九下苏科版数学 二次函数思维导图

很多九年级的学生学完二次函数以后，不会画二次函数的草图，那么原因就在于他不明白这个二次函数一般形式 y 等于 a 平方加 b， s 加 c 中，那么 其中 abc 与对函数图像的影响。那么今天我们就简单的讲一下 abc 对 二次函数图像的影响。 首先我们得知道二十行的图像，它是一个抛物线的形状，那么抛物线它有两种情况，一个相当于是相当于，如如一个大坑一样，这样从下往上，还有一个是相当于一个拱桥，是这样，这样抛物线。 那么有了这两种形式以后我们再说。先说 abc 中的 a， a 对 抛物线的影响是 a 决定了抛物线的开口方向，当 a 大 零的时候，那么这个抛物线开口是向上，相当于一个坑， 当 a 要小零的时候，那抛物线是开口是向下的，相当于是一个拱形啊，这样下来的。 然后再说第二个那 b 的 影响，它其实是与 a 结合起来，那么有一个对称轴，那么抛物线是一个对称图形，它对称轴是 x， 等于负二 a 分 之 b， 那么也就是说这个坡位线，比如说开口向下往这走的时候，那中间它是在顶点，你认为在顶点处或者在中间的时候，是有一个对称轴，它是左右对称的，那么所以有了 a 和 b， 我 们就可以确定对称轴， 确定完对称轴之后，我们就知道它大概的位置在哪。然后再说 c， 那 么 c 是 指的是 当 c 为几，那么抛物线就会与外轴交于几。举个例子来说，比如说当 c 值等于五的时候，那么抛物线与外轴交点的坐标就是五，也就是与外轴交于五，逗号零。 那么当大家明白了这些 abc 对 函数图像的影响的时候，那么你下一次我们知道这个二次函数的一般形式的时候，就可以很容易的画出二次函数图像，那么就会解，就可以用咱们的数形结合解决很多二次函数的题了。

二次函数的图像，你学习的时候是不是还有一些困惑呢？那你可要坐下听好了，我们来看 y 等于 x 方的图像，它是开口向上的一个函数图像，那我们画出来就是 这样的，那看见符号呢？开口向下就是一个这样的函数图像，我们继续看。整体加上一个数，怎么变化呢？整体加数，它向上移， 也就是在 x 方这个图像的基础上，向上平移两个单位，那依次类推，如果加上三的话，就是向上平移三个单位长度，那这个地方就是 三。好，那如果整体减去一个数，怎么变化呢？哎，整体减数，它向下移，就是在 x 方这个图像的基础上，它向下平移， 那减二就是向下平移两个单位长度，所以说这个地方焦点坐标就是负二。好，那我们来继续看。如果这个数在 x 上面，就是 x 加上一个数，怎么变化呢？哦， x 加数，它向左移， 就是在 y 等于 x 方这个图像的基础上，向左平移两个单位， 所以说，那这个地方的焦点坐标就是啊。嗯，负二，那 x 减数向哪移呢？对，它向右移， 那在 x 方这个图像的基础上，向右平移两个单位长度，所以说这个地方焦点坐标就是啊二。 那还有一种变化，如果 x 方这个整体乘上一个数，它怎么变呢？没错，它会变成一个受字， 在 x 方这个图像的基础上，整体挤压变成一个受字，那画出来，它大概是一个这样的函数图像， 那同样的，如果 x 方这个图像整体除上一个数，它会变成，对，它会变胖子， 也就是在这个图像的基础上不断扩张，扩张变成一个胖子，那画出来函数图像大概就是这样的一个图像。那以上八个函数图像呢？就是关于 x 方图像的变化的八种情况。

好，尊敬的各位专家，各位老师下午好！我是来自苏州高新区实验初级中学的风涛老师。本节课我展示的课题是 苏科版九年级下册第五章第二小节二次函数的图像和性质单元建构课。下面我将从四个方面进行汇报，一、教材与学情分析 二次函数的图像和性质是苏科版九年级下册二次函数的核心内容。 在此之前，学生已经有了研究一次函数、反比例函数图像和性质的经验，掌握了二次函数的概念，并在此基础上针对二次函数的图像和性质进行的研究。 他既对初中函数知识的研究路径、方法、思想进行了总结，也为今后二次函数的应用、高中所涉及的函数图像和性质的研究提供了知识基础和方法依据，在教材中起着承前启后的作用。 结合教材分析，我笃定了如下教学目标，一、建构二次函数的图像和性质的研究框架及路径。二、会用描点法画二次函数 y 等于 a x 方平方的图像，认识二次函数的性质。 三、感悟树形结合的数学思想，体会由类比、由具体到抽象、特殊到一般的研究方法。 本节课上课对象是九年级学生，初中阶段是智力和心理发展的关键阶段， 学生思维从直观感性向抽象理性发展。但相对而言，九年级学生在课堂上更愿意想而不愿意说。 其中学生在八年级已经接初步接触了函数的概念，经历了研究一次函数和反比例函数的过程，感悟了一些研究函数图像和性质的经验。 但是呢，二次函数的图像又不同于以上函数，且是单元建构课，课堂思维量大、强度高，对于学生的学习具有很大的挑战性。基于此， 本节课的教学教学重点定为建构二次函数的图像和性质研究路径研究 y 等于 ax 平方的图像和性质 教学难点定为限购二次函数图像和性质的研究框架及路径。二、思路与教法表述数学家波利亚曾说过，类比是一个伟大的引路人， 因为函数的研究路径和研究内容类似，所以结合学生已有的经验，这节课的设计采用了类比的方式进行整体建构， 充分发挥正迁移作用，引导学生利用旧知得到新知，即函数研究路径。从问题到概念到图像到性质研究的方法类比从特殊到一般。 本节课题是二次函数的图像和性质，应从图像特征和函数性质两方面进行研究，体现数形结合的思想。 