三角函数圣诞树折纸

马上圣诞节了，我们来做个圣诞树吧，可以一秒合上一秒打开哦。 二十乘二十的纸米字折痕， 两边折向中线 翻过来，同样折法， 将下面的小三角往上折。 将小三角内折 翻过来，另外两个小三角也内折， 展开后沿着折痕往内折。另外三个同样的折法， 下面每条边都折一个小三角， 在三点五、五点五和八的位置做标记，画一一点五和两厘米的线，沿着线剪开，按照这几条线折三角 反折一下，方便后面的内折 展开后，将每个三角内折。 圣诞树的一条边就折出来了，另外几条边同样的折法，装饰一下漂亮的圣诞树就完成啦，快来试试吧！

长方形纸对折，在对折的这边剪一个波浪线，这样折成一个三角，打开就是一个圣诞树的形状。就这样竖着划拉划拉，多换几种颜色，划拉划拉，注意这几种色都是相近色，最好 划拉到最后两层往外炸开着画更生动。 这样斜着涂一涂，画出大树干和土，随便画些小波点装饰装饰。一张圣诞小贺卡完成啦！学会了吗？小宝贝们？

四款圣诞节手工第一款，圣诞树挂件 ho ho ho merry christmas 第二款，圣诞花环让我看看是谁学会了圣诞花环呀！正方形指折，米字痕 两侧向中间对折，三角下压，小三角向下翻折，向上翻折。 一共准备八个， 像这样两两插入加胶水固定， 形成一个环形铃铛折法。 第三款，圣诞树桌面小摆件圣诞树教程来喽！ 第四款，圣诞树剪纸一分钟教会你折纸圣诞树！

我花了不到三十块钱，就给家里安排上了毫不占位置又超级触电的圣诞树。有手就会首先拿美纹纸在玻璃上贴一个三角，给挂钩的位置定位。挂钩的方向呢，要朝内，沿着美纹纸的两边等距，吸上透明的吸盘挂钩，然后就撕掉美纹纸， 把彩带从上往下挂在这个挂钩上，就已经看见圣诞树的图形了。接下来我们来给它上一点小挂饰，再挂上灯串就完成啦！ we wish you a merry christmas！ we wish you a merry christmas！ 噔噔同样的方法，我又做了一个丝带版的，怎么样，是不是非常好看呀？家里一下就有 圣诞的气氛了。最关键的是这个东西呢，每年你过完圣诞节，你可以把它拆下来，然后把它梳理好，第二年又可以重新拿出来用了。它不会弄脏玻璃，也不会占地方，非常实用，大家快去试起来吧！

小宝们，本合集包含初中所有知识，主包将用一整年时间更新最全题型汇总加实战技巧，所有手写笔记和针对性练习主包都放在群里了，完全免费制作不易麻烦宝子们一键三连，大家的支持是主包最大的动力。 哈喽，各位兄弟姐妹，在上节课我们已经讲过了，三角函数的背靠背模型和基本模型，这两个都非常重要的。本节课我们继续往下讲坡度坡角模型和生活中的实际应用。 最后两个模型也是这个三角函数最后一部分了，希望大家能够认真听闲话不多说，我们来开始今天的课程。好，我们来看下一个坡度坡角模型。 坡度坡角模型就是刚刚我已经解给你解释过了啊，坡度坡角，我们再说一下这个 i 对 吧？ i 等于贪尽他阿尔法，等于 h 比上 l 啊，就这个坡角这个地方你要注意 呃，这样就画一个斜坡啊，然后这是阿尔法，这是 h， 这是 l。 记住啊，这个这个你就记住我刚给你写那句话，看到坡度或者是什么坡比，你就往下做垂直，这个你就做垂直就完事了啊，做垂直就这种模型的话，你记住啊，做垂直做完垂直然后再想它就是高比低，就对比零还是对比零就行了？ 好，我们来看一下啊，如图，某水库堤坝横断面迎水坡 ab 的 斜面坡度， i 等于一比根号二，这个是一比根号二，也就是说对比邻，对吧？啊，对比邻就是一比根号二，你只要明白这个就行了啊。哎，这老师特别好，你看这老师还专门跟你说了 bc 与这个 ac 的 比， 他又说这个 bc 是 十五好， bc 是 十五，则这个 ab 等于几？他问这个 ab 呢？咱先别管 ab， 咱先把 ac 算一算，对不对？我们可以把 ac 设成 x， 那 也就是说是不是十五比上 x 啊？就等于这个一比根号二，对不对？然后咱交叉相乘，我们得到这个 x 就是 十五倍根号二十五倍根号二 好，这个 x 我 们就有了啊。 x 有 了之后，那么这个 ab 是 不是自然勾股定律就出来了？对，咱直接勾股定律啊。 ab 就 等于根号下 十五的平方，加上十五倍根号二的平方，再开个方，然后这个咱慢慢算，对吧？别算错就行了啊，别算错就行了。十五的平方等于这个二百二十五，加上这个 十五倍根号二。你注意一下，十五倍根号，你看等于十五，先，平方是二百二十五，根号二，再平方是二，嗯，二百二十五乘以二是，呃，四百五，四百五， 四百五，然后再算四百五，加上二百二十五，嗯，等于那个六百七十五，然后再六百七十五，然后再慢慢开放就行了。六百七十五，我，我们先让这个二十五乘以几，等于六百七十五， 对吧？那你就六百七十五除以除以二十五行了，等于二十七，二十七，那二十五开出来等于五五倍根号二十七，二十七才能再开。对，二十七，三九，二十七，三九，二十七，九，开是三 三倍根三，三倍根三，再乘以五就十五倍根号三。好，这个题就出来了，这是迎风迎水，迎水泼面， ab 就 有了十五倍根号三啊。就是我跟你讲的，就是看到坡角或坡度就往下做垂直，做完之后就几乎就慢慢去往下带，对吧？就摊起它往下带，往下算就可以了。 我们来看这道题，来，兄弟们，认真一点啊，兄弟们，认真一点。已知水平，地面 a m 上方有一个水平的平台 b n。 啊，这个 a m 上方有一个 b n， 呃，该平台上有一个数值的建筑 c 的， 有个建筑 c 的， 在 a 处测，测的这个阳角是三十度，在 a 处测的这个 阳角是三十度，就这个大点，三十度，在 b 处测阳角是六十度，六十度，那都是特殊角，是吧？都是特殊角。然后继续读斜坡， ab 的 坡度是一比一比三， 那这一比三，那，那直接往下做垂直，啥也先，啥也先。别弄了，先往下做垂直。兄弟，先要做垂直。呃，这是 h。 往下做垂直的话，是不是就是，是不是高比底？是不是一比三，是吧？这个一比三就有了。 然后他说 ab 等于十倍根号十米，这个 ab 是 十倍根号十，标一下啊，十倍根号十。 然后他又说这个 c 的 垂直于 b n d， 问，求这个平台的高度，求这个高度，那其实说白了，是不是就求这个 bh 呢？ 求 b h， 那 求谁射谁呗？对，我们射 b h 是 x， 那 么这个 a h 自然就是三 x， 对 不对？就是高比底，一比三嘛，对不对？所以这是 x， 那 这个 a h 直接就是，直接就是三 x， 然后进来是不是立马勾股定力？我们是很快列出来式子了， 懂了吧？所以这就是破头破脚啊，掌握方法就感觉很简单啊。