高数公式速记卡

呃，没有泰勒用不了的，只有你想不到的啊。好，我们接着来学习泰勒公式，好，请所有同学啊，拿出红笔啊，在泰勒公式这个位置啊，打满五角形 啊，打满五角星啊，拉满啊，拉满我们整个极限里面乃至我们整个高速里面最重要的公式啊，他的极限里面呢，我们称之为泰勒公式啊，或者说在零处展开呢，又称为叫做麦克劳力公式啊，在我们后面中值定律里面的又有对应的公式啊，叫做泰勒中值定律啊。 这些呢，其实底层逻辑都是一样的啊，他的用处是很多的，因为极限里面我们说，呃，没有泰勒用不了的，只有你想得到的啊包我们在后面不断的学习的过程中呢，在不同的地方呢，我们都会穿插着去讲解泰勒的一个 高校要去理解他啊，尽量的去什么呢？去理解他背后所决定的意。好 这个泰勒公式他背后的意义是什么呢啊？我给他简单去写一写啊，就是他发明这个东西到底在干嘛啊啊？到底在干嘛呢？那么粗浅的认识一下啊，泰勒公式到底在干嘛呢？他其实就在干一件事情。用什么呢？用简单函数，你和赋的函数 是不是？我相信大家都有听过一个什么数学家烧水怎么烧呢？先把这个水壶给他洗了 对不对？然后装满水放在这个水炉子上面对吧，去打开开关，然后去烧水是不是好，那此时如果有一个半壶水啊，这个某一壶水啊，某一壶装了半半壶水啊，在你面前怎么去烧啊？数学家，他怎么去烧呢？ 正常人呢是加满水是不是啊？你不是半壶吗？我给你接满了我就接着烧呗。数学啊，不是这样的，干嘛呢？先把它倒了。为什么你敢倒了？就是把它转变成我们已知的我们简单的这样一个东西，我们再去研究 啊，这是个笑话，不会说真的是个数学家，毫无生活常识啊，但只不过通过这个通俗例子呢，想告诉大家，在数学里面一个非常重要的思想呢，就是先去把一些复杂的啊，麻烦的转变成我们熟悉的简单的将去研究何为简单函数何为复杂的呢？ 我们只要记定一个就可以了呀。你定义清楚谁是简单的，那就除了简单之外的都是复杂的嘛。可以这么去理解呗。你比如说啊，大家非常熟悉的三 x 这个函数简不简单呢？有的时候这不挺简单吗？这不中学都学过了呗，你确定他简单吗？来，我给大家举两个例子啊，比如说你觉得三 x 简单，那我就问你三 x 二分之一等于多少呢， 对不对？三 x 三分之一等于多少呢？那你中学背的不就那些特殊角吗？是不是零度三十度，四十度，六十度九十度啊？这些你能用那二分之一呢？ 他对的是什么呢？完了呀，是不白瞎呀，你看就不太好做了啊，对不对？你知道那些角度的，你是知道怎么做的好，那反过来比如说干嘛呢？我给你一个三 x， 它等于什么呢啊？它不是等一些常见的一些值啊，比如我们写一个什么呢？三 x 等于三分之一吧，对吧？你常见的数值是什么？零，呃，二分之一，二分之二，二分之三一，是不是你是有的啊？那三分之一它多少呢？这个题你解出来，同学们， x 它等于多少呢？ 你好去进行解这个东西吗？好像也没那么容易啊，是不是？所以这种不能称之为是一个简单函数？好，那从这个维度去理解，什么样的函数是简单的呢？ 这样的一个函数应该是简单的呀，比如说 x 方，就密函数这一类简单呗。为什么说这类简单呢？你比如你负值， 比如说我们说三的平方等于几，你看九直接口算出来了，比如说 x 方等于十六，你解 x 也非常简单，是不是解出来 x 就 等于是 正负四呀？哎，这种函数是不是简单呀？好，那意味着什么呢？密函数简单呀。好，密函数就是一个简单函数，那除了密函数之外的函数通通都可以理解什么呢？是一个复杂函数。 好，但是如果你只用单一的密函数，能不能去表示呢？比如说 x 方 x 立方，能不能去表示一个负的函数呢？这个不够啊，干嘛呢？这个叫做多项式啊，就是一个密函数，它的一个线圈组合的形式啊。 举个例子啊，比如说二倍的 x 方加三， x 加五，这就是一个密函数的一个线组合的形式啊，它是个二次端式呗。啊，所以我们就称之为叫多线式的这样的函数吧，它就是一个简单函数啊，去拟合复合函数。怎么去解拟合呢？来有两种拟合方式啊， 用两种拟合方式，那如果你想要去拟合的话，它的一般式的，我们先写一写啊，这叫 a 零加上啊， a 一 啊，比如乘以什么呢？ x 减去 x 零，对吧？然后呢？再加上一个 a 二啊， 再加上一个 a 二，乘一个 x 减去 x 零的平方，然后一直往外加啊，比如说一直加到什么呢？加到 a n 乘一个 x 减去 x 零的 n 次方啊，讲道理呢，次方越高，你合的就越好，那我们就写到 n 次方为例吧。啊，有两种方式我们可以你合，第一种什么呢？ 就是我们围绕什么呢？ n 加一个点啊，它的函数值是相等的，就是在不同的点处的值呢，是相等的啊，我们围绕什么呢？函数值来进行，你和你，比如说你把这个 x 等于零带进去， 比如你你 f x 不 一个句函数吗？ f 零，然后是 f 一 对不对？然后点点叠，然后我们取干嘛呢？取 n 加一个值啊？因为这里面不是 a 零 a a n 吗？你需要把这玩意求出来吗？来围绕这个呢？是不可以解呀？去解 啊，去解 a 零 a 一， 然后点点点，一直到 a 一 样，能不能解出来是可以解的，我们不讨论这个具体的求向，我们只是说从方法层面理解一下啊。你 n 加一个数值呗， n 加一个点出的函数值呗。那得到 n 加一个方程组，正好是 n 加一个未知数，应该是可以解的啊，解的 a 零 a 一 m。 好， 那这个时候 a 零 a 一 a n 是 一个具体值了嘛？那你看这个礼盒好不好？为什么不好呢？它只能去表示 这这些点处的函数值是相等的，就是零处一处 n 处，它的点处是相等的。那你其他的点处呢？函数值就不一定相等了呀，而且是什么呢？我们在高等数学里面不但去研究函数层面啊，还研究什么呢？导数？ 二阶导，一阶导描述的什么呢？它的增减的趋势，二阶导描述什么呢？凹凸性，你看这个都是我们后面去研究，三阶导、 n 阶导都是要进行研究的呀，所以这个呢，他就不太好啊。那么干嘛？换一个你的方式干嘛呢？ 我们去拟合任意的一个点，就在某一点处，你可以理解，函数不就是由无穷多个点所构成的吗？就是任意一个点， 任意的 x 属于 r， 如果你能把任意的一个点处拟合好了呀，那他不就能了吗？而且任意的一个点，你拟合的时候，你不能只表示函数值相等，还干嘛呢？ 还要去导数值，它也得相等才能去。什么有更高的一个使用的一个情景啊？比如一阶导研究的是单调性，二阶研究的是凹凸性，它都能保持是相等的吧。 那干嘛呢？就围绕什么的函数值，导数值都是相等的，你比如说啊，这个如果是函数值，你把 f x 零带进去嘛，我们就研究的是这一点处啊， x 零点处的一个几何来就 x 零处， 你把 x 零带进去，左边带 x 零，右边带 x 零，右边不是 x， 解决 x 零吗？因式不就没了呗。所以立马得到 a 零是不就出来了呀？ 这不是来，接下来我们要干嘛呢？求一导一接导干嘛呢？左右两边求导啊，左边求导变成什么呢？来，我在这会稍写一步啊，左边求导直接变成了 f 一 撇 x， 右边求到 a 零，长竖没了吧。然后第二项变成什么呢？是变成是 a 一 了呀，然后后面你再去写的时候，你会发现什么呢？它是二倍的 a 二乘一个 x 减去 x 零，然后呢，再去加点点点，然后再加什么呢？ 是不是 n 倍的 a n 乘一个 x 减去 x 四零的 n 减一次？方法好，干嘛呢？再把 x 四零给它带进去，所以得到什么呢？ f 一 撇 x 四零，是不是等于是 a 一 了呀？ 按照这个是不是一模一样可以往下做啊，是不是再到二阶导，再到三阶导呀？好，下面我们就简写了啊， 你比如，如果你是二阶导啊，那在善事的基本上再去求导二阶导，就一阶导的导，接着求导就行啊，这个导数呢，在这个位置要求不太高啊，大家呢，简单知道一下它怎么变形就可以了啊。好， a 一 常数求导没了，然后这个位置变成什么呢？是变成是 二的，接上完按接上来写了，是不是 a 二的也没了吧，然后后面是不是再一直往后去写呀？那这什么 n 乘一个 n 减一，再乘一个 a n， 然后是 x 减去 x 零的 n 减二次方了吧，然后也是一样的，把什么呢？把 x 零带进去，立马做什么？ f 两撇 x 零就等于什么呢？是不是二的阶乘乘一个 a 二的？好，后面我就不注意数了，一模一样给我写干嘛呢？ n 阶导啊，这个 n 阶导写法大家认识就可以了啊，就是括号 n， 这是 n 阶导的意思啊，不写括号呢，表示 n 次方的意思啊，好干嘛呢？ 跟上面一模一样的做啊，一直求 n 阶导就可以了，那 n 导呢？只有这一项？左边的啊，就是第一阶的全部倒霉了啊， 低级的是不是穷没了呀？但我们只写到 n 次方吗？如果你要高级，就后面你要再接着写，这不都是 n 加一次方呢，你再带着是不是也是零呀？那我们就按照 n 向去写啊，那得到这个位置是什么呢？应该是 n 的 阶乘，是不是乘以个 a n 了呀？好，那以上呢，我们是不可以解出来了呀，是不是得到 a 零，就是等于是 f x 零，然后 a 一 呢？就等于什么呢？是，等于是 f 一 撇 x 零吧。好，后面呢，一直往下写，其实你最后写个通式就行啊， a n 等于什么呢？是不是 n 的 结成分之 n 结倒在 x 零处的值呀？ 是不是对的是这种东西啊？好，接下来把 a 零 a 一 a n 全部带进去，不就完了吗？好，前面啊，以上所有讲的内容，大家能听得懂理解， get 到这个泰勒在干什么事就可以了啊，我们以第二种形式礼盒啊，这个就比较好， 既能保持函数值是相等，又能保持什么呢？在这一点的一些一阶到二阶的 n 阶到呢，它也有关系啊。 好，那我要这个呢，我们就能得到泰勒公式，就能得到这个泰勒公式了啊，我们来写 啊，那它对应什么呢啊？就是 f x， 它就等于是 f x 零，就把刚刚球的 a 零 a 一 a 全部带进去啊， 这是 f 一 撇 x 零，乘以个 x 减去 x 零，然后一直加加加啊，加到什么呢？ n 的 结成分之 n 阶导在 x 零处的值，再乘一个啊， x 减去 x 的 n 次方吧。但我们前面是为了方便大家去理解啊，我们只写了 n 次方这一项啊，但是从什么泰勒的公式的层面呢，是不能只写的这一项的啊，它后面呢，是按照这个规律呢，是可以一直往外去写的。 那后面写的什么？就 n 加一的阶乘分之 n 加一，记到在 x 零处值，然后再乘一个 x， 减去 x 的 n 次方啊，就用写法啊，啊，就可以一直按照这规律往外去写，这个即为我们的泰勒公式。 那可能有些资料你们又干嘛呢？把后面很多项呢写成 r n x 啊，就把我们的简历上也写了，写那个余项的形式啊，也是没啥问题啊，但我们就按照这个一般形式去写，都是可以的啊。好，泰勒公式， 那泰勒公式呢？你 x 零，你不是可以去取不同的点呗，是不是你 x 零，我们干什么？是任意的一个点呀，那将来干嘛呢？你当 x 零取一些特殊的值，取什么值呢？当 x 零等于零时，哎，我们就能得到什么呢？ 来此 f x， 它就等于什么呢？它是不是就是 f 零加上一个 f， 一 撇零 乘 x， 然后一直往后写，加到什么呢？加到 n 的 结成分之 n， 接到在零处的值，然后再乘一个 x 的 n 次方吗？然后是不是再去加点点点啊？这玩意我们称之。为什么呢？这叫麦克劳力公式 啊，叫做麦克劳林公式，就是对于泰勒公式呢，在零处展开的这个公式，我们就称为叫做麦克劳林公式。那以后呢，我们可以说是麦克劳林公式，也可以说泰勒公式啊，就我们知道我们在讲什么东西就可以了啊。 那你再来看你后面写的很多项啊，它不都是 x n 加一次方， x n 加二次方吗？如果你这个 x 啊，它是在零附近啊，或者说是一个介于负一到一之间的吧，你 n 足够大的时候， 这个 x n 次方是不是就足够小了呀？而且是比前面是要更小的吧？是不是？你比如 x 的 曲线零在零的附近吗？一个足够小的领域的时候呢，就能得到什么呢？后面的小尾巴呢？其实就转变成什么呢？转变成了是高阶无穷小的呀，这个也就极限里面我们会用的一个主要的形式。好，那接下来 我们就得到了啊，对应的一个一般的方程以及常见的方程啊，就什么呢？就是 f 零 加上一个 f， 一 撇零乘一个 x 啊，我多写一下嘛，这是二的结成分之 f 两撇零乘 x 方，对吧？然后一直加，加加啊，一直加，往过去写啊，往过去写， 就是 n 的 结成分之 n 结倒在零处的值，再乘一个 x n 次方。那如果你研究的是什么呢？你讨论的前提是在极限里面吗？那就讨论什么呢？讨论 x 去向零时啊，其实也就是我们讲一下，写的在 x 的， 在这个零的足够小的领域里面，在这个附近， 后面就可以写什么呢？写成皮亚诺，余下了，就是 x n 次方的一个高阶无穷小。这不就我们前面写的这个高阶无穷小这个形式了吗？那确实是这么回事啊，你比如你后面不都是 x n 加一次方， x n 加二次方了吗？它是属于是 x n 次方的高阶无穷小呀，所以通通我们写成高阶无穷小这种写法。 好，那接下来常见的啊，一些函数它干嘛呢？都是能转变成公式，但这公式怎么来的呢？就是推的呀，就你比如三 x， 我 以三 x 为例啊，就是三元，然后呢，三 x 一 接导在零处的值，三 x 二接导在零处的代到下面这个式子里面去，就能得到它的一个什么 常见的一个麻烦公式了啊，那这个呢，我们就不推了，我直接给大家啊，比如三 x 干嘛呢？你真的去用的时候不会说真的一直往我去写啊，我们一般干嘛呢？主要是到第二项，第三项为主啊，这是什么呢？这是 x 减去六分之一倍的 x 立方， 加上一个立方的高阶无穷小。那阿根三 x 呢？是 x 加上一个六分之一倍的 x 立方， 加上一个立方的高阶无穷小啊，不是说只只能写到立方，可以一直往后写啊，你比如这个六分之一呢，其实什么呢？就是三的阶乘啊，它后面可以接着往后写五的阶乘，七的阶乘啊，但是呢，我们平时做题目呢，尤其在基础呢，这完全都是够用的啊。然后它点 x 对 的什么呢？是 x 加上三分之一倍的 x 立方，再加上一个立方的高阶无穷小 r 和 t x x 减去三分之一倍的 x 立方，加上一个立方的勾结五中小。 e 的 x 方呢？是一加 x 加上二分之一 x 方，加上三的间隔，三的间隔就六分之一了啊，六分之一倍的 x 立方，再加上一个立方的勾结五中小。然后 l e 一 加 x 呢啊， x 减去啊 x 减去二分之一倍的 x 方，再加上一个三分之一倍的 x 立方，再加上一个 x 立方的高阶无穷小。括号 x 啊，括号 x 一 减去 啊，一减去二分之一 x 的 四次方，再加上一个四次方的高阶无穷小。 一加 x r 八次方啊，就是一加 r 八， x 加上二分之一倍的 r 八乘一个 r 八减一倍的 x 方，然后再加上一个 x 方的一个勾结用小好。以上这是我们常见的八个公式啊， 那八个公式呢？其中啊，最后一个呢？我给他一个。呃，一个一般的显示用的比较多的啊，就一加 x r 八四方，这个 r 八可以取什么数呢？是可以取啊啊，残疾的我们会遇到什么呢？取负一的，那就是一加 x 分 之一呗。但这公式不好记啊。我们记什么呢？我们记个一减 x 分 之一的， 这个就是一加上负 x 负一次方的，就这种形式啊，为什么记这公式？因为这公式好记。他对的是什么呢？他对的是一加上 x 加上 x 方啊，一直往外加啊， 一直啊，加到 x 的 n 次方，再加上一个 n 次方的一个勾结无穷小。你看这个就好记啊，所以大家记这个就可以了啊，对吧？啊，记这个就可以了。那如果你真的遇到是一加 x 分 离，那干嘛把它看成什么？ 一加上负的 x 分 之一吗？然后把这个你们这个公式里面的 x 换成负 x 不 就完了吗？啊，那大概理解吧。啊，就这样意思啊，那一共什么呢？八加一是九个公式了啊，九个公式了，但我们讲第九个呢，其实什么呢？就是第八个的一个延伸啊，就那里面 r 八取负一的这种情况啊，八加一公式， 所以从这个角度呢，这个他的公式麦克罗林公式，你可以理解什么呢？他是等 t 的 延伸，他是一个更准确的等加无效， 就我们前面所给的那个等价无穷小呢？他只是保留了最低阶的那个无穷小啊，我们称之为叫老大。那如果你是一个乘积的类型呢？老大没有关系，可以留，但如果你加减的形式，老大可能会抵消掉你，比如三 x 减 x， 那 x 和 x 没有了呀，他就得再接着我们去占啊。

泰勒公式很多同学觉得非常难记，非常困难，但其实泰勒公式是高数里最最简单的部分，最最好记的部分了，也不是能说好记，因为它根本就不需要记， 它的大部分公式都是可以推出来的，而且非常好推，你只需要记这一个公式就行了。这个公式我觉得， 呃，大家都是能看出来规律的。你看 x 方，它底下就有二的结成，三次方就是三的结成，然后这边是一次方，其实底下就有个一的结成，然后就是一，就不用写了。然后这边是零 s 零次方，其实就有个零的结成，零的结成就是一，它也没写。然后呢？ 它二次方啊，它就是 r 法乘 r 减一两项，三次方上面有三项，一次方上面就一项，零次方就没项，所以说非常简单，这个式子非常好记。那通过这个式子能推出来哪些公式呢？ 首先你第一个应该就能想到能推出来 x， 一 加 x 分 之一就是一加 x 的 负一次方， r 法就是负一，你只要把 r 法负一带进这个式子里面，你就可以写出来了，等于一减 x 加 x 方减 x 三次方。 举家，我只需要写四项，为什么呢？一般高等数学啊，你考试中啊，百分之九十九的情况都只会推到第三 x 三次方，三次方向不会再往里写四次方，五次向五次方了，基本上是不太会的。 所以说后面你根本就不用管了，你只需要知道前几项怎么推就行了，后面其实是同理的。然后你我知道一加 x 分 之一，那我就可以写一减 x 分 之一， 一减 x 分 之一怎么写呢？一减 x 分 之一，我们需要把这个负 x 看成一个整体，知道吗？看成一个整体，看成一个 x， 或者看成一个其他什么数字，然后你放到这里，放到第一个式子里，你这里的 x 就 等于负 x， 然后你把所有的 x 都改成负 x 就 可以了。你把所有 x 改成负 x， 就 变成一加 x 加 x 方。 这边改成负 x 是 什么？就是加 x 三次方，然后省略号，然后你有了这两个式子，就可以写 lone 了呀。 lone 一 加 x 也是不是可以写？ lone 加 x 为什么可以写呢？因为 lone 一 x 求导就是一加 x 方， x 加 x 分 之一，所以你把这里求积分回去，是不是就有 lone 一 加 x 的 它的展开呢？求积分一下一的求积分， x 减二分之一 x 四方加上三分之一 x 三次方， ok， 不往后写了？我就写了三次方，然后啰，一减 x 是 不是也同理？嗯，一减 x 就 求到就是这个，所以你往后写是一样的啰。一减 x 我 就不写了，然后还可以写什么？还可以写一加 x 方二分之一， 你同理。把这个 x 方看作一个整体，你把这里的 x 全都改成 x 方，就变成一减 x 四方加 x 四次方， ok， 就 不往后写了。 我有了一加 x 万分之一，你立马就能想到 arc tangent x 的 泰勒公式，因为 arc tangent x 求导就是一加 x 万分之一，然后，所以说你把这里求积分回去就行了。一求积分是 x 减去三分之一 x 三次方，其实这里就够了。那我再写一下吧，五分之一 x 五次方。所以说这里已经能推出来很多很多很多公式了。呃，还有什么？还有什么没有推的呢？还有个就是 sine x 和 cosine x 这两个东西没有推，是不是还有一个 arc sine x sine x， 其实你也可以靠这种方法推。为什么？ arc sine x sine x？ 求导。我觉得大家都知道是 一减 x 方分之一，它其实你把它写成第一，上面这种形式就是呃一减 x 的 方的负二分之一次方，然后呢，你把这个 负 x 方看做一个整体，而法这里次数，而法就是负二分之一，你仍然通过正的方法写出来，写出来之后呢，你再求积分回去就可以得到 x 三 x 了。但这个方法稍微有点复杂，我现在我等会会告诉你一个 x 三 x， 更简单的一种记法 就是其实你不用这么这么麻烦的，我们先看算 x 或算 x 吧，我们算这两个的泰勒泰勒公式你有一个知识点一定是要记住的。是什么知识点呢？就是等价无穷小。等价无穷小就是 泰勒公式的第一或第二项或第二项。 什么意思？就是我们平常说的三 x 等加乘以小，什么于 x， 那 它泰勒公式的第一项绝对是 x， 我 们平常说 ak 泰利的 x 也等加于等加无穷小于 x， 对 不对？