第三方面，啊，基于啊，我，基于以上内容，我采取了如下的教学和学习策略。 教学策略着眼于组织和引导，尽力激发学生的求知欲望，引导他们类比建构自主研究。学习策略着眼于操作和思考， 通过不断的回顾、思考、类比观察，建构出研究路径，归纳出研究方法。 第三方面，实施与设计意图上课开始前，我设置了动态喷泉加背景音乐的片头意图，是 既放松了学生的心情，又为后续从实际生活中抽象出二次函数图像埋下伏笔，前后呼应，相得益章。 具体上课第一阶段，建构研究路径和方向做法是问题驱动方法引领。其中分为两个环节。第一个环节，回顾旧知，引入课题。 上节课，我们又认识了函数家族的一位新朋友，你们还记得他是什么吗？谁能说出他的一般形式？ 请你讲，那是 y 等于 x， a x 加 b， x 加 c， a 对 𠲎 很好行动。我们是怎么得到二次函数概念的？ 请你说。从实际问题。好的啊，我们是从实际问题抽象出了 二次函数的概念。当然，我们研究二次函数的目的之一也是去解决问题，解决问题很好， 从生活中来，到生活中去。那么在解决问题之前，同学们觉得我们还应该研究二次函数的什么方面呢？ 你说图像与性质？你说的很好，那你怎么想到要研究二次函数图像的性质呢？根据之前我们所学的一次函数跟翻倍的函数啊，也是根据图像与性质来来解决问题。所以说我想到了 二二函数，也可以用图像与性质来解决问题。嗯，说的非常好，挺多，也就是我们可以借助一次函数和反比例函数的研究经验进行什么学习？对，这一个学习很好， 类比学习是一种非常重要的学习方法。我们之前在学习分式的时候，我们就类比了小学学的分数。同学们啊，刚才其实小节的上面这个是我们研究函数的一般路径。 那今天这节课，我们就类比一次函数和反比例函数的研究经验，来学习二次函数的图像和性质。 这回顾一次函数和反比例函数的研究过程，引导学生体会研究二次函数的图像和性质的重要性。小节研究函数的一般路径，从而引入本节课课课题 第二个环节类比就知建构框架，同学们回顾一下。

大家好，二次函数来了，今天我们来看看二次函数攻坚指南。第一个正难点，核心剖析难在哪？ 二次函数真正的难点在于它是一个动态的、完整的系统，而非孤立的知识点。第一个，图像与性质的深度绑定 是树形结合啊，难点在能否做到看到解析式，我脑中就出现图，看到图像立马反映出系数、符号和性质，这是后续所有应用的一个基础， 它的核心就是参数 a、 b、 c， 即判别式德尔塔如何影响图像，它的开口方向？对称轴顶点与坐标轴的交点。 例如仅凭 a、 b 的 符号，如何快速判断对称轴的位置？有一句话叫总结出来的口诀啊，左同右异，是不是第二个顶点的核心地位？顶点是二次函数的指挥中心， 最值问题、变化趋势、对称性都围绕它展开。正难点在于灵活运用 讲配方法或者顶点坐标公式，准确找到它，并在实际问题，比如说求最值应用题中定义其意义。 第三个，代数与几何的跨界融合，它的综合题是难中之难，这是最大的难点啊，常见于压轴题，例如动点问题，在抛物线或者直线上运动的点构成的三角形的面积是最大最小是多少？ 第二种就是存在性的问题啊，抛物线上是否存在一点屁，使得某个三角形是直角三角形等腰三角形或者是平行四边形。 这类题目啊，需要将几何条件将边长角度面积给它转化为关于点坐标的代数方程，最终归结为解方程或者求最值。第四就是含参数讨论 分类啊，他的分类思想要知道啊，当解析式中含有未知参数，比如说 m 的 时候，需要讨论 i 等于零还是 i 不 等于零，是嘚它大于零，嘚它等于零还是嘚它小于零？对于对称轴的位置是在哪？这需要严谨的逻辑和分类讨论的能力。第二个， 高效学习方法论如何去攻克他。第一个，根基问题，死磕树形结合，务必动手画图。每做一小题，哪怕是简单的填空，也要在草稿纸上勾勒出抛物线的示意图， 标注它的顶点，对称轴与 y 轴的焦点与 s 轴的焦点。啊，如果有的情况下，让图像思维成为本能。第二个，构建知识网络，而非记忆零散的公式，用思维导图将以下内容联系起来，三种解析式， 一般是顶点式、焦点式，明确各自的优势，何时用哪个？五大关键点， 开口方向，对称轴，顶点坐标与 y 轴的交点与 x 轴的交点。核心工具，用配方法判别式，求根公式，顶点坐标公式。第四个，学习路径，由静到动， 由单到综。第一阶段，静态的掌握固定系数二次函数的所有基本的性质。第二阶段是动态的，研究含参数的这种函数理解系数变化，如何引起图像舞动。 第三阶段，综合的啊，挑战代数几何的综合题，学习如何翻译，把几何语言将等腰直角平行平行这些翻译成代数语言，将翻译成代距离的公式，斜率方程。 第四个，精练练习注重反思，不盲目的刷题。针对薄弱环节，比如说最直硬硬的问题，存在性问题进行专项的训练，用好错题本，记录错题，并分析错误的根源。嗯，失误或者是计算失误。 第三个高频考点，全书里他具体是考什么基础与中档的考点啊？第一个，图像与性质的判定， 给解析式判断图像大致的图像是什么样的，形状是什么样子，或给你图像你判断 a、 b、 c 符号及 a 加 b 加 c 或者四 a 减二， b 加 c 等代数式的符号是什么样子的。 第二个解析式的确定已知三点或顶点，或者是另一点坐标，或者是与 s 轴的一个交点加另一点，求解析式。 第三个问题，配方法与顶点要求用配方法将一般式转为顶点式，并指出顶点对称轴和最值问题。 第四个，实际应用最值问题是高频的应用题啊，比如利润最大的，面积最大的，材料最省的问题。