外接球找球心的方法

前面的预告中我们说到了外接球处理的核心逻辑就是会找球星啊，会利用 rt 三角形去求半径就 ok。 那么今天我们就来看 球星咋找啊？或者找球星的原理，他是什么？我们一起来看一下。那么这个东西呢，其实对标到我们曾经学过的圆上边就特别容易理解。我们说如果有个圆啊，直到圆心有一条弦，要让你做一条辅助线，你想一想你最想做的是什么？ 那我相信你最想做的就是圆心向他做垂静，对吧？或者说圆心与他终点的连线一定是垂直平分他的，这是我们圆中最重要的一个什么性质？垂静定理， 那么现在我们把这个货对标在球体当中，我们说球体中是球星，那么对应的是什么啊？ 的洁面啊，前面是点对线，现在是点对面，因为他的洁面是一个圆，那么你想一下你球星和这个圆，你想去做辅助线，你做什么？ 那么自然是球星和这个圆的什么圆形连线，那么这个也是垂直的这个线呢？就垂直这个面，他也就垂直这个面里边的什么啊，所有直线 好了。当我们明白遇到球星和洁面的时候，是球星连圆形这个意识 产生的是这个线垂直这个面的结论，那么接下来一切问题都会迎刃而解。来看一下，我们先想一下，在初中如果说一个圆，我要去找圆形是咋找的？我们说只要我知道两个弦分别做他们的什么垂径，垂径，然后接， 接下来会有个焦点，那他就是圆心。那么把这个知识点我们也对标在我们球体当中，如果一个球我知道他的两个结面，比如说这个结面的圆心是 o 一，这个结面的圆心是 o 二，那球形在哪里呢？ 我们说我只要过欧一做这个面的垂线，过欧二做这个面的垂线，对吧？红线垂红面，蓝线垂蓝面，那他俩的交点一定就是什么球星，一定是球星。 所以这样的话，那么你给我任何一个啊，几何起，我都就能找到他的什么球星了，待会我们具体的来看一下啊。好，接下来，比如说，哎，如果两个洁面是平行的呢？ 那么也是一样的。假如一个圆形 o 一，一个圆形是 o 二，那我们说如果平行的话，它俩的垂线是重合 合的，那么我们做出来之后就知道那球星一定是在这条线上，或者说这条线一定是球的什么直径。 再如果说上下这两个洁面一样大的话，你想想他球星在哪里？如果一样大，给大家看一下，这是上底面的半径 r 一下，底面的半径也是 r 一，因为一样大。然后呢，假设球星在这里，这个就是大二，这个也是什么大二， 因为这里垂直，垂直吗？这条线是垂直面的，那么斜边相同，直角边相同，这两个直角边也相同，那么上下面一样大的时候，你就会发现他一定在哪里，在终点处。 好了，所以说对任何一个球啊，你要想找他的球星特别简单，分别做两个面，什么过去圆心做两个 面，垂线就一定能找到。那么接下来我们把这个意识放在我们几何其中啊，比如说这里有一个什么三轮台，要让我去找他的球星，那我们去想一下咋找呢？ 其实啊很简单，但我们想这里没有球的截面啊，你想一想，如果说三轮胎的每一个顶点都在什么？都在球上，那么任何一个面的外接源，任何一个面的外接源，对吧？任何一个面的外接源， 他其实刚好都是这个球的什么一个洁面，所以我们说去找洁面的球星，就是你随便锁定两个面，找这两个面的什么外接圆圆心啊，就是我们刚才所说的球面的什么球面的球星，所以说 真正在几何体中找的时候，我们连球都不要，当然洁面圆也不用有，我们要找的就是随便找个面啊，我去找他的什么外结缘圆心，随便再找个面，我去找他外结缘圆心，然后过这两个去做个垂线， 那球星要么在他们的焦点上，如果这两个垂线重合，就直接在他们上边就找到了。 好了，那么这就是我们找球星的原理，那么下个视频我们再带着这个原理让大家去挑战所有模型找球星。

