几何正交内容
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11:24查看AI文稿AI文稿象形代数中呢，我们学过一类特殊的矩阵，叫做正交矩阵，回顾一下啊，所谓的正交矩阵，指的就是他的所有行向量或者列向量都是单位向量，并且两两正交，那他的几何含义其实表示的就是一个直角坐标框架。 那在做二次型的问题的时候，有的时候我们需要使用一个正交变换，把一个二次型变成标准型，这里边的正交变换指的就是变换矩阵，是一个正交矩阵啊， 那为什么我们一定要做正交变换呢？这个正交矩阵他到底有什么特殊的地方？他有什么深刻之处？这个教材上就很少讲到，所以今天呢，我们就给大家做一点延伸哈，讲一讲这个正交矩阵他的特殊的地方到底是什么？那先回忆 一下我们书上对正交矩阵的定义，是这个样子，如果一个 n j 矩阵 a， 就是说它本身就是一个方阵哈，如果它满足 ata， 就是它的转制乘以自己等于单位矩阵 e， 那么就称 a 为一个正交矩阵， 这个是正焦矩阵的定义，同时也是正焦矩阵一个判别条件啊，就说你判断一个矩阵是不是正焦矩阵，就看一下这个式子是不是成立，如果成立他就是一个正焦矩阵， 那么正交矩阵他到底特殊在什么地方？有这样的三条定理哈，我们分别来看一下第一条定理，正交矩阵是保持内机不变的， 而什么叫保持内机不变呢？就是底下这个意思啊，就是说如果 a 是一个正交矩阵，那么对于任意两个 n 为列向 阿尔法北塔，一定有底下这个式子，这个式子是什么哈？这个中括号表示的就是两个项链做内机， 然后这两个项量叫做 alpha 和贝塔，我分别用 a 乘以 alpha 和贝塔，那得到两个新项量吧。 那现在这个定律告诉我们，如果你这个 a 是正交矩阵的话，那么得到的这两个新的项量做内机，和你原来这两个项量做内机一定是一样的，这个就叫做保持内机不变。那我们证明一下这个性质吧。 当然要证明这个性质的话，我们需要一点点小小的结论，就是两个列项量做内机， alpha beta， 它如果用矩阵乘法的形式表示出来是什么样子呀？就是 alpha t 乘以 beta， 我们就使用这个小的公式哈，所以 a r 法 a 贝塔他俩做内机。按照这个公式，那么就是 a r 法 t 和 a 贝塔乘在一起， a 和阿尔法乘在一起，外边有一个 t， 那把括号给它拆开，那就是阿尔法取个 ta， 再取个 t， 然后乘以 a 杯，它矩阵的乘法是满足结合率的，所以说我们把这个括号括在后边哈， 不要忘了正交矩阵呢，正交矩阵的话，那 ata 就变成单位矩阵 e 了呀，那你 e 常在，这相当于没有他吧，所以他直接就等于阿尔法 t 贝塔，而阿尔法 t 贝塔呢，就是 阿尔法贝塔做内基。所以我们就证明了这样一个结论哈，就是 a 阿尔法 a 贝塔做内基，一定等于阿尔法与贝塔做内基，所以正交矩阵是保持内基不变。说的就是这个意思。 好，下面一个特殊的性质啊，正交矩阵是保持模长不变的。那回顾一下什么叫一个向量的模长，向量的模长指的就是他各个分量的平方加在一起再开根号吧， 或者说模长的平方就等于分量的平方相加，那如果用内基的语言叙述呢？ 那就是自己跟自己做内机哈，这个就正好等于自己的模长的平方，这个也是很基本的一个公式。好，那么正交矩阵保持模长不变是什么意思呢？ 就是说，还是啊先给你一个正交矩阵叫 a， 那么对于任何一个 n 为列项量 alpha， a alpha 的模长和 alpha 的模长一定是相等的，这个其实证明起来也非常的容易。 首先我们说了 a alpha， 它的摩长的平方是谁呢？就是 a alpha， a alpha 自己跟自己做累积 阿尔法的摩长的平方是谁呢？那就是阿尔法跟阿尔法做内机。而我们刚刚证明过一个结论， 正交矩阵是保持内基不变的呀，所以 a 阿尔法 a 阿尔法做内基就和阿尔法阿尔法做内基是相同的呀，所以这俩也相同吧。然后又因为都是正的哈，所以说开完跟 分号也是相同的，所以这就是正交矩阵的第二个性质叫做保持模长不变， 下面来看一下第三个性质就是保持夹角不变，这个夹角指的就是两个项链哈，比如说一个叫阿尔法，一个叫北塔中间这个夹角， 那我们给他说的详细一点哈，还是给你一个正交矩阵 a， 那么对于任何两个像量 alpha 和贝塔， 那 a alpha 和 a 贝塔这是两个新的项链吧，这两个新的项链的夹角和原来 alpha 和贝塔的项链这个夹角一定也是一样的哈， 就说原来阿尔法贝塔如果长这样的话，那么 a 阿尔法可能变成这个样子了啊， a 贝塔可能变成这个样子了，但是他们之间这个夹角和原来这个夹角一定是 一样的。