七年级下册数学北师大版格点怎么画

大家好，今天跟大家分享的是一个无刻度咫尺啊作图的一个题目，也是呢，有很多地区啊，在中考中啊，常常会愿意考的一种啊，格点作图的这样一种题目，呃，我分享这类的题目比较少啊，今天这个题目比较有意思， 如图告诉我们呢， a、 b、 c 三点都是在格点上，要求我们用无刻度的直尺，呃，在线段 a、 b 上找到一点 d 使角 b， d， c 呢，等于四十五度。 这个题的难点啊，就在于啊，我们要找到这一点，那这一点呢，很显然它一定不会是在格点上，如果在格点上，这题就太简单了， 这是一个，那么再有一个呢，就是说四十五度角，我们怎么能做出来，实际上在格点中啊，我们想做出一个四十五度角来是挺容易的， 等腰直角三角形的底角呗，那这个肯定是我们做这类问题啊，一个最普遍的一个想法。那么首先呢，我们要对呢三角形 abc 呢进行一个分析啊，看一看呢，这个三角形 abc 的 形状特点， 我们看啊，如果我们设这个呃小正方形的边长都是一的话，那么这个 bc 啊，它的长度呢，就应该是根号五 a、 c 的 长度呢，哎，大家看呢，正好是它的两倍，二倍的根号五。然后呢，我们这个 ab 的 长度啊，也非常容易能算出来，长度应该是五， 那么大家看，二倍根号五的平方加上根号五的平方，恰好等于五的平方，所以这个三角形啊，它是一个直角，三角形角 c 呢，应该等于直角， 这是呢，我们在这里面呢，分析的时候呢，能得到的一个东西。下边呢，我们就看呢，我们在这里头啊，怎么去做出一个四十五度的角出来， 很显然呢，我们直接在 ab 上找到一点，做出一个四十五度角来呢，是比较难的，但是大家会观察啊，你看 bc 是 根号五， ac 是 二倍的根号五，那么 ac 的 一半，哎，你看这个终点，它是在格点上， 它的长度呢，也应该等于根号五，所以呢，我们在这里头啊，可以取呢 ac 的 终点 m， 然后呢连接这个 b m， 这个时候我们能得到一个四十五度的角，但很显然呢，这个角呢，不是我们所求的，对吧？哎，这个角不是我们所求的啊，那么我们要求的这个角呢，应该在 ab 上， 那我们怎么能够呢把这个角转到 ab 上呢？那么我们就得利用呢这个图形的特征，大家看角 c 是 九十度， 那么我们呢，如果想呢，在这个 ab 上找到这么一点的话，我们想到什么呢？只要 ab 上，我们要找到这点 d 跟 bcm 这三点，这四个点呢，在一个圆上，那这个问题我们就能解决， 对吧？哎，在一个圆上呢，我们就能解决这个问题啊，那怎么能在一个圆上呢？四点共圆啊，这是一个直角，我们只要过 m 点做 a b 的 垂线，这事就解决了， 哎，得到的点呢就应该是，那怎么做 ab 的 垂线呢？大家看 ab 之间的关系啊，横的呢，是差三个，纵的呢，正好是差四个格，那么我们给它反过来，我们过 m 找到呢，横的差四个，纵的差三个的格，它这么一个点， 这一点呢，我们设成是 n， 那 么把 m n 连上它呢与我们的这个 ab 的 交点 d， 那 这个时候呢，我们的 m n 与 ab 就是 垂直的， 这个 d 点呢，应该就是所求的，我们把 c d 连上，这个就对了啊，这个就对了， 这是呢我们给定了这个问题的一种解法啊，今天呢，我们一共会给大家呢来讲三种解法啊，每一种解法呢，它的出发点都是不一样的，我们这种解法呢，实际上呢出发点呢还是呢就是说构建一个四十五度角，然后呢通过四点公园来实现， 当然我现在找这个四十五度角啊，是呢利用了 a c 的 一个中点，下面呢我们来看呢第二种解法啊， 第二种解法呢，我们换一个思路，我们会发现呢，这个里面呢，我们 a c 这条线，它与水平方向的这个夹角 与呢 b， a， c 这个角啊是相等的，为啥是相等的呢？大家注意看啊，我们呢这个 b a c 这个角的正切是二分之一，大家再看 ca 这条线与横向的水平方向这个夹角，你看 二比四也是二分之一，所以这两个角是相等的，那这两个角相等的啊，那么我们呢再看这个地方 c 点和这一点，还有呢这一点构成呢，一个等腰三角形，这块呢也会出现呢一个四十五度的这么一个角， 我们把这一点设为 m， 那 么这个时候呢，大家看我们连接上 cm， 那 么 cm 这条线与水平方向的角就是呢对应的这个四十五度， 然后呢 c a， m 这个角和 c a b 这个角呢还是相等的，那大家想一想，如果我们把 m 点 做关于 a c 的 对称点的话，大家想它的这个对称点是不是一定会落在 a b 这条线上呢？显然呢是一定的啊，因为呢， c a m 和 c a b 这两个角相等， 所以啊，我们只需要找到这个对称点就行了，那对称点怎么做呀？那就是过 m 点呢，做 a c 的 垂线，大家看 a c 这两点呢，横向差四个中相差两，那么我们呢就把它拧过来，那么我们让横向差两个中相差四个，找一个点， 哎，这个 n 点，你看 m a， 这不是二吗？然后往上，这不是四吗？这个时候呢，我们连接 m n， 这个 m n 呢，就应该与 a c 是 垂直的， 那么它与 ab 的 一个焦点 d 和 m 就 应该关于 a c 是 对称的，那么我们再连接 cd 这个角呢，也是呢，我们所求的 这是呢，今天呢给出了大家呢这个第二种解法啊，第二种解法，下面呢咱们再来看呢第三种解法啊，这个第二种解法实际上是充分的利用了咱们这个图形的对称性， 那么如果再严格来讲啊，这个题其实跟一二三四五模型都有一定的关联啊，都有一定的关联，下面咱们看第三种啊， 第三种解法呢，我们还是要找到这个图形中的内在的一些呢这个特点，首先呢，大家看啊，我们这个 a c 与 b c 是 垂直的， 那么在我们平面几何中啊，解这类垂直的问题啊，我们有一种呢答题的思路，我们把 b c 倍长，然后连接在一起，就会构成啥呢？构成一个等腰三角形， 所以我们也可以尝试这种手段，延长 bc 到点 m 这个 m 的 位置呢，就在这，然后把 am 连上， 很显然呢，现在这个 amb， 它是一个等腰三角形，它是一个等腰三角形啊， ab 和 am 相等，都等于五，然后呢， bc 呢，等于二倍的根号五，这个高呢，也是二倍的根号五， 那这个时候啊，大家注意，我们是想在呢这个幺 a b 上获得一个点与 c 点之间呢，这个章角是呢，对应的四十五度，我们知道不好做，但是在 am 上我们做出这一点了，太容易了，还是这一点， 哎， n 点，那现在呢，你看 c n m 这个角应该等于呢四十五度， 那么我们只需要啊，因为这里的 am 和 ab 是 相等的，我们只需要在 ab 上截取一段与 an 相等就可以了， 那么那个呢，就应该是我们 b 点的位置，那么问题是怎么能够给它截出来呢？哎，大家一想到截出来很简单，过 n 点做 bm 的 平行线就行了，但是我们现在没有圆规，那怎么做平行线呢？ 这个呢，就有一点呢，这个技巧了，要利用到 c 是 终点这个性质。 那么在数学中啊，有一个比较重要的定律叫塞瓦定律，这个塞瓦定律呢？呃，在二零二四年，呃，江苏镇江中考的压轴题中就考了这个内容， 我们可以利用 bc 是 终点这件事，在结合塞瓦定里就能把这个东西给做出来啊。怎么做？我们连接 b n， 让它与 a、 c 呢，交于点 p， 注意啊， 然后呢，我们连接 mp 并延长与 ab 的 交点，就是呢，我们要求的这个点 d， 这个怎么证明？我先说一下塞瓦定律的结论啊，塞瓦定律的结论就是什么呢？在这个三角形，比如说内部，我们取这一点 p， 把它呢，比如说我们 b p 延长交于点 d 啊， mp 延长交于点 d， a p 延长交于点 c， 这个时候就有 a p， a d 比上 db 乘以 bc 比上 c， m 乘以 m， n 比上 na 应该等于一。这三个式子成在一起等于，因为 c 是 中点，所以 bc 比 c m 啊，就应该是等于一的，那就有呢， a d 比上 db 乘以 m， n 比上 na 等于，那么挪过来不就有 a d 比上 db 等于 a， n 比上 n m， 所以 啊，这个又因为 a m 和 ab 相等，所以这里的 a d 和 a n 呢，也是相等的。这个地点呢，就是我们要求的这一点， 这样做也可以啊，这样做也可以，当然这个里头呢，就是说基于每一种原理啊，基于在格点上作图的时候，你呢能做出来的方式呢，也有很多呢这个差别，你比如说像我们上一种解法， 我取的是这一点，那你看我取这一点是不也行啊，那也可以啊，对吧？哎，因为这里头呢，有很多这个格点上的这个应用的技巧啊，应用的技巧 还有呢，大家看这个 c d 在 经过这个小的正方形的时候，这条线的一定经过这个小正方形的终点，你把这个连个十字花，然后这么一连，这个焦点也对，方法很多啊，方法很多， 关键是呢，你要对图形的性质有非常深入的了解，然后能把图形的性质啊搞清楚。那么我在这里头啊，今天就给大家呢分享了这么三种方法，大家有什么更好的方法啊？ 大家呢可以打到公屏上，打到呢，咱们这个评论区，我们呢一起来探讨关于刚才我这个里面说到的这个赛瓦定律的内容啊，赛瓦定律的内容，大家呢可以参考一下咱们左下角小黄车中中考数学压轴题专项训练 呃，第十七章的内容，第十七章的内容啊，我们讲那个三角形中与比例线段有关的几个定律中讲了塞瓦定力，还有呢梅列劳斯定律啊这样的一些内容。好，咱们今天的分享呢，就到这里。这类的问题啊，对于像天津呢， 武汉呢，包括江苏等地的小朋友啊，都需要呢，特别的重视一下。考试中呢，这类问题是常有的啊，尤其天津啊，年年必考，天津的小朋友需要呢，呃，花更多的时间去研究这类的题目啊。好，咱们今天的分享呢就到这。

来，首先还是预祝大家已经成功的步入到我们七年级下册了啊，七年级下册呢，我真的不想给你们，我真的不想给你们说这句话，但是我不说不行， 七年级下册是整个初中来说最难那个坎，七年级下册北师版对于你们来说是最难那个坎，为啥嘞？ 第一单元叫整式乘除，这个单元有十二个类型的计算题，你要每一个类型的计算题熟悉掌握，而且你不要光掌握咱们课本内容，因为你课本的内容，你发现你课本上学的内容考试的时候都不出，考的基本上都是朱老师给你们拓展的逆运用的题， 十二类型的题第一个一个的熟悉掌握是什么，而且混到一起运用的时候，你要熟悉练习这个单元，我讲完课之后呢，我就会给你们安排计算题。 第二单元叫做几何啊，这个单元的几何呢？课本内容还行，主要是考试的时候考的比较难的是模型题，这个单元比较简单。这个单元超级难啊，这个单元超级难。好吧，都是模型专项课考试考三十多分的压轴题， 这个单元比较简单，整本书一共是六个单元，四个单元都属于难点。好吧，今天我们开启我们第一个难点，整式乘除。 好，第一节课叫做 me 的 乘除。呃，提到这个 me 的 乘除，你看到，你看见看到你眼里面的是哪个字吧？孩子， 你能看到你眼里面的是什么字？我想问一问，是不是立马想到的就是我们的蜜呀，杨幂的蜜呀，那你想想什么叫做蜜呀？请问什么叫做蜜？蜜是在哪里学的呀？ me 是 在几节的时候学的？是不是七年级的书？我给你讲的 me 啊。好，我们再讲有理数乘方的数，再讲有理数乘方的数，我们讲的是 me， 对吧？有理数的乘方，比如说，嗯。二的，比如说，嗯，想想是啥来着？表示几个相同因素积的运算，我们把它就乘方，比如说二乘二乘二，它就等于二的什么？ 二乘二乘二，它就等于二的什么？二的什么？是不是二的三次方啊，对吧？二的三次方，再比如说二乘二乘二乘二乘二，等于二的什么呀？ 二的什么？表示几个相同因素积的运算，我们把它叫做乘方，乘方的结果，我们把它叫做 me 啊，对吧？乘方的结果，我们把它叫 me。 比如说我们 a 的 n 次方，那么 a， 我 们把它叫做什么？ a， 我 们把它叫做什么？你不要告诉老师我不会。那你给我回到七年级上册重新学去。 底下的这个数，我们把它叫做底数，对吧？在底下的这个数，我们把它叫做底数。头上顶的这个数，头上顶的这个小数 n， 我 们把它叫做什么？这个叫什么？ 次数？老师你可拉倒吧，谁教的你？我把它叫做指数，好吧，头上顶的这个数，我们把它叫做指数。 好，乘方的结果就是个大整体。乘方的结果，我们把它叫做 me， 对 吧？乘方的结果，我们把它叫做 me。 我 怕你写错字，我还特意说了这叫做杨幂的密。 好，这个底数呢，表示的是什么呀？你比如说二的五次方，它表示五个二相乘嘛？所以我们这个底数呢，表示的是相同的因素 底数表示的是相同的因素，我们这个指数呢，表示的是数的个数，数的个数 好，比如说二的五次方，这个底数是二，说明我们的相同因素就是二啊。这个指数是五，表示因素的个数。二的个数是五个吗？五二相乘二的五次方吗？好吧，那你知道什么叫做密呢？那下面内容就好理解， 我们要研究的第一个知识点啊，我们要研究的第一个知识点就是同底数密。同底数密。 来。同底数密，你给我判断一下啊，二的三次方和二的五次方是不是同底数密？ 来吧，你知道什么叫密了？你给我判断一下这两个是不是同底数密？同底数密，我们判断它是否为同底数密。我们最最关键的是看底数啊，还是指数呀？ 同底数密，同底数密，你在判断它是否为同底数密的时候，关键是看底还是看纸。 同底数吗？对吧？同底数，所以我们关键是看他们底数相同不相同，不用管头上顶的指数， 只要是底数一样，他们两个就是同底数密。所以说二的三次方和二的五次方，人家是同底数密啊，对吧？同底数密，再来一个呗。呃，请问三和三的三次方，他们两个是不是同底数密啊？ 同底数密吗？关键是看底数，不用看头上顶的指数吗？那请问这个头上顶的是谁啊？我就想知道这个三他的指数是谁？他头上顶的是谁？ 他头上顶的谁啊？是一还是零啊？那语文老师没有啊？没有不就零吗？ 谁教的你啊？哈哈，我们省略的是啊，指数一，我说指数一，可省略千万千万，不是零，不是零，是一啊，所以说他们两个也是。他们两个底数相同吗？他们两个是啊， 再来一个，你再给我列举吧。好吧，我不想列举了，你再给我列举两个同底数密的，你再给朱老师列举两个同底数密的。我想知道你听懂没听懂，你给我列列一下。 好，八的平方和八的三次方。是的啊，四的四次方和四。是的，是的啊。好的，八的平方和八的五次方可以，他们的底数相同，所以说他们是啊。嗯，我再举个例子，你看看是不是行不行。 比如说二的三次方和二的二次方，请问他两个是不是？ 请问他两个是不是同底数密？我一直在强调判断是否为同底数密，我们关键看的是底数，对不？他的底数是二耶，他的底数是三耶， 一个底数是二，一个是底数是三，他们底数不一样，所以说他们两个不是了，对吧？不是啊，再比如说二的三次方和三的三次方，嗯，请问他两个是不是， 请问他两个是不是？我不用管指数吗？我只需要看底数呀，他的底数是二 a， 他的底数是三 a， 底数不一样。所以说不是呀，孩子好，知道什么是同底数密了是吧？ 知道什么是同底数密了吧？知道的话，现在我们要研究一个新的内容。先看咱们课本上的例子啊，通过咱们课本上例子来引入啊 啊。光在真空中的传播速度是三乘十的八次方每米每秒，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发它发出的光在地球上大约需要四点二二米。 一年以三乘十的七次方秒来算，与比邻星与地球之间的距离大约是多少米？咋做？ 一个是光的传播速度，一个是时间，对吧？我给你描描啊，我给你标标关键信息，你看是不这么回事啊。 一个是光的速度，光的速度是这些，一个是我们，呃，光到达地球的时间，光到达地球的时间是四点二年。他问的问题是距离是多少？ 求距离就是求路程呗。路程不就等于速度乘时间吗？对不？我们的路程等于速度乘时间 路程等于速度乘时间。速度知道是三乘十的八次方，速度三乘十的八次方。时间呢？