青岛版八年级数学动点几何经典题型
青岛八年级下册数学期末考试怎么复习呢？青岛八年级下册作为教材改版的第一版，知识点呢，虽然没有什么改变，但是还是六张内容， 三角形的证明及应用，不等式和不等式组图形的平移和旋转，因式分解分式和分式方程，平行四边形。但是啊，考试的难度和重点 还是变化比较大的，尤其啊是几何部分，选填压轴探究动点的难度都有提升。而这三个板块呢，加起来就是二十二分到二十五分，那直接就决定了很多孩子能不能拿高分，那很多孩子想拿高分，又不知道怎么复习，所以在这里追求高分的孩子，在这一个院内，韦老师推荐就复习这三大板块， 八项呢，平行四边形，几何类啊，就能够通关，如果这一个能够通关，肯定是能拿高分的。那么哪三大板块呢？第一探究专题啊， 旋转规律的探究，平移最值，将军一马系列的探究，旋转最值，以及飞马点的一个探究。二，选填压轴专题，平移四面形多结论问题。还有各种模型问题，比如说一线三等角的模型，手拉手的模型，比如说等边的手拉手，等腰的手拉手，还有陀螺模型多模型，尤其这个陀螺模型多模型哈，去年的话考察到了两次， 这个模型嘛，字又多，但是挺好理解的，考频也挺高，建议大家一定要复习。还有就是绊脚模型了，在直角三角形里面考绊脚，在正方形里面考绊脚，最后一个呢就是奔驰模型。那第三大板块，也就是动点专题，平行四边形的动点问题，这是必考的， 初一考，初二考，初三更加要考。那么初二会考察到什么呢？面积啊，以及呃，平行四边形边的一个成立问题。平行四边形角的问题，比如说特殊角，三十度、四十五度，六十度，一百二十度，一百五十度，一百三十五度这样子也有可能会考到角平分线、垂直平分线 等，腰三角形等。那么想要练这些类别，一定要多看题型，多做难题。可以作为老师的这五套八下期末数学押题卷，还有整个八年级下册三个专题板块的一个 专项训练。哪三个呢？选填压轴、动点压轴以及探纠压轴三个专项。那需要这一套押题卷和三个专项的给韦老师回复八项即可。
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06:54查看AI文稿AI文稿预测一下今年的数学的命题方向，以及我们容易踩到坑，那么结合近几年的命题规律，帮大家做一个精准的预判，尤其是拆解一下最后压轴题，二十五题动点题的考法，以及那些我们特别容易丢分的丢分陷阱，大家有用的话可以点个赞收藏一下，咱直接进入正题， 这个三道压轴题，以及二十二题，二十三题这两道特殊的丢分题，大家一定要注意，今天我们就做精准的预测动点压轴题全卷的最难关卡。 首先说大家对半处的二十五题作为压轴大题，预测今年仍然会延续。几何图形的运动的核心风格，大概率双动点问题，那么背景呢？一般是做围绕着矩形的运动的核心风格，大概率双动点问题，那么背景呢，一般是做围绕着矩形的折叠展开， 那么考法一般是三问，具体第一问一般是比较基础，那么给平行或者垂直的条件，让大家求一下终点的时间， t 的 时间。那么第一个考点一定是非常简单的一个小知识点，如果你做错了，觉得挺难的，请马上调整方向， 他一定是考一个点。第二要求函数的关系表示是一般考面底，面底呢就是求高坐高，勇敢的去坐高，把高一坐问题，一般这个栏路虎就搞定了。 那么第三位一般是特殊图形的存在性，那么也可能是特殊的存在性，比如说平行了，搅拌线了，中垂线了，那么这是特殊时刻，那一般结合着折叠旋转来做，那么这里边有三个特别容易踩的坑，一定要记牢。 第一， t 的 定义， t 的 定义值领域，很多同学上来就练方程，他一般要忽略动点的运动范围，那么点 p 和点 q 是 不是无限运动，那么到终点是回反还是 前进还是停止？那么定义域一旦错了，各位，这个问题就白搭了，没法分类，而且呢会多解少解，一定会出问题。第二个是 分类讨论存在性的问题，直角三角形，两条三角形是吧？三三两两相等，这一定要全面，不要漏解。各位， 咱呢，这个坐标的表达有错误，用 t 表示线段时，特别是要注意涉及到翻折符号，很容易搞反，所以他建议一下，不管题目多么简单，都要用勾股定律或者相似来验证一遍，相互验证一下。 好，各位，我们再看一下这个第二十五题的一个进阶，那比如说是对值和模型的一个缩减，那么除了存在性的问题，第二十五题的第三外，还特别喜欢考对值，比如说对小值最短路径， 我们要立刻联想到两个模型，第一是将军野马模型，两点一线的最短路径，找对天点，各位垂直截取相等。第二呢就是胡不归模型， 那么如果出现系数的线段，譬如说是 pa 等于 pa 加上零点五 pb， 那 么基本上就是互补位的问题啊， 把系数转正转化为正中选值构造，这个直角就可以解决。各位好，另外如果动点在圆弧上运动，那么就是引圆问题。各位，这个省考一般喜欢这门考题，但是我们听到考的少，那么看到定弦定角，立刻想到圆， 对直往往出现在直径或者特殊的位置上。各位，这个一般的命题方向有要求，命题的标准也有要求。再看一下第三部分，我们讲一下这个选填题的压轴题，一般第十题了或者十五题了，那么这压轴题细节决定成败。 那么谈完了这个大题，选填题的压轴题还有两座小山。第九题啊压轴题，我们第十五题填空的压轴题，这两道题一样是九分的重灾区，那么如果是有难度或者是特别费时间怎么办？ 那么今天这个考核的方向，第九题，各位，选择压轴题，极大概率还是要考二次函数图像与系数 abc 的 关系， 那么题目一定会给一堆式子，譬如说是二 a 加 b 大 于零了，什么 a 加 c 小 于零了，什么 a b c 大 于零小于零了。各位应对技巧呢？各位，别硬算，看开口方向，对称轴的位置与 y 轴的交点叫注意哈，注意， 那么各位，我们解析关键的要式就是对称轴打开二次函数的要上，大家注意。第十五题前空一压轴题，我们听到卷，咱们一般考的是几何多解问题，给一个放大正方形或者三角形的一个图，判断四到五个小问号，各位 在各位，大家要避坑别硬推，用特殊指法或者极限思想，那么脑子里一定要有一个运动的图像，不要每一个题都要去解， 特别要注意前边的结论，一定是后边的条件要特别，如果你没有方向，如果是三到五四分钟没有方向，把这个题做一个标记，有可能这个题冷如虎，不要破坏了我们答题的情绪，要注意有做趋势，尤其是对一些 中考生或者是偏僻的学生一定要注意趋势，各位，那么还有一部分就是中档题的隐形限定，除了三道压轴题，那么一般是第二十二题，二十三题这两个中档题也隐藏着暗雷，那么第二十二题一般要注意这面的取之范围。利润问题里， 涨价不能让售价为负，销量不能为负，那么要注意这些生活的常识决定了这个取之范围定义的范围， 那么再看这个二十三题，几何证明的计算，那么重点关注浮线的添加，尤其要注重圆的综合题，今年要注意圆的综合题，我估计今年圆会出大题。各位天象堂判境经理，那么连半径什么隐藏的，这个纯境经理要注意啊各位， 那么再就是里边相关的，求这个是吧，求这个不规则图形的面积，为什么他不规则是因为他有弧，把这个圆的弧归水管的问题找出来就没有问题啊。各位好，各位，给大家三个考场的实景建立，讲多大家也听不明白，听不也记不住。第一个，时间分配， 前边的三道题，如果是你觉得特别费你的时间，那么这个地方要果断去设，做好标记，好，做好标记， 那么要注意这个该拿的分一定要拿到，这个不入分解析技巧，现在批卷阅卷跟以前不一样，以前是看答案，答案不对的话基本上要崩盘，要揪好多分，现在不了，现在是不不得分，要注意啊各位， 那么这重点题也是严格的按步骤来统分，要注意这个步骤的区分性。第三呢，心态要调整，各位，那么遇见一些新定义的题，那也不要慌，比如说是一些不大会的题也不要慌，那么题目长不代表难，审题的难度你得要有耐心读完你一定会做。 各位，今天的干货就到这里，大家记一下，这个口诀讲太多了各位，重点要看范围存在性要分类，填空要种，结果计算呢，要细心。好各位，大家要避开陷阱，拿下高分。好，加油！
1063倾城高客
33:28查看AI文稿AI文稿八下数学期末考试想再提个三四十分的，这期押题视频一定要看到最后，之前跟着我押题视频学习的同学，考完回来都直呼太准了。废话不多说，今天我们来讲期末考一定会考的八大必考题型，弹幕里打出你想冲刺的数学分数，我们直接开始。 先来看我们第一个题型，关于最减二次根式的一个概念，他这里的第一题是这样说的，他说下列属于最减二次根式的是哪个？那我们依次来看，首先 a 选项根号四，很明显可以继续化减， 他根号四就等于二吗？对不对？所以说这个不是最减二次根式。再来看 b 选项，他这个根号下有一个分数，那这样肯定是不行的吗？我们来化简一下，那他对应的不就是根号三分之一吗？也就是三分之根号三，所以这个也不对。 c 选项，这个你看根号下被开方数是小数，那这个很明显也不行呀，所以说我们来给他化解一下哈，他就等于就等于十分之三嘛，对不对？也就是根号十分之根号三，所以就等于十分之根号三十嘛，对吧？这里上下同乘，根号十， 所以说 c 选项也是可以继续化简的哈，它也不是最简的二次根式，那答案肯定是四 d 了呗，你看根号三，很明显不能再继续化简了，这是我们第一个题型哈，我们第二个题型，关于直角三角形的判定， 这个呢，它经常会和我们的勾股定律进行结合，它是勾股定律的一个应用哈。比如说这道题，他说如果 a、 b、 c 是 三角形， a、 b、 c 是 直角三角形的，是哪一个？那我们依次来看 a 选项， 这个小 a 等于一点五，小 b 等于二， c 等于二点五，那我们来验证一下它满不满足勾股定律呗。这个时候 a 方是等于什么呢？我们知道哈，十五的平方是等于 二百二十五的，然后呢？所以 a 方就等于二点二五了嘛，对吧？因为它这里是一点五哈，然后 b 方的话是等于四的， c 方的话， 二十五的平方的话，我们也要记住，它是等于六百二十五的，所以它这里就等于六点二五。那这个时候大家来看一下， a 方加 b 方是不是正好就等于 c 方呢？所以说它满足勾股定律，所以说根据勾股定律的逆定律，我们就可以推出它是直角三角形， a 选项没有问题。再看 b 选项， a 比 b 比 c 等于三比四比五，这个是它们边长之比，是三比四比五，那这个行不行呢？我们有一组勾股数叫三四五， 所以说 b 选项其实也是正确的，因为三比四比五的话，它们对应的分别是三 x、 四 x、 五 x 嘛，对吧？它们之间有一个比例关系，我们可以分别设为三 x、 四 x、 五 x， 你 会发现三 x 的 平方加四 x 的 平方一定等于五 x 的 平方，所以它一定满足勾股定律哈， b 选项也是正确的。 再来看 c， 角 a 加角 b 等于角 c， 那 这个时候我们来验证一下哈，角 a 加角 b 等于角 c 的 话，那我们根据你看，根据内角和它加起来是等于一百八十度的，然后角 a 加角 b 等于角 c， 那 角 c 加角 c 的 话，就是二倍的角 c 了呗，就等于一百八十度，所以角 c 就 等于九十度呀， 你看确定出来一个角是九十度的话，那它肯定是直角三角形了呀，所以 c 也是正确的答案，肯定是四 d 了，我们来看一下四 d 为什么错误？它说角 a 比上角 b 比上角 c 等于三比四比五，这个一定要注意哈，它和二 b 选项的区别就在于，一个是边长之比，是三比四比五，一个是角度之比是三比四比五， 那这个四 d 我 们来验证一下为什么错，那它对应的呢？分别就是比如说我们设角 a 是 三 x， 角 b 呢是四 x 呢是五 x， 那这个时候根据内角和三 x 加四 x 加五 x 应该等于一百八十度呀，对不对？也就是十二 x 等于一百八十度，那么 x 呢？就等于一百八十度，除个十二，我们上下消一下，上下同除三，这个是六十，然后这个是四， 上下再同除个二的话，这里是二，这里是三十，三十除以十五度嘛，对吧？ x 等于十五度，那对应的角 a、 角 b、 角 c， 你 可以自己代入一下， 三乘十五不等于九十，四乘十五也不等于九十五乘十五，更不等于九十了。所以说这里没有一个角是九十度，那他自然就不是直角三角形了。 这是我们第二个题型哈，大家一定要注意，就是每道题其实背后他对应的都是一个题型，比如说这道题他考成的就是勾股定律以及直角三角形的一个判定。那对于直角三角形判定这一类的题目呢，我们主要就是看一下 他的边，如果说是看边的话，就看一下边是否满足勾股定律，如果说是去看角的话，就看一下是否有一个角等于九十度哈，他对应的有两种解析思路，这大家需要注意的。 ok， 我 们再往下看，再来看第三个题型，关于 依次函数和不等式结合的题目，那对于这一类题型，它对应的解析思路又是什么呢？其实也非常简单，我们来看题，它说如图，依次函数 y 一， 它是等于 k 一 x 减 b 一 的，然后和这个 y 二，它是等于 k 二 x 减 b 二的嘛，对吧？ 这两个函数的图像交于点 a， 点 a 呢是二逗号六，然后问我们这个不等式的解集是多少？那这个时候大家来看一下，我们怎么去求呢？解不等式，难道我们要直接去求解吗？ 这个时候我们发现这两个函数过这个点，那大家想好我们之前讲过一个思路，就叫做见根回代吗？那现在我们看到函数上有一个点了，那常见的解题思路也就是把这个点回代到回代到函数里面，然后可以得到关于参数的一个关系吗？对吧？那这道题我们需要这样做吗？ 那这样做的话会不会太复杂了呢？大家来思考一下，把这个点回带进去以后，你确实可以得到一个关于 k 一 b 一， 然后 k 二 b 二的一个关系式，然后你再往这个不等式里面去带吗？那这个未免也太复杂了，所以说我们来想一想，有没有什么新的解析思路呢？ 其实是有的，对于函数和不等式结合的题目，这一类题型，咱们对应的解析思路非常简单，就是我们直接进行竖形结合， 大家就记住一个点，这个不等式跟这个函数它们之间一定是有关系的。比如说我们现在来看这个不等式，我们来拆一下哈，我们去下括号，那就是 k 一 x 减去 k 二 x 小 于等于 b 一 减 b 二， 那这个时候我们来移项呀，咱们尽可能的把它转换成函数的样子，你看 k 一 x 和 b 一， k 二 x 和 b 二，它都是函数的一个呃，一小部分呀，所以说我们尽可能的把它 还原成函数的形式，那就是 k 一 x 减 b 一 小于等于 k 二 x 减 b 二了吗？是不是就还原成函数的形式了呢？对不对？这就是解析思路。然后我们现在这个时候再来看， k 一 x 减 b 一 对应的是 y 一 呀， k 二 x 减 b 二对应的是 y 二呀，所以说 y 一 就小于等于 y 二。那这个时候我们利用数形结合，咱们直接看图，在图上你看一下，什么时候 y 一 一定小于 y 二呢？也就是 y 一 在下方呀，那很明显是在这一段嘛， 那这个时候它俩的焦点 x 是 等于二的，所以说对应的 x 应该小于等于二呀，对吧？所以答案选什么？大家可以在弹幕里打一下， 第三题的答案就很明显了，那就是我们的二 b 选项了呗，对不对？这是我们讲的第三个题型哈，这个题型对应的解析思路是竖形结合，一定要注意，不同的题型都是有解析思路的，咱们学数学，说白了就是学题型以及学它对应的解析思路哈。 ok， 再往下看，再来看这个题，这个题型呢，他研究的是特殊的平行四边形，我们来读题，看一下他具体考的是什么，他说如图，三个边长为四厘米的正方形，按如图所示的方式重叠在一起，点 o 是 其中一个正方形的一个中心 点， o 是 中心，那什么叫中心呢？我们来给大家讲一下哈。对于中心来讲的话，它其实就是我们对角线的一个焦点，首先大家要知道中心是什么嘛，对吧？不然你题目都读不清楚，也就是对角线的焦点就是我们这里的 o 点。 知道这个条件以后呢，他问我们重叠部分，也就是阴影部分的面积是多少？那这个时候大家来看一下这个阴影部分呢，分成两块，左边这一块的话很简单，你看就是这个，你看就是这个正方形的四分之一吗？大家来看 这个小三角形，是不是正好就是这个正方形的四分之一了呢？对吧？一个对角线，你看给他分成了这是二分之一，这是二分之一。 然后呢又来一条对角线，然后分成的这四个小部分都是完全一样的，都是完全全等的嘛。所以说我们可以求出左边这一小块它的面积，它的面积呢就是四分之一正方形的面积吗？也就是四分之一 乘以十六呀，正方形的面积是十六，所以四分之一乘十六就等于四。