山东会考立体几何题怎么做

每天一道好题，为高考加油！今天我分享的是一道立体几何的题目， 近期讲的导数题角度啊，未适应不同层次的学生的需要。我今天讲一下这个第十八题次要素题，这个立体几何。好，我们来看一下。这个题目呢，也是相当有难度的， 三棱锥 p a， b， c， d， e 分 别是中点，我们看好了 d， e 是 中点， f 是 ab 上一点，然后呢， b f 等于二倍的 af， 也就是说 f 是 一个三等分点。 第一问，证明 pe 平行于平面， cdf 证明线面平行，肯定是想到的线面平行的判定定律，得从平面内找一条线和这个 pe 平行，找哪条线呢？ 这个呀，我们可以从问题的反方面去考虑，如果这个线面平行，这肯定是对的，因为要证明他吗？我们从这个以这这个结论上，如果这个线和这个面要平行， 那么我们知道根据线面平行的性质定离过这个线的平面与这个平面相交的话，那这条线和交线平行， 那显然这里边这个 p a， e 这个线，这个面是过 p e 的 吧？它与 c、 d， f 是 不是应该有交线呢？这个交线，你看我们把 a e 和 c、 f 的 交点，比如记作 g， 那这个 g， d 不 就是 pa e 与平面 c， d， f 的 交线吗？所以我要证明这个 p p e 平行于 c， d， f 的 话，肯定就是证明 p e 平行于 g、 d 就 可以， 对吧？而这里边我们在分析，我要证明 pe 平行于 g， d， d 是 a pa 的 终点，那显然这个 g 就 应该是 a， e 的 终点， 所以我要能够证明 g 是 a， e 的 终点，那不就得到了这个 g、 d 就 平行于 pe 了吗？ 那么怎么证明既是 a e 的 终点？这就是我们首先要解决的问题。这个图形中啊，我们不太得看，可以这样去考虑。你比如说我把这个三角形给它拿出来啊，随意一个三角形，它没说是等边的啊。第一问，用不上 f 是 一个三等分点，你这个 e 呢？它是一个中点，如何证明这里边这个焦点记是 a e 的 中点呢？这就是一个纯粹的平面几何问题。 证明终点，终点有什么结论呢？终点就得想到一些中位线呢，我们这样的话，就得利用平面几何知识，我们可以考虑什么呢？做平行线，你比方说这个 e 是 终点，我要做一个 c， 呃，做一个 e h 要平行于 ab 呢？ e h 要平行于 ab 的 话，那么 e 是 bc 终点，那 h 就 应该是 e c 终点，对吧？这样的话，这个 e h 就 应该是一个也是中位线，所以这个 e h 它就得啥呢？等于二分之一倍的 e b 对不对？而这个 e 啊，这是 f b 啊，写错了，这是 f b， 这个 f b 又是什么呢？ f b 又等于二倍的 f b 又等于二倍的这个 af， 所以 二分之一 f b 不 就等于 af 了吗？所以这样的话， e h 就 等于 af， 而 e h 又和 af 又是平行的呀，所以这个 a g 就 等于 g e， 这就出来了，所以 g 就 一定是 a e 的 终点，从而 g d 就 平行于 p e。 好 了，找到了线线平行，就有了线面平行。这个详细的过程呢，我就不再写了，我们重点来分析这个第二问。第二问呢，我们看是个什么样的题？ 底面 a b c 是 边乘为七的等边三角形，下面说了，这是个等边的， p 点到底面的距离是二分之七， p 点到底面的距离我们先记着，这是二分之七点， p 在 底面 a、 b、 c 上的摄影恰好在线段 c、 f 上， p 点在底面的摄影在线段 c、 f 上，而且 p 点到底面距离是二分之七，你想象这是个什么样的点？ 这个点显然是一个动点，因为 p 点到底面的距离虽说固定，但是 p 点到底面的摄影是在 c f 这个线段上，也就是说 p 点可以动，所以这个三棱锥，这个 p 点呢，它可以在这个横线上随便动。 好了，第一问，让我们求二面角 p c f d 它的正切值， p c f 这个面正切值 这样的问题怎么处理？我们做的最多的现在就是空间向量坐标法，我这个题还是讲坐标法， 因为这几年的高考趋向于用向量问题来解决立体几何问题，所以呢，我们就提倡用坐标法了吧。首先用坐标法的话，第一个要考虑的就是如何建坐标系， 如何建坐标系，这里边虽说有 pfc 啊， p 点在底面的摄影当然说在 cf 上，那这 pfc 肯定是垂直于底面的，那你竖轴能建在这吗？ 不合适，因为你竖轴建在这的话，你将来这个横坐标纵坐标不太好找，对不对？你竖轴建哪啊？你建这 建在 c f 的 中点显然不合适，所以这里面没有我们所谓的竖轴的位置，而且横轴纵轴呢，也没有太明显的这个垂直关系。所以这个题啊，坐标系我们就可以大胆的这样去建。怎么建呢？我就以 a 为顶点， 这个 a 这底面是一个等边三角形，我就以 a 为圆点，这样为 y 轴，这样为 z 轴去建立空间直角坐标系， 这样的话，这个 x 轴就和这个 b 点，哎，这这个高线它现在是平行的啊。 b 点在 a、 c 上的高线是平行的，我们就这样去建。 这样建完坐标系以后，下边我们要想的任务就是干什么呢？找点子坐标。所以这个这样的题啊，你一定要思路清洗，先建坐标系，你如何建？做题更方便。第二一个如何找坐标？ 我们要找先想一想找哪些点，我要找 p、 c、 f、 d 这四个点，哎呀，找这个二面角的正确，我得找这四个点的坐标。这四个点首先我们看看好不好找。 首先 c 点和 f 点，这是好找的，为啥？因为它底面是一个等边三角形，我们可以给它画成一个等边三角形，这是 a 点，这是 b 点，这是 c 点。 f 点是一个三等分点啊， f 点是一个三等分点，我们看一下，这样剪完坐标系以后，过程我就略写了啊。 首先第一个要找的 c 点坐标，这就好办了， c 点在 y 轴上，横坐标是零，边长是七，所以 c 点的纵坐标是七，数字标还是零，我先把好找的找出来。然后这个 f 点呢？ f 点也不难找，因为啥呢？你看我如果用 b 点这样做个垂线的话， 你这是 x 轴，我们先写一下，这是 y 轴，你 b 点做一个垂线的话，这个高线我们是好找的。这个高线就是边长的二分之根号三倍，二分之根三乘七，而这个 f 点到外轴的这段距离就应该是这个高的三分之一， 这样的话， f 点的这样的横坐标就出来了，所以 f 点的横坐标就是六分之七倍，根三， 就这个数六分之七被杠上，然后这个纵坐标呢？纵坐标就是这一段的长度，这一段长度是多少呢？是整个这个这一段的三分之一，是整个 a c 的 六分之一，所以这个纵坐标就是六分之七，竖坐标是零。 好， c 点、 f 点找到了，下面我们就得找这个 p 点和 d 点，这个 p 点又怎么分析？ 首先我们要明确一点，你看 p 点是怎么个事啊？ p 点到底面的距离是二分之根七， p 点到底面距离是二分之根七，是不是 p 点的竖坐标就确定了呀？ p 点在底面的摄影恰好在线段 c、 f 上，也就意味着 p 点的横坐标、纵坐标与它在地面的摄影的横坐标、纵坐标是一样的。所以我们就哎，我们再把这个整边三角形再画出来，我们还得找这个 c f 上的点 a 点 b 点 c 点这个 c f 上的点他的横坐标。你比如这就是屁撇，就是那摄影你把屁撇点的横坐标、纵坐标确定了，那屁点的横坐标、纵坐标也就确定了。但是屁撇点是一个动点呢？你怎么求？ 这个动点的话，我们就可以采用设未知数的方式来表达。这个屁点坐标怎么设呢？ 这个如果看成平面直角坐标系的话，当然可以求出直线 c f 的 方程来，但这样的话，这个题预算量稍大一点，我就不采用那个范了，我采用什么呢？我采用这个，你比方说我把 p 点一个坐标，横坐标、矮横坐标给它设出来，那纵坐标显然跟这个横坐标是相关的， 怎么表达呢？我可以求这个角 a、 c、 f 的 正切，哎，我们先算一下 a、 c、 f 的 正切， a、 c、 f 的 正切，我们可以用这个 f 点来表达。那不就是这段长比上这段长，这段长就是 f 点的横坐标， f 点的横坐标就是六分之七倍根三。然后这段长呢？这段长，这段长就是这个 a、 c 的 长减去这段长，这段长就是 f 的 纵坐标， a、 c 的 长是七，所以减去六分之七， 那就是他的中作表。我们算一下，七减六分之七，七十六，七四十二，四十二减七，下边分母上，所以是六分之三十五，六分之三十五，上面还有个六分之七倍根三，你除以他等于乘以他一倒数，你把六的消掉了，这个五消掉个七，是，所以这个等于五分之根三。 好，正切值有了以后干啥呢？我可以设这个屁撇点，我就直接设屁点吧。这个屁点，比方说横坐标设成 a， 这个屁撇点的横坐标就是 a， 也就是这段长就是这个横坐标，因为这是 x 轴，这个横坐标是 a 的 话，横坐标比上这段不就是 正切值吗？所以这个正切值我们先在这计算一下啊，这个 a 比上这一段是多少呢？这一段就是七减去啊，你看这段是 a， 这段是。呃，纵坐标这段，比如说设成 x 吧，哎，七减 x， 哎，不对不对，这个屁撇点的纵坐标，屁撇点的纵坐标应该设成 x， 所以 这段就是七减 x， 所以 这个 a 比上七减 x， 就 等于五分之三，五分之根三。所以我们把这个我看啊，屁撇点 啊，对，我们把这个 x 解出来，哎，不不不，就这个，咱就设成 y 啊，因为这个涉及到的是这个纵作表，这个 y 七减 y， 这段就是那个 y 屁点屁撇点的纵作表啊，这个是横作表，这是 x， 那 么这个七减 y 就是 这个这段长，这段长，所以 a 比上它就是正切值。下边我们写这个 y， 那 这个七减 y 给它除过，乘过来，也就乘以根三分之五吧，根三分之五， 然后这个 y 呢，就等于七减去根三分之五位的 a， 所以 这个纵坐标也就有了，所以 p 点的纵坐标就是七减去根三分之根，根三， 根三分之五 a， 我 这个就这么带着根号了啊，根三分之五 a， 这就是 p 点的横坐标和纵坐标，那么它的竖坐标是多少呢？就是二分之七，因为 p 点到底面的距离是固定的， 这就是二分之七。好了， p 点有了以后，这个 d 点实际上也就出来了，因为 d 是 p， a 的 中点，而 a 是 原点，所以 d 点应该是 p 点的纵，这个坐标除二， 所以这个地点坐标我们也就跟着出来了，也就是二分之 a， 二分之七减去二倍，根三分之五 a， 然后那个就是四分之七，这块我擦一下吧，这块我擦一下， 这个就是四分之七。好， d 点有了以后，那么下面我们看，四个点我们都找到了，我要找二面角，是不是开始找发向量了？好，我们先找这个 c、 f、 c、 d， c、 d 这个面的发向量， 那么先找这个 c、 d， f 面的发向量，我先找 c、 f、 c、 d 这两个向量，那就是 f 点减 c 点， f 点呢？这个是在这了， f 点减 c， 我 就直接写了，它就是六分之七倍根三，然后六分之七减七，六分之七减七是六分之四十二，所以这是负的六分之三十五， 然后呢，这个纵坐标就是零，然后再找这个 c、 d 这个向量， c、 d 这个向量呢，就是 d 点减 c 点，那这个就是二分之 a， 然后这个是二分之七减七就是负的 啊，负二分之七呗，减去二倍根三分之五 a， 然后四分之七再减零，这就是 c、 d、 c、 f 这两向量。下边我们就可以设平面，设平面 c、 d、 f 的 法向量 啊，我们就可以给它设成 m 坐标呢，记作 x、 y、 z， 这个取呢误差率有点大，我们看一下啊。那么根据 c、 f 乘以 m 应该得零， 那就是六分之七倍根三， x 减去六分之三十五倍的 y 应该得零， 对吧？然后呢， c、 d 乘以 m 也应该得零，那就是二分之 a 倍的 x 减去二分之七，我加个小括号吧，加上二倍跟三分之五倍的 a 倍的 y， 加上四分之七倍的 z 等于零。 好，下面我们就开始取这个坐标，一个是六分之七倍根三， x 减去六分之三十五 y 下面分母上正好等于都有这个啥都有六，我比方说我就令这个 x 得一吧，我们看这个 x 要得一的话， 那这个就等他了，对不对？等于他的话六，消掉你这个三十五和这个七，可以消掉个七，这是个五，所以这个 y 就 等于五分之根散 好， x 得 y 得五分之根三，我们在下边带住下边，这是二分之 a 减去二分之七，加上二倍根三分之五倍的 a， 这个得乘以五分之根三， 对等，加上四分之七倍的 z 等于零，我们去解这个 z， 把这个算一下，这个二分之 a 减去这个乘一下，是十分之七倍根三， 这俩一乘的话，根三消掉五，消掉这个正好减二分之 a， 加四分之七倍的 z 等于零，这两个都消掉了，所以就是四分之七 z 就 等于这坨，然后七消掉四，消掉个二，这个应该是 z 等于五分之二的根三， 嗯，这是等于五分之二倍根号三好， x y z 我 们都求出来以后，法向量也就有了。下面呢，我们再找另一个平面，这里边啊，就得讲究一个技巧了，这个法向量 m 先写出来，就是 e， 五分之根三，五分之二倍根三， 那么另一个面的法向量，你如果再求这个 p c f 面的法向量的话，这个运算量就超大了，因为你这个 p 点也不是个好数，是吧？ 所以这个题考虑啥呢？因为这个 p 点在底面的摄影在 c f 上，也就是 p f c 和底面是垂直的，所以这个 p f c 这个面和 d f c 这个面的夹角与这个 d f c 与 a f c 夹角正好是互余，所以我找 d f c a 这个二面角里 这个大小就可以了。所以我下面呢，找平面 abc 的 法向量。平面 abc 法向量， 那平面 abc 的 法向量肯定，这，这就可就是零零 e 呗。我们设成 n， 它就是零零 e， 因为它就是树轴啊，在底面上，所以我求这个 m n 的 夹角的余弦。 好，这个 m n 加角的余弦。我们算一下，上面这两个 m 乘 n 的 话，乘零就没了，就等于五分之二倍根三。