热传导方程的泊松公式

在本视频中，我将解要解释这个拉普拉斯算子。要理解拉普拉斯算子，我们需要一些背景知识。 首先，我强烈建议你先观看这个视频。同样，在本视频中，在解释拉普拉斯算子之前，我会先回顾这两个已有的向量恒等式。 我们知道向量的散度，告诉我们关于扩散的情况。如果我们讨论的是描述流体流动的向量场，从某种意义上说，这涉及从流体角度看的拉伸或压缩。 如果散度为零，那就意味着流体是不可压缩的。或者我们可以说流动是不可压缩的。你可以清楚地看到这里，它既没有被拉伸，也没有被压缩，对吧？所以，散度为零就意味着这一点。 类似的向量旋度为零意味着它是无旋流，因为向量的旋度告诉我们这个场是否在旋转，对吧？这些都很容易理解。 现在，让我们来看看我一开始提到的两个向量恒等式。 首先，我来解释这一个。我会从数学和视觉两个方面来解释好吗？假设你们要么已经看过我推荐的视频，要么已经具备了相关的背景知识，标量的梯度就是这个，对吧？ 而现在这是一个向量，你们可以清楚地看到，现在如果你对这个向量取悬度，那么我们可以这样写，对吗？你们看，每一项都相互抵消并消失了。 我还没有定义这个函数 f， 但我们已经得到了零。这意味着这个函数具体是什么并不重要。无论如何，一个标量函数的梯度的悬度总是等于零。 当某个东西的悬度为零时，这意味着什么？这意味着它是无悬的？ 令人惊讶的是，任何标量函数的梯度总是无悬的。 现在你可能想知道这在物理上意味着什么，所以这里有一个视觉上的解释。 就像我在另一个视频中解释的那样，当我们有一个标量场时，这个标量场的梯度显示了所有朝向更高标量值的趋势，对吧？ 这个项链横等式表明这些项链流是无悬的。事实上，如果我们通过必要的缩放把我画的这个蓝色山丘压平，我们会看到这些项链不会弯曲。 这个概念与寻找到达目的地的最有效路径有关。举个例子，当我们讨论广义相对论中的时空区域时，它就会出现。 好的，现在来看，第二个向量横等式。同样，我会从数学和视觉两方面来解释。这里我们有一个向量 v， 它是一个向量，所以我们可以这样表示它 这个向量的悬度应该看起来像这样，而它的散度应该是这个。 你看这个和这个抵消，这个和这个抵消，还有这个和这个抵消，所以结果是零。 这和我们的第一个向量横等式非常相似。但在第一个横等式中， x、 y 和 z 分 量各自在内部相互抵消了， 但在这里，所有分量都混合在一起，相互交叉抵消。这完全没问题，因为在这种情况下，方程并没有被分解为 x、 y、 n、 c 分 量。总之，对于这个向量横等式，我们又得到了零。 既然我们用一个具有通用形式的向量证明了这一点，那么这个向量横等式应该适用于任何现有的向量。 而这个横等式用图像来解释会非常直观。你知道如果我们对两个向量做差乘，会得到一个新的向量，这个新向量同时垂直于原来的两个向量，对吧？ 所以如果我们做 a 叉乘 b， 就 会得到向量 c， 这个向量 c 同时垂直于向量 a 和向量 b， 对 吧？现在让我们把这个和我们第二个向量横等式比较一下， 这里我们有叉积，所以我们可以说整个这个式子得到的是 c， 对 吧？我们说过这个 del 算子就是 a， 所以 这里我们也有一个 a， 这意味着 a 点乘 c， 对 吗？明白吗？ 但是 a 和 c 是 互相垂直的，对吧？所以这个结果当然应该是零。因此这个向量恒等式总是成立的，无论 v 是 什么。 好了，我们来总结一下目前讨论的内容。如果某个向量的散度是零，那就意味着它是不可压缩流。如果某个向量的悬度是零，那就意味着这个向量场没有旋转，这是一种无旋流。 这个向量恒等式告诉我们，世界上所有标量场的梯度都是无旋的， 这就是叉机。如何给我们一个垂直于原向量的新向量？现在我想请大家思考一下这个问题。 我们刚刚看了这两个向量横等式，对吧？难道你们不好奇它们稍微不同的版本吗？例如在第一个向量横等式中，我们这里用了叉机，我们可以试试点击，看看会发生什么，对吧？ 还有在第二个向量横等式中，我们尝试了与括号里这个东西的点击，对吧？我们也可以用其他东西试试，比如与标量梯度的点击，为什么不呢？所以它看起来会是这样的。 看这两条都明确告诉我们要尝试些什么，对吧？ 所以我们就来试试这一条。 这里我写下了德尔算子作为参考， 标量的梯度就是这个。我们现在都知道了，而它的算度应该就是这个。所以标量梯度的算度本质上就是二阶偏导数， 你知道吗？如果你仔细想想，我们也可以这样写它，因为如果你对两个 del 算子做点击，我们同样会得到二阶篇导数的表达式，所以这两者是相等的，对吧？你同意吗？ 所以这两者是相等的，而最简单的形式就是这个。我们终于来到了本视频的主要话题。这个算子被称为拉普拉斯算子，以法国数学家皮埃尔西蒙拉普拉斯命名。 那么这个二阶篇导数能告诉我们什么呢？如果我们令它等于零，这就变成了拉普拉斯方程。 如果我们令它等于某个任意的标量函数 g， 这就变成了博松方程。好的，如果我们令它等于零，这可能意味着什么？ 就像我刚才展示的 dial 平方，就是从这里来的，对吧？而如果我们看这个表达式，一些有意义的东西就开始显现了。首先，我们学过标量的梯度总是无悬的，对吧？ 但如你所见，它的散度是零，我们强制它为零，对吧？这意味着我们刚刚让它变得不可压缩。我们建立拉普拉斯方程，就是为了描述那些不仅无悬而且不可压缩的东西。 那么当这个不等于零时，比如像柏松方程那样，情况如何呢？ 我来告诉你区别。博松方程用于描述存在某种原石的场，所以既描述的是原。拉普拉斯方程用于描述没有原存在石的场， 但是等等，如果里面什么都没发生，用这个方程有什么意义呢？对吧？嗯，可能还是有事情在发生，只是可能发生在我们观察区域之外的某个地方， 可能是这种情况，对吧？