那我们现在求出左边这一坨它的面积是四，那关键就是求一下右边这一坨了呀，但是你会发现右边这一坨是不规则的，那这个时候怎么办呢？大家来思考一下。 所以说这道题他核心讲的是什么？他核心讲的是如何去求阴影部分的面积，那大家比如说你碰到这个题型了，求阴影部分的面积，那你脑子里能想到什么解析思路呢？大家来想一下，其实最常见的 就是我们的加减法，加减法或者说呢割补法，就是给他割一割，补一补， 以及还有我们常见的平移法，就是把它面积进行一下平移切割，然后进行平移。那在这个图里面我们来看一下， 既然我们知道 o 是 一个中点，那对于中点咱们常见的解析思路是啥呢？就是我可以把它对角线连接起来呀，我看一下这个 o 点嘛，对不对？你看你这样连接一下，它正好是过 o 点的，然后你把它正好连完以后，你会发现， 哎，你看这个阴影部分的面积是不是分成两小块了呢？对不对？并且你发现上面这一小块是不是跟下面这一小块 我画成绿色吧，你看跟下面这一小块长得比较像呢？我是不是可以平移到这里呢？大家来思考一下，这个就是平移法，就是把它的面积进行一下进行平移，然后拼成一个规则的图形，那这个时候大家来看一下它能不能直接移过去呢？那我就是要证明一下 这两个，你看这两个绿色的小三角形，他们是否是全等的三角形，其实按照咱们常识的话，他肯定是全等的吗？但是现在的话，为了呃，为了规范一点，我们还是来验证一下，那要证明他是全等的话，我们来找一下条件哈，首先我们可以知道什么呢？首先我们可以知道我们先把这里连接起来哈， 首先我们可以知道他对应的是不是对角线应该是相等的呢？也就是你看有一组 对应的这两条，两条边应该是相等的吗？因为对角线是互相平分的，所以说这两个长度应该是一样的，然后除此之外，这个角是四十五度，对不对？下面这个角也是四十五度呀，因为它是正方形对角线切出来的角嘛，所以说一定是四十五度。现在找了一个边了，找了一个角了，然后再来找一下， 能不能找到边的条件呢？边的条件的话，你看不管是这个边还是这个边，你会发现都不太好去找角了。然后角的话， 这个我们来看哈，你看这个大一点的角的话，好像也不太好找，因为右边这个角也不是什么特殊的角呀，所以说这里也不太好找，那我们只能从这里入手了。这两个小角是不是相等的呢？你会发现这里非常好用的一个条件就是这里有两个直角， 这里是一个常见的模型，叫做等角共顶点模型，所以说你会发现哈，咱们数学，其实说白了，你坐到后面，你会发现就是一个又一个的题型呀，对不对？ 那等角共顶点模型它指的是什么呢？我们来给大家讲一下哈，它对应的就是大角，可以推小角，比如说你看这个角和这个角，这两个绿色的角是相等的，就是这个 a o b 和这个 c o d， 我 们举个例子哈，角 a o b 等于角 c o d， 这个是不是叫做相等的角呢？对吧？然后它们共顶点有一个相同的 o 点，这个就叫做等角共顶点模型。对于等角共顶点模型的话，我们是可以推出小角相等的。什么叫小角呢？就是刨除它们公共部分， 你看 aob 和 codd 的 公共部分，是不是这一段呢？对吧？那么刨除公共部分以后，剩下的这两个小角也是相等的，这个很好理解嘛。你看角 aoc 加上这个公共部分，比如说是 x， 它就等于这个角 bodd 加上这个公共部分 x， 它俩是相等的，对不对？给大家来写一下，角 aoc 加上 x 就等于角 b o d， 再加上 x， 我 们设这个角的度数是 x， 那 你看这个一消不就得到角 a o c 就 就等于角 b o d 了吗？对吧？所以说这个叫做大角，可以推小角， 是这个模型对应的常考的一个解析思路。所以说你会发现，只要你懂题型，只要你懂这些模型，那么数学题做起来是非常简单的。比如说现在我们再来看这个图，你会发现它是不是一个顶角共顶点模型呢？大家可以在弹幕里打一下它现在是不是我们讲的等角共顶点模型，很明显是的呀， 你看这两个，这两个等角，大家看一下自己能不能找到哈。首先你看这个角是不是一个直角呢？对不对？然后再来看这里 正方形的对角线，它形成的角也是直角呀，这里也是直角呀，对不对？所以它是等角，并且这个等角是九十度，那对应的两个小角相等，那我就可以推出这两个小角相等了呗，对不对？你看就是我我想求的这两个小角就相等了， 所以说我们现在根据 a s a， 你 看我们是不是就可以求出两个三角形全等了呢？那它既然全等的话，那我就可以把它平移过去，把上面这一块平移到下面这里，那它就变成了什么呢？ 它平移完以后，就变成了求这个三角形的面积，那这个就很规范了嘛，它正好也是这个正方形的四分之一嘛，所以说对应的它面积也是四呀，然后四加四等于几呢？就等于八，所以答案选什么就是我们的 a 选项了呗，是不是做出来了？ 所以最后给大家总结一下这道题呢。首先我们考了一个题型，就是如何去求阴影部分的面积，那常见的呢，就是加减法、割补法以及平移法，这三个是比较常见的哈，肯定还会有别的方法的。 然后呢，我们又遇到了一个模型，叫做等角共顶点模型，这个非常常考哈，大家需要记住。然后对于这个模型呢，我们常见的就是可以得到由大角相等推出小角相等， 这是我们需要给大家总结的。所以说我们讲完这道题以后，大家可以发现一个点，就是每一道数学题，它背后是不是都是有对应的题型的呢？对不对？比如说上一道题，我们是不是也给大家总结这个题型以及他对应的答题思路了呢？ 所以说数学他的本质就是去学题型，去学模型，以及去学他们对应的答题思路。大家可以想一想哈，你之前有没有有意识的按照这个思路去学习呢？如果没有人去给你总结这些的话， 那你成绩提不起来就非常不奇怪了，包括大家可以想一想，你是不是经常会遇到上课听得懂，但是一道做题就没思路了？ 又或者说这道错题你明明也改了，但是下次呢？换个形式你又就不会做了。有这种情况的同学，你可以在弹幕里打一个真实，其实你遇到的这些问题，他核心本质就是因为你之前没有按照题型，没有按照模型的思路去学数学，你就是完全跟着课本学了，学基础知识，然后就去刷题了， 然后发现很多题目自己老师没有思路，这是不是你的学习思路呢？有没有被老师说中呢？那像这一类的同学的话，虽然说你们现在成绩提不起来，但是只要你能找对方法，你提分是非常快的，你在短时间内提个三四十分就是轻轻松松的。 是，关键在于你能不能找对模型，能不能找对题型，那肯定有很多同学会说了，哎，那我不知道怎么去找模型，我不知道怎么去学题型，怎么办呢？没关系，小曼老师可以手把手教你去学题型，学模型。大家想跟着小曼老师快速学习题分的话，你可以通过这里加我，加 他到老师以后呢，你可以把你的成绩以及年级发给我，老师来帮你一对一的分析一下你现在的学习问题，然后告诉你，你究竟应该如何去学题型，如何去学模型哈。 ok， 那 么我们话不多说，大家就继续往下看了。再来看我们第五个题型，关于相线图，这是我们新增的一个知识点哈， 一般考试的话都会出一个选择或者填空来考察一下镶嵌图的概念，他说某个老师绘制了一次数学小测验，小测验中呢，甲乙丙三个班级学生得分的镶嵌图，你看是长下面这样子的吗？根据该图判断，下列说法正确的是哪个？ a 选项，三个班级中甲班分数的方差最大。 在这道题呢，咱们不知道具体的数据，所以说很明显不能直接去求方差了。那对于相线图，我们如何去判断方差呢？这个时候不能求方差了，这个时候应该是判断方差， 那这个时候怎么去判断呢？给大家总结一个小方法，如果是相线图，如果没有具体的数据，然后要判断方差的话，那么你可以看两个维度，第一个维度就是你可以去看极差，什么叫极差呢？就是用最大值减去最小值，这个叫做极差，这是一个维度。然后第二个维度呢， 就是我们去看四分位距，这个也很重要，咱们一般看这两个点就行了。如果说我们想判断一个某一项是不是方差最大，那你就看一下它的极差是不是最大，四分位距是不是最大，一般可以同时满足这两个哈， 那这个时候我们就可以判断它的方差了。比如说在这个题目里面，谁的方差最大呢？那大家来看一下，我们发现一个点，就是乙的四分位距是最大的， 那这个时候那乙和丙谁的方差更大一点呢？如果说纯从这个图来判断的话，其实我们没有办法直接去求出来，但是我们可以判断谁方差最小呀？ 你可以发现甲他是不是极差是最小的呢？对不对？甲，我们可以满足他的极差是最小的，然后我们还可以满足啥呢？我们还可以满足他的四分位距也是最小的，大家能理解吗？所以说 在三个班级中，假的方差应该是最小的。 a 选项很明显是错误的，像这种选择题的话，我们没有办法具体的求出来他们各自的方差是多少，所以说我们要学会如何去判断方差。那关于这两个维度的话，大家记住就可以了哈， 一般选择题的话，他不会出的特别复杂，你通过这两个维度是可以直接判断出方差的哈。 ok， 再往下看，再来看我们的 b 选项，他说三个班级中，一班学生得分两级分化最不明显， 乙班的话最高分他是最多的，最低分他也是差不多最低的嘛，那他很明显两级分化呀，对不对？他的级差是最大的，所以他两级分化应该是最明显的，这个也不对。再看我们的 c 选项，他说丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数，直接来看呗， 丙班的中位数在这里，甲班的中位数在这里，很明显丙班的中位数要高一点呀，所以 c 选项是正确的。最后再来看 ste， 他 说如果每个班有四十二个学生，那么这三个班级中，每班第十一名的成绩相比较甲班的分数最高。那 这个时候我们就来想一个点，这个第十一名，为什么他单独说第十一名呢？那第十一名我们在这个图里怎么看呢？他肯定不是随便拎出一个位置就去进行考察的，对不对？那大家可以猜一下。那这个第十一名他是不是什么特殊的位置呢？大家可以在弹幕里互动一下， 其实他一定是一个特殊的位置，不然他随便拎一个，我怎么知道他的那个成绩是怎么样的呢？对不对？然后咱们在这一块的话就讲过四分为数嘛，所以说咱们肯定是往四分为数上面去进行思考，那咱们就先来计算一下呗，四十二个学生除个二的话，你看 对应的左边是二十一，右边是二十一，就分成左右两组数据吗？对吧？因为我们求四分为数的话，首先肯定是求中位数，那求四十二的中位数的话，那他对应的，呃，那我们肯定是要除个二吗？除个二的话得到的正好是二十一，二十一左右两边，你看二十一和二十一吗？然后他的中位数对应的应该是二十一和 二十二这两个数据，你看他俩求个平均数吗？对吧？反正他不影响我们把左右两边分成两组数据吗？然后在左右两边这两组数据里面，我们再分别求一个中位数，他们对应的分别就是我们的第一次分位数和第三次分位数吗？对吧？那我们先来看一下 q 一， q 一 的话就是求二十一个数据里面的中位数， 那他现在二十一是一个基数，那他的中位数的话，直接就是二十一加一再除个二了吗？那对应的就是十一，哎，我们发现正好就是十一啊， 第十一位是我们的第一次分位数，对吧？那他现在说的是班级中的第十一名，这里其实有一个非常大的一个易错点，就大家来思考一下，每个班里的第十一名，他对应的应该是 q 一 还是 q 三呢？大家可以在弹幕里打一下， 你觉得是 q 一 你就打一，你觉得是 q 三你就打三。大家来思考一下，这里是一个非常容易出错的点，有些同学可能会觉得，哎，每班的第十一名， 那对应的肯定就是 q 一 了呀， q 一 不正好就是第十一位吗？对吧？然后他就去看什么呢？他去看 q 一， q 一 的话，对应的是下面这一坨嘛，对吧？大家来看一下，那很明显甲班的分数是最高的，然后他就觉得 a 选项是正确的，然后他就觉得，哎，为什么 c 和 d 都正确呢？ 这是一个很大的误区哈，我们这里来给大家讲，大家需要去结合实际情况去思考问题，成绩是从高按低排序的呀，对不对？ 但是咱们这个数据它是从低到高去排序的，包括咱们的 q 一 到 q 三，咱们这边说的也是，这个是最小的，这个是最大的嘛，对不对？我们是把数据从小到大排序的，相线图是把数据从小到大排序的，但是成绩是从高到低，这是一个非常大的误区哈， 所以说每个班的第十一名，应该是从这边数往前数十一个嘛，对不对？所以它对应的应该是 q 三呀，对不对？你看 q 一 正好是十一， 那 q 三的话，对应的应该是从后往前数倒数第十一嘛，对吧？所以对应的应该是 q 三，所以说我们应该看的是这边，那这边的话谁的成绩最高呢？很明显是丙班对应的成绩最高嘛，所以四 d 应该是错误的哈，这里是一个很大的易错点，大家可以去记一下，考试的话非常有概率去考哈。 ok， 那 么继续往下看，再来看我们第六个题型，关于动点问题和函数图像。动点和函数图像问题的解决的话，其实说白了就是结合图像去得出一些条件嘛，比如说来看这道题，这道题其实相对来讲比较简单，他说如图，在正方形 a、 b、 c、 d 中，点 p 以每秒三厘米的速度，每秒三厘米哈， 以这个速度从点 a 出发，沿 a、 b、 b、 c 的 路径到点 c 停止，也就是它是沿这个方向走的嘛，对吧？然后过点 p 做了一个 p q 平行于 b、 d， 这里就是它不断地去做这个平行线嘛，对不对？ p q 和边 a、 d 或者边 c、 d 交于点 q， p、 q 的 长度 y 和点 p 的 运动时间 x 的 函数图像如图二所示。那大家来读一下这个图像，看一下你能不能理解。 随着 p 点不断往右走，大家来看一下那 p、 q 的 长度很明显是在不断变大的呀，然后最大就变成 b、 d 了呗，对不对？这个时候对应的就是它的最大嘛，六倍的根号二，对吧？ 然后它后面是不断减小的，那对应的就是 p 点运动到 bc 段了，那对应的 p、 q 的 长度也是在不断减小的嘛，对不对？所以说这个路径我们很快就能给它梳理清楚，然后他说当点 p 运动三秒的时候， p、 q 的 长度是多少， 那根据对称性，其实它就等于我们要求的就是当 p 运动一秒的时候， p、 q 的 长度是多少。当然，如果说你非要按照三秒去计算的话，完全没有问题呀， 你看你就算一下，呃， ab 段用了几秒，然后三秒的话到哪里？然后求一下这个长度完全没有问题。但是我们这道题有简变一点的算法，就是我们可以利用对称性，你看 p、 q， 它在 ab 段和在 bc 段，它对应的是不是完全对称的呀？所以说这里你看哈， 它从 a 到 b 点用了两秒，那从 b 点到 c 点很明显用了四秒呀，对不对？这个点就是四呀，对不对？它是完全对称的，包括这个图像，你看左右两边是不是完全基于这个 x 等于二这条线对称呢？ 所以说你求 x 等于三的时候，对应的这个函数值，求的就是 x 等于一的时候对应的这个函数值。那这个要求的话也很简单，零到一，一到二，很明显这个又是一个， 你看又是一个中位线吗？对不对？正好是在他终点的位置，所以说那直接就是六倍根号二，再除个二了呀，就是三倍的根号二吗？所以答案直接就是二 b 选项。这道题的话，你如果非要硬求的话，也能硬求。但是这道题是有简易算法的，我们把这道题放到这里，就是告诉大家， 你可以结合图像想一想，有没有什么简易一点的算法哈，这个就叫做数形结合。 ok， 再往下看，再来看第七个题型，关于一次函数和几何综合。 他说如图，在平面直角坐标系中，点 a， 在 外轴上点 b， 在 x 轴上以 a、 b 为边做了一个正方形 a、 b、 c， d 点 c 的 坐标呢？是负七逗号三， 这个坐标它在依次函数上，那这个时候它这里有一个未知的参数 k 嘛，所以说我们肯定要代入呀，那就是负七 k 加六就等于三，所以负七 k 呢，就等于个负三，所以 k 就 等于七分之三呀，对不对？那这里给大家写一下，七分之三 x 加六， 继续往下读题，他说依次函数和 x 轴交于点 e 与 y 轴交于点 f， 这个是 f， 这个是 e 嘛，对吧？将正方形 a、 b、 c、 d 沿 x 轴向右平移 a 个单位长度后，点 d 刚好落在直线 ef 上， 那就是你看过点地不断地往右走嘛，然后正好你看正好落在这个直线 e、 f 上了，也就是落在这个因此函数上了嘛，对不对？然后问你向右平移了多少？那说白了就是求一下地点到这个点，就是它向右做一条水平线到这个点它对应的，你看这段的长度是多少嘛，对吧？那这个时候我们来看一下哈， 那现在怎么去求呢？利用已知条件推一推，我们现在就知道 a、 b、 c、 d 啊，是一个正方形，对不对？