拉格朗日内层函数

上节课我们讲了三大威风，中指定理中的第一个罗尔中指定理，这节课我们来学习第二个拉格朗日中指定理。我们知道拉格朗日中指定理是罗尔中指定理的推广，如果我们将罗尔中指定理中 f a 等于 f b 这个条件去掉， 并且把结论 fepxc 等于零改成这个式子，那么这个定理就不再是罗尔终止定理，而变成了今天我们要学习的拉格朗日终止定理。 介绍完了定义，我们来看看他的图像。首先还是做出一个 b 区间连续开区间可导的函数，假设其起点处的坐标为 afa， 终点处的坐标为 bfb， 连接起点与终点这条 红色的线就是曲线的一条割线，这样 b 减 a 就是割线在水平方向的增量，而 fb 减 fa 就是割线在数值方向上的增量， fb 减 fa 除以 b 减 a 表示的就是这条割线的斜率。 而拉格朗日终止定理的结论就是，在 ab 内至少存在一点，可 c 这一点的切线斜率与搁线的斜率是相等的， 也就是至少有一点，他的切线与割线是平行的。看完了几何意义，我们来看看他与罗二中之定理之间的联系。前面我们说过拉格朗日中之定理是罗二中之定理的推广，这在几何上就有所体现。具体的 罗尔中指定理可以看作拉格朗日中指定理旋转到特定角度后的结果。比如下面这个函数，他在臂区间连续开区间可挡，符合拉格朗日中指定理，将其旋转到一个特定的角度， 此时右边这个几何图形既符合罗尔中治定理，也符合拉格朗日中治定理，而左边这个几何图形仅满足拉格朗日中治定理，不满足罗尔中治定理，这说明罗尔中治定理是拉格朗日中治定理的特殊情况。 看完了几何意以及其与罗尔中制定理的关系，最后我们来看看拉格朗日中制定理的证明，在这里大家可以暂停几秒 看一看证明过程。好，相信大家已经看完了，可以看到这个证明并不复杂，其中最关键的一步就是引入了一个辅助函数。那为什么会想到引进这样一个辅助函数呢？下面就来讲一讲。 首先证明的思路是用罗二中制定理来证明拉格朗日中制定理，而我们知道罗二中制定理的结论就是导数等于零， 拉格浪日终至定流的结论就是这个式子。那么我们就是要通过 gpxc 等于零推出这个式子。 怎么推呢？我们可以从目标的这个式子出发，对它进行变形，将它变形成即一撇可 c 等于零的形式。下面就开始 变形，我们将这个式子变形为等式一侧为零的形式。结合前面讲的，这里就将等式左侧设为基撇可 c， 也就是基撇可 c 等于这个式子。根据基撇可 c 的表达式，我们可以假设 gx 为他，这里同学们可以暂停一下，验证一下 gpx 是不是就是上面这个柿子， 下面将 ab 带入 gx， 可以发现 ga 等于 gb 都等于 afb 减 bfa。 由此可知， gx 是一个符合罗尔中之定理的函数，也就是在 ab 内存在一点，其导数为零， 这样拉格朗日中制定理就得到了证明，因此这个式子就是我们需要的辅助函数 gx， 通过它就能完成拉格朗日中制定理的证明。

已知 4x 平方加九 y 平方等于 36， 求 x 加二 y 的最大值最小值。解法 6 拉格朗日乘数法，求最值构造拉格朗日函数 lx y 拉姆达等于 x 加二 y 加拉姆达。 4x 平方加 9y 平方减 36 x 四加二 y 是目标函数。四 x 平方加九 y 平方等于 36 是条件方程。拉格朗日函数关于 x 的偏倒，把 x 看成唯一变量，即把其他变量看成常数进行求导，等于 x 偏倒唯一 2y 偏岛为零。四拉姆达 x 平方，偏岛为八拉姆达 x 拉姆达九 y 平方减三十六偏岛为零，另它等于零。