关键就是建立正确的函数关系式，并注意自身这个自变量的实际取值范围啊。综合于压轴的考点。 第一个函数与方程与不等式，利用二次函数图像呀解一元二次方程和不等式。第二个交点问题，二次函数以一次函数，它的交点问题连立方程转化为一元二次方程，用得它来判断交点的个数。 第三个动点与图形面积问题，也是高频的压轴体啊，求三角形，通常有一边平行于坐标轴，或者用割补法来求它的面积， 求面积最大时的点坐标，常用水平宽乘以铅垂高除以二这种方法。第四个存在性问题，也就是压轴的难点啊， 特殊三角形等腰直角这些利用两点间距离公式，根据边的关系来列方程， 将特殊的四边形，比如说平行四边形、菱形、矩形。通常利用中点坐标公式或者对边平行且相等来列式五个新定义或者探求体，结合材料探求二次函数的新性质或者新应用。总结来说呀，攻克二次函数的路线 啊，大概是建立树形结合的底层思维，掌握顶点核心的知识网络，通过专项突破训练综合翻译能力，针对高频考点进行实战演练， 把它看作一个有趣的战略游戏。你的任务是掌控这条抛物线的一切，祝你通关顺利！

今天我们学习的是二次函数正方形存在性。好，来吧，同学们，咱们今天开始在二次函数三十天十五列里的第九列啊，就是正方形的存在性，那么咱们也去仿照一下矩形菱形的存在性，我们来想一下，出题老师一般会给你怎么出呢？ 哎，一般这种正方形存在性，他这个正方形怎么放？是不是得给你讲究一下？有时候他的正方形给你放的四四方方的，他是带横竖线的，那看有横竖线怎么考虑 来？有横竖线的这一类，是不是你就会发现里头都是横竖线，它就很好去表示线段，那你的线段只要表示出来了，是不是你就直接找等量直接列方程就行了。所以有横竖线的就在里头直接找等量 列方程。找等量列方程。好，那还有一类，他没有横竖线，他给你这样划，哎，比如说我现在这样给你来个正方形，这正方形给你斜着放来，那这怎么处理？ 这时候你就会发现每一条线段都是斜的，它不好直接表示了。那你想一下正方形里头有啥呀？ 是不是你发现这个正方形，你无论怎么去连他的对角线，你都会连出一个等腰直角三角形，那等腰直角三角形怎么玩咱们是知道的吧？哎，那不就是玩直角吗？那直角不就到直角的处理这一块了吗？来直角处理怎么办？ 是不是直接去玩个三垂直就可以了？哎，那这个直接仿照咱们第二链去做就可以了，所以如果没有横竖线，咱们就去勾三垂直， 哎，够三垂直就可以了。好，那现在有了这样的积累之后，我们去看一个题吧，因为三垂直咱们已经玩的够多了，所以咱们今天来看一个有横竖线的题， 好，来同学们一起看这个题。这个题现在告诉我说，已知与 x 轴交于点 a 点 b 的 一个抛物线 l 一， 它的顶点三，逗号四。然后现在 l 二呢？与我的 l 一 是关于 x 轴对称的。 来，看到这一句话，你是不是顺手把这个图像就画出来了， l 一 是开口向下的，那 l 二是不是肯定开口向上，然后再看顶点出来了没，是不是也出来了？哎，顶点就是横坐标不变，纵坐标变为相反数，所以三得号负四。那再看这两个抛物线，既然关于 s 轴对称， 那你们两个的对称轴是不是应该是同一个？哎，我们可以把对称轴直接写出来， s 等于三，然后再看一下，现在已知你的顶点了，还已知于我们，呃，那个 x 轴交于 a b 两点 坐标还都已知，是不直接抛物线？解析式就顺便求了嘛，这个 l 二就是 x 平方减六， s 加五来。求完之后，你看现在问我们 l 二上有个 m n， 然后又告诉我说它与 l 一 上关于 x 轴对称的点是 m 撇， n 撇，然后这四个点要构成一个正方形。 然后现在问我们这个 m 的 坐标，那你现在是不是当务之急是先把 m 点和 n 点先确定下来，那我就先随便点一个点吧。来，我点一个 m n， 然后我让这个 m n 在 我的抛物线上滑动一下，看你什么时候能够成正方形。 好，如果 m n 在 这个位置的时候，你来找一下 m 片， n 片是不是直接找关于 x 的 对称点就可以了？哎，直接找到 m 片 n 片，然后让它是个正方形。 好，那你现在看一下，这是一种情况，那你是不是应该让 m n 去动一动，看看这个正方形有没有可能在别的位置上呀？好，那我们去动一动它。来，我们现在让它动一下。 就比如说我这个 m 现在是不是在 a 的 右边？那我再往右动一动，我动到这。哎，这是个 m， 那 此时我的 n 是 不是就在这里？ 好，那这是 m 和 n 了之后， m 片 n 片呢？是不是就在这个位置？哎，这是个 m 片，这是个 n 片。然后这个东西是我现在新确定的一个四边形。来，你观察一下，虽然你说它是个正方形吧，有点不合理，但是你来仔细看一下它这个四条边， m， n， 还有我们的 m 撇 n 撇 n 撇 n 这些线段，它的表示方式都变了没？你是发现来，此时此刻你的 m 到这了， n 到这个位置了，你的 m 撇还是在 m 的 上面？哎，那我要表示这个线段 m 撇 m 的 时候 是不是上减下？哎，你不论你动到哪里，你此时上减下永远是一样的。哎，线段的表示方式是没有变的。好，那再看我们的这个 m 和 n， 我 再动一动，再动一动，我发现只要你是在这个 a 和 c 片这一段上面动， 是不是只要在这一段上动，我的 m 始终在 m 片的下面？哎，只要在下面，那我这个线段的表示方法就不会变，因为我永远是上减下。好，那我再动一下，我动到别的地方看一下，就比如说我现在动到 a 的 左边去试一试。 