好，我们来证明一下这个啊。这个证明起来也很简单，回顾一下两个项链之间的夹角，我们是怎么算的？ alpha 和 bate 它们之间的夹角，比如说我们记为叫 say ta 一吧， 那么知道 cosinc， 它一就等于两个项量之间做内积，再除以这两个项量的模长的乘积， 但这个魔肠咱也可以给他表示成内基的形式。阿尔法的魔肠，那就是根号下阿尔法跟阿尔法做内基，自己跟自己做内基哈，这就是魔肠的平方嘛，再看根号就变成魔肠了。好，贝塔的魔肠呢？那就是贝塔跟贝塔自己跟自己做内基。 好，那接下来 a 阿尔法和 a beta 它们之间的夹角，我们记为叫 ctar 吧。 其实写到这里啊，大家应该已经立马领悟出来了，这个夹角我们同样用内击表示，那就是 a 阿尔法和 a 贝塔做内击，除以 a 阿尔法的模长 自己跟自己做内机，开根号和 a bet， 它的模长自己跟自己做内机开根号。又，我们只需要说三个字就可以了，保内机啊。 宝内基就是说这一坨和这一坨是相等的，它和它是相等的，它和它是相等的，完全相等吧，对吧？所以说这个其实就是 宝内基这个性质的一个推论，所以这俩也是相等的。 那这个 say 他的范围是领导派哈，在领导派上扣赞是单调的，所以就直接退出来， say 他一和 say 他二也是相等的，这个就是保持夹角不变他的含义。 所以大家可以想一下哈，正交矩阵保持向量的模长不变，保持两个向量之间的夹角不变，也就是说，拿 a 乘以旧向量得到的新的向量，他的模长啊和角度啊，跟你原来的向量是一样的。 那这就意味着什么呢？这就意味着我们正交矩阵乘以一个项量，他得到的新项量和原来的项量只有两种关系， 第一种就是旋转，第二种就是翻转。解释一下，什么叫旋转呢？就是给你一个旧的项链 奥尔法，那我拿 a 乘以这个奥尔法得到新的项量，他其实就相当于是把旧的项量按照一定的角度给他进行一个旋转，至于这个旋转的角度是几，那就是由这个正焦矩阵本身而决定的啊。 第二种情况呢，就是所谓的翻转，也就是说原来有某一个项链，比如说这块地位叫 x 吧， 那我 a x 是谁啊？就相当于给他关于 x 轴给你翻了一下，但是有的时候呢，可能是关于 y 轴翻哈，但不管是关于什么轴翻，他这个叫做翻转，那他不是旋转哈，跟旋转不一样，旋转的话，你这个面不要动，只是转了一下， 但是翻转呢，你整个面就翻过来了。所以我们正交矩阵哈，其实是分成两种基本类型， 这两种基本类型是按照他的行列式进行划分的，如果行列式等于一的话，他对应的是一个旋转变换。如果行列式等于负一的话，他对应的是一个翻转变换，但这只是两种基本的类型哈， 还有一些正焦矩阵就是这两种基本的类型的基础上给他做复合，比如说先旋转，再翻转等等等等，这样就构成了我们所有的正焦矩阵。 所以正交矩阵他的核心或者说他的特殊点就在于保持图形的形状不要变， 不能伸缩，不能拉伸，你只可以给他旋转，或者说给他翻转，这样一来，他只是角度跟原来不一样了哈，但是形状本身是不发生变化的。那大家还可以再想一个问题啊，就是正交矩阵他描述的是一个 直角坐标框架，那把这个坐标框架给它旋转也好，翻转也好，得到的其实还是一个直角坐标框架， 所以由正焦矩阵就可以生成无数个直角坐标框架，每一个坐标框架都可以构成一个坐标系，所以理论上二维的也好，三维的也好，这个坐标系是有无穷多个，他们之间就是靠着正焦矩阵给他作为纽带联系在一起的。 当然讲了这么多东西哈，对于考试而言，有没有什么用途呢？是有大用途的。比如我举一个例子哈，二零二二年的线性代数数，二数三的压轴题就是这道题哈，二十二题 大题的最后一道，他考察的本质是什么呢？就是坐标轴的旋转，他给出了一个二次型，二次型其实表示的就是 旋转之后的一个妥球面，然后这道大的证明题，它的本质就是让你证明这个旋转之后的妥球面，它的长轴和短轴是多少。 所以啊，正交矩阵是有着非常特殊的地位的，同时也是命题老师特别爱出的一个考点，而且能把题目出的很深刻， 相信这道题哈，如果你不知道这个背景知识的话，当然也能做出来，但是呢，可能会非常的耗时间，那如果你要知道这个背景知识的话呢？这道题就是秒杀。
1250数学救火队长马丁
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