关于 y 的偏岛等于 x 的偏岛为零。二 y 的偏岛为二。 九拉姆达 y 平方的偏岛为十八拉姆达 y 拉姆达。 4x 平方减 36 的偏岛为 0， 令它等于 0。 关于拉姆达的偏岛等于 4x 平方加 9y 平方减 36， 令它等于 0。 一是两是三是组成方，成组由一是得八拉姆达 x 等于负一，由二是得十八拉姆达 y 等于负二。两边相比，约去副号，约去拉姆达，再约二由一是二是得到 y 等于九分之八 x， 四是四是带入三是四。 x 平方加九分之六十四， x 平方等于三十六，等是两边同成九，同出异四的九 x 平方加十六 x 平方等于八十一，合并二十五 x 平方等于八十一。得到 x 等于正负五分之九， 但入四十得到 y 等于正负五分之八。五分之九，五分之八，负五分之九，负五分之八是两个注点，可能是即止点。注点是否为即止点，是否为最直点，要检验。而题目要我们求最大值、最小值，条件是缘是连续封闭的， 注点恰好两个，从而可以下定论，此两注点不仅是极值点，而且还是最值点。所以， x 加二 y 的最大值等于五分子九加二乘五分子八等于五。 x 加二 y 的最小值等于负五分子九加二乘以负五分之八等于负五。若喜欢本视频，请长按点赞、收藏、转发，欢迎到评论区留言，为了方便浏览，遗忘视频，不错过今后精彩内容，敬请关注时空流行，谢谢观看，再见！

大家好，今天我们继续来讲这个威风终止定理中的第二个拉格朗日终止定理。上节课的话已经说完了，这个罗尔终止定理他的证明和应用已经说的非常详细了，咱们呢快速复习一下。 这个罗二中指定理指的是什么？指的是如果一个函数满足这三个要求，哪三个要求呢？如果函数满足在 b 区间上连续，开区间上可导， 并且在这个区间左右端点他是相等的，那么这个就是卢二中制定理，他的前提。三个啊，都得满足，当你满足这个前提条件之后，结论就是这个红线所画的啊， 啊，那么在 ab 之间肯定至少存在一个数字可赛，使得这可赛处的这个导航数值 f 片可赛等于零，这个呢，就是罗尔终极定理，他这个几何亿也好例假，实际上指的就是 ab 中间这一段函数，图像上肯定 中间有某一个点，他的导函数的值肯定是怎么样？肯定是等于零，或者说中间红色部分啊，中间肯定有某一个点处，他的缺陷是水平的，是平行于 x 轴的这样一个集合含义。 那现在呢？有了罗二种植定理，那现在我们用罗尔种植定理是可以证明这个拉格朗日种植定理的。 拉格朗式中指定理怎么说他呢？两个前提啊，只需要满足函数在 b 区间上连续，并且在开区间上可倒就行了。需要满足左右两个端点的直向了吗？不需要。 所以说，显然这个拉格朗日终止定理他特殊化以后，也就是如果说左断点等于右断点之后呢，那就变成了罗尔终至定理。罗尔定理呢，是拉格朗日终至定理的特殊情况啊，那现在怎 怎么去证明这样的拉格朗中指定理呢？我们先看这个几何亿，你也好理解嘛。那么当你满足了在 b 群圈连续开区间可导这样一个前提以后，那么结论就是在 a b 区间之间呢，肯定是存在某一个数字科赛，使得 f 片儿科赛等于 a， b 就 两个端点所连直线的斜率的就这个含义。那几个含义不就是说在 ab 之间这个函数图像上的某一个点，他的切线跟 ab 这条直线是平行的，能理解这个含义吧。那现在的话，我们怎么去证明呢？其实就是想这样， 你这个 fx 不满足罗尔终止定理，但是我们根据 fx 可以构造一个 fix， 使得 fx 满足这个 fa 和 fb 相等，然后从这个辅助函数 ff 的性质里头，通过罗尔定理来 来证明 fx 这样一个函数满足拉格朗式充值条例能理解这个意思吧，但是最难的地方就是在于你怎么构造这样的 fx 直接构造呢？