2025武汉中考数学几何

同学们好，我是蔡老师，今天蔡老师给同学们分享几何思维，那我们几何题中考试最多的一个方向就是求解线段长。求线段长我们有一些固定的思路，比方说把这个线段放到一个直角三角形中，用勾股定力去求解，或者是把这个线段啊， 我们通过相似的比例关系去转换出来，从而求线段长。那我们今天通过一道题来讲解一下，我们在求线段长的时候应该具备怎么样的思路，以及如何去思考。 这里呢，是金属联盟的一道题啊，正方形 a、 b， c， d， e 和 f 分 别是在这个边 a， d 和边 b c 上，现在我们把这个正方形沿着 e、 f 这个线段去折叠，翻折之后， a 点啊， 这个顶点 a 恰好落在 c、 d 的 这个终点处，所以我们就可以标注一下啊，这里的 g 点，它就是一个终点。好，同时呢，这个点 m 是 g、 h 的 终点啊， 我们翻折过来之后，这个 m 同时也是一个中点。好，那中点我们现在的一个想法就是代表出了线段的长度啊，因为它的这个边长我们是知道的，边长是四，所以我们就可以同步得到 d， g， c， g 还有这个 mg， 还有这个 h， m 都等于二啊，是我们可以同步的信息。好，那我们来想一下，题目突然一下就戛然而止了啊，就让我们求这个 b、 f 的 线段长， 那现在我们刚刚的思路就是求线的长，把它可以放到直角三角形中，或者是通过放到一个三角形中去构造相似啊。我们看如果说把 b、 m 放在一个三角形中，上面暂时是没有一个具体的三角形给它放进来的，所以我们在这里的辅助线可以去往下做一个垂线啊，取一个 n 点， 使得这 b m 他 就放到了一个直角三角形 b m n 中。好，现在我们的目标就来到了，求解这个线段 b n 和这个 m n 啊，如果把这两个线段长求出来，我们这个题就可以大功告成了。好，那再来啊，我们就去思考题目里面的信息，现在还有这个 c g 啊，是已知的，以及这里的 m g 是 已知的。哎，那有的同学就会想到啊，我们的相似里面是有 a 字形相似， 如果一个三角形中有一组平行线，这个时候啊，我们在八年级下册学了中位线的原理，现在啊，中位线就是这个横着的线段，等于底下的这个线段的这个一半，那如果说我们把这个点啊，不是中点啊，是三等分点，我们就变成了三分之一的关系，对不对？ 那这样就可以延伸到这个相似啊，同理，如果说是这个啊，八字形啊，依旧是一样的，我们在这个中线被长里面学到的模型是上下相等，那如果说现在他们比例关系不是相等的，假如是一比二的话， 我们就可以得到其他的边啊，也是一比二的关系好。那基于这样的一个原理，我们来看，这一道题现在要求 m n 是 不是就可以把它和这个 c g 是 同等的地位，对不对？那我们就去限定两个三角形啊，也就是 在这个地方取一个 q 点啊，我们的三角形 q m n 和这个三角形 q g c 啊， 他们俩就是相似的，现在我们的一个目标啊，就是去求解这个 m q 或者是这个 n q 的 长，如果把这些线段求出来啊，我们就这个题就可以转换一下。好，那我们来看一下啊，在这个信息里面呢， 由于这个翻折下来，我们会发现啊，翻折过来之后，这个直角是同步过来的，这个时候游戏的同学就可以想到了一线三垂直这个模型啊，如果是一线三垂直，我们会发现啊，在这个里面 三角形 g、 q、 c 啊，和这个三角形 e、 g、 d 它们俩是相似的啊，也就是我们这里要表示的这个 g、 q、 c 和这个三三角形啊，我们对应字母分别写 q、 g、 c， 那 就是和这个 g、 e、 d 啊， 和这个绿色的三角形相似，如果它们俩相似，哎，这个三角形又有什么样的相 相似比，我们在这个三角形中也拥有一样的相似比啊，那具体的线段长，我们就可以去转换出来。