陕西单招几何图形题型及解题

大家好，我是老刘，今天我们来看这个啊，我们首先继续还是先看我们的步骤进行到哪一边，对吧？ 那首先把条件进行一下分析，那么这里有很重要的，就是前面我们这些问题的结论都将列入条件的范围内，特别是关注我在第四问，要特别关注第三问的条件，第三问就要特别关注第二问的条件啊，类似于这样的。好，我们先把这个条件看一看， 那对照完了之后，看看自己的问题在哪里啊？那我们看一下几何的步骤，那首先前面我们之前分析过的内容，我们就不在这里一一写了啊，那可以看一下这个内容，都在这里对比一下，那我们讲重点看什么？上一题的这个结论一百五十度，那其实这题说白了他的四问就是什么在每一问把这个思路给到你 啊，那如果没有这一二三问，直接让你上第四问啊，那这个难度还是非常高的，那我们来看一下，那我们围绕第四问 来看啊，前面的条件我们就不再讲了啊，那么有 p、 q 四就是重点的内容，就是这个 q c 等于五， p c 等于三，然后 b p 等于四啊， b p、 c 等于一百五十度，对吧？那我要接下来是看完的条件，我要看结果，这个结果 我要求三角形 a、 b、 c 的 面积，那这个 a、 b、 c 的 面积我要怎么求啊？底乘以高除以二，对不对？那因为 a、 b、 c 是 一个等边三角形，所以也就是说我如果能把 a、 b、 c 的 边长求出来，那它的面积就很简单了。好，所以接下来我们重点是求三角形 a、 b、 c 的 面积啊，边长，那它边长怎么求呢？好在这里的话， 其实我们会用到多种方法啊，就是，呃，求面积，求边长。当然我们之前讲的通常情况下我们还是要根据条件来进行分析，他从结果去进行分析，这个能分析到的思路不太多啊。那这里我们有方法的继承和那个关键的条件，因为看结果，其实这个边长 看不太出什么，我们有什么好的方法，对吧？所以我们转向关键的条件，关键条件是谁呢？就是第三个我们求出来的 bbc， 这个角度是一百五十度，我们可以怎么用 啊？那一百五十度我们通常的用法就是拆分，拆分九十度、六十度，那在原图当中，其实上一位我们就是通过九十加六十得到的，对不对？所以在后面肯定基本上不太会继续沿用这个思路。那所以一百五十度我们还有什么用法呢？啊？就是我把它延长，是不是会出现个三十度的角啊？ 那三十度角有什么特别的？三十度角所对直角边是斜边的一半。不对，我不知道这个内容。那我们首先把 b p 延长啊，延 b p 延长延长到这里，那接下来我根据刚才我们讲的三十度特殊地方在于什么？那个直角三角形对不对？所以我要再构建一个直角三角形。那怎么构建呢？很显然这里过 c 点做一个垂线下来，假如说这个是一点啊， 那这样的话，这个角度就是三十度，那 p c 我 也知道，那你看 e c 我 是不是可以求出来等于二分之三啊？那这样的话，你看 p e 我 也能求出来，这个等于二分之三根号三， 那 p e 求出来，你看我们要求的什么？我们要求的是边长三角形 a b c 的 边长 a b 或者 a c 或者 b c， 那 在这里，在三角形 b， e c 这个直角三角形当中啊，我们已经具备了条件了啊，我可以通过勾股定律来求得 b c 的 长度，那么 e c 有 了 p， e 有 了 b p 是 不是也有啊？ b p 我 们得到是多少？ b p 是 等于四的，那也就说我把它加起来得到的就是 b 一， 那我再通过勾股定律可以去把这个边长给它求出来。求出来之后啊，接下来我去计算面积就可以了啊，那其实等边三角形我们再看一下啊，我们可能就不需要去完整的去计算它的整个面积，可以怎么看呢？啊？假设它的边长是二 a 的 话， 好，那我这个数字 a， 这个是根号三 a， 对 吧？那我的底边就是二 a， 那 你看我通过公式二分之一乘以二 a， 乘以根号三 a 等于多少？根号三 a 的 平方， 对吧？那就是说我这里通过勾股定律，我直接求它的平方就好了，我都不用去把它本身求出来。好，通过这样的方式，我们把这题给它做出来。

大家好，我是老刘，今天我们来看这个旋转题啊，还是老样子，我们先对照我们的条件分析和结果的分析，看一看自己的分析在哪里有问题啊，然后再做针对性的提升。好，那我们来看看原来的题目啊，那我们首先做条件的分析， 那等边三角形 a、 b、 c 啊，那等边三角形的话，那就内容比较多，是吧？那个六十度的角，以及说每一条边都相等啊，这是得到的第一个条件，那第二个条件就是得到了三条边，那这三条边是一个勾股数，是吗？非常的明显，但是它在这个图里面 p a p b c， 没有看到有什么样的关系啊？那第三， 呃， a、 b、 p 进行了旋转，那旋转之后我们要关注什么啊？这个线旋转之后，旋转前，旋转后分别是谁啊？我们要把它找出来，然后旋转之后的话，它旋转整个三角形，那三角形是全等的啊，那所以就是说它的 ab 等于 ac， 那 这个是比较显来的对不对？从 ab 转到了 ac， 那 这个旋转角就是六十度，对吧？这个很自然可以分出来。好，那接下来我们再看 这个整个三角形 a、 b p 旋转到哪里呢？ b p 旋转到了 b q 啊，旋转到了这里啊，旋转到了 b q， 那 然后这个 a p 旋转到哪里呢？ a p 旋转到了 q c， 那 你看 b p 等于 b q， 那 是不是等于四啊？那它是不是等于五啊？那这个 p、 q 之间的距离，那就多少就是四，对吧？那它要求角 b、 p、 c 的 度数，那它的度数 怎么来求呢？我们之前讲过，其实求这个度数，对吧？我们没有什么呃，结果来看，没有什么太多的方法，我们就是从条件来看一看我们得到了哪些内容，然后再去看我们怎么求的啊？那这里来看这个 bbc 的 度数。那 呃，角 bpc， 它是等于角 b p q 加角 q pc 啊，这两个角相加，对吧？啊？或者是说我用三百六十度减去 b p a， 再减去 abc 啊？但是因为这里我们通过 b p 等于 b q， 并且旋转角是六十度，其实我们可以得到角 b p q， 角 b p q 是 等于六十度的啊，因为 b p q 是 一个等边三角形啊，因为它有 b p 等于 b q 啊，这个 p b q 呢，旋转了六十度， 所以通过判定可以知道这是个等边三角形，所以呢，我们选择了这个 b p c 等于 b q， 加上 q p c， 那 接下来就是我要去求这个 q p c 的 度数，那接下来我们把 这个新出来的这个边长标一下， q p 等于四， q c 等于五， p c 等于三三四五个五数，所以 q p c 是 九十度啊，这个就是九十度，所以我们可以得到什么一百五。

大家好，我是老刘，今天我们继续来看啊，就是我们在这样做了之后啊，六十度利用起来了，但是依然会有个什么问题呢？我要求 a、 d， 那 这个 a、 d 这样子怎么求呢？这样子没法求，那求长度，我们要从在什么里面？勾股定律就是我要用直角三角形，对不对？所以这个啊依然是不合适的，那我们要怎么做呢？啊？我继续把它延长过来啊，做，做过来，那我从 d 点来做一个垂线呢？啊，咱们这个是 f 点，这个是 g 点， 再看 a、 e、 f、 g 依然是一个矩形，对吧？那这里我知道 a、 b 的 长度，这个四十五度，我的 a、 e、 b、 e 是 可以求出来的啊，可以求出来，这个是等于根号三，根号三，那所以 f、 g 也等于根号三。好，那接下来我们看 这个是六十度，这个就是三十度喽。那 c 等于六， c， f 等于三啊，那 b、 f 呢？等于三倍的根号三，那你看这样的话，我的 d、 g 是 不是等于二，根号三啊？啊？然后 b、 c 呢？ 你看接下来我在这个求 a、 d 的 话，我的这个直角三角形 a、 d、 g 当中，我 d、 g 有 了，我接下来求 a、 g， 对 不对？ a、 g 怎么求啊？ a， g 等于 e， f 等于 b， e 加 bc 加 c， f， b 根号三， bc 五减根号三，加上 c， f 等于三，等于二，等于八啊，你看那一个等于八，一个等于二，根号三，那这样我就可以通过勾股定律去把 a、 d 的 长度给它求出来了。

大家好，我是老刘，今天来看一下这个题啊，题目和图都非常的简单，那你看我们的条件分析，我也没写，结果的分析也没写，因为条件分析每一个条件都可以发现他并不能直接得到什么 结果就更是了，我们说求长度的题怎么样？他一般是通过条件来看看我们应该怎么来求的，对吧？所以我们这边就会进入第三个步骤，关键条件法。那什么是关键条件呢？那这里肯定是 abc 一 百三十五度和 bcd 等于一百二十度，怎么来怎么来用，那这两个角度是怎么用的呢？ 一些特殊的角还有什么？呃，一百五，对吧？他们的用法怎么用呢？就是拆分，或者是说做一个大平角的补角啊，就这两种方法， 那我们看一下一百三十五度哦，我可以做什么呢？一百三十五度，我可以分割成九十度和四十五度的角，对吧？啊？那我们可以尝试一下，比如说分九十度有两种，一种是垂直 bc， 好， 那得到这样，那得到这样之后呢？这个角度是四十五度，那会发现什么？这个角度是四十五度，我好像没有办法去用，它能做什么啊？那么接下来换一种垂直 a b， 这个角四十五度，其实跟刚才一样的问题，对吧？啊？我不知道他能做什么，好像看起来没有什么太大用处。那接下来就是说啊，我要么延长 b c， 得一个四十五度，要么延长 a b， 得个四十五度，那得了四十五度之后我要做什么呢？我还得构建直角三角形啊，那下面就试一下，就发现我如果延长 b c 这个做垂直啊，假如这个是一点， 那这样的话，因为 a b 等于根号六，那我的 b e 和 a e 是 可以求出来的啊，那我们暂且保留这个方法来看一看啊。那在接下来呢， b、 c、 d 一 样的思路，这个一百二十度可以分成什么？它就分的比较多，六十和六十，九十和三十啊，还有一百二和六十，那同样我们来看一看，如果我分成垂直 c、 d 啊，得这个角呃，三十度，那从这里来看，我们得不到什么非常有用的东西啊。那 如果是垂直 b、 c 呢？一样的，这个角三十度，我能得到什么？这么看好像也得不到什么，对不对？好，但是这样我做了直角之后就会发现什么呢？哎， c e a 这也是个直角，对吧？那我再过 a 做一条垂线呢？ 哎，那这样我是不是就有 a e 和假如是 f 的 话， a e 和 c f 是 相等的，对不对？我可以得到 c f， 那我剩下这个角是三十度啊，剩下这个角是三十度，那剩下这个角是三十度。其实我再去延长的话啊，这里有一个直角，对吧？这个直角出来，那这样有个直角出来之后，那这个三十度也可以来用了 啊，所以我们大概率会采用这个方法来看一看。那我们后续是怎么来做的啊？那接下来就是说，因为 a、 e、 c f， 这是一个矩形，对吧？通过矩形 f， 这个是假如，这个是 g 点吧？啊，那么这边啊， c g 是 可以求出来的，那求出来之后呢？这个 c、 f、 f g 啊，这边都是可以求出来的，那我再呃围绕哪个来求呢啊？就是我还需要一个直角三角形，对吧？

