2023南京中考数学26题几何画板

同学们好，今天给大家分享一道网红题，嗯，图如下图，让我们把图看一下，两个正方形 a、 b、 c、 d， 一个是 e、 c、 f、 g， 两个正方形的面积相差为一百五十平方厘米，连接这四条线段。嗯，构造两个阴影部分，求阴影部分的面积。 好，今天给同学们分享一种简单的方法去解决这个问题啊，三四年级学生都可以接受。我们利用的方法是什么呢？几何变换，几何变换里面的旋转啊，因为这正方形我们旋转之后使这两块阴影部分合在一起。 那我们以 c 点为旋转中心， c 点为旋转中心，把三角形 c 一 旋转一下啊，我们看顺时针旋转九十度， 选择之后，这两个阴影部分合在一起了。我们通过这个图我们分析可以阴影部分会等于三角形 c、 e、 f， 减去三角形 c、 d、 h 两个三角形之差 啊。三角形的话，我们要知道这两个三角形分别是大小两个正方形面积的一一半，所以这个阴影部分又会等于我们的什么嘞？大正方形减去小正方形去除以二就可以了。 大正方形除以二在面积差已经告诉我们了是一百五十，所以我们的 阴影部分就等于一百五十除以二。这是利用几何变换里面的旋转，使两个阴影部分合在一块，这是方法，应该是我想的最简单的方法，那我们把这个方法动画展示一下吧，再展示一下。 好，那今天的方法就分享到这里，谢谢大家聆听，再见。

好，来吧，兄弟们，来，我们看一下，这样一问，连接 b g， b g， 连接 b g， 你 看它从图二到图三， b g 是 什么呀？因为这个四边形，我们是不是证明的时候它是一个正方形，是不是对角线之间的连线 b g 啊？也就说这个 b m g 是 不是一个等腰直角三角形啊？这里有 m 吗？是不是没有 m 啊？我们做一个 m 啊，这时候 ab 是 四， d， e 是 二， 呃，让我们求 b g， 他 说在三角形 d e f 旋转过程中， b g 长度的最小值，哎， b g， b g 和 b m 什么关系？ 等腰直角三角形三边比是一比一，比根号二，所以说 b g 是 不是就等于根号二倍的这个 b m 呀？我重点求出这个 b m 的 最小值，是不是就可以了？ 那 b m 这要是怎么求呢？你看这有个直角，这个 d a b 是 不是也是直角啊？它也是个正方形吗？在一条线上有两个直角，嘿，你想的什么呀？我们原来最早七年级上册期末考试题的那个压轴题叫什么来？哎，叫做一线三垂直，还记得吧， 对不对？一线三垂直在这上面是不是再勾到一垂直就变成一线三垂直了？哎，就可以找什么呀？找全等转化线段找最值了吧。 那你过第一点，这个 d e， 它绝对和它有关系吧？啊，你过第一点，你往这也做个垂直，做完垂直以后啊，要一个 h 啊，这个点是 h 点，哎，这不是有一线三垂直了，一线三垂直出现什么？哎，是不是就出全等？哎，是不是出全等？ 哎，出哪？三角形全等？是不是 a d h？ 你 看三角形 a d m 吧， a b m 是 不是全等， 对吧？啊？我找人怎么确定的？你看其中有一个，这是直角吧。嗯，比如说这个角 d h m 是 不是等于这个角 a m b 等于九十度吧，还有什么 啊？还有一个边，是不是 a d？ 是 不是等于这个 a b？ 是 不是 a d？ 这是四，这也是四吧啊？ a d 啊，等于这个 ab， 哎，一个角一边还有吗？哎，这个角，你比如说这个角一啊，这是角二啊，这，这个下面这个角是角三，角一加角二是不是等于九十多啊？角二加角三是不是也是九十多？所以这个角一是不是等于这个角三啊？一个角一个角，还有一个边，是不是这个 a a s 是 不是 啊？ a a s 就 能证明出来？还是全等了？全等以后我们就可以得到这我们要求的这个 b m， 它就等于谁啊？是不是这个 a h 啊？ 让我们求 b m 的 最小值，那就又等量代换成，是不是求出它的最小值了啊？它的最值最小值，它的最小值怎么求？它是不是在哪？三角形？是不是在直角三角形这个 a h d 中啊？ a h 怎么求？ a h 的 平方是不是等于这个斜边的平方？减去另一条，这条边就是 a d 的 平方，减去这个 d h 的 平方吧， a d 是 固定的， d h 是 变化的，为什么？