外接球找球心的方法
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01:33查看AI文稿AI文稿极致熟练的思路就可以秒杀这道外接球加线面角最值的立体几何压轴题。首先看一下题 d m， a， b， c 的 外接球 o 交直线 p a 于点 g 和 a 求直线 b g 和平面 p b、 c 所成角最大时的软木达直。首先线面角最大是九十度，此时只需要满足 p b 垂直 b g。 然后根据相似算出 a， g 等于一， 进一步算出 g， c 等于三，那相当于算出来三角形 a、 c， g 和三角形 a、 m、 c 和求 o 的 半径。所以根据正弦定律就可以快速计算出 am 等于根号六， 再根据余弦定律计算出 m， c 等于根号六或者三分之根号六，根号六舍去，所以软木达等于六分之一。秒杀过程中有两个关键思路，一个是当地机垂直于 p、 b、 c 的 时候确定点记的位置。其实通过第一问的处理，我们应该会很熟悉这个图形结构，很明显的三垂线结构， 所以各种垂直很好搞定，其中 b、 c 就是 永远垂直 b g 的， 所以 b g 垂直 p b 就 可以满足垂直面 p b、 c。 第二关键思路就是我们要确定点 o 的 轨迹，也就是说随着点 m 的 移动，点 o 是 如何变化。其实这都是来自三棱锥外接球常见的确认方法，思路并不复杂，也是在外接球这个题型里非常常见的。首先三角形 a、 b、 c 是 直角三角形，所以外接圆圆心就是 a、 c 中点 o 一， 然后过 o 一 垂直于面 a、 b、 c 三个点距离都相等的点的集合。同理，过三角形 amc 的 外接圆圆心 o 二与面 amc 垂， 这个直线就是空间中到 a、 b、 c 三个点距离都相等的点的集合，这两个直线的交点就是外接球的球心及点 o， 再加上面 a、 b、 c 与面 a、 m、 c 是 垂直的，所以这两条直线的交点就是 o。 二 及球心就是三角形 a、 m、 c 的 外接圆圆心，因此外接圆 a、 m、 c 至四点共圆，所以三角形 a、 m、 c 的 外接圆半径就是三角形 a、 g、 c 的 外接圆半径。这下都串起来。剩下就是简单的正弦定力和余弦定力的应用，很快就秒杀了，思维量不是很大，计算量也很小。哇哦，学会了吗？
114肥猫数学
55:22查看AI文稿AI文稿大家好，今天呢我们要探讨的主题呢是空间几何体外接球问题。众所周知呢，外接球是近几年来高考数学的高频考点，也是公认的核心难点，那如何才能有效准确的解决这类问题呢？ 那关键在于我们必须熟练的掌握外接球中的各种经典的模型，只有这样，我们才能在解析的时候快速的切入，精准的定位，从而大幅提升解析的效率和准确率。那接下来呢，我们就来一起探讨这几大模型， 那么其中呢，切瓜模型、墙角模型，对棱相的模型和汉堡模型相对来说是比较容易的，那么难点呢，应该是二面角模型，那么考高频的考点呢，应该是台体的模型。好，接下来呢，我们一起来看一看。 好，接下来呢，我们先来探讨一下正三角形的一些相关性质，我们先去求一下正三角形它的外切圆和内切圆的半径。 正三角形呢，是一个特殊的三角形，他是四心合一，哪四心呢？哪四心啊？第一个是他的外心，第二个是内心，第三个是重心， 第四个是垂心啊，垂心。那么因此呢，我们看就是它的外心呢？ o 将 a、 d 呢分成是二比一的关系，分成是二比一的关系，这是占两份，这是占一份。 如果它的边长是 a。 好， 我们看第一个，我先求出正三角形的高是二分之根号三 a， 那么它的外接圆，它的外接圆占高的三分之二，占高的三分之二，那就是三分之根号三 a。 同时呢，它的内切圆，它的内切圆占高的三分之一，所以是六分之根号三 a。 那 我们在记的时候，这里面有一个小窍门，就是啊，二 三得六啊，这是正三角形的相关性质，同时我们还要注意一下正三角形，它的三角形的面积呢，是四分之根号三 a 方。哎，这是正三角形所具备的四条性质，必须记得非常清楚。 那我们在解决外接球的时候，实际上在也遇到了求普通三角形的外接圆以及内切圆半径，普通三角形应该如何解决呢？好，普通的三角形我们都知道呀， 是通过正弦定力来解决三角形的外接圆问题啊，给你一个三角形，这是 abc 是 吧？ 好，那么他的呃外接圆半径呢？我们知道是 a 除以第一条啊，第一条 a 除以三以 a 呢，等于二倍的外接圆半径，所以得到了外接圆半径呢？是二分之一的 a 除以三以 a。 第二条，它的内切圆半径是通过等面积来处理的啊，我们的内切圆将三角形分成了三三部分啊， 我们求内切圆半径，那这个问题自始至终呢，它就其实跟面积相结合了，跟面积相结合，我们的三角形的面积 a、 b、 c 的 面积等于什么呢？等于二分之一的 a 加 b 加 c 乘以内切圆半径，所以我们得到了内切圆的半径是二 s 除以它的周长。 好，这时我们要了解正三角形的相关性质，以及普通三角形它的外接圆和内切圆如何来求？普通三角形它的外接圆和内切圆有如何来求的问题？ 好，那接下来呢，我们再去第二个补充的内容，是正方体他的外接球、内切球和棱切球的问题，我们的外接球呢？正方体的外接球，我们知道呢，他是体对角线的一半， 所以是二分之根号下 a 方加 a 方，再加 a 方，对不对？那因此呢，是二分之根号三 a， 对 于它的内切球，我们知道是棱长的一半，棱长的一半，所以是二分之 a。 棱切球啊，跟棱相相切，那这个该怎么去理解？就是你可以拿一个正方形的框架里面吹了一个气球，那么气球呢，跟你的棱是挨着的，相切的，那么他的这个 直性呢？我们看是从这个线一直延长，延长到这个，这个对棱，是吧？所以它其实呢棱啊，棱切球，它的半径呢，实际上就是面对角线的一半，那就是二分之根号二 a。 