新人教版八年级数学下册五MS几何

这是一个正方形，让我们求线段长度的一道几何题啊。如图，正方形 a， b， c， d 的 边长是六， m 是 ab， 中点啊，它 m 是 一个中点 三角形 m， b， e， m， b， e， 哎，是一个等边三角形。过点 e， 给我点 e 做 m， m， e 的 一个垂线，这是一个垂直，然后交 b， c 于 q， 交 a， d 于 p， 让我们求谁？求 pe 的 长，求这段的长啊，求这一段长，给了我们这几个条件啊。在这里我们利用一个全等啊，利用一个全等，呃， 我们可以连接一下，哎，连接 e、 m， p 啊，我们可因为知道这也是垂直正方形啊，这是垂直，然后呢？它是一个六十六十，是吧？ 中点也就是这条边等于这条边啊，这是一个等边，这条边又等于这条边，所以我们有了啊，一个公共边， 斜边，一个直角边，这直角三角形，所以我们这两个三角形，它应该是一个全等的，全等的，全等的边乘是六，也就是它是三、三、三，是吧？ 全等。我们有这个角和这个角，这两个角又是相等的，这又是六十度，那这是不是也是一个六十六十， 哎，所以这两个角都是六十度，那六十度啊，直角他就是一个三十度，三十度，那这个对的直角边是三，斜边就应该是六 啊，有了六，有了三，我们的另一个直角边，哎，三十六减九等于二十七，看一下根号 等于三倍根号三，所以我们的 p、 e 的 长三倍根号三啊，希望这个题对你有帮助。

这道题是八项啊，几何关于勾股定律的一道题。如图，在三角形 a、 b、 c 当中，角 c 等于二倍的角 b 啊，角 c， 也就是说我们角 b 是 r 法的话，角 c 就 应该是二倍的 r 法 d 是 b、 c 上的一点，然后这是一个垂直啊， ad 垂直 ab、 e 呢？又是一个 b、 d 的 一个终点，它是一个终点，终点 d。 问，让我们求证，角 a、 e、 c 等于角 c 啊，我们的 a、 e、 c 就 这个角。 好，我们来看啊，首先，直角三角形，这是中点，斜边上的中点，是不是我们的 a、 e 啊？ a、 e 是 不是等于斜边？中点等于斜边的一半，实际上是等于 b、 e 也等于 e、 d 的。 哎，对，这条边，这条边，这条边，这是等的，那在等腰三角形，这就是一个等腰，等腰呢？我们这个角不也是二法，对吧？所以我们的角角谁呢？角 e、 a、 b 是 不是等于角 b 也等于这个二法？那同他角 a、 e， 那 么我们的角 a、 b、 e 的 一个外角， 所以它等于角 b， 加上角 e、 a、 b， 它等于二倍的二法。又因为我们的这个二倍的关系啊，角 c 是 二倍的角 b 是 二倍的二法啊，所以就有了我们角 角，这个 a、 c 等于角 c 啊，所以它也是二倍的二。哎，这样我们第一问就解决了，我们再看第二个，那么 b、 d 等于二倍的 a、 c、 b、 d 在 哪？ b、 d 在 这， 它等于二倍的这条边，那同样的，我们还是按角来啊。啊，我们看啊， 既然有了第一问，这个角和这个角等，那么我们的 a、 c、 a、 c 不 就等于 a、 e 吗？对吧？ a、 e 呢？又等于二分之一的 b、 d 啊 啊，二倍的 d， 所以 a、 c、 b、 d 是 不是 b、 d 就 等于二倍的 a、 c 啊？所以证明了，第一问，第二问也证明了。然后我们再看啊， 我看第三问， a、 e 等于六点五， a、 e， 这是一个六点五，对吧？那这也是六点五，六点五，六点五，对吧？这几条边是相等的， 然后我们的 a、 d、 a、 d 是 几？ a、 d 是 五，这条边 a、 d 是 五，让我们求谁呢？求三角形 a、 b、 e 的 周长。 a、 b、 e 啊，这个三角形它的周长 啊，这很明显啊，我们有了一个五，有了一个，这是一个直角啊，直角用公母定里啊，这个斜边是十三，这边是五，那我这条边应该是十二十二 啊，这样的边长六点五，六点五十二啊，边长二十五啊。所以这个题啊，我们第一问证明了，有了，第二问，第三问也证明。希望这个题对你有帮助。