hello， 大家好，今天我们来完成复习题四的内容。首先我们来看到 a 组，这是巩固第一个填空题。第一小题，两条直线之间的三种位置关系，分别是什么？平行， 相交，其实这两种是我们在同一个平面当中的关系，对不对？但是通过我们这一张学习，我们会发现两条直线还可以怎么样？不在一个平面内，我们称它为异面 好。直线与平面之间的三种位置关系，分别是直线在平面上， 或者说在平面内啊，写平面内吧，然后直线 与平面平行， 还有什么？直线 与平面相交， 那么两个平面之间的关系啊，有两种，一个是平行， 一个是相交。看一看啊，有没有问题？没有问题，我们来看第二个，如果一条直线垂直于一个平面， 那么这条直线就与这个平面内的任意一条直线都怎么样？都垂直啊，但是平行呢？它并不满足我们这一个内容， 不是说一条直线与一个平面平行，那么这条直线就平行于这个平面内的任意一条直线的哈，这个是不正确的，但是垂直是正确的。然后第三题， 若四十五度的二面角的一个面上的一个点到另一个面的距离是根号二 a， 则这个点到棱的距离是好。这一个呢，我们需要画一个图来画一画， 这里有点被挡住了，部分用虚线啊，感觉这个角是不是有点太倾斜了，不止四十五度。 好吧，还是有点太斜了，没关系啊，我们凑合一下，你看一下。好，这里是四十五度这个二面角这个面上的一个点， 他到我另一个面的距离，也就是说过这个点来做我的什么垂线，对吧？一个平面 一个点到我平面的距离，是应该他要做垂线吗？对不对？也就是这个垂线要等于多少根号二 a。 好， 这里是四十五度， 这里呢？是垂线九十度，所以我这一个图形抽象出来，他应该是一个等腰直角三角形，这也是根号二 a 这里，那也应该是根号二 a， 对 吧？因为这四十五度嘛，那我这一个 点到我棱的距离，也就这个是我的棱，对不对？这一段也就我这个三角形斜边应该等于多少二 a 嘛？ 你根据勾股定律去算，或者根据我等腰直角三角形三边的比值啊，一比一比根号二去算，是不是也可以？那你这一份是根号二 a， 那 根号二份就是根号二 a， 再乘一个根号二，是不是等于二 a 了，对不对？好，看一看我们的 第一个填空题有没有问题？没有问题之后我们来看到我们的选择题啊， 下列命题正确的，是第一个平行于同一条直线的两条直线平行，哎，这个是正确的。我们说平行是有什么传递性的，对吧？好，第二个 平行于同一条直线的两个平面平行，这个是什么错误的啊？这个平面平行是没有传递性的，你看，这是我的一条直线，这是我的平面 r 法， 这是我后面的一个平面背他，对吧？这两个面都和我这要直线平行，但是这两个平面平行吗？不平行啊，所以第二个是错误的啊。 好，然后第三个平行于同一个平面的两条直线平行，那这个也是错误的。举一个例子， 这是我的平面而发好，这条直线 m 和它平行，这条直线 n 是 不是也和它平行？但是 m 和 n 平不平行，并不平行，对吧？好。 然后第四个平行，为同一个平面的两个平面平行，哎，这个是正确的，所以我们依次正确。那我选择 c 选项，看一下有没有问题。 没有问题，我们来看到第五题，下列命题正确的是 a 选项没有公共点的两条直线平行。 如果是在我们以前的学习，那这句话是正确的。但是现在我们已经从一个平面几何变成了我的立体几何。我们说两条直线还有可能怎么样？意面对不对？意面的时候，他们依然没有公共点，所以 a 选项是错误的， 缺少了意面，对吧？好。 b 选项与同一个平面所成的角相等的两条直线平行，这个是什么错误的？有可能他们的方向是相反的。举一个例子， 对， r 法，哎，这是我的直线 l， 这是我的直线 l、 e、 p、 l 对 不对？这个线于我面所成的角角都是它们的什么锐角嘛，对不对？所以 b 选项也是错误的啊。 好， c 选项与同一个平面距离相等的两个点所确定的直线与这个平面平行，这是什么错误的？他没有说在同一个方向吗？没有说在同一个面上， 同一个方向上就是玩。你看这个点和这个点距离，我平面的距离是相同，但是你这里坐下来，他应该是这个什么垂线，对不对？这条直线是垂直的，不是平行。哦，所以说是错误的。 那么排除法，你是不是都应该选择我的第一选项？那我来看一下我的第一选项吗？如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线就与这个平面内无数条直线平行，这个是正确的啊，他没有说所有 对不对？那你想一想，我这是一个平面，平面它有无限延展性，你看，这是我的直线 m。 好， 那 m 一 漂和它平行平一点， m 两漂和它平行， m 三漂是不是也和它平行？有无数条嘛？对不对？数不完的看一下。这是我的第五题，选择低选项 没有问题。之后我们来看到我的第六题啊，下列命题中正确的是 a 选项。若一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则这条直线垂直于这个面。我们说线垂直于面，我需要找的是什么？ 这条直线垂直于我这个平面内，两条相交，对不对？没有相交，那他就是 错误的。那，那 b 选项，分别在两个已知平面内的两条直线是一面直线，那么也是什么错误的？两个平面他也可以怎么样 啊？是可以，是相同的，不一定要一面吗？对不对？也可能在同一个平面上啊，是不是有可能平行，有可能相交？ b 型是错误的啊，我们一条直线是可以在无数个平面上的，同学们，你想一想，是不是这样啊？ 好， c 选项，如果一条直线平行于两个平行平面中的一个，那么该直线也平行于另一个平面，这个是什么啊？你想一想，两个平行的平面， 这是阿法。好，这个是我的贝塔。 好，一条直线要平行于它们其中的一个，我可不可以我这条直线在 m 上，它平行于被它。那你说 m 直线 m 平行于平面阿尔法吗？没有啊，它在我的阿尔法内，对不对？所以 c 选项也是 错误的，那排除法选择 d 选项了，那 d 选项到底正不正确？看一下，如果平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，这个是正确的。别人说的是任何一条，那就是所有嘛， 你平面内的所有的线都平行于那个平面，那当然这两个平面平行，对吧？好，现在来看我们第七题，如果点 o， 呃，是点 s 在 平面 a、 b、 c 上的摄影， 嗯， s a 等于 s b， e 等于 s c， 则点 o 是 三角形 a、 b、 c 的。 好，我们这里要作图给大家画一画， 不太好，重新画，哎，叉子橡皮擦，用斜二测画法给大家画一下。 哎呦，好偏好弯曲的线，没事儿凑合看一下啊。 a、 b， c， 好， 这是 s， 这是我的 o 点，他说 s a 要等于 s， b 要等于 s c。 好， 那你想一想，我这里做垂线垂下来， 对吧？好，你看一下，那 s， 我 以两个三角形来说，我的 s a 要等于我的 s、 c， 我 的 s、 o 是 不是也等于 s o， 然后这里都是直角，所以你的三角形 s、 a、 o 是 不是应该全等？我的三角形 s、 c、 o， 你 根据 h、 l 直角三角形的判定，或者你根据我的边角，边边啊，边边角是不是也可以判定？那现在你是不是可以得到我的 o a 要等于 o、 c？ 同样的道理，那它是不是要等于 o b？ 也就是 o 点到 a、 b、 c 三个顶点处的位置要相同？那么这样的点我们称为什么 y 形啊？叫做 y 结圆圆心，你想想一个三角形，对吧？这是 o 点 y 结圆，哎， 我说圆上了一点到我圆形的距离都等于半径吗？所以半径都是相同的，对吧？所以，好，你看，这里等于这里等于，这里都等于半径，所以 o 点是它的 y 形啊，看一下有没有问题。 然后第八题，若正方题 a、 b、 c、 d 杠 a 一 b 一 c 一 d 一 的轮长为 a， 则点 a 一 到直线 b、 d 的 距离。好画图， 这种题必须画图啊，不能偷懒哟，同学们， 偷懒就要出问题，出问题这个题就白做了，你也白偷懒了，对不对？不要偷懒啊！ b、 c、 d， a、 e、 b e c、 e、 d、 e。 好， 这是我的 b、 d， a、 e 到 b、 d 的 距离，这个是要怎么做？什么叫点到直线的距离？应该是要垂直过去， 对不对？要垂直过去？好，你想，你想啊，我连接 a、 e、 b， 再连接 a、 e、 d。 好， 那你看一看，林老师给你抽象出来， 给你抽出来啊！我的 a、 e， 这是 b， 这是 d a、 e， b 和 a、 d 都是我这个正方形啊，一个正方形的对角线，那它的长度 对吧？正方形的边长是 a， 那 它的对角线根号二 a 嘛，所以这里是根号二 a， 这里也是根号二 a， b、 d 是 什么？ b、 d 也是对角线，所以它也是根号二 a。 你 要找的点到直线距离，其实就是找 a、 e 做垂线， 对吧？我这里标一个 e 点，其实你就是找 a、 e 的 距离，也就是找这个等边三角形的 高，对不对？那你想一想，他既然是个等边三角形，所以三线合一，这里既是他垂线，也是他的中线，所以 b、 e 等于的是二分之根号二 a， 这里是六十度 a， 一个六十度的直角三角形，它们三边的关系应该是一比二比刚好三。好，这里是一份， 那这里应该是根号三分，那乘一个根号三，他等于多少？二分之六根号六倍的 a， 所以 a 一 等于二分之根号六倍的 a， 我 们选择 a 没有问题。我们现在来看到我们第九题，第九题要给大家画图啊，我这样画吧， 画大一点，大家好看一些啊。他这是个二名角的题目， 要画的有立体感一点，可能大家看起来好轻松一些。他说的是什么？我这个二面角 r 法杠 l 杠贝塔上有一个棱，上有一个点 a 为端点， 在贝塔内做一条射线，为 a c， 使它与棱 l 呈四十五度，与平面 r 法内呈三十度，则这个二面角 r 法杠 l 杠贝塔的大小可能是， 好，我这里是我的阿尔法平面，这是我的贝塔平面，这条线呢，是我的 l， 我 现在在找一个点 a， 对 吧？好，先换一个颜色啊，同学们，我在贝塔内要找一个 c 点， 对吧？要使我的 a c 与直线 l 成四十五度，好，这个 a c 到与我平面而发，要成三十度角，好，我这里过 c 点做垂线， 或者说做做摄影，对吧？ a c 做阿尔法内的摄影 c 漂，那你会发现我的 c a c 漂，这一个角度应该就是我的三十度， 对不对？好，那我现在先把这一个三角形画出来， a c c 漂，这也是三十度。我现在可以假设我的 c c 一 漂等于长度是一，那我的 a c， 它就等于二， a c 一 漂呢？等于根号 三，对不对？但是他现在让我找这个二面角，那么说二面角他必须要怎么样？这两个棱啊，这两个射线必须都要同时垂直于我的棱 l， 但是你现在 a c 是 没有垂直他的 a c e 漂 a 也是没有垂直他，所以能不能用这个角？这个角是不是三十度？是不是我的二面角？肯定不是，对不对？所以现在我要怎么做？我在北塔内找一个点 b， b 塔内找一个点 b， 然后过点 b 做 a b 的 投影，在我的平面 r 法内变成 b 一 条。好，这一个我们的角， 哎，不太标准。 b a 漂哦， b a b 漂，这个角应该就是我的什么二面角，对吧？我们这里是要让我的 b a 垂直于 l， b 漂 a 也是垂直于 l 的 哈，这个时候它才是。好，这个时候你看一下，如果，假如啊，我们 连接我的 bc 啊，那你会发现我的 abc 就是 在平面北塔内的一个直角三角形 abc， 对 吧？而且我的角 a， 我 的 c a b 应该就是四十五度嘛。 ac 是 等于二的，所以 ab 等于多少根号二，好，这里也是根号二，所以我的 ab 根号二，对不对？好，那你再来看一下我这一个 c 和我的 b cb 两点应该都是什么？平行于 l 的， 对不对？我这条直线是平行原有的，那我这一条 c b 这一条直线一定平行于我的平面 r 法，也就是说我这一条直线上的任意一点到平面 r 的 距离都应该要相等。 我们说 c 点到我平面 r 的 距离 b b 一 漂是不是也应该等于一？ 是不是应该这样？那根据我的勾股定律，我的 ab 漂也应该等于一。那你会发现我这个三角形 b a b 漂，它是一个等腰直角三角形，这一个我要找的这一个平面角的角度为四十五度，因此我这一个要找的二面角的角度也应该是四十五度。所以我们这个题选择哪一个？选择我的 b 选项啊，选择我们的 b 选项，看一看有没有问题。哎，这一个要画很多图啊，同学们，我专门用不同的颜色给你们标出来，因为很容易弄混响啊，林老师都容易弄混响，那我相信大家可能都容易弄混响，所以一定要看清楚好不好？这是我们第九题啊！ 然后我们来看第十题，在正四面体 s 杠 abc 中， s、 c 与 ab 所成角的大小。好，我这里给大家画一下啊， 正四面体是什么意思？同学们，记不记得？就每一个面都是什么正三角形，也就是都是等边三角形啊。 s、 a、 b、 c， 它问的是 s、 c 与 ab 所成的角的大小。那我做什么？ 做 s c 到 ab 的 一个投影吗？ 或者说一个摄影，对吧？ 你这一个与我这一个 a、 b 所呈的角度， 你看一下啊，同学们，这里因为都是一个正四面体，大家都是什么六十度，所以说你看一下林老师画的 我这一个是我的点 d 吧，我的 d 点为我 ab 的 中点啊， d 点是我 ab 的 中点，我的三角形 s、 a、 b 应该是一个等边三角形， d 点是他的中线啊，中点，那我的 s、 d 既是他的中线，也是他的垂线，所以我会发现我的 ab 垂直于 s、 d， 对 吧？那在我的底面三角形 abc 当中，三角形 abc 也是一个等边三角形， d 点又是他们的中点，所以 c、 d 既是他们的中线，也会是他们的垂线。那这个时候我的 ab 垂直于 c、 d， 你 会发现我的 s、 d 交 c d 于点 d， 所以 我的 ab 是 什？怎么样垂直于我的平面 s、 c、 d 的， 因此我的 ab 它是垂直于 s、 c 的， 所以它们这两条直线所成的夹角是多少？九十度吗？选择我的 d 选项，看一看有没有问题？ 好。第十一题，两条直线没有公共点，是两条直线平行的什么条件？那我们就看一下前面能不能推后面，后面能不能推前面，对吧？两条直线没有公共点，我们说是有两种可能，第一种可能是什么相啊？平行， 还有一种可能意面，对吧。所以你会发现你的前面能不能推后面？不能， 他有可能是一米，所以推不了两直线平行，但是两直线平行是可以推导出他没有公共点的。 我们说前面推后面是充分，后面推前面是必要，那前面不能推后面，那就是不充分，后面能推前面那就是必要。所以这一个是什么必要不充分？选择 b 选项，看一看有没有问题？ 没有问题。再来看我们的第十二题，在一百二十度二面角 alpha 杠 l 杠 beta 的 内部有一个点 p 好， 在这个角的中间相当于，对吧？然后这两个平面的中间有个点 p 嘛，若它到平面 alpha、 beta 的 距离均为五，则点 p 在 alpha beta 内的之间摄影的距离为好。这一个 画图，对吧？还是给大家画一个图，平面阿发， 这是我的平面贝塔哈，他们是摊开的，因为一百二十度嘛，对不对？好，这里一个点 p， p 点的距离，那就做垂线。这是 p 点啊，这里也是做垂线，他，他们的距离都是五。 好，那你想一想，同学们，我这里连接一下，所以你会发现它长成这样的 p 点，它到这两个之间的距离相等，所以相当于我这个 p 点，还是这一条线，还相当于是他们这个平分线，对不对？所以这里一个是六十度，这里一个也是 六十度，对吧？哎，这里选的是六十度，我要找的摄影其实之间的距离，一个两个，然后找他们的什么，所以你看一下，相当于长这样。啊， 这是五，这也是六十度，我们说一比二比根号三，五，这里是根号三，所以这里一相当于是根号三分之五，也就等于的是什么？三分之五倍根号三， 对吧？但你要找的是阿尔法贝塔内摄影之间的 p 点，阿尔法在贝塔内摄影之间的距离，所以它这摄影是长这样的，这两条是摄影摄影之间的距离，就找这两个找它的距离，对不对？好，这里一个是五倍杠， 三倍五，三分之五倍杠三。哎，哎，橡皮擦呢？啊，这 三分之五倍根号三，好，六十度啊，我要找的是这里，那这一段就应该是多少？ 三分之五倍根号三，这里是六十度，那这里是他的一半，就变成六分之五倍根号三。好，这里要乘他的根号三，所以这里是二分之五，一半是二分之五。呃，两部分，那是不是应该等于 五？所以我这个题选择 c 选项，看一下有没有问题。摄影之间的距离，对吧？相当于是换一个颜色，给大家画一下 这一条直线的，这的断线断的长度对不对？看一下。好，没有问题。之后我们来看最后一个选择题了。啊，我把这里擦一下。 好，十三题已知点 o 是 abc 的 垂心啊，点 p 是 平面 abc 外的一点， 且 o p 垂直于平面 abc。 若三角形 abc 边上的 ab 的 高是 cd， 则下列错误。呃，结论错误的是好画图，对吧？画图 p 点，要是他的垂心垂心 p 点 o p 垂直于我这个平面，那我画鞋用鞋儿侧画法来画，稍微好看一点点 a、 b、 c。 这是 p 点啊，这是 o 点 o p 还是我外的一点嘛，对吧？好，且三角形若三角形 a、 b、 c 上的高是 c d 好， 那这里还是高。哦 哦，糟了， 搞 c、 d。 下列结论错误的是 a、 b 垂直于 b d。 这个是啊 p， 这要连一下，对吧？ a 选项啊， a， b 垂直于 p d。 啊 a， b 垂直于 p d。 好， 你想一想，既然它是我垂心啊，垂心是什么意思？垂线的焦点吗？中垂垂线的焦点对不对？好，所以说我的 p o 或者说我的 o d， 我 的要做垂线的话，那肯定就也就是它的高线嘛。所以我的 p 点一定是在我的 d 点，应该在我的 o 点上啊，是不是应该这样，对吧？这样画才对， 对吧？是应该这样画吗？对吧？垂线吗？所以我的点 o 应该是在我的 c、 d 上啊， c d 上 c d。 好， 现在再来看， a、 b 垂直于 p d。 好， 你的 a、 b 是 垂直于 c、 d 的， 对吧？我的 ab 垂直于 cd 嘛，垂线，对吧？而且因为我的 o p 垂直于这个平面 abc， 所以 我的 o p 也垂直 ab。 我 的 o p 交，我的 cd 有 一个交点点 o， 所以 你的 ab 垂直于这个平面 p o、 d， 那 你的 a、 b 当然垂直于我的平面 pd， 所以 a 选项是正确的啊。 b 选项 c、 d 要垂直于 pc， 这个能不能说明我的 c、 d 啊？ pc 呢，可以把它看成肯定只能放在我的平面 p d c 当中了， 对吧？他垂直吗？其实你肉眼看呢，都觉得不垂直，对吧？肉眼看他都不垂直啊。所以说啊，因为你的 o 点不能落在 c 上面吗？也不能落在 d 上面， 对吧？你的 p 点不能落在 c 上面，也不能落在 d 上面，所以 b 选项肯定是错误的啊，我们这里直接选择 b 就 可以了，当然，你看一下你的 c、 d 选项 是什么？ ab 垂直于 pc， 你 看一下我这里，把 pc 连起来，我这 pc 是 不是也在我平面 p d o 当中无限延伸的嘛？平面可以无限延伸嘛，对吧？所以心弦肯定是正确的嘛。然后你看你的 p o 是 不是也是 在我这个平面当中？所以啊，我们这里错误的是 b 选项，看一下有没有问题， cd 都可以证明的，对吧？ 好，没有问题之后呢，我们来看到我们第三个解答题了啊，已知四棱柱 a b c d 杠 a e b e c d e 当中 a a e 要垂直于 ab a a e 要垂直于 a d， 要证明这个四棱柱为值四棱柱，也就是其实你就证明什么它的棱啊，侧棱垂直于底面就可以了。然后第二个，若 o o e 为该棱柱的高，求证 o o e 平行于 a a， 其实它是直，我们说直四棱柱，它的棱长就会等于它的高，对不对？那这个题呢，你必须要画图啊，看一下吧。 哎，我这里为什么擦掉啊，看一下怎么证明的， a a e 它垂直于 ab， 这个是题干上告诉我的 a a e 又垂直于 a d， 那 我的 a b 交 a d 于点 a， 所以 我的 a、 a、 e 平垂直于我这个底面。要侧能垂直于底面，那它当然是一个直角。楞住了， 我这里的底面我是用平面 a、 c 用它对角线来表示的啊，当然你也可以写成平面 a、 b、 c、 d， 对 吧？ 看一下这第一小问，那第二小问啊， o、 o、 e 为它的高，那你的 o、 o、 e 肯定是要垂直于我的平面 a、 c 的， 那你的 a、 e、 a 又垂直于平面 a、 c， 我 们是垂直于同一个平面的两条直线要平行。看一下我们十四 t 有 没有问题？ 没有问题，我们来看我们的第十五题。已知点 o 是 平行四边形 a、 b、 c、 d 的 对角线 a、 c 和 b、 d 的 交点点 p 在 平面 a、 b、 c、 d 之外，并且我的 p a 等于 p c， p b 要等于 p d 要求正 啊！ p、 o 垂直于平面 a、 b、 c、 d 平面 p a、 c 要垂直于平面 a、 b、 c、 d。 好， 证明直线垂直于平面。我们说要证明的是这条直线要垂直于我这个平面内的两条相交直线， 对吧？你要证明两个平面垂直是证明什么？一个平面内的两条相交直线是垂直于你这个面的， 那么过这条直线的面都会垂直这个平面，对不对？垂直看一下吧，我这里画了图的啊， 当然第一个题啊，因为 pa 等于 pc， pb 等于 pd， 所以 这两个三角形都是等腰三角形。既然是等腰三角形满足三线合一，那它既是它的中线， 也会是它的垂线，对吧？ p o 既是我的中线，也是我的垂线，所以我的 p、 o 它垂直于 a c， p o 也垂直于 b d， a、 c 交 b、 d 于点 o， 所以 我的 p o 垂直于这个平面 a、 b、 c、 d， 这是没有问题的。 然后又因为你的 po 是 包含在平面 pac 当中的，我们说了两个直线要垂直，就是什么其中一条各平面内的一条线是垂直于另外一个平面，这个就 ok 了。好吧，看一看有没有问题。 好，没有问题就看一下我们下一个条，有问题的同学，你可以按暂停键自己写一写过程好不好啊，去画图啊。 然后第十六题，若正三角形 a、 b、 c 的 边长为一， d 是 ab 边的中点点 p 是 平面 a、 b、 c 外的一点，且 p c 垂直于平面 a、 b、 c， p c 等于二分之一。要问我这一个啊， p d 与平面 abc 所成的角的大小。第二个要求，二面角，那这里你都要注意，你要去找什么垂直对不对？所以看一下主要画图啊。同学们，你看一下， 我这里是连接了 c、 d， 连接了 c、 d， 由于我的 pc 啊，它怎么样垂直于平面 abcd 啊？当然我这你这样话就不太感觉不太立体了，你想一想啊，闭上眼睛想一想，你的 pc 是 垂直平面 a、 b、 c、 d 的， 那我的 cd 其实就是我指我线段 pd 在 我平面 a、 b、 c、 d 上的摄影， 对不对？那因此这一个角 p d、 c 就 应该是我 p d 与平面 abc 所成的一个角。我们说你要将这一个线面角或者说二面角换成平面角，你是必须要 去说明的啊，必须要去说明的，尤其是线面角转化为平面角，你一定要去说摄影啊，你一定要有两个字，摄影好不好？好，又因为我这三角形 abc 呢，它是边长为一的 正三角形，也就是等边三角形，对吧？所以 c、 d 等于多少二分之二三，这个很好算，自己去算啊。 b、 c 题干上说了二分之一，好巧， p c、 d 又是一个直角三角形，所以我的 另一个角 p d c， 你 用我的正切值可以表示出来，等于三分之二三的一个锐角，那只能是多少六分之二 啊。线面角的取值范围都是零到二分之拍的 b 区间吗？对不对？ 然后第二题，他是求二面角，那求二面角的话，你必须要说明他为什么是二面角，也就就是我的什么 p c， 他 垂直于 ab， 然后 cd 也垂直于 ab， 对 吧？ 看一下啊。然后我的 p c 交 c d 于点 c， 所以 我的平面，我的 a、 d 是 垂直于平面 c p d 的， 也就是说 ab 一定垂直于 d p 啊，所以你的角 p d、 c 就 应该是这个二面角，对吧？就是这个二面角，因此大小。你第一个小问，算了吗？六分之二，看一下有没有问题？第十六题啊， 没有问题，我们来看到我们 b 组能力提升已知，等腰三角形啊，等腰直角三角形 a b c a b 等于 a， c 等于 a， a、 d 是 斜边上的高 沿 a、 d 对 折后，使 b、 c 等于 a， 求折后所得二面角 b 杠 a d 杠 c 的 大小，这是一个过程，对吧？那过程呢？还是可以画图啊，你看一下吧，我这里的 a、 d 用蓝色线画出来，它就是我的一个折痕， 现在要把它折上去了。折上去以后呢，你会发现 a、 d 一定是垂直于 c、 d 的， 对吧？ a、 d 也是垂直于我 b、 d 的， 哎，这个毋庸置疑嘛。好，那此时 c、 d 交 b d 于点 d， 那 a、 d 一定是垂直于什么？ 你也可以直接就可以直接说，我这二面角其实就可以是什么 c、 d、 b 对 不对？直接就等于 c、 d、 b 嘛，因为都是垂直于这个棱的，对不对？这个棱 a、 d 的 嘛。好，那 ab 等于 ac 等于 a， d 是 bc 的 中点，所以 cd 等于 b， d 应该等于是多少二分之根号而已嘛。 我的 c、 b 原本是我这个直角直角三角形的一条斜边，他被分成了两半，对吧？所以一半是二分之根号二 a 啊，另一半也是二分之根号二 a。 然后你的 bc 答案上说啊，我的题干上说等于 a， 那你会发现这个 c、 d、 b、 d 啊 bc， 它满足我的勾股数，既然是满足我的勾股数，因此三角形 c、 b、 d 为直角三角形，那我的角 c、 d、 b 等于的是九十度，因此这个二面角的大小为九十度。看一下有没有问题。 你要说明啊，角 c、 d、 b 为什么是它的二面角的平面角，就说明我的 c、 d 垂直于 a、 d， 对 吧？ b、 d 垂直于 a、 d。 就 这句话不能省啊，省的话就被扣分了。同学们看一看有没有问题？ 没有问题，我们来看到我们的第二题 b 组第二题已知四棱锥 s 杠 a、 b、 c、 d 的 底面是矩形 s、 h 与底面垂直 ab 等于三， ad 等于四， s、 a 等于六 点， ef 分 别是 b、 c、 s、 d 的 中点。第一个求证， ef 平行于平面 s、 a、 b， 你 看一下这个点 ef 分 别是这两个边的中点。像这种题，我们去找线面平行，是不是找了太多了， 对吧？什么三角形的中位线定力呀，是不是或者证明他是一个平行四边形啊，这种是不是找过很多这种类似体？我们是说只要平面外的一条直线，只要平行我这个平面内的任何一条直线，这条直线都和我这个平面平行， 对吧？好。第二个，你要求这一个 e、 f 与 b c、 a b 所形成的角度，那你这个就是找什么？如果这两条直线是异面的怎么办？我们说平移其中一条线， 对吧？平移其中一条线，把它平移到同一个平面内，那此时所成的夹角也是我这两条意面直线所成的夹角。好，然后要求这个三棱锥的体积，体积的公式是什么？三分之一底面积乘 搞，是吧？所以这个你会发现最终还是要落到画图上面了，是不是？你看第一个题，我知道 e f 是 他的终点，那我可以找一个 g 点吗？他是 s a 的 终点，连接我的 e f g b， 他 是一个平行四边形， 对不对？他一定是个平行四边形，因为你的 g f 与 b e 平行且相等，对吧？那既然是平行四边形，对边要平行喽。 e f 平行于我的 b g b g 是 在我平面 s a b 当中的，因此 e f 平行于平面， s a g。 看一下。当然题干上说要 s a b 啊，我们就改一下吧。这写错了，哎，题干上说，哦，糟了， s b、 g 属于 s a b 嘛？ 哎，为什么感觉我现在我的笔不够灵敏呢？是该换了吗？ 好，第二个，你看要求 ef 和 ab 所成的夹角， ef 和 ab 是 怎么异面的吗？ 啊？异面，那就 ef 平行于 b g 啊，所以你这个 ef 和 ab 所成的夹角就是 g b 和 ab 所成夹角，也就是 g b a 这个角，对吧？看一下嘛， 然后再根据我提设的条件提高的一些条件。 ab 要等于三，对吧？ s a 要等于六，那 g a 是 s a 的 一半，那就是也等于三。三分之三等于一呀，它占了多少度？等于一？在零到二分之拍的范围内，它占了四十五度嘛，也就四分之拍，对不对？所以 ef 与 ab 所成的夹角的大小为四十五度，或者一些四分之拍都可以啊。 好，第三题，你看我这个绿色的部分，就是你要找的这个三棱锥的体积，如果你是要去把它看成我的 s 杠， a b， e， 那 s a 呢？距离是知道，但是这个三角形 a， b， e 你 可能不太好算，所以你可以把它倒过来，就是这个三棱锥，把 s a， b， e 看成它的底面， b， e 看成它的高，这个是可以的，对不对？这个是可以的，好，此时你会发现，三角形 s a、 b 的 大小你是很好算的，二分之一底乘高嘛？二分之一乘三乘六， b e 的 长度 你也是有的呀， b e 就 等于二嘛，对不对啊？ b e 就 等于二。所以说 这样子啊，你把这个立体几何，尤其是求体积能追的体的时候，有的时候不太好求的时候，有可能你会需要想一下，我这个图是否可以旋转或者翻翻过来，对吧？这个立体图形翻过来改变一下它的底面积和高，哎，就好算了，看一下有没有问题， 有问题的同学写一写好不好啊？动笔写啊，边写边思考，效果好一点。好，现在我们再来看我们的第三题啊，要 做一个结面，过 a c， b 一， 做一个结面，要证明我这个结面 a c b 一， 要垂直于对角面 b 啊， d b、 b 一 d。 好， 先把这个结面算出来呀， 我这里呢，没有画，我直接是去证明的啊，我直接去证明的，因为我要证明这两个面垂直，我需，我只需要证明我洁面当中的一条线垂直于我这一个对角面就行了，对不对？我找的是 a、 c 啊，或者我给大家画一下你要找的。 我这个时候呢，我找的是 a、 c 啊，你看一下，因为它是个正方体，那正方体的我的 b、 b、 e 一定是垂直我这个底面的。哦， 那它既然垂直我的底面，那它一定垂直我底面当中的任何一条线，包括的 a、 c， 所以 我的 b、 e、 b 是 垂直于 a、 c 的。 好，他又说 a、 b、 c、 d， 所以 我的底面 a、 b、 c、 d 是 个什么正方形？那我的 a、 c 垂直于 b、 d， 对 吧？ 对角线嘛，啊，正方体啊，正方形的对角线要相互垂直，对吧？所以我这个时候 b、 d 交 b、 e、 b 于点 b 啊，此时我的 a、 c 是 垂直于这个平面 d、 b、 b、 e、 d、 e 的 好，而且你的 a、 c 是 包含在 a、 c、 b、 e 当中。当然这两个面要怎么样要垂直，看一下有没有问题， 这题相对要简单一点啊，像这种类似的题目，大家已经做过很多了，脑子里一定要有印象啊。 这里没有问题，以后我们来看到我们 c 组啊，将一张长为四十厘米，宽为三十厘米的长方形纸，沿一条对角线 a、 c 折叠成一个直二面角啊，如图所示， 要怎么去计算另外两个顶点 b、 d 之间的距离？好，这里我要给大家做辅助线啊，你看一下， 我是这样子做的，我既然要算 b、 d 之间的距离，那我肯定要怎么样过？坐在平面 abc 里面 b、 d 的 一个什么投影，一个摄影，对吧？一个摄影，我就是 b、 f。 好， 我这里是去做垂线啊，我这里做垂线，我知道我的 d、 f 肯定要垂直于 a、 c 的， 是不是？所以我在我的第一个图里面啊，平面的时候，这个图里面我就做 d、 f 垂直于 a、 c。 好， 我的 b、 e 呢？也垂直于 a、 c， 那 根据我们的勾股定律啊，根据我们的勾股定律，这里是三十度。 哦，三十厘米啊，对不对？ a、 d 是 三十厘米嘛？好，你的 a、 f 是 不是可以算出来的？ a、 f 是 可以算出来，它应该要等于多少？它应该是要等于十八厘米。好，这个是怎么算的？因为你的 c、 b 等于 a， d 等于三十， a， a、 b 又等于四十，所以你的 a、 c 很 清楚，应该等于是 五十厘米，对不对？五十厘米。好，我的 d、 f 与我的 b、 e 要等于二十四，这个是怎么算的？我跟大家说一下。我们这里用的是等面积法，等面积法 a、 c， 你 可以很清楚知道五十，因为勾股数嘛，三四五，对不对？勾股数三四五，等面积法。那你的三角形 abc 面积啊？ s 三角形 abc， 他是不是应该等于二分之一？被乘 ab， 再乘一个 bc， 对 吧？二分之一，他是不是还可以写成二分之一？ a、 c 乘 b、 e， 可以的吧，对吧？好， a、 c 是 五十，这里是四十，这里是三十，所以我这里算出来 b、 e 等于二十四，那同样的道理，我的 d、 f 也是等于二十四，对不对？好，二十四厘米 斜边有了，直角边也有了， a、 f 有 没有？有了吗？对吧？等于十八， a、 f 等于十八，那你的 c f 应该等于多少？五十减十八等于三十二厘米，是吧？啊，那 c， e 肯定是等于 a、 f 都等于十八的，所以我的 e f 等于十四厘米， e f 等于十四厘米。那你的你看在我的直角三角形 b， e、 f。

