菏泽中考大题三角函数

朋友们大家好，今天我们来看下面这道题，他说四边形 e、 f、 g、 h 是 矩形 a， b， c、 d 的 内接矩形 e f 比上 f g 等于三比一，且 a b 比上 bc 等于二比一。求三角 a h e 也就是这个小角的他的一个正弦值，那需要求出来 a e 比上 e h 的 值，那这怎么来着手呢？题目当中就只有两个矩形，以及他们的长和宽的比值， 哎，看上去条件不多，其实呢，这里面隐含了啊，好多的一线三垂值。那根据这一线三垂值，我们不难证明啊，这两个对着的三角形，还这两对啊，这两对 对着的三角形都是全等的，根据一线三垂直，哎，我们很容易能够导出来这小角，哎，他们呢，这三个小角都是相等的，当然呢，这三个角呢，他呢，哎，也是相等的，这个很容易正， 所以呢，这两对三角形都是全等的，然后相邻的这一大一小，哎，这个 a h e 和 h g d 啊，或者是和这个 e f b， 它们呢，都是相似的，哎，相邻的相似，相对的全等，这是很容易证明的。 那现在呢，知道 ef 和 f g 的 比值能干什么呢？我们发现 ef， 其实它就是这个三角形 b e f 的 斜边， f g 呢，其实它就是这个三角形 f c g 的 斜边，所以这个 ef， 哎比上 f g， 哎，根据这一对相似三角形 b e f 相似于这个 c f g， 哎，那我们就能够知道，这个 e f 比上 这个 f g， 它能够等于 b e 比上 c f， 哎，当然了，也等于 b f 比上 c g， 哎，就等于三， 那它要求的其实求这个角的正正弦值也是一样，哎，要求的就是 c g 比上 f g， 那 既然是这样，知道了一些线段的比值，我们不妨设这个 c g， 它为 a， 那 这个 c f 呢？让它呢是 b， 所以 通过这个比值为三，那我们就能够得到这个 b f， 它呢其实就是三 a， 那这个 b e 呢？哎，它就是三 b， 哎，通过这一对相似三角形，我们就能够得到它， 那我们想要求这个角的正正弦值，我们只需要求出来 a 和 b 的 关系，然后用勾股定律就可以求出来 g f 的 值。 那现在怎么来找这个 a 和 b 之间的关系呢？这不还有一个比值吗？ ab 比乘 bc， 那 我们看看 ab 怎么来表示，那 ab 他 不就是 a e 加上 b e 吗？ 刚才我们说过了，这个三角形对着的是全等的 a b e， 而这个 a e， 它就等于 c g， 那 也就是等于 a， 那这个 b e 呢？刚才已经求过了， b e 就是 三 b， 那 我们看看这个 bc， 那 这个 bc 不 就是等于 b f， 哎，加上 c f 吗？那 b f 刚才我们也求过了，它就是一个三 a 加上 c f， c f 不 就是 b 吗？那 ab 比上 bc 又等于二比一就是二吗？所以这就是这个 a 加上三 b 比上一个三 a 加 b， 哎，它呢等于二， 那我们能够得到什么呢？稍微一乘就得到一个 a 加上三 b， 它就等于一个六 a 加了 b， 那一化简得到一个什么呢？我们稍微移向就可以了，把 b 移到这边来，把 a 移到右边去，也就是 b 等于五 a， 那 我们在这个三角形 c f g 当中，我们都用 a 来表示就行了，这是 a， 这个呢？ b， 它是五 a 吗？ 所以我们能够很容易的得到什么呢？得到这个 g、 f、 g、 f， 它就是根号下 a 的 平方加上五 a 的 平方，也就是根号下二十六 a， 那 这个我们所要求的这个三角 a、 h、 e， 哎，它其实就等于现在我们的这个角三角 c、 f、 g， 哎，就等于 a 比上根号下二十六 a， 哎，也就是二十六分之根号下二十六。

今天我们来看一题方位角和锐角三角函数值的一个应用。首先我们看一下 l 上有 ab 两点，而且它相距为四千米， ab 从 a 侧的这个是四十五度，所以它也是四十五度， b 测的是二十二度五的方向，然后求的是 c、 d 的 长，那这里我们很容易联想到把它延长过去，因为它是直角四十五度，所以我们知道 d， a， b， c， d， e 吧， b， c 呢？ b， e 呢，也是等于四千米二十二点五，他自己是四十五。我们要知道二十二点五乘以二呢，也刚好等于四十五度。二十二点五加二十二点等于四十五，所以它是一个等腰三角形，它是四，它也为四。 好，这是我们可以看到的，别忘了这里是一个等腰直角三角形，所以我们知道 ab、 b 一 都等于四，所以 a 一 呢，是等于四倍的根号二，那我们就可以知道 a、 c 呢，等于 a 一 加上 e c， a 一 是等于四倍的根号二加上 e、 c 是 等于四，所以我们就求出这一个值了。好，我们如果熟悉 这个也是四十五度啊，因为我们熟悉等腰直角三角形的特性就是一比一比根号二，所以我们知道 cd 是 等于 a， d 是 等于 a， c 除以根号二的， a、 c 是 等于四倍的根号二加四 除以根号二，那我们把它猜出来，就四倍的根号二除以根号二，加上四除以根号二，这一约就会等于四。然后这分母有理化，就加上四 乘以根号二，除以根号二，乘以根号二，就等于二呗。所以这题就等于四加上二倍的根号二。这题答案就是四加二倍的根号二，对吧？所以这一题如果我们不熟悉，我们也可以用三角函数 上引，四十五度就会等于 c， d 比上 a c， c d， 我 们要求的 a， c 是 等于四， a， c 是 等于四倍的根号二，加四上一四十五度是等于二分根号二，对吧？所以我们这里也是可以求出 c d 来的，当然这里求出来也会等于这个值，所以这题的答案呢，是四加四倍的，四加二倍的根号二， 我们把它擦掉，同学们看一下，是四加二倍的根号二，跟我们算出来是一样的，同学们，这题跟上了吗？

所以，勤奋重复大量的练习，是给每一个人成才的机会。

大家好，今天给大家分享一道初三二次函数压轴的一道题目，这个是二十一中周末的作业里边的一道一道题，然后虽然说它是一个压轴题目，但是我认为这个题目还是偏向于基础一点的压轴题， 他的内容相对来说并没有那么难想，但是呢，我认为就算是老师讲过，多数同学还是弄不很明白这道题，所以说如果有需要的家长可以收藏一下这道题目，可以给孩子看一看。 好，我现在来开始讲一下这道题啊，因为这个题目相对来说他总有四问比较长，所以说我这个视频应该只会讲前两问。我先就是把这道题给分开， 首先来来看一下这道题，这个抛物线他给了 a 点和 b 点的坐标， a 点呢是负三零， b 点的话是一零，然后交于这个 c 点的话是零，三点的话是 d， 让你求这个抛物线的解析式。其实对于 这个第一问呢，一般都是送分题啊，怎么着都能做。首先你看到啊，就是当 x 等于零的时候， y 等于三，也就 c 点这个坐标，那那那实际上就是跟你说了这个 c 等于三了，对吧？ c 等于三，然后他又给了你两个点，一个是负三，一个是一，就可以直接带进去做，当然你也可以用那个焦点式的定义的那个焦点式去做，但是你得求一个 a， 其实还怎么做都行，因为他给的点比较多，那就是 当 x 等于负三的时候，那就是九 a 九 a 减三， b 加三等于零，然后当 x 等于一的时候，那就是 a 加 b， 再加三等于零，然后连累一下这个方程，然后你能得出来， a 等于负一，然后 b 等于负二，那那 c 的 话又等于三，那所以说这个破线的解析式就是 y 等于负的， x 的 平方再减二 x， 然后再加上三，那第一问的话就结束了。当然一般你看这个题，如果十二分了，第一问可能 两分，对，肯定可能有两分吧。然后咱们来看下第二道题，第二道题他说 p 点是 抛物线二次二次象线图像上的一个点，如果使 apc 的 面积最大，求此时三角形 apc 的 面积的最大值以及 p 点坐标。像这种题，其实他不是 p 点是个动点吗？咱们就看一下不动的点呗。 他说的是三角形 apc， 我 们想先把 ac 给连上，我想随便点一个 p 点，我连接一下，那么这个就是三角形 apc， 他 让咱求这个 apc 面积的一个最大值。 呃，有有很多同学可能觉得啊，你看这个 p 点，现在我点到这里哈，他如果在这个地方肯定会比我，我比如说这个 p 片点啊，在 d 点这个地方呢，肯定会比刚刚点的这一块的面积要大， 就直接带入这个 d 点的这个坐标去做了，这样做不行啊，兄弟们，不能不能带这种特殊值啊，你比如说你选择填空，你可以找个特殊值就带进去啊，这种大题肯定不会让你直接直接带入就能得分的。那这个题应该怎么做呢？你看三角形 a， p， c， 那不动的点就两个 a 和 c， 那 p 点是动的。如果正常的一点思路就是说，咱们去求一下这个的高，求一下这个高，因为 ac 的 话是确定的， ac 的 话是三倍的根号二，求一下这个 ac 边上的高，我们就能知道这个面积了。但是按照初中就是以初中的这个知识数学知识来说， 就是你没有办法求一个未知的二次函数上的一个点到一个直线上的距离，虽然说有点到直线的距离的一个坐标公式，但是你这个地方你屁点的话是未知的呀，所以说他就咱咱们就不能用这个方法来做。但其实那那这个题的一个提点在哪里呢？其实 就是咱们之前做过有一有一个这个题，比如说我这个地方是一个 p 点，我过 p 点做 x 轴的一个垂线吧，然后它交 a c 于点 q， 然后交这个 x 轴 是 e， 好 吧，然后大家肯定做过这个题，就是说让你去求这个 p q 的 一个最大值，求 p q 的 一个最大值啊，那么好，我为什么要这样说啊？就是如果说你知道这个 p q 的 最大值呢？大家能大家看一下这个 p q 在 整个 在 a a p c 这个面积里面发挥一个什么样的作用啊？如果说咱们以 p q 作为底三角形 a p c， 它实际上就就 p q 的 话，这个大三角形分成了两个小三角形，一个是 三角形 a p q， 一个是三角形 c p q， 那 我们那那这两个小三角形的面积应该怎么求呢？大家看一下，如果以 p q 为底，那么 a p q 的 高是哪一个？应该是 a e， 那 如果以 p q 为底，那三角形 p p q 的 一个一个一个高是哪一个呢？那就是过 c 点 做 p q 的 一个垂线，那么实际上呢？它就是 o e， 也就是说它不管这个 p q， 它怎么取这两个三角，这两个小三角形，它的高永远都是 a e 加上 o e 等于三， 那么我们要求这个三角形 a p c 的 一个最大值，实际上就是求 p q 的 一个最大值，因为如果 p q 最大的，那乘上这个，那不管乘不成这个高， 如果 p q 最大的话，那三角形 a p c 的 面积就是最大的，那我们这个问题就转化成如何去求 p q 的 一个一个最大值，那我们就设，那我们就设 设 p 的 坐标，因为 p 点在这个二次函数上嘛，那就是 m 负的 m 的 平方再减二， m 再加三，这是 p 的 坐标。我们发现了 啊，我们想求 p q 的 一个长度，那 p q 的 话，那实际上就等于 p e 减去 q e， 那 p e 我 们知道了是负的 m 的 平方减二， m 加三，那 q e 的 长度呢？那，那我们发现了这个 q 点在哪里呢？在 ac 的是关于 ac 的 一个一次函数上，其实这个一，这个 ac 的 这个一次函数，我们可以直接写出来哈，因为这个呃，它实际上 你看他 a o 的 话等于三， o c 的 话也等于三，相当于说他本身上就是 y 等于 x 往左平移了三个单位去得到的。那实际上我们这个 ac 的 一个 ac 的 一个解析式就是 y 等于什么？ y 等于 x 加三，当然你也可以把 a c 两个点的坐标带进去求，这个无所谓，就说如果能直接看出来的话，也可以直接写就 y 等于 x 加三。那如果说那现在咱们设的 p 点的这个横坐标不是 m， 那 么那 q 点的坐标呢？那就是 m m 加三，对吧？那 p q 的 一个长度呢？ 你就等于负的 m 的 平方再减二 m 再加三，再减去 m 加三，那就等于负的 m 的 平方再减去三 m。 那 好了，我们有 p q 的， 那么这个负的 m 的 平方减三 m， 它就是 p q， p q 这个长就是关呃，是 p q， p q 长度的一个表达式，那我们就可以求 p q 的 一个最大值，那 p q 最大值就是说，因为很明显它是一个开口向下的一个函数，那它的这个对称轴就是 x 等于负的二， a 分 之 b 就 等于负的二分之三，负的二分之三，它也在我们的刚刚我写哪了？它也在我们这个 负三到零的这么一个定义域内，因为这个 a o 的 也相当于就是 a o 这一块，因为它它说明的是在二次相线里边。那就说当 x 等于负二分之三的时候， p q 有 一个最大值，那 p q 那 就是负的 四分之九，再减去，不是再加上二分之九， 那就等于四 q 的 一个最大值，那 p q 的 最大值，那你就是说 它就等于什么？咱们不是求 a p c 的 一个面积吗？它就等于二分之一，乘以 p q 再乘以什么？ 就乘以 a e 的 这个长度吗？ a e 的 这个长度， a e 的 长度，我们可以称它是 m 加三，这个 m 的 话是一个负数， m 加三， m 加三， o e 的 这个长度，我们可以称之为负 m， 因为 m 是 个负数啊，那 或者说更简单的一个方法，就你知道他们两个的高，这两个三角方式，同学不，不明白，我就把这两个三角形画一下。啊， 这两个三角形，这两个三角形的高，它加合你，比如说这个是，这个是小 m， 是 这个是小 n， 那 二分之一 p q 加 m， 再加上二分之一 p q 乘以 m 加 n， 不 等于 a o 的 长度吗？那不等于三吗？二分之一乘以四分之九，再乘以三，等于什么？ 八分之二十七吧，对吧？那所以说这个 p q 的 或者是这个三角形的面积最大值就是八分之七，那这个时候 p 点的坐标呢？ p 点坐标，那就是说当 m 或者说当 x 等于负二分之三的时候，那因为在这个二次函数上负二分之三，那就是 那外值就是负的四分之九，再加上三，再加上三，然后这是四分之六。六的话是四分之二十四，四分之二十四，再减九的，那就是四分之十五，那所以说这个屁的坐标的话，就是负二分之三， 四分之十五，面积最大值的话就是八分之七，他比平常的题目多了一步。如果直接让你求 p q 的 最大值的，你可能知道，但是呢，如果让你求这个三角形面积的时候，你有的同学可能就看不出来了。 其实这种题就是你自己多思考一下，他肯定是有方法做的，因为因为像这种最大值、最小值，找到不动的点，找到动点，做一个垂直看一看。