那你看这里，它 ak 泰利的 x 第一项是不是 x？ 是 x， 我 们还说什么一减括号三 x 等加无穷小于二分之一 x 方， ok， 那 cos 多少 cos 是 不是就是呃一减二分之一 x 方？你一想一下嘛。所以 cos 的 泰勒公式前面一定是一减二分之一 x 方， cos 第一项一定是 x， 所以 这个也也是你不需要记的，因为我告诉你这个知识点，这个知识点非常重要的，这是一个， 就是其实等价物兄小就是靠泰勒公式推出来的，知道吧？我们是先有泰勒公式才有等价物兄小的， 所以说在有这个知识点的情况之下呢，我们再看一组，我们看平常我们说的，呃，一加而法 a 加 x 的， 而法次方，我们说的它等加无穷是多少？是一加而法 x， 对 不对？一加 x， 而法次方，看这里是不是一加而法 x， 所以 全都满足， ok， 所以 说现在我们再来推往后面的三 x 和三 x 泰勒公式。现在请你记住， 三 x 和 cos 函数，它的规律是完全一样的，就是它的所有规律都是一样的。什么叫所有规律呢？比如说它的次数规律，次数规律 cos 第一项是 x 零次方，第二项是 x 平方，它的次数是不是每次都加二，对不对？所以它后面你往，如果你想往后写，后面一定是 x 四方， 知道吧？然后就不往后写了，那这里呢？这里是，哎，第一项是 x 四，后面那一项 一定是 x 三次方，因为我说了它是每次加二，然后后面一定是 x 五次方，然后省略号， 这一点，请你记住，它的规律是完全一样的。还有什么规律？还有一个符号规律就是你扩三 x， 第一项是正号，第二项是负号，它的符号是正负正负正负 交错的，所以说三 x 也是一样的，那这里也是交错的，所以第三项这里符号，这里就正好了，那这里呢？这里第一项是正号，那第二项一定是负号，那第三项一定是正号。 还有一个最后一个规律，最后一个规律就是它的系数规律，系数规律这边是 x 方， x 方，这里是二分之一，它其实是二的阶层分之一，二的阶层分之一就是二分之一，所以说这里是四的阶层分之一。 这里是什么呢？这里前面有个一的结成分之一，发现没？所以就其实一就不写了。然后这里呢？这里是三的结成分之一，然后这里是五的结成分之一， 所以这就完全结束了。然后最后还有一点就是 cos 二 cos 的 函数公式，我刚才说了，你可以用转换求，但是 我告诉你一个简单的方法，就是我们平常这个次数只写了三次项，对不对？那我们前面这边到第二项其实就是三次项了，你只需要 arc sine x 的 前两项，其实就是把 sine x 这里的符号改成正好就行了，就是 x 加上 三的阶乘分之一 x 三次方。 ok， 后面你别管，根本用不到，你考试是不可能用得到，还会用到后面的，知道吧？我们只需要把三 x 的， 呃，第二个符号改成正好，就就是它的，就是 它的等加无穷小。我们说三二个三 x 等加无穷小，是不是 x， 那 第一项就是 x， 所以 说它的公式板块的所有内容就结束了。关注我一天一个高数技巧。

期末不挂科系列之三小时带你通关高出上，我试着来拯救一下你们的数学哈。本视频制作耗时三十二天时间，共计四小时零九分， 常考知识点，不到两个小时，吸收了七至九所高校的期末考试题目题型，带你深度解析期末高数考试的解析技巧及解析方法，看完本视频，让你考试开挂高分通过。我不建议你这个视频里面所有的内容，你们考试考什么你们就看什么，这样能节省你们大量的时间， 就把这个视频当做一本字典来去用。从今天开始，我们就步入到了这个导数的这个部分了，导数这个部分分成两个大的章节，一个章节就是跟导数有关的什么计算呢？比如说引韩流求导啊，还有什么这个参式方程求导啊等等等等，这些呢是跟计算有关，所以说我建议大家把这一章 计算的部分给他做好，要不然的话，这个下一章跟导数的应用，比如说像什么求单调性、凹凸性、极值点、拐点、对对直，这些计算要是搞不好的话，后面这些导数的应用就很难很难进行下去了啊。 好，我们先来看第一个题型啊，第一个题型叫做导数的定义，哎，这个叫做计算型，这种题型考的相对来说比较多一些啊。然后我们先看一下这个公式啊，一共有三个公式，这三个公式我就不给大家一一去读了，然后经常考的公式是什么呢？是考的他的变体来就是这个公式，但这个公式有的时候 好多同学背不下来，所以说我就给你们总结了一句话，来咱们的分角啊，其实这种形式的话，你们但凡见到了 f 减 f， 他 最后的结果一定是等于一个浪 乘上 f 一 阶导另外的一个浪，你看这个形式是不就是，对吧？一定是有一个 f 一 阶导，然后前面有个系数，中间有一个括号，里面有个东西，所以我们只需要找第一个浪和第二个浪即可，第一个浪怎么找呢？看前面第一句话叫去 f 找系数。比如说我们拿第一题来举例 这道题来，我们把这个极限拿下来， x 去小于零， f 一 加二， x 减去 f 一 减 x， 然后分母是 x， 这个时候呢，我们把 f 去掉， 看啊，去 f 找系数，就是把 f 去掉之后，你算出来这个结果就是第一个了，你看看这个结果一和一之间是不是减掉了二 x 减去负 x， 结果就是三 x， 所以 说分子我们给它整理一下，就变成了三 x， 然后在一月份结果等于三，所以同学们这个东西就是他前面的系数三，好在乘上 f 一 导括号里面应该选谁呢？我们就就应该看第二句话叫看趋向找导数，找这个导数来看这个趋向，趋向是趋向零，我们的目的是要找这个括号里边，所以你就看整个的极限里边括号里面有谁， 括号里面是有他来，你把零带入进去，你就会发现这个里面是趋向于一的，你把零带到这个括号里面，他也是趋向于一的，所以这个部分我们就写一， 所以说这道题的结果就等于三倍的 f 一 到一，哎，所以说我们选 c 哈。第三个题型，复合函数求导，这个题型非常重要啊，就是我给你们讲一下原理，然后讲完了之后，就你们听完了之后，课下一定要练这个知识点，必考，他一定会考的。 呃，我们在做复合函数求导的时候，就是从左往右看，特别特别简单，就是你从左往右看就行。比如说给你们举个例子， e 的 ark 贪婪特，然后这面写上一个 e 的 二 x 密，比如说我们要对他求导，你们只需要从左往右看就行，什么意思呢？来，看着，从左往右看， 你第一个看见的是不就是 e？ 你 说 e 的 求导等于什么？ e 的 求导是不等于它本身，那你把整个的这一大长串它的本身给它拿下来。 好，后面那个是乘法乘上，然后你再往右看，是不是看见了阿克贪婪他。记住啊，一定要从左往右看，首先你看见的是 e， 从左往右看，首先你看的是 e， 然后你又看见了阿克贪婪他，阿克贪婪他求到。同学们，阿克贪婪他一个蛋，他的求到就等于一加上一个蛋的平方分之一，对吧？这块要写 x， 这块是不是也是 x？ 然后后面的话，同学们其实要乘上一个蛋的求导啊，这个你们不用管，就是你们要把这个形式给他记住。好，我们继续往下写， 再乘上一加上什么的平方分之一，这个后边这个我们应该写谁呢？你就看阿克贪婪的后面是谁。 e 的 二 x， 那 我们就写 e 的 二 x 括起来的平方分之一，再乘上，乘上谁呢？你再往右看，是不是？你从左往右看，先看见的是 e， 又看见了这个 e， 对 不对？同学们，你看见的是这个 e 啊，不要看整体，就是从左往右看，依次去看，然后你又看见 e， 那 这个时候是不是它的本身？ 好，你再往右看，二 x 求导，二 x 求导就等于二停止不求了，因为你没有办法再往右看，没有了，明白了吗？复合函数求导就是从左往右依次去看。来，我们来算几个题。 我们先来算一下这道题，这道题好多同学不会做，那这个不应该啊。呃，从左往右看，第一个，你看见的一定是一个根号。 有的同学说，老师，不是我看见是甚啊甚的，瞅的太快了，你瞅慢一点，是不是先看的是根号啊？根号的求导之前给你们背过，根号 x 求导等于二倍，根号分之一，对吧？所以说，我们就要写等于二倍的根号分之一，根号里面写谁呢？后面写谁，我们就写谁。 s 一 的二 x 再乘上，再往里看，再往里看，是不是看见 s 三的求导等于 cos， 那 我写 cos， 然后 e 的 二 x 落下来？好，你再往右看， 是不是就看见了 e， e 的 求导就等于它本身，再往右看，就看见了二 x， 二 x 求导，结果等于二，我们呢，把这个二放在这个位置，所以说这两个二就约掉了，上面是一。好，然后我们把这个放在分子上，那这道题是不是就解决了？ 好，我们再来看一道题啊，看这个题，我发现你们在求根号的时候，或者是分式的时候不太不太熟练，所以就给你们安排了几个题啊，看下第二题。第二题他说， f x 为可导函数，让咱们求这个函数的导数，还是一样。从头往右看，首先看见的是根号，根号的求导就等于二倍根号 分之一，好在乘上里边的求导， f 的 求导。同学们， f 的 求导是不是就是 f 的 求导？感觉我好像在说废话， f 的 求导是不是你给 f 给一撇就行了，对吧？好，然后你再往里看， x 求导， x 求导就等于一，后面乘以，你就不用写了 啊。我们再继续往下看看这道题，这个题让咱们求 d y 比 d x。 同学们，你们要知道一个事情，就是 f， 嗯， f 五 x 减二 这个东西，我再给你们写一个，和这个东西 它俩不一样，它俩不一样啊，你们要注意这个符号，这个符号所表示的是这个整体，它是一个复合函数，这个复合函数求导 好，他的求导等于什么呢？他的求导就等于来，你从左往右看，首先你看的是 f 吧，好， f 给一撇，五 x 减二，比上五 x 加二，然后你再往右看，是不是看见了里边，里边的求导，是不是你要再乘上五 x 减二，比上五 x 加二，整体的求导。 好，你们看啊，是不是这个的求道等于这大长串。然后你看这，他和他，他俩是一样的吧，也就说你这个部分和这个部分，他俩压根就不是一个东西。而这个式子是什么意思呢？是 f 一 接到 x 和 我写 f 一 接到 x 和谁呢？和这个里边的这个函数，他俩的复合，就是你把他带到这个式子里边带，带进去就变成了他 啊。比如举个例子， f 一 阶导 x 和三 x， 你 把三 x 放在里边，和 f 一 阶导 x 复合，那就是 f 一 阶导三 x 吧，是他俩的，是这个意思啊，所以说，你们千万不要把这个式子和这个式子他俩搞混，他俩不是一个东西啊。 好，我们继续啊。好，这道题让我们求的是 d y 比 d x， 也就说让我们对，让我们把 y 对 x 求倒啊，就是这个东西对 x 求倒，也就说这个式子整体对 x 求倒。其实我们要求就是他吧，刚才已经写了，是等于他的。好，接下来的话 我再给你们写一遍。没关系啊，这种题我们反反复复，扎扎实实为了要对 y 求倒。这个式子，我们从左往右看，首先看这是 f， 所以 我们要写 f， 后边这些我们该是谁，我们就写谁，就是五 x 减二比上五 x 加二， 再乘上，乘上谁呢？从左往右看，首先你看见的是这个。从左往右看啊，首先你看的是 f， 然后又看见这个东西，这个东西五 x 减二比乘五 x 加二，对它求倒。同学们， 这个式子求倒，好多同学说，老师，我直接用分母的平方分之上倒下，倒上不倒，可不可以？可以，可以啊，确实可以，但是稍微有那么一点点麻烦啊。如果你们要是能把这个式子给它化简一下，那这道题会更简单。比如说，我们这么看， 五 x 加二，分之五 x 加二再减二。既然你的分子的最高次幂和分母的最高次幂他们要是相同的，你一定能分离出来一个常数， 也就是说，我们的分子需要看着分母写分子，分母是五 x 加二，那你分子的话也写出来一个五 x 加二，可以吧？当然可以。然后我们无缘无故的加了一个二，我们再给他减二，可以吧？当然可以。那原先的这个舍得数还有减二，我们再把减二给它拿过来，你看看，如果我把这个加二和减二，不看它 是不是这个式子和这个式子他俩是一个，但是我们这么凑出来之后就不大一样了，他的结果就等于一减去五 x 加二分之四了。同学们，如果我对他求到，就是他的求到，实际上就是他， 那等式左侧和等式的右侧求导是不一样的。来，你看这个的话，你一求导结果就等于零了，那你他的求导要比他的求导更简单，我个人感觉他的求导要比他的求导更简单，因为他的话是一个复合函数求导。复合函数求导，这是不是一个分式啊？ 我们就可以直接用这个公式了，对吧？就是平方分之一，再乘上为一截道。好，那我们来求一下结果就等于 结果就等于来一求导没有了，一求导没有了，然后微分之一求导是不就等于负的微的平方，他这个前面有符号，所以我们呢，就不需要了，就不需要这个符号了，就直接写五 x 加二 这个括起来的平方，他这个上面是四。同学们，这个四，你就当做一个系数，直接放在这就行了，再乘上这个五 x 加二的导数，结果就是五，好吧，比较简单吧，哎，当然了，这样做的话会更简单一些啊。好，然后把这个数字给它擦掉， 我把这个给擦掉，然后这个部分他的球岛就等于他，我放在这，然后后面呢？这些呢？我们给他拿过来。 题目中让我们求的是啥呢？求的是当 x 等于零的时候，那我们就来算吧，当 x 等于零，你看这个里边 x 等于零的话，分母等于四，分子也等于四，所以它就等于一，我们不看了，那这个部分等于五五给它拿下来，再乘上 f 一 到，我们把零代入这零代入了之后，这个里边就变成了负一，所以说结果就是 f 一 到负一， 我们把负一代入到哪呢？代入到这这个里面是负一，这个里面也是负一，负一的平方等于正一，阿的他的一等于四分之派，所以说就是五，乘上四分之派就等于四分之五派。好，四分之五派啊。这题做完，接着我们再来看一下这道题，这道题的话，我们需要把函数给它整理一下，函数就是肾二， x 加一啊，整体的三次方。 我们从左往右看啊，老师，我先看见的是肾，不是啊，你先看见的是中括号。 好，你这边有左边的中括号，那你肯定得跟右面的中括号他俩是一组啊。既然是一组的话，你看这是不是还有三次方，所以说你先看见谁？先看是这个三次方的，三次方的求导就等于三倍的平方吧， 再乘上，从左往右看，先看见是这个中括号，再往右看，看见这 s， s 求导等于扣 s。 好，你又看见了肾，然后你再往右看，看见二 x 加一，二 x 加一的求导等于二，所以这个三，我们再给他乘个二等于六，所以说他的结果就等于这大长串 复合函数求导。我建议你们把这个课听完了之后，你们知道了一些技巧，还是需要练的，练熟练了，我们再来进入到下一个知识点，好吧，好，我们稍作整理，整理完了之后，我们再进入到下一个知识点， 分段函数求导，好多同学不会做，这个不应该啊。然后我给你们写一下这个分段函数求导的解析步骤，一共就两步，第一部，分段点出用定义， 第二步，区间断上用公式，什么意思啊？这公式就是你们的公式表，比如说 sin x 求导等于 cos， 比如说乘法求导，左倒右倒加右倒左倒等等等等。我这样说可能你们没有感觉，我们拿一道题来试一下啊，比如说先来第一题 看，我这道题的话，很显然就是分段函数，对吧？我们用一个数轴给大家表示一下，你看啊，在这道题里边，等于零的时候，他是一个段对不对？然后他不等于零，他又是另外的一个表达式，所以说我们就可以这样表示，你看红色的这一段，他不是等于零的，我们用 x 的 平方乘三 x 的 平方分之一 来表示这一段呢，他也是不等于零，其实这两段都是一样的，对不对？好，同学们，你们记住了， 刚才说的是分段点处，他那个点的话，你用导出的定义，如果不是点的话，是区间段的话就是这一段。一段的话，你就用公式，公式的话，包括刚才我说的你背的那些公式表，再比如乘法求导，除法求导等等等等，就用这些东西来去解决这些分段的段上的这些。好吧，来，我们来求一下第一个 解的步骤，先写解啊解，我们先来求一下 f 一 导零， f 一 导零就等于 limit x 曲线零 f x 减 f 零比上 x 减零好，求一下，结果就等于 limit x 趋向于零 f x。 同学们，他说的是在趋向为零的时候的 f x 趋向零指的是不等于零。好，不等于零，你就要带不等于零的这个表达式，所以我们就要把这个表达式拿下来吧。 乘上三 x 的 平方分之一好， f 等于什么呢？他问的我们是 f， 零等于几，就是 x 等于零的时候等于什么东西 好，接下来分母的话是 x， 那 我们把 x 给它导入进去，然后它的约分，那你看这个时候剩下的，你把零导入到这里边，你发现 sin 的 无穷大， sin 的 无穷大叫做有界，零乘上有界，结果等于零，所以我们就能得到 f 一 阶导零等于零。但是啊，同学们，有的时候你求分段点出的导出，它是不存在的， 如果要不存在，那你最后写这个 f 一 阶导 x 的 时候，就不用写这一点的导数了。不一定分段函数的这个导函数它就是连续的，没有人规定，所以说你这一点不写的话也行，如果它存在你就写，不存在你就不写。好，接着当 x 不 等于零的时候， 当 x 不 等于零时，你看看结果等于啥呢？不等于零，是不是有这一段和这段好？这两段的话，它的表达式是一样的，所以我们可以写在一起，那就是 f 一 阶导 x 就 等于。来吧，左导右不导， 左边求导。二， x 乘乘 x 的 平方分之一，再加上右导左不倒来，右边求导。他求导就是复合函数嘛。 s 的 求导等于 cos， 对 吧？ s 的 求导等于 cos， 然后这个 x 的 平方分之一求导等于的是 x 的 三次方分之二。别忘了前面再有一个符号， 哎，我们这个时候写负的好，这是右导，右导，左不倒，左不倒， x 的 平方给它落下来，然后你再整理一下，他俩一整理，结果就只剩下了一个 x。 好，所以说这个当 x 不 等于零的时候， f 一 到 x 就 等于这大长串。好，你再给他整理一下，你说是不是 f 一 接到 x， 你 得到的结果就是两段了，第一段就是二 x 乘上乘 x 的 平方分之一，减去 cos x 的 平方分，再乘上 x 分 之二，这个是 x 不 等于零的时候，当 x 等于零的时候，刚才我们算了，它的结果等于零。 啊，这就是第一题，好吧，像这种题的话，我建议你们自己给他好好做一做，自己去做一遍，我做的话，你感觉好像能听懂，但是你自己算的时候就会发现这块有问题，那块有问题，我们要把这些问题解决，才能够把这道题的分数给他拿到。哈。来，这是这道题啊，我们再来看一道题， 我们再来看一道题，看下道题，第二题，第二题还是一样啊，我们先来去求分段点处的这个分段点处的这个导数啊，我们把这个题呢先给他这样写一下，看啊，在这里边，是不是在这一段上， x 大 于等于零的时候，等于的是 这个是零，点大于等于零，我用红色的这一段表示是 x 的 平方，然后我再用蓝色的这绿色的绿色这一段来表示它小于零的时候，是负 x 的 平方，负 x 的 平方，对吧？ 好，接着你说分段函数的分段点在哪了？你看这是不是这一段和这一段分段处是不是它的交界处就是零，就是它的分段处了。好，那我们先来算一下 f 一 阶到零。同学们，这道题跟刚才这道题不大一样， 刚才这道题是等于零和不等零，而这道题是大于等零和小于零。他的这个零的左边和右边，他是两种不同的表达式，一个是绿色，一个是红色，所以你们在算极限的时候要分左和右，明白了吗？来，我们算一下 f 零，我们先算诱导数，诱导数就等于 x 趋向零正， f x 减去 f 零，然后 x 减零，就等于 limit x 趋向为零正来分模，我们直接写下，看这啊， f x 这个应该等于几呢？零正指的是比零大那么一枚枚，所以我们要取大于零的部分吧，大于零的部分等于 x 的 平方， 那么就 x 的 平方再减去 f 零等于什么呢？我们要代入到这个表达式， f 零等于零。好，所以你算下来之后，这个零你可以不用看了，然后他俩直接约掉，把零直接代入到这里，直接就等于零了， 对吧？接着我们再来算一下这个左导数，左导数就是零负，还是 f x 减去 f 零比上 x 减零啊。接着 我们来代一下这个时候的 f x 等于什么？哎，零负指的是比零小，比零小就要小于零，那这个数的 f x 就 等于它负 x 的 平方。 好，再减去 f 零， f 零等于什么？你把零直接带进去，那就是零了。好，分母是 x， 然后你再约分，发现其其实结果还是等于零，那这个时候我们就能得到，你看左导数和右导数相等，所以说导数存在，明白了吧？所以说导数存在， 所以我们就得到 f 一 阶导零等于零。好，我们把分段点处求出来了之后，再来去看这个啥，再来去看其他的，哎，当 x。 