好，我们由于翻折可以得到啊，这边 a e 翻折过来，就是我们巴黎下侧非常常见的一个购物经理的考点，我们设这个 a e 是 x， 那 eg 就是 x， 同时这就是四减 x 啊。 好，那我们就可以快速去转换一下信息啊，得到 x 的 平方是等于这个四减 x 的 平方加上四啊。 好，我们做一个简单的计算，这个 x 是 等于二点五啊， x 是 二点五，四减 x 就是 一点五啊，所以我们同步一下信息，这里是二点五， 一点五，那由于这个比例关系，我们就会快速得到这个三角形，实际上是一个三比四比五的三四五的三角形啊，那我们在做题的时候就可以用分数去表示它，也就是在这个三角形 q g c 中啊，这个 g c 它占的是三份啊，所以呢，一份我们就是三分之二， 大家就可以得到这个 q c， 它占的是四份，所以它的长度就是三分之八啊，那我们得到这个 q g 啊， q g 它占的是五份，所以它的长度就是三分之十。 又因为 m g 的 长度是等于二，也就是三分之六，所以这个 q m 的 长度就是三分之四。啊， 那我们得到了 m q 是 三分之四，在这个三角形中依旧是三四五的一个关系啊，三分之四它占的是五份，而 m n 占的是三份，我们用三分之四除以五，就是十五分之四， 再乘以这个 m n 占的三份啊来约分计算，那这个高度就是五分之四啊， m n 求出来是五分之四。好，接下来只需要求 b n 就 行了。好，这个 b n 我 们也就是快速的可以把这个 c n 去给它求出来啊， 如果 c n 求出来，我们用总的长度四去减去 c n 即可。刚刚已经求出了这个 q c 是 等于三分之八，所以只需要把这个 q n 求出来就行了。现在这个 q m 啊，它是五份，是三分之四，所以一份是十五分之四。现在呢，这个 q n 它占的是四份，我们乘以四就行了啊， 那就等于十五分之十六。好，这个 q n 它等于十五分之十六。我们现在要求这个 c n 啊， c n 就 等于这个三分之八，减去十五分之十六，给它通分，就是十五分之四十，减去十五分之十六， 也就是等于十五分之二十四，给他约分一下，那就是五分之八。 好，我们知道这个地方啊， c n 是 五分之八，那我们就可以转换出这里的 b n 就 等于四，减去五分之八， 也就是等于五分之十二。好，现在呢，它是五分之十二，以及一个是五分之四啊， b n 是 五分之十二，我们发现他们的分母题上是一致的，对不对？那依旧用比例来做，也就是五分之四和五分之十二， 五分之十二可以写成五分之四去乘以三啊，所以他们的关系就是一比三，那这个斜边就是根号十，所以他的答案就是等于五分之四倍的根号十。 好，这样我们就可以把这道题给它做出来。在这个计算的过程中，我们全程都是用的是比例去转换啊，实际上就是利用相似再转换，尤其是做这样的压轴小题啊，我们就可以快速的用一些计算技巧，增加我们的这个 计算速度，从而更好的把这个题解出来。好，至于今天给大家分享的几何题，你学会了吗？

