八年级北师大版一次函数动点问题习题

一次函数的综合考察一定是我们新初二期末考试的必考压轴板块，尤其一次函数再遇上存在性问题的综合考察，那可以说百分之九十五的孩子 都拿不到分那。同学们，今天我们一起来分析一道非常经典的等腰直角三角形的存在性问题。好吧，来，我们先来一起读下题。 题目是这样说的，首先呢，题目告诉 ab 两个点的坐标， a 点坐标为负四到零， b 点坐标为零到三啊，他说我们在坐标系里面呢，有一个动点 q 点啊，求我们的 q ab 这三个点所围成的图形 正好为等腰直角三角形的时候，那我们 q 点的坐标应该等于多少？徐老师已经把依次函数经典题型包括面积问题、等腰三角形存在性问题、全等三角形存在性问题、背角问题 等点问题、新定义问题等考试必考题型，再结合往年考试真题 u 中选 u 整理成了一次函数十七大专题，练完考试直接拿满分，需要的家长我发领一份 好来，同学们，哎，我们一起来分析下这道题。好，首先呢，题目告诉我们 a 点和 b 点这两个定点的坐标对吧？然后呢，那我们在坐标系里面求一个动点 q， 使这三个点 q、 a、 b 所围成的三角形呢，正好是一个等腰直角三角形。 那么首先来我们先观察一下这个图上的特点，那么 a 点和 b 点这两个点是已知的，那么相当于这个边 a b 就 有什么已经是确定的。那么既然 a b q 应该是个等腰值， a、 b 又是一个定边，但题目没有告诉 a、 b 到底是直角边还是斜边，所以这道题的突破口呢，就应该是以 a b 为直角边或者是斜边，去分类讨论，对吧？好，来地洞情况啊，我们先讨论 a b 为直角边， 那 a b 为直角边又有问题了，那到底是角 a 等于九十度呢？还是角 b 等于九十度呢？哎，是不是都有可能？所以这种情况，我们又有两个小类要继续去分类讨论。那第一种情况来，我先去讨论这个是角 b 等于九十度，好吧，来角 b 九十度， a b 又是直角边，那这个图非常好画了哈，我就可以以 角 a b 点，对吧？去做一条垂线，与 a b 垂直，好，这个点呢，就是我们的 q e 点啊，我们再让我们的这两个边相等，所以这个时候呢，我们这个三角形就应该是一个 等腰值。好，同学们来思考，除了上面有个点，我们还没有其他点啊。当角 b 等于九十度时候，那么同样下方我们也有一个，对吧？哎，因为你看这两个点正好是啊，对称的， 哎，没问题吧？哎，他为九十，他也是为九十，哎，这两个边呢，也正好是相等的，所以当角 b 等于九十度，我们的 q 点呢，应该有两个，一个是 q 一， 一个是 q 二。那这两个点呢，正好是关于 b 点是 对称的啊，所以呢，他就有两个，一个是 q 一， 一个是 q 二，两种情况。好，再来第二种情况，那就是小 a 也有可能等于九十度，那么类比我们角 b 等于九十度，那所以角 a 等于九十度，我们也应该有两种情况，哎，过 a 点，哎，我们做一条与 a b 垂直的直线，好，再让这两个边什么关系，什么相等，所以呢，这有一个 q 三啊，这也有一个 q 四，对吧？哎，所以呢，它也有两种情况， q 三和我们的 q 四好，这是我们第一个大类，以 a b 为直角边，就应该有四种情况，就四个点好。还有第二个大类，那就是 a b 为我们的斜边，那么 ab 为斜边，我们怎么去画呢？哎，你会发现啊，如果我连接上面的 q 三和 q 一 正好什么呀？它是一个我们的正方形，对吧？好，连接我们的 q 四和 q 二，哎，下面呢，也是一个正方形，如果我们 ab 为斜边的时候，那么这个等腰值呢？就应该正好是这个顶点， 在我们两个正方形的对角线的交点上，对吧？看，这是 q q 五，你看 ab 为斜边，它为九十度，没问题吧？哎，所以，哎，同样，我们上面有个，下面呢，也有一个，对吧？两个正方形的对角线的交点都是我们的 q 点好，所以呢？哎，这种情况，我们就有两个点，这是我们的 q q 六啊， q 六好，所以呢，他有两个，一个是 q 五，一个是 q 六，所以，综上所述哈，我们应该有六种情况，就有六个点好。找到六个点之后，那接下来六个点的坐标 应该怎么去算呢？哎，这是我们重点哈，来把这个擦掉，接下来我们要去算这六个点的坐标，那如何去算呢？大家思考一下，有六个点，我们就有六个等腰值，大家思考一下， 我们在学习全等三角形的时候，对吧？等腰值当中有一个特别重要的辅助线，就是我们的一线 三等角，也叫我们的 k 型全等啊，我们这个计算坐标就需要用到我们这个辅助线，好来，比如说，我们先去算一个点，比如说我们 q 一 吧，那 q 一 所组成的等腰值就是这个等腰值，对吧？好，接下来我们去构造一个 k 型全等，那么我可以什么呀？过 q 点向 y 走做 垂线，那我们全等看这个三角形和这个三角形不是全等了吗？全等以后我们就可以就可以倒边了。你看没有，因为 a 点坐标为负四到零， b 点坐标为零到三，所以这个长度 就应该为四，这个长度就应该为三啊，倒过去，那这个也是为三，这个也是为四，他等于他，他等于他，对吧？你看，所以我们 q 一 很快就出来了，横坐标的长度为三，但是横坐标是负的，所以 q 应该为负三啊，重坐标呢？这个为四，这个为三， 四加三就等于七，你看没有？ q 一 出来了。好，剩下的五个点我们该怎么求呢？还有五个点，也有五个等腰值，那是不是要构造五个 k 型全等呢？其实不用了，我们用一个公式， 我们的钟点公式，其余五个点全部就出来了哈。怎么算呢？你看，刚才我已经说了哈， q 一 和 q 二是关于 b 点是对称的，哎，钟点知道这个端点，我们也知道，根据 q 二，它为负三 斗七，对吧？所以我们 q 二很简单，把中点乘以二减去端点，就是我们的另一个端点来，横坐标零乘以二，零零减去负三，零啊，零在啊， 加三了，所以他的横坐标应该为三。好，重坐标呢？把它乘以二六六减去七，就得到等于我们的负一，所以他就为三都负一，看到没有终点公式，好，接下来，哎，我的 q 六又是 a 点和 q 二的终点，所以根据终点公式， q 六也出来了啊， q 六，来算算 q 六怎么算的吧。 q 六，把这两个点相加除以二负四加三，对吧？负一负一除以二负二分之一，好，然后坐标零加上负一 负一，负一除以二负二分之一，看到没有， q 六也出来了， q 六就为我们的，这也是负二分之一到负二分之一，对吧？那 q 四也出来了，因为什么呀？ q 四和 b 点的中点是 q 六，把这个点乘以二减去断点来，负二分之一乘以二 负一，负一减去零就是负一，好，它呢，也是乘以二负一减去三，应该等于等于负四， q 四出来了哈，所以大家会知道，负一的负四，那同样它出来了，我的 q 三是也出来了。什么？哎，因为 q 四和 q 三关于 a 点是对称的，把中点乘以二减去端点啊，来，所以我们的 q 这是 q 三来，就是把它乘以二负四乘以二负八，负八减去负一就是负八加一嘛，就是负七，对吧？负七，好，我们重坐标零乘以二零零减去。呃，负四，哎，就为到就为四。 q 三出来了，好，你看它就为这个是负七斗 斗四，那我的 q 五也出来了， q 五正好是这两个点的终点，哎，把这两个点相加除以二来横，坐标负七加零， 负七除以二负二分之七，好，重读标四加三等于七，哎，除以二二分之七，你看没有，哎，所以呢，我们的六个点全部都已经出来了，来，我们总结一下对于我们等腰值的存在性问题。首先呢，哎，我们先去根据我们的 k 型全等 先去算其中的任意一个点啊，比如算 q， 一 算出来一个点之后呢？其余五个点我们都可以根据钟点公式全部算出来， 没问题吧？哎，这叫非常经典的等标志的存在性问题，我们就讲到这里，你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分不迷路。

初二上学期的压轴题主要体现在依次函数与几何结合，那很多同学呢，都觉得这个地方太难了，因为确实啊，依次函数一个图像出来，然后要，要不然让你求面积，要不然让你求四十五度，要不然让你求构成等腰直角三角形。构成等腰三角形有的答案还比较多， 那在老师看来呢，我们要想把这一节的内容学好，主要是掌握四点。第一点，我们要学会特殊的 k， 它与 x 轴的夹角。这个题呢， k 的 正负一的时候，大家都知道夹角是四十五度，那么还要关注一个， k 等于三分之根号三，因为市北前两年就考了这样一道题， k 等于三分之根号三，大家要知道与 x 夹角是三十度， k 等于根号三，与 x 轴夹角是六十度。 第二个，要学会用铅垂高乘水平宽来表示不规则的三角形的面积。第三点，要学会画等腰三角形啊，等腰三角形两元一线。那么第四点，大家要学会画等腰直角三角形，等 腰直角三角形的画法，要知道等腰直角三角形一般用一线三等角来做，也要知道，那当我们掌握了这四点之后，再做这些几何题， 基本上都能做了，因为这些考点无非就这些，你这四点一定可以解决你现在碰到的所有的一次函数与几何的综合题。好了，今天就跟大家聊到这了，拜拜。