时间是多少 时间？四点二二年，但人这里的单位是秒，所以说我们要把这个年给他换成秒去。 人这又说了啊，这一年按照三乘十的七次方秒来算，一年是三乘十的七次方秒，四年呢？我们再给他乘四呗，对吧？这就是四年所需要的这个时间，这就是我们这个光的速度。 好了，你在算这道题的时候怎么算呢？怎么算？我们利用乘法。呃，交换率，这不乘法交换，这不是乘法吗？ 利用乘法交换率，我们把三把三把四把这三个数先给他怼到一块去。三乘三乘四，再把十的八次方和十的七次方怼到一块去。 哎，那这里的结果是三得九四九三十六，三十六乘十的八次方，乘十的七次方。 那你说我们要算这个最终结果是多少？关键是求啥呀？哦，乘四点二啊，四点二呢？啊？ sorry， sorry。 乘四了是吧？四点二年啊，四点二年。 sorry， 那 这里是四点二二。嗯，四点二乘九，二九十八进一二九十八，十九四九三十六，三十三十七点九八，对吧？三十七点九八，改一下啊？三十七点九八。 那你说我们要想算最终的值，我们关键重任落到谁上面了，是不？它上面我们要把这两个东东给它算出来，请问这两个东东叫啥呀？这两个东东叫什么？ 十得八次方，十得七次方，我们知道十得八次方，这叫密。十得七次方，这也叫密， 他的底数是十，他的底数是十，那么他这两个十的八次方和十的七次方，这叫做同底数密，对不好？这叫做同底数密乘法。 那中间不是用乘二连接了吗？这是同底数密乘法，关键就是我们要看一看十的八次方乘十的七次方怎么算？好吧，第二知识点来了啊，同底数密乘法应该如何计算 来，关键的心，关键的这里来了啊，认清同底数密乘法应该如何计算？比如说二的平方和二的三次方，请看看是不是同底数密？ 二的三次方和二的平方是不是同底数密？孩子是不是 他的底数是二，他的底数也是二，他们底数相同，所以说是同底数密吗？好，两个同底数密相乘，我们把它叫做同底数密乘法吗？ 同底数密乘法我们怎么算啊？我们知道二的平方表示的是两个二相乘吗？ 对吧？二的三次方，我们我们知道它表示的是三个二相乘吗？对吧？二的三次方表示的是三个二吗？好，我们把它们相乘的话，你说现在有几个二相乘啊？ 现在有几个二相乘？一个、两个、三个、四个、五个，那五个二相乘，我们用密来表示的话，应该是啥呀？ 五二相乘？对呀，他的结果应该等于什么呀？他的结果等于什么？ 你刚刚还说了呢，二的平方表示的是两个二相乘，二的三次方表示的是三个二相乘，对吧？二的四次方表示的是。哎，四个二相乘。那二的五次方不就表示五个二相乘吗？ 所以说五个二相乘结果不就是二的五次方吗？好，再来啊，这个三的三次方乘三的七次方。三的三次方乘三的四次方。是同底数密吗？ 他的底数是三，他的底数是四。 ok， 底数相同，这是同底数密。我们知道三的三次方表示的是三个三相乘。 我们知道三的四次方表示的是四个三，一、二、三、四。那么把它们乘到一起，结果是多少？ 结果是多少？对呀，三的七次方啊，对吧？三的七次方。再来啊，十的平方乘十的三次方。十的平方表示的是两个十呀。十的三次方表示的是三个十相乘啊，那你说它的结果是多少？ 这里是五个十相乘。对呀，十的五次方啊，它的结果是十的五次方。好，那别的咱们先不看了。孩子啊，暂时不往后看了啊。暂时不往后看了。我把这几个式子抄过来啊。 二的平方乘二的三次方，我最终算完之后是二的五次方。 三的三次方乘三的四方算完之后等于三的七次方。十的平方乘十的三次方，我最终算完之后等于十的五次方。你来观察一下啊，你看，同底数密乘法，底数变了没？ 同底数、密乘法，底数变了没？底数二底数，二底数，二底数，三底数三底数三底数，十底数，十底数十底数没有变。那什么变了？ 什么变了？这里是二二五，哎，对了，指数变了，对吧？三四七二三五，底数没有变，指数变了，那我的指数怎么变的呀？ 我这个底数没有变，我这个指数变了，请问我这个指数怎么变的？ 哎，对了，二加三是五吗？二加三是五，三加四是七，二加三是五。所以说你能不能总结一下同底数密乘法，我们应该怎么乘？ 同底数密乘法，我们的运算法则来总结一下，底数不变，指数相加，对吧？同底数密乘法，底数不变，指数相加。 好的，继续啊你，你这是你发现的吗？我们继续啊。那后面的我不想算了吗？我就想问你，十的五次方乘十的八次方，结果是多少？ 十的五次方乘十的八次方，结果是多少？一看他们两个是同底数密啊，底数不变，指数相加，结果就是十的十三次方， 对吧？十的十三次方。好，这个呢，光是数字的你会，如果换成字母，你会不会？ 首先看看它们底数一样吧，它的底数是十，它的底数是十，好的，是同底数密乘法，那通过我们的数字我们来推导字母的，你猜猜它的结果是多少？ 对，十的 m 加 n 次方来，在这个首先看它是不是同底数密乘法， 底数二，底数二，是的，底数相同，同底数密乘法，那这个底数是不变的。指数相加二的 m 加 n 次方，对吧？再来，我现在都把把底数也给你换成字母，你会不会 我把底数也给你换成字母，你现在会不会做来？ a 的 m 四方乘， a 的 n 四方。对啊，他们的底数都是 a， 还是同底数密乘法呀，对吧？还是同底数密乘法，我的底数不用变，我只把指数相加。 通过做这些题，我们整理出来同底数密乘法法则。同底数密乘法。用简单的一句话来说， 底数不变，指数相加，是吧？底数不变，指数相加。同底数密乘法，底数不变。指数相加。 用字母来表示的话，就是 a 的 m 次方程， a 的 n 次方等于 a 的 m 加 n 次方。这里有个要求，我们的 m n 为正整数啊。哦，相加写成相同了是吧？ 这里有个要求啊，我们的 m n 得为正整数， m n 为正整数。你先给他记住吧，孩子，因为后面我们要学那个 不是指数相加，是指数头上顶的那个数叫指数。不是指数啊，是指数头上顶的那个数叫指数。 同底数密乘法，底数不变，指数相加。而且我们这有个要求，就是我们的 m n 都得是正整数。 好吧， m n 都得是正整数。你先给他记住，因为我们后面我们要学零指数，密负整指数。密。老师，负数的呢？零的呢？我们后期要学。好吧，后期要给你研究好 同底数密乘法，底数不变，指数相加。 好来练上几道题啊。嗯，你光去做这个基础，你会发现很简单吗？老师， m n 用加括号吗？不用不用的，孩子啊，这个头上顶的指数不用加括号的， ok， 来练上几道题。五的十三次方乘五的十二次方，请问结果是多少？五的三次方乘五的十二次方，请问结果是多少？你先告诉朱老师，他的底数是几吧， 他的底数是几？你做这种题的时候呢，首先判断是不是同底数。密 乘法底数五，底数五。是的，是同底数密乘法， 底数不变。好，五我不变。指数相加嘛，十三加十二，十三加十二等于二十五，最终结果就是五得二十五次方。欧了。这个先判断是不是同底数密乘法， 它的底数是十，它的底数是十，底数相同嘛，所以说它是同底数密乘法， 他是同底数密乘法，就可以利用同底数密乘法的运算法则，底数变，指数相加。好吧，只要他是，他就可以利用同底数密乘法的运算法则， 底数我不变，把指数相加二加八，结果是十，所以他的结果就是十的十四方。有的还说，老师，我用不用算最终结果啊？你就把结果写成密的形式就行。 好吧，你就把结果写成 me 的 形式就可以了。孩子啊，这个，这个，你首先告诉老师，这个负二分之一的指数谁呀？ 请问这个负二分之一的指数是谁？告诉老师，快点立。请问这个负二分之一就这个代括号的这个，他头上顶的这个数是谁？ 谁呀？有很多孩子会说，老师，他头上顶的是一，呃，是零，一定要注意啊，他头上顶的是一，我们的指数一，可以省略。好吧，好了，知道他的指数了，判断一下是不是同底数密乘法， 他的底数是负二分之一，他的底数是负二分之一，底数相同。所以说是我们同底数密乘法。 好。同底数密乘法，底数不变吗？底数不变，把指数相加，那三加上一，结果就是我们的四，所以这里就是负二分之一的四次方， 对吧？这里的结果是负二分之一，得四次方。哎，但这个地方有个要求，孩子啊，来，我要给你拓展一个非常非常非常重要的知识点，你认真听啊 啊。比如说，负二的平方和我们二的平方和我们二的平方什么关系吧？ 负二的平方和我们二的平方什么关系？负二的平方就是负二乘负二吗？结果是正四吗？对吧？二的平方呢？也是四。再来啊，比如说负三的平方和我们正三的平方，他们的结果什么关系啊？ 负三负三的平方就是负三乘负三乘九，三的平方就是三乘三等于九，对吧？他两个是一组，他两个是一组。哎，我发现啊，负二的平方等于二的平方，我发现负三的平方等于我们三的平方， 他的指数都是一样的。底数呢？底数一个是负二，一个是我们的二，一个是负三，一个是我们的三。负二和二什么关系啊？ 负二和二，负二和正二互为相反数，对吧？负三和正三互为相反数，互为相反数的偶次密，结果怎么着？ 互为相反数的偶次蜜互为。呃，应该说底数啊，底数互为相反数的偶次蜜，底数互为相反数的偶次蜜，结果怎么着？ 对啊，相等底数互为相反数的偶次幂结果相等底数互为相反数的偶次幂结果相等。这是相当相当重要的一个知识点，你会发现后面的题你会经常做错，是吧？再来， 负二的三次方和我们二的三次方啥关系？ 负二的三次方就是三个负二相乘，三个负二相乘，结果就是负八，对吧？二的三次方就是二乘二乘二，结果是八。好，再来。呃，负三的三次方和我们正三的三次方啥关系？ 负三乘负三乘负三负二十七，对吧？这个是三乘三乘二十七。我发现啊，负二的三次方与二的三次方啊。负三的三次方与三的三次方啥关系？ 对呀，一个是正八，一个负八，一个正二十七，一个负二十七，互为相反数，对吧？互为相反数。 好，他们的结果也是互为相反数。那你能不能总结一个结论出来啊？你总结一个结论出来。嗯，底数互为相反数的基次米三不就是基数吗？ 底数互为相反数的基次，米，结果互为相反数，能理解，这不是我们推的吗？通过我们这两个例子推的吗？ 底数互为相反数的基次，米，结果互为相反数。底数底数互为相反数的 底数互为相反数的基次米结果互为相反数。 底数互为相反数的奇次幂结果互为相反数能记住不？底数互为相反数的偶次幂结果相等。 好，那你现在给我判断一下负二分之一的四次方和呃，二分之一的四次方它们两个什么关系？好吧，负二分之一的四次方和二分之一的四方什么关系？ 它一个负二分之一嘛？一个正二分之一底数互为相反数嘛？我看指数指数是四嘛？四是一个偶数，底数互为相反数的偶次幂结果相等。谁告诉我相反啊？ 底数互为相反数的偶次幂结果相等。那请问负二分之一的五次方和我们二分之一的五次方，它们两个什么关系？它们两个什么关系？ 底数互为相反数的奇次幂，结果互为相反数等于负的它了， 它的相反数前面加括号啊，对吧？二分之一，二分之一的五次方，它的相反数前面加括号啊。 底数互为相反数的偶似米，结果相等。底数互为相反数的基似米，结果互为相反数。我给你写几个字啊，巴拉巴拉，这一串很难记，但是我给你写几个字，你立马让你记住，基变偶不变。 好吧，基变偶不变，基变偶不变。你把这几个字给我记住就欧了。 底数互为相反数的偶，次幂结果不变吗？相等，如果是奇次幂，结果互为相反数吗？奇变偶不变，能记住不？ 底数互为相反数的偶，次幂结果相等。底数互为相反数的奇，次幂结果互为相反数，奇变偶不变。啊，符号开始，相信我，打你孩子，你就记住这几个字就行。啊，好的， 所以这道题呢，就是负二分之一的四次方，这道题的结果是负二分之一的四次方。我们要给他等一下，要给他写成二分之一的四次方，我们最终要写这个。 好吧，我们最终要写这个啊，最终的结果要写这个，写成最简形式啊。在那个，请看看他们两个是不是同底数密。 底数相同的两个密，我们把叫做同底数密，你看底数一样不？ 它的底数是 x 减 y， 它的底数是 i 减 y， 所以 说底数一样。其实通过这道题呢，我想告诉你，我们的底数并不是说非得是一个数字，我们的底数可以是多项式。 好吧，我们的底数可以是多样式啊，并不一定非得说是单独的一个数字，单独的字母。好，所以说我们的底数就是 x 减 y 同底数密乘法底数不变，指数相加，结果就是 x 减 y 的 十四方。 好吧， x 减 y 的 十次方在那个。请看一下他两个是不是同底数密。难点来了啊，难难难难， 这几个难点你如果过关了，你才能掌握这几个内容。请问他是不是同底数密乘法 啊？不是啊，好的，我说你在运用这个同底数密乘法法则的时候，一定要看一看他们两个是不是同底数密乘法，如果是才能够利用我们的运算法则，如果不是他就不行。 很多孩子扣了一个不是我的，乖乖来，他可不可以写成负一乘 a 的 四次方，乘 a 的 六次方能行吧，他们咋就不是了呢？你告诉我 a 的 四次方， a 的 六次方，这是不是同底数密乘法？是呀， 只不是把这个系数负一，他这个一给他省略了，你给他补一下不就完了吗？你先算他两个呀，这不是同底数密乘法吗？那这里不就是负一乘 a 的 十四方等于负 a 的 十四方吗？我说系数一可以省略， 所以说我们这个结果呢是，我们这个底数呢是 a 啊，指数呢是四加六，等于十，你最终再把那个负二给它带上就行。负 a 的 十次方，再看这个啊， a 的 平方乘负 a 的 三次方，请问他两个是不是同底数密乘法？ 请问他们两个是不是同底数密乘法？孩子，快点的， a 的 平方，他的底数是 a 啊，而 a 的 三而负 a 的 三次方，他们的底数是负 a 啊。你看你们现在又，你这道题本来能做对的，你做不对这道题你做不对的，你反而又做对。 它的底数是 a， 它的底数是负 a， 所以 说它们两个不是同底数密乘法。那遇到不是同底数密乘法的，我们得想办法给它转化成同底数密。怎么转化？怎么转化？我刚刚给你讲了呀， 对吧？我刚给你讲的，底数呼为相反数的底数呼为相反数的偶次密，结果相等 底数互为相反数的奇次幂，结果互为相反数。所以说负 a 的 三次方，它就应该等于 a 的 三次方，得相反数。明白了不？ 明白了？不？底数互为相反数的偶次幂，结果相等底数互为相反数的奇次幂，结果互为相反数。我需要给它变一下。 所以说这道题， a 的 平方乘负 a 的 三次方，就等于 a 的 平方乘负 a 的 三次方。把符号给他一提，那这就是 a 方乘 a 的 三次方，结果是负 a 的 五次方，明白不？明白了？不？ 底数互为相反数的偶斯密，结果相等底数互为相反数的基斯密，结果互为相反数。就利用了我们刚刚那个结论转化成同底数密。好吧，我们需要把不是同底数密的转化成同底数密， 不是同底数密的转化成同底数密转化的过程。就是利用了我们刚刚推导那个结论啊。 好，所以说他们的底数呢，是我们这直接写推导的过程了。孩子啊，我这直接写推导的过程了。他是 a 的 平方，把符号提到前面来， 把这个符号提到前面来，他就是负的 a 的 平方乘 a 的 三次方，那就是负的 a 的 二加三次方，结果就是负的 a 的 五次方。好，我给你列一道题啊， 你不要感觉蒙圈啊，问另一道题， m 的 平方乘负 m 的 五次方， m 的 平方乘负 m 的 五次方。来吧，它的底数是 m， 它的底数是负 m， 底数不一样啊，我没有办法利用同底数密乘法法则，我得把它变成底数一样的。怎么变？ 负 m 的 五次方等于什么呀？负 m 的 五次方，它就等于负的 m 的 五次方，对不？它就等于负的 m 的 五次方， 你看底数互为相反数的奇次米，结果互为相反数吗？ 好，它就等于 m 方乘负的 m 的 五次方，我们把这个负二给它提过来，那就是负的 m 方乘 m 的 五次方，结果就是负 m 的 七次方。完了， 好，再来一个啊。嗯，比如说 m 的， 比如说 m 的 六次方乘负 m 的 八次方。好吧，我给你变成偶数 m 的 六次方乘负 m 的 八次方，我一看，底数一个是 m， 一个是负 m， 底数不一样啊，我得给它变成同底数密的呀。