但是在博松方程中，我们可以收集关于场的信息，因为有一个圆可以参考。但是在拉普拉斯方程中，当没有任何参考时，我们怎么能得到关于场的任何信息呢？对吧？ 这就是为什么对于拉普拉斯方程，我们需要有所谓的边界条件。如果我们至少知道场在边界上的样子就是这里的边缘，那么我们就应该能够开始描述场的形状了，对吧？ 所以，是的，博松方程描述的是有原存在时的场，拉普拉斯方程描述的是没有原存在时的场，但我们需要边界信息才能进行研究。 最后，我可以给大家举一些例子，博松方程出现在电磁学中，我们使用这个方程来描述存在电赫时的电场。 博松方程也出现在引力理论中，我们用它来描述存在质量体时的引力场。 拉普拉斯方程在流体动力学和热力学中有着广泛的应用。举个例子，假设房子外面有一个炉子，它正在加热墙壁的一侧， 而另一侧是冷的。正如大家所见，过一段时间后，我们就能观察到热量如何在房屋内部扩散并稳定下来。你看，虽然里面什么都没有，但仍然有热流存在。 只要我们有关于边界的信息，在这个例子中就是墙壁，我们就能计算出热量在房屋内的分布情况， 你看拉普拉斯方程也非常有用，感谢观看。如果你喜欢这个视频，可以给我点个赞，甚至订阅我的频道，我会非常感激。这真的能激励我，谢谢。

啊热穿的方程，这是一类重要的一个 pmv 方程，它属于抛物性方程。 十八世纪初期，在工业上，为了对金属进行热处理，那法国数学家富力业从事热流动的研究， 在他的著名著名的热的分析理论这个艺术中，那么考察了均匀的各项同性的物体的温分温度，也就是大 tsy， zt 这些个元素啊 这些变量。那么根据物理原理证明了大 t 必须满足偏分方程。啊，偏 t 方比上偏 s 方啊，加上偏呃， t 方比偏外方，加上啊偏 t 方比偏这方等于 k 方乘以偏 t 比等偏 t， 这就是三维空间的热传导方程。啊。富力液在 某种编织条件，这个这个边界条件和初始条件呃之下求出来用三角基数表示的解，由此他提出了任意周期函数都可以用三角基数来表示的问题。 这些工作揭示了函数可以展开为一些特殊函数的基数这一普遍性问题。 啊普遍性的事实。一八一一年那富力业讨论在一个方方向上延伸到无穷远的区域的热传导问题，为了解这类问题，他从有介区域热传导方程的解，也就是三角基 就是表示的啊，从这出发，通过一系列推导和这个计算，得到了用复利业积分表示的啊方程的封闭形式的结。 那自然界中还有许多现象可以用若传导方程来描述啊，例如分子在戒指中的扩散等等过程都可以用这个方式来表示。

微积分里有个神秘的万金油符号 max 韦方程组有它，流体力学方程组里有它，热传导波动方程、薛定厄方程，甚至大模型的 t 度下降也有它。 这个无处不在的倒三角符号，大名娜布拉算子，小名 dale， 也有人叫它哈米尔顿算子。不过啊，大家更熟悉的可能是它的各种变体，直接作用在函数上，就是 t 度，和它点乘就成了散度， 和它差程就是旋度，它跟自己平方就是拉普拉斯算子。一个符号贯穿了大半个物理世界。大家好，欢迎来到量子位。今天我们就来聊一聊，为啥这个倒三角如此重要。 娜布拉乍一看有点像倒着放的希腊字母 dara， 其实啊，它俩没有半点关系。希腊语中，娜布拉是树琴的意思。十九世纪，物理学家泰特看到这个倒三角长得像树琴，就给他起了这个名字。 他的好朋友物理学家 maxwell 看到后专门写了一首长诗献给他，名字就叫做致首席竖琴演奏家。声明一下，泰特不会弹竖琴。 调侃归调侃，在自己的学术著作里， max 伟不愿意用 nasa 这个词。比如在一八七三年发行的电子通论中， max 伟坚持把这个符号称作斜率 slope。 没错， nasa 做的事情非常简单，就是求斜率。对于一元函数来说，你只能沿着 x 轴走， 每个点的斜率只有一个。但在二元函数里，你可以往任何方向走，每个方向的斜率都不一样， 原先的一维斜率已经不够用了。你需要一种新工具来描述曲面上任意方向的变化率。这个问题啊，其实很好解决，想象一下，你在曲面上朝东北方向走了一步， 这个方向上的位移可以拆成两个分量，往东走一点加往北走一点。同样的道理，任意方向上的变化率其实也是 x 方向和 y 方向变化率的组合。 这两个方向的变化率怎么求呢？一次只看一个方向就行了，固定 y 只看 x 方向上函数的变化，就记作 z 对 x 的 偏导数。或者固定 x 观察 y 方向的变化，就记作 z 对 y 的 偏导数。 这就是求偏导。如果是更多变量的函数，那就得写一长串的偏导，太不优雅了。为了省市数学家，哈米尔顿选择一键打包所有方向上的偏导操作。几年后，泰特给他取了个新名字，纳布拉。 这也是为什么麦克斯伟命名的斜率算子没能流传下来。不过到这里，纳布拉也只是一个平平无奇的导数算子。 翻开一八七三年的那本电子通论，你会发现， maxwell 虽然引入了纳布拉符号，但作用不大，实际计算还得展开成二十个分量方程。直到几年之后，现代向量分析的祖师爷吉布斯才真正的为这个倒三角注入了灵魂。 凭着一种空间直觉，他发现 nabble 的 代数形式实在太像一个项链了。他尝试让 nabble 作为项链参与代数运算，哎，结果仍然成立。不管了，他干脆就把 nabble 视为一个项链。 只不过普通项链的分量是数值，而娜布拉的分量是微分。操作好了，重新认识一下，站在你面前的是双料选手，项链微分算子。娜布拉因为继承了项链的特性，他能感知方向，又因为保留了微分的能力，他能洞察变化， 两者合一。娜布拉算子归根结底就是为了回答一个问题而生的，场在空间中如何变化？ 但我们知道自然界中的变化纷繁复杂，娜布拉为啥能这么万能，同时解释热、光电甚至 ai 中的变化呢？ 答案是，娜布拉将五花八门的变化分解成了三种最基本的形式，梯度、散度、悬度。让我们从最直观的梯度开始讲起。 