行列式的展开式是什么

首先我们把公式给出大家像第一个是按照航展开的，第二个是按照列展开的， 那么对于这个公式相对比较繁琐，我们通过具体的题目把它给看一下。首先我们按行来展开，那就这三行，第一行、第二行、第三行，你任选一行都可以。你比如说如果我们选择第一行，我们按照第一行进行展开，首先我们看准第一行的元素是一二三， 然后这个一所对应的代数语指示是 a e， 这个二对应的代数语指示应该是 a e 二， 这个三，他所对应的代若鱼子氏应该是 a 一三，那么这个行列式的值就等于对应元素省引他对应的代若鱼子氏代谢相加。然后这里的代若鱼子氏又可以通过我们刚才这个公式把它化成鱼子氏， 那么这里的 a e a 二、 a 三都可以画成这三个形式。然后这里的 m e m e 二 m e 三，那就相当于去掉所对应的行与列剩余元素，重新组成的行列式，然后把它写下来， 然后再把它计算一下，它最后的结果应该是等于八的，那么这个八就是个行列式的值，这就是行列式的展开来求解行列式值，那么这里是按照第一行展开的，如果你按照第二行展开或者第三行展开算出来值是一样的， 下面我们再来看一下他如果按列径展开的话，你比如说我们选取第二列展开的话，第二列的元素是二一三，这个二这个位置所对应的代入与子式应该是 a， 二，那么这个一所对应的代入与子式应该是 a 二，这个三 所对应的单数鱼子是应该是 a 三二，所以说分别相乘再相加，然后你再把这里的 a 一二， a 二二、 a 三二像上面一样画成鱼子式，再把它计算一下，它最后的结果也是等于八的， 这就是行列式的展开。这个方法算是一个比较重要的方法，在后面大体中间我们会需要用到在这两大，要把这个方法给掌握掉。

本次我们来学习 nga 行列式的定义。 首先，根据二阶、三阶行列式的表达式，我们不难发现他们之间有如下的关系，先看三阶行列式的表达式，是六项求代数和的形式， 我们按照第一行元素进行合并，首先合并含有 a 一的相， 再合并含有 a 二的香， 最后合并含有 a 一、三的香， 并重新整理为这样的形式 对照。第一项，括号内是成绩之差的形式，恰好可以用二阶行列式来表示， 并且二阶行列式中的个元素与其在原三阶行列式的位置顺序关系保持一致。 再看第二项，括号内也是成绩之差的形式，可以用二阶行列式来表示， 并且为了保证二阶行列式中的各元素位置关系与原三阶行列式的保持一致， 需要在前面加符号。 对于第三项同理， 于是我们可以发现三阶行列式可以由二阶行列式来计算，并且通过观察，我们还可以发现等式右端的表达式存在一定的规律。 第一，每一项都是三阶行列式中第一行的某个元素与一个二阶行列式的乘积。 第二，每一个二阶行列是恰好是在划掉其前面相乘的元素所在行和所在列的元素，之后有 由剩余的元素按照原来的顺序所组成的。 第三，每一项前面取正号还是取负号，恰好与元素的下标之和相对应，及每一项前面的符号恰好为负一的一加锐次方。 仿照三阶行列式的情形依次类推。若定义四阶行列式，他可以用三阶行列式来计算。 进一步的依照地规的思想，现，假设 n 减一阶行列式已经给出定义，那么 n 阶行列式就可以用 n 减一阶行 没事来计算。 下面我们来给出 n 接行列式的定义。 在给出定义之前，根据需要，我们首先引入鱼子式和袋数鱼子式的概念。对于给定的由恩行、恩列、共恩方个元素所组成的数表， 在华去元素 a i， z 所在的 d i 行和 dj 列所有元素之后， 由剩余的元素按照原来的顺序排列所构成的 n 减一阶行列式 称为元素 aig 的鱼子式，记作大 m ig。 女子是大人骂街的行事如下， 并且称大于 r j 等于负一的 r 加 z 方乘以大 m j 为元素 ar j 的代数与指示。 接下来我们通过例子来演示如何计算鱼子式和袋鼠鱼子式。 对于给定的四阶行列式，求对应的鱼子式和代数鱼子式 首先来看大 m 一二。根据鱼子式的定义，在划掉第四的第一行和第二类元素之后，就可以得到大 m 一二。 对于大 a 二，根据袋鼠鱼子式的定义，我们可以求得大 a 二等于负的大 m 一二。 对于大 m 四四，根据定义，在划掉第四的第四行于第四料元素之后，就可以得到大 m 四四。 进一步可以求得大 a 四四等于负的大 m 四四。 从这个例子我们可以看出，行列式的每一个元素分别对应着一个鱼子式和一个代数鱼子式。 根据鱼子 子式和袋鼠鱼子式的定义，在二阶行列式中，我们不难求得第一行元素的鱼子式和袋鼠鱼子式分别如下， 于是二阶行列式可以重新计为这样的形式 及二节行列式等于其第一行元素与对应的代数鱼子式的乘积之和。 