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人生的意义永远在于拓展，而不在于鼓手。别管我今天是谁，我想成为一个更好的自己，热烈而坚定，真诚而又勇敢。

蒙版的使用方法，第二十一期教你用蒙版制作高级感音乐号。 首先导入别人男朋友照片，点击背景，选择画布模糊，在开始位置添加一个音效， 移动时间线到音效结尾。导入喜欢的音乐，拉长图片与音乐结尾对齐。移动时间线到开头，选中图片，打一个关键针，把图片移出画面外。移动时间线到音效结尾。把图片移进来和画面重合。再导入一张比例为一比一的图片， 打开蒙版，选择矩形蒙版，调整蒙版大小和边缘对齐，然后稍微拉一点圆角，打勾，退出蒙版，缩小照片并放到合适位置，复制一份，替换成同比例一比一的黑底素材。调整一下位置，让黑 杯底比图片稍微大点。打开蒙版，拉一点羽化，这样会比较有立体感。接着再导入同比例一比一的照片，添加一个圆形蒙版，同样调整蒙版大小到图片边缘，退出蒙版，缩小照片并摆放到合适的位置， 动时间线到开头，打一个关键针，然后移动时间线到音效结尾，把画中画一出，具体位置可以参考我的。然后打开基础属性，旋转一圈，移动到结尾处，再旋转一圈，这里具体看大家想要让圆形转动快慢来决定圈数。 同样复制一份画中画，再次替换同比例的黑底素材，这个时候打开层级，调整圆形画中画到矩形画中画下面 最后添加喜欢的文字和贴纸装饰一下就好了。我是七月，我们下期再见！

考研数学协修方法数形结合数形结合本来就是咱们考研数学，甚至像初等数学的一种非常重要的一种思想方法。 呃，在咱们这一个考试里边的话，大家可以利用单调性、凹凸性，包括导数积分的几何意义去做排除，或者直接选出来正确选项。比如说咱们看一下第一题， 第一题的话是二零一七年数学一数学三的一道真题，题目中告诉了这个小 f 可导，最主要的是第二个条件就是告诉了这个 f 乘 f 一 撇大于零，那咱们知道两个函数或说两个数大于零乘在一起大于零的话，是不是咱们自然要想到我 f 和 f 一 撇应该是同号的，所以说我觉得大家可以大概去画一下这种函数的一些 呃，草图，对吧？有可能是第一种情况，那有可能我 f 是 个正的，那 f 一 撇也是正的，如果这个 f 是 在 s 轴的上方，就是它是个正的，那说明导数也是正的，说明它应该是个单调递增的，所以说应该是类似的这种图像。 然后同样的，如果这个 f 是 一个负的，那 f 是 一个负的话，相当于图像是在 s 轴的下方，那 f 一 撇也得是负的，那说明它应该是一个单调递减的这种情况。那咱们知道不管是第一种情况还是第二种情况，这道题让咱们比较 f 一 和 f 负一的这样的一个大小， 那在这里边 f 一 和 f 负一不一定谁大谁小，但是他们的绝对值大家会发现是不是都是这个一处的这样的一个绝对值是要大于负一处的这样的一个绝对值，所以说这道题的话答案就选 c， 包括第二题。第二题这道题的话是二零一二年数学一二三都有的一道真题，这道题的话让你们呃比较这样的一个定积分的大小，但题目大家要明白，是吧？现在在这里边的话， i 一 i 一 就是零到一排上这样的一个函数的积分。 i 二的话就是零到二排上这样的一个函数的积分。 i 三就是零到三排上这样的一个函数的积分，函数的话是同一个函数， 那咱们比较这三个定积分的大小。那对于这道题来说，如果你要用常规的方法，比如说做叉的方法也能做，但是比较麻烦，尤其是比较 i 三和 i 一 的时候，相对来说的话计算量是比较大的。 那这种题的话，我觉得咱们其实也要想到定积分的这样的一个几何意义，对吧？定积分的几何意义的话，是不是相当于是用这个 s 轴上方的面积去减下方的面积？比如说在这里边的话，大家可以画一下这样的一个图像的。呃，这样的一个函数的图像， 那有的同学说我不会画这个图像怎么办？咱们考试的时候，这是一道选择题，目的是为了选出来就完了，你画你不需要画的很精确 啊，那大家看呗。