我们继续来看高考常考题型，球、外界球和内切球啊，看第三种类型，由性质确定球心。那这句话我们就不看了啊，我们先说一下找球心的通法， 所有的题都可以找用这个方法来走啊，就是先找两个面的外芯，先找两个面的外芯啊，然后再过外芯，分别做这两个面的垂线，这两条垂线的焦点就是我们要找到外接球的球星， 对吧？那为什么？因为我们先做外吸，做外吸的话，说明这个点到各个点的距离是不是都相等的，是不是？然后你再做，你看我们随便画一个啊，随便画一个三种，对吧？ 随便换一个啊，那么你看这个，我们先找底面的外形，先找这个底面的外形啊，那么外形到三个顶点的距离 都是相等的，然后过这个外膝，做这个平面的胶，做这个平面的垂线，那么这条垂线，这上面的点到三个点的距离是不是都是相等的， 对吧？那么这两条垂线的交点就是我们要找到外接球的球线啊，先把这个通法理解透，这个很重要的啊。 ok， 那么看历时一啊， 三龙锥 s a b c 中 s a 垂直于平面， a b c s a 零二赛形， a b c 是变成唯一的正赛形，则其外结球的表面积是多少？那么这个题我们可以用两种方法来讲啊，那么第一种方法，我们就可以用构造法，就构造成一个， 看啊，把它构造成一个三龙柱，因为出现了线面垂直， sa 垂直于平面 abc 啊，我们就可以用构造法，那么我们借助一下 这个图啊，把这个标为 s 就可以了， sa 垂直于底面啊，然后底面又是一个正方形是不是？那么根据这个图你看你就知道了，你的大 r 的平方就等于二分之 h 的平方，加上小 r 方， 是不是那高我们知道了，往里面带数，高是二，所以这边是一啊。再看你这个小 r， 那对于正三型来说啊，你的小 r 就等于 a 比上个二三， a 是别长啊，这个要记住的，这个要通常遇到，因为之前说过有两种方式，一个就是你可以先求高， 先求高对吧？求高，然后再乘三分之二就行了，然后第二个我们就可以利用正弦定理， a 比上 c， a 等于 b， b， c b 等于 c， b， c c 都等于二二，这个也可以借助于正前定理啊， 最好把这个结论记住他。那么你的边长是一，所以这边就是三分之一，就是三分之一啊，所以这边就是三分之四，现在让你求表面积的，那这个球的表面积就等于四拍啊，二的平方， 所以就是三分之十六拍，这是我们用过造法来解的啊，三分之十六拍，那么再看第二种方法，那么第二种方法我们就是找这个球星，找这个球星啊，那么这个图我们可以先，我们自己画个图吧，我们画一个这样的图， 自己画一个图啊，那这是一个正方形啊，那 s， 这是 abc， 那最后一样的啊，你会发现这边是一个直角造型，对吧？然后我们设这个球星，这个不是这个赛 abc 的外形啊，我们刚才说了过外芯分别做垂线的焦点吗？先找外形， 我们用到的图形啊，都是比较特殊的，直角三角形，正三角形啊，等边三角形都很少出现的啊，不是等腰三角形都很少出现的，基本上都是直角三角形或者是正三角形啊。 那么再看这个，那么挂这个做垂线，就往这边做垂线，是吧？垂直这个面，然后这个是往上做垂线的啊，往上做垂线的，所以你会发现这两个交点，这两条直线的交点啊，这个就是我们要找的球线，哦， 对吧？那么我们立连接一下任何一个连接 ob 吧，那这时候我们把这个标为 o 一啊，把这个标为 o 一，那么连接 ob， 你这个就是下面的小 r， 你看这边就是二飞这一区中文线吗？中文线啊，所以这要注意，所以这个我们要找他的几何关系的，所以我们也可以从这个先把他的外形找出来， 本质是一样的，你的 r 的平方还是等于二分之 h 的平方，加上下面小 r 的平方，对吧？两个思路啊，那这个就是把球系的位置找出来，刚才那是用过道法的啊，所以这道题答案是三分之十六拍。

相信很多同学在遇到外接球的时候感到手足无措，我们继续给大家分享外接球的公式，双半径单交线公式，只要有两个面成一个夹角，那么我们就可以用这个公式。 m， n 都是这两个面的外接源的圆心到他们交线的距离， c 塔是他们这个二面角， l 是他们的交线长，当且仅当一个三角形是钝角三角形的时候，采取补角，平时都用二面角。我们看下这个题目， a、 b， a， d， b， d 告诉你都等于十 c， b， c， d， b， d 告诉你都等于十。两个等边三角形告诉你 a、 c 等于十五，要你求他外界求的表面积。 好，既然是等边三角形，那么这个长度是不是就是五了？终点吗？五，那么这个 长度等于多少？这个长度就是 m， 这个长度就是 n， 这个 m 和 n 肯定是相等的，就是五除以一个根号三，因为是等边三角形，这个角度三十度嘛，一比二比根号三。好， m 知道了 c， 它等于多少呢？好， 这个长度是一个五倍的根号三，这个长度五倍的根号三，这个长度十五， 这个十五是不是五倍？杠二三的跟三倍一比一比杠二三，加角一百二十度。 c 塔等于三分之二派 好交线， l 等于什么呢？ l 就是 b， d 就等于十，所以你可以看一下这个题目是不是变得非常轻松，你只要知道这个公式，这个外接球的球形在什么地方，你根本不用管，直接快速搞定。好， 我们来算一下吧， r 的平方就等于 m 的平方，就是三分之五，加上三分之啊，三分之二十五，再减去二乘以三分之二十五，乘以扩散一百二十度，负的二分之一除以一个散，就是二分之跟三的平方四分之三， 再加上四分之 l 的平方，十的平方一百。好，于是答案就等于 这个和这个约掉，就加上三分之二十五，加三分之二十五，加三分之二十五就等于二十五。二十五乘以四 出一个三，把这四拿上去，加上二十五，于是呢，就是等于二十五。乘以三分之四加一，就等于三分之七。好了，那么呢，二的平方知道了表面积 s 等于 什么？ s 是不等于四派二的平方，于是呢，就等于四派四乘二十五一百三分之七百派。好，这就是这个公式的妙用。六个模型，六个公式，在视频的左下角，你一定要掌握。

没想到啊，外接球半斤问题还有同学在老老实实找球星，找些实在于心不忍！大招必须交给你！注意到， a、 b 等于 a、 d 等于二， b、 d 两倍跟二，所以角 ba、 d 直角。因此三角形 ab、 d 外接员的直径就是 b、 d， 其半径二一就等于二分之一， b、 d 等于根号二。又因为 b、 d 垂直 c、 d、 b、 d 两倍根号二， c、 d 等于二，所以 b、 c 两倍根号三。所以三角形 b、 c、 d 外接源的半径 r 二就等于二分之一， b、 c 等于根号三。 平面 abd。 平面 bcd 的交线 l 就等于 bd 等于两倍根号二，而平面 abd 垂直平面 bcd。 所以由大招公示可知，求的半径二的平方等于二，一平方加上二，二平方减四， 四分之 l， 平方数据带入等于二，加三减四分之八就等于三。因此，外接球的半径 r 等于根号三。 tgv 三分之四派 r 的三次方等于四倍，根号三派。线面垂直面面不垂直都有大招公式哦，你还想听吗？