如何一天速通高数

一个视频带你速通定积分的计算，不管你是期末临时抱佛脚，还是考研复习，这一条视频都能帮你一次性把它搞定。我们定积分的计算其实有很多很多的方法，那对我们来说最为常用也是最为重要的，就是我们的牛顿莱布尼斯公式，也就是微积分基本定律， 也就是说，如果说我们对于 f x 的 在 a 到 b 段的定积分，如果说我们能够直接找到 f 的 原函数的话，那么我们就直接可以利用牛来公式来进行计算，也就是直接就等于这个原函数在 b 数的值减去在 a 数的值，那我们来看一个例子， 那这个例子呢，如果说想找它的原函数方法呢，对我们来说非常熟悉啊，就是很基本的分布积分，那我们来看分布积分在定积分里怎么进行操作，那我们很容易就能够看出来啊，这个 e 的 x 方跟 d x 凑一分之后，我们做分布积分，那就是先拿出一个 x e 的 x 方出来，然后 分布积分，结果之后是这样，那在分布积分里呢，我们就要多写一步啊，比如这里面啊，这个元函数，我们要把这个零一的值算出来，然后还要把后面这个积分啊，也要写成零积分的样子。当然呢，如果说你说你直接算出了元函数是什么啊，那我们最终直接就能够给出 写成元函数啊，在一处的值减去在零处的值，然后计算，那就是在一处的值就是零，在零处的值就是负一， 最后结果就是一。我们再来看换元积分法，那我们前面呢，在不定积分的换元里讲过，定积分的换元跟不定积分的换元区别在于呢，我们定积分在换元的时候一定要注意，在换元的同时要注意 积分上下线也要跟着变，这就是我们所谓的口诀叫换元必换线。好，我们来看这道例题，这道例题呢啊，很容易在我们讲换元的时候讲过啊，这是很典型的根式换元，也就是我们令 t 等于根号 x， 那 这个时候换元必换线，我们来看 积分线怎么变化，那 x 是 从零到四积分，那根号 x 很 容易看出来它是从零到二的积分，这个时候还原之后就是一加 t 分 之二， t 比 t 这个去找它的原函数比较容易，这是一个假分式，那假分式我们已经看出来，它可以拆成一个 常数加真分式啊。最后我们分别对它进行积分，找到原函数就是二， t 减二倍，绕眼一加 t 绝对值， 然后微积分基本定律分别代入二啊，代入零，然后他们相减，最后结果得到四减二为零三。那当然我们有牛来公式这么一个非常核心的微积分基本定律， 理论上来说，我们对于任何的定积分，只要我们能够找到这个函数的一个原函数，我们都可以用牛来公式去求，但是呢，我们 将会碰到很多很多比较复杂一点的函数啊，这种函数你要是找它原函数也能找，但是要费很大的力气，这个时候呢，我们就要讲究一一些技巧了。首先我们可以利用定积分的几何意义，那对于一些比我们比较容易画出图像的函数，我们就可以利用这一点去给它进行积分。 我们知道定积分的几何含义是函数图像跟 x 轴在我们积分区间这一段围成的，叫做带符号的面积。什么叫带符号的面积？就是如果这一段图像在 x 轴上方，那这个面积就是正啊。如果说这段图像在 x 轴下方呢，我们就取这个面积加一个符号， 这就叫带符号面积的含义。那我们接下来来看这三道例题。首先第一道例题，我们非常容易找到原函数啊，当然可以用原函数方法去做，就是 a x 减二分之 x 方，然后你利用的公式去算就完事了。那还有一点我们注意到啊， 这函数作为一次函数，那我们图像很容易画出来，它就长这样，然后呢，它的 y 截距是 a， x 截距也是 a， 然后那正好零到 a 这一段，它的几何含义就是这个小三角形面积， 所以我们就很容易算出来这个小三角形面积是什么呢？那就是二分之 a 方，立刻就求出来了。第二个呢，其实这个找圆函数我们也练过啊，我们用三角换圆也能做，只不过呢，当时做的时候确实比较麻烦 啊，让函数写了半天，最后你还得把它换回来，那很麻烦。那利用定积分的几何含义，其实我们就很简单了，为什么？比如我们看这里面，如果另外等于根号下 a 方减 x 方的话，那我们很容易找到关系， x 方加外方等于 a 方，说明呢，这个函数图像它是一个什么呢？ 他是以零圆点为圆心，以 a 为半径的这么一个上半圆，因为我们说 y 是 要大于等于零的，然后那他这个零到 a 段的积分就是什么呢？那是不是就是这么一个四分之一圆的面积 啊？那我们就很容易算出来这个面，这个结果就是四分之派 a 方。第三个，这个对我们来说，想要找到他的换元，找元数不太容易，但是呢我们注意到，如果我们另外等于这个根号的话， 我们反写一下它的关系，我们最后呢整理一下，会得到它是 x 减 a 的 平方加 y 的 平方等于 a 方，说明这个函数图像是什么呢？说明这个函数图像是以 a 零为圆心，以 a 为半径的这么一个上半圆，然后我们看它考虑的啊，是零到 a 的 积分， 那零到 a 的 积分是不是还是这么一个四分之一的面积，最后结果当然就是四分之派方。那如果说这个题啊，如果我们考虑零到二 a 的 面积呢？ 零到二的积分啊，那就是这么一个整个半圆的面积，那它就变成了二分之 pi。 下面一个技巧比较重要，我们来看，如果说被积函数是积函数，或者它是偶函数，并且注意下面的条件， 积分区间要关于原点对称，如果满足这两个条件的话，我们就可以利用奇偶性来计算。我们考虑负 a 到 a 一 段 f x 的 积分，那我们首先考虑 f x 是 奇函数的情况，那如果说 f x 是 奇函数的话，根据我们定积分的几何含义， 那这个函数图像它是关于原点对称的，那比如说我们去考虑负 a 到 a 的 这一段， 那我们从图像上可以看到，因为这个图像关于圆点对称，所以说呢，这一小这两块他们的面积相等，但是呢，我们说几何含义是带符号的面积，所以说呢，那这一段上，他这零到 a 这一段图像在 l 上方，所以是正的负 a 到零这一段图像在下方，所以它是负的， 那一正一负正好就被抵消掉了。所以说我们说对于奇函数的情况，在对称区间上的积分，最后值变成了零，那我们再看 f x 是 偶函数的情况，那偶函数的情况的话，我们从图像上来看，图像呢，关于外轴是对称的，那 负 a 到零一段和零到 a 一 段，它们的面积都是相等的，并且呢，我们看到它们都在 x o 的 上方，所以说呢，最后呢，我们如果是偶函数的情况，我们可以通过 这么一个运算，把它啊把这个积分之间给缩小，使我们这样会使我们的计算变得减变很多。我们接下来看一道例题， 那这道例题里面呢，我们根据定积分的性质，我们当然可以把这两个看成两个函数，分别进行积分来计算，它的难点在于我们后一个积分， 如果说你用传统的牛来公式想找元函数呢，不太好找，你要三角还原，三角还原完了，你还得一通算。但是呢，我们首先注意到这个积分区间，它关于零对称，其次这个函数它是一个奇函数， 所以我们根本不用管他的记分，那他在负三到三的记分自动就是零，我们不用看了，所以我们只需要算 x 方在负三到三的记分，那 x 方作为偶函数，那他就等于两倍的零到三， x 方的记分，那这个记分对我们来说就很容易，二倍的三分之 x， 三个方 三处啊，再三处就是减零，最后结果十八。接下来我们要给大家补充一个比较重要的常见的二级结论，那现在我们来考虑一个最为普通的 f x 在 对称区间负 a 到尾上的积分，那这里 f x 我 对它没有任何要求，所以它可以是非基非偶的， 那我们可以给他在零处做一个分段，我们分别考虑在负 a 到零处和零到 a 处 f x 的 积分，那负 a 到零处，我给他做一个怎样的换元呢？我给他令 t 等于负 x， 那 这样的话我们来看换元必换线，就是 a 到零 f 负 t 底负 t， 最后啊这个符号挪到前面去，再让这个符号跟上下线起作用，这样的话我们就得到了它变成了零到 a， f 负 t， d t 的 积分。所以呢，我们这么做完变换之后，我们再跟我们再跟这个零到 a 处啊做一个加法，那最后我们就可以得到我们的结论就是它可以变成零到 a f x 加上 f 负 x d x 积分，这是一个我们相对来说比较重要的一个结论。接下来我们要讲的一公式，叫做区间在线公式，区间在线公式是怎么回事呢？这样的我们来考虑一个一般的 f x 的 定积分，那现在我给 x 做一个这样的变换， 我令 t 等于 a 加 b 减 x， 这么一个变换是什么意思呢？它简单来说呢，就是我把 f x 的 图像 以呢我比如说我们来看 a 到 b 这一段图像，我呢以它的中点作为对称轴， 给它来一个左右的翻转，那它的图像大致是成这个样子的，我们说这个这么变换完之后， 它的左右发生了翻，这个 f x 图像左右发生了翻转，但是呢，我们从图像的直观意义上可以看到，它的这个面积肯定还是没变的，因为我们做的是全等变换，那我们从积分换元的角度其实也很好算。 我们说如果我们直接去做换元的话，那换元必换线，它就是 b 到 a， f a 加 b 减 t， d， a 加 b 减 t， 然后啊还是同样的，跟刚才一样，这个这个就是负 dt 符号，挪到前面去，正好让这个上下线再换回来，最后变成了我们区间在线公式的结论就是 a 到 b， f， a 加 b 减 t， d， t 的 积分，那这个区间在线公式有什么用呢？我们来看 我们现在的例题，这样一道例题，我们要计算它的积分，那它的积分我们想要找元函数不太好找，我们当然有技巧啊，比如说我可以给它分解成，比如说啊， 就说它的元函数啊，和它的导函数啊，做一个线圈组合，然后分别去积分。但是这么算呢，挺麻烦的，我们可以用刚才讲的区间在线的技巧，我们区间在线之后，零到二分之派，那 它就是 cosine 二分之派减 x 加 sin 二分之派减 x 分 子 cosine 二分之派减 x， d x， 然后那根据诱导公式，那这些函数都要变名字，那自动变成了二分零到二分之派， cos x 加上 sine x， 这是分母分子，正好变成了 sine x dx。 我 们说这两个积分有什么关系呢？ 那我们刚好看到这两个函数加起来正好等于一，所以我们那就结论就是二倍的 i 等于零到二分之派一， d x 等于二分之派，所以我们直接算出来积分值为四分之派。你看我们合理的利用我们的这么一个结论，就根本不需要再去找他的元函数，然后一共算，根本没有必要了。 所以你看这就变得很简单，区间在线公式对于我们计算有关三角函数的积分的时候非常非常有用，那我们这里就有一个二级结论给到大家，如果说啊，我们说这个函数只跟三角函数有关系的话，比如说我们看 f cos， 我 们考虑它在零到二分之派的积分的话，那根据区间在线公式， 我们可以把它写成零到二分之派 f cos 二分之派减 x 的 积分，那 cos 二分之派 x 刚好诱导公式它就是 cos， 所以呢，那我们的结论就是它等于零到二分之派 f 三 x d x 的 积分。接下来我们看分段函数的积分，那对于分段函数的积分呢？我们其实在学习定积分的时候 讲过定积分的性质，其中有一条重要的性质就是我们看如果是 a 到 b 的 积分的话，我们可以把它分解成 a 到 c 和 c 到 b 两段积分加起来的格。 所以对于分段函数，我们可以把函数在分段点处断开，然后我们分别对分段点左右的两段分别进行积分，然后我们去计算。比如我们看这道题啊，这道题很明显 他在零处做的分段，然后我们要看他在负一到一处的积分，很明显我们要把它分解成负一到零处的积分和零到一处积分加起来，比如我们负一到零的积分就是 x e 的 x 方 d x， 然后零到一的积分 就是一加 x 方 d x。 那 这两段我们找圆函数啊，都比较容易。第一个很明显 x 跟 d x 凑为分之后，然后我们分别记分啊，那我们找到圆函数，那最后二分之一的 x 方 负一到零，加上一加 f， 二分之一，积分表里有 r， 看成它 x 零到一，然后我们分别计算啊，最后我们计算出的结果就是二分之一减 e， 然后加上四分之 pi。 那 最后我们给大家介绍一个非常著名的公式啊，叫做华律式公式。 这个公式啊，嗯，也有给他系成叫做点火公式的，那来源就是我们著名的考研老师的某个段子，大家可以自己去查一下。那这个公式我们谈到的是我们看塞 n 四方 x 在 零到二分之派的积分，那当然我们刚才提到过，就是根据区间在线公式， 他也是零到二分之派口塞 n 四方 x 的 积分，所以这俩没区别，我们只记一个就可以。那这个公式在这里给大家，那注意这里面。 哎，我们第一次见到这个符号，两个叹号是什么意思呢？这两个叹号啊，叫做双阶乘，那双阶乘就是说从 n， 然后每次往下减两个去乘 n 乘 n， 减二， 乘 n 减四，一直往下乘，一直乘到。比如说如果 n 是 偶数的话，那就乘，最后会乘到二，如果 n 是 基数的话，最后乘到一。这公式本身不太好记，那为什么会细成点括号公式呢？就是因为这位老师教大家 怎么去直接给他算出来，那我们就直接来看，我们比如看三八字方 x 在 零二分之派的记分，如果说你记不住这公式，其实你根本不用记，怎么办呢？我们从分母开始啊，一个一个往上写，就是八、 七，然后再写一个分数啊，再从分母六、五、四、三、二、一。如果我们写完整了，把最后这个分数写完整了，证明我们这个他们就叫点火，成功了，就成了二分之派。 那如果说，比如我们看下面这个例子，从基数开始，我们同样的方式，从分母开始写七、六五四、三、二，最后我们发现如果我们写到这个一的时候，一在分母上证明我往下写，写不完全了，那就叫点火失败，那就是啥也没有，那就是其实就是我们的这么一个结论。 那刚好你看一下啊，这个八是偶数的时候，你看跟我们这个结论是不是一样的啊？那七是基数的时候，跟我们上面的结论是不是他也是一样的？所以我们这个公式啊，华理式公式看着复杂，实际你只要掌握这个写法的技巧啊，对我们来说就非常简单。 那看完整个视频，大家对于定积分的计算是不是更加得心应手了呢？那如果有疑问，欢迎在评论区留言，我们下期见。