这是一道有关于勾股定律的几何题，我们来看一下题，如图，点 a， 在 线段 b、 g 上， 四边形 a、 b、 c、 d 和四边形 d、 e、 f、 g 都是正方形，面积分别是十和十九，就它是十，这是十九， 让我们求谁呢？要求求三角形 c、 d、 e、 c、 d、 e 的 一个面积啊，啊， 这个十啊，其实就是我们 c、 d 的 一个平方，这个十九呢，就是因为正方形都是 d、 e 的 一个平方。在这里啊，我们正常的思维逻辑是不是要做一个啊？我们来做一个， 做这个三角形的一个高，对吧？ 做一个三角形的高，然后用我们的这个 cd 乘以 e、 m， 那 cd 呢？我们可以知道，那它的面积是十， 也就 c、 d 的 平方啊， c、 d 实际上是等于我们的根号十啊，那这个 e、 m 呢？现在我们要解决这个 e、 m， 在 这里我们又 观察啊，目测一下，这个三角形和这个三角形能不能得到全等啊，因为正方形九十度， 那他也是一个九十度，九十度啊，然后我们的斜边呢，是这个正方形的一个斜边，这个三角形，正方形，哎，斜边又相等啊。啊，还没有，我们再看啊，这个角， 这个角加上这个角一吧，这角加角一，应该是大正方形的一个直角九十度。嗯，我写一下这个，假如角角二，角一，加角二，等于九十度。 好，因为你看，我们是延长，延长斜的，因为它是直角，所以我们的角三啊，也就是角三，加上角二，也等于九十度。哎，这时候我们就可以得到角一，等于角三，又有了一个直角， 角角啊，角，角边，对啊，这个也是角角边，所以我们能得到三角形啊， d， e， m 全等于三角形啊。 g， d， a 吧， 这两个三角形 a， a， s， 这两个三角形全等，全等。哎，我们来看啊，我们来看这个角三所对的这个 a， ag， 是 吧？是不是就等于我们的 em， 我 们要求 em， em 就 等于 ag， ag， 对 吧？我们的 ag 可不可以求啊？ ag 啊，这个三角形和这个正方形的面积十九，那这个边 啊，我们的这个 d 记是不是等于根号十九啊？面积是十九，正方形的边啊，根号十九，那么另一条边根号十，根号十。哎， 所以它我们直接算平方吧，平方减平方也就十九啊，用勾股定律算吧。啊，我们的 a， g 是 不是等于十九？减十再开根号，哎，等于它等于三 是吧？ a， g 就是 三，所以我们这条边是三啊，这是根号十。哎，我们的这个三角形的面积 啊，我们的 s 三角形 c， d， e 是 不是等于二分之一的 c， d 乘以根号十再乘以三 啊，所以结果就应该等于二分之三倍根号十啊，好，希望这个题对你有帮助。

这是一道八项关于勾股定律的一道几何题，我们来看一下题，如图，四边形 a、 b、 c、 d 中 a、 b 等于 b， c 等于一，也就这是一，这也是一。 c、 d 等于根号三，根号三， d、 a、 d、 a 是 一， d， a 也是一 角 b 等于九十度，这是一个九十度啊，让我们第一问啊，求角 b、 a、 d 的 度数， b、 a、 d 的 度数，那这个四边形，我们要求这里有九十度，我们在这里是利用一下勾股定律啊，利用一，利用一个勾股定律 啊， 我们把这两个连起来，因为结合条件我们知道啊，这是一，这是一，可以啊，做了一个 等腰直角，等腰直角，这是一，这是一，那么 a、 c 就是 一个根号二 啊， ac 是 根号二，我们再看，这是一，根号二，根号三，那是不是它的平方又等于一的平方加根号二的平方，所以我们得到这又是一个直角三角形 啊，那这是九十度。等腰直角，这四十五度，所以我们的角 b、 a、 d 就是 一百三十五度啊，这是第一问。 第二个让我们求四边形 a、 b、 c、 d 的 面积，那面积很明显就是两个三角形的面积和啊。下面三角形二分之一，乘一乘一，就是二分之一，这是根号二， 也就是二分之一。乘一乘根号二啊，它等于 二分之，这个就是二分之根号一加根号二。 希望这个这个题对你有帮助。

