钝角三角形面积推导过程洋葱数学

三角形的面积公式是怎么推导出来的？今天一个视频让你快速记住三角形的面积公式。 话说三角军回到家，刚好看到家里的三个机器管家在吵架，他们的名字分别叫小瑞、小顿和小直。他们吵架的原因是都觉得自己的脸最大。在三角星，人们以脸大为美，脸的面积越大就越有面子， 他们三个叠来叠去都找不出脸最大的人，闹成一团。三角君一脸无奈，决定帮他们解决这个问题。 要解决这三个机器人的争端，就要分别算出锐角 三角形、直角三角形和钝角三角形的面积。那么怎么算呢？到目前为止，我们只会算长方形和平行四边形的面积， 其中平行四边形还是通过减拼变成长方形来算的。那么三角形也能通过减拼变成我们认识的图形吗？三角军试着把小锐从中间剪开，发现拼不上， 小墩呢，强行把自己切成了长方形，却发现剩下的部分全乱了，看来捡拼这条路并不是那么好走啊。 正在三角君费神的时候，小侄已经把自己的面积算出来了，他是怎么做到的呢？原来，小侄有个同胞兄弟和他长得一模一样， 只要他们俩把手一拉，再一转，就刚好能拼成一个长方形。这时候长方形的长和宽就刚好等于小直的两条直角边。六乘四就可以算出长方形的面积是二十四平方厘米， 而小值的面积是长方形面积的一半，也就是二十四除以二，得十二平方厘米了。 看了小直的方法，小瑞灵机一动，我是没有兄弟，可我还不能想象一个兄弟吗？想象一个和我一模一样的三角形，和他把手一拉，再一转，哎，会拼成什么图形呢？ 答案选 b。 这样一拼，不就得到了一个平行四边形吗？这下好了， 只要求出这个平行四边形的面积，再除以二，就是我们要求的三角形面积啦。哎，说干就干，平行四边形的面积等于底乘高。我们先把他们标出来， 下一步就是在三角形里找到这两条线段，因为我们毕竟是从三角形算起的嘛。 先看平行四边形的高，他是从一边上一点向对边做的垂直线段，放在三角形里，就是从一个顶点向对边做的垂直线段。这条线段在三角形里叫什么呢？ 答案选 b。 不管是看定义还是看直觉，平行四边形的高就是三角形的高嘛！解决了，高底就是小菜一碟。 平行四边形的底是高的垂足所带的那条对边，这条对边在三角形里也扮演着同样的角色，三角形高的垂足也落在他的身上，所以平行四边形的底也是三角形的底。 妙！现在我们只要用三角形的底乘三角形的高，就能算出这个平行四边形的面积了。 可这里还有一个大坑，别忘了，我们真正的目标是三角形的面积不是这个平行四边形的，所以平行四边形的面积除以二才是三角形的面积。 不想算了半个小时，却被老师打叉的人都听清楚了，三角形的面积等于底乘高，除以二除以 二除以二除以二。想想这个图，一定要记得除以二呀！ ok， 就用这个公式请你列出求小锐面积的式子吧！ 答案选 a， 底六厘米乘上高四厘米，最后千万别忘了在最后除以二，答案也是十二平方厘米。 这个视频我们用拼平行四边形的方法算出了小时和小锐的面积，只要记得在底乘高之后除以二就可以了。 那这个方法也能用在小盾的脸上吗？下个视频我们就来求出小盾脸的面积，彻底解决他们三个的问题。 洋葱学员包含小初高的多种学科，快点击左下角链接登录，即可免费领取会员！

今天聪聪带大家学习三角形的面积公式。在上周的洋葱美食节上，三角星球的厨艺大王来到洋葱中学担当评委，特地带来了他们家乡的特产宇宙无敌巨无霸三明治， 居然有小半个操场那么大。厨余大王说，哪个班的同学能够准确求出这个三明治的面积，就可以优先品尝。 话音刚落，实验十八班的同学就跃跃欲试，大家七嘴八舌的讨论，三明治是三角形的形状，要计算三角形的面积量出底和高套公式二分之一底全高就行了。 不对不对，你说的不对，这药怎么做高啊？你打算从三明治上面爬过去吗？那我们还吃不吃了？讨论了半天，大家也没有什么头绪，关键问题就处在这个三明治 他根本没法做高，这要怎么求面积呢？只见三角君挠挠头，剪了个树杈子，在地上比划了两下，说，我知道了，同学们赶紧围过来，看他有什么好主意。他在地上画了一个和三明治的形状差不多的三角形， 指着示意图说，要计算三角形的面积，确实要知道底和高这两个值。不过既然我们没法直接量出高的长度，那可以想办法通过别的好测量的量把高给表示出来。 比如以这条边 a 为底，想要表示出它对应的高 h， h 还在右边这个直角三角形里，那根据 size， c 等于对边比斜边等于 h 比 b 一个项，可以把 h 表示为 b 乘以萨引 c。 这样一来，把底边 a 和高 h 的表达式 b 乘以萨引 c 带回三角形的面积公式里，我们就有 s 等于二分之一 ab 萨引 c。 