怎么变啊？负 m 的 八次方，它和 m 的 八次方什么关系来着？ 我们说底数互为相反数的偶次密，结果相等，他们两个是相等的关系啊， 所以它就等于 m 的 六次方乘 m 的 八次方，结果就是 m 的 六加八等于 m 的 十四次方。 ok， 好 吧，咱这个啊， x 减二外的平方乘二，外减 x 的 七次方，请看是不是同底数密。请看是不是同底数密， 是吧？一个是 x 减二 y， 一个是二 y 减 x， 它们的底数互为相反数，对吧？底数互为相反数，那底数如果不一样的数，我得给它变成一样的，你是变它还是变它？你是变第一个还是变第二个？ 变第一个还是变第二个？底数不是同底数的，我们要给它变成同底数啊，是不是我变第一个？简单啊，因为我们说底数互为相反数的偶次蜜，它们两个 不是互为相反数吗？底数互为相反数的偶次蜜，结果相等啊， 对不对？所以我们给它变一下吧，变成我们的同底数密。它第一个啊，就等于二 y 减 x 的 平方。 好，再给它乘二 y 减 x 的 七次方程，就变成同底数密了吗？同底数密乘法，底数不变，指数相加，最终结果就是二 y 减 x 的 九次方。 好吧，继续啊。负 b 的 四次方乘负 b 的 m 次方，负 b 的 四次方加上负 b 的 m 次方，这个怎么算？ 负 b 的 四次方乘负 b 的 m 次方。你首先看看是不是同底数密啊？它的底数是负 b， 它的底数是负 b， 底数是一样的呀，对吧？底数是一样的，后面的我直接写算是了，还能底数互为，底数是一样的同底数密乘法，底数不变，指数相加，所以结果就是负 b 的 四加 m 次方。完了， 这个呢，这个你会做不？负 b 的 五次方乘负 b 的 m 次方，请看一下它两个是不是同底数密。 它是负一乘 b 的 五次方乘负 b 的 m 次方，它两个是同底数密吗？ 不是吧，它的底数是 b， 它的底数是负 b， 它们两个不是同底数。那咋办呢？我需要给它变成同底数的我才会做呀。 那你能不能把前面的这个负 b 的 五次方给它变成以负 b 为底数的数啊？ 可以吧，那我直接负 b 的 五次方。哎，我直接把这个符号给他放到括号里面去不就完了吗？他和他相等啊。 因为我们说了底数互为相反数的两个数既变，偶不变， 底数互为相反数的两个数，积变五变吗？底数互为相反数的两个数，底数互为相反数的偶次密结果相等。基次密互为相反数。所以说他两个是相等的关系。 来，老师，我觉得有点绕，来吧。没关系啊没关系，我再给你推一次啊。感觉感觉伤脑子的。孩子，咱们再来一遍啊。 你如果刚刚没记住的，你给我来一遍啊。负二的平方是几啊？那二的平方是几啊？孩子， 负二的平方是几？二的平方是几啊？我再给你推一遍，你认真听就行啊，没事。负二的平方是几算吗？ 负二的平方是几对四，那二平方是几啊？它的结果是四，它的结果是四，它两个是不是相等的？ 它的底数是不是负二啊？它的底数是不是二啊？负二和二是不是互为相反数啊？ 互为相反数的偶次幂是不是相等啊？底数互为相反数的偶次幂结果是不相等。好，再来。负三的平方等不等于三的平方啊？等不等？ 他的底数是负三，他的底数是三。底数互为相反数的偶次幂相等吧。 这里是九，这里是九相等啊。好，那么请问负五的平方应该等于什么呀？负五的平方应该等于什么呀？ 应该等于什么底数呼为相反数的偶次幂结果相等。我就想问你这个底数谁 对呀？五的平方啊，对吧？五和负五不是互为相反数吗？底数互为相反数的偶次幂结果相等。来，再来啊，负 b 的 平方等于谁的平方啊？ 负 b 的 平方等于谁的平方啊？孩子，快点。负 b 的 相反数不是 b 吗？ b 和负 b 互为相反数的偶次幂结果相等啊， 那么这道题。嗯嗯，我就我这样写了啊。底数互为相反数的偶次密，底数互为相反数的偶次密。结果相等。 结果相等，结果相等。这个能过了吧？ 底数互为相反数的偶次幂，这个结果相等，能过了吧？能过我们再推。呃，基数的，比如说负二的三次方和我们二的三次方啥关系？ 负二的三次方和我们二的三次方啥关系？它不是负八吗？它不是正八吗？对吧？所以说它就应该等于它的相反数， 二的三次方的相反数就在前面加个符号呗。那加个符号以后他不就负八了吗？对，不， 二。负二的三次方和二的三次方互为相反数，二的三次方相反数在前面加个符号啊，来。那比如说负三的三次方和我们三的三次方又有啥关系啊？ 这里是负的二十七，这里是正的二十七，所以说它就等于它的相反数，它的相反数就在它前面加符号啊。好，再来，请问负五的七次方，它应该和五的七次方啥关系啊？ 啥关系？底数互为相反数，一个负五，一个是正五，底数互为相反数的积四米，结果互为相反数啊。在它前面加符号啊。好，再来。 请问负 b 的 啊，负 b 的 九次方，负 b 的 九次方等于 b 的 九次方吗？等不等？ 底数互为相反数，一个是负比，一个是正比。底数互为相反数的基次米，结果互为相反数啊， 能行了不？底数底数互为相反数的基次米，结果互为相反数。我不写了。好吧，我不写了。那这道题你来看一下。 负 b 的 五次方，它不就等于负 b 的 五次方吗？或者是我给你反过来，底数互为相反数的奇次幂，结果互为相反数， 它是负 b， 它是 b， 指数是五底数互为相反数的奇次幂，结果互为相反数。 所以说负 b 的 五次方，我们就能给他变成括号内负 b 的 五次方乘负 b 的 m 次方， 现在就变成同底数密乘法了，底数不变，指数相加，负 b 的 五加 m 次方。完了， 行了吧。最主要的是后面这几个，你要理解，当他的底数不相同的时候，我要给他变成相同的，再利用我们同底数密运算法则进行计算。好， 嗯，我刚刚讲的那个内容能不能过关啊？孩子，我刚刚讲的内容能不能过关啊？你课下的时候再练一下吧。孩子，我讲了快一节课了，只讲了那么一丢丢，我需要再给你们拓展，你如果还不懂的话，你下了课以后你再听录播课吧，实在没招了。孩子啊， 来。同底数密乘法法则在运用的时候，我们需要注意一下以下几点，只有底数相同的时候我们才能使用。好吧，通过你做那几道题，我们发现，同底数密乘法法则我们在运用的时候，只有底数相同的时候， 只有底数相同时，只有底数相同时，我们才能够使用，才能使用。那如果要是底数不同的时候呢？怎么办？ 如果底数不相同的时候怎么办？转化成同底数密的，对吧？底数不同时，底数不同时， 我给它转化成同底数密，转化成同底数密，然后再给它使用。转化成同底数密，再使用。 好，还有一点，就是我们刚刚给你们整理的那个拓展知识点，底数互为相反数的数，底数互为相反数的积变偶变。 简单来说就是，比如说 a 减 b 的 n 次方， a 减 b 的 n 次方，如果 n 为偶数的话，如果我的 n 为偶数， 如果我的 n 为偶数，它应该等于什么？ a 减 b 的 n 次方，它应该等于什么？ 底数互为相反数的偶次密，结果相等，它的相反数就是 b 减 a 吗？它的相反数就是 b 减 a， 一个是 a 减 b， 一个是 b 减 a， 底数互为相反数吗？底数互为相反数的偶次密，结果相等。好，如果 n 为基数， 底数互为相反数的基次密，结果互为相反数。好吧， a 减 b 和 b 减 a， 他们两个底数是互为相反数的啊。 a 减 b 和 b 减 a 互为相反数，他的 n 次方和他的 n 次方， 底数互为相反数的偶次密，结果相等。积次密就是互为相反数的关系，简单来说就是积变偶变， 简单来说就是即变偶不变。你记住这几点就行了啊，即变偶不变。搞定好拓展还得讲五分钟的时间啊，你认真对待还得讲五分钟时间。 来，两个相乘的，你会了啊。如果是三个相乘，多个相乘的时候，应该怎么做呢？两个同底数密相乘，我会了。那多个同底数密相乘，我应该怎么做？ 我们知道 a 的 m 次方程， a 的 n 次方同底数密乘法，底数不变，指数相加，那如果三个同底数密的，你说它的结果应该是什么呀？ 三个同底数密的，你可以猜一猜嘛？它的结果应该是什么？你利用乘法的结合率，你不会先把它两个结合呀，对吧？那这里不就是 a 的 m 加 n 次方乘 a 的 p 次方吗？ 对吧？然后我再把它们两个相乘呗，底数不变，指数相加呀，对吧？三个的也一样，底数不变，只把它们的指数相加。 那如果是若干个呢？ a 的 m 四方乘， a 的 n 四方乘乘乘到 a 的 t 四方 还是一样的，底数不变，只把他们的指数相加就可以了。好吧，两个的行，三个的行，四个的行，五个的行， n 个的也行，都是可以的。好在那个七的平方乘七的三次方乘七， 请问这个指数是谁啊？请问这个指数是谁？快点 e， 对 吧，他头上顶的是 e， 同底数密乘法，底数不变，只把指数相加，二加三是五，五加一是六，结果是七得六次方。在那个。 这个啊，负 x 方乘 a， 平方乘 a 三次方，其实这个负号你就可以不用管它，对吧？多个有理数相乘，即记负偶证嘛。 我们结果的符号取决于负数的个数基否正吗？所以结果是负的呀，其实它就等于负一去乘这一堆，你不用管这个符号，先算这一堆就行了。这就是 x 的 二加五加三次方，然后再把这个符号给它超过来就行。 好吧，再把这个符号给它超过来，那这里就是负 x 的， 呃，这里是十四方呗，对吧？负 x 的 十四方。好的， 再来进行拓展，这些拓展内容你们书本上没有？你认真听啊，我给你拓展内容都是我们考试的时候必考题，必考题，必考题啊。 来，我们知道 a 的 m 次方程， a 的 n 次方等于 a 的 m 加 n 次方，那现在我给它反过来，请问 a 的 m 加 n 次方等于什么？ 现在我给它反过来了，这叫做逆运用。这不是我们同底数密乘法运算法则吗？这是同底数密乘法运法则。现在我给它反过来了，反过来了， 你又把它写到这里来，把它写到这里来呗。这里就是 a 得 m 乘 a 得 n 次方， 对吧？也就说，指数如果是和的形式，我要拆成两个数相乘的形式。 第，指数如果是和，我要给它拆成两个数的乘积。好，那请问 a 的 m 加 n 加 p 次方等于啥呀？ 如果指数是和的形式，我要给它猜成几个数的乘积，那就是 a 得 m 四方乘， a 得 n 四方乘， a 得 p 四方，对不？你要同底数密乘法，底数变指数相加吗？ 对吧？指数一旦是和的形式，我给它猜成几个数的乘积，这叫做同底数密乘法的逆运用。考试考的最多的就是逆运用。 这里是 a 的 m 次方，乘 a 的 n 次方，这里是 a 的 m 次方。乘 a 的 n 次方，乘 a 的 p 次方。我们今天所讲的这些指数都是正整数啊，你练两道题，你在下课你着啥急啊孩子。 这个 a 的 m 次方等于三， a 的 n 次方等于五，那么 a 的 m 加 n 次方是几？ 指数为和的形式，我给它写成乘积， a 的 m 次方，乘 a 的 n 次方， 它就等于三乘五，结果是十五，对吧？这个结果是十五。好在那个 x m 次方等于五， x n 次方等于七， x k 次方等于三。去求它， 我一看头上顶的是核，如果这个指数为核的形式，我就给他猜成乘极。 x 的 m 加 n 加 k 等于 x 的 m 次方，乘 x 的 n 次方，乘 x 的 k 次方等于五乘七乘三， 对吧？三五十五，十五乘七，一百零五。 ok， 最终结果是一百零五。考的最多的是我们的逆运。用听作业啊，这一堆题都是你的。 好吧，这一堆题都是你的，而且你要完成我们课本上的课后练题，第三页的随堂练一二三完成。然后再把我整理的笔记整理到你的笔记本上面去，下课休息。

呃，各位同学大家好，今天呢，给大家带来一个专题，呃，在我们上了中学以后，从初一开始一直到现在网格做图，我们每次 考试作业，各种大型考试，包括长春市还是全国很多地区，他都在网格做图题中进行了专门的研究。 呃，那么我们长春这个网格作图啊，在中考中是必考内容，那么他的难度不大，但是呢，呃，我们很多同学掌握不好，尤其我们学了圆以后，有很多同学画图呢，还停留在三角形，四边形， 利用多边形画图是我们最常用的方法，但是当圆出现了以后，我们要善于利用 圆中的一些性质定律进行画图。那么本次课程呢，有十六道题，这十六道题呢，我刚才统计了一下， 大致包含了十种画图，画圆心、画直径、画圆周角、画弦中点画，弧中点画等弦也就画两条弦相等 画，对称点，画切线，画外心，画一箭穿心。大致有这么十种画图， 那么所蕴涵的这个数学知识就是这么几点，常用的是切线的判定，切线的性质，垂径定例即两个推论，圆周角定例即推论。 那么同学们要对圆中的这个技术知识要必须熟练，熟练到文字，了解到图形，也就是你的这个文字内容，脑袋里边你要有图形存在。 那么刚才我也简单思考了一下，十种画图，十种圆中画图圆呢，本来它就是非常完美啊，非常完美的一个几何图形，所以呢，我们认为十种画图十全十美，那么我们呢，通过这节课，大家一定能够有 更多的收获，下面我们看第一题啊，第一题是非常简单的问题了，哎，通过这个简单的问题呢，让我们得出这样的两个思想，呃，左边呢，这是一个 由小正方形网格组成的一个四乘四的网格，它不是水平数值排列的，那么同时呢，又出现一个长方形。 第一个问题，让我们画一条对称轴，非常简单，这个呢，很多同学都能看出来，水平竖直各一条，那么你为什么能够很快的做出来，原因就是你对这个图形的结构特征性质的熟悉， 你不用思考就能够画出来。第二个也是过点 e 作圆 o 的 切线哎，过点 e 作圆 o 的 切线，这两个画图呢非常简单，这画呢，我就不过做多解释。 那么我们最近在考试中，大家也经常遇到一些网格做图题，让你头疼，甚至三个做图呢，你做一个都费劲，做两个做三个，最后一个甚至很难，为什么？就是你缺少分析和计算。 现在的网格做图不再是以前那种一眼就能看到图形的位置，一眼就能看到图形大小，落笔就能画。对，那个时刻已经过去了，所以我们现在的画图，你必须要做到两个点，第一个分析， 那这个分析我们分析什么？分析图形的特征结构， 通过分析确定所画图形的位置和形状，计算，通过计算确定数量关系，这个线段多长， 这个角多大等等。所以说现在的网格做图，大家首先要做的就是分析和计算，然后呢再去落笔画图。 第二题，让我们画一格点点 d， 满足角 a d b 等于角 a c b。 那 么这种画图我们一般的都是分析一下，说这个点大致在哪？首先这里面有个已知角是 a、 c、 b， 它是圆周角，所对的弧是 a、 b， 那要想出现一个相等的角，那它利用的就是圆周角定理，所以我在 u 弧 a、 b 上任取一点， u 弧 a b 上任取一点， 那么我们所画的角， 所画的角画这啊， 它和角 c 都相同，这个很简单，那这个图形中呢？确定格点 e 使角 a、 e、 c 加角 abc 的 一百八十度角 abc 是 圆周角， 那么我们知道圆内角四边形对角互补，所以我在 u 弧 a、 c 上任意取一点，然后和 a、 c 相连 对照互补。所以说这两个画图非常简单，全是用圆中的有关知识完成的。那这里面呢，给大家画一个效果， 我这个点意是在这上面随便选的，但是要求格点，那这个时候我们就只需要选到一个格点就可以了。 第三个， 让我们画出三个圆的圆心， 在圆中画圆心的方法常见的有这么几种，第一个画一条直径取终点，第二画两条直径取焦点。 那么有的时候我们直径无法去找到怎么办？找九十度的圆珠角，这就是我们在圆中画直径和画圆心常用的方法。 所以我们第一件事要找没有直径，我们就得找圆周角九十度，所以说这是一条直径，那么这个也是九十度，所以说这也是一条直径，他俩交点就是圆心， 那在这里面有个圆周角，但是这角的两边没有和圆相交，所以我们要延长， 我们要延长保证这个直角两边和圆相交，出现圆周角九十度，那同样把这个延长和圆相交，也出现了直角， 所以这直径交点就为圆心，那下一个很显然我们看到了其中一个圆周角， 但是需要把这个边延长，不延长之前他没有构成完整的圆周角，延长之后有俩焦点，这俩焦点连线就是直径，那么我们还需要画一条直径，这个时候我就需要分析这个图形中还有没有 九十度的圆周角，很显然只有这个点在圆上，那么我们只能围绕这个点，所以我们要分析图形的结构特征，发现这是四十五度，发现这也是四十五度， 所以他俩是九十度，但是这个圆珠角在哪呢？