这里是一个直角，那大家看到这个图以后，你能想到什么模型呢？能想到我们数学里面讲的几何模型的同学可以在弹幕里打一下， 其实很明显你会发现它这里 a、 o、 b， 这里也是一个直角呀，这里是不是也是一个直角呢？一个直角，两个直角，那你能想到什么呢？是不是我们可以想到 一线三垂直呢？对吧？一线三垂直模型。所以说大家数学题有没有思路，就在于你有没有提前去学不同题型不同模型对应的解析思路哈，所以说我们现在就立马把辅助线做出来了，就是过点 c 向下做垂线呀，对不对？ 那做完垂线以后，因为 c 点的坐标是负三，逗号七，那对应的这段长度就是三了呗，那这段长度就是七了呗，对吧？然后呢， 一线三垂直，他是不是可以得到全等呢？所以说这个三角形，你看哈这个绿色三角形和右边这个绿色三角形，他是完全全等的，那这两个三角形为什么全等呢？我们这里顺便给大家再讲一下哈， 那其实如果你知道这个模型的话，你就不需要再去验证他们全等了，你反正你记住这个结论了呀，他俩一定是全等的嘛。我们这里再额外说一下吧，首先这里是不是有垂直的呢？对不对？然后正方形是不是斜边相等啊？就是利用互余啊， 比如说你看这个角加这个角，呃，角一加角二等于九十度，角二加角三等于九十度，所以角一等于角三嘛，对吧？这个我们都可以快速得到，所以说全等是很容易得到的，于是呢，我们就可以得到 b o 是 等于这一段，它一定也是等于三的嘛，然后它一共是七，所以这段就是四了嘛，那同理 a o 也就是四了呀， 我们是不是就利用一线三垂直求出它们各自的一个长度了呢？对不对？那对应的我们就可以求出它这个正方形的边长应该是五哈，这个大家可以注意一下。然后现在我们主要想求的是地点吗？对不对？地点的话我们肯定想知道它的坐标，对吧？那这个时候咱们来想一下， 地点这块的话，怎么去求呢？你会发现这里，你看如果说我们往右走的话，正好这里也有一个垂直呀，然后这里也有一个垂直呀，这里也有一个垂直呀，是不是又构成了一个一线三垂直模型了呢？对不对？我们这个时候给大家用蓝色来画出来吧，大家你看 这个三角形，还有下面这个三角形，大家来看一下，这两个蓝色又构成了一线三垂直，所以说他同样还是全等的，我们来表示一下各边长度，你看哈， b o 是 三，所以这段就是三，然后 a o 是 四，所以这一段 d f 就是 四了，所以说我们就求出了这个地点的他的一个横坐标是负四， 纵坐标的话，现在能不能求呢？也可以求呀，你看三加四吗？这里三加四不就等于七吗？所以纵坐标是七。那我们现在把地点的坐标求出来了， 那我们再来看一下，它向右平移，平移到这里以后，那对应的纵坐标不变呀，横坐标现在不知道，我们设成 m 纵坐标的话，现在是七呀，对吧？我们把这个点带入到这个一次函数里面，就得到的是七分之三， m 加六等于七，所以七分之三， m 呢就等于一，所以 m 呢就等于三分之七， 那这个 m 就 等于三分之七了。所以答案选什么？大家在弹幕里打一下，这里又是一个易错点哈，大家可以在弹幕里打一下应该选什么？ 其实这道题很多同学会直接选二 b 选项，对吧？但是这就是一个很容易出错的一个点，你要去看他求的是什么？他求的是向右平移了 a 个单位长度，他是从什么呢？他是从这个点平移到这个点，他是从负四变到了三分之七，所以说他平移的距离应该是四加三分之七， 那就是三分之十二加七啊，加七就是三分之十九，所以答案选什么，应该是我们的四 d 选项哈，这是一个容易出错的点，大家可以看一下自己有没有跟上， 所以你看是不是数学题它本质没有那么难呢，对吧？不就是一个又一个的模型吗？这里用了两次一线三垂直模型，对吧？你提前学过模型的话，这种题做出来是非常简单的哈， 大家想提分，你其实就应该去学模型，就应该去学题型哈。 ok， 我 们继续往下看，再来看第八个题型，关于勾股定律的一个应用，他说如图所示的网格是正方形网格，然后问我们角 p a b 加上角 p b a 度数是多少？ 那其实说白了，你把上面这个顶角度数求出来不就行了吗？但是这个顶角的度数的话，我们又发现好像哎，不太好求呀，对不对？ 那这个时候怎么办呢？大家一定要注意哈，网格是正方形，所以说你可以适当的利用一下网格，网格它每一格的长度都是一样的，所以说一定要注意，大家不会求角度的时候，你可以试着延长一下呀，比如说你看我们把 b p 进行延长， 我们发现他对应的这边没有交到格点，所以说这边延长好像不太行，这个就是试哈，然后我们再试着把 ap 延长一下呢， 你看我把 ap 延长一下，我会发现，哎，他好像过这个格点，那他过不过呢？大概率肯定是过的，因为你作图的话肯定是标准的嘛，那如果说考试，如果说大家想标准一点的话，你可以自己再去验证一下，那如果说时间不够的话，其实你可以默认他就是过格点的哈，因为大概率是不会出问题的。 那我们来给大家验证一下哈，这个时候大家可以来看，呃，比如说我们来看最外围这里是不是有一个矩形呢？对吧？它一定是一个矩形呀，然后矩形的对角线是互相平分的，所以说，比如说我把这个对角线连接起来的话，他肯定过的是这个点嘛，因为这个点对应的正好就是互相平分呀，这两段长度 ap 和这个 pm 一定是相等的，为啥呢？ 因为你看你可以再放到直角三角形里面呀，它们对应的长度都是这个是二，这个是一的话，它们对应的长度都是根号五吗？对不对？所以说其实你验证一下，你稍微验证一下，你就会发现它这个对应的都是没有问题的。那这个时候我们来看哈，咱们现在把它延长完以后， 对应的其实我们就转换成求这个角的度数了，因为利用三角形外角的一个性质，这个角加这个角，两个内角，它就等于这个角呀，对不对？所以说角 m p b 就是 我们要求的这两个角的度数和。那我们来计算一下，那这个角的度数好不好求呢？ 这个时候你可以试着再做一下辅助线，比如说你把 m b 连接起来，为啥要连呢？因为我们想尽可能的去利用勾股定律嘛，大家记住哈， 碰到网格问题，他大概率可以考虑勾股定律，因为网格他的长度都是固定不变的嘛，而且这里有这么多直角，那肯定去考虑勾股定律呀，所以说你要根据你学的知识去猜测他要考什么，比如说我们现在就猜测他考勾股定律嘛，所以说我们就尽可能的去构造直角三角形嘛。 比如说现在你把 mb 连接起来，我们看起来这个角就很像直角吗？所以说我们来验证一下，假设每个网格边长为一的话，那么 mb 的 长度的话，就是根号五哈，因为这个是一，这个是二的话，那斜边不就是根号五了吗？ mb 是 根号五，然后这里的话一二三四五，它这段长度就是五了，然后 am 长度的话，这里是二，这里是四， 然后的话我们来，呃，我们来求一下，它就是根号下十六，再加四就是根号下二十了嘛，对不对？ a m 是 根号二十，那我们来验证一下， a m 的 平方是二十， b m 的 平方呢是五，然后二十加五呢？正好就是 ab 的 平方二十五嘛，所以说它满足勾股定律， 所以说我们就可以判定出它是一个直角三角形。所以说这道题我们考察的是啥呢？就是利用勾股定律我们要去判定直角三角形呀，对不对？判定直角三角形得到角 m 是 直角以后，我们再来看哈，我们这个时候呢，我们要求这个角的话，那我可以放到这个直角三角形里面来看呀， 它是直角三角形，然后你再来看一下 pm 和 mb， 你 有没有发现它长的长度很像呢？对应的长度很明显是根号五呀， 因为它可以放到这个直角三角形里面嘛，所以它是根号五，然后 m b 的 话，同理它也是根号五，所以这是一个等腰直角三角形呀，所以这个角是四十五度嘛，所以说我们就求解出来了，答案应该是四十五度，大家看一下自己能不能跟上，这 就是我们这道题对应的整体的一个解析思路哈。核心就在于你能不能想到我要不断的去构造直角三角形，我要去用勾股定律来判定直角三角形， 这是一个常考的一个题型哈！ ok， 那 以上就是咱们这次期末考试的一些核心的必考题型了，但是老师说实话，你光会做这几道题，顶多只能让你考前报佛脚，多拿几分。你想真正的把自己数学成绩提上去，你想再提个三四十分的话， 拼的一定不是你刷了多少道题，而是你底层的一个学习方法。很多同学不知道，我以前数学也是一个不及格的底子，但是为什么我能一路逆袭到多次满分呢？我靠的就是一套极度有效的一个数学提分系统，题海战术救不了低分，但是对的方法绝对可以。 所以说老师我把自己从不及格到满分的所有底层学习方法以及避坑指南全部整理成了一节内部逆袭方法课。 大家想数学快速提分的，你可以通过这里加我，这节课我直接发给你，你花半个小时看完，就能立马改进你低效的学习方法，让你在最短的时间内也能快速提个三四十分。 最后千万别忘了三连加关注，小马老师接下来会继续更新我们初中数学的一些必考题型，以及考前的押题视频，那我们就下期视频再见了，大家拜拜。
9.7万小曼老师的数学课
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03:53查看AI文稿AI文稿双中点求最值问题？不光是初二的期末压轴题，也是中考数学的高频考点，很多同学啊，没思路，没方法，考试只剩懵了，别慌，十字架模型啊，搭配中点的最值问题其实很简单， 今天老师呢，就用简单易懂的方式，带你彻底学透十字架！终点最值问题，考试中如何拿分？好，我们来赶紧看题，家长们给孩子点赞收藏啊！首先，这个题读题的时候就要有所侧重啊，正方形给了边长给了一组线段等给了一个终点，求最值！ 看似元素很多，但主题只有一个，那就是正方形。关于正方形呀，其实很多同学还是懵的，对吧？你不知道正方形在考试中就那么三大考点吗？第一大考点是绊脚模型、全等以及全等背后的很多结论。第二大模型是十字架，第三大模型就是我们的正方形旋转手拉手。 ok， 那 这个题给的是什么呀？熟悉图的同学我给你一描，恍然大悟，那就是十字架。十字架的来源咱不需要多说了吧，题目中给了你一组线段相等， b、 e 等于 c、 f， 对 吧？看似是动点直接一连是不全等， 对吧？你看绿的等于绿的，黄的等于黄的九十等于九十。所以这第一步啊，不管你知不知道十字架，今天赶紧学起来，考试立马就能用！好吧，十字架的话，我们可以得到三角形 a 拨 e 全等于三角形波， c、 f 是 不全等，全等以后，这个角和这个角是相等，已知角二加角三是九十，一和三相等，一加二是不是也是九十？所以这里就是九十。 好，重点就是他要得到啊，我们的 a、 e 是 垂直于 b f 的， 这就是十字架模型的结论。 好吧，这就是十字架模型的结论啊，给相等，他俩是相等，全等正出来可以正垂直，对吧？给垂直也能如图正相等，这就十字架 好。当你垂直正完了以后，你只拿捏了正方形模型的十字架的第一步好，第二步去挖掘这里的这个最值。问题的 q 是 个什么点？钟点？ 关于终点问题，期末考也好，中考也好，有四大考法，那么此时此刻你是九十度加中点，你没有想到点什么吗？对的，就是直角三角形。斜边中线是不是等于斜边的一半呀？ 对不对？ ok， 那 因此我们来连一下，就是说这里是一个直角三角形，因为这个角对顶角过来是，这里是直角，那么斜边中线是不是得到了我们的什么 p q 等于二分之一的斜边，就是我们的 e f 好，所以这个题看似是求哎， p d 的 最小值，实际是求 ef 的 最小值。 好，那问题又来了， ef 什么时候取最小？如果你要详细证明的话，你要用到函数思想，但其实这里很简单，不需要整这么多思想，对吧？他加他求斜边勾股定力，什么时候取最小呢？大家去想啊，一个直角三角形，如果直角边的和它是一定的， 对吧？因为 ec 加上 b e 加上我们的 b e 是 不是永远等于十二？这段是不是等于这段？所以它俩的和是一定的，就是它加它等于十二。请问斜边什么时候取最小？ 当然是直角边取等的时候呀，对不对啊？均值不等式勾股定律，它都能正啊，函数你也能正？二次函数开口向上求最小值好吧，所以说我们这里直接说，当 ec 等于 fc 的 时候， ef 有 最小值。我写一下，当 ec 等于 fc 时， 等于六啊，这个时候的 e f 有 最小值，也就是我们的六倍根号二，而你的这个 p q 等于什么？是不等于二分之一的斜边，对吧？所以说它又等于几呢？答案就是啊，三倍根号二啊！这个题直接拿下， 各位你看这个题的整体思路，正方形模型带出来九十九十加中点斜边中线。最后又考了一个最值问题，各位听懂了吗？赶紧孩子收藏学习起来吧！
8625郭嘉老师数学思维
23:29查看AI文稿AI文稿关于四边形的动点存在性问题，很多同学觉得很难，一直都搞不清楚，那么今天一节课，我把它所有的内容全部交给大家，其实背后的逻辑非常的简单，要掌握五、三和二，也就是五个存在，三个注意和两个方法。 这五个存在就是我们常见的四边形的存在性问题，平行四边形、等腰三角形、直角三角形、菱形和矩形。有同学问，为什么没有正方形，哎， 为什么没有正方形？是因为正方形它在存在性问题中考的很少，这是第一点啊。第二点是，如果你平行四边形、菱形和矩形都搞明白了，你的正方形应该是水到渠成的， 我讲清楚了吧。好，所以以上五大图形才是我们的重点，那最重要的是谁？最重要的就是这个平行四边形，一个是考的最多，第二个呢，它是所有后面的基础。 好，那么关于等腰三角形呢？你如果掌握了，你就能判断菱形了，而直角三角形你掌握了呢，你就能判断矩形了，这是他们之间的关系。好， 这五种是最基本的五种类型。那三大注意是什么意思呢？首先我们要注意的是顶点的特征，刚才讲了啊，这个四边形是几个顶点啊？四个顶点，这四个顶点。 所有的四边形存在性问题中只有两种情况，一个叫两定两动，还有呢，三定 移动，有没有其他的情况？比如说四定，这肯定不可能吧，会不会有只有一个定点，三个动点呢？也不可能，四个动点的情况更加离谱了，所以 大家首先心里要有个数，这种四边形的存在性问题就是这两种类型。好，那么我们要分清楚这四个点中，哪些是定点，哪些是动点， 以此作为基础，再去解决我们的问题。好，这是针对顶点的动静，那还有一个是顶点的顺序，这个我们就顺带提一下，这个题目中有可能会有两种问法，第一种问法呢，就是能够构成平行四边形， a、 b、 c、 d， 哎，这是有顺序的， a、 b、 c、 d 是 有顺序的。那还有种情况呢，是以 a、 b、 c、 d 这四个点构成平行四边形，那就是没有顺序的，这两种情况是不一样的，大家能理解吧？好， 这就是我们的第一项，注意顶点的特征。第二个大家一定要关注的就是动点的轨迹，什么意思啊？动点的轨迹有两种类型，我举个例子啊，在这个坐标系中，这个点呢，是任意的位置都可以是自由点， 绝对自由啊。还有一种情况是什么呢？是有限制条件的，比如说这条直线 l 有 一个点点 p 在 直线 l 上运动，这种点呢叫有限制 条件。那么我们往往关注的是哪一种啊？我们关注的就是第二种有限制条件的点， 而这个自由点，因为它非常自由，所以它有两个未知数在里面，一个是横坐标，一个是纵坐标。而限制条件的这个点呢，就会显得非常的简单一点，为什么呢？假如这个直线的方程是 y 等于 三 x 减二，假如是这样的一个直线方程，那么在直线方程上的点，我们是不是可以表示成 m 和三 m 减二啊？ 你看他的重坐标三 m 减二，是不是用横坐标 m 来表示了，也就是说，如果是列方程的话，这里只有几个未知数啊，只有一个未知数，未知数越少，是不是就越利于我们解决问题啊？ 如果这个 p 点是一个空间中或者是平面直角坐标系中绝对自由的点，那这个 p 点我们就得设为 m 和 n， 那 就有两个未知数了，难度就变大了。所以大家关注的是什么？ 有限制条件的点，那也有可能这个点动点是在抛物线上，是一个道理啊，或者在反比例函数上啊，这个都是一样的。好，这是我们第二个需要关注的 动点的轨迹是否是自由，或者是有限制条件。接着第三个也是大家必须要关注的地方，就是分类讨论的对象。 分类讨论这种思想在动点存在性问题中，我们已经有了，肯定要分类讨论，那分类讨论的对象就显得特别的重要。 我举个例子，关于等腰三角形，假如分类讨论 abc 三个角，那每一个角呢，都当做一次顶角去讨论，就讨论完整了。同样的，如果是个直角三角形， abc 三个角，那每一个角都当做一次直角去讨论，也就讨论完了。