好，这是正方体啊，这是正方体，那对应的其实长方体啊，大家要注意一下啊，这里面长方体，它的外接球半径啊，我们刚才实际上是长方体的对角线一半，所以是二分之根号下 a 方加 b 方再加 c 方啊，这个注意下，好，接下来呢，我们来解决的是正四面体的外接球和内切球的一个求法 啊，我们知道正四面体它实际上是一个特殊的正三棱锥，正三棱锥，好，我们来讲一下如何来求它的外接球。 我们都知道外接球的定义呢，是在空间中到各个顶点的距离都是相等的，那既然是正四面体的外接球，他的球心位置必然到 a、 b、 c、 s 的 距离是相同的。 那因此咱们来思考一个问题，因为正四面体它是一个特殊的，它是一个特殊的正三棱锥，我们看顶点 s， 我 过顶点 s 做底面的垂线，它的 s 点的投影落在三角形 a、 b， c 的 外心上了， 为什么呢？因为我们知道侧棱都相等对不对？好落在三角形底面三角形的外心上，那么球心的位置我们先去确定，一定是在 s o 的 s h 这条线上。为什么 我们思考这样的问题，它是垂直 s h 垂直于底面，而且经过底面的外心，所以我们知道在这条线上的点，它到 abc 的 距离都是相等的，那此时我只需要保证 在这条线上，我找到一个点，保证到下顶点 c 和上顶点 s 的 距离相等，我就是球心位置。 为什么啊？我为什么就是？我为什么只用满足 s o， 它等于 o c， 我 就一定是球心的位置呢？啊？因为它是过里边外型的垂线，我到 c 的 距离相等，其实我就意味着到 a b 的 距离相等，所以我只需要保证这两个边长。 那接下来呢，我们就对这个三角形来解，直角三角形，我们刚才呢，其实已经复习过啊， h 是 底面的外心，那么 d c 的 长度是二分之根号三 a， d c 的 长度，那 h c 呢？是底面三角形外接圆的半径是三分之根号三 a。 通过勾股定律啊，在 r t 三角形 s h c 中啊， s h 它是通过勾股定律来求的，就是 s c 方减去底面外接圆方，对吧？那就是 s c 方减去底面外接圆半径方， 所以 s h 也就是正四面体的高啊。如果它的棱长为 a， 那 它的高等于什么呢？我们来推导一下，就是 a 方减去三分之根号三 a， 那 就是三分之 a 方，所以最后的结果呢？ 是啊，三分之根号六 a 啊，这是正四面体的高啊，我们要记住的第一个公式啊，第一个公式， 好，那么接下来呢，我们刚才其实已经分析了，它的外接球的球心一定是在 s h 这条线上，我们只需要保证 s o 和 o c 相等就可以了， 那也就是 s o， 我 们设成是外接球的半径，设成外接球的半径。好，那此时呢，我们来看一下高啊， o h 方，对吧？ o h 方加上呢底面外接圆半径方，就是外接球半径方， o h 呢，我们等于 h 减去外接球的半径。好，我们列这样的一个等量关系， 那么在这个等量关系中呢，我先没有算啊，先没有算，所以就是 h 方减去二 h 外接球半径啊，加上啊，这个没有方啊， 好，加上啊，加上外接球半径 啊，我们这个地方的推导实际上是一个从特殊到一般的一个过程哈，我们这个消掉了， 那因此我们在求的啊，二 h 外接求半径就等于什么呢？就等于 h 方加上底面外圈半径方。 那通过我们的这个题目中呢，我们其实也能发现一个问题，就是他的这是他的高，对不对？这是他的底面外径圆半径，底面外径半径，那他的 h 方加上底面外径半径方，实际上就是什么呢？就是侧棱方啊， 所以我们的外接球公式就推导出来了啊，是侧棱方， 除以二 h， 那 对于正四面体来说，它就是 a 方啊，除以二乘以三分之根号六 a 啊，那进而就是四分之根号六 a。 好， 我们得到了这些关键信息，正四面体的高呢，是三分之根号六 a， 它的外接球半径呢？是四分之根号六 a。 好， 这是第二条。 好，是通过球的定义求出了外接球的半径。外接球的半径，那同时呢， 对于切瓜模型，我们这里面其实也是一个铺垫啊，切瓜模型中的外接球，以后我还会再详细再去推一遍，我们不仅仅只适用于三棱锥，那四棱锥啊，都可以啊。好，刚才呢，我们是求出了正四面体的外接球， 那他的内切求该如何来求啊？我们同样是这个问题， 我们的内切求是到各个面的距离是相等的，是相等的，那我们来思考一个问题，我们正四面体，刚才我已经求出一些关键的信息了，对不对啊？三分之根号六 a， 那么正四面体内切球的球法，它跟正三角形内切圆的球法是一样的，正三角形内切圆是面积分割法，这个是体积分割法啊，等，体积分割法 什么意思呢？你是一个内切圆，那么 o 点到各个面的距离相等，就是圆的半径，球的半径啊，球的半径，那因此我们的体积呢，就是三分之一的 四个面，对吧？的表面积啊，表面积和乘以内切球的半径。 如果对于普通的几何体来说，我们这个就是求法。但是对于正四面体来说，因为它的每个面都是全等的，所以它的体积运算是三分之一乘以底面积，再乘以高 等于三分之一，这个是四个面，所以是四 s 乘以内切球的半径，所以我们得到了内切球半径啊，你看这个三分之一也没有了是吧？啊， s 也消掉了，等于四分之一的 h 啊，也就是高的四分之一，那我们刚才说过高是多少呢？ 是三分之根号六，三分之根号六 a。 所以 对于正四面体来说，它的内切球半径啊，它的内切球半径是多少呢？是十二分之根号六 a， 十二分之根号六 a。 好， 我们再来梳理一遍。那么正四面体它的高呢？是三分之根号六 a， 它的外接圆，外接球是四分之根号六 a， 它的内切球是十二分之根号六 a， 它的内切球占高的 四分之一 h， 外接球占四分之三 h， 外接球的半径之比和内切球的半径之比是三比一的关系 啊，我们记的时候，你看这个分母，刚才是三四啊，十二，对不对？好，我们再来结合正三角形，正三角形是二维的几何空间，它的高呢？是二分之根号三 a， 他的外接圆呢？是三分之二 h 是 三分之根号三 a， 他的内切圆是三分之一， h 是 三分六分之根号三 a。 好， 这 七组数据呢，我觉得教大家巧妙的方法来记啊，就一下就能记住二维空间，我们知道三角形是二维的几何空间，他的高呢？分成两份是二比一 啊，外接圆占三分之二，内切圆占三分之一。那么正四面体呢？