这有个焦点，我再把它延长，还有个焦点，所以这两点连线就是直径和刚才那个直径呢，他们有个焦点， 然后呢一连就是原型 o。 下面呢，给大家画一个动态效果啊，注意观察。第一个，两条直径交点为 o。 第二个， 这样先画出两个圆周角，然后再连两条直径，交点为 o。 第三个，我先画出一个圆周角九十度，我再去画另外一个圆周角九十度，所以得到两条直线交点为 o。 好了，这动态效果啊，第四个啊，第四个是让我们画出外接圆的圆心，外接圆的圆心到三个顶点，距离相等，也就三边中垂线的角点。很想第一条边的中垂线现成的也就这条线， 这条线已经是中垂线，那么我们再画一条线的中垂线，我感觉这个呢好画一些，因为这条线是四乘四四十五度，所以说呢，我们画他的中垂线很容易， 他俩有个焦点，就是我们说的外心， 那么我们看这个在 ab 下方画一个点 e， 使角 a， c， e 的 四十五，我们连一下啊，随便找一个， 当然我们拿铅笔去尝试，不行再擦呗。假设它四十五的话，圆心角四十五，我要考虑到圆周角就得是九十度， 所以说点 e， 它只需要满足我们把四十五度圆周角转化成九十度的圆心角，所以说九十度圆心角呢， a o， e， 很 显然 e 在 这就可以了 啊，因为我这个手写笔啊，用鼠标写的时候比较繁琐啊，还不咋准确。下面呢，我们看一下这个效果。 中垂线，因为这条线现成的啊，这条线我们不需要画，它有 焦点就可以了，这条线不需要画，只需要画它即可动写 o， 那 这个呢，我们直接连出这条线，不需要连，我连的目的让你感受到这是个九十度的圆心角，然后呢，理论上告诉你，它是四十五度 六个 啊。第五个是过 a 做圆 o 的 切线，已知切点做切线，我们要看一看直径 或者半径，这条半径，直径，半径都好使啊，直径是半径二倍吗？我用半径的话，我只需要看这个线是一乘二，所以我需要过点 a 做它的垂线，就转化成了 做垂线的问题，过点 a 做他的垂线就可以了。那么让我们画切线，我们应该画的 类似直线的形象不，不要画一半或者是画一部分啊， 那么我们连它俩就可以了，连这两条线连线就可以了，这有点吗？过二乘一的网格点就可以了啊，相当于和它垂线。 第二个过点 p 作 a b 的 对称点，我们分析一下，圆是个轴对称图形， 我们在学垂径定理的时候，大家看见过这个问题，说直径垂直弦一定平分弦， 这个图形大家要掌握，那这个时候这俩点就对称了。 关于直线对称，所以说在圆中垂线定律这边，这里边隐含了一对对称点，大家掌握这个模型，所以说我们说只要过 p 点做它的垂线，做它的垂线， 它的垂线怎么做啊？因为这个 a o 是 一乘二的，那我需要做的就是要这个点， 因为他俩连线是二乘一，然后射线焦点二乘一和一乘二垂直，所以说根据垂径定律，我们 做出这条线，也就这个点是关键点。我们找到这个点就很简单了，这个点是必须过的，那这个时候就出现了，我们说垂镜定里这个模型，那它的对称点就在这里， 它对称点就在这里。 m， 那 这里面它只需要让我们画对称点，所以这条线需要虚线， 从现在开始往后边去讲。哎，我不去强调虚实线的问题了，因为我们画图画了将近三年，你应该知道什么线是虚线，什么线是实线。我再强调一遍，让你画的线就是实线，不让你画的线就是虚线。 那么这个问题点 q 是 盲点，什么叫盲点呢？它在圆上的位置你不知道，你不知道它具体哪个位置，它是盲点， 所以做它的对称点不能直接做，那么就利用我们说的交叉轴对称，因为这是一条直径，它所在的直线是圆的对称轴， 那么我我们首先找到格点的对称点，好找，按照刚才那个思想，我们能够找到它的对称点就是刚才的 m， 那么交叉轴对称，就是首先要有对称轴，然后再有一对对称点，那么左右交叉，确定轴上的点，再把点 p， 哎，不对轴弄反了啊，弄反了，因为我们要做的它的对称点， 哎，这是这样的啊，把这个点和 q 连起来，然后跟轴上有交点，我过格点做射线，这个射线和它有交点， 那这两个点呢？就是关于对称轴对称了，这就是交叉轴对称，是我们七年级学轴对称必须掌握的一个模型啊，那这个就是要求的点 n， 那 么我们画一下， 撤销一下，然后给大家演示一下啊。好了， 第一个切线，第二个垂线， p 的 对称点出现了，第三个，先出现 p 的 对称点，然后连接交叉连接，确定轴上的点，再连接延长，就是 n， 这就是痕迹 啊。第七题，哎，第六题，弧 a， m 等于弧 mp， 那 就说明想画两条弧相等， 那就说明 m 是 整个的弧的中点，那么我们可以去想做垂线，垂线定律能实现，对吧？做垂线，因为有线呐，所以我们过点 a 做它的垂线就可以了。 垂线怎么做呢？它是一乘三的，我们要找三乘一的，所以说你这个垂线就得是过这个点去画的啊，过这个点画的画出一条射线，它和原有交点，这个交点就是我们要求的 p。 第二个， 在弦 c d 上找点 p， 使得 c n p， c n p 吧，等于角 c d n， 很 显然这是圆珠角，这也是圆珠角，那要想圆珠角，等把它延长的话，一定出现个弧， 那就是这个角所对的弧是它，那这个角所对的弧是弧 n c， 那 就相当于画两条等弧， 相当画两条等弧，那么我们怎么画一个弧 n c 等于弧 c d 呢？还是根据垂径定律， 这是弦，我想过 n 点做它的垂线，我们发现它是几乘几的，一二三四四乘四，这是一个四乘四的四十五度， 那么我们做它的垂线， 那么我们那么我们通过分析啊，我们发现这个需要画的这个角和它相等， 也就是我们要画的这个点，这个弧得跟这个弧等，那就说明 c 点是 弧 n d 中点，那么中点跟圆心连，就跟这弦垂直，所以我要确定这个点，得先确定圆心，圆心，确定圆心，我们发现这是一个 直角的圆珠角，所以我们通过连接发现这是圆心 o， 那么我过 n 点做这条直径的垂线，它是三乘一，那我就画个一乘三，这呢一乘三 延长它俩垂直，垂线啊，直径的垂线，弦直径垂直，所以呢，这个就是点 d， 下面呢，我们看一下动图啊， 直径确定圆心，然后呢这条线跟它垂直，所以说点 c 就是 这个弧的中点，所以这个就是， 那这个角就和这个角相等，那现在我们说这个点在哪呢？这个点要求在 这条线上，所以说点 p 在 这里就可以了啊，那这个图呢，只是给你画一下，让你感受这个圆珠角。好了，这是这道题第七题作圆切线 过点 b 做圆 o 切线 p b， 那 很显然这条线是二乘四啊，四乘二啊，四乘二， 那这里边我们画不了二乘四，那我们只能画一乘二，你要看这一段一乘二，一乘二也可以，所以呢，这个切线好画一乘二，这吗？ 是不是啊？ p 为格点，要不在这，要不在这，哪个都行。那在第一个基础上呢，这块已经有条切线了， p 在 这有条切线了， 想让我们再画一条切线，那通常呢，我们把圆心连一下，看一看，半径是根号五，所以我们就找根号五， 一连就可以了啊，下面呢我们画一下， 那这块呢，我给你一个轴对称的一个效果，大家看第二个，实际上这是轴对称的，对这个来说这是个正方形。 好了，当然了，不需要你画这个三角形。第八个画出圆形 o， 然后画出经过点 b 的 圆 o 的 切线，画圆 o 找直径，或者找九十度圆周角，这有这也有，那么我们画一下， 两个图都能画出直径，也都需要画直径，这是圆周角吧，九十度，这也是九十度圆周角，我们要善于找九十度的圆周角， 然后直径。那为啥终点呢？平行线分线段成比例啊，水平的网格线就把它分成了一比一， 那么这里面出现一个三角形，大家看一下，这个三角形很显是一点五乘以四的，哎，乘以二的，三比四比五的， 那这个有什么用呢？我们看下一个，说在圆 o 上画点 d 时， a c 等于 a d， 那 要讲弦等的话，那这两段弧就得等，说明 d 是 弧的中点，那么我们利用垂径定理就能够做出这个图，所以我过点 c 要做它的垂线， 那这个三角形是多大的呢？是一点五乘以二，一点五乘以二，那我只需要画一个二乘一点五的，那这个二已经有了，我再找一点五，很显然找这个终点， 这个是一点五乘二的，而这条线是二乘一点五的，他俩就垂直了，所以这里面我需要画一个二乘一点五的，大家看这效果在这呢， 刚才这切线没画呢，刚才这个切线没画。一会再说这个切线的问题， 实际上呢，我是用两个点来找到的这个零点五的一个点，那刚才我们我在画的时候，我直接就画出来了，用这一个日子对角线就找到了。那我之前做麻烦了，这个图呢，做了一下午啊，整个的十六道题， 那你看这个三角形是二乘哎，这个是一点五乘二，而这个三角形二乘一点五，所以它俩垂直，它跟直径垂直，这样的话 c 跟 d 啊，这不是一，是 d 对称了，这样的话先相等。那这个做垂线也是一样道理。刚才这个三角形是一点五乘二，那我就画个二乘一点五，画个二乘一点五，那就只需要找这个点就可以了， 但我们还得需要找这个点，这个是二乘一点五，所以呢，我通过这两个中点确定 这个重点。好，这个是二，这个是一点五。一连就切线了啊，垂直嘛，总之我们要的就是它跟半径垂直。 这个题有点多啊，多呢？嗯，再讲十多分钟吧，差不多 啊，这个题简单了，在圆上一点，找到最大的位置，一箭穿心呐，找到最小的位置，一箭穿心。第三个，过点 b 做圆五的切线， b h 过点 b 做切线。 那么过切线的话，我们首先就得看一看有没有现成的格点做切线，实际上就是找一点圆上，找一点，让这个半径和它垂直，所以这里面有现成的点， 等腰直吗？那这个呢，就是很容易看出来啊， 得去找，大胆的找，找不出来再说。能看出来特殊点就用特殊点啊，斜线它俩垂直吗？ 第十题，画出三个圆的圆心，还是找圆周角九十度，这个呢，好找他告诉直接点出来了。那我就直接点出来了啊， 圆心都画出来了啊啊。第一个，画出圆 o 切线 b、 e， 这个点呢？出来呢？画出圆 o 切线 b e。 那 首先我们要连它，你要想画切线，如果有切点，必连半径，然后做垂线，这个垂线就好做了。四十五度的嘛，好做啊， 嘿，直接就画出来了啊。 第二个，在圆 o 上画点 f， 是 f 为 cd 的 中点弧， cd 既然是两个字母表示，说明一定是指裂弧来说的。 想画弧 cd 的 中点，我们就是找到弧所对的弦，找到弦中点， 直径平分，弦一定垂直，弦平分弧，这是垂性定律的推论。所以这道题呢，就很简单了，要想画弧中点，可以去画弦中点，然后做直径就完事了。那你看第二个， 关注第二个啊， c、 d 连接恰好是终点，因为这三条线 把这条线段分成一比一，这是中点，然后过点 o 做射线 焦点，这个焦点，大家看，这个焦点不是这个隔线上啊，不是隔线上，这能看出来我图大点，你看没在隔线上是不是？哎， 所以画图要精准啊。下一个，求 m n 啊，那么求 m n， 我 们都知道，不管是在网格中，还是在平面内，还是在坐标系平面内， 我们多数都是解直角的过程，就找到直角三角形，然后呢进行求结，那这个 n 和它有关，那这里面我们要善于发现什么呢？发现这个线和这条线 都是水平夹角四十五度的，所以它俩垂直，也就是如果在坐标系内，它的斜率负一，它的斜率是一垂直， 互相垂直，而且这个圆的半径我发现是二倍根号半径是二倍根号 a 对 二倍根号半径。那现在我们想求它， 已经发现直角了， 那就好求了，怎么求呢？大家看。因为你这段不知道啊， 最近有点感冒啊，因为你这段不知道，那怎么办？半径得用上啊， 因为这个是根号二，这个是二倍根号二，为啥呢？半径啊， 所以这个是能求的，让购物定率，这个也能求三倍根号，让购物定率，求它。说这里大家没发现吗？说带网格，是我们从初一到现在，没人告诉你三十度、六十度怎么画 在圆中能实现，所以说这个问题中就实现了一个三十度角的这么一个过程。为什么大家？ 因为这个半径是二倍根号，说明他也是二倍根号，而这个是根号二直角，所以这个角是三十度啊，这角是三十度。这块呢，原本设置这么一个问题，但是没有去设置，那这个角三十度， 那这个圆心角就六十度，实际上这是个等边三角形啊。这块呢，有兴趣的同学自己自己呢去画一下啊。 下一个过点画切线，那简单了，做它垂线就可以了，做做它垂线就可以了，过点 p， 关于它对称点，那也是做垂直就可以了。一乘二，做二乘一的， 所以你看这两个都简单那。哎呀，这个是刚才那题啊，重复了，我过了啊，重复了，当时我出题的时候没想到重复。我今天下午做这个课间的时候，我做了一下午的这个图，然后呢发现重复了，但也没删掉，大家呢， 可以再去做一做。你们把老师给你的题目啊存起来，然后呢定期的拿出来去做，如果光看老师去讲，你跟着听，回头不自己操作，你一定是忘的，包括我也是，时间长我不去做了。如果遇到个新题，我今天我看到方法了， 哎，我是被动看到这个方法的，我不是主动去研究到的，那这个题呢，我将来我在做的时候可能就会忘掉，所以我们要定期复习啊， 这个做切线，那也是垂直了，这时候都简单了，都是重复了， 数学的学习，哎，他就是一个重复反复的过程，所以我们要重复去做，反复去做，所以这张卷里边反反复复画，切线，切线重要，切线证明重要，画图也重要。 那这个呢？画两条切线，第三个切线，第一条好画， 那第二条怎么画呢？大家看第二条，我找不到这个点，他不在格点上，那怎么办？我先连他， 因为我们说另外根据这个这个千常定律的那个图形说这两个切点一定关于他对称的，所以说我过这点做他的垂线， 这个我画的好着啊，那这个线是我可以看成是一乘二的二乘一的，那我就画一乘二的，这个我看成四乘二的，我就画二乘四的二乘四，所以说一连 这有个交点连 b 垂直啊，我把这图补一下， 全等对称不就相切了吗？所以说我们当你找不到切点的时候，像刚才有个题呢，直接找到格点了，没有的时候咋办？圆心跟它一连做轴对称看一下， 那这个点很关键，我选的这个点是因为我看好了这个小三角形，一边，我用这俩图形来做标准，确定垂直的 这个在圆 o 上找点 d， 使角 abc 等于角 adc 角 abc 在 这里 角 a b c， 那 a c 就是 弦，在这边找一个圆珠角可以了，对吧？找圆珠，圆珠角就可以了， 随便找吧，要求格点就上格点，不要求格点就随便找啊。然后呢？ 随便是不是？哎，要隔点就放隔点上，不要隔点就圆珠圆，但是这边不行啊，这边不行，这边互不同相，以谁为标准呢？以这个弦为标准。下一个 在圆 o 上找点 e 时， o e 平分， a c 平分弦。呃，在圆 o 上找点 e， 使 o e 平分 a c， o e 平分， a c 平分弦，那就做弦的垂线呗，是不是这个点可以了吧？ 这直接连行了啊，那我之前做的麻烦了，我取这俩中点，确定它的中点了，这个中点直接出现了啊，直接出现了，呃，下一个 在圆 o 上找点 f， 使 o f 平分角 a c b o f a c b， 很 显然直角啊，平分，那就是四十五度， 圆心角四十五，哎，圆珠角四十五，那圆心角就得九十度，所以我们通过分析发现得到这个终点上 到这个终点上，那么怎么办呢？这里边做终点的方式很多啊，这已经有个终点了，那我再找他的终点，直接就是了。这两点连线交到这，这个就是 f， 因为这是九十度啊，九十度的弧圆心角，那这个是圆周角四十五度，所以说只需要做四十五度就可以啊， 哎，这个点就是要的，因为啥呢？这个是九十度的 九十度圆周角，这是，哎，九十度的圆心角，这是圆周角，四十五度也是这个。 第一个是桦树圆心 o， 那 这个好画了，把它一连就行了。