同学们，有的同学说，老师，这块是大于大于等于零，那我这块也要写大于等于零吗？同学们刚才是不是说了就都分段点处用？定义这一点处我们已经解决了，我们就不要想这个等于零。 x 大 于零的时候， f 一 借到 x 等于什么？ x 的 平方求到等于二 x 来，当 x 小 于零的时候， f 一 借到 x 就 等于负的二 x。 好 吧，然后我们来总结一下，所以 f 一 借到 x 就 等于 啊，二 x， x 是 大于零，负二 x， x 是 小于零。好，你说我们可不可以把这个 x 等于零，这个这么写，就是在这写 x 等于零，然后等于零可以，但是有点多，你们把这个 x 等于零的时候并用到上面，可不可以？当然可以了，没问题啊，我们就把它直接变上去了。所以 x 大 于等于零的时候， 哎，我们可以这样写，当然有的同学了，如果把这个等于写在下面，行吗？也可以。我们来看第五个题型，这个题型叫做常见的不可导函数，呃，有两种，第一种就是减点，第二种就是导数为无穷的点。我们先来看这个减点啊，减点的话，我们经常看见的就是绝对值函数，比如说像这种， 这个就是 y 等于 x 的 绝对值，在零点处，它是一个尖点，所以这个零这一点处就叫做不可导点。然后呢，这个分段函数，大家千万不要以为所有的分段函数，它这个分段点处都是不可导点，千万不要这么以为啊，它是不是我们需要去判断， 你像我们之前讲过的题目里面确实是有分段函数，比如说像这个题吧，这个题就是分段函数，但是在这零点处他确实是可导的，我们需要通过计算，不能武断的认为分段函数就一定是这个，在分段点处就一定是不可导，不可导的，不能这么武断的认为。好在有导数为无穷的点，这个的话我们 需要注意一下，就是有些函数它是存在切线的，但是导数不存在，那这种情况它其实就是导数无穷大了。哎，比如说给你们写一个函数，这个函数，这个函数长的样子是这个样子， 在零点处它有没有导，有没有切线呢？有切线，切线就是它切线就是 y 轴，我们知道 y 轴的斜率是没有的， 所以说这个时候我们能得到一个结论，就是他的导数也是没有的。好，那我们那你这个时候你就要说这个，他，他这个就是我们之前总理解光滑的，他就一定处处都可导，其实不是导，要刨去无穷这种邪邪率，好吧？啊，然后我们点到位置就讲到这啊，然后这个函数，这个函数的话是一个海鸥的形式，海鸥的样子， 这边是长这样，这边是长这样，然后他有没有切线，他也有切线，切线就是这个外周，同样的他那个有没有导数呢？也是没有导数的。所以说切线和导数这两个东西，他不是说你有切线就一定一定有导数，不是的，但是有导数他一定是有切线的。好吧？哎，来我们看一下考试，如果考试的话，这题怎么出呢？在这里啊， 他会考你们绝对值函数，绝对值函数考的是最多的，我们再去做这种题的时候，要判断不可导点，我告诉你们技巧就是找绝对值函数里边等于零的地方，你看你找这个等于零，如果说绝对值里边等于零的话，是不是一个是 x 等于零，一个是 x 等于一。好，那这个时候我们就做出来了，有两个不可导点，所以选 c、 d。 好，第三个我告诉你们技巧，技巧就是啥呢？技巧就是我们先找绝对值里边啊，记住啊，找绝对值里边等于零的地方，所以说我们不得不把这个函数给他做一下处理， 提出一个 x 变成 x 的 平方减四，对吧？然后的话我们再写，就是把 x 的 平方减四写成一个平方差的形式，外面呢，我们再给他写一下，他就是 x 减二， 乘上 x 加二，乘上 x 减一，对吧？这个地方是加二。好，我们继续。那这个时候呢，我们要找所有的零点啊，就是这个要是等于零的话，那是不是一个 x 等于零，还有一个是 x 等于正二， x 等于负二，同学们，绝对只是里边的等于零的点，这些有可能是不可逃点。 好，我们要筛一下，怎么去筛呢？你要去看绝对值外边的绝对值外面的这块是不是有一个 x 等于负二，这块是不是有 x 等于一，对吧？好，他既然这个地方等于负二了，那你绝对值里边等于零的点有负二的，就要给它刨掉，它就不是不可导点了。 所以说你剩下谁呢？剩下一个零，一个二，所以你不可导点，只有两个，所以选 c， 这里面确实是有这样的一个结论的，这个结论就是 f x 乘上 five x 的 绝对值，然后我们讨论这个里边他不可导点是什么样的情况，确实是有这样一个结论，然后这个结论呢？我不给你们用这个数学语言描述，用大白话讲，其实就是我在给你们讲的这个事。 好吧，你把这道题按照我的方式给他记一下，考试真的遇到了，就按照我的这个方式快速的把这道题解出来，省下的时间我们去把这个大题给它做一做， 等你们考完试之后，你再想去明白其中的道理，你可以自己去推导一下，没问题的，这个结论一定是对的。我们看下第六个题型，叫做已知可导反求函数，这种题型呢，在选择题和填空里面，选择题和填空题里面会出现大题的几率有，但是比较小啊。然后我们看下这种题应该怎么做呢？ 解析步骤就按照我的解析步骤你们去写啊，这个我这个思路的话，就是能够解所有的已知可导反求函数的题目啊，当然有一些灵活的，灵活的可不可以用的可以用，但有些题要是变一下的话，可能你就做不了了。按照我的思路来去解啊，我们来这样写解， 因为 f x 在 x 等于零处可导，你看啊，已知可导一定能推出来连续，所以说我们就能得到，所以 f x 等于零处连续。 好，同学们，连续的话，我们是不是能推出来极限值等于函数值？上面我都给你们讲了，那这个时候的话，我们不需要全写，因为在这里边我们比较关注的是什么呢？关注的是它的极限 好，但这个时候连续我们能推出来极限值存在，所以说我们再继续写，所以 limit x 趋向为零正 f x 等于 limit x 趋向零负 f x。 其实啊， 如果要写他的重要条件的话，就是他一定能推出来他，对吧？然后这个东西也一定能推出来上面的。但是我们现在你想啊，就是什么叫连续呢？满足这个数字就叫连续。但是如果我把后面这个东西不写他，你说这个这个东西对不对呢？也对啊，我说的是因为所以的关系，因为他，所以他，对吧？来，我们继续， 我们继续写。 limit x 趋向于零正 f x 等于什么？趋向于零正指的是比零大，比零大的时候 f x 等于什么？是不是在这比零大的话就大于零，我们应该取的是 a x 加 b， 我 们把趋向于零给他带入进去，你就会发现最后的结果等于 b， 那 么趋向于零负的时候，我们来算一下，趋向于零负指的是比零小，比零小就是小于零，那这个时候的 f x 就 要取小于零的部分就是它了。 limit x 小 于零负， e 的 x 次幂九等于一好，又因为这个东西和这个东西它俩应该相等，所以说我们就能得到 b 是 等于一的。有的同学说，老师我不写这块，我直接写左导数和右导数相等，可以吗？可以，但是你要有非常非常非常深的基础，你才能把这个参数求出来。如果说你要没有那么深的基础的话，你多写一步，这块会有过程分。好，我们继续。又因为 f x 在 x 等零处可导，我们能得到，所以左导数，哎，这个是右导数，所以右导数和左导数就相等。 好，那右导数等于什么呢？我们用一个极限的形式给它呈现，就等于 limit x 趋向于零正， f x 减 f 零比上 x 减零，我们一点一点写 x 趋向于零负的零正的时候， f x 等于什么呢？ 零正指的是比零大，那这个数的 f x 就 应该要取大于零的这个部分，那就是 a x 加 b。 同学们， b 我 们已经求出来等一，所以这个数的 b 我 们就应该写成一， 不要让函数变得多，要让函数变得越来越少，这样才方便我们计算好。 f 零等于什么呢？我们要把零带到这个式子里边，那这个时候是不是也是等于等于 b 的 b 是 不等于一，所以我们就直接减去一好，他来约分分母是只剩下 x 了，所以说最后的结果就等于 a。 有没有发现我们是在边做边化解，边计算边化解，对吧？来，我们继续往下写啊。这个东西等于什么呢？ limit x 趋向于零负，哎，我们依然把这个式子拿下来。 等于 limit x 趋向零负，零负指的是比零小，那这个时候的 f x 就 要找了。哎，在趋向零负就小于零的时候， f x 就 小于零的这个表达式，那就是 e 的 x 乘密。同学们，减去 f 零等于啥呢？ f 零，如果你们想要 f 零，是不是我要带上面的 f 零就等于 b 吧。如果你不知道 b 等于几，你这块是不是就要写成 b 了？那这个时候就比较麻烦了，相对来说就比较麻烦一些。但是你现在已经知道 b 等于一了，那我就把一直接往下一带好，这个地方是 x， 所以 它的结果等于一吧。哎，又因为右导数和左导数相等，所以 a 和 e 就 应该相等，所以 a 等于一。你看看是不是这道题都做出来了。 同学们，这个题的话，解题思路有很多种，有好多同学是先算左导数和右导数，让他们相等，然后能得到两个极限值，通过很缜密的逻辑推理，也能推断出这个 b 等于一，从而再推导出 a 等于一。这个的话不太建议用，因为如果函数一旦麻烦一些，你这样去解就比较难解出来了 啊。如果你要是用我这个思路来去解的话，先求一个函数，然后再去求别的函数，相对来说会快一些。好吧，我们整理一下这个题，整理完了之后，我们进入到下一个知识点，高级导数这个知识点你们一定要看一下你们之前的考试卷子，或者是问一问你们老师的考试范围。高级导数并不是所有的高校都会考到啊，这个的话有百分之六十的高校吧会考到这个 这个这个题型，如果你们要是真的考到了的话，你们应该记得公式有这六个，这六个是必须记得啊，如果你们之前的题型里面涉及到其他的公式的话，那你们还需要准备一下其他的，但是这六个是必须要背下来的， 好吧，啊，比如说我们先来看一下这个，这个我们再去讲第三个题型，还是第二个题型来着，我们翻一下啊，我们再讲前面的题型的时候，就给大家讲过了， 在这简单函数求导这个的时候，讲这个的时候就给你们讲过了，是不是啊？高阶导数，哎，你们一定要给它记一下啊，就 e 的 a x 密，求高阶导数，你求一次你就多了一个 a， 求几次就多几个 a， 所以 结果等于这个同样的 a 的 x 是 密，你这个求导的话，求一次就多一个绕 a 啊，这个是不一样的。好在有算 x 求导，同学们，这个给我打一个星，第四个也给我打一个星算 x 求导就是你每求一次算 x 的 导，你的向位都要往左平移， 所以你求一次导，你就要加两个，你求三次导，你就要加六个。 好，如果说求求 n 次到，那就是 n 个，求一次到就向左平移二分之派个单位求两次，那就是两个，求几次就是几个。同样的 cosine 也是一样啊，但是的话，同学们，你们真 真要是用到这个公式，我告诉你怎么背啊？如果你们知道熟悉这个三角函数的，还原三角函数的这些，那我特别建议你用这个公式，如果你不熟悉，我告诉你怎么用，你看啊， cosine 求到， 你求一次导，求一次导是不等于 cos 好， 你求两次导， cos 再求导等于啥？ cos 再求导是不等于负的， cos 好， 你再去求导，求三次导是不等于负的， cos x， 你 再去求导是不就等于 cos x 这个东西四次一循环 好，考试的时候呢？它这个后边可能不是 x， 但是你前面的符号就这种符号， 你要给他记住，比如说三求三次倒等于啥？等的是负扣分，这个你要一下子啪，你就得就就一下就得出来，好，比如我再比如说求七次倒应该等于啥呢？ 你记住了，四个是一，循环七，直接减去四，那就是三。好，比如说现在二零二五求了二零二五，你咋做呢？你直接让二零二五除以四， 除以四，你看它结果得几啊？四五二十二，这是零二十五，四六二十四于一，对吧？于一。所以说你求二零二五次的导和求一次的导，它俩的结果是一样的，应该等于的是 cos， 明白了吗？来记住这个结论呢？我们来看一下这个题。在做这个题之前，我们还需要知道一个公式，就是这个公式，密函数的高级求导，他的求导，他只能承受三次导， 如果你再去求导的话，他结果就等于零了。我们举个例子，比如说 x 的 平方， x 的 平方求一次到等于二， x， 你 求两次导，就是对，他求一次导，结果等于二。你要求三次导的话，就是二的求导，结果就等于零了。你的密次决定你求导的次数，你再多求一次，他的结果就等于零。比如说我们看这道题， 他最高次密是不是四次密，但是这道题让咱们求二零二五次密，他只能承受四次密，但是你多求一次好，结果直接等于零，这个就是我们要说的第一个公式。好，第二个公式说的是什么呢？比如说你看啊，我要是这个， 你是平方，你是二次密，我求两次导，结果就是二的阶乘。 他在说的就是这个事，当你的求导的次数，当你的密次和你求导的次数一样的话，结果就是你求导的次数的阶乘，或者是你密次的阶乘。好，如果要是他，这个要是不相等咋办呢？不相等你就去乘吧，不相等其实是等这个结果， 就这个结果你不知道的话，或者你背不下来也没关系，你就你就多求几次，多求几次就求出来了，好吧，哎，好，那这个题的话，我们就知道了，他的求导结果等于零，那他呢？ 同学们，你要知道他是一个复合函数，你每求一次是不是就多一个二，你一共求了二零二五次，所以你前面的系数一定是二到二零二五次密好，在乘上最后的结果一定是一个什么函数，然后后面的话他一定是二 x， 对 吧？ 这个我们只需要找他到底是谁。刚才是不是说了，肾你要求二零二五次密，肾要求二零二五次密，是不跟求这个一次密是不扣肾，所以这个地方就要给我写扣肾。 好，这个题就做出来了，明白了吗？哎，这个题这么搞，如果说你要是能够这个非常熟练的用这个函数的话，那你直接在这个地方写二零二五是不也可以？ 哎，明白了吧？好嘞，然后这个是第一题啊，除了这六个公式以外，还会考到一个东西，就是莱布尼兹的高阶求导公式，我告诉你，这个公式怎么背啊？比较简单，你看他前面的系数就是 c n 零， c n 一， c n 二， c n 三，一直到 c n n 好， 然后它们都是相加的关系，然后后面的这些项就是此消彼长啊，先是 u v 一定是 u v， 后面这一定都是 u v， 好， 然后的话从零开始，你看这是不是零，你这块就不求倒，然后你这块是一，那你这块就求一次倒好，你这块是二，你这块就求三次倒，然后你这块是 n， 你 这个地方就求 n 次倒。 有同学老师不对，你这个公式，这不是写的是 n 次倒吗？同学们，你这个零一二三 n， 你 写在这也行， 都可以。就是你先对他求零次倒，求一次倒，求二次，求三次，然后求这个求 n 次，和你先对他求零一二三 n 一 样的，但是我告诉你，他俩加在一起，加在一起求倒的次数一定是 n 次，你这个没求倒，你这个叫勾求 n 次倒 好，你这个求了一次导，你就后面就要给我求 n 减一次导，你这个求了两次，你这个就 n 减二，你这块求了三次，你就 n 减三。 好，你这个地方求了 n 次，你这块就不要求了，明白了吗？这个就是莱布尼兹的高阶求导公式，我们看一个题，他题的话会怎么出呢？长这样 来，我们看一下啊，比如他说 x 乘上 e 的 x 的 me， 是 不是啊？他要求 n 导，那我们就要求了，看着 c n 零 c n 一 c n 二一，直到 c n n 好， 然后 x 写上 x x x 啊，零一二 n， 那 这块就是不求导，那这块就一次导，这就是两次导，这块就是 n 次导。好，后面的话 e 的 x 次密，你这块没有求导，所以你这后面是不就要求 n 节导？ 同学，你们想啊，这后面你无论求几节导， e 的 x 次密是不永远都是他自己。哎，所以说后面的话，我们直接就 e 的 x 次密直接落下即可，不用管他求导不求导了，因为你求几次导都是他自己。 好，下面我来算一下，他们家加在一起，那结果等于啥呢？先算第一项，第一项 c n 零， c n 零是不等于一，哎，我就不用管了， x 直接落下来， e 的 x 次密也落下来，再加上看这 x 的 一次密， x 求导，求一次导，结果等于一吧， c n 一 是不等于 n？ 好，再然后 e 的 x 次密，我们给它落下来。同学们啊，你看这 x 要求两次导，是不是结果等于零啊？不止求两次导，求三次导也等于零吧，你求高级的导是不都等于零了？所以说后面我们就不用看了，结果就是他 明白了吗？如果这道题要考试的话，就这么考，给你个乘法，让你求他的高级求导，你就直接给我用这个公式即可。 第八个题型就是一元函数微分学的概念，他们之间的关系啊，给你们做一个总结，然后这种的话是特别基础的，像比较难的一些，比如说数列极限什么时候存在，什么时候不存在，这些的话，我没有给你们做总结，因为这种题 那种题的话，出题会比较比较偏，稍微有点偏，然后出题的频率也不是很高，而且出题的院校也比较少，所以说给你们搞了一个这个出题概率比较大的啊。这么一个东西，我们先看第一个，在一元函数的前提下，同学们啊，前提是一元，一元里边可导，既可为，可为既可导， 你们以后会学到多远多远就不是了。多远的话可微能推可导，但是可导推不出来可微啊，但是在一元的话，他俩是一个东西。好，那可导的话能推出来什么？能推出来连续，连续呢？能推出来极限存在，并且连续也能推出来函数值存在， 这个的话，我们要知道这是第一个，第二个可导的函数，同学们有个前提一定是可导，可导的话极值点一定是注点，但是注点就不一定是极值点了。极值点他是， 他是满足一个条件的，他就是他必须得是在某一个区域里面的最大点啊，他是有这么的一个条件的。那如果要是一个可导的函数，我们可以简单的理解为可导就是光滑。之前我给你们讲了，可导其实不单单是光滑，对吧？但是大多数都这么理解，我们只需要这么理解，但是你们要知道这些特殊的情况啊，上 哪个哪哪个题，我记一下啊，看看，看看，在在在在这里是不是导数为无穷的点，他也是这个，这个，这个不存在的点，对吧？光滑的话是有两种情况的，第一种情况就是导数不是无穷大，第二种情况就是导数无穷大的情况。哈， 好，我们返回来看，这个就是你们可以简单的理解，为什么呢？可导的话代表的是光滑，连续的话代表的是不间断，所以这个的条件比较苛刻，就是你看啊，这个叫做光滑，然后呢， 这个他叫做连续，很显然他这种条件就是下面的这样，这种条件是比较比较苛刻的，你要是光滑的话，他一定都是连续的，所以说你这个可导的话就一定是连续的，然后连续呢？你能推出来极限存在，连续呢也能推出来函数值存在，因为连续你能推出来是这个值吗？是这个式子吗？这个极限值， 哎，没有，没有 x 零，然后等于是 f x 零，你看连续能推出来是这个式子，那这个时候的话，是不是就极限值也存在，然后函数值也存在，对吧？好，然后第二条，可导的函数。同学们，可导的函数极值点一定是注点 啊，注点的话不一定是极值点，这个我们需要知道。然后这个注点呢，指的是一阶导等于零的点，就是他是极值的话，他一定一阶导是等于零的前提，可导函数。哎，其实这个的话也能当做这个极值的必要条件，是吧？啊？然后注点的话不一定是极值点，比如说我们画一个图像，哈， 画一个图像，比如说长这个样子，你看这个点呢？确实是注点，因为这个点导数就就是等于零的，确实是注点，对吧？但是他是极值吗？他很很明显不是极值。好，如果说把可导函数这个条件给他去掉了，那么可不可导，就他没有说可不可导，那这个时候注点和极值点 一点关系都没有，如果他不搞不，他要是没说的话，那这两个就一点关系都没有，明白了吗？好，我们看一下题目，他会怎么出呢？ 比如第一个题，他说函数在某点处连续是可导的什么条件，很显然可导是能推出来前面吧，那这个数就是必要条件，所以选 a。 好， 我们再来看这个啊，这个他说下列说法中不正确的是函数的极致点一定是注点，他没有说可导，所以说 a 选项我们不选 啊。然后再来看 b 选项，他说函数的注点一定是极值点，他也没说可不可导，对不对，所以 b 选项我们也不选 c 选项，他说二阶导数非零的点一定就是极值点，这个不知道，他没有说一阶导数的事，对不对好。有的同学说，老师，如果一阶导数等于零， 二阶导数也等于零，是不是他就一定不是注点了？同学们，给你们写个东西啊，比如说 y 等于 x 四次方，你看 y 一 阶导等于几？ y 一 阶导等于三 s x 的 三次方， y 两阶导等于十二乘 x 的 平方，你看这是一阶导等于零。比如说我们讨论 x 等于零，是不是这个极 值点？哈，你看 x 等于零，一阶导确实等于零，二阶导呢？确实也等于零。我们知道的是一阶导等于零，二阶导不等于零，它一定是极值点，对吧？