如图是一个由九个正方体组成的立体图形，分别从正面、左面、上面观察这个图形各能得到什么？平面图形，动手画一画 好，同学们画的都非常不错，而且也注意到了这三个平面图形的摆放位置， 这是从正面看得到的平面图形，那么我们在他的正下方 放置从上面看得到的平面图形，然后在他的水平右侧放置从左面看得到的平面图形。 那么对于这个结果，老师呢再提醒两点，一、我们能够看到的小正方体的冷场，对应的是我们平面图形中小正方形的边长， 那么在绘制这些平面图形时，我们要画出来，这样才能真实地体现出这个立体图形是由一些小正方体组合而成。 二、我们在画的这三个平面图形中所涉及到的小正方形的边长要一致，这样才能真正落实长对正高 高平齐、宽相等。 好，下面我们来看例二， 如图是同一个圆台，按照不同的方式放置了示意图，从上面分别观察这两个图形各能得到什么平面图形，动手画一画 好，同学们已经画完了，那么从上面去分别观察这两个图形，得到的平面图形都是两个同心圆， 那么对比后，我们发现左图中的这个圆台，我们从上面去观察它，可以看到它的上底面 和下底面的两个圆，我们用实线进行绘制，而右图中的这个圆台，当我们从上面去观察它时，有一个底面是被挡住的，那么为了正确地表示这个图形的结构，我们用虚线进行绘制。 好，下面老师呢出几道题考一考大家，我们来完成三道练习题。 先看练习一、分别从正面、左面、上面看圆柱、圆锥球各能得到什么平面图形 好？这三位同学答的都非常好，我们先来看 第一个圆柱，这是从正面、从上面和从左面观察它得到的平面图形。那么老师提醒一下，从正面看和从左面看得到的两个长方形是完全一样的， 这个长方形的长对应的是圆柱体的高，这个长方形的宽对应的是圆柱体底面圆的直径。 我们再来看从三个方向去观察圆锥得到的三个平面图形。 老师提醒一下，从正面看和从左面看得到的是两个完全一样的等腰三角形，那么这个等腰三角形的底对应的是圆锥 底面圆的直径，而我们从上面看这个圆锥时得到的是一个圆及其圆心，那么圆对应的是圆锥的底面的圆弧，而圆心这个点则表示的是圆锥的顶点。 好，第三个立体图形是球，那我们从三个方向去观察得到的是三个完全相同的圆，而这个圆的直径对应的也是球的直径。 好，我们来看练习二，分别从正面、左面、上面观察这些立体图形各能得到什么平面图形，这些立体 图形都是组合体。 好，同学们画的也非常好。我们先来看第一个立体图形， 它是由两个长方体组合而成，所以在这特别注意的是，当我们从正面去看它时得到的平面图形要绘制成两个完整的长方形，这样才能真实地反映它的图形结构。 第二个是由底面相同的一个圆锥和一个圆柱组合而成。 那么在这里同样提醒，当我们从上面去看他时得到的平面图形还是要画出圆及其圆心的好。第 第三个，这个立体图形是由四个小正方体组合而成，那么对于他的注意事项，我们和刚刚讲过的立一是一致的。 好，下面我们来看练习三，下列左图表示从上面观察一个由相同小正方体搭成的几何体得到的图形， 小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则从正面看该几何体得到的图形为 a、 b、 c、 d 中的哪一个呢？ 根据提议，我们发现从上面看这个几何体得到的图形是有六个小正方形的，那么这就说明这个几何体 是由六组数值放置的小正方体组合而成，而每组小正方体的个数就是对应的这个小正方形里面的数字。所以我们要想知道从正面看该几何体得到的图形是什么？我们可以采用的第一种方法是 逐步还原立体图形的结构，也就是我们可以先还原第一横排的这两组， 然后根据提议，我们再继续还原第二横排的这三组， 最后我们还原第三横排的这一组，这样的话我们就可以找到从正面看该几何体得到的平面图形，那么打 答案是 c 选项。当然了，更实用的是老师想说的第二种方法，也就是直接构造从正面看得到的平面图形。 那么根据我们正确的理解题，以后，我们还可以把这个几何体看成是由三纵列小正方体组合而成。 那我们从正面去观察这个几何体的最左侧这一纵列，我们可以看到四个小正方体， 那么对应的平面图形是最左侧应该是由四个小正方形竖直放置。然后我们观察这个几何体的中间这一纵列，我们是 可以看到三个小正方体的，那么就可以对应得到平面图形中中间应该是由三个小正方形竖直放置，最后我们再观察这个几何体最右侧这一纵列，我们可以看到两个小正方体， 那么对应的就可以得到平面图形中最右侧应该是两个小正方形竖直放置，这样我们就找到了从正面看该结合体得到的完整的图形，那么答案是 c 选项。 下面我们来小结一下本节课的学习内容。这节课我们学会了确定物体的形状特征，要从三个方向记正面、上面、 左面进行观察，分别可以得到三个平面图形，如图是这三个平面图形的摆放位置的要求。 那么在学习过程中我们也体会出了对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究和处理，这也体现了数学中的转化思想。 那么本节课也展现了同学们出色的空间想象能力，老师期待同学们在几何图形的学习中收获更多，那么本节课就上到这里，同学们再见！

