正整数和的正确结果

啊，各位大家好，今天我跟大家一起来讨论一个问题，讨论一个什么问题呢？就是如给网上所示，这是前不久我以前读研究生的时候呀，一位同学呢，问我的问题，因为他不是数学专业的，他呢就想通过这个问题呢，来围绕一下数学专业的我 所有的正整数之和是多少，当然这个地方我一起写出来的是负十二分之一，当时他听到这个答案的时候非常匪夷所思，他认为 不管结果怎么样，至少要保证几个点，哪几个点呢？第一个结果应该是一个无穷大的数， 对吧？第二个结果应该是个正数，第三个结果呢，最起码他不应该是个什么呢？不应该是个分数，所以说呢，当出现结果所有的自然数之和的结果为负十二分之一的时候呢，哎呀，他就整个 人非常的吃惊，说假设我跟老板去打工，他第一天够我给一块钱，第二天够我给一块钱，第三天呢给三块钱，这样子经过了无数年之后呀，发现之后呢，我还要贴给老板 多少钱呢？十二分之一块钱，所以说这是一个很不可接受的事情，当然说这个结果对也行，说这个结果不对呢也行，对吧？对与不对其实都在于我们想着怎么去接纳他。 好，今天呢，我就跟大家来讲解一下如何去嗯办证明这个负十二分之的这个结果吧。在以后的一个奇数当中呢，也会跟大家去介绍一下，二一的平方加二的平方加，三的平方加四的平方一直往后加的结果，以及呢一的三次方加，二的三次方一直加加加的结果，当然了， 嗯，相对于这个结果，我相信呢下面的两个结果，到时候呢大家会好接受一些， 如果没记错的话呢，上面的机会可能是零，下面呢是一百二十分之一，不然可能是这个结果。当然今天的重点是在于跟大家去介绍一下这个过程。好，我们一起来看一下， 其实我们在初中或者是高中呢，都学习过有限，对吧？有限的一个求和问题，比如说我们从一加二一直加加加到一百，答案是多少呢？ 在小时候一位天才数学家高斯，高斯呢，通过这么一个证明过程，可到了一加二一直加到一百的答案，首先我 证明就是或者是射他是 ss 呢，是一个平常无奇的数，然后呢我反过来加一百加九十九，一直加加加到一，他的结果，其实我们可以发现啊，上面跟下面的区别就在于我上面呢从头往后写，我下面呢是从 往前写，结果肯定是一样的，是写法不同。然后我们把他们加起来，我们呢一起来看一看，左边加左边是多少呢？这个加这个呢？这个加这个呢？我们会发现每一项呢他的答案都是多少呢？一百零一，这个呢一百零一，这个呢一百零一。 所以说我们左边其实啊，他相加都是一百零一，右边的 s 加 s 两倍的 s。 好，那问题就在于左边有多少个一百零一呢？我们是从一一直加到一百，很明显他呢是有一百个一百零一， 所以说呢，左边的答案其实就等于一百零一乘以一百，那么很显然我们可以得到 s 就等于一百零一乘以五十就等于五千零五十。好，我们在 高中呢也生出来一条规则，如果说呢，我们每一项他们之间的差是一个定制，那么呢我们就可以得到这么一个公式，是什么公式呢？ 我们一起来看一下。一加二加一直加到 n， n 呢是一个可以具体取得到的数，也就是说它是一个有限的数，那么它的答案就是第一首相加上 n 的末相乘以它的相数就是它的总共有几项 n 项，再除以一个二， 这个呢就是我们前向和的求解公式。好，那现在呢，我们来看一下，这是一个有限数的和，那对于无限数的和还成不成立呢？答案是不成立的。 对，答案是不成立，我们只能得到一个结论，就是啊，当安区进行无穷的时候，他的答案也是一个无穷。那么呢我们需要去思考一个问题，发散即数他的求和 都是无穷的，比如说一加二，一直加，一直加到无穷，或者是二加四加八，说到偶数们能和呢， 他也是一个等于多少呢？也是无穷的，他们都叫做发散技术。所以说这个和咱们有限数列的求和呢，其实是有一个很大的区别的。这样，当然我们除了有限求和呢，还包括像克西和， 还包括像切蒜，切萨罗河呀，还有阿布尔河等等，对吧？所以说呢，我们有限树立的求和公式是不能够运用到咱们无限上面的。好，那我能跟大家呢来简单的介绍一下我们现在大多数人呢可能会接受的一种算法。 首先我们想计算一加二加三一直加到无穷，我们首先来构造一下这个数列，我们假设他是 s， 我们来观察 一个数列，一减一加一减一加一等等等，要是这么一直加减下去，我假设他的答案是 s 一。好，那么接下来怎么去求解这个 s 一呢？