接着我们学习定积分的第二课，换元法，求定积分。因为这个换元法我们在不定积分那一章已经学过了，所以本科没有什么要学的，只需记住一句话，换元时同步更换上下限。 比如这道题，看着熟悉吧，它的不定积分我们之前求过，先令 t 等于这个根式，再把式子中的 x 和 d x 都替换成关于 t 的 表达式就可以了。 求定积分也是正做，但要特别记住，在换元时把这个上下线也同步更换。 那么问题来了，如何更换上下限呢？很简单，原先未知数是 x 十，上线是负一，下线是负二， 现在未知数变成了 t， 也就是三次根号下 x 加二，那上线就会变成三次根号下负一加二，下线就会变成三次根号下负二加二， 化简一下，结果分别是一和零，这样上下线就画好了。 接着我们求一下这个定积分，非常简单，无论是化解还是计算，之前的视频都讲过，这里就直接把过程展示给大家吧。

高数期末考试只剩下一天，五天或者大于十五天，分别该怎么复习？上期高速攻略发出后，有很多粉丝都留言问，高速还有多少多少天，该怎么办？为了解决大家的问题，这次特意分时间段给大家做了一个复习攻略。 在给出攻略之前，我先稳定一下大家心态，大家一定要相信自己，不管你剩了多少复习时间，哪怕是三天也好，只要你真正沉下心来，安安静静的开始在图书馆或者自习室备考，那就一定可以及格的。 下面我们就分时间段说说具体该怎么做才能让自己及格。如果你只剩下一天了，那情况确实有点完蛋了，这个时候我们一定要放弃所有欲望，一定要沉下心来。时间要按照小时来算，首先我们得花三个小时把侯博士的网课看完，这是所有网课中时间最短的了， 看的时候一定要集中注意力，尽量把其中每一步公式的推导和原理都听一个半懂，并且看完要对整个知识体系有一个大致的框架。 看完网课之后，我们先刷一些基础题，这里可以花两到三个小时着重把导数积分的基础给打牢。刷完基础题之后，就可以直接开始做真题了。这里有一个很快的办法，可以先对着答案做大概三套真题， 边对答案一定要边把题目弄懂，并且摸清楚自己学校的出题套路，然后就可以自己独立完成两套真题。这就是一天的复习办法，非常非常极限，一定要沉下心来。 如果你还剩下五天，哎，这个时候时间就充裕起来了，我们可以先花两天时间看框框老师的速成课，框框老师的课是直接面向做题来的，所以我们在看的时候一定要把例题记好，两天的时间应该看完还是有一点点富裕。 在看完网课之后，我们可以先花半天找一些基础的积分和导数训练，先把基础打牢，之后花上半天把前面记好的例题给做一遍，这样下来一些基本的思路肯定还是有的。最后还剩两天，第一天我们可以先做大概五套真题，其中一定有两套要脱离答案认真做。 做完真题之后，你应该会稍微有点豁然开朗，那我们最后一天就可以趁热答题，给前面做的题目做一下纠错，如果还做的下去的话，可以再做两套真题，保持一下手感，五天的时间绰绰有余，及格完全不是问题。 最后就到了大于十五天的复习计划了，相信不少过来人都没有打过这么富裕的仗，但是我们不能掉以轻心，这个时候我们更要戒骄戒躁，认真备考。 前面七天我个人推荐看一高硕的精讲课程，当然框框老师的精讲课程也可以，时间充裕的话，我们就要把基础打好。看网课的时候，笔记可以只记例题，也可以把内容都记下来， 并且我们看完每一张的网课之后，可以顺便做一下对应章节在课本上的例题，以此加深印象。看完网课之后，我们用一天时间回顾一下所有学的内容，并且梳理一下所有的公式和知识点，然后再用一天做一些练习，巩固这些知识点。 最后我们剩下的时间可以花一半用来做真题，做的时候有不会的或者忘记的随时找网课看。我们剩的时间多，就一定要把题目做精做透，到最后就可以进行总结纠错，可以总结一下试卷的结构和常考的题型，然后针对自己错的多的进行集中冲刺。 十五天的时间还是非常富裕的，可以努力冲一个满记。最后大家不管剩了多少时间，都一定要相信自己，只要沉下心来坚持住，就一定能得到自己想要的成绩。这期的分享就到这里，希望对大家有所帮助。

马上就要期末考了，高数到现在还没有预习怎么办？这个时候看宋老师的课已经解决不了问题了，因为时间已经不多了。还有网上力推的侯博士，个人感觉视频时长有点不太够，讲的内容也比较基础，而且确实有很多不好的评价。这里给大家推荐几个老师，个人感觉还是很不错的， 希望能带你在短时间内速通高速。首先是宽宽老师，他的视频是结合题目讲知识点的，你理解起来也更容易，总共六个小时的课，如果你能够完全掌握，拿个七十五分肯定没有问题。然后是李天意老师，他和宋浩老师一样，是在黑板讲述的， 让你更好的带入到现实课堂，讲的内容也很清晰易懂，这样是几个小时完全拿下，看的时候可以把你觉得重要的例题抄下来，等积累了两三个视频之后，再自己做出答案来。当时只看视频肯定是不够的，一定要做一下你们学校的历年真题，因为大学的期末很水的，考试的题基本都是拿往年的原题，随便改几个数据就可以凑成一张卷子了。所以一定要关注好学校的二手书群，可能你会在那里找到往年真题，还有 学校打印店和学长学姐手里的真题能要到，然后认真给他做了在这个上面看的课程，高速考个七八十分肯定没有问题。是的。

接着我们学习定积分的第三课，分布积分法，求定积分。这个分布积分法也是在不定积分那一章学过的，公式长这样，到了定积分这里，我们只需给公式补个上下限就可以了。 好，我们来做道题试试吧。对照一下公式，我们不难发现， cosne 和 e 的 x 方肯定有一个是 u， 另一个是 vpn。 根据这个口诀，我们可以知道三角函数的优先级高于指数函数，所以选择 cosinex 当 u， 那 么一的 x 四方就是微撇。 根据这俩式子，我们可以推出 u 撇等于负， cne 等于一的 x 四方。好，现在这个公式就可以用了， 其中这部分可以算出来等于负一， 这个符号也可以提到前面，那么接下来的任务就是算它了。很明显，这个背积函数也是两种不同类型的函数相乘，所以我们要再次使用分布积分法。 嗯，老师，我怎么感觉不太对，这个倍积函数也是两种不同类型的函数相乘，难道我们还要继续使用分布积分法吗？ 不用了，因为带求积分等于这个式子减积分本身，所以两倍的带求积分就等于这个式子 化简一下，积分就求出来了。