它是三维的几何空间 x、 y、 z。 所以呢，它将它的球心呢？将高分成是三比一的关系啊， 外接球占四分之三，内切球占四分之一。三四十二，二三得六，二三得六啊，这样的话，一下子就能记住 啊，或者说你只记一个这个高啊，正四面体的高和正三角形的高，一个是二比一，一个是三比一，这样所有的都记住了。 正四面体的研究啊，它的外接球、内切球研究给我们提供了很好的切入点，我们后续在研究正冷锥的时候，很多的啊，很多的肌底都是来源于正四面体这个特殊的集合体。 好，嗯，刚刚呢，我们讲的是正四面体的外接球的球法，那实际上对于正四面体而言，它是一个典型的呃，是正三棱锥的一种特殊情况， 那么我们也适合于切刮模型。那首先我们看一下切刮模型的适用条件，它是适用于啊侧棱箱的 侧棱相等的棱锥， 侧棱相等的棱锥可以是三棱锥，也可以是四棱锥，也可以是五棱锥，以及什么呢？圆锥，我们都可以用切刮模型来解决问题。 切瓜模型，顾名思义就是切一刀下去，那么它要求侧棱啊，侧棱是相等的侧棱相等的棱锥，那么侧棱相等啊，那么顶点 过顶点做底面，过底，过顶点做底面的垂线，那么垂心啊，或者说屁点在底面上的投影就落在了底面的外接缘上， 圆心上。好，注意清楚啊，第一个切瓜模型呢，它的适用条件就是我们看到侧棱相等的棱锥，我们过什么呢？过顶点过 p 啊，做 p o e 垂直于底面，垂直于底面，那么 o e 呢，其实就是底面的外接圆的圆心，外接圆，圆心 好，为什么呢？我们思考，因为我们的适用条件是侧棱均相等，那么我们的 r 七三角形， p o e b， p o 二 c p a o e 啊，都是全等的三角形，那就意味着，就意味着 o e a， o e b 和 o e c 两两相等，那就是里面的 y 外心。好，那么我们知道我们想要求球的这个球心位置，那么球心位置一定是在啊，第二个球心 o 呢，一定是在 p o e 上，为什么呢啊？因为我们是 p o e 是 底面外心的垂线， 那么到 a、 b c 的 距离是相等关系，那接下来呢，我就只需要满足到下顶点 o p 的 距离相等， 对吧？所以我们这是外接球半径，外接球半径高减去外接球半径，里面的外接圆半径，所以构成的购物定义就是里面外接圆半径方加上 高减去外接球半径方，是吧？等于外接球的半径方，所以我们对它进行化简。其实呢，我们前面呢，再给大家讲正四面体的时候，实际上已经去渗透这个模型了 啊，那么接下来我们在解决这个问题的时候，其实就是啊，比较轻松的，容易去接受了。那因此我们看，哎，这个地方呢，底面外接圆半径方加上 h 方就是二 h 啊，外接球的半径。那么这个地方呢，我们看勾固定里，里面外接半径加上高就是侧棱方啊，侧棱方等于二 h 里面外接球半径，是吧？所以我们对于锥体模型，对于外， 对于切瓜模型来说，它的外接球半径就是侧棱方除以二 h。 哎，我们得到这个核心的啊，关键点，核心的关键点，我们去归纳总结。 好，那么我们刚才说了，侧棱相等的棱锥以及圆锥都是可以的，是吧？都是可以的。 好，那我们思考一下，比如说底面有的同学说，那必须得是正三三棱锥，正四棱锥吗？不一定啊，比如说我们把它放在圆锥上，我们随便找一个点，找找三个点或者四个点或者五个点，然后我们再去连接，这是 p， 对 不对 啊？其实这个棱锥呢，他跟谁呀？他跟这个圆锥实际上是一个供球模型，是一个供球模型 啊，那你看，虽然底面多边形 a b c， 它不一定是个正三角形，但是 p a p b， p c 两两相等，那它就符合我们的这个 切刮模型的这个肌底啊，那么因此它都等于侧棱方除以 r h。 那 同样道理，我们再来看一下 啊，再来看一下这个，这个对于圆锥来说啊，我们先稍停停顿一下，对圆锥来说，其实他道理也是一样的，对吧？那么他啊，他这个顶点是 p 啊，我们过 p 做底面的垂线，对不对？底面的垂线，然后我们切一刀啊，切一刀下来是个 结面，对不对？然后球心一定是在 p o e 上，那我们到下顶点和上顶点距离相等，这就是外切球的半径，那么它依旧满足的是啊，勾股定律的关系，对不对 啊？地面外接圆半径，所以最最后的话，我们只要有这个勾股定律关系啊，只要有勾股定律关系，我们就可以求出啊，外界球的半径好注意，对于切瓜模型来说，他适应的条件是侧棱两两相等啊，然后的棱锥或者是圆锥 啊，只要他侧棱相等，不管是三棱锥还是四棱锥还是五棱锥，他都可以做。那我们做的方法就是过顶点啊，做里面的垂线一定 经过里面的外心啊，然后我们切一刀，在直角三角形中去建构建勾股定律的关系，那么最后的总结都是侧等方除以二 h。 好，那接下来呢，我们再来看一下这个，我们刚才说了，只要他两两相等，管他是三棱锥，四棱锥是吧？底面是正多边形，不是我们都符合这个条件，那么这个对于这个正四棱锥其实也是的，你过啊，屁点做底边的垂线是吧？落在这个底面的外心上， 然后勾固定里，切一刀下来啊，这个就是球心啊，进而是勾固定的关系，对不对？然后关键是高呀， 然后底面的外接圆半径啊，勾固定里，那么最终的外接球的半径呢？依旧是侧棱方啊，除以二 h。 好， 这是切瓜模型啊，切瓜模型的适用条件如何来求？ 好，接下来呢，我们来看一下墙角模型啊，墙角模型其实我们在前面章节中已经说了，比如说如果是正方 啊，正方体，对不对？那么他的外接球半径啊，他的外接球半径就是二分之根号三 a， 也就是体内角线的一半。如果是长方体啊，如果是长方体， 那他的外接球呢？也是什是什么呢？是二分之根号下 a 方加 b 方加 c 方。那么墙角模型它的肌底或者它的原理就是供球模型 啊，供球模型，也就是说你给我的几何体，我可以放在正方体或者是长方体中去研究， 去研究。好，这是这个墙角模型。好，那接下来呢，我们来看一下，那么以下这几种类型也都是墙角模型， 也都是墙角模型，你看他们都可以去补呀，对不对？比如说有一条侧棱跟底面是垂直关系，那我们可以把这啊底面放，如果是一个直角三角形，是吧？它可以放到什么呢？放到这个正方体里面或者是长方体里面 进行解决的时候，我们就可以用墙角模型啊，墙角模型就是供球模型。