是不是桦树圆心 o 在圆 o 上画出 d 是 a c 得 a d a c 得 a d a d， 那 做垂线呗，做垂线呗，这个是一点五乘二，那我就画个二乘一点五， 我用三四五做标准也行，我不用三四五呢，我就用这个小图形都可以， 用三四五的话也行，除以二不就是一点五乘二的问题了？总之做垂线，做垂线，我给你画这个图，就告诉你这里边隐含个全等或者相似的问题。下一个 a e 平分角 c a e 应该是 c a b 吧。第几题？这是第十四题啊， c a b 吧 啊？ c a b c a b 啊，这会打错了，做一下午啊，做的有点晕了。 c e 平分平分角，那弧就等，所以相当于找 弧 a b 中点。想找弧 a b 中点，我们可以用弦来替代，这个弦是隔点做出来的，所以它的中点线成的一连 平分弦，一定平分弦所对的弧，那这个点就弧中点，一连就可以了。划一下， 先出弦，再出直径，再出点，再出角。平分线 啊，下个题啊，就在弧上去做了。弧是圆的一部分，任何一段弧它都存在对应的圆心， 还有半径，所以说画圆的弧所在圆的圆心就是找中垂线一样的啊。找中垂线，说 ab 中垂线和 bc 中垂线 交点就圆心，那这个圆要让你画出来的话也行，没问题的，能画出来圆在这啊，没有让我们画，那这个也是圆心。找到之后， 让我们找一点 d 使角 a d b 等于 a c b， 那 圆中角呗， 圆中角呗，对不对？那我要找到圆的半径，因为我们不需要画圆，这是根号五，这是根号五，这是根号五，所以说圆的半径根号五，那这个点 d 在 这就行， 在这也行，只要这个，只要这一侧都行，在这也行，在这在这都可以啊，我们看一下， 大家看我画的一个根号，我看在这，我连一下试试， 哎，不是连，它是连啊， a、 b， a、 c、 b， 那 就得连，连错了，连 b、 d， 然后再去连 a、 d， 这不圆周角吗？ 哎，只要确定半径是根号五，它就在圆上，所以这些点都行，都可以啊，都可以 下一个呢，和这个界面一样了啊，那这里边就有个切切线的问题，这俩就不说了，切线的问题啊，前俩都一样，这个切线呢，也是我有隔点，能看出来，我们就直接画了，看不出来就需要用 点和圆心连线，然后呢利用弦，利用对称性去构造。呃，今天呢把这个网格做图体呢？呃，给大家分享一下，时间有点长，大家呢？呃，尽量看完之后再去做一遍 啊，因为园中这个格点问题啊，他还有一些盲点作图啊，如果说将来有机会，我再给大家做一期盲点作图，什么叫盲点呢？这个点没在格点上 哎，在任意位置，这个时候我们如何利用几何图形去在园中进行网格作图？今天的课呢？到这里谢谢大家。

来一道网格做图的题，如图，在每个小正方形的边长为一的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点 abc， 均在格点上 点 p 为线段 ab 与网格线的交点点 p 与 ab 这条直线与网格线的交点 ab 的 长为多少？ ab， 那 么把它放在一个直角三角形当中，这个是三，这个是四勾三股四弦五，直接秒杀。第二，请用无刻度的直角在如图所示的网格中， 分别在线段 a c、 b c 上画出点 m n， 使得 pm 加上 m n 最小。将说明点 m n 的 位置是如何找到的？ 这两个线段上，一个 m 点，一个 n 点，要求 pm 加 m n， 我 随便换一点啊。假如这上面是 m， 这是 n， 那 你要求 pm 加上 m n 的 最小值。哎，这是不是有点我们那个将军印码呢？ 相当于在合上找一点，哦，使得这个是最小值。那不得找对称点吗？如果我找见 p 的 对称点，我 p m n， 只要在一条直线上， 两点之间线段这段只要是在直线上， 那我不就是假设啊，这儿是 p p m 加 m n， 这不就是 这个线段最短吗？也就是说，我现在的关键点是要找 p 点的对称点，我怎么找 p 点的对称点呢？ p 在 a b 上。 关于 a c 这条直线的对称点。哎，那我就数网格喽。你这是三格，竖着是四格，那我关于你再往这边数呗。啊，这个点过来。 呃呃，啊，这是三格，这边三格，那就这边三格， 这边四格，那就这边四格。关于 a c 对 称， a c 是 四四，这不四十五度的吗？哦，那我连接这个点和这个点，你看三四三四，你看是不是关于 a c 对 称了。 ok， 那 我还得找见这个 p 点。你这个 p 点是和隔线的交点，那我这儿不也是和隔线的交点了吗？不就是这个，不对，不对，绝对不一样。这个， 哎，这个竖着的一二第二格的，这， ok， 那 它就是屁撇点，也就是屁撇和屁是关于 a c 的 对称点，然后我还要求 pm 加 m n 的 最小值。 哦，我除了你 m n 在 一条直线上，你看我屁点找出来，那我是不是随便画？ 随便画直线，直线上是最短的，但是直线当中还有最短的，那就垂线段最短喽。 点到直线的垂线段上边，经过 m 点，经过 n 点，那就更短了。 ok， 那 我相当于现在就是要做一条过屁撇点的垂线， 妈呀，这垂线咋做？你这个格点也不是中点，我还不能用这种交叉法。嗯，哎， 我要做垂，那我不就关于这个横格线的对称点吗？想办法啊，假设我这个对称轴又变成了这个， 哦，你这一二三我也数，一二三，那就连着。哎，看我对称了吧，对称之后， 我的屁点的对称点在哪里？不就又是和这个隔线的交点吗？哈哈，屁撇撇， 好啦，找见这个对称点，两点确定一条直线，我连一下， 哎，这样一连，这样连完了之后，那这条线就是平行于它的。 嗯，应该是的。为啥呢？因为你是关于你的对称点，那你这不就是，呃，轴对称图形，那这不就是垂直平分吗？ ok， 那 我就找出来喽。那我找出来的这个和它的焦点就是 m 点，和这个 bc 的 焦点就是 n 点。 搞定，然后我再连接一下 p m m n， 这不就是最小的距离吗？你看，哎，关于它的对称点，然后还是垂线段最短搞定，看看你听明白了没有？关注我吧？

同学们好，今天我们来讲一道网格作图题。首先看一下题目，如图是一个八乘八的网格啊， a、 b、 c 三个点是格点，点 p 在 线段 a、 b 上，它的具体的位置呢是不知道的。 然后按照要求完成以下的作图。首先第一问，将线段 a、 b 沿 bc 方向平移， 使点 b 与点 c 重合，画出平移后的线段 d c。 那 么线段的平移实际上就是数格子。我们发现 ab 是 一个横三竖四的这样的一个线段，所以平移之后的线段仍然是一个横三竖四的线段。点 b 到达点 c， 所以我们从点 c 往左数三个，往上数四个，找到这样的点 d 啊，连接 cd， cd 和 ab 就是 平行且相等，也就是我们想要的线段。 好，我们再看后面再在 d c 上画点 e， 使二倍的 c e 等于 ap。 点 p 是 在线段 ab 上的，它的具体位置不知道。点 e 在 线段 cd 上， 所以我们发现 ap 和 c e 本身是平行的，如果还要满足二倍的 c e 等于 ap， 那 我们就能够想到网格图中比较常用的 x 形和 a 字形的相似， 也就是在 c d 上。我们假设随便找一个点 e 连接 pe 与 a c 的 交点为 m， 因为 a p 是 平行于 c e 的， 所以三角形 a p m 此时肯定是相似于三角形 c e m， 那 他们之间的关系就是题目要求的。 a p 比上 c e 等于二比一， 那么 am 比上 cm 肯定也是二比一。但是本题并不是通过点 e 的 位置来确定的，而是要找点 e 的 位置， 所以我们应该从后往前啊，先找到 am 比上 cm 等于二比一，然后再构造出这样的相似三角形 a m 比上 c m 等于二比一。因为 a c 数格子发现是六格，所以找到这样的一个点 m 啊， a m 是 四格， c m 是 两格，连接 pm 并延长它与 cd 的 交点，就一定是我们想要的点 e， 这是第一个，我们再看第二个，在图二啊，给了同样的三角形 a、 b、 c， 要在 a、 c 上找到点 f， 使得三角形 c、 b、 f 相似于三角形 c a、 b。 假设我们随便标一个点，这是一个 f 点，连接 b f， 观察这两个三角形 c、 b、 f 和 c a、 b， 会发现他们有一个公共的角角 c。 在 这样的情况下，如果想构造两个三角形相似，我们讲两个方法。第一个方法啊，这是我们比较熟悉的母子形相似，所以通过线段来确定点 f 的 位置， 也就是找到啊以点 c 为公共角的这样的一个边啊。 三角形 c、 b、 f 相似于三角形 c a、 b， 那 么 c b 比上 c a， 就 应该等于 c f 比上 c、 b， 交叉相乘， 代入数据， 所以我们能够确定 c、 f 的 长度为六分之十三。六分之十三，也就是从点 c 往上面数六分之十三个长度。哎，他不是一个格点，不是一个格点的话，就需要我们利用 a 字形或者 x 型来构造这样的点。 那我正常都怎么找的呢？既然要找 c f 等于六分之十三，也就是从 c 往上数六分之三个单位，先把它给拆开，六分之十三是二又六分之一，相当于从点 c 往上数两个数到这个位置， 再往上数六分之一啊，也就是将这个线段给割开，割出一个六分之一。 正常情况下，我们假设这个点是 m， 这个点是 n， 找到一个点，使得它的长度是 m n 的 六分之一，构造等分点的方法。那我们举个例子啊， 这样的一个线段， m n 要找到一个点，使得，假如说点 p 吧，使得 m p， 嗯， 数着点 p 吧啊，假如说 n p 比上 m p， n p 比上 m n 等于一比六，那么这个点 p 是 个六分六等分点，也就是说它要满足 n p 比上 m p 等于一比五。 所以啊，从点 m 往左数五个啊，数到这个位置往右数一个啊，这个位置连接 啊。补一下，图，此时出现了一个非常明显的 x 形相似，上面线段长度为五，下面线段长度为一，相似比为五比一，那么他们的焦点就是我们想要的点 p， 那么这个图我们会发现，哎，如果 m 往左数五个，它格子不够，格子不够怎么办呢？啊？之前有同学说，那我把旁边补一个格子，哎，不就够了吗？ 但是这个东西在网格图中是禁止的，他给我们限制了格子，哪怕你补的格子啊，再标准拿这个刻度尺直接量出来也不行。 那这什么那，那怎么办呢？这种图形格子不够的图形，我们处理的时候采取的是一个放缩的方法，五比一，不够，五比一， 那我们对这个东西进行一个缩小，两个数值都缩小成原来的一半。二点五， 二点五比上零点五，相当于 m 往左数二点五， n 往右数零点五， 这样的话，两个图形的相似比二点五比零点五，也就是五比一，那么 m 往左数二点五，处理方法跟我们刚刚的一样啊，数一下，一个两个，相当于你要找这两个点之间的终点，那终点的话 从八连接就知道了啊，我们是可以利用矩形的对角线来画的，找到它所在的矩形，这样一连这个点就是我们想要的终点 n 呢？同理， 这两个点一连这个点也是终点，此时连接这两个点，上下之比为二点五比上零点五，也就是 五比一，这个点就是我们想要的啊，点 f， 他 满足 c、 f 等于六分之十三，所以连接那图形就画出来了啊，这是第一个方法， 那我们再讲第二个方法，除了分析线段，分析这个边角边的相似方法的话，还有就是只看角度，因为三角形 c、 b、 f 相似于三角形 c、 a、 b， 那 么肯定会有角啊。 b c、 f 等于角 a、 c、 b 等等 b c、 f a c、 b， 它实际上是一个公共角，我们刚刚分析过了，所以你需要啊，构造出一个角 c、 b、 f， 它等于角 c、 a、 b 就 可以了。 那在网格图中如何构造角等呢？它的构造方法实际上和二次函数里面的角度处理方法是一致的，也就是我们构造它们的正切值相等， tan 角 c、 b、 f 等于 tan 角 c、 a、 b 即可。那看一下 c、 a、 b 摊定值的话，肯定是要放在直角里边的啊， a、 b 摆在这，我们发现点 b 往这边做一个垂线段的话，它是一个 横三竖四的小直角三角形，所以 c、 a、 b 的 正切值应该是四分之三。 那么这个问题就转化为，我要在线段 a、 c 上找到一个点 f， 使得 tan 角 c、 b、 f 等于四分之三，那么正切值为四分之三，该如何换呢？啊？不管这个问题怎么样，正切他肯定是出现在直角三角形中了， 也就是 b 为这个角的顶点， bc 为一边，我们过点 c 做 bc 的 垂线段，垂线段怎么画啊？这个七年级就学习过数格子， bc 是 一个横三竖二的一个线段， 所以从点 c 往左数两个，往上数三个，构造一个 k 字形的全等。假设这个点为 m， 连接 cm， 那 么 cm 与 cb 就是 一个垂直且相等的状态，此时正切就要利用这个图形来进行转化。 我们要在 c m 上找到一个点 p， 它满足 c p 比上 c b 等于四分之三的话，那么 tan 角 c b p 就是 c p 比上 c b， 也就是四分之三。但是 c b 和 c p 它们是垂直的关系，我们不太好确定这个点 p 的 位置， 就要利用上面的方法找等分点。如果我将 c b 转换为 c m 的 话，也就是找到一个点，使得 c p 比上 c m 等于四分之三， 那就意味着点 p 是 c m 的 一个四等分点，它靠近点点 m。 哎，这个问题上面也就已经讲过了啊，再做转化，那么 c p 比上 c m 再做转化，那么 c p 比上 m p 实际上就是三比一，所以三比一怎么画呢啊，不管你是从点 c 往上数三个， 点 m 往下数一个，哎，一连还是一个一比三的相似焦点就是我们想要的啊 p， 那么这个时候连接 b p， bp 与 a c 的 交点就是我们想要的 f， 因为此时角 c b f 的 正切值为四分之三。好，这是第二小问好，我们看第三小问啊， 在这个 a b 的 延长线上找到点 q， 使得 a q 等于 a c 发出 a b 的 延长线，找到一个点 q， 使得 a， 那 a c 的 长度为六，相当于我要在 a b 上 ab 的 延长线上找到一个 q， a q 为六，那么 a q 比上 ab 就是 一个六，比五 b 是 一个六的分点， 那这个怎么办呢？好，我们前面都是利用 x 型相似来作图，等级呢，就可以使用一个 a 字形的相似， 也就是 ab 为五。如果我在 a c 上也找到一个点，比如说 b 撇， b 撇， ab 撇是五，那么连接 b b 撇， 我再过点 c 做 b， b 撇的平行线就会形成 a 字形相似，相似比为五，比六， 平行。看，前面也讲过了， b b 撇是一个横三竖一的线段，过点 c 找到一个横三竖一的线段，连接并延长，得到的焦点就是我们想要的点 q 啊，就是这样的一个办法。