你，海拉鲁旅行家，今天打卡海拉鲁最高峰海不拉山脉，你想尽快爬到山顶，往哪个方向走最快？ 你别急，我们先随便选个方向，试着走一步，看看你从点 p 走到了点 q， 走过的距离为 s， 为了方便观察，我们加个坐标系，那么点 q 的 坐标就是它了。 好了，有了两个点的坐标，我们就知道这个方向上的坡度了。如果你的每步走的足够小，趋近于零，就得到了这个函数的瞬时变化率。这个矢子就是方向导数，它测量的是任意方向的坡度。 回到最初的那个问题，往哪个方向走最快？说白了就是找最陡的坡度，也就是求方向导数的最大值。我们把它展开并简化，它就成了，这样 它可以写成点积的形式。那关键的来了，表面上看，这一部分像是在求函数 f、 x、 y 的 偏导数。但前面我们说过，纳布拉是一个向量微分算子，它分别测量了 x 方向和 y 方向的坡度，然后合成了一个新的向量， 这个向量就是大名鼎鼎的梯度。而任意方向上的坡度，其实就是梯度与方向向量的点击。好了，现在只要有初中知识，你就能顺利找到最快的上坡路径了。根据向量点击的几何定义，方向导数也能写成这个形式， 因为优势单位向量模长是一，可以直接省略。这个时候我们就发现，当 cos 阿尔法等于一时方向导数最大，此时两个向量的夹角是零。也就是说，顺着梯度的方向走，爬升最快。 反过来，如果你想用盾迅速滑下雪山，最快的路线还是沿着与梯度相反的方向走，这就是梯度下降。我们现在常听到的机器学习里的梯度下降，本质上是一回事，只不过林克脚下的雪山变成了损失函数， 他刻画的是模型预测与真实答案之间的误差。模型的训练过程其实就是沿着梯度反方向下坡，不断的更新参数，直到逼近损失函数的最小值，那就是模型学到的最优状态。物理世界的运行也遵循同样的底层规律。 所有像山坡一样有高低起伏的场，比如重力场、电场、弹簧势能场，它们各有各的势能函数，但都符合这个数学关系。力 f 等于势能 u 的 负梯度， 他意味着力总是指向势能降低最快的方向。总之，梯度让我们看到了势的变化。然而，自然界的变化不只有高低起伏，还包括流动旋转。这个时候纳布拉还能做些什么呢？ 在大气中，空气流动形成巨大的涡旋，仅凭外观我们是判断不出来它是散开的还是符合的。我们不妨把镜头拉近一点。在涡旋上，我们随机圈出一个立方体的小窗口，先看这个方向的气流， 空气分子左边进右边出。大家可以想象一下，如果进出的速度一致，那小窗口里的空气密度就不会发生变化。但如果从左到右，空气的流动速度越来越慢，就会有更多的空气分子被堵在窗口里，反之，窗口里的分子就会越来越稀少。 换句话说，我们只要知道了速度在空间中的变化，就能判断空气密度的变化趋势。在数学上，这其实就是求空气分子所在的速度场 f 在 x 方向上的偏导数。 这个小窗口还有上下前后四扇门，把它们的偏导数都加起来，就是小窗口内空气整体的净变化量了。 让我们换个写法，把娜布拉放进去。哎，又是熟悉的模样，但现在他有了一个新名字，散肚。他的含义非常直观，就是用来判断流体是在膨胀还是在收缩。 散肚小于零时，空气在向中心汇聚，小窗口我们叫它会散肚。大于零时，空气在向四周扩散，这个小窗口我们叫它圆。散肚告诉我们的第一个信息就是，你是在会还是在圆。 回过头来看 max 韦方程，我们就发现很好理解了。告诉磁定律，这不就是说磁场的散度永远是零吗？换句话说，磁场是个无源场，没有单独的磁极存在。生活大爆炸里，希尔多一度以为自己证明了磁单极子的存在，不过后来发现一切都是个乌龙。 电场就不一样了。散度不等于零，指的就是电场线的源与汇正电赫处，电场线向外发散，也就是散度大于零。负电赫处，电场线向内收敛，也就是散度小于零。 当电赫越多，电场线就越发散。也就是说，电场线的发散程度跟该点的电赫密度成正比。于是麦克斯韦得到了高斯定律。 除此之外，散度还有一个隐藏的信息，散度衡量的是某一处流动的静止，但我们知道，没有任何一种物质能量凭空出现，凭空消失， 他们只是流入、流出再平衡。对于量守恒来说，某处的密度变化率，加上从这里的净流出率，也就是散度等于零。 换成数学公式也就是这样写，这就是连续性方程。所有符合守恒定律的自然现象也都符合这个方程。只不过不同场景下，向量 f 代表的流动不一样。这也是为什么流体力学、电磁学、热传导方程都有，那不啦。 在三维空间中，向量的基本运算无非就是点乘和差乘。拉布拉和矢量场的点乘给了我们散赌。那么差乘会得到什么呢？答案就藏在你的右手里， 伸出右手食指指向一个方向，中指指向另一个方向，大拇指所指的方向就是差乘产生的新向量。这个新向量垂直于向量 a 和向量 b 所在的平面。 举个具体的例子，向量 a 是 从门轴到你推门位置的矢量，向量 b 是 推门的力。两者差程形成的新向量就是力矩，它决定了门的转动。而努布拉和向量场的差程本质上一样，都遵循右手定则。 唯一不同的是，它结实的是整个向量场中某一点在空间中的打旋的方向与强度。所以努布拉差成像量场就叫旋度。 现在我们知道了旋度的物理意义，大概就能猜到他会用在哪了。只要场出现了打转，旋度就会出现在方程里。在电磁感应定律里，他表示电场的旋度。安培定律里，他表示磁场的旋度。在流体力学里，他测量的是涡量。 还有气象里的台风、龙卷风等各种气旋，都是旋度不为零的典型例子。总之啊，万变不离其宗。 现在我们回过头来看梯度，当计算室能场上某一点处的梯度，我们得到的唯一信息是往这个方向走最陡。但是紧靠这个方向，我们无法判断这里的室能面到底是凹的还是凸的。 比如说，这两个完全不同的室能场，在对应位置处的梯度看起来就差不多。那么我们怎么判断它整体是凹的还是凸的呢？我们需要继续观察梯度场的变化， 我们把梯度作为一个整体，求其散度，调整一下格式。梯度的散度听起来有点拗口，法国数学家拉普拉斯在研究引力式时，曾大量的使用它，后人为了纪念它，就干脆把这个符号命名为拉普拉斯算子。 