下面就是算它俩的模， n 的 模就是 e， 主要是算这个 m 的 模， m 的 模就是 e， 加上二十五分之三，这个 e 平方是二十五分之二，得四三四一十二。好，我们算一下，下面是二十五分之二十五加三，再加十二， 这是十五加二十五，四十二十五分之四十，就是五分之八。所以下边这个分母就是根号下五分之八，根号下五分之八。我们算一下，五分之二倍根三除以根号下五分之八，也就是乘以根号八分之五， 根号八分之根号五，这个根号八就是二倍根号二，所以我把这个二可以约掉，这个根号五和这个根号五能约掉，所以这个剩的根号五乘根号二分之三，也就是根号十分之根号三，我们就找到了这个余弦值。 而这个题大家再注意，他求的是正切值，所以下一步我们还得算一下正切，这个就好办了。 这个角，比方说这个角 c， 它的余弦值是根号三比根号十，我这个是根三，这个是根号十，那这个对边就是根号七，所以这个 tangent， 这个角 m、 n 加角的余弦值，呃，正切值就等于根号七比根号三。 好了，这个角的正切值有了，那就说明啥呢？说明，哎，根据这个角 p， 呃，也就是 p、 f、 c、 d 正切值，它是根号三分之，根号 c 啊，不，不，那个 d、 f、 c、 a 啊， 这会因为这个角二面角啊，这个 d、 f、 c、 a 与哪个呢？ 这个 p、 f、 c、 d 是 互余啊，所以就说明这个，这，这，这个，这是哪根的角啊？这个 p、 f、 c、 d， 它的 这个角的正切值啊，正切值就应该是啥呢？就应该是这个正切值的倒数啊，它的正切值就等于根号七分之根号三，也就是七分之根号角二十 e 吧。 好了，我这个就简单说到这，这个题啊，预存量有点大啊，这只是第二小问，第二小问的第一小问，我们下边看这个第二小问， 这个第二小问呢？他就模仿了今年的新高考一卷的高考题， p a c e 所有顶点在一个球面上，求该球表面积的最小值。 p a c e 这个外接球，我们要找球的表面积，肯定得找球心，因为有了球心才能找到半径，有了半径才能去计算这个表面积，才能要你的最小值。 这个外接球问题其实十几年前就一直在考，只不过从去年，从二零二五年新高考一卷，把它搬到了解答题上，又引起了一个新的重视，解答题的出现了，其实这个东西并不难， 你想一想， p a c e 三棱锥的外接球怎么找？这个 a e c 显然这是一个直角三角形，因为它是个等边三角形，所以这个 a e 是 垂直于 b c 的。 这个直角三角形的外心肯定是 a c 的 中点，那么球心与这个外心的连线一定垂直于 a e c， 所以球心肯定在这条线上，对不对？那么我们只需要把这个球心给它设出来就行了。这个 a c 的 中点，显然这个横坐标是零，纵坐标是二分之七，所以这个球心它的竖坐标给它设出来就可以了。 好了，这里边过程我就不严格的写了，简单说一下，那么这个球心呢，我们就可以给它设成什么呢？设成零二分之七， 然后就是 t 球心给它记作 o 吧，然后我们要表达这个半径，那怎么才能表达这是球心呢？因为这个球心 o 肯定到 a 点， c 点， e 点，一定距离相等了，所以只要保证球心到 p 点，距离也跟它们相等，所以只需要 o p 等于 o a 就 可以， 对不对？好，下步我们就分析，你要想这个是球心，那只需要满足 o a 等于 o p 就 可以，而这个 a 是 原点好表达， o a 等于 o p 的 话，我们下边啊计算这个这个平放就行了，因为这个代的根号不好算， o a 方等于 o p 放 o a 方，那就是 这就是二分之七的平方，四分之四十九加上梯放，而这个 o p 放呢？我们看这个 p 点是啥？ p 点在这是 a 七分之根三减五，我先把 p 点写上是 a 七减根三分之五 a， 我 看啊，然后是二分之七， 好了，这个那个是二分之七，那么 p o 的 平方，那就是 a 方，然后减去纵坐标，是七减二分之七还是，嗯，二分之，还是 这个七减二分之七，二分之四，也就是二分之七减去根三分之五倍的 a 的 平放，然后再加上二分之七减 t 的 平放。好了，我们就看到 我们继续往下算，这个题确实蕴算力有点大，好了，下面我们给它算一下右边这个平方展开 a 一 方，这个就是七七二二得四七七四十九， 然后减去二 a b， 这个就是根号下三分之五七三十五 a， 然后加上根三分之五 a 的 平方，就是三分之二十五 a 放后边这个二分之七的平方，还是四分之四十九，然后减二 a b 就是 减七 t 加上 t 放。 这样一展开以后，我们看左右两边就开始笑，这个四分之四十九跟他相于一起，这个 t 方跟他也笑掉，所以右边就出现了个七 t， 我 们把它写出来，写到左边来。七 t， 我 们看整理右边，这有个 a 方，这有个三分之二十五 a 方，这就是三分之二十八倍的 a 方， 然后减去一个根三分之，这是三十五 a， 再加上一个四分之四十九。 好，我们就可以把这个 t 变成一个关于 a 的 二次函数。这个 t 呢，大家可以想象一下， t 是 这个 o 点的数值表，你要想 o a 这个 半径最小，面积最小，半径最小，那个 t 就 有最小值，对不对？所以要这个 t 最小，我们就找这个二次函数的最小值就行了呗。二次函数最小值肯定先想到的就是这个对称轴，这里边啊，有一个需要说明一下，这个 a 的 值是有个方位的，因为这个 a 的 值 线点 p 在 底面的投影恰好在线段 c f 上，所以这个 a 的 取值范围它不能超过这个 f 点的竖坐标那个横坐标。所以这里面我们设的这个 a 呀，刚开始没有说这个 a 呢，它是小于等于，嗯，这个 f 点的 横坐标是六分之七倍，根散应该是大于等于零的，因为这个 a 这个 p 点的投影在这个 c 点的话，横坐标就是零了。 好，也就意味着个对称轴必须在这个范围内，我们看这个对称轴是 a 等于负的二， a 分 之 b， 负负为正，就是二乘三分之二十八，上面是根三分之三十五。我们算一下这个对称轴是不是在范围内 上下把三翻上去，那就是二乘二十八，上面是根三分之三十五乘以三，这个根三消掉，这个省个根三三十五和这个能约个七，省个四，这省个五，所以应该是八分之五倍根三， 这个对称轴是八分之五倍根三。我看一下啊，我算的结果是这个八分之五倍根三，他正好是小于六分之七倍根三的，小于六分之七倍根三，所以这时候他这个对称轴是能取到的， 也就是 a 得它的话，这个七 t 应该有最小值。我们下面就是一系列运算，三分之二十八乘以 a 放， a 放就是八分之五倍根三，这个直接平放吧， 八分之五倍根三，就是六十四分之二十五乘三，然后再减去根三分之三十五乘 a， a 是 八分之五倍根三，再加上个四分之九。 我们先算一下这个三和三消掉，这个根三和根三消掉，下边是六十四和，这个能学个四七，上面剩个七，所以下面是十六分之，上面是七乘二十五，减去 这个是八分之三十五乘五。