好，大家好啊，今天和大家分享的是网格图中的三角函数，那么一般的我们在网格为背景的话，要求三角函数的话呢，常用的做法是做高线 或者是做垂线啊，做高线之后呢，往往使用的面积法，那么做垂线的话，我就可以考虑呃，去连接两个特殊点，然后构造垂直，那么这个题就非常容易解答了， 今天我们来看我们这个题啊，在八乘五的网格中，每个小正方形的边长都是一 abc， 三个点都在格点上，问 q 三 b 的 值， 大家看看，那么我们在做这个题的话呢， q 三 b， 我 肯定的，我要把这个 b 怎么样看成是一个直角三角形的锐角，对吧？那么 这个题第一种方法就是做高线啊，做高线过 a 点做 bc 的 垂线，或者做 c 点过 c 点去做 ab 的 垂线都可以 啊。呃，第二种做法就是通过连接这个角的两个边上的特殊点，构造垂直关系，今天呢，我们就采用这个方法来做，好吧，我们首先看啊，这个 bc 边上的 bc 这个线，我们会发现呢，它恰好呢和水平线成四十五度角。好了，这条线上一共有四个特殊点对吧？一个点 b， 一个点 c， 另外中间还有这两个点 啊，比方我们说的啊，这叫 m n 两个点对吧，都在 bc 上，而且恰好是 过的是在网格的交叉点上。来看看 ab 这条线上除了 a 点和 b 点之外呢，还过一个割点，就是这个点。好了，我们把这个点呢叫做点 p， 那 么呢，我们大家会发现啊，如果你来连接这个 p 点和 m 点， 大家看一下，如果连 pm， 我 们会发现，哎，这个角它是四十五度，这个角呢，也是四十五度，所以 pm 实际上就和 这个 m n 垂直，对吧？所以我们这样一连的话，这个 pm 呢，它会垂直于 b c， 那 再我们来看，那么我再求 cos 小 于 b 的 话呢，我就可以放到 r t 三角形叫 b m p 中， 对吧？呃， cosm 它就应该等于什么呢？等于 bm 比上 p b 好 了，我们看看 bm 的 长度，因为它的每个小正反的边长是一的话呢， bm 的 长度应该等于二倍的根号二 来，那么 p b 的 长度我们用勾股定理来算，它应该是一方加三方，对吧？勾股定理，所以是根号十。好了，我们这个等于上下通乘以 根号十啊，那就变成二倍的根号二，乘以根号十，再除以十。答案应该是，哎，五分之二倍的根号五。 好吧，好了，所以这个题的答案呢，就是五分之二倍的根号五。 好，这个题呢？呃，这种解法就是这个题的最简做法。那么这种方法通过连特殊点构造垂直关系，这种方法你学会了吗？

今天我们来看一下阳角解决实际问题的一题，我们看一下他说其其呢？通过加的窗户最高点 p， 就是 他在这里的时候，通过点 p 观察一颗星星，这个阳角为阿法，然后他再往前走三米，所以呢 b d 是 等于三的，他此时还告诉我们 p q 等于四，所以我们把它画一画，这里为四，这里为三， 所以我们要知道他这里是唯一的，这是我们从这里读出来，然后他呢再通过贝塔角看到的是月亮， 现在他再告诉我们的是 ab 等于 cd 都等于一点六，他也等于一点六，当然了 eq 也会等于一点六，因为他们都是平行的。再告诉我们 eq 这个 p q 是 等于二点六的，然后他这里呢又等于一点六，所以我们知道第一个 p e 是 等于一的， 然后还告诉我们 c e 也是等于一的。从这里看，所以我们马上能知道贝塔呢是等于四十五度，这是我们的突破口之一， 因为他要求这一个角，对不对？所以我们先把这个能知道的东西求出来，他等于一，他等于一，所以我们就知道 cp 呢，就会等于根号二。 好了，我们要求三引他的角，肯定要求一个直角三角形里面，所以我们知道这里已经知道一条边，所以我们就容易想到做这里垂直过去，比如说这是 h， 现在我们就着力去求 c h 了，对吧？所以这里我们都可以求我们看一下添减 alpha， 为什么用添减 alpha 呢？因为我们这它有两个直角三角形啊。我们先看一下大的直角三角形，因为它是等于 p 一 对边， p 一 比上邻边是 a 一， 所以还是等于一比三，加一就是四，一比四的关系，它同样等于 c h， 比上 a h， 它也等于，这是 x， 那 它就是四 x， 然后这边呢？为三想到了啥？想到了勾股定律对不对？所以就是四， x 的 平方加上 x 的 平方就会等于九，这里就是十六 x 平方加 x 十七， x 的 平方就等于九。好了，这里我们推出 x 呢，是等于根号十七分之三的， 这里我们先不先不进行约分，不进进行分母，由里画线，我们再来看三引，现在我们就知道三引角 a p c 呢，是等于 c h 比上 p c 的 c h， 我 们求出来了吗？ 根号十七分之三，然后 p c 我 们也不也求出来了吗？所以再除以根号二，就等于根号三十四分之三，分母有理化三十四分之三倍，根号三十四，所以这题这样就可以出来了， 这个这题答案就是三十四分之三倍，根号三十四。那么同学们有没有想过另外的方法呢？因为我们现在这条边已经求出来了， 要求这条边。当然我们在直角三角形里面还会用到等面积的一些关系，所以我们这里虽然这个 a c p 他 不是等直角三角形，但是我们同样可以用。看一下，这里这里，我们呢 ap 肯定可以求出来，这是一，这是四，所以 ap 是 等于根号十七的，根号十七，然后我们来看这个三角形， 我们先以 ac 为底， ac 是 等于三吗？高呢？就是这一个吧，对不对？乘以一，除以二，他同样等于这个斜边，就这个长的边就根号十七，再乘以 h 就是 x 呗，再除以二， 这样也可以求出 x 也会等于这一个数，所以这题答案就是三十四分之三倍的根号，三十四。同学们，这题突破口在这里，四十五度，这题跟上了吗？