那我画一下这样的一个图像，那我这个图像的话，是不是这道题的话用到了这个派二派，然后到三派上的这样的一个图像，那怎么画怎么画？大家最起码可以画上一个图像，对吧？上一个图像的话，大家知道说上一个图像的话，应该是 类似的这样的，这样的一个图像，那它如果成了一个 e 的 s 方次方，那咱们知道正常来说在上引前边乘一个数的话，它主要是影响的这个上引 s 的 正负， 那你去乘的这个 e、 e、 x 方次方的话，大家会发现我是不是相当于会改变三元的正负，而且前面 x 小， 对吧？最开始的时候 s 是 小的， s 方就小， e x 方次方就小，所以说前面的话对这个正负的改变是会比较小的，你随便一划啊，咱们说不需要很精确，但是你随着你这个 x 的 这个增加， 你前面成的这样的东西越来越大，所以说他对上影的这个阵幅的改变就会越来越大。咱们随便一画啊，画的夸张一些，丑一些都无所谓。随着这样的话，大家会发现我是不是形成的这样的话三个图形，那咱们知道我是一个 i 一， i 一 的话，那跟这个 a 一 的这个面积是一样的， r 二的话是谁呢？ r 二是不是零到二排上的积分？是不是应该用上边的面积减下边的面积就是 a 一 减 a 二啊？其实是个负的啊，然后包括那个 a 三， a 三的话是谁呢？上边的面积减下边的面积啊，对吧？ a 一 减 a 二加 a 三，那这道题的话很简单， a 二是个负的，是最小的， 然后同时的话，我觉得 i 三肯定是比 i 一 大。 i 三为什么比 i 一 大？因为因为在这里边的话，虽然减了一个 a 二，但是加了一个 a 三，是不是加的面积更多，对吧？加的比减的要大呀？所以说在这里边的话，应该就是这个，呃，三一二大小，所以说这道题的话，答案就选 b， 包括你不要像二四年考的题啊，就咱们讲的这种斜修的方法的话，就算是接下来这个系列的话，有一些题，包括二四年、二五年这些最新的题，很多题仍然是适用的，大家不要觉得那个斜修篇的话特别斜，对吧？其实很多最新的真题仍然是能做的。 来咱们看一下第三题，这道题的话是二零一二零二四年数学三的一道真题，这道题的话，当然这道题其实是能直接选。咱们假设你不知道公式啊，不知道公式的话，咱们是不是一样按照咱们这种积分的一些 呃，几何 e 去做，对吧？那在这里面的话， y 等于上一 s 的 绝对值，对吧？ y 等于上一 s 的 绝对值，那当然咱们都都会画这样的一个图像，对吧？我随便一画啊，他应该是个最小正周期式派的这样的一个函数， 正常来说上一 s 的 图像大家都都会画，加上绝对值，是不是都移到了上边去了？那大家看呗，是吧？那左边其实也有，对吧？在这里面那，那咱们这样想，那它到底跟 a 有 关还是跟 k 有 关？我觉得在这里面的话，它会跟 k 有 关。你比如说咱们固定 a 吧，比如说 a 就 取得零，对吧？ a 就 取得零的话，那比如说他的零加一派，零加二派，零加三派，他会累积的面积越来越多，对吧？大家会发现我怎么样的？我是不是这个积分肯定是越来越大，跟 k 呢？必须得有关啊。然后呢？到底跟 a 有 关吗？你比如说固定 k， 那 我就假设 k 是 一，那从 a 到 a 加派上的积分， 那我觉得跟 a 是 没有关系的。你比如说 a 取零的话，那零加个 pi， 那 就是表示的这些面积，那比如说 a 取二的话，那拍到二 pi 是 不是应该是这样的面积？当你甚至 a 取到中间也无所谓，对吧？甚至取到中间偏偏左一点，偏偏右一点，是不大家仍然是能得到，其实跟 a 是 没有关系的啊。所以说这道题的话，是不是是不是最终的这个答案的话，就选 b 啊？ 看一下第四题，这道题的话，题目中告诉的这个小 f 的 这样的一图像啊，是由这种半圆直径是一，直径是二， 然后直径是二，然后这个的话是直径是一的，这样的一个半圆为成的啊。然后的话，那大家看一下这道题的话，其实说白了人家就是在考你竖形结合的这种思想方法，而不是那个 嗯，所谓的那种斜修了。