各位同学大家好，今天我们一起继续学习几何图形的第二节课。在上一节课的学习中，我们发现我们日常生活中存在各种形状的物体，这些物体的外形都可以抽象成几何图形。 有些物体的外形可以抽象成立体图形，有些物体的外形则可以抽象成平面图形。比如这个地球仪，它的外形可以抽象成立体图形中的球。 这个水杯，它的外形可以抽象成立体图形中的圆柱。 教室里的钟表，它的外形可以抽象成平面图形中的圆。 五星红旗的外形可以抽象成平面图形中的长方形。那么对几何图形形状、大小、位置关系的研究，可以帮助我们更好的认识我们身边的世界。 那么这节课就让我们从如何正确观察几何图形开始吧！ 如图，这是一个立体图形还是一个平面图形呢？ 它看起来很像立体图形，实际上它是一个画在一张纸上的平面图形。 他很容易让我们认为他是立体图形的原因是我们的日常经验和大脑有时候容易影响我们对客观事实的 判断，他实际上是一幅立体画。再看这支笔是放在台阶上吗？显然这也同样是一幅立体画。 立体画可以将任意一幅平面的图画转换制作成具有三 d 效果的立体图画。在一个位置看到立体效果， 画中的事物既能深藏画中，又能飘逸画外活灵活现，栩栩如生，给人以强大的视觉冲击， 让人看后流连忘返，过目不忘，被誉为有生命的图像。下面再让我们看几幅神奇的立体画， 这是越燃纸上的功夫熊猫，这是晶莹剔透的一只酒杯，这是正在休息的米老鼠， 这是栩栩如生的一匹骏马， 这是朝你飞来的蜘蛛侠， 这是让我们如临其境的地面装饰。那么这些绘画大师们高超的绘画水平让我们感叹的同时，也让我们的视觉产生了错觉， 看来眼见不一定为实。当然，这些立体画的神奇效果是需要有一个特定的位置 去观察的，如果我们换一个位置再去看这幅立体画，可能得到的立体效果就不那么明显，甚至看不出立体效果。 下面让我们再来看生活中的几个物体的图片。我们来看一支笔能穿过并列放置的两个正方形木框吗？ 我们亲眼看到一支笔穿过了并列放置的两个正方形木框，这看似不可能的事，问题出在哪里呢？我们换个方向再去看他， 这时我们发现这两个目框并非并列放置的，那么实际上是从特定的方向看，像是 并列放置的两个正方形木框。存在这样的三角形吗？这是一个全然不可能的三角形，他不可思议的创造了一种视觉扭曲感。 英国数学家罗杰彭罗斯和他的父亲推广了这个图案，在一九五八年二月的英国心理学乐刊上发表，称他为最纯粹形式的不可能， 因此我们也称它为铜螺丝三角形。虽然它被称为最纯粹形式的不可能，但是有的同学可能不相信它的模型是可以制造出来的。这个模型最早是有一位瑞典的艺术家在 在一九三四年制作完成，同学们可能会很好奇这个模型是怎么制造出来的？下面我们一起来寻找答案。 大家一起来看。这是一个彭罗斯三角形形状的装饰品，既美观又神奇。这是他的第一张照片。我们再来看第二张照片， 这时我们会发现这个彭罗斯三角形的装饰品好像并不是一个完整封闭的整体。 再看第三张照片就更加明显了。有的同学可能发现这个不可思议的彭罗斯三角形好像并不是那么神秘了。在澳大利亚东坡斯也有一座 彭洛斯三角形的雕塑，这是他的第一张照片。我们再来看他的另外两张照片。 看完这三张照片后，我们终于发现了这个彭罗斯三角形的真实的图形结构，也知道了为什么这个被称为最纯粹形式的不可能的雕塑是可以被制造出来的。 当然了，这主要是因为我们从不同的方向去观察，才发现了它的完整的形状，所以这同样和我们观察一个物体的方向有关系。 下面我们再来看几幅有意思的图片，这是一个羊驼人吗？显然不是，是相机的拍摄方向造成了一种羊驼人的效果。 这是一个悬浮空中的演讲者吗？这个演讲者真的能悬浮在空中吗？答案应该也是否定的，我们仔细观察，发现地面上的阴影其实是其中一面旗子的影子， 当然这也和拍摄这张照片的方向有关系。那么楼梯呢？在我们生活中呢，很常见。我们来看这幅图中的楼梯，到底是下楼的角度还是上楼的角度呢？ 这很难看清楚，因为这张照片中的特征并不明显， 如果想要弄清楚，可能还是要去问问拍摄者，也就是我们要知道拍摄这张照片的方向。 这是一个袖珍女孩吗？当然，这其实也是一个有趣的视觉误差，其中这个站立的女子的手误导了我们的眼睛。 我们仔细观察，会发现地面上有一个标志，也就是只有站在这个标志上才能形成这种视觉效果。当然，更重要的还需要一个从特定的方向去拍摄它。 这是一栋薄薄的建筑吗？同学们看这个建筑看起来只有薄薄的一层，显得很不真实， 而事实上，他是存在于我们的现实世界的，就位于德国的汉堡。那么我们一个建筑的形状也不一定都是四棱柱形状的，也可以是 三能柱形状的，对吗？