咱先别着急算，它加上四分之四十九，下面我给他通分，这个就是十六分之七乘二十五，减去三十五乘五，再乘个二，也就是乘十吧， 再加上这个是剩个四，四十九乘四。那这个数咋算呢？这个数啊，我教给大家，可以先提供因数，你比方说这个七乘二十五，这个里边三十五乘十，我可以提出一个二十五去 这个生个七，后边提出个二十五，这个生个七，这个生个二，所以这个是负七。七减十四不是负七吗？所以前面这个就是二十五乘负七就是负的二十五乘七，再加上四十九乘四， 这个七和四十九又可以提出个七，提出七以后前面成个负二十五，后边呢？四乘七是二十八，二十八啊啊？四四乘七是二十八，是不是？四乘七？二十八减二十五就是三，所以三七二十一，所以这就是十六分之二十一， 那么这样的话，七 t 等于十六分之二十一，那这个 t 就 等于十六分之几， t 就 等于十六分之三，所以 t 的 七十六分之三时，这个外接球应该有个半径是最小的，面积最小， 懂了吧？所以七 t 等于七分十六分之三的话，我们再求这个半径就可以了。这个 r 放呢？刚才咱们算了，上面在哪呢？在这呢？这个就是 r 放，四分之四十九加 t 放， 所以这个就是四分之四十九，加上十六分之三的平方，这个数字太大了，我就不算了，我找一找啊，我算的结果，这个结果最后 最后的结果是二十二百五十六是三，二百五十六分之三一四五 啊，二百五十六分之三一四五，这个没错，所以这个球的表面就是四派二放在成个四派就中了啊，四派二放在成个四派就应该等于六十四分之三一四五派。好了，咱们今天这个题就讲到这里。

高二高三的同学们，咱们今天拿天津高考的题目我们来看一下，在例题几何这里如何三步全部都用间隙的方式来用，那么我们说如果说间隙，我们在考场当中如何判断我们这个题是用间隙好还是用推导好？首先我们来看一下这个题目，这题首先告诉我们一个正方体， 那么点了一个棱长，那么首先真题思维告诉我们什么正方体棱长，我们要找什么？是不是有垂直？是不是每条边全部相等？ ok， 后面继续有一个终点， 终点是贯穿于 e f， 那 么就相当于我这个 e f 是 不是平行于我的两条边，对不对？是不是这条边和这条边？ ok， 那 么来我们继续看， 那么我们就最后有什么给了一个倍数关系，但是来我们看我们没有平行，没有垂直，我们有的垂直是什么？有的垂直是我们正方体的平行，以及 e f 和正方体边长的平行以及垂直，这是我们已经知道的，但是同学你会发现这个题目的已知真的非常的少， 我们能用的已知就是长度、垂直、平行以及终点还有倍数关系，那么在已知量非常少的情况下，老师推荐干什么？就用间隙，为什么？间隙虽然麻烦，它的麻烦的点在于我们，第一就是我们要先间隙怎样去做直角坐标系，但是这个题它好在了，我们用的是正方体， 正方体间隙是比较容易的。第二就是我们要写一些坐标，我们说写一些坐标的时候，可能我们写在点的时候看错了，所以说我们用什么方法，用三步做题法，三步做题法，详细的可以看我主页的置顶。 ok， 来，我们回归到这个题目， 我们还有一个点是什么？就是计算，所以说在例题几何里面，计算一定是一个非常大的一个重点。来，我们看一下这个题， 这题很明显，我们以 d 点为圆点，分别以 d， a， d， c 和 d， d， e， 我 们分别为 x、 y， z 轴建立空间直角坐标系，那么我们记住这句话一定要写全，而且要写完整。 ok， 每条边都是四，那么我们来写下 b 点， b 点，就是四四零，然后 e 点 二零四， ok， f 点二四四来 g 点零四三。 ok， 来，我们写完这四个点之后，我们来表示一下 e， f 向量， e， f， 我 们知道用后减前，所以说我们后面减，前面就是零四零。我们来继续 e， f， 我 们已经表示完了。之后我们来表示一下 e b 向量， e b 等于多少，还是用后减前，所以说 e b 就是 二四负四。 ok， 来，我们继续 f g 向量， f， g 还是用后减前。来。同学，这里我说一个简单的东西，我们这里先把它写完，就是负二零负一。 ok， 来，我们如果说不知道，我们用 b f， e， g， 因为你想什么，我们 g， f， f， b， e， 所以 说你如果要列点，老师建议你就找它上面所有这些点全部都表示出来，你可以在第一问的时候，就把每一个点就是从 a， 从 a、 b、 c， d， a， e， b， e， c， e， d， e， f， 还有 e， f， 还有 g， 它们每一个点全部都表示出来，那么你后面就可以不用写了，你就写由第一问得，或者是由已知得，那么我们就可以直接用我们的这些坐标，当然同学如果说你嫌他麻烦，你就用什么写什么就可以，但是千万不要忘记写 ok。 来，我们继续表示完这个之后我们找的是什么？ 老师之前说过，如果说在推导方式里面找线面垂直要优先找什么？要优先找线垂直， ok， 线线垂直我们要找什么？是不是要找两条线相交，而且要有交点，并且我这条线，我平面外的这条线垂直于这两条相交的线，分别垂直， ok， 那 么我们才能推导出来，由线线垂直推导出我们的线面垂直。但是现在我们要找什么？我们用的是坐标方式，坐标方式要去证明线面垂直，我们要怎么找？ 是不是我有这条线，我下面有一条面，我这个面和这个线垂直的，我的法向量要和我的这条线要干什么？是不是平行关系啊？所以说我现在应该是去假设我的法向量表示完我的法向量之后，我们 应该干什么？去找平行关系。所以说我们假设一下这个假设，我们的平面 f b e ok， f b e， 我 们的法向量 n 或者向量 m， ok， 我 们写 x y z， 当然你写 abc 也可以， x y z， 那 我们表示 x y z， 我 们把这个向量 m 代入到哪里？分别和 e f 和 e b 来代，因为我们这两个是垂直关系，所以说我们向量 m 是 发行量，发行量和 e f 是 垂直关系，所以说我们就等于四 b 等于零， ok， 我 们直接代入就行。下面也是向量 m 和什么呢？和 e b 进行一个相乘，等于二 a 加上四 b 减四 c 等于零， ok， 这是这两个，那么我们现在要干什么？我们是不是要求解我们的法向量？法向量如何求？让我们的某一个已知量，我们假设它为什么数？然后去求另外两个未知量，对不对？所以说我们假设我们令 a， 比如说 a， 我 们这里微到好算，我们比如取二，但是你也可以取一，可以取二分之一都可以。那么记住法向量取什么都可以，为什么可以取？因为法向量找的是倍数关系，比如说我这里写的是四一三，对吧？四一三加上它是它的法向量，那么你如果写出来是八二六，它 是不是也是法向量？它们之间成了一个二倍，但是它们还是法向量，它们是找了一个倍数关系来，我们继续。我现在 a 等于二， c 等于多少？我们把二代入，那么 b， b 等于多少？ b 就是 零，所以说 c 就 等于一，那么 b 等于零。 