Durbin抽样抽取几个样本

哈喽，各位同学，今天我们来学习高中数学中的抽样方法，学会这一节统计题再也不怕。 首先我们要掌握两种抽样方法，简单随机抽样和分层随机抽样。简单随机抽样就像抽签一样，每个个体被抽中的概率相同，操作简单直观。常用方法有抽签法和随机数法，适合总体较小的情况。 分层随机抽样适用于总体差异较大的情况，比如男生、女生、不同年级等。先按某种特征分层，再在各层中按比例抽取，估计更准确。 接下来我们看类型一、如何选择合适的抽样方法。记住，总体小用简单随机，差异大用分层。第一个，总体只有二十盒，适合简单随机抽样。 第二个，总体按岗位分为教师、行政、后勤，差异明显，适合分层抽样。 再看一个容易混淆的例子，从男女混合的班中抽到四男六女，是不是一定是分层抽样？如果按比例分层，男生应抽四人，女生应抽六人。确实符合， 但简单随机抽样也可能恰好抽到四男六女，所以不能断定一定是分层 类型。二、分层抽样中抽取数量的计算核心公式，各层抽取率相等，设抽女生 x 人，则抽取率应相等，交叉相乘九十八， x 等于四十二，乘以四十二等于一千七百六十四，解得 x 等于十八， 便是三个城市支援新疆教师。已知以丙城市人数求假城市总人数，设假城市有 x 人，则抽取率相等，交叉相乘三百 x 等于一百 x， 加六万，解得 x 等于三万。 再来看一个，便是高中生一千八百人，初中生一千二百人，按比例抽 n 人，设抽初中生 x 人，则高中生 x 加二十四人， 抽取率相等一千二百分之 x 等于一千八百分之 x 加二十四，解得 x 等于四十八。总人数 n 等于四十八，加七十二等于一百二十。 类型三、用样本平均数估计总体平均数。分层抽样时要注意是否按比例，如果是按比例分层， a 应抽四十件， b 抽六十件。总体平均可估计为加权平均。 总体平均估计值等于四十乘以八十四，加六十乘以九十除以一百等于八十七点六。如果不是按比例，则需用各层样本平均分别估计各层总体平均，再计算总体平均。 总体平均等于四百乘以八十四加六百乘以九十除以一千等于八十七点六。 好了，我们来总结一下今天学的内容，掌握这些抽样题目再也不怕，记得点赞关注，我们下期再见！

抽样理论是现代统计学和数据分析的核心基础之一，其重要性贯穿于科学研究、市场调查、质量控制以及社会政策制定等多个领域。 简单来说，抽样理论研究的核心问题是如何从总体中选出一部分个体进行分析，从而推断总体的特性。这一过程看似简单，实则涉及复杂的数学原理和实际应用技巧。抽样理论的基础在于概率论和数理统计。 总体是指研究对象的全体，而样本则是从总体中抽取的一部分个体。抽样的目的是通过对样本的分析推断总体的某些特征，如均值、方差、比例 等。为了实现这一目标，抽样必须满足一定的科学性和代表性。如果样本不能代表总体，那么基于样本的推断就会产生偏差，甚至导致错误的结论。 在实际应用中，抽样方法的选择直观重要。常见的抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样、整群抽样和系统抽样等。每种方法都有其适用的场景和优缺点。例如，简单随机抽样是最基本的抽样方法，每个个体被抽中的概率相同， 适用于总体分布均匀的情况。而分层抽样则适用于总体内部存在明显分层结构的情况。通过在各层内进行抽样可以提高估计的精度。抽样定律是抽样理论中的一个重要分支，尤其在信号处理领域有着广泛的应用。 抽样定律的核心思想是为了能够从离散的样本中完全恢复原始的连续信号，采样频率必须至少是信号最高频率的两倍。 这一元理由奈奎斯特和香农提出，因此也被称为奈奎斯特香农采样定律。在统计学中，抽样定律的应用更多体现在样本量的确定上。样本量的大小直接影响到估计的精度和可能性。 理论上，样本量越大，估计的精度越高。但实际操作中，样本量的增加也意味着成本的上升。因此，如何在精度和成本之间找到平衡点是抽样设计中的一个关键问题。 抽样定律提供了一种科学的计算方法，帮助研究者确定满足精度要求的最小样本量。抽样理论中，误差是一个不可避免的话题。 误差主要分为两类，抽样误差和非抽样误差。抽样误差是由于样本只是总体的一部分而产生的误差，这种误差是随机的，可以通过增加样本量来减小。 非抽样误差则包括数据收集过程中的各种偏差，如测量误差、无回答误差等。 这类误差通常是系统性的，难以通过增加样本量来消除，需要通过改进、调查、设计和实施过程来控制。在实际应用中，研究者需要同时关注这两类误差。 例如，在市场调查中，如果问卷设计不合理，即使样本量再大，调查结果也可能偏离真实情况。因此，抽样理论不仅关注样本的选择，还强调数据收集和处理过程中的质量控制。