那么在看了上述的这些照片后，我们发现，当我们观察一个物体时，形成的画面与我们观察的方向是有关系的。那么避免上述错觉的最好方法就是从不同方向去观察。 那我们从哪些方向去观察一个物体，才能够获取它完整的信息呢？ 我们以长方体为例，长方体有六个面，如果我们从上下左右前后都去观察它，是可以确定它的形状和大小的。 而实际上，对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究和处理。 一般情况下，我们观察一个立体图形都是从正面看，从左边看，从上面看，从不同方向看，立体图形往往会得到不同形状的平面图形。 那我们从正面看这个长方体可以得到一个长方形，这个长方形的一组林边对应的是原长方体的长和高。 我们从左面看这个长方体还是可以得到一个长方形，而这个长方形的一组林边对应的是这个长方体的宽和高。 我们从上面看这个长方体得到的同样还是一个长方形，而这个长方形的一组林边对应的是 是原长方体的长和宽。那么我们从正面、从上面、从左面去观察这个长方体，得到了三个平面图形。 根据这三个平面图形所对应的原长方体的数据，我们把它按照如图所示的位置进行放置。关于他放置位置的描述，我们有一句口诀 叫长对正、高平齐宽相等。那么如何去理解呢？我们来看， 我们先把从正面看得到的平面图形放好，然后在这个平面图形的正下方 放置从上面看得到的平面图形，从而体现了长对正，然后在他的水平右侧放置从左面看得到的平面图形，这样既体现了高平齐，同时更加直观的体现了宽相等。 下面我们就尝试着从三个方向去观察一些立体图形。 我们先来看例一，如图是一个由九个正方体组成的立体图形， 分别从正面、左面、上面观察这个图形各能得到什么平面图形，动手画一画 好，同学们画的都非常不错，而且也注意到了这三个平面图形的摆放位置， 这是从正面看得到的平面图形，那么我们在他的正下方放置从上面看得到的平面图形，然后在他的水平右侧放置从左面看得到的平面图形， 那么对于这个结果，老师呢再提醒两点，一、我们能够看到的小正方体的冷场对应的是我们平面图形中小正方形的边长， 那么在绘制这些平面图形时，我们要画出来，这样才能真实的体现出这个立体图形是由一些小正方体组合而成。二、 我们在画的这三个平面图形中所涉及到的小正方形的边长要一致，这样才能真正落实长对正高平齐、宽相等。 好，下面我们来看。例二，如图是同一个圆台，按照不同的方式放置了示意图，从上面分别观察这两个图形各能得到什么平面图形，动手画一画 好，同学们已经画完了，那么从上面去分别观察这两个图形，得到的平面图形都是两个同心圆，那么对比后，我们发现 左图中的这个圆台，我们从上面去观察他，可以看到他的上底面和下底面的两个圆，我们用实线进行绘制，而右图中的这个圆台，当我们从上面去观察他时，有一个底面是被挡住的， 那么为了正确的表示这个图形的结构，我们用虚线进行绘制 好，下面老师呢出几道题考一考，大家我们来完成三道练习题， 先看练习一，分别从正面、左面、上面看圆柱、圆锥球各能得到什么平面图形 好？这三位同学答的都非常好，我 我们先来看第一个圆柱，这是从正面、从上面和从左面观察他得到的平面图形。那么老师提醒一下，从正面看和从左面看得到的两个长方形是完全一样的， 这个长方形的长对应的是圆柱体的高，这个长方形的宽对应的是圆柱体底面圆的直径。 我们再来看从三个方向去观察圆锥得到的三个平面图形。 老师提醒一下，从正面看和从左面看得到的是两个完全一样的等腰三角形，那么这个等腰三角形的底对应的是圆锥底面圆的直径，而我们从上面 看这个圆锥时得到的是一个圆及其圆心，那么圆对应的是圆锥的底面的圆弧，而圆心这个点则表示的是圆锥的顶点。 好，第三个立体图形是球，那我们从三个方向去观察得到的是三个完全相同的圆，而这个圆的直径对应的也是球的直径。 好，我们来看练习二，分别从正面、左面、上面观察这些立体图形各能得到什么平面图形， 这些立体图形都是组合体。 好，同学们画的也非常好。 我们先来看第一个立体图形，它是由两个长方体组合而成，所以在这特别注意的是，当我们从正面去看它时得到的平面图形要绘制成两个完整的长方形，这样才能真实的反映它的图形结构。 第二个是由底面相同的一个圆锥和一个圆柱组合而成，那么在这里同样提醒，当我们从上面去看他时得到的平面图形还是要画出圆及其圆心的 好。第三个，这个立体图形是由四个小正方体组合而成，那么对于他的注意事项，我们和刚刚讲过的立一是一致的。好，下面我们来看练习三， 下列左图表示从上面观察一个由相同小正方体搭成的几何体得到的图形，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数， 则从正面看该几何体得到的图形为 a、 b、 c、 d 中的哪一个呢？ 