好同学们，看教材第八页的题型七点一。第一题如图，直线 a、 b、 c、 d、 e、 f 三条线相交于点 o， 写出角 a o c， b o e 的 邻补角。 这个时候呢，我们就要回顾我们关于邻补角的定义。如果两个角有一条公共边，并且另外的一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为邻补角， 更通俗的来讲就是它互补相邻就是有一条边共边，所以我们来看一看 aoc 角 aoc 的 邻补角 aoc 在 这里先画出来和它相邻且互补的，是不是这里有一个 这个角是 a o d 是 它的邻补角，相邻且互补。还有一个是这里的这个 b o c， 这个角也是它的邻补角，相邻且互补，所以我们把它写出来， 角 a o c 的 邻补角，角 a o d 一个， 角 b o c 一个。接下来，角 b o e 的 邻补角，角 b o e， b o e 在 哪里？ b o e 在 这里， b o e 相邻且互补的是不是这个 a o e 算一个，还有这个 b o f 算一个呀？ 角 b o e 的 邻补角， 角 a o e 算一个，角 b o f 算一个。 就是关于邻补角这个概念，我们就是呃定义，比较定义，那句话比较啰嗦，我们就可以简单地理解为它相邻互补就是互补，是我们上一学期学的相邻的话，它就是两个互补的角，有一个边是共边的。比如说我们举个例子，就像 a o c 吧， a o c 是 这个角，它的这个邻补角 a o d， 这两个角相加等于一百八，它互补，并且它们有一条边 o a， 这是不是一条公共的边互补有一条公共的边，这样找邻补角会比较方便一些。 第二个想问，写出 d o a e o c 的 对顶角。对顶角 是二线四角里面最简单的那一种，就是两条线相交，相对的两个角是对零角，所以 d o a d o a 的 对零角就是我们的 b o c。 然后 e o c， 它的对零角对称过去，我们的 d o f 就 ok 了， d o f 就 ok 了， d o f 角 b o c e o c 角 b o f d o f 角 d o f 第三问，如果 a o c 等于五十度， a o c 等于五十度，求 b o d c o b。 我 们把这个五十度标到图上， a o c 这个角 五十度， b o d， b o d 跟它什么关系啊？先找一找 b o d 和这个 a o c， 它是不是一个对顶角的关系？对顶角相等，所以说角 b o d 呢？等于五十度。 c o b 在 哪？ c o 换个颜色 c o b 在 这里， c o b。 我 们很容易发现它和 a o c 是 一个邻补的关系，邻补的话，那它就等于一百八十度减去 a、 o c 喽。 所以 c o b 呢，它就等于一百八十度减五十度等于一百三十度。 第二题，如图，在一张半头名的纸上画一条直线， l， l 上任取一点 p， 在 l 外任取一点 q， 折出过点 p 且与 l 垂直的直线。问，这样的直线能折出几条？为什么过点 q？ 哼！过点 p 与 l 垂直？那如果我们要通过做图的方式来做过点 p 与 l 垂直的线的话，是这样做的，就是先用一个三角板的一条直角边，让它与 l 重合， 另外一条直角边呢？经过这个点 p， 然后我们就可以做出过点 p 且垂直于 l 的 一条线， 然后过点 q 且垂直于 l 的 一条线，道理是一样的，用一个直角三角板，直角边一条边跟 l 重合一条，边过点 q， 然后做出这个过点 q 且垂直于 l 的 线。 然后我们就很容易发现，这样的直线是不是都是只能折出来一条呀？为什么？这就要 涉及到我们垂线的基本事实啊。垂线的基本事实在教材的第五页。在同一平面内过一点，有且只有一条直线和一只直线垂直， 前提条件是在同一个平面内。如果在不同的平面内的话，那可能不仅有一条了，那可能却有好多条，就是你投影下去，它是垂直的一种关系。所以说在同一个平面内，同一平面， 然后有且只有一条垂直过一点，有且只有一条。 第三题，直线 a、 b、 c、 d 相交于点 o、 a、 b、 c、 d。 二线四角相交于点， o、 e、 o 垂直于 a， b， e、 o 垂直于 a、 b。 画上直角符号，垂直为 o， e、 o、 c 等于三十五度， e、 o、 c 等于三十五度。给它标上去， 然后求 a、 o、 d。 我 们看我们的目标角 a o d， a、 o、 d。 如果你直接看 a、 o、 d 的 话，它可能不太好找，但是 a、 o、 d， 我 们能发现它是什么呀？它是不是和我们的 b、 o、 c 是 一个对顶角的关系？它和 b、 o、 c 是 对顶角的关系。 根据对顶角相等这样的一条规律，我们就会知道，角 a、 o、 d 等于角 b、 o、 c 的 度数。角 a、 o、 d 等于角 b、 o、 c， 这是对顶角相等。角 b、 o、 c 又等于什么呢？角 b、 o、 c 又等于角。 角 b o e。 加角 e o c。 角 b o e 是 我们的九十度， e、 o、 c 是 三十五度，所以 b o c 跟 a o e 这两个对顶角，这一对对顶角都是我们的多少呀？ 一百二十五度。 第四题画 a， e 垂直于 bc 啊， bc 在 这 a， e 垂直于 bc， 你 想肯定是这样子画的，然后 cf 垂直于 ad， ad 啊，直线把它两边延长一下， cf 垂直于 ad。 垂足就是两条线的交点，分别是 ef。 同样拿出我们的三角板， 先画 a， e 垂直于 bc， 让一条边和 bc 重合，一条边过点 a， 然后把这个三角板这样放到这里，然后是不是就可以画出这条垂线了，然后垂足是 e， 所以 这个点标为 e， a， e 垂直于 bc， c， f 垂直于 ad。 如果我们三角板这样子放的话，就是一边 重重合于 b， c， 一 边经过点 c 这样的一个三角板，然后你会发现它和 ad 现在看起来好像是不相交，因为在这个图里， ad 呢是一个线段， 我们先把这个垂线画出来，先把垂线画出来，然后把 a， d 向右延长一下就 ok 了。向右延长一下，延长的话，我们可以把它画成虚线， 这样就会有一个焦点，这个焦点我们垂，如果是 f 就 ok 了。 a， e 垂直于 b， c， c， f 垂直于 ad。

今天我们分享一个平面直角坐标系啊，三角形的面积。一个问题，在平面直角坐标系中，有点 a 二到四， 点 b 零到二，落在平落在坐标轴上，有一点 c， 不 与点 b 重合，使三角形 a、 o c 和三角形 a、 o、 b 面积相等，让我们求点 c 的 坐标啊，这个时候没题里没有给我们坐标系，我们可以画一个图啊，可以画一下 啊，我们的点 a 二到四啊，也就是在这个位置，这是 a， 点 b 零到二， 哎，这个是我们的点 b， 点 b。 好， 呃，我们现在说 a aob aob 就 应该是 o 啊， aob a o b 就是 这么一个三角形。那么说，我们现在有一点，有一点 c 在 这个坐标轴上啊，不与点 b 重合，让我们面积与这个 a a、 o b 相等， a、 o c 要与 a、 o b 相等， 那我们先看看 a o a、 o b 的 面积啊，是不是可以 o b 啊？我来写一下 s 三角形 a、 o b 是 不是等于二分之一，以谁为底啊？以 o b 为底为底，也就是 x a 横坐标， a 的 横坐标啊，这是一个 啊，面积它等于多少？这是二，然后这也是二二乘二四，它的面积是等于二。所以啊，在如果这一点点 c 呢，可以 要么在 y 轴，要么在 x 轴啊。第一种情况，如果这个点 c 啊，点 c 在 x 轴上， x 轴上，那我们是不是假设我们的点 c 在 点 c， 点 c 是 不是这么连的，对吧？ 这么连，那我们这个三角形面积 a o c 是 不是等于二分之一的 o c 乘以一个 y a 等于说点 a 的 纵坐标， 这样我们点他的重作表有了，也就是等于二分之一乘以四，也就是二倍的 o c， 然后面积和它相等是等于二，所以我们的 o c， 它就应该等于一， 那么 o c 等于一， c 点的坐标呢？一个是在在，这是等于一，对吧？ o c c， 一个是在负一的位置，负一的位置，这不也是等于一，所以 c 点的坐标是一到零或 啊，负一到零，这是第一种情况，那我们的第二种情况，也就是点 c， 点 c 在 这个 y 轴 y 轴上，那同样呢，我们的 s 三角形 a， o c， 它的面积是等于二分之一的，假设我们的这个在 y 轴上点 c， 假设在这，那我们组成的三角形 换一个颜色，哎，就是这样，所以我们的面积可以等于 啊，等于谁呢？二分之一的 o c 同样乘以 x a 啊，啊，这边面积还是二，它等于二分之一的 o c， 那 这个也是也是一个二啊，所以呢，这个 o c o c， o c 应该是等于呃， 二一， o c 是 等于二， o c 等于二， o c 等于二。我们再看这个题里，我们的点 c 啊，不与点 b 重合，因为点 b 啊， o b 也是等于二，所以我们的这个 c 点的坐标就是一个 零，都负二。所以最后我们的答案， c 点的坐标就是 一斗零啊，负一斗零，还有一个就是零斗负二啊，这三种情况啊，希望这个题对你有帮助。

就是咱们七下册呢，是我们整个初中来说啊，是最难的一个坎啊，就七年级下册是我们特别咱们本市大版的啊，七年级下册是咱们最难的一个坎，为什么呢？ 给大家看一下我们的课本啊，看一下目录，你看这个第一张呢，这个是整式的乘除，这里面啊一共有十二种这个计算啊，一共有十二种计算， 那么这个是非常有难度的啊，而且呢我们必须得是把每一种计算方法全部去掌握， 同时呢他会混在一起来考，而且呢就是混在一起的计算方法也要能够会，还有呢他要考我们逆运算，这里面有很多的逆运算啊，有十二种类型，咱们都是需要呢熟练去掌握。那么 这个是第一张的，你看第二张呢，他又是几何了，对吧？几何呢又是比较有难度的，对吧？又是比较有难度的啊，咱们大家都知道这个几何很难， 然后呢我们的第三张叫做感受可能性，哎，这张还可以，然后呢第三，这个第四张三角形，这个是超级难的啊，三角形这里面呢有我们关于全能三角形的这个知识啊，是超级难的 这道，我们的这个第五张叫做图形的对称，这个呢经常会考我们大题，对吧？有的会考亚洲题，三十分的亚洲题， 对吧？这个呢我都会给大家去补充像咱们这些专项的这个题目啊。然后第六张是这个变量之间关系，这个呢是难度是中等偏上的，那么因为我们啊这个整一侧的难度，总体来说呢非常难。 我们讲课的过程中呢，我都会给大家去补充考题考点啊，咱们的这些专，咱们的这个拓展的这个题目 啊，甚至于一些亚洲体给大家去补充啊，这个答案我提前给大家说啊，咱们才能够把它去学透啊。好，那么呢，我们今天呢先来学习我们第一章的第一节叫做密的乘除啊，叫做密的乘除， 那么我们大家看第一张叠结密乘除，当你看到标题的时候啊，你首先看到哪个字啊？ 当你看到标题的时候，你首先看哪个字？是不是首先看这个字，首先看是密，对不对？那么这个密大家想一下我们之前有没有接触过，有没有接触过密啊？ 那么呢大家想一下，我们初一的上册啊，咱们初一上册，咱们初一上册是不是学过 几个相同的因素的乘积的这个运算，咱们是学过的，对不对？就是你比如说我这写一下啊，我比如说二 来乘以二，再来乘以二，这等于什么？是等于二的三次方， 对不对？就是表示几个相同因素积的运算，我们把它叫什么呢？我们把它叫做乘方，对不对？我们把它叫乘方啊，表示几个相同因素的积的运算，我们把它叫乘方。再我给大家写一下啊，表示 几个相同因素， 表示几个相同的因素 g 的 运算， g 的 运算， 我们呢把它叫做这个乘方，对吧？那么我们现在今天学了个幂啊，学了幂，那我们的幂跟这个乘方有没有关联呢？有没有关联呢？ 那大家看一下。好，我这个二乘二，乘二等于二的三次方，那我们呢 二乘二，乘二，我再乘二，再乘二，这我要写什么呢？就是有五个二相乘，它就是二的五次方了吧？是不是二的五次方了， 对不对？那么如果说我是这个 a 啊，你看我这个 a 有很多个 a 相乘，有多少个呢？有矮英个 a 相乘，哎，我这个 a 乘以 a 乘以 a， 然后呢？有很多个，有很多个，有很多个啊，很多个的话呢？那么同样的，我们是不是就是 可以写成这个 a 的？ 如果这里面一共是有 a 个，一共是有 a 个啊，那么它是不是就是等于我们 a 的 a 次方，对不对？大家想一下，是不是是 a 的 次方， 对不对？因为你有几个相乘，有几个相乘呢？哎，就是比如说五个二相乘二的五次方， a 个 a 相乘的 a 的 次方， 对吧？那我现在有了一个 a 的 引次方，有个 a 的 引次方，那么大家看一下啊， a 的 引次方里面， a 的 引次方里面啊，你说这个 a 它叫什么？你说个 a 它叫什么？ 这个 a 你 很明显它在底下的数吗？它在底下数，我们呢把它叫底数啊，把它叫底数。 那么相比这个 a 呢？你是矮英，他在 a 的 肩膀上面的，对吧？他好像在 a 的 肩膀上面，他在上面的，那么上面的话呢？这个矮英是什么？矮英什么？ 有的人说说这次数啊，这个你要去倒立啊，那么我们这个矮英叫做指数，大家记住啊，这个矮英叫做指数， 叫做指数，叫做指数啊，那么这个底数底下的数叫底数，你记住啊，在肩膀上的数叫指数，这个底数呢，实际上是什么呢？这个底数实际上就是它都是相同的因素， 相同的因素啊，相同的因素，那这个指数呢，就是指我们这个相同的因素的个数， 就是因素的个数啊，你也可以剪辑成就是数的个数，因素的个数， 知道吧？比如说我这里面是矮音跟 a 相乘的，那么这个矮音就表示这个 a 的 个数啊，这里面比如说我是五个二相乘的，那我这个五呢，代表就前面它有五个二来相乘，就是因素的个数， 而我这个整体，这个整体啊，这个整体 它叫什么呢？这个整体就是咱们这节课要学的了，它就叫做密啊， 它叫做密，对吧？它叫做密，这就是我们啊，你看，我先给大家说这个密，它什么意思啊？密的乘除什么意思？那么 这个整体叫做密，就是我们的表示几个相同因素积的运算，我们把它叫乘方，而这个乘方的结果，这个乘方的整体结果叫做密，这是我们乘方之后的一个整体的结果， 他叫蜜啊，你为了好记的话呢，这个蜜有一个明星，对吧？叫杨幂，就是杨幂的这个蜜啊，就这个蜜，你把它记住了啊，这就是咱们的蜜啊。好，那么接下来呢，我们接着来说啊，关于我们第一个知识点， 咱们的第一个知识点啊，大家来看一下，你看我这个二乘二乘二乘二乘二，是不是前面的每一个都是二，他每一个都是二啊？每一个都是二，而这个二我刚给他说了， 这个位置叫什么呢？叫底数，叫底数吧，叫底数。所以呢， 咱们我刚才跟你列的这些柿子，这些柿子，这些柿子叫什么呢？叫做同底数。蜜啊，就是我们得到这个结果，得到这个结果啊，它是蜜， 那么咱们再来就来说这个啊，就是我们的同底数蜜。 咱们来说咱们第一个知识点啊，这个同底数密。那么现在我给大家区分一下啊，看一下大家会不会区分。你比如说我写一个啊，就是二的三次方，它和 我们的二的五次方，你说这两个是不是属于同底数密？ 是否是否是属于同底数密啊？怎么来区分呢？你就看给大家说了，顾名思义啊，顾名思义， 顾名思义啊，同底数密，看它的底数是不是相同的，你看它的底数是二，它的底数是二，所以呢，它俩是属于同底数密，它俩属于同底数密啊，哎，它俩是属于同底数密的。再来写一个 三的这个三啊，我就写个三和我们的三的三次方，你说他俩是否属于同底数密？是否属于同底数密？ 有的同学说，老师这个不太确定了，为什么你不能不太确定了呢？就是因为啊，这个三他实际上也有个指数， 你看它没写，但是呢，它省略了，它只是几呢？它整数，它的指数是一，知道吧？它只是一，就是省略了，那实际上呢，这是三的一次方，这三的三次方，那这两个呢？它们的底数相同量，它们底数相同的，也是属于同底数密 啊，也属于同底数密。好，你也可以再列举啊，你也可以列取，对吧？看一下你能不能列举出来咱们属于同底数密的。 那么我接着说啊，再给大家列举一个，我多举几个啊，比如说我的九的二次方和 九的五次方，我让你判断他们俩是否是属于同底数密。那我们只关注什么呢？你，咱们就关注他的底数。行了，只要他们的底数相同了，看到吗？他们属于同底数密了啊，属于同底数密了。好，那我再来列举一个 我的二的三次方和我的三的二次方。哎，你说这俩是不是属于同底数密了？这俩是否是否属于同底数密啊？ 告诉我呀，这两个是不是属于同底数密了？哎，这个就不是了吧，因为啊，它的底数是三喽， 对吧？底数不一样了，底数不同了，所以呢，就不是同底数密了，这个就不是了。首先我们把这个要识别啊，那我再写一个我的这个二的， 再写个啊，比如说我三的五次方和这个五的三次方吧。