平行四边形也是一样的道理，我们后面会给出具体的例题和方法。平行四边形，我们的讨论，如果你用的是解析法的话，往往就是讨论对角线 三种情况啊，同样也是三种情况，我们后面会讲好，因此啊，这三大注意是核心，你不管是什么图形啊，你一定要注意的就是这三点，顶点的特征， 动点的轨迹，以及分类讨论的对象啊，太重要了。那么接着这两种方法呢，就是不管你是哪一种图形，无非就是几何法和解析法，几何法通常就是用图形的关系，比如说平行四边形，两定两动，那给了 a 点和 b 点这两个定点在图 平面直角坐标系中，那它就已经构成了一个线段了吧。要另外两个洞点去满足平行四边形的话，那一种情况就是用几何去讨论平移，你这个 a b 随便平移到哪里去，是不是就可以变成 平行四边形啊？根据平行四边形，对边平行且相等，那你当 a、 b 作为对角线的时候，那么根据对角线平分的性质，找到 a、 b 的 中点，然后 任意的线段，哎，这一段等于这一段，那就能够构成平行四边形，你还可以这样旋转，都是不同的平行四边形的。 好，这就是几何的方法，它和我们的坐标没有关系，简单的讲就是这样的。那解析法是什么意思呢？解析法就是放到一个平面直角坐标系中去了， a 点和 b 点啊，都有固定的坐标， a 点和 b 点是定点，有坐标，然后去求动点的轨迹或坐标呢，这就是用解析法，它往往需要构造 方程。接下来我们就这五种图形的存在性问题的解决方法一个个来讨论，几何法还有解析法都是在其中的，那么最重要的就是这个平行四边形，为什么呢？因为 菱形和矩形都是特殊的平行四边形，一旦你能证明他是平行四边形，或者是讨论出来了之后，再加某一个具体的条件，就能让他成为菱形和矩形，也就说你再加一个限制条件就可以了。好 一个个来讲啊，首先讲最重要的平行四边形的存在性问题，首先从顶点的特征来讲，有两种类型，第一个呢是三定 移动，我们先来讲三定移动，三定移动，我先举个例子啊， abc， 假如这三个点是定点，那么就可以构成一个三角形，我们用几何法 几何法来做的话，构造大三角形，然后我就简单的写了，什么意思呢？用平行来构造过 a 的 顶点去做对边的平行线，那就是得到这样的一条平行线。再过 b 的 顶点去做 a、 c 的 平行线， 那就得到这样的一个平行线，再过 c 这个顶点去做 a、 b 的 平行线。哎，平行线好就得到交点呢，分别叫 p e， p 二和 p 三，这三个 p 点就是我们第三个动点的位置，就能满足平行四边形的关系了。我们解决的原理是什么呢？利用平行四边形的对边平行，你看这条边是不是平行这条边啊？ 这条边是不是平行这条边啊？所以这个蓝色的就是平行四边形。然后剩下两种情况是同样的道理。好，这就是几何法，关于三定一动的情况是不很简单啊。接着 我们再来看关于三定移动的坐标法解析法的对角线互相 平分，对角线互相平分，也就是中点重合好，这样的一种方法其实是用的最多的，最多的，最多的一定是一个重点，那么是什么意思呢？我举个简单的例子啊， 如果还是刚才的 a、 b、 c 这三个点是定点好，还有一个 p 点呢，是不知道在哪里是一个动点，那么他们的坐标都知道了，是 x y 一 x 二， y 二， x 三 y 三，那么我们根据对角线互相平分中点重合的关系各个来讨论， 当 a b 为对角线，当 a c 为对角线和当 a p 为对角线，分这三种情况，然后利用中点重合来得到一个方程就可以了。这个方法我讲清楚了没？我可以举个例子啊，假如现在是 呃，当 a c 为对角线的时候，那个图形画在这里就为了方便啊，就是当 a c 为对角线，那么为了满足平行四边形的话， p 点大概就在这里吧。好，大概就这样了。那么 p 点的坐标呢？我们记住 m 和 n， 这没问题。 那么当 a c 为对角线的时候， b p 是 不是也是对角线啊？那么他们的中点是不是就重合的？那 a c 中点 的坐标是不就是 x 一 加 x 三除以二？而重坐标是 y 一 加 y 三除以二，这是 a c 中点的坐标，就是第一个对角线，第二条对角线就是 b p 吧。 b p 中点是不是就是用 x 二加上 m 除以二和 y 二加上 n 除以二啊？好，利用这两个中点是重合的关系吧， 上下相等，上下相等，就构造出两个方程，两个方程刚好两个未知数吧， m 和 n 就 可以解出来。好，那么这是第一种情况，当 a c 为对角线。同理，你可以讨论当 a b 为对角线和 a p 为对角线的时候，就这三种情况，没有 a a 为对角线了吧，因为 a a 自己和自己怎么能够成对角线呢？ 好，这就是我们的解析法，它是特别重要的，如果你是网课的用户的话，我会把呃更加详细的方法发给你，因为这个方法呢，是在这个函数的这个课程中是有一个详细的解释的，其实这个方法就就这样固定了，当然我们后面呢也会有相应的习题和练习， 你在这个讲义中呢？呃，有一个专门的地方，你也可以扫码去获得相应的链接。好了，解析法， 关于三定一动就是这样的。那么关于平行四边形的存在性问题，除了三定一动还有什么吗？我再来讲啊，继续啊。那当然就是两定两动吧，前面都开始最开始都交代了吗？除了三定一动就是两定两动。两定两动的方法也有几何法和解析法， 这个几何法呢，就不再是构造大的三角形了。两定，你看两个定点 a、 b 好， 要 通过几何法来获得另外两个动点呢？你就是把 a、 d 平移嘛，所以就是平移，这是一种方法，你 a、 b 平移到任何一个位置，平移到这里来了，那么 a 次 b 次，那构成的是不是就是一个平行四边形啊？所以平移是一种方法，还有一种呢，叫旋转。 旋转什么意思啊？你把 a、 b 的 中点找到，然后让这个中点成为另外一条线段的中点，这个线段还可以旋转，你怎么转都是平行四边形。那解析法呢， 我就专门要强调一下解析法它的方法还是和上面一样，利用对角线互相平分，而两定两动的解析法如果是平行四边形的话，一定就会有限制条件， 一定有限制条件，也就是说这个动点就不再是自由的动点了，不然的话你的方程的数量是不够的，也就说你方程数量是小于未知数的个数， 所以你当你发现平行四边形的存在性问题中，这些动点呢？它是有限制条件的，不是绝对自由的点，那么很有可能你用解析法两定两动的情况也是可以做的，大家自己去体会一下啊。 好，那么关于平行四边形的存在性问题，我就讲到这里了，这是最重要的，最重要的，你可以在讲义的呃相关的地方去扫码获取相应的 证明过程啊。其实这个证明过程对角线互相平分，我已经讲了啊，那么还有你，你要更加完整的，更加详细的版本，你也可以去获取啊，没有问题， 平行四边形讲完，接着我们就来讲后面这四种图形。后面这四种图形呢，相对来讲其实 并不难，他只是稍微复杂一点而已。平行四边形是最简单的，而你平行四边形如果都讨论出来了，你再加一个条件，是不是就能得到菱形啊？比如说菱边相等，或者是对角线垂直。 如果平行四边形你讨论出来了，你再加一个条件，比如说对角线相等，或者是有一个角是直角，那矩形是不也就判定出来了，这是其中的一种判定方法。 还有一种关于菱形和矩形的判定方法呢，就是你要判定它是菱形，实际上你只需要寻找或者是判定等腰三角形就可以了。两个等腰三角形是不就能构成一个菱形啊？ 同理，你要判定矩形的话，你只需要去寻找直角三角形，为什么呢？因为你找到了一个直角三角形，那另外一个点当然就是在这里，这两个直角三角形构成的就是矩形了。好，这个呢是他们 四个图形之间的关系，其实是有一个逻辑内在的关系在里面的。那么具体的方法呢，我也简单的来说一下。再说这个方法之前，我们一定要注意一个数字叫三 加一，什么意思呢？这种类型的问题啊，尤其是啊，菱形和矩形呢，它往往是有一个一叫 绝对自由哎，通常是有一个绝对自由的一个动点，同时这三个点里面呢，又分成了二加一，往往是两个定点加一个有限制条件的动点， 也就是说这个动点呢，是有轨迹的，它可能是一条直线或者在一条抛物线上运动。这种类型你要去判断菱形和矩形是最常见的啊，我把这个题目的框架都描述出来了，那么我们怎么处理呢？首先， 绝对自由的点舍掉，我们只需要讨论这三个点是否能够构成直角三角形，或者是等腰三角形，就能够得到相应的矩形和相应的菱形了。 这个方法思路很直接啊。那么如何去讨论等腰三角形和直角三角形是不是就成了我们的重点了？那有同学问，为什么把第四个点要放弃呢？因为没有意义。一个 矩形为例，他被对角线一分为二，那么这个对角线把两个全等的三角形分出来之后，我们很明显的发现，这个矩形的形状，矩形的 长，矩形的宽，是不是都由一个直角三角形就能决定呢？因为另外一个只是一个全等的匹配而已，所以我们只需要讨论一个直角三角形的形状，就能决定整个矩形的所有形状了 啊，也就是说一个直角三角形的所有形状，包含了整个矩形的所有形状，对不对？而这个绝对自由的点就是这个点。 哎，我们讨论的呢，就是上面三个蓝色点的形状，那最后因为这个红色的右下角这个点，它是绝对自由的，你反正上面这个直角三角形形状出来了，你这个点就一定能够找到相应的位置，根据平行四边形的存在性问题去讨论它就可以了， 是不是用三定嘛？你这个都定下来了，三定，最后这一个洞点，你是不是可以求出来三定一动嘛？讨论平行四边形了，好，我都讲的很清楚了，所以 我再强调一遍，抓住这个三加一，往往一是绝对自由点，就把它扯舍掉了啊，舍掉了，那这个三个点呢？我们两个定点，一个限制条件的动点。 哎，那么把这个限制条件的动点和这两个定点三个点呢，就可以讨论出三种形状的直角三角形，从而构成了所有矩形的形状，那么菱形也是一样的，三种情况的等腰三角形就得到了所有菱形的形状。 好了，接着呢，其实我们问题的核心就是关于等腰三角形和直角三角形该如何讨论它们的存在了。第二个等腰 三角形，等腰三角形不管是解析法还是几何法，它们都是统一的，就是 两圆一线，这就是他们最后的统一。给出两个定点， a 点和 b 点，还有第三个点， c 点是动点， ab 是 定点啊，第三个点， c 点是动点。因为我们讲了这个菱形也好，矩形也好，就是讨论三角形的存在性问题，对不对？而所以三角形呢，往往是二加一嘛， 两个定点加一个动点嘛，对不对？所以 a 点和 b 点现在是定点了， c 点是动点，那怎么去讨论 c 点的位置呢？两圆一线，分别画两个圆， a 点为圆心， ab 为半径，这是第一个圆， 大家想想，在这个红色的圆上的任意位置，你看，这是 r， 这也是 r， 然后这个 c 点在这里的话，是不是就能构成等腰三角形了？哎，也就是说，只要在这个圆上， 就能构成等腰三角形，当然了，你得排除这个共线的情况啊，这个我就不再解释了。好，这是第一个圆，第二个圆，以 b 点作为圆心， ab 作为半径，再画一个圆，在绿色的任意位置，除了这个。呃，共线的这个位置啊，那么都能够干什么？构成等腰三角形吗？假如 c 点在这里，你看这是个半径，这也是个半径啊，是不是构成了等腰三角形啊？好，这是两圆一线呢，就是 ab 的 中垂线，其实就是过这两个交点的，对不对？ 这是中垂线在中垂线上的任意位置，哎，是不是也就是等腰三角形啊？那么这三种情况，两元加一线是三种情况，刚好就对应了等腰三角形的三个顶角，哎，顶角的不同位置。 好了，这就是两元一线啊，这个后面有利题啊，我都会给出利题的，前面的所有方法在后面都会有利题给出来的。那么接着我们再来看直角三角形， 第三种情况，直角三角形，直角三角形呢，就是两线一圆，什么意思呢？同样的还是两个定点啊， a 点和 b 点。有同学不要不要再问我为什么是两个定点了啊？我，我前面都解释了， ab 是 定点，第三个点 c 点要构成直角三角形的话，两线是哪两线呢？以 a 点作为点去做一个垂线，而使 a 点成为垂足。 第二条线呢？以 b 点作为垂足做一条线，其实这两条线是平行的，那么在这两条线上的任意位置，比如说 c 点在这里是不是构成了直角三角形啊？哎，比如 c 点在这里呢，也构成了直角三角形吧。这就是两线一圆，指的是什么呢？就是以 ab 作为直径画一个圆， 就这样画个圆，直径所对的圆周角是不是就是直角啊？好，那刚好呢，两线一圆也是三种情况，对应了直角三角形的直角位于三个不同的角的位置， a， b， c。 好， 我就不再解释了，这就是直角三角形的存在性问题， 如果等腰三角形你判断出来了，你再去判断菱形，你看，假如啊，这里等腰三角形已经存在了，是以 a 点作为顶角的 bc 点，你要去判断菱形的话， 那是不就是你，你，你现在就是三个定点呢？三个定点，第四个点是动点，是屁点，要成为平行四边形不就可以了？第四种情况， 菱形菱形的判断有第一个，你可以根据等幺 三角形去判断。还有呢，你可以先判断平行四边形，然后自己加一组限制条件，再去得到菱形，这个方法就是灵活的啦。好，第五个矩形， 矩形，你会判断的矩形是不是也是一样的呢？就第一个是 r t 三角形，我就省掉了。第二个呢，就平行四边形得到，你最后加一组条件，得到矩形就可以了，那么正方形呢？你前面的这五个都会了，正方形就不言而喻了。好，这就是我们所有的 平行四边形，特殊的平行四边形的判定。那么在这里呢，我再强调一下他们的特征，两种情况，两定两动，或者是三定一动。而 等腰三角形和直角三角形，我们的判定呢，往往是两定一动，我讲清楚了没？等腰三角形和直角三角形的情况是两定一动的，而这个动往往是有限制条件的， 他不会是一个绝对自由的点，当然有可能是绝对自由的点啊，绝对自由的点的那个情况就会特别多，有七八种，八九种，有无数种情况，那么通常就会有限制条件，比如说在某一条直线上，在某一个抛物线上的一个动点，那么然后列方程就可以了。我们这个方法呢，就是 等腰三角形两元一线，我讲清楚了啊。好，那关于菱形和矩形呢，我们的情况有可能是两定 两洞，那这两洞里面呢，一定有一个自由的点，我们就不管它，还有一个是限制条件的动点，有限制条件的动点和这两个定点就构成了前面我们讲的等腰三角形和直角三角形的判定问题了，然后最后利用这个平行四边形三定一动的存在性问题， 去获得这个最后第四个自由点的位置，这是所有的方法。好了，在最后的最后啊，这个我们方法基本上都知道了，最后的最后，我还要去回顾一个内容，就是关于依次函数的在解析法中，在这个解析法中啊，比如说我们会涉及到 线，你看等腰三角形的两元一线和直角三角形的两线一元，这个线呢，它非常的关键，这个线有一个特殊的条件是垂直的关系，大家发现了没？ 你看两元一线，你看这这个线是 ab 的 中垂线对不对？而两线一元这两个顶点分别都是垂足，是不是？也就是说都会有垂直的关系，那么垂直的关系在依次函数中，如果你用解析法的话，有一个非常方便的一个性质，大家一定要记住， 我在函数揭秘也讲过两个依次函数， y 等于 y 等于吧， k 一 x 加 b 一，第二个一次函数 y 等于 k 二， x 加 b 二，那么所有的一次函数是不是都能写成这种形式啊？那如果是垂直的话， k 一 乘以 k 二等于负一，就一定能够得到这两条直线是垂直的，一定要记住，这个结论是能够直接用的。 当然有一种情况是例外的，当这个直线是平行于坐标轴的时候，那么 k 就 不存在，那么通常只要不平行于坐标轴的直线，那么他们的 k 哎，依次向系数，你看 x 前面这个系数，如果相乘等于负一， 他们就是垂直的关系，这两条线反过来也是，如果两条线垂直，那么这两个 k 呢？一定乘积等于负一。我讲清楚了吧，这个在后面我们会用上的啊， 四边形的动点存在性问题，我就全部讲了，我就完完整整的讲了所有的类型，所有的方法，包括背后的逻辑。啊，为什么是这样？怎么来的？大家好好体会一下，后面马上给出具体的练习。
219跟涛哥学数学