根据提议，我们发现从上面看这个几何体得到的图形是有六个小正方形的， 那么这就说明这个几何体是由六组数值放置的小正方体组合而成，而每组小正方体的个数就是对应的这个小正方形里面的数字。所以我们要想知道从正面看该几何体得到的图形是什么？我们可以采用的 一种方法是逐步还原立体图形的结构，也就是我们可以先还原第一横排的这两组， 然后根据题意，我们再继续还原第二横排的这三组，最后我们还原第三横排的这一组，这样的话我们就可以找到从正面看该几何体得到的平面图形，那么答案是 c 选项。 当然了，更实用的是老师想说的第二种方法，也就是直接构造从正面看得到的平面图形。 那么根据我们正确的理解题以后，我们还可以把这个几何体看成是由三纵列小正方体 组合而成。那我们从正面去观察这个几何体的最左侧这一纵列，我们可以看到四个小正方体，那么对应的平面图形是最左侧应该是由四个小正方形竖直放置。 然后我们观察这个几何体的中间这一纵列，我们是可以看到三个小正方体的，那么就可以对应得到平面图形中中间应该是由三个小正方形竖直放置。 最后我们再观察这个几何体最右侧这一纵列我们可以看到两个小正方体， 那么对应的就可以得到平面图形中最右侧应该是两个小正方形竖直放置，这样我们就找 到了从正面看该及格题得到的完整的图形，那么答案是 c 选项。 下面我们来小结一下本节课的学习内容。这节课我们学会了确定物体的形状特征，要从三个方向记，正面、上面、左面进行观察，分别可以得到三个平面图形， 如图是这三个平面图形的摆放位置的要求。那么在学习过程中我们也体会出了对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究和处理，这也体现了数学中的转化思想。 那么本节课也展现了同学们出色的空间想象能力，老师期待同学们在几何图形的学习中收获更多。那么本节课就上到这里，同学们再见！

这个视频里，我来给你讲讲啥叫旋转。比如这有一个钟表，它的分针和时针都在绕着表盘的中心不停的转动，如果咱们把这里的分针看成一个平面柱形， 那他绕着平面内这点转动一个角度，这就叫做图形的旋转了。在这里点 o 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 如果分针顶端的点叫做点 p， 那经过旋转之后变为点 p 撇，这两点就叫做这个旋转的对应点。不难看出， p o 和 p p o 这两条线段的长度是相等的， 换句话来说，也就是对应点到旋转中心的距离相等，而这俩线段所夹的夹角就是旋转角了。最后旋转前后的俩图形很明显是全等的，这就是旋转所具有的性质了。到此，啥叫旋转？ 对于你来说肯定已经不陌生了。这个视频里我来给你讲讲如何画旋转图形。比如给你个十乘十的正方形网格，每个小正方形边长均为单位。一。在这里有一个三角形 a、 b c， 让你把这个三角形绕着顶点 c 顺时针旋转九十度， 那旋转之后得到的三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇该咋画呢？由于旋转得到的还是个三角形，那只要确定好它的三个顶点的位置就 ok 了。 这里面最简单的当然就是点 c 对应的 c 撇点，因为三角形就是绕着点 c 旋转的，那点 c 就是旋转中心，所以对应的 c 撇点当然还在这里 第一个搞定了。接下来看看 b 点对应的 b 撇点又在哪里？由于 b c 是一条水平方向，长度为三的线段，那让他绕着点 c 顺 时针旋转九十度，自然会变成竖直的，也就是这样，那 b 撇点自然就在这里了。最后还剩下 a 点对应的 a 撇点，它又该位于什么地方呢？ 线段 ac 是一条斜着的线段，那他旋转之后的情况当然不如水平的好判断，不过也没关系，咱把这条斜着的 ac 当做这个长方形的对角线不就欧了。如果能够搞定这个长方形是咋旋转的，之后再确定这个对角线就轻而易举了。 这个数值的长方形，长是一，宽是三，那顺时针旋转九十度之后，自然就变成了水平方向的一个长是三，宽是一的长方形，相应的对角线就是这条，那 a 撇点也就在这了。 到此，旋转之后的三个顶点就全都搞定了，接下来只需要把这三点连接起来即可，就是这样，这就是旋转之后的三角形 a、 b 撇 c 撇吧。好了，就讲这么多，总结一下，要想在网格当中画出一个图形旋转九十度之后的样子，那就得先分别找到各个顶点的位置才行。其中水平的边会变为竖直，而斜着的边也不要紧， 只要把它看成锁在长方形的对角线即可，然后旋转整个长方形就可以了。怎么样，听懂了吧，赶紧动手试试吧！ 这个视频我来讲讲几何中的基本元素。点和线点沿相同或相反的方向运动，就可以形成直线，这就是点动。呈现一个点的运动方向有很多，所以咱想确定一条直线，就得再来个点，也就是说两点才能确定一条直线。 