ok， 我 们就写完了，我们把我们的法向量表示出来，向量 m 就 等于二零一， ok， 二零一。来，我们继续。那么我们现在要表示什么？是不是应该表示我们的 g f， 但是我们会发现 g， f 等于什么？或者是 f， g 等于什么？ f， g 是 不是等于负的？我们的这什么 向量 m， 那 么我们向量 m 是 反向量，所以说他们之间是一个倍数关系，乘一个负一倍，所以说他们是一个什么？是一个平行关系，那么我们就可以得到一个平行关系，所以说我们就可以得到这条线，垂直于这个平面。 ok， 这就是第一个，来，我们继续说一下第二个，这里我们把另外一个题往后放一放， 来，我们来说一下第二问，第二问了个什么？问了一个这个平面和这个平面的加角的余弦值，所以说第二问问的是什么？是不是二面角？二面角我们要找什么？老师在上节课直播的时候也说了，二面角我们要找的是 cosine theta， cosine theta， 当然了， 如果说是一个线面角，我们的 cosine theta 是 可以直接找到 cosine theta 的 关系的，对不对？这里一定要区分好。 ok， 来，同学，如果说他这个题问的不是 cosine theta 的 关系的，对不对？这里一定要区分好。 ok， 来，同学，如果说他这个题问的不是余弦值，他问的直接是角度，那么你应该怎么找？ 记住所有角度，在如果说你没有任何思路情况下，就考虑余限值就是 cosine 值，那么 cosine 值你只要考虑出来了，这个题大概率就不会错了。来，我们继续看一下第二问，第二问如何求？这里 e f b 或者 f b e 是 不是我们第一问的发向量？是不是我们刚才求的这里是不是它？所以说我们现在只需要求出来 e b g， e b g 在 哪里？让我们看一下 e b g 是 不是在这里啊？ ok， 我 们会发现这个项链这个平面我们的法项不知道情况下，我们就要求一下，刚才我们已经表示了两个项链了，三个项链，那这几个项链我们也是可以再去疑问用到的，当然我们还需要取一些其他的来，我们看下这个图 是不是需要 e g 和 b g 对 不对？所以说我们来表示一下 e g 来一点 e g 后减前，所以说就等于负二四负一。来，我们来写下 b g 向量 b g 等于多少？也是后减前，从这里减去这里后减前，记住是 g 减 b， 来我们这里是多少？是负四，负四， 负四零三， ok， 我 们 b， g 和 e g 全部都表示出来了，我们现在应该表示什么？是不是表示我们的平面 b， e， g 的， 或者是 e b g 的 发向量，那我们来表示一下平面 e， g 的 发向量等于多少呢？比如说我们让它等于 n， 向量 n 等于 x， 一 y 一 z 一， ok， 这里我们一定要和上面这里 x， y， z 进行一个区分，然后避免它们符号重复。来，我们来表示一下，向量 n 就 等于向量 n 乘以 e g， 或者向量 n 乘以 g， e 都可以，这里我前面写的是 e， g， 我 们这里就写 g e， 但是同学如果说你表示的是 g， e， 但是前面这里是 e， g， 你 就乘以个负一就行，它们是一个相反关系。来，我们继续，这里就是负二， x 加上四 y 减 z 减 z 就 等于零，然后向量 n 乘以 b g， 向量 b 对， 等于负四， x 加三 g 等于零， ok， 这两个式子我们进行，还是原来的方法， x 就是 让 x 等于多少呢？所以我们看一下， 可以找到一个六，我们找六，那么我们把 x 代入，那么 z 和 y 不 就行了吗？ z 等于八， y 等于五， ok， 来，我们的法向量向量 n 就 等于六五八， ok， 有 了这个反应量之后，我们应该找什么？来，我们看一下这个提问，找余弦值，所以说余弦值公式，记住这里我们不知道它的夹角，所以说我们要先在前面先写一下平面 f， b， e 和我们的平面 f b e， 这里我们已经重复了，这里我们重新写一下，这里应该是平面 b e、 g 它们的夹角，比如说夹角为 c 它， ok， 夹角为 c 它了，那么我们找的是什么？是不是 cosine c， 对 不对？那么我们应该找的是 cosine f g 和什么？和我们的法向量 f g 是 什么呀？ f g 不 就是刚才我们找的倍数的关系啊，对吗？你想我乘一个倍数，那么其其实这个 f g 不 就是它的法向量，对不对？来，我们继续，那么我们直接代入公式就行，就是 f g， 然后乘向量 n， 然后比上 f g 的 模长， 乘 n 的 模长，乘 n 的 模长，然后就等于二十比上根号五，乘根号一二五， ok， 等于多少？等于五分之四， ok， 那 么这个题我们就出来了，但是同学老师建议你在这里我们再写一句答话，就是谁的平面和谁的平面的加着余弦值为多少，这就我们在这里写一句答话，以防万一，万一老师到时候就是看判卷，这里我们出现了一个错误，把这里扣掉了一分，比较冤。来，我们再看一下第三问， 第三问这里说的是什么？第三问，这里问的是一个体积，来，所有体积，别管是什么图形，它是不是都是底面积乘以高呀？当然不同的图形它底面积乘以高之后，它还会有一些变化，这个没有关系，但是它整体上是不是都是底面积乘以高？ ok， 知道了这个之后我们怎么求？我们是不是应该要先求出来它的底面积，再求出来它的什么它的高？来，我们看一下这些说的是什么？ d， d 在 这里， d 在 这里， f b e f b e 在 这里，所以说它找的是什么？来，我们换一个颜色，觉得好看， 来 d， 点到一点，我们这里到这里， ok， 我 们找的是什么？一个三棱锥，三棱锥底面是什么？底面是三角形，所以说高 高应该是什么？是不是点到面的距离公式，或者是点到直线的距离公式？我们知道你看这里因为是个斜边，所以说你可以用推导，你也可以用垂直，你也可以用垂直关系进行一个推导，你还可以用什么 点到平面的距离公式进行一个求解。所以说我们现在应该先求平面 b e f 的 什么面积来，我们刚才已经求开了，我们的 e f 垂直于平面。什么？ e f 是 不是垂直于我们这里这个平面？所以说我这个直线垂直于它，我的 f b 又是在我的 b c c 一 b 一 这个平面内，所以我可以得到什么？我可以得到我的 e f 和我的 f b 是 相互垂直的， 那我这里相互垂直，所以说我这里找面积不就很好找了吗？来，我们进行一个求解。我们先来写一下，刚才我记得是 e f， 我 们知道 e f 是 垂直于平面， b c 一， 应该是 b c c 一。 ok， 这里我们重新写一下，应该是 b c c 一 b 一， ok， 我 们知道了这个之后，我们知道 f b 是 在哪个平面内的？是不是在我的 b c c e b 以内的？ ok， 我 们知道了这两个之后，我们来看一下我们是不是可以推导出来我的 e f 垂直于我的 f b 吧，所以说我可以推导出来我的 e f 垂直于我的 f b， ok， 之后我有垂直，我为了是找什么？