这是一道关于一次函数的面积题，我们来看看它怎么解。这道题题略有耳长，大家可以自己看一下。我们首先来分析怎么求 m 点的坐标，我们会发现 m 它有两个属性，第一，它在这条 射线 ac 是 ac 上，那如果我们能求出 ac 的 一次函数， 我们就可以根据 m 的 纵坐标或者横坐标任取其一，就可以求出另外一个，也就能求出完整的 m 坐标。第二个，那就是 m 是 三角形 a n 的 这个顶点， 它是在线段 mn 上，所以如果我们求 m 的 纵坐标的话，它应该会好求一些。好，那我们现在确定了要求的两个主要东西，第一， a， c 的 方 a， c 的 函数。第二个就是 m 的 纵坐标。先来求 a c， 怎么求 a c 呢？我们主要是要求 c 的 标，我们先做出 c h 垂直 y o， 那由于这个 c h a 和 bo a 它都是九十度，所以 bo 平行 c h， 那 角 b o c 的 三十度就可以转换到角 o c h high 三十度， 那这里 o b 和 o c 又都是三，因为 b 的 正弦是负三，也就是 o， b 是 三，我们根据含有三十个直角三角形三边关系比，也就是二比，刚好三比一，这是斜边，所以 o h 就是 二十三。 那 c h 我 们也可以顺便写出来，它是二分之三倍杠三。那点 c 的 坐标我们就可以确定了。点 c， 它是二分之三，负二分之三倍杠三。 我们把它和 a 连立设这个 a c， 它的解析式是 y 等于 k， x 加 b， 然后把 x 和 y， 也就是 a 和 c 的 坐标代入，求出 x， k 和 b。 我 们能知道 a c， 它的解析式是 y 等于三分之根号三， x 减去二为根号三。 好，第一个任务完成了，接下来要求第二个任务。怎么求 m 的 坐标呢？我们会注意到，因为 m n， 它是关于 x 轴对称的两个点，也就是 a m 和 a n 相等，只是个等腰的话，肯定还是不好求，我们再想想它会不会是个等边，因为这有一个三十度嘛。如果角 m a h， 它也是三十度， 那根据对称关系，这个角 m a n 就是 六十五，它也就是个等于三角形，它的面积会好求，因为这里有个式子是 s 一 等于三分之二， s 二也要求面积 好，那我们先来看看能不能正。这个角 c a h， 它是三十度。想要找角 c a h 的 话，我们还是可以用刚才那个定力逆着用，先求出 a h， 它的长度是二分之九， 因为 o a 是 六，所以 a h 就是 六。减二分之三等于二分之九。 根据勾股定律，我们就可以求出来 a c， 它的长度是三倍，根号三。哎，这时候我们发现 c h 比上 a c， 也就是二倍三倍根号三，也就是一比二， 那这个角 c a h， 它也就三十度，是可以，那这个角 m a n， 根据对称关系，它也就是三十度乘二六度， 所以 m a n， 它就是个等边三角形。那既然 m a n 是 等边三角形，我们这里还能知道 s 二，也就是 o c a 的 面积就可以求 m n 了。先求 s 二 s 二，它也就相当于是二分之一 o a 乘上 c h， 这个很简单，因为 o a 和 c h， 我 们都知道，再乘二分之一是它的面积，也就是二分之九倍。根号三， 那由于 s 一 等于三分之二 s 二，所以 s 一， 也就是三米杠三。然后我们再根据等边三角形的面积公式，四分之三 a 八，其中 a 是 这个 m n 的 长度，也可以是 m a 或者 a n。 我 们可以列出一个关系式，四分之根号，三倍的 m n 平方，它等于三倍的根号三。求下 m a n m n 是 二倍根号三。接下来我们设 m n 与 o a 交于这个点， r， 那 m r 也就是 m n 的 一半 是根号三。那 m 的 纵轴标我们就测出来了，是负根号三。然后再代入 a c 的 解析式，也就是三分之根号三。 x m 减去二倍根号三，等于 负的根号三。因为它的外坐标是负的嘛，所以这里也要写负。然后我们求出来 x m 是 三，所以 m 的 坐标就是三负根号三。

胡不归问题一定是我们新初二考试当中的热门高频考点，如果一旦胡不归再遇上一次函数的综合，可以说百分之九十五的孩子都拿不到分来。同学们，今天薛老师带你用一个视频 彻底通透如何在依次函数当中调解胡不归的最值问题。好吧，来，我们先来一起读下题。题目是这样说的，他说 p 点呢，为 x 轴上的一个动点，那你随便选个点啊， p 点在这个地方，好在连接我们的 bp。 那 么这个时候哈，他问这个动点， p 点在什么地方？我们的 p a 加上二倍的 p b。 哎，二倍的 p b， 这个两个边之合呢？正好有最小值啊！问，最小值以及我们 p 点应该等于多少？ 徐老师已经把依次函数经典题型包括面积问题等、腰三角形存在性问题、全等三角形存在性问题、背角问题 等点问题、新定义问题等考试必考题型，再结合往年考试专题，优中选优，整理成了一次函数十七大专题，练完考试直接拿满分，需要的家长我发领一份， 好来。同学们，哎，我们在讲这道题之前呢，我们先来简单回顾下弧不规模型的构造方法和技巧。好吧，来，我们先看这个图。哎，这个图呢，是这样去说的啊，他说 a 点和 b 点呢，为两个定点， p 点为直线上的一个动点。好问， p 点这个动点在什么地方？ b p 加上 m 分 之 n 倍的 a p， 这两个边之合呢？正好有我们的最小值。那这个 m 分 之 n 呢？它是我们 a p 边前面的一个系数啊，它是一个什么变化的值啊？那么在我们初二阶段，对于弧不规的系数考察，我们通常情况呢，有三种形式，哎，我们一起来分析一下啊。 对于 m 分 子，第一种形式就是系数等于二分之一的时候，那么就是 b p 加上二分之一 a p 的 最小值，那就是我去构造一个二分之一的 a p 边，对吧？来，这个时候大家思考一下，二分之一这个系数大家很熟悉吧？哎，我们在学了勾股定律之后，大家思考一下哈， 我们直角三角形当中，如果出现哪个特殊角，我们的边的比值会出现一比二呢？很简单，那无非就是我们什么呀，三六九的直角三角形来看一下，比如说这个角是九十度， 这个角呢是三十度，对吧？好，那么这个时候三十度对应的边为斜边的一半，这个为一份，这个为根号，三份，这个就为两份，所以一比二正好是三十度的对边， 比上它的斜边，对吧？好，我们再来分析这个二分之一 ap， 那 么这个时候斜边是长边，我们的直角边呢是短边，所以呢，这个 ap 边应该就是我们的 斜边，哎，斜边的一半，所以二分之一 ap 的 整体呢，它应该就是我们的三十度所对应的 直角边，对吧？好，所以分析出来之后呢，我们可以得到，我们应该在这个图当中呢，去构造一个以 a p 为斜边的含有三十度的直角三角形， 那如何去构造呢？来，我们看一下题目当中，我们要去构造的是二分之一的 ap， 所以 接下来哈，我们的方法和口诀就是，哎，绕着构造边的定点旋转对应度数。构造边，我要构造边，那么它的定点 不就是我们的 a 点吗？好，来 a 点，把构造边绕着它的定点往 e 侧方向旋转，对应度数二分之一，我们分析出来了，度数应该是三十度。好， e 侧 b p 在 上方，所以呢，我应该往下方啊， e 侧方向旋转，我们的 三十度，看到没有三十度，那这这个时候你看，三十度已经出来了， a p 为斜边，接下来还需要去构造一个直角，哎，因为三十度只有在直角当中才有一比二出现，对吧？哎，如何构造呢？很简单，过屁点做一条垂线 啊，这个就是我们的系列，你看 a p 是 斜边，三十度直角是不是出来了，那么这个时候呢？哎，这个边为一份，这个边为两份，所以呢，我的二分之一的 a p 就正好等于三十度的直角边对应的没问题吧，就是 p t， 那 就变成 b p， 再加 p t 这两个首尾相连的折线段之和的最小值。那么对于折线段之和最小，我们说应该当三点共线有最小值，所以呢，我直接过 b 点向它做 垂线，这个垂足点就是我们的 c 点，这个焦点就是我们的 p 点，是不是出来了啊，所以非常的简单哈，好，这是我们第一个看到二分之一，应该想到对应的度数呢，应该是三十度。好，第二种考察形式，我们的系数会变成二分之根号， 来看到二分之根号二，大家同样哈去回顾思考一下。那么哪个特殊角哎，出现在直角三角形当中，他的比值会出现二分之根号二呢？哎，只有一个，那就是 等腰直角三角形，看，这个角是四十五度，这个角呢，是九十度，对吧？好，一比一比根号二。同样哎，四十五度的对边比上斜边， 一比根号二，是不就是二分之根号二，哎，所以呢，我们可以总结一下哈，这里的 m 分 之 n 这个系数呢，正好等于咱们这个特殊角的对边，比上我们的斜边啊，哎， m 分 之 n 就 正好等于我们的对边啊，再比上我们的斜边，所以呢， m 分 之 n 的 什么，它的一个范围也出来了，因为我们对边肯定是小于斜边的，它要长一些，它要短一些，那对比斜， 它的比值肯定是小于一，然后大于零的，对吧？所以呢，我们弧部位的系数哈，一定是小于一的，大于零的。那么同样，所以二分之根号二，我们的旋转的度数也出来了，应该是 四十五度。好，第三个就是二分之根号三，哎，同样哈，来，大家回顾一下，二分之根号三，我们应该想到哪个特殊角度呢？哎，跟我们三十度很像，看到没有，这个是三十度， 这个是九十，那他就是六十，这个为一份，这个为根号三，这个为两份，对吧？那么这里的是二分之根号三，就正好是六十度的对边，比上我们的斜边，所以呢，看到二分之根号三，我们该旋转 六十度，没问题吧？好，这是我们常见的初二阶段的哈，胡不归的三个系数。来，我们最后总结一下，看到这三个系数，我们什么应该想到对应的 旋转度数。好，那如何旋转呢？哎，就应该是绕着构造边，比如说二分之根号，我们就往一侧旋转四十五度，如果看到二分之根号三，我们应该往一侧下方旋转六十度，然后再过这个定点，向这个直线做垂线，就是我们的最小值， 听懂了吗？好，有了这个知识储备之后，我们来我们看这道题，那就非常简单了哈，他说 p 点为 x 轴上什么一个动点，对吧？来，我们找一个，这是 p 点。