来，我现在动到 a 的 左边去试一下，我把这个 m 动动动，动到 a 的 左边，之后来，此时这里是不是就是我的 m， 哎，这就是我的 m。 好， 那此时我的 n 是 不是就在这里了？这是 n， 哎，那这就是我的。 对称下来，这是 m 片，哎，对称下来，这就是一个 n 片，哎，那现在让这几个点构成一个正方形来看，这个正方形画出来是不是也感觉挺合理的？那你此时看一下这个正方形的边长怎么表示？ 哎，这个 m n 我 就不说了，它还是右减左来看一下这个竖线，是不是发现 m 和 n 上下颠倒了一下？ 哎，那你此时就会想着，如果我一会要去列向，找到线段之间的等量关系，去列等式。哎，那到时候是不是发现我要表示这个 m n 的 时候， 当我的 m 在 a 的 左边和当我的 m 在 a 的 右边，它线段的上下是反着的，我线段的表示形式也会变化。 好，那这个题你去尝试着让 m 在 这个线上走了一下之后，你就知道他肯定要分类讨论。好，那我们是不是可以把两种情况都画出来，然后我们去分类讨论来，现在把两种情况都画出来， 两种情况都画出来，一种呢，就是我的 m 在 a 的 右边，一种呢是我的 m 在 a 的 左边，我都把它画出来，是不是一个蓝一个绿两个正方形就画出来了？好，两个正方形，现在确定了之后呢，我们去找等量列方程，那我们知道正方形怎么找等量 正方形，你四条边都相等吗？那我是不是就可以列？哎，这一条 m n 和我的这个 m m 撇这两个线段相等。哎，那这两个线段相等。首先这个 m 我 是不是可以想办法把你设出来？哎，这个点可以设出来，但你发现 n 也不知道， n 不知道，那我这个点是不是也得射出来？那就有点麻烦了。好，那你想正方形这玩意又是对称轴，你是不是发现，哎，这整体都是对称的，如果我说这一小段是个 a， 那 这一小段是不是也是 a， 那 这一小段是不是还是 a， 这一小段还是个 a， 那我是不是不必要说是让你这个长线段等于长线段，我让这一小段的 a 等于这一小段，这是不是也可以列？哎，那这样列是不是更方便一点？哎，更方便一点，因为我知道这一条对称轴，它是 x 等于三，这一小段我是不是用三减去 m 的 横坐标就可以？ 哎，那这一小段就更好表示了，这一小段呢，它就是 m 的 纵坐标。哎，那我发现我没有必要用你的 m， n 等于 m， m 撇，我直接用这一小段一半去等于这一半就 ok 了。哎，所以我上来的时候把这个问题简化了一下，哎，简化了之后来，咱们现在去表示线段， 尝试去表示线段来，怎么表示？这个 m 在 哪呢？ m 在 l 二上 l 二。这抛物线我们不是求出来了吗？我求出来，我就可以用抛物线去把你射出来。哎，我就射横坐标 m， 纵坐标直接带，直接带，带完之后来看看能不能表示出来。其他线段 是不感觉挺好表示的。哎，我这一段不就是一个三减去 m 吗？哎，那这就是三减 m， 好，那这一段呢？我发现这一段不就是我的纵坐标吗？但是你来看一下， m 平方减六， m 加五，这个是不是可能上，可能下，因为我不确定你这个 m 在 上面，还是说 m 在 下面，所以我是不是最好带上绝对值， 哎，表示线段要保证你是正的，我最好把绝对值带上。好，带上了，带上之后来看这两个玩意是不是相等，我这个东西，它就是一个正方形了，所以我直接画等号就可以了， 哎，画等号，所以我是不是就可以得到这样一个方程？三，减去 m 等于 m 平方减六， m 加五，然后我是不是要分一下上下，哎，因为我知道这个线段，这个线段也就是我 m 的 这个纵坐标，它是不是可以是正的，也可是负的，哎，那如何去分？临界状态是谁？ 临界状态不就是我这个点 a 吗？是不就是这点 a， 哎，我发现只要你 m 在 a 的 左边，这玩意就是正的， 小于一，我是不是可以分一下，当 m 在 我的 x 轴上方的时候，也就是说这个 m 点在 a 的 左边的时候， m 要小于一，那此时此刻这里头是不是就是一个正数？哎，这里是正数，你就直接去掉绝对值，就可以了解出来。这两个数解出来之后，你看 m 要小于一，那这玩意超范围了，射掉它， 哎，射掉它，然后再往下看，还是这个方程，当我的 m 在 x 轴下方，也就是说我的 m 是 不是在 a 的 右边的时候，哎，那此刻你来看一下这个取值范围是不是就是一到三？哎，来看一是哪一就是我 a 点的坐标嘛， 就是 a 点的坐标，三呢，就是我这个 c 撇的一个横坐标，所以在这一段的时候，哎，在这一段的时候 m 是 在 x 轴下方的，那此时我要是去掉这个绝对值，是不是要取一下相反数？所以取掉相反数之后就是三减 m 等于一个 m 平方减六 m 加五的相反数， 然后去解出来这两个答案来，这两个大家看一下能都取到，不是发现这个明显超了，它肯定大于三，所以你把它舍掉，所以最后是不是就是这两个答案， 哎，这两个答案就 ok 了，来看他要求的是 m 点的坐标，你现在已经知道 m 了，是不是你直接回带回去，哎，回带回去就可以解除我要的 m 点的坐标，这个题是不是就搞定了？好，那咱们稍微来梳理一下这个题，你觉得重点在哪里呢？ 首先第一步，你是不是在画图的过程中，你得让你的这个点按 m 点在你的抛物线上走一走，看一下它是否需要分类， 哎，看一下它的上下位置是否发生了变化，如果变化了，这个线段是不是会发生改变，哎，线段的上下关系会发生改变。所以第一步，哎，第一步是不是要在整个抛物线上去分上下？哎，所以整条抛物线 要分好上下，哎，整条抛物线要分好上下。第二步是在干嘛？ 第二步是不是就是在找等量列方程？而且这里我们是不是为了方便没有去列 m n， 我 们去取了它的一半，我发现它的一半是不是明显更好列一点？所以第二步找等量列方程， 找等量列方程。第三步，还有什么需要注意的？就是我们在表示线段的时候，因为上下关系其实不确定，我不知道 m 是 在上面还是 m 在 下面，那此时表示线段长的时候，记得要加啥？ 是不记得要加绝对值符号，所以表示线段， 表示线段记得绝对值。哎，如果上下关系不确定，绝对值符号不能丢，那么这个题是不是就做出来了？