在这里面的话，人家就是在考你这种竖形结合的四样，所以咱们竖形结合的四样本来是有理论依据的啊。来咱们看，那这道题的话，题目中给了一个大 f， 那 我觉得首先你想到什么？大 f， 它的原函数一定是偶函数啊， 所以说对于这道题来说，这道题呢，就是在考你几何意义啊？所以说你不要在这里边的话，那大 f 是 个偶函数的话，那题目中让咱们比较的是大 f 三和大 f 负三，那大 f 三，大 f 三我觉得都是一样的，对吧？包括还有像那个什么大 f 负二呀，包括大 f 二肯定都是一样的，因为大 f 是 个偶函数， 所以说在这里边的话，咱们看一下 f 三，对吧？你看正的那一半边的积分呀，对吧？正的那一半边的积分是不是上边的面积减下边的面积？ 上面面积的话是把二分之一派二方减去二分之一的那个下边的那个小半圆的这样的一个面积，二分之一派二方， 对吧？所以说上面的这样的一个图形，他的这样的一个积，他的这样的一个结果是几呢？是个二分之派减八分之派，所以说是个八分之三派，那同样的你这个大 f 二，大 f 二更简单呀，大 f 二就是零到二上的这样的一个积分，就是上边的这样的一个圆的面积啊，对吧？就是二分之一派二方，是不是就是二分之派？所以说大家会发现我下边的这两个数， 上面这两个数的关系，是不是上面这两个数应该是下面这两个数的四分之三倍？所以说在这里边的话，这道题的话，是不是最终的答案应该是选 c？ 只有 c 选项的话，是说的这个大 f 负三或者大 f 三是下面的大 f 负二，大 f 二的这样的一个四分之三倍啊。 看一下第五题这道题，二零一四年数学一三的这道题，这道题的话其实也是考虑咱们这种数形结合的这种基本思想。这道题的话题目中告诉了小 f 具有二阶的导数，同时 g s 的 话，呃，给的这样的一个关系，然后问咱们这个 f 和 g， 然后在你小 f 的 一阶导二阶导怎么样的时候， 比较 f 和 g 的 这样一个大小，那在这里边的话，是不是我觉得这道题的话，咱们是不是构建辅助函数？那，那我就用谁减谁无所谓啊，比如说我就用呃 g 减 f 或者 f 减 g 都可以啊，在这里边，那，那咱们看呗，那我这个 g g 是 谁？ g 是 f 零，乘个一减 x 四， 然后加上 f 一 x， 然后是不是再减 f x？ 那 在这里边的话，大家是不是首先看到的两个特别的点，对吧？我这里边的话，是不大 f 零和大 f 一 大会发现往里一带，往里一带都是零，对吧？你看大 f 零的话，大 f 零的话，前面第一项是 f 零，第二项没有又减那个 f 零，这不零吗？ f 一 的话，前面是零，这是 f 一， 这也是 f 一， 这不就是零吗？ 所以我觉得大家就得想呗，你在这里边的话，你在零到一上的话，大 f 的 话，它的那个零和一这两点的函数值是不是都已经是零了？让你比较大 f 到底是大于等于零还是小于等于零的话，我觉得肯定跟凹凸性有关，对吧？比如说它如果是个凸的， 如果是个凸的函数，那 g s 就 大于等于零，那 g s 就 大于等于零的，也就是 g s 就 小于等于 f x 呗。 顺着道题的话，我觉得必然得求二阶导，那顺着道题的话，其实一阶导你本来就判断不出来啊。所以说在这里边的话，大家又会发现我这个二阶导是谁呢？二阶导的话，前面这些都是一次函数，求二次导就没了，所以说最后的二次导是不是最终应该是负的 f 两解啊？顺着道题的话，是不是是不是？这道题的话，咱们看呗。那二阶导的话，从 c d 里边选，对吧？比如说这道题的话，看一下 c， 那 c 型呢？你不要在这里边的话，如果 c 的 话， f 两且大于等于零， f 两且大于等于零，那小 f 两且就小于等于零，对吧？差了一个符号啊。那换句话说，这时候的话，这个大 f 就 应该是个凸函数， 那通函数的话是不大 f 就 大于等于零，大 f 就 大于等于零，大 f 大 于等于零，是不是就说明 g x 就 得大于等于 f x， 那 这道题的话 c 就是 不对的啊， ab 本来就判断不了，说明 ab 应该就有问题，就不一定啊。