一个视频带你速通换元积分法，不管你是期末临时抱佛脚还是考研复习，这一条视频都能帮你一次性把它搞定。我们学过两种换元积分法，一种呢叫做凑杯分法，另一种呢叫做带入换元法。 那这两种换元积分法他们的原理是一样的啊，都是这么一个公式，那我们说凑微分法，实际上我们是从左往右去用这公式，而代入换元法是我们从右往左运用这个公式，那其实这两种换元积分法没有什么很大的区别。我们说 凑归分法能做的题，如果你用代入换元法也能做，因为如果你用代入换元法的话呢，那换元之后出来的部分跟这个外一撇换完的部分，他们正好被消掉了，所以呢，他们没有就没有什么区别了。当然呢，我们对定积分也有类似的换元积分法， 其实呢，用法跟我们算不定积分的时候用法是一样的，只不过在定积分的时候，我们稍微还要额外注意一下什么呢？就是在于我们在换人的时候啊，定积分是有积分上下线的，比如说我们在左边 x， 如果看他从 a 到 b 的 积分的话，那么我们在换人之后，把它换成 p 之后， 那它换完之后的积分上下线也要对应的去变化，这是我们要注意的点，比如这里面 x 看成从 a 到 b 积分之后，那换完之后，那 t 我 们就要把它写成呢，对应的 a 下线 a 就 要变成外 a， 上线 b 就 要变成外 b。 那当我们如果说在一道题里面能够直接看出来说背及函数的一部分能跟 d x 凑微分凑出来这背及函数的另一部分的某一处的时候啊，我们这个时候一般会用到凑微分法，比如说一个例子啊，左边一个最简单例子就是二 x e 的 x 方 d x， 那我们立刻能啊， e 的 x 方次方，那我们立刻能够看出二 x 跟 d x 啊，它们凑微分能凑出来 x 方的微分，那这样的话，正好这个地方凑为微分之后啊，我们就立刻找到了它的原函数，就是 e 的 x 方加 c， 这这个方法很简单， 那带入换元法，自然啊，他理解起来就非常的更简单一些。那下面一个最为直接的问题是，我们在具体的题里，我们带入换元，怎么换 这里面呢？一般来说，我们带入换元的时候，有一个啊，一般性的原则，叫做谁难看就换谁。那比如一般来说，我们在题里面如果看到说类似于像 反三角啊，包括 ark 赛 ark 口塞和 ark 摊着呢，还有呢，像 e 的 x 方，还有像烙印 x 啊这一类的啊，长得非常难看的函数啊，我们一般 都想要把这些类型的函数给他做一个换元，让他们变成 t， 这是我们一般的换元的原则， ok， 那 接下来我们就来讨论我们在做题当中比较常见的换元的原则。 ok， 那 接下来我们就来讨论我们在做题当中比较元的原则， ok， 那 顾名思义 就是我们如果说在背记函数里面见到根号这种类型的话，我们一般的思路就会是把根号当成一个整体，让它变成 t 来进行换元，然后进行积分。比如我们看这两个例子，首先第一个我们最直接的在背记函数里面看到了根号，于是我们直接令 t 等于根号 x， 于是呢，我们就得把这个东西带进去去换元啊，那 x 等于屁方，自然不必多说，那接下来我们接下来要看一下 d x 怎么跟 d t 之间联系，那就是根据这么一个变换的关系，我们直接两边取微分， 然后把所有的这些带进去之后计算得到，得到这个让我们 我们立刻啊就看到了这里面啊， t 和 t 被约掉了，于是我们只需要去看一减 t 方分之 dt 的 积分，那这个积分呢，对我们来说啊，那他很容易就给能给他去分解，给他分解成 啊，一减 t 分 之一加上一加 t 分 之一 dt， 那 于是我们立刻啊可以给他算出他最终结果是分别为分之后啊，化减之后，结果就是烙印 一加 t 比一减 t 绝对值加上 c， 然后啊，算到这，如果你就这么结束了，那很遗憾你是一分没有的，因为要注意一个事情，就是你根式换完圆，要注意给他换回来，最后我们还要写一步 写到这里啊，才算结束。当然如果说你想要把让这个结果好看一点啊，恐怕你还是需要给他做一个 啊化简的，当然这个就不必多说，那例二例二这个函数啊，我们直接看也看不出来啊，于是乎我们看到这函数里面这个指数上面根号 x 比较难看，我们就同样的思路，我们把它当成一个整体，令 t 等于根号 x， 然后带进去，那就是 那有什么呢？ d x 就是 二 t d t， 然后 e 的 根号 x 四方，那就是 e 的 t 四方 t t， 那 这个积分呢？我们在分布积分法里讲过啊，它是典型的分布积分的类型，它是逆成对的类型，于是我们立刻啊给它做分布积分，那么最后的结果就是 这个啊，给它做分布积分，那么最后就是 这个接下来一种比较常见的换元是三角换元，那三角换元呢？一般是在我们 f x 中含有我们白板上写的这三类的函数，出现这三类函数特征的时候，我们一般会考虑三角换元。我们来看，我们看第一种 根号下 a 方减 x 方，那这个函数跟 x 之间啊有一种关系，我们比如说如果另外等于根号下 a 方减 x 方的话，我们立刻就可以知道 x 方等于 x 方加外方等于 a 方， 于是乎我们就可以考虑三角换元，那我们就可以令 x 等于 a 口塞 t， 那 为了避免将来我们在 t 的 角度范围上做纠结，我们不妨就直接去令 t 是 锐角， 那这个时候自然而然的我们就是根号下 a 方减 x 方，它就可以变成了 a 塞 t 啊。与此同时，我们这个时候呢 d x 呢，我们根据上面也就变成了负 a 三 t dt， 于是乎我们整个的 f x 的 积分，我们就可以把它变成一个三角函数的积分去进行计算。那同样的我们来看第二根号线， a 方加 x 方，我们同样的去推，如果另外等于 a 方加 x 方的话，这个时候的关系就是 他们的平方差啊。外方减 x 的 四方等于 a 方，那现在他们的平方差为定值，我们就可以考虑另一个三角函数关系，我们现在令 x 等于 a 摊着的 t， 同样的我们令 t 是 锐角，这个时候呢，我们根号下 a 方加 x 方，它就是 a second 的 t， 如果有同，如果有人不知道 second 是 什么的话，那他就很简单啊，就是口算也分之一， 那这个时候同样的 d x d x 就是 a second 方 t d t 也是，我们同样的就把这个 f x 变成了一个三角函数的积分去进行计算。第三种类型， 我们看如果这函数里有根号 x 方减 a 方的话，那我们同样的去推，这时候另外等于 x 方减 a 方的话，那么他的关系呢？那他也是平方差关系，只不过要反过来啊，就是 x 方减外方的 a 方。那这个时候我们设的三角函数呢啊，也是稍微变一下，就是如果我们令 这时候我们用 x 等于 a second t， t 属于零到二分之派，那这个时候这个根号就变成了 a 摊着的 t， 这时候当然要注意啊， d x 是 什么？大家记一下 second second 的 导出公式是什么呢？就是 second 乘摊着的。 那这就是我们常见的三种三角换元的例题，我们接下来来看两道例题。第一个例子里面呢，这是我们刚才讲的第一类三角换元例行，于是我们按照刚才讲啊，我们令 x 等于二倍的 cosine t， t 属于零到二分之八，然后我们把它带进去，带进去计算之后得到的结果是 我们得到的结果变成了负四倍三方 t 的 积分，那三平方它的积分呢？我们怎么算？我们一般是这样算的，我们可以把它把这个二次的三角通过降次来进行计算，那就是我们可以把它变成负四倍 二分之一减 cosine 二 t d t， 然后这样的话我们就可以把这个分成一个常数，加上一个三角函数，分别来进行积分，最后我们化简之后得到就是负二 t 加 cosine 二 t 加 c， 当然还是一样，我们算完了不要忘记把 x 给换回来，那这个时候我们得简单的把它挡一下啊， 这时候我们要看一下，这个时候 x 等于二倍 cosine t 呢 t 反过来就是二克 cosine 二分之 x， 于是呢，这个时候我们那就是负二倍的二克 cosine 二分之 x 加上，接下来啊，把这个代入 cosine 二 t， 这个怎么算？那我们用二倍角，那就是 cosine t cosine t， 那 于是啊，我们就可以把，我们就可以 把口三角 t 换成二分之 x， 三角 t 就是 啊，二分之根号下四减 x 方，也就最后我们化简之后，结果就是二分之 x 根号下四减 x 方，最后啊还是加上 c 留下，我们可以看到啊，变成三角换元之后，我们 只需要换成三角函数的积分啊，这个三角函数积分对我们来说呢，我们只要把它练熟了，还是很容易计算的，那他的难点其实在于我们用 t 算完之后，要把这个 t 给换回 x， 那 这个时候就要涉及到我们去导各种反三角函数关系的过程，这个还是大家需要练习的。 那可能啊，有人还有一个纠结的点，就是我刚才规定的 t 是 零到二分之派，那么对于其他区间的 t 这个积分成不成立，那我说这是成立的，那大家可以自行去验证这是为什么？接下来我们看下一个例子，下一个例子里，我们看到函数背及函数有 根号下 a 方减一，这是我们刚才讲的。另 x 等于三分的 t， t 属于零到二分之派。 然后接下来我们进行换元，换元的话，我们刚才讲到 dx 啊，它作为 second 的 求导，那就是 second t 乘 tan 的 t dt， 这是分子，分母呢， x 是 second， t 刚好下 x 方减一，是贪婪的 t， 于是啊，这么带完之后，我们刚好发现所有的这些都被消掉了，我们最后就剩下 d t 的 积分呢，很容易 t 加 c， 那 接下来我们把 t 换回来，换回来 x， 那 就是 x 等于三个 t， 那 t 是 什么呢？ t 就是 二克 cosine x 分 之一，于是最后我们的结果就是二克 cosine x 分 之一加上 c。 下一种常见的换元类型，我们叫做倒代换。那倒代换什么时候用呢？一般来说我们 会在背接函数是分式，并且呢分母的次数比较高，一般来说要比分子的次数高两次以上啊，这样的情况我们一般会用倒代换去做。我们来看一个例子， 这个例子呢，其实就是我们刚才三角代换里面做过的例子，那我们刚好发现这个时候他的分子是个常数，也就是零次，分母呢，是一次加上二分之一乘二次，也就是二次的， 那我们刚好发现这个时候分母比分子高两次，于是我们可以做倒代换。那倒代换是怎么换？顾名思义，就是把 x 进行取倒数的变换，也就是令 x 等于 t 分 之一，这个时候 d x 很 简单，负 t 方分之 d t， 然后我们换 啊，这么换完之后，我们发现呢，这个时候分母的替方分之一跟分子里面这些都被约掉了，最后剩的是什么呢？剩的是分子只剩下常数，分母呢，只剩下一个根号，下一减替方， 而这一个积分呢，根据我们的积分表，它是什么？它是负的。二， cosine t 加上 c， 然后我们把 t 换回来，那很简单啊， t 刚才是做倒退换，那就是 t 就是 x 分 之一，于是我们得到了这样的一个结果，那有人看起来很奇怪啊，这个结果跟我们刚才算的二个 cosine x 分 之一加 c 有 点不一样， 原因很简单，就是因为我们对于同一个 x， 它的二个 cosine 值加起来正好是二分之 pi， 所以呢，其实 这个结果跟我们刚才的结果之间只差了一个常数，而我们常数是可以通过后面的 g 加 c 进行调节的，所以这两个结果本质上是一样的，也就是说我们怎么写都可以。 那同样的这个例子其实也说明了，我们对于一个函数算不定积分，我们其实有很多种不同的办法去做，大家可以对于同一道不定积分的题，自己去想一下，有哪些不同的方法可以去积它， 这是我们可以思考。那现在大家对于换言积分法是不是有了更深的理解呢？那如果有疑问，欢迎在评论区进行留言，我们下次见。