这个说不明白，但是 图中哪条挺关键的？从几何意义，或者从最后这样一个画圈的式子来说，其实 ab 所连的这条直线，它的解析式是非常重要的。 那索性，哎，还记得这个点斜视吧。斜率是什么来着？点斜视，点斜视可以说是高中学的最重要的直线的解析式了吧。点斜视当然还有一般是啊， 点形式指的是斜率。好说啊，两点之间斜率公式， b 减 a 分之 fb 减 fa。 好了，斜率知道了。哎，那那个点呢？点是有的，点的话，那你就写 a 点呗，图中这个 a 点坐标就是 a， 逗号 fa， 你 看点知道了，斜律知道了，所以说 ab 这条直线他的解决是应该知道了吧。那不就是 y 减 fa 怎么样？外减 fa 等于 k 背的 这个多少 k 位的 x 减 a， 对吧？嗯，那么这是点些是，但是这个 k k 的话，我们就画成这样的，已知的 b 减 a 分之 f， b 减 f a 的形式。 那我们可以移向啊，把这个负 f 移到等号右边去，就变成了。这么好了，那不就变成了啊，这 fa 加上。所以实际上你说这个 l x 这样一个函数，他表示谁啊？他实际上就表示图中 ab 这条直线他的情况。哦，那我有这个想法了， 那可以怎么处理呢？我们直接用谁减谁呀？同学们。所以说辅助函数我们只需要用原来的这个 fx， fx 是图中这样，他肯定一般来说是有弧度的，是波动的，对吧？这是红色的，是 fx。 那你再减去这条直线 lx， 他的企业是不就行了吗？为什么？ 看 fa 减 la， 左边相减等于零了吧，那右边也是啊， fb 减去 lb， 那右边相减也等于零，为什么？因为在 ab 两个端点处怎么样啊？你无论 fx 还是这个 lx， 他都是过 ab 这两个点的，你函数值一减， 哦，这个 fa 就等于 fib 都等于零了，能理解这个含义吧。所以说对这个 fx 这样一个辅助函数来说，这个非常重要啊，他是不是满足在 a 到 b 之间怎么样连续吧，没问题啊。嗯，然后在 a 到 b 之间怎么样 可以倒闭这样一个开局键可倒吧，而且你不信，算一下， fafaa， 你带入这个狮子里头啊， fa 减去他右边的话，当你这个字面量 x 去 a 的时候， a 减 a 这一部分其实就是零了，零乘零没了，然后呢？ fa 再减 fa。 哦，果然是零， 那这个 fbfb 也一样啊，右边的话出现一个什么？出现一个 fb 减 fa， 然后呢？还有一个 fb 减 fa， 不信你也带入以后你试一试啊，最终还是可以得出来这个 f， 这个 fie 等于 fib 的。这个是什么？这个不就是罗二中置定理的条件吗？既然满足了罗二中置定理，那罗二中置定理他的结论是什么来着？我们就直接写结论了。所以呢，在 ab 之间肯定至少存在这样的一个，对不对？至少存在这样一个 在 ab 之间至少存在一个的啊，可能有多个使得什么使得这样的发片等于零吗？水平的，这就是卢尔的结论。 六二冲定了一个结论，就是当你满足这个前提之后呢，再图像中间的 ab 之间肯定有某一个点出的缺陷是水平的，也就是 fi 片可赛的值等于零。 fi 片长什么样子？你求一下。倒嘛， fi 片完了以后 我们写一下，这不就相当于啊， f 片好，这个就写出来了，然后再减去这个 l 片的话长数吧，这 f 也是长数片完了 啊，然后右边撇一下啊，我知道了，但是注意前头是个负号啊，所以就是减这个 b 减 a 分之 fb， 再减去 fa 等于几？