我们来看看这个二五年的十二月考里面的一个学校的考试，那我把第一问呢给他删掉了，只留下呢第二问和第三问啊，相对呢是中等难度的这种题目。我们来看看这个题目本身啊，背景给的是一个等腰三角形 啊， k 一 和 k f 呢是相等的，告诉我们呢，角 k 呢是等于二倍的阿尔法角度，那其中点记是在一个腰上的一个点啊，它是可以动的一个动点，那我们将这个底角啊一点呢和它相连接 之后呢，做了一个垂线，叫做 g m 垂直于的 e g， 这个垂线其实可以无限画下去，是个射线。那么 m 点的确定方式呢？是通过呢将这个 e g 呢它转了一个角度，其实呢我们这个直角三角形啊，它是顶角为 r 法的 这么一个角度的直角三角形好之后呢，取 n 点是 e m 的 中点，那这话的意思呢，就是取的是斜边的中线，也就是我们的 g n， 它呢应该是斜中线，那斜中线呢应该是 g， n 是 等于呢 e， n 是等于了 m n 的 好，这是题目所包含的这个这层意思好，那求证 n f 和 n g 呢是相等的 n f 的 这个位置。那么解决这个题，我觉得我们可以讲几个若干的相关的 啊类型的考题，那么呢你就会觉得呢，它非常的好做这样一道题目哦，画在下面好了，给一个等边三角形之后的话呢，在里面画一个呢一百二十度的等腰三角形， 其中呢 a d 是 等于 b d 的 这个角， d 的 话呢是等于呢一百二十度，然后 abc 啊，这边不能用 b 这个字母，就 a， c， d 或者 a、 c， e 啊，它是一个等边三角形，那要求证的话呢，就是 虚线，这个 c、 d， 它为什么呢会等于我们的 a、 d 还有 b、 d 来的 啊？再打个问号，那对于这种题型呢，我们可以这么来实现啊，我觉得就跟我们的考的方向是一样的，你注意到角 e 呢是等于六十度的角， d 的 话呢，是等于一百二十度的，典型的呢，是一个对角互补的结构，同时呢，它的零边呢，是相等的，也就是 a、 d 和 b 的 相等， 那我们就有理由把它理解为呢，是一个共圆的结构，也就是 a、 d， b， e， 它是共圆的，那么如何呢？在不超纲的情况下来证明这个共圆呢？那证明方式，我们呢说它这个地方 d 一， 它必然呢是角平分线，平分这个六十度的，因为你想啊，在圆里面的话呢，这两个角度对的就是相等的线，那圆周角必然是相等的好，那么我们的画图方式呢， 就是遇正角平分线，就这两个角度啊，要一样，我们呢可以引双垂来辅助证明，也是 d 点呢，向我们的这个 b 一 这个边去引垂 啊，再向我们的 a 一 这个边呢去引垂啊，那只要证明这个垂线段 d， p 和 d q 相等就可以了， 那这个呢，还是不难证明的，也就是呢，我们只需要证明出全等三角形就可以了，也就是证明 d， b、 p 和 d a、 q 呢，它是全等的好，这个全等的依据里面啊，这个边比较好找，最重要的呢是这个条件，这有两个小角，他们呢是相等的啊，这两个锐角 相同的理由是什么呢？因为呢，六十度和一百二十度呢，是要对角互补的，所以呢，这个四点 a、 d、 b、 e 呢，它作为呢四边形来讲， 已经有对角呢，相加等于一百八，因此呢，角 a 和角 b 这边的钝角呢，相加就应该也是一百八十度，像他们的和四边形的和呢，才是三百六的，也是他们也对角互补。 那因此角 b 的 呢，它的补角就肯定和角 a 呢，就相等了啊，也就是外角等于呢内对角 好，所以这个条件最关键。那再补上呢，角 p 和角 q 都是等于九十度的好，因此这两个三角形呢，它就是旋转的全等，自然呢，就有高 d， p 呢，是等于 d、 q 的， 那所以呢， e、 d 呢，它就平分了这个六十度，那得到呢两个三十度的角，它们相等，就会有一种轴对称的全等，那这里呢，指的是呢， e、 c、 d 和我们的 e、 a、 d 呢，就是全等的， 那这个理由呢，不难找到，因为我们的等边 a， e 和 c、 e 相等，角度呢，是一样的，中间呢，有个公共边，就这个全等特别好证明，那自然呢，就能够得到虚线 c、 d 等于呢 a、 d 的 了。 