本节课我们学习渐近线，题目都像这题这样给出一个函数，让我们求渐近线非常简单，依次求这三种渐近线就可以了。 先看第一种渐直线进线，请记住，求渐直线进线就相当于求无穷间断点， 这个函数的无穷间断点，我们在间断点那一刻求过，是 x 等于一，所以 x 等于一，就是先直径进限， 再看第二种水平渐进限。这个更简单，求一下函数在 x 趋近于正无穷和负无穷时的极限就可以了。 求极限是前面学过的知识，这里就直接把过程展示给大家吧，不熟练的同学可以暂停一下仔细看看。 好，因为极限结果是零和负一都不是无穷大，所以 y 等于零和 y 等于负一，都是水平渐近线。 注意，这里有个小技巧，当你求出了两条水平渐近线的时候，你可以直接判定函数没有斜渐近线。 但如果你只求出了一条水平渐近线，或者没有水平渐近线，你就要继续验证有没有斜渐近线了。 具体怎么验证，我们下节课再讲，毕竟这道题已经求出最终结果了。

接着我们学习不定积分的第五课，有理函数的积分。有理函数啊，都是像他们这样有分子和分母，且分子、分母都是由密函数和常数组成的多项式。 当然这种的也属于有理函数，毕竟你可以强行给分母变成一。但它太简单了，没有研究价值。我们主要研究这种较复杂的有理函数， 比如这道题，它的背及函数就是比较复杂的有理函数。遇见这种题目，我们首先要观察这个有理函数是真分式还是假分式。如果分子的最高次数小于分母的最高次数，就是真分式，其他情况就是假分式。 很明显，分子的最高次数是五，分母的最高次数是三，并不满足这种情况，所以是假分式。 当这个被积函数是假分式时，我们需要把它转化成整式加真分式的形式。如何转化呢？很简单，使用多项式长除法就可以了。 具体步骤是，先把分子拿过来给他盖个场，并把分母放在场外面。然后我们算一下场里的手相。除以场外的手相等于什么？很明显，等于 x 方 算出结果以后，我们再用这个结果乘以它可以得到这个式子。接着我们让上式减下式，可以得到这个式子。 然后我们重复上述操作，继续算一下这个手相。除以场外的手相等于什么？很明显，等于 x 算出结果以后，我们再用这个结果乘以它可以得到这个式子。 接着我们让上式减下式可以得到这个式子。 然后我们重复上述操作，继续算一下这个手相。除以场外的手相等于什么？很明显，等于一算出结果以后，我们再用这个结果乘以它可以得到这个式子。 接着我们让上式减下式可以得到这个式子。好，现在这个手相的次数终于比它小了，说明真分式已经出来了。原来这个假分式就等于这个手加上于式除以分母， 这样我们就得到积分式了。或许我们继续学习如何将积分式拆分成若干个简单分式，并最终求出不定积分。

一个视频速通分布积分法，不管你是期末临时抱佛脚还是考研复习，这条视频都能帮你一次性把它搞定。 其实分布积分公式本身是很简单的，它就来源于我们 g 的 微分法则，也就是 duv 等于 utv 加上 vtu， 然后我们两边加上积分号以后，自然而然的就得到了我们的分布积分法则。所以当我们看到 两种不同的基本初的函数相乘去求积分的时候，我们自然而然的可以想到去利用分布积分法来计算。那紧接着一个最为直接的问题就是在喊这个函数当中谁来当这个，谁来当 u， 那 这里就给大家一个最为简易的口诀，请大家记住只需要五个字， 也就是反三角函数、对数函数、逆函数、指数函数和三角函数。那这五类函数，当我们碰到他们其中两类相乘的时候，请记住以下的几个字， 谁在前，谁当 u， 谁在后，谁当微撇跟 d x 凑。微分分布积分法的公式和用法就已经给大家讲明了，接下来我们只需要通过 各种各样的例题，不断的帮助大家去熟悉我们分布积分法算积分的步骤就完事了。 ok， 我 们来看那第一题，我们看到这是一个密乘以指数函数的形式，那我们回想一下刚刚讲的反对密值三，谁在前，谁能有那密函数在前？所以我们另 u 是 这个 x， 那 v 呢？我列 v 撇是这个 e 的 负 x 四方，然后我把 e 的 负 x 跟 d x 放在一起凑一分，注意凑一分的时候，我们要注意前面的系数还有符号，不要把它弄错，也就是 这个。然后呢，那我们就可以利用分布积分法，注意符号不要搞错。 那分布积分完之后，我们剩下的这一个指数函数的积分对我们来说是非常容易的，我们只需要直接去做积分就好了，所以最后我们的结果是 这个，千万不要忘了不听积分要加 c。 然后我们再来看第二道题，第二道题呢，这是一个 b 乘三的形式，同样我们数一下刚才的反位因子，三 b 在 前，所以我们还是列 u 是 这个 x， b 撇是三三 x 的， 然后我们把三三 x 跟 d x 凑为分，注意仍然凑为分的时候要注意好系数和符号，每一步我们在书边的时候小心一点，凑完为分之后，我们就可以去分过积分了。 然后那我们剩下的这一个头三三 x d x 这个积分呢，对我们来说就非常好。算了，那最后的结果 就是二好，那前两个例子都比较简单啊，看来我们来看三和四第三题，第三题看完有人会疑惑的看起来呢，这只是单独的一个对数函数放在这，然后我又不知道对数函数的原函数，那我怎么算呢？ 哎，这个时候你想一想啊，那我是不是可以后面呢，给它乘一个一，那乘一个一有什么用呢？一呢，我可以把它看成 x 的 零次方，哎，那 x 的 零次方它是不是一个？可以认为它是一个密函数，那 是不是可以认为这是一个逆乘对的形式，那我们看一下，反对一在这个时候对在前，所以我们利用 u 是 这个 lo x， 那 v 一 撇就是这个一，所以呢，我们直接运用分布积分法给它算，就是 x lo x 减去，把它分布积分完之后，得到了负一串这个积分，我们把这个 d lo x 给它展开，那我们刚好发现它是什么呢？那很简单啊，递增 x x 分 之一的 x 啊，这个 x 分 之一呢，刚好被前面 x 约掉了，那我刚好发现新出来的这个技能变得更简单了，所以我们最后直接算出来，它就是最后结果 x 零 x 减 x， 再加上 c。 再看第四题，那第四题呢，相对就简单些，这是一个逆乘反的形式，同样的反在前，所以我们用的是二三的代一撇呢，是 x， 于是我们熟悉起来以后啊，我们就可以直接直接去做不等式单， 把分母积分完之后啊，冒出来的一个这个积分啊，这个积分我们在前面的有理函数积分里讲过，这是一个，这是一个有理函数积分，而这个分式是一个假分式，所以呢，我们啊，运用上次讲的办法， 把它拆成二分之一，减去一个积分式，然后我们分别对他们这两个进行积分，积分完之后，我们整理，最后得到的结果是， 最后得到的结果是这个。那刚刚给出的四道例题，我们发现这四道例题只需要我们做一部分步积分啊，分步积分完之后，我们得到的新的积分对我们来说就变得非常的好。算了， 那有没有这样一种情况，就是我在一步分布积分之后，我得到的这这么一个积分呢？稍微简单一点，但是没简单到哪儿去啊，我还得再进行好几步分 布积分，有没有这种情况呢？有，好，请看接下来的几道例题。好，我们来看接下来三道例题。首先来看第五个，第五个，这同样是前面说过的一个密乘质的类型，那我们很容易了啊，我们以逆函数为优， 然后指数还是数得背一批，那我们想一下，按照同样的方式啊，去给他做分布积分以后，我们看一下得到了什么。 那我们突然发现我们得到的新的这个积分，他仍然需要再次的进行分布积分以后我们才能算，那当然我们也可以继续去做分布积分，那我们就会得到什么呢？我们就会得到， 我们就会得到这个啊，然后继续往下算啊，就会得到，当然就会得到结果。 我们这一道题当然是可以这么两次做分布积分去算的，可是我们想一个问题，第一，你看这个地方前面是减号，我们做分布积分的时候啊，会有一个括号，那多一步的话，那万一你哪一步啊， 把这个符号搞错了，那你整个题就错了，我们说步骤越多，你越容易在某一步你就出现了疏漏，那你整个题就错了。第二，那现在我是两次吧，我要做两次分布系数，加入我提里这个 x 的 次数更高的话，那我可能就会做更多次的分布系数，那这样一步一步的去分布系数是不是有点太麻烦了呢？ 那接下来我就给大家介绍我们算多次分布系数是不是有点太麻烦了呢？那接下来我就给大家介绍我们的表格，表格怎么画呢？我们看 这表格只需要两行啊，上面一行我们写，我们在这个函数里面确定的 u， 下面一行我们写 v， 然后我们把这个抄上，然后接下来我们干什么呢？接下来我们上海的这个 u， 我 们不断的对它求导， 那下沉这个 v 撇呢？我们不断的对它进行积分，那然后我们干什么呢？然后我们等，我们把 每一个啊，每一个二乘二的这每一个死死身啊，我们去看它的左上和右下，把它的中间连起来， 这样连起来之后，然后我们这样的，我们在第一个极限上标个加号，第二个极限标减号，第三个极限标加号，这么如果这个表格更长的话，你就依次的往后去画 啊，画完之后接下来我们就可以直接写结果，怎么写呢？那就是我们把连线的这个符号决定，那我们就直接写 二分之 x， 加一点二 x， 然后减去二分之一的 x 乘一点二 x， 再加上四分之一的二 x， 最后写上加 c。 那 大家看一下，最后我们这么个方法直接写出来的结果，是不是跟我们通过两部分分算出来的结果是一样的呢？ 当然这就是一样的，证明我们这么个方法算的是对的。那通过刚才的例子，我们明显能够看到用表格法我们能够得到完全正确的结果。然后呢过程方面，他比我们两次分布积分算起来啊，他好用的多。 那接下来我们再看第六题，我们把这个过程熟悉一下， ok， 第六题，这是一个面乘三的形式啊，我们确定 x 方式用在三 x 值为一撇之后，我们画表格 函数三四 x， 接下来我们上面是求导，下面做积分 跑步，接下来我们怎么办？我们接下来把对每一个二乘二的这么一个子阵给它连上，左上到右下 到右下，左上到右下，然后分别的啊，在这几个斜线上交替的标上正负正，然后我们就可以用这种办法直接的把结果写出来，那就是什么呢？哦，三分之 x 啊，括号三 x， 那就是这个，那当然啊，这个如果说有的考试啊，他好像不太允许你直接画表格这么列上的话，那你还是得象征性的把一部分共积分的过程写一下，对吧？那就是你只需要象征性的写一下，第一部分共积分的过程就完事了， 那这是啥呢？那你直接简单写一下就可以了，对吧？那这个第六题我们用表格法算起来也非常简单啊，接下来我们看一下第七题，第七题就是稍微不咋油，这道题是非常重要的一道题， 那么第七题呢，它是一个纸乘三的形式，那纸乘三我们可以用纸为 u， 然后我们继续用表格法来看 啊，刚才我们对前两道例题用表和法算的时候，有一个特点，就是我们把 x 方放到 u 的 位置上的时候，我经过几次求导，总会让它变成零， 但是呢，你看这里面，在这个例子里面，我如果 u 是 一点二零个字方的话，好像我不管怎么去给它求导，它都变不出零来，那是不是我们这个分布积分分布起来就没个头了呢？那当然不是啊， 其实呢，我们刚才画斜线，每一步的斜线都代表着我们在对应的这一部分步积分当中所冒出来的这个 u v， 然后呢，那新加出来的这一列其实就是我们分布之后所出来的一个新的积分，那我们逐步的把一步一步的去把每一页写出来看一下， 那在写到第三页的时候，我们忽然发现 对应的这一列，对应这一列的两个相乘之后的函数，它的特点是 它的形式，这两个组合起来的形式竟然和我们上面这个函数乘起来的形式是一模一样的。所以呢，那我们记到什么时候为止？其实就记到这种时候为止就行了，也就是说接下来一句话很重要， 在值成对的情况下，我们只需要在我们积在 x 的 时候，或者扣在 x 的 时候积分两次，那我们就可以再次见到 同样的三角函数名，这个时候我们的表格号就可以结束了。接下来我们来写分母点，分母积分之后的结果，这两个连起来标上正负，那当然这个时候还没完，这个时候，那 这两个斜线只是代表着我们两次分布积分之后冒出的两组 u 和 v， 那 还剩下一个最后一块积最后一块积分，那这个积分内容其实就是这一列所呈现出来的内容，它的符号放在这列呢，它的符号其实就是顺着这个正负接往下写正负正，那最后我们的题目是 就是它，那当然你考试的时候你不能这么写，这不是一个结果。那我们这样记完之后啊，发现这一块和这一块是同类项，所以我们可以把后面的这个挪到左边去啊，类似于解方程的办法，我们就可以解除什么呢？我们就可以解除这个题的积分的结果就是 五分之一的二 x 减括号 x， 当然都算到这儿了，最后不要忘了，这是一个不定 要加这个第七题，他确实比较难，大家可以慢慢的用表格法去消化啊。如果觉得表格法这种讲话比较抽象呢？我们也可以啊，一步步的慢慢的进行两部分步积分之后啊，你会发现我们两个分步积分之后的结结果啊，其实跟我们表刚才所讲的表格法呈现出来的也是一模一样的。 那其实本质上就是经过两个分步积分之后啊，我们冒出来的这个函数，跟左边挪到左边去 合并同类项，直接把这个积分给解出来。那看完整个视频，大家是不是更好的掌握了分布积分法呢？那如果有疑问，欢迎大家在评论区留言，我们下期再见！