好，同学们，这条视频来讲一道啊，直线与圆相交，求弦长，这种题型该怎么去解啊？好，我们现在来读题，已知直线给出来这个方程与圆给出来这个方程相交于 ab 两点，求 ab 的 绝对值是什么啊？那 ab 的 绝对值要我们求的就是 ab 的 距离啊。 好，来，我先把这图画出来，是什么意思呢？它就是有一个圆啊，有一条直线跟这个圆相交于 ab 两个点， 现在就是让我们求这 a b 两个点，它们之间的距离是多少啊？好，重，题型，该怎么求呀？主要套就套两个公式啊，这两个公式点到直线距离公式和弦长公式。那点它指的是什么点呀？指的就是圆心这个点啊， 还有线则是什么线？就直线啊，他给出来了直线方程。好，那我们得知道圆心是什么呀？吧，圆心什么呀？好，看，他的给出来这个方程很明显圆心就是零对零嘛，同学们要知道怎么判断圆心啊。好，再来把它半径啊，也判断出来，半径就等于根号三呗。 好，来讲一下圆心跟半径怎么判断。其实有很多同学圆心跟半径还是不会判断的啊，来，我讲一下，简单讲一下啊，然后比如给出来一个方程， x 减三的括号平方加上 y 加一括号平方等于四，对吧？像这个，它的圆心跟半径是多少呀？好，圆心 对吧，那指的就是 x 它这里面的数啊，跟 y 这里面数，你看 s 轴就是对应的就是 这里面的负三的相反数啊，就三好， y 轴对应的就 y 里面这个一的相反数，负一啊，圆心只要记得啊，就是这里面的相反数就完事了。好，半径呢？半径 r 等于什么啊？它其实这里就等于 r 的 平方啊，说白了，那 r 就是 它一半吗？那四的一半就等于二呗。啊，就这么判断， 那我们观察一下， x 平方加上 y 的 平方等于三，对吧？那后面没有加上什么数对吧？也没减去什么数，说明它对应的是 x， 对 吧？加上零，括号平方，加上 y 加上零的括号平方，对吧？等于三的，那对应的圆心呢？就是零。逗，零呗，那半径是不是等于对吧，半径就等于它一半嘛，一半就根号三啊。 好，同学们知道怎么判断这个圆形跟半径？好，讲完这圆形半径了，知道怎么判断了啊，同学们就来看一下，套这个点到直线距离啊，咱们套一下。点到直线距离，求一下这个点到直线距离是多少？好，来，我们套一下吧。 好，来，套一下啊，它是等于，那我们得知道 a、 b、 c 是 什么东西啊？ a 它对应的就是 x 前面数啊，前面数就一，一的话省略到不写。我们要知道好， a 就 等于一， b 什么呀？ b 就 y 前面数一好， c 就 等于这个吗？常数负一找出来了， a、 b、 c 对 吧？好，就套进去呗。 好，套进去啊， a 就是 一嘛，一乘以 x， x 对 应的就是啊这个圆心的 x 轴，然后 y 对 应的就是这个圆心的 y 轴啊，同学们知道，好，也就一乘以一加上啊，一乘以零啊， 一乘以零加上一乘以零加上负一，对吧？好， 再除以根号一的平方加上一的平方等于根号二分之一，对吧？好，点到直线距离我们就求出来了。然后来我们再啊求一下这个弦长 a、 b 的 距离是多少？就套这个公式就完事了啊，那这道题就解出来了啊，二倍的根号 r 的 平方是什么呀？ r 我 们知道吧，就根号三嘛，那根号三的括号平方再减去 d 的 平方 d 我 们刚算出来了嘛，就它就是括号，根号二分之一的括号平方等于等于什么呀？解出来啊， 答案就是二倍根号三减二分之一，这里的话再再进一步的求解啊，就答案就等于二倍的根号二分之 五。好，这里的话还要再进一步的化简啊，那答案就是根号十啊，最终答案就根号十啊，同学们啊，要知道怎么解他。好，那这道题就讲完了，你有没有听懂呢？最后为了检验同学们到底有没有听懂啊，那这道题就留给同学们回去做啊，有做就把答案写在评论区里。好，拜拜。

