翰林卷八上数学一次函数

哇哦，刚才有一个初二学员问了我这么一道题，那我一看，竟然是要求比例系数的范围，这个在初中里考的并不多啊。那这道题呢，对于绝大部分孩子来说都是比较困难的。 在讲这道题目之前，我首先需要做一些知识铺垫。学过一次函数的同学都知道啊， y 等于 k， x 加 b， 对吧？当然，这个 k 是默认不等于零的， 这个 k 呢，我们把它称之为比例系数。 k 的正负其实决定了直线的倾斜方向。当 k 大于零的时候呢， y c， x 增大，而增大 体现在图像上呢，直线是上扬的。比如我们可以来看这样的三条直线啊， y 等于二分之一 x， y 等于 x 和 y 等于二 x， 他们的比例系数 k 呢，分别是二分之一、一和二，这个 k 呢，都大于零，你看直线是不是都是上扬的？同样 的啊，如果当 k 小运的时候，比如我取三条直线，当 k 等于负，二分之一负一以及负二的时候，我们发现这三条直线都是下降的。所以我们说啊， k 的正负决定了直线的倾斜方向，这个是都能理解的。 但我接下来要说的这个知识点，可能大部分同学呢，是没有思考过的。我们看这三条直线，他们虽然都是上升的，但是他们的倾斜程度不一样，比如这条直线呢，相对比较平缓， 这条直线呢，更加陡峭，换句话说，他更偏向我爱轴。这个是由谁决定的呢？其实也是由这个比例系数 k 决定的，这个 k 从二分之一到一到二呢，是在逐渐增大，直线呢，也是更加陡峭。那我们能不能说 k 越大，直线越陡峭呢？ 这句话是有问题的，只能说当 k 大于零的时候，这个结论是成立的。但是当 k 小于零的时候，我们让这个比例系数从负二到负一到负二分之一，他是不是在逐渐增大？可是这三条线是在逐渐变平缓的， 也就是当 k 大于零和小于零的时候，它结论是相反的。那如何统一呢？也简单，我们只要说当 k 的绝对值 增大的时候，直线越陡峭，或者说越偏向 y 轴，这个是没有问题的。大家看啊，从负二分之一到负一到负二，他的绝对值是在增大的呀，对吧？那他确实越来越陡峭啊。所以我们理解 k， 不仅仅要从正负角度来理解， 还要从他的绝对值的大小角度来理解。当 k 的绝对值越大，直线越陡峭，越偏向瓦尔轴。这个知识点呢，书上没有明确说，很多同 同学呢，也没有深入思考过，而这道题却需要用到这个知识点，让我们一起来看一下吧。已知依次函数 y 一，他是含有参数 a 的直线啊，这个 a 呢，就相当于是 k 是一个比例系数， 还有一条五二二呢，是确定的直线。如果两条直线交点在第三项线，要我们直接写出比例系数 a 的取值范围。这种题目啊，肯定是首先抓不变量，我们发现五二二的图像完全是确定的，那我们先把它绘制出来，就是图中这样的一条 直线啊。然后我们聚焦 y 一这条含餐直线，因为它有参数啊，所以它的直线是不确定的，但也不是完全无需变化的，这条直线在变化过程中是有不变的东西的，它是横过一个定点的，我们可以找到一组 x y 的值，使得这个等式呢，横成立，也就是跟 a 是没关 关系的。那我们只要把 a 拎出来，大家看啊，这条直线可以写成 y 一等于 x 加三倍的 a 加二，对吧？跟 a 无关，我只要让他前面的系数 x 加三等于零， 那么 x 是不是就等于负三了？ x 等于负三的时候， y 它始终都是二，所以它横过一个定点负三二，这是本题的关键。所以这条直线啊，它其实就只要穿过负三二这个定点就行了，它表示的就是这里面所有的穿过负三二的 线。当然，由于本题是依次函数，那这里面要扣除两条，一条是竖直线，还有一条是水平线。他说两条直线的交点要在第三象限，我们把这个交点找到，此时呢，这两条直线是有交点的，对吧？交点确实在第三象限。好， 我们晃动一下这条红线啊，我发现这个时候他们的焦点就不在第三象线了，对吧？我们再晃一下，那我们其实可以找到这条红线的范围。首先这个应该是一个临界位置吧，往上的话呢，焦点就不在第三象线了，往下的话呢，焦点还在啊，那我们就往下继续走吧。啊，逆时针转吧， 这时候焦点没问题，对吧？走走走，走走走。哎，走到这个时候，我们发现焦点他不在第三象限了，对吧？然后 直至回到刚才的临界位置。那这里的交点为什么会从第三象限突然间跳到这个上面去了呢？实际上他经历了中间这么一个临界位置，也就是这两条直线平行的时候打开， 对吧？此时呢是没有焦点的，如果这条直线往这边来一点，他其实会交代第三象限，当然现在 我们看不到，对吧？只要往这边来一点的话呢，就会交到上面去了，所以平行又是另外一种临界的位置，实际上这条直线呢，他就应该在这么一个范围内啊，就这么一个范围内，对吧？从平行的临界位置，一直到 这么一个临界位置，哎，这个范围就是这条直线的范围，我们只要在这个范围里面确定出比例 c 除 a 的范围就可以了。 那这个比例系数 a 到底是什么范围呢？那就要讨论。因为此时的直线啊，它既有上扬的，也有下降的，也就是这个比例系数 a， 它既有大于零的情况，也有小于零的情况，对吧？那我们就分类讨论，比如我们先看 大于零的情况，我们先让这条直线啊竖直，像是一个裁判一样啊，从这个位置我们转转转，转到平行的位， 是呢，此时的直线都是上扬的啊， a 都是大于零的，那么这时候的 a 的范围是什么呢？大家看啊，当他们平行的时候呢，他们的比例系数应该相等，所以这个 a 跟这里的这个一应该相等， 也就此时的 a 是等于一的。那从这到这呢，实际上直线是越来越陡峭，大家看从这个地方走过来，是不是越来越陡峭了，所以他的 a 呢，是越来越大的。刚才我们说过了，当 k 到零的时候， k 越大， 直线越陡峭，所以这段红色区域，它指带的 a 的范围呢，应该是 a 大于一， 不能取等啊，因为取等的时候刚巧平行，没有焦点，那么这个是 a 大于零的情况。接下来我们再考虑 a 小于零的情况。同样的，我还是把这条直线啊放在竖直的位置，然后我将它换一种颜色啊，大家可以看得更 加清楚啊，换成绿色，此时的直线呢，应该是走这么一段范围，那这里 a 的范围又是什么呢？我们先看这个临界线的 a 的值，这个焦点应该是负一零，对吧？又经过负三二，那不难算出此时的 a 等于负一。 然后我们看啊，从这到这，直线是越来越陡峭的，也就意味着 a 的绝对值是越来越大的，而 a 本身小于零，那么 a 本身它是越来越小的。所以在 a 小于零的时候啊，它对应的范围是 a 小于负一，能不能等于负一呢？ 不行，因为等于负一时，这个焦点刚巧落在 x 轴上，不属于第三象限，对吧？所以本题的答案就是 a 小于负一或 a 大于一。