等于零啊？等于零的话，你 向满一到右边去变成等于号。你看这个是不是证明了拉格朗式中制定里的结论啊。原来如此啊，所以说，如果你想证明拉格朗式中制定理的话，一定最重要的部分就是如何去构造这样的函数。怎么构造呢？我们考虑到 ab 这条直线和原来的红色部分的这样一个波浪线， 他呢，左右端点是重合的，我如果能够让左右端点的值给你合成同一个值，其实如果你合成零了，我只需要用 f 减去直线。 ab 的解析师，那不就结束了吗？ 懂了吧？这个呢，就是证明方法几何意义也说清楚了，就是指的 ab 之间这个 fx 图像上至少存在某一个点，他这个点处的切线跟 ab 这条直线是平行的，懂了吧？是平行的啊，那我们继续往后来说，有了这条以后的话，我想说的是经常用哪种 形式呢？我们在做题的时候，在数学分析中经常用这样一个式子，或者用这样一个式子啊，这个画圈，这个式子呢，也叫有限增量公式，知道这个式子有的含义就行了。本来就是拉格朗式中指这里改了一个写法而已，但是光有拉格朗式中指这里还不够。还有两个推论，经常用的推论啊，推论一可以当是定理来用， 他指的是如果 fx 在某一个区间上可倒，并且呢，在这个区间上他的导航数横等于零，那肯定在这个区间上他就是一个长数函数，我指的是在这个区间上是一个长数函数啊， 那怎么去证明这一点呢啊？你如果直观高中生来说的话，因为长数他的导函数是等于零，所以反过来原函数就是长数呗。你可以这么说，但是大学数学分析不能这么写。嗯，咱们在这个 ab 规定的这个取件上，任意取两个数字， x x 二， 那么我们现在呢，就可以得到这样一个结论了，则 fx 他满足拉格朗式充值点的前提。什么呀？在 x 一到 x 二上 连续了把你自己写完啊？然后在 x 一到 x 二这样一开卷上，可倒了吧？ b 今天连续开卷，可倒，拉开两只冲对面，我们写成横着写的形式。 所以呢，在 a b 这样一个区间上，不能写 a b 了，应该写的是在 x 一和 x 二之间，就这样一个区间内部肯定至少存在某一个数字科赛，使得什么？使得这个 f x 二减去 f x 一，我们横着写等于 f 撇 x i 乘什么乘 x 二减去 x e， 懂了吧？但是因为在任何一个点处， 他这个 f 片都等于几横等于零吧？你既然这个值横等于零的话，实际上我们就得出来，嗯，那 fx 二就减去 fx 一就横等于零了，因为你这个导航数永远等于零， 横等于零，所以说这个 fx 二就永远等于 fx 一，由 x 一和 x 二在区间 ab 内部的任意性。因为你就是任意取的啊，有他的任意性，所以我们就得出结论了吧。 fx 在 ab 之间，在 ab 内呢，这样一个区间内部横为一个长数，这不就正完了吗？对吧？这是推论一，可以当成结论直接来用啊，这也是一个定理。还有个推轮二，推轮二也是这样， 他说两个函数，如果说这样啊，两个函数呢？他在 ab 这样一个开圈内是可导的。 那么且对于什么，对于 ab 内部的任何一个数字 x 来说，它的导函数的直度相等，那就意味着 f 和 j 元函数差了一某一个长数，那么怎么去证明这样一点呢？实际上非常好证明，我们只需要利用一下拖累一的结论就行了。 引入一个辅助函数吧，你直接用 fx 减去 gx， 这个不就解了吗？对吧？所以现在我们就得出来 这个啊， fyx 这个构造的辅助函数呢，在 ab 这个区间内部呢，是可导的，你继续看划线部分吧，并且你在补充上，对于区间 ab 内部的任何一个数字和 x， 他这个 fi 片 x 都等于 f 片 x 减去这片 x 看红线，那等于几啊？