但是我们没有说不等于零，不是极值， 所以我们要把这个事搞清楚啊，就是我们学的那个东西叫充分条件，什么意思呢？一阶导等于零的点，二阶导不等于零的点，我们能推出来他是极值点，但是我们并没有说一阶导等于零的点，二阶导也等于零的点，他不是极值。我们没有说过这句话，我们说的是一阶导等于零，并且二阶导不等于零，叫做极值。我们没有说他等于零的事， 所以你们不要就是去推广什么的，没有这么一回事啊，你看这个东西，我把这个函数给你们写画出来啊，这个函数图像长得是这个样子，跟 y 等于 x 的 平方二次抛物线长得很像， 所以说这个零点呢，他也是极值点。但是我们在求导的过程中发现，哎，二阶导确实也是等于零的，在零这个点处，所以我们得不到一阶导等于零的点，二阶导也等于零的点， 他不是极值点，这个结论得不到。然后反过头来我们再说这句话，这句话的话他说二阶导非零的点，一定是极值点，他没有说一阶导的事，所以说 c 选项我们也不选，那么这道题选的就是 c d 了。引函数求导，同学们给我画三颗星。 引函数求导是咱们最重要的知识点之一，考试一定会考的啊。然后我们先来说一下什么叫做引函数，引函数指的是比如说像这个函数，呃，你可以把这个移到等式左侧，就可以写成这个样子了，但是你没有办法写出来 y 到底等于多少，对不对？ 所以说我们呢，就把这个函数叫做引函数，就是这个函数呢，也是用一个表达式来表示，但是把 y 隐藏在了一个式子里边， 我们叫做引函数。好，那这个时候如果要是要求这个 y 一 接倒的话，应该怎么办呢？方法特别简单呢，就是求 y 一 接倒的时候，就是等式的左右两侧同时对 x 求倒，但是我们需要注意一个事，注意什么事呢？有关 y 的 式子求倒以后，求倒之后一定会有 y 一 接倒，比如说 y 的 平方求倒，好多同学说，老师， y 的 平方求倒不就等于二 y 吗？不是啊，你要对 y 求倒，后面一定要加上这个，加一个小尾巴哈， 比如根号 y 的 求导，根号 y 的 求导就等于二倍的根号 y 分 之一，再乘上 y 一 节导，一定要加上这样一个小尾巴。 好，我们看一下题目啊，题的话会怎么考呢？第一题，同学们给我画个星呃，近几年出这种题的高校是越来越多了，你不要看这道题不起眼啊，这道题有那么一个小陷阱， 来，我们等式的左右两侧同时对 x 求导哈，左侧对 x 求导，就是 y 一 节导，然后右侧这个部分他是乘法，乘法的求导来，我们只需要把这两个给他写两遍啊，你看左导右不导，然后右导左不导，对吧？那 x 的 求导结果等于一，我们就不用看他了， 其实就是等于 y 的 了。好，那这个时候括号我们也不用写了。好，再加上 e 的 x 次密。我们接下来呢，只需要把所有的跟 y 一 阶导有关呢？移到等式左侧变成 y 一 阶导减去 x 乘上 y 一 阶导，就等于 y 加上 e 的 x 次密。好，整理一下， 左侧就变成了 y 乘上，一减 x 等于 y 加上 e 的 x 次密，那么 y 就 等于一减 x 分 之 y 加上 e 的 x。 好， 写完了之后，发现选项中没有这个选项， 没有这个结果，我们怎么办吗？同学们，你们要观察观察一下这个选项里边有没有一个特点，就是你剪完了之后，你发现你的结果有 e 的 x 次密，但是选项里面没有， 所以你要做的事情就是要把 e 的 x 次密给他换掉。怎么换呢？你要是比较迷茫了，你就再看一眼题，题目里边只有这样一个已知条件，只有这一个已知条件里面有 e 的 x， 那 你告诉我 e 的 x 等于什么？他是不就等于把这个移到等式左侧， y 减去 x 乘以 y， 所以说你需要把这个 e x 乘以给它换掉，换成 y 减去 x 乘以 y， 那 这个时候它俩加在一起就是二 y 好， 所以说最后的结果就等于它，那么这道题就选二 b 了啊。这道题的话我也给了豆包，结果豆包豆包说我我在在这个 就这个题，他说他写写笔误了，然后他最后把这个题给我改了，题改了之后，然后选了一个别的选项，然后我又问了一遍豆包，我说豆包，我这个题没有出错，你看要不把这个 e x me 给他换掉，你看能不能得到别的结果，然后他才明白了，其实是选 b 的。 好吧，豆包也容易出错啊。然后你们的话把这种题好好做一做啊。好，我们再来看第二题啊。第二题的话，同学们你们也打个形，就是以函数求导，大概率一下，这两种情况出现的比较多。第二种情况，我们在做的时候看一下第一个式子，我们对 x 求导，他是乘法，所以说我们要用左导右不导加右导左不导来，我们写一下， 这个时候我们把这个式子呢给他抄一遍啊，它的 y 再加上一加 y 的 平方乘啊克 摊着的歪。好，这个时候就是左导来，左边求导右边不动，然后右边求导左边不动， 然后等式的右侧呢？就是你看还是一样的 x 乘 e 的 x 加上 x 乘 e 的 x， 那 就是左边求导右边不动，然后在右边求导左边不动。那我们再做整理啊，这个地方你看只有他求导，他求导等于什么呢？一、求导等于零，不看，然后 y 的 平方求导等于二 y 乘上 y 街道。还记得吗？ 一个跟 y 有 关的函数，你求完倒了之后，后面一定要有个小尾巴，就是 y 一 截倒好，求完了之后，看啊，这个里边他我们直接落下来 ark 贪婪的 y， 再加上一加上 y 的 平方，乘上 ark 贪婪的 y 一 截倒，就等于一加上 y 的 平方分之一，再乘上 y 一 截倒，等于等式的右侧，他求倒，结果就是 一了吧，对吧？那我们就不看他了，给它去掉后面这个，后面这个 e 的 x 密，要是求倒的话，是不是等于它本身？所以说等式的右侧就等于它 整理完了之后，我们只需要把跟 y 一 阶导有关的通通都放在等式的左侧即可。来，你们看啊，这里边他俩是不是就直接约掉了，他俩相乘，结果等于一了，好，接下来我们看，把 y 一 阶导提出来，后面就变成了二， y arc 贪婪的 y 加一等于 e 的 x to me， 加上 x 乘以 e 的 x to me。 好， y 一 解导，就等于我们只需要把这个，哎，在这里啊，把这个拿到分母上即可。二， y 乘上 r 贪婪的 y 加一分子，是这个样子。 好，以上呢就是关于引函数的求导，引函数的求导大家一定要仔细的练啊，这个题出的概率还是比较高的，我们稍作整理，整理完了之后进入到下一个题型，我们来看一下这个题型，这个题型叫做秘制函数的求导。秘制函数长什么样子呢？哎，秘制函数就是长这样的，看这啊，秘制函数长这样，他呢就是底数 跟 x 有 关，肩膀头子也跟 x 有 关，就叫做秘制函数。然后这种函数你在求的时候有一个， 有一个方法，就是可以用对数求导法，就是等式的两侧同时取 lo， 当然也可以如果说你不喜欢用对数求导法的话你可以用我的方法叫做先用换底公式然后再用这个负函数求导啊两种方法都可以，看你喜欢哪一种啊。下面这个函数我们写一下，就 y 就 等于 e 的 森 二 x 乘上 l n x 的 平方加三 x， 好， 那么 y 接倒就等于从左往右看先看它是 e 那 么我们就把这个原式给它放下来，好再乘上乘上啊然后左倒右不倒加右倒左不倒左边求倒就等于二倍的 cos 二 x 再乘上 l n 左倒右不倒 再加上右导左不导右边求导。它是一个复合函数，就是 x 的 平方加三 x 分 之二 x 加三好，右边求导左边不动三二 x 给它落下来， 好，所以说最后的结果就是长成这个样子啊。以上呢就是秘制函数的求导然后这里面呢我有一个东西没有讲就是 这个对数求导法。对数求导法的话在各个高校里边出题的频率是越来越低的，他不像别的考点越来越高他是越来越低的。所以说你们看一下你们之前的卷子如果是出现了秘制还这个这个对数求导法的相关计算的话我建议你们还是需要看一看的好吧。 呃最好看什么呢？看你们教科书里边会有对数求导法的相关例题规范一下解析步骤上丢分。好吧参数方程求导哎这个知识点的话也相对来说比较重要啊。呃 不过跟这个密函数这个这个引函数求导来比较的话引函数求导还是比这个参数方求导要重要重要一点点的啊。 我们先来看一下。呃，为什么会有参数方程求导这个东西呢？就是有的时候啊，我们再去写一个函数，这个函数长得有点磕碜，他可能会写成 x 等于多少多少， y 等于多少多少，然后这里面呢是含有 t 的， 那这个时候我们就有一个变量 t 在 这中间待着了，那这个 t 呢？我们管它叫做中间变量，或者叫做参数变量，无所谓叫什么名字都可以。但是我们要知道针对于这种题应该怎么解？ 本来我们要求的是 d y 比 d x， 但是无缘无故有 t 差这么一脚，那求导的时候也要借助他的力量，怎么办呢？分子分母同时除以 dt 即可，那这样的话我们就知道了， 其实我们要求求什么呢？ dy 比 t， t 是 啥意思？ y 对 t 求导， dx 比 t， t 啥意思呢？ x 对 t 求导。所以说我们可以这个通过一个简单的运算， 然后把这个求导给他求出来，明白了吗？哎，这是他他的公式的由来啊。然后我们看一下二阶求导，二阶求导的话确实有他的公式，但是我不建议你们去背他那个公式，就是背起来很复杂，那我告诉你怎么搞这个比较简单， 你这么去做，你看 d 这个东西叫做求二阶导，对吧？二阶导啥意思呢？就是说你看你先，你先 dy 比 dyx， 对 吧？这是你第一次求导，然后你得到的这个结果，我再去对 x 求导，他是不是这个意思？比如说 d 比 dy， 你 这块写个 y， 意思就是说 y 对 x 求导。好，那我这块你看啊，这块是不就代表我这块写谁就是谁对 x 求导，那我要写他呢， 是不就代表他对 x 求导好？ dy 比 d x 的 意思是不就是 y 对 x 求了一次导了？那你对求导的这个结果再去对 x 求导，是不就是 y 对 x 求两次导了？ 好，没完。如果说你求这个的时候发现，哎，比较难了，但是你这个方程里边还有参数，你咋办呢？来，分子分母同时出一个 d， 同时出个 dt， 这道题就解决了。 我们再来看一下第二题，第二题说的是给了一个函数，让我们求二阶导比较简单，我告诉你怎么办？无论是求什么样的导数，只要是高阶导数，我们基本上就是求二次导或者求三次导，基本上都是要先求一阶导，二阶导、三阶导。这么来搞啊，我们先来求下一阶导，来 dy 比 d x， 分 子分母呢？同时出个 d t， d y 比 d t 怎么算？ y 对 t 求导就等于六 t 来， d x 比 d t 就 等于二了吧， 所以说结果就等于三 t 好， 这个的结果叫做 dy 比 d x。 那 我现在要是想求 y 对 x 求两节导，是不就代表了你这已经对 x 求了一次导？来，我再对 x 求一次导是不就是两次导了？那这个时候你分子出一个 d t， 分 母也出一个 d t 来啊？这个东西是啥意思？他的意思就是说你 dy 比 d x 得到的结果再去对 t 求一次导等于三， dx 比 dt 等于多少呢？ x 对 t 求导结果等于二，所以说它的结果等于二分之三。我们来看单调性的这个知识点，单调性的话我们知道，这个在高中的时候我们就学过啊，就是如果说 f x 要是可导的话，那就是一阶导大于零就到单调区间，一阶导小于零，你求出来那个区间叫单调减区间，对吧？ 但是我们在做题的时候一定要注意两个事情，第一个事情就是我们的定域。有的时候，比如说我给你拿个题举例吧，比如说就这个第一题，你看第一题里面有个 long， 对 吧？那这个时候就是一加 x 一定就得大于零，也就说 x 一定要大于负一。 如果要是你 x 取的是比负一还要小，那这个时候就没有定义了。比如说 a 选项，你看 a 选项里面这个负无穷，他是不是就是已经就是比这个负一还要小了，那这个时候他就没有定域。其实我们从过这就能看出来， a 选项和 d 选项他压根就不是，对不对？ 好，我们看一下这道题啊，我们只要求一下导数，就等于一减去一加 x 分 之一，那他结果就是一加上 x 再减去一，好，他来约分之后，同学们，我们求的是单调增区间，对不对？所以我们只需要让他大于零即可。 好多同学在算这个不等式的时候就说，老师我是不是就要把这个式字写成这个乘法的形式，哎，如果说脱离了这道题，同学们，你那样写一点问题都没有。就是比如说我们没有这道题，你只是求这个不等式好，除法变成乘法， 它就变成了 x 乘上 x 加一大于零，你看这个数除以这个数大于零，和这个数乘上这个数大于零，你得到的区间是一样的，如果我们这样继续去算的话，你就能得到，哎，我们先要找零点，对吧？这边是负一，这边是零，所以说这个大于零取两边，小于零取中间，那这个时候就是取这边或者是这边，好多同学选就是四 d 了，同学们不能这么做啊， 这道题有他的这个这个数学背景，他的数学背景就是让一加 x， 我 们必须要在他的定域范围内求，对吧？那这个时候一加 x 一定是大于零，也就说这个分母一定大于零。好，分母要是大于零的话，那你整个分式要想大于零，你是不是只需要让这个分子大于零，换句话说，你只需要让 x 大 于零即可， 对吧？那这个时候我们选对了 c 选项，我们在做这种题的时候一定要注意定域，定域的话千万不要把这个就是像我刚才这样做，然后把这个 d 选出来，千万不要这么做，这里面有一个坑，好吧？ 啊，这是第一题，我们再来看一下其他的内容啊。注意事项除了第一个以外，还有这个第二个就是我们在求不等式的时候，有的时候会看见一些东西， 比如说根号，根号它一定大于零，这个我们要一定要大于等于零，这我们知道吧？啊？就根号，你无论怎么求，它一定都是大于等于零。还有 e 的 x 次密，无论你怎么求，它永远都是大于零的，再比如说 x 的 平方，它永远都是大于等于零的。好，同学们，那这个事的话就会告诉我们一个事，有的时候我们再去求这个 区间也好，就是大于零，大于零的区间还是小零的区间，好多同学都在这一块就有点想不开，其实不用啊，比如说我问你， x 加一乘上 e 的 x 次幂大于零，你这个时候要求 x 的 去方位怎么办呢？ 这个 e 的 x 次幂根本不参与计算，因为你这个地方大于零啊，对吧？所以说你是不是只需要求它大于零即可？我们只要求出 x 加一大于零即可吧，因为你这个部分是大于零的，你等式的两侧同时除以 e 的 x 次幂，它是不是就消失了， 对吧？所以说你这样再求的话， x 只需要大于负一即可，对吧？哎，比如说我们再来看一道题啊，看一下第二题。第二题他说让咱们求单调增区间，我们先求一下 f 也倒， f 也倒，就是左倒右不倒，左边求倒，等于一右边不动，给他拿下来，然后就是右边求倒左边不动，那就是再加上一加 x 乘上一的 x 乘以 整理一下。同学们，我们要求这个单调增区间也好，还是单调减区间也好，得到的这个导数一定要给他化减， 画到最简为止啊。这个时候我们还能把 e x 分 给它提出来，然后里边给它整理一下，其实就是二加 x。 好， 那这个时候我们要求什么呢？求单调增区间，所以只需要令它大于零。同学们刚才是不是说了，这个东西不参与不等式的计算， 我们只需要令二加 x 大 于零即可，那这个时候 x 就是 大于负二的，所以说单调区间在哪？是不就是负二到中不求 极值？这个知识点在高中的时候我们就很多同学就已经学过了，基本上百分之九十五的同学吧，都学过这个极值了， 然后我们有关极值的需要注意几个事啊？第一个是极值点是 x 的 取值，同学们，极值点是 x 的 取值，它不是点，它是一个数，就好比说零点，零点也是一个数，它不是一个点 啊。然后极值为 y 的 取值，这个我们一定要搞清楚，那我们要是求极值的话，有两种方法，这两种方法分别是一阶导数变号法和二阶导数分零法。我们先来看第一种方法，叫做一阶导数变号法， 那他的解析步骤，第一步就是选点啊，选什么样的点呢？两种，一个是注点，注点就是一阶导数不存在的点。其实同学们，第二个方法的第一步也是这一步， 也就是说你们无论是用哪个方法，第一步永远都是找两种点啊，这两种点一个是注点，一个是一阶导数不存在的点。好，第二步就不大一样了。如果说你用第一个方法的话，那第二步判断用什么判断呢？上述的点，一阶导数两侧是否为一号？ 判断这个点两侧是否为一号，如果是一号，那就是极致点，如果不是一号的话，他就不是极致点。我说清楚了吧，就是你在这块就直接能下定义了，他到底是还是不是 好。那如果极值点的左侧是单增，就是左侧的导数，它是大于零，它就是极大值，那如果说左侧是单调递减，就左侧小于零，它就是极小时。我们先来看第一种方法来解一个题啊，比如说我们看这个，这个题 我们先来求一个倒数。还记得求这个极值的时候，第一步是干啥吗？第一步永远都是求倒，哎，求倒永远都是求倒，求倒的话，你才能找到倒数等于零的点，对不对？来求倒吧。这个时候是要左倒，右不倒加右倒左不倒来，左边求倒，那右边不动，那就是 x 加一括起来的平方开三次密， 然后再加上右倒，左不倒来右边求倒，左边不动，那就是 x 减四，右边求倒。同学们，这个部分我给他化解一下，其实就是 x 加一的三分之二次密，他求倒的话就是三分之二乘上 x 加一的负三分之一。来。这个式子的话，我们不太喜欢， 我们不太喜欢肩膀头有符号的，我们怎么办呢？把它放在分母上，就变成这个样子了，就是 x 加一的三分之一。好，那这个时候有分母的话，我们一定要给他通分， 我们一定要给它通分来，通完分之后的结果就等于。同学们，你看这有分母，这要是也有个分母，并且你这个分母写成 x 加一的三分之一次密，你说分母乘上了它，是不是分子也要乘上它？来吧。 x 加一的三分之一次密。同学们，你这个分母乘上它了，分子也乘上它，那分子就变成了 x 加一了， 因为你原先这个式子是不是三分之二次密？分母原先是一，你无缘无故成了一个三分之一次密，那你分子也要乘上一个三分之一次密，原先这个部分是三分之二，然后你再乘上一个 x 的 三， x 加一的三分之一次密，三分之二加三分之一，那这个地方就是一次密了，对吧？ 好，这个地方处理完了之后，原先的这个式子等是右侧，就是加号右侧这个式子我们给拿下来，再加上三分之二， x 减四。好，接下来的话，我们需要在分子分母同时乘上三，来，这个地方乘上三，这个地方乘上三，就变成了二。好，这个地方也乘上三，结果就等于三倍的 x 加一三分之一次幂。好，来看啊，剩下这三乘一九等于三，这是二乘负四九等于负八，结果就是减五了吧。 好，我们呢要找第一步，找点，找点，一共两种点，第一种点叫做导数等于零的点，第二种点叫导数不存在的点。那这道题就很好的能够找到这两种点。我们先来找导数等于零的点，正所谓就是注点来令他等于零，我们是不是就能得到 x 一， 对吧？好，那你看有没有导数不存在的点，好多同学把这个点给丢了，不应该导数不存在的点，你看是不是就分母，是不是就是分母等于零的点来分母等于零的点，是谁说 x 就 等于负一了，哎，还有一个是 x 等于负一，同学们啊，好多同学只是求了这个 x 等于一， 不应该这个点丢了，那就太可惜了。好吧，啊，这两个点，他其实是这个，这个，这个代选点。好，那这个时候同学们，你看题目里边不单单让我们求及时，还要让我们求区间。好多人说，老师，我要求二解答，你求二解答能解决区间的问题吗？解决不了，但是的话，同学们，这两个点就能给你解决区间的问题。 原先的取值范围是从负无穷到正无穷是他的定律。好，现在你求出来一个负一，一个正一，负一和正一分别是你导数不存在的点和导数等于零的点，那这个时候这两个点就把整个的区间划分成了三段 来，一段、两段，三段，我们只需要判断每一段的区间是大于零还是小于零即可。来吧，在 负无穷到负一内， f 一 接到 x， 你 来看看他大零小于零，我们只需要看他就就可以了吧？来，你看要是取很小的数，比负一还小的话，是不是这个里面就是小于零？ 那你看这，这是不是也是小于零？好，分母小于零，分子也小于零，所以说它就是大于零，也就说它是单调递增区间的吧。好，有时候这个部分它是单调递增。再来看，在负一到正一内， f 一 接到 x， 那 你看吧，在负一到正一内的话，那这个时候这个分母是大于零，分子呢？分子是小于零， 所以说的话分母是大于零，分子是小于零，所以说它就是小于零，它是单调递减。好，接着还有一个区间，就是在这个区间在一到正无穷内， 那这个时候一阶导就是他取很大的数，他比这个正一还要大，那这个时候分母是大于零，分子也是大于零，所以说他就是大于零。单调递增。