我们的关键是什么？是去找他的这个抽样笔？好，再来看这个，这个第八题啊，第八题，这个分层抽样呢，我上节课也给大家出了一个类似的题啊，我们也给大家讲了我们的关键是什么 是去找他的这个抽样笔就可以了，对吧？好，抽样笔，那我们发现他的这个商场的总数没有给你，但是每一种商场的数量给你了，那我们把它加起来就是这个总数了，加起来他的总数应该是一百五十个啊，我有一百五十个商场， 对吧？好，然后我要从里面抽出四十五个来。好，这就是他的抽样笔，然后他问的是抽取的大型商场，哎，我看一下，大型商场一共有二十个，那么这个抽样笔在大型商场里面也是要完全一致的，所以我直接用这个抽样笔 乘上二十，我就知道我要从二十个里面抽多少个出来了啊。所以呢，我们来计算一下它的结果，那这里大家可以先去约分一下，再来算这个乘法啊。我们先把四十五跟一百五十先约一下，可以约掉一个十五， 四十五约掉十五以后还剩三啊，三五十五，一三得三，进一个就是四十五啊。然后一百五约掉十五之后呢？还剩十啊，十分之三，这个十，再跟这个二十去约掉一个，十 分母就只剩一了，这里的分子这里还有一个二，所以是二三得六啊。最后我们的结果呢，就是 b 选项抽大型商场只用抽六个。那这道题还有另外一个计算的思路哈，就是 你也可以这样去算，就你可以先算大型商场在所有商场里面的占比是多少？那么他在这个容量为四十五的样本里面的占比应该也是一样的啊。这是另外一个思路，但是计算的过程其实几乎是类似的哈，就是用这个二十先去比上一百五十 算大型商场的占比嘛，对吧？然后你再乘上四十五，因为他在四十五个样本容量的这个样本里面，他也要占这么多的比例。那最后你看这个计算的结果，无非就是把这两个的位置交换一下啊，最后的结果是一样的。

同学们好，我是你隔壁学员，隔壁小冯，今天我们来讲一下广东省第四次联考试卷啊。 好，首先我们来看到第一题，那告诉我两个集合， a 集合的代表的是负一和一啊，那么 b 集合的话，代表是 x 小 于二的一个 n 心的一个范围内的一个 正整数啊，那其实呢，就是代表一对不对，所以说他们取 b 级的话，那么也就是所有不重复元素合在一起的一个集合，那么很显然呢，就是 d 选项负一和一，那么这道题就选 d 啊。 好，接下来看到第二题，那第二题告诉我， time 减三分之二派是等于多少的？那是不是直接用 time 的 诱导公式啊？那对于 time 减三分之二派来说，是等于派减去三分之派的， 那么也就是用诱导公式是等于负的 time 减三分之派的，那么 time 减三分之派呢，就是等于负的根号三的，所以说这道题就选 a 选项。 好，接下来看第三题啊，那第三题的话，这道题我们就不用去具体的算它，因为它们都不能等于零，对不对？所以说它就不能取等号，也就是说没有中括号的一项，那所以 b 选项， d 选项， c 选项，它们都含有中括号的，可以直接排除掉，那么这道题直接就选 a 选项了。 好，接下来看第四题啊，那第四题呢？告诉我，某个班里面男生有二十七人，女生有十八人啊，那么一共抽取五人，那么从哪抽的就除以谁，对不对？所以说很显然，抽样笔我们就可以算出来， 从哪抽的又是五就除以 c， 那 是从这个班级的总人数里面抽的，又是二十七加上一十八，那横线呢，算出来是等于 九分之一的，就说我们再去算男生的抽取人数，再用抽样比乘以男生的人数就可以了。又是九分之一，乘以二十七，那么横线算出来是等于三的，那么这道题就选 c 选项。 好，接下来看第五题，那第五题呢？解一个不等式啊，那么我们要观察一下，这个不等式里面 x 的 符号不是一致的，那么我们又想办法把它们变成相同的符号。就说我对后面这个括号整体呢，乘以一个符号，那不等号就要改变方向，又写成了 x 加二，乘以一个 x 减三，那么不等号改变方向变成小于零，对不对？那横线呢？小于取中间，那么 b 选项和 d 选项直接排除掉，那么另两个括号分别等于零呢？算出来两个解集又是负二以及三，那么也就是取负二和三的中间，那么横线呢，就选 a 选项。 好，接下来看到第六题啊，那第六题的两个直线垂直对不对？那横线他们两个直线的斜率相乘是等于负一的，那分别把两个直线的斜率算出来 于第一条直线呢，我把 y 移到一边，也就是二 x 加上一是等于 y 的， y 的 系数此时为正一，所以说 x 的 系数呢，就是它的斜率，那么对于 k 一 而言是等于二的，那么第二个直线同样的倒数移过去，也是 ax 减三等于 负二 y， 那 么两边除以一个负二，那就是负二分之 ax 再加上二分之三是等于 y 的， 所以说 k 二呢，斜率也是负的二分之 a 了， 那么垂直又是两个斜率相乘，是等于负一，又是二乘以二分之负， a 是 等于负一的，那也就算出了 a 呢，是等于一的，那么这道题就选 b 选项啊。 好，接下来我们看到第七题，那第七题呢，是一个冲要性的判断。那我们首先看前推后，那前推后呢？对于三 a 是 等于二分之一的时候， 我们是不是可以推出来 a 呢？可以等于六分之派，或者六分之五派，都可以导致三 a 是 等于二分之一的，对不对？但是我们就不一定可以推出来 a 一定是六分之派，因为它还可以等于六分之五派，对不对？所以说很显然前推后不成立，又是不充分。 那再看一下后推前，也就是当 a 等于六分之派的时候，是不是很显然可以直接推出来 si 影 a 是 等于二分之一的呀？所以说后推前呢，是成立的，也是必要性是成立的。 那么很显然，这道题就是必要不充分啊，那么这道题就应该选 b 选项。好， 接下来看到第八题，那第八题呢，对于一个此对数的一个大小的一个判断的话，那每一个选项分别去判断一下，对于一点二 的零点三次方，它是不是一个底数是大于一的一个指数函数啊？所以它是一个真函数，对不对？它就一定是大于一点二的零次方的，那么指数越大，它的函数值越大，对于真函数而言，就说也就是一点二的零次方呢，就是等于一的，那么很显然它应该是大于的，它这里是小于，那么就应该是错的啊。 再看一下 b 选项，那 b 选项用到了一个重要的恒等式的一个应用啊，那么对于前面的话，它们一个比较大小，对于它们底数不同，那我们首先想办法把它底数换成相同的，那对于前面这一个 log 以二为底三的对数，我前面可以配一个二分之二呀，对不对？那么分子的二呢？我可以提到真数的指数上，那对于分母的二呢？