宁波话切切克克含义

今天讲一下宁波高中数学竞赛的第十一题，在锐角三角形 a、 b、 c 中，这三个正切的两两乘积的和等于二零二五， 求 cosine a， cosine b、 cosine c 的 乘积等于多少？那看到这个题呢？呃，已知条件是关于正切的要求的呢，是关于余弦。那一个自然想法就是 我把这个余弦都用正切来表示，比如 cosine a， cosine a， 怎么样用它的 a 来表示啊？那这个是三角函数里边一个基本功了，就知一求二嘛，相当于已知它的 a， 你 怎么来表示 cosine a？ 那 结论就是我这呢，用平方来表示啊，就是 cosine a 的 平方，它应该等于 一，除以一加贪 t a 的 平方。这个怎么记比较简单呢？你可以画一个直角三角形。 画一个直角三角形，这个角 a 角 a 的 对边就是贪 t a， 这个邻边是一，那它的斜边不就是这个根号下一加贪 t a 平方吗？是吧，所以 cos a 的 平方邻边比斜边就是这个了。 那 cosine b， cosine c， 我 都可以这样表示。呃，这块呢，为了书写简单一些呀，我把这个摊的 a， 摊的 b， 这些啊，我都用字母表示啊。摊的 a， 我 就用 a 表示，这个用 b 表示，这是 b 乘 c， 然后这是 c 乘 a， 那 要求的这个数字我记成 s， 那 下边呢，我就先求 s 的 平方， s 平方就等于，你看，咱们看一下啊，根据这个 s 平方，那是不是等于这三个式的相乘啊？所以它应该是这样一个东西， 上面是一，下面呢，那就是这个一加 a 方，乘以一加 b 方，然后一加 c 方，对吧？就是这么个东西。好了，我们把要求的东西用 abc 来表示了，那下面又是一个自然的想法， 那我要把 abc 求出来，带进去不就行了吗？是吧？那 abc 能不能求出来呀？ abc 条件是一个式子，有三个未知数，那肯定求不出来，是吧？这方程个数不够啊。但实际上呢，你，你还应该知道，在这个三角形里边，它的正切应该还有一个关系，是吧？ 叫正切恒等式，就是正切的和它的 a 加，它的 b 加，那它的 c 应该等于它们的乘积 a b c 应该还有这关系。对，但这算是引含条件了，你应该知道的，是吧？题里没写，你应该知道，那我们把这两个条件放一块，那就是说现在啊，这个 ab 加 bc 加 ca， 这个二零二五，我就用阿拉伯来表示，他就是个常数嘛。后边咱们就更一般化，这相当于这两个条件，这两个条件，那两个条件也是不够的，对吧？三个别的数没法求了。也就是说现在 abc 是 不确定的，他不是唯一一组解，有无数组解。 那比如说我，我不让 h 一， 这算是特殊值了，我让 h 一 带进去，那这不就变成两个未知数，两个方程了吗？ bc 就 可以解了，对吧？哎，这也是一种方法了，特殊值法。 那我现在我们想一下啊，现在两个条件，三个位，三个变量，三个未知数，而要求的这个数字呢？他是个定值，他是个定值，那说明什么呀？那就说明就，其实就道理，就跟这个 a 得一是一样的。我 a 不 拘一，我把 a 看着是个常数， 把 a 看成长数，那是不是 a 看成已知量，那 bc 我 就都可以解出来了。用 a 来表示啊，是吧？比如说那个 b 可能是跟 a 的 形式是个函数，比如我写成 b 等于 fa， 然后那个 c 呢？可能等于 j， a 之类的，是吧？都用 a 来表示，我带进去，那最后呢？看来应该是把 a 削掉，把 a 约掉了，得到一个定值，是吧？逻辑上应该是这个形式， 这个关系，那是不是呢？那我们具体往下算一下好了，基本确定这么个猜测思路啊。那再往下呢？又有一个问题了， 我现在把 a 看成长量，那我是不是需要把 bc 求出来呢？把 b 等于啥？ c 等于啥？需要这样做吧。你看条件，看这结论啊，要求的东西，咱们看 bc 相关的这一部分，这一部分我把它拿出来， 一加 b 方，一加 c 方，我把它乘出来，应该是一加 b 方加 c 方，加 b 方 c 方， 那这里边有 b 方， c 方有 bc， 那 你联想一下，这是不是和完全平方有关系啊？我可以加个二 ab， 减个二 a b， 你 看正好最后我可以得到一个 b 加 c 平方，加上这个，这，这是 bc 啊，加二 bc 减二 bc， 所以 正好是这个 bc 减一平方，是吧？所以你看这块是 b 加 c， 这是 b 乘 c。 那么已知条件，这两个式子里边，这个一式二式里边，你好好观察一下，他是不是也有 b 乘 c， b 加 c 这样的东西。现在我们把 a 看成是常数，把 a 看成常数，你把 b 加 c， b 乘 c 看成两个结构，哎，我们可以把它求出来。 这个求的结果啊，我就不写过程了，比较简单啊，这相当于是二元一次，二元一次方程组求出来， b 加 c， 是 这样的，它等于这个 a 方加一，然后 a 乘以拉姆的减一， 然后那个 b c 减一，等于这个 a 方加一，拉幂减一，把这俩都求出来了。好了，那下回咱们算一下，我算一下那个 s 平方带进去， 我们算一下，这个一加 a 方，一加 b 方，一加 c 方，那最后就等于 b 加 c， 就是 这个，这是 a 方加一， b 加 c， 哎，它的平方，然后加上那个 a 方加一，这个再平方，然后一个大括号，然后再乘以一加 a 方， 这个把它化减一下，化减一下，最后呢，正好等于等于这个拉幂减一的平方，也就是说 s 方正好等于拉幂减一平方 分之一，所以所所求的是 s， 是 吧？那 s 取正数，幂幂答一，那就是幂幂减一分之一了。 这个题的幂幂幂，他给的是二零二五，所以呢，这个答案就等于二零二四分之一，这不就算出来了吗？是吧？哦，你看整个这个过程，其实想法是比较自然的， 从一开始我们观察已知条件和要求的已知和未知问题是余弦，所以我想把余弦化成正切，用三角函数值之一求二， 然后呢，再把这隐含条件挖掘出来，三个正切的横等式， a 加 b 加 c 的 a， b c 两个条件，三个未知数。下边我把 a 看成长数，当然你把这 b 或 c 看成长数都行啊。我这是把 a 看成长数，用 a， 你用 a 作为参数，相当于是，哎，把 b 加 c， bc 减一给它表出来， 因为这个结构里边，我化成了 b 加 c， bc 减一的平方这种形式，然后把它带去化点，哎，就得到这个东西了。 你看这里边，哎，我们总结一下啊，其实他用到两种比较重要的思想，一种就是消元减元，是吧？三个的数，三个元我其实看着，我把 a 看成是，看成是这个参数，看成已知量，用来表示另外两个量， 这是减元思想。然后还有什么呢？还有就是一个，你看我把这个一加 b 方一加 c 的 形式， b c 减一的形式 就是设而不求，对吧？我并没有直接去求 bc， 你 要求 bc 的 话，那那那更麻烦了，就麻烦了，是吧？所以我这有个整体思想，设而不求思想，这和那个解析几何原理曲线是类似的，对吧？你看这些东西都是打通了， 先把这两种比较重要的观点，重要的想法，哎，我们常用的这个手段在这体现出来。好了，这个题我们讲到这，联系、反思、分类，让解析更高效。