第一问，我们就写过点 b 作 bh 垂直于 a m， 然后因为坡度。解释一下，因为坡度 i 等于一比三， 设 bh 等于 x， 则 a h 就 等于三 x 带上单位吧，米带上单位，米带上单位之后，然后接下来购物点啊，在 r t 三角形 b、 h a 中啊，我们直接勾股定律了，就是 x 方加上三 x 的 方等于十倍根号时括住的平方， 然后我们慢慢算啊，那么就是 x 方加上九 x 方就等于啊，这个算数慢点。十的平方等于一百根号，十的平方等于十，一百乘以十，那一千呀，对，一百乘以十一千，那就是十， x 方等于一千，这个很好算啊， x 方等于一百， 开出来 x 等于正负十，那肯定是正十了，对不对？肯定正十了啊，然后直接写，所以 x 等于十，所以 x 等于十米，好，呃，即 b n 等于十米，好，那么这样的话，我们这个第一小问就解决了，非常迅速啊啊， b n 等于十米，这边是三十，这第一小问，我们看第二小问它干嘛哈？ 第二项他说是求建筑物的高度及 c、 d 的 长，他求这个建筑物的高度。好，那你这边有一个三十度和一个六十度，那你肯定要从这两个角度上面做文章，对不对？肯定要从这两个角度上做文章，那这个三十度很明显，他是不是需要这样去往下再做个垂直， 对不对？我们这样子是不是再看一个大的一个老大，这是个更大的老大，是吧？然后这个六十度里面，这是个小老大，小一点老大，所以说我们就接下来往下 c 的 延长啊。 h， 那 这是 g， 好 吧，这是 g， 这也是垂直， 嗯，这个有点不够写，我怕有点不够写，我给他，我给他移动一下啊，标一下， 这是 h， 这是 g， 然后这边是十，对吧？这都是十，然后这边是三十。好，第二问啊，我们就写这个时候，你，你肯定是先用这个大一点的， 是吧？用完之后，然后再再用这个小一点的，几乎就可以出来了。好，我们写一下啊，就是延长，先解释一下，辅助线延长 c 的 至点 g， 则这个呃的记就垂直于这个 am 啊。解释完九十度之后，然后就写，因为这个题它上求 c 的 嘛，求谁设谁啊？我们设 c 的是 x， 我 们设 c 的是 x， c 的 如果是 x 的 话， 嗯，哎，咱别设 c 的是 x， 因为这个小的里面是不是直接就是一比根三比二，咱直接设这个地方是 x， 那 这边就根三 x， 这样更快一点，好吧。啊，我们直接设这边是 x， 设这个，呃， b d 是 x， 那 么 c d 就 等于根三 x， 直接用老大，用完之后呢？这个 h g 也是 x。 好，然后接下来就是再用这个贪心的三十度，对吧？用完小的老大之后，我们再用这个大三角形变大，就贪心的三十三，贪心的三十度等于对边就是根三 x 加十，邻边就是三十加 x， 对 比零，然后等于三分之三就直接出来了。 好，那么我们思路有了之后，我们接下来写一下过程啊。呃，你需要解释这个，解释一下英文，你就写英文角 c b d 等于六十度， 然后这个 c d 垂直于 b n， 解释一下九十度和六十度，然后直接再写，所以设这个 b d 等于 x， 则 cd 就 等于根号三 x。 好， 这样的话，你就把这个 cd 也非常迅速，对吧？用这个三面之笔给它表示完了，表示完了之后，然后接下来我们继续 就是。呃，再然后还需要解释一下，就是这个得 g 等于这个 b h 等于十，还需要解释一下啊， 这样自己写吧，直接在这个地方写就行了。得 g 等于 b h 等于十米，然后写在 r t 三角形大的啊 a g c 中， 然后摊进它三十度，等于对边就这个大的啊，兄弟，就这个大的，在这个大的三角形中，对边是根号三 x 加十邻边邻边是三十加 x 对 比邻。然后还有就是你，你这个 h g 是 x 等于这个 b d， 你 需要也说一下啊，设它设设，继续往下补一下吧， 则 h g 也等于这个 x。 解释一下啊，都给他解释出来，要不然的话怕扣分嘛。然后他现在三度是等于约等于三分之三， 对吧？然后这个时候我们是不是得到这个式子，然后得到这个式子的话，这个式子看起来还有点复杂的，那我们交叉相乘对不对啊？交叉相，因为他都是特殊角度，所以应该是计算量不大啊，肯定是比那种都是小数那种要要好算多了。 那算一下，那就是三乘以根三 x 加十等于根三乘以三十加 x， 就 对到这个式子，我们把它撑开，那就是三倍根号三 x 加三十， 就等于三十倍根号三加根三 x， 就 对到这个式子，然后再慢慢算。我把它这个往上移动一下啊，把这个式子移到这， 好，然后我们把这个 x 六给它移到左边，三倍根三 x 减根三 x， 还剩一个二倍根三 x。 好， 往下一点，还剩一个二倍根号三 x， 然后把数字往这移，那就是三十倍根号三减三十，右边变成了 三十倍根号三减三十，因为这个题他没有说让我们估算，对吧？约等，那我们直接还得继续两边同时除以，先同时除以二吧，然后这边除以二没了，这边除以二是十五被根号三，这边除以二十五，然后把根号三除过来，所以这个 x 就 等于 根三分之十五被根号三减十五，然后接下来分子分母同时乘以根号三， 然后就是根三乘以根三。我写慢一点，主要是怕有同学十五倍根号三减十五， 分子是用同乘以根号三啊。继续写分母根三乘根三等于三，分子十五倍根三乘以根三等于三三，再乘以十五等于四十五，所以这边是四十五减去十五倍根号三， 然后再约分，对吧？在约分下，四十五除以三就等于十五，然后十五倍跟三也除以三，五倍跟三 并勾，对不对？各位臭宝出来了吧？所以这是这是我们坡度坡角，其实说白了，你就记住，看到坡度坡角就往下做垂直，一做一个不吱声，对不对？兄弟们，一做一个不吱声啊。好嘞，这是我们的这个，呃， 类型三了，对吧？类型三了，坡度坡角问题了，坡度坡角问题了。 ok 啊，各位小宝，我们现在来看最后一个类型了。类型四，生活中的实际应用。 这种类型的话，他主要就是考这种这种台灯的这个角度，或者是屏幕的角度，视线的角度，就这一类的跟生活中的实际应用更加的更更加的联系，更加紧密。那么这类题他普遍题干比较长，写这类题的话，其实还是考察你的阅读理解能力， 难，也不是特别难，主要就是阅读理解，读懂题意吧。所以虽然我是一名数学老师，但是语文是所有学科的基础基石地基，一定要好好学语文啊， 读题。现有一台红外线理疗灯，该设备的主体有底座 ab， 底座 ab 啊，这个底座 ab 立柱， bc 伸缩杆， c 的 蹬 b 得 e 啊，都给你解释一下啊，这个 abc 三点在同一条直线上， abc 三点共线 图二式的视域， a， c 垂直于 af 啊，这是个垂直 af 与水平线 l 平行， af， 还有这个水平线平行，然后这个 c 的 与 l 的 夹角为角一得 e 与 l 的 夹角为角二，经测量， ab 等于十二啊，标一下啊，兄弟们。