我可以提到底数的指数上，也又可以推出来是等于 log 二的二次方为底三的平方，也是等于 log 以四为底的对数九啊。 那么很显然，我这时候再去比较与 log 四为底六的对数的大小关系的话， 那么很显然底数呢，都是四也是大于一的，是递增函数，那么说明它的增数越大，它的函数值越大，所以说它就是大于 log 以四为底六的对数，那么很显然 b 选项就是正确的，那么这道题就选 b 选项。 好，接下来我们再看一下 c 选项，那 c 选项呢，它是一个二为底的一个指数函数，它很显然是大于零的，因为它是一个正数的指数函数，那么很显然是大于零的，那么 c 选项它说小于零就是直接就是错的啦。那么再看一下 d 选项， 那对于低选项来说，我们要去判断与一的一个大小关系，那我们先写成 log 零点三七的对数，那么对于 log 零点三，零点三来说，这是不是等于一的呀？所以说它们的底数呢，都是零点三是小于大于零的，所以说是一个递减函数，比如说它的增数越小，它的函数值反而越大，那么就应该是 log 以零点三为底三的对，零点三的对数也是等于一的，应该是大于七的，那么这道题低选项就是错的啊。 好，接下来看第九题啊。那第九题的话，给了一个说在平行四边形里面， a、 b、 c 三个点，那求 d 点的坐标，那对于 d 点坐标的话，我先去设它为 x 的 y 啊，那么在平行四边形里面画一个平行四边形，又是 a、 b、 c、 d， 那么很显然，我们这里要用到向量的一个关系式，比如说对于平行四边形而言， a、 b 向量是等于 d、 c 向量的啊，因为它们方向相同，它们且它们也应该是长度也是模值也是相等的，对不对？所以说我们可以推出来 a、 b 向量是等于 d、 c 向量的，那对于 a、 b 向量呢？计算呢，也是用 b 点坐标减去 a 点坐标，对不对？那么也就是负二减一。逗上零减二 应该是等于 d、 c 的， 也就是 c 点的坐标减去 d 点的坐标，那么我们设的 d 点坐标为 x 到 y， 对 不对？所以也就是三减 x 到负一减 y 啊， 所以说横等于横，纵等于纵，我们就可以解出一个方程组，也就是三减去 x 是 等于负三的，负一减 y 呢，是等于负二的，也可以解出来 x 呢，是等于六， y 呢？等于一的，所以说 d 点坐标就可以解出来是六逗一啊。那么这道题就选 c 选项。 好，接下来看第十题啊，那第十题呢？给了一个 f、 n， 它说是等于一加二加四，一直加到二的 n 次方的，那很显然，我们观察出来，它其实是一个 等比数列，对不对？那对于首项来说，是二的零次方，二的一次方加到二的二次方一直加 加到二的 n 次方，对不对？那我们这里要注意的一共有多少项呢？一共是零，一直到 n， 对 不对？指数是代表项数吗？可以观察出来，那么很显然这里有 n 加一项啊，所以这里 f n 呢，代表是计算前 n 加一项和啊。所以说我们要去算 f 二零二六的话，也是我们要算二零二 二七项的和算这个等比数列啊。所以说观察出来， a 一 有时首项是等于二的零次方，有时等于一的 q 呢？有时后一项比前一项来任意一个，后一项比前一项都可以啊。有时二的一次方比上二的零次方是等于二的，对不对？就说等比数量的 a 一 和 q 都已经知道了，那我们去算 f 二零二六也是，且 s 二零二七项的和应该是等于 a 一 乘一个一减去 q 的 n 次方，用这个公式对不对？一减去 q， 写一下公式，有时代入具体值，有时一乘以一减去二的二零二七次方， 再除以一减去二，所以说化解出来应该是等于二的二零二七次方减一啊。那么这道题就应该选 d 选项啊。 好，接下来看到十一题啊，那在平面直角坐标系里面啊，给了一个动点到直线 x 等于一的距离比它到一个点的距离小二，对不对？所以说我们判断出来它到直线 x 等于一的距离小二的话，那么很显然我去加一个二，是不是它就到一个某直线的距离 和到这个点的距离相等啊？那加一个二的话，是不是在这个直线上面去加就可以了？所以说它很显然是到 x 等于三这个直线的距离，因为 x 等于一，以 x 等于三来说，它们的距离是不是差值就是二呀？所以说它加一个二的话，那么很显然这个动点到 x 等于三的距离，就到这个点的距离是相等的，对不对？ 那么对于这一个关系，一个动点到一个定点的距离是相等的，那么很显然这个直线就是它的一个准线，对不对？ 那么这个点呢，就是它的一个焦点，那根据点来呢，我们就可以判断出来，它的开口是向左的一个抛物线方程，且呢是在 x 轴上，对不对？ 所说我们可以直接设它的一个抛物线方程，也是 y 平方，是等于负二 p x 的， 那么很显然，又因为这个二分之 p 呢，根据它的焦点或者准线都可以是等于三的，对不对？所以说可以推出来 p 呢，是等于六的，那么把这个 p 等于六呢，代入这个设的方程里面，又是 y 平方，有等于负的十二 x 了，有算出来是 a 选项啊。 好，接下来我们看到十二题啊，那十二题呢，计算一个虚数对不对？只需要记住 i 平方是等于负二 i 的， 那么这道题就选 d 选项了。 好，接下来看到十三题，那十三题呢，比较简单告诉我， sine alpha 是 等于五分之四的，由于这个 alpha 呢，给了我一个范围，所以说这个 alpha 是 属于第二象限角的，那么 cosine alpha 呢， 就应该是为负的，对不对？所以说我们去算一个 cosine alpha 就 应该是负的根号下一减去 sine alpha 的 平方，那么化简出来也是等于负的五分之三的， 那么 sine 尔法和 cosine 尔法都已经算出来了，那对于后面这一个 sine 尔法减去四分之派的话，四分之派是一个已知的特殊角，对不对？