因为 d h 是 不是它在这个旋转这个三角形 d e、 f 在 旋转过程中，那 a d 是 定边？如果让我们求 a h 的 最小值，请问那 d h 它要最大还是最小？ 它是被减数，减，减数等于叉，所以说减数一是不是让我们要找到它的最大值啊？对不对？哎，又转化到它身上来了， d h 什么时候最大呢？它在旋转过程中时候， d h 是 不是等于这个 d e 的 时候最大？你看，当 d h 最大的时候， 这个 a h 是 不是就有最小值，对不对？它是不是有最小值？ d h 什么值？ d h 最大的时候，它就等于谁啊？哎，最大时候它是不是等于 d 一 啊？ d 一 是几？ d 一 是不是二？哎，这时候的关系找找明白没有啊？ d h 等于二的时候， d h 等于二，这个 a d 等于 ab 是 等于四，那 a 是 出来没有？哎，所以这个 a h 是 不等于根号下的四的平方减去二的平方，就等于根号十二，等于二倍的根三，对吧？ a h 等于二倍的根三，所以这个 b m 是 不等于 a h 也就等于二倍的根三吧， 那它是二倍根三，那么 b g 出来吗？哎，重新带回去， b g 是 不等于根号二倍的根三就等于二倍的根六， 是吧？好，看到这个题啊，你会发现这个图三，我们找的是哎，三垂直，是不是三垂直？ 这个呢？在第二个找，是什么呀？哎，找的是八字模型，是不是？哎，八字模型，也就是我们说的蝴蝶模型，对不对啊？这个呢？哎，手拉手对不对？这就是手拉手的模型，得出了三条结论，三垂直模型，大家注意哈，就是找出什么呀？哎，找全等 对不对？转化线段对不对？最后再分析等量代换找最值吗？好，这个题稍微综合一下啊，学会了没有？

今天我们来学习用构造菜单作图点线的构造，点的构造主要有三种，对象上的点，中点和焦点。 线的构造主要有垂线、平行线、直线、射线、线段。在没有对象的时候，我们点击构造菜单，这些功能全部都是灰色的， 下面我们来用线段做一个三角形， 给三角形的三个点 起个标签，三角形 a、 b、 c。 下面我们先学习构造对象上的点，我们选中一条边，再点击构造菜单， 这时就有两个功能变成了黑色，一个是线段上的点，另一个是中点。 选择线段上的点，这样我们就构造出了一个线段 b、 c 上的点，这个点可以在线段 b、 c 上任意地拖动， 再选中线段 a、 c， 点击构造，选择终点，这时我们构造出来的点就是线段 a、 c 的 终点，这个终点是不能拖动。 要想构造焦点，需要至少两条线，我们任意地构造两条线， 这时我们发现两条线的焦点并没有红色的点，我们需要自己去构造。选中两条相交的线，点击构造菜单， 选择第三个功能焦点，这样线的焦点就构造出来。以上是点的构造三个功能， 接下来我们开始进行线的构造，我们需要先做出一个点和一些基础的线的基础模型， 我们以一个四边形作为一个基础模型， 下面我们进行线段的构造。线段有两个端点，所以我们需要选中两个点，点击构造菜单，选择线段，这样线段就构造出来了， 而射线只有一个端点，两点确定一条直线， 大家要想确定一条准确的射线，我们既要选中起始点，还要选中方向的点， 首先先选中的点，那是射线的端点，我们点击构造射线看一看，这样构造出来的射线就是以左边这个点为端点的射线， 现在我们把这个射线删掉，重新选择，先选右侧的点，再选左侧的点，我们看一看构造出来的射线一样不一样， 这时我们发现射线的方向是不一样的，这是构造射线，直线没有方向。根据直线的基本事实两点确定一条直线，任意的选两个端点， 选择够到直线，这样一条直线就构造出来了。 下面我们看平行线怎么构造平行线需要有参照线，同时呢还要去选择所要经过的一个点，这个点必须在线外，我们选择需要与哪条直线平行， 还要选择平行线所要经过的点，选择构造平行线，这样构造出来的平行线与选中的线就是平行的关系。 同理垂线也是这样做，先选择一条线，再选择这条线外的一点，选择构造垂线， 这样做出来的线与选中的线就是垂直的关系。 当然垂线也可以选择线上的点，比如我们选中线，构造线上的一点，再次选中这条线和线上的这一点，选择构造垂线， 这样也可以构造这条线的垂线。下面我们说最后一个线，角平分线。角平分线的构造需要选用一个角， 我们知道角是由同一端点的两条射线组成的，所以我们选择角的两边， 点击构造菜单，选择角平分线，这样这个角的平分线就构造出来了。