在三阶行列式中，我们计算其第一行元素所对应的鱼子式和袋鼠鱼子式。过程见掩饰。 利用前面的结果，我们可以将三阶行列式的表达式重新改写， 用鱼子式来表示，用袋鼠鱼子式来表示。 这表明三阶行列式也等于他的第一行元素与所对应的袋鼠鱼子式的成绩之和。 中上我们可以看出，二阶、三阶行列式都可以用他的第一行元素与所对应的袋鼠鱼子翅的成绩之和来表示。事实上，这种表示方法具有一般性。 按照这样的思想，下面来给出按揭行列式的地规定义。 nj 行列式的定义如下，由恩行、恩列共 n 三个元素所构成的恩街行列式定义如下， 其中，大 a e e 到大 a e n 是分别于第一行的元素小 a e e 到小 a e n 所对应的代数鱼子式。 n 接行列式等于第一行元素与对应的代数与子式的成绩之和。 上市也称为 n 阶行列式。按第一行元素的展开式， 关于 n 接行列式的定义，我们做几点说明。第一，当 n 等于一时， a 一的行列式等于 a 一。不要将一间行列式与输的绝对值 像混淆，例如，一节行列式负三的行列式等于负三而不是三。第二，为了方便起见， n 阶行列式的表达式也可以计为这样的形式， 用连加号来表示。第三行列式的地规定义表明， n 阶行列式可以由 n 个 n 减一阶行列式来表示。 进一步的每一个 n 减一阶行列式，又可以由 n 减一个 n 减二阶行列式来表示。 如此进行下去， n 阶行列式便可以用 n 减一到三、二一阶行列式来表示。 因此， n 阶行列是最后可以表示成为 n 的阶层下的代数和并且每一项都是 n 个不同行不同列的元素的成绩。 本次我们来学习行列式的暗行和列展开定理。 首先我们来回顾一下恩杰行列式的定义。由恩行、恩列、共恩方格元素所构成的恩杰行列式定义为 第一行元素于对应的袋鼠鱼子式的成绩之和，也称为 n 阶行列式。按第一行的展开式， 下面我们仍然以三阶行列式为研究对象。经过一项并且合并同类项再重新整理后，还可以得到如下的一些有用表达式， 按第二行元素进行合并整理，可以得到三阶行列式。等于第二行元素与对应的袋鼠鱼子式的乘积之和及三阶行列式可以按照第二行元素进行展开。 可以按第三行进行展开。 可以按第一列 进行展开。 可以按第二列进行展开。 可以按第三列进行展开。 由此可见，三阶行列式可以表示为他的任意一行或列的元素与对应的袋鼠与子式的成绩之和。 依照地规的思想，对于恩节行列是可以证明如下的定理， 对于给定的按键行列式，他可以表示为他的任意一行或列的个元素与其对应的代数与子式的 乘地之和及 n 阶行列式可以按照第二行进行展开，或者按照地锥列进行展开。 该定理又称为行列式的按行或列展开定理。 特别的，该定理有如下的推论，如果 nj 行列适中， dna 行的元素中除 ait 外都为零， 那么行列式等于 aik 与对应的代数与指式的成绩。 我们来看一个例子，由第一点四可知，如果行列适中，第一行元素 除 a 一 k 外都为零，那么我们按第一行进行展开，就可以得到行列式等于 a 一 k 与其对应的单数与子式的成绩。 这表明， n 阶行列式中，如果某一行或某一列只有一个元素菲零，那么该 n 阶行列式就可以被约化为一个 n 减一阶行列式。 最后，我们通过几个例子来演示如何通过行列式的暗行或列展开定理来计算行列式的值。下面是题目。 对于第一个和第二个行列式，读者也可以尝试利用三阶行列式的对角线法则进行计算。 先计算第一个行列是将其按第一行展开。我们计算第一行元素对应的代数与指示。 于是 根据行列式按第一行进行展开的表达式，我们可以求得行列式的值为负。十六 做两点说明。第一，因为小 a 一二等于零，零乘以任何数都等于零，所以事实上大 a 一二是不用计算的。 第二，为什么按第一行进行展开呢？因为第一行元素有一个是零，两个非零。 观察一下，这个三阶环列是第二行元素，第一列元素、第二列元素 也各有一个零，两个分零。所以我们还可以按第二行或者按第一列或者按第二列进行展开。 对于第二个行列式观察可以发现，在行列式的第二行中只有一个元素菲零，因此我们将该行列式按照第二行进行展开 做一下总结。当行列式中某一行或列只有一个元素分零时，应该首先 按照该行或列进行展开。 对于第三个行列式，我们可以发现在行列式的第三列中只有一个元素分零。很自然的，我们将该行列式按照第三列进行展开。 于是，给定的四阶行列式就可以通过三阶行列式来进行计算。 