好，这个时候呢，连接我们的啊， b p 哎，连接 b p， 哎，需要什么？求我们的 p a， 再加二倍的 p b 的 最小值。 那么他跟胡不归很像，但是呢，又有区别，我们说胡不归的系数，一个是等于一，一个小于一，他是一个等于一个大于一，那怎么办呢？要把系数变成小于一，所以接下来我们应该提系数啊，提多少？提二出来，提二出来就变成 p b， 再加上二分之一倍的 p a 了，对吧？你看，这个时候就很简单了，我只要把这一点的最小值 求出来，再去乘以二就可以了。那看到二分之一，我说立马想到旋转三十度啊，来构造二分之一的 pa， 我 应该去构造边的定点，往异侧方向旋转三十度，构造边 p a 嘛，定点是我们的 a 点来，所以把 ap 绕着 a 点往异侧方向 p b 在 下方来，你就往上方。哎，这个很简单哈，旋转三十度，对吧？好，这个角度是三十度不就出来了吗？ ap 是 我们的斜边，我再过 p 点向这个边 做垂线，就是我们 t 点啊， t 点，所以二分之一的 pa 不 就是 pt 吗？就变成 b p， 再加 pt， 这两个首尾相连的折线段是和最小，当三点空线有最小时，所以呢，直接 过 b 点向它做垂线啊，做垂线。你看好，这个点就是我们的 p 一 点，这个垂足点就是我们的 p 一 点。是不是出来了，那最小值就等于我们求 b 七一应该等于多少？ 接下来就变成我们的大家比较熟悉的解三角形的哈。求边，我们一定要把它放到特殊三角形当中，有没有特殊角呢？当然有，你看这个是三十度， 这个是九十度，这是 o 点。好，那他就是六十度，是不是六十度，这个是我们 s 点，你发现没有，我们的 b t 正好在这个三六九的直角三角形当中。哎，我们只要知道一个边， 我们的所有边数都出来了，因为比值为一，比根号三比二。好，我们来算算哈。题目告诉我们，这个直线解决式是 y 等于 x 减三，那么所以我们的 o a a 点就为三到零， o a 就 等于三，对吧，那我们的 o b 呢？也等于也等于三。好，这个为三，那么这个是三十度，所以呢，我们 os 就 传 os 为几，一比根号三比二，对吧？一比根号三比二，那这个为三，这个边就为根号三啊，根号三， os 出来了，好， os 出来了，所以我们的 b s 也出来了，这个为根号三，这个为三，所以等于三，再加上 根号三。啊，这个斜边出来了，那我们这个直角边是不是也出来了？所以 s t 一 应该等于斜边的一半二分之三，再加根号三。好，所以我们的 b t 一， 那不就出来了吗？一比根号三，这是一份，这是根号三份，我再把它去乘以一个 根号三，哎，就可以了。好，等于几就等于二分之三，再加上三倍根号三。但是最后不要忘哈，你这个求出来的应该是这括号里面的最小值，你还说什么，前面再给他乘以个二，哎，我们分母正好递消掉了，等于三，再加上三倍 根号三。好，是我们第二个空，那第一个空也出来了，他要求 p 点坐标， p 点在这个点应该是最小值。这个呢，这个时候呢，他是三十度， 哎，这个边正好在这个直角三角形当中。好，这个为三啊，一比根号三比二，那所以我们的 o p 一 就等于等于三，除以根号三等于根号， 是不是根号三，所以 p 点坐标为多少根号三。哎，逗理哎，这道我们的依次函数和我们的弧部位的综合，你听懂了吗？关注徐老师，数学满分不迷路！

hello， 跟着苏老师学数学，数学就会变得无比简单，今天我们继续来讲一字函数与动点有关的综合问题。 二十五题来。第一问，直接写出 l 的 表达式，知道两点，很明显，利用待定系数法，可以直接设 y 等于 k， x 加二，把三零带进去，也就是说可以得到直线的表达式是 y 等于 负的三分之二， x 加二，这里是三，这里是 r。 第二问，以线段 a、 b 为直角边，找到 a、 b 为直角边，在第一象限内做等腰直角三角形 a、 b、 c， 这是等腰直角三角形 b， a、 c 是 九十度画出来了。 然后又告诉我们一个点 p， 点 p， 我 们来分析一下，横坐标是一，纵坐标是 a， 所以 它可以怎么动？实际上 p 就是 在 x 等于一上运动，也就是说它可以分成两种情况，第一个在第一象限， 第二个在第四项线啊，这是我们由题干得到的信息啊。第二问，求 abc 的 面积啊，这里是二，这里是三，所以这里是四加九，根是三， 那三角形 abc 的 面积就是二分之一， ab 乘 ac， a， b 乘 a， c 实际上就是 a、 b 的 平方，它是等腰直角三角形，那就是二分之十三。 前两问都非常的简单，我们今天主要来看第三问，再分析第三问， abc 和三角形 abc 面积相等时，我们可以先做出来 abc， 这里我们如果以 a、 b 为底的话，过点屁向它做垂线，这条垂线，那我们是不好求的， 这是第一点，所以我们就要想到以 a、 b 为 a， p 为底，也是没办法求，以 b、 p 为底，还是不好求。那我们怎么样？我们此时就要利用戈补法来做戈补法， 这里 a、 b、 c 的 面积是已知的，我们用平尺的做法知二求一，知道面积和高求底，知道面积和底求高，那这种方法就不同，那我们要用割补来进行做。 来看这个问题，要求 a、 b、 p 的 面积， a、 b、 p 的 面积，我们可以用这里面其他的三角形把它给表示出来。比如如果老师用 a、 o、 p 的 面积加上 b、 o、 a 的 面积，然后再减去 b、 o、 p 的 面积，我们是不可以做了。 好，那我们先把手续办一下。什么手续？就是把这几个三角形，为什么找这几个三角形 a、 o、 p 能算吧？底知道高是负 a， 为什么？ a 是 在第四抢线 这几种情况，它在第四抢线，那 a 是 负的，所以我们要它的正值应该是负 a 啊，这里可以知道，那 a、 o、 b 不要双的面积也是可以求的，那 b、 o、 p 更好求。底是二，高是啊一，那我们把它表示一下啊。第一种情况，三角形 a、 b、 o 的 面积是三， 三角形 a、 p、 o 的 面积是负的二分之三 a 啊，一定是负的，因为 p 在 第四象限，所以 a 是 负的啊，负 a 是 正值，它的高应该是负 a 啊，它的高是负 a， 这是难点。第三个可以，三角形 v、 o、 p 的 面积， 三角底是二，高是一，那面积就是一，拿命就是一。好手续办完了，我们继续来做。那表示一下，三角形 a、 b、 p 的 面积就应该等于三角形 a、 b、 o、 a、 b、 o 加上三角形 apo， 然后再减去三角形 b、 o、 p 的 面积，那这里等于 二分之十三，也就是三角形 abc 的 面积。那我们不妨来算一下，那 abo 有 三， 加上这个负的二分之三 a， 也就是减去二分之三 a， 减去二分之三 a， 然后再减一，那减一 等于二分之十三，接出来 a 等于负三啊， a 是 负的，满足的。这第一种情况， 那第二种情况，也就说 p 在 第一项显示，我们把 a、 b、 p 做出来。 嗯，那此时我们还可以利用歌谱的方法 啊，同们看这个 a、 b、 p 的 面积，实际上就等于啊 a、 o、 p， 为什么？因为 p 的 纵轴标就是这个 a、 o、 p 的 高呀，底是已知的， 再看 b、 o、 p 面积也能表示出来，只要这两个三角形的面积相加，再减去 a、 o、 b 的 面积即可。那此时我们还是先办手续，把他们三个正常这个三角形的面积表示出来。 我们从简单到复杂，第一个还是三角形 a、 b、 o 的 面积还是三，那三角形 a、 p、 o， 因为此时他的第一项线 a 为正值，那他是二分之三 a， 还有 b、 o、 p 啊，看了 啊，顺序都没变，还是这三个还是这三个啊，只不过这里是用的是正值。 那啊，三角形 a、 b、 p 的 面积就等于三角形 b、 o、 p 的 面积 b、 o、 p 的 面积，这个小的啊，加上三角形 a、 o、 p， 那 a、 p、 o， 然后再减去哪一个？减去三角形 a、 o、 b 这个面积啊，就剩 a、 b、 p 的 面积了， 那等于二分之十三，而每项 b、 o、 p 有 的一 a p o 二分之三 a 减去三等于二分之十三，皆得 a 等于三分之十七，是正值满足题啊，满足题最尊，让 那 a 等于负三或 a 等于三分之十七时，三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 b、 p 的 面积相等， 你听懂了吗？记得给老师点赞哦！嗯。