所以说直接和差公式展开就可以了。又是 sine 尔法， cosine 四分之派，减去 cosine 尔法， cosine 四分之派，那么 cosine 四分之派和 cosine 四分之派啊，都是二分之根号二，提一个二分之根号二出来，又是二分之根号二倍的五分之三啊， 那么化简出来呢，有等于二分之根号二，乘以一个五分之七，那答案呢，也是十分之七倍根号二，那么这道题就选 c 选项。 好，接下来看到十四题啊，那十四题呢，告诉我，平移数它是等于四的，比如说 x 一 加上 x 二加上 x 三加上 x 四，再加上 x 五，除以五是等于四的，那么后面呢，给了我更多复杂的让它去算平移数，我们先把它加起来看一下， 那么加起来呢，每一项都有一个二，我们把它放在一起，还有 x 的 又是二倍的 x 一 加上 x 二加上 x 三加上 x 四，再加上 x 五，那后面呢，他们都每一项带了一个常数值，也分别合在一起，加起来就是一加上二，加上三， 再加上四，再加上五，那么再去除以它的像素，也是一共有五项，对不对？所以说你把它拆开呢，也就得到了五分之 二倍的 x 一 加上 x 二，一直加加到 x 五再加上， 那这里拆开呢，也是五分之一加上二加上三加上四，加上五，是等于十五的，对不对？那就是十五嘛，所以说这里呢，算出来，那么对于这一个整体是不是和前面这里是一样的？其实就是四对吧，也是二乘以四，再加上后面呢，这里是三对吧，也是八加上三等于十一，所以这道题就选第一选项啊。 好，接下来看到十五题啊，那十五题呢？给了一个定域，在这个上面是奇函数，那么给了一个关系的表达式，又说 f x 加三呢，是等于 f x 的， 那我让我们去求这个 f 二是等于多少的？还给了一个 f 三加 f 四等于五的。 那首先对于奇函数来说，我们会想到 f 零呢？是不是等于零的呀？那么当 x 等于零的时候，你代入这个恒等式表达式里面，有时观察出来，可以得到 f 三 加上零是等于 f 零的，又是等于零的，对不对？很显然， f 三呢，可以算出来是等于零的，那这里又有出现了 f 三，那把零带去，又是得出来 f 四呢， 是等于五的，那 f 四等于五，我们还能用什么？再用一下前面的一个关系式，那么也要得到 f 四是等于 f 一 加上三的，那么一加上三是不是很显然是不等于 f 一 的呀？ 那么 f 一 再用一下，是不是等于 f 负二加上三呢？所以说负二和二是不是可以扯上关系啊？因为奇函数对，所以说它是等于 f 负二的， 那么也就是等于五的，所以说 f 负二是等于五的，那么对于奇函数来说， f 二是等于负的， f 负二的又是等于负五的，所以说这道题就选 b 选项啊。 好，接下来看到十六题啊，那十六题呢？从这个数字里面随机取两个不同的数，那其和大于四的概率， 那对于随机取两个不同的数，是不是用到 c 啊？也是因为是随机嘛，所以说也是 c 四二，对不对？那么对于概率的计算，是不是也就是概率这个事件发生的总数也是 c 四二分子这个事件发生的次数对不对？那么事件发生次数呢？我们直接用列取法，大于四的概率，那全部都列取出来呢？很显然是一加上四 可以成立，二加上三成立，二加上四成立，三加上四成立，那很显然只有四种，对不对？所以说这里呢， c 四二算出来是等于六的，那么就是六分之四，那么约分以下是三分之二，所以说第一题呢，就是三分之二了啊。 好，接下来看到十七题啊，那十七题呢？告诉我，在三角形里面， a b 呢，是等于多少的？给了 a， c 呢？也给了 c 角，是三分之派的，那我们去求这个 b 角，那么很显然，我们先去画一个三角形，判断一下边数的关系对不对？那画一个三角形 abc， 那 么 ab 呢，是等于二倍根号三的， ac 呢？是等于二的 c 角呢？三分之派，那么求这个 b 角啊，很显然是不是告诉了一一对的 对边以及对角对不对？所以说直接用什么正弦定理啊。又是 a b 比上三引 c 是 等于 a， c 比上三引 b 的， 那么代入已知值又是二倍根号三比上三引三分之派是等于二比上三引 b 的， 那化简一下，又可以推出来 sign 三分之派是等于二分之根号三的，对吧？所以说两边有二呢，也可以约掉，根号三也可以约掉，所以说倒过去又得出 sign b 呢，是等于二分之一的，那 sign b 是 等于二分之一的。又因为啊， a b 是 不是大于 a c 的 啊？大边对大角，所以说 c 角呢，一定是大于 b 角的，比如说三分之派是大于 b 这个角的，那满足这个条件的，比如说 b 小 于三分之派，且三以 b 呢，是等于二分之一的，只能推算出来， b 呢，等于六分之派啊，所以这道题就是六分之派。 好，接下来看十八题啊，那十八题呢，点乘呢？就是横乘以横，重乘以重，那是等于三的就可以了，对吧？很显然就是三 x 加上负三乘以一个四啊，那么是等于三的算出来呢？直接解一元一次等式，有 x 呢，是等于五的就可以了。那么这道题就是五啊。 那对于十九题的话，这是不是用等差中项去求解啊？那对于 a 二加上 a 八呢，很显然是等于两倍的 a 五的，对不对？所以说 a 二加上 a 八是等于两倍的 a 五的， 那所以我们把 a 二 a 八换成两倍 a 五呢，也是三倍的 a 五是等于十五的，所以说 a 五呢，就可以算出来是等于五的啊。那么 a 五算出来呢？