好，同学们，咱们这条视频呢，接着讲解是几何题型啊？来，我们先做题，直线这个方程与直线这个方程的距离，为什么？对吧？题目给出来是两条直线，让我们求它距离。来，我们先来观察一下第一条直线，它前面两个东西跟后面这条直线前面两个东西是不是长得一模一样？ 那前面两个东西都长得一模一样的话，那说明这两条直线是平行的嘛，平行才有这个性质啊，就是两条直线前面这两块东西是一样的，一模一样啊。好嘞，我们知道它是平行了， 好，那我们想算的距离的话，那就是用两直线平行的距离公式就是他啦。啊，来，那我们想用这个公式的话，那就得把这些东西，对吧？得找出来呗。那 c 跟 c 二，还有 a 跟 b 是 什么呀？来，我们先把这个两条直线把它画成原始公式啊， 就是 a x 加 b， y 加 c 等于零，对吧？那这个是第一条直线的，所以说我们把它字母都记作是一啊，都记作是一， 都记作是一啊。好，把这里查一下，加上 c。 好， 这，这个是第二条直线，对吧？所以说我们把它记成是第二条直线的啊，就是 a 二 加好， a 二乘 x 加 b， 二乘 y 加 c 二等于零，对不对？好，来观察一下，那这里的 c 对 应的就是负一，对不对？好，套进去呗。 c 对 应就负一，负一减去减什么 c 二， c 二对应的就是什么数呀？就是二，对不对？好，二， 好，下面就是 a 的 平方加 b 的 平方， a 是 什么呀？ a 跟这个 a 他 对应的数字都是一样，对吧？都是 x， 前面数都是一，对不对？好，就一的平方加上 b 是 什么呀？ b 跟他的 b 同样的，对应的就是 y 前面的数字，对不对？就是同样都是负一吗？啊？负一好，平方等于什么呀？来算一下。答案就是等于下面啊。下面算出来就是根号二，上面就是 绝对值的负三。那绝对值开出来就等于正数吗？就三呗。好，下面就是根号二。那分母啊，记得分母不能有根号，所以说再乘一个根号二，所以说下面就是 二，对不对？那下面乘以根号二，上面要跟着乘以根号二啊。所以说最终答案就是二分之三倍根号二，答案就是 b 选项。好，这条视频就讲完了，你有没有听懂呢？最后为了检验同学们到底有没有听懂啊，老规矩，出来到同类型题型，同学们可以回去做一下，有做的时候把答案写在评论区里。好，拜拜。