拉普拉斯算子大于零就是局部凹陷，小于零就是局部凸起。为啥要知道是凹的还是凸的呢？在自然界里，一切能量都喜欢往低处走， 热从高温流向低温，电视从高电位流向低电位，水从山顶流向山谷。凹的地方能量自然会汇聚，凸的地方能量会流出，系统会不断的扩散均匀，直到一切趋于平衡， 这是为什么？描述扩散的热传导方程，描述震动的波动方程，描述电场的波动方程。里头都有拉普拉斯算子，他们都在回答一个事情，能量是如何流动的，又是如何趋于平衡的。 到这开头的问题其实已经有了答案。 napala 是 一个描述变化的工具，梯度描述的是变化的强度，散度描述的是变化的汇聚，旋度描述的是变化的旋转，拉普拉斯算子描述的是变化的变化。 而自然界所有的变化都遵循着一致的客观规律，连续可微并受守恒支配。而 napala 只是这种客观规律的数学语言，如果没有它，大家想想看吧。今天我们的物理课程上的 max 方程组就得足足有二十个了。 好了，以下就是本期视频的全部内容了，如果你有所收获的话，请给我们评论、点赞、转发，我们下期再见！拜拜！

今天咱们来聊一聊复利业分析，这个东西真的是在很多领域都有非常深渊的影响啊，从信号处理到量子理学，没错没错，那我们就直接开始吧，深入探讨一下复利业分析的各种应用。我们先从复利业的这个革命性的创建开始就是，他怎么会想到说 任何周期函数都可以写成一系列政权的叠加。其实复利业是在研究热传导的时候，有了这个想法的时间是一八年零七年。 他说啊，任何周期函数都可以分解成无限多个简单的正弦波的叠加， 这个想法在当时应该是非常的离经叛道吧。是的，当时像拉格朗日这些大数学家都觉得难以置信，因为你怎么可能用无限多个光滑的正弦波去拼出一个带有尖角的函数呢？对， 但是后来事实证明富立业是对的，这个就是非常厉害的地方了解了。那富立业变幻在量子理学还有在这些更高级的数学领域里面到底有什么用呢？它的作用非常大，就像彭罗斯在通向实在之路上写的，富立业变幻揭示了物理系统隐藏的内在结构， 对，包括量子力学里面位置和动量的表象的转换，其实本质上就是做一个复利变换。听着感觉好像复利变换真的是打通了不同数学和物理领域的一个桥梁。还不止这些，复利变换还催生了分布理论 哦，让像迪拉克函数这种非常奇怪的在物理学里面非常有用的东西，有了严格的数学基础好，我们已经看到了复利业级数的威力。 那这个东西它的核心思想是什么？还有它的这个公式是怎么来的？对，这个其实就是任何一个周期为二派的函数 f x， 它都可以写成一系列正弦波和余弦波的加权和。嗯，就是这个公式， f x a 零除以二加 a n cos minus n m x， 这就是它的核心的公式。这里面的每一项我都懂，但是为什么这个三角函数族它可以作为函数空间的一个正交基呢？这是因为三角函数族它是有正交性的， 就类似于我们直角坐标系里面的 x 轴和 y 轴是垂直的哦，所以你可以把任意一个函数 投影到每一个频率分量上面去，然后那个投影的长度其实就是我们要求的那个系数。原来是这样， 那这些系数 a， n 和 b n 到底是怎么通过积分算出来的？这两个系数的公式是， a， n 等于一派派到派 f x cosine n x d x b， n 等于一派派到派 f x sine n x d x 你 看这个 a， n， 它其实就是函数 f 乘以 cosine x， 然后再负派到派上积分，再除以派 对。那 b， n 也是类似的，它是 f 乘以 sine n x， 再积分再除以派。明白了，那你说这个负指数形式的负利率基数， 它到底是怎么用欧拉公式把这个正弦和余弦统一起来的？欧拉公式是 e i x 扩回 cos x 加 i i sins。 这个公式就非常神奇，它把三角函数和负指数函数连接起来了，然后我们的负零级数就可以写成一个非常简洁的形式，就是 f f x， n e e， n t 这个负指数形式的这个系数 c n 怎么求？跟我们刚才那个实数形式的有什么区别？负指数形式的系数 c n， 它的公式是 c n 等于二分之一 pi p o 到 pi f x e d n i c， 其实你对比一下就会发现，它比那个实数形式要更加的统一，更加的简洁。对，你只是需要这一个公式就可以同时搞定正弦和余弦的系数。好的，我有一个疑问啊，负利率极数它只能处理周期函数， 那如果碰到一个非周期函数，比如说一个孤立的脉冲，那这时候该怎么办呢？为了解决这个问题，数学家们就用了一个极限的思想，就是让这个函数的周期 l 趋近于无穷大。 哦，那这样的话，就可以把这个非周期的信号看成是一个周期无限大的函数，所以就是说这个负离子变换，它其实就是这个负离子极数从离散到连续的一个推广。 没错没错，复联变换的核心就是这一对积分。正变换是把时域的函数变成平域 f a p n g a k x d x， 然后逆变换就是把平域的函数变回时域 f x 二分之一 pi f x a k， 这两个式子合在一起就被称为宇宙之禁 哦，就是你可以用它来分析任何一个函数，看它是由哪些频率的波构成的，然后也可以反过来根据频率成分重新合成出原始函数。确实很神奇啊，那时域和频域之间的这个队友法则到底结识了哪些惊人的对称关系？最关键的一点就是 时域的微分对应到频域就是乘以频率。哦，那这个就把非常麻烦的微积分运算变成了简单的代数乘法，这样的话，一些在时域里面看起来特别复杂的运算，到了频域里面就会变得超级简单。 而且卷积在时域里面是一个积分，但是在频域里面就变成了函数点乘，嗯，还有时移变成了象移，尺度变换在频域里面就是一个导数的关系。 最神奇的是高斯函数的负利率变化，还是一个高斯函数，它简直就是这个变化的不动点，太厉害了。下面我们来讲讲迪拉克函数它是怎么在物理学里面自然出现的？ 