大家好，这个视频给大家讲一下，三角函数里边期末必考题型，也是你必须要掌握的题型。来，我们看题，已知函数 f x 等于负二分之一， sin omega x 加六分之派再加二分之一啊，我给大家挑的这道题呢，并不简单哈，所以我想讲的细节都可以用这道题来呈现出来。 他说在 b 区间来，关键信息， b 区间零度派上恰有两个零点，让我们去求一下 omega 的 一个取值范围，好，这样的一个题实际上是在 omega 的 范围与最值里边啊，然后这个呢，我们还可以怎么把这道题改变一下 啊？我们说在这个区间上说恰有两个零点可以，我也可以说恰有几个最值点 也可以啊，最支点，你比如说我说恰有三个最大支点，或者恰有，呃，两个最小支点都行哈啊，再或者说啊，我说有几个对称中心也可以，再或者说，我说有几条对称轴 也是这一类题啊，甚至乎我们还有一类题会说在这个区间上不单调啊，也和它们在一块， 哎，等等，我在这个区域这样改编啊。最后，我要求的都是欧米伽的曲子范围，或者是欧米伽的最值， 这都算是一类题型。而我借助这道例题，把这样的一种做题方法来给你讲一下，你看一下能不能掌握到来这样的一种题目。它的做题方法大的思路上有两个啊，第一个思路是我比较认可的一个， 就是啊，整体角思想，第二种思路可能做起来比较呃复杂一些，但是有些题它那样的一种做题思路也好用啊。思路二求零点， 好，这两个思路呢？呃，我优先给你讲思路一。好，思路一，整体角的思想。那么来做题了哈，怎么着是整体角思想呢？我们把这个负二分之一 sine 括号里边的东西，这个我们给它看成一个整体角 啊，或者换句话说，如果你感觉看成整体角，你不舒服的话，你也可以用换元法来表示出来。也行啊，我用换元法给你表示一下吧。好，我们用换元法表示一下。 等于 omega x 加上六分之 pi， 那 这个时候我们这个函数则咱给它写成 y 等于负二分之一，再加上二分之一，看到没有， 对吧？我们写成这样的一个整体角啊，把它用替换掉了哈。然后我们就要搞出来 t 的 范围，对不对？哎，或者你说自变量吗？或者你说自变量的曲子范围也就是定义域吗？来喽，我们怎么去看他的范围呢？啊，那这个零度派是谁的范围啊？零度派是 x 的 范围。 那所以我们能求谁的范围啊？整体角 omega x 啊，加上六分之派，它的范围就应该大于等于啊，六分之派，小于等于啊 omega pi 再加上六分之派。好，那这个家伙既是啊 t 的 范围， 我们现在搞出来 t 的 范围了，接下来就可以干什么了？就可以啊，画图去了。 好，我问你啊，竖轴是哎， y 没有问题，那横轴呢？横轴别填错了哈，填的是 t 啊。 好，我们画一下它的图像哈。呃，如果我上来直接让你画 y 等于负二分之一，三用 t 加二分之一的图像，你可能画起来不太好画哈，所以说我们先画一下 y 等于三 用 t。 好 像你，你做的动作太多哈，你不如直接画 y 等于二分之一，三用 t 啊，因为我们之前学过图像的一些变化，你比如说对称变化呀，翻折变化呀，平移变化呀，甚至是伸缩变化，你前面加了个二分之一，无外乎就是重坐标进行压缩了，对吧？变成一半了啊，所以说他我是一下能画出来的，我们画个虚线吧。啊， 好，那我们画一下 y 等于二分之一，三用 t， 注意，注意他的最值。这个地方是几啊？是二分之一这个地方呢？ 它是负二分之一。好，因为我们重坐标进行了压缩啊，不再是正一和负一了。好，那我们继续啊，然后再画谁呢？再画一下 y 等于负的二分之一啊，三应 t。 好， 前面加了个符号，是对这个图像进行了上下翻折，沿着 x 轴进行对折，我们画成蓝色的哈， 好，就长成这个样，那么画出来 y 等于负二分之一，三用 t， 最后再画一下谁再画一下 y 等于负二分之一啊？三用 t 再加上二分之一，也就是对这个蓝色的图像进行上移二分之一。好，那么上移一下，那就变成这个点，这个点，然后这里就变成它了。 好，那么上移它就得往上去啊，往上去也就是到一那个地方了哈，再接着走， 好，就长成这个样吧。那我们画完之后我们要去干什么呢？我们要去找到，哎，找到这个 y 等于负二分之一，三用 t 加二分之一，在哪个区间呢？在这个区间里边， 它有两个零点。那负六六分之派，那个地方我们好找的，这里是二分之派，所以六分之派大约在这边哈， 好，六分子派这个点找到了之后，我们接着再往右去，往右去要找这个右端点。右端点落在哪里呢？我们得让他确保有两个零点来。从六分子派往右走，走走走走，好，走，在这是不是有一个零点了？再走走走走走走走，好，走，在这又有一个零点，好，再往这边走，走走走走，好，这里又有一个零点， 那我们要恰有两个零点。所以说我们现在这个，呃，欧米伽派加上六分之 t， 他 应该放在横轴的哪个区域能看到吧？是不是应该在这个区域 啊？在这个区域，而且你要想恰有两个零点，这个地方又正好是 b 区间，所以能正好在这个点上不？哎，可以的，然后再往右边来，能能在这个点上不？不行啊，因为你要在这点上的恰有三个零点了，能听懂我的意思吧？所以我只要写出来这两个点的横坐标，这事就完了。 那这个点的横坐标好求啊，那你要是觉得它不好求，你就看蓝色的哈。这里是零派，二派，所以再加半个派，那就是二分之二分之五派。 再往这边来三派，四派，再加半个派，那是二分之九派， 所以我们这个右端点，哎，右端点咱要放在我们刚刚画的这个区域内，那我们就是欧米伽派，再加上六分之派， 要大于等于。好，这个二分之五派是能取到的啊。但是小于二分之九派，因为差有两个零点，那所以左两边约掉，约掉约掉约掉。约完派之后把六分之一啊移过去，那就欧米伽是大于等于， 这是六分之十五，减去六分之三五十五，六分之十五，再减去六分之一，那是六分之十四，然后再约个二的话是三分之七。好，这边， 呃，这个是六分之多少乘个三的话六分之二十七，移过去之后减六分之一，那是六分之二十六，六分之二十六，约个二的话是三，二十六约个二。一啊三。好，所以最终欧米伽的范围就应该是三分之七到三分之十三， 这边是开去减。好，这是我们最终的答案。好，这是用整体角思想去完全的按照图形，然后你该画图像的时候该平移的平移，该翻折的翻折去做出来的，那当然，其实还是整体角思想，我们还可以不用平移去做。那怎么办呢？你看 它不是让我研究的是零点吗？那既然是零点，我就令啊。 f x， 它等于负二分之一 sine 欧米克 x 加上六分之派，再加二分之一等于零，可以吧？哎，那它等于零，记啊， 记这个负二分之一 sine 欧米克 x 加上六分之派，然后它等于啊，负二分之一 就可以了。当然你左右两边也可以同时再去啊。约掉一个符号，看到没有啊？约掉一个符号，所以这个问题就转化成什么了呢？啊？就转化成我们设， 我们设 g x 等于二分之一啊塞映欧米伽 x 加上六分之差与 y 等于二分之一。啊，恰有两个焦点在哪里？恰有两个焦点呢？ 在零度拍上啊，我们就转化成了焦点问题，那所以我只需要画一下它的图像，然后我画一下这条直线，这事就满了，是吧？而它的图像太好画了，那么还是整体角思想啊，整体角思想让它是 t， 那 就是 y 等于二分之一三用 t， 而这个图像太好画了，是不是那么直接画了哈？ 好， y 等于二分之一三用 t 啊，我直接画成实线就可以了。 好，注意的是这个地方仍然是最大值。是啥？最大值是二分之一，最小值是负二分之一，然后我们要找的是啊， y 等于二分之一与它的交点，来，我们画一下 y 等于二分之一这条线。 y 等于二分之一，那恰有几个交点呢？恰有两个，看这里有一个，这里有一个，好再往这边来，是吧？那所以说我们就知道了啊，我要想画的这个右端点，你看这边的右端点，它就应该在哪个区域， 哎，就应该是在这个区域。对，当然这个值是啊，能取等的。哎，这个值是啊，不可以取等的啊，就在这个区域里边， 所以我们去找的这两个区域的横坐标就行了。零派，二派，所以是二分之五派，这里啊，三派四派，所以是二分之九派，是不是也是一样的道理啊？那就变成了欧米伽派，再加上六分之派，大于等于二分之五派， 小于二分之九派，两边一约一一项，是不还是这个范围啊？欧米伽属于三分之七到三分之十三。 好，这是用两个函数的焦点问题去做啊，也就是说我们最一开始学函数的时候，我们就讲过，函数的零点问题就可以变成方程的解，就可以变成两个函数的焦点问题啊。利用这个思想去做，如果你掌握的比较熟练的话，他俩没有很大的一个差别哈。 呃，因为他俩最终都用的是第一个思路叫整体角啊，实际上有差别的是思路二我可以去求零点，然后再去做这道题，也是没有问题的，但是这个计算量，包括咱做题时间上，肯定要比我现在讲的这个整体角的一个方法要慢， 如果你有兴趣的话，我们也可以做一下。思路二求零点啊，我们求零点的这个方法虽然说比这个方法要复杂，但是从知识点上来说，也是我们必须要掌握的一种方法。 这个视频我就讲到这里了，希望通过这么一道例题，哎，把这个求 omega 的 范围最直啊，然后无论是告诉你题干当中是零点还是最直点，还是对称中心，还是对称轴，甚至是单不单调这件事，我们都希望啊你能掌握掉做题方法两个思路啊， 整体角和求零点。而我这个视频只展示了思路一，整体角，整体角里边呢，可以通过图像的一些变化来去做，也可以直接搞成函数焦点问题去处理啊。思路二是求零点啊，有兴趣可以直接告诉我。好了，这个视频我们就讲到这里了，我们下个视频见。