对于等式优端的三阶行列是于刚才计算的第一个行列是类似，我们可以按照第一列、第二列、第二行或第三行 进行展开。例如，我们按第一列进行展开， 可以求得该三阶行列式的值为负三，所以给定四阶行列式的值等于负六。 首先看第一个例题，计算给定的 n 加行列式。 这种形式的行列式称为下三角形行列式，其特点为，当 a 小于 g 时， arg 等于零及 主对角线上方的元素权威零。 求解过程如下， 在行列式的第一行元素中，只有 a 一一不等于零， 所以很自然的，我们按照第一行进行展开，就可以得到 dn 等于小 a 一一乘以大 a 一一。当然，该行列式中最后一列元素也只有一个元素分零，所以我们也可以按照最后一列进行展开。 请读者自行尝试， 大 a 一一是一个 n 减一。接下三角形行列式与刚才的理由相同，我们可以按照第一行进行展开， 以此类推，最终可以求得 ben 的值。 从这一例子我们可以看出，下三角形行列是等于主对角线上所有元素的成绩。 第二个例题证明给定的等式， 证明过程如下，因为低安装第一行 和第一列均只有一个元素税零，所以我们可以按照第一行或第一列进行展开。所以正门方法有两种。首先看方法一， 因为在行列式的第一行中只有一个元素菲零，所以我们可以按第一行进行展开。 这一步中等式右端的行列式为 n 减一阶行列式，且与 dn 有相同的形式。同样的理由，我们按第一行进行展开。 同理，继续按第一行进行展开。如此进行下去， 最终就可以证明给定的等式。 方法二，在行列式的第一列中只有一个元素菲零，所以我们按第一列进行展开。 这一步中等式右端的行列式为 n 减一阶行列式，且与 dn 有相同的形式， 所以我们仍然按第一列进行展开， 继续按第一列进行展开。如此进行下去， 最终就可以证明给丁德等式。 本次内容到此结束。

各位同学大家好，下面我们来学习第二课行列式的展开，我们来看一下第一题，已知行列式 d， 让你求 m 一二 m 二三 a 一二 a 二三。首先我们需要知道 m 代表什么意思， 他叫鱼子式，也就是去掉对应元素所在的行与列。 我们来结合这个题目来看一下，来看一下 m 一二，也就是去掉第一行第二列所剩余元素组成的这个行列式的值就等于 m 一二， 我们把它计算一下啊，等于负二十六。同理，这个 m 二三，也就是去掉第二行第三列 和剩余元素组成的这个行列式的值就等于 m 二三，我们把它计算一下，等于负十。 然后我们来看一下这个 a， 那叫代数鱼子式，他他的值就等于负一的行家列字方乘以鱼子式， 那么这个 a 一二就等于负一的一加二次方乘以 m 一二， 那这个 m 一二我们刚才计算过，等于负二十六，那么一个 a 二，那就等于二十六。 同理， a 二三也等于负一的二加三次方乘以 m 二三，那这个 m 二三等于负十， 所以 a 二三就等于十啊，比较简单。好，我们来看一下第二题，让你用行列式展开的方法去计算行列式 d。 那我们先把这个公式罗列一下，就是这两个公式，第一个叫做按行展开，第二个叫做按列展开。 这两个公式看起来比较复杂，其实很简单，按行展开，也就是用所在行的元素去分别乘以它对应的代数与子式，然后再相加，就等于这个行列式的值。那按列展开也是一样的， 也就是用所在列的元素去分别乘以他对应的代数与指示，然后再相加。 那下面我们来结合这个题目来具体看一下。首先我们按第一行展开，也就是用第一行 长的元素去乘以他各自对应的代数与子式，两个相加啊，就等于这这个代数与子式。我们刚才也讲过了，他等于负一的行加列式方，再乘以 m。 那我们把这个计算过程写一下啊，就是这样，最后算出来他等于六十五， 这个是按行展开。下面我们来看一下。按列展开，我们按第一列去展开，也就是用第一列的元素去乘以他各自对应的代数句子式，然后再相加，就等于这个， 那我们把过程写一下，就是这样就算出来也是等于六数。这个过程并不复杂，大家可以暂停几秒钟看一下。 好，我们来看第三题，已知行列是 d， 让你求多个 a 或者 m 相加减，那我们来看第一题， 让你求两倍的 a 一一加上三倍的 a 一二加上四倍的 a 一三加上五倍的 a 一四。 那我们可以发现这里的 a 一 a 一二， a 一三， a 一四，就是我们刚才讲到的行列式展开的，按行展开就是第一个， 那我们在计算这种题的时候，我们就直接用它的技术，也就是用二三四五 去替换行列式 d 的第一行所组成的这个新的行列式的值，就是我们第一问要求的答案。 