现在登场的是大学高手的四环神速通之神候博士靠着简单粗暴的解题方法和大学高手速通套餐，成为了大学生期末考试的救命稻草，其经典的现行袋鼠更是成为了高手困难户的圣经。 虽然侯博士不能让你的分数大富大贵，但是让你平安上岸还是没有太大问题。顺丰之神宋浩上课睡觉下课宋浩作为小破站校长的宋浩老师，连续九年免费录制高数课程，成为大学生真正的高数老师， 一个视频甚至达到了一点九亿的播放量，靠着幽默的讲课风格和清晰的解析思路更是吸粉千万。除此之外，他还是上课放催眠曲和颂式洋葱法则的创始人。 其实各位同学，这节课从刚开始到现在通通都不用学，没用，一点用都没有，各种经典语录更是让其成为数学界的情感导师。逆风之神风考大学不能没有风考，就像西方不能没有耶鲁撒朗。作为百万数学特困生的救命稻草， 风考靠着高数陕基站和风势速成法拯救了一个又一个逆风学子，让其成为高数期末考试的金钥匙。当然，如果你要想要靠风考来考研的话，那就真是风考了。掘进之神框框 作为新进的高数之神框框老师，靠着二十九个视频并吸引到一百三十万的数学低保护，动辄就是几个小时的短视频 更是造就了一大批考场组成之。没有人会年年看筐筐，但是年年都会有人看筐筐，就连高斯也不禁感慨，如果高速市场战争，那么筐筐就是发到士兵手里的肾上腺素。

大家好，我是一分钟讲数学，接下来我们学习定积分。定积分啊，看起来挺眼熟，无非就是比不定积分多了一组上下线而已。 要想求他，我们只需在求出不定积分的结果后去掉 c， 并让这个结果的后面也多出一组上下线就可以了。 这里有的同学会说，为什么要去掉 c 呢？带着 c 行不行？很遗憾，带着 c 没有用，计算之后还是会消掉的，所以定期分离就别带 c 了。 好，现在你已经熟练掌握了牛顿莱布尼茨公式，来做道题试试吧。首先把背记函数展开，可以得到这个式子，然后求出它的不定积分，但不要加 c。 最后把这个上下线放在后面计算一下，很容易可以求得定积分的结果是六分之七。

