高斯怎么找到谷神星的

注意看，这是一颗处于火星和木星轨道之间的小行星，他的名字叫做古城星。一八零一年的时候，意大利的天文学家皮亚奇发现了他，一开始他以为这是颗彗星，只是偶尔划过来的， 然而接下来的观察让他觉得事情有些不对劲，在他连续观察了四十一天之后，他宣布这很可能是太阳系里一颗人类还从未发现过的行星，这让整个科学界都兴奋了，什么？居然还有一颗行星在围绕着太阳转，我们之前居然一直都不知道， 大家于是一窝蜂的向皮亚奇索要更多更详细的数据，然而不幸的是，皮亚奇却突然因病去世了。 在接下来呢，这个神秘的星球也运行到了太阳的强烈光芒之中，人们已经没有办法再观测到他了。科学家们于是都急眼了，这可能会是我们有生之年最重要的天文发现，可不能就这 不干不干的结束了呀，他下一次会出现在什么位置呢？我们必须要继续观测啊！于是当时的科学期刊发动了欧洲的上百位数学家，希望能够给他们提供必要的线索，这在当时可是一件大事件，不但是科学界，甚至连广大吃瓜群众们也都在乐呵呵的等待着，想看看这些数学家们是被一夜封神呢， 还是超级大翻车。到了当年十二月份的时候，整个科学界都紧张起来，因为这是那颗神秘星球脱离太阳光芒又可以被观测到的时刻，那么他究竟会出现在什么位置呢？如果不能精确的计算出位置，要在宇宙中找一颗星星，那根本就是不可能的事情。 答案最终揭晓，匈牙利天文学家冯达克准确的捕捉到了股神星的位置。科学界立马炸了窝，什么？在这么多天文学家里面，就你一个人捕捉到了？那一定是有人告诉了你准确的位置。 快说，是谁告诉你准确位置的否？扎克于是说，哦，是我的一个朋友，他的名字叫做高斯。这一年的高斯呢，才刚二十四岁，因为这次股神新的预测事件，他一举成为欧洲当时最著名的数学家。 当然了，这个荣誉也并不过分，因为现在的科学史家对人类历史上最重要的数学家进行排名时，他总是毫无争议的记入前四的位置，与他并列的是阿基米德、牛顿和欧拉。让我们来大致的欣赏一下高斯的推算过程。高斯之所以在这个问题上把其他数学家都远远甩在身后， 是因为他一开始就考虑了误差的问题。那就是皮亚奇的观测数据是完全精确的吗？我们只是处在十九世纪初五，又没有什么哈伯望远镜，也没有什么射电天文台，哪来的什么精确数据啊？那肯定是有误差的啊！其他数学家们完全 把这些数据当成真实数据，那可真是要翻大车啊。那误差怎么算呢？嗯，我们可以用观测值减去所有数据的平均数来估计每次观测的误差。那误差的分布会是什么样子的呢？他有时大有时小，看上去很随机啊。 那我们就只好用一个概率函数来计算这些误差出现的概率了。每次误差的出现都是一个随机事件，那么所有观测者的联合概率呢？那自然就符合独立事件的概率乘法了。于是我们就得到这么个式子， 假设已经出现的事件就是概率最大的事件，那么也就是说，这个式子的倒数应该就等于零。那我们只需要求得能让这个式子的倒数等于零的那个函数就可以了。这个方法呢，就被称为最大自然比。经过最大自然比的推算之后呢，高斯就得到这么个式子。这个推断的得来，我们在上 上一个视频中有个详细的演算过程，第一次刷到本视频的朋友可以去我的主页翻一翻有关随机漫步的那一集。好，现在只剩最后一步，那就是要求得这个式子的积分，而这也就是数学史上赫赫有名的高斯积分，他就等于根号二， 他被视为是与欧拉公式齐名的最美公式之一。高斯的推导过程比较复杂，不过呢，在有了现代计算机图形学的辅助之下，毫无疑问我们又有了更加简单粗暴的接法。所以说，高斯时代没有计算机那是件多么遗憾的事情啊。 好，来看看我们的简单粗暴的方法。首先，每个误差值都可以看成是一个点，而这个点的概率呢，是由他的中心点的原半径决定的。于是我们就有了这么个式子。好，根据勾股定理，半径的平方就可以写成这个样子。所以我们又得到了这么个式子，带入到刚才高斯已经推导出的 指数函数中去，于是又变成了这样。嗯，我们可以直接用计算机画出右边这个式子的图形啊，原来他就是一个中型曲面，那就简单了，我们只需要求出这个曲面下的体积，再开个根号，不就得到了我们想要的积分了吗？问题是，曲面下的体积怎么求呢？ 很简单啊，既然概率由原半径的决定，那我们就把整个曲面切成不同大小的圆环呗。然后我们再来求圆环下的体积，那也就是一个环柱体的体积。 当我们把大大小小的环柱体的体积全部都加起来以后，这就是整个曲面下的体积了。嗯，这个思路简直完美， 让我们随便挑中间一个圆环，假设他的外圈半径是二，那么他的周长就是二，派乘以二，我们把它乘以这个半径下的高，也就是这个式子。于是我们就得到了一个环柱体的外表面积， 也就是这么个式子。然后，为了求环柱体的体积，我们必须让这个圆圈带有一点厚度才行啊。这里就要用到微积分的思维了，我们假设这个厚度是一个无穷小的值，那也就是 dr。 好了。于是乎，我们要求的环柱体体积就变成了一个定积分， 因为派是一个常数，我们直接提取出来，然后我们把定积分的上界和下界分别带入到这个式子的反导函数中去，再相减求。定积分。就是这么求的嘛， 上界是多少呢？嗯，是这么个式子。当 r 区域无穷大的时候呢，这个式子就趋近于零，于是我们可以直接带入零。 那下界呢？更简单的，任何数的零次方都等于一啊，于是中间的部分就等于一，而整个式子呢，就等于判。现在我们回到这个式子上来，我们现在得到的是一个品 方数，所以我们需要开一个根号。于是乎，优雅无比的高斯积分就被我们用图形推演法给推导出来了。我们似乎已经预定了下一届的菲尔斯最高大奖。 好了，为了给大家多一点准备时间去领奖，今天我们的视频就到这里吧，下一期视频我们将进一步的深入探索随机的概率世界。感兴趣的朋友请千万别忘了点赞加关注，谢谢大家！拜拜！