16:31查看AI文稿AI文稿动点轨迹式圆弧的话，其实判定思路也比较简单，就两种，要么是定点定长，要么是定边定角。那定点定长啥意思呢？就字面意思，有一个定点来， 有一个定点 o， 有 一个动点，动点屁，但是它呢，在动的过程中始终满足到定点的距离呢，是一个定长。那你能不能盘出来来，这个屁点是咋动的？屁点的轨迹长啥样子？它始终是一个定长的话，哎，比如说定长是个五， 那这一段是五， p 点也能跑，这，那么再进一步，这一段是五， p 点也能够跑，这，所以说我能够推出来什么它的轨迹呢？就是个圆， ok， 以 o 点为圆心，这个定长为半径， 它的轨迹呢，其实就是一个圆。首先第一个呢是定点定长，那这块呢，看着是比较好理解的，那重点呢，你要去怎么能够确定呢？怎么能够确定它就是一个定点定长呢？来瞅一眼啊。举个例子，比如说有这样的一个矩形， abcd， 这个 mb 呢，它是一个二， ok， mb 呢，是一个二，然后 p 点呢，它在 bc 上动， p 点呢，它在 bc 上动。题目说呢，把这个， 把这个圈三角形沿着这个 mb 给它翻过来，来，给它翻过来，翻，得到这个 q 点吧， 来， q 点的轨迹能不能得到？咋找呢？首先翻折，你先处理翻折吧，这二，那这也二，这是直角，那这也是直角， ok， 翻过来了，我要找 q 轨迹的话，我要找与它有关的定量， ok， 与它有关的定量有啥定量？有个二，有定长了，有没有定点 m 点呢？它就是一个定点， 所以说定点定长，我就能够确定 q 轨迹呢，就是圆弧，这是第一个来。再来，那么对于定边定角的话，其实也是如此。来，来一个定线 a、 b， 那 这里呢， 有个点屁，点屁呢，它在动的过程中总是满足 a、 p、 b， 这个角是三十度。来，首先你想一下屁点它的轨迹长啥样子，那如果说它的轨迹，它在一条直线上动的话，来能不能满足这个三十度？ 你说这往往右走的话，这脚肯定小了，往左边走的话，这脚肯定大了，所以说首先他的轨迹一定不在一条直线上。 ok， 那 不在直线上，那他能往那走，那就圆弧呗，咋出来的呢？哎，我们前面讲过什么在一个圆里头同侧线段， 或者说同弧，我们知道同弧呢，他所对的圆周角是相等的，比如说这是三十度的话，那么这个角这个角也是三十度。 ok， 圆里面同圆，里头同弧，所对的圆周角是相等的，那我必然能够得到点 p 呢，就是在它的这个 外接圆， ok， 外接圆在这一段圆弧上动，在这段圆弧上动，那其实这种两种判定思路还是比较直接的。那这里呢，你再理解一下，其实它俩的重点还是找啥？还是找定量， ok， 还是离不开定量。 找轨迹，我就要找与动点有关的定量，自己听啊，找动点轨迹，我要找的是与动点有关的定量。来，我们快速再串一遍。好吧，两种判定思路，动点轨迹走圆弧的话，其实就两种，要么是定点定长，要么是定边定角。定点定长，有一个点定点 哦，比如说屁点呢，它在动的过程中总是满足这是一个定长，那我必然能够推出来屁点呢，就是在以定点为圆心，定长为半径的这个圆上动的， ok， 这不就是圆的一个定义吗？那么再来定边定角的话，哎， a b 呢，是一个定边， p 点在动的过程中总是满足它，这个角是三十度， a p b 是 一个三十度，要满足这个三十度的话， 点 p 就 只能在这段圆弧上动，为啥呢？哎，因为我知道在同一个圆里头，同弧所对的圆周角是相同的， 所以能够推出来点 p 呢，一定是在这一段弧上动。那么除了判定呢，这块还有两个重点要和大家强调一下。那么在圆里面，圆里面求线段最值的话，我们写过程的时候，这块一定是要证明的， ok， 一定是要证明的，所以说简单来大家过一下啊。首先圆上动点最值呢，是分为两类，首先第一个是什么？点到点 q 呢？在圆上动，哎， p 呢，是圆外的一个定点， 让我去求 p q 的 一个最大值和最小值，你想一下最大值和最小值分别是在哪里？就是一箭穿心，也就说我就过这个，这是 q 一， 这是 q 二。 ok， 我 就去连接 o， p 与圆呢，分别交于 q 一 和 q 二， 那我一定能够推出来，其实它的什么最小值呢？就是 p q 一， 最大值呢，就是 p q 二。 这里呢，找的话相对来说比较好找。那进一步其实还是要证明，大题写过程的时候，这里最值一定需要证明， ok， 最值一定需要证明的，咋整呢？来，那其实这里呢用的是啥呢？三边关系， ok， 用的是三边关系。来，这是 r， 这是 r， 这是 r， 这是 p q 啊，用三边关系的话，我一定能够得到 p o 减去 r， 然后小于 加上 r， 在 这个 p o q 这个三角形里面，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以说得到这样的一个式子，而此时呢，你来瞅一眼， p o 减个 r， p o 减个 r， 就是 p q 一， 而 p o 加个 r 呢，就是 p q 二， 这是一个证明。所以说这块两个点，第一个点你要会找， ok， 一 箭穿心，把最大值和最小值能够找着。那么再进一步，在这里大题写过程的时候是需要证明的， 这一段是最小，这一段是最大。而这里的证明呢，其实用的是我们最最直接最最简单的三边关系。 ok， 最直这块你就考虑用三边关系， 用三边关系我就能够挣出来，在三角形 p o q， 用三边关系，那再来啊，那么接着呢，来看一下。第二种是一个点到线 q 点呢，同样的是在圆上动，哎，圆外呢，来一条定线， 让我去求圆上点到这个线的最大值和最小值，那同样我想做垂呗，然后这是 p 一， 那么来它的最大值和最小值还是过圆心做垂，过圆心做垂，这是 p 二， 这是 q 一， 这是 q 二。这里呢，我还是能够推出来 p q 呢，它是大于等于 p 撇 q 一， 小于等于屁撇 q 二。 ok， 这里证明我不再多说了，证明还是用三边关系， ok， 证明还是用三边关系，你下来可以自己推一下。 要强调两个点，第一个点你要会找， ok， 一 箭穿心，能够找着，那么再进一步，大题写过程，这里最值一定要证明的，不然会扣分。最值一定要写证明，那么这块想明白之后，我们还是先盘一下，我们再做题，好吧，先盘一下，那么对于动点走圆弧呢？首先两种判定，你要想明白第一种是啥？ 第一种呢是一个定点定长，定点定长，我们还是画个图啊。首先呢，有个定点 o p 在 动的过程中总是满足与 o 的 距离，是个定长，所以说，哎，它的轨迹呢，就是以 o 为圆心，定长为半径，就在这个圆上动。 那么第二个啥？第二个呢？是定边定角。来，首先来个定边，定边 a b， 那 此时呢， 点屁总是要满足这个六十度，为了满足这个六十度呢，他的轨迹一定是在外界圆的这一段弧上， ok， 这是定边定角。那么再进一步，第三个点要注意什么？第三个点，对于 a 点到点两种，最直点到点，首先来来个圆，这是动点， 这是定点。那他的最值一定是怎么样的？一定是连圆心。 ok， 一定是连圆心，这一段就是最小，这一段就是最大。 ok， 这是点到点。那么进一步还有啥？还有点到线，这是个定线，然后这是一个动点，那此时最值是哪块？ 是过圆心，过圆心，我去做个垂，这一段是最小，然后这一段是最大。 来看一下啊，他给了一个矩形，这六，这八，那这也六，这也八呗。接着呢，他说这两个点是动点， 然后 e、 f 是 四，动的过程中呢，总是满足 e、 f 呢，这个长度是四 m， 又是中点。然后呢，他让我们去求 a c m 面积的最小值，我要求它面积的最小值，那我第一个想法肯定是表示面积，表示面积有没有能标的这八，这六，那这条边是十呗？ ok， 有 一条已知边了，我要去求它面积的最小值，我要干嘛？我是不是肯定要做高？我就过 m 点做个垂， 也就说我要求面积最小值的话，其实要求的是谁？ m h， 求这个高的最小值来求面积的最小值，表示面积，表示完面积之后发现其实最终的求的是这条线的最小值。 好，求线段最值，求线段最值，我看谁啊？我是肯定要从 m 点看起，从 m 点看起过 m 点，做了个垂。 m 点，这有啥信息？找定量的话，哎，确实有定长，二 有定长，二有定长还得需要啥？那有定长我还得有定点才行，你说这 e 点和 f 点是定点吗？它俩动着呢。 ok， 所以 说这块显然不是定点定长，显然不是定点定长，那我就再梳理呗。 来，你再看一下 m 点呢，它是个终点， m 点呢？是 e f 这一段的终点，那我要用上终点的话，关键在于把 中点所在的直线给他。放三角形来，看到啥了？放三角形，首先来放三角形往哪放？那这里也是比较直接的这里，哎，他可以放到这个直角三角形吧。在这个直角三角形里头来 怎么处理直角三角形 m 点呢？是他斜边上的中点，你说我要干个啥？我是不肯定得连个斜中， ok， 肯定要连个斜中，所以说第一步呢？首先，哎，看到啥了？首先呢，直角三角形 df 里头 是什么？斜边定长，我要去连斜中，连完斜中之后，哎，出现了新的变量，有一个定长，有定长，还看到啥了？你会发现呢？这还有个定点，有定点，有定长来 m 的 轨迹，首先以谁为圆心？ m 的 轨迹呢？首先我已经找着定长了，还找着了定点， 它的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径，我去给它画圆。所以说第二步呢，就直接是什么定点定长，确定 m 轨迹，那确定完轨迹之后，问题就变成啥了？ m 呢？在圆上动，哎，我要求圆到 线， ok， 圆到线的最短距离，也就说第三步呢，就变成了圆上点到定线的最短距离， m 点在圆上跑， 哎，我要求圆上点到定线的一个最短距离。直接干啥？直接一箭穿心， ok， 直接一箭穿心，给他把图画出来，画完图之后呢，来瞅一眼啊，那么这里 这是 r 密撇，这就是高的最小值。 ok， 来砸球，直接过圆心做垂线标到这里来。这个高能不能直接说直接 d h， 我 能够算出来这六，这八，这十，这就是四点八，这是四点八，半径是二，所以说这一段就直接是一个二点八， 然后知道高知到底半径，我就能够整出来，算出来答案是十四。这个题你会发现非常清楚的给我拆成了三层，而且就是这三个点叠了一个题。 ok， 那 当然，你把这个逻辑理清楚之后，你就随便换这三层，随便换，你自己出题玩玩。 ok， 盘一下啊。首先第一个点拿到题目之后，我明确了要求 mh 的 最值，我要从 m 点入手。 m 点有啥条件呢？发现 m 点呢是中点，它是 e f 的 中点， e f 呢，是这个直角三角形斜边上的中点。哎，斜边定长我就连了斜中好，连完斜中之后呢，出现了什么？ 出现了一个定长，有定长我得找找有没有定点 d 就是 这个定点，定点定长，我能够把 m 轨迹确定下来， 确定完轨迹之后，问题就变成了圆上动点到定线的一个最短距离，直接过圆心做垂线，结束 就非常清楚地拆为这三层，每一层一个一个做就行。来，再来来，瞅一眼，首先呢，给了 a、 b、 c， 他 说 b， c 是 六， b， c 是 六点， d 是 中点，然后这是六十度，让我去求 a、 d 的 最大值。 首先呢，要求 a、 d 最大值，那我肯定得把 a 点轨迹整出来来。 a 点轨迹用什么判定？找 a 点轨迹我还是得找定量。有啥定量？有一个定角，有定角我得找一找定边呀，哎，正好发现 b、 c 是 定边，那么 定边定角组 cp， 我 就能够得到它的轨迹呢，就是这个圆， ok， 它的轨迹呢，就是这一段圆弧，这一段圆弧。所以说，第一步 明确了，我要去找轨迹。找轨迹咋找呢？找定量有一个定角，有定角得找定边 abc 呢？它所对的角 bc 呢？正好是个定边定角组 cp， 我 就能够确定 a 轨迹。 轨迹出来之后，接着再来，得到轨迹之后，要求 a、 d 的 最大值。啥时候最大？得到轨迹之后， a 点呢？在这一段圆弧上动，哎，点 d 呢，是一个定点。 所以说第二步呢，其实把问题变成了什么？圆上点到定点的一个最大值， ok， 那 咋找过圆心吧？过圆心之前有没有圆形？ 我是不是还得找一下圆心？明确了，找最直，我得过圆心，过圆心没圆心怎么办？我自己找，要看一下有啥条件呗。有六十度，六十度呢，它是一个圆周角，哎，圆周角我必然能够推出来， 这一段弧所对的圆心角是一百二十度，那我只需要在这来个一百二十度的角，那圆心不就找着了？根据已知来啊，根据已知来，已知有一个圆周角找圆心，我要看一下有啥条件。有个圆周角， 圆周角是六十度，那我只能够推出来这一段弧所对的圆心角就是一个一百二十度。哎，在这里来个一百二十度的角，圆心就能够确定一百二十度角，你已经确定了，而且呢，这是一百二， 这两都是半径，所以说在这相当于造了一个以顶角为一百二的等腰， ok， 造了一个顶角为一百二的等腰。所以说我这一步呢，是给他找圆心。看啥看，圆周角， 准确来说是有啥我用啥，有圆周角我就倒倒圆心角，能够把圆心确定下来，那圆心找着了，我接下来要找最值。干啥呀？直接过圆心就完事了。 ok， 直接过圆心就完事了。也就说这一段就是我的一个最大值。 ok， 这一段就是我的一个最大值。直接一箭穿心来，直接标。首先呢，这是中点， b、 o c 是 一个等腰，它是中点，那么三线合一我能够得到，这是六十度， ok， 这是六十度，这是三，那这一段就是根号三呗，他是根号三，斜边就是二倍根三，斜边是二倍根三，半径 o c 呢，是半径二倍根三，所以说二倍根三加根号三。最后答案就是一个三倍根号三。 来，我再强调一遍啊，再强调一遍，园内最直呢。这个逻辑是非常清楚的，就分为这三层， ok， 而且甚至找圆心，其只是其中的一个细节。首先呢，你根据定边定角确定轨迹。咋确定的？ 明确了，我要找轨迹的方向之后，确定轨迹找的是定量 a 点有啥定量？有个六十度有一个定角，我要找找有没有定边，那最直接的就是看定角所对的边是不是定边， ok， 哎，正好是定边定边定角组 c p 直接得轨迹。轨迹确定之后，问题就变成了什么？原上点到一个定点的最值问题，那前面是不是也是一样？首先我第一步把轨迹找着， 找着轨迹之后，问题就变成了原上点到一个定线的最值问题，所以说这个分层是非常明显的，一层一层一定要搞明白，你不能把它混作一团，一层一层去理解，那当然你写过程你 是不是也是一层一层写？一个事情一个事情交代。大家对这个关于什么动点问题最值问题，感觉他在动，我觉得非常复杂，但是你把这个动点问题拆开之后，那大家听了几节 动点走直线，动点走圆弧轨迹的判定，或者说前面我们也讲过非常多线段最直的问题，你会发现听着确实动点感觉是一个不确定的东西，听着好像确实难一点， 但是你把问题拆解出来，你会发现动的话他就只能那样动，那反而定的问题是比较难的。你自己在做题过程中，你看到动的问题，求最值的问题，你觉得动的问题不可控，我不知道他是咋动的，所以心里首先还没开始做，我就开始害怕他了。但是这几个题你拆解下来，你会发现非常套路， 非常固定，动的问题要考的话就只能这么动，但是定的问题他考的可太多了，所以说拆下来之后反而定的问题是相对来说他能考察的难度更大一点，所以说这几个题你听明白了下来要再去重做的，好吧？
55跃动伊一数学
03:04查看AI文稿AI文稿大家好，我是世纪初中八年级七班的郑重。在初中数学几何学习中，单个知识点就像零散拼图， 只有把它们串联起来，灵活运用，才能拼出完整的剪题图形。今天我们来学习一道旋转与全等的综合题，看看如何把知识点巧妙结合，剪出这道题。 在三角形 a、 b、 c 中，角 b 等于角 c 等于。阿尔法，阿尔法大于零度，小于四十五度 a m 垂直， bc 于点 m 等式线段 mc 上的动点不与点 mc 重合， 将线段得 m 绕点，得顺时针旋转二倍的二法，得到线段得 e， 在 线段 b m 上存在点 f 不 与点 b m 重合，满足，得 f 等于得 c。 连接 a， e， e f 求角 a、 e、 f 的 大小。 要解决这道题，我们可以通过做辅助线，利用中位线定力等腰三角形性质和全等三角形判定，逐步推导角度关系。第一步，构造辅助线与中位线关系， 延长 f e 到点 h， 使 e h 等于 f e 连接 a， h， c、 h af。 因为得 f 等于得 c， 所以 在三角形 f、 c、 h 中得 e 为中位线，所以 c、 h 等于二倍的。得 e， 且角 f、 c、 h 等于角 f、 c、 e 等于二倍的二法。第二步，正三角形全等在三角形 a、 b、 c 中，因为角 b 等于角 a、 c、 b 等于二法，所以 ab 等于 ac。 因为 am 垂直于 bc， 所以 m 为 bc 的 中点，由旋转得得 e 等于得 m 等于 c m 减 c 得等于二分之一 bc 减 c 得。 因为 c、 h 等于二倍的，得 e， 所以 c、 h 等于二倍的括号二分之一 bc 减 c 得等于 bc 减二倍的 c 得等于 bf。 因为角 b、 c、 h 等于二倍的二法。角 a、 c、 b 等于二法，所以角 a、 c、 h 等于二法，所以角 a、 c、 h 等于角 b。 在 三角形 a、 b、 f 和三角形 a、 c、 h 中， ab 等于 ac， 角 b 等于角 ac、 h、 bf 等于 c、 h， 所以 这两个三角形全等。 第三步，利用等腰三角形性质求角度，由三角形 a、 b、 f 全等于三角形 a、 c、 h 得出， a、 f 等于 ah， 所以 三角形 a、 f、 h 是 等腰三角形。 又因为 e 是 f、 h 的 中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出 a、 e 垂直于 f、 h， 所以 角 a、 e、 f 等于。九十度 一道综合题，融合多个考点，吃透辅助线思路，活用定力，难题自然迎刃而解。我的分享完毕，谢谢大家！