九上数学最难的二次函数解析式全部背熟，逆袭班级前三。九上数学二次函数解析式的六种形态，形态一，元点式形态二，纵轴式形态三，横轴式 形态四，顶点式。二次函数图像与系数 abc 的 关系。求二次函数解析式的题型集锦。一、一般式二，顶点式完整版分享！

这个视频为师带你复习一下二次函数。对于二次函数，你要掌握三大基本技能，一、二次函数的图像与系数的关系。二、根据二次函数的解析式，求顶点。三、求二次函数解析式。咱先回顾一下二次函数的图像与系数的关系。 假如正是二次函数 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c 的 图像，你能看得出 a、 b、 c 的 正负吗？ a 好 办，它的正负与耙物线的开口方向有关，现代耙物线开口向下，所以 a 小 于零。再说 b、 b 的 正负得看对称轴，对称轴在这儿显然大于零。这个式子大于零， ab 肯定异号已知 a 小 于零，所以 b 大 于零。 借来看， c、 c 其实就是图像与外轴交点的纵坐标，也就是说，这个地方应该是 c， 它位于外轴的正摆轴，所以 c 大 于零。 其实，除了 a、 b、 c， 咱们还能判断 b 方减四， a、 c 的 正负。它的正负由 pi 线与 x 轴交点的个数决定。现在 pi 线与 x 轴有两个交点， 所以 b 方减四， a、 c 大 于零。如果只有一个焦点，那 b 方减四， a、 c 就 会等于零。如果没有焦点， b 方减四， a、 c 就 会小于零。 好了，除了这四个东西，我们还能不能得到其他信息呢？观察一下这个图，不难发现， x 等于一时抛物线上的点在 x 轴上方，也就是说， x 等于时， y 大 于零，把 x 等于带入解析式，得 a 加 b 加 c 大 于零。 类似的， x 等于负。一时抛物线上的点在 x 轴下方，也就是 x 等于负。一时 y 小 于零，把 x 等于负。一代入解析式，得 a 减 b 加 c 小 于零。好了，关于二次函数的图像与系数的关系，为师就说这么多，下面再来看看第二点， 根据二次函数解析式，求顶点坐标。二次函数解析式有两种常见形式，一种是顶点式，一种是一般式。顶点式的顶点坐标很好确定，横坐标是 h， 纵坐标是 k。 一 般式稍微麻烦一点， 横坐标是负的二， a 分 之 b， 纵坐标是四， a 分 之四 a c 解 b 方。以上两个二次函数的顶点公式你可得记牢了，接下来咱来看看第三点，求二次函数的解析式。关于真一点，为师给你举两个例子。 先看第一题，二次函数 y 等于 x， 方加 b， x 加 c 的 图像经过点二十一和点负一负七，则它的解析式为。这个简单，把这两个点都代入解析式，斜出来就是这样，然后求出 b 和 c 就 可以了。 算一算， b 等于五， c 等于负三，所以二次函数的解析式就是， y 等于 x 方加五， x 减三。再看第二题，若二次函数的图像顶点坐标为二负一，且抛物线过点零三，则二次函数的解析式为。 这个咋错呢？现在已知了顶点坐标是二负一，那咱们就可以直接设顶点式， y 等于 a， 倍的括号， x 减二的平方减 e， 接下来只要求出 a 的 值就可以了。已知炮线过点零三，那就可以把这个点代入解析式切出来，就是这样，算一算， a 就 等于 e， 所以二次函数的解析式就是， y 等于 x 减二，括号的平方减 e。 搞定。小结一下，如果已知顶点，你就直接设顶点式来求解，如果不直到顶点，你就直接代入一般式来求解。 好了，最后咱再来回顾一下，对于二次函数，你要掌握三大基本技能，一、二次函数的图像与系数的关系。二、根据二次函数的解析式，求顶点。三、求二次函数的解析式，记得关注再走哦！

二次函数这样画，若有符号画过来，整体加二往上移，整体减二往下移， x 加二往左移， x 减二往右移，整体乘二要变瘦，整体除二要变胖，你学会了吗？

十秒秒记二次函数图像二次函数这样画，看见符号倒过来，整体加三往上移，整体减三往下移， x 加三往左移， x 减三往右移，整体乘三要变瘦，整体除三要变胖。这些知识点都在哈工大的高中函数题型全解离函数是高中数学最重要的板块，也是数学的分水岭， 他专门把最难啃的函数拆成七大章节，八大函数的知识点等等， 每个知识点都给你整理的清清楚楚。还有立体解析，一步步教我们如何学透函数，遇到不理解的还有视频讲解，不怕搞不懂，高中吃透这套书，数学考试轻松拿高分！