好，这就是我们呢想表达的对角互补，如何来证明它共圆这种这件事情。那回到我们这个题目，我们来尝试去用它，你看这个图当中这个 n 点呢，如果它能够实现呢，我们的 n、 f 是 等于呢 ng 的， 实际上呢，就会呢，等于呢我们的 n 一 来的 啊，这是因为刚刚的斜中线啊，那如果 n 处在这样位置，它似乎呢，就是使得 n、 e、 f 这个三角形啊，它就能成为一个等腰三角形，所以这个 n 点的位置，如果正完了之后的话，它应该呢是在我们的 这个三角形 k， e， f 就 大三角形，它的三线合一的线上的。那我们就有理由呢去想一下，这个 k 和 n 连了以后， 他是不是呢就刚好是三线合一的这个位置，也就是他是不是平分我们的角 k 呢？是不是会有这种想法，那有这种想法呢，我们把它实现，把它证明出来就可以了。证明方式呢，是这样的，因为呢， n g 和我们的 n e 呢是相等的 啊，又因为呢这个角 g 啊，因为等幺三角形，所以他这个角呢是等于 r 法度的，就和角 e 一 样， 那因此呢，我们的这个角 n 这里呢就会等于呢一百八十度减去呢二倍的 r 方，那它和角 k 就 应该是对角互补的好，那有对角互补，以及呢这个零边 n g 和 n e 相等，因此我们推断呢，就有机会证明这里是角平分的 好，那律正角平分，我们呢就引双垂，从这个 n 点这个位置向角的两边去引垂好，垂下来叫 n p 和 n q， 要证明它呢应该是正一个呢，直角三角形的全等好，这里把它写下来是 n， p， e 和我们的 n q， g 这样的旋转的全等好。理由我们看一下，首先呢是有直角，那所以最重要的有一种角度，我们这个锐角啊，直角三角形里面的锐角在这里， 它呢和我们的角一这个锐角呢，它是相等的。理由呢，因为呢角 n 和角 k 啊对角互补了， 所以角一和角记这个钝角部分呢是互补的，那角记呢，还有个补角呢，就是小角记了，那因此一记是相等的，那其他条件呢？我们呢把它一并写上，有两个角相等， 再加上呢一组边，因此呢，它是一个角角边的一个全等啊，就能得到呢，这个高线 n p 是 等于 n q 的， 所以这个二二八角呢，就被平分了。 那对于一个大的等腰三角形而言，你的角平分线就应该呢是我们的垂直平分线， 也是中线，所以这里呢， n h 显然是垂直于我们的 e f 的。 好，再想想有没有共线这个担忧呢？没有的，因为我们是 k n 呢，直接做了延长线啊，所以它本身角平分的下情况下， 下面肯定是垂直并且平分边的。由垂直平分线的定义呢，就自然知道呢， n e 就 会等于呢 n f 好， 再由前面我们的斜边中线，所以呢 n f 它就会等于呢 n g 了。好， 那么这个第三问呢，我觉得难度其实是比较大的，条件背景是在三十度的这样一个等腰三角形当中啊，里面套了一个等边三角形 啊，也就 p q g， 这个 p q g 呢，各边长呢，都是等于七的，告诉我们呢， k g 的 长度等于呢五倍的根号三。好求我们原始的那个 k e f 啊，最大的这个， 它的这个幺是等于多少的？那问的是 k 一 的长度，那其实这个题呢，可以在两侧都可以呢，去做我们的一线三等角，那最初时还比较常见的有个呢，在我们的 e f 这边呢，去做一线三等角。那我一会呢，先说正解，最后呢再补充说一下 不可行的那个方法啊，就是相当于错解啊，也一并补充一下。