朋友们好，我们继续来刷必刷题，刷提升。看第一题。如图是脊柱侧弯的检测实意图， 在体检时，为方便测出角 o 的 大小，这个角的大小需将角 o 转化为与它相等的角。 得图中与角 o 相等角是哪个角，你就在这个里面去找角对不对？好，这个里面的角那肯定考的是什么，你看这个地方有垂直，这个地方也有垂直，那我们考的就是我们说的同角的与角相等。那你看角 o 加这个角是不是九十度，这个角加这个角是不是就是九十度？所以它应该等于这个角或者是这个角， 比如说 b， e， d 或者是 a、 e、 c， 所以 我们应该选择二 b 选项就可以了，同角的与角相等。 好了，我们继续看第二题。在直角三角形 a、 b、 c 中，角 a 比角 b 比角 c 等于二比 m 比四，则 m 的 值是多少？在上一个视频里面已经给大家讲到了如何来判定一个直角三角形是直角三角形，如果从角度的比例关系来说的话，那就是两个角加起来等于第三个角， 所以呢，我们可以二加 m 等于四，那此时 m 是 不是应该等于二，也可以什么？因为我们不知道 m 是 几，也可以是二加四等于 m， 二加四就等于六，所以 m 就 等于二或六，所以应该选择 c 选项就可以了。 第三题，如图， ab 等于 bc 等于 cd 等于 d， e 都等于五，然后 ac 等于六， cd 垂直于 bc， 然后 a、 c、 e 在 同一直线上。让我们求 c、 e 的 长。同学们，你们就记住，只要看到等腰三角形， 果断做垂线，肯定是不会错的，所以你看五五六，那三角形就三四五的三角形，我们给它做一个垂线，假如加它交它于点 f， 那是不是这个就是三，这个就是四？哎，你这有个垂线五，这有垂线五，我们说直角出现在不该垂的地方，一线三垂直，而且 c、 d、 e 也是一个等腰，所以我们过点 d、 e 也做它的垂线段是 h。 那 很明显三角形 b、 f、 c 和三角形 c、 h、 d 应该是一个全等的关系了，对吧？啊？全等我就不再正了，用太简单了，对不对？那它。

初中数学最难的在什么地方？大家呢，都以为初中数学最难的是在初三，那我觉得最难的应该是在初二，尤其是学全等三角形和直角三角形的那段时间。 然后呢，到了八年级，呃，下册学完直角三角形的勾股定律，难度呢，会再上一个台阶。包括八年级所学的轴对称，其实都是以三角形全等为基础的。如果说全等这一块你学不透，那后面的几何呢，也基本上是学不好的， 你像九年级还会再学到三角形的相似，那有人说函数才是最难的，其实初中的函数啊，他相对是很简单的，高中呢，才是函数难的时候。嗯，初中的函数问题比较难的题呢， 基本上都是与几何问题相结合的，很多的压轴题，他都是结合三角形 去考的。所以说，初中最难的地方，他就是几何问题，而几何的功底呢，就是在八年级奠基的， 在中考辍学，你能不能拿高分，过了八年级基本上就能看出来了。所以呢，一定要重视八年级的学习。那寒假呢，也即将到了，也建议同学们呢，好好的复习这一块。 嗯，也可以适当的去提前学一下勾股定律这一块知识，因为这些东西它是需要时间去沉淀的。