标一下， ab 等于十二， bc 等于二十六得得， e 等于三十 呃，角 bc 得等于一百五十四， bc 得 bc 得啊，就这个钝角一百五十四度，角 c 得 e 等于六十三度， c 得 e 等于六十三。这上面这个地方是六十三度， 六十三度，我用蓝色的写一下吧， 啊，就这个 c 得一，六十三度。第一问，求角一等于多少度，角二等于多少度啊。第三问的话，第二问的话，让你求这个 c 的 长度，伸缩跟 c 的 长度。我们先看第一问啊， 第一问的话，那，那肯定咱这样去往上做个垂线，往上做个垂线的话，那啊，对吧，然后这这样的话是不是同旁内角互补了，对吧？然后直接就答案出来了哈，所以第一问还是比较简单的，大部分人都是能写出来 放大一下下啊，放大一下下，往上做一个垂线 啊，把这个我们标成 a， b， c， d， e， f， g 标个 g 好， 做完垂线之后的话，很明显就是 a、 c 的 g 和这个 e、 m 它们都是平行的，平行的话，然后这一百五，然后这个角度的话就一百八减一百五， 等于二十六就出来了啊，写一下啊，第一问他要填空哈，填空，然后这边这个角是二十六， 嗯，那这个是九十九十减二十六就是角一。好，所以角一等于九十度，减去二十六度就等于六六十四度，这是角一，然后角，然后， 嗯，这边是二十六，那这边的话就六十三减去二十六，就这个角 e 的 g 就 等于六十三度，减去二十六度就等于，呃，七五点三三十七度， 然后这个角二它就等于九十度，再减去这个三十七度等于五十三度。好，角一角二就全出来了啊，三十七和五十三， 好，然后我们看它要干嘛哈？就说已知点 e 到 a、 f 的 距离， em 等于五十厘米时， em 等于五十厘米时， 设备使用效果最佳。求此时伸缩杆 c 的 长度啊，求此时的这个 c 的 长度。我们先别慌着写这个 c 的 呢，对吧？我们肯定很明显我们要用到这个三十七度和五十三度，对吧？那怎么用呢？ 你可以这样往上做垂线，对吧？你往下做垂线，把它补一下，对吧？这样的话我们就可以把三十七度和这个五十三度，嗯，我，我们都给他六十四度，六十四度，不好意思啊，角一等于六，角一等于六十四度， 角一等于六十四度，然后角二等于五十三度。 好，然后，嗯，这样的话，嗯，你就可以，嗯，把它补出来了。那这样的话我们往这边做，因为你看参考数据，参考数据中给了这个三眼二十六， cosine 二十六度在这个位置，对吧？二十六度在这个位置还有三十七，三十七，那这是， 呃，那这是五十三，那这边是三十七度，那这两个度数是非常特殊的啊。好，现在我把它给，我把这两个度数给它特别标一下，标注一下， 然后这边是二十六度，然后这边是三十七度，很明显，那这样的话我们就往这边做垂线了， 把这两个度数给他放到直角三角形里面，假如说这是有 m n 了，这是 p q 吧？这是 p， 然后这边是 q， 我 们这样做一下，这是 p， 这是 q。 好， 做完之后的话，我们接下来开始去想，嗯，就是怎么用这个二十六和这个三十七，对吧？怎么用这个二十六和三十七，因为你这边这个的 这边这个得 e 是 三十，我们是知道的，对吧？那么在这个三角形中，在这个三角形中，我们是，你看，我们其实是可以把这个三十七的邻边得 q 给它求出来的，因为邻边斜边，对吧？邻比斜，我们直接用 cosine 三十七就可以把这个得 q 给它求出来了， 得 q 求出来之后，然后再想办法把这个把这个 p p q 求出来就可以了。所以我们现在先求一下，就在第二问啊，第二问，在 r t 三角形 e d q 中， 用 cosine 三十七度等于邻边是 d q， 斜边是三十， 然后 cosine 三十七等于零点八，然后算一下，这个得 q 非常好算，对吧？直接三八，二十四是二十四。然后这个题的话，我就不再详细的一点点写过程了啊，我们就主要讲一下思路，好吧？然后这个得 q 就 有了，得 q 是 二十四， 好，那得 q 是 二十四的话，然后接下来我们想，呃，接下来，然后这个地方是有，对吧？你看这，这个是呃，十六加十二，那么这个是这个加起来是三十八， 然后从这儿这是五十，然后这是三十八，那这个地方我们是不是出来了？就这个地方的高度， 就这个地方高度，而且这个地方呢是五十减三十八是十二， 然后这个地方是十二呢？是不是这个 p q 就是 十二就有了？ p q 是 十二就有了， 所以我直接写啊， p q 就 等于五十减二十六，再减十二 等于十二， p q 有 了， p q 有 了之后，那么我们整个得屁是不是有了？因为上面是二十四，下面是十二， 所以我们整个得屁就有了。得屁就等于二十四加十二等于三十六，好，带上单位啊，那么得屁有了之后，这是三十六，我给你重点瞄一下啊，就这个，这个是三十六 啊，它其实就是二十六度的邻边，而它让这个题让我们求 c 的是斜边邻比斜 cosine， 再用一次 cosine， 在 r t 三角形 c p 的 中， cosine 二十六度等于邻边三十六比上斜边 c 的 约等于 cosine 三十六是零点九，好，约等于零点九，那这个刚好也非常好，算四九三十六，对吧？所以 c 的 这刚好就约等于四十厘米， 好，那么整道题我们是不是解决了？这个 c 的 等于四十厘米，好，那么整道题我们是不是解决了？这个 c 的 等于四十厘米，好，那么整道题我们是不是解决了啊？使劲用啊，使劲用 就是实际用的话，有时候他就不会考帕尼塔，就是考那种考三亚，三亚考多一点，不过实际用最重要就阅读理解，你把题干读懂啊，慢慢求，然后该做俯卧撑，做俯卧撑，然后把它都构造到直角三角形里面，明白了吧？ 好嘞，兄弟们，我们现在再来复习一下，简单看一下我们刚都学了什么啊。首先我们是不是先讲了，先补充这个，在这个学科里面第一部分我们先补充了概念和定义，对吧？先给大家补充了购物定义的知识，三胞胎的知识，而且你要重点知道三胞胎在我们的参考函数运用非常广泛啊。 然后接下来我就给你讲了，正弦与弦正切对吧？它的角度怎么算都有什么含义，角度怎么算对吧？正弦是对比弦与弦是邻比弦， 然后正切式对比零，然后以及那个表格三十四十五六十，那个表格是一二三三二一三分之根三一根三，对吧？然后还教给了你怎么去算啊。 然后接下来我们就是实际应用实战的时候，基本模型考试最多最频繁也是最重要的啊，你把基本模型学会之后，其实剩下几个你就感觉就非常顺利，对吧？非常顺畅就能听懂了，所以现在就背靠背模型、坡头坡脚模型和生活中实际用一共这四大类， 几乎你把它掌握之后，你这个三个函数就是百分之九十的题都是能写的了啊，或者百分之九十五的题都能写了，剩下他再难他难不到哪去，他主要是计算量，明白吧？你听我讲完之后，你会发现思路都是比较简单，主要是计算量。好吧，算的时候小心一点啊各位臭宝。好嘞。