对于 s 九，我们用求和公式写一下， s 九呢，是不等于二分之九乘以 a 一 加上 a 九啊。那对于 a 一 加 a 九，是不就是等于二倍的 a 五啊？那 a 五呢，又算出来是等于五的，又是等于二分之九乘以二，再乘以五，所以说五九四十五，答案就是四十五啊。 好，接下来来到二十题啊，那二十题呢，给了我一个双曲线的一个方程，所以说它的一个渐近线方程呢，我们可以直接写出来， y 呢是等于正负， a 分 之 b， x 的 与这个圆相切。有说这个圆心到这个直线的距离是等于半径的，对不对？就说圆心呢，是等于三到零的， 那半径呢，是等于根号二的，对不对？这里是二嘛，所以说直接开方是等于根号二的 r， 那 求这个双角线的离心率也是 a， e 是 等于 a 分 之 c 的， 对不对？所以说我们根据这些已知条件呢，我们要去用到什么 点到直线的距离公式，所以说我们先把这个直线呢写成普通方程，又是正负 a 分 之 b， x 减去 y 是 等于零的，每一项呢，都乘以个 a， 有 时正负 b， x 再减去 a， y 是 等于零的，那画成普通方程呢？我们再用点到直线的距离是等于半径的就可以了。比如说 三与这个直线用距离公式，有时 d 呢是等于绝对值，三乘以一个负 a 的 绝对值除以一个 根号下 b 方加上 a 方啊，那么化简一下，又得到他这里正负加了一个绝对值呢，其实就可以不用管这个正负了， 所以说也就是三 b 的 绝对值除以一个根号下 a 方加上 b 方是等于他的一个半径的，对不对？因为相切嘛，所以说是等于根号二的，那么两边同时平方啊，对于这个整体同时平方，我们也就得到了， 写到左侧来啊，又得到了九 b 方除以一个 a 方加上 b 方是等于二的，那么移项呢，又得到了，把这个分母直接移过去相乘，也就是九 b 方是等于二倍的 a 方 加上二 b 方的，所以说七 b 方呢，又等于二倍的 a 方啊，所以说我们就可以推出来 b 方呢，是等于七分之二倍的 a 方的，那么又因为 在双曲线里面， c 方呢，是等于 a 方，加上 b 方又等于把这个 b 方呢？换成 a 方，又是七分之九倍的， 七分之九倍的啊， a 方对不对？所以说我们再去算 e 了啊，再去算 e 就 比较简单了。那对于 e 来说，是不等于根号下 c 方除以一个 a 方啊，又等于根号下九， 七分之九倍的 a 方除以一个 a 方，那么约分呢，也是把这个 a 约掉了就可以了。有时根号下七分之九啊，又等于 根号七分之三，那么分母不能含根号上下乘一个根号七就可以了，那么也就最后得出答案是七分之三倍，根号七啊。

我们继续来讲解二零二四级河南省普通高中学业水平考试解析与检测的综合训练。四、 我们来看第二十三题。为响应强身健体，智慧学习常忆数仁中学开展了一次学生体质健康监测活动， 已知高三二班有五十名学生，其中男生二十二人，女生二十八人。 按男生女生进行分层，用分层随机测案的方法，从高三二班全体学生中抽取一个容量为二十五的样本，且各层中按照比例分配样本。 第一小题求女生应抽取的人数，这里边我们抽取的人数是按各层的比例进行抽取，所以我们来看一下女生所占的比例。总人数是五十， 女生所占的人数是二十八，所以抽取的女生的比例应该占五十分之二十八，而抽取的总的样本容量 二十五，所以女生应该抽取的人数是五十分之二十八，再乘以二十五啊，我们可以计算出这个结果，对，他是十四 啊。这是第一小题，就是女生应该抽取的人数是十四人。 我们再看第二题，已知样本中男生女生的平均体重分别为六十点八千克和四十六点四千克。现在让我们估计高三二班全体学生的平均体重， 让我们精确到零点一千克。 根据第一小题的计算啊，我们知道女生抽取的人数是十四， 那么男生应该抽取的人数那就是十一，因为总数是二十五。 平均体重怎么算呢？我们首先计算出男生和女生的所有体重，然后相加，再除以抽取的人数就可以了 啊。女生呢，一共有十四人，平均体重是四十六点四，所以女生的总体重四十六点四乘以十四，男生的总体重十一乘以六十点八， 然后我们除以总数二十五，计算出我们所要的结果就可以了。这个数呢，约等于五十二点七， 所以我们可以估计高三二班全体学生的平均体重约为五十二点七公斤。 这就是用样本来估计总体。这种方法也就是从抽取的样本得到的平均值近似的来代替这个 高三二班全体学生的平均体重。我们来看一下具体的解体步骤。 第一小题，因为各层中按照比例分配样本，所以女生应抽取的人数就是二十五，乘以女生所占的比例五十分之二十八，结果是十四。 第二小题由一，我们可以得到样本中男生应该抽取的人数为十一，所以平均体重 男生的总体重有六十点八乘以十一，女生的总体重四十六点四乘以十四，把它相加再除以抽取的总人数二十五，结果是五十二点七， 约等于五十二点七公斤。所以我们可以估计高三二班全体学生的平均体重约为五十二。我们来看第二十四题，已知函数 f x 等于 c， 二 x 加上 c 三分之派减二 x。 第一小题，让我们求 f 六分之 pi 的 值，我们要想求 f 六分之 pi， 我 们只需要直接代入就行了。 f 六分之 pi， 也就是把这个函数里面的 x 换成六分之 pi， 所以 它等于 c。 这个二乘。一个六分之派加上个 sin 三分之派减去二乘以六分之派， 二乘以六分之派呢？我们知道等于三分之派，所以等于 sin 三分之派。再加上我们看这个括号里边呢，正好是零，所以等于 c 零，而 c 零呢，就等于零，所以它就等于 c 三分之派加零， 所以我们计算 sin 三分之 pi 就 行了。