等于零啊，在 ab 内部刻到，而且倒 还是我处处为零，所以这个 fix 满足推论一吧。由刚才我们堆出来的这样一个推论一直接用就行了，因为刚刚整完，用推论一就可以得到这个 fix， 它就是一个长数了嘛， c 是长数， 你这个 fx 常数不就是 fx 减去谁减去这个 jx 等于常数一下像，那就变成了 jx 加 c， 这个结论不就有了吗？特论一，特论二，直接用啊，都是定理。那接下来我们练习四道题目，看第一道题， 第一道题的话，我们发现啊，这个捞按 x 加一，你如果对他进行求导的话，其实就是得的 x 加一分之一，所以就有一些启发了。那么我们在研究的时候呢，研究哪一个函数啊？这样来研究就行了， 我们利用函数谁呢？利用这个函数 ft 等于 loy 一加 t， 显然 这个 ft 这个函数啊，他在什么？在零到 x， 因为他已经说 x 大于零了吗？所以这个区间是可以的啊，在零到 x 上， 他肯定是连续的，然后在领导 x 这样一个开区键上肯定是可导的。 b 区间连续开区键可导。拉格朗是充值定理吧，所以你接下来写上有 拉格朗日充值定理，你写完就行了，我们就可以得结论。什么？他指的是 fx 减去 f 零，右端点减去左端点，等于这个导函数，对吧？ 然后再乘什么？再乘这个自变量的差值， x 减零。注意这个 fi 是在什么之间的，他必须是在这个零到 x 这样一个开间内部的，可以取到这样一个科赛，至少存在一个科赛的啊。那你改形式呗。所以不就相当于这个啊， f x 等于 f 片， f 片的话，这个球导太简单了，一加可赛分之 x， 因为 x 减量还是 x 吗？ 那得到这个结论以后好说呀，我们分子就不要变了。分母变成什么？分母？你注意，他现在肯定是个正数的，因为他这个 fai 是怎么样？是大于零的。那现在我们分母让他变小一点点，变成了，还变成一，懂了吧？你分母变小，整个分数不就变大了吗？继续， 我现在还可以令什么？还可以令他的分母变大，分母变大，整个分数就变小了。那变成谁呢？因为什么？ 因为你这个 fi 他是小于 x 这个正数的，所以我就直接写上 x， 你看，分母变大了，整个分数反而变小了。所以最终我们就可以下结论， x 一加 x 小于 f x， 那 f x 我写成什么 形式？那不就是老一加 x 吗？这就是函数啊，然后在小于 x 比一那时间还是 x， 懂了吧。就一个拉格朗的中指定理，横着写的形式。这完了，来看第二题， 第二题更简单了。第二题的话，我们引入的函数肯定是阿克拉吧，阿克坦真的 x， 是这样吧。那显然他这个 f 片求到以后，这个求过很多次了啊。一加 x 方分之一，这就是导函数啊，反正前函数的导函数。显然我这个反正前函数他在 ab 上怎么样？他是连续的啊，没有什么问题。然后在 ab 这个开局线上呢，是可导的， b 局线连续，开局键可导。所以接下来还是由拉格朗日中指定理吧，我们写上啊。拉格朗日中指定理好了以后，拉格朗日中指定理可以 写什么我就直接写了。那不就是说在 ab 这样一个开圈内部，至少存在某一个科赛，至少存在一个科赛的啊，使得这样一个函数值的差值等于这个 f 片科赛怎么样？ f 片科赛再乘字边量的差值 b 减 a。 横着写嘛。 那写上这个样子之后的话，我们继续来看看。哪呢？一定要注意了，我们此时这个科赛 写上他的取置范围 a 到 b。 你，你这个等号左边实际上不就是阿克坦枕的展开的形式吗？