好，同学们，这条视频呢，讲一道解析几何的题型啊。来，我们先读题，点 p 这个坐标到直线这个方程的距离，为什么，对吧？很明显，题目是想要我们求这个点到这个直线的距离是什么，对吧？那无非就套一个公式啊，点到直线距离公式。好，就它。 那我们想套它的话，我们得找出来 a、 b、 c， 还有什么 x 零， y 零所对应的数是什么吧，对吧？好，那就找呗， 来，直线方程它的一个原始的一个公式啊，是这么写的， a， x 加上 b， y 加 c 等于零，对吧？很明显这个 a 它对应的就是五啊，先写出来 a， 它等于五， b 呢？ b 很 明显，对吧？就是 y 前面数字对应的就十二嘛。啊，好， c 嘞， c 对 应就是负一啊。 首先我们先把这些 abc 跟这个 x 零还有 y 零这些数字先找出来啊， x 零是什么呀？啊，对应的就是这个坐标的 x 轴的这个三，对吧？啊，找出来就三， y 呢？ y 零呢？对应的就是这个坐标的 y 轴上的这个一啊。好，把这些数字都找出来了，就把这些数往这里面套啊，答案就出来了。好嘞，套进去就等于 正确。我们先把这上面先套进去先， a 就 等于五，对吧？五乘以 x， 零就三，加上 b 就是 十二， 乘以乘以 y， 零就一，加上负一，对吧？好，这下面就是五的平方加上 十二的平方，对吧？好，算一下啊，算一下，上面的话就是二十六，对吧？下面就是根号， 根号一百六六十九，那根号一百六十九开出来就十三呗，对吧？那约分一下，答案就是等于二了，好，很明显那 答案就是 b 选项了啊。好，这条视频就讲完了，你有没有听懂呢？就为了检验同学们到底有没有听懂啊。那视频的结尾呢？就出来到同类型题型，同学们可以去做一下，有做出来就把答案写在评论区里。好，拜拜。

今天我们看一下正方体的对应问题。一个正方体有六个面，十二条棱，八个顶点，每条棱连接两个面，每个顶点连接三条棱和三个面。展开成平面图需要剪七刀。 那正方体中的面棱、顶点和展开图中的正方形边和顶点是怎么对应的呢？ 正方体中相邻的两个面，在展开图上要么是有一条公共边，要么是通过折叠才能够重合。第一种情况，平面中直接相邻的两个面， 比如说这两个面在展开图上有公共的边，那这条公共边折叠成正方体后，就是他们的公共棱。 第二种情况，平面中两个面不相邻，但有一个公共点。比如这两个面有一个公共的顶点，但是没有公共边，那么这个公共顶点与空气连接成 l 型的两条边，就是正方体的公共棱。这个图中类似的还有这三个， 他们也是正方体的公共棱。第三种情况，平面中两个面不相邻，也没有公共顶点。这种情况比较复杂，我们可以使用字母标点法来找展开图的公共棱和公共顶点。这种方法我们需要借助一个正方体， 用字母对每一个顶点进行标注。假如说这个面就是正方体前边的这个面， a、 b、 c、 d 按顺序标注上字母 a、 b、 c、 d。 刚才我们也说了，一条棱连接两个面来看 a、 d 这条棱，它连接的是前边这个面和上边这个面。 在展开图中， a、 d 连接的是这两个面，所以这个红色正方形对应的就是上边这个面。按着顺序， a、 d、 h、 e 对 应这里的 a、 d、 h、 e。 再看 c、 d 这条棱，它连接的另一个面是右边这个面 c d， h、 g 对 应这里的 c d， h g， 那 这条棱连接的另一个面就是 h g、 f e， 所以 这里是 h g f e， 这边的 a， b f e 对 应的就是这里的 a b f e， 这里的 b， c、 g、 f 就 对应这里的 b、 c、 g、 f。 这种方法就可以处理复杂展开图中的公共棱问题。 来看两个题。第一个题如图所示，正方体的展开图位。这个正方体中，我们可以看到三个面，前面、上面和右面，而且每一个面都有一个符号。 首先我们可以排除 b、 b， 图中他和他是同一行，并且相隔一个，应该是相对面，而这个正方体中他俩是邻面，所以 b 一定是先排除的。然后我们看一下 a 选项，在这个展开图中， 这两个面有一个公共顶点，并且有与空气连接成 l 型的两条边，所以这两条边就是这两个面的公共棱。 在这个正方体中，这个符号的开口方向是朝向这个公共棱的，那 a 选项中也是朝向这个公共棱的，所以 a 是 正确的。那同样的图形，在 c 选项中，开口方向是没有朝向这个公共棱的，所以 c 是 错误的。 d 选项中，这两个图形的公共棱是这个，他的开口方向是背对着这个公共棱的，所以也不对，所以这个题选择 a。 再来看一个题，若一个正方体的平面展开图如图，若要把它折叠成一个正方体，那么与点 a 重合的点是点什么？ 我们还是借助一个正方体，让这个正方形对应前边这个面，并使用对应的 a、 b、 c、 d 来标注另外的四个点，使用 a 撇 b 撇、 c 撇来标注那 c、 d、 d 撇 c 撇， 所以这块就是 c、 d、 d 撇儿， c 撇儿。再看 c、 c 撇儿，这条棱，它对应的另外一个面儿是上边儿，这个面儿 c、 c 撇儿， b 撇 b。 对 应到这边就是 c、 c 撇儿， b 撇儿 b。 再看 b 撇儿， c 撇儿。这条棱，它在正方题中对应的另外一个面儿就是 b 撇儿， c 撇儿， d 撇儿， a 撇儿。到了这儿，按顺序来，这个点儿就是 d 撇儿，这个点儿是 a 撇儿， 那 a 撇 b 撇。这条棱在正方体中对应的另外一个面就是， a 撇 b 撇 b。 a， 也就是对应这边的 a 撇 b 撇 b。 a。 再看 a 撇、 d 撇，这条棱，它在正方体中连接的另外一个面是 a 撇 d 撇 d。 a， 也就是对应这边的 a 撇 d 撇 d。 a 与 a 点重合，那就找也是 a 点的顶点，也就是这两个点 i 和 m。 好 了，这节课就到这里了，我们下节课再见。