我不就是为了找我的面积公式吗？所以说我找的面积是什么？ 来看一下是不是 b e f， ok， b e f 等于多少？等于二分之一，因为我垂直关系，所以说我就找的是 e f 乘 b f 来，二分之一乘多少，这里是四，后面这里应该用勾不定理 来看一下，应该是四，二根号来，应该是四的平方，乘二的平方应该是加了二的平方，就等于这里应该是十六，十六加四 再乘以，前面应该是，嗯，二倍的根号五，再乘二，应该就是四倍的根号五，四倍的根号五。来，这个是我们的面积公式。来，我们还需要什么？我是不是还需要我有一个高到我这个平面的一个距离公式？ 所以我找的是什么？我可以找 d e， 我 也可以找 d b， 都可以，你觉得哪个方便，你就求哪个就可以。来我们这里先表示一下 d e 向量 d e 等于多少？来，我们看一下这里后减前，所以我们应该是二零四， ok， 那 么我们找的是什么？我们不就找的是地点到我这个平面的距离公式，对不对？来，距离公式小 d 等于多少？是不是我随便找的？第一的这条向量和什么和 f g 来比较？ f g 的 模长， ok， 等于多少？ 根号五分之八就是八倍的根号五比八，对，应该是比五，这里我们写的有点乱，我重新写一下，就是八倍的根号五比五， ok， 这个是我们这个式子，但是这个写完了吗？这个没有写完，这里是什么？这里是高， 我们还需要什么？体积应该是三分之一底面积乘以这个距离，也就是这个高应该是多少？三分之一乘以多少，乘以八倍的根号五比五乘以四倍，根号五等于多少？这应该是五个五四四八，三十二，应该是 三十二，下面应该是三。 ok， 这个题就已经写完整了，当然我们最后还可以写一句答话，把这个题再丰富一下，那么这个题同学你就可以拿到满分了。 我们会在一月初有一个为期一个月的期末冲刺时间，那么如果同学你感兴趣，欢迎来咨询，欢迎来加粉丝群。我们有寒假课，我们也有期末冲刺班， 当然期末冲刺班如果不够的同学，比如说同学，如果同学你报了一个月，但是我们期末我们就上了二十天，没有关系，剩下的时间会自动顺藤，在我们的寒假班里 会免费提供给，比如说我们三十天的课程，我们有二十天还没有上，那么寒假班我们会免费给大家提供十天的课程，培养真题思维，优城启航之路，我们猜一下。

hello， 同学们，大家晚上好，今天晚上给大家更新一期例题几何。那么今天这个题目呢？第一问是让你证明一个面面垂直，第二问是证明线面平行。先来看题目中的已知条件， c、 c 一 垂直于 abc， 这个是线面垂直，那么根据线面垂直的定义，我们知道 c、 c 一 就会垂直于底下这个面的任意一条直线啊，这个后续我们要用到的。好。第二个，这个三角形是一个等边三角形，并且 d 是 终点 哦，这个等腰三角形顶点和我们中点的连线，是不是和我这个底边是垂直的关系啊？好，先来看第一问，那么根据我们刚才的这个推论啊，因为三角形 abc 为等边 三角形，并且 d 为 ab 中点， 所以我们知道 a、 d 是 不是就是垂直于 c、 d 的？ 我为什么要写 a、 d 呢？因为你看现在这个，如果把 c、 c、 d 看成是一个平面的话啊，那么我这个 a、 d 好 像就像是它的一条垂线， 我要证明 a、 d 是 它的一条垂线，仅仅只垂直于 c、 d 是 完完全全不够的。因为线面垂直的判定定理要求我们要在这个平面内找到两条相交的直线和它垂直，是不是才可以啊？所以我们又可以再用到第一个条件。哎，就是说我们刚开始说的 c、 c 一 垂直于平面 abc 啊，那么又因为我这个 a、 d 它是不是包含于平面 abc 的 啊？平面两字我省略没写啊，那所以说 这个 c、 c、 e 就 垂直于我们的 a、 d。 好， 你看现在的两个条件哈，一个是 a、 d 垂直于 c、 d， 一个是 a、 d 垂直于 c c、 e， 这两条线是不是都是我的平面 c、 c、 d 上的，并且它俩还相交啊？又因为 c、 d 交上 c、 c、 e 于点 c， 并且呢，这个 c、 d、 c、 c、 e 都包含于平面 c、 e、 c、 d 啊，所以我们就证明了 a、 d 啊，它是垂直于 c、 e、 c、 d 的， 或者说 a、 d 就是 这个平面的一条垂线哦，既然垂线找到了，那过这条垂线的任意一个面是不都和这个平面是垂直的？嗯，那你看，现在我这个 a、 d， 很 明显它是包含于平面 a、 d、 c、 e 的 好，所以就证明了我们的题目 c、 e、 c、 d 啊，是垂直于 a、 d、 c、 e 啊。你在书写的过程中，一定要把这个平面两次加上哈。好，这第一问 好，再来看第二问，第二问呢？是线面平行。那根据线面平行的判定定律，我们知道，要想证明一条线平行于一个面，我必须在这个面内找到一条线和它平行才可以啊。那么现在呢，没有现成的这个平行线，所以我们要去做一个辅助线。 做辅助线有两个原则啊，一个是连对角线，再一个就是去构造中点，去找三角形的中位线。好，现在很明显还有一个正方形的对角线没有连起来啊，那就是 b、 c、 e。 当我连接这条对角线之后， 它与 b、 e、 c 相当于点 o， 这个点 o 是 不刚好是一个中点啊？那你再去连接你的 o、 d 的 时候，会发现它这个 o、 d 刚好就是三角形 a、 b、 c、 e 的 中位线。好 连接 b、 c、 e 啊， b、 c、 e 交上 b、 e、 c 于点 o、 o 为，嗯，谁的终点？ b、 c、 e 终点，又因为 d 为 b a 终点， 哎，所以这个 o、 d 是 不是就是平行于 a、 c、 e 的 好，下面平行除了平行之外，我还要写一个不包含，一个包含好。又因为 啊，我这个 a c 一 啊，它不包含于平面 c， d， b 一， 但是 o， d 包含于平面 c， d， b 一， 所以就证明了 a c 一 啊，平行于平面 c， d， b 一。 这就是这个题的一个完整的解析步骤。