对吧？写成解决式，阿克坦枕的 b 减去阿克坦枕的 a， 这就是左边。 左边的话等于什么结果呢？等于一加哦， fi， 因为你求倒了吗？ fi 方分之 b 减 a， 显然这个分子呢，是个正数分母也是个正数分子。分母 既然都是正数的话，我们分子还是啊，放速技巧是一样的，分子都是 b 减 a， 分子都是 b 减 a。 哎，那你这个分母呢？分母好说啊，我分母如果变小的话，我整个式子，整个分数是不是变大了？怎样能够变小一点点啊？ 因为你这个。嗯，怎么样？你这个科赛他是比 a 要大的吧。那现在我让分母放小一点点啊。放小一点点，分母变小了，是不是分母变小了，整个分数就变大了？哈， 那继续。因为这个科赛比 b 小吧，所以我分母放大了，整个分数就变小了。为什么？因为你这个 b 方是比这个 five 方要大的，所以这个分数反而更小一些。这不就又整完了吗？ 当然了，我省略了一些简单的步骤，你自己来写一下就行了啊。继续往后第三题。第三题确实难。 南在哪呢？南在有个二界岛的数。嗯，他这么说，他说在 ab 这样一个 b 圈上，连续在开圈上，你连二届导函数都有了，那一届导函数肯定有啊，对吧？啊，那好，那现在我们怎么说呢？这样来看好了啊， 他说呢，在 ab 中间呢，有一个数字 c， c 是在 ab 之间的，证明这个二阶倒哈。哦，这怎么办？不太会了，这样来解看好了啊，咱们写一下证明。嗯，我们分成两段，显然这个 f x 在 a 到 c 这个区间和 c 到 b 这个区间这两段呢。嗯，人家都是满族。 这个拉格朗日中制定理的，我就简写了啊。嗯，拉格朗式中制定理。那既然满足拉格朗式中制定理的话，那肯定我们直接直接横着写还是竖着写？写成这个 分式的形式，输入写吧。那肯定存在一个科赛一 f 片科赛一呢，等于这个。嗯， c 减 a 分之 fc 减去 fa。 没问题啊，然后注意，这个科赛一，他必须是在 a 到 c 这样一个开圈内部的，我想让你判断的就是这个整体是个正数还是负数。 好说呀，因为什么？因为你这个 fc 是大于零的吗？大于零的数字减去零分子是个正数吧， 没问题啊。那这个 c 减 a 分母也是个正数，正数除正数大于零，没问题啊。那继续来看，还有 c 到 b 之间也满足拉格朗的重定力，所以呢，肯定也存在一个可赛二， 使得 f 撇克 c 二等于 b 减 c 分之 fb 减去 fc， 显然这个分母不用说了，大的减小的 是正数，对吧？哎，那这个分子呢？分子是零减去正数啊，小于零啊，当然写上这个科赛二啊，这个科赛二的话，它是在这个 c 到 b 这样一个范围内的， 那接下来应该清楚了吧，所以我们就可以下结论。什么结论啊？因为你这个 f x 他在哪？他在整个 a 到 b 这样一个范围内呢？都是二阶可倒的。咱们写上。 那既然二节课老的话，现在我们一研究这个一节导航数，所以 f 片这个一节导航数在科赛一 怎么样？在可赛一到可赛二的内部呢？都是可倒的，他不仅可倒，而且是 b， 今年连续开，今天可倒。什么意思啊？那不就是满足拉格朗这种植定理吗？哦，一一接倒，还是 满足拉格朗式中指定理？那接下来直接利用拉格朗式中指定理的结论好说了吧。所以对他进行求导， f 片片科赛怎么样啊？ f 片片科赛肯定等于多少？等于科赛二减 可赛一分之。 f 片儿可赛二减去 f 片儿可赛一。现在就研究这样一个整体等号。右边这个分数是正式负就行了，分母是大的减小的，那显然是正数。 嗯，这个分子呢？分子是负数减正数，那更加是负数了，所以小于零，小于零，懂了吧？