欢迎来到周志伟的高中数学课堂，今天我们学习高一必修一第五章三角函数第一节任意角与弧度制我们开始本节的知识精讲。 我们首先看角的概念，在初中的时候，我们学过具有公共端点的两条射线组成图形叫做角。比如说这里公共端点是 o o a 和 o b， 这两条射线组成的图形就叫做角，这是角的静态定义。但这个定义啊，对有些概念是无法表达的，比如说大于三百六十度角，那三百九十度的角 就画不出来。再比如说负角，负三十度的角也是无法表达的。所以我们在初中学习三角函数的时候，我们就避开了这个问题，我们只讨论零到三百六十度之间的三角函数。 有些版本的初中数学教材在阅读与拓展里面给到了角的动态定义。角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。比如说这里有条射线 o a o a 绕着端点 o 逆时针旋转就得到了角 a o b， o a 绕着点 o 顺时针旋转，就得到了角 a o c。 这就反映了角的动态的形成过程，它的核心是旋转。那我们今天就从这个动态定义出发，利用旋转的方法把角的概念进行拓展。 有一条射线 o a， 我 以 o 为端点，以 o a 作为矢边，然后逆时针旋转，把 o a 旋转到 o b 的 位置，那我们规定形成的角是一个正角。 但是如果把 o a 这条射线向顺时针方向旋转，把 o a 旋转到 o c 的 位置，那我们把这样得到的角定义为负角。如果 o a 没有旋转，那形心的角就是菱角，菱角度处是零度。 我们在用旋转的方法描述角的时候啊，我们不仅要关注旋转的大小，也要关注旋转的方向，那我们看右边这几个例子，我们都是以 o a 作为矢边那三十度角，就是把 o a 逆时针旋转三十度， 那三百九十度的角，就是把 o a 逆时针旋转三百九十度。 那负九十度角呢？就是把 o a 顺时针旋转九十度，那负四百五十度角，就是把 o a 顺时针旋转四百五十度。 那这样我们就用旋转的方法，把角的范围拓展到了负无穷到正无穷的任意一个角。 我们来看任意角的运算，如果角一是三十度是正的，那我们就把矢边我这里都用红色表示。矢边沿着逆时针方向旋转三十度， 那负角一是什么意思呢？负角一就是把矢边沿着顺时针方向旋转三十度， 也就是说负角一和角一啊，它们旋转的大小是相等的，旋转的方向是相反的， 那角一等于角二。怎么解读？就是角二需要和角一沿着相同的旋转方向旋转相同的大小，那这样两个角就是相等的。 接下来看角的加法，我们规定角的加法是中边的继续旋转，那角三加角一就是把角三的中边继续旋转，那角一是正的，那就是把角三的中边朝着逆时针方向旋转， 那旋转的大小就是三十度，形成的这个角 就是角三加角一，那角四减角一就是把角四的中边继续旋转，那角四减角一等于角四加上负角一，负角一是顺时针方向旋转三十度， 所以我们就要把角四的中边沿着顺时针方向旋转三十度， 那形成的这个角就是角四减角一总结下就是加上一个正角，就是中边要逆时针继续旋转，减去一个正角，就是中边要顺时针继续旋转。 那为了方便表示矢边以及旋转以后中边的位置，我们用坐标轴来表示角。我们规定顶点是圆点，矢边是 x 轴，非负半轴 就是这个 o a 这条射线。那做这样的规定之后，我们讨论角的时候，我们只需要看中边的位置就行了。中边经过旋转，落在了第几象限，它就是第几象限的象限角。比如说这里的角 a o b， 它就是第一象限角。但是如果中边经过旋转之后，没有落在任何象限，而是落在了坐标轴上，比如说这里的中边 o c， 那 此时我们就称这个角叫象限界角，也叫坐标轴上角，也可以叫轴线角，它的名字有点多， 我们来辨析几个命题。锐角是第一象限角，这是对的，因为锐角的角度是 alpha， 小 于九十度， 大于零度，所以在坐标轴上画出锐角的话，它的中边肯定是落在第一象限的，所以锐角一定是第一象限角。但是反过来，第一象限角都是锐角吗？ 有一个角的中边落在了第一象限，比如说这里的角 a o b， 它有可能是逆时针旋转了六十度，也有可能是到了六十度之后，继续逆时针旋转，右转了一圈， 回到了 o b 这个位置，那总共就旋转了多少度啊？总共就是六十度加三百六十度等于四百二十度，所以中边在第一项线的角不一定是锐角。 那第二个问题叫第二象限角比第一象限角大。有一个角是第一象限角，比如说角 a o b， 它就等于六十度。有一个角是第二象限角，比如说角 a o d， 角 a o d， 假设它等于一百五十度， 那这时候第二象限角比第一象限角大。但这个第一象限的角 也有可能是先旋转了六十度，再旋转了一圈三百六十度，中边回到了 o b 的 位置，那就是六十度。加三百六十度 等于四百二十度。所以第二象限角不一定比第一象限角要大。 因此一个角的大小如果是确定的，那中边的位置就是确定的。但是中边确定角的大小并不是唯一确定。比如说这里确定的中边 o b， 它对应的角可能是六十度，也有可能是六十加三百六十度。 那我们如何去描述中边相同但是角度不同的角呢？ 我们说所有与角 alpha 中边相同的角，连同角 alpha 在 内，可以构成集合 s， 它的元素是 beta， beta 等于 alpha 加 k 乘以三百六十度，那 k 是 整数， 也就是说角阿法与整数个圆周角的和，就是与角阿法中边相同的角。我们举例看一下，如果 k 等于一的话，那 beta 就 等于 alpha 加三百六十度。 那我们看图，我们把 o a 旋转到 o b， 得到了一个角阿法，那角阿法再加三百六十度，就是把角阿法的中间 o b 继续逆时针旋转三百六十度， 旋转三百六十度，正好就是一个圆周，然后中边又回到了 o b 的 位置，那如果 k 等于 r， 那 beta 就 等于 alpha 加上三百六十度乘以 r， 也就说此时我们把角 alpha 的 中边 o b 继续逆时针旋转两个三百六十度，两个圆周 中边又回到了 o b 的 位置，那 k 等于零的话，那 beta 就 等于 alpha， 也就是说此时没有旋转就是角 alpha， 那 如果 k 等于负一， 那 beta 就 等于 alpha 减三百六十度。