第三位，在二角形下， a、 b 垂直于 b、 c， 那 我们可以设一下啊，还设角 b、 a、 d 和角 d， a、 g 和角 d， a、 g 都是 r， 那 么角 a、 b、 g 等于角 a、 d、 b 等于角，角角，那么因为角 ab 和角 ab 等于 r， 那 么因为 ab 垂直于 b、 c， 所以 角 d、 b、 c 多少？ 那么利用题中给我们角的关系啊，角 a、 b、 d 九十度减二角，减去角 c、 b、 d 二角等于二倍的角 a、 b、 k， 由此可以得到角 a、 b、 k 等于四十五度减二角， 它等于角 a、 d、 k， 那么由此可以得到角 k、 d、 b 就是 四十五度。题中告诉我们 b、 q 等于二， b 的 c、 d 等于六，那么 c、 d 就是 三， b 就是 六，让我们求 b、 c 的 长，因为角 a、 b、 c 是 九十度，所以角 c 是 九十度减去二， 那么我们可以利用什么呢？利用得到对称线，因为 a、 b 和 a、 d 相等，我们可以连接 b、 m、 b 点 w， 那我们知道 a、 g 是 垂直平分 b、 d 的， 所以我们连接 b、 d 变长，可以得到角 m， b、 d 是 四十五，那么角 m、 b、 q 就是 四十五减二， 那么由此可以得到三角形 d、 b、 q 全等于三角形 b、 d 等于 b d。 角 b、 q、 d 和角 d、 w、 b 也相等， 那么这样算就相等，所以 q、 b 等于 w， d 得六。 这样角啊，这个角是四十五加二，这个角也四十五加二， 那么角 c 是 九减二角 c、 w， b 是 四十五加二，能导出角 c、 b、 w 也是四十五加二，所以三角形 c、 w、 b 是 等三角形，那么 c、 w 等于 c， b 等于九 啊。可以这样去对分，也可以，也可以延长 d、 e 延长 d、 e 交 a、 b 的 延长线于点 w， 那 么因为 a、 e 垂直平分 b， d， 所以 说角 e， b， d 等于角 b， d， e 等于 r 角 w， b， d 等于角 b， d， c 都等于九十加二，那么我们可以证明三角形 b， c， d 全等三角形 d w， b 边角边角。 那由此得到角 w 就是 九十五减二 dc 等于 b w 得三角 q， d， w 等于角 w， q， d 等于四十五加二， 所以 w， d 等于九，等于 b c。

我们来看一下这个题目，如图，在三棱锥 p a， b， c 中角 a， p b 等于九十度，就是底下这个角是九十度啊，然后这两个角都是六十度，就是说底下这个角是九十度，后面这个和前面这个都是六十度， 然后说 p a， p b， p c 的 长度都是等于二的，然后点 d， e， f 满足这样的关系，我们就知道这个点 d 呢，是一个靠近点 a 的 三等分点，点 f 也是中点。 然后问咱们直线 c， e 与 df 所成角的余弦值是多少？那对于这个题目，咱们间隙肯定是不好写的，所以说我们这里就可以采用向量的方法来描述出这两个直线角的余弦值，那比如说我们这里可以求出 c， e 向量乘以 df 向量的数值是多少， 那我们又知道两个向量乘积，我们可以把它写成是两个向量的模长的乘积乘以它们假角的余弦值，那这个长度我们能写出来，长度写出来了之后呢？那我们的 cosine c 它就可以算出来了。所以说现在的问题是怎么确定出这两个向量的乘积？ 在题目最开始告诉了我们以点 p 为出发的长度和它们形成的假角， 所以说我们可以分别令这三条边为三个基底向量。那现在我们让这个 pa 向量为 a 向量， pb 向量呢，就是 b 向量， pc 向量就是 c 向量。然后我们想办法把 c， e 向量和 d， f 向量全部都转化成用向量 a 向量 b 向量 c 的 这种形式表示出来。 好，那咱们 c， e 向量呢？