然后它到底带来了哪些数学上的挑战？在物理学里面，其实这个迪拉克函数最原始的这个想法是为了描述点质量和瞬时冲量这两个概念哦。比如说你有一个物体，它的质量全部都集中在原点， 那你怎么去用一个密度函数来描述它呢？就是你这个密度函数除了在原点是无穷大，其他地方都是零，但是你整个积分下来还得等于这个物体的总质量。听起来这个函数就很奇怪，很不符合我们熟悉的函数的定义，没错，然后迪拉克就给了这个定义，就是 delta x 零 x 不 等于零， double x x 等于零，而且 v n t 到 x d x 等于一。嗯，但是这个东西它根本就不是一个传统意义上的函数，所以它让数学家们很抓狂， 因为一个在几乎所有点都为零的函数，它的积分怎么可能不为零呢？对，但是物理学家们用它却解决了很多非常难的问题， 所以这就导致了一场数学危机。那迪拉克函数的筛选性质怎么理解？还有就是它的频域表示到底有什么深层的含义？我们其实并不关心这个迪拉克函数在每一点的值是多少，我们关心的是它的筛选性质，就是前 x l t， n， t， o， n， g l n t l。 你 可以把它想象成一个筛子， 它可以把函数 f x 在 a 点的值筛选出来，所以它就像是一个专门用来提取函数值的一个工具，完全正确。然后它的频域表示也非常的神奇，就是 delta 函数的负零变换是等于一的 f delta x and delta x and e v i k x d x 等于 e i k 零。 嗯，反过来说， delta x 二分之一派 t a 到 e n t。 这就告诉我们， delta 函数其实是所有的频率、分量都等权重的叠加在一起的结果，所以它在空间上是无限集中的，但是它在频率上是完全扩展的， 真的很特别啊。然后我们来说说这个分布理论，它到底是怎么让这些奇怪的函数变得有严格的数学意义的？这个其实是一个非常大的思路的转变，就以前我们总是问说这个函数在某一点的值是多少， 但是现在我们要问的是，这个广义函数 t 作用在一个非常好的测试函数 five 上面的结果是什么？哦，所以这里的重点不再是函数本身， 而是函数和测试函数之间的整体的作用。没错，这就是法国数学家洛朗施瓦茨在二十世纪四十年代创立的分布理论，它把分布或者说广义函数定义成了测试函数空间上面的连续性泛函。 然后比如说我们的 delta 分 布就可以被定义为小于 delta phi 大 于 phi 零，它就完美地抓住了我们的筛选性质。然后也在数学上面非常严谨，懂了 那分布理论是怎么做到让所有的函数，哪怕是那些不连续的、不可微的函数，都可以进行任意阶的求导的。它的做法是这样的，就是对于一个分布 t， 它的导数 t 撇是通过这个方式来定义的，就是 t 撇啊， five 大 于 t five 撇。哦， 它把求导转移到了这个测试函数 fi 上，因为 fi 是 可以无限次求导的，所以这样定义出来的分布梯就自动地具有了任意阶导数。原来是这样，那能不能举一个具体的例子，比如说这个赫维塞德阶跃函数， 它的导数在分布意义下是怎么严格的等于 delta 函数的，我们就直接来证明一下。首先根据定义，我们有 h p 普，还有大于 h p a， 然后接下来我们把它写成积分的形式，就是负的积分，负无穷到正无穷， h x pi x d x， 因为 h 可在 x 小 于零的时候是零，所以这个积分就只剩下从零到正无穷的部分了。对，然后接下来就很自然了，对吧？没错没错，那从零到正无穷。对， far x 积分就等于负的 far x 从零到正无穷。然后因为 far 是 一个测试函数，所以它在无穷远处是趋于零的。 嗯，那这个结果就是 far l 零。哎，这不就是 delta 分 布的定义吗？所以我们就证明了，在分布意义下， h 撇 delta 非常清晰啊。 那复利液不确定性原理到底说了一个什么事儿？然后它的数学表达式里面又藏着哪些深意？不确定性原理其实讲的就是一个函数在时域的宽度和它在频域的宽度是没办法同时缩小的。 哦，就你如果想在时域把这个函数挤得很窄，那它在频域就一定会变得很宽，它们之间始终满足 delta 乘 delta k 大 于等于二分之一。这么看来， 时间和频率真的像是一对天生的冤家，永远没法同时确定。对，而且有意思的是，只有高斯函数 e a x 二扩回是可以让这个等号成立的。 嗯，所以高斯函数是唯一的一个在时域和频域里面能够达到最小不确定度的函数，它是最集中、最稳定的一个信号。原来是这样， 那我们继续来看这个负利率变换在量子离学里面的深刻的意义，尤其是位置和动量的表象之间的联系。其实在量子离学里面，我们有一个非常神奇的关系，就是 p 等于哈 k， 嗯，这个 p 就是 动量，然后 k 是 我们的波矢。这个公式就直接把我们的动量和负利率分析里面的频率联系在了一起。也就是说，波函数在位置空间和在动量空间的这两种描述，其实就是通过负利率变换联系起来的，是吗？没错， 未知表象的波函数 i c x 和动量表象的波函数 i c i k 其实就是一对负利率变换。对，嗯，那这个其实就直接导致了我们的海森堡不确定性原理，你如果把 p 等于哈 k 带进去，你立刻就可以得到 delta， delta p 大 于等于哈，除以二， 这个就是我们的动量和位置的不确定关系，所以说这个负离子变换不仅仅是一个数学工具，它其实还结识了量子世界最底层的一个奥秘。对，就像彭罗斯说的，这绝不是偶然的巧合。 嗯，负离子变换深刻的反映了量子世界中位置和动量这段互补变量的内在本质。太不可思议了。那我们再来看看彩样定律， 这个在数字通信里面的作用就是为什么要进行采纳。采纳定律到底解决了一个什么核心问题？