来说一下这次选的这三个题啊，首先的话，那个第三题，这道统计题，呃，不难，但是呢有两个细节，第一个细节的话就是关于这个平均数的话，他有一个单位，然后的话第三个就是第二个细节，就是第三小问。 对，他是两问的，我们学生的话他是只答了这个，就是说我会给你看一些不太一样的题目，所以其实每一次这个把奖杯训练呢，这个一做改完以后我再讲，我心里自己踏实一点啊，做的多我心里就更踏实。 因为我们第三问的话，基本上学生碰到过的就是什么呢？建议，他没有做过这种，所以的话他总是以他的那种惯性思维啊去解读。提一条这个校外活动的建议，但他没有看到。 简要谈谈你对该学校学生每天平均向外活动时间情况的一种看法，那么这种看法的话我是给两分的。那么有的学生他的看法不对，我是扣了分，扣了一分，因为很简单。其实这个学校做的怎么样？还不错，做的挺好的。 因为各地中小学的话是保障一个小时的体育活动时间，他的平均时间达到多少？一点三二，一点三二，所以一点三二个小时的话已经超过了他规定的时间，只不过说有条件的地方的话可以延长到两个小时。 好，那么所以这个的话细节在这个地方，然后的话，这个都没什么问题啊，学生的话这个都懂。然后呢，这边的第二题， 第二题的话是因为是一道应用题，应用题的话，呃，过去了很久，然后他又不是那种简单的买两个排球，四个足球，三个排球，什么两个足球？这种问题稍微有一点点难度，但是不难，所以的话就是看学生还记不记得第二个呢？他涉及到一个， 呃，二元一次方程，但是他二元一次方程的话，有的人说觉得解不出来，解是可以解出来的，因为他有个什么条件，正整数，对吧？正整数，所以的话我是我可以去猜呀，对吧？好，首先我们来看一下哈。 呃，这种的话第一句话当然也是以我们这个叫做滕王阁为一个背景，然后呢，他是说他说这个三十六座的新能源客车若干量，那么我就假设客车的数量是 x， 研学队伍的人数是 y， 那 么我就通过这两句话去列方程，那这个时候的话 y 是 等于什么呢？ 三十六 x。 那 这里你自己要想一下，就跟我自己小学的时候学那种多多少少多少，到底是加或者减我就搞不太清楚，但你仔细思考一下是很很简单的， 就是坐满了这三十这 x 辆三十六座的客车以后啊，还有八个人是没有座位的，所以我应该是要对加满八个人 好。第二个他现在是二十二座的，二十二座的肯定车子的数量肯定要增多，增多的话现在是变成了多少辆？加加加二，那就总共是多少辆？对， x 加上一个二对吧？好，再加上一个六 对吧？好，那这样的话其实两个相等，就把它变成一个一元一次方程，可以求出 x 等于多少， x 等于三， y 等于一百一十六。然后作答啊，解完一道，解完一小个就作答， 然后呢？第二小问，第二小问是说，呃，保证每个人有座位，但是呢，每个车又不空座，那么大家看一下啊，放着就这样去练，而且的话注意的很好，有一个学生的话扣了一分，他答案都是对的，但是呢，他在第二小问还是继续设 x y， 继续设 x y 的 话，我们要扣一分。 好，那么到了这里以后的话，就是就是猜嘛，那个当然你也可以用含有 n 的 式子去表示 m， 不 过这种的话你肯定拿过来先怎么样 化减，要化减，对，你要能化减就先化减，化减以后的话方便你去猜呀，他应该是一十八 m 加上一十一 n 等于五十八，五十八， 对吧？那就是说 m 等于一的时候了， m 等于一的时候的话， n 他 不是一个整数，所以的话这个舍掉对吧？好，那么 m 等于二的时候，这个是三十六， 这多少？二十二，哎，正好 n 等于二，这是可以的，但是你不要到了这里就结束了，因为也许可能有多紧，那么 m 等于三，因为上了 m 等于三的话，后面就不用看了， m 等于四行不行， 那就不行了，这个人就得负数了，对吧？所以当等于三的时候就不用想，其实就是这一种情况，对吧，所以这个题目也不难，那么难是难在什么地方呢？就是就这张试卷的话，也暴露出其实有的学生的问题还是蛮大的， 这个东西的第二位是不会做的，应用题解不出来，当然这个从侧面来讲，那么一轮复习对你来讲也许更重要，因为复习的话，我们基本上是全方位都会再过一遍，所以呢，可能一轮复习以后啊，应该来讲你的这个水平是会提升的。 呃，首先第一问正切线，切线的话是比较简单的，因为上一次那道题目正切线的话我是让同学们是见了一个不一样的，我们一般都是倒角，对吧？所以那次的话就是换了一种形式，证明的话是全等，通过全等证明到它的角度等于九十度相等吗？ 这个的话基本上没什么问题，我主要讲第二小问。讲第二小问的话是就是对于这个哈，我们再也复习一下，因为题目虽小，但是五脏俱全，就是说 你要去求一个三引 d a c， 就是 求一个角度的余弦值的话，我们也讲啊，其实就是常见的就是说，呃，什么方法呢？如果你要去求边什么边？ 就是你要求一个角度的正弦直，那你首先要放在一个什么？三角形？直角三角形。那么我也讲过直角三角形其实分两种情况，第一种就是没有，呵，第一种不是家养，那第一种是说野生，就是题目当中存在的，他有没有存在，有有，有， 这个就存在的，对吧？那么第二种的话就是说如果说你一下没看到或者说这个已经存在的不好求的话，那么我们可以考虑做垂直的，对吧？做垂直好。呃，那么还有一种就是方式的话就怎么样把它转化， 其实大家知道这个角和这个角是相等，那我们来看一下啊，首先这里的话你就是很不清楚，很不清楚什么呢？就是 这里有个衔接角，有衔接角的话你你这个马上就会出现一个反义相似的，你这个角，哎，是跟他相等的吧？嗯，对吧？然后的话，这里有个共的一个顶角，所以 dbc 和什么？ 注意一对应对 d c a 这两个三角形是相似的吧，那么相似的话，根据题目的条件哈，他这个是四，这个是二，所以相似比的话，应该也能出来，是告诉了这个吧，对吧？好，那应该是 d b 比上一个 dc 等于 dc 比什么 b a 吧，然后的话会等于一个 b c 比上一个 c a 吧，是这样吧，那么 db 比上 dc 的 话，那就是一比二了，是一比二吗？然后的话这个是四，那说明 d a 等于多少？ 八，所以的话这个等于六，那么三三三，这就出来了，是这样的吧。好，按照我们刚开始的一个思路哈，就是我可以去，因为他已经有了一个天然的直角三角形了，所以的话，我就是求 bc 边比上 ab 边， 是这个意思吧，那么也就是说我要把 b c 求出来嘛？求出来的话，那我肯定是想可能勾股定力，那么 b c a 这个三角形里面，这个勾股定力的话，该怎么去列方程呢？如果我假设 b c 是 x 怎么办？ 大家会忽略掉一条线，哎，非常重要的信息，对你相似的那个条件其实是没用上的，因为为什么啊？ bc 比 ca， 因为因为学生他没关注，没关注什么呢？因为他没有告诉 bc 或者 ca 的 一条边，所以他就没去管。但如果当你设了 bc 是 x 的 话，那 ca 等于多少？ 是不是二 x， 那 这个是 x， 二 x， 这是六，那这个三角形是不是可以解出来？三角形解出来的话， x 求出来应该是等于， 呃，五分之六倍的根号五，哈，是这个答案吧，所以三引 a 的 话应该是等于五分之六倍的根号五除以一个六等于五分之根号五吗？ 是这样吧，然后我还发现就是我们同学的话好像求那个半径，好多人他不是用了这种方法，因为他是没有没有想到这个啊，一比二 他是用什么方法？勾股定力？勾股定力我是看到很多人用这种的，你们是怎么用勾股定力的？假设半径是 x， 对 是吧？所以的话他他一猜就猜的到吗？三十五吗？所以这里我给了两分， 就是绝大部分同学的话，他其实还是不带适应用相似的，因为刚学，但是对于勾股定力他是很熟练的， 所以的话他是通过社会之术以后解除了。这个是三，对吧？这个是三，这个是三，好，不管用什么方法啊，这个半径是三，我们是可以得出来的，我是用相似得到三，你是用勾股定律三，殊途同归。好，这是第一种，就是 我在题目当中已经存在的直角三角形 a b c 当中去解，但是有的学生他就走了弯路，当然这个也不能叫弯路，我觉得对于平时来讲啊，我们这种的话就是说，呃，属于一种，这个叫做复习巩固，我也可以去做垂直啊，我去构造一个直角三角形，可以吧， 我们试一下看啊。来，所以我就把这个东西那，那无非就是说这一段呢，那还得有个什么， 有个高吧，是不是？那也很简单啊，根据刚开始我们做了这么多功功课，包括这个做垂直的话， c m 这马上都可以口算的。 c m 是 多少？五分之一十对，五分之一十二， c m 是 五分之一十二的话， o c 等于三，这个是五分之一十五，你应该要很清楚，其实 o m 等于多少， 五分之九你应该知道是九，一十二，一十五这一组勾股数，所以这里是五分之多少一十五吧，那整个的就是五分之 二十四，对吧？所以的话，即使你就是去，其实你就，你就不要管嘛，你就是一十二的平方加上二十四的平方， 对吧？那么这个的话自己算一下，呃，一十二，二十四，这个是倍数吧，一十二倍的根号五，嗯， 这个是一十二倍的根号五，对吧？然后的话五分之一十二除以一个一十二倍的根号五，五分之一十二倍的根号五，所以的话，这个，哎，不对吧？ 啊，是，是这样的，没问题，五分之以上的根号五，所以的话，这个时候三 a 就 等于五分之根号五，对吧？所以的话通过这个题目啊，就是第二种， 这种其实也不能说第二种，第一种就说，呃，构造了一个直角三角形 r d， 三角形 c， m， a， 对 吧？思路就这样的， 那么我们也讲过，就是当这个角 a 的 话，你觉得难以处理的时候，怎么办哦，转化，转化吧， 转弯到哪个角？角 e 对 角 e， 你 们是怎么知道这个角 a 和角 e 相等的？哪个平行呢？ e， c 和 o e 是 平行的，嗯，然后呢？角 d， c， b 等于角，角 d， c， b， 等下我擦掉这些哈，好，这个角等于哪个角？对，等于这个角，这个角跟他相等的吧，是吧？这是题目的已知条件哈，我看一下是不是，是在因为我们也用到了吗？ b， c， d 和 c o 相等吗？所以的话，你要求这个角就是求他吧， 对不对？是求他吧，求他的话也很简单啊，求他的话这个是九十度 平行线，分线段成比例，这是对的，就是 b、 c 和它平行的吧，平行的话这个是二，这个是三，那相似比是多少？ 呃，二比三，这个这个二比二比二比五吧，对吧？当然，哎，你是这样的上比下，我如果说是相似比哈，是指这两个三角形的相似比呢？是二比五，但是我们也讲到你平行线分线段成比例， 这是二比三，你个人可以用的，这就是二比三，那么这个是多少？是六吗？这个没问题， 是吧？好求出来，这个是六，这个是三，这还不简单呢？三十六，这是三倍的根号五，就是一个，也是一个比较熟悉的数字啊，根号四十五，所以的话我在这里这不也就是可以得到五分之根号五吗？ 所以这个相似哈，大家还是要这个注意，因为这是一个非常经典的相似，很简单衔接角这个组成的这个构成的一个一个相似。另外的话，通过这个题目啊， 也可以给大家，这个就是说总结分析，分析什么呢？就是处理这种正弦的，不管说是要去求还是已知了这个角的正弦值。那么还有一个就是转化， 这是我们在上课其实也讲过的，就是说你通过这一个题目啊，如果说你能够把它再完善这个笔记，把它补充上去，就是这两种方法也没有其他的做法了，就这两种不会有其他做法。 所以这这张整个的这个，这个这个卷子啊，其实含金量还是蛮高的，因为我统计了一下， 这个就是二十分，包括二十分及以上的话占比是百分之四十二点。四十二点八就说有有四成的学生啊，四成学生其实还是不错的，但是呢有很多及时分数。呃，这个，这个也不说很理想，那么他错的地方的话就 远超我们的我的想象了。就是我觉得可能说有一些细节方面的，像第三题那种，可能你漏掉这种题目，漏掉题目也不应该呀，对吧？单位的问题其实也不应该吗？还有少数一两个学生的话，是那个一十八和四十的话是带了百分号， 这个也不应该，这个我们已经是好多次了。然后第二题，像这种题目下次我可以换一个。换什么呢？分式方程的应用， 分式方程应用题的话，你可能对检验这也是一个问题，对吧？然后这里主要就是第一题，第一题我知道这个第二小问了，其实这一小问真的不算难， 但是会给一些学生造成可能说一些这个叫做阻碍，说明对这种的处理方式你是不熟悉的，这就是属于我们。呃，叫做应该是，呃，技巧，技巧的一些缺失，或者说是不熟悉啊。

好，同学们来看这道题，说已知函数 f x 等于这一堆式子。首先第一个说，对于任意的 x 属于负三分之派到二分之派，全 b 区间都有 f x 大 于等于 a 成立。问我们 a 的 取值范围？首先先把第一题看懂， 他说当 x 属于这个区间的时候， f x 大 于等于 a 成立，这就是典型的横成立问题。怎么样保证它大于等于 a 一定就能成立呢？只需要让 f x 的 最小值大于等于 a 成立就可以了。所以我们来看， 先把这个函数变个形，这个式子是没法算的，怎么看他最小值呀？没有办法，但是我们发现了，这里首先可以用诱导公式把这个三二分之派减 x 和这边二分之派加 x 的 余弦值先换一下。好，第一步，先用诱导公式，所以这样一来得到的就是这个式子。 紧跟着我们发现三 x 乘口三 x 刚好就是二分之一倍的三二 x， 而这边三 x 的 平方，根据倍角公式，它其实就可以转化成二分之一减去二分之一倍的口三二 x。 所以 来再一次利用二倍角公式把它们转化一下，得到下面这个式子。 进而呢，最终得出的是这个二分之根号三倍的散二 x 减去二分之一倍的口散二 x。 最终利用辅助角公式，我们得到的是散括号里二 x 减去六分之派。 好到这可以去做这个题了。那么这个函数的最小值，首先我们还得看 x 是 有范围限制的，说 x 的 范围是负三分之派到二分之派，那这个时候我们要把括号里面二 x 减六分之派看成一个整体， 那这个整体的范围就是负六分之五派到六分之五派。哎，这就好说了。那么现在的情况好比说这个整体就是 t， t 的 范围是负六分之五派到六分之五派。现在我在问你三 t 的 最小值，我们不妨去想一下这个正弦函数，它的一个图像 在负六分之五派到六分之五派，我们可以看负派到派的 正弦函数的图像，那么负六分之五派在这里，六分之五派在这里，很明显最小值就在这个负一这个位置 啊，那所以我就知道了， f x 的 最小值其实对应的就是 sum 负二分之派，也就是负一这里，所以它的最小值负一往里一带，那么 a 应该小于等于 f x 的 最小值，也就是说 a 应该小于等于负一。所以第一问就结束了。 再来看第二问，涉及到图像的伸缩变化来看第一个，他说先将 y 等于 f x， 他的图像上纵坐标不变，横坐标伸长为原来的二倍，我们说横坐标变化欧米伽倍，那么我这边 x 前面的系数就要变化欧米伽分之一， 他们两个是互为倒数的关系，所以你看这里呢，变为原来的二倍，那么我原来的系数是二，现在呢，就要变成什么呀？再乘个二分之一，所以就变成了三 x， 就 我到这一步，我这个函数已经变成了三括号里 x 减去六分之派了。 再继续，他说再向左平移六分之派，那么好左加右减，注意左加右减针对的是单独的 x， 不 管是图像的伸缩还是平移，针对的其实都只是单独的 x。 你 看刚才我把那个二，我只给前面这个 x， 他的系数乘了个二分之一，我没有给整个式子乘二分之一，就是这个道理。所以来看，现在向左平移六分之派个单位，那就是 x， 再给他加上一个六分之派，那好加六分之派减六分之派抵消了，所以进一步就变化成了三 x。 所以 最终他说得到的这个函数 g x， 他的图像其实就是 y 等于三 x 的 图像好，紧跟着在问，我们说求函数 y 等于 g， x 减三分之一，在这个区间内的零点之合。哦，那来看，他这里让求零点， 那么来看 g x 减三分之一，我先让它等于零，对吧？使这个式子为零的点就是零点。再来看 g x 减三分之一等于零，但说白了， g x 不 就是三 x 吗？把负三分之一移到那边，我得到的式子是三 x 等于三分之一。那么看图像， 说白了我要找的零点，其实就是 y 等于三分之一和 y 等于三。 x 在 这个区间上的交点横坐标。比如这个是 x 一， 这个是 x 二，那么这个是 x 三，这个是 x 四，那么一共有四个零点， 问的是零点之合，大家来观察一下 x 一 和 x 二。关于 x 等于二分之派对称，那就意味着这两个它们的平均值就等于二分之派。 同理， x 三和 x 四，它们的平均值就是二分之五派。所以到这儿其实就可以出来了， x 一 加 x 二，再加上 x。