这是一次函数综合性比较强的一道题，我们一起来看一下。如图，平面直角坐标系中， a、 b， y 等于负 x 加 b， 交 y 轴于点 a， 点 a 的 坐标是零到四。其实做到这里，我们就已经知道 b 是 多少了。 嗯，或者说我们直接把 a 点带进去，那么 b 点就能求出来。把 x 等于零带进去， y 就 等于四，所以这个解析式， y 就 等于负 x 加四，这是比较容易的。 求点 b 的 坐标，点 b 的 坐标另外等于零，另外等于零， x 就 等于四，所以 b 点的坐标是四到零。 好，第一题非常简单，直线 l， 垂直呃，垂直平分 o b， 垂直平分 o b， b 是 四斗零，那垂直平分 o b e， 那 o e b e 是 相等的，所以一点的坐标我们就能求出来是二斗零 点 p 是 直线 l 上的一个动点，点 p 是 直线 l 上的一个动点，说明它的横坐标已经等于二， 且点在点 d 的 上方，那地点，地点在这个解析式上，那地点的横坐标也是二。把二带进去，它的纵坐标也是二。二地点的坐标就是二逗二， 然后设点 p 的 纵坐标为 n， 那 我们就是二逗 n， 那 用含 n 的 代数式来表示三角形 a、 b、 p 的 面积。实际上这道题就简化了， 那这道题还可以怎么考？他就让我们求三角形 a、 b、 p 的 面积。很显然，这个三角形不在坐标轴上，没有一条边。平行坐标轴，我们是没有办法去直接做的。 那如果说他没有给我们这条线，我们也要做出来这条线，那这条线我们给他叫做牵垂线 啊，铅垂线，那它没有，我们要做，现在它已经给我们做出来了，然后实际上就是把这个三角形分割了，我们沿 p d 分 割， 分割成左边三角形 a、 p d 和右边三角形 b、 p d。 那 所以三角形 a、 b、 p 的 面积 s 三角形 a、 b、 p 的 面积就是 s 三角形 a、 p d 和 s 三角形 b、 p d 的 面积合在一起。 我们这两个三角形都是以 p d 为底，那我们来看一下 p d 为底， p d 的 长度我们是能写出来的， p d 的 长度就是上面的点减去下面的点，纵坐标相减，摁，减二。 实际上这道题他也给我们比较简单地在地点的上方就明确他俩谁大谁小，如果不知道谁大谁小，那么就是纵坐标相减的绝对值。 好，我们把它写出来，那这个三角形 a、 p d 就是 二分之一，乘上 p d， 然后乘上是这个，这个它的高是这个。这条线实际上是什么？这条线是 p 点的 这个横坐标啊，我们乘上 x p 的 横坐标的绝对值，虽然它在第一项线，我们也给它乘作绝对值，加上二分之一，三角形 b， p d 还是以 p d 为底，那乘上的这个是多少？ 这个三角形 b、 p d 的 高是这一段 b e， 那 b e， b e 的 长度是 x b 减 x e 就是 b 点横坐标，减 e 点横坐标，然后我们把它写出来。那当然这道题 x p 是 二， b 是 四， e 是 二，四减二。好，我们把它写出来，就是二分之一 p d、 p d， 我 们表示出来了是 n 减二，然后 x p 是 二，加上二分之一， p d 是 n 减二， 然后乘上四减二等于二，那这里二和二约调， 所以这个答案就是 n 减二，加上 n 减二，就是二倍的 n 减二， 所以 s 三角形 a b p 就 等于二倍的 n 减二，或者你写成二 n 减四也是可以的。这个面积就求出来了， 他说当面积等于八十，那就是二倍的第二小问，二倍的摁减二等于八，那摁减二就等于四，摁就等于六，那这个时候 p 点的坐标， p 点的坐标就是二逗六。 好，第三问，在二的条件下。第三问，在二的条件下，以 p b 为斜边，在第一象限做等腰直角三角形。 p b c 求 c 点坐标，那这里既是等腰，又是直角。首先我们要想到的等腰三角形的存在性问题，它是两圆 e 垂直啊。如果是等腰，那就是以 p 为圆心， 以 p b 为半径画圆，那就是 p 为顶点的三等腰三角形。以 b 为圆心， p b 为半径画圆，就是以 b 为顶点的等腰三角形。然后垂直呢，就是 p b 的 垂直平分线。还有一个等腰三角形， 然后直角呢？我们知道直角，它是两垂直一圆， 那 pbc 是 直角三角形的话，那就是以 b 为直角顶点，或者以 p 为直角顶点做两条垂线。还有一个也是以 p b 为直径画圆，那你看它既是等腰，又是直角， 那我们来，而且 p b 还只能作为斜边，那我们来看一下，两圆一垂，垂直里面的圆就不存在了。因为 p b 为等腰直角三角形的斜边，那么它就得是呃 底边，等腰三角形的底边，所以它不能是两圆，而是一垂直里面的。所以第一步我们应该先做 p b 的 垂直平面线 这个尺规作图，然后两垂直一圆，两垂直一圆，以 p 和 b 为顶点的直角就不用考虑了，因为 p b 是 斜边， 所以我们要画的是一圆，所以那这里我们要做两条线，一个是一垂直，还有一个是一圆，我要用作图工具来做一下，这是我借助画图工具啊，尺规作图，画了一个圆和一个垂直平分线， 那这里我们就能知道垂直平分线上点到现在两边的距离相等，那这个线上的点就满足等腰。然后我们讲过这圆上的一点和 p b 的 连线，它都满足是直角， 所以那这个点 c 就是 我要找的一个 c 点，然后我们还会发现这里还有一个点，还有一个点，圆上的一个点圆和这个直线上有个交点， 并且呢，你如果画的比较标准，他应该就在 y 轴上，那其实这个点我们也是能求出来的。不过在这一道题当中不需要求，因为他说在第一象限，所以这是我要找的第一个 c 点，这是第二个 c 点，但是他要在第一象限，我们只要求 c 二， 那么无论是 c 一 还是 c 二，我们都是用这个 k 形图，我们去构造 k 形图，去求 c 点的坐标。首先比如说我先求这个 c 一， 那这个 c 一 我们该怎么样去做？我用蓝色的线来表示， 那实际上来看一下，我们连接一下 p c e 和 b c e， 那 这两个边是相等的，那这里是垂直，所以我就能找到一线三等角里边这个垂直，这个垂直我很显然要去过点 p 做垂线 啊，这个垂直，那么假如这是 m， 那 么三角形 p m c e 和嗯 c 一 o b， 他 一定是全等的，然后我们进而就能求出来 c 一 的这个坐标啊，比如说我们来看，因为这个地方是二，那这里就是二，那这里就是二，那 c 点的这个坐标就求出来了，是零度二，但是这个地方是要舍去的，我们不要用，因为他在第一项线， 那这里我们来看一下。很显然我们要去构造 k 形图，所以我们要去做一个垂直于 x 轴的线，然后过 p 点向这个坐标轴做垂线，向这个坐标轴做垂线。假如这是 n， 那 么我们就能得到 p n 啊，直接写三角形 p n， c 二全等于三角形点， p 的 对应点是 c 二 c 二， 这个坐标我们记作 k c 二 kb， 这两三角形是全等的，我们用 k 形图就可以成全等，然后我们就能得到对应边相等 p， 我 们就能得到对应边相等 p n 等于 c 二 k， 嗯，然后 p n 点 c 二看，我们来表示一下，我们这个地方设 c 二的横坐标为 m， 设它的横坐标为 m， 那 这个 p n 就是 c 点的横坐标，减去 p 点的横坐标就是 m 减二，那 p n 就是 m 减二，那 c 二 k 也是 m 减二，我们还可以得到 c 二 n c 二 n 等于 b k， 那 我们来看一下 b k 怎么表示 b k， 那 这个 k 点的横坐标就是 c 二的横坐标就是 mb 点的横坐标是四到零， 所以那 b k 就是 m 减四，那我们来表示一下，这是 m 减四，那 b k 又等于 c 二 n， 这就是 m 减四。写完以后，我们发现 m 减四和 m 减二在一条线上，它其实就是 p 点的。呃，这个纵坐标，所以 m 减二加上 m 减四就等于二啊，就等于六，那二 m 减六就等于六， m 等于六，那所以 c 二这个点，第二个 c 点的这个横坐标就是六，他的纵坐标就是 m 减二是四，所以这个第一项线内 c 点的坐标是六勾四。然后这是等腰三角形和等腰和直角三角形结合的一道题，比较有代表性。

封卷站住半个时辰已到，此时才来，你可知罪？ 想进这扇门，除非你能填上这卷轴里丢失的天机。这世间万物的规律，你真的看清了吗？ 看，前任已射出一箭，定下了方向。 听着，我要你在两尺高抬起射，箭出的轨迹必须与前任那支绝无二致。告诉我，你这一箭的名号是什么？ 各位同窗，刚刚那是秒杀，但在正规科举中，万能的解法叫做待定系术法，切记四字口诀，射待解。写任何一次函数，只要有两个条件，皆可由此法破局。 第二关，看这地势，起于云端，一路狂泻，唯独避开了这一片死地。 下坡之事，必有缘由，你也配掌印告诉我，这背后的 k 与 b 究竟是正还是否？ 很多人分不清。增减性。记住一个词，理。从左往右看，如果你在爬山，就是 y 随 x 增大而增大。如果你在下山，就是 y 随 x 增大而减小。方向错了，全是白忙活。 最后一关，似乎上宽下窄，水流横定。随着时间流逝，这页面下降的速度是先快后慢，还是先慢后快？只有一次机会，选出描写他灵魂的那张图，哪一张 门开了，你不仅射中了靶，更看透了这万变中的不变皆印吧而已。 题目已解，但算尽天下变化的这条路才刚刚开始。 这场穿越大唐的思维考试结束了，但探索规律的脚步不会停下。我想知道，通过今天这三道关卡，你最大的收获是什么？