各位朋友大家好，这个视频给大家解答，粉丝群提问，二次函数图像与系数的关系。首先我们来看题目的一致条件，对称轴为直线 x 等于一的抛物线， y 等于 a x 平方加 b， x 加 c。 如图所示，小明同学得出了以下结论，一二三四五问。其中正确的结论是？接下来呢，我们一个一个来判断。首先来看第一个， 第一个结论说的是 a 乘 b 乘 c 是 不是小于零，那么 abc 的 正负情况呢？只跟 abc 每个人的正负情况是不相关。好，我们接下来来看第一个的判断过程， 在这里呢， a 决定什么？开口方向？由于二次函数是开口向上的，说明 a 大 于零， b 决定什么？ b 没有任何作用，是 a 和 b 一 起决定。对称轴是左同右异，我们会发现对称轴在 y 轴的右侧，这叫右异，那么就是 a 大 于零，意味着 b 小 于零， c 呢？ c 决定 y 轴交点，整个二次函数和 y 轴的交点呢，在 y 轴的下方，那么说明 c 呢，是小于零的， 那在这里呢， abc 是 正负负，那么正负负的话，三个乘积是不是就是一个正数？所以第一个 abc 小 于零是错误的。接下来看第二个， 第二个呢？题目上判断的是 b 平方大于四 a c， 想要判断 b 平方大于四 a c， 我 找什么？是不找单调？我们都知道单调呢，等于个 b 平方减四 a c， 那 么单调决定的是什么？是不是一元二次方程解的个数？对于二次函数而言，是不就是这个二次函数 y 等于零的时候与 x 四轴的交点个数？ 既然我发现了二次函数与 x 轴有两个交点，那么也就是说 b 平方减四 a、 c 呢，是大于零的，既然是 b 平方减四 a， c 大 于零，说明 b 平方大于四 a、 c， 那 么既然第二个说的 b 平方大于四 a、 c， 说明第二个是对的。 ok， 那 么接下来我们来看第三个。 第三个呢？题目中这里给的是啥？四 a 加二， b 加 c 大 于零，那我接下来就要思考一个问题，就是如何在这个题目中去实现四 a 加二， b 加 c， 那么对于二次函数而言，是 y 等于 ax 平方加上一个 b， x 加 c， 来对比一下，这里是四 a 加二， b 加 c， 这里是 ax 平方加 b， x 加 c， 那 么这里就会有一个特征了，当 x 等于二的时候， y 就 等于个四， a 加二， b 加 c， 那么也就意味着如何实现四 a 加二， b 加 c 呢？是当 x 等于二的时候， y 的 值就是四， a 加二， b 加 c， 相当于我们有一个点坐标，当横坐标等于二的时候，对应的纵坐标是不是四 a 加二， b 加 c 了？ 那接下来看图横坐标为二的时候在哪？我们知道二次函数的对称轴呢，是个一在这个地方， 那二没有呀，怎么办？看，一向左一个单位到零，也就是说零在这个地方，那么一向右一个单位到二，那么也就是说这个题对应的二是不是在这个位置？ 那么当 x 等于二的时候，对应的二次函数图像是这个点和零相对的，意味着跟 y 轴交点是不一样的。所以呢，我最终就能够得到一个结论。题目中呢，问的这个四 a 加二， b 加 c， 实质上呢，我能够得到一个结论，它是小于零的。 那么这个题第三个部分说四 a 加 b 加 c 大 于零，那么他就错了， ok， 看第四个三 a 加 c 大 于零， 大家想一个问题啊，如何能实现三 a 加 c？ 对 于二次函数而言，对称轴是 a 和 b 的 关系， 然后呢，二次函数关系是在代值的时候是 abc 之间的关系，但是呢，这个题问的是三 a 加 c 怎么办？我要想办法把 abc 的 关系的这个 b 是 不给他去掉了。 所以那么第四个在做题的过程中，首先我们要做的不是实现三 a 加 c， 我 先找 b 好。关于这个二次函数的对称轴，我能够得到一个结论是不，一个负的二 a 分 之 b 是 不等于个一，那么我就知道了， b 实质上就等于个负二 a， 也就意味着我在带特值的时候，要注意给 x 取一个值，我得到的是 abc， 当然这里的 b 是 可以被换掉的。我们看到了已知条件，这个二次函数上 x 明确标注的有两个，第一个是负一，第二个是一。 那简单，我先带一下一，让大家看一下。就是当 x 等于一的时候， 那当 x 等于一的时候代入呢？类似于这个过程，当 x 等于一的时候呢， y 就 等于个 a 加 b 加 c， 既然这里 b 是 个负二 a 的 话，我在代入的时候就变成了 y 就 等于个 a 减二 a 加 c， 那 么 y 就 等于个负 a 加 c 了。 但是你会发现， x 等于一的时候，我形成的是负 a 加 c， 跟我题目中要的三 a 加 c 是 不一样的，那么说明 x 等于一，这个代入的过程不符合题目要求。 那么在 x 轴上，题目中明确给的数字还有一个人是负一，那也就是说，当 x 等于负一的时候呢， y 就 等于个 a 减 b 加 c， 你 看 b 是 不等于负二 a， 那 a 减负二 a 的 话，代入过程就变成了 y 就 等于个 a 加二 a 加 c， 所以呢， y 就 等于个三 a 加 c 了，意味着什么？意味着三 a 加 c 跟 x 等于负一的时候的 a 减 b 加 c 是 一模一样的。我们看到了，当 x 等于负一的时候呢？二次函数取这个点，你对应的 y 是 不是正的？ 那么也就是说这里的 a 减 b 加 c 是 大于零的。既然 a 减 b 加 c 大 于零的话，意味着三 a 加 c 也是大于零的，因为整个过程中是恒等变形过来的。那么第四个说三 a 加 c 大 于零，也就意味着它是对的了。 ok， 那 么接下来我们看最后一个，第五个。第五个呢？题目中要问的是 a 加 b 小 于个 m 倍的 am 加 b。 