在数字信号处理里面，我们首先要面对的就是怎么把一个连续的信号，比如说声音或者图像变成一串离散的数字。 哦，这样我们才能够用计算机去存储和处理这些信息。原来是这样，那这个采样频率到底要怎么选，才能够保证我可以从这些离散的样本点无损的恢复出原来的信号呢？关键就在于信号的最高频率， 只要我们的彩样频率大于信号最高频率的两倍，嗯，这个就是 nichrist 频率，那我们就可以用这个公式， f t 等于 f m s i n c 括号 omega 减 n pi 扩回，把原来的带线信号完美的重建出来。 哦，这个就是整个数字通信的一个理论基础。那这个彩样定律在实际的数字系统里面到底有哪些非常关键的应用呢？几乎所有的数字设备都用到了这个定律， 比如说我们的 cd 之所以采用了四十四点一千赫兹的彩样率，嗯，就是因为这个数值大于人类听觉上限二十千赫兹的两倍，所以它可以保证声音的还原度， 然后包括我们的高清电视，还有无线通信，全部都是基于这个定律来设定彩样频率的哦，所以这个定律是整个数字革命的数学基石。好的，然后我们再来说说复列分析在光学和量子场论当中的应用，就是它在这两个领域里面到底扮演了一个什么样的角色？在光学里面， 夫郎和费演示就是光场通过一个孔径之后，在很远的地方形成的演示图案，其实就是这个孔径函数的负离子变换。嗯，然后如果你用一个理想的凸透镜，在它的交平面上，你接收到的光场分布就是你这个输入光场的二维负离子变换 哦，所以这个是现代的光学计算和信息处理的一个基础哦，原来我们的光学系统其实就是在帮我们做负离子变换啊。然后在量子场论里面，我们的量子场，比如说电磁场，它也是通过负离子变换被分解成了无穷多个斜正子的叠加， 每一个斜震子都对应了一个特定的动量或者说频率，然后你场的演化就可以描述成这些斜震子的震动。明白了，那我们来回顾一下富力页分析里面最最核心的公式和思想， 就是你觉得哪些公式是最能代表它的这个灵魂的。其实最核心的就是负利率极数和负利率变换这一对，嗯，然后负利率极数就是 f x 逆 x， 然后它的系数是 c n 等于二分之一 pi f x 逆 x d x， 那 负利率变换就是 f x 逆二分之一 pi f i k e a k x d k， 然后它的频域表示是 f x， 你 二分之一 x dx， 这一段变化让我们可以在时域和频域之间自由地穿梭，这些公式确实很有代表性， 那除此之外，还有哪些公式或者性质也是很能体现负利率分析的这个本质的呢？还有就是迪拉克 delta 函数和分布理论，这里面的筛选性质和频域表示也是非常重要的。然后包括分布的导数，嗯，还有时域和频域的对偶性， 比如说食欲的微分对应频域的乘法，卷积对应乘积，然后能量守恒就是 perseval 定律。对，最后就是不确定性原理，它在量子力学里面的这个形式其实都结识了负利率分析和物理世界的深刻联系。 ok， 今天我们算是一起穿越了副业分析的整个发展历程，然后也看到了他在数学和物理以及我们的日常生活当中是多么的无处不在。好了，那这期节目咱们就到这里了，感谢大家的收听，咱们下次再见吧，拜拜。拜拜。

大家现在来看到我们的热传导方程，热传导方程在我们几类基本的树立方程模型中是占有比较重要的地位的。 首先来看热传导问题中研究的是温度在空间中的分布和在事件中的一个变换规律。 热传导现象所遵循的是热传导定律，也就是我们的 freer 定律，它的物理方程是 q 等于负 k 乘上拉普拉斯算符，作用在 u 上面。 那么同样的，我们热传导方程也分为以下两种情况，第一，在没有热源和热会的热传导方程中，一尾热传导方程写作 u 对 t 的 一阶导减去 a 方程上 u 对 x 的 二阶导是等于零的， 这个时候我们可以发现 a 方，它是等于 k 除上 c 乘以 u， 那 么这个 a 方是怎么推导出来的？后续老师会给大家详细的讲解一下。 好朋友们，先来看完我们的基本定义，三维热传导方程写作， u 对 t 的 一节档减去 a 方乘上一指三，作用在 u 上面等于零。 一指三，也就是说我们在 x、 y、 z 三个维度上同时有作用范围。 好，这是我们的第一种情况，那么我们的第二种情况，若物体中存在热源，且热源强度为 f， 那 么我们可以把热传导方程改写一下， 将稳态的热传导方程改写成非稳态的情况，下面同样的，我们把右边向的零改写成小 f x t， 这个时候我们就可以得到我们存在热源的情况下，也就说非稳态的热传导方程基本形式，同样的三维热传导方程依旧把它的维度扩展到 x、 y、 z， 同学们可以看到我们的小 f 是 等于大 f 除以 c 乘上 row 的 好，那么现在有的同学会问了，逆转导方程这么重要，为什么？我就直角定义 好来？现在同学们跟着老师切换小白板，我们来将热传导方程从最基本的物理方程一步步的推导下来。嗯，好的同学们，我们现在来看一下热传导方程是怎么推导出来的。 首先根据我们刚才所讲到的，我们热传导现象遵循的是热传导定义，也就是 for 定义。它的基本方程形式 写作 q 等于负 k， 拉布达乘上 u， ok， 我们的 q 它是一个热通量，然后 k 它是一个热导率，然后 u 就是 我们刚才介绍的温度分布函数。 我们先来建立 e 为控制器，考虑均匀界之中的 e 为微元，假设它就是沿 x 方向 横截面积，它的横截面积 s 等于大 a， 微圆范围从 x 到 x 加上 delta x， 那 么我们的体积就是 a 乘上 delta x 了。然后密度为 r， 比肉容为 c v， 密度为 u， 比热容为 c v ok， 接下来我们先计算它微元内能的增加率，它内能的一个增加率等于净流入的热量 q net 等于 part u 除以 part t， 它表示我们的内能的增加量。 ok， 接下来它的内能变化率又是如何？