三分之 pi 对 应的角度数是六十度，所以它等于 sin 六十度。我们知道 sin 六十度等于二分之根号三。好，第一小题呢就求出来了， 我们再看第二小题，当 x 属于零到二分之 pi 时，求函数 f x 的 最大值。我们要想求 f x 的 最大值呢，首先要对 f x 进行化解，这个 f x， 它等于个 sin 二 x， 加上个 sin 三分之 pi 减二 x， 我 们利用两角叉的正弦值给它展开， 我们来回忆一下两角叉的正弦值。 sin 阿尔法减 beta 等于什么呢？等于得 sin 阿尔法 cosine beta， 减去 cosine 阿尔法 cosine beta。 如果这个地方是加号，那么这个地方对应的也是加号。好，现在呢，我们首首先把后面这一部分给它展开，它就等于一个 sin 三分之 pi cosine 二 x。 啊，减去一个 cosine 三分之 pi sin 二 x。 另外，我们得知道 sin 三分之 pi 等于二分之根号三，所以我们继续写，等于 sin 二 x 加上个二分之根号三倍的 cosine 二 x。 cosine 三分之 pi 就是 cosine 六十度，它等于二分之一，减去二分之一倍的 sin 二 x。 好， 我们把它两个进行合并，所以结果就变成二分之一倍的 c in 二 x 加上二分之根号三倍的 cosine 二 x。 其中二分之一呢，我们可以换成 cosine 三分之 pi 二分之根号三呢？你可以换成的 sin 三支派，所以呢，这个数字就变成了 sin 二 x cosine 三支派，加上 cosine x cosine 三支派。我们再利用这个公式，就是反过来用 cosine cosine 加上 cosine cosine， 那 它就等于什么呢？等于 cosine 二 x 加上个三分之派。 好，我们要想求出 x 属于零到二分之 pi 时， f x 最大值，我们要把二 x 加三 pi 看作一个整体。首先要求出二 x 加三分之 pi 的 曲值范围，我们不妨令它等于个 t， 把它看成一个整体。因为 x 是 属于零到二分之 pi 的， 所以我们算一下这个二 x， 那 它是大于等于零，小于等于 pi 的。 那二 x 再加上个三分之派，那就大于等于三分之派，小于等于三分之四派。好，我们把它看成一个整体。我们画一下 y 的 in c x 的 部分图像， y 等于 c， x 在 零到二拍上的图像就可以了。我们直要哪一部分呢？我们直要三分之派到三分之四派。这一部分。好，这个地方是零， 这个地方对应的是二分之派，这个地方对应的是二分之三派。 好，我们找到三分之派到三分之四派，三分派，比如在这里到三分之四派。我们描述这一段，我们看最大值就是对应的最高点，所以我们很容易看出它的最大值是几呢？是一， 并且什么时间取得最大值呢？那就是这个整体就是二 x 加三派，二 x 加上个三分之派 等于二分之派时取得最大值。其实我们可以求出这时候 x 等于多少呢？也等于个十二分之派。 所以当 x 等于十二分之 pi 时， f x 取得最大值，最大值是一， 我们来看一下具体的解体步骤。第一小题，我们直接代入 f 六分之 pi， 其实它就等于 c 三分之 pi 加上 c 零等于零，所以结果是二分之差。三。 第二小题呢，我们首先把后边这个展开，我们利用了两角叉的正弦公式， 等于 c in 三分之派 cosine r x， 这个就是 c in 三分之派。减去 cosine 三分之派 cosine r x， 这个就是 cosine 三分之派。 好通过整理这两个进行合并之后得到二分之一 c 幺 x 加上二分之根号三 cosine x， 这个二分之一我们可以换成 cosine 三分之 pi， 这个二分之二，三呢，可以换成 cosine 三分之 pi， 用特殊角来代替它，这样的话呢，就变成了 cosine 阿尔法 cosine beta 加上 cosine alpha， cosine beta 的 形式。 再利用两角和的正弦公式，就等于 c 二 x 加三分派。因为 x 是 大于等于零，小于等于二分派的，由于这个区间 它表示的是大于等于零，小于等于二分派，所以我们可以求出二 x 加三分派，大于等于三分派，小于等于三分之四派。 我们画出正弦曲线的部分图像，我们根据这个图像可以看出，在二 x 加三派这个整体等于二分之派的时候取得最大值， 这个时候呢，我们可以求出 x 等于十二分之派，这个最大值呢，结果是一，其实际上就是 c 二分之派，这是第二十四题。 好了，综合训练部分我们已经讲完了，希望同学们在这次会考中都能取得优异的成绩，再见。

在六 sigma 当中呢，我们接触了很多统计学的知识，其中统计推断是我们最常用的，在我们的假设检验这一部分大类的知识点里边，我们充斥着统计推断的原理和概念。那么什么叫统计推断呢？ 因为我们抽样的时候具有随机性，所以我们通过抽取的样本对总体信息的推断和描述就叫统计推断。好让我们来看一个图，那么我们先定义这个大的圆球呢，是我们的总体， 那我们总体里边，我们总是希望对总体进行一些描述，那么我们对总体的描述，比如说平均值，方差呀，这些都叫总体的参数， 可是我们如何知道总体的参数呢？那么只有一个办法，就是对我们的总体进行全部的检验，这样我们就会准确的得到我们总体的参数， 可是有的时候我们无法进行全检，我们怎么办？我们就只能从总体里边进行抽样， 那么这里边进行了抽样，我们就涉及到如何进行抽样，这里边会涉及到我们抽样的方法， 那么我们抽到的样呢？我们就是得到了样本，那我们得到了样本之后进行测量， 也会得到对样本的一些描述，比如说样本的平均值和样本的方差，这些都叫样本的统计量。我们前面说了，因为抽样有随机性，每一次我们抽取的样本都不一样，所以我们不能直接用样本统计量来代表总体的参数， 这个时候就会涉及到一个概念，就是统计推断，我们需要通过我们的样本，利用统计推断的概念和原理来帮助我们推断总体的参数。 好了，这就是一个统计推断的闭环了。今天的质量小知识就说这么多，更多质量小知识请关注讨教哦！