你这个 fai 怎么样？你这个 fai 是在哪取的呀？你这个 fai， 他实际上是在这个 fi 一 和 fi 二的内部区的。你 fir 本来就是谁的字迹啊？本来你就是这个 ab 的字迹， 所以这不就正完了吗？所以就结束了。还有第四题，第四题的话，我感觉不难啊。第四题，实际上我一看最后这样一个式子，这样一个结论的话，我就知道他让你引入的这样一个辅助函数肯定是谁了。我直接写了啊， 这个大 fx， 我们只需要看一个 ex 乘 fx。 为什么呢？因为 ex 这个导函数，无论他是多少届的导函数，他都等于本身 n 阶导函数还是 ex 二阶三阶导函数都是 ex， 他具有这个求导不变的性质，所以说我要这样去构造。 嗯，构造完了之后的话，现在我们就可以根据一个条件，因为这个小 f 函数呢，他在零一之间是连续的，在零一这样一个开机键可倒，然后 f 零二一。嗯，那好说，那所以我现在看好了啊，这个 f x 他在什么？在零一 之间，他是怎么样的？他是连续的，嗯，然后在零一之间这样一个开圈，他是可倒的呀。所以这个辅助函数大 fx 满足拉格朗日终止定理吧。所以说 fx 由拉格朗日终止定理，我就直接写了。 这个大 f 零肯定等于零啊。原因很简单，因为你这个大 f 零相当于这个 e 的零字方程。 f 零嘛，这个小 f 零已经是零了，这个就不写了，所以最终他其实就是这个 f 一。 什么意思啊？求导一下吗？哎，那右边长什么样子啊？你这个 f 一不就是 e 的一次方再成这样的 f 一吗？这个 f 一就是一，我就不写了。 左两边同时消掉，左两边同时乘一分之一等于一，然后就证明完了。那么你应该学会拉格朗式种植定理了吧。分享抗糖知识，感受数学之美。我是杨帆老师，下期课再见。

大家好，现在我来给大家介绍微分中指定理的第二个，也是最重要的拉格朗日中指定理，他是这么说的，一个函数在一段 b 区间上连续在开区间上可倒的话， 那么在这个区间内一定存在这么一个值，使得下面这个等式是成立的，那我们就来证明它。首先我构建一个函数， gx 是这个样子的， 很明显啊， gx 符合在 b 区间上连续在开区间上可导，那么我们观察发现啊，两端的函数值是相等的， 那这样的话，明显对 gx， 我们就可以利用我们已经证明过的罗尔定理，在区间上 一定存在一个直科赛，使得 g 科赛一瓶是等于零的。那我们现在对 gx 求导， 然后带入存在的这个值和赛，我们就会得到好，得到这个等式之后呢，我们把 b 减 a 给乘过去，这就是我们证明之后的拉格朗日中制定理，你听懂了吗？

说函数等于 up 弹力，若给你这个等式让你求这个人，那显然呢，这个人我们发现呢，我们找不到他，而且唯一找到的一个人呢，还在 f 的里面，哎，这件事情就非常的难受。那其实不用慌，为啥？因为人家给告诉你 f 是谁人告诉你 f 是谁了，那你这个人其实也能求出来，你知道吗？ 对不对？什么意思啊？因为我们知道 f x 一撇是可以写成一加上 x 平方分之一的，所以呢，我们的 f 可 c， 它是不可以写成一加上可 c 平方分之一，对不对？那我们就看看用这个等式能否把这个答案给推出来，你是不是看到可 c 了， 对吧？来看一下用这个等式 f x 是谁啊？是阿克贪金的是吧？阿克贪金的 x， 他可以写成 x 乘以一个谁啊？一加上他分之一。嗯，那这 这样的话呢，我们还是没有办法单独的把这个人给拆掉啊，没法把它拆掉，所以这时候我们思考一个问题，我们给它翻过来，什么意思？