万万没想到八年级上册有这样一道非常好的压轴题，它是如何被瞬间的解答的呢？我们一起来看。有一条直线幺二一 y x 加 b， 那 么 a 点坐标零四， 与直线 y 带 x 交于点 c 第一位 c 点的横坐标是一，说明 c 点的整个坐标就是 e 一， 那么这个 c 点坐标 e 一， 因为 c 点是焦点，可以带入这条直线，得到 k 等于负三。 现在 p 点在 a c 上运动，或者说线段 a c 上运动，那么这里呢，我们就不考虑呃，多种情况，因为题目中的这个 p 点是在直线上运动，那么第一问规定了一个在线段 a c 上运动， 那么已知三角形 o c p 的 面积为 s e， 那 么首先我们要考虑面积的转化问题， o c p 的 面积实际上可以， 也就是说用一个以方便的面积来表达，我们这里的面积转化就是用 s 三角形 a o c 的 面积减去 s 三角形 a o p 的 面积，这个也就是题目中的 s e。 当然这两个面积在表达的时候相当于是二分之一个 o a 括号，那么 x c 减去 x p 横作表示差。好，这是第一个，那么第二个我们再来看 这个 a c p 的 面积， s 三角形 a c q 的 面积，我们可以用 s 三角形 a o q 减去 s 三角形 a o c 也就等于 s 二，那么换句话说，也等于二分之一个 o a o a 等于四，那么也就是 x q 的 横坐标减去一个 x c， 当然 x c 是 一了。好，那么我们可以看一看 c 点和 q 点，还有 p 点这些横坐标在表示的时候呢，我们又来了一个重要的内容，就是设 p 点坐标， 假如 p 点坐标因为 k 等于负三，所以 p 点坐标我们可以为 m 负三 m 加四，那么因为这个 p q 两个人呢，是相同的重坐标，所以 q 点的坐标就可以设成负三 m 加四，负三 m 加四， 将 p q 的 横坐标包括 c 点的横坐标带入一二两式，显然能够得到 s 一 和 s 二的比值为定值。下面我们来看关键的第二位，进行了一个逆向思维， 他说已知两个的面积之比是一比二，并且 o p 等于 o q， o p 等于 o q， 别忘了 p q 还要平行于 x 轴， 在整个大前提里面是这样的，因此呢，这个时候的这个 p q 啊，根据我们画草图的话，怎么画呢？那么平行于 x 轴，而且要满足 o p 的 o q， 所以 我们可以找到一个 c 图， p 点在这个位置，那么 这样以来， q 点在这个位置，那么 o p 等于 o q， o p 等于 o q， 那 么因为我们考虑到了这个角度是四十五度，那么现在我们可以断定 这个 p 点应该在这条直线上，也就 y 等于负 x 这条直线上， 这样呢，我们才能根据 o p 等于 o q， 然后这里有垂直三线合一，也就得到了一个重要的信息， p q， 关于 x 轴对称，关于 y 轴对称， 那么关于 y 轴对称，这个时候我们可以假设一下， p 点坐标为 m 负 m， 那么我们的 q 点坐标就应该是负 m 负 m， 当然这里的 m 是 大于零的。接下来这个解题就对我们很帮助，这个时候我们再来看一看，题目中又有了一个新的变化，就是 s 一 的面积， 也就是 s 三角形 ocp 的 面积，这个时候 s 三角形 ocp 的 面积是等于 s 三角形 aop 的 面积，减去 s 三角形 aoc 的 面积， 同样等于二分之一个 o a o a 二分之一个 o a 就是 二括号。这个时候呢，我们发生的事情是 x p 的 坐标减去 x c 的 横坐标。好， s 二也发生了一些变化。 s 二，也就是说 s 三角形 a c q 的 面积， a c q 的 面积，现在以 a o 为底，从中间使用牵垂法，等于二十分之一个 a o， 实际上是，实际上是 a o q 的 面积加 a o c 的 面积，那么也就是二十分之一个 a o 括号。 q 点的横坐标的绝对值加上 c 点的 横坐标绝对值，它是以我们可以把它写下来等于 s 三角形 a o q 加 s 三角形 a o c， 那 么原来第一问里面是减，我们这里变成了加号。好，现在这两个式子的比是一比二，那换句话说， 那么这个地方好玩的是，我们写下来 s 一 比上 s 二等于 x p 减去 x c， 那 么 x q 的 绝对值和 x x q 的 绝对值，实际上这个 q 点的横坐标的绝对值就是 p 点的横坐标就是 x p， 然后加上 x c， 这是减 x c， 这是加 x c， 等于一比二。 好了，那么我们现在只要把 c 点的坐标表达出来， c 点的坐标怎么表达呢？是 y 等于 k， x 加四和 y 等于 x 的 交点，我们用横 k 的 表达式来表示。好，这样呢，我们就可以得到 两式交叉相乘两倍的，那么 x p 呢？我就把它换成 m 了。二 m 减 x c 等于 m 加 x c， 所以 三 m 就 等于二 x c， 我 们的 m 怎么表示呢？ m 也可以利用 y 等于负， x 与 y 等于 k， x 加四把它解出来，那就是解，就是 m 点的 p 点的横坐标 m， 那 么这里样解出 c 点的横坐标也用 k 来表示，那么把这个 k 代入这个里面，就能算出我们的 k 等于什么什么什么，这样呢，我们这道题就解决了。

初二数学一次函数的实际应用问题是一类必考的题型，而其中一次函数与行程类的问题的综合是一类高频的考点。那这个视频我们通过这道题来讲解一种方法来解决这一类的问题。甲乙两人在笔直的湖边，同起点、同终点、同方向匀速行驶两千四百米， 先到达终点的人原地休息一只，甲先出发四分钟。在整个步行的运动过程中，甲以两人的距离为 y， 与甲出发的时间 t 之间的关系如图所示。下列说法中正确的是解决这道题目的关键是我们要充分利用这个图像中的拐点的信息。 我们可以利用个线段来解决这类的问题，通过画线段图更能解释这里面的每一个点它代表的是什么意思。在这里面我们设为这条线段， ab 是两千四百米，甲乙同时从 a 点出方向， b 点开始运动，那么对于前四分钟是甲先出发的，所以甲说从甲从 a 到 c 运动的距离为 二百四十米，时间为四。所以此时我们就能算出甲的速度等于二百四十除以四等于 六十米每分钟。从第四分钟到第十六分钟，甲乙之间的距离越来越小，而第十六分钟的时候，甲乙之间的距离变成了零，也就是说此时甲乙是相遇了， 我们是在地点的时候，甲乙两点相遇啊，这段就变成了一个追击问题啊。通过甲 十六分钟用的运动的距离和以十二分钟运动的距离是相同的，此时我们就能算出甲的速度乘以十六，就等于乙的速度乘以十二， 所以我们就能算出乙的速度等于六十，乘以十六除以十二等于八十。然后我们来看一下选项， a， 乙用十一分钟追上甲，乙是从第四分钟到第十六分钟追上的甲，所以它总共花费了十二分钟，所以 a 是 错误的。 b， 乙追上甲后，再走一千四百四十米到达终点，乙追上甲，根据我们刚才的分析是 a、 d 这段是乙追上了甲，那这段的距离我们就能算出它等于乙的。甲的速度六十乘以甲用的时间也就是十六，它等于九百六十米， 那总共长度是两千四百四十米，所以 b、 d 这段我们就能算出它等于两千四百，减去九百六十等于一千四百四十米，所以 b 选项是正确的。 那我们再同时看一下 c 和 d， c 是 说甲乙之间的距离最远是三百米，那通通过图像我们也能观察出来，甲乙之间最远的点是在这个点处，也就是 a、 b 这个点的纵坐标的 b 值。那如何求出这个 b 的 值呢？我们通过实际问题来分析，甲乙之间的距离越来越大，那什么时候它距离又变来越来越小呢？是当一个人到达了，那显然因为己的速度更大，所以乙应该是先到达 b， 那当乙到达 b 的 时候，甲说底，甲是到达这里的 e 的， 那我们只需要求出这段 b、 e 的 长就行了。那如何来求 b、 e 的 长呢？ 我们可以先算一下乙从 a 到 b 总共花费的时间，总共是两千四百，除以乙的速度是八十，他花费的时间是三十分钟，那乙花费是三十分钟，那对于甲来说， 它从 a 点到 e 点，它运动的时间是等于甲运动的时间，加上它前面多运动了四分钟，所以它总共是三十加四，是三十四分钟， 那甲一共运动了三十四分钟，它的速度为六十，所以我们就能求出 a、 e 这段长度 等于六十，乘以三十四，等于二零四零，那 a、 e 的 长度等于二零四零。 b， e 的 长度我们就能求出等于总共的长度两千四百，减去二零四零，等于三百六十米，所以甲乙两人最远的距离是三百六十米。 d。 甲到达终点时，乙在终点休息了七分钟。当甲到达终点时，乙在终点休息了多少分钟？由甲从 e 点出发到 b 点这一段所用的时间来决定，那这段时间我们就可以求出 b 的 长度。根据 c 选项， b 的 长度等于三百六十米，它的速度为六十，所以它 所以甲从 e 到 b 所运动所需要的时间等于六分钟，所以甲到达终点时，乙在终点已经休息了六分钟，所以它也是不正确的。所以这个题目答案选 b， 你 学会了吗？

依次函数中的动点面积问题，一定是八年级期末的热门高频考点，往往百分之九十的学生都拿不到分。今天马老师一个视频带你们通关，这个题型好，咱们先来看题，给了两条直线点， k 是直线 y 等 x 上的一点三角形 a、 b、 k 的 面积是个六，求点 k 的 坐标，在坐标系中涉及到三角形的面积啊，只有这个三角形，它的一条边和坐标轴平行或重合时，咱们才能用坐标去计算面积。 你看哈， k 是 在 y 等 x 这条线上，那么 a、 b、 k 这个三角形哈，它的三条边，没有一条边是和坐标轴平行或者重合的，所以呢，这个面积没法直接算，咱们就必须进行一个转化。怎么转化呢？有两种方法，一个是割补法，一个是用平行线， 那么这个题哈，用平行线进行转化是非常快的，那咱们来看哈，用平行线怎么转化呢？哎，他用到一个知识哈，就是平行线之间的距离处处相等。比如说，咱们看这个三角形 a、 b、 c， 如果它的面积是个十，咱们过顶点 a 做 bc 的 平行线， 那么这条平行线上的任意一点 p 哈和 bc 组成的三角形，它们的面积都是一个十，因为 pbc 和 abc， 它们的底都是 bc， 那 高呢？哎，都是这一组平行线之间的距离是处处相等的， 所以说呢，这个点 p 哈，它无论是在这个平行线的哪一点哈，三角形 pbc 的 面积都等于三角形 abc 的 面积。 那咱们就用这个知识点，就可以来很轻松的来转化三角形 a、 b、 k 的 面积，那因为 a、 b、 k 的 面积是个六哎，所以呢，上边有个 k， 下边还有个 k 哈，应该是俩 k， 咱们分别记为 k 一 和 k 二。好，那咱们就过 k 一， 哎，做 ab 的 平行线， 那么这条线上的任意一点哎，和 a b 组成的三角形，它的面积都是一个六，那么这条线上有无数个点，咱们用哪个呢？哎，咱们用它和 x 轴的交点， 咱们记为 k 三，为啥用这个点？因为三角形 a b k 三，这个三角形哈，它有一条边， b k 三是和 x 轴重合的，那所以它的面积哈，就等于 a o 乘上 b k 三啊，它也等于 a b， k 的 面积等于个六。那 a o 呢？是已知的 啊，是个四，那所以呢， b k 三，咱们就可以算出来，它是一个三，那 b k 三有了 o， b 呢，是个二，所以就有了 k 三的坐标，是个五零。然后因为这条蓝色的虚线哈，它是平行 a b 的， 那它俩的 k 也是相等的，也是一个负二，然后又经过五零，哎，就可以求出哎 k 一 k 三的解式，这个负二 x 加十，然后呢，把这个直线和 y 等 x 连立，求出它们的交点，就是 k 一 的坐标， 哎，是个三分之十，三分之十，那么求 k 二的坐标方法也是完全一样的啊，咱们就过 k 二做 ab 的 平行线 啊，和 x 轴交于点 k 四，那么三角形 k 四 a b 的 面积呢？就是一个六啊，求出 k 四的坐标，再求出 k 四 k 二解析式，再和 y 等 x 连立啊，解方程就可以了。