来吧，开始的时候你们看是单调增的，然后又降下来了，然后又增上去了。同学们，你这个时候是不是，是不是就能找到 负一的这个点就是极大值，他是先增上去的，然后又降下来了，然后又增上去了，是不是这种感觉？所以说 f 负一为极大值，然后我们再再算一下 f 一 结果等于几？ 我们只需要把负一代入，对不对？来，负一代入到这里边，结果就等于零了。好，再来看，那 f 一 是不是就为极小值 来的？几小只等于几呢？算一下， f 一 把一带入，那这个时候他是等于负三，这个里面呢？一加一等于二，二的平方等于四开三次，那就是四的 开三次。好了，这个呢，就是第一题，我们用到的方法是第一个方法，同学们并不是说所有的题目你求二阶导都简单，这道题你要是求二阶导，我觉得比较复杂，因为这里面有分数，不建议你求二阶导。 好，这第一个方法啊，第一个方法，这第一个方法，我们再来看一下第二个方法。第二个方法的第一步还是一样的，就是先找注点和导数不存在的点，好来第二个判断。第二个判断跟刚才的有那么一点点不一样， 就是我们把上述的这些点找到了之后，求他的二阶导数。二阶导数不等于零的点就是极值点。同学们这个时候下的一个结论是肯定的结论，二阶导只要不等于零，他就是极值点。好，那如果说二阶导要是等于零的话，怎么办呢？ 二阶导等于零，无法判断他不是极值，我们也没有办法判断他是极值。我说清楚了吧，好多同学说，老师那二阶导等于零，他就是不就能判断他，他这个是极值了，他他这个不是极值了，没有办法判断。如果你真的遇见了二阶导等于零了，你咋整呢？转为方法一， 转为方法一。好吧，好，那关于他是极大还是极小的话，二阶导小于零就是极大值，大于零就是极小值。反着记，来，我们看一道题啊，看一个题，我把这个题擦掉了，看一下第二题。第二题，同学们，他让咱们求的是极值，我们该怎么做呢？跟刚才的套路非常非常像。 来，我们先求一阶导 f 一 阶导，等于左边求导，右边不动。来，左导右不导，左边求导等于二，右边不动，再加上右导左不导。二 x 减三，乘上一的 x 次幂，再减去来这个求导等于二 x， 他的求导结果就等于一。然后同学们，我们该整理还是要整理的，看这里啊， 看这，有没有发现这里面有两个 e 的 x 密？来，我们提出来一个，所以说结果就是二，再加上二 x 减三，那就是二 x 减一。好，你看这，这是不是也有一个二 x 减一？有个同学老师，我没发现呢，这不是二 x 加一吗？同学们，我在这里面加上一个括号， 它里面的符号是不是就变成了减了？好，那我这个时候我这么写，减去二 x 减一，你看看是不是就变成了 e 的 x 密减一了？ 来，同学们，我令他等于零，你看看会发生什么？我这个数就能得到，就能得到 x 是 等于二分之一，和谁啊？ 和零吧，你这个部分等于零，或者是这个部分等于零，你这个部分等于零，能得到 x 的 二分之一，你这个部分等于零，你能得到 x 等于零。所以说我们的代选点就出来了，这是两个注点。然后有的同学老师，那没有这个不可导点怎么样呢？没有不可导点，我们就不用求了。接着我们再来求二阶导， 来 f 二阶导，二阶导也是一样的，左导右不导，左边求导等于二， e 的 x 次密减一，再加上右导左不倒来。右边求导，结果就等于 e 的 x 次密，前面是二 x 减一， 乘上 e 的 x 次密。来。这个时候的话，呃，你要是想整理的话也可以啊，我们这么整理啊，把这个式子给它打开，就是二倍的 e x， 然后这里是不是还有一个减二，好，然后这个部分我们给它拿下来， 哎，拿到这，好，那接着就等于就等于来 e 的 x 乘以拿过来，然后这里面剩一个二乘，一个二 x 减一呢，就是二 x 加一，好，然后再减去二。同学们，接下来我们怎么办呢？就要求一阶导等于零的点代入到二阶导里边。 我再重新说一遍啊，一阶导等于零的点，找到了这两个点，把这两个点代入到二阶导里边。 f， 两阶导二分之一，来，求一下它等于什么？二分之一代入到这里面，这里面等于几？是不等于正一二 x 等于正一，正一加一等于二，二倍的 e 的 二分之一，好，再减去二。同学们，他结果等于他结果等于几？我们不关心，我们关心的是他到底是不是零，或者他到底是大于零还是小于零。来，你看这个是不是叫做根号 e， 二倍的根号 e 和二，他俩谁大谁小？如果你看不出来的话，没关系，你给他取个平方，哎，你给他取个平方， 比如说，你看啊，二倍的根号 e 取平方是不等于四 e， 它取平方是不等于四来， e 的 话等于二点七一，当当当当，它是一个无限不循环小数，那它肯定要大于它，所以说这个东西肯定要大于它，好，那这样的话我们就能得到它是大于零的，既然是大于零，我们就能得到，叫做它是极小值， f 二分之一为极小值。好，那这个时候我们来算一下 f 二分之一，结果等于什么呢？把二分之一直接带进去就可以了，结果就等于负二，乘上 e 的 二分之一，再加上四分之一。好，再来算一下 f 两阶导，你看二分之一算完了，我们再把零带进去， 零带进去就够简单了。把零带进去，看，这，这地方等于零了吧？这地方等于负一，负一小于零，所以 f 零为极大值， 即大尺。那 f 零等于什么呢？ f 零，我们只需要把零直接代入即可，这个地方的零，这个地方的零，这个地方等于一，然后这地方等于零，它结果就等于 负三了。凹凸性和单调性这两个知识点非常非常像，我们需要知道一个概念和注意两个事情。概念就是如果说 f x 可导，那两节导大于零代表就是凹，两节导小于零代表就是凸啊，就是你求出来那个区间啊，求出来那个区间就是凹区间，小于零的区间就是凸区间。好，我们需要注意一个事，一个事， 定域跟单调性跟这个单调区间是一样的啊，也需要注意这个定域。第二个常用的不等式，跟刚才是一模一样的。也是这些。来，我们拿一个题来求一下啊，比如说这道题让咱们求凸区间，所以说就要求两阶导小于零，对不对？好，我们千万别忘了，这道题有一个定域，它的定域就是 x 大 于零， 这是他的定域，千万不要多求。来吧， y 一 阶导等于的是 x 分 之二，加上二 x y 两阶导就等于负的 x 的 平方分之二，再加上二。同学们，我们要求的是什么呢？是不要求的是小于零。来吧，我们令它小于零，你看看，令它小于零就是负 x 的 平方分之二小于负二 等式两侧我们同时乘上负一， x 的 平方分之二大于二，然后再同时除以二，这就变成了一好等式的两侧同时乘上 x 的 平方。或者你可以直接去求了 x 的 平方分之一要是大于一的话，那 x 的 平方一定说是小于一的，对吧？ 好嘞，要是小于一的话，来我们求，那是不是 x 就 处在负一到一之间的？好多同学在写的时候，直接把这个区间就放在这了，太大一了，题里面输入出它已经大于零了。 所以说，我们是不是要把这个负一到一这个区间内从零这块砍掉，这半部分就不要了，所以说就应该是从零到一这半分这半部分的区间吧。哎，这是一个坑啊，考试的时候极其容易考 好。这是这道题，我们再来看下一道题。下一道题说的是 f x 等于这样的一个式子，它在零到正无穷上是单调递增还是单调递减？然后它是凹的还是凸的？那我们就要求一阶导和二阶导来吧。 f x 一 阶导 等于的就是，你看左倒右不倒加右倒左不倒。你要是能口算的话，这道题直接就是 x 乘 e 的 x 密，两结导就是 x 加一乘上 e 的 x 密。如果你要不会口算，我们就老老实实算啊。左边求导等于一右边不动，再加上右边求导左边不动，哎，右边求导就是 e 的 x 密， 左边不动。好，整理一下，就是 e 的 x 密，乘上 x f 两结导 x 就 等于同学们左倒右不倒加右倒左不倒，左边求导等于一右边不动加上右边求导，求导左边不动， 整理一下就变成 e 的 x 乘以 x 加 e。 题里面梗了，我们一个区间零到中无球，其实这个部分他永远都是大于零的，那他说的是什么呢？这个零到中无球是 x 的 曲值范围，这个部分大于 零，所以他就一定大于零。好，再来看这，这个 x 一定大于零， x 加 e 也一定大于零，这个部分大于零，这个部分也大于零，所以他就是单大于零的好，一阶导大于零，单调递增。二阶导大于零，叫做凹吧。好，那就单调递增且凹，所以选 a。 我们把这个知识点稍作整理一下，整理完了之后，我们进入到下一个知识点，这个知识点讲的是拐点，拐点和极值点，他俩很像，非常非常像啊。我们来看啊，拐点的话，我们需要注意第一个事，拐点他是一个点，我们必须要用坐标的形式表示，极值点他是一个数，这个千万不要搞混。好，第一个方法， 二阶导数编号法啊，无论是二阶导数编号法，还是三阶导数非零法，我们第一步永远都是筛点，筛什么点呢？二阶导等于零的点，并且二阶导不存在的点。这里边拐点跟一阶导一点关系都没有啊，千万不要把一阶导也搞进来，跟一阶导没有关系，但是一阶导你要求 啊，求完了，只是求一个函数，不需要求一阶导等于啥？好吧，然后我们来看第一方法判断，这是求一个函数，不需要求一阶导等于啥，好吧？然后我们来看第一方法判断是不存在的，点也拿出来， 然后你来判断这些点的左右两侧的二阶导数是否为一号，如果是一号就是拐点，否则就不是拐点 啊。比如说我们来看这个题啊，看这个题，这个题就比较简单了，来，我们求一下， y 阶导等于左边求导，右边不动，加上右边求导左边不动，来，左边求导等于二， x 乘上 右边不动，好，然后再加上右边求导， x 分 之二，再乘上 x 的 平方。来，我们处理一下，就等于二， x 乘上二倍的浪， x 减五，再加上 二 x。 好， 那两阶导呢？两阶导也是一样的，左导右不倒加右导左不倒来，左边求导等于二，二倍的绕五 绕 x 减五，然后再加上右边求导，右边求导等于 x 分 之二，和它一求就是加四，好，然后的话后边就是加二了，对吧？哎，整理一下，四加二等于六，我们把它拿过来就是加六了，来吧，那这个时候呢？我们令他等于零，好，令他等于零，我们来求一下 x 得几， 你说如果他要是等于零的话，那是不是这个部分我们应该等于负三？哦，这个部分要是等于负三，你说这个部分是不是就应该等于二？这个部分等于二，是不是浪 x 就 应该等于一？浪 x 等于一的话， x 其实就是等于 e 的 了吧？ 好， x 等于 e， 我 们这时候要判断一下 x 等于 e 到底是不是拐点的横坐标。怎么办呢？我，我们要判断一下在 e 的 左侧二且导数是什么符号？比如说比 e 小 那么一内内， 其实你们不用判断了，为什么呢？你看这二阶导，是不是这里面只有一个变量的函数，就是这个浪 x， 浪 x 我 们知道它是单调增函数的， 换句话说，你取 e 的 左半部分，就是比这个，取这个 e 的 左半部分，那浪 e 就是 比浪比这个 e 小 那么一点点。你要取 e 的 右半部分，那浪 e 就是 比浪 x， 就是 比 e 大 那么一点点，所以它一定是不一样的符号 好，如果他要是不一样的符号，那我们就能知道了，所以他就一定是拐点的红坐标。来啊，那我们这时候再算一下，那这个红坐标已经出来了，那重度标等于什么呢？我们把 e 直接带入即可，那就是 e 的 平方乘上二倍的乱， e 减五来二倍的乱， e 就 等于二二减五等于负三，那结果就是负三 e 的 平方。所以说选择四 d， 这是第一个方法，第二个方法，第二个方法，三阶导数非零法来，二阶导数非零的点和二阶导数不存在点，这都是第一步叫做选点。第二步，判断同学们上述的点，三阶导数不等于零的点就是拐点 好，否则转为方法一。什么意思呢？他其实在告诉我们一个事，二阶导数为零，三阶导数要是也等于零的话，我们没有办法判断它到底是不是拐点，我们要借助第一个方法来去判断这种点到底是不是拐点。好了， 好，我们来看一下这个题啊，比如说这个题，这个题的话，我就比较建议你们用这个三阶导了，其实刚才这个题的话，你要是用三阶导也行啊，因为这里面函数比较简单，求完之后只剩一个 x 分 之四了， 哎，对吧？ x 分 之四，你把 e 直接代入一分之四，也是不等于零的，他不等零的话，那就是拐点啊，然后这个题也是一样的，来吧，那我们先求一阶导 啊，第二题啊，第二题，一阶导四， x 三的方减去六， x 的 平方来。两阶导十二， x 的 平方减十二， x 来三阶导就等于二十四， x 减十二，我们呢，令二阶导等于零，看看能求出来什么？ 二阶导等于零，能求出来一个是 x 等于零，还有一个是 x 等于一，对吧？好，这个时候我们把零带到这个里边，你看，把零带到这里边的话，二十四乘以零等于零，零乘十二是不等于负，哎，零减十二等于负十二，它就是小于零的。所以说 x 等于零点确实是拐点的横坐标， 把一带进去呢，他仍然是不等零，所以一也是拐点的红坐标，那这个时候拐点就有两个点了。那我们就要求了，当 x 等于零的时候来求一，求 x 等于零的时候， y 等几呢？来，我们把 y x 等于一的 来，我们再把 y x 等于一带进去，那这个时候这个 y 等于几呢？你会发现 y 是 不等于零的。 好，也就说这个是零一，一个是零一，还有一个是 一六。好，这是第二题，第三题。我们在讲第三题之前，我们来看两条。这两条 拐点的必要条件跟极致点的必要条件很像，有一个前提，如果 f x 是 可导的，并且 f x 在 这一点处取拐点，所以说二阶导就一定等于零，换句话说，如果他没有说可导呢？我们就有两种情况了，一种情况不等于零，一种情况不存在。好吧，来我们看一下第三题啊，看一下第三题。 第三题他说零一是这个函数的拐点，同学们给了我们两个信息，第一个信息，我们把零带入到这个里边，一就应该是这个里面的函数值，所以说我们把零带进去，零加上零加上 c， 他的结果就应该等于一，所以就能推出来 c 是 等于一了。 好，接着那他是不是又说了，这个东西是他的拐点，那就是 y 两节导，我们把 x 等于零带进去，他其实就应该等于零，而我们通过这个条件就能得出来。什么呢？ 先求一下 y 一 阶导， y 一 阶导等于啥？三、 x 的 平方加二 b， x 两阶导两阶导就等于六 x 加上二 b， 我 们的令他等于零。其实不用令他等于零，为啥呀？因为他说的是你 x 等于零的时候是拐点呢，我们把零直接带入进去， 我们把 x 等于零，直接带入进去，他结果等于二 b， 二 b 就 应该等于零啊，对不对？哎，因为他说的是拐点呢，所以说二阶导等于零，我们就能推断出 a， 二 b 就是 等于零的，所以说 b 就 等于零了。好，那我们看一下选谁，是不是就选 a 了。以上呢，就是跟拐点有关的一些知识点啊。拐点的话相对来说也比较简单，跟极指点和这个 跟这个极指点呢？知识点非常非常像，我们稍作整理，整理完了之后，我们进入到下一个知识点，切线与法线，这个知识点其实跟我们高中是很像的啊，其实我们讲的这一章跟高中都非常非常像。 切线与法线的话，我们只需要找到两个关键的信息啊，一个就是切点，第二个就是斜率，然后我们还要知道就是关于切线和法线，他们的公式长得是这个样子， y 减 y 等于 k 乘 x 减 x 零，然后这个 y 和 x 零分别是这个切点的纵坐标和切点的横坐标。好，题目会怎么出呢？ 这个斜率的话我们可能要注意一下啊，斜率要注意一下，就是我们可以通过导数的形式，或者是根据题目里面有些信息，比如说平行啊、垂直啊这些信息啊，来去筛选出他的这个斜率到底是等于多少。好，我们来看一个题啊， 比如我们看这道题，他说让我们求这个在二二点处的切线和法线的方程，来吧，那我们只要求一下一阶导，一阶导等于什么呢？这个题我们在求导之前，先把这个函数处理一下， 他等于是三倍的一加 x 分 之 x， 然后这个一加 x 分 之 x 给它变成一减去一加 x 分 之一。好，所以说我们求导的话，就对他求导更简单一些来，这个式子求导其实等于零，所以我们只需要求他的是这个式子，那他求导我们可以口算，结果就一加 x 括起来平方分之三。 好，求完了之后，我们是不是要求的是二二这个点出的切线和法线，所以我们需要代入一下 y e 接到 x 的 二的时候来吧，结果等于什么？结果是不是就等于三分之一了？ 好，三分之一，那这个时候我们就知道了，如果是切线的话，他的切线斜率就是三分之一，如果是法线的话，法线的斜率就是等于负三的。 然后我们来看一下切线等于什么呢？切线就是 y 减二，等于三分之一乘上 x 减二，你看二二的话，分别是它的这个纵坐标和横坐标，然后三分之一是斜率，就放在这，发现呢？发现就是 y 减二，等于把负三带回到这个位置，有负三乘上 x 减二。 好，再然后同学们，我们只需要把这两个式子整理一下就可以了。同学们，我们一定要整理啊，就是你把这个式子写成这个样子不太行啊，不大行，一定要整理一下，你可以整理成引函数形式就是 a， x 加 b， y 加上 c 等于零可以，你也可以整理成 y 等于 k， x 加 b 的 形式也可以。那么它的切线就是 y 等于三分之一， x 加上三分之四， 他的法线就是 y 等于负三， x 加上八。我们再来看一个知识点，同学们，这种题要想出难，其实你们有没有发现，只要把这个函数出的难一些，就是计算量稍微大一些， 这个题就会难啊。但是我们一定要知道这个题找找谁呢？一个是找切点，一个是找斜率，一般情况下切点都会给你，切点要是不给你的话，他就会说这条曲线的切线经过某一点，那我们这个时候就要把切点给设出来，设切点为 x 零百零 啊。好吧，好，我们再来看下一道题啊，下一道题，他这个题啊，他是一个引函数，好多同学说，老师，我这个函数我不知道图像长什么样，我们没让你画图像。我们想要求的是他的切线等于啥？我们只需要记住两点，第一个要找到他的切点，第二个要找到他的斜率。斜率跟谁有关？跟导数有关， 所以说切点有没有，切点有他，这不是说在这一点处吗？斜率有没有斜率，我们只需要找他的导数就可以了吧。来吧，那我们求一下导这个式子，等式两侧同时求导来，他的求导就是 y 一 节导加上二是一个系数，我们拿下来 e 的 求导等于它本身 在乘上这个部分，求导左不倒加右导，左不倒左边求导等于一， y 一 节导好，等式的右侧好的同学，一秃噜，直接写个三三的求导等于零啊。同学们， 接下来我们是不是要找 y 一 阶导等于几，把谁带进去呢？我们想要求的是在零一这一点处的切线方程，所以说我们要把 x 等于零， y 等于一带到这里边，千万不要犯糊涂啊。好，把零和一带入进去，这个里面是不是就是一的零？次密等于一了， 那我们就不需要看他了，来， y 一 阶导加二，再乘上来，这个地方 y 得几， y 得一啊，再加上这个地方 x 的 几， x 等于零啊，所以他就不用看了， 也就说最后的结果就是长这个样子的 y 加上二等于零，来吧， y 一 接倒，结果就等于负二。同学们，斜率有了，切这个切点也有了，他的切线是不是就是 y 等于 y 等于负二， x 加一啊，够简单吧。哎，我们做这种题的时候，一定要知道我们要求的是什么，给了切点，然后我只需要再找这个斜率就可以了。斜率找出来，我们这道题就做出来了。 看下第三题，他说这个函数在 m 零这一点的切线平行于他，同学们有个平行，也就说这条线和他的切线应该是斜率相同，他的斜率等于二，所以他在 m 零处的斜率也应该是等于二的。 来，那我们先求一下 y 一 阶导等于什么呢？ y 一 阶导就等于浪 x 加一了吧，左导右不倒加右导左不倒，左边求导等于一，浪 x 直接拿下来，加上右边求导等于 x 分 之一， x 分 之一乘上 x 就 等于一，对吧，这是 y 一 阶导好。然后呢，他又说了，七线跟这条线平行，所以我们就要令令他 等于二吧，当然了，因为它的斜率等于二吗？所以说我们就都知道 x 是 等 e 的 对不对？ x 等于 e 的 时候，那 e 等于一加一等于二，那这个时候这个 x 的 值其实就是这个起点的横坐标。来吧，当 x 等于 e 的 话， y 等于几呢？ 我们只需要把 e 带入进去， e 乘上浪， e 等于 e， 所以 他就是 e 了，哎，那他的结果就是 e， e， 所以 选四 d 好。 以上呢，就是跟切线与法线相关的一些知识点，如果这种题要是出的难一些的话，他会在函数上入手，比如说给你写一个引函数，比如说他给你写一个参数方程。 那我们在遇见这种题的时候，千万不要自乱阵脚，我们要知道，我们想要找到两条信息，第一条信息回一下，在这呢，必须得是，必须得有切点，没有切点把它设出来。 第二条信息就是斜率，斜率跟人有关呢？