好， 那么我第一个步骤把这个 m 乘进去， 那也就是说 a 加 b 要小于 am 平方加上一个 bm， 再来一步变化，两边同时加 c， 那也就是说 a 加 b 加 c 小 于 am 平方加上一个 bm 加 c。 那 么接下来观察我转化成功的这两个式子， a 加 b 加 c 和 am 平方加 bm 加 c 对 于 a 加 b 加 c 而言，是 x 等于一的时候的微值。 那么 am 平方加 bm 加 c 呢？是 x 等于 m 的 时候对应的位置。 那我根据二次函数的图像去判断，二次函数开口向上有最小值， x 等于一的时候是取得最小值了，也就意味着 x 等于一的时候对应的是最小值， 那 x 等于 m 呢？ x 等于 m 的 话，这哥们是一个变量，那么也就是说是变化的值， 我们很明显能看到了， x 等于一的时候，既然是最小值的话，意味着最小值是小于其他所有的部分。当然题目中有个等号我忘抄了，那就是小于等于就可以了， 那么也就是说任何时候的 y 值都会大于最小值，当你刚好等于一的时候，取得最小值的时候，你和这个最小值是相等的。所以这个题目中第五个呢是对的。 好，那我把每个都判断出来之后呢，题目中问正确的有谁，那么也就说这个正确的有二 四五这么三个。我们会发现二次函数图像与系数关系这种题目，题目中呢需要我判断的是五个东西，每个东西所用的方法都不一样， 所以这种题目呢，大家要做题的过程中是分类型去做题，每种类型你都会处理了，那么你在做这个题的时候就没有任何问题了。 首先呢，你要确定他有几个类型，你会了几个类型，把自己会做的类型一判断不会做的类型，我们再额外的把它研究通就可以了。这就是给大家分享的二次函数图像与系数关系的做题过程以及其注意事项。 更多实用的数学资料我会在资料群持续给大家分享。今天的视频就分享到这里，我们下期视频再会。

九、上数学最难的二次函数，十六种题型全部吃透，稳进班级前三、二次函数解答压轴题题型一，存在性问题题型二，最值问题题型三，二次函数与圆形四、二次函数与相似三角形 题型七，最值问题。题型八，曲直范围问题题型十，动点问题题型十二、旋转问题完整版分享！

的二叉式的解析式的求法。首先呢，我们要在做这道题之前呢，首先要明白，在求二叉式解析式呢，无非就是一般式，那么它就是有三个坐标啊，列算式，发生数，还有呢，一般它考得比较特殊， 有一个顶点式和焦点式，我们先复习下，顶点式是 y 等于 a 被括号 x 减 k 的 平方加 h 是 不是？是不是啊？啊， a 被括号 x 减 k， a x 加 k 的 平方加 h 啊，还有一个这是顶点式， 反正字母对不对？没关系啊，它大概式子是这样的啊，顶点式，这叫顶点式。还有也就是 y 等于 a 被括号 x 减 x， 一 乘上个 x 减 x 二，也就是说让你知 a b 括号 x 减 x， 一 乘上 x 减 x 二，也就说给出三个坐标，其中两个坐标的纵坐标都为零，是是焦点是，这个焦点是 好。第一个题，我们看一下已知二次函数的图像，顶点是负一和二，这不顶点吗？经过一可负三，那么二次函数的解析是有多少？首先它给的是顶点，那我们就设它的顶点是 设 y 等于 a 倍括号 x 加 k 的 平方除以 h， 那么它经过顶点的就是顶点，知道是多少？负一和二，它就变成 x 加一的平方，是不是再加二，顶点是不是等于负一和二，然后把 一和负三代入，那就也就说负三等于 a 的 括号，这个是一等于去是四加二， 所以我们代进去以后呢，算多少？ a 就 等于上一个负五，负四分之五，也就表达式知不知道了。二次表达式等于负四分之五， x 减 x 加一的平方是不是加二？那么这样你画成一半时呢，我们就把它 发型的话，一般这样也行，对不对？看第二题，已知二叉图像经过点，你看这点重要是零吧？零零，那这时候呢，要设什么焦点式好？第二题，那我们就设 y b 多少 x 加一乘上的 x 减三，对不对？然后把什么把这个第三个点零六代入外中，对吧？ 然后代进去以后，就乘那个六等于上一个负三 a a 是 不是等于负二， 所以表达去变多少？负二被括号 x 加一，乘上 x 减三，然后再画成一百式，就是负二，被括号 x 平方 十三乘负一就是减二 x 减三，然后再乘进去就是负二 x 平方加四 x， 然后呢加六， 零点式，焦点式，这个呢必须掌握，那我一般在中考的时候呢，求二。函数解析时候一般有三步，第一步呢残余一般求呢？求解析式，这个快，对吧？ 然后才能做第二步啊，第一步做错的话，后面就解析式错了，后面结果就没法算了，就整个错了啊，明白没？

二次函数的多角的问题，它其实考察的就是我们对二次函数的图像和性质的理解和运用。那我们一起来看一下今天的这道题，他说我们这个二次函数的图像呢？如图所示。然后下面几个结论问我们最后正确的结论有几个，那我们一起来分析一下。 首先第一个 a 乘 b 乘 c 大 于零，那这个很明显，我们是不是要去分析 a、 b、 c 的 符号？首先我们看开口，那开口向下说明 a 是 小于零的，那 再我们再去看对称轴的位置，这个对称轴它是不是在 y 轴的右侧，根据我们的口诀左同右异，是不是说明 a、 b、 e？ 哈，所以说呢， b 是 大于零的。好，那我们再去看二次函数图像跟我们 y 轴的交点的纵坐标，这里是就是我们的 c 啊，那很明显我们 c 是 不是大于零的？ c 大 于零的？好，所以说 a 乘 b 乘 c， 我 们是不是一负两正，所以应该是小于零的，那第一个就错了啊。