这条视频来讲一道求直线方程这种题型啊，怎么解？好像这种题型的话，无非就用点斜式方程呗。点斜式方程公式我们得知道怎么写吧，就 y 减 y 零等于 k 乘以 x 减 x 零嘛，对不对？想用这点斜式啊，我先把这个点斜式这几个字抄下来。 写下来啊，点斜式就是公式。好吧，那我们想用点斜式得知道斜率，然后知道一个点吧，有斜率有点了就直接套进去。嗯，这个直接方程不就出来了吗，对不对？好，那斜率给出来就是三三分之一吗？对吧？那斜率的话就相当于 k 呗。啊， k 就 等于三分之一， 好，那我们还得知道一个点吧。来，他说了，且在 y 轴的截距为负二。好，他告诉我们这段话相当于就告诉我们一个点了吧，一个点坐标就相当于就是零到负二。好，为什么是零到负二？这里有很多同学不理解啊。那 啊，我就以画图的形式啊，帮助同学们去理解一下为什么点是零的负二。他意思就说有一条直线是在这个 y 轴上的截距为负二的。意思就是说有一条直线是过这个 y 轴的负二这个点的啊，这个直线我就记住是幺八啊。 好，那截距，什么叫截距为负二？也就圆点到这个直线与 y 轴相交这个点这个断距离就为负二吗？对不对？负二？好，那这个点我们就你看这个点很明显就是零到负二这个点吧，对不对啊？说的是就是这个点啊。好， 那现在我们有斜率有点坐标了，直接带进去呗，就 y 减去 y 零。 y 零什么呀？就是负二嘛，这里对应的就 x 零啊。 好，来，现在我们就把这个点带去呗，就 y 减去负二等于 k。 k 什么呀？就三分之一，三分之一乘以 x 减 x 减 x 零 x 零就零啊，零好，带进去。现在就 y 加二，等于三分之一乘乘进去嘛，就乘以 x。 好， 三分之一乘以零就零。我就不写了。好，现在把它变形一下呗。变形一下左边啊，左边东西都移到右边去，那就变成三分之一， x 移到右边去。一向记得要编号 y 移到右边去，要变成负 y， 二移过去变成负二，对吧？好，先，等于零嘛，对不对？好，记得啊， x 前面系数要为一为一的话就要乘以三嘛。乘以三啊，都要乘三，都要跟它乘三啊。 好，乘三的话现在就变形，它就变成了 x 减去来三乘以三分之一，对吧？就变成了一嘛。一乘以 x 就 x 减去减去三乘一， 那就三， y 减去三乘负二，那就负六，对吧？等于零啊。答案就是很明显 a 选项啊。这道题就讲完了，你有没有理解呢？最后为了检验同学们到底有没有理解啊，这道题就留给同学们去做，有做就把答案写在评论区里。好，拜拜。

哈喽，同学们大家好，欢迎来到房姐数学课堂，上节课呢，我们学习了线面平行，那么我们这节课呢，继续更新，今天房姐给大家讲的内容是面面平行， 如果想要证明两个平面是平行的，咱们就来看一下它的判定定律。判定定律说的是，若一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。 大家有没有发现，如果说你想去证明两个平面平行，其实最后还是转化成了什么？转化成了线面平行对不对？因为他的要求是两条相交直线都和另外一个平面平行。好，面面平行转化成了线面平行， 而且是用到了几次线面平行呢？是两条相交直线，所以呢，其实就转化成了两条线面平行的一个证明方法。那咱们就转化成了两条线面平行的一个证明方法。那就说，首先 直线 m， 它是在这个平面 r 法内，直线 n 呢，它也在平面 r 法内，而且直线 m 呢，还和直线 n 相交，假设它相交于点 p 吧。 然后呢，直线 m 还平行于另外一个平面，背它直线 n 呢，它也平行于另外一个平面，背它直线 m 呢，它不在背它里面， 直线 n 呢，他也不在被他里面。所以呢，通过这些条件咱们就能得出来什么这两个平面阿尔法和平面北塔，他俩是平行的， 所以面面平行其实也是非常简单的，只需要什么呢？只需要在一个平面内找到两条相交直线，证明出来这两条相交直线分别和另外一个平面都平行，那么咱们就能证明出来面面平行了。好，接下来放姐给大家两个例题，咱们来看一下哈。首先来看下第一个 已知四棱锥 p、 a、 b、 c、 d 中底面 a， b， c， d 是 平行四边形啊，底面 a、 b， c、 d 是 平行四边形。那这个时候脑子就要想到了平行四边形的一些相关的性质，比如说对边相等，还平行，对吧？然后还知道什么条件呢？ m， n、 q 分 别是中点，嗯， m 是 中点，是这条边的中点， n 呢是这条边的中点，然后 q 呢是 pd 的 中点啊，知道中点了，让你去证明什么呢？让你去证明平面 m、 n， q 和平面 p、 b、 c 是 平行的。 那咱们就来标注一下哈，也就说现在让你去证明这两个红色的平面是平行的，那咱们就要转化了，是吧？想要去证明面面平行，就要在一个平面内找到两条相交直线，分别和另外一个平面平行，对吧？那咱们能找到哪两条直线分别和另外一个平面平行呢？有没有细心的同学已经发现了哎？对， 首先是 n、 q 这条线和这个平面平行，为什么呀？因为 q 点是中点， n 点呢，也是中点，在这个三角形当中，这条线相当于这条这个三角形的中位线，对不对？所以呢， n q 它是平行于 p d 的， 那线线平行，也就转化成了线面平行，对吧？除了这条线以外，还有什么线和它平行呢？ 哎，有的同学应该还有什么线和它平行呢？那么直线 m q 就是 这个三角形 p a、 d 的 一个中位线，对吧？所以呢， m q 自然而然的平行于 a、 d， 而 a、 d 由于底下又是一个平行四边形，所以呢， a、 d 它也平行于这个 bc， 那 自然而然就转化成了 m q， 平行于这条线，自然而然就平行于这个平面了，对吧？ 好，那咱们就写下它的转化思路哈，目的是要去找到 m q， 它是平行于平面 p， b， c 的。 不仅是 m q， 而且呢，还有一条线是 n q， 它也平行于平面 p， d， c， 那 为什么它俩平行呢？那就分别去找了。那为什么线面平行呢？那分别就要去写一下了，因为 m q 呢，它是中点，所以呢，它自然而然平行于 a、 d， 而底下呢，又是一个平行四边形， a， d 呢，自然而然平行于 bc， 所以 就转化成了 m q， 平行于 bc， 而 bc 呢，又在这个平面 p， b， c 当中，所以呢， m， q， 它自然而然就平行于 p b， c。 再来看 n q， n q， 为啥呀？因为 n 和 q 呢，都是中点，对吧？所以呢， n， q， 它自然而然的就平行于 p b 三角形的中位线吗？对吧？而 p b 呢，也是在这个平面 p b， c 当中的，所以呢，自然而然就能证明出来 n， q， 它也是平行于平面 p， d， c， 所以呢，自然而然也就能证明出来 n， q， 它是平行于平面 p， b、 c 的。 好思想方法有了，那咱们怎么去写呢？房姐在这里把证明给大家哈。 证明，由于 m、 n、 q 分 别是 pa、 b、 d， pd 的 中点，所以呢， m， q， 它是平行于 ad， n， q 呢，它是平行于 pb。 两条线同时发展哈， 好，继续。又因为底面是平行四边形，所以呢，自然而然的， a， d， 它平行于 bc， 也就能得出来 m， q， 它不仅平行于 a， d， 也平行于 bc。 好， 那咱们就可以用到两次线面平行了， m q， 它就平行于平面， pbc 那两个在一块写一下，朋友们，你们听懂了吗？好，接下来呢，咱们再来看一个题，他说呢，已知四棱锥 p， a， b， c， d 中四边形 a， b， c， d 是 正方形啊，底下这个是正方形，那正方形的话呢，就不仅是对边相等且平行，而且四条边还都是相等的，全等，对吧？ 然后呢， p d 垂直于平面， a， b， c， d， 嗯， p d 垂直于平面， a， b， c， d， p d 呢，还等于 a， b， b， d 和 ab 还相等还这一个关键信息是什么呢？ m， e， f， g 分 别是中点点， e， f， g 都是中点，那你去证明 p a， b 和平面 e， f， g 是 平行的，嗯，那也就相当于证明这两条红色的面是平行的，对吧？ 想证明面面平行，就要去找线面平行，大家有没有发现哪两条线分别和另外一个平面平行呢？对，有的人也发现啊， eg 由于是终点，所以它自然而然平行于 pb， 找到一条，那另外一条呢？ ef 由于它也是终点，所以它自然而然平行于 dc， 又由于底边是正方形，所以 dc 又平行于 ab， 对 吧？好，找到了哈，两条线 哪两条呢？ eg 平行 还有呢？ e f 平行， e g 为啥平行？因为 e g 是 终点， e g 平行于 p b， e f 为啥平行？因为 e f 它平行于 dc， 而 dc 呢，又平行于 ab， 所以 自然而然的证明就来平行了。 那咱们知道了这个思路之后呢过程同学们现在会不会想了呢？可以给大家暂停一下视频，然后大家自己尝试去写一下，然后呢，芳姐把这个证明呢给出大家哈。 以上这两个题呢，就是这两个经典的，非常经典的例题。那房姐呢，又给到大家一个二零二三年的春考真题，第一问呢，也是让大家去证明面面平行，大家可以自己去尝试着写一写哈，那内容呢，就是这节课的全部内容，咱们已经把线面平行和面面平行关于平行相关知识点都给大家讲，讲完了， 都给大家讲完了，那么下节课呢，芳姐继续给大家更新关于垂直的内容，包括新面垂直哈，面面垂直。如果同学们需要更多的资料和更深入的课程，也欢迎私信芳姐哦！感谢同学们的一箭三连，咱们下节课再见！

好，同学们，这条视频呢，讲一道直线方程的题型啊。来，我们先读题，过点 p 这个坐标斜率为负二的直线方程是什么，对吧？只要我们观察题目，他给出来一个点的坐标，并且给出来斜率是什么啊？不用想，直接套公式，套点斜式方程的公式啊。 好的，点斜式方程就写在这里啊。 y 减 y 零等于 k 乘以 x 减 x 零。好吧，来套进去呗。那 y 减去 y 零， y 零是什么呀？就是这个坐标的二嘛，对不对？好，套进去等于 k， k 就是 斜率啊，等于负二。 嗯，套进去 x 减去 x 零 x 零就是这个坐标的 x 轴，这个三对吧？套进去好，算一下， y 减二等于把这个负二乘进去，就负二， x 加上六，对不对？好，移向一下呗。 把，把这个右边东西都移到左边去，对不对？移到记得啊，移向同时记得编号负二， x 移到左边去就变成正的了，对吧？然后这边就加 y 减二，这个六一过去就变成负六，对吧？负六再减去二就负八啊，等于零。好，那答案就是 a 选项了。好，这条视频就讲完了，你有没听懂呢？老规矩啊， 最后检验同学们到底有没听懂啊。最后视频结尾就出来到同类型，类型，同学们可以去做一下。有做，所以把答案写在评论区里。好，拜拜。