那这个计算过程就不给大家计算了，大家可以按照我们之前讲过的知识去计算一下。 好，我们来看第二本，让你求两倍的 a 一一加上三倍的 a 二一加上四倍的 a 三一，加上五倍的 a 四一， 那这个 a 一一 a 二一 a 三一 a 四一，就是我们刚才讲过的行列式展开的第二个就是按第一列去展开，那我们就直接用前面的技术二三四五去替换这个行列式的第一列 所组成的这个新的行列式的值，就是我们要求的第二问的答案。 好，我们来看第三问，第三问 让你求的是 m， 那我们可以先用 a 和 m 的关系去把这个 m 化成 a 啊，就是这样， a 一就等于负一的一加一次方再乘以 m， 最后得出 m 一一等于 a 一一啊，这个同理， a 二啊， m 一二就等于负的 a 一二， m 一三等于 a 一三， m 一四就等于负的 a 一四。所以我们要求的这个 两倍的 m 一，加上三倍的 m 一二，加上四倍的 m 一三，加上五倍的 m 一四， 就等于两倍的 a 一一，加上减去三倍的 a 一二，减加上四倍的 a 一三，减 去五枚的 a 一字，那这个 a 一 a 一二， a 一三， a 一四，还是我们刚才讲的按照第一行去展开，所以我们就用二负三四负五去替换这个行列式的第一行 所组成的这个新的行列式的值，就是我们要求的第三问的答案。 好，我们来看下第四题。这是一个特殊的行列式，我们在上一课中也讲过， 我们上一课中的计算方法是分三步，第一步将所有行加到第一行上面去， 然后第二步提取公因数，第三步用各行去减去第一行啊，计算过程是这样，那今天我们再给大家讲一个 其他的方法，也就是这个公式，我们来看一下这个公式，他的主对角线上的元素都是 x， 其他位置的元素都是 a。 像这种行列式，这种特殊的行列式，它就等于 x 减去 a 的 n 减一次方，乘以中括号 x 加上 n 减一倍的 a。 那对于我们这个题四，我们就可以跟这个形式是一样的， 那对于这个题是，那 x 就等于二， a 就等于一，那这个 n 就等于四，因为他是四行四列的嘛，所以我们把这个 x 等于二， a 等于一， n 等于四，代入的 这个公式里面，咱们就可以得到这个行列式的值，把它计算一下等于五。 好，我们来学习第二个知识点，范德蒙行列式。首先我们需要知道什么叫做范德蒙行列式，那也就是下面这种形式。 我们来观察一下这个行列式，他的第一行的元素全都是一，然后下面的元素他的指数是依次增加的。 第一列就是 x 一 x 一的平方， x 一的三次方，一直到 x 一的 n 减一次方， 然后第二列就是 x 二 x 二的平方， x 二的三次方，一直到 x 二的 n 减一次方。然后第三列，第四列，第五列是一样的，一直到 e n 列， x n， x n 的平方， x n 的三次方，一直到 x n 的 n 减一次方。像这种形式的就叫做范德蒙行列式，而他的计算方法就是后面这个公式。 这个公式大家可以看一下，比较复杂，那下面我们来结合着具体的题目来看一下，我们来看一下第五题， 我们来看第五题，他第一行的元素全都是一，然后这里是 a， a 的平方 a 的三次方，然后 bb 的平方 b 的三次方 c， c 的平方 c 的三次方，然后 d， d 的平方 d 的三次方， 这个他就满足范德蒙行列式的形式，那这个 abcd 对应的就是这个公式中的 x 一 x 二， x 三 x 四。那我们先把这个 abcd 拿出来来解一下这个题目， 他的结果就等于 d 减去 c， 乘以 d 减去 b， 再乘以 d 减去 a 啊，就是这一部分， 然后再乘以 c 减去 b， 再乘以 c 减去 a 啊，就这一部分，最后再乘以 b 减去 a 啊，就这一部分，那这个就是这个行列式的值。 好，我们来看第六题，我们把它解一下，我们先观察一下这个行列式，我们可以把它化解成这种形式，那这个 就是分能蒙行列式，这里的一二三四就对应的是 x 一， x 二， x 三， x 四啊，我们把它写出来，就是 x 一等于一， x 二等于二， x 三等于三， x 等于四， 那这个行业式的值就等于 x 四减去 x 三，乘以 x 四，减去 x 二，再乘以 x 四，减去 x 一啊，就是这一部分。 然后再乘以 x 三，减去 x 二，再乘以 x 三，减去 x 一，就这一部分，最后再乘以 x 二，减去 x 一 啊，就这一部分，我们把它算一下，二等于十二。 好，本课结束，谢谢大家。