与书写单词来书写。

新高考一、三角函数大题如何用模板？在这次高考前，我连续出了七八个关于三角函数大题的一个视频，也在视频当中跟大家再三的强调，脚边互换一定是我们考试的一个基础内容，也是一个重点，那么这次全国新高考一卷就考到了这个内容，然后在这个 狡辩互换的过程当中呢，又掺杂了一个不等式，因为他要求一个最小式，所以这次有很多同学没有做出来，那么希望看到这个视频的同学呢，一定要把它点点赞，关注并保存起来，呃，方便你以后多多观看，抓住这道题目，他的核心出题点，那么这道题目条件里面就是一个基本的狡辩互换。那么第一小题呢，比较简单， 那么通过角边互换之后，我们就得到了一个结论，就是三 b 等于复口三 c 啊，那么用在第一小题，用在第二小题，这个比较简单，大家可以去试一下两倍角打开，然后交叉相旋就可以得到， 那么我们要求第二小题，那么第二小题拿到这个式子之后，很多同学瞬间就蹦跳了，他不知道干什么。其实我们一直在讲，在三角函数题目里面，如果是单条件，大家记住啊，如果是单条件，也就是只有一个条件的时候，你要做的事情就很简单，无非就是两件事，角变成边，边变成角， 那么我们优先考虑哪一种，优先就考虑把边变成角，所以这道题目一拿到，我们就马上就变了啊，所以 常见的一种模板，大家一定要掌握啊。在我给大家前面发的这个奇怪的视频里面，我一直在强调这个模板，三角函数一定要用模板，因为它难，难不到哪里去啊，所以它就变成三 a 方，加上三 b 方，除以三 c 方。 好，所以我们就可以看到了这个 b， 这个 b 就 变掉，它就变成了，那么 a 是 不需要变掉，因为 c 就 不用变了啊，所以散 c 方，然后散 b 变成可散 c 方，那么就是散 b 等于负可散 c， 那 么这个就可散 c 方。那么好，我们缺一个散 a。 好， 那么我们来看散，因为这是个内角吧，散他肯定是大的零，这个是毫无疑问的，所以这个肯定是正的，那么说明可散 c 就是 负的，所以 c 一定是钝角， c 一定是钝角，所以我们马上就得到上 b 这个角，它必须是变成上 c 减二分之派啊，必须是变成上 c 减二分之派， 因为喏，我们上要变成口上，所以是不是肯定会有一个 of 派上，但是它是变成负的， 所以说我们这是 c 减二分之派，而不是二分之派减 c， 因为它是钝角啊，所以我们就得到 b 就 等于 c 减二分之派，那么 a 就 等于派减 b 加 c， 那 么就等于派减 c 加二分之派，再减 c， 所以 等于二分之三，派减二 c， 所以 散 a， 散 a 就 等于散二分之三，派减二 c， 所以 这个是 g， 所以 要变成口算，然后这是 两百七十度角，根据右角公式是负的，那么负求出来，这里还是 q 三二 c 的 平方好，上面是 q 三 q， 下面是三，所以我们继续啊，继续画， 所以分母尽量不同，那我们是不是要变成同类项，所以这个就是一节三 c 的 平方，这个没问题，那么 q c 二 c 呢？一样的变成一节二三 c 的 平方，括号的平方，所以就等于一节三 c 的 平方，除以三 c 的 平方。 好，我们继续画，那么就是二减去五三 c 的 平方，加上四三 c 的 四 c 除以三 c 的 平方，所以就等于二除以三 c 的 平方，减去五，加上四三 c 的 平方。所以这个式子和这个式子要求最小值的话，那我们就凑成一个基本不等式 解五，所以这个数字就大于等于两倍的根号。二除以三 c 的 平方乘以四三 c 的 平方，这个就会这样解五，那么这是八，所以是四根号。二解五，所以这个最小值就是四根号解五，那么当解仅当 二除以三 c 方等于四三 c 方，所以三 c 方等于三 c 的 四次啊，这个除过去 三 c 的 四次，等于二分之一，三 c 的 平方等于二分之根号，那么这可以求啊，可以求出来啊，可以求出来，是存在这个角， 所以这道题目是不是就通过我们非常基本的一个模板，对吧？角边互换，角边互换，然后这里是简单的一些同类项的变化，当然这里要考虑一个角的一个变化 啊，角的变化，因为这也是一个模板，因为你只要知道两个角之间的关系，一定能够得到第三个角的变化，因为这也是一个模板，因为你只要知道两个角之间的关系，非常基础的一个基本的，我们就可以得到这道题。

好，各位小伙伴，大家好。呃，今天呢，和大家分享的是圆加上一项三垂直加三角函数，这么样的一道综合体啊，难度系数非常高啊，我们来慢慢的看一看它的相关知识是怎么用的。 说，如图，在四边形 a， b， c， d 中，角 b 等于角 b， a， d 等于角。数 好了，角 b 在 这个位置，角 b， a、 d 在 这个位置，九十度。好，那很明显，这个 bc 呢，就和谁呢？ a， d 是 平行的对吧？啊， 说它的背景啊，时间就是一个直角梯形啊， ab 等于四， bc 等于三。好了，那么 ac 很 明显它会等于五， 以 a、 d 为直径做半圆 o， 注意，是以 a、 d 为直径做了一个半圆，交 a c 于点 e， 然后把 o e 一 连，然后呢，将 o e 绕着点， 点 e 啊，这绕点 e 逆时针旋转九十度，我们得到线段是 e m， 说若点 m 呢，恰好在边 c d 上，让我们求这个 tan 角 a， c， d 的 值，求这个角的值。 好了，我们拿到这个题之后，我们看，我们看，我们会得到什么东西啊？呃，第一个问题， 我们会看这个直径， a， d 是 直径，我们会想到直径所对的圆周角是直角，对吧？所以呢，我会马上考虑怎么样我连接 d e， 我 把 d e 给它连起来。 好，连完 d e 之后，我就会发现，这个 d， e 呢，一定是垂直于 a、 c 的 啊，一定是垂直的，对吧？ 好了，这是第一个问题，我们看到的啊，第一个结论，看到这个直径了，我要想到这个，那么第二个问题是什么呢？我们会发现啊，这个 e o 和 e m 怎么样？ 这是逆时针转了九十度得到的，对不对？这两个不但相等，而且垂直。好了，见了这个问题，我们最容易想的是什么呢？ 啊？那当然了，我们要想的，那就是 这个里边的它的这个垂直关系啊。呃，在这个里边，我们要构造一线三垂直啊，而且是全等，对吧？所以我们看过点 e 已经有一条线了，是 a c， 所以 我过点 o 和 m 点，分别向这个 a c， 怎么样做垂线， 过点 m 做垂线，过点 o 也做垂线 啊，这个线稍微短了一点，对吧？嗯，好，就这样吧。呃， abcde， 我 们把这个点呢叫做 f， 这个点呢叫做点 g， 对 吧？ 分别做垂线好了，这就是一线三垂直。那么有了这个，我们实际上考虑到 e m 和 e o， 它是一个等量关系啊，相等的，所以我们第二个得到的重要结论就是，三角形叫做 o g e o g e， 它一定是圈等于三角形，谁呢？ o g e， 然后是，呃， e f m 啊，呃，因为这个里面呢，首先我们来看一下啊，两个边相等了，对吧？然后都是直角，三角形好了，然后我们来看的是什么呢？看的是角，对吧？好，这个角 我们用点来表示啊，点加上这个角呢，我们用叉来表示，点加叉一定是九十度， 对吧？而我们在 e f m 中，这个点加上这个角呢，也是九十度啊，所以这个角一定也是个叉。所以你看，我们在这个图里边就有两个角和一个边，我们就可以判定圈等啊，判定圈等 好了，当我们判定权重之后呢，我们大家接着看，我做了这个垂线之后啊，尤其看 o g 和它垂直，这个 o e 是 不是也是等于 o a 的 呀？对吧？所以这个里边呢，还有一个权等关系的，是谁呢？ 是三角形，呃，叫 a g o， 它也是全等于三角形 e g o 的。 好了，呃，这是我们基于这个一线三垂直我们得到的一个等量关系。 来第三个知识点，我们看，嗯，什么呢？我们这个图中啊，这个垂直关系比较多，垂直关系比较多的情况下，我们就会想用什么来处理呢？ 就是构造相似啊，相似。来大家看一下，我们看 abc 这个三角形， 它的三边比呢，是三比四，比五，对吧？三比四比五。那么你看看我做完 o g 这个线之后，那么 ago 这个三角形和 abc 之间什么关系呢？ 第一，都是直角三角形，对吧？同时我们看一下，因为这个 bc 和 ad 是 平行的，所以 角 b c a 一定等于角，叫什么呢？叫做啊？ g a o， 对 吧？所以啊，这个三角形叫 abc， 它就相似于三角形，谁呢？ 叫 o g a， 而我们知道这个 abc 的 三边比啊，是三比四比五，所以我们就也就知道了这个 ag， 它比上 g o， 比上 a o， 也应该是三比四比五啊，根据这个相似关系，这是三比四比五。好了，那这样的话呢，我们在图上给它标上啊，我们给它标上， 那么 a g 就 用三 m 来表示， og 用四 m 来表示，那么 a o 那 就是五 m， 对 吧？考虑到它和这个 e g o 全等的，那么 e g 就是 三 m， e o 它就是五 m， 对 吧？ 然后我们看，那么这个 e d 呢？它长度呢啊？ o g 是 不是恰好是 a e d 的 中尾线，对吧？ e d 就是 八，这是你的是二倍的 o g 就是 八 m 了啊，八 m。 来，我们接着往下看啊，往下看到什么地方了呢？那么根据刚才的这个三角形 o， g e 和 e f m 全等，所以 f m 的 长度也应该等于多少？ fm 的 长度， fm 的 长度是不是等于 eg 的 长度啊？所以这也是三 m 啊，那么这个长度多少呢？ 这个长度应该等于 g o 的 长度，它，所以它等于四 m， 对吧？四 m， 好 了，我们大家看一下啊，这些长度都用 m 表出来之后啊，我们来看最后我们的答案，最后的答案是探角 a c d， 那 么这个角呢，我就放到 r d 三角形 f c m 中来算，它等于 f m 比上 cf， 对 吧？所以我只要把 cf 也用谁呢？也用这个 m 来表示出来，那么这个题是不是就出来了？好了，我们看看啊，这个到底怎么表示，对吧？ 来，当我们做出这个 f m 之后啊，所以这个里边呢，其实还有一个答案是谁呢？是三角形 c f m 啊，相似于三角形，叫做 c e d， 对吧？这是相似关系，所以呢，我们看，这是因为这个 f m 和 e d 是 平行关系啊，平行，所以相似，所以 f m 它比上 e d 就 应该等于 cf 比 c e 好，我们来看看， f m 是 三 m， 比上八 m 等于 cf， 比上 c e， c e 应该写成 cf 加上四 m， 对 吧？好了，我们来展开一下，这个 m 和 m 是 约了啊，是三倍的 cf， 加上三四十二 m 等于八倍的 c f。 好 了，我们这样的话，我们判断出来，这个 c f 等于什么呢？ c f 等于五分之十二 m， 对 吧？ c f 就 有了，好了，所以最终的答案应该是多少？ f m 是 三 m， 除以五分之十二 m。 好 了， 我们已化解，最后答案是五比四。好了，这就是这个题的最终答案 啊。呃，这样的一道题，他涉及到的知识点呢？比较多，辅助线做的也比较多啊，很多同学在呃做这个题的时候呢，感觉到比较难，对吧？希望同学们都能够怎么样去认真的体会一下这个辅助线的做法？ ok。