hello， 大家好。呃，前几天就是单招系列里面有一个立体几何大题讲解的那个视频，里面有两个东西，大家就是可能不太理解，就是为什么我正线与面的余弦值我要去找， 就是这个题，线与面的于弦直，正弦直啊，正弦直。我为什么要去找这条线与它垂直以及这条线与它垂直，为什么要去证？证明这一步以及面与面垂直 已知二面角啊，面与面所成的二面角，为什么要找这个面与这个面的交线，然后并且找到一个点做两条垂线垂直于它，然后这个所形成的叫二面角，然后左边的话，这边这边，我这个二面角写错了吧， 应该是角 c d p。 对， 这念的时候一直念 c d b， 但其实际上是 c d p。 啊，对，为什么这个是二面角？ 还有这个，那今天就做个解释，那首先我们来看到二面角吧，我们首先从二面角看哈，大家翻一下书啊，就是翻书，把书翻开来，它是不是有两个面啊？ 嗯，这样子，这个面与这个面的夹角我们怎么求啊？哎，是不是你从这边看到的这条与这条所形成的角呀？这个就是面与面的夹角， ok 吧？好，那这个夹角我们去怎么求呢？ 好，那首先哈，我要画出来，我必须要画出来，在书上的话好画呀，哎，书上翻开来就是对不对？好，这个角怎怎么来的？我们要随便取一点哈，我把它画大一点啊，画大一点，画这么大。 好，我们来看啊，我取一点，找一个点啊，垂直于这条交线，在这个面里面垂直这条交线，好，再找这个点啊，在这个面垂直这条交线，你看这个角与这个角会干嘛？会不会相等啊？因为它与它平行啊， 它我垂直了，也与它平行平行啊，对不对？所以这个角就是这个角，对不对？有没有发现？所以面与面的角角，我就在这个 两个面的交线上面，干嘛？找一个点分别做他俩的垂线啊？做完了之后我把这个角求出来就 ok 了。好，我们来看到 去年的春季高考的第二小问，现在要证明的是谁？要证明的是 p、 a、 b， 这个面与谁？ abc， 这个面的二面角，首先求正弦值，首先我们要找到那个角是哪个吧？ 你找不到角，你求什么？这钱值呢？对不对？好，那怎么找呢？还是一样的，找一个人干嘛？与他垂直？与他垂直，对不对？好，那这个点怎么找呢？这边首先他做垂线下来，这边找到一个， 随便取一点 a、 b、 c、 d， 假设这是点 d， 那 这个垂直了，那我就给他连起来，为什么要给他连起来？ 你们能不能成连这个连这个，连这个，连这个连这个那那那那啥子都知道？肯定是这个点嘛，为什么只有这个点？ 你不可能连个 a， 连个 b， 找他终点，找他终点嘛，对不对？这很明显了，就是他垂直他，他与他求这个角就行。好，昨天怎么讲的？首先 这边三，这边四，然后这边五用了两个勾股底里吧，不会的话记得去看一下单招的那个系列视频的第一个小问号，所以才证明到的。他垂直他，他也垂直他的他，他俩都垂直 a、 b， ok 不？ 所以我直接求 p d、 c， 求这个角就是这个二面角，然后只要求他正弦直，然后可以把那个这个直角三角形给画出来， ok？ 不？ 这是面与面，接着线与面啊。线与面。我们来看啊，那线与面，哎，这条线我只需要做一条线垂直于这个面，哎，然后我给这两个连起来，那这个角就是线与面的夹角，但是这条线好做吗？ 它不太好做。我们来看啊，它不太好做。为什么呢？我们来看，注意看啊，我要这个题。第二个题啊， a c 与这个面的 所成的角，我要找到这个角，我，那我就要在这个线里面干嘛？做一条垂线垂直于这个面吧，对不对？ 那垂到哪里去呢？垂到，这不是，这不是垂线，这不是垂线，这是直角啊，对不对？这不是垂线啊。好，那这怎么办呢？应该找他垂直，哎， 垂直就一定垂在这啊？我这边不一定，也可能是垂直吧，对不对？好，所以就有哪遇会遇到哪种情况，我往下做垂线。可以啊， 那你知道是这条是垂线还是这条是垂线还是这条是垂线吗？我随便做三条线你都分不出来哪条是垂线，你知道吧？所以在这里面 找得到吗？我直接找一条，我就说他垂直，他能行吗？垂直于这条线就是一定垂直于这条面吗？不一定吧，所以干脆不找了。那应该怎么办呢？我直接找个面， 跟刚才那个翻书一样，我怎么呢？我把这条线放在这个面上， ok？ 不？ 来，注意看啊，注意看，这一步很关键啊，这个 q 啊 q r 啊 q p， 我 给它放到这个面里面， ok？ 不？好，现在我要找的不就是这条线与这个面的夹角吗？也就是这个角，也是这个西塔，能不能理解？所以 我干嘛？我只需要这条，干嘛？ p q 垂直这个以及 q 这个 q a， 哎， 垂直这个交线，那这个角是不是就这个角？所以我们只需要证明的是谁线垂直于交线以及什么交线上，这一点，垂也垂直这个好，那我们来看到这道题 一定要仔细听，仔细去理解哈。那你看啊，这个线我要证明它垂直它以及这个垂直它，那我这个角就是线与面的角，能理解吧？ 线与面所成的角，可以吧？再来一遍，我要直接做垂线，我办不到， 做不到啊，臣妾做不到，好难找，找不到，知道吧？你不可能就是做一下，哎，就出来了，我说做垂线就做垂线，线到面的垂线很难做的，很难办的呀， 你求法项链就好好办了，射就行，但是你现在就是用初中方法，没办法去求，知道吧？所以这很难办到呀，所以我们就退而求其次，我找面面，哎，我找这条线与与这个交交于他这个交这个交线以及这个焦点，然后沿这边也做一个垂线， 继续你看这条交线，哎，是吧？那我这条线垂直它，这条线也垂直它，哎，这个角就是我们所求的角的， 能理解吧？好了，那通过这个视频，然后大家可以结合看一下上次那个为什么要证明它， ok 吧？好了，那感谢大家收听，拜拜。

好，来，同学们这条视频呢，讲一道直线方程，求斜率的题型啊。好，那斜率是什么？斜率就是 k 啊，那有个公式可以求， k 就是 等于负 b 分 之 a， 只要我们把 b 跟 a 找出来了， 那往这里面套，那 k 斜率就出来了呗，对不对？好，来观察一下他题目给出这个直线方程啊，他就是一般式的直线方程。一般式的直线方程怎么写呀？原始公式我写一下啊。 一般式的直线方程啊，它的原始公式就等于 a， x 加 b， y 加 c 等于零，对不对？这个就是一般式的直线方程啊，对应的就是它。 好嘞，我们找一下 a 它对应的是哪个数字啊？就是 x 前面数字二呗，对不对？好， a 就 等于二， b 嘞， b 他 对应的就是 y 前面数字，对不对？那就是一嘛，一的话他省略都不写，同学们知道，所以说 b 就 等于一了啊。好， a 跟 b 这两个数字找出来了，就往这里面套啊，那答案就出来了呗，是不是 负的一分之二就等于负二啊？好，那答案就 b 选项啊。好，那这道题就讲完了，你有没有听懂呢？老规矩啊，出来道同类型的题型啊，同学们可以做一下，有做出来就把答案写在评论区里。好，拜拜。

hello， 大家好，我是野猪，今天呢，我们来分享几个空间几何的斜修解析法，因为我们昨天不是刚分享了一个 就是普遍性的解析方法吗？什么箭头法呀，公共边，公共点呀等等，这一系列的一共分享了五个，那但是呢，这些就是确实有一些题用这种朴实性的方法它解决不了，那我就称它为斜修了啊，今天我们就来看几个啊。首首先来看一下这个第十题啊，第十题呢，这个方法我叫它 找特殊关系，怎么找呢？来，我们先读一下题干，他说这里有一个展开图，然后问你下面哪个能由他折叠而成 啊？那个这遇到这种题呢，我们第一反应应该是去找唯一，但是我们会发现这里面每一个面他都是有一个三角形和一条斜线组成的，所以呢，如果我们去找唯一的话，基本上就是解决不了，没有 找到。那除了这个之外呢，我们可以跳过这个展开图直接去看选项。哎，我们打眼一扫这个选项应该扫到一个特点，就是对称，我们会发现 a 是 这样对称的， b 找不到对称，但是 c 呢，它是这样对称的， d 呢，它是这样对称的， 那我们就可以用这个对称为突破口去解题。那首先来看一下 a 选项啊， a 选项在对称轴的两边是有两个一样的三角形，那我们去找一下， 在展开图里面，一和一不行，二和二也不行，三和三也不行，四和四也出不来，两个黑色三角形碰在一起，然后五和五不行，六和六不行，七和七也不行。 从公共边这里下手，我们是找不到 a 的 任何一个两，就是两个的三角形能够从能够在一起的，所以 a 选项直接排除了那 b 选项它没有对称，特征不明显，我们就先跳过去，先不看它，直接来看 c 选项，它这个对称轴两边呢，是有两个黑色的三角形， 这两个黑色三角形呢，有一个特点，就是他的这个尖尖是朝着上边的，也就是不朝着对称轴的，那我们要注意一下这个特点， 我们来看这个展，呃，展开图啊，展开图，我们首先要找到两个白的三角形有公共边，哎，我们可以看到一这个一和一是可以的， 这个和这个是可以的，但是我们会发现他的三角形的尖尖，这个尖尖他是直接冲着对伸轴的，所以一和一肯定不行，一和一不行，我们又发现七和七是可以的，但是呢，我们又发现七的这个三角形他也是冲着对伸轴的， 他也冲着这个对伸轴公共边的，所以呢这个也是不行的。除了这个之外呢，我们可以再去扫一眼，哎，好像这个这里 还有一个，但是我们又发现这个他也是冲着对称轴，冲着公共边的，所以呢，这里也不行，除了这两这三个之外呢，其他的就没有能够凑成一个大的摆三角形的，所以 c 选项肯定也不行，也排除掉了那 d 选项。我们来看啊， d 选项 他是需要凑成这个两个黑色三角形相对称，而且呢是斜边直冲着这个对称轴公共边，那我们就来找一下两个三角形，如果他想要对称的， 一和一不行，二和二也不行，然后三和三不行，四和四也不行，五五不行，六和六不行，七和七不行，所以也没有那 d 选项，也直接就排了这个题，就直接选 b 了。 或者说其实我们在这个做题过程中哈，我们就可以直接去打眼一看，哎，都有对称，这个有对称，这个有对称，这个也有对称，那蒙我们也可以去蒙一个 b 啊。好，那这个呢？是第十题， 下一个第十二题，第十二题呢？这个方法我称他为看指向，什么叫指向呢？呃，来，我们看他说的是左边是一个展开图，然后右边哪一项能由他，这第二层一定要看清楚，是能还是不能。好这个展开图呢，我们会发现他把一个面拆成了四部分， 每一部分呢都有三角形，如果说我们再去找唯一的话，也没有一个唯一能入手，那这样呢？我们可以给他凑起来。怎么凑呢？比如说这一个我们可以给他补上，这个补上其他的， 他应该是这样的，我们给他画出来之后呢，我们发现这个三角形的这个尖尖啊，冲着这个十字，这个十字是整个图形的一个内部， 那除了这个十字是内部呢？剩下的这些都是外部，外部的一个框，我们看到这个三角形他指向内部，那另外的这些呢？ 哎，这个三角形也是指向内部的，我们把其他的都画出来，这个三角形指向内部，然后下一个这个三角形 给他画出来，也是指向内部的，所以我们会发现这四个三角形他都是指向内部的，所以我们就从这个选项里面去找，看看哪一个 图形，它的所有三角形都是指向内部的，没有指向外边的框。那首先 a 选项， a 选项，这个是指向外边的，这个正方形的框的肯定不行，那 b 选项，这个也是指向框的，也不行。 c 选项，这个指向框，这个指向框也不行。 d 选项，哎， d 选项每一个三角形都指向十字架，都指向内部，所以呢，这个题就选 d 选项了。之后我们遇到这种把一个面拆成四部分，每一个面都有一个呃，带有指向性的图形，那我们就可以去看一下它是指向内部的十字架还是指向外面的框， 通通过这个来去判断哪个选项符合。好，那这个是第十二题啊，继续来看第十五题。第十五题，这个呢，我叫它凑为一，因为 找不到唯一，所以我们要给它凑唯一啊。我们来看它说的是以下除了哪项外，都是统一正方体纸盒的外表面展开图，我们来看这个，它这个展开图里面有 a、 c 这两个图形，但是我们会发现 a 有 两个， c 有 两个，如果我们去找唯一的话，没有找不到，那这样我们就可以给它凑一个。怎么凑呢？把多个图，多个面凑成整个面，看成一整个面， 那这样我们可以把这个 c 给它翻过来，因为我们这个里有一个直角，有直角，那就有公共边，直角的两边都是公共边，这样我们就可以给它翻过来，翻过来变成了这样，所以呢，这样我们就找到了一个 c， a、 c 的 图形， 这个图形就是一个唯一，我们就去看一下其他选项能不能凑出这样一个 c， a， c。 好， 首先呢， a 选项，我们找到了一个 c， a、 c 来看 b 选项， 并且他如果我们去凑这个图形的话，我们需要就是用到昨天我讲，呃，我说的一个知识点，就是一个公共边， 因为就是这个公共边呢，他其实是需要我们去背过的，就是呃一个幺四幺，然后三三三，还有一个二二这种的图形是需要我们去背过的，那这样呢，我就直接把这个图形画在这了，我也把公共边给写上了。 好，既然我们要去凑 c a、 c 啊，我们可以看到这里已经有一个 a、 c 了，那我们直接去找呃其他的一个 c 就 可以了。好，那这样我们来看，其实 这个边和这个边是公共边，也就是说这个边和这个边是公共边，我们就可以把这个 c 给它翻上去，公共边要冲在一起，这个 c 这个缺口是冲着公共边的，也就是说它是这个样子的，那这样我们就凑出来一个 c a、 c， 所以 b 选项它和 a 选项是一样的。 继续来看 c 选项啊， c 选项，其实这个更好看，因为这里直接给了你一个直角，直角的两个边是公共边，我们就可以直接翻上去，那这个 c， 他的这个缺口冲着这个边，所以呢我们就可以这样给它画出来，那刚好这就一个 c a、 c 来 d 选项， d 选项呢？其实这里也是直角，这里也是直角，但是呢它们的两个 c 的 缺口都是背对着公共边的，所以它如果想要画的话也应该是这样，那我们正常的 c、 a、 c 是 这个样子，但是我们画出来这个 c、 d 选项的 c a、 c 呢？它是这样的， c 的 两个缺口都是背对着 a 的， 所以呢， d 选项一定凑不出来这个 c a c， 那 d 选项一定是 不行的，所以呢，这个题就选 d 选项。好，那最后我们来看一下第十八题啊，第十八题他说的是正方形纸盒的外表面，展开图是这个样子的，然后有四个部分，问你哪两个部分可以组成这个展开图，我们来看他这个拆分成的两部分，哎，我们会发现 都有这样的尖尖，那这样的话，其实也就是说他把原来的这个一面给拆成了两部分，要我们去凑。如果说我们直接从一二三四去入手，一和二能不能行，一和三能不能行，一和四能不能行，其实是非常费力的，那这样呢，我们就可以直接从 这个展开图去入手，这个方法呢，我叫他找唯一去排除，我们去看这个展开图，我们会发现里面都是白块、黑块，如果我们去找唯一该怎么找呢？去找面 来看，上面这个是一个，上面这个是一个面，下面这个是一个面，哎，这个也是面，这个也是面，然后这个是一个面，这样是一个面，那这样呢，我们就给他凑成了几个面，凑完了几个面之后呢，我们会发现两个并排着的只有一个面， 三个这三个的只有一个面，斜着的两个黑块，斜着的也只有一个面，那我们就去给他凑一下， 好来看 a 来看这个一二三四这四个选项啊。首先在一选项里面他是有一个斜着的，然后二选项里面呢，是有两个斜着的，但是原图里面能够斜着的只有这一个，所以二选项肯定不选，那二不选这个 d 不 行， d 不 行，和 e 也不行。剩下 b、 c 选项都有四，所以四一定会被选。那四这个图形有什么特点呢？它有一个斜着的，也有两个并排的， 剩下我们再来看一他，刚好我们去看的时候，他就是有一个斜着的，那原图里面斜着的只有一个，如果一和四凑在一起的话，那就出现了两个斜着的黑块，所以一和四不行，那就只有三和四。所以这个题呢，就选 b 选项。 好，那这个呢，就是我们今天分享的几个比较邪修的一些方法啊。那今天就到这里啦，拜拜。