咱可以用一个大写英文字母表示点，比如点 a， 点 b， 所以这条直线就叫直线 a、 b。 直线没有方向，所以你也可以叫它直 线 ba。 如果直线上再找一点 c， 直线 ac 也是他。那么问题来了，平面上两点可以确定一条直线，那三个点可以确定几条直线呢？你看这里的 abc a、 c， 可以确定一条直线 b、 c 也可以确定一条直线 a、 b 也能确定一条直线，一共是三条。等等，好像哪里出了问题？ 题目中三个点的位置并不确定，如果三个点排排站，刚好在一条直线上，专业的讲，这叫做点 b。 在直线 ac 上或直线 ac 经过点 b， 那这样直线 a b， 直线 a c， 直线 b c 就是同一条直线了呀，所以也可能只有一条。那三个点可以确定的直线就有两种可能，一种是三点不共线，可以画三条直线。另一种是三点共线，只能画一条直线。 答案就是三条或一条直线。讲完了，接着再讲讲射线。在直线 a、 b 上取一点及其一侧的部分，就讲射线，可以表示为射线 a b。 射线 a、 b 是点从 a 向 b 方向运动的， a 是它的端点， 在这条射线上任取一点 c， 射线 ac 的端点和方向都没有改变，还是这条射线。如果反过来点从 c 向 a 方向运动，就是射线 cac 是他的端点。而射线 ba 则是以 b 为端点的，跟他们都不一样。 你看确定好端点和方向，就可以确定一条射线了。刚才的射线都只有一个端点，如果我找两个端点 a、 b， 把中间的部分截下来，就是线段，可以叫做线段 a、 b。 线段也没有方向，所以线段 b a 也是他刚才关于直线、射线和线段的表示方法，都用了俩 字母，其实你也可以给他们单独取名字，用一个小写字母就行。比如直线 a、 b， 你可以叫他 l 去 line 的首字母，那这条直线就是直线 l 类似的，你可以管这条射线，叫 r， 记做射线 r， 管这条线段叫 m， 记做线段 m。 好了，以上就是直线、射线以及线段，我来给你总结一下。 因为两点确定一条直线，所以你可以用两个大写字母来表示它，把它叫做直线 ab 或者直线 ba。 而射线和线段都是直线的一部分，其中射线有一个端点和方向，所以射线 ab 和射线 ba 不一样，而线段有两个端点没方向，所以线段 ab 和线段 ba 是同一条。 为师这就讲完了，徒儿们速速发题去吧！这个视频我给你介绍两个中学几何中画图的神器，咫尺 和圆规。注意，这里的直尺是没有刻度的，只能用来画直线。好了，咱来画个图试试。平面上散落着几个点，分别是 abcd， 他让你按要求作读，一、连接 ab， 这里有时也写作连结 好，你就用直尺把 a、 b 连起来，得到线段 a、 b。 二、做线段 a、 b 的延长线。这里补充一下，只有线段才有延长线哦，直线本身就是无限延长的， a、 b 的延长线是指从 a 向 b 的方向延长。对了，就是做出射线 a、 b。 三、连接 a、 c 并反向延长 a、 c 连接。你会了，反向延长是啥意思呢？就是向相反的方向延长，反向延长 a、 c， 即延长 c a。 怎么样？简单吧，最后一个终极大 boss， 在线段 a、 d 的延长线上取 a、 e 等于 a、 b。 终极大 boss 果然学后这句话，咱得分三步化，首先连接 a、 d， 得到线段 a、 d， 然后延长 a、 d， 得到射线，之后调取 a、 e 等于 a、 b。 怎么量 a、 b 的长度呢？用直尺怎么样？ oh， no！ 这尺子是没有刻度的，还好咱们有圆规，可以用它量去 a、 b 的长度。选到 a、 d 上就是点 e 了， a、 e 就是所求线段。 以上就是简单的尺规作图，其中的尺是一把没有刻度的直尺，他能保证你画的线都是直的，但没法量长度。其中的规是指圆规，他能用来保证线段长度一致。为师这就讲完了，徒儿们快去做些题目吧。 一艘小船行驶在弯弯的河道上，从 a 到 b， 甚是遥远。如果能把河流由弯改直，那可就近多了。 在这里咱用了一个原理，就是从一个点到另一个点，直线距离是最短的，这可以简称为两点之间直线最短。不对啊，直线是可以无限延长的吧，他怎么能有最短的时候呢？ 两点之间的这段应该叫线段，所以两点之间线段最短，这条线段的长度就是两点之间的距离。你要记住，两点间的距离是两点间线段的长度，而不是这条线段 a、 b。 比如有个小弱题问你， a、 b 间的距离是请选择较长的，这个线段 a、 b 的长度可别选成线段 a、 b 哦。那么问题来了， 土豪牵着一只汪星人打算回家，途经一条很窄的小溪，汪星人想要喝水，土豪应该让汪星人在哪里喝水才能刚好不绕路呢？利用两点之间线段最短，土豪只要牵着汪星 向家奔跑就可以了。图中与小溪相交的地方就是汪星人喝水的位置了，任何一个其他的位置都会绕路。简单来总结一下这个视频，你学会了两句话，第一句是两点之间线段最短，第二句是两点之间的距离，就是两点间线段的长度。 