长郡二十校联考数学基础讲解

这几天最火的一份卷子应该就属湖南的新高考教学教研联盟二零二五年首次联考，又称长郡十八校二零二五年首次联考，以湖南名校长郡中学牵头参加，学校众多。 这份试卷的整体难度中等偏上，对于考这份卷子的同学来说，考到一百分左右可视为基础较好，若能突破一百二十分则表现优秀。教难的小题主要集中在函数、圆锥、曲线、数列等模块，较难的大题涉及函数倒数、圆锥曲线综合、数列与不等式综合等内容。 单选题中，第一道五题均为简单题，涉及集合运算、复数运算、向量关系判断、样本数据特征、三角函数横等变换等基础知识点，计算过程简单，大部分同学应能得分。第六题是中档题，利用函数所满足的关系是类似二零二四届新高考一卷的单选压轴题，通过复值法求出发 f 一的值，在 根据地推关系得出函数的通向公式，进而求出 f 二零二五的值。第七题是中档题，根据双曲线交点到渐进线的距离公式得出 b 的值，再结合渐进线倾斜角的关系求出 a 的值，从而计算出焦距。此题是常考模型题，务必重视。 第八题是难题，通过换元法将函数转化为二次函数，结合函数图像分析零点分布情况，利用二次函数的性质列出不等式，求解 a 的取值范围。博选题中，第九题是基础题，考察椭圆的基本性质，重点关注 d 选项，需要结合基本不等式。 第十题是中档题， a 选项根据已知条件判断边的大小关系， b 选项利用余弦定理和正弦定理证明角的关系。 c 选项根据三角形内角和求出 b 的范围。 d 选项通过三角函数横等变换求 b 分之位的范围。第十一题是难题。 a 选项 像通过计算相邻房间的情况，用间接法求出不相邻的概率。 b 选项通过列举法判断小球放置数量。 c 选项需仔细分析小球的移动路径。 d 选项通过建立概率地推关系求解。填空题中第十二题是基础题，根据对数函数的单调性，结合函数平移确定 a 的取值范围。 第十三题是中档题，先将函数化减为正弦型函数，再根据 x 的范围确定欧米加 x 加三分之的范围，结合零点个数求出欧米加的最大值， 这是常考中档题。第十四题是难题。根据正方体与圆锥的位置关系建立圆锥体积的函数表达，是通过求导判断函数单调性求出最大值， 这是新高考的高频考法。解答题中第十五题是基础题，涉及频率分布、脂肪图的计算、概率计算以及独立性检验。通过频率分布、脂肪图的性质、球类利用组 和数计算概率，根据公式完成列连表并进行独立性检验。第十六题是中档题，属于立体几何中的翻折问题。第一问，通过分析三角形面积最大时的条件，利用正弦定理求出 cd。 第二问，建立空间直角做标系，利用向量法求二面角的余弦值。第十七题是中档题。函数倒数综合问题。第一问，分析函数的单调性，结合函数的极限值，根据零点个数确定 a 的取值范围。 第二问，通过对函数求二阶导数，讨论不同 a 取值下函数的单调性，从而确定 x 等于零，是极小值点十微的取值范围。 第十八题是难题抛物线语言的综合问题。第一问，根据抛物线的性质和 p f 加 p m 的最小值求出抛物线方程。第二问，利用直线语言相切的性质，结合三角函数知识求角 b、 a、 c 的取值范围。第三问，通过直线语言相 切的条件，需要借助同构思想并结合为答定理求出二的值。第十九题是难题数列综合问题。第一问，通过对数列地推式的变形，可以证明结论和求出通向，这是基础题难度。第二问，利用数列的通向公式，通过比较不同行或列的和来证明结论。 第三问，通过对新数列的分析，结合不等式放缩，证明不等式后两问的难度较大，能够拉开尖子声与非尖子声差距。