也就是说，此时我们把角 alpha 的 中边 o b 顺时针旋转三百六十度 回到 o b 的 位置，那我们总结一下，就是把角 alpha 的 中边继续旋转整数个圆周，角 k 取正值就是逆时针旋转， k 取负值，就是顺时针旋 转之后，中边就会回到原来的这个 o b 的 这位置，那这就是周而复始。那角 alpha 加上 k 乘以三百六十度， 就是中边是 o b 的 所有的角的集合。来我们看例题，下列角的中边位于第二象限的是 a 选项，负四百二十度，负四百二十度是等于负六十度减三百六十度， 那就说明负四百二十度的角和负六十度的角中边是相同的，那负六十度的角中边是在第四象限的 b 选项。八百六十度八百六十度等于一百四十度，加上七百二十度等于一百四十度，加上三百六十度乘以二， 那这就说明八百六十度角和一百四十度角中边是相同的。那一百四十度角中边在第二项线， 那 c 选项一千零六十八度，它等于一千零八十度。减十二度等于三百六十度，乘以三减十二度， 那这就说明一千零六十八度的角和负十二度的角中边是相同的，负十二度的角中边是第四项形， 那 d 选项一千两百六十度，一千两百六十度等于一千零八十度，加上一百八十度 等于三百六十度乘以三，加上一百八十度， 那这就说明一千两百六十度和一百八十度角，它的中边是相同的。一百八十度角，中边是 x 轴的非正半轴， 所以它不属于任何象限，因此这道题的答案就是 b。 那接下来我们看一下中边相同的角的集合。那第一种情况是，中边是固定的直线，那我们的方法就是先写出十角。我们选择的出十角 alpha 一 般是位于负三百六十度到三百六十度之间的角， 再加旋转负线，就是说通过旋转可以让中边重复出现的量。中边在 x 轴非负半轴的角，也就是说中边是 o a， 那 出出角就是零度，那 o a 这个中边继续旋转三百六十度 又回到原位了，那不管是顺时针旋转还是逆时针旋转都是可以的，所以我们这里写上加上三百六十度乘以 k， 这样就可以了。那 k 是 属于 z 的， 那我们这里前面的零度是可以省略的。 那中边在 x 轴非正半轴的角，也就是说中边是 o c 初十角，我们就选择 o a 逆时针旋转到 o c 就是 一百八十度，那 o c 这个中边继续旋转三百六十度又回到原位了，所以就要加上三百六十度乘以 k， k 属于 z， 那 如果我们从 o a 顺时针旋转到 o c 作为出直角，那出直角就是负一百八十度，然后中间继续旋转三百六十度 就加上三百六十度乘以 k， 那 k 是 属于 z 的， 所以角的集合表现形式不是唯一的。但这两种形式呢，它是等价的。负一百八十度加上三百六十度乘以 k， 它就等于负一百八十度加上三百六十度加上三百六十度乘以 k 减一， 那就等于一百八十度加上三百六十度乘以 k 减一。 k 是 任意一个整数，所以 k 减一也是任意一个整数，所以一百八十度加上三百六十度乘以 k， 跟一百八十度加上三百六十度乘以 k 减一两个是等价的。 所以在选择出视角的时候，大家既可以选择逆时针旋转，也可以选择顺时针旋转，就看怎么书写，比较简洁方便，而且符合题意。那中边在 y 轴非负半轴的角呢？中边就是 o b， 初十角选择 o a， 逆时针旋转到 o b 就是 九十度，那 o b 这个中边继续旋转三百六十度就回到原位了，所以就加上三百六十度乘以 k， k 属于 z， 那 中边在 y 轴非正半轴的角呢？也就说中边是 o d， 假设出直角就是 o a， 逆时针旋转到 o d 就是 两百七十度，那 o d 继续旋转三百六十度就回到原位了，所以要加上三百六十度乘以 k， k 属于 z， 那 中边在 x 轴呢？就是中边是 o a 或者 oc 都可以， 那 o a 中边对应的出直角是零度，此时啊， o a 继续旋转一百八十度到 o c， 那 o c 继续旋转一百八十度回到 o a， 所以 此时不需要旋转三百六十度，每次只需要旋转一百八十度， o a 或者 o c 就 可以重复出现了， 所以是零度加上一百八十度乘以 k， 那 k 属于 z。 当然这里的零度也是可以省略的。那中边在 y 轴的角，就是中边是 o b 或者 o d， o b， 中边对应的出水角是九十度， 那 o b 这个中边继续旋转一百八十度到 o d， o d， 这个中边继续旋转一百八十度， o b 或者 o d 就 可以重复出现了。 所以是九十度加上一百八十度乘以 k， k 属于 z。 接着看中边在坐标轴上的角，也就是说中边是 o a 或者 o b， 或者 o c 或者 o d 都可以。 那我假设第一个中边是 o a 处直角是零度，那 o a 到 o b， 是 要旋转九十度 到 o b， 之后继续旋转九十度到 o c， o c 继续旋转九十度到 o d， o d 继续旋转九十度到 o a。 也就是说每次旋转九十度，中间就可以重复出现了， 所以是零度加上九十度乘以 k， k 属于 z， 这里的零度也是可以省略不写的。 接着看中边在低向线角平分线上，也就是说中边是 o b， o b， 中边对应的出式角，我选择四十五度， 那 o b 这个中边继续旋转三百六十度回到 o b， 那 就加上三百六十度乘以 k， 那 k 是 属于 z 的。 中边在第二象限角平分线上的角，也就是中边是 o c， o c， 中边对应的出水角选择一百三十五度， 然后 o c， 中边继续旋转三百六十度回到 o c， 所以 就要加上三百六十度乘以 k， k 属于 z， 那中边在第三项线角平分线上，也就是说中边是 o d， 那 o d 中边对应的出水角，我选择两百二十五度， 那 o d 继续旋转三百六十度回到 o d， 那 就是加上三百六十度乘以 k， k 属于 z， 那 中边在第四象限角平分线上的角，也就说中边是 o e， 中边对应的出角。我选择三百一十五度， 那 o e 中边继续旋转三百六十度回到 o e， 所以 就加上三百六十度乘以 k， k 属于 z， 那 中边在一三象限角平分线上的角。也就是说中边是 o b 或者 o d 都可以，就是中边在直线 b、 d 上，那 o b 中边对应的出直角是四十五度， 那 o b 继续旋转一百八十度就到 o d， o d 继续旋转一百八十度回到 o b， 所以 每次只要旋转一百八十度，中边就可以重复出现了，所以就加上一百八十度乘以 k， 那 k 属于 z， 那 同理，中边在 r 四象线角平分线上，也就是说中边是 o c 或者 o e 都可以，就是中边在直线 c、 e 上， 那 o c 中边对应的出式角是一百三十五度，然后每次旋转一百八十度，就可以使中边回到直线 c、 e 上，所以就是一百三十五度，再加上一百八十度乘以 k， k 属于 z， 那 我们再来看角平分线上的角，也就是说中边是 o b， o c， o d， o e 都可以。