我们先微圆内能 是不是等于 u 等于质量， 乘上比热容 c v 乘上温度， 我们的质量同时又等于什么呢？我们知道了它的一个体积，知道它的密度可以等于 ro 乘上 a 的 d x， 因此我们的内能在单位时间的变化率就可以表示为 row c v a d t x 的 part u part t ok， 接下来我们算进热流入量， 先算左侧面，左侧面，也就是说从 x 这边流入， 它的流入量为 q 乘上横截面积。右侧面从 x 加上 delta x 流流出， 那么就是 q x 加上 delta x t， 这是 t 号乘上横界面，所以我们的总净流入热流量为 q。 net 等于横剪面积乘上流入的减去流出的。 根据能量守恒，朋友们都知道，能量守恒它是永恒不变的。根据能量守恒方程，我们可以列出我们右边 这个式子，应该是要等于我们左边这个式子的。 ok， 好， 来，我们练能量守恒。 好，我们现在对两边同除以 a 乘以德塔 x， 得到 row c v part x u part t 等于我们的 delta x q x t 减去 q 的 x 加上 delta x t。 好， 接下来我们应用我们的复立页定律。首先求极限 dot x 去极限的时候，我们的右侧哈右侧这里化为我们的偏导数 x x t 减去 q 的 x t， 它是等于负的。 part q part x 带入我们的能量，手很适中。 part q 除以 part x。 然后我们再用最开始的 f r 定律 带进去，把它这里的这个这个 q 给替换掉，所以左边不变，我们换右边 好。于是我们最后就得到了我们热传导方程的一个基本形式，我们带入方程 u c v part a u part a t 等于 k 乘上 part a 方 u part a x 方。 然后我们现在令阿尔法等于 k， 除以 ro c v， 我 们定义它为一个热扩散系数， 也就是我们的热扩散率 alpha。 最终我们就得到了一维热传导方程 part u part u t 等于 alpha part u part x 方。

在看了第一章中对常威分方程的讨论之后，我们再来看看一个偏微分方程的例子，热传导方程。 首先建立一个实力，假设我们有一块金属，而且知道这块金属在某一时刻的热量分布情况 及这个平面上每一点上的温度。那么问题来了，当热量从高温区传向低温区时，热量分布情况是如何随着时间变化的？ 左边的图用颜色来表示了一个视力平面的温度，右边则把温度大小用左标表示出来了。 举一个意为的例子，假设我们有两个温度不同的杆，一开始每个杆上所有点温度相同，当把他们挨在一起的时候，温度会从温度较高 的杆流向温度较低的，使得整个系统的温度随时间趋于一个定值。但这个过程究竟是怎样进行的？ 这段时间中每个时刻的热量是如何分布的？正业位微分方程的典型特征是描述系统从一个时刻到另一个时刻的变化情况 比直接描述某个时刻的整体情况更容易。我们用倒数语言来写这个规则，不过大家会注意到，我们得扩展一下，用到一些常微分以外的新词汇。别担心，我们马上就会学到怎么读懂现在看到的这些方程。 热传导方程这种变化在数学和物理学的很多地方都有体现，比如布朗运动金融学中的布莱克斯柯尔斯方程，还有各种扩散现象。所以大家 如果能深刻理解这个实力的话，将会受益匪浅。在上一个视频中，我们在建立对问题的理解的同时，也意识到了大多数微分方程实际上是很难求解的。 的确，天威分方程甚至比常威分方程更难求解，主要因为他们含了无数变量的相互作用以及变化。但我们今天的主角是一条还可以解的方程。事实上，如果大家听说过护理液级数， 可能会有兴趣知道，此方程正是娃娃脸复立页在数学中转圈时想要求解的物理问题。 现在，这个方程就以他的大名为人所知了。我们将在下一章中更深入的探讨附理页级数，但作为提示，我们也会至少给出一点巧妙的呼应。大家现在看到的这个动画 中，包含了很多正在旋转的项链，每个都在以一个恒定的频率旋转，他们可以画出任意的轨迹。说明一下，现在这些项链是被加在一起的，即每一时刻都是首尾相连的。 想象最后一个项链的末端上绑了个铅笔，画下了他运动的轨迹。通过有线个项链的加合，这个轨迹通常并不能完美的与目标形状吻合。在这个动画中，目标形状是一个小写的， 但是所使用的项链越多，轨迹就越接近目标形状。现在我们只用了一百个圆圈，大家也可以认为他与目标的形状的差距可以忽略不计。 令人兴奋的是，只要调整每个项链的初始形状和角度，就足以近似画出我们想要的任何曲线了。 一开始，这可能只是单纯看起来有趣，像一件优雅的艺术品。但不止如此。事实上，实现这个流程所用到的数学知识和描述热量流动的数学知识异曲同工， 但我们跑的有点快了。第一步应该是简单建立热传导方程，而这一步的前提是我们要搞清楚具体要分析的是什么方程。我们有一个一维的杆，把它放在 x 轴上，杆上的每个点可以用唯一的数字 x 来表示。 温度是位置的函数 tx， 其图像就是 xo 上的曲线。 但事实上，由于时间的变化，我们还需要考虑这个函数的另一个变量时间替。如果大家愿意的话， 可以把输入想象成二维的他同时代表了空间和时间，温度的变化就可以化成这个平面上方的一个曲面， 每个时刻的洁面代表了这个时刻杆上的温度分布。或者大家也可以简单的想象成一个随着时间变化的函数图像，这两者是等价的。 不要把这个曲面和先前的那个混淆了，先前的曲面是一个二维物体的温度分布图像。当我们在研究这样的等式的时候，要注意区分时间究竟是用一个坐标轴来表示呢？还是用动画中的时间变化来表示的。在上一张视频中， 我们研究了只有少量变量随时间变化的一些系统，如单摆的角度与角速度，并用倒数语言描述了他们。 但是如果整个系统都随着时间的变化而变化，数学工具就开始变得有些复杂了，因为我们在推导有多为输入的温度方程式。 