凯文包会行列式展开，立即行列式的展开，那么行列式某行或者卯列两元素之和可以拆开计算。好，我们具体来看他是怎么做的。在这里我们把中间这个加法拆成两列， a 一二加 b 一二， a 二二加 b 二二， a 三二加 b 三二，然后中间我们用加号连接就行了。在这里我要提示大家，最大两边这两列全是照抄的，只有中间这个加法拆成两个的加法。好，给大家三秒钟时间认真观察一下，这个式子非常重要。 好，接下来我们就用刚才所学的展开式，已知 a 一、 b e， c 这三列等于一，让你求这样一个行列式，你首先观察这个行列式是有加法的，所以我应该把它拆开啊。首先对第一列 a 一加 c 一这一列进行拆开，后边两列照抄，也就是 a 一、 a 二， a 三写到这里，然后 c 一、 c 二， c 三写到右边，也就实现了一个拆成两个。接下来我再观察，我发现这里依然是加法，我的题目中没有加法，所以我要把这一列进行展开， 同样的，这里也需要进行展开，那么我们采取相同的展开操作，前两列不超，然后这两列相加，拆成 a 一， 然后加上后边的 b 这一列，然后我们再把后边这个式子采用相同的方式也拆成两列。好，接下来我们对这四个式子进行观察，我们发现这个式子的第一列跟第三列相等，也就是对应列成比例，所以第一个为零， 第二个我们发现第二列跟第三列相等，所以也是零。第四个第二列跟第三列也是零，就只剩下中间这个是 我们观察中间这个式子，发现他跟目标 abc 之间的差别就是第一列跟第三列位置不同，所以我们在这里采取把第一列跟第三列相互交换，也就得到了下边这个式子， a 这一列，然后 b， 然后 c 这一列。注意交换两列的时候，我们要在前面添个符号，然后就得到结果是负一。在这里我要提示大家，我的这个等号上并没有写 c 一箭头 c 三，也就是我们在做行列变化的时候经常写的那个 l 一减去二倍的 l 三这种东西，这是因为对于一些比较简单的式子，我们可以省略这一部分，好给大家五秒钟时间，大家再观察一下这种加法是如何展开的。

大家好，今天来分享自考零四幺八四线性代数的一个非常重要的知识点，它来自于第一张行列式里面的行列式展开定理及其推论。首先我们先从这个定理的内容出发，第一个知识点，行列式的展开定理，他是怎么说的呢？ 已知一个 ng 行列，是我们要计算这个行列是直的时候，完全可以通过这样的关系把它算出来，他等于任意的一行或者列的各个元素与其对应的代数与指示的乘积，然后把它们加起来，所以是乘积的和， 这是文字方面的迅速。那我们来看一下他的代数关系啊，这个行列式的直会等于，比如说我选中 d i 行，那么 d i 行的元素 a i 一乘上对应的 自己的代，数字是大写的 a i， 一加上 a i， 二乘上自己的大写的 a i。 二代数字是一直加到 a i n 乘上大写的 a i n， 那么这里就可以求出对应的每一个成绩的关系，再把他们全部加起来，就可以算出来，这个结果正好会等于这个 ng 行列式的值。这也是计算行列式的一个通用的办法啊。 不仅行可以作为这个关系，我们也可以从列出发，我们选中 dj 列，那么第一个 a ej 和 大写的 aj 相乘，对吧？ dj 列第一行的元素加上 ar 制，同样乘上大写的 arz， 一直加到 ang 乘上大写的 anz， 这个结果算出来，结果同样也是这个行列式的值。所以我们可以从行列式中任选一行 或者一列，做这一个展开定理的计算，把它的结果求出来，正好就是这个行列式的制，那么这就是我们展开定理的所有的内容啊，我们通过一个三阶行列式做一个简单的检验啊，比如说给出这样的一个三阶行列式， 我们可以通过行列式展开定理，把它给计算出来，这里我们选择的是按照第一列展开和第三列展开，来验证一下是否会相等啊。首先我们选择按第一列展开，那么这里应该选择的是元素一、二、零， 这是三个元素啊，我们对应的第一个元素是 a 幺幺，第二个元素是第一行啊，第二行第一列是吧？那么就应该是 a 二幺，这个零对应的是 a 三幺，按照 第一列的三个元素，好，剩下的这个部分就是他对应的代数与指示了。我们举个例子啊，比如说把第一行第一列化掉，那么剩下这个二阶行列式是不就是他鱼子式，再乘上这个负一的一加一次方判符号，就是他代数指示了，所以这里应该是大写的 a 幺幺， 对不对？同理，这个结果应该是大写的 a 幺二，这个结果是大写的 a 幺三 啊，大写的 a 二幺啊，这里写错了，大写的 a 二幺。好，这里大写的 a 三幺啊，那么这就是对应的 按照行列式的第一列展开的结果啊，把它计算出来，可以算出来会等于负九啊，那么这是按照第一列展开算出来的结果。