那我先定一个出式角， 假设 o b 对 应的出式角是四十五度，那中边 o b 每次只要继续旋转九十度，中边就回到角平分线上，所以就是四十五度加上九十度乘以 k， k 属于 z。 刚刚我们讲的那些例子，中边都是一条固定的直线，那接下来我们讲中边是在一个区域内的，那我们首先要区分区间角和区域角的概念， 区间角只是一个竖直区间，没有图形的关联，比如说角 alpha 小 于九十度，大于零度，那 alpha 在 什么位置无所谓， 那区域角呢？是从中边所处位置去定义的，它是有图形属性的。 比如说有个角的中边在第一象限，那这个角就被称为第一象限区域类的角。 我们写角的范围的时候，我们通常是左边写比较小的角度，右边写大的角度。所以我们分析区域角构成的时候，我们总是逆时针旋转，因为逆时针旋转是加上一个正角，是变大。 我们来看第一项线角，第一项线角是中边落在第一项线区域内的所有的角，就是中边在 o a 和 o b 之间的角， 那我们可以理解成中边从 o a 逆时针旋转到 o b， 但是不包含 o a， 也不包含 o b， 所以 我们先写个角 alpha， 它从 o a 出发，所以 alpha 要大于零度， 它中边不能到 o b， 所以 小于九十度， 再加上旋转负弦的量，所以两边都要加上三百六十度乘以 k， k 是 属于 z 的。 那第二象限角呢？就是中边落在 o b 和 o c 之间的角 触角， alpha 是 小于一百八十度大于九十度的，再加上旋转负弦的量，就两边加上三百六十度乘以 k， 那 第三象限的角就是中边落在 o c 和 o d 之间的角， 那角阿法角小于两百七十度，加上三百六十度乘以 k 大 于一百八十度，加上三百六十度乘以 k， 那 第四象限区域角，就中边落在 o d 和 o a 之间的角， 那阿法就要大于两百七十度加三百六十度乘以 k， 那 这是 o d 中边所对的角，那它还要小于 o a 中边所对的角， 那 o a 中边所对的角，我是写零度加三百六十度乘以 k 呢？ 那同学们注意，此时有个规定，就是 k 的 取值具有一致性，就是说阿尔这个不等式的，左边的 k 和右边的 k 要取同一个数值， 如果 k 取零的话，那零度加三百六十度乘以 k 的 情况就变成了 alpha。 小 与零度大于两百七十度，这明显是不对的， 所以我们只能写 f。 大 于两百七十度加三百六十度乘以 k。 小 于三百六十度加三百六十度乘以 k， 但 k 属于 z。 还有一点我们需要注意，就是区域是否包含边界。 我们这里四个象限内的角是不能包含边界的，所以我们写的都是大于号和小于号。 但是如果要包含区域边界，我们就要写大宇等宇或者小宇等宇，就要带上等号了。我们看个例题，如图中边落在阴影部分，含边界的角的极合适。 阴影部分我可以理解成从 o a 逆时针旋转到 o b， 所以阿尔角小与 o b 中边所对的角是一百二十度之初值。角大于 o a 中边所对的角，我们是写负四十五度 还是写三百一十五度啊？那我们要保证不等号成立，我们肯定不能写三百一十五度了吧？我们只能写负四十五度， 所以 alpha 就 小于一百二十度加上三百六十度乘以 k， 那 左边是负四十五度加上三百六十度乘以 k， 这样对吗？这样不对，因为题目中说了含边界，所以 alpha 要小于等于，要大于等于，要把等号要带上。好，同学们一定要细心。 接下来我们讲弧度值。弧度值和角度值一样，都是角的计量单位值表达方式不一样，类比一下，立方、厘米和毫升都是体积的计量单位值表达方式不同， 那角度值是怎么定义的？周角是三百六十度，我把它分成三百六十份，那每一份就是一度。那对于弧度值，如果圆弧的长度是 l， 半径是 r， 如果 l 等于 r， 也就是说弧长和半径相等的话，此时圆弧所对的圆形角，我们就说它等于一弧度。 弧度的单位是 r a d 读 read。 但是我们在写弧度的时候，我们可以省略这个 r a d， 直接写数字表示弧度。 那弧长如果是任意的 l， 那 它对应的圆形角是多少弧度呢？我们就要看 l 里面有多少个 r 了吧。 所以弧度大小阿尔就等于 l 比上 r， 那 l 如果是一个 r， 那 所对的原形角就是一弧度。那如果 l 是 两个 r 的 长度，那所对的原形角就是两弧度。 弧度制也只是计量单位，所以也会因为角的旋转而有正负之分。逆时针旋转就是正弧度，顺时针旋转就是负的弧度，不旋转就是零弧度。 而 l 和 r 都是长度，都是正的。因此为了严谨，我们写绝对值 r 法。等于 l 比上 r 表示数值相等， 那整个圆的弧长就是圆的周长。 l 等于 r pi r， 所以 l 比上 r 就等于二 pi， 也就是说整个圆的圆心角的弧度是二 pi， 那 整个圆所对的圆心角又是三百六十度， 所以二 pi 弧度就等于三百六十度，也就是说 pi 弧度等于一百八十度。 这是我们进行弧度制和角度制单位换算的理论依据。接下来我们看例题，弧度制与角度制的转换，我们的理论依据就是 pi 弧度等于一百八十度， 那 n 度的角就等于 n 除以一百八乘以 pi 弧度就是看 n 度的角里面有多少个。一百八十度， 那 alpha 弧度就等于 alpha 除以 pi 乘以一百八十度，就是看 alpha 弧度里面有多少个 pi， 那 零度的角就是零。弧度十五度的角就是十五除以一百八十再乘以 pi 等于十二分之 pi， 那同理。三十度角就是六分之派，四十五度角就是四分之派，六十度角就是三分之五。派七十五度角就是十二分之 派一百二十度角就是三分之二。派 一百三十五度角就是四分之三 pi 一 百五十度角就是六分之五 pi 一 百八十度角就是 pi。 接下来我们看负两百一十度加 k 乘以三百六十度，把它转换成弧度值，那就是负两百一十除以一百八十 乘以 pi 加上 k 乘以 r pi， 那 就等于负的六分之七 pi 加 r k， pi， k 是 属于 z 的。 这时候我们要注意，表示角的集合的时候，角度值和弧度值不可以混用。比如说这里我们就不能写负六分之七 pi 加上 r k 乘以一百八十度，这样写是不行的， 你要么都用角度指，要么都用弧度指，不可以混用来看下一个。三百一十五度加 k 乘以三百六十度，那 k 属于 z， 那就是三百一十五。