我可以把它写成是 p e 向量减去 p c 向量， p e 向量可以写成是三分之二的 pa 向量，减去 pc 向量，所以说它就可以写成是三分之二倍的向量 a， 减去向量 c， 然后 d f 向量，我可以把它写成是 p f 向量，减去 p d 向量，那它就是二分之一倍的 pa 向量，加上 p c 向量，然后减去二分之一倍的 p b 向量， 最后结果应该是等于二分之一倍的向量 a 减向量 b， 加上向量 c 这种形式。所以说咱们两个向量的乘积 c， e 向量乘以 d， f 向量全部都给它乘起来。 整理的结果应该是三分之一倍的向量 a 的 平方。减去三分之一倍的向量 a 乘向量 b， 减去六分之一倍的向量 a 乘向量 c， 加上二分之一倍的向量 c 乘以向量 b， 再减去二分之一倍的向量 c 的 平方。好，现在哈，前面这里 带平方的这种都比较好解决。我们现在这个乘积可以算一下哈，那这乘积也是很好算的。向量 a 乘向量 b 的 话，它应该是等于二乘以二，乘以 cosine c， 它是零，所以说这个是零。 接下来我们计算一下，向量 a 乘以向量 c， 它的结果应该是等于向量 b 乘以向量 c， 都是二乘以二乘以二分之一，最后结果为二，然后全部把这个结论带入到上市。最终咱们就可以确定出这两个向量的乘积应该是等于零的。 我们会发现两个向量乘积如果为零的话，那么这两个向量应该是垂直关系，所以说这两个直线就是互相垂直的，所乘角的余弦值就是零。所以说这个题目咱们选择四 d 选项。

这是第二十六题，这道题涉及到等边三角形的几何性质和全等三角形的应用。等边三角形是一个非常特殊的三角形，在很多题目当中都会出现，我们必须牢牢掌握它的两个最基本的几何性质。假如这个三角形是等边三角形， 那么他的三条边就是相等，同时他的三个内角也是相等的。由于这三个内角的和是一百八十度，所以这三个内角分别都是六十度，所以说等边三角形他的三个内角 都是六十度，同时他的三条边长是相等的， 这两条就是等边三角形最基本的几何性质，它的应用非常广泛，必须牢牢掌握。回到这道题，题目告诉了三角形 a、 b、 c 是 等边三角形， a、 b、 c 是 等边三角形， 同时告诉了 a、 e 是 等于 b、 d 的， a、 e 等于 b、 d、 e、 f 平行 bc， ef 是 平行 bc 的。 由于 a、 e 等于 b、 d、 e、 f 平行 bc， 这两组关联条件都和三角形 a、 e、 f 有 关，所以我们首先就来观察三角形 a、 e、 f。 因为三角形 a、 b、 c 是 等边三角形，所以这个角是等于六十度的。 e、 f 平行 bc， 所以这个角和这个角是同位角，它们也是六十度，同样这个角和这个角也都是等于六十度的。这样，三角形 a、 e、 f 当中三个内角都是六十度，所以它就是等边三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 e、 f 都是等边三角形的几何性质。在这道题当中呢，直接应用解这道题的第二个关键点是三角形全等的应用。 知道三角形 aef 是 等边三角形之后，我们知道 ae 是 等于 ef， 等于 af 的。 由于等边三角形 a、 b、 c 当中 ab 是 等于 ac 的， 所以 ab 是 等于 fc 的。 因为 e、 b 是 等于 a， b 减 a， e、 f、 c 是 a、 c 减去 af。 这次我们继续观察 e、 b 所在的三角形 d、 b、 e 和 f、 c 所在的三角形 e、 f、 c 可以 看到 b、 d 是 等于 ef 的， 这个角和这个角都等于一百二十度，因为这个角和这个角是六十度，所以这两个角都是一百二十度。再加上 e、 b 等于 f、 c， 这样在两个三角形当中， 这个边等于这个边，这个边是等于这个边的，这个角是等于这个角的。根据 s、 a、 s 的 判定定律可以知道它们是全等的， 也就三角形 e、 f、 c 是 全等于三角形 d、 b、 e 的， 这样它们的对应边 e、 c 就是 等于 e、 d 的。

呀？嫌这玩意别碰了，你脸上，你现在满脸光啊，擦都擦不净。