然后这道题的话，再看看 b 是 吧？反正这种题的话，咱们直接确定 选的 b 也可以啊，对吧？这这叫直选法是吧？有时候可以做排除，有时候直选呀，你比如说 b 选项，他本来就是对的，因为这道题的话不是什么协教方法，这道题就是竖形结合，一个非常符合数学逻辑的一种方法。你不要像那个 b 选项， b 选项的话是不是 b 选项啊？ b 选项当然咱们知道就对了啊， 你想象因为 d 选项和 c 选项都是为了那个二阶段的情况，对吧？所以这道题的话答案选 d。 嗯，包括这道题，这道题的话是零二年的一道题，这种竖形结合的思想，大家也可以去做一些概念题的一些。呃，排除啊， 比如说像咱们这个这道题的话，题目中告诉的这个题目中告诉的 b 圈上有定义，开圈上可导啊，然后问你这个 a、 b、 c、 d 哪个队啊？有定义啊，有定义，咱们知道有定义不一定连续，你看这道题的话是不是有很多？有，对吧？有很多东西特别像咱们课本上的一些定律，但是又跟课本上的定律不一样，比如说像第一个的话，是不是有点像零点定律， 对吧？啊？端点数的函数小于零，问你能不能找到一个 f， 可 c 等于零啊？有点像零点这里，但是咱们零点这里是说的是 b 区间上连续函数的性质，它是不是必须得要求这个函数在 b 区间上连续？连续 a 有 定义并不是一回事，对不对？所以说这道题的话，你 a 选项的话，你是不是就得想，哎，我我我存，存不存在这种情况？ 我觉得我存在这种情况呀？我是不是比如说随便一画，比如说这是 a， 这是 b， 它的这样的一个图像，我随便画个斜着上升的一个直线得了，然后我我就把 a 点给你扣掉， a 点真实的函数值，我给你补到下边去。 大家会发现在我画的那幅图里边，是不是那 a 点和 b 点的函数值确实是个一号的呀？ a 点的函数值单独补到了下边对不对？ b 点的函数值还是正常在上边啊。那大家会发现我怎么样呢？我在内部的话，我根本就不会存在什么零点，对吧？这条图像的话跟 s 轴没有什么交点，对吧？所以让你的话， a 选项就排除了啊，觉得 a 选项就是零点，令你它不符合这个 b 圈上连续 这样的一条要求。然后包括这道题的话，你比如说这道题，我先把错误选项给大家排出来啊，一般像 c 啊， c 选项的话，其实有点像鲁二零零，但是他又不是鲁二零零，鲁二零零，咱们说的是 b 线上连续啊，然后开边上可导，对吧？同时端点数的函数还函数值还相等，才能找得到导数等于零的点。一般像 c 选项啊， c 选项的话，我是不是可以举这样的一个例子？ c 选项的话，我可不可以举成这种？比如说它也是一个上升的一条直线，这是 a 点，然后这是 b 点，然后的话，呃，我故意把 a 点的函数值给你往上补一下啊，真实的函数值是跑到上边让它跟 b 点的函数值相同去， 对吧？就在我画的这个图像中，它也是一个斜着上升的一条直线，然后大家会发现我是不是我在这里边的话是符合有定义，对吧？然后同时内部肯定是可导的呀，内部内部的话是一个斜着上升的这种直线啊，咱们知道一次函数吧，一次函数肯定是可导的，同时也满足端点数的函数的相等呀，我 a 点 a 补上去了，我专门给， 呃，跟跟 b 点的函数是专门组成的一样的。大家会发现我这道题的话，是不是 c 选项肯定是错的，因为怎么样呢？因为大家会发现我完全符合题目和 c 选项的前提要求，但是大家会发现，在我画的这幅图里边，内部根本就不可能存在导数等于零的点， 因为在这里边的话，他的这种斜的上升的直线，斜率都是正的，导数也都是正的，根本就不会存在这种导数等于零的点，所以这道题的话， c 选项也是错的。当然其实 c 选项错了， d 选项自然就错了。 c 和 d 大家可以举一样的一个例子是吧？ b 选项有点像拉格，它也是 b 选项上没有连续这样的一个要求，推不了啊。 b 选项，你看 b 选项，我跟 c 选项写成一样的不就得了吗？