同样的，我们也可以选择再次使用这个 个行列式里面的第三行来做展开验证。我们选择元素零、负一和二，用行列式展开定理，那么这里的元素应该是 a 三幺，第三行第一列的元素，这里的负一是第三行第二列的元素 a 三二，这个元素是第三行第三列的元素 a 三三乘以自己的代数与指示，那么这个就应该是大写的 a 三幺，这个是大写的 a 三二，最后这一个是大写的 a 三三， 我们把它算出来，可以得到结果，应该也是等于负九的零加一，加上负十，那么算出来也是负九，所以通过两个方向去 展开就可以验证了啊，其实不管你选择哪一行哪一列展开，这个结果哈，都会等于负九，大家可以进行尝试一下啊。那么通过这个三阶行列式，我们就把行列式的展开定理跟大家基本的叙述完毕了。 好，那么接下来我们来看第二个知识内容，叫做行列式展开定律的推论啊，这个推论也不难啊，他的描述非常简单，如果 n 阶行列式的任意一行或者列 的各个元素与另一行或者列，注意啊，这个地方是另一行或者列各个元素代数与指式的乘积之和啊，把他们同样的相乘，然后加起来，那么这个时候的结果啊，他不会等于行列式的值，而是应该等于 零啊，等于零。好，这就是他的一个描述。那么通过代数关系我们可以看到啊，如果我们元素选择 d i 行的元素，看到没有选择 d i 行的元素，那么代数与指示呢？选择的是 dk 行的代数指示，那么这个时候元素和代数与指示他的行数不匹配的时候， i 不等于 k 的时候，这个时候算出来结果是等于零的，这就是他的推论意义所在。 同理，如果我选择的是 dj 列的元素，但是呢，你给的这个代数指示啊，他是 ds 列的代数与指示，那么这个时候算出来的结果啊，他也是应该是等于零的， 那么这就是他的一个推论。所以这个考点，如果考到小题的时候，我们只要狠狠的抓住行列式的展开定理以及他的推论，就可以把非常多的小题的问题快速的进行解决啊，这也是大家必须要掌握的一个非常重要 的知识内容。好，我们通过一个例子来看啊，比如说这道题啊，这是一个三阶行列式，那么他让我们计算三倍的 a 幺三，加上大写的 a 二三，减去大写的 a 三三，那 如果你不知道这个结论的话，你肯定是先去计算大写的 a 幺三，再去计算大写的 a 二三，再去计算大写的 a 三三，然后再把它算出来，这样就慢了啊。大家来看一下这个里面大写的 a 幺三，大写的 a 二三，大写的 a 三三，他是来自于第三列的什么？ 第三列的代数与指示，是不是这是来自于第三列的代数与指示？好，那么这个地方的三，我们是不是能看成 a 幺二，这个地方一倍的一，他省略了不写，我是不是能看成这个一啊？是不是应该是 a 二二，好，再来这里负一倍啊，这个负一我是不是能够看成的是 a 三二， 所以这里是不是能够理解为第二列的元素和第三列的代数与指示相乘啊，那么这里是不是满足了这个展开定理的推论，所以这个结果毫不犹豫的可以写等于零， 所以这就是推论的一个基本应用啊，那么我们接下来来看一下真题啊，通过刚刚所讲到的内容做真题应该能快速的把它做出来了。 好，我们来看一下幺八年四月份的填空题第六题啊，已知这个三阶行列式只等于一，那么元素啊，这是小写的 a 以及大写的 a， 是代数与指示，我们要计算的是大写的 a 三幺加到大写的 a 三三。那么这种题啊，如果让你计算某 一行或某一列的代数指示的和这里，你一定要把它前面这个一给补上，这个一要看成什么？大家想这个一啊，要看成的是元素啊，但是这道题呢， 没有一行的元素，他正好是一啊，但是我们能否把它看成的是元素二呢？如果我们这么去写啊，再来看一下二倍的 a 三幺加上二倍的 a 三二， 加上二倍的 a 三三。大家想这个问题，这个结果等于几？这个结果是不是满足展开定理啊， 元素是来自第三行的，代数也是也是第三行的，所以这个结果是不是应该正好会等于数一啊，这是展开定理对不对？那如果我们把这个二提取出来，那么变成的是不是应该是， 这个结果？是不是应该是等于二分之一啊？我们把这里面左边的二提取出来，把二除过去，那么结果就出来了，所以第三行的代数与值的和正好就应该等于二分之一。这道题考的是展开定理的一个基本应用啊。 好，我们再来看一下这个十月份的填空题的第七题啊，这道题的话来看，他让我们计算的是 d 几啊？第三列的代数与指示是不是 a 幺三？ a 二三， a 三三，然后前面的系数是什么？前面的系数二四负二，是不应该是第二列的元素啊？