很明显， a、 b 边和角 c 的大小都很好测量，三角形的面积也就唾手可得了。 同学们听后纷纷表示同意，于是团结合作，各种测量工具轮番上场，测出三明治， a 边的长度是二十米， b 边的长度是十五米小斜大小是六十度。 带入刚才式子一算，原来这个三明治的面积是七十五倍的，根号三约等于一百三十平方米，成功算出面积，实验室外面的同学 一起愉快的分享了巨无霸三明治，我们这里必须先为三角军的机智鼓鼓掌，当测量不出高的时候，能够及时转化边角关系，求面积。 其实刚才的这个面积表达是 s 等于二分之一倍， a， b 散于 c 并不是普通的路人甲，人家是有自己的名字的，叫做三角形的正弦面积公式，就是说一个三角形的面积可以用它的两条边和这两条边夹角的正弦来表示， 并且这个式子不是孤零零的一个人，他其实是三胞胎。刚才求面积，我们是以 a 边为底，那如果我们换成以 b 边为底呢？继续做 b 边上的高。这回在右边这个直角三角形中，根据 a 等于对边比斜边等于 h， b c 高， h 就可以表示为 c 乘以三 a 再带入三角形的面积公式里就有 s 等于二分之一倍， b， c 三 a， 那同理，如果我们以 c 边为底，肯定就有 s 等于二分之一倍， a， c 散于 b， 这三个式子合起来叫做三角形的正弦面积公式啊。可能有同学又开始皱眉头，三个公式到底是谁乘谁？这可怎么记啊，要我说根本就不用记。正弦面积公式的精髓就在于，只要知道三角形的两条边 和他们的夹角，就能求出一个四角形的面积。所以已知 a 边 b 边，那肯定就要成上一 c， 已知 a 边 c 边，那肯定就要成上影 b。 到这里，四角形的正形面积公式我们就已经推导出来了。不过细心的同学可能发现了一个小问题， 刚才的推导过程我们一直都在锐角三角形中进行，那要是遇到直角三角形或者钝角三角形，这些面积公式还成立吗？ 这个没有问题，刚才的证明过程关键的步骤在做高，也就是将 h 表示为 b 乘以三 c， 那这个在直角三角形和钝角三角形中也是成立的。我们来看一下图，在直角三角形中，角 c 是九十度，三角 c 等于一而高 h 也就是 b 边，所以肯定可以表示为 b 乘以三角 c。 而在 顿角三角形中，角 a、 c、 d 是角 a、 c、 b 的补角，所以 h 等于 b 乘以三引，括号派减 c。 根据诱导公式，它也等于 b 乘以三引 c。 既然高都满足条件，那么正形面积公式对直角三角形和钝角三角形也都是成立的，你对绕图看一下没问题吧。 所以以后无论什么三角形，只要知道它的两条边和它们的夹角，就可以利用这三个公式求面积。 那下面我们乘着答题，用一道例题一起来熟悉一下公式。在三角形 a、 b、 c 中，已知边 a 等于三， b 等于四口算，以 c 等于三分之一要求三角形的面积。这道题已知三角形的两条边 a、 b 和他们夹角的余弦 cosine c 要求面积。 根据刚才的正弦面积公式，现在 a 边和 b 边已经有了，那我们迅速锁定第一个公式， s 等于二分之一倍 ab 三角形。那下面还得知道三角形，已知口三角形等于三分之一，又因为角 c 是三角形的内角，他的正弦值肯定为正。 根据同角的三角函数关系，可以算出 sun e、 c 等于根号。下一减去口桑 e、 c 的平方等于三分之二倍根号二。这些值算出来了，和 a、 b 的边长一起加入面积公式， 就能算出 s 等于四倍根号。好了，三角形的正形面积公式我们就介绍完了，不过呢，他可以继续变形，变身为平行四边形的正形面积公式。 你看图中的这个平行四边形 a、 b、 c、 d， 它的面积等于三角形 a、 b、 c 的两倍。根据正弦的面积公式，三角形 a、 b、 c 的面积就等于二分之一倍， b、 c 乘 b， a 乘三元 b， 然后再把它带入下方的式子，前后二和二分之一抵消，就可以得到平行四边形的面积等于 ba 乘 bc 乘以三 b。 我们发现这还是相邻两条边的乘积，再乘以他们夹角的正弦值， 只是这回前面没有二分之一了。那同理，平行四边形的面积还可以表示为 ad 乘 ab 乘三 a， 那这组公式就是平行四边形的正线面积公式了。 视频最后我们来回顾一下，无论是三角形还是平行四边形，正弦面积公式的精髓都在于，只要知道了相邻两条边和他们的夹角 不用做高就能求面积，暴力又好用。那关于这些面积公式的更多应用，我们在下个视频会继续介绍，今天就先到这里拜拜。 是不是通过今天的视频，三角形的面积公式一下就记住了？洋葱学员包含小初高的多种学科，快点击左下角链接登录，即可免费领取会员！