比上一百八十乘以 pi 加上 k 乘以 r， pi 等于四分之七 pi 加 r k， pi， 那 k 属于 z， 那 下一个负二加 k 乘以 r pi， 那 这就是把弧度值转化成角度值。 那负二里面有多少个 pi 呢？就是负二除以 pi， 然后再乘以一百八十度，因为每个 pi 是 一百八十度，再加上 k 乘以三百六十度。 如果 pi 近似取三点一四的话，那这个式子就约等于负。一百一十五度，加上 k 乘以三百六十度， k 属于 z， 那 接下来是十八分之五 pi 加 k 乘以二 pi， 那 我直接把 pi 等于一百八十度带进去， 那就得到十八分之五乘以一百八十度，加上 k 乘以三百六十度等于五十度，加上 k 乘以三百六十度，那 k 是 属于 z 的。 我们来看一下角度制与弧度制的对比。首先，角度制，弧度制它的作用都是用来度量角的，那角度制和弧度制都是分方向的，逆时针旋转就是正角和正弧度，顺时针旋转就是负角和负弧度。 那角度值的单位是小圈，而且不可以省略。弧度值单位是 r a d， 它是可以省略的。角度值是六十帧度，分秒弧度值是十帧值。 同学们，我们想实数也是实进制，而且弧度的计算就是弧长除以半径， 弧长和半径都是实数，那它俩相除所得到的弧度的值也可以理解成一个实数，那由此，一个正的角度就对应一个正的弧度， 正的弧度就对应一个正的实数。正实数的数字就等于弧度的数值，而负的角度就对应负的弧度对应一个负的实数。 菱角对应的是零，弧度对应数字零，所以通过弧度指，我们就建立起来了角度和数字的一对应关系。 比如说一百八十度，它就对应的是 pi， pi 就 对应的数字三点一四省略。这种对应的好处就是，以前我们在写三角函数的时候，我们写 sine 九十度，那现在我们就写 sine 二分之 pi， 那这样自变量就变成了二分之派，那因变量就是三角函数的数值，这就更加严谨的符合函数的定义，函数是两个非空数集之间的对应关系。 那第二个好处就是可以帮助我们简化运算，那角度值是六十净值单位换算比较麻烦，那弧度值和实数都是实净值，计算起来就比较简单。 大家以后在大学数学里面学微积分这门课的时候，还会发现使用弧度值带来的更多的便利。那待会呢，我们会给大家举扇形的弧长和面积公式来说明弧度值运算带来的便利。 好，那我们从弧度值的角度看一下扇形的弧长公式与面积公式。我们用弧度值的方式证明一下，扇形的圆心角是 alpha， 弧长是 l， 半径是 r， 那 由弧度的定义，我们知道 绝对值 alpha 等于 l 比上 r， 我 们这里把 alpha 带个绝对值， 因为圆心角可能是负的，我们要用正的数值来进行计算，所以我们就能得到 l 等于绝对值 alpha 乘以 r。 那 扇形的面积公式呢？我们怎么证明呢？ 初中的时候我们就学过，扇形的面积和整个圆的面积的比例，就等于扇形所对圆心角和整个圆的圆心角的比例， 也就是 s 比上帕尔平方，那 s 是 扇形的面积，帕尔平方是整个圆的面积，等于 alpha 的 绝对值。比上 r pi， 那 alpha 的 绝对值是扇形的圆形角 r， pi 是 整个圆的圆形角， 那我们就得到 s 等于二分之一，乘以绝对值 alpha 再乘以 r 平方， 那绝对值 alpha 乘以 r 就 等于弧长 l。 所以 扇形面积 s 也可以等于二分之一，乘以 l 乘以 r。 我 们对比一下使用角度值和使用弧度值两种方式下的弧长公式和面积公式。我们会发现，弧度值明显让公式变得更简单了。 而且角度之下的弧度公式，那绝对值 n， 我 们就表示圆心角的角度 n 再除以一百八，再乘以 pi， 正好就是弧度 alpha 的 绝对值，那角度之下的面积公式绝对值 n 除以三百六，再乘以 pi， 正好就是弧度之下的二分之一 alpha 绝对值， 也就是角度单位的互换。好，我们看个例题，已知扇形的周长是四，面积是一，则该扇形的圆心角是多少？那 a、 b、 c、 d 四个都是弧度。 我们画个扇形，半径是 r， 弧长是 l， 扇形的周长是四，也就是 r 加上 l 等于四，扇形的面积是一，也就是二分之一 l， r 等于一， 那我们就能解出来， r 等于一， l 等于二。 那扇形的圆形角阿尔法，它的绝对值就等于 l， 比上 r 等于二，比一等于 r。 所以 这道题选 b， 同学们有没有发现，用弧度制，我们的运算便简单了很多。 好，本节课内容就到此结束，我们下节课再见。

来，这个题，不会的，先罚站十分钟，罚你站着停啊。来看题，如图，锐角三角形 a、 b、 c 中以 b、 c 为直径的半圆 o 以 b、 c 为直径来，又出现了，直径，又出现了， 那直径。在我们三角函数题，这是一个三角函数题，来看题目， cosine 角 b、 a、 c 的 值，是不是一个三角函数题啊？这个问题很明显就告诉我们，这是一个三角函数题，那三角函数题目中的直径，上节课我们讲了，还不会 啊，直径是干嘛用的？一般都是用来做直角三角形的吧。来，继续， 这都没用，交交点都没用。来看面积，三角形 a、 d、 e 的 面积和四边形的面积之比是一比二，来，面积之比是干嘛用的？来这个地方我们学什么时候学过？是不是学相似比的时候才有面积比？ 是不是？那我们告诉我们面积比，实际上是为了告诉我们什么？我们要知道这个条件怎么用啊，是不是？那这个面积比怎么用啊？面积比是一比二， 那告诉我们面积比，实际上是为了告诉我们相似比啊， 是不是？但是这个三角形和这个四面形相似吗？那肯定不相似，那实际上我们看图就知道了，实际上是这个三角形 a、 d、 e 和三角形 a、 c、 b 相似吧，对不对？它们两个相似，那它们两个相似，但是呢，它只给了我们面积比， 我们怎么知道他俩相似的？我们是不是要证明一下啊？所以这个题的第一个难点出现了，我们不会证明 这两个三角形相似，是不是？是不是？你来继续？还有一个难点就是在这里，这个直径不会用，但是呢，我上节给你讲过一个类似的题了，这个直径是怎么用的？ 是不是直径所对的圆周角是直角，所以通过这个直径我们可以勾到直角三角形，是不是？所以我们这里来，我们看直径 b、 c 怎么勾到直角三角形？第一个，我们可不可以连接 c、 d？ 或者我们可不可以连接 b、 e 啊？这个对于这个题来讲都是一样的，我们连接一个就可以了。来连接出 c、 d 来之后，角 bc 是 不是九十度？ 那你看直角三角形是不是出现了？