好，那么在 墙角模型其实是非常简单的啊，非常简单的，只要你找到与这个几何体共球的长方体或者是正方体，那么供球模型它的外接球就是相应的长方体或者正方体的对角线的一半 皮，对角线的一半儿，那么有的时候我们看就有一条侧能跟底面垂直啊，这个两两互相垂直，它适用的条件就是有一条这个两两互相垂直的情况啊。 好，两两互相垂直， 我们就可以用墙角模型给他放到相应的长方体或者是正方体里面。好，接下来呢，我们再来看对棱相等模型，对棱相等模型呢，其实我们在用到的时候，你看一下啊， 这个对棱相等模型基本上就是适用于什么呢？适用于三棱锥啊，适用于三棱锥。 好，什么叫对棱呢？对不对？我们看这是 a 啊， b、 c 和 d， 对 不对？好，我们看这里面 ab 呢，是 y， ab 是 y， 这个也是 y， 这叫对棱啊，对着的那个棱，然后 bc 呢？我们看一下 bc 和谁呀？和 ad 相对应啊，和 ad 相对应， 然后我们的 b d 啊，和 a c 相对应啊，这就是所谓的对棱互相垂直啊，那么 b d 呢？我们这里面是 z 啊， b d 是 z， 然后 b c 呢？我们看这里面是 x， 这是 x， 那 这个时候实际上呢，对棱相等模型也是一个共球模型， 也是一个供求模型，就是他与对应的长方体或者是正方体共用一个外接球。 好，我们来看一下，那如果我给你对棱相的模型，那如何去求他的外接球呢？我们来看一下这里面我假如说他与 这个对等相等的这个四棱锥啊，对这个三棱锥来说呢，它共，它的这个共用的这个共球的这个外接球，外接共球的这个啊，长方体是 abc， 那 我们从从 从中可以看到啊，就你看 a 方加上 b 方啊，它是 x 方，这是第一个式子， 然后呢， b 方啊，加上 c 方等于什么呢？等于外方，这是第二个式子。 第三个式子呢？是 a 方加上 c 方等于 z 方，这是第三个式子。那么由这三个式子我就可以得到，我其实目标共竟然是跟相应的长方体是共求，那我就求啊，相应的长方体的体，对角线 啊， t 对 角线，那么 t 对 角线，我们看这三个相加除以二，相加除以二，是不是就得到了？我们看 x 方加上外方加上 z 方啊，它们除以二是不是才等于 a 方加 b 方加 c 方，那因此我们看长方体的外接球半径啊，长方体是不是二分之 t 对 角线， 所以我们看这个地方是二分之根，号下看清楚啊，这个地方预算呢，可能是容易出错，所以大家要一步一步来，那当然了，如果你能记住最后的答案，那就非常啊不错了，二开进去是吧，那就是八 分之 x 方加 y 方加上 z 方啊，它对应的就是啊，已知啊，已知，这个对棱啊，分别是 s、 y、 z， 那 么我们直接就利用公式来求出了啊，对棱相的模型中的外接球公式。 好，这个大家要去记一下。好，那么接下来同学们思考一个问题，我们既然讲了对棱相等模型，比如说拿这个来说，我们假如说它是一个正方体来说，正方体它的边长啊，它的棱长为 a， 它的冷场为，那这里面我们重新设置一个吧，啊，重新设置一个吧，那么它是一个正方体的时候，它是一个正方体的时候，我假如说 a， p 是 a， 那 其实啊，这是一个正四面体，正四面体， 正四面体呢，它是一个特殊的正三棱锥，它其实也可以用对棱相等模型， 你看刚才说两四 x 等于 x， 然后 y 等于 y， z 等于 z， 啊，三对，是吧？对棱。但是现在呢，它的三对对棱都相等，那就是一个正四面体， 那么正四面体我依旧可以用对棱相等模型，把这个对棱相等的这个啊正四面体我给他放到相应的正方体里面，如果正四面体的棱长为 a， 那 这个边长就是二分之根号二 a， 对不对？那因此它的外接球半径，哎，因为它是个正方体，所以是二分之根号三，然后棱长对不对？棱长，所以是二分之根号三，乘以啊长。正方体的 正方体的边长，所以是二分之根号三 a， 那 因此依旧是啊，这是二分之根号二，是四分之根号六 a。 跟我们前期用切瓜模型 啊，它可以用切瓜模型求出来的，还可以用对棱相等共球模型求出来，都是一样的， 都是一样的。所以正四面体的研究呢，我们可以有两种方法，用前面学的切瓜模型算出来。外接球还可以用对棱相等模型，因为它是一种特殊的对棱相等。 好，这个注意下，那么我们在做题的时候啊，还可能是什么呢？我们看有两对啊，比如说我们现在给大家举例子， ab 等于 cd 等于 ad， 那么同时呢，我们看一下，还可以是啊， b d 啊， b d 等于什么呢？ b d 等于 a c， 那 这也是一种特殊的对等相等啊，我们就直接套用公式， 所以说啊，有一条棱跟啊，有一条棱跟里面垂直的，是吧？啊，这个是两两互相垂直啊，两两互相垂直，墙角模型是供球模型，对棱相等也是供球模型啊，对棱相等也是供球模型。那么接下来呢，我们再讲下一个汉堡模型， 那么汉堡模型呢，它其实适用于什么呢？适用于啊，有一条棱啊， 与底面垂直的棱锥 或者是什么呢？棱柱，棱柱啊，好，那么这里面呢，就是有一条棱跟底面垂直的棱锥，也就是锥体或者是棱柱，实际上这个就是直棱柱啊，直棱柱 啊，支棱住。那么我们看怎么理解汉堡模型？我们从球的定义出发，第一步是过底面外心啊，过底面的外心， o 一 做底面的高 h。 好， 那比如说我们看一下这个 a p， 这个棱啊，跟底面是垂直，所以我过底面外心啊，过底面外心去做底面的垂线， 好，这是 o 一。 好，此时呢，我们看一下，这是 o 二，我们看 a p 跟底面垂直， o 一 也跟底面垂直，那因此我们看它实际上 a p o 一 o 二是一个句型。接下来呢，我们想要达到的啊，想要达到的这个 目的呢？是什么呢？就是，好，接下来呢，我们想要达到目的是什么呢？就是你既然是要求外界球的球心，你要到各个顶点的距离相等，我过底面外心做垂线，我能够保证到下顶点 pcb 的 距离相等， 我此时还需要保证一个就可以了，就是到下和上的距离是相等的，点 就是我的球心，因此在第二步骤应该是取高的一半作为球心的位置 好，为什么取高的一半呢？