我们先说这个正解，有两类左右呢，其实都可以不区分的。 我先说这右边这个他容易想到，我们可以考虑一下呢，一线三等角的结构，这是六十度，剩下话呢，我们呢如何来画？那画的方式是这样想的， 嗯，其实想到这个一线三等角，都是因为在下面试了一下，又在 e f 的 边上试一下，没有成功，所以呢才想到说在我们的这个 左右两个腰上去进行尝试。我们把角度呢稍微标一下，这个角 f 呢和角 e 呢都得呢七十五度来的。那我先在 k g 这边的话呢，画一个六十度。好，那你画完六十度的时候呢，顺带的你会发现有个的外等腰，它做里面的这个角度刚好是六十的一半 啊，因此呢，这两段应该是长度一样的，我们呢取名一下，没有 a， b， c 呢，等于呢六十度， 那这样会有两组腰是一样的，当然我们呢最主要的目的呢，是为接下来的这个一线三角去做准备，所以计算的这些量呢，先不去纠缠，我们接着往下看下面来这个 f 它是七十五度的啊，所以它不适合嘛，那不适合我们就把它调整一下， 调整一下呢，尽量呢用到这个七这个边长，因为它们相等的，所以呢，我没有从这个 f 这里呢去切割这个角度，把它变成六十和十五，这样不太合适啊，就保留这个 g q 这个七，这个长度就向下划 啊，要小于略小于七十五度啊，那继续呢，延长我们这个幺到我们的 d 点 b， 使它呢等于六十度， 那这样的话呢，你就可以看到一个三垂直的，应该是全等，对吧，它没有相似。好，指的是这样两个三角形， g， p， a 和我们的 q g b 啊，理由写在这里，一个来呢，等边的这个腰长是一样的， p g 和我们的 g q 呢，长度都是等于七的 啊。再是我们呢 go 的 这个角度也够了啊，写简略一点，就是呢角 b， 对 呢六十度。好，那另外还有一个角度是通过的中间转的叉角加上六十作为外角来讲呢，是对角 a 那 边再加个角 p 啊，所以 p 和 g 的 话呢，是相等的，我们也写简略一点，所以有两个角相等角角边啊。接下来呢，我们呢来解这个三角形，那需要呢标注一下这里面对应的边啊，先从上面这个地方开始啊，因为它有三十度。 好，那又有五倍的根号三，那先不去破坏这个五倍根号三，看一下他是这样的图形，这边呢是七，不难看出来呢，我可以呢先做的垂直，得到呢二分之五倍的根号三，那之后呢，再乘以根号三倍，就是二分之十五， 在七这一侧，相当于双勾股。再来一次那一作差，发现它等于呢二分之十一平方之后，那因此这个 k p 的 长度呢，是等于二分之二十六，就等于呢十三的。那么进一步下去呢， 回到我们的这个 a b k 里面，它是一百二十度的一个等腰三角形，那两边长的话，等于呢二分之等于呢三分之十三倍的根号三。 上面这个呢也是好，我们呢做个叉，可以算出呢 a g 的 长度等于呢三分之二倍的根号三。那你会发现到呢，我们呢已经得到了这个全等三角形的三条边， 它的角度啊，只有一个特殊角，那依次呢对应到呢我们的全等的这个三角形里面去就行了。这个 q b 这条边，那这条边长后呢，对应呢就等于呢三分之二倍的根号三，但是呢 g b 这条边 虽然不是特别理想，因为比我们的要求那个 g f 呢长了一点点，对吧？啊？它等于呢三分之 十三倍的根号三。好，那多的这一部分怎么办呢？我们看这个角度啊，会起到一些作用，这呢有个七十五度，那我们现在目标是要求出它的一部分，也就是这个 g f 的 长度，对吧？好， 那看我们呢如何来处理掉这个 b f 这个部分的，那七十五减去六十呢，是等于十五度的，那也是小 q， 那 的话呢是等于十五度，那么如何来利用呢？