要考试了吧兄弟们，毕竟有不少兄弟都在催更新啊，那么咱们加更一下，今天教你用四种方法来求不定积分，并且每种方法都用一道考试真题带你来强化一下。好，咱们期末不挂科，只带你速成高手直接开奖！这 四种方法都属于第二类换元积分法。首先第一种就是三角代换，当你看到一个积分中含有根号下 a 方减 s 方的时候，那你就可以换元，令 x 等于 a 倍赛题或者 a 倍口赛题， 这个用直角三角形理解更好。直角三角形设这个角是 t 的 话，高 x 方减 x 方是一条直角边，斜边是 a， 那 么 x 不 等于 a 乘三 t， 如果这个角是 t 的 话，那 x 是 不就等于 a 乘口算 t？ 同样道理，当积分中含有根号下 a 方加 s 方的时候，那就令 x 等于 a 倍弹进的 t。 积分中含有根号下 x 方减 a 方的时候，那就令 x 等于 a 倍 c 的 t， 总之你就对应这个根号下符合哪种形式，然后直接套三角还原的这个公式就可以了。 ok， 那 么第二种就是根式代换，就是当一个积分中含有 n 次高下 a， s 加 b， 或者是 n 次高下 c， s 加的分子 a 加 b， 总之就是一个 n 次高下一坨东西，那你就让这个根式整体等于 t 给换里。 第三种情况倒代换，它是用于背记函数，只含有幂函数，并且分布比分子的次数高，那就把 s 用 t 分 之一来替换。第四种方法是只代换，就是背记函数是由 e、 x 或 e 的 负 x 构成，那就把 e 的 x 或 e 的 负 x 用 t 来替换进去。 ok， 放话讲完了，那接下来咱用几道考试真题来具体讲解一下这四种乘法应该怎么用。第一题闹分母有个根号 x 减一，这应该立刻对应是谁呢？是不？这个三角代换里的 第三种情况上，有个根号 x 乘以方，那就另 x 等于 a， 被谁跟他提呗。现在 a 是 不等一的，所以说你就另 x 等于 c 根的 t 吧。那么解下 d x 就 等于 d c 根的 t， 那 就是 c 根的 t 弹进的 t d t 呗。那原式就写成 c 根的 t 刚下一个方减一，就是刚下 c 根的方减一，它应该是弹进的 t 吧，然后分之一，然后再乘上 c 根的 t 弹进 t d t， 这俩是不是约掉了？那最后就是一 d t 就 等于 t 加 c， 那 么我把 t 换回，用 s 表示可以了。 s 等于谁跟 t， 他 应该是口算 t 分 之一吧， t 就 等于 r 的 口算 x 分 之一吧，所以它最后结果就是 r 的 口算 x 分 之一加 c。 第二题，分母有个根号下 x 减五，那他直接能对应这个第二种方法，根式代换吧。那就把整个根号当成 t 呗。令根号 x 减五等于 t， 那 么 x 就是 t 方加五呗。那 d x 就是 二 t d t 吧。然后给换进去，原式就等于二倍的 t 加一分之 t d t， 然后把这个分式给它拆一下子变成 t 加一分之 t 加一，再减一，就能分离常数了吧。二倍的 d t 减 t 加一分之一 d t， 然后就可以直接写了，二 t 减 line t 加一的绝对值，再加 c， 然后把 t 用根号下 x 减五，换回去，结果就是这个。 第三题分母都是由密函数组成，并且分母的次数比分子高吧。那应该用的是包交换吧。那我就令 x 等于 t 分 之一，那么 d x 就是 负 t 方分之一 d t 吧，然后给代理原式就变成 t 四方分之一乘 t 方分之一加一分之一，再乘个负 t 方分之一 d t， 然后约一下就变成负的一加 t 方分之 t 的 四次方递梯，然后我还是给分子减一个一，再加一个一，就能把这个分数拆开了，变成负的 t 方减一递梯，再减去一加 t 方分之一递梯，那就是负三分之一 t 的 立方，加 t， 减二个弹性的 t， 再加 c， 最后把 t 换回 x 分 之一就可以了呗。就是负三 x 立方加 x 分 之一，减二个弹性的 x 分 之一，再加 c， 搞定。 第三题，分母都是由密函数组成，并且分母的次数比分子高吧，那应该用的是包代换吧。那我就令 x 等于 t 分 之一，那么 d x 就是 负 t 方分之一 d t 吧，然后给代理原式就变成 t 四方分之一乘 t 方分之一加一分之一，再乘个负 t 方分之一 d， 然后约一下就变成负的一加 t 方分之 t 的 四次方递梯，然后我还是给分子减一个一，再加一个一，就能把这个分数拆开了。变成负的 t 方减一递梯，再减去一加 t 方分之一递梯，那就是负三分之一 t 的 立方，加 t， 减二个弹性的 t， 再加 c， 最后把 t 换回 s 分 之一就可以了呗。 有负三 x 立方，加 x 分 之一减二个函数的 x 分 之一，再加 c， 搞定。最后一个，看到未知函数里有一打 x， 我 就想只代换呗。把一打 x 用 t 换，用 t 等于一打 x， 那 d x 就是 t 分 之一递梯，然后给它带进去。原式就等于一加 t 乘 t 分 之一递梯， 这个可以直接给它列像吧。把分数拆开，那就是 t 分 之一减一加 t 分 之一递 t， 那 就是烂 e， t 的 绝对值减烂 e 加 t 的 绝对值，再加 c。 最后还是把 t 用 e x 换回去吧。 s 减烂 e 的 s 加一加 c。

ok， 兄弟们，咱们从今天开始速通一下高速，希望能拯救一下你的考试。好，那我们现在开始期末不挂科时，带你三小时速通高速上第五期终于来了，不定积分。 首先咱们来讲一下基本原理，不定积分是啥意思呢？它的本质是导数的逆运算，高中时候求导的都学过，那不定积分就是导数的逆运算。如果大 f x 导数是小 f x， 那 小 f x d x 就是 叫求小 f x 的 不定积分。前面这个像撬棍这样的符号就是代表在求小 f x 的 积分， 那求出来结果它一定是大 f x 吗？那不一定啊，也可能是大 f x 加一个常数，所以说这个积分求出来结果应该是大 f x 再加个 c。 你 比如说 x 方的导数肯定是二 x， 但是二 x 的 原函数不一定分也是 x 方，也可能是 x 方加一， x 方加二，所以说你求出来结果应该是大 f x 再加个 c， 就比如这个求 s 方 d x， 那 这意思就是 s 方是一个函数的导数，然后再往回求它的原函数 s 方的一个原函数，你第一想到的应该是三分之一 s 立方吧，但是不一定是它三分之一 s 立方，加个常数也行，所以说它的结果应该是三分之一 s 立方，再加个 c 不定积分，就这意思。接下来咱总结一下不定积分的核心做法。首先第一个就是凑一分法，他也叫第一类换元法，那啥意思呢？他本质就是通过凑的方式把贝吉百达仕转化为某个已知积分公式的形式，然后用基本的积分公式来求解。 具体来说就是如果你要计算一个 f 反 x 乘反 x 倒，就是一个负函数，再乘上隔内层函数的倒数，它的积分。那咱之前学过微分 d 反 x 是 不就等于反 x 倒 d x， 那 现在我把这个反 x 倒 d x 给它逆过来，它是不就等于 d 反 x？ 所以说这也是凑微分的关键。把 f x 到 d s 凑成中间变量 u， 等于 f x 的 微分 du， 那 我原来这个积分是不是就可以转化成这个？把 f x 当成 u， 那 现在就是 f u du， 只要能求出 f u 的 原函数，再把这个 u 等于换 x 给它换回去，那这个积分是不就出来了？就比如说这个二 x 乘以的 x 方 d s， 我 要直接去积分，我没学过这样的积分公式，我不会做呀，但我观察到这个是一个复合函数，然后他二 x 正好是里边这个内层 x 方的导数吧， 所以我就可以把二 x d s 给它处理一下，就变成 e 的 s 方，然后 d s 方吧。然后现在我把这个 x 方当成 u， 现在不就是 e 的 u 次方 d u 吗？ e 的 u 次方 d u 是 不是等于 e 的 u 次方再加 c 啊？然后最后我把这个 u 用 x 方给它换回去，那就是 e 的 x 方加 c 呗。这就是凑一分法的原理。 那么这些常用的凑一份公式，你需要记住，看到一个背记函数符合这里边的形式的时候，你就可以直接利用这个凑一份公式给它凑出来。 这凑一分关键你发现没，就是要找到那个内存函数 f x， 然后把它当中间变量 u， 然后凑出 f x 的 导数，把 f x 的 导数拿到 d 的 后边。 ok， 那 咱们拿几道例题简单讲解一下。那么这个函数把谁当 f x？ 是 不是底下这个三加 s 当 f x， 那 我就要凑出它的导数，它导数应该是二吧，那现在我没有二，怎么凑呢？那我在前面乘个二分之一呗，那就变成 三加二 x 分 之一，再乘上三加二 x 的 导数 d x， 然后把它的导数拿到 d 后边就变成二分之一三加二 x 分 之一 d， 三加二 x， 然后这个反 x 给它看成中变量 u， 那 现在有 u 分 之一 d u 就 会变成二分之一 line u 的 绝对值，再加个 c， 然后把 u 再换回来呗。那就二分之一 line 三加二 x 绝对值再加 c， 然后第二个弹进的 s dx， 弹进的 x， 那 我需要给它变下型，给它变成赛比头呗。 变成赛 x 除以 cos 小 于 d x， 那 我观察到这 cos 导数就应该是负的 cos 吧，那我前面给它加个符号，就变成 cos 小 于 d x， 然后把它就拿到 d 后边，那就是负的 口在 x 分 之一 d， 口在 x 吧，那它就变成负的小于口在 x 绝对值再加 c 了呗。 然后继续第三个，这个是 x 乘小于 x 方分之一，再 d x 吧。那么还是关键找到那个泛 x， 这泛 x 可以 是泛 x 吧，正好泛 x 的 导就是 s 分 之一，那我就可以把这个 x 分 之一给它拿到 d 后边就变成 烂 x 方分之一，然后 d 烂 x 吧，然后把烂 x 当成 u， 现在就是 u 方分之一 d u， 那 它是不就等于负的 u 分 之一再加 c， 把 u 再放回烂 x， 那 就是负的烂 x 分 之一，再加 c 吧。 ok， 基本的做法你了解了，那咱用点强度，用考试真题来进阶一下子，这几个肯定都需要一点技巧来。先进行一下变形，然后再凑为分了。 第一个分母是 x 方，加一分子是 x 立方，那我先拿出一个 x， 给它变成 x 方，再乘 x， 这个 x 我 给它设置前面乘二分之一，它就变成二 x， 就 可以当 x 方的导了吧。 那就给它变成二分之一，底下是 x 方，加一分之 x 方，然后 d x 方吧。接下来呢，这个分式我得给它拆一下子， 那要变成 x 方加一，再减一，就是分离常数，然后 d x 方，然后那就是二分之一一 d x 方，然后再减去 x 方加一分之一 d x 方， 那变成二分之一 x 方，再减去 d s 方和 d s 方加一，它的导数是都一样的吧。所以我直接给它变成 d s 方加一，那这个就是 line x 方加一， 然后再加上 c， 然后第二个我还是直接给它拆开，变成一加 x 方 d x 加上一加 x 方， 分子按个弹进的 x dx， 这个还是给他分一下常数，那就变成我给他加一，再减一吧，那变成一减去一加 x 方分之一 dx， 然后这个的话我就可以直接凑为分了。我观察到啥呢？这个一加 x 方上面是不是分之一，他正好是按个弹进 x 倒，那我就把这个他的倒给他放到 d 后边，那就变成 r 的 弹性的 s， d r 的 弹性的 x 吧，然后那我就可以直接做了。这个积分的话，就是 x 减去一加 x 方分之一 d x， 你 看用这里的基本积分公式在这呢吧。一加 x 方分之一 d x 就 直接是 r 的 弹性的 x， 所以的话，这个就是减去阿克弹进的 x， 这个是不是再加上二分之一阿克弹进的 x 的 平方？完了，最后加上 c， 最后一个更是精彩了，这个多项式的分式来求积分，这一开始我也看不出来 f s 导数是谁，我也现在也不知道怎么拆呀，但是我观察到这个分母，它的导数就是二 x 加四，是二倍的 s 加二。那我把分子给拆一下子呗，我先给他凑出个 s 加二， 那就变成 x 加二减一，然后除以 x 方加四 x 加五，再 d x， 然后把这个分式给拆开呗，再变成 x 方加四， x 加五分之 x 加二，再 d x 减去 x 方加四， x 加五分之一 d x， 然后这部分是不是就可以凑为分了？我给前面乘二分之一，那里边是不是就二倍的 s 加二，正好是这个分母的导数了，所以就是 x 方加四 x 加五，上面就是 x 方加四， x 加五的倒吧 d x 后边这个我把分母配加方变成 x 加二的平方，再加一分之一 d x， 那我观察到这个分母是有 x 加二，那我这 d s 是 不是可以直接给它改成 d s 加二？现在这两部分我就都凑出来了，要变成二分之一 s 方加四， x 加五分之一 d s 方加四， x 加五，后边的话给它再抄下来 d s 加二，然后那么开心写结果了，就你看就是二分之一 line x 方加四， s 加五的绝对值减去 r 弹进它 x 加二吧，再加 c， 搞定 好，那么咱最后总结一下，凑一分法来求不定积分呢。关键就是你得把 which 犯 s 找到，然后去凑这个犯 s 倒数。那怎么凑出来呢？需要通过一些拆分变形，然后再凑出这个犯 s 倒之后把犯 s 倒给拿到地后边去，最后借助这些基本的积分公式，然后就可以给他求出来了。