好，再去看第二个结论，二 a 加 b 等于零，那这个二 a 加 b 等于零，它是不是在考察我们 a 和 b 之间的数量关系？ 那么说在二次函数对称轴确定的情况下，其实我们就从对称轴的方向出发，去找 a 和 b 的 数量关系，是最直接简单的，对不对？好， 那我们对称轴 x 等于负二 a 分 之 b， 那 这里我们对称轴是 x 等于一，那我们是不是就可以把 b 用 a 来表示 b 等于负二 a， 那 这里二 a 加 b， 我 们是不是就可以替换成二 a 加负二 a， 那 很明显是不是就等于零的？所以说二就是对的。 好，我们再看第三个结论，它说 m 为任意时数， a 加 b 都大于 a m 的 平方加 b m， 那 我们看这个不等式，左边 a 加 b， 右边 a m 的 平方加 b m， 哎，好像是不是跟我们完整的二次函数表达是都差一个 c 呀，对不对？那我们就可以 先给这个不等式，两边同时加上 c， a， a 加 b 加 c 大 于 a m 的 平方加 b， m 加 c。 好， 那么现在来看，这个 a 加 b 加 c 也是我们经常见到的式子了，它是不是对应的是我们 当 x 等于一的时候 y 的 值？而且当 x 等于一的时候，也是属于我们二次函数里面一个特殊的点呢，对不对？就是在我们顶点这里啊一，那这个时候 y 值是就是我们整个二次函数的最大值啊，这个时候 y 就是 我们的最大值， 那 am 的 平方加 b， m 加 c， 它是对应的，是当我们 x 取我们的 m 的 时候对应的 y 值。好，那这里它说 m 是 任意使数， 那 m 既然是任意实数，就说明我们 m 也有可能它就等于一啊，对不对？当我们 m 等于一的时候，右边是不是也变成了 a 加 b 加 c， 那 这个时候我们两边是不是可以取等的，对不对？那所以说这里我们 a 加 b 加 c， 是 不是应该是大于啊？ 等于 a m 的 平方加 b， m 加 c， 因为我们考，因为我们要考虑到 m 它恰好也等于的情况，所以这里应该举到等号啊，所以说那第三个就是错的。好，紧接着我们再去看第四个结论， 第四个 a 减 b 加 c 大 于零，这个 a 减 b 加 c 是 不是也是我们经常看到的一个式子啦？这是对应的是，当 x 等于负一的时候，我们的二次函数图像上的 y 值到底是大于零还是小于零呢？ 我们首先看这个二次函数图像跟我们 x 轴的交点啊，我们先把它标为 x 一 和 x 二， 那右边这个 x 二的这个点，它是不是在我们三的里面？在我们三的左边，那三到这个 对称轴的距离是二，那我们 x 二到这个对称轴的距离是肯定是小于二的，那我们左边距对称轴 距离为二的点是不是我们的负一？所以说那负一是不是应该就把我们的 x 一 包含在里面，也就是我们负一应该在 x 一 的左边？那现在我们是不是就把这个 x 轴上负一的位置确定出来了？那负一在这里，它在我们二次函数轴上对应的点是不大概在这里？那所以说我们是不是可以看出来，当 x 等于负一的时候，我们函数值 y 应该是小于零的，所以说第四个就错了啊。 好，我们再来看最后一个结论， a x 的 平方加 b x 一 等于 a x 二的平方加 b x 二，这个等式是不是跟我们第三个形式有点像？感觉也是。左右两边是不是缺了一个 c？ 所以 我们也可以给它补上， a x 一 的平方 加 b， x 一 加 c 等于 a x 二的平方加 b， x 二加 c， 那 我们左右两边是不是就分别对应的？就是我们 当 x 取我们 x 一 和 x 取我们 x 二的时候，分别对应的两个 y 值，那我们就把左边写成 y 一， 右边写成 y 二，那它现在意思就是当我们 y 一 等于 y 二的时候，并且呢 x 又不等于 x 二，那么这个时候我们 x 一 加 x 二就应该等于二。 好，我们想一下，在我们的含二次函数图像上，那两个点的 y 值要相等，什么情况下我们两个点的 y 值才会相等呢？是不要么？它们本身就是同一个点，也就是当 x 一 等于 x 二的时候，它们的 y 值是肯定相等的。那或者我们在二次函数图像上， 关于对称者的两个对称点的 y 值是不是也会相等？所以说如果我们两个点它们表示的不是同一个点的话， 它是不是就只能是一对对称点的情况啦？那这里它说 x 一 不等于 x 二，就说明呢，我们两个点不是同一个点，那 y 一 要等于二，是不是就只有这两个点？关于对称轴对称了？ 那关于对称轴对称的时候，我们横坐标是不应该满足 x 一 加 x 二除以二，应该等于我们的对称轴一，那也就是 x 一 加 x 二等于二，那所以说第五个不就是正确的？当 x 一 不等于 x 二的时候，就只有 x 一 和 x 二也关于对称轴对称了，对不对？好， 那所以这道题呢，我们是不是就只有两个结论是正确的？答案应该选 a。 那 第五个结论呢？这里老师给大家布置一个小小的任务，就是老师呢，是从这个二次函数图像上去分析的，对不对？那其实第五个结论我们也可以用 代数法，也就是我们可以去通过英式分解的方法去分析。那大家下来可以去思考一下，我们通过英式分解的这个方向怎么去分析第五个结论啊？好，那我们今天的题型就讲完了。

二次函数这样画，加个符号要倒画，整体加二向上移，整体减二 向下移 x 加二向左移 x 减二向右移 x 乘二要变瘦， x 除二要变胖。二次函数真不难，刘老师带你学着玩，点关注不迷路。