我们不说包的，但可以说老佛姓。好嘞，一句言话我们不说决绝子，但可以说下一句嘞。再加利益我们不说冲呀， 但可以说啦啦，弄的莫比哈萨我们不说稳了，但可以说多多点点天天也要。我们不说老铁，但可以说阿亲阿我傲极的败你。

我跟你们分享个东西，我觉得太好玩了。我在尼泊邦博物馆里面找到了洋泾浜的出处。我以前只知道上海话说的不太标准叫洋泾浜，但是我不知道它最初是什么样子，直到我看到了这个。我用我的中山话念一下，里尔克 one dollar one dollar 廿四同辈肯德福 twenty four 只为雅思不为桃，如此如此。 so and so so so and so 仅好说古为列狗 very good 学而普陀哈而笑 boot 熊亚奥马贝告白桃 comperter 熊浩伦为 stein 包 stein boat 缺 t 缺 t 请缺竹 have t 傻到傻到请弄潮 sit down 红山芋为扑克涛 potato 东亚厨子列克骚 rickshaw 大 屁股为白扑雀斑驳文家我吧白风老 dumf 那 莫那莫那莫文先生是阿桃 number one pga 先生是老虎 shawf mac mac 炒普道 match 英迪萨斯多普道 empty sense 红豆芽菜 keep 到 keep door 自古兄弟普拉族 brother 亚油佛扎 father 亚马扎 mother 嘉年阿伯发音唠 father in law。