因为我们到下和上，因为它是个句型嘛，对不对？所以我们到下和上的距离相等。 好，那因此我们现在球心的位置就在高的中点上，我们做的就是外接球的半径，外接球的半径，那，因此对于汉堡模型来说，他的外接球的半径 满足这样的一个关系，就是底面外接圆半径方加上高的一半， 形成了勾股定律的关系。好，那我们再来回顾一下啊，有一条棱跟底面垂直到啊棱锥或者棱柱，那么我们再来理解一下棱锥，棱柱啊， 我们看一下棱柱，这里面说的是支棱柱，我们连接上下底面外心，上下底面外心，我们的球心一定在 o 一 和 o 二上， 这个时候呢，我们球心要保证到下顶点和上顶点的距离相等，就可以保证到各个顶点的距离相等，所以这是高的一半，这是里面外接圆半径，勾固定你就可以得到外接球半径 啊，实际上这是汉，为什么汉堡，你看啊，上面切一层，下面切一层，中间的夹心不就是类似我们吃的汉堡，所以叫汉堡模型啊，啊，汉堡模型的适用条件是有一条棱根底面垂直的棱锥，三棱锥，四棱锥啊，五棱锥都可以，只要有一条棱根底面垂直， 然后呢？或者是直楞柱啊，直楞柱，那这个时候我们就可以用什么呢？汉堡模型第一步，我们过底面外心做垂线，或者是连接上下底面外心取高的一半勾固定里，就可以去求出它的外接球半径啊。这是汉堡模型，比较简单，前面的 好，接下来我们看一下垂面模型，那适用于啊，有两个面互相垂直啊， 好，这是垂面模型，我们思考还是从求的定义出发，来去求， 去来去，寻找球心的位置啊，寻找球心的位置，从定义出发去找球心。那我们思考一个问题，比如说我拿这个啊，棱锥来说啊，这个，这个 e、 a、 b、 c、 d 来说， e、 a、 b 呢？和底面是互相垂直的，那我如何去找球心呢？我的做法是分别过 啊，分别过 a、 b、 c、 d 的 外心，做底面的高线，然后再做 a、 b、 c、 a、 b、 e 这个三角形的外心啊，这个三角外心再去做 面的垂线，那么两个平面的焦点就是我想要找的外接球的球心位置。为什么？ 我们刚才说了，我们是通过球的定义来找外界球的，那么我们过 a、 b、 c、 d 的 外心， 那就能保证 a、 b、 c、 d 啊，球心到这几个点的距离相等，我们又过了 a、 b、 e 的 外心，做里面这个面的垂线，那也就能保证 a、 b、 e 的 各个顶点距离相等。所以我们两直线的焦点就是 外接球的球心，为什么呢？好，他们全部都相等是吧？好，有的同学担心这个 l、 e 跟这 r 交不住，有没有这种情况？ 有没有这种情况，那是怎么样？一定是能交住，为什么？因为两个是面面垂直，你这个外心呢？ o e m， 我 们看 o e m 对 不对？它垂直于 ab 对不对？第二个 o e m， 它又平分了 ab， 那 么这里面大家注意，就是面面垂直，面面相交，其中一个平面内的任意之线与它们的交线垂直，则与这个面垂直，所以 o e m 呀，它垂直于平面 abcd 是不是？那么我们做的 l 一 是不是也垂直于平面？ a b c d， 因此 o e m， 它垂直于 l 一 啊，不是垂直，是平行啊，是平行，因为垂直于同一直线的两个垂直于同一平面的两个直线，是平行关系， 是平行关系，那么平行线一定是确定一个平面的，对不对？好，那我现在已经找到了球心啊，分别过两个面的外心，做垂线，做底面的垂线，两垂线的焦点就是球心位置，我如何来求呢？好，我们这里面呢， 来分析分析啊，你看我连接下 o o o d 是 吧？这个是 r 二是吧？呃，然后这个边吧， o o 一 b 是 r 一， 对不对？好，我们来看 好，我们刚才是做，现在是求出来，对不对？那么在 r t 三角形啊 啊， o o 二 d 中，对不对？我用勾勾定里来求，这就是外接球，这就是它的外接球，对不对？那么外接球的啊，半径方，它是不是等于 o o 二的平方，加上 r 二方， 我们看 o o 二，因为我们刚才做的这个是一样，是一个矩形，那么 o o 二啊，它又等于什么呢？它又等于 o e m 啊？是哪个地方呢？就是这个地方 o e m 对 不对？ o e m。 好， 所以我们看，那就是外接球的半径方啊，就等于 r 二方，是吧？加上 o e m 方。同学们再来看一下， o e m 又等于什么呢？我们看在 r t 三角形啊 b o e m 中， 这个 a b 呢，我们称为是交线啊，称为是交线，那我们知道外心是垂直平面线，所以 b m 是 二分之 l 交线啊，这个是 r e， 所以 o e m 啊， o e m 方又等于什么呢？又等于 r e 方减去交线的一半 b m 方，也就是四分之 l 方。因此通过这两个式子进行整合的话， 垂面模型中的外接球半径已经出来了啊，把这个带过来，是不是 r 一 方加上 r 二方减去四分之交线方啊？这个结论又获得了啊，这个结论又获得了。 好，注意一下，垂面模型，它的适用条件是由两个面互相垂直，我们去怎么做呢？分别过两个面的外心做面的垂线的焦点就是球心位置， 我们如何来求呢？通过购物定里的转化啊，因为这个是啊外心，所以 o e m 垂直平分 ab 啊，我们进而转化成这样的一个结论啊，你看，这是一个共，也是一个供球的模型啊，共用一个外接球了，过底面外心，过底面外心找到了球心的位置，那么球心位置找到了，那么任意的去取，我就可以获得外接球的半径，这是垂面模型。 好，记住这个结论， l 是 交界。好，接下来呢，我们进入最难的模块，就是啊，二面角模型， 二面角模型实际上是相当啊，相当麻烦的是不是？那如何来解决这个问题呢？我们实际上是在刚才所讲的啊，所讲的垂面模型的基础上来去解决这个问题。我们首先思考一个问题，就是我还是利用定义 来去找外接球的球心，什么样的定义呢？他这两个面既然给了二面角，那我这个啊，这个就是二面角的平面角 c 塔，我给定了一个 c 塔，对不对？好，同学们思考这样的问题，我的做法呢？是还是 分别啊？