国际数学大会在中国北京举行，这是我国数学界甚至整个科学界一件非常具有意义的大事。 此次大会的会标由四个全等的直角三角形拼合而成。通过课前大家对教材的预习，这些直角三角形的三边有什么样的数量关系呢？ 好，请你来回答。呃呃，直角边，他的两个有两条直角边，两条直角边，一条直角边平方加另一条直角边平方等于，那么斜边的时候。好，很好，请作预习的认真。 其实我国古代著名的数学著作周瑜算经当中就提到了勾三股四弦五，那为什么直角边是三和四，斜边一定是五呢？ 事实上，我们古人发现直角三角形的三边平方的结果存在一种特殊的关系。那么今天我们就来具体研究 本章的学习。我们将从丰富的现实情境出发，引入勾股定律，探索并证明勾股定律及其力定律，再运用这两个定律去解决有关问题，以此加深对直角三角形的认识。现在我们就从探索勾股定律开始。 请大家拿出穴按和方格指， 请大家按照穴按活动一的探灸步骤，完成我们最后的探灸。第一步，在方格纸上任意画一个直角三角形。 第二步，用直尺度量他们三条边的长度。 第三步，计算三条边长度的平方 也没有吗？ 最后一步，想一想它们的平方之间有什么样的数量关系？ 这个平方等于多少？一二六， 这个平方等于多少？是不？二点二五，这个呢？四，这个呢？六点二五？好，已经完成的同学请举手。 好，现在完成的同学请举手示意一下。好，我请一位同学来说一下。来，请这位男同学也来告诉一下大家，你画出来的直角三角形三边长度是多少？我画的直角三边的长度分别为一点五，一点五， 还有呢二零五，还有呢二点五。那他们的平方分别是多少？一点五的平方是二点五。好的，那么二的平方呢？ 四二点五的平方呢？二点五。那现在他们平方之间有什么样的关系？两只直角三角形的平方等于一三厘米。好，所以我们就得到了这个结果。好，很好，请坐。那么你们画出来三角形也有这个结果吗？ 有没有？好，那现在老师也画出来一个直角三角形，我们一起来看一下 刚才这位同学有小数和整数的情况，你们看一下老师画出来这个直角三角形，哇，三边都是小数，现在计算一下他的平方，那么你们来计算一下这两条直角边的平方和等于多少？ 算好了之后请举手告诉我。好，这位男同学你说一下，平方和应该是九十九点八五。好，我们来看一下。 哇，果然是九十九点八五。那现在老师画出来这个直角三角形是不是也得到了我们刚才你们探就得到的结果？但是我们知道度量是存在一定的怎么样误差的，因此我们还需要进一步去验证结论的准确性。 在小学的时候，我们就知道正方形的面积可以表示为，大 声的告诉我，没有哎，非常棒，边长的平方，因此中间这个直角三角形三边平方的结果，我们就可以借用正方形的面积来表示。那如果我们能够找到 abc 面积之间的关系的话，是不是就可以得到我们刚才三边平方的关系啊？ 好，那现在大家试一下，请大家拿出学案，看到活动二，请按照活动二第一个问题的探求完成填空。 好，填完的就请举手示意 已经填好的同学思考一下， c 的 面积你是如何计算的？ 好，我看大部分同学都已经完成了，来，我请一个同学来说一下。来，这位男同学来给大家分享一下，你算出来的正方形 a 中含有九个小方格，则 a 的 面积是九个单位面积。 继续啊，正方形 b 的 面积是九个单位面积，然后 c 的 面积是十八个，那么 c 的 面积是如何计算的呢？我是分别来上来给大家展示一下好不好？ 我是分别做这个大正方形的两个对角线，这样吗？他就可以分成四个全等的三角形，然后再通过求这四个三角形的面积就可以得到答案为十八个单位面积，你们听明白了吧？这个方法好不好？好，非常好，我们把掌声送给他来，请回到座位上。 那么你们还有其他的方法吗？计算 c 的 面积还有其他的方法吗？好，这位男同学你来说一下啊，我是用的，来上上去给大家展示一下，我是用的割补法，然后我们的话我们可以割出一个。