为师这就讲完了，徒儿们速速刷题去吧！这个视频我来讲讲线段计算， 知道直线和射线都可以无限延长，而线段不可以，他有长度，也就可以进行测量、比较和分割，也可以把两条线段拼在一起，他们可以叠加。比如这样，线段 a、 b 就等于线段 a、 c 加线段 c、 b 写成算式就是 a、 b 等于 a、 c 加上 c、 b。 你也可以说，线段 a、 b 减去线段 b、 c 就等于线段 a、 c 写成算式就是 a、 b 减 c， b 等于 a、 c。 如果我用点 c 把线段 a、 b 的长度平分成两份，那么 a、 c 的长度等于 b， c 的长度都是 a、 b 的一半，这个点 c 就叫做 a、 b 的终点。 类似的，我可以用 m 和 n 两个点，把线段 a、 b 平均分成三分，那线段 a、 m 就等于 m， n 也等于 n， b 都是线段 a、 b 的三分之一， m 和 n 就叫做线段 a、 b 的三等分点，所以三等分点有两个。当然，你也可以将线段 a、 b 四等分，四等分点就得有三个。此时四段一样长，都是 a、 b 的四分之一。不难看出，这里 a、 m 等于 m、 b， 所以 m 也是 a、 b 的终点。 那么问题来了， d 是线段 a、 b 靠近 a 的一个四等分点，那 d、 b 是 a、 d 的几倍呢？先把图画出来，这是线段 a、 b、 d 是靠近 a 的四等分点，那大概就在这。既然 d 是四 四等分点，那么 a、 b 就是它的四倍。写成式子， a、 b 就是四 a、 d 题目问的是 d、 b 跟 a、 d 的关系，那就求一下 d、 b。 你看 d、 b 恰好是 a、 b， 减去一个 a、 d， 那就是四 a、 d 减 a、 d 得三倍的 a、 d 了，所以 d、 b 是 a、 d 的三倍。 那么问题又来了，我把这个题补充一下。 e 是 b、 d 中点，那就在 b、 d 中央标上点 e、 c 在 a、 b 的延长线上，那就延长 a、 b。 找到 c， a、 d 长度是二，这儿是 a、 d 标上二， b、 c 长度是三，把它也标到图上， 然后要求 e、 c 是多少。你先别管题目问你啥，先看看你能求啥。 b、 d 是三倍 a、 d， 而 a、 b 是二，那 b、 d 就是三，乘二等于六，而 e 是 b、 d 终点，所以 e、 b 就等于 e、 d 都是全长的一半，也就是三。另外， b、 c 也等于三。如此这般，你就把所有线段的长度都表示出来了，他让你求啥都不怕了，他让求 e、 c 就是这段。嘿嘿，这不就是三加三等于六吗？怎么样，简单吧！ 以上就是简单的线段计算，在解题时，你只要把已知的长度在图中标出，再利用倍数关系以及和差关系，把能求的线段长尽量求出来，答案自然就搞定了。为师这就讲完了，徒儿们速速刷题去吧！ 这个视频咱还来教教线段计算线段之间的和差关系以及倍数关系。你已经会了，不妨来看看这种问题。已知线段 a、 b 长度是七，在直线 a、 b 上取一点 c， 使 b、 c 等于三，求 a、 c 的长度 这类问题比较讨厌，因为它木有图，没图你就自己画线段 a、 b 长度是七，那就做出显 段 a、 b 标上七，在直线 a、 b 上取一点 c， 使 b、 c 等于三。不妨就让 c 在这 b、 c 的长度就是三，要求 a、 c 的长度，这显然就是七减三，等于四，搞定。那你错了，为啥呢？ 这里说在直线 ab 上取一点 c， 直线是可以无限延长的，所以 c 也可以在 ab 的延长线上。这个点也满足。 bc 等于三，那 ac 的长度就得是七加三等于十了。所以这个题的答案是四或十，有俩，可别丢一个。 如果我把这个题稍作调整，取 a、 b 终点 m， 其余条件不变，求 m、 c 的长度。这就在考察你终点的概念了。找到 a、 b 终点，标上 m， a、 b 是七，被平均分成两段，每段都是三点二、五， c 还是在直线 a、 b 上，也就是仍然有两种可能，一种是 c 在 b 的 左边， b， c 是三，此时 m， c 是零点五。还有一种是 c 在 b 的右边， b、 c 是三，此时的 m、 c 就是六点五啦，正确答案就是零点五或六点五。什么？太简单了，那我就再变个形，前面的不变，后边改成取 a、 c 终点 n。 求 a、 n 的长度。 这事啊，无论怎么改题，他都是木有图的，都得先画图，做出线段 a、 b 标上七，在直线上找到 c， 注意 c 还是两个位置。 bc 标上三，现在要找 ac 终点，那就在第一种情况下找到 n， a， n 是 a、 c 的一半，此时线段 a、 c 等于四， a、 n 就是二。另一种情况， a、 c 的长度是十， n 是 a， c 终点 an 的长度就是五。这个题的答案也是俩，二或五。