分别在两过两个半平面的外心 啊，当然是这个三角形哈，分别过两个半平面中这个外心啊，去做面的垂线 l 一 和 l 二，那么 l 一 和 l 二，它的焦点就是球心 啊，它的焦点就是球心位置。大家思考一下，你过的这个外心啊，你过的这个外心做垂线，它能够保证到 b、 d、 c 距离相等，你再过 hr 的 这个外心啊，做这个妙的垂线，保证到 a 片 b、 d 的 距离是相等的， 那此时两个线的焦点就是我们所要求的外接球的球心，那如何来求呢？如何来求？那么这个是解决问题的一个关键啊，解决问题的关键， 那我们找到了，我们也做出了这个二面角中的这个球心位置，那接下来我们该如何去求啊？那这个是一个难点啊，如何去求外接球的半径？ 那我们思考这样的问题，我们看 b d 啊， b d， 它这个是，我们知道是垂是外心嘛，对不对？我们知道 h e e， 它是不是跟交线 b d 是 垂直的， h 二 e 也根交线是垂直的，那么根据啊，这个线面垂直的判定啊，线面垂直的判定啊，它俩交于一点，我们能够得到 b、 d， 它是垂直于平面 啊， o h e e h 二的。所以我们来思考一个问题，我们知道球心 o 啊，它到任意点的距离不都是 r 外接球半径吗？所以我们连结一下， 连接这个线啊，看清楚，连结 o b， 我 们认为呢， o b 其实就是我们所要求的外接球的半径，外接球的半径对不对啊？是对的，是对的。 那我们来看，我们刚才说了， b d 已经跟平面 o h 二 e h 一 是垂直关系， 所以 b d 啊，必然是垂直于 o e 的。 那因此我们想要求的外接求的半径方，它就等于什么呢？ o e 方加上 b e 方， 对不对？ b e 呢？我们知道这个 b e 啊，它其实是二分之一的 b d， 也就是二面角两个半平面中的那个交线 l l 交线，那所以我们来看就是 o e 方加上四分之 l 交线方。那么接下来的难点就是如何来求 o e 了， 如何来求 o e？ 好， 我们再来，我们，我把这个 o b 拆掉啊， o b 就是 半径，那我在求的时候就是 o b 方，等于勾定里，等于 o e 方，加上 b e 方。好，我们假设这个边是 m， 这个边是 n 啊，哪个边是 m， 哪个边是 n？ 也就说第三个步骤，我们去怎么求 e h e， 我让它等于 m， 一 会，我少写一点，一 h 二，我等于 n， 那 这个 m n 代表什么意思呢？就是两个半平面中的这个外心呢？到什么呢？到棱的这个距离啊？垂直平分线吗？是不是这个角，我们就是二面角的平面角？ 好，接下来我们思考这样的问题，我把这个 h 一 h 二给它连起来了。 好，或者说呢，我这样吧，我把这个两个半平面，哎，这个这个洁面呢，我给他，我给他去做出来可能会更好一点啊， 好，这个呢是 h 二，这个是 h 一， 这个是 e， 这个是 o， 对 不对？然后我们联结了这个，这个是 c 塔。好，同学们思考一个问题，同学们思考一个问题， 因为 o h 二跟 h 二 e 垂直， o h 一 跟 e h 一 垂直，那么四点共圆， 四点共圆，四点共圆的时候，三点共圆吗？哪三点呢？ h 二 h 一 e 三点也共圆， 它们共的圆实际上就是三角形。 h 二 e h e 的 外接圆，我们要求 o e， 我 们要求 o e 啊， o e 实际上就是外接圆的直径。 我们如何来求外接圆呢？我们刚才说四点共圆，三点也共圆，在三点共圆这个三角形中啊，它的外接圆半径， 我们看 h 一 h 二正弦定力除以这个二面角的这个 c 塔除以三 a， c 塔是不是就是二 r 外接圆半径呢？ 我们刚才说这个边呢是 m， 这个边是 n， 所以 h 一 h 二，我用什么呢？余弦定力就可以运算出来， 减去 r m n 口塞 c 塔，这个 c 塔就是二面角。那因此我们来看，那我的 o e 方啊， o e 方对不对？它就是四 r 外接圆半径方，对不对？那它不就是这个吗？ 就是它的平方，是不是？所以就是 h 一 h 二的平方除以三以 c 塔方啊，我们把刚才这个 m 方加 n 方减去二 m n 给它挪过来，是不是 除以塞以塞塔方，就得到了二面角模型的公式？好，我再给它套过来，再给它套过来啊，这是我们最终的一个结果，最终的一个结果，二面角模型的结果。 好，我先给大家写完，写完以后我带着大家去再去理解一下。那么刚才 e o 不 就是 啊四点共圆的直径，这个 o e 嘛，我们在求 o e 的 时候，实际上是间接法，是在解三角形，对不对啊？四点共圆，三点也共圆，我们通过 h 一 h 二除以三 a c t 得到二二外接圆半径，所以最后的结果就是 m 方加 n 方减去二 m n 口三 a c t 除以啊，三 e c， 它方对不对？然后加上四分之交线的平方，得到了 二面角模型，那么这个 m 呢？分别是两个半平面中的外心到这个棱的一个啊，垂线，垂线的长度啊，这是 n， 这是 m。 好，那么二面角模型第一个是先做，如何来做？就是通过球的定义，我们在两个半平面的外心做面的垂线，两垂线的焦点就是球心。 那么我们在做的时候是用的哪个三角形呢？是用的 b e o 这个三角形用的是勾股定律的关系， 用的是勾股定的关系，那么 b e 是 交线的一半， o e 是 四点共圆， o h 二 e h 一 的外接圆， 外接圆的直径，那么我们在求 o e 的 时候不能直接去求，所以我们求的方法呢，是间接的在解三角形 h 二 h 一 和 e 啊，通过鱼弦定力的利用的二面角的角和这个两个外心到棱的这个垂线段的长度来解决的问题啊，所以我们其实很多问题的解决都是利用球的定义。 好，这是二面角模型，那我们接下来呢，还有一个是抬起的一个外接球， 圆台，棱台都可以去求，那么这里面该怎么求呢？就是我们实际上一般适用的条件应该是正棱台啊，正棱台才行， 或者是圆台，或者是圆台，那我们依旧用的求的定义，出发先连接上下底面外心。 好，那这个时候啊，我们知道这个棱台，这是啊， r 二，这是 r 一 啊，上里面和下里面的外接圆半径， 此时呢，球心一定是在 o 一 o 二这条直线，有的时候是在线段上，有的时候是在延长线上，这个是不确定啊，看你求出来的是什么哈。