这个地方是不是应该是 a 幺二， 这个地方是 a 二二，这里是什么？ a 三二，所以这是什么？这是推论 第二列的元素乘以第三列的代数指示，不用想了，结果一定等于零，对吧？所以这种题啊，他就是考结论啊，如果你知道这个知识点，能够快速的把它做出来。好，我们这是看了这两道题啊，再往下看 幺九年四月和十月的填空题的第一小题啊，有点像，对不对？那么这道题也是在考刚刚的这些关系啊，就展开定理。好，我们来看，第一小题 给的是第二行元素啊，分别是一、负二三，这是个三阶的，我们来标一下，这个叫做 a 幺 a 二幺，第二行吗？这个是不是 a 二二， 这个是不是应该是 a 三 a 二三？第二行的？好，注意看题目给的是鱼子式啊，注意这个地方，第二行的鱼子式，他应该 是 m 二幺，这个呢，是不是 m 二二， 这个呢？是不是 am 二三？所以这道题在做答之前，我们首先要把这个鱼子式全部转化成带数字式，那么根据鱼子式和带数字的关系，我们就可以写了啊， a 二幺是不是应该等于负的 am 二幺？ 知道为什么吗？负一的二加一次方肯定是负的，对不对？所以这个代数符号是负的，那么算出来应该等于负三好。再来， a 二 是不是应该等于正的 m 二二，也就正好等于 m 二等于二好，最后一个 a 二三，这里是不是应该 等于负的？同理吧，负一的二加三次方等于五次方，也就是负一啊，负一的 m 二三，所以负的负二等于正二。那么这里就求出来了对应的 第二行元素的代数与指示了。所以根据展开定理，我们这个行列式的值把它列为 d 的话，就应该是元素和对应的代数与指示的乘积来看， a 二幺乘以大写的 a 二幺，是不是应该是一乘以负三？ 好，然后加上第二行的元素第二行第二类的元素是负二，所以是负二乘以对应的代数与指示是不是正二， 看这里大写的 a 二对不对，然后最后加上元素是三乘以对应的这个 二，对吧，所以是三乘以二好，所以算一下，这里应该是等于负三，减去四加六等于负一，所以本题的行列式的值等于负一。 那么这是四月份的填空题啊，来看下十月份幺九年，他同样考了类似的题啊，但是十月份这道题就相对简单一些了啊，他不需要我们判符号，因为这个题目直接给了代数与指示，所以这道题啊，非常的简单 啊，和他的在第几列根本没什么关系了，我们元素和代数值直接相乘就可以了，所以这个第啊， 就应该等于元数一去乘以他的代数与指示是不是应该是正好等于三？元数负二乘以自己的代数与指示是不是等于负四？最后元 速三乘以字的代数与指示是不是等于负六？所以这道题的结果啊，比四月份的会好做一些，更快的能够得出来，不需要判符号，答案等于负七， ok， 所以这道题啊，我们就算出来等于夫妻，那么行列式的展开定理和他的推论啊，在我们做小题的时候可以发现啊，这些年基本上都会考到一道小题啊，这种题知道的话能够快速的把答案 求出来，并不是什么难的题目啊，所以这里还是要好好的总结复习一下。好的，那么我们今天的分享就到这里啊，非常感谢各位同学的观看，同学们，再见！

欢迎收看现行袋鼠微课堂本期视频，讲解行列式的计算之展开降解法。 展开降阶法是利用行列式的按航或按列展开定理，将行列式降为几个低阶的行列式，再通过计算这几个低阶行列式来算出原行列式的值得方法。 给出这样的一个五间行列式，注意到这个行列式的第一列只有两个飞零元素，所以按第一列展开就得到如下的展开式。 而这两个四阶行列式都是三角形行列式，所以他们的计算结果一个是五的接称，另一个是六的接称，算出来的结果是 八百四。再看一个例子，这个行列是对角线的元素，分别是一到 n， 而其余元素全部都是二，并且 n 大于等于二的。这样的一个 n 接行列式。 对这个行列式稍作处理之后，就可以利用展开降解法计算这个行列式。首先从第二行开始，每一行减去第一行就得到下面的这个行列式。 注意到这个行列式的第二行只有一个非零元素，所以这个行列是按第二行展开就得到下面的展开式。而后面的 n 减一阶行列式是一个三角形行列式，所以对角线元素的成 就是他的值，他最终的结果就是负二乘上 n 减二的节称。 最后给出一个练习题，这是一个 n 阶含列式，对角线的元素从 n 一直降到一 对角线的上方，由一一直增加到 n 减一，然后在右下角有一个飞零元素 n， 这个含义是我们计算的时候可以按第一列展开，最后给出他的答案是这个 具体的计算过程请自己去补充。本期视频就分享到这里，感谢您的收看！