哎，你看这两个它是否属于同底数密？它是否属于同底数密啊？ 哎，对，就是，咱们关键看看什么呢？看他底数的位置，这个底数是三，这个底数是五，底数不同了，所以他俩不是属于同底数密啊，这不是了。好，那现在呢，大家知道怎么判断 这两个是否属于同底数密了？那我们要研究个新的内容啊，咱们来看一下我们课本上面的这个例题，看一下课本上面例题啊， 风的这个光，它在真空中的传播速度约为三乘十八四分米每秒，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星， 它的它发出的光啊，到达地球呢，大约需要四点二二年，那么一年呢， 是以三乘十的七次方秒来计算的。那这个比邻星它与地球之间的距离大约是多少米呢？大约是多少米啊？ 这个呢，我们抓住本质啊。抓住本质是让我们算什么的？是让我们算比邻星和地球之间的距离的， 是吧？那我要算距离呢，你看他告诉我什么了？他告诉我光的传播速度了，是告诉我们了吧？光的传播速度告诉我们了，速度告诉我们了，然后呢又告诉我们呢？ 这个光要到达地球需要几年呢？需要四点二二年，需要四点二二年。一年有多少秒呢？一年以这么多秒来计算的，以这么多秒来计算的啊， 那么我们就知道了，要求距离是不是等于速度乘以时间，速度乘以时间是不是就是三 乘以个十的八次方，三乘以十的八次方，这个是我们的速度啊？就我们要现在要求它的这个距离，就是路程 s 等于 v 乘 t， 对 不对？等于 v 乘 t 啊， 那么它就等于我现在的速度呢？是三乘十的八次方了，现在我再乘以它的时间是四点二二年。四点二二年啊，那么这个四点二二年呢？它一年又是这么多秒，所以呢，就是三乘以十的七次方秒去乘以我的四点二二， 这个整体是我们的时间啊，就是多少秒？这个我们的是秒数，知道吧？这是一秒的能够跑的路程就是速度乘以秒数，我们达到的是这个路程，就是距离， 对吧？那么我这个式子列好了，我们呢利用这个乘法的分配率啊，你看我利用乘法的啊，不利用咱们乘法的交换率啊，我们给他换个位置，换个位置啊，我把三 把这个三写前面来，再把这个四点二二呢也给他写到前面来， 那接下来我要干什么？接下来是不是这个十的八次方就得写到后面来喽，十的八次方写后面来，还有个谁啊？还有个十的七次方也要写到后面来，是吧？然后呢，这等于，那你看我们的 这一串算出来是多少？这一串算出来是三十七点九八，是吧？再来乘以。接下来问题来了，就是什么呢？我十的八次方乘以十的七次方， 这怎么算呢？我的这个十的八次方乘以十的七次方，怎么算呢？ 大家看一下他们俩，看一下他们俩的叫什么？他是底数吧，他是底数吧？是不是同底数密了？他们俩是不是同底数密？是不同底数密？这就涉及到了什么我们的第二个知识点了啊，就是我们同底数密乘法， 同底数密它的乘法啊，同底数密乘法，我们该怎么来算？该怎么来算啊？ 好，那么呢，我这边啊，咱们就要来算关于同底数密的乘法的这个计算了啊，来，咱来看同底数密乘法的运算的法则。首先来看啊，二乘以二和这个二的平方，乘以二的三次方 来，这个二的平方乘以二的三次方， 二的平方，大家知道，就是两个二相乘，对不对？哎，他就是两个二相乘 二的三次方呢？是三个二来连成，对吧？二乘二，再乘二，他俩又相乘喽，他俩又相乘了，他俩又相乘了，是不是？于是这等于什么？ 于是这等于什么？是不是五个二来连成了？是不是？五个二来连成了，对不对？就是应该是二的五次方了吧，应该是二的五次方了吧？ 是不是那么二的三次方乘以三的三次方乘以三四次方呢？那么前面，哎，我三乘三， 再乘三，就是三个三次方呀，那么三次方呢？哎，这是三乘三，乘三再乘三，就是四个三连乘，那么他们俩呢？现在他们俩又相乘喽， 他们俩又相乘了，是吧？于是呢，我们得到了，是不是就七个三来连乘，七个三连乘吗？就是等于三的七次方喽， 对不对？好，然后那么我们的下一个啊，十的平方乘以十三次方，那么这个是不是就是有两个十相乘，后面呢，有三个十相乘， 他俩又相乘了，哎，于是呢，就是五个十来连乘，就是等于个十的五次方了吧，十的五次方了吧。 哎，大家看一下，我通过三个小题呢，我们自己是不是能够总结一下，我们的这个桶底数密乘法是怎么来乘的？桶底数密乘法是怎么来乘的啊？ 大家能不能总结出来？ 来，我们现在啊，来总结一下，来看一下，我把这几个抄抄一下啊。 你看，二的平方乘以二的三次方，最终你看我们得的结果是二的五次方，得的结果是二的五次方，你看谁没变谁变了啊？你看看谁没变谁变了？ 三的三次方乘以三的四次方，他等于三的七次方了，谁没变谁变了？十的平方乘以十的三次方，他等于十的五次方，谁没变谁变了？ 看一下啊，谁没变谁变了，你会发现他的底数啊，底数没有变呢？底数还是二，对不对？可是他的指数呢？变成五了，五是什么？是不是二加三？是不是二加三？ 是不是？哎，这个呢，底数没变，指数变成七了，七怎么来的呢？是不是指数三加四？是不是指数三加四， 对吧？然后那最后一个底数没变，指数五是不是二加三来的？是不是二加三来的，对不对？就是，哎，底数它没有变， 指数相加了，二加三了，所以我们就总结出来了，同底数密相乘的一个法则是什么呢？底数不变，指数相加，底数不变，指数相加，是不是？哎，就是咱们课本上面的啊，看一下啊， 那么课本上面呢？给到我们，你看说我 a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方，这等于什么？ 底数不变，底数不变啊，指数相加，对吧？ m 加 n 次方，其中的 m 都是正整数，那么我们总结出来就是同底数密相乘的底数它是不变的，指数呢？相加就行了， 指数呢？相加就行了，对吧？好，接着呢，我们来往下看啊，我们这是咱们大家自己能够总结出来的吧，跟着咱们啊，咱们就能总结出来， 那么再来往下看，再往下看呢？哎，你看五的十次方乘以这个十的五次方乘以十的八次方，那咱就会了吧，就直接是十的底数不变，五加八次方喽， 五加八次方喽，就等于十的十三次方就行了，是吧？然后呢，十的 m 次方乘以十的 n 次方，底数是不变，指数相加 m 加 n 次方就行了，二的 m 次方乘以二 n 次方呢？同样的底数二不变，指数相加 m 加 n 次方呢，就是它的底数也是字母，指数也是字母了，大家可以看这个变化啊， 往上面，最开始的是底数是数字，指数也是数，也是数字，到这里呢，是底数，是数字，指数是字母， 到这里呢是底数，是数字母，指数也是字母了，看明白了吧？那么我们的这个规律依然是不变的，就是底数不变， 指数相加，对吧？ a 的 m 加 n 次方，这个呢，我们就总结一下啊，刚刚给它总结这个呢，我们把它总结出来，就是 同底数密相乘，同底数密相乘的，这个它的底数 不变，底数不变，指数 相加，指数相加啊，就可以了。那么呢，我们对吧，用这个字母去表示呢？就是 a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方，等于 a 的 m 加 n 次方，其中呢， m 赢都是正整数，对吧？其中 m 赢都是正整数，这个呢，大家啊，咱们要把这个知道， m 赢是都是正整数啊。好，接下来 咱们来看一点，稍微有点难度的啊，稍有点难度的，这不给大家拓展的啊，给大家拓展的， 五的十三次方乘以五的十二次方，它的结果的底数是什么？它的结果的底数是什么？ 这同底数密吧，很明显，你看它底数是五，它底数是五，底数同底数相乘，底数不变，指数相加，对不对？所以它的指数是什么结果的指数呢？相加十三加十二， 十三去加十二，等于个二十五，对吧？然后呢，它的结果，它的结果就是五的二十五次方了吧，就是五的二十五次方了吧。 好，那么二的十的二次方乘以十的八次方，很明显判断它是不是同底数密，是同底数密，对不对？底数十底数十，底数是不变的，还是十结果的指数二加八， 二加八，哎，等于个十，最后结果呢，十的十次方，对吧？那么负三分之一的三次方乘以个负二分之一，哎，那这个咱们又怎么来？算了啊？ 这个又怎么了？看一下啊，这里面涉及到什么了？大家看一下。这里面涉及到了一个， 它是负的啊，它的底数是负的哎，它的这个呢？二分之负，二分之一呢？它的指数实际上呢？它的指数实际上就是一次方。省略没写啊，但是它是一次方，这你要知道对不对？好，那这个关于 底数出现有负数的情况了，我给大家来拓展一下啊，我给大家来拓展一下底数有负数的情况了，那我写一个负二，它的平方大知道是多少吗？ 还有我的二的平方大知道是多少吗？ 负二的平方是不就是负二乘以负二，负负得正呢，不就是四吗？然后我二的平方呢，不也是四吗？是不是也是四？然后呢？再来一组，我一组一组跟你们说啊，再来一组， 负三的平方和我三的平方都等于几？你看负三的平方 负三乘负三嘛，对不对？负负得正啊，负三乘负三，负负得正，哎，就是九啊，就是九三的平方呢，不也是九吗？对吧？这个上个学期咱们学过的，学过的吧，那么再来一组， 哎，通过这个吧，就不用再举了，你看通过这个答发现一个什么规律啊？你发现一个什么规律吗？ 这个底数啊，负二和这个底数二是什么关系啊？是不是互为相反数，你会发现呢？互为相反数啊，如果底数互为相反数， 而它的指数呢？指数是偶次的，指数是偶次的，这个时候呢，他们的结果是相等的，对吧？这我写一下啊，就是底数互为相反数， 它的偶次蜜，它的偶次蜜啊，它的偶次蜜，它的结果是相等的，结果相等， 结果相等啊。好，那再来看这一组啊，比如说我的负二的三次方和我这个二的三次方， 它等于什么？它等于什么？负二的三次方，这个大家知道它是等于负八，对不对？它是负八而二的三次方，等于什么呢？二的三次方是等于八的， 对不对？然后呢，我们的再来一组， 二的这个负三的三次方和我这个三的三次方，你看负三的三次方呢？它是等于负的二十七，对吧？负三乘负三乘负三嘛，负二十七而三的三次方呢，它是正的二十七， 这你又发现个什么规律呢？看一下，它俩是属于底数互相反数，但是呢， 他们的这个指数，你看指数相同的，但是底数互为相反数，同时呢，这个指数是奇次的，指数是奇次的，看到吗？ 指数是奇次的，这个时候呢，它结果负八和八互为相反数，这个底数互为相反数，但是指数相同，而且都是奇次的，这个时候他们的结果互为相反数，哎，负二七和二七互为相反数， 对不对？就是呢，底数底数互为相反数， 底数互为相反数， 它的啊，底数互相反数的基次密，基次密，它的结果，它的结果啊，是互为相反数的， 这个结果啊，是互相关注的，对吧？这个呢，大家把这个记住啊，就是这个，你记住呢，你，咱们计算时候呢，哎，就方便为你去计算，方便为你去计算啊，那么于是呢，我们得到了， 比如说我再给你们啊，来列一个，那根据我们刚才所说的，这个底数如果互相反数，但如果它是偶次幂，相同的偶次幂啊，相同的幂，这个结果相同，那么我们的负二分之一，它的四次方和我的二分之一的 四次方，你说这个是不是应该是什么？是不是应该是相等的呀？这不就是底数互相反数，指数呢？是相同的。 偶次幂啊，相同偶次幂啊，对不对？那么如果是负的二分之一的五次方和我这个二分之一的五次方呢？ 这个也是怎么样的？那么就是负二分之一的五次方，这是底数互相反数了啊， 它们指数是相同的。奇次幂这个数呢？哎，它就是等于它的相反数了， 知道吧？就是他们的结果是互为相反数的结果，互为相反数了，对吧？好，那么这个大家明白了啊，我们呢就可以来看这个题，来看这个题啊， 负的三分之三次方和负二分之一次方，负的二分之一的三次方和负的二分之一的一次方， 实际上它俩是属于同底数密，同底数密吧，同底数密的话呢， 我就直接往后写了啊，同底数密的话呢，底数这个负二分之一是不用变的吧？底数负的二分之一不用变。指数相加三加一，是不就是四次方？是不就四次方， 对不对？三次方加一次方等于负二分之一的四次方，对不对？那咱能保留这个结果，咱们能不能保留这个结果？不能保留这个结果啊？要保留什么？要保留到他是和我们刚给他说的，他是等于二分之一的 四次方，他是等于二分之一的四次方，你可以算出来结果，也可以保留形式，对吧？二分之一四次方呢？是十六分之一 啊，他俩是，哎，这个相等的，然后呢？那所以这个他的结果，我们的他的这个结果的底数呢？这个结果的底数就是二分之一了啊，不再是负二分之一了， 知道吧？不再是负二分之一了啊，而是我们的啊，这个这个结果的底数呢？ 当然你这样就是你保留这个结果，他也是正确的啊，保留这个结果，他也是正确的。但是我们一般保留什么结果呢？一般我们是保留最终的结果，是保留这个结果，这个大家知道啊，一般保留最终这个结果，但是我们比如说这个题目，我给到你这个题目， 我们现在说他的底数，他底数就是负二分之一，是带着这个符号的啊，前面这个整体是他底数，哎，这个整体他底数，那么这个指数的结果，这个指数结果呢？就是这个四了，三加一啊，就是四了， 但是最终的结果，最终结果呢？负的二分之一四次方，就要写成二分之一的四四次方，对吧？这是我们最终的结果， 这个比较有难度的啊， x 减 y 三次方，乘以个 x 减 y 七次方， 那么这个时候呢，大家看一下底数是什么了？底数啊，这个时候不再是一个单独的数了，也不是一个单独字母，它这个底数呢，相当于是一个小整式了，这个底数是一个整式了， 看明白了吧？这个时候它底数就是 x 减 y， 这个整体是一个底数，这个整体啊，它是一个底数，那么它的值，这个结果的指数呢？就是 x 减 y 的 三加七次方，对吧？所以它的指数呢，最终是十三加七啊，最终结果是十。 那然后这个最终的结果呢？就是 x 减 y 的 十次方， x 减 y 的 十次方啊。好，再来看这个 负的 a 的 四次方，乘以 a 的 六次方。那么这个呢？我先问大家，这个我们要辨识它的底数，它的底数是什么？它的底数。 大家啊，这个时候有的同学他就拿不定主意了，说，老师，这前面有符号了，我怎么来确定他的底数是什么了呢？实际上他可以等于什么呢？大家看一下啊，他是不是可以等于 负一来乘以个 a 的 四次方，再乘以个 a 的 六次方，明白了吧？实际上它前面呢，它前面有个符号，实际上呢，前面有个负一来乘以它的这个那个一呢？省略了， 那个一被省略了，知道吧？所以呢，就是负一乘以它，所以它的底数呢？就还是 a 啊，它底数还是 a， 对 吧？底数还是 a 啊，它的结果呢？这个咱们就能算了吗？它等于什么？这个就是负一去乘以个 a 的 四次方， a 的 四加六次方，对不对？那个一就不写了啊，就是 a 的 四加六次方，就是最终等于负的 a 的 十次方， 对吧？最终等于负的 a 的 十次方啊，那么这个地方呢，它的结果是四加六等于十，最终结果是负的 a 的 十次方啊，最终也是负的 a 的 四方，那么这个 a 的 平方呢？乘以负的 a 三次方。好，那这个地方呢？ 就又到了，你看啊，他的底数是 a， 而他的底数是负 a 了， 对不对？他的底数是 a 啊，可是他的底数是负 a 了，那这个时候我们怎么去计算？这时候咱们怎么来去计算了？ 好，这个呢？同样的啊，我给大家说一下，刚刚我给大家举过了一个例子，举过一个例子啊， 当它俩不是同底数密的时候，我们需要转化，转化成同底数密，再来相乘，转化成同底数密啊，再来相乘。那么很明显，这个 a 的 平方来乘以负 a 三次方，可以写成什么呢？负的 a 三次方，可以写成 负的 a 的 三次方，知道吧？我举个实际例子，比如说，这不是负 a 三次方吗？那我负二的三次方，我是不是写成负的二的三次方呀？是不是写成负的二三次方呀？ 对不对？因为什么咱们的负二三次方代表的是三个负二来相乘啊？我给大家复习一下上册啊，你看，负二的三次方，它表示的是负二来乘以负二来乘以负二，对不对？那我们算 这样的式的时候怎么算的嘞？