然后我们一定是在 o 一 o 二这条直线上 啊，或者是现在这个延长线上以外啊，球心在这边或者球心在上面都有可能，那么我们保证的是到上底面和下底面他们的距离，这个顶点的距离是相等的，所以我们建立两个关系啊，两个关系，哪两个关系呢？你看 r 二方是吧， 加上 h 二方是不是等于外接球半径方，然后 r 一 方加上 h 一 方也等于外接球半径，那可能是一种间接的求，你比如说你先求出 h 一， 那么 h 一 那等于什么呢？ h 减去 h 二，它们用一个变量来表示，你求出 h 二 或者 h 一 任何一个，再还回来用勾定力就可以解决台体的问题 啊，台体的问题，那么这个实际上你前面学的多了啊，前面学的多了，后面就会水到渠成。 好，那今天呢，我们主要讲解的内容呢，就是外接球的这些模型啊，外接球的这些模型，我们讲了切瓜模型，墙角模型，对楞箱的模型 以及汉堡模型，垂面模型，二面角和台体模型。那希望大家呢，通过本节课的讲解能够更加清楚的啊，去了解 这几个模型的应用条件以及他们的结论啊，只有知道这些结论，我们在做题的时候啊，才能够更好的去解决问题。好，本节课到此为止。
48高中数学 季老师
05:41
06:06查看AI文稿AI文稿他喵的，这是一个需要带脑子才能看懂的视频。讲外接球时，总有同学课下找小窝老师问各种奇怪的模型，从今天起忘掉各种模型，小窝老师给大家带来了一套通杀的办法，你只需要按照步骤做，然后拿分。空间几何体的外接球是高考当中的重难点，尤其比较常考三轮锥的外接球。这套通杀的方法一共有三个步骤，第一步， 先找出底面外接圆圆心 o 一。 第二步，过 o 一 做底面的垂线 o 一 o 二，其中 o 一 o 二就是这个三棱锥的高。最后一步就是要根据具体的条件列方程来进行求解，我们通过一个具体的例子来看一下 已知三棱锥 p 杠 abc。 我 们的第一步就是先找底面 abc 的 外接圆圆心 o 一， 然后过 o 一 做 o 一， o 二垂直于底面 abc。 这时我们可以确定在直线 o 一 o 二上任意点到底面 abc 三点的距离一定是相等的，这时我们只要把点 p 包括进来就可以了。我们假设外接球球心为点 o， 只要让 o a 和 o p 相等，就可以准确的知道外接球球心的位置。在直角三角形 o a o e 当中，我们可以知道 o a 就是 外接球半径大 r o e a 就是 底面外接圆半径小 r， 而 o o e 的 长度老师用 h e 来表示，我们可以得到如下关系式，而在直角三角形 o o 二 p 当中，我们可以知道 o p 是 外接球半径大 r， 而 o o 二老师就用小写字母 h 来进行表示，那么 p o 二与外接球半径和高都没有直接的联系， 那么老师就直接用 o 二 p 来进行表示，我们可以得到如下关系式，在这两个关系式当中，同学们可以发现未知量是比较多的，如果想要求外接球的半径的话，我需要知道 h 一， 需要知道 h 二，还需要知道这个 o 二 p， 那 有可能会解不出这个外接球半径啊。 解不出来的主要原因是在 o 二 p 这一位置，因为 h 一 和 h 二它们两个的和就是这个三菱锥的高，而 o 二 p 的 长度是不太好确定的，我们可以知道 po 二与 a o 一 是平行的关系，所以 po 二的长度 其实是有点屁在底面投影所在的位置来决定的，而投影所在的位置是需要根据这道题的具体条件来确定，所以老师的第三步说的是什么？是要根据具体条件来列方程， 而这个具体条件指的就是点屁在底面的投影点所在的位置，就是这个具体条件。在我们的高考当中，比较常见的就是两种情况，第一种就是点屁与 o 二重合，同学们能够想象的到吗？想象不到也没有关系，来咱们上科技。同学们，这就是刚才我们所看到的这个图形，接下来我们来看 我们让点 p 与 o 二重合会发生什么呢？我们可以发现这个 h 二就变成了谁，就是我们的外接球半径大 r。 好， 现在我们回到重合后的图形上，点 p 与 o 二重合，刚才我们可以发现这个 h 二实际上就是外接球半径大 r， 那 么在直角三角形 o a o 一 当中，我们可以知道 o a 就是 外接球半径大 r， o e a 是 底面外接圆半径小 r， 而 o e o 的 长和外接球半径大 r 之间的数量关系与高有关。我们可以知道这个 h 一 加上一个大 r， 就是我们整个三棱锥的高 h， 所以 我们可以得到如下关系式，其中根号下大 r 方减小 r 方就是谁，就是 h 一， 那么它加上一个大 r 就是 h。 第二种情况就是要求 pa 或者 pc 垂直于底面，那么老师在这里给大家出示的图是让 pa 垂直于底面 abc， 当 p a 垂直于底面 abc 时，我们可以得到 p a 与 o 一 o 二是平行的一个关系。那么和刚才一样，我们外接球的球心到 a 的 距离和到 p 的 距离应该是相等的，而 p a o 一 o 二现在是一个矩形，如果 o a 与 o p 相等的话，那么点 o 一定是 o 一 二的中点，那么这时我就知道 o 一 o 二的长也就是高的一半二分之 h。 在 直角三角形 o a o 一 当中，我们就可以得到如下关系式， 同学们明白这三个步骤了吗？下面我们来看一个立体，再巩固一下。已知四面体 a 杠 b c d 的 每个顶点都在求 o 的 球面上，其中 c d 垂直于平面 abc， 我们发现了一个垂直，那他很有可能和我们刚才第二个模型是非常接近的。那我们在做图的时候就不让 bcd 为底面，而是让 abc 为底面，那我们可以做出一个三菱锥的图点 d 杠 abc， 其中 abc 是 正三角形，那么也就是每一个边的边长都是二倍根号三 三角形 acd 是 等腰三角形，根据前边的条件我们可以知道三角形 acd 是 一个直角三角形，我们就可以知道 cd 的 长和 ac 的 长一样是二倍根号三。 