你看题目里边有没有平行，有没有垂直好，再有就是要看题目里边能不能找到导数有关的东西，这样的话我们的斜率就能解决了。好吧，以上呢就是切线与发现的知识点，我们整理一下，然后进入到下一个知识点， 我们看下这个题型就是应用题，应用题的话大多数高中是不是就学了，然后大学的话有没有几率会考呢？有几率会考，有百分之五六十的高校在这个最后一道题里面都会考一下这个应用题，然后我们看一下如果真考的话，这个难度长什么样子。 我们先来看一下第一题啊，我们拿到这个题的时候，同学们啊，如果他要是一个几何的跟几何有关的，我们先把图画一下，他说某工地你建造结面为矩形加半圆，千万不要在脑子里想，就是我们画出来一个图，这图里边每一个部分你都给它标注好，那这个题基本上就解决一半了。 他说下面是矩形，上面是啥？上面是一个，是一个半圆。好，他说建一个这样的一个通风口，然后面积呢？这个 s 就 等于二，我们根据这个图就能求出来它的面积是多少，你看下面这个面积是一个矩形，矩形的面积是 x 乘以 y 加上上面这是一个半圆，半圆的面积是二分之一派 r 的 平方，这个 r 是 半径，半径就是二分之 x。 好， 那就是二分之 x 括起来的平方，它最后的结果等于二。那这个时候我们可以通过这个式子把 y 等于什么解出来，对不对？来？那我们写了解， 我们知道这个式子其实是等于二的，那么我们可以通过这个式子来解一下 y 等于几。在这里我就不带你们算了。 y 的 结果等于 x 分 之二，减去八分之 pi 乘上 x。 好， 他问的是结面的周长同学们， l 就 等于什么呢？是不是一个 x， 两个 y 再加上一个半圆的弧 来？那么写 l 等于的是 x 加上二， y 加上二分之一， pi 乘上谁啊？ pi 乘上这个半径 x 吧， 我们继续算，到这个时候， x 直接落下来，再加上二 y， 二 y 其实就是它乘以二，那就是 x 分 之四减去四分之 pi 乘上 x， 后面别忘了再乘再加上一个二分之一 pi x 整理一下，结果就等于 x 分 之四加上四分之 pi， x 再加上一个 x。 那 这个时候问我们的是周长最短。同学们啊，这个时候就涉及到求最值了，求最值一定要求到，那我们来吧，先求一个到结果等于负 x 的 平方分之四， 再加上四分之派，再加上一，我们呢，只需要令它等于零。来，同学们，这个时候我们只需要求出 x 的 底即可。在这里我就不带你们求了，我直接告诉你，它的结果 x 就 等于四比上根号下派加四。好，接下来有一句非常重要的话， 要么你就给我求 l 两阶导，然后你再判断它到底是这个，这个，这个是极大值还是极小值？如果你判断出来它是极大值或者极小值的后面你要写一句，它是唯一极值点，所以为最值点。如果你没有这句话的话，那你这个题少了一个关键的，关键的一个步骤， 我再给你们说一遍啊，比如说我们要想求这个两阶导，求完之后两阶导你要告诉我它到底是大于零还是小于零好，比如说它是这个大于零的了，大于零所以叫做极小值。好，唯一极小值为最小值点，清楚了吧？再或者是也可以这样说，你看它是不就是唯一极值点，所以它就一定是最值点。 注意啊，唯一极小值就是最小值，唯一极值就是唯一最值。如果是唯一极大值，那就是极大，那就是最大值，唯一极等于最，那你这个时候能得到啊， x 等于这个数，他就是我们教求的结果了，或者我们也可以按照书上的去写，咱们教科书上怎么去写呢？求完这个等于零之后，他没有求别的， 他直接就写出来一句话，因为这道题他是一个实际问题，所以 x 等于它是我们要求的东西。 说清楚了吗？那我建议你们怎么写呢？呃，我建议你们回去再看一下你们的教材，你们的教材是怎么样处理的？如果你们的教材处理的方式是直接写了他之后，下面什么都没有写，没有求，求什么二阶导， 也没有求什么乱七糟的，直接把这个最后结果写出来了，那就按照他的那个去写。如果他写完这句话，写求完这个数之后，后面又紧跟上一句话，那你也紧跟上一句话，那句话是是有分的好不好？好，那如果说要是我做的话，我，我会怎么做呢？我会这样 来，我求一下二阶导。 l 两阶导，结果等于的是 x 的 三次方分之八。看，这只需要对它求导即可，它的求导就等于 x 的 三次方分之八，那这个时候我们呢，把这个值带进去， l 两阶导 根号派加四分之四，它结果等于几呢？我们不需要不关心它，它到底是等于几，我们关心的是大零还是小零好，因为它小，因为它大于零，所以 x 等于根号派加四分之四为为一。同学们，他是不是只有一个， 对吧？所以叫作为一极小质，对吧？大于零，它是极小质为一极小质，所以为最小质。 好，那这个时候我们要求的这不就是最短吗？最短不就是最小吗？所以说 x 等于它是我们要求的东西。好吧，呃，我建议你们还是那句话，求完这个之后，你们看一下你们的教科书上 后面是怎么处理的，如果你们不知道你们是怎么处理的，就按照我的这样去写，一定不会扣分。我们看一下罗尔公式定律。罗尔公式定律在百分之七十的高校吧，他不会出成大题的证明题就是，呃，有很多高校他都不会出这个证明题的， 因为证明题一出，他就好多同学基本上百分之七八十、八九十都不会做，那这个题相当于就是废题了啊。然后也有一部分高校会考到证明题，所以说的话，无论是证明题还是选择填空，我在这里都会讲到。但是你们一定要看一眼你们之前的卷子，他们有没有考过证明题，如果有考过，把我下面的证明题好好的看一看，梳理一下思路。 好，我们回忆一下罗尔公式定律。罗尔公式定律说的是三个条件，第一个条件叫做 b 区间连续， 第二个条件叫开区间可导，第三个条件叫做端点值相等， 能得到一个东西就是 f 一 阶导，可 c 等于零，这里面的可 c 属于 a 到 b 区间。我们要强调的是什么呢？如果要出选择题或者填空题的话，它会让你判断 下列哪一个函数到底满足还是不满足罗尔定律。比如说我们看一下第题，第一题它是这样出的 啊，他说下列函数中，在负一到一上满足鲁尔定律条件的都有哪些？首先第一个我们一定要知道他必须要连续，他要不连续的话就不行。这个题的话，如果他再出一个选项，比如说再出一个选项， y 等于 x 的 平方分之一，同学们，好多同学都会选这个，但实际上你不能选他，你看在负一到一上，这东西连续吗？ 他在零这个点给他断开了，他压根就不是在负一到一上连续的，对不对？来我们再来看啊，那 a 到 b 内可导呢？同学们，比如说我们看这个函数，这个函数 x 的 三分之二次密，我们求一个导， y 求导，就等于三分之二乘上 x 的 负三分之一次密吧。 x 的 负三分之一次密，我们要给他写成一个分式，那其实就是 x 的 三分之一次密，分之一。同学们，零点处他是不可导的， 所以这个 a 选项我们选不了。同样的 b 选项，你看在负一到一上他可导吗？零点处是不可导的，所以 b 选项我们也不选。 好吧，我们就是通过这种方式来去筛，哪些函数可以，哪些函数不可以啊。要是 a 到 b 连续的话，他可能会考这种函数 要是不可导的话，它可能会考这种含有绝对值的，或者含有这种 x 三分之二次密的，这些在我们之前的题型里边会给都已经给大家讲到了，什么情况下函数会不可导，对吧？好，第三个条件， f a 等于 f b， 它也会破坏这个条件，比如说你看四 d 选项来四 d 选项，你说当 这个 x 等于正一的时候，他结果等于正一，当 x 等于负一的时候呢，他结果就等于负一了，这个时候他俩的端点值并不相等， f a 和 f b 并不相等，所以 c 选项我们也不选，那这个时候只有 c 选项了 啊。这是第一种题型，判断哪个函数满足罗尔定律。来，我们再来看第二个题型，第二个题型他会让咱们求其中的中值等于多少。 同学们，给你个函数，让我们求满足中值定律的这个中值等于多少，我们怎么办呢？比较简单，其实我们能得到的叫做 f 一 阶导，可 c 等于零嘛。那其实这第一个题型考的是这三个条件，这个题型考的是一个定律。最后的结论， f 一 阶导，那我们先来求一下它的导数， y 的 导数等于左导右不导， 加上右导左不导，它的导数结果等于的是负的。根号下四减 x 的 平方分之 x 啊， 好，这是他右倒来，左不倒，左边的话，我们直接落下来，那就再乘上一个 x， 我 们把这个式子呢给他整理一下图形报计算一定要给他掌握好，计算的话，你最起码得达到我这个计算水平吧，就是你经常算，经常算，慢慢就能算会了算，算的快了哈， 来。再然后我们来处理一下，就等于四减 x 的 平方啊，这个的话，我们通分这个式子，根号下按这个分母乘上一个 x 的 平方，那上面的话也乘上一个根号，乘根号根号就消失了。 好，这个的根号这个里边还有一个 x 的 平方，就就等于根号下四减 x 的 平方，四减二 x 的 平方。同学们，我们想要的是什么呢？一阶导等于零，然后求出来可 c， 所以 我们只需要令它等于零， 要想令它等于零，我们只需要用分子等于零。分子等于零的话，就是四减二， x 的 平方等于零，这个地方拿过来等于零，然后我们就都得到 x 等于正负根号二。我为什么把这个地方写在这呢？你看这个根号二在零到二内吗？只有正根号二在里面，负根号二不在里面，它是要舍点的。 出题老师就会这么出题，你们高校的出题老师基本上都是这种出题套路他，他会想办法让你在比较熟悉的知识点或者比较简单的知识点让你去丢分。好，那这一块我们就要把负根号二去掉，正根号二留下来， 这道题几乎就等于正的根号二。好吧。啊，这是第二题。好，如果要是出选择题或者填空题，就按照这种思路去去做， 把这些题找到，然后好好的做一做。然后你们回去呢，好好看一看你们的这个有没有证明题，如果有证明题，把下面的两道题也听一下。我现在讲下面这两道题，如果你们不知道的话，先暂停一下，看一下之前的，或者问一下同学有没有这个考试范围哈，我们来看一下第三题，第三题他给我们一个， 我先把这给你们整一个东西啊。我们来看下第三题，他说函数连续可导，然后又告诉了 f 二分之一等于零，然后让我们证明这个东西可 c 属于它，使得这个函数成立。同学们，呃，我们再去求这种证明题的时候，第一步一定要筛定里， 这里面呢？它是有导数的发现了吗？所以我们要求的话就一定要用跟导数有关的一些定律。同学们，我们学的这些跟这个这个这个证明有关的这些定律一共是三大类，分别是函数中制定理 和微分中制定理，还有一个是积分中制定理，函数中制定理分别是最值、介值、平均值外加一个零点，你们不用记得太详细，考试考的最多的就是零点定律， 然后也有一部分高校考介职，但是考介职的非常非常少情况啊，如果你们之前考过的话，把知识点找出来做一做啊，你们就记住一个就行，函数中轴这里有一个零点，还有一个呢是介职。 那微分中值定律我们考的比较多的呢，是鲁尔和拉格朗日，拉格朗日考的极少，函数中值定，函数中值定律里边这个介值介值介值定律考的也特别少，积分中值定律只有一个，那就是积分中值定律本身， 所以我们在筛的时候就按照这些套路来就筛。同学们，你们看这个题里面数学求导，所以你第一个想到的就是应该这个就是他，然后的话，拉格朗日考的比较少，所以我们优先不考虑他，并且你想想，拉格朗日中日历里说的是 f 一 阶导，可 c 等于 f， b 减 fa 比上 b 减 a， 你 看这是一个具体的数吧， 它不是等于零，它是等于个数的。而这道题呢，它是等于零的。罗尔定律说的是 f 一 阶导，可 c 等于零，所以我们优先选定律选的就是它好。罗尔定律说的是 f 一 阶导，可 c 等于零。我们必须要把 f 等于什么找出来，也就是说我们要通过这样的一个结论， 要想一想这个函数是谁求导得到的，我说清楚了吧，一定要知道这个才行。那考试的时候比较爱考什么呢？爱考乘法求导的逆用。什么叫乘法求导的逆用呢？我把这个先给你们擦了。 什么叫乘法求导的逆用呢？同学们，你说这个式子 f 一 到，可 c 乘上乘，加上 f， 可 c 乘上 cos， 他其实是什么呢？他其实就是把 x 等于可 c 给它带进去啊，那我们就给他还原一下，还原成 x。 同学们，你们想想，这个式子谁求倒等于他？ 有的同学说，老师我没学过两项的，两项相加的，我肯定要想这一项，这一项是谁求倒等于他，这一项是谁求倒等于他。你们回过头来想一想，是不是乘法的求倒叫做左倒右不倒，加上右倒左不倒，也就说这个式子里面他应该是左倒，这个呢就是右不倒，然后这个呢就是 这个，就是右导，然后左不导，是不是这种感觉？所以说你看这个是 u 一 节导，那 u 就 应该等于 f x， 这个是 v， 那 就是肾 x， 你 可以通过这些猜测能猜出来，它好像是 f x 乘上肾 x 这个整体的导数， 然后你再验证一下来，左边求导等于他右边不动放在下面，然后右边求导等于他左边不动放在这。哎，好像还真是，所以你就找到了他的辅助函数，辅助函数就是他了，清楚了吗？就这么找，你要通过最后的 让咱们证明的结论，反过来去推自己去推断他这个辅助函数到底是谁来。所以说我们写射大 f x 等于 f x 乘了 c 来，第一步要筛选定律，第二步找到辅助函数。第三步，筛点。为什么要筛点？因为这里面有个 f a 等于 f b 吧。 定律里边有个 f a 等于 f b， 所以 我们要筛点，找到 a 点是谁， b 点是谁。有的同学说，老师，他不就是零和二分之一吗？我没有完全说是零，零和二分之一。 同学们，有的题目比较简单，他就直接给你这样写了，但有的题目比较坏，那这个时候你该怎么去筛呢？我告诉你个办法，你就题目里面从左往右看，你看有哪些数字出现，比如说看这，这是不有个零， 这是不是有个二分之一？这些数字都是点的信息。那你就先算一下大 f 零等于几，大 f 二分之一等于几，你再去往后筛，哎，这有个 f 二分之一，后面没有了，所以你只需要筛这两个点即可。来吧， f 零怎么算呢？那就是小 f 零乘上乘零，乘零等于零，所以它结果等于零。 f 二分之一呢，那就是 f 二分之一乘上乘二分之一。有的同学说，老师，我不会算这个呀，你再回过头来看一下题目， f 二分之一等于零，所以它就等于零，也就是说我们能得到什么？ 是不是就是大 f 零等于大 f 二分之一。同学们，写到这你千万要注意，还记得罗尔中庭里说的条件有几个吗？有三个，但是我们现在只写了一个，你觉不觉得有点慌？ 肯定慌，因为罗尔定律给出三个条件，三个条件分别是 b 区沿连续开区沿可导、端点值相等。我们只写了一个端点值相等，那 b 区沿连续和开区可导在哪呢？同学们， 我们必须要把这个条件给补上，要不然我们就缺条件了。来，拿出你们的红笔，红笔的部分是你们经常丢的部分，你但凡写出来一个辅助函数之后，后边一定要跟上开区间连续和 b 圈可导。你看是不是说 f x 在 这个零到二分之一上，连续在零到二分之一上可导， 所以我们就要写，你看他是 b 圈连续 b 圈， b 圈连续开圈可导，对吧？所以我们就要写，不难看出， 有的同学说，老师，我要不要，我要不要写那个啥，我要不要写一下？因为，所以不要写这个真的就是很简单， f x 是 这样的， sin x 也是这样的，它俩相乘也一定是这样的，你就直接写，不难看出就行。不难看出，大 f x 在 零到二分之一上，连续 在零到二分之一内可导。我们一般情况下都说 b 区间上连续开区间内开区间一定说的是里边啊。他这个题他要说上，我们不管他，我们一般都是都是这么说，说的比较严谨哈，这样的话，我们才叫做 非常完整的给它证明出来，这是第一个条件，这是第二个条件，所以我们能推断出来。所以 f 一 阶导可 c 等于零， g， 我 们这个时候不能写 f 一 到可 c 等零就完事了。题目让我们写的并不是它，所以我们要把 f 一 到求一下，然后再把可 c 带进去，实际上就是它了吧。 g f 一 接到可 c 乘上乘，再加上 f， 可 c 乘上 cos 等于零，然后这个可 c 属于的是零到二分之一，好吧，好，这个是第三题，我们再来看一道题目， 再来看一道题目，看下第四题。第四题啊，你们需要把这个题打一个星号，这个题就你们真的出证明的话，这个题慢慢的你们也都会考到 啊。看这个题啊，这个题我们先看一下结论，结论是 f 一 接导可 c 减去 f 可 c。 有 的同学老师这个题的话，这不他的，他是谁的求导很明显就是 f x 的 求导，他是谁？求导他是求导，我不知道啊，你不要拆开算。还记得我之前跟你们说的，你要把他想做他是一个整体来去求导， 我告诉你这怎么想，我直接跟你们说结论，因为时间不够，咱们时间比较比较仓促，比较紧张，我就不给你们推结论了，我告诉你们怎么做。你们在遇见这种 f 一 阶导加 f 的 题目的话，你们的第一步一定要把 f 一 阶导前面变成一， 如果前面不是一，你想办法变成一，好，变成一之后，你找 f 前边这个整体他是谁，然后你对他进行积分， 他是不是只有负一？好，你把负一进行积分，是不就等于负 x， 所以 他的结果就是 e 的 负 x 乘上 f x， 比如说这个地方是负二，那这个就是负二 x， 说清楚了吗？哎，这就这么做啊。 然后你们可以找一下你们之前的考题，如果真的出现了这种类型，不用管为问问为什么直接就这么做？我在写解题过程中，你可能慢慢你就知道为什么了。来，我们设辅助函数，为它大 f x 为它 留着你们的疑问呢，你们来看。呃，我现在就给你们写吧，你看大 f 一 阶导 x 等于什么呢？是不叫做左导右不倒加右导左不倒，我把这个这样写，我这样写 好，左边求导就是 f 一 阶导 x 右边不动，然后再加上右边求导，他的求导就等于的是 e 的 负 x 前面有个符号， 然后是左边不动， f x 拿下来，懂起吗？我们到时候我先把这个整理一下，结果是不就等于 e 的 负 x 拿出来，然后你看括号里边 f 一 阶导拿下来了， 然后剩下的呢？正的 f x 还有一个符号，那就是减去 f x， 你 看他是不是就出现了。还记得我之前跟你们讲不等式的时候讲那个求单调性区间的时候说他是不参与计算的，因为他一直都是大于零， 你说我们求完了，一定是有一个 f 一 阶导等于零，对吧？好，我们令他等于零了，他是不就不管了？是不是直接让他等于零了，明白了吗？他是这么个事啊。好，那接下来我们看啊，这个呢？我把它先放在这， 把它先放在这，我们找辅助函数。辅助函数设出来之后，同学们下一步写啥了？ b 圈连续开锯将可导，对不对？不难看出在零到一上连续 谁呢？大 f x 在 开锯间内 可导好，写完了之后，下一步我们是不是要找点的信息？题目里面有，是不是有个零？好，那我们就写大 f 零，大 f 零等于小 f 零乘上 e 的 零次密，结果就等于 f 零等于零，所以说它结果就直接等于零了。再然后你看这里面，你除了这个东西，这个东西 这里面有个零，这里面有一，那你说大 f 一， 你能求出来得几吗？就说小 f 一 乘上一的一次幂，这个结果你好像算不出来，因为你跟 f 一 有关的信息在这里面没有。你再往后看，除了这以外还有一个这个，这个里面为什么要趋向于二分之一呢？ 他可能就跟二分之一有关了。来，我们来分析一下，因为 limit x 趋向于二分之一， f x 二 x 减一这东西存在，你说他要存在，你把二分之一代入到分母里边，分母是不是趋向于零？ 所以我们再写，又因为 limit x 趋向于二分之一等于零，是不是？所以 limit x 趋向于二分之一，他的这个分子也得等于零啊？ 你把这个二分之一带到分母里面，分母等于零，然后这个东西还存在，如果你的分子要是不等于零，比如说要等于三的话，它是不是一定就等于无穷大，而不是存在了？所以我们通过这种逻辑性能推断，能推断分子这个东西在这种趋向下一定等于零。又因为 f x 为连续的，为连续函数， 所以这个东西它是不是就等于 f 二分之一了？来， f 二分之一等于啥？哎，这这题里面是不是说了，它等于零，它等于零，它是不也就等于零 点的信息就又出来了？所以来吧，大 f 二分之一就等于小 f 二分之一，乘上 e 的 二分之一次密就等于零，对吧？大 f x 等于它，你把这个地方写成二分之一， f 二分之一，在这这个地方写成二分之一，是负的二分之一， 所以它最后解为零。好，我们就能推断出什么呢？所以大 f 零就等于大 f 二分之一，所以大 f 一 阶导可 c 等于零，可 c 属于零到二分之一。 好，同学们，我们要求一下大 f 一 阶导可 c， 刚才是不是已经求出来了？