所有立体几何的问题，我们都要立体图形平面化。好，我们来看这个第八题。 这道第八题的话，它是一条立体几何的问题，立体几何不见隙，这实际上是一个趋势，我们要会去分析这种类型的问题，我们先看他的条件。在一个能长为二的正方体内有一个内切球，我们先画一个正方体。 好，它有个那些球 o 一 那些球啊，那么我们就知道它的球心是不是肯定是它这个正方体的正中心嘛？所以我们先把它的球心给它点出来 o 一， 你可以考虑把这个球画一画，画球其实很简单哎，你先画个圆， 然后再画个弧，然后在后面再点虚线，哎，是不是还行啊？哈哈，好，我们继续再看。 请问这个内切球的一个半径是多少？他说记他的半径为 r 一 来， r 一 是多少，应该很明显吧， 看得出来吗？它能长是二，对它是一。好， ok， 我 们继续再读。它说若球 o 二与正方体的三个面和球 o 一 都相切， 也就是说你这个 o 二，这个球啊，它是跟三个面和这个球一都相切的，它就缩在角落的，我们可以把它点出来， 往下划一点。好，这个是 o 二， 那你想这样的 o r 是 不是实际上可以在球的任何一个角落啊？在，在这个里面的任何一个角落，但是无论它在哪一个角落，它是不是实际上的结果应该都是一致的。 你想一下，它是球和球是一个相切的状态，球和球相切，它背后就是数量关系。什么数量关系？ 就是球星之间的距离，应该是等于半径之和，那么我们就自然而然肯定会去考虑连接这个 o 一 和 o 二。好，我们连接起来， 你们要有一点点空间想象力。当我连接了 o 一 和 o 二之后，请问如果我把这条线延长，请他会不会到顶点？你们判断一下会不会？ 会，当然会，当然会。它是穿过去的，相当于它是一个对角线，它是可以穿过去的，明白吗？好，继续。那么我们现在怎么去求它这个 o 二的半径呢？ 所有立体几何的问题，大家记住这句话，所有立体几何的问题，我们都要立体图形平面化，什么意思？来看， 我们可以计算一下这段长度来，这段长度我们刚已经算过了， r 一 是多少一，好， ok， 继续。我要求的是 o 二的半径，我们可以设 o 二的半径为 r， 所以 我们就可以得到这段是 r， 那 么这段不知道，但是我们是不是可以知道这一段？ 这段怎么求？你要知道相切跟面相切他也是一个等量关系。我们过 o 一 往下做垂线，请问这段长是多少？一好， ok， 连接这里是多少 根号二好， o 二往下做垂直，这是不是还是 r？ 来，我们求线段长，要么是钩股，要么是相似。那么你看一下这个图形里面，我们应该用钩股还是用相似？ 应该是相似吧，他有个很明显的 a 字形相似。好，可以的，那么我们就去写他的一个线段长度来。这段长怎么去求？ 对，我们大的是不可以直接勾一根号二，根号三直接求，那么求出来之后这里又是一，所以这段长度就有了，他就等于根号三减一减二。 好， ok， 这一段又是儿，你有两段就可以写了吧？不需要再写下面这一个直角边了，所以我们就可以写小三角形里面的斜边 根号三减一减二。比上大三角形里面的斜边根号三就等于小三角形里面的直角边，而比上大三角形里面的直角边一，那我们就可以交叉相乘去解他的这个二了。好，对角相乘， 根号三二就等于根号三减一减二啊。以上根号三加一，二就等于根号三减一。除过去 分母有理化，上下同乘，根号三减一，底下就变成了二，上面就变成根号三减一的平方就变成四减两倍的一个根号三，所以算下来就等于二减去根号三。 哦，所以我们就得到了 r 就 等于二减根号三。那我们第一问 第一个问题就对了，二减根号三，但是他要我们选的是错的。好，我们 r 已经算出来了，我们怎么去计算 r 三？ 那么第三个球他要要求跟你正方体的三个面以及圆 o 二都要相切，那么也就是说你的下一个球是不是应该是缩在这个角落了？ 那我问你，他跟前面有区别吗？求的过程中完全没有区别，他是不是只是等比例的进行缩小了？所以你们能不能想象出来， r 三是不是实际上是在 r 二的情况下又成了一次二减根号三， 那他就是二减根号三的平方，那么也就是说我们就可以得到他的这个 r n 是 不是实际上就是一个等比竖列？ 那么我们看他的这个 b 选项，他问 r n 是 不是等比竖列？当然是的，首项是一公比，是二减根号三，好，再来 c 选项， c 选项是不是本质上是一个竖列求和？ 竖列求和我们一共讲过五种方式。第一个公式法，如果你是等差或等比，是不是直接求和就行了？ 第二个，分组求和，如果他是等差加等比或类似，我们可以分组求和。第三个，如果他是等差乘等比，我们是不是错位相消？第四个，我们是不是还有列向求和？第五个，还有什么求和方法？ 还有倒序相加，大家不要忘了还有倒序相加的方法，倒序相加他是用于你，如果第一项加最后一项等于第二项加倒数第二项等于第三项加倒数第三项，那么像这样的竖列，我们就可以用倒序相加， 他还有一个名字叫叫这个高斯求和，就像我们去求等差数列一样。但是你不要认为只有等差数列才能用这种方法去进行求和。有还是有的，比如说我们举个例子， 假设我给你一个函数，这个函数它关于，因为数列，我们是不是也可以理解成是函数，只不过它的定义域是正整数罢了？比如说这个函数，假设它是关于十逗号二中心对称的一个函数， 那么你们能不能理解我 f 一 加上 f 十九，来告诉我 f 一 加上 f 十九等于多少？ 他们两个加起来除以二，是不是应该是等于二的，所以他应该是等于四来 f 二加上一个 f 十八等于多少？ 四，他符不符合？第一项加最后一项等于第二项加倒数第二项符合吧？所以如果我要算他的前十九项和，我是不是就可以首项加末项乘以项数除以二。 那么你什么时候会有这样的一个意识呢？你想你常见到的中心对称的函数是什么样的？函数 很简单，反比例是不就是？那么我是不是只要把反比例函数经过适当的平移，让它平移到关于十二中心对称，那么我是不是就可以了？ 大家能不能听得懂？比如说我可以编题目了，我编这个 f x 就 等于 x 分 之一，来告诉我它现在关于谁对称 零零是不是零零？好，那么也就是说我要对它向右平移十个单位，再向上平移两个单位来，向右平移十个单位，就是 x 左加右减 x 减十分之一，再向上平移加二。那么这时候我给到你的时候不会这样给到你，我给到你 x 减十分之 二， x 减十九。那么当我把数列的通项给到你，是这样的时候，我再让你去求它的前十九项和，你是不是就懂了？我应该要用倒序相加，因为它第一项加倒数第一项，等于第二项加倒数第二项， 大家听懂了没有？好， ok， 那 么这里不谈，因为这里它本身就是一个等比数列，所以我们要求它的前十项和，是不是只需要套公式就行了？来，我们写 s 十就等于一减 q， q 是 多少？ 二减根号三， a 乘以一减 q， a 就是 一，一减 q 的 十次方。好，这用中国号，我们稍微化减化减， 底下算下来就等于根号三减一，上面算下来就等于一减去一个二减根号三的十次方， 二减根号三的十字方，我们又不可能算了，你连二的十字方算的都费劲，但二的十字方是一零二四啊，这个大家最好把它记一下。那么这个东西你肯定算不了，但是我们可以考虑稍稍微对他有理化一下，对他有理化分子分母同时乘以根号三加一， 那么底下就变成了二，上面就变成根号三加一，再减去一个根号三加一，乘以个二减根号三的十次方。来他这个 c 选项，问我他是否大于 二分之根号三加一呢？来判断一下对不对？来告诉我这个数是正数还是负数？ 正数，那你减去一个正数，请问你还会有后面大吗？不会，所以 c 就 错了。所以这个题目其实没有那么难啊，大家要会 例题，几何不见系一直是趋势，大家不要畏惧这种题型。