接下来我们就来找外接球球心的位置到底在哪。第一步还是先找到底面外接圆圆心 o 一 连接 c o 一， 我们可以知道 c o 一 的长就是外接圆半径小 r。 第二步 我们过 o 一 做垂直于底面的一条直线，可以知道在这条直线上，每一个点到 abc 的 距离都是相等的，只需要把这个点 d 包括进来就可以。我们假设点 o 是 外接球球心，那么 oc 和 o d 相等，其中 oc 和 o d 相等，我们可以知道 o c d 是 一个等腰三角形，并且 o o e 和 c d 都是平行的关系，那么 o o e 的 长一定是这个三棱锥高的一半 d c 就是 这个三棱锥的高，它是二倍根号三，那我们就可以知道 o o e 的 长是根号三。 在直角三角形 o o e c 当中，我们可以得到如下关系式，也就是大 r 的 平方等于小 r 方，加上一个根号三的平方，也就是三。只要知道外接圆半径，就可以求出这个三棱锥外接球半径是多少。 根据正弦定律，我们可以知道二 r 是 等于 a 比三以 a， b 比三以 b 或是 c 比三以 c 的， 我知道这个边长是二倍根号三。而每一个内角都是六十度，就可以得到二倍根号三， 除以二分之根号三，也就是四，那么这个外接圆半径小 r 就 等于二。代入到刚才这一方程当中，我们就可以求出大 r 等于根号七。算到这里，我们还需不需要再算一下这个外接球的体积是多少呀？ 这个半径是根号七，那么在这四个选项当中，和根号七有关的只有选项 c， 所以 这道题选 c。 那 同学们可以验证一下它的体积是不是三分之二十八被根号七派呢？接下来小薇老师给大家布置了一个作业，同学们能够根据小薇老师的方法解出来吗？写出来的同学请把答案写在评论区吧！
730小蜗
01:59查看AI文稿AI文稿正四棱锥外接球怎么球，球心在高上一个等距方程秒杀！核心思路，正四棱锥 p， a， b， c， d。 底面正方形，边长四高 p o 等于三。正四棱锥有轴对称性，球心一定在高 p o 上 射，球心 s， 球心到底面中心的距离为 x， 也就是 o， s 等于 x。 底面正方形，对角线等于四根号二，中心到顶点距离 o， a 等于两根号二。 由 s， a 等于 s p， s， a 的 平方等于 o， a 的 平方加 x 的 平方 s， p 等于 p， o 减 o， s 等于三减 x， 所以 s p 的 平方等于括号三减 x 的 平方， 令两者相等。八加 x 的 平方等于九减六， x 加 x 的 平方消去 x 的 平方解出 x 等于六分之一，所以二等于 s， p 等于三减六分之一等于六分之十七。秒杀！ 卷面上怎么写正四棱锥 p， a， b， c， d， 底面正方形，边长四高 p o 等于三。 因为正四棱锥有轴对称性，外接球球新 s 在 高 p o 上设 o， s 等于 x， 底面对角线 a， c 等于四根号二，所以 o， a 等于两根号二。 球心到底面顶点 a 的 距离 s， a 的 平方等于 o， a 的 平方加 o， s 的 平方等于八加 x 的 平方。球心到顶点 p 的 距离 s， p 等于 p， o 减 o， s 等于三减 x， 令 s， a 等于 s， p 得八加 x 的 平方等于括号三减 x 的 平方 展开得八加 x 的 平方等于九减六， x 加 x 的 平方消去 x 的 平方得八等于九减六， x 借出 x 等于六分之一，所以外接球半径二等于 s， p 等于三减六分之一等于六分之十七、 下期预告郑三棱追外接球模型，关注我，带你攻克外接球十五题，点赞收藏起来吧！
5帧见数理
02:48查看AI文稿AI文稿相信很多同学在遇到外接球的时候感到手足无措，我们继续给大家分享外接球的公式，双半径单交线公式，只要有两个面成一个夹角，那么我们就可以用这个公式。 m， n 都是这两个面的外接源的圆心到他们交线的距离， c 塔是他们这个二面角， l 是他们的交线长，当且仅当一个三角形是钝角三角形的时候，采取补角，平时都用二面角。我们看下这个题目， a、 b， a， d， b， d 告诉你都等于十 c， b， c， d， b， d 告诉你都等于十。两个等边三角形告诉你 a、 c 等于十五，要你求他外界求的表面积。 好，既然是等边三角形，那么这个长度是不是就是五了？终点吗？五，那么这个 长度等于多少？这个长度就是 m， 这个长度就是 n， 这个 m 和 n 肯定是相等的，就是五除以一个根号三，因为是等边三角形，这个角度三十度嘛，一比二比根号三。好， m 知道了 c， 它等于多少呢？好， 这个长度是一个五倍的根号三，这个长度五倍的根号三，这个长度十五， 这个十五是不是五倍？杠二三的跟三倍一比一比杠二三，加角一百二十度。 c 塔等于三分之二派 好交线， l 等于什么呢？ l 就是 b， d 就等于十，所以你可以看一下这个题目是不是变得非常轻松，你只要知道这个公式，这个外接球的球形在什么地方，你根本不用管，直接快速搞定。好， 我们来算一下吧， r 的平方就等于 m 的平方，就是三分之五，加上三分之啊，三分之二十五，再减去二乘以三分之二十五，乘以扩散一百二十度，负的二分之一除以一个散，就是二分之跟三的平方四分之三， 再加上四分之 l 的平方，十的平方一百。好，于是答案就等于 这个和这个约掉，就加上三分之二十五，加三分之二十五，加三分之二十五就等于二十五。二十五乘以四 出一个三，把这四拿上去，加上二十五，于是呢，就是等于二十五。乘以三分之四加一，就等于三分之七。好了，那么呢，二的平方知道了表面积 s 等于 什么？ s 是不等于四派二的平方，于是呢，就等于四派四乘二十五一百三分之七百派。好，这就是这个公式的妙用。六个模型，六个公式，在视频的左下角，你一定要掌握。
2062勇哥超级数学
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