哎呀，高数马上就要考试，到底该怎么复习啊？不要慌，我是数学专业的，你们算是找对人了，废话不多说，我们直接开始。首先声明哈，我不管你这学期有没有听过课，有没有学过高数，我都会把你当成一个零基础的人，让你顺利通过。 如果你的考试时间只剩一两天，直接去看侯博士的高等数学上，只需要一个半小时就能过完所有核心内容，然后去做往年专题。别告诉我你找不到专题啊，活人还能让尿憋死，再不济花点钱买回来，静下心来好好做几套题，你绝对能过。 如果你的考试时间还有五六天，说明你的考试时间相对充裕，那你就去看哐哐老师高等数学六小时速成课，把课程的例题做会，再刷往年真题肯定能过。所以我强调一点哈，离考试时间越短，你越要静下心来去学，不要浮躁， 你说你就剩这点时间了没学一会还看一会手机，那你不活该挂吗？大家加油，一定一定不要挂科，挂科非常的麻烦！

高速期末考试还剩三天还没复习，这个时候看宋浩老师已经来不及了，三个速通老师让你从零到八十分，我木柳二幺上岸就打！我可太懂大学期末考试了，方法不对，努力白费，三天时间完全足够了，直接给你上干货！ 第一个，框框老师一点五倍数狂刷，纯纯做题技巧输出，上完网课一定要记得刷真题，真题一定要是你们自己学校的，往年真题一般在学校白念就可以找到，如果实在太懒了，一杯奶茶直接向兄师姐要往年真题，他们甚至有整理好的复习资料，要到手直接起飞。 第二个，一高数，他的课比较通俗易懂，听完课直接马上就能做题，错的题型要反复练习，大学考的就是熟练度，刷到形成肌肉记忆就赢了。 第三个，如果实在没招了，就看侯博士吧，两个小时时间六十分万岁！不管会不会考试，卷子上写满过程展示出你的诚意，写满就是态度，老师看你诚意拉满，一般也都会多给几分，我同学每年看侯博士也基本没有挂过。 敲重点，一般老师最后一节课都会给复习重点，所以最后一节课一定要去。大学考试关键不在于平时，而在于最后几天发奋努力。大学考试真的不用怕，我同学每年期末考试考八门，加在一起的有效复习时间不超过四十八个小时，门门八十五分以上，掌握好方法，八十分以上不要太简单，关注我，带你了解更多大学干货！

高数期末考试到现在还没有开始预习怎么办？首先网课还是一定要看的，我们得先把知识点过一遍，但是因为时间比较紧张，就不推荐大家再去看宋浩老师的课了，不适合速通选手，我比较推荐大家看一高数，他的知识点讲的比较透彻，并且通俗易懂，上完课自己马上也能做题。 还有框框老师，他是直接教大家怎么做题的，可以边上网课的时候边把例题记下来。上完网课之后一定要记得刷真题，这个真题一定要是自己学校的，因为大学的题型重复率还是很高的，可以去打印店或者问学长学姐要下真题。刚开始刷真题的时候还是以熟悉题型为主，毕竟是速通的，也不要强求自己 熟悉的差不多之后，如果你发现还有时间多，那你就可以针对错的多的题型集中训练，又不会的可以回去找视频看看，多在网上找找相应的题型讲解。这一套流程下来，我相信你的最低标准肯定不是及格了，甚至可以冲刺一下满记！