这个角 b 的 这个六十度特殊角呢？那你想一下，如果给你一个三十度，你会怎么处理呢？会做垂的吧，如果单纯解三角形的话， 如果给四十五度会怎么做呢？是不是也是做垂啊？如果给六十度呢，会怎么做呢？是不是还是做垂？所以通过解三角形来讲，逻辑上呢，知道我们应该是做垂来做，那在这句话呢，其实也可以这么去尝试， q 点呢向我们这个边呢去做垂就好了， 那下来呢叫做 c 点，那做完垂之后呢，其实就有办法算出我们的 bc 的 长度，对吗？ 好，这个 bc 长度呢上呢就等于三分之根号三啊，用的呢是三六九的三角形，还剩下一点呢，要把这里面的这个 b f 给它去掉去。好，我们可以这样来考虑啊，由于呢，这个呢，三六九角 q 这里呢，应该是三十度， 它被分成了十五度和十五度来的啊，两个十五度，那两个十五度呢，角平面线的样子对吗？那我们的角平面线来处理就好了， 那就是将这个 c q 这条边呢给他计算一下，上呢是等于一的。好，那在这里呢，角平分线性质就是 c q 除以呢 b q 这个比值啊， 那就等于呢，我们的对应的底边之比 c f 比上 b f 啊，这又是一个什么原理啊？我们也简要说明一下，具体这个十五度呢，只要相等就可以了啊，不一定非得是这个度数，那因为角 c 这里有直角啊，我从角平分线那向两边一垂，所以你会发现呢， 这样两个三角形，它的面积之比啊，阴影部分的面积之比呢，在它们的高都是一样的情况下啊， c f 和我们这个高啊，都一样的情况下，那边长的之比就是面积之比了，那就是 c q 和 b q 就是 这两个三角形的面积之比啊，好比呢，上面叫 s e， 下面角 s 二，所以呢， s 一 比上呢 s 二等于呢 c q 比上呢 b q 了，那再换一个角度啊，我们呢以 bc 的 角变来看啊， bc 和 c f 呢，是 共，是共一个位置，共一条线的，那它们的高是相等的，不管是 s 一 也好还是 s 二也好，它们的高呢，都是 c q 来的， 那 c q 上面的公共的高，所以高一样的情况下呢，你也可以说它们的面积之比啊，等于呢 c f 就 比上呢 b c 来了， c f 比上呢 b f 来的，这是呢，通过呢转化它的底和高的不同的位置可以看得出来。回到这里面我们就知道呢， c q 和我们的 b q 的 比值，一个是一， 一个呢是三分之二乘以的根号三，那 c f 和 b c 里有个比值啊，虽然都不知道啊，我们先把这个比值写下来。好，那么是等于呢根号三比上二的，那就好比呢，这个是等于根号三 x， 这个呢 b f 呢等于二 x， 那它们相加是知道 b c 长度的，这里有等于呢三分之杠三。因此呢，我们呢就打算呢先把这个 x 呢给它求解出来啊，其他呢也可以呢和比的性质啊，那我想呢还是走普通的路径，就直接呢求解好了，那算出来的这个 x 值呢，表达式是这样的， 需要呢分母呢油理化一下。好，这是我们的 x 的 值，那看的是要求我们的 b f 还是 c f， 那 我轻下面呢就把这个 b f 给它求出来了，一会把它减下去就可以了啊，因为我们可以看到呢，整个这个长度里面就只有 b f 这段多了， 它是等于呢两倍的 x 的。 好，那我整个的呢把 k b 呢把它撸一遍啊，整个的从上，首先是 k g 等于呢五倍的根号三 啊，再加上呢我们的 g b 三分之四三乘以的根号三啊，减掉呢这个 b f， 我 们把有理数的部分给它 计算一下就是一个。