朋友们，在社会科学研究里，抽样可是个特别重要的环节，不过很多人可能不太清楚抽样具体有哪些分类。 其实抽样主要分为概率抽样和非概率抽样这两大类。咱们先来说说概率抽样。概率抽样就像是一场公平的抽奖，总体中的每个个体都有已知且非零的概率被选入样本，这其中又包含了几种常见的方法。 简单，随机抽样。他就好比从一个装满名字的抽奖箱里随机抽取号码，每个名字被抽到的机会都是均等的。比如我们要从一个学校的学生里抽取一部分来做调查， 就可以把所有学生的名字写在纸条上，然后随机抽取。系统抽样呢，就像是按一定的规律来选，比如我们要从一排房子里抽样，每隔几户抽取一户。分层抽样则是先把总体按照某些特征分成不同的层， 然后从每一层中进行抽样。这就好比我们要研究一个城市的居民收入情况，先把居民按职业分成不同的层，再从每层中抽取样本， 这样能保证每个层都能被代表到整群抽样式。把总体分成一个个群，然后随机抽取一些群作为样本。 就像我们研究一个地区的学校，把学校看成一群一群的，随机抽取几所学校来进行调查。再说说非概率抽样，非概率抽样 就不像概率抽样那样有严格的随机性了。方便抽样就是研究者根据自己的方便来选举样本。比如在街头随机采访路人，判断抽样 是研究者根据自己的经验和判断来选举样本。就像一个专家根据自己的专业知识挑选一些有代表性的对象配合抽样，是先确定一些特征和比例，然后按照这些来选举样本，比如我们规定 要抽取一定数量的男性和女性来做调查。朋友们，了解了这些抽样分类，大家想想在实际的社会科学研究中，怎么根据研究目的和条件来选择合适的抽样方法呢？欢迎在评论区留言交流。

同学们好，我们来看一道评述脂肪图对应的题目。某次体能测试，学校抽取了部分同学的成绩得分为整数整理制成如所示的评述分布脂肪图，根据图式信息描述，不正确的是。下面来一个选项， a 选项评述分布脂肪图中主句是实，那么说到主句，我们要知道主句的概念。 在平数直方图当中，组句他指的是每一组两个端点之间的距离，这就叫组句。比方说，我们来看第一组，他的两个端点，一个是六十点五，一个是五十点五，那么这两个端点之间的距离就是 六十点五减五十点五，结果等于十，这就说明组句就是十。 a 选项正确， b 选项本次抽样样本的容量是五十，那么样本的容量我们只需把每组的平数加起来就可以了。 第一组的频数是四，第二组的频数是十，第三组的频数是十八，第四组的频数是十二，第五组的频数是六，那么这些数字加起来之后恰好是五十，说明 b 选项它是正确的。 c 选项，若低于七十点五分记为不合格，则不合格的人数为十人。低于七十点五分 的人数，我们从平数脂肪图当中去看的话，这都是第一组和第二组，所以低于七十点五分的人数，我们只要把第一组和第二组的平数加起来就可以了。第一组的平数是四，第二组的平数是十， 加起来他是十四，所以不合格的人数应该是十四人，而不是十人，所以不正确的应该是 c 选项。 d 选项，八十分及以上的人数占总体的百分之三十六， 八十分及以上从平数值方图当中来看的话，他指的是第四组的人数和第五组的人数。第四组的平数他是十二， 第五组的平数他是六，所以在样本当中，八十分几以上的占了十二加六，也就是十八人。样本的容量是 五十，所以他占样本的几分之几，就是用十二加六除以五十算出来之后，当然是百分之三十六。 no 八十分之以上的人数占总体的百分比就是百分之三十六，所以 d 选项也是正确的。此题最后选 c。

我们要讲解的是数据的收集，第一个，他说想要统计北京冬季奥运会项目，以下是打乱的顺序，问你哪一个正确的？那第一个啊，你看统计，根据统计表格绘制条形统计图， 这个应该是后边的了，是吧？然后第二个，先制作调查问卷，这个应该是对的啊，然后其次呢，他说整理应该是四啊。二、完事是先整理， 整理好了以后绘制成统计表，然后从哎先有图，然后再从条形统计图章当中看，所以是二四一三，答案是 b 选项。第二题，认为最合理的是哪一个？ 问卷调查你认为最合理的是？那先看第一步呗，对吧？你最喜欢的一种家用家用电器，让你单选， 选择四个，你注意什么叫做家用电器， 是不是厨房这个不能选啊，对吧？你厨房电器那指的是啥呀？你到底指电饭锅还是指啥呀？还有这个制冷的，你到底是指空调啊，还是这个，对吧？冰箱啊，所以一个六是不能选的啊。那这题我们就只能是选的选项。第三个， 采用普查的方式，第一个， a 选项错了，它具有破坏性，所以我们不能选 b 选项， 全是上太多了，也不能选啊。然后 c 选项呢？垃圾分类也是太多了，没法选，但 d 是 可以的，数据比较小。某班啊，你有四五十个人，所以是 d。 下一个某部门了解了解这个能源车电池的使用情况，采用的叫抽样调查，因为它是具有破坏性的，下一个， 全面错了，对吧？呃，因为灯泡，灯泡，这个灯泡它是具有，看寿命的话，它是具有破坏性的，所以全面调查肯定是错的啊， 第六个，第六个呢，涉及到的是这几个名词，那我们先看第一个样本，容量是五百，没问题。对的， 然后第二个六百错了。你就记住，无论是总体样本还是个体，你要说的都是你调查的是数学成绩，所以 二错，下一个。你看这个就对，因为他提到了数学成绩。下一个。第四个错，因为是五百名同学的什么数学成绩是一个样本，所以正确的有两个答案是 b 选项， 下一个样本三百名不行，体重好，所以你把画红的写在上面就可以了啊。第八个 抽样比较合理的是哪一个？那先看第一个，公园不行，对吧？因为有一些人他不愿意去锻炼嘛，所以他这个就会有偏差的啊，所以一不行，二呢，在医院调查。哎呀，那也不行是吧，医院的人都生病了哈。然后第三个调查了实名 老年邻居的状况，也是具有地域性的，所以这个也不太行啊。第四个，利用派出所，这个是没问题的，所以圆圈四是正确的。