一个视频带你速通定积分的几何应用，不管你是期末临时抱佛脚，还是考研复习，这条视频都能帮你一次性把它搞定。首先我们来看定积分的第一个几何应用，就是来计算平面图形的面积， 那根据微圆法，我们只需要搞清楚怎么去切这么一个平面区域，然后呢算清楚面积为圆就可以了，那我们来看第一种情况，第一种情况呢，这种情况我们其实我们根据定积分的定义本身就很好算，那面积为圆呢？其实我们只要搞清楚定积分的定义，这个面积为圆也知道怎么取，对吧？就是竖着切，把它切成土豆丝。然后呢， 我们的面积为圆，就是这么一小块啊，宽度为 d x， 那 这个长度呢，就是 f 一 减 f 二，所以呢我们的面积为圆呢，就是 f 一 x 减 f 二 x d x， 那 这是我们现在有图我们给出的面积为圆，是这样的，那对于一般情况，我们可能这个 f 一 或者说 f 二啊，在 x 轴下方，再或者说这 f 一 f 二这个位置有可能出现它俩交叉不确定的情况，那 不确定的情况我们怎么办呢？这个时候我们呢最好的啊，就给他套上一个绝对值，这样是最保险的，所以我们面积为圆呢，就是这个公式啊，这样型的区域，我们说竖着切的区域，这叫做 x 型区域，也就是说我们 x 型区域取面积为圆，是竖着切。 那还有一种情况是这样的，是说比如我们看这张图，我发现呢，如果我仍然竖着切的话，我仍然竖着切的话，这样的话呢，我好像这个每一块面积为圆，我不太能够确定它面积为圆怎么取啊？ 你比如说这里 f 一 f 二，我有可能我能画出反函数来，但是呢还有一种可能就是我得分段的去给他计算，这样就非常麻烦，那我不如怎么办呢？我不如去横着给他切，这样的区域叫做外型区域，那我们的策略就是横着切，那横着切的话呢，就是你横着把它切成土豆丝啊，那我们取地外宽的一小块 这么一小块，那把它看做长方形，这样的话这个面积为圆就是什么呢？ d x 等于从这个图来看，就是 f 一 外减去 f 二外，这是这一段的长度，然后呢宽度乘 d y， 那 这是我们面积为圆啊，外形区域面积为圆的公式。当然对一般情况我们还是套个绝对值比较保险。 那如果说我们所求区域这个边界曲线是用参数方程形式给出来的话呢？那我们怎么求？那有人说那参数方程我能不能给他画直角方程然后 算呢？那肯定能算啊，但是我们一会的题会告诉大家啊，有的参数方程是不太好化成直角方程的，比如说我们来看这样的一张图，这样的一张图有这个曲线是由这样的参数方程给出的，但是我们对参数方程啊，要稍微有一点要求，比如说我们要要求 x 撇 t 不 能等于零 t， 我 们考虑 t 在 alpha 区间上的情况，那这种情况呢？比如说啊，我们来这个地方是 t 等于 alpha， 这个地方是 t 等于 beta 的 话，那我们来看，我们同样的是竖着切一块面积为圆， 我们把它看成小长方形的话，那这个时候宽 d x， 然后呢高就是 y， 所以呢 d x d s 等于 y d x， 这一点很简单，那我们这个时候，这个时候怎么求呢？我们可以把这个参数方程带进里面去，带进里面去之后呢，其实它就是什么呢？那我就可以看出来，它是 y t x 撇 t d t， 只是一般情况下呢，我们这个公式我们不知道这个 y 和 x 一 撇是正是负，所以我们呢，在这种情况下的面积为圆，还是我给他套一个绝对值比较好。所以说呢，这里面参数方程下的啊，面积公式就是怎么给出呢？就是阿尔法到贝塔，然后 y t x 一 撇 t， 绝对值 d t， 这是参数方程下的面积表达式。那接下来还有一种情况，就是有的区域它的边界曲线呢，它它不是由直角坐标方程给出的，它是用极坐标方程给出的，比如我们这个图里的情况，那我们这个时候面积为圆怎么取？我们怎么去切？这极径是极角的 方程，那这样的话呢，我们不妨去，就是按什么切呢？我们就按照几角来切，我们把我们把这一小块区域啊，我看它像个蛋糕啊，我就给他按照切蛋糕一样切一个很小很小的角度， 这个角度是 dc， 它那因为 r 是 连续的，所以呢，在这个 dc 的 角度内，这个 r 的 变化我可以认为它非常微小，所以说呢，这样的话，这一小块，这一小块蛋糕，也就是这一小块蛋糕，我可以认近似的认为它是一个扇形，近似的认为这个区域内的 r 是 不变的，所以呢，我这个时候 我就取这个位置上的 r theta， 这个时候它的极径就是 r theta， 所以呢面积为圆，就是把它看成一个扇形，那就是扇形的面积就是二分之一 r theta 乘以 r theta d theta， 那 也就是二分之一 r 方 theta d theta， 这就是我们面积为圆公式。然后我们再把这一片一片的扇形全都加起来，也就是积分。积分之后，我们的 在极坐标下区域的面积公式，我们就是我们这里我们看最小的角是 r 的 角，最大的角是贝的角，所以这片区域是从阿尔法到贝塔进行积分，然后 二分之一 r 方 c 塔 d c 塔，这是在极坐标下的平面区域面积公式。接下来我们看几道例题，第一道例题我们要看这个阴影区域的面积，那我们看到这个阴影区域区域是由一个抛物线和一个直线他们相交的部分围成的这么一片区域。那首先我们要搞清楚它的这两个交点呢，我们高中解析几何学的都很好， 连立算就完事了，所以最后我们能够算出来这个点是一负一，这个点呢是四二。你搞清楚这两个点之后，接下来我们就要看怎么去取面积为圆。我们刚才讲了，我们可以竖着切，也可以横着切，我们看一下，先从竖着切来看， 如果我们竖着切呢，我们发现如果我们竖着切的话，那首先我们 x 要从零看到四，我们发现从零到一这一块呢，他这个切的话呢， 那它上半部分是 y， 等于根号 x， 下半部分是 y， 等于根号 x， 负根号 x， 所以呢，那这一部分面积为圆，就是二倍。根号 x dx， 所以呢就是 x 等于先从零到一积分二倍根号 x dx， 这是我画的这左边部分的面积。接下来我们看这个的右半部分，这个右半部分呢，它的面积为圆，我们看是这一小块，那这一小块呢，那就是根号上面 y 等于根号 x， 下面 y 等于 x 减二，所以呢，那就是再加上 一到四根号 x 减去 x 减二 d x， 那 我们发现如果我们竖着切呢，我们就得分两段来算，两个积分算完之后，这个结果看起来比较麻烦，那 我们不妨怎么切呢？我们接下来来看法二，横着切，怎么切？横着切的话呢？那我们就是我们我们就从纵轴端开始切，也就从负一 到二，那我们如果横着切呢？我们发现这个时候啊，我们看左右，就这个时候，在这一片区域内，负一到二，这片区域内，那直线永远在抛物线的右边，所以这个时候我们如果横着切的话，我们我们看到不管是在下半部分 来切，还是上半部分来切，我们的我们的面积为圆表达式都是一样的啊。所以说我们这个时候 s， 我 们如果横着切，就是从负一记到二，然后呢面积为圆是用直线方程，这个时候是 x， 这个时候是 x 等于 y 加二，然后 减去抛线方程，就是 x 等于外方啊， y 加二减外方 d y， 这个是横着切的，面积为圆表达式。然后我们这样的话呢，我们发现我们只需要把这个积分算清楚，那这个积分跟上面刚才这个积分相比，是不是他就好算多了？那这样好算多了之后，那我们这个就直接算就完事了，那最后结果二分之九， 大家再对比一下，咱们用法一算出来的结果，那是不是一样的，那肯定说明你算错了，所以我们可以看到啊，对于像这样 直角坐标区域来说，我们合理的去看横着切还是竖着切呢？面积为圆，这一点是非常重要的，如果你选好了切法， 这会帮你省下很多很多计算的时时间。第二道例题，我们来计算摆线的其中一角跟 x 轴围成的面积，那刚才已经给大家讲解过啊，参数方程形式怎么去计算面积为圆，那我们看到这里面摆线，如果你刚才说了你想把它画成直角坐标方程，那现在你看你还能不能画成直角坐标方程呢？ 很明显你好像不再能把它化了，所以呢，那这样的话，我们来看，我们还是啊这样一拱，我们面积为圆 d x， 然后 y， 所以 d x 就是 y d x， 这已经给大家讲过，所以呢 s 就是 y t x 撇 t d t， 然后呢啊，接下来我们要积分，我们要看一下他的积分区间啊，他是从 x 从零到二派 a， 那 我们看一下 x 在 零的时候，他这个时候对应的 t 是 什么呢？这时候对应的 t 就是 t， 等于零的时候，就在这，然后二派 a 的 时候，这个时候对应的 t 呢，就是二派， 所以呢，我们的积分区间就是从零积到二派，然后我们把这个方程带进去，带进去之后我们来看，那就是 零到二派，然后 a 一 减 cosine t 乘上 x 一 撇就是 a 一 减 cosine t d t， 最后 a 方零到二派，一减 cosine t 平方 d t， 最后结果是三派 a 方。第三道例题，我们要求三页玫瑰线的名， 三叶玫瑰线看起来很好看，但是我们不知道怎么求面积，我们看方程，它是一个极坐标方程。那刚才已经给大家讲了极坐标方程怎么取面积为圆，现在的问题是我要把它积分，我怎么确定 c 它的积分区间？好，我们来看那极坐标方程有一条规则，我们看到这个 极径是极角的函数，那极径它有一个原则是它必须是大于等于零的啊，大于等于零，那根据这一条我们就可以解除。 theta 是 有范围的， theta 呢？我们可以解除，它有三个范围，它的三个范围分别是零到三分之派，还有呢，三分之二派到派，还有呢三分之四派到三分之五派。 它有这样三个区间，也就是分别对应于第一个这一片，第三个区间正好对应于这一片。 我们正好看到啊，这三片区间正好对应着玫瑰的三片花花瓣。那还有一个问题，就是啊，这三页玫瑰线啊，我得记三个积分，哎，看起来也挺麻烦。 现在我们可以看到这个 c， 它有周期性。其次我们从这个图上都能看出来这三片叶子，虽然我画的不好看啊，它是一样的大的，所以呢，我们只需要记一片叶子，然后把它乘三就行了。比如我们就记这个最简单的区间，然后给它乘三就行了。所以我们按照公式， s 等于三倍的零到 三分之 pi， 然后二分之一 r 方 c 塔 d c 塔，然后把这个往里一带，二分之三 a 方零到三分之 pi 塞方三 c 塔 d c 塔，最后结果是四分之 pi 方定积分的第二个应用，我们可以拿它来计算弧长，那我们随便的画一条曲线，假设它在坐标系里面，我们的弧长为圆，我们看起来它就很好取，我只要切一小段，先来 那根据勾股定律，这个横坐标啊，我去 d x 一 段，纵坐标是 d y 一 段，所以根据勾股定律，那弧长为圆， d l 就是 根号下 d x 平方加 d y 的 平方，那利用这个弧长为圆公式，我们对于不同形式给出的曲线，我们就可以有不同的弧长为圆公式。第一，如果这个曲线它是一个函数图像的话， 那我们就直接把这个 y 等 f x 带进里面去，那弧长为圆公式就是根号下一加 f 撇 x 的 平方开个号，然后 d x， 这就是弧长为圆公式。然后把对 x 从 a 到 b 求积分之后，那就是整个的弧长，很简单。第二种情况，如果说这个曲线它是由参数方程给出的， 那我们同样的只需要把 x t， y， t 带进这里去就行了。那无穷微元公式就是根号下 x 撇 t 平方加 y 撇 t 的 平方 d t， 然后我们对这个曲线在 t 等于 alpha 和 t 等于 beta 之间求积分就完事了。第三个，这个就比较难了，如果是由极坐标形式 给出的方程 r 等于 r c 的 话，那这个时候无穷为圆公式怎么计算？那这里面我们可以把极坐标方程先给它画到直角坐标上，那画的方法就是利用 x 等于 r cosine c 它， y 等于 r sine c 它，然后注意这里面 r 是 c 的 函数，所以我们再把这个带进这里的时候，要注意 d x， 求微分的时候，那它要注意这一点， 然后我们再把这个 d， x， dy 分 别带你们去最后化简结果，那这个化简的过程大家可以自行自行去算，然后呢可以评论区给大家分享一下。那有了这三种啊， 弧长为圆公式，我们算任何曲线的弧长，它就都比较好算了，比如我们同样的要计算这样一个摆线的弧长，这个我们刚刚已经算过它的面积了，那弧长呢？我们按照弧长为圆公式，现在是由参数方程给出的，所以呢弧长为圆，它就是零到二派 t， 从零到二派嘛，那就是 x 撇 t 平方加外撇 t 平方开根号 d t， 然后我们来看这里面 x 撇 t 和外撇 t 分 别求导是啥呢？ x 撇就是 a 一 减 cosine t， 外撇就是 a cosine t， 所以 我们把这两这个带进去，就是零到二派根号下 a 方一减 cosine t 平方， 那就是这个积分，然后我们把它化简化减之后得到，那它就是 a 零到二派根号下二减二 cosine t d t， 那 这个根号啊，它积分不太好，积分我们可以怎么办呢？这根号看着烦，然后我们看这里面呢，我可以利用二倍角公式给它进行一个生密，那它生密之后的结果呢？就是二 a 零到二派 sin 二分之 t 绝对值 d t， 然后我们对它求积分，最后积分之后的结果就是 法。第三个应用，我们可以利用定积分来计算旋转体的体积，那计算体积这方面呢？根据维元法，我们可以呢把这个记，把这个立体图形按照 那看起来也非常习惯削土豆的方式，给它削成一片一片的，然后把每一个土豆片给它看成一个柱体，然后呢这柱体它的底面积乘高啊，这个高就是 d x， 然后呢这一片土豆片的体积，它就是体积为圆，那我们就对这个体积为圆进行积分就完事了。 那这里面咱们特别重要的就是我们要计算旋转体的体，什么意思呢？就是如果说我这里面有一个 y 等于 f x 图像，那我们刚才啊，我们考虑过它跟 x 围成的这一片区域它的面积，那现在呢，我把这一片区域给它绕着 x 轴给它旋转，那我们得到了一个几何体啊，这要几何体的体积怎么求？我们还是先切土豆片，我们切一个很薄很薄的土豆片， 这个土豆片呢它的宽度 d x， 然后那现在这个土豆片我近次给它看成一个柱体，那这一个 底面积怎么求这个底面积？我们看到它是因为是旋转体旋转而来的，所以呢，那它就是我们只需要知道它的半径就行了，那它的半径正好就是 f x， 所以呢，那这个时候那 d v 就是 什么呢？ d v 就是 pi f 方 x d x， 那这就是我们体积为圆的公式，所以呢，我们最后这个体积就是 a 到 b 积分 pi f x 平方 d x， 这样我们算一个例子，我们这个例子很简单，我们来看一个椭圆，它绕着 x 轴旋转旋转而成了一个椭球，我们就可以从这个图里看到啊，一个椭圆这么一转啊，就整出了一个椭球形， 我们要算它的体积，根据我们刚才所讲的，刚才我们是用一个函数给出的，那现在这个 是一个方程，那我们怎么给它化成函数？那我们看到啊，如果我给这个椭圆削一半，它不影响它旋转而成，还是一个椭球，对吧？那我们只看上半圆就行了。那椭圆的上半圆它的解析式是啥呢？那它解析式就是 y 等于 b 尾根号下 e 减去 a 方分之 x 方，那这就成了一个函数图像， x 的 范围是负 a 到 a， 所以呢，那我们这个体积为圆，就是 pi y 方 d x， 所以呢，那整个这个体积就是负 a 到 a 积分， pi y 方带进去 b 方，括号 e 减 a 方分之 x 方，然后 d x 啊，我们对它进行积分，这样这个积分很简单，这个积分最后结果 三分之四派 a 地方，这是一个我们刚才旋转出来的椭球的体积，我们正好可以看出来啊，如果我们 a 和 b 相等，那正好这就是一个球，那球，那这就是球的体积，公式 都是一样的。看完这期视频，大家对于定积分的应用是不是都完全掌握了呢？那如果我们计算有疑问的话，欢迎我们在评论区进行留言，我们下期见。