大 f 一 阶导等于它，我把它拿下来记， 就是这个东西，它是大 f 一个导，我们把所有的 x 都给它写成可 c 来，都写成可 c， 可 c， 可 c， 可 c 这个东西就是等于零的吧？大 f 一个导等于它，零，我们直接落下来，你说这个时候的 e 的 多少多少次幂，它不可能等于零，因为它一直都是大于零，所以 f 一 解到可 c 减 f， 可 c 就 等于零了吧，这个时候可 c 是 属于零到二分之一的。没完，你看题目，题目让咱们证明的是可 c 属于零到一，但是我们写的是零到二分之一，那我们怎么办呢？这是零，这是二分之一，这是一。你们看啊， 可 c 是 属于零到二分之一的，一定是在这个位置吧，那你说这个位置可 c 是 不也一定是处在零到一之间的？那我们只需要写上，哎，他就在零到一之间的，所以我们得正 好吧。好，以上呢，就是跟零点定律相关的选择题、填空题、证明题，他的出发，我们呢需要把这些知识点，这些题型好好的总结一下，然后对照着看一下我们之前的考试有出过哪些题，然后我们来练一下，好吧，整理完了之后，我们再进入到下一个知识点， 我们来看一下拉格朗日中值定律，这个定律在我们的期末考试里边会出现两种情况吧，第一种情况就是让我们求他的中值，当然也会像这个罗尔定律一样，就是让你们判断下列选项中哪一个函数是满足拉格朗日中值定律的啊，其实跟刚才那个题型是有着异曲同工之妙的，我就不给你们举例子哈， 然后我们还需要注意一下这个中值怎么去求。还有一种题型就是证明不等式，然后有关中值定例就是 像罗尔中之理那样的证明题在咱们期末考试里边比较少，所以说因为这个概率的问题，所以我在这里面就不给你们讲了啊。然后如果你们之前要是有考过的话，把你们之前考过的题目好好做一做，好吧，好，然后我们继续这个里边我们要知道拉格朗日中之理，他说的是两个条件，第一个条件叫 b 区间上连续， 第二条件叫开区间内可导，可导能推断出来就 f e 接导可 c 等于 f b 减 fa 比上 b 减 a。 来同学们这个里面，他说他在这上面应用拉格朗日公式定力时，满足要求的可 c 等于多少， 那我们就要求 f b 减 f， a 比乘 b 等于什么？在这里面的 a 等于零， b 等于二，那就先求一下 f 二减去 f 零比乘二，结果就等于来吧， f 二等于什么呢？这个地方写二，二的平方再加上四，再减去四等于八，八减一，结果等于七，这个地方就是七，再减去 f 零 f 零的话，这是零，这是零，这就是负一，那就是七减去负一，所以说结果就等于四。好，那 f 一 接倒等于什么呢？ 我们先求一下。 f 一 结导 x 等于二， x 加二，那 f 一 结导，可 c 就 等于二倍的可 c 加二。刚才我们说了这个 f b 减 f， a 比上 b 减 a， 结果等于四，我们就令它等于四， 所以我们就能推断出可 c 是 等一的了，所以这个地方我们写 e 好， 这个呢，是选择题或者填空题，那如果要是大题的话，他会怎么出呢？基本上出不等式的几率比较大啊。我们来看一下第二题，我们做这种题的时候一定要提眼，一定要会找提眼，提眼是什么呢？看这啊， 这个拉格朗日中域里他说的是这个事，条件我就不给你们写了，它这里面呢，有一个 f b 减去 fa， 我 们翻译一下，它叫做相同映射的减法， f 叫做相同的映射，中间有个减号，所以叫做相同映射的减法。这种相同映射的减法，你们不好理解的话，你们回忆一下，我们学的叫做平方差公式，它就叫做相同映射的减法。比如说 b 的 平方减 a 的 平方相同映射的减法，比如说根号 b 减根号 a 相同映射的减法。 比如说 long b 减去 long a 相同应式的减法。哎，比如说 long b 减去 long a 相同应式的减法。就但凡你在题目里边遇见了这种相同应式的减法，好，拉格朗日终归蹲 来，这道题我们写一下。那这个时候我们要怎么去找辅助函数呢？相同映射的减法，那个映射就是我们要找的辅助函数，比如说这个是平方，减去平方，所以说你们要找的那个映射就是平方，那这个时候的辅助函数 f x 就 应该等于 x 的 平方，那这个呢？它的映射就是根号， 那你把根号 x 拿出来，它的映射呢就是 l n， 它的映射呢？就是 l n 方。 什么意思呢？我们只需要把这个 b 都写成 x， 就是 你们要求的那个映射，或者是你们把 a 写成 x， 就是 你们要求的映射，这个映射就是我们要找的辅助函数。来，我们看一下这道题啊，证明， 证明这道题里面出现了 arg 贪婪的 b 减 arg 贪婪的 a， 所以 我们就要设 f x 等于 ark 摊着的 x 来，这个时候我们要写什么了？不难看出， b 曲线连续开，曲线可导 不给你们写了啊，你们一定要写，自己要写好，写完了之后，那你看，那是不是我们就都得到 f， 一 结到可 c 就 等于 f， b 减 fa 比上 b 减 a。 记 求一下， f 掖倒可 c， 可 c 等于 f 掖倒，可 c 等于什么呢？ f x 等于它， f 掖倒就等于一加 x 的 平方分之一，又因为他写的是可 c， 所以 你要把 x 写成可 c， 再然后等于 f b 等于的就是阿克泰勒的 b， f a 就是 ark 贪婪的 a。 好， 后面是 b 减 a， 同学们写完了中级的之后，后边一定要跟上他的可 c 的 取值范围。可 c 的 取值范围是什么呢？这个里面写出来了 a 和 b 的 大小关系，那就是 a 在 左， b 在 右， 可 c 一定是处在 a 到 b 之间的。好，这个后边我们也要给他跟上一个来。同学们，问你们个事啊，你说我们在写这个的时候，他为什么要告诉我们大于零呢？ 哎，他告诉我们大于零实际上就是在干什么吗？这个地方就是大于零的。哎，就这种东西的话，我们写的越清楚， 他就越不会，你就这思维的话就越不会乱。好，写完了之后，同学们，我们是不是要证明不等式？你告诉我这里面有没有不等式？有的朋友说，老师，你这不写的是等式吗？哪有不等式在这呢？ 你告诉我一个事啊，就是可 c 的 话，如果要是大于零，一加可 c 的 平方，就即使他不是大于零一加可 c 的 平方是一定是大于一的。 哎，你这里面有个不等式，可 c 的 不等式，那你就说你这个地方一定会产生一个不等式，所以说我们就能得到一加上可 c 的 平方分之一，它一定是 小于一的。哎，这个东西和他又相等，所以我们就能得到这个东西，你拿下来，他一定是小于一的。好，下一步题目让我们证明是 ark 减 ark， 小 于 b 减 a， 我 们只需要把 b 减 a 一 项，这道题是不就做完了， 明白了吗？你只要找到了题眼，下面做，做的时候会非常非常简单。好，我们把这个题先整理一下，整理完了之后，你们体会一下这道题，再来看下一题啊。我们来讲一下第三题。 来，第三题。同学们，呃，跟你们说一个事，就是这个有关 long 的， 他会在两个地方上会考，你们第一个地方就是 long a 减 long b， long a 减 long b 很 明显相同应说的减法，但是他不会给你写 long a 减 long b， 他 会给你写什么呢？他会给你写 long a 比 b， 他 会在这给你们出点这个小困难啊。这是第一种情况，第二种情况，他直接给你写 long x， 或者是他给你写 long x 加 e， 你 看这里面是不是就是 long x 加 e 加上一个什么东西？那如果要是老师你这不是加法吗？减法在哪呢？ 减去一个浪，一浪一是等于零，他可以不写，但是他一定一旦要给他写出来了，是不就在提示咱们，哎，拉格朗日中日定律相同硬式的减法了， 对不对？明白了吗？他会在这个地方上给你们出题，你们回过头来看一看，你们之前做过的练习题啊？还是老师留过的作业，还是之前考过的试，有没有这两种情况？如果要有的话，好好做一做啊，他可能会考试考给你。 好，这道题，这两种思路都能做，但是呢，我给你们讲第一种思路来。第一种思路怎么讲呢？我们的题眼一定是在这个 long 身上， long 的 话是一加 x 分 之一，来，我整理一下，是不是就变成 long x 分 之 x 加一 对吧。他为什么给你写一加 x 分 类，他不给你写这个呢？他怕给你写成了这个，你就知道他的出题的意图了。他的意图是什么呢？他的意图就是你可以把这个 log 给他写成减法，当你写成了减法之后，这道题就一目了然了。来，我们设证明， 设辅助函数为 l x。 哎，下面的话我们要写，不难看出 b 圈沿连续开圈沿，可导写完了之后，我们就能写了，所以 f 一 阶导，可 c 就 等于， 就等于 f 一 加 x 减去 f 一， 比上一加 x 减一，那这个时候的可 c 处于哪呢？是不是就处在？哎，这是减的是 x 啊，减的是 x， 减的是 x， 这个时候的可 c 处于谁呢？是不就是 x 到一加 x 之间？ 好，写完了之后，同学们，我们把这个题给它还原一下，你告诉我 f 一 到可 c 是 谁？ f 一 也到，很明显 等于 x 分 之一， f 一 到可 c 就 等于可 c 分 之一。继续，这个里边， f 一 加 x 就 等于 long， 一 加 x， f x 就 等于 long x 分 母呢？就非常简单了，它俩一约分是不是直接就等于一了？也就说这个部分其实是等于 可 c 分 之一的。来，同学们，你们继续想，可 c 分 之一可 c， 我 们要证明的是什么？证明这个不等式，你就要看你写的这个解题过程里面有没有不等式，有吧，在这。 哎，那这个不懂事，我们求出来这个里面他是可 c 分 之一，那我们就求一下可 c 分 之一的取值范围是多少？好，既然你可 c 分 之一在这个地方取了倒数了，那你这两个部分也要取倒数，分别是 x 分 之一和一加 x 分 之一。同学们注意啊，当你取了倒数之后，这两个位置也要发生改变。 好，这个时候是这个样子了，为什么反常改变啊？同学们，我举个例子， x 处在二到三之间，那 x 分 之一一定就是三分之一到二分之一啊，因为左边的数肯定是小的分母，大的反而小，是应该放在这的。 好，我们继续啊，看这，那你说这个时候，哎，不等式出来了，那可 c 分 之一，我不太喜欢看它，因为可 c 分 之一等于它呀。来，我把这个给它写在这， 可得分之一去掉，把它拿下来。然后呢，题目让我们证明的并不是让一加 x 比上，并不是让一加 x 减绕绕 x， 而是这个东西。那刚才我们说了，这个式子其实就是它，它其实就是它，所以这个中间的部分我们就可以写成 law 一 加 x 分 之一了吧。所以我们得正做完。同学们，你们有没有发现，就只要我们的思路，只要是对的，找到了题眼，并且你知道了初级老师的意图，你们不知道，没关系，我告诉你，慢慢的这种题的话就会不攻自破，迎刃而解，是吧？ 好，以上呢，就是跟这个中日历有关的这个罗，这个拉格朗日中日历有关的这些题目他会怎么考呢？就会这么考啊，稍作整理，整理完了之后我们进入到最后一个题型，不等式的证明是我们这一张的最后一个题型。 呃，我们再去证不等式的时候两种方法，第一种方法就是拉格朗日中日历来去证，第二种方法用单调性来去证。好，那怎么样去用单调性来去证明呢？我们来写写写两个题啊。呃，对，给你们，你们在做，在听这个视频之前一定要看一下你们之前的卷子，如果你们之前的卷子长的是这个样子， 哎，那你们就只听第一个题，我建议你们先做一做，因为有的时候他这个函数虽然写的是就写的比较简单，但实际上他求的不是一阶导，他求的是两阶导，如果你们的题目里面要求两阶导，就是要求一阶导数的单调性解析过程里边，那我建议你第二题也做一下。 好，如果说你们的单调性就是证明这不等式，用单调性证明比较简单，你们只需要看第一题就就可以了，比较难，计算量比较大。那就看第二题啊，就第二题也看，第一题也看。好吧，先看一下你们的考试范围和考试难度，再来去看，再来去。这个决定到底要看第一题还是第一题和第二题啊？好吧，啊，我们来讲一下第一题啊。 第一题我们要证明用单调性来证明不等式，首先要列一个辅助函数，辅助函数一定要是要把不等式的右侧一到右侧就行。 行啊，可以来设 f x 等于 x 加 log， 再减去四倍的根号加上三。求完了之后，我们就要求导了，因为要用单调性来去证明不等式嘛，那就要求导来求导啊，它求导就等于一加上 x 分 之一，减去四是一个系数，根号求导等于二倍，根号分之一。 好，求完了之后，我们整理一下四和二，一除，结果就等于二了。好的，接下来我们需要的就是通分了 来，结果就等于 x 分 之。这个地方是 x 吧， x 分 之 x， 然后这个一我们落下，这个地方呢？哎，你这个地方分母乘上根号二，分子也乘上根号二，那就是减去二倍的根号 x。 好， 同学们，你们想一个事情，这个到底大于零还是小于零？有的同学说，老师，我不会啊，没关系，咱们一点一点算，你看这个 x 是 大于一的吧， 他要想求单调性，他一定前面会有一个取的范围，别着急，他一定有一个取的范围，分母是大于零，我们只需要判断分子，分子他是大于一的，这个地方还是一，所以你这个地方是不一定是大于二的。哎。然后这个地方他又开了一个根号，你开了根号是不就一定没有之前的 x 大 了？ 换句话说，你这个 x 加一一定是要比二倍的根号 x 大 的。如果你还没看出来，我再教给你个办法，你把这两项，你给他平个方， x 加，你给他平方二倍的根号 x， 你 也给他平方，你看他结果是不是 x 的 平方加二， x 加一，他的平方是不等于四 x， 你 让他俩相减， 你看相减之后等于啥？是不是就等于 x 的 平方减二， x 加一，这东西是什么呀？这东西不是 x 减一括起来的平方吗？一定大于等于零的平方，一定大于等于零。所以说你平方了之后大于等于零，你没有平方，他照样也是大于等于零的，明白了吗？好，大于零，所以我们就能得到一个东西。得到什么东西呢？ f x 一定是单调递增。好多同学都这么写，来，把红笔拿出来，你们用单调性证明不等式的时候，一定要注明一个点，这个区间，区间，千万别丢区间，一旦丢了，你后面的思路就断了，一定要写上，在 x 大 于一上，它是单调递增的。好，下面的话你就好写了。单调递增能证明什么呢？ 牛顿老师，单调递增，这就叫单调递增。我又没让你画图，你要用分析的方法来给我解释什么叫单调递增？来，我给你解释一下。单调递增是什么意思呢？就是当你给我一个不等式，然后我在外边 再给你套上一个，你说单调递增的那个映射他的不等号方向不发生改变。你看这 f 是 单调递增的吧？你给我的区间就你给我的不等式是 x 大 于一。好，我在外面套上一个 f 不 等号方向不发生改变，这叫做单调递增。 好吧，所以我就能写了他单调递增了。单调递增，所以在 x 大 于一上， f x 就 大于 f， 一 来， f 一 得几。你算一下，把一带进去，这是一，这是零，这是四，这是三，所以它一定是等于零的。换句话说，我们就能得到 f x 大 于零。来，你们看看 f x 要是大于零，我们就能得到什么呢？ f x 等于它， x 加 long， x 减去四倍，根号加三是大于零的 g， 也就说我们能得到得到什么？这东西大于零，你把 x 加上 long 放在不等式的一侧，剩下的放在不等式的另外一侧。这题就做完了， 贼简单，对不对？这题就这么做。常规思路四步，第一步，先找辅助函数。第二步，求导 啊。第二步，求导。第三步，判断他大与小零。第四步，大与小零之后，你就一定知道单调性了吧，通过单调性来写出不等式，从而得到最后的结论。所有的题都是这么写，只不过函数不一样而已。你把它当做一道母题，然后去套里面的解题过程。好，这是这个题啊。

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一个视频带你速通定积分的计算，不管你是期末临时抱佛脚，还是考研复习，这一条视频都能帮你一次性把它搞定。我们定积分的计算其实有很多很多的方法，那对我们来说最为常用也是最为重要的，就是我们的牛顿莱布尼斯公式，也就是微积分基本定律， 也就是说，如果说我们对于 f x 的 在 a 到 b 段的定积分，如果说我们能够直接找到 f 的 原函数的话，那么我们就直接可以利用牛来公式来进行计算，也就是直接就等于这个原函数在 b 数的值减去在 a 数的值，那我们来看一个例子， 那这个例子呢，如果说想找它的原函数方法呢，对我们来说非常熟悉啊，就是很基本的分布积分，那我们来看分布积分在定积分里怎么进行操作，那我们很容易就能够看出来啊，这个 e 的 x 方跟 d x 凑一分之后，我们做分布积分，那就是先拿出一个 x e 的 x 方出来，然后 分布积分，结果之后是这样，那在分布积分里呢，我们就要多写一步啊，比如这里面啊，这个元函数，我们要把这个零一的值算出来，然后还要把后面这个积分啊，也要写成零积分的样子。当然呢，如果说你说你直接算出了元函数是什么啊，那我们最终直接就能够给出 写成元函数啊，在一处的值减去在零处的值，然后计算，那就是在一处的值就是零，在零处的值就是负一， 最后结果就是一。我们再来看换元积分法，那我们前面呢，在不定积分的换元里讲过，定积分的换元跟不定积分的换元区别在于呢，我们定积分在换元的时候一定要注意，在换元的同时要注意 积分上下线也要跟着变，这就是我们所谓的口诀叫换元必换线。好，我们来看这道例题，这道例题呢啊，很容易在我们讲换元的时候讲过啊，这是很典型的根式换元，也就是我们令 t 等于根号 x， 那 这个时候换元必换线，我们来看 积分线怎么变化，那 x 是 从零到四积分，那根号 x 很 容易看出来它是从零到二的积分，这个时候还原之后就是一加 t 分 之二， t 比 t 这个去找它的原函数比较容易，这是一个假分式，那假分式我们已经看出来，它可以拆成一个 常数加真分式啊。最后我们分别对它进行积分，找到原函数就是二， t 减二倍，绕眼一加 t 绝对值， 然后微积分基本定律分别代入二啊，代入零，然后他们相减，最后结果得到四减二为零三。那当然我们有牛来公式这么一个非常核心的微积分基本定律， 理论上来说，我们对于任何的定积分，只要我们能够找到这个函数的一个原函数，我们都可以用牛来公式去求，但是呢，我们 将会碰到很多很多比较复杂一点的函数啊，这种函数你要是找它原函数也能找，但是要费很大的力气，这个时候呢，我们就要讲究一一些技巧了。首先我们可以利用定积分的几何意义，那对于一些比我们比较容易画出图像的函数，我们就可以利用这一点去给它进行积分。 我们知道定积分的几何含义是函数图像跟 x 轴在我们积分区间这一段围成的，叫做带符号的面积。什么叫带符号的面积？就是如果这一段图像在 x 轴上方，那这个面积就是正啊。如果说这段图像在 x 轴下方呢，我们就取这个面积加一个符号， 这就叫带符号面积的含义。那我们接下来来看这三道例题。首先第一道例题，我们非常容易找到原函数啊，当然可以用原函数方法去做，就是 a x 减二分之 x 方，然后你利用的公式去算就完事了。那还有一点我们注意到啊， 这函数作为一次函数，那我们图像很容易画出来，它就长这样，然后呢，它的 y 截距是 a， x 截距也是 a， 然后那正好零到 a 这一段，它的几何含义就是这个小三角形面积， 所以我们就很容易算出来这个小三角形面积是什么呢？那就是二分之 a 方，立刻就求出来了。第二个呢，其实这个找圆函数我们也练过啊，我们用三角换圆也能做，只不过呢，当时做的时候确实比较麻烦 啊，让函数写了半天，最后你还得把它换回来，那很麻烦。那利用定积分的几何含义，其实我们就很简单了，为什么？比如我们看这里面，如果另外等于根号下 a 方减 x 方的话，那我们很容易找到关系， x 方加外方等于 a 方，说明呢，这个函数图像它是一个什么呢？ 他是以零圆点为圆心，以 a 为半径的这么一个上半圆，因为我们说 y 是 要大于等于零的，然后那他这个零到 a 段的积分就是什么呢？那是不是就是这么一个四分之一圆的面积 啊？那我们就很容易算出来这个面，这个结果就是四分之派 a 方。第三个，这个对我们来说，想要找到他的换元，找元数不太容易，但是呢我们注意到，如果我们另外等于这个根号的话， 我们反写一下它的关系，我们最后呢整理一下，会得到它是 x 减 a 的 平方加 y 的 平方等于 a 方，说明这个函数图像是什么呢？