15糖豆儿
18:11查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们，立体几何不用愁，题型套路全吃透。这个视频依旧是动点问题，有全新的空间中的线段和最值洁面问题，也有上个视频中讲过的轨迹问题。废话不多说，咱们直接开始。 大家好，我是西西，由于一些小失误，今天本喵大卫出镜，对，就是我，希望大家跟我一起打起精神学习啦，同学们，今天呢，我们接着来讲动点问题的这个第二道例题啊， 这几等这两道例题呢，都是我精心挑选的，所以一定要去把每一类选项所对应的这个处理方法，一定要去好好看一看啊，好好去巩固一下。好，然后我们来看一下这道例题，这道例题呢，它还是一个正方体，而且呢，冷场上来就告诉我们啊，对应冷场为二， p 呢，是 b， e、 c 上的一个动点，我们刚才上一道例题，我们第一道例题对应的是面上的动点，那这个呢，是棱上的动点啊，看似呢，其实相对来说啊，应该会简单一点啊，但到底简不简单呢？我们来一起看一下。首先 a 选项让我们算的是，首先先标一下 b， e， c， b， e， c 应该是在这个位置 好， p 在 这上面，然后这个时候 a 选项让我们求的是 pa 加 pa 一 的最小值。好，那这个时候我们给它连起来。 好，那问题来了，这个最小值我们要怎么去做呢？好，那这个时候呢，这种题呢，其实在初中应该是见过的， 我们在初中遇到过将军引马的问题，其实也是我说两个点到直线上一个动点的这个距离之和最小值，对吧，这个是我们将军引马的时候去做的。 好，那我们现在放在这里的话，我们应该怎么去做？将军引马？我们是说要把点对称过去，对吧？其实也就相当于是我板来，相当于是有一张纸，我现在是不是给他摊开？就假如说我一张纸上同时有分别有一个点，然后给它摊开，是不是就变成了 两个面上，或者说线的两侧会有一个点？我们在将军引马其实讲的是对称，对吧？那在这里的话呢，我们就相当于是一个面的问题去转换成一个平面的问题去做， 那这一怎么去翻折呢？那首先你就要去注意了，我在翻折的时候，我一定要是看成是两个平面，对不对？那我怎么确定平面？那你就要想了， p 是 在定直线上， p 虽然是动点，但它是在固定的一个直线上，对不对？那一个直线和 a 一 一个确定的点，直线直线外一点，按照我们例题几何最开始学的，我们知道它可以确定一个平 面，对不对啊？所以这个时候就能想到，哎，我其中一个面应该是什么过 b、 e、 c 且过 a、 e 的 面，那也就是 a、 e、 b、 e、 c、 d 这个面啊，所以这个时候我们把这个面给它去摘出来， 那这个时候这个面要注意啊，它不是正方形，它是一个长方形啊，这个时候这是 a 一 b 一， 这个是 c 啊，这个是 d， 这一段棱长是 a， 呃，是二，然后 b、 e、 c 这个时候应该是我棱长的根号二倍，因为它对角线，对吧？所以这个时候它是根号二。 好，然后接下来再来把这个同时含 b、 e、 c 和 a 的 这个面展出来，那这个时候其实也就相当于什么？就是 b、 e、 a、 c 这个面，因为它并不在我这这个正方体的表面上。 好，那这个面是一个什么三角形也要去注意了。 b、 e、 c 这个时候长度是根号二，而 b、 e、 a 的 长度是不是也是根号二？包括以及 a、 c 的 长度也是根号二，所以这个时候它相当于是一个等边的一个三角形，所以我们可以给它单独的去拎出来。 好，这个时候我们假如说得到这么一个形式，那这个时候就是对应的一个 a。 好， 那接下来让我们去求 b 一 过 b 一 c 上的一个点 p， 使得 pa 加 pa 的 最小。呃，线段和最小值，这个时候是不是就好解了？我直接就能想到啊，那我应该是连接这两个点的时候， 此时 p 位于这个位置，那我对应的应该是线段和最小，那接下来线段和最小我们就可以去解了，这个时候我可以给它去放到一个直角三角形当中，比如说我过 a 啊，这边做一个垂直过来，或者说你在这边补全啊，也是可以的，哪一种方法都行。 好，那这个时候这边我能确定是垂直，因为它是等边和一个这，呃，这个，呃长方形的一个拼接。好，然后呢？这个时候呢，我们能确定这一段是二分之根号，那接下来问题就这一长段应该是多少？那它是不是分成两个部分，一部分是在长方体内的这一段长度，我能确定应该是 二，对吧？好，那这一段的话就需要涉及到我们对应等边三角形的这个中线的一个运算啊，这个时候它能长是根号二啊，所以这个时候这一段呢，我就能解出来，它应该是二分之根号六， 所以接下来我想去算这个 a 一 是不是用勾股定律就可以了，所以此时我就能得到 a 一 呢，就应该等于根号下二分之根号的平方，也就是二分之一加上二加上二分之根号六的平方啊，所以这个时候我们整理一下，对应的也就是 二分之一，再加上四，再加上这边是四分之六，也就是二倍根号六，所以整理一下呢，这边其实也就相当于是 呃，六加二倍根号六，再开根号的一个形式啊，所以 a 选项呢，显然是错的，或者说这道题呢，其实也有偷鸡取巧的一个办法，我去检验一下， 比如说我去找一个临界的情况， p 在 b 一 的时候去算一下看，哎，这个时候我值是比它大，还比它小，如果说 a 正好比它小，那其实我相当于猜也是能猜出来的，对吧？啊， 这是 a 选项啊，然后 b 选项证明啊，判断 a p 与 b d 一 始终保持垂直。好，那这个地方就涉及到一个转换的思想，就我们本身是一个动点，对不对？那我们就要考虑动点，我怎么去转换成一个固定的东西。好，那这里我们来看一下， 首先 a p 我 们先找到啊， p 的 话呢，是在 b e、 c 上，那比如说我们对应的 a p 啊，直线在这个位置，这是 p 好， 然后判断和 b d 一 是否垂直， 好，那这个时候就要想，我们刚说了，动点的东西，我要去给它变成一个固定的东西，我再去看证明对不对？那 p 本身是动点，但是我知道它在定直线上 b、 c 上， 但是和我 a、 p 有 什么关系？那你就想了， p 在 定直线上，那这个时候也就相当于是不是 a 和线上任意一点的连线，那么这条线我就能确定它虽然本身这条线是动直线，但我能确定它是不是一定在定 平面上。固定的一个平面上，那哪个平面呢？ b、 e 这个线段和 a 所构成的平面，所以也就是相当于我能确定的一个点， a、 e、 p 一定会在面 a、 b、 e、 c 上， 那我现在要去判断的是 a、 p 和 b、 d、 e 是 否垂直啊？ a、 a、 p 啊，多写了个 e、 a、 p 和 b、 d、 e 是 否垂直，那其实我只要能判断出来，如果 b、 d、 e 是 垂直 a、 b、 e、 c 的， 那这个时候是不是就能确确定 b、 d、 e 垂直于这个面内所有直线，那自然而然就垂直于 a、 p 了，对不对？好，那接下来 b、 d、 e 是 不是垂直于这个面呢？好， 那我们就要注意了，又是这个非常特别的三角形，我们把 a、 b、 e、 c 连起来，你就会发现这个是我们在上一道例题当中也讲过的特殊三角形，是吗？ 等边三角形，那它一定会和垂直，和谁垂直啊？对角体，对角线，对吧？所以这个时候就能确定啊，此时 b、 d、 e 呢，一定是垂直于 a、 b、 e、 c 的， 所以它一定垂直于它，也就意味着 b、 d、 e 一定会垂直于 a、 p， 因为 a、 p 在 面上，所以 b 选项是正确的，所以这也是涉及到我们一个思维的转换，怎么去把一个固定呃直线或者固定的平面内去做啊？ 好，然后 c 选项， c 选项呢，是以 a 为球心，以根号二为半径的这个球面与平面的交线上 啊，这个东西呢，其实和我们立体一当中的这个已知线面角让我们去算轨迹，其实是很像的一个东西。好，我们来观察一下，以 a 为球心，根号二为半径，那首先要知道根号二大概在什么位置，首先我们对于 这个冷场，我们已知是二对不对？所以和根号有关的，想到什么面的对角线是二倍根号二，所以就相当于他是不是应该给我面对角线的一半啊？所以他可能图画出来呢，比如说和我各个面的这个交线啊，对应的应该是这么一个圆弧。 好，我给他大致来画一下。然后接下来问的是与平面 a、 e、 b、 d 的 交线长。好，那这个时候问题来了， a、 e、 b、 d 本身是一个固定的平面 o， 呃，这个 a 点也就球心是不是也是一个固定的点？ 两个东西固定，也就意味着我一定能算什么？点到面的距离是不是一定能确定？那我现在问的是什么？我能在或者说我能留下的这个轨迹，或者说能取能存在的这个焦点，是不是一定会满足这个点到 a 点的距离？ 横等于半径，同时这个点在平面 a、 b、 d 上，所以它其实和我们是例题一当中的 d 选项找轨迹非常像，我只要去满足它到定点的距离为定值即可。所以说像这里的话呢，我们首先先把 a、 b、 e、 d 啊这个平面呢，我们给它补出来。 然后接下来呢，我们就是来通过计算，通过计算的话呢，首先我们能知道啊，我们把这个可以把这个 a 杠 a、 e、 b、 d 这个三棱锥给它单独拎出来，它相当于是一个 正三棱锥，因为我们知道啊，还是这个特殊三角形 a、 e、 b、 d， 它是一个等边三角形，然后呢，同时我们去满足 a 出发的这三条棱啊，相互垂直， 那这个时候能不能去算 a 到这个面的距离？显然是可以的，对吧？因为这个时候对应的棱长都是已知的，因为这个对应的是棱长，而 a、 b 这些对应的都是我的面对角线，也就是二倍根号二， 这些都已知，那接下来我是不是可以去算高？高的话怎么去算呢？我们就相当于你做一个投影下来就可以了，投影下来呢，一定会在底面的中线呃，这个中心上，或者说我们叫这个呃重，呃， 这个呃，这个时候长图像的外心长啊，好，那这个时候对于底面而言，等边三角形，它其实个心都是重合的，那这个时候我是不是就能算？比如说这个是 o 一 撇 o 一 撇 d， 或者说 o 一 撇 a 一 o 一 撇 b 的 一个长度，对吧？它对应的应该是中线的三分之二，那这个时候中线长对应的应该是根号六啊，所以这个时候能确定 o、 e、 d 呢，对应的就应该等于三分之二倍根号六。好，那这个时候 o 一 撇 a， 我 是不是就能解了？利用勾股定律，所以这个时候我们可以解出啊，这个是 这边是 o、 e 撇 d 啊，那这边 o e 撇 a， 就 应该等于根号下四再减去啊，这个平方，那它的平方这个时候也就相当于是九分之二十四啊，所以也就相当于是减去三分之八， 所以整理一下呢，也就是根号下三分之四。我们先写成这种形式。好，那我们现在要去找的轨迹是什么？是不是应该要满足在这个面内，我要去找到到 a 点的距离等于半径，半径我们刚说是多少？ 是根号二，对不对？所以接下来我要去找的应该是要满足到 a 点距离为根号二的长度。那怎么去算呢？这个时候还是一样勾股定力，只不过说现在变沉了，我高是已知的，但是这一段长度不确定对不对？所以接着用勾股定力，此时我对应的把这一小段表示为小耳， 小耳就应该等于根号下，这个时候要注意了啊，我对应的到 a 点的距离不再是二，而是根号二了，所以是根号下根号的平方也就是二，减去高也就是三分之四，所以整理一下，也就是根号下三分之二， 所以也就是说我现在要去找的轨迹是不是应该要满足到 o 一 撇的距离等于三呃，根号下三分之二的这个长度就是我对应的轨迹。好，那接下来我们就可以把这个底面单独拎出来。 底面这个时候他对应的呢是一个正呃正三角形，也就是等边三角形，然后我们对应的外星，或者说我对应的几个星合并的啊，对应的点在这。 好，然后呢，这个时候是根号三分之二，对不对？好，那我们就要注意了，这个时候他对应的整个，或者说我们给他只写一下吧，写成三分之根号六会更好理解一点。我们前面讲了说这个中中线的长是不是完整的应该是根号六，然后呢，我们说 这个 o 一 撇到啊，假如说这个是 a e b d o 一 撇， a e 对 应的长是不应该是三分之二，也就是三分之二倍的根号六，所以我就能确定这一段其实恰好就是三分之根号六，所以我们就会发现啊，这个时候对应的 以 o 一 撇为圆心，以根号三分之二为半径的这个圆是不是应该正好和我的个边要相切，所以这个时候它对应的轨迹完整的画出来啊，其实就是和其实就相当于是这个正三角形的一个内切圆的一个问题， 就画出来的话，其实大概是应该是这样的，那所以这个时候我对应的就能确定了，交线其实就是一个完整的圆，对不对啊？所以这个时候我们就可以算它对应的周长，此时对应的周长就应该是二 pi 小 二， 所以就是三分之二倍根号六 pi， 所以 c 选项是正确的，所以结合这个例题二，包括前面的还有上一个视频的例题一的 d 选项， 结合这两个选项一定要去搞清楚我们怎么去找这种轨迹，怎么去找这个对应的这个，把它去转换成啊到面内一个定点距离恒为定值的一个圆的轨迹的问题。 好，然后接下来 d 选项已知正方体，这，呃呃，前面条件都是一样的啊。然后接下来是经过 a c 一 的平面截正方体所得的截面面积最小值。好，涉及到截面问题，也是我们这个立体几何非常喜欢去考的一个点。 好，首先我们先把这个 a c 一 去找到啊，对应的其实就是相当于是我们的体对角线，然后经过这个线呢去截正方体所得截面。 首先有几个比较典型的截面，我们是可以直接去找到的，首先我们最典型就是什么？显然是体对角面，对不对？也就相当于是 a， a， e， c， e， c 这个面是我们比较经常遇到，也比较容易想到的。所以首先呢，我一定能确定有一个面呢，是 a， a， e， c， e， c， 那有这个面自然而然其实也能想到 a， d， e， c， e， b 这两个面， 或者说你再换一个切也是可以的。这两个面本质上其实都是什么？都是我正方体的体对角面，只不过说我换了个方向切而已， 就比如说 a， c， e， c， 我是 相当于以这样一个数值切下去，对吧？那如果说我以这个第二个 a， d， e， c， e， b， 也就相当于我是沿这么一条线我这样去切过去的，能理解吧？啊， 那这个时候这两种面啊，包括其实还有一个，这个时候所有的面的面积是不是应该都是一样的？那这个时候面积怎么去算呢？对应的高，这个时候棱长是二，而我对应的长，这个时候相当于是多少？ a， e， c， 一 是面对角线，对吧？二倍根号二，所以这个时候它对应的面积呢？应该是二， 再乘上二倍根号二，所以是四倍根号二，而四倍根号显然是要大于根号三十，所以这个时候还不能去确定 d 选项到底是对是错。好，那还有没有别的情况呢？还有别的情况也是我们非常喜欢去考的，只不过说了另一种情况呢，是喜欢让我们自己去证明， 怎么去找呢？就是我现在这个点呢，我给他去稍微歪一点，比如说你像我们刚才，比如说 a， d， e， c， e， b 的 话，我现在只要把这个 d， e 呢，我给他稍微挪一下，我给他挪到这边来， 那这个时候对应的是不是就应该是这样的一个 c e 啊？假如说这个是 m 吧， c， e， m， 好， 然后接下来呢，这边呢也是一样的，这个时候呢，我给他朝这边来挪一下， 好，然后呢这边连接，这边也连接，按照呃，这个相同的比例来讲啊，就只要我能去满足这两条直线 是相互平行的，就是我对应的 m 和 n 的 话呢，同时满足是 a 一 d 一 和 b c 的 相同的等分点，而且一个靠近 d， 一个靠近 b， 那 这个时候我就一定能确定啊，这个时候你对应的所有的这个线断长其实都是能 去解出来的，那这个时候它是不是就相当于可以看成是一个什么平行四边形，对不对？那接下来平四边形我是不是也照样呢？可以去算，然后在这种情况下，它会有一个临界情况。什么临界情况呢？ m n 对 应的是终点的时候， m， m， n 为中点的时候，它有一个什么特点？你会发现 a， m， c， e， m 以及 c， e， n 和 a， n 它对应的长度通通相等。因为我刚说的是中点，所以这个时候你就会发现啊，这个时候 a， m， c， e， n， 这时候它就变成一个什么图形，它变成了一个菱形， 那我们说菱形怎么算？面积二分之一的对角线相乘对不对？好，那这个时候对角线好不好算？ 肯定是好算的，对吧？一个是体对角线，还有一个 m n 是 什么？ m n 其实就相当于是平移之后的面对角线， 所以这个时候它对应的面积 s 就 应该等于二分之一，体对角线是二倍根号三，面对角线是二倍根号二，所以整理一下呢，就应该是二倍的根号六，显然它应该等于根号二十四，小于 根号三十，所以这个时候我们就能确定 d 选项是错的。所以对于这种过体对角线的这个结面啊，要非常熟悉，我们常见的可能比如说直接是这种类似像过中心的这个轴结面，还有的话就涉及到像这种 a 会稍微平移一下，把这个点稍微错开一点的时候， 它对应的平行四边形的这个结面，当然临界情况菱形的一个结面啊，这个也要去注意我们对应的怎么去判断，怎么去进行计算。