之后呢，再把我们的无理数的部分呢给它计算一下，等于呢八倍的根号三，这个就不再是 kb 了啊，因为 kb 已经减掉我们的 f b 了， 所以这个呢算过来呢，就是 k f 的 值，也就是等于呢 k 一 的值，这是在右侧去做我们的一线三等角。好，那么如果是在左侧啊，他应该也是个正解，不过左侧要好算很多。 我们呢再说一下这个左侧这种情况，在左侧的话呢，去构造呢一线三等角呢，它的优势呢体现在呢，能够直接的不破坏我们的五倍杠三这个位置。那你做一个呢，六十度角， 还是叫 a 吧，这样可以刚好直接用上这个五倍角三啊，一百二十的等腰三角形，这就是五了， a g 也是等于五的，那再有呢，六十度，那我们这个时候呢，就直接做垂就好了， 用上三六九呢，可以把两个直角边表示出来，再用七呢去勾股一下算算，结果呢，也有个二分之十一，这样把整个呢所有边长去换算一下就有结果。 好，那我这个主要是把这个 a p 呢表示一下就好了，因为这个 a p 是 一个完整的变长的，刚刚看到的它是等于八的，那要去构造一线三等角的全等 啊，我们就只能往下来画，因为这个七十五度用不上嘛，但那个角度要比七十五要小一点。好，那就到这里来，其中角 b 是 等于六十度的，这回全等三角形 啊，我们呢直接列条件，嗯，是这样，两个三角形七的边长呢是一组，然后六十度的话呢是一组。我们先简略一点，角 a 等于角 b 啊，不是很严谨的写法，再来一个呢，一个叉角加上六度作为外角来讲呢，就等于了角 q 了， 这也不算很严谨啊，但是可以看出来这个意思，全等之后呢，我们把对应边呢给它写上去就可以了，这个 ap 对 应边 到这边来， b q 是 等于八的， b p 长度呢，就等于了 a g 等于五的，你会发现呢，它距离我们要求的这个 k g 刚好呢，是多了一小段啊，这个 b e 长度，那处理办法还是回到刚刚那个角 b， 它是六十度啊，或者是四十五度，或者是三十度这种特殊角，那我们呢，按照解三角形的想法呢，给它直接做垂啊，垂住呢微点 c， 直到呢这个 bc 的 长度刚好呢就是等于呢四的，现在呢，只要把这个四当中的这个 b e 呢给它弄清楚就行了。 好算法，也是呢，基于它有个巧合的地方，我们的角 q 正好下方呢是十五度，而利用呢是七十五减六十来的，那上方这个呢，就直接是做出以后的三六九三十度去减十五，那就等于十五了， 也是一个呢角平分线的样子。我们用角平分线的第二定律好知道呢， c q 和 b q 的 比值等于呢 c 一 和 b 一 的比值，这个比值我们先先用八和四倍根号三呢给它填上去，根号二啊根号三比成二，所以就直接呢设 c 一 就等于了根号三 x， b 一 呢等于二 x， 那 么它的和就直接等于 b， c 等于四，这样的 x 就 优先求解出来了，这个 b 一 就能写了， 那 k 一 的值就是用的全部的长度，这个全部长度呢，刚好是个有理数啊，五加八加上五等于十八，然后减掉呢，多出来的这一节 b 一 的长度算出来呢，是等于二，加上八倍的根号三，那这个计算量确实就比刚刚那个要小一些 好，所以我们这个当然这两种都能算出来，还是有点区别的好。那么第三呢，最初的时候考虑的是在下方，因为他其实有等腰的提示，七十五度有提示的，当然这种呢，最终没有说做出来啊，因为呢，他对这个五倍的根号三的利用呢，还有三十度的利用就非常少了 啊，就只单纯的在下面去做我们的六十度构成的左右呢，有一个一线三等角的这个结构，但这样做呢，我确实没有去尝试出来，结果啊，这两个阴影三角形是全能的，其实这是最初的想法， 也是呢，比较普遍的想法来的啊，所以这个题目呢，整体难度呢，应该是比较大的。