你看我是不是，我是不是在在我画的图中， f b 左边是个零，但是右边不会是零啊，右边的话每一点的导数都是正的， b 减 a 也是个正的，所以说它这个式子不会相等的啊， 当然这个 b 选项为什么对是吧？为什么对的话我就简单给大家解释一下啊，因为今天主要是讲的斜休线，咱们是快速的把这道题的话选出来就完了。 b 选项其实是用的那个连续性，它内部可导，内部的可 c 啊，它这个可 c 在 内部啊，内部一定是连续的，连续的话极限是等于函数值啊。用了这样的一个，用了这样的一个知识。第一题，这道二零一一年的题，这道题的话题目中给了一个这样的一个曲线， 让你判断他的拐点的情况。这道题的话，其实实际中做起来的话，要常规方法的话，就得用判断拐点的 b。 二充分条件其实还是非常麻烦的，有的同学也想不到，但是大家会发现他给的这个图像的话，是一个咱们比较常见的这种，对吧？有像逆函数相乘嘛，对吧？在这里边的话，咱们是不是会用到高中的一种思想方法， 就是怎么样把这几项相乘的这样的一个式子，然后咱们把它的图像大概去画出来，观察他的怀里也可以啊，是吧？咱们是不是高中的话学过这种逆函数相乘的话，有一个叫就是穿针引线的这种方法，穿针引线的方法，穿针引线就是把这样的一个图像大概画出来，是吧？是不是有一个口诀叫积穿偶不穿， 积穿偶不穿是表示的是这个他的这样的一个次数，积数次方的话就穿五次，所以说大家可以去 大概的把这样的一个图像的一个草图做出来，反正这个图像的话一定会过一零、二零、三零、四零，是吧？这道题的话，也是让你判断这几个点是不是拐点的问题。大家画的时候从正无穷那边开始画啊，因为很明显嘛， x 是 趋于正无穷， y 肯定是趋于正无穷的，所以说你就从正无穷那边开始画画画画画，反正逆函数嘛，大家都知道，它的凹像是不是大概的大概是这样过来的，是 吧？因为它要过四零去啊，所以说我下下下，下到了四零，然后呢，大家会发现五 s 减四，五 s 减四的话它是一个， 呃，他是一个四次方，四次方的话咱们就不穿过 s 轴啊，既传藕不传嘛，对吧？所以说他就翻上去了啊，就翻上去， 往上走，往上走。但但咱们知道他不会无限往上走，因为他走到一定的高度，他就会下来，为什么他要下来？因为他要过三零啊，对不对？ 然后下到三零之后呢？下到三零之后， x 减三， x 减三是个三次方，那三次方的话怎么样呢？三次方的话是不是就直接要穿过 s 轴，对吧？然后传传传传传，但是咱们知道他也不会一直无限的往下去，因为他还要过二零去，是吧？随便一画啊，过二零，然后的话怎么样呢？然后的话是不是， 是不是上上上，然后到了二 s 减二是个二次方？积穿藕不穿，对吧？所以说二次方的话他就不穿过 s 轴，那就接着下来， 下来的话是不它也不会一直无限下来，无限，然后因为它要过一零，过一零那 s 减一是个一次方，那其数次方就要穿上去，对不对？穿穿穿，这个大概是这样的一个图像，所以说我觉得通过这个图像，大家大概是可以判断出来这道题的话， 对于这这道选择题的这四个点的话，那只能应该是三零是个拐点，因为大家会发现，为什么？因为在四个左右的话，我觉得它应该是个凹函数，对吧？在二左右是个凸函数，在一这一点的话，它应该是这种凹向是不会改变的，应该也是个凹函数，对吧？三零的话我觉得是在这里面的话，它是凹凸型，会发生改变啊。当然你严格说的话，有没有可能在三的左侧或三的右侧 凹凸型改变也存在这种可能。但是这种题的话，作为选择题，咱们是不是其他的三个选项看起来就不合适？而且咱们讲的斜修方法 就是在考场中的话，你如果常规方法做不出来，或者说就算常规方法你也会做。咱们讲的斜修方法的话，有很多选项是可以做排除法，快速的把它做出来的。当然咱们 说到最后就斜修方法的话，只是帮助大家在考前的时候快速做题的一种方法，它不是雪中送炭的方法，它是锦上添花的一种方法，大家可以点点关注，然后后边的话会给大家更新一系列的这种斜修的方法，记得点赞关注哦。

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当夜深人静啊啊啊。