今天老师给大家讲的这个一次函数与几何，第二个问非常好啊，他考察的是最短路径与几何，但是这个最短路径呢，不是将军一马，是将军六马啊。大家之前在学最短路径的时候，老师给大家讲过这个模型，但是他放到一次函数里呢，就有很多同学有点蒙了， 大家还记得吧，上次呢，老师的视频给大家总结过说，在做一次函数题的时候，第一个我们要学会特殊的 k， 比如说 k 的 正负一， k 的 根号三， k 的 三分之根号三，那在这道题中， k 就 尤为重要。如果你能把 k 的 特殊值看明白，你做第二个问也好做，还讲过呢，面积千垂高成水平宽，这道题没考， 讲过等腰三角形两圆一线。第三个问考察的就是等腰三角形，还讲过等腰直角三角形 k 字形。也就是说，这道题所用的知识点，其实我们都是做过的，就看大家能不能灵活运用了啊。 第二个问，你如果说这道题没做，一定要自己先做一遍，做完之后你再听老师讲。好了，我们现在把这道题讲一下吧。 这道题如果啊，我说作为青岛的期末考试题，可能会有大部分同学做不出来，会比我们前一阵练的那种一次函数综合的难度高一些。 直线 y 等于二分之一， x 加二与 x 轴， y 轴交于 ab， 两点随 b 点坐标零，逗号二。老师讲过， k 就是 纵的比横的随 a o， a 就 得四， a 点坐标负四，逗号零， c 点坐标二零。那这就出现了一个等腰直角三角形往下走，说明 k 的 负一，所以 y、 b、 c 的 解析式，我们就直接求出来负 x 加二啊，你要是不像老师这么快也没关系，在两个点就出来了。 再看，且 o d 等于四个 o c， o c 得二，那 o d 得几啊？ o d 就 得八，所以这就是零。逗号八， 那我们其实还知道 y、 a、 d 的 解析式，你看 k 等于纵坐标比横坐标，所以它的 k 是 得二的，那就应该是 y 等于二， x 加八或者代负四零零八可以啊， 且与 b， 且与直线 a、 d 交于一点，那我们还得把一点求出来，两个一次函数的交点，那就连立就行了。就是 y、 b、 c 等于 y， a d， 负 x 加二等于二， x 加八， 三 x 等于六， x 等于负二啊。负二，那么它正好是终点吧。负四和零的终点不是负二吗？说明 e 是 a、 d 的 终点，那么这回 横坐标是终点，纵坐标也得是终点，其实就是中位线啊。负二，逗号四，求出来了，没有？哪条直线是咱没求的了吧？ bc 求了， ad 求了， ab 知道了一点坐标，还知道了这些基础基本的内容，老师就都搞清楚了。好，第一个问，第一个问 y， bc， 老师求出来了，负 x 加二。 第二个，在第一项线的直线 ab 上有一点 m， 使 aeb 等于 meb， 哼， aeb 等于 m 一 b 啊，那好求啊，两个三角形，它俩现在相当于是等高的，如果面积相等，那就说明什么呢？底相等，也就是说我们之前学的中线，将三角形 分成面积相等的两部分。大家还记得这句话， 那就是让 e、 b 是 三角形， a、 e、 m 的 中线就完事了。 如果它是 a e、 m 的 中线，那 b 就 推出来了，它就是 a m 的 中点， 如果 b 是 a m 的 中点，那 m 点好求了吧？你看 a 点坐标负四零， b 点坐标零二， 所以横坐标差四，那这个点坐标就是四，纵坐标差二，那就是他还是差二四逗号四就完事了。 那你加一下负四加四，两个数相加，除以二正好的零，四加零除以二正好的二，所以 m 点坐标老师也求出来了，是四四。 那么 m 点坐标求出来之后，他说话了，说若线段 e b 在 直线啊， e b 是 固定不变的，那 e b 多长啊？会求不？ 老师之前讲过怎么求？平面向平面，直角坐标 c， 两个点之间的距离是根号下啊， d 等于 x 一 减 x 二的平方，加 y 一 减 y 二的平方，其实就是构造一个等腰直角三角形，你看横做交叉二，纵做交叉二，那斜边就是二跟二，所以 d b 长就等于二倍。根号二， d b 在 直线 bc 上动，且 b 和 e 移动后的对应点变成 e 一 b 一， 请求出 m b 一 b 一 e 与 e d 的 最小值。 这个其实就是一个什么模型呢？老师给大家看一下。假设这是 a， 这有个 b， 然后在这条直线上有个 m n， m n 固定是两厘米，然后求，但是 m n 在 直线 l 上动求 am 加 m， n 加 b， n 最小。这道题是不是见过呀？所以这个题怎么办？就是将军六马模型。 将军六马模型啊，那这个将军六马模型怎么办呢？其实就是转化，我们可以给它构造一个平行四边形，你看 m n 不是 这样吗？ m n 是 固定长的，就把 b n 和 am 放到一起， 那 m n 肯定在 a b 中间，所以 b 呢，就往 a b 这边，你这得两厘米，我这也做个两厘米的，然后连接 b p m， 你 看一组对边平行且相等，说明 b 撇 b m n 就是 一个平行四边形，所以老师就把 b n 加 a m， 嗯，转化成 b 撇， m 加 a m， 那 这是不就是将军印码模型了？怎么办？ b 向下做垂线，那这就是 b 二撇吧，连接 a b 二撇。 我这画的有点歪啊，这个焦点是不就是 m m 往这边回来两个就是 n， 然后这就是 b， 想起来了吗？这个模型好，老师画的有点丑，那我们把这道题给它按照同样的思路去做。 你看 e b 在 这条线上动 dm， 那 你现在就要想了， d 和 m 是 不是就得做一条平行于 e b 的 直线？那怎么给它做呢？把这个擦一点点啊，我先观察 d 点和 m 点的坐标，我先把它俩连起来啊， 发现 d 点是零八， m 点是四四，所以 dm 这个角是不是四十五度？ dm 的 解析式好像我们就知道了吧， ydm 是 不是就等于负 x 加八？发现没，它这个假角啊，也是四十五度。然后刚才我们说了 ybc 的 解析式是负 x 加二， 那就说明 dm 和 e 一 b 一 是不是应该是平行的 啊？老师把这个再画一下啊，这是 b， 这是 m n， 我 们第一步是不是 e 往 m n 这边做一条平行线？ m n 多长， b 做的就是多长， 就把 b n 转化成 b p m。 刚才老师第一步是这么画的吧，所以那我这个第一步也要这么画。 你看 e b， 刚才我说不等二倍根号二吗？那你 m 正好平行于 b 一， 这个 b e e， 你 也要往它这个方向做一个二倍根号二长的点，那这就是 m 撇儿， 它的长的二倍根号二，说明它横纵坐标都是二。那其实这个 m 撇坐标大家是不是就知道了，横坐标往左走两个，所以 m 撇的横坐标就是二，它的纵坐标往上走两个，纵坐标就是六，它应该是二逗号六。 好，下一步怎么做啊？这个点我是找着了平行四边形，我是不得做， a， m 加 b， m 最小，那就 b。 关于 m n 所在直线做对称点， 然后再连接 a b 撇，你看老师画多准，正好交在这个 m 处了。那我 m 是 不得关于 e 一 b 一 作对称点呢？利用将军印码模型啊， m 关于这条线作对称点， 正好是 a， 这个点就是负四零。 那有同学可能问我了，说，老师你怎么知道它关于这个点的对称点正好在这儿 啊？这个问题嘛，你可以这么想啊，之前老师给你们讲过，两个直线，如果它们互相垂直， y 一 乘 y 二，是不得负一，那所以呢，你这个 m 撇，关于这个 e c， 如果做垂线的话，它 e c 的 k 的 负一，那你这 m 撇所在的这条直线 y m 撇，假设这个角 m 二啊，给它起个名吧， m 一 m 二，它的 k 是 不是就得得正一？它就是 x 加 b， 然后它还得过哪个点呢？过二六这个点， 如果他过二六这个点，那你把 x 二带进去， b 就 得四，所以这条直线就是 m 一 m 二是 x 加四， x 加四，当哎，当 y 等于零的时候， x 正好得负四零，所以老师就凑到了这个点。如果你光用几何的思路呢，也能想出来啊， 但那样可能比较麻烦，你可以用函数的思路去想，它的对称点就是 a 点，那这回是不是就连接 d a 就 行了？ d a 就是 这条最短的路径。嗯，就连接 a b 撇，怎么转化呀？那你们看， 老师给你画出来啊，你这回 m b 一， 加上 b， e， e 加 e e d m b e 是 谁？ m b e， 我 是不是往这边平移，它平行且等于 m 撇儿， m 一 m 二，对吧？