首先看有多少个符号，一个，两个，三个，有三个符号，有三个符号说明是基数个基数个负数，有基数个负数时候呢，最终结果是负的， 最终这个是负的，然后呢，把他们的绝对值相乘，对吧？二乘二乘二，不就是二的三次方吗？所以呢，就是负二括号外面的三次方，它等于负二的三次方，括号拿掉，明白了吗？括号拿掉啊，但是呢，这个三次方就在我们二的肩膀上面， 明白了吧？所以呢，那同样的我带入到这里面来呢，方法一样的哎，他就等于 a 的 平方来乘以什么了， 来乘以什么了？就是我刚刚说的吧，我们的，你看负的 a 的 三次方呢，它是有基数个负数，所以最终结果是负的，你就写负的，然后呢，他们这个 绝对是相乘啊，这个 a 乘 a 乘 a， 三个 a 相乘，那么 a 三次方，对不对？就是负的 a 三次方，所以这样的话呢，它们俩再来相乘，那我认为它是正的，我认为它是负的，一个正的乘一个负呢？最终结果是什么？是负的 符号写前面来了，知道吧？符号写前面来了啊，负的 a 的 平方乘以 a 的 三次方，对不对？这是符合于我们上册， 对吧？所学的知识点就联系到一块了，明白了吧？那么这个就等于负号放前面放着，那么呢，这不就是同底数密相乘了吗？同底数密相乘了，对不对？ 底数 a 不 变，指数相加二加三，对不对？二加三次方，最终结果等于负的 a 的 五次方喽。最终结果等于 a 的 负的 a 的 五次方喽，对不对？所以呢，哎，这个我们呢，它的结果的底数就是 a， 结果的底数就是 a， 然后呢，这个结果的指数就是五，结果值就是五啊，最终结果是负的 a 的 五次方啊，负的五次方。好，再下一个。 呃，这个呢，你看啊， x 减二 y 平方，这后面呢是二 y 减 x 七次方，那他们俩的底数是什么？他们俩底数互为相反数喽， 底数互相反数了，这个时候呢，依然要去转化成同底数密相乘，转化成同密相乘，怎么转化呢？看一下，它是平方，它是七次方， 它是不好不好转化的，你要转化的话呢？是我刚才教过大家的，你要变成相反数啊，如果你要转化，它，需要换成相反数，就是 这个二 y 减 x 的， 它的奇次方是等于负的 x 减二 y 的 奇次方，知道吧？这个是 要转化呢，这个要这样转化，那我，但是我可以转化谁呢？我可以转化它，它是平方呢？因为平方，你比如说你负二的平方还是你二的平方，这都是相等的，对不对？它都是相等的，相等的话呢？因为它是平方了，相等的话呢，我把它里面的 给它换成相反数，换成什么？换成二 y 减 x， 知道吧？把它的底数换成二 y 减 x， 而且结果是不变的。你比如说我负二的平方是等于二平方的，就是把它的底数换成相反数，换成二，结果不变，都是等于四，你知道吧？最终结果都是四， 是吧？最终结果是四啊。所以呢，这个我们就给它换成，把它换成跟它后面一样的，就直接换成呢 二 y 来减 x， 它的平方再来乘以个二 y 减 x， 它的奇次方就是换前面的，把它前面的去换成它一样， 换成它一样，这个大家知道吧？就是我比如说我们的二减三啊，它的平方和我们的三减二，它的平方是相等的，这个事大家知道这个事知道吧？因为我这里面不是 x 减二 y 吗？它的平方， 对不对？我现在给你换成了二 y 减 x 了。有的同学，如果你默不过来 y 呢？我给你实际数字，你看一下。实际数字啊，二减三的平方是等于三减二的平方的，是等于三减二的平方是一，三减二是一，一的平方还是一， 别知道了吧？所以呢，就是 x 加 y 的 平方是等于二 y 减 x 的 平方的啊。所以到这一步呢，我就转化成了同底数密相乘喽， 他们俩的底数相同了，都是二 y 减 x， 知道吧？然后呢，这个就进一步来去算，哎，就是底数是二 y 减 x， 指数呢？七二加七，对吧？二加七，最终结果呢，就等于二 y 减 x 的 这个九次方了，这个九次方了，明白吧？啊？好，然后再来看下面一个 负 b 的 四次方，乘以个负 b 的 m 次方，那这个底数的话呢，不就是负 b 了吗？这个底数就是负 b 了呀，对不对？底数负 b， 那 么它的结果的指数呢？四加 m， 四加 m， 对不对？四加 m 啊，所以最终结果是负 b 的 括号外面的四加 m 次方就行了啊。然后最下面这个，最下面这个啊，负 b 的 五次方来乘以个括号里面负 b 的 m 次方， 那么这个大家咱们来看一下，这个怎么来解决啊？这个怎么来解决？ 我给大家说一下解决方法啊。这个 m 你 不知道它是基数还是偶数，你是不知道的， 你是不知道的啊，所以这个负 b 呢，我们是不好去动它的，你不知道它是基的还是偶的，所以呢，这个负 b 就 把它的底数就当做负 b 了，可是前面这个呢，它相当于是负一来乘以个 b 的 五次方， 再来乘一个负 b 的 m 次方，它是这样的啊，它是这样的，那么我现在呢，就知道前面的这个 b， 我 要把它变成跟后面的底数相同， 要把它变成跟后面的底数相同，怎么来变呢？怎么来变呢？来大家看一下啊，我给他再给大家一个十一数字，比如我二的五次方，我是不是可以写成这样啊？我写成负二的 五次方，但是呢，我前面要给他什么加个符号就可以了，大家明白吧？就是我现在呢，我二的五次方，我现在需要把它的底数变成负二，我为了什么呢？跟后面相同，我要把它底数变成负二，那我写负二的五次方呢？前面必须要加符号了， 这样就行了，知道吧，这就相等了啊，这就相等了，就是凡是你遇到这样的，就用这个方法转化就行了，明白了吧？你看我二的五次方是等于几 二？五次方是不等于三十二，我负二的五次方是不等于负三十二，前面添括号是不是还是三十二？明白了吧，那么依次同样方法，我现在把 b 呢，就可以写成负 b 了啊，就是负一来乘以个 负 b 的 五次方，但是我前面给它添括号没吧？前面添括号，添加一个括号就可以了，再来乘以后面的负 b 的 m 次方。负 b 的 m 次方啊，然后呢，这个等于，那你看 我这个负一，这个一省略可以不用写了，一可以省略不用写了，对不对？那就是负的，然后这里面呢，我是负的括号，负的 b 的 五次方，然后呢，再去乘以后面是负的 b 的 m 次方， m 次方啊， 来，你看我现在是不是可以把括号去一个，我把这个中括号去一层。负负干什么？是不得正，负，负得正啊，负负得正，然后呢，那么就是变成了这样的，负的 b 的 五次方去乘以个负的 b 的 m 次方，看了吧，就写成这样了啊，那么它就等于同底数米相乘了吧，底数负 b 不 用变，指数相加无加 m 次方就行了， 五加 m 次方就行了，明白了吧？啊，所以呢，这个它的结果的底数是负 b， 它的结果的底数是负 b， 它的结果的指数是五加 m， 它的最终结果是负 b 的 五加 m 次方，好吧， 这个呢，是关于我们桶底数密的这个运算的法则啊，来看一下啊，大家看一下这个咱能不能，能不能过了啊？这个能不能过了啊？ 好，接下来啊，接下来给大家说一下啊，咱们就要来总结一下咱们刚刚所学的内容啊，可以了，是吧？好的，总结一下咱们这个桶底数密乘法的 这个法则，我们使用的时候要注意哪些点，要注意哪些点啊？咱们来总结一下。首先第一个点，你要用的时候呢，它的底数必须相同，就是只有 只有底数相同时， 只有底数相同时才能使用才能使用啊， 就是我们所说的同底数数米相乘的时候呢，底数不变，指数相加，这个计算的方法，只有底数相同的时候你才能使用，底数不同的时候你是不能用的，你是要想办法把它转化成底数相同的再去用啊。那么就是我们的第二句话， 当底数不同的时候呢，底数不同的时候，要转化， 转化成转化为桶底数蜜，转化为桶底数蜜再使用 啊，转化为同底数密之后再来使用。那么第三个就牵涉到咱刚才给大家所说的啊，这种底数是属于一个整式的情况，比如我们的 a 减 b， 它的偶音次方，这个时候呢，分情况了啊，分情况，第一种情况，如果我的偶音是偶数，如果偶音为偶数，偶 音为偶数的时候，我们呢就能够得到 a 来减 b 的 偶音次方，是等于 b 来减 a 的 n 次方的啊，就是我所给你最简单的就是 这个，如果说是偶数的时候，就是呢，我一减二的平方是可以等于什么？是可以等于这个二减一的平方的， 明白了吧？就是它的指数是偶数的时候呢，这个底下他俩可以换个，换个个，知道吧？可以换个个的啊，结果是不变的， 结果是不变的，对吧？ a 减 b 的 n 次方是等于 b 减 a 的 n 次方的，你只要 a 是 二、四、六、八、十这些偶数就可以了。那如果说我们的 a 是 奇数呢？ a 音它为奇数的时候，它是奇数的时候呢，就会出现这个情况啊，就是 a 减 b 的 a 次方，那么它等于个 b 减 a 的 n 次方的相反数，知道吧？给它添加一个符号啊，那么同样的这个的话呢，就是我如果还用实际数字给你们，为了方便你们理解啊， 就是我一减二的三次方，它要等于什么？要写成二减一的三次方的时候呢？要添加符号 就行了，知道吧？一减二不是负一吗？你负一的三次方不是等于负一吗？结果还是负一，对不对？他等于负一，他呢？二减一不是等于一吗？一的三次方是一啊，前面有符号呢，不还是负一吗？ 明白了吧？这个呢，就这样来用啊，就这样来用。那么实际上你如果更简短的记的时候呢，就是如果说这个位置是一个基数的时候呢， 你要给他变一下，变什么？填这个符号，如果他是偶数的时候呢，就不用变了，就相等的啊，就相等的，就是即变偶不变， 明白了吧？这个记住啊，就行了，就记住这个方法。好，接下来呢，咱们来看一下这个推广啊，来看一下推广 咱们的这个 a 的 m 次方乘以 a n 次方，这是刚刚学过的，刚刚学过的啊，它的方法。这个，这个结果是什么？ 这个结果是什么？这个结果是同底数密相乘的时候呢？底数 a 不 变，指数来相加，对不对？ m 加 n 次方， 那么刚才这是两个同底数密相乘的吧？两个同底数密相乘，现在呢？ a 的 m 次方乘以 a 的 m 次方，再乘以 a 的 p 次方，现在有三个了，怎么来算了呢？有三个了，我们的计算方法就是 底数依然不用变啊，那么呢，就这样啊，你三个时候呢？你可以先算前两个呀，你不可以先算前两个吗？你看你先等于我先算他俩，他俩是不是底数 a 不 变指数相加 m 加 n 次方，再来把这个 a 的 p 次方我乘在后面， 这样的话呢，我多一步是不就是再来这什么？这等于 a 的 底数不变指数相加，就是 m 加 i， 再加上 p 次方，不就行了吗？ 是不是？当所以呢？哎，当你遇到这个就是直接底数不用变，他们的指数全相加 m 加 i 加 p 次方就行了， 是吧？然后更多的来了，就是我 a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方，乘以很多个，最后乘以 a t 次方，那么呢，就是底数不用变，指数全相加， 底数不变，指数全加 m 加 i 加省略号加到 t 次方就 ok 了啊。好，这个实际的数字啊，来看个实际的数字， 那么七的二次方乘以七，三方乘以七，这的话呢，实际上它有一次方省略没写啊，一次方省略没写，就是底数不变，指数全相加二加三加一，最终结果等于七的几次方？六次方吧。哎，七的六次方， 底数不变啊，指数全相加。好，再来一个，底数是字母的，底数全相加。好，再来一个，底数是字母的啊， 负 x 平方乘以 x 五次方，乘以 x 三次方。那么这个时候呢，我给大家说过了，这样题目前面这个符号实际上就负一，你直接把符号给他带着，因为它是负一啊，你负一对不对？ 那么它是 x， 后面就是 x 平方乘以 x 五次方，再去乘以 x 三次方，对不对？然后呢，就等于这个负一，一省略不写，就是我刚才给他说的，你就直接带个符号带着在前面放着。行了，后面的话呢，底数 x 不 用变，指数全，先加二加三加五， 二加五加三，对不对？就是负的 x 的 十次方啊，负的 x 方啊，就是负的这个符号带着底数 x 不 变，指数二加五加三等于 x， 呃，等于负的 x 的， 呃，十次方，这是个符号啊， 找一个符号啊，好，负的 x 十方，十次方。然后再来看一下逆运用，再来看下逆运用啊，这个逆运用是非常关键的，为什么呢？因为考试 多数要考你利用，多数要考你利用。这个利用呢？书上没有给，但是考试就专考，考试就专考啊，专考利用。好吧。那么 a 的 m 次方加 n 次方等于什么？ a m 次方加 n 次方等于什么？我们刚刚学了什么呢？ 我们刚刚学了 a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方，是等于 a 的 m 加 n 次方，那现在呢？我 a 的 m 加 n 次方，是不是还能， 是不是就能倒回去，我给它翻个，哎，它是不是就等于我们的，哎？ a 的 m 次方， a 的 m 加 n 次方，是不是就等于我 a 的 m 乘以 a 的 n 次方呀， 对不对？换个个嘛，你换个个就行了呀，对不对？ a 的 m 加 n 次方呢？等于 a 的 m 次方，乘以 a 的 n 次方，对不对？这就叫什么？这不是逆运用了吗？你可以逆过来用啊，可以逆过来用，逆运用，明白了吗？待会的话呢，你就知道我们解题时经常要用啊，那么所以这个就等于 a 的 m 次方乘。呃，这个乘以个 a 的 n 次方啊，就是你遇到它的指数是和的形式，形式的时候呢，你是可以把它拆成 几个数，它乘积的一个形式，知道吧？乘积形式啊，这个同样的，同样的啊，就把它可以拆成是 a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方乘以 a 的 p 次方，知道吧？这不是刚刚用过吗？对吧？它等于它，那么它就能等于它逆过来用，明白了吧？逆过来用啊，指数是合的形式的时候呢？指数是合的形式时候呢？可以把它拆成几个 数乘积的形式了，明白了吧？好，那么接下来看这个第一小题啊。看，第一小题说呢，已知 a 的 m 次方是等于三， a 的 n 次方是等于五，那么则 a 的 m 加 n 次方，它等于多少？你看，这就要用到了吧， a 的 m 加 n 次方，首先是不是 可以把它写成拆成几个数相成形式， a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方，而我们 a 的 m 次方呢，是等于个三都， 对吧？数字再带进来， a 的 n 次方是等于五，都带进来还等于十五，对不对？这不就等于十五吗？就等于个这个 a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方等于十五就行了啊，等于个三乘五啊，多写吗？等于三乘五 等于个十五啊，等于十五。好，最后这个题 已知， x m 次方等于五， x n 次方等于七， x k 次方， x x k 次方等于三，那么则 x m 加 n 加 k 等于多少？ 同样的方法啊，给大家教过了，这样的，你就用这个利润算的方法，就是我们的 x 的 m 加 n 次方加 k 次方，它是等于 x 的 m 次方，乘以 x 的 n 次方乘以 x 的 k 次方，于是就等于 x 的 m 次方是五， x 的 n 次方是七， x 的 开次方是三，等于多少？一百零五吧，对不对？最终等于一百零五，最终一百零五啊，好，那么呢， 这个这节课啊，咱要讲内容啊，咱们的主要讲内容就讲完了，然后呢，留个作业啊，留个作业来，这个咱们的作业啊，给他留着作业 啊，这个是这一堆题，大家要把它完成，同时呢，完成我们的课本啊，完成我们课本的第三页，学堂练习。 第一题，第二题，第三题，还有呢。呃，把我给你们补充的啊，把我给你们补充的笔记，把我给你们补充笔记啊，我给你们拓展的补充的，要考的这个内容呢，整理到你们的笔记本上面就行了啊，那么这节课呢，咱们就上到这里啊。