好，来，我们看下这个题啊，在三角形 a， b， c， d 中，正方形啊，它是正方形，四个边都相等，是不是三角形 d， e， f 啊？绕着点 d 旋转，旋转出什么？哎，旋转出全等是不是？嗯，那 d， e 小 于 a， d， 它说角 e， d， f， e， d， f 这个角是九十度， 哎，因为前面是正 a， b， c， d 正方形，是不是 a， d， c 也是九十多？哎，中间有一个公分角，讲角的话，你比如说这是九一和这个角二，告诉我它俩什么关系？哎，角一等于角二，是不是？嗯， d， e 等于 d， f， d， e 啊，这个边等于 d f， a， e 连接 a， e， f， d， e 证明三角形 a， d， e 和三全等于三角形 c， d， f 简单吧？是不？很简单， 因为这是什么边？哎，这个 a， d 正方形是 a， d 和 c， d 相等，然后 d， e 和 d f 相等，中间这两个角是不是倒角一下？ s a s s s 是 吧，会发现它和我们迁移所学的模型是很相似，是吧？哎，手拉手模型嘛，是不是其实就手拉手模型， 也就是我们经常会说什么呀？等腰，哎，等腰共顶点是吧？哎，等腰共顶点，对吧？好， s， a， s 啊，这我就不具体写步骤了，我们看第二位直线 a， e 和 cf， 呃， cf 相交于点 g， 如图， b m 垂直于 a g， b m 垂直于 a， g 啊，这是个直角啊， b， n 垂直于 c f， b n， b， n 垂直于 c， f 啊，这个角是直角，让我们证明这个 b， m， g， n 这个四边形是一个正方形。正方形判定， 首先呢，我们判定它是个矩形，是不是好正一点，然后再找个离边相等，是不是正方形了？矩形的话怎么正？它是由图一到图二来的，你会发现第一位，我们知道是不是 a、 d、 e 这三角形和这个 c、 d、 f 是 不是在这边？那我说，所以说在这个四边形，我只要证明这个角是个直角，它是不是就矩形出来了？那怎么去找这个角是直角呢？ 接下来讲到手拉手模型，我们就想到很多，原来我们讲的这个倒角的方式吧。好，我给你标一下，你能发现没有？好看，这让我们证明这是直角，哎，你看，我编，我画完以后，你会发现这是个什么形？哎，这什么形？ 对了，这是不是就是一个八字形啊？是不是？他就是我们八字倒角，是不是我们经常借助的工具啊？哎，还有个名字叫什么？哎，他是不是也叫什么？蝴蝶模型吧，哎，蝴蝶模型对不对？像只蝴蝶翅膀一样，是吧？ 好，嗯，这个角，比如说这个角是角一啊，我颜色深一点，这个角是角一，这个角是角二，这个角是角三，这个角是角四，好吧，你看，嗯，这个第二位的圈一啊，由一可知， 是不是三角形？谁啊？ a， 这个三角形 a、 d、 e， 三角形 a， d， e 是 不是全等于三角形 c、 d、 f 呀？那么这个角一是不是等于这个角四呀？角一等于角四吧。 好，角二是不是等于角三，对不对？对，零角。还有什么？因为它是正方形，所以这个角谁啊？因为角，这个 a、 d、 c 是 不是九十度？它是九十度，所以得到角一加。角二是不是等于九十度啊？ 是吧？啊，那么所以这样的话就是角三加角四是多少度？是不是也是九十度啊？因此得到谁啊？角，哎，这个点还没有字母呢，这个点我设一个来设，这个 c、 d 与 a、 g， 嗯，相交于点 p， 好 吧？比如说这个点是点 p 吧，但是好表示，那所以这个角 p、 g， c 是 不是九十度，对吧？好，九十度的话，那所又因为角谁啊？这个 b、 m 是 不是垂直于这个 a、 j， b， n 垂直于 c、 f？ 是 不是三个角都是九十度了？所以这个四边形 b， m、 g， n 是 正方形是吧？它是正方形，也说明这个角什么角？哎，这个角是直角啊，是不是可以得到了吧？所以角 m、 b， n 等于九十度吧。那我再证明这个一组邻边相等的矩形是不是就正方形了？我只要证明 m、 b 和这个 b、 n 相等就可以了。怎么证明呢？看这两个边所在边相等的矩形是 c、 n， b 是 不是 正方形啊？正方形，正方形里面这个边是不是和这边相等？这个，然后这个角 a、 g， abc 和这个角是不是都是九十度？减去中间这个角，比如这个角是角阿尔法，这个角是角贝特，阿尔法和贝特相等了吧？还有什么？还有个直角对不对？ a a， s， a， a， s 就 可以了。 