因为这个 s 一的求解对于咱们求解 s 呢是有一个重大帮助的， 大家可以先暂停一下视频来看一下，你们自己想想办法如何去求解他。好，那现在我们一起来看一下，首先我们想求的他的值，他是一个一 负一，一负一交替出现的，那现在我们把整体跟他呈上一个负号看看，对吧？走一步看一步，那就是负一加一减一加一减一，一直这么下去， 我们会发现上面和下面他们的区别就在于他们的手相不一样，上面是从一开始加减，下面是从负一开始加减，我们为了保证 下面这一项跟上面一项都是由一开始我们把下面呢跟他加上一个一，那就是用一来加上这个 fs 一，左边就是多少呢？一减一加一减一加一，这么循环下去啊，大家现在呢来看一下 这个，我们把它叫做一是和咱们的三是是不是完全一样的呢？都是由一开始进行无数次的加减命审，所以说我们可以得到一个结论，一是呢它是等于三是的，也就是说呢，我们的 s 一，它是等于下面的一减去 s 一 不难得到 s 一等于多少呢？二分之一好， s 一等于二分之一，我们呢把它记在这个地方，不管他，待会呢我们有用处的。好，接下来我们来看一下另外一个东西，我们的半臂江山已经结束了，来我们看一下一减二 加三减四，加五减六，他的答案是多少呢？我们假设把他答案记为 s 二，于是乎呢，现在我们的主要目的就是把这个 s 二呢给求解出来，我们来观察一下， 我们在高中呢，有个方法叫做错位相减法，这时呢，我们在写答案的时候呢，稍微错开一下，我们前后错一位，再进行一个加减，我们来尝试 这个呢，就是一减二，把上面抄一遍，但是呢，我们还是要保证他们对齐加三减四加五，一直这么下去，他依然还是 s 二好，我们现在把这个叫 嗯， a 是把，这个叫 b 是，我们把 a 是呢，加上一个 b 是。首先看一下左边一呢，对吧？不管，因为下面可以看的是零吗？一加零是一负，二加一减一负，这个是 三减二加一，我们会发现他的每一项都是一开头的呢，加减交替出现。好，那这个右边呢，就是两个的 s 二，这个式子呢，我相信大家， 对吧，还比较严肃，他是什么呢？他就是咱们这里的地方的 s 一。好，我们呢可以得到两倍的 s 二呢，是等于 s 一的，于是乎可以得到 s 二等于二分之一倍的 s 一，因为我们已经计算的 s 一是等于二分之一的，于是乎我们可以直接得到 s 二等于四分之一， s 二等于四分之一，就很完美了，对吧？大家其实这个时候呢，也会比较惊奇，所有的整数们，加减加减，最后的答案呢，还是一个分数好。此时呢，大家可以坐下笔下哇，坐下笔记，知道 s 二的值之后呢，我们就可以开始求解咱们最后的 答案，我们来看吧，一加二加三，一直加加加加下去，他的答案是多少呢？我们来把他的答案设为 s， 现在我们再来写这么个东西，错，一 加上二减去三加上四等等，他的答案是多少呢？是一个负的 s 二， 这个 s 二呢，跟之前是一样的，只不过呢就是把每一项都成为负号，现在我们把这两个式子呢给它相加，看一下答案是多少？一负一，答案是零， 二加二呢等于一个两倍的二，三减三没了，后面呢是一个两倍的四二，后面的答案呢，相信大家就会很容易猜测出来，零 加上两倍的二四，对吧？六等等等等，它的答案就是 s 减去 s 二，那也就等于 s 呢减去一个四分之一。 好，我们继续来左边我们就是二提出来，里面呢，二加四加六一直加下去，对吧？右边呢就是 s 减去四分之一，我们给左边再提出来个二，就是四乘以一加二加三，一直加下去， 它的答案呢就是 s 减去四分之一。其实此时啊，这个地方它的答案就是多少呢？就是 s， 它依然呢是我们的前象和， 所以说呢，我们就可以得到四倍的，我们把它记为 s， 那就是四， s 等于 s 减去四分之一，我们接着把这个 s 给解出来， s 呢就等于负十二分之一。 所以说当我们去构造了两个无穷发生的数列之后呢， s 一和 s 二，比如说这里的 s 一，一和负一交替出现，还有下面 s 二，这这个呢是我们所过着的一个 s 二， 好，我们通过这个 s 一卡 s 过效之后呢，结合这每个过程臭味三层的过程呢，确实可以得到答案，是一个负十二分之一，对吧？ 虽然这个结果呢是一个比较匪夷所思的事情，但是呢在物理学啊，像量子力学等其他领域呢，有非常重要的一个应用。好，今天呢就为大家讲到这个地方，下节课时呢，给大家来说一下其他有趣的有好玩的事情。