弓垂线与两条异面直线垂直相交的，我们称为弓垂线，两条异面直线的弓垂线只有一条，我们如果在描述的话，就要描述一下 这个线和这个线是垂直的，也就是说我们可以设为 l 一、 l 二、 l 三，也就是 l 一 要垂直于 l 二，对吧？ l 三也要垂直于 l 二， 然后你还要说他们的焦点，也就是 l 二交 l 三等于 d， 对 吧？在这个题里面等于 d 啊， l 一 交 l 二等于 a， 然后你可以说他是他俩的公垂线， 这有前提啊，前提是这两条线必须是意面的啊，既然他是公垂线，那肯定是个垂线，对不对？我们刚刚讲距离的时候，是不是讲的也是垂线？大家想一下，这个点到这边 做垂直，哎，这个距离是不是就叫他是这个点到这个直线的距离啊？那我们可以看一下啊，那这条弓垂线呢？也就是说这两个意面直线的距离啊，这个弓垂线的长度就是意面直线的距离。

hello， 大家好。呃，前几天就是单招系列里面有一个立体几何大题讲解的那个视频，里面有两个东西，大家就是可能不太理解，就是为什么我正线与面的余弦值我要去找， 就是这个题，线与面的于弦直，正弦直啊，正弦直。我为什么要去找这条线与它垂直以及这条线与它垂直，为什么要去证？证明这一步以及面与面垂直 已知二面角啊，面与面所成的二面角，为什么要找这个面与这个面的交线，然后并且找到一个点做两条垂线垂直于它，然后这个所形成的叫二面角，然后左边的话，这边这边，我这个二面角写错了吧， 应该是角 c d p。 对， 这念的时候一直念 c d b， 但其实际上是 c d p。 啊，对，为什么这个是二面角？ 还有这个，那今天就做个解释，那首先我们来看到二面角吧，我们首先从二面角看哈，大家翻一下书啊，就是翻书，把书翻开来，它是不是有两个面啊？ 嗯，这样子，这个面与这个面的夹角我们怎么求啊？哎，是不是你从这边看到的这条与这条所形成的角呀？这个就是面与面的夹角， ok 吧？好，那这个夹角我们去怎么求呢？ 好，那首先哈，我要画出来，我必须要画出来，在书上的话好画呀，哎，书上翻开来就是对不对？好，这个角怎怎么来的？我们要随便取一点哈，我把它画大一点啊，画大一点，画这么大。 好，我们来看啊，我取一点，找一个点啊，垂直于这条交线，在这个面里面垂直这条交线，好，再找这个点啊，在这个面垂直这条交线，你看这个角与这个角会干嘛？会不会相等啊？因为它与它平行啊， 它我垂直了，也与它平行平行啊，对不对？所以这个角就是这个角，对不对？有没有发现？所以面与面的角角，我就在这个 两个面的交线上面，干嘛？找一个点分别做他俩的垂线啊？做完了之后我把这个角求出来就 ok 了。好，我们来看到 去年的春季高考的第二小问，现在要证明的是谁？要证明的是 p、 a、 b， 这个面与谁？ abc， 这个面的二面角，首先求正弦值，首先我们要找到那个角是哪个吧？ 你找不到角，你求什么？这钱值呢？对不对？好，那怎么找呢？还是一样的，找一个人干嘛？与他垂直？与他垂直，对不对？好，那这个点怎么找呢？这边首先他做垂线下来，这边找到一个， 随便取一点 a、 b、 c、 d， 假设这是点 d， 那 这个垂直了，那我就给他连起来，为什么要给他连起来？ 你们能不能成连这个连这个，连这个，连这个连这个那那那那啥子都知道？肯定是这个点嘛，为什么只有这个点？ 你不可能连个 a， 连个 b， 找他终点，找他终点嘛，对不对？这很明显了，就是他垂直他，他与他求这个角就行。好，昨天怎么讲的？首先 这边三，这边四，然后这边五用了两个勾股底里吧，不会的话记得去看一下单招的那个系列视频的第一个小问号，所以才证明到的。他垂直他，他也垂直他的他，他俩都垂直 a、 b， ok 不？ 所以我直接求 p d、 c， 求这个角就是这个二面角，然后只要求他正弦直，然后可以把那个这个直角三角形给画出来， ok？ 不？ 这是面与面，接着线与面啊。线与面。我们来看啊，那线与面，哎，这条线我只需要做一条线垂直于这个面，哎，然后我给这两个连起来，那这个角就是线与面的夹角，但是这条线好做吗？ 它不太好做。我们来看啊，它不太好做。为什么呢？我们来看，注意看啊，我要这个题。第二个题啊， a c 与这个面的 所成的角，我要找到这个角，我，那我就要在这个线里面干嘛？做一条垂线垂直于这个面吧，对不对？ 那垂到哪里去呢？垂到，这不是，这不是垂线，这不是垂线，这是直角啊，对不对？这不是垂线啊。好，那这怎么办呢？应该找他垂直，哎， 垂直就一定垂在这啊？我这边不一定，也可能是垂直吧，对不对？好，所以就有哪遇会遇到哪种情况，我往下做垂线。可以啊， 那你知道是这条是垂线还是这条是垂线还是这条是垂线吗？我随便做三条线你都分不出来哪条是垂线，你知道吧？所以在这里面 找得到吗？我直接找一条，我就说他垂直，他能行吗？垂直于这条线就是一定垂直于这条面吗？不一定吧，所以干脆不找了。那应该怎么办呢？我直接找个面， 跟刚才那个翻书一样，我怎么呢？我把这条线放在这个面上， ok？ 不？ 来，注意看啊，注意看，这一步很关键啊，这个 q 啊 q r 啊 q p， 我 给它放到这个面里面， ok？ 不？好，现在我要找的不就是这条线与这个面的夹角吗？也就是这个角，也是这个西塔，能不能理解？所以 我干嘛？我只需要这条，干嘛？ p q 垂直这个以及 q 这个 q a， 哎， 垂直这个交线，那这个角是不是就这个角？所以我们只需要证明的是谁线垂直于交线以及什么交线上，这一点，垂也垂直这个好，那我们来看到这道题 一定要仔细听，仔细去理解哈。那你看啊，这个线我要证明它垂直它以及这个垂直它，那我这个角就是线与面的角，能理解吧？ 线与面所成的角，可以吧？再来一遍，我要直接做垂线，我办不到， 做不到啊，臣妾做不到，好难找，找不到，知道吧？你不可能就是做一下，哎，就出来了，我说做垂线就做垂线，线到面的垂线很难做的，很难办的呀， 你求法项链就好好办了，射就行，但是你现在就是用初中方法，没办法去求，知道吧？所以这很难办到呀，所以我们就退而求其次，我找面面，哎，我找这条线与与这个交交于他这个交这个交线以及这个焦点，然后沿这边也做一个垂线， 继续你看这条交线，哎，是吧？那我这条线垂直它，这条线也垂直它，哎，这个角就是我们所求的角的， 能理解吧？好了，那通过这个视频，然后大家可以结合看一下上次那个为什么要证明它， ok 吧？好了，那感谢大家收听，拜拜。

二零二五新高考数学二卷立体几何翻折题砸解，看完这题秒懂！不往下看你亏大了！ e 证明 a、 b 平面 c、 d、 f 要正线和平面平行，只需在平面里找一条和它平行的直线，翻折后，利用圆图形内的平行边长关系，能找到平面 c、 d、 f 内的直线，如 d、 f 和 a、 b 平行，且 a、 b 不 在这个平面里，就 正出平行了。间隙求角三步法，一定坐标，选一个点当圆点，结合翻折的角度和图形直角，给所有关键点标上坐标，可是 a、 d 等于。一、简化计算。二、找法向，算出垂至两个平面的方向线。法向量。三算正弦，用法向量加角求于弦值，再换算出二面角的正弦值。以上完整电子版刚刚整理出来，取件码三十三。