而如果让我们求角 b、 a、 c， 也就是角 a 的 cosine 值，也就等于 a、 d 比 a、 c 吧，而 a、 d 比 a、 c， 是 不是就是这两个三角形呢？相似比来对应边 a、 d、 a、 c， 我 特意写成对应边，是不是 好直？直径，现在我们用上了，这个三角形出现了，那这里面积我们怎么正相似呢？这是这个题难点来了，怎么正相似？ 那这个时候就要用上一个我们之前学过的条件了，在哪里学的圆？那这个地方为什么有的同学不会啊？是因为它圆的基础没打好，你看 b、 d、 e、 c， 这是个什么四边形？ 这是个圆内接四边形吧，圆内接四边形有什么性质呢？ 对角相等，所以我们得到角 b、 d、 e 就 等于，哎，不对，等于角加角 b、 c、 e 等于一百八十度吧，对不对？而我们还知道 角 b、 d、 e 还加谁等于一百二十度啊？角 b、 d、 e 是 不是还加角 a、 d、 e 等于一百八十度啊？来角 b、 d、 e 加角 a、 d、 e 等于一百八十度。来看，这两个式子 同角的补角相等，这也是我们学过的吧，所以角 a、 d、 e 等于角 b、 c、 e 吧。啊，所以角 a、 d、 e 等于角 b、 c、 e。 哎，这两个角相等，加上他们有个公共角，是不是两个三角形相似了？ 来，这两个三角形相似之后，它们的相似比等于多少？我们只知道面积比。来这两个三角形，首先它们的面积比等于多少啊？ 来，三角形的面积是一，四边形的面积是二。我们假设一下，三角形的面积是一份，四边形的面积是两份，这是我教给我学生们的，看到比例按照分数去做 啊，这是占一份，这是占两份，所以大三角形的面积占几分？占三份，所以这两个三角形的面积之比是 一比三吧，对不对？面积之比是一比三。那相似比呢？ 也就是开根号吧，开根号我们要分别开根号，也就是一比根号三吧， 所以我们就得到了来相似比，也就是对应边的比，这都是知识点啊。所以 a、 d 比 a、 c 就是 一比，刚好三吧，来，也就是三分之刚好三。所以这个题选 d 一 点也不难，一定要把它拿下。

大家好，我们一起来看一下这样一道三角函数零点的问题啊，那么像这类题型是很多同学觉得特别头疼的问题，其实三角函数的题目就是给出的条件比较多，有一些复杂，但是不难，我们一起看一下这道题。 已知函数 f x 等于 signing amiga x 加上 five， 那么给出 amiga 和 five 的取值条件， f x 小于等于 f 四分之派横成立，且 fx 在区间零到四分之派上恰有两个零点，那么问 amiga 的取值范围， 那么这个题我们就按照题目给出的条件，用拆题法的思路来解的话，解三角函数我们一步一步的拆解啊。首先我们看题目给出的第一个条件，给定的这个函数 f x 等于三引 omega x 加上 five 啊，那么 且说他在零到四分之派这个区间上有两个零点，那我们就考虑这个函数在零到四分之派上的性质。逢时这一类的题，我们一般上来就是将这个括号里头当做一个整体，给他做一步换元，我们令 t 等于 omega x 加上范， 因为换圆之后，他的图像就是三角函数的基本图像，到时候在处理图像问题中会简单很多。做了这一步换圆之后，那么 x 在零到四分之派上，那么 t 的取值范围就是在 fi 和 fi 加四分之派欧米伽这个范围，这就是 t 的取值范围，这是第一条， 那么第二条我们看就是题目给出的 f x 小于等于 f 四分之派横成立，那么这个第二条性质，那么也就是说这个函数头像 f x 要 在取最大值的时候，他应该是小于等于 f 四分之派，他就是在四分之派这个点上取到最大值，这是第二条信息。 那么第三条信息，题目说 f x 在零到四分之半上恰有两个零点，那我们看换圆后的这个图形如何将这句话表示出来。如果令换圆后的函数为三引 t 的话，这个正选函数很容易画出来， 因为 t 属于 fit 四分之派，那么它这个零点呢？取不到，我们将它画出来正旋图画，在这里看看。根据题目给出的条件，我们任意取一点 fi， 因为题目给出的条件是 fi 是零到派， fi 取这个值的话，这是零，也是 t， 这是 y， 那么 f x 在零到四分之派上恰有两个零点，反映在这个图上，它的两个零点就只能在这个右 右边渠道，就是这两个点是 fx 的零点，那么这两个点的值是多少？也就是派和二派这两个零点。那么题目给出的这个信息， fx 很小于 f 四分之派，那么 f 四分之派在哪里？就是取最大值的时候，应该在这个点 这个点取到最大值，也就是二分之五派的这个点取到最大的值。所以我们再来分析这个 t 的取值范围，也就是 omegax 加上 five， 它大于零。因为题目说 fx 在零到四分之派上恰有两个零点， 所以 omega x 加上 five 是大于零，这里看恰有两个零点，他就不能到这里。如果是到了三派这个点的话，那么就有三个零点了。所以 omega x 加 five 的取值范围是零到三派之间。这是题目给出的这个信息得出的 条件，他是在零到三派之间，那么零到三派之间，他的最大值是在二分之五派的这个地方，也就是说 omega， x 加上 five 等于二分之五派的时候 取最大值，它的最大值点是在哪里？也就是当 x 取四分之派的时候，因为题目给出的信息吗， fx 横小于 f 四分之派，也就是当 x 取四分之派的时候啊，这里是写二分之五派啊， 也就是当 x 取四分之派的时候，四分之派欧米伽加上饭是等于二分之五派， 那么所以 fi 用欧米伽表示出来，他是等于二分之五派，减去四分之派欧米伽， 那么我们同时又知道 fi 是大于零小于派的，我们就将这个式子带入二分之五派，减去四分之派。欧米港 大于零小于派啊。那么解这个不等式很容易求得。欧米伽属于六到十对应的四个选项也是这个题，最后选 a， 这个题倒是就解完了。回头我们看一下像这一类三角函数的零点问题，题目给出的信息相对来说比较多，那我们用拆贴法的思路就是将题目给出的已知条件一条一条表示出来啊。 那么逢这一类函数，我们首先是要给他做一部换元，将这个括号里头当做一个整体，这样就将函数的图像回归到最基本的三角函数，图像 处理会非常方便。那么再根据题目给出的已知信息，一条一条的拆解三角函数的有界性，他取最大值的时候在哪个点上？那么再根据头像的周期性，我们分析零点的个数，从而确定这个函数次变量最终的取值范围，根据取值范围从而求出 omega 的范围， 这是这类题基本的解题思路。将题目读完，分析信息的时候稍微有些复杂，但是不难啊。三角函数的题经常会这样，最多的能分到六个点。好，这个题要讲到这里，关注我，做更少的题，题更多的分。