669张张讲数学
17:22查看AI文稿AI文稿哈喽同学们，立体几何不用愁，题型套路全吃透，立体几何最后一块硬骨头，动点问题来拉，作为综合性拉满的题型，这些解题方法你都会了吗？动点找轨迹，动点变定直线，动直线变地面，动点结面， 听起来是不是有点晕乎？跟着我做完做懂这两题，保证你轻松拿捏。接下来正片开始， 哈喽同学们大家好，这个视频呢，我们还是接着来讲例题几何，那也是我们例题几何这一块，其实是我们最后一个专题了，也就是我们来讲涉及到在例题几何当中的一个动点问题，就比如说往往题目考的时候呢，他可能会告诉我们某一个点 它不是一个固定的点，它比如说在某一条棱上，或者说在某一个面内，对吧？这是我们说讲讲动点问题，那我们接下来呢，就结合两道例题，我们来学习一下我们的动点问题怎么去分析，怎么去处理 好。那首先我们直接来看例题，来看一下第一道例题，老师，这也为了方便呢，我把选项给它去拆开了哈。 好，首先我们再来看第一题，在正方体当中， p 是 侧面 b， b 一 c 一 c 内的一个动点，一定要去注意不含边界，这个条件非常重要啊，有的题是含边界，有的题是不含边界的，它可能会涉及到一些临界点的取值，我是否能取得到的问题啊？ 好，然后问下列结论正确的是，那我们首先来看 a 选项，三棱锥 a 杠 p， d， d 一 的体积，那我们首先还是一样先来画个图，对吧？我们画个图啊，才能方方便帮助我们去分析。好，这就简单的画一下， 就是我们在画的时候啊，画正方体，你可以画的不用那么标准，因为有的时候你画太标准，反而会导致你的有一些这个线可能会重合啊，所以你可以画画的稍微歪七扭八一点，没关系的， 因为反，我们只要能自己看懂啊，它是一个正方体就可以了。好，比如说以这个为例，然后呢，我们标一下点， a， b， c， d a 一 b 一 c 一 第一。好，然后 a 选项让我们判断是 a 杠 p d 第一，那我可以先把这个三等锥先给它找出来，对吧？啊，这个为了方便我们先把它复制一下啊，方便我们等会去做好。 然后这个时候呢，我们先来找顶点是 a， 底面呢是 p d 第一，这个三角形 p 在 侧面上，具体在哪不确定，我可以先随便找。比如说这个是 p 点，那我就可以去连接 p d 第一，那就相当于这个是什么？这个是底面，对吧？然后再连接顶点 和它们的一个连线。好，那回忆一下，我们说对于三轮锥的体积，我们说是有运算公式的，三轮锥的体积 v 等于 三分之一，底面积再乘上高，对不对？好，那这个时候你就会发现啊，如果说我们按照题目所给的以 a 为顶点，首先由于 p 在 运动，所以 p d， d， e 这个三角形的面积是不是首先肯定会发生运动 啊？会啊，不是运动啊，会发生改变，对吧？那同时由于你的屁在动，这个平面在发生改变，所以固定点到一个动平面的底，呃，距离是不是也会发生改变？所以这个时候你就会发现啊，我的底面积包括我的高同时都在变，那我显然不好判断对不对？所以这里呢，我们就肯定是希望 结合这个三轮锥，我能不能去换成一个，其中至少面积或者高有一个是固定量的形式，对不对？所以这里呢，就涉及到我们 等体积法里面常用的一个方法叫轮换顶点。像这里的话呢，我以 a 为顶点，不好判断，那么就可以换一下，对吧？比如说我以 a、 d、 d、 e 为底面，这个时候是不是能保证这个底面是固定的？所以这个时候我们把这个三轮锥的体积去看成是 p 杠 a、 d、 d 一 的一个体积，那这个时候它的体积我们就可以列公式，应该是三分之一底面积，也就三角形 a、 d、 d 一 的面积，再乘上 p 到这个面的距离。好，这个时候我们就会发现，首先 a 杠， 呃，这个 a、 d、 d、 e 这个面积是不是首先固定三个点都确定，而 p， 首先我是不是能满足一定？在这个侧面上还要注意了，我蓝色笔画的这两平面之间是有关系的，它正好是正方体相对的两个面，那我们知道这两个面应该是相互 平行的，对吧？所以相互平行，我就能确定 p 是 不是已在一个平行与 a、 d、 d、 e 的 这个面上。好，那我们说面面平行，则面上的任意一点到另一平面的距离应该处处相等啊，所以这个时候我其实 d、 p 它也是一个定值，它不会发生改变， 所以面积定值，距离也定值，所以整体的体积啊，也是一个定值，所以 a 选项呢，就对应的是正确的啊，没问题。好，然后接下来我们再来看 b 选项，说存在一个点 p 时的 a 一 p 垂直平面， a b 一 第一，好，这把这个图重新拎出来。 好，那这个时候我们还是一样先找面，垂直的是 a、 b 一 第一这个面啊，那我们先把这个面画出来。 好，画出来之后你就要记住啊，这个面是我们说正方体当中非常重要的一个面，为什么说它非常重要？这个面很特别，它是一个等边三角形，对吧？而且我们说对于这个面它有一个性质， 它有一条这个垂直的线，是正方体的体对角线，这个非常重要啊，这个点也就相当于我只要去连接 a、 e、 c， 我能确定 a、 e、 c 一定垂直于这个面。那如果要正怎么去正呢？很好，正，我可以首先去正 a、 e、 c 垂直于 b、 d 一， 这个应该没问题吧，因为我可以借助什么呢？ b、 e、 d 一 是不是要垂直于侧面？ a、 c、 b、 d 一 垂直面，这快速代过一下啊？ a、 c、 c 一 a 一， 所以 b、 d 一 d 一， 是不是垂直于面对所有直线自然也就垂直于 a、 e、 c 好，然后接下来还有一个垂直，怎么去找呢？这个时候呢，你可以选择是去做平移，比如说 a、 b 一 a、 b 一， 我可以给它平移到这个位置， 平移到这个都是中点的一个连线，那这个时候你去连接啊，这里对应的所有的点，你就会发现啊，它对应的会构成一个什么呢？它会构成一个菱形，菱形的对角线一定是互相垂直的，所以这个时候你也可以去这，或者说你也可以怎么做呢？你也可以是取这个轴节点， 取这个 a c c e a e 这个面，那这个时候是不能确定连接这条线这个是 o， 这个时候 a o 是 不是一定会在这个面上？同时 a e c 是 不是也在这个面上？我可以在这个长方形当中去证明 a o 是 垂直 a e c 的， 你可以选择是利用几何去证，或者说你也可以选择用平面向量去证，都是可以的，因为它是长方形，我可以间隙，对吧？啊，所以对应哪一种都可以啊？ 所以这个时候我们简单来说一下怎么去占它对应的一个垂直。好，然后我们现在来回到这里，所以这个时候我们就会发现了，结合这个题目条件存在点 p 时的 a e p 我 是不是要过 a e？ 那 结合我们所熟知的这个垂直，我们就知道我是不是必须只有 a e c 才能垂直于这个面， 所以如果我要能满足找到这么一个 p， p 是 不是必须位于 c 点处？而题目又说了，它一定是不含 边界的，所以这个时候它取不到点子，也就意味着它满足不了垂直。因为我们说对于垂直，假如说有一个点不动的话，我这个 另一个垂直的点是不应该只能找到一个，对吧？所以我除了这个点之外啊，其他的都不行啊，所以这个时候 b 选项是错误的，所以首先 a b 里面 a 是 正确，我们再来看 c c 选项呢？是也，呃，是已知棱长为二，然后呢为 p， 为侧面的啊，这个时候不是动点了，是一个确定的点，是一个中心，让我们去求它的外接球体积。好，那这个 应该非常熟了，到我们舒适区了，对不对啊？外接球我们前面讲了很多个专题了。好，我们这里来看一下，首先把点找到， p 是 它的中心啊，这个地方是 p， 然后这个时候我们对应的四棱锥是 p 杠、 a、 b、 c、 d， 好， 我们给它通通连接起来， 那我们要去观察这个时候它是一个什么四棱锥，对吧？因为我们师前前面的视频所讲的外接球模型当中，我们有什么长方体，正方体 侧能垂直于底面，侧面垂直于底面，等等，对吧？好，那像这里的话呢，我符合的是什么形式呢？它显然是一个侧面垂直于底面的形式，那也就是我们正好是上一个视频当中所讲到的啊，上上一个视频了，二面角的模型对不对？ 这即便他给的不是垂直，其实也是没关系的。好，那这个时候我们说他是有个通法怎么去做？我们要在两个面上分别找到外心，然后过外心做该面的垂线，那么垂线的焦点就是我对你的外接球球心，对吧？好，那我们来看啊，这里有两个 比较好找的侧面，一个侧面呢是底面 a、 b、 c、 d， 一个面呢是 p、 b、 c。 好， 首先 a、 b、 c、 d 的 外形很好找，正方形的外形就是它的中心，对吧？所以这个时候呢，我要去做的话，就应该是 过这个底面的中心做底面的垂线，所以应该是竖直朝上。好，再来看 p、 b、 c， 结合我正方体的一个特点， 所有的面都是正方形，而 p 是 这个中心，我就知道 p、 b、 c 应该是一个什么三角形，它应该是一个等腰直角三角形，不确定的话，你可以自己画一个图来看一下啊， 然后说这是一个正方形，我连接对角线，这个时候我是不是能得到这个部？这两个角都是四十五度，所以显然这里是垂直，所以 p b c 是 一个等腰直角三角形。 好问题来了，等腰直角三角形的外心位于什么位置？那我们在三呃，直角三角形当中，我们说是有一个性质的，只要是直角三角形，它的外心一定在 斜边的中点上，对吧？所以这个时候我能确定啊，它这个外心位于这个位置。假如说这个是 o 一， 这个是 o 二，然后接下来我是不是应该是要过 o 二这个外心做 p b c 的 一个垂线，那这个时候由于 p b c 是 竖直的面，所以它的这个垂线应该是 水平方向的，所以这个时候你就会发现了。哎，我这样一坐的话，发现这两条线的交点正好就是 o 一 啊，所以 o 一 其实就是我这个正四棱锥啊，这个不是正四棱锥啊，其实就是我这个四棱锥的外接球球星。 那我外接球球星找到外接球半径是不是也能解了，对吧？那这个时候会发现外接球半径其实就是底面对角线的一半啊，所以这个时候我们可以解出它对应的外接球半径大就应该等于二分之一对角线一半，也就是二倍根号二，所以是根号二 半接球半径解出来，那接下来体积自然而然就可以解了。 v 这个时候就等于三分之四 pi r 三方，所以代入的话呢，就应该是三分之四 pi， 再乘上二倍根号二，所以就是三分之八倍根号二 pi 啊， 所以这个时候我们解得啊， c 选项呢，也是正确的。好，再来看 d 选项，正方体还是棱长为二，这个时候已知 o 为 a， e， d 的 一个中点， o p 满足与平面所成角为三分之派，是一个恒定值，让我们去求 p 点的轨迹长度。好，那这个呢，就相对来说稍微有一点难度了，必须得会方法。首先我们先把 o 找到， o 是 a， e， d 的 中点，所以其实也就相当于是这个侧面的一个中心啊，这是 o 啊。然后 o p 与呃这个 b b 一 c， e， c 所成角为三分之派。首先先思考一个问题，我们说线面角，我们如果用线段关系去表示的话，应该怎么去表示？比如说这里 在这边画一下，我现在这里有一个平面，这里有一条直线 l 和阿法所乘角，那我们要用长度的线段的长度去表示的话，那我们说是要过线上去做一个面的垂直，对不对啊？假如说这个是 o， 这个是 p， 这个是 a， 那 这个时候就知道啊，对应的这个 所乘角，这个角我可以算它什么，正弦与弦正切都可以，对吧？那我们比较常用的应该是什么？正弦，因为这个时候对应的这个角的正弦 sin theta 就 等于 o p 比上 p a p a 是 已知的，而 o p 是 什么点到面的距离，那我们说可以用等体积法去求，对吧？所以说像这里呢，我已知角度，那我需要去把这个角度给它表示出来，那怎么去表示？ 还是一样的道理，我首先知道 p 是 不是一定会在这个平面上，对不对？好，那这个时候我要算这个平面和面所成角是不是要过线上一点向面做垂直？那我显然这里应该是过 o 向这个面去做垂直，而过 o 向这个面做垂直，你会发现啊，其实就是这个面的 中心，比如说这里标一个 o 一 撇好，所以这个时候是不是就能确定 o o 一 撇是垂直于 o 一 撇 p 的 好？然后这个时候角对应的就是这个角 o 撇 p o， 它等于三分之派， 那也就意味着这个三角形我现在是不是能解，因为 o o 一 撇其实我们是已知的，它其实就正方体棱长也就等于二，所以这个时候也就意味着我是不是能算出 o e 撇 p 的 一个长度，而 o e 撇是什么定点， 也就相当于我现知道屁点的位置应该满足到定点 o 的 距离恒为定值，所以它的轨迹是不是应该是一个圆或者说圆的一部分啊？所以这个时候我们先把半径解出来，根据呃，这个阵切贪阵的三分之派 就应该等于 o o 一 撇 p 呢？就应该等于 o 一 撇除以根号三，这也就是二除以根号三， 这是我们对应的半径出来了。那接下来我是不是就可以把这个侧面 b c c b e 这个面单独拎出来去做？好，我们把这个面单独拎出来 菱出来的话呢，它是对应的一个正方形好，然后这个时候啊，这个对应的是 o 的 位置，我现在满足是不是应该是半径是根号三分之二，那我们就要去和什么比较呢？要去和我这个正方体的棱长以及对角线的长去比较。首先正方体的棱长是二，那我对应正方体， 呃呃，这个正方形的这个棱长一半是不也就是一？显然它是不是满足大于一，也就意味着我这个手去画圆的时候，它是不是一定会超出这个正方形的一部分， 给他稍微拼一下，我这个画的不太像一个正方形啊，没事，我们大概来看一下啊。那这个时候接下来我还要去确定什么呢？就是我和顶点的位置我是一直包含，我是在这个，不过顶点是这个，比如说过顶点的话，就这种情况，对吧？顶点包也包含在内部， 还是说像我们刚才一样，这个时候我是不包含顶点的，我是不是也要讨论，那这个时候我的半径就应该和谁比较？是和对角线的一半去比较，对吧？那这个时候对角线的一半是多少？是根号二，那我就会发现啊，这个时候他对应的值应该是要小于根号二的，因为根号二的平方是二， 根号三分之二的平方是三分之四，二大于三分之四，所以这个时候我就确定我图应该是长这种形式，但是我具体的这个轨迹长怎么去算呢？那我其实也就相当于我们要算的是不是应该是 在正方体内部的这几段弧长，那我们说对于圆的这个弧长怎么去算？我们说要去找圆心角，对吧？看它所对应的应该是整个圆的几分之几，然后我们就可以去算它对应的弧长。好，那像这个话我们怎么去分析呢？首先我们要找到临界点，也就是说 这个点我是不是能满足啊？患者这个点是不是能满足到？ o 的 距离应该是半径，也就是根号三分之二，所以这个时候也就相当于我是不是可以把这个三角形去给它解出来？ 好，那这一段长度对应的是，我们知道是乘方形棱长的一半一，那这个时候这一段我是不是也能解了，对不对？根据勾股定力，三分之四减去一，所以就是三分之一开根号也就是三分之，根号三，其也就根号三分之一，所以你就会发现这两个成什么关系， 两倍的关系，我就能确定某一个角这个角是不应该是六十度，呃，六，呃，六分之派，也就是三十度， 你想啊，这个角是三十度，所以这个角是不是也是三十度？因为它是对称的，而我一条边这个时候对应的是六十度，我一共四条边， 所以相当于是不是应该有四个六十度，对应的这个范围内的圆弧是取不到的，所以这个时候我能取到就相当于是多少三百六减去二百四，对不对？所以就是一百二十度，其实也就三分之二，怕，所以呢，这个时候我们就可以来计算了， 一百二十度占三百六十度的三分之一，也就相当于它占我整个圆的周长的三分之一啊，所以这个时候我们对应的就可以算，它的轨迹长度就应该等于三分之一乘上半啊，这个圆的周长也就是二派 啊，啊，所以也就是三分之一再乘上二派半径。我们前面解过了，对应的是根号三派啊， 所以 d 选项呢？是分母错了啊，这也改成九，它就是对的，所以综上呢，我们第一道题，这个时候它对应的应该是选 a 和 c。 啊啊，然后后面还有一道题呢，我们放到下个视频再讲。