今天来讲几何图形的第二次课，点面线体的内容。看第一题啊，如图是一种折叠灯笼，它压扁的时候看起来是个平面的， 提起来却变成了美丽的圆柱形灯笼。这个过程中蕴涵的数学原理就是把一个平面的，然后变成一个圆柱形，是吧？那么这个过程我们叫做什么？数学上有这么几个名词，一叫点动呈现，就是一个点沿着某一个条 方向移动，是吧？它就构成一条线，线动成面。比如这条线沿着这沿着这个方向移动，是吧？它就构成了这样一个面，比如说构成这样一个面，点面动成体。这个面如果你在某个方向上动，是不就构成了一个立体的体啊？ 那么用哪个来形容合理呢？原来是个平面的，然后提起来就变成了圆柱形的，是不是面动成体啊？对吧？一个面经过某种运动就成了一个 物体，是吧？就成了一个具有体积的这种东西，是吧？这叫面动成体啊，面动成体。 那当然它有一个详细的说法，叫由平面图形变成立体图形的过程，就叫做面动成体。注意，由平面图形变成立体图形的过程叫面动成体啊， 平面变成了立体的，就叫面动成体，所以这题就是选 c， 是 吧？面动成体。 还有第二题，他说下雨时，汽车的雨刷会把玻璃上的雨水刮干净，运用数学知识解释这一现象是什么？他是点冻成线啊，线冻成面啊，面冻成体呢？ 这个雨刮你看放在这，他在这刮来刮去的，是吧？来回走，来回走，来回走，他是不是就把玻璃上这一个平面的水给刮掉了，所以是不是就是线冻成面啊？线冻成面，对吧？ 他没有构成一个体，也不是，是一条线，因为他他在这刮了一条一个面出来，刮了一个面来回，他来回运动刮了一个面，把玻璃表面的水就刮掉了，所以是线洞成面，是吧？ 我们看第三题，他说如图，这个图啊，有所给的平面图形绕着虚线旋转一周可得到的几何体式，由这个图形。注意这个图形，这个图形沿着这个虚线 旋转一周，等于逆时针旋转还是顺时针旋转，它得到的图形是一样的，是吧？因为它旋转一周得到的图形是什么？我们看下跟 a 相不相似，嗯，跟 a 相不相似， a 是 这样的，是吧？其实你就是把 a 从中间， 对吧？从中间划一下，你看下这边这个图形，这边这个图形，看下这个，这个图形跟这个相不相似嘛？是不是一致嘛？很明显不一致，因为这这个是在上面就开始，对吧？这就开始鼓起来了，这个鼓是在下边这个呢， 这个你也把它中间画一条线，你看这个边这图形呢？这个也不是，是吧？这边还是上面鼓，就是在这就开始鼓了，是吧？也就说他就在这就开始鼓，这个呢？ 这个是这样的，这个上面是个平的，你看这片有这么大一块是平的，然后在这在这个中间又开始鼓的，是吧？这个也不是，这都不是啊，这个就是了，你看 对吧？它从这开始，然后一点点缓缓的下来，然后在这开始凸起回来，是吧？凸起回来 a， 所以 答案应该选 d， 是 吧？ 所以你注意，就是你把这个立体图形从中间拦腰切开，你看左边图形的样子，是吧？跟他是不是一致，是一致的，那么他旋转就得到他这样一个结果，所以这题应该选 d 啊。答这样的题的时候，你看仔细点， 注意他这个大，用我们的普通话，呃，简单的话说就是最大的肚子是在这个位置，你看他是在这个位置读的，这个是在这个位置，这个在上边，是吧？大肚的位置，这个大肚子的位置是在下边，刚好和他是一致的，是吧？其余留着一个大肚子的点，就一个就够了，是吧？ 啊，我们看第四题，他说将如图所示，绕直线 l， 直线 l 是 竖线啊，旋转一周得到的立体图形是 这个图形，这就是一个梯形，是吧？这样一个梯形，但是这个看上去这是直角的啊，看上去这是直角这样一个梯形，然后旋转一周，绕着 l 旋转一周得到一个什么呢？ 我们知道，如果说 a， a 是 什么旋转成的， a 是 不是一个矩形旋转成，那么我们是不是把这个梯形可以看成是一个矩形和一个三角形啊？上面是个矩形，是吧？ 下边是不是个三角形呀？那么矩形旋转一周，矩形旋转一周，是不是刚好是 a 这个图形 三角形旋转一周呢？三角形旋转一周是不是得到一个锥形啊？上边是一个圆形，下边是一个锥形，是不是只有答案 d 啊？大家看 对吧？三角形旋转一周，你想象一下，三角形旋转一周是不是刚好是个锥形，是不是这么一个圆锥，这种锥形呀？ 圆锥形，那么上面一个正啊，矩形，矩形旋转一周，刚好就是一个这种圆柱形，是吧？圆柱形，圆柱形加这个锥形的叠加，是不是答案 d 啊？只能是答案 d， 上面有凸起的，肯定都错了，那 b 和 c 肯定都不对，是吧？因为上边是矩形吗？他并不能形成一个凸起的锥形，是吧？ 所以这题选 d。 我 们看下一道题，他说如图是一张长方形纸片，长方形的长是六厘米，宽是四厘米，若将此长方形纸片绕他的一边所在的直线旋转一周，得到一个几何体绕他的一边 旋转一周。我们就要想象他有几条边，他有四条边，如果是沿这条边旋转一周，这样旋转，是吧？是不是这是一个图形啊？如果说我沿着这个旋转一周， 是不是又是另外一种图形了？当然你沿着这个和这个是不跟这俩是一致啊？所以他有两种可能性，是吧？一种是延长边旋转，一种是沿短边旋转，他得到的图形是不完全一样的，但是都是什么图形呢？他说得到的这个几何体的名称是什么？ 我们说矩形沿着一个边旋转，是不得到一个，得到一个圆柱形啊，对吧？我们会得到一个圆柱形呀。矩形嘛，这很好想象，是吧？矩形旋转一个，就像刚才这个题似的，是吧？矩形旋转一周，是不得到这样一个圆柱形啊，得到这样一个圆柱形，是吧？ 那么这个现象用数学知识解释，为什么呀？用数学是不是一个面构成了一个体，所以我们叫面动成体，是吧？由这样一个平面经过旋转运动，构成了一个圆柱体，所以我们叫做面动成体，是吧？ 现在让我们求的这个几何体的体积，结果保留到派求这个旋转后的几何体的体积。我们说延长边旋转和短边旋转，是不是几何体不一样呀？所以我们得分两步讨论啊。分两步讨论我们第一步，好吧，第一步讨论一下， 第一步，如果绕四厘米的边所在的直线旋转一周，绕四厘米的边就绕这个，比如说绕这个旋转一周， 我们得到了高为四厘米的圆柱，是吧？就得到一个高是四厘米的圆柱，然后是不是底面半径是六厘米啊？底面半径就是六厘米，你看他当半径吗？他当半径旋转，是吧？旋转成这么长的一个，对吧？一个圆柱体啊， 所以它的高是四，底面半径是六，那么它的体积是？ pi 是 底面积乘以高嘛？底面积是 pi 二方乘以高嘛？ r 是 六，高 h 是 四嘛？ pi 二方乘高， pi 二方高是不是一百四十四 pi 立方厘米啊？因为它让我们保留 pi 嘛？啊，我们保留 pi 就 可以。这是沿短边四厘米的边，是吧？旋转一周，那 同理，我们如果绕六厘米的边旋转一周呢？沿这个长边旋转一周呢，对吧？他就变成这样一个形状的，是吧？这样一个形状的，你发现什么？你发现他得到的底面半径是不是四厘米啊？这个半径是不是四厘米啊？ 哎，高是六厘米了，你注意，高是六厘米，底面半径是四厘米，依然是 pi 二方 h， 是 吧？ pi 二方乘以 h， 因为 pi 二方是底面积，底面积乘以高是体积 pi 二方 h， pi 四的平方乘六等于九十六 pi 立方厘米， 所以他得到几何体的体积可能是他，也可能是他，所以注意考虑细节，就是把所有可能性都要写出来啊。题很简单，但是很多同学丢分就是考虑了一种可能性是吧，一定要考虑全面啊。这节就到这。