说明这个函数图像是以 a 零为圆心，以 a 为半径的这么一个上半圆，然后我们看它考虑的啊，是零到 a 的 积分， 那零到 a 的 积分是不是还是这么一个四分之一的面积，最后结果当然就是四分之派方。那如果说这个题啊，如果我们考虑零到二 a 的 面积呢？ 零到二的积分啊，那就是这么一个整个半圆的面积，那它就变成了二分之 pi。 下面一个技巧比较重要，我们来看，如果说被积函数是积函数，或者它是偶函数，并且注意下面的条件， 积分区间要关于原点对称，如果满足这两个条件的话，我们就可以利用奇偶性来计算。我们考虑负 a 到 a 一 段 f x 的 积分，那我们首先考虑 f x 是 奇函数的情况，那如果说 f x 是 奇函数的话，根据我们定积分的几何含义， 那这个函数图像它是关于原点对称的，那比如说我们去考虑负 a 到 a 的 这一段， 那我们从图像上可以看到，因为这个图像关于圆点对称，所以说呢，这一小这两块他们的面积相等，但是呢，我们说几何含义是带符号的面积，所以说呢，那这一段上，他这零到 a 这一段图像在 l 上方，所以是正的负 a 到零这一段图像在下方，所以它是负的， 那一正一负正好就被抵消掉了。所以说我们说对于奇函数的情况，在对称区间上的积分，最后值变成了零，那我们再看 f x 是 偶函数的情况，那偶函数的情况的话，我们从图像上来看，图像呢，关于外轴是对称的，那 负 a 到零一段和零到 a 一 段，它们的面积都是相等的，并且呢，我们看到它们都在 x o 的 上方，所以说呢，最后呢，我们如果是偶函数的情况，我们可以通过 这么一个运算，把它啊把这个积分之间给缩小，使我们这样会使我们的计算变得减变很多。我们接下来看一道例题， 那这道例题里面呢，我们根据定积分的性质，我们当然可以把这两个看成两个函数，分别进行积分来计算，它的难点在于我们后一个积分， 如果说你用传统的牛来公式想找元函数呢，不太好找，你要三角还原，三角还原完了，你还得一通算。但是呢，我们首先注意到这个积分区间，它关于零对称，其次这个函数它是一个奇函数， 所以我们根本不用管他的记分，那他在负三到三的记分自动就是零，我们不用看了，所以我们只需要算 x 方在负三到三的记分，那 x 方作为偶函数，那他就等于两倍的零到三， x 方的记分，那这个记分对我们来说就很容易，二倍的三分之 x， 三个方 三处啊，再三处就是减零，最后结果十八。接下来我们要给大家补充一个比较重要的常见的二级结论，那现在我们来考虑一个最为普通的 f x 在 对称区间负 a 到尾上的积分，那这里 f x 我 对它没有任何要求，所以它可以是非基非偶的， 那我们可以给他在零处做一个分段，我们分别考虑在负 a 到零处和零到 a 处 f x 的 积分，那负 a 到零处，我给他做一个怎样的换元呢？我给他令 t 等于负 x， 那 这样的话我们来看换元必换线，就是 a 到零 f 负 t 底负 t， 最后啊这个符号挪到前面去，再让这个符号跟上下线起作用，这样的话我们就得到了它变成了零到 a， f 负 t， d t 的 积分。所以呢，我们这么做完变换之后，我们再跟我们再跟这个零到 a 处啊做一个加法，那最后我们就可以得到我们的结论就是它可以变成零到 a f x 加上 f 负 x d x 积分，这是一个我们相对来说比较重要的一个结论。接下来我们要讲的一公式，叫做区间在线公式，区间在线公式是怎么回事呢？这样的我们来考虑一个一般的 f x 的 定积分，那现在我给 x 做一个这样的变换， 我令 t 等于 a 加 b 减 x， 这么一个变换是什么意思呢？它简单来说呢，就是我把 f x 的 图像 以呢我比如说我们来看 a 到 b 这一段图像，我呢以它的中点作为对称轴， 给它来一个左右的翻转，那它的图像大致是成这个样子的，我们说这个这么变换完之后， 它的左右发生了翻，这个 f x 图像左右发生了翻转，但是呢，我们从图像的直观意义上可以看到，它的这个面积肯定还是没变的，因为我们做的是全等变换，那我们从积分换元的角度其实也很好算。 我们说如果我们直接去做换元的话，那换元必换线，它就是 b 到 a， f a 加 b 减 t， d， a 加 b 减 t， 然后啊还是同样的，跟刚才一样，这个这个就是负 dt 符号，挪到前面去，正好让这个上下线再换回来，最后变成了我们区间在线公式的结论就是 a 到 b， f， a 加 b 减 t， d， t 的 积分，那这个区间在线公式有什么用呢？我们来看 我们现在的例题，这样一道例题，我们要计算它的积分，那它的积分我们想要找元函数不太好找，我们当然有技巧啊，比如说我可以给它分解成，比如说啊， 就说它的元函数啊，和它的导函数啊，做一个线圈组合，然后分别去积分。但是这么算呢，挺麻烦的，我们可以用刚才讲的区间在线的技巧，我们区间在线之后，零到二分之派，那 它就是 cosine 二分之派减 x 加 sin 二分之派减 x 分 子 cosine 二分之派减 x， d x， 然后那根据诱导公式，那这些函数都要变名字，那自动变成了二分零到二分之派， cos x 加上 sine x， 这是分母分子，正好变成了 sine x dx。 我 们说这两个积分有什么关系呢？ 那我们刚好看到这两个函数加起来正好等于一，所以我们那就结论就是二倍的 i 等于零到二分之派一， d x 等于二分之派，所以我们直接算出来积分值为四分之派。你看我们合理的利用我们的这么一个结论，就根本不需要再去找他的元函数，然后一共算，根本没有必要了。 所以你看这就变得很简单，区间在线公式对于我们计算有关三角函数的积分的时候非常非常有用，那我们这里就有一个二级结论给到大家，如果说啊，我们说这个函数只跟三角函数有关系的话，比如说我们看 f cos， 我 们考虑它在零到二分之派的积分的话，那根据区间在线公式， 我们可以把它写成零到二分之派 f cos 二分之派减 x 的 积分，那 cos 二分之派 x 刚好诱导公式它就是 cos， 所以呢，那我们的结论就是它等于零到二分之派 f 三 x d x 的 积分。接下来我们看分段函数的积分，那对于分段函数的积分呢？我们其实在学习定积分的时候 讲过定积分的性质，其中有一条重要的性质就是我们看如果是 a 到 b 的 积分的话，我们可以把它分解成 a 到 c 和 c 到 b 两段积分加起来的格。 所以对于分段函数，我们可以把函数在分段点处断开，然后我们分别对分段点左右的两段分别进行积分，然后我们去计算。比如我们看这道题啊，这道题很明显 他在零处做的分段，然后我们要看他在负一到一处的积分，很明显我们要把它分解成负一到零处的积分和零到一处积分加起来，比如我们负一到零的积分就是 x e 的 x 方 d x， 然后零到一的积分 就是一加 x 方 d x。 那 这两段我们找圆函数啊，都比较容易。第一个很明显 x 跟 d x 凑为分之后，然后我们分别记分啊，那我们找到圆函数，那最后二分之一的 x 方 负一到零，加上一加 f， 二分之一，积分表里有 r， 看成它 x 零到一，然后我们分别计算啊，最后我们计算出的结果就是二分之一减 e， 然后加上四分之 pi。 那 最后我们给大家介绍一个非常著名的公式啊，叫做华律式公式。 这个公式啊，嗯，也有给他系成叫做点火公式的，那来源就是我们著名的考研老师的某个段子，大家可以自己去查一下。那这个公式我们谈到的是我们看塞 n 四方 x 在 零到二分之派的积分，那当然我们刚才提到过，就是根据区间在线公式， 他也是零到二分之派口塞 n 四方 x 的 积分，所以这俩没区别，我们只记一个就可以。那这个公式在这里给大家，那注意这里面。 哎，我们第一次见到这个符号，两个叹号是什么意思呢？这两个叹号啊，叫做双阶乘，那双阶乘就是说从 n， 然后每次往下减两个去乘 n 乘 n， 减二， 乘 n 减四，一直往下乘，一直乘到。比如说如果 n 是 偶数的话，那就乘，最后会乘到二，如果 n 是 基数的话，最后乘到一。这公式本身不太好记，那为什么会细成点括号公式呢？就是因为这位老师教大家 怎么去直接给他算出来，那我们就直接来看，我们比如看三八字方 x 在 零二分之派的记分，如果说你记不住这公式，其实你根本不用记，怎么办呢？我们从分母开始啊，一个一个往上写，就是八、 七，然后再写一个分数啊，再从分母六、五、四、三、二、一。如果我们写完整了，把最后这个分数写完整了，证明我们这个他们就叫点火，成功了，就成了二分之派。 那如果说，比如我们看下面这个例子，从基数开始，我们同样的方式，从分母开始写七、六五四、三、二，最后我们发现如果我们写到这个一的时候，一在分母上证明我往下写，写不完全了，那就叫点火失败，那就是啥也没有，那就是其实就是我们的这么一个结论。 那刚好你看一下啊，这个八是偶数的时候，你看跟我们这个结论是不是一样的啊？那七是基数的时候，跟我们上面的结论是不是他也是一样的？所以我们这个公式啊，华理式公式看着复杂，实际你只要掌握这个写法的技巧啊，对我们来说就非常简单。 那看完整个视频，大家对于定积分的计算是不是更加得心应手了呢？那如果有疑问，欢迎在评论区留言，我们下期见。

高数这几天就要考试了，赶紧看一下侯博士的课程，如果还有一周两周的这些同学，你看下框框老师的课程，这两个老师我觉得整理的非常精简了， 非常救我的大命，所以你赶紧看下这些网课，那当然，高数他公式定律特别多，那你记不住哎，咱们直接上豆包，你这下就在豆包里面输入能否帮我生成同济版高等数学上册所有常考的且重要的公式定律，且每一条后面附带一道例题， 你打开这个深度思考的模式，哎，他咕哧咕哧给你生成了这么多，人家给你生成的这些公式，那真的是最基础的了。这些例题也非常的简单，你把这个 真正能够学会的话，你考个五六十分绝对不是什么问题。当然我们数学一直都是把会做的题做不对，特别容易马虎，哎，那你追加提问，说能否帮我梳理一下考试中的易错点，或者我容易遗漏遗忘的这些点？哎，你帮我整理一下， 这下他就跟你说啊，比如说求积分的时候，你应该加 c 还是怎么样？当然这个加 c 我 真的是血与泪的教训，我总是求积分不加 c， 那 就给你全错了，你不加 c， 你 不管算的是怎样的，他都是错。所以一定要考试的时候注意这些易错点。 咱们高等数学那有的学校基本上都是四分五分的学分特别重要，你这几天赶紧学起来，把上课老师讲的， ppt 上的课堂练习， 还有你平时做作业的这几道课后题，你赶紧做起来。很多人你根本不会用人家豆包 ai， 你 就让他给你去整理这些知识点，包括数学、物理、化学这些，你现在期末复习的效率不就一下提上来了吗？

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接着我们学习定积分的第三课，分布积分法，求定积分。这个分布积分法也是在不定积分那一章学过的，公式长这样，到了定积分这里，我们只需给公式补个上下限就可以了。 好，我们来做道题试试吧。对照一下公式，我们不难发现， cosne 和 e 的 x 方肯定有一个是 u， 另一个是 vpn。 根据这个口诀，我们可以知道三角函数的优先级高于指数函数，所以选择 cosinex 当 u， 那 么一的 x 四方就是微撇。 根据这俩式子，我们可以推出 u 撇等于负， cne 等于一的 x 四方。好，现在这个公式就可以用了， 其中这部分可以算出来等于负一， 这个符号也可以提到前面，那么接下来的任务就是算它了。很明显，这个背积函数也是两种不同类型的函数相乘，所以我们要再次使用分布积分法。 嗯，老师，我怎么感觉不太对，这个倍积函数也是两种不同类型的函数相乘，难道我们还要继续使用分布积分法吗？ 不用了，因为带求积分等于这个式子减积分本身，所以两倍的带求积分就等于这个式子 化简一下，积分就求出来了。

之前去港大上了一节课，才发现专业课学生根本不用手写笔记，期末考试也不需要划重点，因为平时上课，豆包 a 不仅能自动记笔记，期末的时候这些笔记他还可以整理成复习的提纲。我用这个方法后，学习效率提到几十倍。之前我每次都被高数复杂的公式搞到头土。 类公式更是十分痛苦，现在一切都变得轻松了，不光左下角相机功能可以扫描高速教材里的公式，他把复杂的公式整理成便于记忆的总结版，还分类讲解，加入真题，方便练习，真的是我的福音。！ 手写的错题，豆包直接拍照转为电子文档，他还可以按科目分类，针对性复习，期末考试的时候直接拿来翻阅，备考的效率呢？？上课的时候，老师手写的板书也不需要着急抄了，豆包可以拍摄老师的板书，提取文字规档，整理核心知识点，轻松就做好笔记了，还不耽误上课听讲。。豆包功能多，还免费用，大学生必备啊！！

你转本高速现在要考不到一百分，那么这期你算到了，王哥就挑战用一张 a 十纸带你学完第一张转本高速所有的必考点。第一张我们要学习的肯定先是极限，极限只需要学会俩，一个叫公式，一个叫题型。 公式我相信很多同学还没背下来。零分之一等于无穷，无穷分之一等于零，无穷小乘以有界等于零。大家要明白，零其实就是无穷小，有界就是善也无穷，或者是口善也无穷。 最后一个可以当成性质来做，当极限结果为一个常数的时候，分母极限为零，分子极限一定为零，我们能列出来一个表达式，这是非常重要的一个公式。 题型我们专人本一共会考这么多题型，第一个无穷比无穷，我们可以用两种方法来做，第一个叫抓大头，第二叫落必达，所以你的内心就要想抓大头，怎么用？分子只有最高赤密，分母找最高赤密相，然后他俩比较，如果分母 大于分子，那我的答案大家也经常做，是不是就等于零了？如果分子跟我的分母相等的时候，那这道题答案就是系数之比，对吧？各位，这要一定重点注意， 还可以用洛必达法则，洛必达法则的用法就是分子、分母，我们分别要进行求导，这是大家一定要熟背的。经常考百分之百考 零比零类型是我们大题当中一个八分的题，是经常要考的。等价替换和洛必达来解决零比零问题。等价替换当中有八个公式，这个公式 太重要了，各位太重要了。一共什么塞？整体等价于整体，谈近的整体等价于整体。一共有八个啊，各位一定要熟记这八个公式。洛必达法则跟之前是一样的，这是零比零类型 一的无穷赤觅，他总考三分题，也就是所谓的选择题，先写一个，一赤觅未知不变乘上括号整体减一 e u， 什么 v 减 e i 这个形式表达的啊。还有一个就是经常爱考大题的比较难一点的题型，就是零乘无穷给我换成倒数无穷比，无穷给我通分去做，最后都能转化成零比零，或者是无穷比无穷。 各位，这个是题型，你只要把这些题型学会，极限二十多分的题你就全部都能拿到手了。还有一个就是他衍生出来的，能衍生出来一个叫无穷小， 高阶无穷小，低阶无穷小。他考三分题，把他给我熟记了。还有下一个三分题，要么考连续，要么考间断。这些年选择题第二题经常考的是间断点， 百分之五十概率是可去，百分之五十概率是跳跃，明白了吧各位，什么叫可去？别背你那么多复杂的公式了，就给我背。左极限的值等于右极限的值，不等于中间点那个函数值，这个东西叫可去，什么叫跳跃？左极限的值不等于什么右极限的值，这东西叫跳跃。 如果结果等于无穷，叫无穷的点，如果结果是山野无穷，或者是口山野无穷。这道题就真大，非常简单，别给我背什么 lem 什么什么了，那个东西它不太适合你。 除此之外，这一张你还需要掌握的内容就是这几个画图像，你一定所有图像都能画出来吗？比如说 y 等于根号 x， y 等于 x 的 二分之三次密，这图像能画出来吗？ g 函数 y 数你百分之百会吗？我问你， e 的 次密是什么函数？三角函数值你百分之百能写对吗？各位，你知道会？ 我说三元零，你知道等于零，那我问你，三元二分之一，三元多少多少你不一定知道。还有一个零点定律，这些年都考真题了。如果你能把这些东西都学会了，各位，你的专升本高速你一点问题都没有了。

我们期末不挂科之带你三角式速通高速上第四期更新了，这期咱们讲一下微分第七个题型，各种函数求导，比如说复合函数求导引，函数求导，参数方程求导，他们都该用什么方法？首先你必须得把这些基本的求导公式背下来， 这里边前九个，这是高中他就应该背下来的。然后从第十个开始，是咱高速里经常用的。负函数求导是遵循恋式法则，他的核心是从外到内逐层求导，然后再把每层导数相成，就像剥洋葱一样，一层一层剥开他的心。 具体怎么操作呢？如果 y 等于 f u u 等于 g x， 那 么复合函数 y 等于 f g x， 导数就是 y 先对 d u 求导，然后再乘上 d u 对 d s 求导，那么这里边这个 u 是 不是很重要？ 这个 u 是 啥呢？它叫中间变量，就是在一个复合函数里边，你把哪部分的函数当成变量了，那么这个函数就是当 u。 我 可以再直接讲下例题，一个 y 等于 x 弹进的根号 x 求 y 导，那关键就是你把 u 找到，把谁当成 u 呢？是把根号 x 看成 u， 那 d y 对 d x 就 等于 y 对 u 求导，再乘上 u 对 x 求导， y 对 u 求导呢？ x 弹进的 u， 它的求导应该 是一加 u 方分之一吧，然后 u 再对 x 求导，应该乘上二倍根号 x 分 之一，最后你把谁当 u， 你 再把 u 给换回去，那最后结果就是一加 x 乘二倍根号 x 分 之一。 再一个，咱稍微上点难度， y 等于 line 三一点二， x 求 y 导，这是三个函数复合在一块的那一样，就负函数求导， 首先把三这个当成 u 呗，那么 let u 的 导数应该是 u 分 之一吧，然后那在 let u 减二 x 也是不把一点二 x 当成中间变量了，所以说它应该等于 cosine 一 点二 x， 然后再乘上一点二 x 求导吧，那应该再乘个负二，然后把 u 换成 let u 一 点二 x， y 导应该等于负二倍的 let u 一 加二 x 分 之 cosine 一 减二 x， ok， 下一种类型参数方程求导，参数方程是啥呢？就是 x 和 y 都是关于 t 的 函数，然后要求 y 对 s 的 导数，那它也是有公式的， y 对 s 求导，就等于 y 对 t 求导，再除以 x 对 t 求导，然后它还可以求二阶导。二阶导的话，你就先要把 y 对 s 一 阶导求出来。分子就是一阶导对 t 求导分母还是除以 x 对 踢球岛， ok， 咱还是一个例题，讲一下子， x 和 y 分 别都是函数，然后求 y 对 x 二阶导，那咱是不是得先求一阶导，一阶导， dy 对 dy， 所以 y 对 踢球岛，除以 x 对 踢球岛，那 y 对 踢球岛，它就是一减去一加 t 方分之一， x 对 梯形岛，它也是一个负函数吧。一加梯方分之二 t， 它俩一约就是二分之 t 要求这二阶岛，它是不等于一阶岛对梯形岛，再除以 x 对 梯形岛，那等于分子就是二分之一。下面的话还是一加梯方分之二， t 等于四梯分之一加梯方。 第三种类型就是引函数求导，什么是引函数呢？就是变量 x， y 是 通过一个方程大 f， x 都是 y 等于零关联起来的，它是无法直接解出 y 和 x 的 表达式，或者解出来之后它关系式特别复杂。引函数求导方法就是啥呢？ f， x 都是 y 等于零，这个方程两边同时对 x 求导，然后 y 等于 y， x 看作中间变量，就是把 y 看成是一个关于 s 的 函数。 用咱们这个立体来搞一下子，由这个方程所确定的引函数求 y 导，那就方程里边同时对 x 求导呗。然后把 y 看作是关于 x 的 函数，左边求完导就是 y 加上 x 乘 y 导， 右边就是 e， x 加 y 乘一加 y 导，再加上二 x， 然后整理一下变成这样，那么就可以把 y 导解出来，就是 x 减 e， x 加 y， 分 之 e， x 加 y 加二， x 减 y， 这个就是引函数求出的 y 导。

告诉我高中数学哪个公式最难记？记了就忘，哪次又哪次，那必然是合叉画记公式， 那到底该怎么记？挑战一分钟速记合叉画记公式。在这里我们把赞当成是帅，把口当成是哥。一个公式，帅加上帅等于帅哥。 第二个公式，帅减去帅等于哥帅。两个很帅的人相互打架，那么世界上就唯独剩下哥一人不帅好。第三个，哥加上哥等于哥哥。最后一个公式，哥减去哥。世界上如果没有哥了，那么就剩下嫂子一个人负了嫂子，所以说等于负嫂子。 那么再看这个角，第一个永远是二分之 r 加倍塔，这四个都是一样的。第二个呢？都是二分之 r 减倍塔。好，大家记住了。