这是一个平行四边形，它就等于 m 一 m 二，然后 m 一 m 二做对称点，它又等于谁呢？它又推出来，它就等于 m 二 a。 这回那么 e e， d， e 点在这啊，就等于 d m 二，所以它俩加起来就等于 a d 啊。或者你看老师这条边啊， b n 加 am， 老师把 b n 转到 b 撇， m， b 撇 m 呢，又等于 b 二 m， 然后 b 二 m 加 a m 就 转化成 a b 二。 好，它就转化成 a d 加上 b 一 b 一。 那 a d 是 多长呢？这是四，这是八，所以它是一二根号五。那就扩大四倍，四倍根号五， b 一 e 一。 刚才我算了他的二倍根号二，所以这道题呢，就是四倍根号五加二倍根号二。关键是老师这个模型。 好了，那第二个问讲了好久，终于讲完了，大家听懂了吗？一定要注意啊，将军六马模型之前老师都给大家上课讲过，你也可以把那个笔记再拿出来翻一翻啊。 这回我们再看第三题，第三题简单了。你这道题反而是第二个问比较难，第三个问比较简单，因为因为他第三个问考察的就是等腰三角形。等腰三角形老师总讲叫做两元 一线。好，那你看，他说以 a 撇 b 撇 p 是 在哪啊？ p 是 在 x 轴上。好，那我们先把 a 撇求出来， a 撇坐标是多少呢？ a 关于一三象限的角平分线的对称点，它是四十五度的对称点，还是个等腰直角三角形，就是零，逗号负四。 然后这 b 一 呢，是做 a b a 撇 b 撇，它是互相平行的，然后交在这个点。 那我们看啊，它是互相平行的，这个解析式是多少？是 y 等于负 x 加二，那平行不改变 k 的 大小，它的 k 还是啊？负二分之一，二分之一 x。 老师说错了，二分之一 x 加二， 平行不改变 k 的 大小，那 y a 一 b 一 也等于二分之一 x， 那 你上边加二，我这边 减四， y 等于 a 一 b 一 是二分之一 x 减四。然后这个 b 撇是在 b c 这条直线上，所以我们就可以给它连立。也就是说，二分之一 x 减四等于 负 x 加二，左右两边都乘二， x 减八等于负二 x 加四，三 x 等于十二 x 等于四， 横坐标得四，纵坐标就是负二。然后这个 f 点坐标呢，是八零 两圆一线。我们先知道 a 一 b 一 的长，还是用啊根号下 x 一 减 x 二的平方，加上 y 一 减 y 二的平方。所以呢，我们知道横坐标是四， 总坐标是二，随 a b 的 二倍，根号五。第一步，以 a 为圆心，二倍根号五为半径。画圆，它会交于两点啊， 这有一个点，这是二倍，根号五，这是四，所以这就得二。第一个 c 一 就是二的号零。第二个， 这是二倍根号五，这是四，这也得二，那就是 c， 二是负二，得号零，这是以 a 为圆心。接着呢，我们再以 b 一 为圆心，以 b 一 为圆心，二倍根号五，长为半径，画圆 可能长成这样啊，具体这个交在哪？我这没有圆规，我先试试。这是二倍根号五，它纵坐标是二，所以这是得四。 a 负四，往这边四个单位，所以 c 三正好是零，逗号零。那右边还有没有一个点呢？ 右边这个点就不行了，不能和 f 在 一个点啊，和 f 在 一个点就是共线了。那就不可以啊， 那还有呢？我们再想一想啊，两圆完了，是不是还有一线？接着我把这些都擦了，都用不上了。做 a 一 b 一 的垂直平分线。 垂直平分线有一个性质，就是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，所以这个 p 点，它到 a 一 和到 b 一 的距离相等。那我们就得用勾股定律往下做垂线， 这得二。我可以设横坐标为 x， 那 这就是四减 x， 因为这点坐标是四，逗号负二嘛。好，然后这个呢，也得四，所以这两个直角三角形 p o a 撇和 p， 假设这是 h b 撇，它俩都是一个直角三角形，斜边应该相等。那么式子呢？就是四的平方加 x 方等于四减 x， 括号的平方加二的平方。四四一十六加 x 方等于四，四一十六减八 x 加 x 方加四 八 x 等于四 x 等于二分之一。那么 c 四呢？就是二分之一，逗号零。 第三个问还真挺好做的啊，就第二个问，稍微麻烦一点，大家回去呢，把这道题再好好想一想啊，拜拜。

如图，点 m 和点 n 的 坐标。点 b 在 直线 m n 上连接 o b， o b， 将三角形 n， o m 分 成两等份，求点 b 的 坐标。 为了求出点 b 的 坐标，我们过点 d 作 x 轴和 y 轴的两条垂线，设点 b 的 坐标为 x 和 y， 那 这两条垂线的长度就是 x 和 y 的 绝对值。 因为这两个直角三角形 o n 的 长度知道， o m 的 长度知道，因为这个是三，这个是二，根据坐标可以看出来， 所以这个直角三角形的面积能算出来。直角三角形的面积算出来 b， o b 将它分成两等份，那它两等份，每等份也就是这个三角形面积的二分之一也能算出来。算出来这个小两个小三角形的 底边都知道一个是三，一个是二，那个经过观察，这两条垂线正好是这两个小三角形的高，所以这两个高也能算出来。这个高算出来之后，他是两个正数。 因为点 b 呢，在第二项线里边，所以点 b 的 横坐标应该是个负数，你把高算出来之后，写出变成他的相反数，变成一个负数。这是第一问，第二问。说点屁 从 m， 点 m 向 y 轴的负半轴运动，同时点 q 以每秒三个单位的长度，从 n 向 x 轴的正半轴运动， 它们两的运动时间是相同的。呃，设运动时间为 t 秒。直线 n， p 和 m q 相交于点 d， 点 d 在 第四项线，而且点 d 的 坐标都已经说了，它是三和负二。求点 q 和点 p 的 运动时间以及点 p 的 速度， 我们要求出它们俩的运动时间。你先观察点 q 是 从 n 这个地方运动到这个地方，而且点 q 的 运动速度又知道，想求出时间，那只要知道它的运动距离就知道了。距离除以速度就等于时间，那它的距离等于 n o 加 o q， n o 知道是个三，但是 o q 不知道。我们经过观察，发现点 q， 它在直线 n m， d 上 又知道了 m 的 横纵坐标和 d 的 横纵坐标。把这两个坐标代入依次函数的解析式里边，算出来 k 和 b 的 值就知道了。直线 md 的 解析式知道的直接， md 的 解析式令它的 y 等于零时，求出 x 的 值， x 值就是点 k o 与 x 轴的横交点，横交点也就是它的交点坐标就是它的横坐标，横坐标经过计算的，它是二分之三， 那说明点 q 的 运动的距离就是 n q 加 o q 是 n， o 加 o q， 它是三加二分之三，它的距离知道了，它的速度，又知道了是三，那距离除以速度就是它的运动时间。 第二问呢，教你求点 p 的 运动速度，那点 p 的 运动速度就等于它的运动距离除以时间，刚才已经算出来它的运动时间， 那它的距离是多少？它的距离是 m o 加 o p， m o 知道这节距离是个二， o p 不知道，但是经过观察，点 p 在 直线 n， d 上， n 的 坐标知道 d 的 坐标知道 n 和 d 的 坐标分别代入一次函数的解析式，可以算出来 n 和 d。 哎，直线 n， d 的 解析式，令直线 n， d 的 解析式里边的 x 等于零时，算出 y 的 值，那 y 的 值就是 p 的 值， p 的 值它算出来应该是个负数，但是你知道 o p， 它是一个距离，它应该用它的绝对值来计算， 那这时候 o p p 的 点坐标标注到了那 o p 的 距离，知道了 m o 的 距离，又知道这两个距离相加相加，再除以刚才的运动时间，就是点 p 的 速度。

好，同学们啊，我们看一下这道题，一些函数 y 一 等于 a， x 加一，其中 a 不 等于零。第一个，我们求 a， 那 求 a 的 话， x 等于一， y 等于二，带进去，那就得到二 等于 a 加一，所以求到 a 等于两分倒数啊。这一题如果十二分的话，怎么分布啊？一般的常规来说的话，是是是，但第一问比较简单，两分，这个五分，五分， 那我们看第二，他说 x 大 于等于负三小于等于二十，它的最大值是五。好， 那我们要讨论，因为 a 的 就是 k 等于 a 的 时候，大于零和小于零是不知道的，对不对？那不知道，那增减性就不知道，所以我们讨论第一种情况，当 a 大 于零时， 那 y 一 随 x 的 增大啊，增大对不对？所以就得到 x 等于二的时候， y 一 取到最大值，我们就把它带进去，那就得到二， a 加一 等于五，所以 a 等于二， a 等于二，所以第一个答案就有了，等于二， x 加一。第二个，当 a 小 于零时 啊， a 小 于零时， a 小 于零时，那 y 随 x 的 增大而减小，所以 x 等于负三的时候， y 一 取到最大值，那我们把三代数负，三代数负三， a 加一等于， 所以 a 等于负的三分之四啊，所以 y e 就 等于负的三分之四， x 加一啊，就好了啊，就好难，难在第三位。好多人有点不太理解啊，对于一次函数 y 二啊，又来了一条， 他说 b 不 等于零时，当 x 大 于零时，我们都有 y 一 小于 y， 二都成立，求 a， b 的 垂直范围。好，我们先把临界点画出来， x、 o、 y 对 不对？那我们第一种情况要讨论，当它们平行的时候看啊，平行的时候， y 一 大于 y 二，那说明 y 二要在上方，这个是 y 二，那说明 y 一 是跟它平行， y 这个等于二， x 加 b， 这个等于 a， x 加 e。 