146张张讲数学
08:04查看AI文稿AI文稿公主王子提笔，看，我这道题呢，是一道拔高程度的难题了，如果公主王子你的基础没有到那么优秀，那这道题可以先不用听。那么优秀的宝子呢，我们一起来看看这个题怎么做。他说 a b 是 二啊，我们把这个 a b 划一下，这个是二， b c 等于三，哎，这条线是三，然后我还知道角 a b c 等于六十度，这里有一个 p 在 射线 a d 好， p 在 射线 a d， 所以 说到这时候就代表有可能 p 在 a d 里面，也有可能 p 在 a d 的 外面。然后我们继续说 它这里呢，做了一个 m n 的 垂直平分线。好，垂直平分线上的点到线段，两段的距离是相等的，所以我们读到的时候，马上就把 b m 画出来， b m 是 等于 mp 的， 然后呢，他说 a m 等于一好， a m 等于一则线段 d p 的 长。哎，他不讲武德，不是说这种存在性问题是不会给图的吗？那这道题怎么会给图呢？好，你先听媛媛慢慢讲，然后你就知道这道题这个图都有毒哈，我们一起看看。 我们现在本来读到这是六十度的时候，我会想到做一个垂直，那么这个角是三十度，那这个地方就是一，这个地方就是根号三。 但是呢，我求这个东西跟我求这个 d p 呢，没有任何的关系，所以我们不这么做，那我们怎么把六十度用起来呢？这又不是平分线，那我就想，既然这个是六十度，那我要是在这边做一个垂直，那这个角六十度是不是也能用起来？所以呢，我们想的是 在这里做一个垂直，然后我们叫它 h， 那 么这个角就是六十度了，因为两直线平行内错交相等，这个是二，我可以知道这个是一， 我还知道这个是根号三， a a m 也是一，那你看，我这个是一，这个是一，这是根号三。我可以把 b m 求出来， b m 等于二的平方是四三七，根号七，这个是根号七，这个也是根号七。然后我在想怎么求 pd 的 时候，这里就有一个 bug， 你根号七呢？大概是二点多，二点多，加一呢是三点多，你这个下面 bc 是 三，你这个 ap 是 三点多，如果是三点多，它就不可能屁点在 d 里面。 所以这道题图都有毒，我们就不要这个图，我们自己重新画这个，你看难度是不是又上升了？远远重新画一个， 这是我们的 a、 b、 c、 d， 看上去有点标准哈。我们把 p 点画在外面 这，然后我们再做它的垂直平分线连接 b， b、 m， n 垂直平分线画好了，那么垂直平分线上的点到线段两段的距离相等，所以我的 b m 等于我们的 mp， 我 用玫红色给你区分一下。我们现在再来算一下。 第一步我们是不是刚才做了 b h 垂直于 a， p h， 所以 第一步我们做垂直 h， 步骤写上做 b h 垂直于 a， m 于 h。 由于我这个角等于六十度，所以我知道这个角等于六十度。好写上，因为角 abc 等于角 h， a b 是 等于六十度的。然后我还知道，又因为我的 ab 等于二，所以我的 a h 等于一，我的呃， h b 等于根号三，就是这一段是一，这一段呢是根号三。好，这这。那么我们再因为 am 等于一，可以求出 b m 等于根号七，又因为 am 等于一，所以我的 b m 等于根号七，等于 mp。 垂直平面线嘛，我把它标一下，这个是根号七，这个也是根号七。现在我来求 d p， 我们知道这段是根号七，我们知道这段是一，所以整个 a p 是 一加根号七，但是我的 a d 呢？又等于 bc 等于三。好，那我就能求出来了。所以 我的 d p 等于 a p 减去 a d， a p 是 一加根号七，减去 a d 等于 bc 等于三。 第一个答案，根号七减二就做到这里了。你看这道题老坏了，如果给我选择可能都还可以板一下，但是这道题还是铁控，所以我觉得难度系数就必须是四颗星四点五到五的难度。第一种情况，考虑清楚之后，我们来分析第二种情况， 有没有一种可能，我的屁其实就是在 a d 里面呢？如果屁在 a d 里面，那 m a m 一定不在 a d 里面。为啥？因为我们前面用这个有毒的图做过，如果这个是一，这个是根号七，它加起来应该是三点多，不可能比这个三小。所以如果我屁点在里面，我的 m 就 不在里面。那媛媛给你画一个， 我们在这画一个平行四边形啊。哎，还是可以的，有点平行的还是 a b c d， 这次我的屁就在里面。那我连接 b p 做一个钟垂线，这一次是不是应该是坐在这的？你看这个钟垂大概应该在这吧。好，如果不太合理，我再移一下啊。 好，然后我这个是 m， 这个是 n， 这是垂直，那我们知道垂直平分线上的点到线段，两段的距离相等，所以 b m 是 等于 mp 的 好，那么做法呢，还是跟我们前面一样，我们先做一个垂直 a h 垂直于 b h， 这是 h， 那 前面的这个步骤呢？也是一样的，我们可以照抄一下哈。我们做 b h 垂直于 a h 于 h， 因为角 a b c 等于角 h， a b 等于六十度，而且 a b 又等于二，所以我这次 a h 是 等于一， h b 等于根号三。好，等一下。哎，媛媛，我的 a h 等于一， a m 也等于一，什么情况？哎，情况就是 h 和 m 是 重合的啦。所以我们这个图画的仍然不够标准，还得重画，但是不重画了，我们就在这写上 m， 其实是在这里。好，我们现在继续来求 m。 在 这里的时候，我们知道垂直平分线上的点到线段，两段的距离是相等的， 所以我们可以写上。又，因为呢， m n 垂直平分 b p， 所以 b m 是 等于 pm 的。 哎，我们的 b m 求出来了， pm 不是 就等于 h b 吗？这两个重合了嘛，所以就是根号三，就是根号三。 那最后我们来求一下 p d， p d 是 不是等于 am 加上 ad， 再减去这个 pm， 就 可以求到 pd 了？ 所以呢，我们 p d 等于 a m 加上 a d 再减去 mp， 那 a m 我 们前面已经求出来，它们两个相等的，都等于一，因为它跟 a h 一 样重合了，所以就是一加上 a d 本来是等于 b c 的，是等于三的，所以加上三再减去 mp， mp 呢，等于我的 b m 等于根号三，所以减去根号三。那这道题最重要的答案是四减根号三。好，那这道题一共有两个答案，第一个答案， 根号七减二，第二个答案，四减根号三。这道题老难了，整体难度来说，我觉得五颗星应该也是可以的，一个班可能有百分之九十九的同学都做不出来他这个存在性的问题呢。好不容易给了你一个图，结果发现这个图是错的， 所以你要自己重新再去画，这就是第一个难度。第二个，在画到第二种的时候，我们发现这个 am 等于 a， h 都等于一的时候，其实我们就知道 m 和 h 重合了，所以这个地方还要转第二个弯， 转过来这个弯之后再去求 p d， 又增加了一定的难度。所以这道题如果你真的听明白了，自己低头做一遍，他如果考到的话，一般都是填空题的最后一道压住题。好公主王子，存在性问题远远就从简单的到难的，已经给你讲到这里，希望你能够吸收。
01:16查看AI文稿AI文稿今天接着给大家分享几何动点问题系列翻外篇，聊聊几何旋转变换。第二集前情回顾上个视频解剖了一道和旋转相关的解直角三角形问题。 个人觉得如果拿讲笑话做类比的话，这个笑话有点冷。这种题目有点刻意为之，没有自然天成之美。回到旋转的定义，平面图形绕着平面内某一点转动一个角度。旋转的三要素，旋转中心、旋转半径、旋转角度。 这道题中，旋转中心是 d， 旋转半径是 c d， 旋转角度是一百二十度。那我们如何能和触题老师心灵相通，找到这三要素呢？ 看到有公共端点的线段相等，线段间有已知的夹角，都可以试试把图形转动起来，没准出题老师在向我们抛媚眼呢。再看两眼美女，如果角 d、 b、 c 等于 a， 保证三角形 a、 b、 c 是 直角三角形角 c、 e、 d、 c 需要等于多少？ 讲个故事，从前有两个正三角形兄弟，他们感情很好，相依为命地等于多少？大地慢慢隆起地等于多少？好了，谢谢观看，敬请期待！
41老豆数学
04:18查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们来看一道初二数学题，是关于动点对称问题，我们先来读题，如图，在平面直角坐标系中，正方形 a、 b、 c、 d 的 两个顶点， a 和 b 是 对角上的动点，若正方形的边长为四，则现在 o c 长的最大值是多少？ 那这呢，有个对角线，那正方形 a、 b c d， 它的两个顶点呢，是在对角上滑动，那么这个时候呢，如果说连接 o c， 那 么 o c 的 长度啊，是发生变化的，那么它是不是存在最大值，然后如果存在，那么最大值是多少 啊？那这种题呢，一般来考，一般来说的话，咱们要考虑三角形的三边关系啊，就是两边之和大于三边，那其实呢，也可以说啊，第三边啊，一个边呢，小于另外两边之和，那么 o c 啊，它必然要 啊，把它这个放到一个三边形当中去考虑。那目前来说，存在的三角形呢，是这个 o b c 啊，也就是说 o c 呢，是小于等于 o b 加 bc 的， 那因为 b c 呢，是一个固定的折，就是四，但是呢， o b 的 长度啊，是发生变化的，那一个变，一个不变，那两个加起来之后呢，它的长度啊，还是发生变化的，所以说呢，这个 o c 小 于等于 o b 加 bc 啊，是没有意义的， 那我们再看看能不能去考虑别的呢啊，这呢，如果说我们连接 ac 啊，连了 ac 之后呢呢， co 也是一个三角形，所以说呢， o c 就 小于等于 a c 加 o a， 那 和刚才一样的道理，虽然说 a c 不 变，但是呢，因为 o a 的 长度也是发生变化的，所以说，那么这个边小于等于这个边加这个边啊，这个因为这个变，所以说呢，这个地方也没法求， 当然啊，如果说我们连接这个 b d 和 a c 啊，这有一个这个啊，这个终点或者中心吧，那如果说连接这个的话啊，咱们连一下， 那这个时候呢，也有一个啊，三角形，但是呢，这个时候虽然说这个长度不变啊，因为是对折线的一半，但是呢这个长度是啊发生变化的啊，因为在滑动过程当中啊，这个这个点离 o 的 位置呢，他的这个距离啊是发生变化的，所以说呢，这个也不行， 那到底应该去哪个点呢？哎，其实呢，我们可以考虑啊，关于直角三角形的一个特点，就是斜边的中线呢，等于斜边一半，那如果说我们取 a b 的 中点啊，我们取 a b 的 中点，假设是 e， 那么连接 o e 之后，这个 o e 的 长度啊，是不变的啊，这个地方非常重要啊，就是虽然说 e 在 发生变化，它的点呢，这个位置发生变化，但是 o e 的 长度不变，那如果说我们再连接 c e 的 话， 这个 c e 啊，它的长度也不变啊，因为它永远是正方形， a b c d 啊，就是 ab 是 个中点啊， ab 的 中点是 e， 那 么这个 b e c 啊，它是大小啊，形状都不变啊，都不变啊，只是呢位置发生变化了，所以说呢，这个 c e 的 长度啊不变。 那么这个时候呢，咱们再利用三边关系啊，就是 o c 呢，要小于这个加这个，就是如果说它能读出它的形的话啊，就是 o c 呢，要小于 o e 啊， 加上 e c 啊，但是呢，如果说啊，在某种情况下啊，这个 o e c 啊，这三个点共线的话，那么这个时候 o c 就 等于 o e 加 e c， 所以 说呢，这个 o c 啊，就小于等于 o e 加 e c， 而 o e 呢，是啊，这个长度呢，是固定不变的，它应该等于 二分之一的 a b， 然后呢， e c 呢啊，它应该也是一个固定的长度，根据规规定点在这呢，咱们简单算一下。嗯，这个因为边长为四，所以呢， b e 呢，是二 啊，那二比四，那这个呢，肯定是二倍的根物啊，就是二倍的根物。那另外呢，把这个二分之 a b 再求一下。这个呢也比较简单 啊，因为 a b 的 长度呢是四，所以说呢，这个地方就是二。好，那么 o c 啊，就小于等于二，加上二倍根，我所以说 o c 长度的最大值呢，是二加二倍根。我那这个题啊，就在这里解决好，感谢大家的收看，再见。
29老马数学空间
02:01查看AI文稿AI文稿今天接着给大家分享几何动点问题系列翻外篇，聊聊旋转变换第三集 前情回顾，借着一道偏题探讨几何旋转变换基本概念。这种偏题怪题没有猜到出题老师的心思，解起来是很费劲的，从结果出发，逆向思考又会觉得比较有意思。 世界千奇百怪，并不是所有的题都有明显的旋转变换的特征。我们今天就来逆向另一道题目。 我们知道正方形是中心对称图形，它有等边、四边相等等角，四个内角都等于九十度，天然就是旋转变换的温床。如图，正方形 a、 b、 c、 d。 中三角形 a、 d、 e 绕着 a 点顺时针旋转九十度，得到三角形 abf。 旋转过程中有以下几个不变量， f、 b、 c 三点始终共线， fa 始终垂直于 a、 e。 三角形 fa， e 始终是等腰直角三角形。 很多问题都围绕着这三个不变量展开，如图， e 和 h 是 dc 和 bc 上两点角， h， e 等于四十五度， a、 d 等于 a， e， c 等于 b。 求 h、 e。 这是我们不止一次遇见这个网红。四十五度 将三角形 a、 d、 e 绕着 a 顺时针旋转九十度到 a， b， f 得到 he 等于 f、 h， 算起来就会简单很多。好开始化妆， 把正方形转个角度擦掉，四条边连上对角线，这道题就是地狱难度。反正如果是我初中的时候遇到这类题，我肯定会问候出题老师， 这种题目就像阿拉伯美女卸下头巾才能看得清绝世容颜。总结，有些图形本身就是中心对称图形， 有些图形本身就有等量线段，有些图形本身就有特殊角，十五度、三十度等等，触底老师特别喜欢在这些地方挖坑。好了，谢谢观看，敬请期待。
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01:25查看AI文稿AI文稿今天接着给大家分享几何动点问题系列翻外篇，聊聊几何旋转变换前景回顾。我们送走了祖师爷阿波罗尼思源，在聊费马点之前开个支线 几何旋转变换。个人觉得费马点结论本身不重要，重要的是体会几何旋转变换的思想，并将它应用到实际问题中。 从一道解直角三角形问题开始。如图，角 a、 b、 c 等于九十度角 a、 b、 d 等于三十度 a、 d equals b、 d， a、 b 等于根号三 dc 等于根号十三、求 a、 c。 这是道常规计算题，这道题的数字一看就让人不舒服，肯定有猫腻儿。 某题简单，但是我们一旦让图形动下来，麻烦就来了。如图，三角形 a、 d、 c 以 d 为中心逆时针旋转幺二，零度 a 旋转到了 b、 c 旋转到了 c。 一、 我们把旋转之前的线擦掉。如图，求 c、 e、 b。 难度拉升，还有点莫名其妙，一堆不着边的线段和角度，我们需要去猜出题老师的心思，你要是猜不出来，就会非常非常痛苦， 如果能猜得出来就非常简单，所以个人觉得这种题目有点无趣。好了，谢谢观看，敬请期待！
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