翻过来就是啊，可他定的分之一是不是可以写成 x 分之一加上，哎，这样，这样是不就翻过来了？那这样就可以写成 x 分之一加上 x， 怎么样？ 是不是？所以呢，我们就可以得到什么样的式子，是不是可以得到这个式子？它等于谁？它是可以写成我们把这个 x 分之一减过去，是吧？减去 x 分之一就可以写成它了。 但是呢，你看人家让你求的极限是谁？人让你求极限是下面是平方，而我们如果要两边同时取极限的话，是不是差一个平方？所以我是不是要补一个平方？补一个平方的话是不是两边都得补对吧？我两边同时乘以 x 分之一，那 这个地方得有个 x 方这个地方得有个 x 等等吧。他是这样的，所以呢我们两边同时取极限，会不会两边同时取极限 x 趋向于谁啊？零。呃， x 趋向于零， 那就相当于求一个这样的极限，这样的极限呢属于什么呀？属于无穷大减无穷大这种类型。我们的方法就是通分。哎，打得好。通分那最后的分母应该写成谁呢？是不是写成 lamit x 趋向于零看好啊，通分就是我们要解决这个人不就相当于解决这个人他的极限和他相等对吧。所以下面通分通出来应该是 x 的。这这这这平方阿克他念对不对？ 别腾错了啊。那么这一项是成了个 x 对不对？左边成了个 x， 右边怎么样？成了个 x 成了个 art candy 对不对？好，然后呢，我们来算这个极限分母等价无数小等价有多少？我们知道 up 三件 等价于 x 对不对？所以呢我们直接可以把它写成这样。写成 x 几次？三次对吧？上面如果大家很熟的话就知道他立刻等价于三分之一 x 的三次方。但如果你要是不熟的话怎么办呢？不熟的话你可以用泰勒公式展开，也可以洛比达都行。那我们这次来给你洛一下好不好？洛比达洛比达的话呢那就还得再写一步。 这我我发现我的评论区真的很多同学就问的问题啊，就就问加减不是不能等加我从小吗？你这么写是有问题啊，我都不敢这么写了你知道吧，因为我怕不是说这么写是错的，我是怕大家看不懂，所以呢，我就用最愚蠢的方法给大家做。那求导来，洛贝达是不是三 x 方， 对吧？那你这是谁啊？你是一减去一加上 x 的平方分之一好不好？那下面呢，我们想把它通分的话，就分子分母同时乘以一加 x 的平方一加 x 平方跟上吧，所以它就可以写成谁，它就可以写成 三 x 方，括号一加 x 平方。然后呢，这是一加 x 平方减一好了，我们该约的给他约一约一减一没了， x 平方，平方没了。好，答案是三分之一。为什么 x 虚零这项虚一啊，对吧？答案是三分之一。 好了，那你想你比上你最后答案是三分之一，那这个人不就等加于三分之一 x 三次吗？对吧？这个人不就等加于三分之一 x 三次吗？这回你信了吧，他等价于这个，所以他比上他才会等于三分之一，好了吧。所以在这呢，一定要大家记住， x 减 alta tiny 等价于三分之一 x 三次。好。 对对对， 很多。不是不是不是不是，今年考啊，所以就可能技术有点薄弱，呃，做完了是吧？三分之一选啥？选 d 啊？选 d。 嗯， d 做完了之后不知道干嘛选 d。

二元函数条件即值。第二种方法，拉格朗日常数法构造辅助函数，也叫做拉格朗日函数。 大 f x， y 拉么的等于小 f x， y， 加上拉么大，乘上 fy x y 解方程组另偏倒数为零，列出三个方程组解出来的所有的解 x， y 拉么的中的 x， y 列出来的所有的点， 则是二元函数在二元方程条件下可能的所有的即时点。如果此条件含端点，需要考察端点的函数值。三元函数有类似的结论。