好， 那第一种情况，如果 a 等于二，那只要保证 b 大于一就可以了。这样你看他始终在他的上方，他不可能跑到他的上方去，跑到他的上方，那 x 大 于零就不不存在了啊，那这个就不对了。好，第二种情况，那 a 等于二是它的临界点，平行的时候，那不平行，那就是分成 a 小 于二或者 a 大 于二，我们看 a 大 于二， a 大 于二，就相当于这个点 啊，你不可能是画到上面去的，那不成立了，就只有这样。好，那你想大于二的时候，我们换这边看一下啊，我画给你们看一下。大于二的时候，那也就是说你找的这个点是不是要这样转动？那也就是说只要你一转动，他 y 跟 y 二是不是就有焦点在第一下线？ 那只要在第一项线有交点，那 x 大 于零，就不一定存在。 y 一 大于小于 y 二，也可能这一段，你看这一段的话，你看就是 y 一 大于 y 二这一块，因为焦点是它的分界线啊，所以只要是 a 大 于二 都不成。那这种情况不讨论，那我们就讨论 a 小 于二，那 a 小 于二的话，那我们就这样，我再换只笔啊， a 小 于二，你看啊， a 小 于二往这边转，那 a 小 于二，你看它的焦点是在第二象限，影不影响它第一象限，这个是分界线，你看 y 二始终在它的下下方，所以 a 小 于二的时候，括号 a 是 不等于零二啊，斜率是 不跟 x 轴平行，跟 x 轴平行，是 a 等于零。好，那这个时候 b 你 告诉我， b 这个时候你看只要在在它的这个是， 你看 e 这个预算的图像是不是零和 e， 那 也就是说 b 只要在它的上方，你看这种情况是不是不管你怎么转，你看你转到这 还是成立的啊，还是成立的。所以我 b 如果 b 正好跟一相等，跟它重合在这个地方，那也就是说领的时候是它的分界线，对不对？那不影响呢？所以 b 大 于等于一就行了。 如果 b 小 于一，在它的下方，那都不要看了，那它只能在焦点在上方啊，在上方。所以就两种情况，所以中上数数 啊，中三数数。第一种情况， a 等于二的时候， b 大 于一。第二种， a 小 于二，括号 a 不 等于零，是 b 大 于等于一时，它们俩都存在。 x 大 于零时， y 一 小于 y 二就可以了啊。这道题有点抽象一点啊。第三，问好就到这里，拜拜。

一次函数当中的特殊角度旋转问题，一定是我们新初二期末考试的必考压轴板块，得分率不到百分之十。这类题的核心难点之处呢，就是把我们的一次函数和全等三角形的辅助线进行了一个 综合考察，难度特别大。来，同学们，我们一起来分析一下。首先呢，来，我们先来读下题哈，他说，把已知直线 y 等于 负二 x 啊，这是已知直线照着一个定点 a 点为二度三，然后呢，逆时针旋转九十度，那么得到的图像，哎，得到图像呢，他应该也是一条直线，对吧？好问，这条旋转以后的直线的解析式，他应该等于多少？ 徐老师已经把依次函数经典题型包括面积问题等，腰三角形存在性问题、背角问题 等点问题、新定义问题等考试必考题型，再结合往年考试专题，优中选优，整理成了一次函数十七大专题，练完考试直接拿满分，需要的家长我发领一份， 好来，同学们，哎，我们一起来分析下这道题哈。首先呢，题目告诉我们一个已知直线，它的解析式为 y 等于负二 x， 对 吧？好，我把它设为 l e， 那 这个 l e 呢？绕着一个定点二度三进行旋转，哎，求，旋转以后的 直线的解析式应该为多少？首先呢，我们要明确哈，旋转以后的图像，它也是一个直线，对吧？它的什么形状是一样的，我把它设为 l 二。来，如果我要求这个 l 二的解析式，大家思考一下，我们至少需要知道几个点，那肯定是两个点，因为两个点确定一条直线，对吧？那所以呢，我们需要在椅子直线 l 一 上啊，我们去找两个特殊点， 把它绕着这个定点进行旋转啊，旋转以后呢，这两个点就一定在我们旋转以后的直线 l 二上，好吧，来，我们先去找两个特殊点， 那么题目当中这个直线 l 二，它是一个正比例函数，那么它最特殊的点很明显就是我们的圆点，这个点吗？啊，来，所以呢，我先把圆点绕着 a 点进行逆时针旋转九十度啊，来，我们看一下，那么 o 点绕着 a 点 逆时针旋转九十度，对吧？刚开始在这好转九十度，那么转到这个地方来， 这是什么？这是我们的 b 点啊， b 点，那么你看这个手，这两个边是相等的，而且呢中间还有一个九十度，所以呢，我只要去连接 o b， 就 一定会出现一个非常特殊的三角形，叫做等腰直角三角形， 好等腰值，这里面 o 点和 a 点都知道，那么 b 点的坐标可不可以求呢？当然可以求，所以接下来呢，我们需要用到等腰值当中的特殊的全等辅助线了。那等腰值当中哎，大家最应该想到什么辅助线呢？ 很明显，那就是我们的一线三等角，或者叫什么 k 型全等，对吧？好，那么要构造 k 型全等，哎，我们说应该过直角顶点，所以呢，我可以过 a 点， 哎，先去做一条与我们的 x o 平行直线，那这个时候呢，这里已经有一个九十度了，这里呢，也有一个九十度了，一线三等角，那么我们要去构造三个九十度，那么，哎，你看这个时候呢，所以呢，我应该再过 b 点哎，再过 b 点向这个直线做一条 垂线啊，这个是 t 点，你看没有，所以这个时候呢，我们就会构构造出来这个三角形，跟这个三角形应该是全等的，那么有全等，我们就对应边是相等的，那对应边，你看 a 点，坐标为二到三， a 点的横坐标为二，对应的长度就应该是这个长度为二，重坐标为三，对应的边为二，他也是为二。好，这个为三，这个边也是为三。 拿出来了，我们要求 b 点坐标，那 b 点的横坐标不就是二再加三吗？对吧？所以横坐标应该等于 五。好，重坐标呢？重坐标应该是这段距离 b 点到我们的 x 的 距离。好，这段距离应该是这段长的距离减去这个短的距离，长的距离等于三，短的距离为二，所以我们 b 点坐标。哎，我们就率先什么 给它算出来的话，我把这个点撤掉， b 点就应该为五斗一啊，出来一个点，那这个 b 点呢，一定在我们这个直线 l 二上。好，那我用不用再去求个点呢？其实就没有必要了哈，因为呢，一个直线绕着一个定点旋转九十度，那么 l 一 和 l 二 其实呢，它一定是垂直的，我们可以根据垂直的性质把 l 二的斜率给它算出来，所以要问哈，那为什么这两个直线是垂直的呢？可不可以证明一下呢？来，当然可以证明哈，那么你看，我们刚才是找了一个最特殊的点， o 点旋转。好，接下来 我再去找一个。没有什么特殊的啊，我们随便找个点，比如说这个是我们 m 点啊，随便找个 l 一 三的点， m 点。好，我把这个 m 点呢，同样绕着 a 点进行逆时针旋转 啊，来，转这来转九十度，对吧？好，来，这就是我们的 n 点啊， n 点，那么一样的 a m 和 a n 相等，中间是九十度，那么连接 m n， 我 们就可以构造一个 等腰直啊，等腰直，那么所以旋转以后的 n 点和 b 点呢？都在我们的直线 l 二上，那我只要连接 b n， 那 我们 l 二这个什么图像就已经给他画出来了，这是我们的 l 二啊，这个是我们的 l 一， 对吧？那么我要证明垂直，就要证明这个角来应该等于多少度，应该等于九十度，对吧？来，怎么去证明呢？ 大家看一下哈，接下来又要用到全等哈。所以说为什么一次函数很难，因为他可以把我们所有的几何知识综合到我们的坐标系当中，哪有全等呢？ 大家仔细观察一下，这有一个等腰值，这也有一个小等腰值，两个等腰值都是绕着 a 点这个定点进行旋转的，所以呢，我们可以构造一个手拉手的全等，那这个三角形 跟这个三角形不就是全等了吗？没问题吧？哎，你可以证明一下，很简单哈。来，我们的虚线等于虚线，实线等于实线，这个九十度等于这个九十度减去公共角，所以这个小角跟这个小角应该是 相等的，没问题吧？好，来，所以就得到三角形 a m o 全等于三角形 a n b， 那 全等以后来我们就可以导角了，我把这个角设为 r 法对应角，这个角也是为 r。 好， 这个角是我们 r 法的零补角，我们设为贝塔，对吧？来自你的 r 法加贝塔就应该等于一百 八十度，那么他加他一百八，他又等于他，所以这两个角相加呢，也等于一百八十度，看到没有？那接下来你看这两个角正好在这个不规则的四边形当中，四边形的内角和等于多少啊？ 三百六是不三百六好，这两个对角是互补的，所以这个对角跟这个对角呢，也一定是互补的，正好它等于九十度，那么这个角呢， 也就应该是九十度啊，证明出来了哈，所以呢，这里是 l 二和 l 一， 一定是垂直的哈，所以同学们以后看到这个这种结论哈，只要用就可以了。如果一个直线绕着定点转九十度，那么这两个直线呢，一定是垂直的，用手拉手的全等去倒角。 那如果垂直，我们知道斜率相乘等于负一，就是我们 k 一 乘以 k 二，对吧？他们俩的直线斜率相乘等于负一，那么又知道 l 一 的斜率为负二哎，因为 k 一 等于负二，所以 k 二呢，就应该等于二分之一，哎，相乘等于负一嘛， 那斜率出来了，所以呢，我直接把这个直线 l 二设为 y 等于二分之一 x， 再加上 b 啊，把这个 k 设出来，最后呢，再求 b 就 可以了，那么我们的 b 点正好在 l 二上，把这个点带进去不就可以了吗？所以再加 b 点是五斗一直接带入，带入以后呢，就变的话呢，一就等于二分之五，二分之一再加上 b， b 就 应该等于负的二分之 三。那所以解析式就是 y 等于二分之一， x 再减去二分之三。这道依次函数的旋转问题，你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分不迷路！