来，这个题，不会的，先罚站十分钟，罚你站着停啊。来看题，如图，锐角三角形 a、 b、 c 中以 b、 c 为直径的半圆 o 以 b、 c 为直径来，又出现了，直径，又出现了， 那直径。在我们三角函数题，这是一个三角函数题，来看题目， cosine 角 b、 a、 c 的 值，是不是一个三角函数题啊？这个问题很明显就告诉我们，这是一个三角函数题，那三角函数题目中的直径，上节课我们讲了，还不会 啊，直径是干嘛用的？一般都是用来做直角三角形的吧。来，继续， 这都没用，交交点都没用。来看面积，三角形 a、 d、 e 的 面积和四边形的面积之比是一比二，来，面积之比是干嘛用的？来这个地方我们学什么时候学过？是不是学相似比的时候才有面积比？ 是不是？那我们告诉我们面积比，实际上是为了告诉我们什么？我们要知道这个条件怎么用啊，是不是？那这个面积比怎么用啊？面积比是一比二， 那告诉我们面积比，实际上是为了告诉我们相似比啊， 是不是？但是这个三角形和这个四面形相似吗？那肯定不相似，那实际上我们看图就知道了，实际上是这个三角形 a、 d、 e 和三角形 a、 c、 b 相似吧，对不对？它们两个相似，那它们两个相似，但是呢，它只给了我们面积比， 我们怎么知道他俩相似的？我们是不是要证明一下啊？所以这个题的第一个难点出现了，我们不会证明 这两个三角形相似，是不是？是不是？你来继续？还有一个难点就是在这里，这个直径不会用，但是呢，我上节给你讲过一个类似的题了，这个直径是怎么用的？ 是不是直径所对的圆周角是直角，所以通过这个直径我们可以勾到直角三角形，是不是？所以我们这里来，我们看直径 b、 c 怎么勾到直角三角形？第一个，我们可不可以连接 c、 d？ 或者我们可不可以连接 b、 e 啊？这个对于这个题来讲都是一样的，我们连接一个就可以了。来连接出 c、 d 来之后，角 bc 是 不是九十度？ 那你看直角三角形是不是出现了？而如果让我们求角 b、 a、 c， 也就是角 a 的 cosine 值，也就等于 a、 d 比 a、 c 吧，而 a、 d 比 a、 c， 是 不是就是这两个三角形呢？相似比来对应边 a、 d、 a、 c， 我 特意写成对应边，是不是 好直？直径，现在我们用上了，这个三角形出现了，那这里面积我们怎么正相似呢？这是这个题难点来了，怎么正相似？ 那这个时候就要用上一个我们之前学过的条件了，在哪里学的圆？那这个地方为什么有的同学不会啊？是因为它圆的基础没打好，你看 b、 d、 e、 c， 这是个什么四边形？ 这是个圆内接四边形吧，圆内接四边形有什么性质呢？ 对角相等，所以我们得到角 b、 d、 e 就 等于，哎，不对，等于角加角 b、 c、 e 等于一百八十度吧，对不对？而我们还知道 角 b、 d、 e 还加谁等于一百二十度啊？角 b、 d、 e 是 不是还加角 a、 d、 e 等于一百八十度啊？来角 b、 d、 e 加角 a、 d、 e 等于一百八十度。来看，这两个式子 同角的补角相等，这也是我们学过的吧，所以角 a、 d、 e 等于角 b、 c、 e 吧。啊，所以角 a、 d、 e 等于角 b、 c、 e。 哎，这两个角相等，加上他们有个公共角，是不是两个三角形相似了？ 来，这两个三角形相似之后，它们的相似比等于多少？我们只知道面积比。来这两个三角形，首先它们的面积比等于多少啊？ 来，三角形的面积是一，四边形的面积是二。我们假设一下，三角形的面积是一份，四边形的面积是两份，这是我教给我学生们的，看到比例按照分数去做 啊，这是占一份，这是占两份，所以大三角形的面积占几分？占三份，所以这两个三角形的面积之比是 一比三吧，对不对？面积之比是一比三。那相似比呢？ 也就是开根号吧，开根号我们要分别开根号，也就是一比根号三吧， 所以我们就得到了来相似比，也就是对应边的比，这都是知识点啊。所以 a、 d 比 a、 c 就是 一比，刚好三吧，来，也就是三分之刚好三。所以这个题选 d 一 点也不难，一定要把它拿下。

哈喽，朋友们，这个视频我们给大家说一下第三这道打开题目的处理方法，他说我们可以通过中心投影的方法，建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上的点的位克面圆上的点的位置 啊，如图 ab 是 圆 o 的 直径，直线 l 是 圆 o 的 切线， b 为切点， p、 q 呢，是圆上的两个点，不与 a 点重合，并且在直径 ab 的 同一侧分别做射线 a、 p、 a、 q 啊交 l 与 c d 两点。 好，我们首先来看一下第一小问，他说啊，如图一，当 ab 的 长为 pi， 那 么请问 bc 的 长度是多少？ 好，那么在这的话呢，我觉得首先啊想的就是我知道这个圆的半径是等于三，而且我还知道这段弧长，那第一时间想到的就是我可以知道它圆心角的一个度数对不对？好，那么我们在这的话呢，先来看一下它这个圆心角度数是多少？ 第一问的话呢，就直接用一个弧长公式，也就是一百八十分之 n 拍二，但二在这是等于三的，它是等于拍，那么也就可以求出来 n 是 等于六十度。说明啊，我们弧 b、 p 所对的圆心角度数是六十度，那也就意味着此时此刻角 b、 a、 c 是 等于 三十度的，那这个角等于三十度，我们的一个 bc 长度是不也就非常明确了？对一个三六九三角形来说，它的一个三边比我是清楚的，所以直接得到 bc 的 长度应该是等于二倍的根号三。好，那这是第一问，我觉得应该是比较的简单的，我们接下来看一下第二问， 他说如图二， a q 比上 ab， 那 是等于三比四的，那么弧 p q 是 等于弧 p b 的， 求 bc 和 cd 的 比值。 好，首先我们在这知道 a q 和 ab 的 比值，最终呢要求的是 bc 和 cd 的 比值，那我怎么想呢？我觉得第一时间你要意识到这里面其实涉及到有直径所对的圆周角，比如我在这可能想着连接一下 b q， 因为这样连接之后呢， a q b 就 等于九十度，那么 a q 比上 ab 是 等于三比四，我们这样也就可以转换成这个角 b a d， 它的一个什么呢？它的一个余弦值是不是就等于四分之三的？那我就可以进一步去思考其他的一些信息，好再结合什么呢？结合我们的弧 b p 是 等于弧 p q 的， 那我是不是就知道了，这个 a c 啊，相当于是这个角的一个角平分线，那当然如果说你用我们的这个模型，我觉得是可以去进行一个思考，但是这个题目的话呢，用模型可能没那么好做啊，因为它是一个 三比四，这是正弦，不是正切，如果是正切的话呢，那是可以联系我们的一二三四五模型啊。所以在这的话呢，我觉得还是要老老实实去构建相关的等量关系，那我们不妨就直接去设相应的一些未知数，你比如说我就直接设 a q 等于三 x， 那这样 ab 就 等于四 x， 所以 半径也就是二 x。 好， 接下来的话呢，我们的目标自然就是去求 bcc 的 一个比值。而在这的话呢， a c 其实作为它的一个角平分线，我觉得思路就非常清晰了，对不对？我们可以从 c 点干嘛？ 角平分线上的点到角里面的距离相等，所以我可以从 c 点往这边再引个垂线，假设垂足为 t， 那 么接下来我们是可以进行一些位置数的设定啊，你比如说我们令 b、 c 等于 m， 自然 c t 也等于 m， 那 接下来如果 c、 d 我 能够用 m 表示出来，这个题是不是就做完了？那 c、 d 好 不好操作呢？完全是好处理的吧啊，因为我们知道啊，这个角 t、 c、 d 呢，它其实是等于角 q、 b、 d， 而 q、 b、 d 呢，其实就等于上面的这个角 b、 a、 d 啊，根据它们俩都是角 a、 b、 q 的， 与角同角的，与角相等吧，我们进行一系列转化，所以你就知道这个三角形其实和 大三角形相似。当然，我觉得你直接利用这个角等于这个角公共的角，也能够轻松的进行一个问题的处理，对不对？我就知道这个三角形啊，也是好处理的，那么结合这个角的一个余弦值啊，是等于三比四，所以它和它之比是不是也是三比四？ 那这样一来的话， c、 d 是 不是就等于多少？三分之四倍的 m 在 bc 与 cd 的 比值是不是就一目了然了？好，那我们把这个思路同样带给大家简单的梳理一下啊。 这首先呢，我们可以得到三引角 b、 a、 q， 它是等于我们的四分之三，还等于我们的三角 t， c、 d。 接下来我们直接 可以得到 bc 等于 c， t 等于 m， 进一步得到 cd 是 等于三分之四 m 的， 所以 bc 比上 cd 也就等于三比四。 好，我们接下来看一下最后一位啊，他说如图三，我们现在呢，当 a、 d 啊，是等于 m 倍的 b d， c、 d 呢？是等于 n 倍的 b c 连接 b p 和 p q， 要求我们的这个 q p 啊，和 b p 之间的一个比例。 好，那么在这的话呢，我们来同样和刚才的一个思路一致，他知道 a d 和 a b d 的 一个比值，我们相对可以理解为这个三角形的一个三边比对不对？然后呢，还给了 c d 和 bc 的 比值，这个和前面是不是有点类似啊？前面只不过说是求的它，那最终呢，我要求这两段 弦长的一个比值，这个时候的话呢，我肯定第一时间想到的就是相似三角形，对不对啊？我可能要往相似这个维度去进行一个思考， 那我如何能够把 b p 和 p q 挂钩呢？因为在这个题目情境下，其实他们所在的三角形很明显并不是特别的相似，所以啊，我要进一步去进行一个 转换。好，那我在这的话呢，就直接在这个题目旁边去结合图形分析了啊。呃，按照题目的意思啊，我们可以先和之前一样，我可以连接一下什么呢？ b q， 那同样，这是不是就有一个直角呀？结合我们刚所得到的一些或者第二问的一个分析啊？我知道我们的 a d 是 m 倍的 b d， 哎，又是他和他的一个关系，那我们自然就知道这个角的一个什么正弦是他比他吗？一比 m 对 不对？好，那么按照这个逻辑啊，我们可以进行一些比例的设定啊，你比如讲我们就直接设，呃， b d 为 m 的 话，或者说为 e 的 话， b d， 我直接设它为一，那我们的 a d 是 不是就应该是 m？ 同样的道理，我们可以把 ab 求出来， ab 就是 根号下什么呢？ m 的 平方减一。 好，那么接下来的话呢，我们还要进一步去进行一些转化处理，就说我怎么得到 p q 和 bp 的 一个比值。在这的话呢，我们来看一下啊，这里面的一些关系。首先呢，我们发现啊，这其实是有一个什么， 这是一个摄影定律对不对？这是一个摄影定律，所以这里面存在着一组相似，而这组相似呢，是能够帮我把 b p 啊构建出来的。所以我们先来看第一组相似三角形，比如三角形 a b p 是 相似于我们的三角形 a c b 的， 那通过这组相似呢，我们来写一下这里面核心的一些等量关系，因为我要用到 b p， 所以 我先写 b p， 那 么 b p 它的对应边就是我们的什么呢？ c b。 好， 接下来我将要写的是什么呢啊？因为这个题目的话呢，还跟 b c 以及 c d 挂钩对不对？所以我尽可能 往这个维度去尝试，或者说我们的 a b 以及我们的这个 a c， 这些都可以去进行一个罗列。好，那么在这儿的话呢，我们进一步书写啊，它还等于我们的什么呢？等于我们的 a p 比上 a b 好。 这样呢，我们进一步去思考啊，这个比例中呢，我们就出现了 b p， 对 不对？那我们进一步看一下，还有没有其他的一些关系呢？好，大家注意一下， 我们通过这个图形啊，我知道这个角 a q p 呢，其实是等于九十度加这个角的，对不对啊？九十度加这个角 b q p， 而 b q p 呢，根据同弧所对圆周角相等，所以它也等于我们的 b a c 好， 那这个时候大家注意了，你看啊，这个角 a c d 啊，它其实是不是也等于九十度加角 b a c， 那 和这个角是不是就相等了？所以这里面这个构图还是比较重要的，大家要有一个理解体会啊， 这个构图我觉得也是给大家传达了一些思想，那么这里面还有一组反 a 形相似，所以第二组，也就是三角形 a q p 是 相似于我们的三角形 a c d 的， 而这组相似呢，刚好就可以把 p q 给它 构造出来，所以 p q 比上 cd 好。 接下来我们结合第一组相似啊，我觉得你应该有意识了，这两个相似啊，也就是都涉及到了 ap 这一组边，对不对？所以它应该是等于我们的什么呢？ ap 比上 ad 好，那么一式和二式呢？结合，我们最终要构造的是 q p 比上 cd 好， 所以我们可以 进行一个标记啊，假设这个是一式，这个是二式，那我构造 p q 比上 b p 的 话，是不是左边除以左边就好了？所以我们用二式除以一式，那左边的话呢，其实得到的就是 q p 比上我们的 b p 乘以，那我们的这个应该是 b c 比上我们的 cd， 它应该是等于右边，那右边的话呢？我们二是比上一，是的话呢，我们的这个 a p 是 不是约掉了，直接就是 a b 比上 a d？ 其实写到这儿，我觉得这个题目基本上已经做的差不太多了，因为我们知道啊， a b 比上我们的这个 a d， 在 这儿我们都 有相关的一些量表达。 ab 我 们刚已经说了，就是根号下什么呢？ m 的 平方减一，然后 ad 其实就是 m， 那 右边的话呢？已经呈现出来了，那左边的话呢？我们再来看一下啊，左边 bc 比上我们的 cd， 哎，大家注意一下 bc 比 cd 这个是不是也是已经给定了相关的一些关系的，所以 bc 比 cd 其实就等于 n 分 之一。那我们进行一个简单的处理，得到的就是 q p 比上 bp， 他 应该是等于 m 这个 n 乘过去倒分子上了，所以是 n 倍的根号下 m 平方减一。好，那这个题目的话呢，其实也就搞定了，相当于用到的就是两个相似三角形去进行一个转化，大家可以再体会一下。