下面我们看个推论，行列是任意行或者列的元素于另一行或者列的，对应元素的代数与子是乘积之和，等于零啊，我们用个式子表达，就是啊， 那么这个小 a 啊，这是 d i 行啊，这是第一个元素啊， 第二元素一直到第 n 个元素啊，那么 ai 啊，乘以啊， 那么这是第几行啊？第一元素啊，它的代数因子是 a i 二乘以 dj 行第二列啊，这个代数女子是一直到 dj 行第 n 列，这个代数女子是他的成绩是何等零啊。 我们举个例子啊，你比如说这个三阶航天室啊，我们把它展开的话啊， 按这个第一行把它展开，就是 a 一乘以他的代数与子式， a 二乘以他的代数与词与子式，加 a 一三乘以他的代数。女子式啊， 把它展开啊， 那么 我们把第一行元素啊，换成第二行元素啊，那么 他呀，乘以他啊，这叫他乘以他，叫他乘以他等于零啊，我们自己可以利用行列式的性质啊，可以证明一下子啊， 啊，其实啊，这个就是一个啊，简短的一个啊，证明啊。

给了我们这一个四乘四的行列式，让我们求以下三位，首先我们来看一下第一位，第一位都有这个代说与指示，首先我们来看一下他们的系数，就是三负五二一，那么对应的应该是第一行所有的元素。 然后我们再来看一下这个代若鱼子氏，就是 a 三一， a 三二， a 三三， a 三四，他所对应的应该是第三行所对应的这个代若鱼子氏。 那么这里有个定理，大家需要知道，就是某一行或者某一列，如果与另一行或者另一列的代数与指示相乘，在相加以后，他的值是等于零的， 那么这里他的元素就是系数，对应的应该是第一行的元素，而与此事所对应的位置应该是第三行每个元素所对应的。像这种情况下，那 这里你就不要算了，他直接是等于零的，这就是一个定理。好，下面我们来看一下第二位，首先我们把它拿下来，拿下来以后，这里他的系数我们都可以看出来，他都是一 这种题的做法。首先看一下这个代授与指示是哪些位置对应的， a 一、 a 二， a 三、 a 四，很明显他是第一行所有元素对应的，那么你就把他的系数就是四个一，分别把这第一行所有的元素进行替换， 替换下来以后，我们要求的这个 a 一加上 a 二，加上 a 三加上 a 四，就相当于求解这个行列是值， 这是一个方法啊，大家掌握一下。那么求解这个行列式的值，我们采用的就是上一个所讲的画成上三角公式的形式，首先通过这个元素把下面三个换成零， 那就是第二行减去第一行，第三行加上第一行，第四行减去二倍的第一行，得到下面这个事情，然后再利用这个位置把下面两个变成零，那么这个位置他是零，所以说不行， 然后再把第二行和第三行兑换一下位置，兑换位置以后啊，别忘了加这个符号，然后通过这个位置把下面变成零。这里画零之前，首先观察一下，像第二行他都有个供应责案，首先我们提出一个二， 然后再用这个二把下面两个变成零，这里已经是零了，所以说只需要把这个负六变成零就行了， 那就是第四行加上个三倍的第二行，就得到下面这个式子，然后画到这一步以后，就画成了上三角公式的形式，那么这个值就等于这个对角线相乘，再省以这个负二得下来就行了，它是等于四 四。那么关于这种方法，大家把它掌握一下，就是让你求代若与子氏相加的形式，先看他的系数，然后再找到他所对应的这个位置，把那些位置啊全都换成他的系数，就解这个行列式的值就可以了。 好，下面我们来看一下第三位，首先把它拿下来，拿下来以后我们来看一下，这里是鱼子石，刚才我们讲的是代硕鱼子石，那么根据这个关系就是代硕鱼子石与鱼子石之间的关系。如果把这个负一的阿加介四方除到左边去，就得到下面这个石子了， 就是同理的大 m， 也是等于负一的阿加介词方声音大 a， 然后根据这个公式把这四个画成带数据姿势， 然后把它化解一下，就得到下面这个式子，那么他所对应的系数决定是一负一，一负一， 然后我们再来看一下他所对应的位置，这里是 a 一一， a 二一， a 三一， a 四一，那就相当于是第一列所有元素所对应的单位与姿势。所以说把这个第一列所有元素分别换成这个系数，那就是一负一，一负一。 然后下面我们做的就是和上面是一样的，就解这个行列式的值。首先这个第二行加上一倍的第一行，然后第三行减去第一行，第四行加上一倍的第一行，就得到下面这个数字。然后利用这个负四把下面两个变成零，那就是第三行加上二倍的第二行， 第四行减去个四分之九的第二行，就得到下面这个式子。然后画成这一步之后，我们来观察一下，这里是三，这里是负二分七， 如果用这个负二分之一除以三的话，他等于负的六分之七，这个七除以负六，也是等于负的六分之七，所以说三四两行是对应成比例的，那么在这种情况下，你就不用算了，直接等于零。