就像在这个例子中，一个是空间，一个是时间，就有更多不同的变化率参与了进来，这是 s 方向的倒数及温度在沿着杆的方向是如何变化的，大家可以将其理解成温度沿 so 方向上的斜率， 或者是在 x 方向上发生微小变化时，温度产生的变化值与之的比值。但我们还有另一个比值，极干上某一点温度随时间变化的比值，大家可以将其理解成 温度沿时间轴方向上的协律。这里每一个岛数都只描述了温度函数变化的一部分，所以我们叫它偏岛数。 为了强调这个观点，小改一下这个求导符号，把字母地改成这个弯了一下的地，有时候我们叫他调。个人认为这个改变符号的操作有点傻， 以为他们本质上代表的是相同的意思。我们更希望吊塔 t 代表了不同的变化，一个代表微小时间变化后温度的微小变化，另一个代表微小空间变化后温度的微小变化。 重申一遍我们在危机分系列中讨论过的观点，建议大家最好是一开始就把导数读成函数的因变量的微小变化 和其对应的自变量的微小变化的比值。不要忘了，这个符号想要表达的是，在自变量变得越来越小时，这个比值的极限并不是取某一个有限小的情况时的 特定笔直。这在偏微分方程和常微分方程中是一样的，热传导方程就是用这些偏导数来表示的，它说明了这个函数相对于时间的变化取决于它相对于空间的变化。 更具体的说，他和关于 x 的二阶片岛数成正比。直观的看就是在变化曲线中，区域更大的点 有朝着弯曲方向更快变化的趋势。由于此类规则是通过偏倒数写出的，我们叫它偏微分方程。在外行眼中，这是一个滑稽的结论。 天威芬方程的名字听起来像一个低配版的常威芬方程，然而事实却恰恰相反， 天威分方程通常比常威分方程包含了更多的内容，而且一般来说也难解的多。一般 特传导方程可以应用在任何维度的物体上，这就意味着温度方程有更多的自变量。但对我们来说，专注于意为的肝是最简单的， 毕竟在可视化这个场景时，只是加了时间这个坐标轴，我们就已经不得不进入三维空间了。 所以我们抛出了这个等式。但他是怎么来的，怎样才能自己想出这种东西呢？我们想象一下这个曲线的离散版本来降低一下难度，只对应 xo 上几个有限的点，就好像我们在像素化的宇宙中一样， 这里没有连续变化的温度，只有一些温度值的有限级。这样事情就变得很简单了。 对于某一特定的点来说，如果与他相邻的两个点温度的平均值高于他，他的温度就会变高。如果 平均值低于它，它的温度就会降低。现在我们观察三个相邻的点， s 一， x 二和三，以及他们对应的温度值， t 一， t 二和 t 三。我们想把 t 一和 t 三的均值与 t 二的值进行比较， 当他们的差值大于零时，替二将升温，这个差值越大，升温就越快。 同样，如果差值为负， t 二将降温速率与差值成正比。 规范的用公式表示，则 t2 关于时间的倒数与他自身和相邻点平均值的差值成正比， 这里的 alpha 是比例长数。为了最终能将它表示成热传导方程的二次偏倒式， 让我们把方程右边展开，写成 t 一和 t 二的差值与 t 二和 t 三的差值。大家可以很快就能验证。他与前一个等式是相同的。 上面的式子中有二分之一个 t 一。下面的式子中 t 一前面有两个符号复复的正二分之一作为长数被提出， 同样，他们都共有二分之一个 t 三。下面的式子中副 t 二出现两次，所以我们将其除以二后，结果就等于上面等式中的单独的一个副 t 二。像我们之前提到过的，我们重写方程的原因是为了更接近倒数的语言。 我们再进一步将这两项写成 dottt 一和 dottt2。 等是右边的直，并没有被改变， 但我们有了一个新的角度来理解他不再用香。

今天一次性给大家解读型材里面的专业术语，小白听完保证门窗导购蒙不了你！第一，什么是断桥铝？断桥铝门窗主要通过在铝合金型材中间加入低导热系数的隔热条来打断热的传导，通常采用的就是这个 pa 六六尼龙隔热条，它的热传导系数大概在零点三，而我们铝合金的热传导系数 差是两百，所以用隔热条他会把型材分成室外和室内两个部分，形成一个物理的隔断，同时阻止热量直接通过型材进行传递。同时我们的型材也会做成这样的多墙体结构，利用空气层的低导热性，进一步的减少热量的对流，从而就能提升我们的一个保温隔热性能。第二个问题， 什么是门框壁厚？其实它就是指这个型材的厚度，比如这块型材的厚度是二点零毫米，目前国标的最低要求是一点八毫米， 它是底线，所以像那些一点四毫米厚度的，我是不推荐选择的好。第三个问题，什么是 pa 六六尼龙隔热条？这个就是我们的隔热条，刚才说了嘛，它的作用是打断热传递，它完整的名字应该是 pa 六六杠 g f 二五， g f 二五指的是它加了百分之二十五的玻 纤维，而 pa 六六是代表它是尼龙材质，所以大家通常称它为 pa 六六 g f 二五隔热条。第四个问题，系列， 大家通常会听到什么？八零系列、九零系列、幺幺零系列、幺二零系列，其实这个系列它指的是这个横截面的宽度， 比如这款型材它是幺二零系列，那就说明它的宽度是幺二零毫米，这里顺带给大家说一下幺幺零幺二零、八零九零，它并不是数字越大越好，幺幺零幺二零一般是做的窗纱一体，而八零九零一般做的是单体窗。什么是单体窗？它就只有一块玻璃，它就叫单体窗。 什么是窗纱一体？它是有玻璃有纱窗，它就叫窗纱一体。所以说窗纱一体，一般它的宽度大于我们的单体窗，但是它们的性能幺幺零不一定比九零强，因为纱窗它并不会参与实际的一个保温隔热性能。第五个问题，什么是 e、 d、 p、 m 三元一并胶条，它指的其实就是我们的密封胶条，像这些位置，包括这里它没有卡上的，还有室内这边它用的都是这个三元一并胶条。 它主要的功能就是说保证我们门窗的一个水密性、气密性，并且这个材质它有优秀的耐氧化、耐低温、耐热性能，所以说它适合用在我们门窗上。