今天这道题是昨天那道题的升级版，这道题的含金量比较高，这道题呢，而且还运用到了呃反比例函数与 相似三角形的结合，所以咱们来看这道题。如图，直线 y 等于四分之一 x 与反比例函数 y 等于 x 分 之 k， 这里 k 不 能等于零，交于 a 等坐标是 m， 逗号 n， b 两点过点 a 做 x， 轴的垂线与过点 b 垂直于 y， 轴的直线交于 l， 交于点 c 这里。且三角形 a、 b， c 的 面积为八点 e、 f 是 第一象限内反比例函数。图像上两点设 e 的 坐标， e 的 横坐标为 a， f 的 横坐标为 b， 这里呢？ a 大 于零，小于 b， 这里 b， 而且要小于 m 是 比较角，这里角是 e， a， f 是 这个角。画出来还有角 e， b， f， e， b， f 是 这个角的大小，那观察这图，这要求的这两个的大小关系， 比较这两个大角，是不是这两个角离得比较远？那这里两个角离得比较远？那咱们首先也要把这些咱们已知的条件也是这样分散的，所以咱们还是要聚拢一下。首先呢，咱们这里有一个 a b 这条线段，它过原点时，也就是 y 等于四分之一 x， 对 不对？ 反比例函数这个 k 不知道，反比例函数这个解析式不知道，所以咱们现在就要去求解这个反比例函数。先把这个反比例函数的解析式求出来，咱们再来看。首先呢，这里 a， 它的点图中 坐标是不是已给？呃，题目已给出了 a 坐标是 m 多少 n， 这里 m 多少 n 是 不是？一般的话，这儿过来做垂直，这边过来做垂直，是不是 m， n 等于 k 啊？ 那 n 它不就等于 m 分 之 k， 那 n 等于 m 分 之 k， 那 咱们干脆把这个点 a 里面的这个 n 带进去，也就是 a 的 坐标是 m， 读好 m 分 之 k。 首先它这里是不是 ab， 它是过原点的一个正比函数啊？那咱们 看发，发现这不是一个中心对称的吗？中心对称，也就是把这个图形旋转一百八十度，他还是原来的图形， 所以这个就中心对称，那中心对称，那这两个点他们的横纵坐标也是互为相反数的，因为嘛，这里他们是不是一个在一相切，一个在二相切，所以互为相反数？所以 b 的 坐标也就是负 m 得号负 m 分 之 k， 其中他是不是给出了 abc 的 面积为八呀？标出来八对不对？ abc 的 这个面积它是等于八，所以呢，这一看就是他说了，这是过垂直下来的平行，所以这里 角 a、 c、 d， 他 是不是等于九十度？等于九十度？那这个面积是不是 b， c 乘以 a， c 再乘以二分之一，就是这个面 a、 b、 c 的 面积等于八， 所以咱们先把 a、 c 给搞出来， a、 c 这里他都是过来做垂直的，而且这里还中心对称，中心对称，这里这条线段是等于这条线段。呃，这个图形画的不太标准， 那么 a c 它是不是等于 m 分 之二 k， 也就是二倍的 m 分 之 k， 然后这里 b、 c， 它是不是就等于二 m 呀？因为这里的 a， 它的横轴是 m， 也就是三角形 a， b、 c 的 面积就等于二分之一乘以 a， c 乘以 b， c 就 等于八。大家换一下，也就二分之一乘以二， m 再乘以 m 分 之二， k 等于八，这里解出来 k 等于四， 看，因为这里的 m， m 都抵消了，所以咱们解出 k 等于四，这里的 y， 所以 这个底息式也就是 y 等于 k 分 之四， 那有了这个 k 分 之四了，那咱们现在可以把 ab 两点的坐标求出来了，是不是四都好一和负四都好负一样， 那现在咱们只有两个点的坐标，两个解析式，而且还有个面积，它现在让判断这两个角的大小，那这怎么算呀？ 它们这些都是在这么零零散散的，所以咱们还是要把它们给汇聚起来，那你看吧，首先它让比较这两个角的大小，那咱们先找， 那这个角是不是在这个大角里面呢？这个角是不是在这个角大角里头？那么咱们可以首先就是利用到， 呃，首先咱们可以利用到相似三角形，因为这里利用到了相似三角形，他们这里都包含角嘛，那这里都包含角，咱们就可以，首先咱们先试试西双四三角形，他们这几个角可不可以求减， 那做相似三角形呢？它首先是做平行线，对不对？最主要的像三角形，它最主要的是不是就是平行线，有了平行线它才有相似嘛？ 所以这里咱们可以先做这个关于 x 的 平行线，咱们先试试 a， 这边是平行线，对吧？ a 这里做完平行线，这里这是点 m， 他做了这个平行线以后发发现没？他这就是这里头底下的，他这里和这全等了，那咱们在 有 a 的 这个垂线，还有这个这垂线，那这还有这个 b 点，那这里咱们是不是可以看出来这是有是个两点两垂线， 那两点两垂线，那么咱们再把这个 e 还有这个 f 都给垂下来，这里两点两垂线，咱们就可以再利用这种垂线，然后构构造成这个相似三角形来求解码。 首先呢，这里咱们这有点 e， 还有 f， 他 说了 e 的 横坐标是 a， f 的 横坐标是 b， 对吧？那么有了解析式这个反比例函数的解析式，那么 e 的 坐标是不是 a 都耗 a 分 之四？ f 的 坐标是不是 b 都耗 b 分 之四？ 那有了这里 e f， 那 咱们这里过来做垂足，是一个是 n， 一个是 q， 这里它们这两个交点是一个 m 和一个 n， 那这里的 n 它是不是就等于都 a 都好负一啊？为啥呢？这里的 n， 它是不是这条线段？ 这条线段也就是向上平移的，才到了这个 e 的 这个横坐标的这条线段，所以它这个 n 的 横坐标不变，前面这里的 b， 它的这个纵坐标不变。前面这里的 b， 它的纵坐标也就是 a， 都好负一， 那这里 q 呢？还是同理可得 q， 也就是 b 都好负一，那这里 m， 它是个焦点吗？焦点它还是在这条上面，也用这个往下平移了，所以横边是 a， 这里还是一，因为他都是在第一象限，也就 a 逗号一，这里 p 也是一样的，是 b 逗号一，那咱们有了点子坐标，现在咱们这里的线段长度是不是也可以求出来了？ b n， 那 首先咱们可以先找到咱们已知的， 首先咱们可以咱们做这个辅助线，是不是要找相似三角形啊？那找相似三角形，咱们可以先观察进去，那这里的可以先观察这里 e b n， 感觉它是一个， 也不是，感觉这里是咱们直接过来做垂，所以咱们 e、 b、 n 首先可以跟他还有 e、 m、 a， 咱们先试试他们可不可以相似，还有这个 f q、 b 能不能和这个 和这个 f p、 a 相似？为啥呢？因为这里假如说它们相似啊，这里假如它们相似了，这是这个角，这个大角刚画出来，这个大角是不是等于这个大角呀？那这样还有这个 f b q 和这个 f、 p、 a 这两个相似，是不是这两个角又相等？那这两个角相等，这两个角相等肯定也是相等的，对吧？ 那么所以咱们首先咱们有了这个明确的思路了，咱们现在可以先把这个线段求出来，然后再去证明它们的这几个全等， 这里要利用它全等，是不是要用到 b n， 像要利用到它们相似，要用到这个 b、 n， 还有这个 e、 n 呢？那首先咱们要把这个 b n 和 e n 这两个点这两条线段求出来。首先 b n， 它是不是这里的 b？ 知道这是四了，这是 a 了，那这样他们这才现在是不是四减 a 啊？这个 e、 n 还要再找到这个 e n， 对 吧？ e n， 这是这条纵的，是不是 a 分 之四，这是一，也就是 a 分 之四，再加上一，这是 e n 的。 哦，这里还咱们是不是还要需要 em 啊？有了 em， 那 它这里 em， 它是不是总体这一段是 a 分 之四，然后这又是一 em， 也就是 a 分 之四减一 am， 它就是四减 a a m， 也就是这是四，再减去一，那有了这四条线段，咱们现在可以看看它们的比值相不相等。首先这里是不是可以先看到这里 b n 比上个 e n， b n 比 e n， 它们是不是 b n 是 不是四减 a， 比上个 e n 是 a， 分 之四加一，再比上我的 e m， 因为咱们刚才说让搞出这个这两个相似，还有这个 e m 比上了这个 a m， 它就是 a， 分 之四减一比上 am 就是 四减 a， 它们两个刚好都化简出来都是 a， 所以 它们这比都是相似的，都是等于的。也就是说咱们现在就可以证明出来了，刚才要求的 e n b 和这 e m a 这两个三角形相似，那刚画的这两个大角是不是也就两个相等了？ 那有了这两个大角相等，那咱们再继续同底这边是不是就可以证明出这个 f q b 相似于这个 f p a 啊？那这，那咱们刚画的这个小角 是不是等于这个角了？那有了这两个角，那在这个大角再减去这个小角，这大角减去这个小角，是不是就等于这两个角？ 因为他们这里的 e b n， 他 是不是等于这个 e a m？ 咱们这里都是减的嘛，也就是 e b n 角 e b n 减去角 f b q， 就 等于角 e a f， 还有这里角 e a m， 再减去角 f p a 就 等于 e p e b f， 这几个角都相同，那这两个最后也是相同的，所以咱们就可以解出角 e a f e a f， 这里是 f 角 e a f 就 等于角 e b、 f， 所以咱们就可以解出它们相同。其实这还有一种第二种解法，咱们这里是用的是贪婪， 贪婪这里咱们可以贪婪四十五度嘛，贪婪四十五度它是不是等于一？贪婪四十五度等于一，那它们的比都是一，这是一，这也是，也就是一比一就可以证明出它们是 直角，呃，等边等腰，直角三角形了，那这里也是一样，还是用三十四十五度，这样就可以，还是用他们两个相似，这里也是同样的办法，也是证明他们相似就可以了。