这种木有图的问 题很常见，一般都是多减，你问有没有二班的情况，那当然有，有些语句可以唯一确定点的位置，比如这种情况可以描述为在线段 a、 b 上取点 c， 那 c 点就只能在 a、 b 之间，在由 b、 c 的长度就可以确定 c 点的位置。 而这种情况则可以描述为顺次取点 a、 b、 c， 顺次表明按照顺序，那就是说 c 点在 a、 b 延长线上。 所以，当看到木有图的线段计算问题时，一定要注意几个关键词，在线段上取点或者顺次取点可以确定点的位置，而在直线上取点一般都是多减。就这样，钦此， 这个视频咱继续讲线段计算的事。大部分计算都会给你具体的数字，你只要算一算就能搞定。如果没有具体数字，而是给个字母，那该咋办呢？ 比如这个问题，已知线段 a、 b 点， d 是 a、 b 的终点， a、 c 等于 a、 b 的三分之一。设 a、 b 等于 x， 求 d、 c 的长度。这题一个数都没给，可该咋办呢？没关系，不是给了 x 吗？把它当成数就可以了。 a、 c 是 a、 b 的三分之一，那它就等于三分之 x， d 是 a、 b 中点，那 a、 d 就是 a、 b 一半，也就是二分之 x， d、 c 是线段 a、 d 减去 a、 c 看看你刚才标的数， a、 d 是二分之 x， a、 c 是三分之 x， 那 d、 c 显然就是它俩的差，结果是六分之 x 搞定。如此看来，只要给你一个 x， 你就可以把所有线段长度都用 x 表示出来，这绝对是线段计算的大招呀！那就打个怪试试吧，看看这个题，哦 no， 又木有图，没关系，咱自己画已知 线段 a、 b， 你就把 a、 b 画出来。延长线段 a、 b 至 c， 使 b、 c 等于二分之一 a、 b， 那你就延长 a、 b， 取 b、 c 是 a、 b 的一半。找到点 c 啦！反向延长线段 a、 c 至 d， 使 a、 d 等于三分之一 a、 c。 还记得反向延长是啥不 对了，就是向相反方向延长，反向延长 a、 c， 即延长 c， a， 取 a、 d 是 a、 c 的三分之一，这就找到 d 了。线段 c、 d 等于八，求 a、 b 的长度，把数标到图上， c、 d 是八，求 a、 b 这两条线段啥关系都没有，这可怎么求？ 别忘了咱有大招， x 君既然求 a、 b， 那就设 a、 b 是 x， 如果能用 x 把 c、 d 表示出来，那不就搞定了吗？咱来试试。 b、 c 是 a、 b 的一半，也就是二分之 x， a、 d 是三分之 a、 c， 那 a、 c 是多少呢？显然， a、 c 就是 x， 加上二分之 x， 也就是二分之三 x 了，那它的三分之一自然就是三分之一乘二分之三 x， 算一算就是二分之一 x。 你看，所有线段都用 x 表示出来了， 等等，重点是 c、 d 啊！别着急， c、 d 不就是 a、 d 加 a、 c 吗？写成算式就是二分之一 x 加二分之三 x， 于是两者相加，答案就等于二 x 了。既然 c、 d 是八，也就是二 x 等于八， x 就等于四，这就是 a、 b 的长度了。怎么样？简单吧， 以上就是列方程，求线段长度。我来给你总结一下，遇到无法直接计算的线段问题，要设其中一个线段长度为 x， 然后把相关的线段都用 x 来表示，最终得到一个关于 x 的方程，解除 x， 一切就搞定了。就这样，钦此。

这个视频我们来看一看点线面体又叫做图形的运动。在上个视频里面，我们是不是已经认识了简单的几何体，比方柱体、棱柱、圆柱、锥体、棱锥、圆锥，还有球体。 但同学们知道吗？这些几何体它实际上可以看作是更简单的图形构成的。 比方说这个长方体，他有六个面，所以我们可以说长方体是由面构成的， 而每一个面呢，又都是长方形，长方形呢又是由四条线段所组成的，而线段又是由若干个点连接而成的，所以我们说点线、面 体，他们之间是存在联系的。下面我们来看一看，平面上有这样一个静止的点，看一下他运动起来是什么情况，一个点在运动，如果把速度加快一点呢？仿佛看到几个点在运动，再加快一点呢， 形成了一连串的运动轨迹。通过动态的观点去看，一个点运动起来形成的轨迹就是一条线。 这个好比我们平时看到下雨的情况，实际上都是雨滴，但滴落下来连接起来的运动轨迹，就像一条一条的线，最能体现点动呈现的一个实力，就是铅笔写字，铅笔每走一步都是留下一串， 这些点连接起来就形成了一条一条的线，用运动的观点来看，就是点动呈现。 再来看一下这个像仪表盘，也像雨刮器，本来是一条线，他在运动，运动起来就形成了一个面。看一下汽车上的雨刮器也是这样的情况，本来都是一条线在运动起来就形成了一个面，覆盖在挡风玻璃上， 用动态的观点来看，就是线动层面。 再来看一下水桶里面的水，本来只有一个水面，在他向上运动的过程当中就形成了一个体积。