今天我们来讲一下新鲜出炉十二月份广东联考的冲刺试卷吧。第一题，考了一个 b 级，那么 b 级就会全部加起来啊，就是零一二三啦，选 d。 第二题，负数，那么这题呢，还是挺新颖的，那么我们这里呢，只需要十步和十步相对应就行了，也就是 a 等于负一，虚步与虚步相对应，也就是 b 等于二，这就行了，那么这里呢，就变成了负一减二等于负三选 b。 第三题，定义域， log 的 定义域二， x 减一大于零二， x 大 于一， x 大 于二分之一选 a。 第四题，我们使用竖列的递推公式，也就是 a n 等于 s， n 减 s， n 减一，这里是 a 五啊， a 五等于 s， 五减 s 四，那么 s 五呢，就是 等于二乘以五就十啊，十减一等于九好， s 四等于二乘四为八，八减一等于七，那么就九减七等于二选 c。 第五题，求口三，那么口三呢，就是等于 x 比 r， 那 这里呢， x 为二嘛，我们只需要求出 r 就 行了。 r 等于勾股定律，根号 x 的 平方加 y 方等于根号二的平方为四， 这里这里负根号五的平方为五啊，那么四加五呢，就等于九啊，根号九等于三，所以等于三分之二选 b。 十六题，全校一共有两千个学生，然后抽取一百人，那么一百人里面高二有多少个学生？首先我们要算出高二学生的比例啊，那么这里呢，高一八百，高三五百，呃，用二百两千减八百， 再减五百，就是高的人数啊，他一共是有七百人的，那么所以呢，他的人数的比例呢，就是两千分之七百，也就是二十分之七，我们只需要用这个容量一百乘以他的比例二十分之七就可以了，等于三十五啊，选 d。 第七题考了一个向量的夹角公式啊，那么口上的西塔，它是等于向量 a 乘以向量 b 除以 a 的 模，乘以 b 的 模。好了，向量 a 乘向量 b 呢，那就是 x 一 x 二加 y 一 y 二 好了， x 一 x 二，就是二乘以一等于二， y 一 乘以 y 二，负一乘以负三，那就二减三了。 a 的 模呢，就是勾股定律啊，根号，根号 x 的 平方加 y 方。这个啊，我们来看呢，这里就是根号五了，二的平方为四，四加一等于五，根号五乘以，这里也是一样的，根号一的平方加三的平方等于根号十，那么它就是等于 根号五十。然后呢，这个它是一个负数的，排除 a 和 c， 然后呢，这个负一肯定不可能的啦，这这一坨。所以呢，直接选 d。 第八题，简易逻辑，我们先把前面的这个求一下它的范围， s 减一小于二，照抄， x 减一大于负二，改变两个数，小于变大于正二，变负二好， x 小 于三， x 大 于 负一，所以它的范围呢，就是负一小于 x 小 于三。这里我们需要画一个数轴，负一三，它是这样子的， x 小 于三，它是这样子的。很明显了，前面是小范围，后面是大范围，前长后大，充分不必要选 a。 第九题，求直线方程，我们用点斜式啊，就是 y 减 y 零等于 k， x 减 x 零。好，翻译一下题目，他说在 y 轴的截距为负二，也就是过零到负二的这个点。 ok， 那 什么都有了，那就是 把零和负二带进去啊，那就是 y 加二等于三分之一， x 减零，那不写了， x 减零就不写了哦，去分母乘以三，方乘，两边同时乘以三三， y 加六等于 x， 所以 整理一下， x 减三， y 减六等于零，选 a。 第十题，他说这个函数为偶函数，那么偶函数是没有奇次项的，奇次项呢，就是它的次数为奇数的。我们来看啊，这个 次数为二，它是偶次项的。哎，这个 x 的 次数为一，所以呢，它是没有奇次项呢，也就是它的系数为零， b 减一，系数为 b 减一啊， b 减一等于零， b 等于一，排除 c 和 d。 那 么他说在零到正无穷，单到递减呢？我们随便画一个矢图吧，零到正无穷，单到递减呢？就是，哎，这样子下来的喽，再把它补充完整。所以呢，它的开口是向下的，说明 a 小 于零， a 小 于零选 b。 好， 今天课就到这里。

哈喽，大家好，今天我们学习总体个体样本和样本容量。总体是要考察的全体对象，个体是组成总体的每一个对象样本，在总体中抽取调查的部分对象样本容量是样本中包含个体的数目。 好，我们看下列立体学校为了了解五百名初三学生的体重情况，从中抽取一百名学生进行测量，下列说法正确的是。 a 选项总体是五百，我们研究的是学生的体重情况，所以总体是五百名初三学生的体重情况。 a 选项错误。 b 选项样本容量是一百，那么出去一百名学生，所以样本容量是一百。 b 选项正确。 c 选项样本是一百名学生，我们研究的是体重情况，所以样本是 从中抽取的一百名学生的体重情况。 c 选项错误。 d 选项个体是每个学生，个体是每个初三学生的体重情况，所以 d 选项错误。那么最终正确的只有 b 选项。