好的，咱们今天看一下备战二零二六中考数学压轴题一百二十题里面的第三讲啊，这是一道关于圆的综合问题啊，这是一道二零二四年枣庄市第十五中的一模考试的一道圆的综合啊。 好的，咱们一块看一下这道题目啊。他说已知呢， ab 是 直径，然后呢点 c 呢？是圆 o 上的一点啊，他说取 abc 的 中点 d 啊，就是这个 u 弧 abc 的 中点是点 d 啊，然后呢过点 d 做圆 o 的 切线啊。 他说，第一问，求正角 abc 等于二倍的角 o a、 d 啊，那我连接一下 bc 啊， 也就是需要我们证明这个角是等于二倍的这个角，是吧？那这种二倍角或者说二倍的线段的关系，我们更多的出发点呢，是把它们转化成等量的一个关系，对不对？那么因为这里 过点 d 呢，是圆做了一个圆 o 的 切线，所以自然而然我们要连接一下 o d， 因为连接一下 o d 呢，会出现这里是垂直的，对不对？那我连接 o d 的 过程当中，也会发现二倍的角 o a， d， 因为半径在圆里面，半径是垂直相等的，所以这个 o a 和这个角 o d， o 它是相等的，所以二倍的角 o a， d， o e 呢，它就变成了这个角，所以我只需要证明角 abc 等于二倍啊，等于这个角 d， o e 就 可以了， 对不对？好，我们要证明这两个角相等，显然我们第一出发点可能会联想到，我要证明 o d 和 b、 c 只要平行就可以了， 对不对？那证明这两条线段平行，无非就是内错角相等啊，或者同位角相等啊，或者同方内角互补啊，等等一些啊，那显然我只要证明了这个角 c 和这个角 o、 d、 c 这两个角相等的话，也能证明 o、 d 和 b c 是 平行的，对不对？那所以说我要证明，因为这个角 d， 角 c 呢是对的，弧呢是 b、 d， 它是等于角 a 的，是吧？因为同弧所对的圆周角相等嘛，所以我的目标就转化成只要证明角 o、 d、 c 这个角和角 a 相等就可以了，因为因为角 a 呢，是等于角 a、 d、 o 的， 所以呢，我们只要证明这两个角相等就可以了，就是证明角 a、 d、 o 和 c d o 相等就可以了，对不对？那么我们联想到刚刚因为这个 abc 的 中点弧呢啊，弧的中点呢是点 d， 所以呢，等弧出现，那等弧那会有等弦是吧？弧所对的圆心角都是处处相等的，所以呢，这里在这里呢，我们连接一下 o、 c 呢， 我们就能够容易证明的是，这两个三角形是干嘛的呢？是全等了，就是 a、 o、 d 这个三角形全等，从而就证明了这两个角是相等的， 那么如何证明全等啊？那么显然这里有一条公共边吧， o d 是 一条公共边，然后呢， o a、 o、 c 它都是半径，并且这两个夹角是相等的，从而就证明了这两个三角形是全等的，进而我就证明了我们所需要证明的东西， 对不对？好的，我们简单写一下这个步骤啊，第一步呢，是证明题啊，所以呢，我们在这里连接 o、 d、 o、 c， 因为这个弧 a、 d 呢，是等于弧 c、 d 的， 所以我们能够得到角 a、 o、 d 这个角它是等于角 d、 o、 c 的， 对吧？又因为 o a 呢，它是等于 o c 的， 然后呢， o， d， 它是等于 o、 d 的 这三个条件，所以我们能够得到三角形 a， o， d， 它是全等于三角形 c、 o， d 的， 所以呢，我们就能够得到角 a， d， o， 它是等于角啊， c， d， o 的 啊，又因为什么呢？这个 o， a 呢，它是等于 o、 d 的， 所以呢，角啊， a， 它是等于角 a， d， o 等于角 c， d、 o 的， 又因为这个角 a 呢， 是等于角 d， c、 b 的， 因为它们是同弧所的圆周角嘛，所以我们就能够证明角 d、 c、 b， 它是等于角 o， d， c 的， 竟然我们就能得到角 abc， 它是等于角 d、 o， b 的 啊，啊，又因为这个角 d、 o， b 呢，是等于二倍的角 a 的， 所以我们就能够证明了角 abc 啊，它是等于二倍的角 o， a、 d 的 啊，所以第一步我们就证明完了啊，好的，咱们看一下第二位啊，他说已知 三 e 是 三分之一，也就是角一的正弦是一比三啊，然后求一下 af 这条线段比上 e、 f 这条线段啊，那显然这是两条线段的比，那么我们更多的在线段比这里啊，用的是一些相似线段比，对不对？那么 在这里我们可以想一下啊，咱们假设这个 a， 这个半径 o， d 是 a 的 话，是不是我非常容易能够得到 o， e， 它就是三 a 啊，那么利用勾股定律，是不是这里就是二倍的根二 a 啊，我们设半径是 a 的 话， 对不对？所以啊，在这里呢，要求证的是 a、 f 比上 e、 f， 所以 说，我看看能不能构造一个 a 字形或者八字形的相似，把这里转化出来，那显然这里 a 字形呢，不是特别的好，所以呢，我们选择构造 八字形的相似，那么八字形的相似怎么去构造啊？那么这里触发的条件是什么？那么你不要忘了，我们在第一位里面，因为 a、 d 和 c、 d 是 相等的，我们也正过了这两个角相等啊，所以这里出现了一个比较典型的模型，就是等腰三角形带着角平分线， 对不对？等腰三角形带着角平分线，那想不想到三线合一啊？所以在这里，如果我们要连接 a、 c 的 话，延长 d、 o 的 话，那这里一定是垂直的喽， 对不对？所以我们就能够得到 a、 c 和 d e 是 平行的，因为这里是垂直，这里是垂直，是不是同内角啊？是不是同旁内角互补，所以 a、 c 和 d e 就 平行了嘛， 对不对？所以呢，在这里我们连接一下 a、 c 啊，然后延长 d o 与 a c 相交点 h 的 话啊，啊，因为这个 a、 d 呢和 c、 d 是 相等的，然后角 a d o 和角 c d o 是 相等的，所以这两个条件我们能够得到一个 d h 是 垂直 a c 的， 又因为这个 o、 d 啊，是垂直 d e 的， 因为是切线嘛，所以我们能够得到 d、 e 呢，它是平行于 a、 c 的 啊，这里能不能理解啊？那么进而我们要求证了， af 比上 e f 啊，那么无非就是 ac 比上 d e 喽，对不对？这不是一个比较明显的一个八字形的相似吗？是不是？所以我只要表示出来 ac 和 d、 e 的 长度就可以了，对吧？利用三角函数啊， 所以在这里呢，我们设一下这个半径的长度啊，设 o、 d 呢，是等于 a 的， 那显然，因为这个三个 e， 它是不是就等于 o d 比上 o e， 它就等于一比三，进而我们就能够得到这个 o e 的 长度呢？它是不是就是三 a， 所以 这个 d e 呢？ 它是不是就等于二倍的根二 a 啊？利用勾股定律啊，因为这里是三 a， 这里是 a 的 话，那这里是不是二倍的根二 a 啊？因为平行呢，我们比较容易能够得到这个角 e 和这个角 b、 a、 c 是 相等的啊，所以呢，这个三 e 是 不是等于三角 b a、 c 啊？它也是一分啊，三分之一嘛，又因为这个 ab 呢，是等于二 a， 所以 我们能够得到 bc 的 长度 等于三分之二 a， 所以 通过勾股定律呢，我们也比较容易能够得到啊。 ac 的 长度啊，三分之四倍的根二 a， 因为这个 ac 它是平行于 d e 的， 所以我们能够得到 af 比上 ef， 它就等于 ac 比上 d e， 对 吧？ ac 呢，是三分之四倍的根二 a， 然后 d e 呢？是二倍的根二 a， 所以 最终的结果呢？它是不是就是三分之二吗？那咱们看一下第三位啊， 他说在二的条件下，若圆 o 的 半径二十三呢，求下 d、 f 的 值啊，那么如果你第二位能中出来呢？第三位相对来说还是比较简单的，因为这个八字形的相似啊，所以我们也比较容易能够得到 d f 和 c f 的 比，是不是三比二吗？ 对不对？所以我只要求出来 c、 d 的 长度就可以了，对不对？那 c、 d 的 长度怎么去求呢？ c、 d 是 在这个 c、 d、 h 这个直角三角形当中啊，因为刚刚我们已经求出来 a、 c 的 长度，利用半径来 啊，利用半径来表示的 a、 c 的 长度，那显然 c、 h 我 们也是能够知道的，对吧？那 d， h 是 不是也比较容易能够得到呀？因为这个 d h， o， d 是 半径， o， h 是 等于二分之一 bc 的， 对吧？因为 o h 是 中位线嘛，因为 o 点是终点， h 点也是终点，所以 o， h 呢，它是等于二分之一的 b、 c 的 啊，所以呢，这里我们比较容易能够得到啊。因为这个 d f 比上 c， f， 它是三比二啊，所以呢，我们能够得到 d， f， 它是等于五分之三倍的 c、 d 的， 所以我们只要求出来这个 c、 d 的 长度就可以了啊。 h 呢，它是不是等于 o d 加上 o h 呀？ 啊？ o， d 呢？是二，那么 o， h 呢？是不是二分之一的 bc， 也就是三分之一二嘛？因为刚刚我们这个 a 也是用这个表示出来的啊，所以这里就变成了三分之四二乘以这个半径二的话，二十三呢，它，所以这里就是四嘛， d， h 就是 四嘛。那么因为 c、 h 呢，它是等于二分之一 a， c 的 a， c 的 长度，我们刚刚也已经求出来了，在这个位置， 对不对？所以呢，它是等于三分之二倍的根二乘以二，所以它是等于二倍的根二的，所以我们就能够得到 cd 的 长度是等于根号下啊，四个平方加上二倍的根二，拐弯的平方，那么开出来，所以这个 cd 呢，是不是就等于二倍的根六嘛？ 对不对？所以最终啊， d f 的 长度，它是五分之三倍的 c， d 也就是五分之六倍的根六啊。

你好，你什么学历啊？啊？九八五啊，怎么了，读研了吗？读了，我给你一百块钱，可以帮我讲一道三角函数的题吗？哦，不用不用啊，不用给钱，我本身呢就是一名老师啊，我很多呢学生都已经被保送了。这样吧，我教你一个口诀吧， 十五秒呢就能记住。三角函数啊，初中高中都能用，看一遍呢，就能记住，几十年后都不会忘。赶紧点个小红心转发给你家宝贝来看一看。口诀来了，请记好，一二三 三二一三九二十七，所有跟号别忘记，三是二扣三是二，正切小三做到底，你记住了吗？ 像这样的口诀呀，整个初中三年并不多，咱一天背一个，寒假结束呢，也就全部都掌握了。我呢已经全部整理成电子文档了，想要的话我把全部的文档直接发送给您。