看一下， 用动态的观点去看，就是面动成体， 通过动态的观点去看图形就是另外一回事了，这就是我们要学的知识点，动成线，线动成面，面动成体。 一起来看一下。例一，把下列图形绕虚线旋转一周，能形成哪个几何体？ 先来看一下第一个图形，这是一个长方形，或者说是矩形，按照逆时针旋转。这就要考察同学们的抽象思维了，大脑想一下，他旋转一周能形成一个什么图形？我们来看一下。 这样旋转一周就形成了一个 圆柱体，这就是面动成体。同理，一个直角三角形，如果我们绕着他的直角边来逆时针旋转，旋转一周，他能形成一个什么图形呢？一起来看一下。 形成了一个圆锥，再来看一下第三个，这是一个直角梯形，绕着他的直角腰进行逆时针旋转一周，能形成一个什么图形？我们来看一下， 这个图形叫圆台，同学们对这个几何题可能还不熟悉，因为咱们初中没有涉及到，这是高中要学习的知识。像这种的就是一个圆柱，这种的就是一个圆锥，这样的就是一个圆 圆台。圆台可以看作是一个圆锥，在上面截去了一个小圆锥，而形成的是一个台体。 再来看一下，例二，如图是一个长为四厘米，长为四厘米，宽为三厘米这样的一个长方形纸片， 若将此长方形纸片绕较长的边所在的直线旋转一周，能形成的几何体是什么？其体积又是什么？ 脚长的边肯定就是四厘米这个边。我们来看一下，绕着这个边去旋转一周，前面立一，我们学习了一个矩形，旋转一周，形成的是一个圆柱体，绕脚长 长的这一边旋转形成的这个圆柱体，它的体积如何去计算呢？小学的时候咱们学习过体积长方体的体积就是长乘宽乘高。 圆柱体的体积，我们就要用底面积再乘上一个高，这里的底面的半径是三，高是四，那么它的体积就是啊， 派二的平方，底面积再乘上一个高 h 就是派乘以三的平方，再乘以四，就是三十六派，所以这里填圆柱，这里填三十六派立方厘米，一定不要把单位落下，这里给出来的单位是厘米。 当绕角短边所在的直线旋转一周的时候，所形成的几何体是什么？ 其体积又是什么？看一下较短的边就是三厘米的这个边， 这样绕一圈，不管他是绕哪个边，他形成的都是一个圆柱体，这个的体积就发生变化了，因为他的底面半径发生了变化，底面半径变成了四，高变成了三，我们来看一下他的体积， v 二等于派二的平方乘以 h， r 变成了四，就是派乘以四的平方， h 变成了三，再乘以个三，最后得四十八派，所以它的体积是四十八派立方厘米。 课堂小结一下这个知识点，主要就是让同学们通过抽象的思维， 用动态观点去看图形的运动来，同学们跟我一起来读一下，点动成线，线动成面，面动成体，非常的简单。 一起来看一下图形的运动的练习题。第一题如图，将一个长为四厘米， 宽为两厘米这样的一个矩形绕直线 l， 这是直线 l 去旋转一周所得几和体的体积是多少？ 要想知道它的体积是多少，我们首先要知道它旋转一周以后得到的是一个什么图形。这个直线 l 并没有在它的中间位置，而是在这样一个位置，这段距离是三，总长度是四，所以左边是一厘米。我们来看一下它到底旋转成了一个怎样的图形。 这样来看，它仍然是旋转成了一个啊圆柱体。这个圆柱体的半径 是三厘米，它的高当然就是二厘米。那现在我们知道了这个圆柱体，它的 底面半径又知道了高，我们是不是知道它体积怎么求了？它的体积就等于底面积，派二的平方再乘上 高 h， 底面半径是三，所以 r 就用三去替换，派乘以三的平方，再乘以啊高两厘米，再乘个二，最后得十八派立方厘米， 一定不要把单位给忘了。答，所得几和体的体积是十八派立方厘米。这道题就做完了。 第二题，图中的大矩形长八，宽六，这是大矩形的长和宽，小矩形长四宽三，这是小矩形的长，还有宽以长边终点连接线，长边终点的连接线，也就 是图中的这个虚线，以它为轴，将图中的阴影部分，也就是这个凹字形的这一部分旋转一周得到的几何体的体积是多少？ 我们先来看一下这个阴影部分，它旋转能形成一个什么样的图形。 只有这个大矩形去旋转，它就会形成一个大的圆柱体， 但是这有一部分是凹进去的，也就是这个小矩形的一部分是空白的小矩形，再去旋转，同样形成的也是一个圆柱体，只是这一部分没有， 所以它形成的这个几何体我们来看一下，就是一个 大的圆柱体，中间挖去了一个小的圆柱体，而大的圆柱体的 直径高我们都知道，小圆柱体的直径高我们也知道，一起来看一下。先把大圆柱体的体积求出来， v 一等于派二，一的平方乘以 h 一，就是底面积，再乘上它的高， 它的底面半径，底面直径是八，所以半径就是四，用四去替换 r 一，它的高 h 一就是六， 用六去替换 h 一，就得到九十六派，这是大圆柱的体积。再来看一下小圆柱的体积， v 二等于底面积乘高派二，二 的平方乘以 h 二，它的半径就是二，高是三，得出来是十二派。 这个几何体，它的体积就要用大圆柱的体积减去小圆柱的体积， v 等于 v 一，减去 v 二，得八十四派。 答，得到的几何体的体积就是八十四拍。