好，我们进行说明一下， a、 m、 b 是 不是等于这个角 n 等于九十度？好，我们进行说明一下， a， m， b， c 等于角 e， b， n 等于九十度，所以角阿尔法是不等于角贝塔，对不对？想想懂了吧？还有什么边？哎，还有一个 ab 等于这个 bc 吧。那就写个全等五好吧。在三角形 abm 和三角形 cbn 中，角 a、 mb 等于角 n 等于九十度，然后角阿尔法等于角贝塔， a、 b 等于 bc， 所以 两个三角形 a、 b、 m 全等于三角形 c， b， n 全等完以后，你是不是就可以得到了这个 m b 等于这个 n b 了？那么所以就是啊，正方形了吧？啊？

我们来看一下这道题， abc 是 直角角， a 是 知道的， a、 c 的 话是十二，也就是这三边都是知道的，对吧？是五十三，十二这个关系， 然后绕一下转到这里，五十度的话，也就这里也是直角，然后 a 撇 c 的 话是十二， b 撇 c 的 话是五，这里是五的话，这里就是 a， b 撇的话就是七， 然后 a 撇 b 撇的话就是十三。好，图形是固定的，对不对？它的旋转一个固定的 abc 三角形，它旋转过后，那它肯定也是固定的，也就是 a 撇和 b 撇也是固定的，对吧？ 但是它现在 p 是 动点， p 是 动点，然后以 p 为圆心，然后 p， a 撇为半径，也就是半径，它是变化的，做了一个三角形。 abc 的 相切的圆，就是怎么个切法？这个很重要。那么我跟现在 b、 c 肯定不能切，也就是我跟 a、 c 可能切，我跟 a、 b 也可能切，是不是两种可能？那接下来我们把这两种可能的图形画出来。第一种就是跟 a、 c 相切，那么接下来我们把之间的关系整理一下，为了求这一个半径，半径为 二，因为它是相切，所以这个是直角，也就是说我们可以得到 q、 p， 它是平行于 a 撇、 c 的， 对不对？因为这也是直角嘛。 然后 a 撇 b 撇，我们是知道的，十三，也就这个另外一段，十三减去二， 那这一个也是半径，那 a 撇 c 撇，这里是十二，所以我们可以建立他们之间的等量关系，二比十二等于十三减二比上十三， 求出的二是这种情况，这是第一种情况。那接下来我们求第二种情况，和 a 比相切。第二种情况和 a 比相切的话，我们同样要建立等量关系，我们发现这里是直角，当然这个也是直角， 我们把线段的长度标出来，这一个是两二，这个 十二，我们从这两个直角三角形里面，同时这个公共角，我们会发现有两个三角形相似，也就是 a 撇 c 撇相似于 a 撇 b， 而这个三角形所有的长度信息，我们知道的另外一个三角形里面， a 撇和 b 我 们也是知道的，于是乎这个三角形我们也可以全部知道他线段的长度，也就是我们肯定可以求出 a 撇 t 的 长度，然后他又是等于二二，所以半径也能求。 那我们来写一下，因为我们要求 a 撇 t， 这里叫 a 撇 t， 它对应的是 a 撇 c， 然后 a 撇 b 我 们是知道的， a 撇 b 对 应的是 a 撇 b 撇路十二， 所以最后的二等于四百分之一百零二。有两个解，根据圆和 a c 相切还是 ab 相切搞定。

今天我要分享的是圆形线的构造。首先是圆的构造，圆的构造有两种，第一种是选定两点，两点选中有顺序，先选中的是圆心，后选中的是圆周上的点。选中以后点击构造菜单， 选择以圆心和圆周上的点汇圆。第二种是选定一点和一条线段，这个点是圆心，线段长是半径。选中以后点击构造菜单， 选择以圆心和半径为圆。应用举例一，快速会至正三角形，一、构造一条线段。二、左键突出一个框，全部选中。三构造等圆，四构造三角形的另两条边， 五、隐藏两元。应用举例二，构造同心圆，选定一个点和多条线段，这一点是圆心，多条线段是多个半径。选中以后点击构造以圆心和半径会员。 然后是弧的构造。弧的构造有两种，第一是圆上的弧，选定一个圆和圆上两点，两点有顺序，按逆时针方向构造圆上的弧， 交换一下点的顺序再构造弧，这样做出来的就是 u 弧。第二，试过三点做弧，选定特殊的三点点， p 是 圆心点， a， b 是 弧的端点， 选定不在同一直线上的三点。 单机构造菜单选择过三点的弧，这样同时经过三个点的弧就做出来了。