hello， 大家好，这里是锅盖老师，今天锅盖老师给大家带来的是一道四边形综合问题，咱们来看一下啊，他说如图，在四边形 a、 b， c、 d 中， a， c 与 b d 相交于点 o， 且 a o 等于 c o， 点 e 在 b d 上满足角 e， a o 等于角 d c o e a o， 哎，等于 d c o。 那 我们啊，让我们首先让我们求证 a、 c、 d 是 平行四边吧，我们平行四边有几种证明方式呢？首先啊，你可以证明一组对边平行且相等，或者是两组对边分别平行，哎，这都是咱们方法对吧？还有啊，还有一个就是对角线互相平分， 对吧，这就是我的证明方式，所以我们可以来看一下，能用到哪一组呢？给了我一个对角线相等了，然后又告诉我一个角，那我通过这个角度我能得知一件事，就是谁呀？ c、 d 是 平行于 a、 e 的， 它俩是内错角 嘛，但是你即使知道这个了呢，你又不能知道 c、 d 等于 a、 e， 所以 说我们并不能用对边平行且相等，那两组对边分别平行，你会发现也没有给我另一角，所以说我就要转换一下思路，咱们怎么做呢？可以用对角线互相平分啊，那我们可以来看一下，直接证明这两个三角形全等即可。 我如果证明我画阴影部分，这三角形全等，是不是 o， d 等于 o e 了，那你看 o d 等于 o e， o a 等于 o c， 那 证明 o g 是 d 的 重点，也是 ac 的 重点，那不就是对角线互相平分吗？ 所以我们直接来开始证明即可。像这两个三角形是一个非常经典的，在我们学习三角形全等式的八字模型吧，八字模型我讲过有一个特点，就是有一个对顶角，对不对？哎，是吧，你看，或者说我们还有另外一个办法，是什么呢？就是你通过内错角证明 c、 d 平行以后，你再去证明 o、 d、 c， 我用红笔给大家画啊，你证明平行以后， o、 d、 c 等于 o、 e、 a 也可以，因为这也是一对内错角吧，对不对？但是呢，我们肯定是不如直接用对顶角来的，直接，对吧？所以我们能直接求证。第一问，在三角形 o、 c、 d 与三角形 o、 a、 e 中，哪个角角 e， a， o 等于角 d c， o， a， o 等于 c o， c， o 角 c， o， d 等于角 a、 o、 e 那 么好，所以三角形 o、 c、 d 全等于三角形 o、 a、 e 吧。那么所以谁呀？是不是我想要啥 o， d 等于 o， e 吧，那 o、 d 等于 o e 了，我们又因为谁呀？ a、 o 等于 c、 o， 那 我们可以直接写了吧。所以四边形 a、 b、 c、 d 是平行四边形，我们每证明一个几何体的时候，我们可以观察一下我们这个几何体图形是什么，一定要把它的性质全部给想到位，你才能做题做起来游刃有余吧。 咱们再来看一下第二位，他说若 ab 等于 bc， 哎，告诉我了，看似两条毫不相关的边，对吧？ ab 等于 bc， cd 等于五，我给大家清理下图啊， ab 等于 bc， cd 等于五， ac 等于八。 那让你求证四边形 a、 e、 c、 d 的 面积，那其实我们求面积的话，一般情况下来讲是底乘高对不对？但是这里面很明显没有高，那它为什么要告诉我 a、 b、 c 等于 c、 d 呢？很明显，我三角形 a、 b、 c 是 不是一个等腰三角形啊？那咱们来看，既然它是等腰三角形 o 又是 a、 c 的 中点，也就是说 b、 o 是 三角形 a、 b、 c 的 中线吧，对不对？那等腰三角形是中线，那它是不是就是角平分线呢？对不对？所以咱们能知道这里垂直，那你想对角线互相垂直了以后，对角线互相垂直平行四边形是不是菱形呢？我们菱形是不是 怎么求证啊？哎，对角线相乘，再除以二即可求出这个菱形的面积，所以呢，我们就来证明即可啊，就求出来了吧，对不对？来，因为谁呀？ ab 等于 bc 啊，所以三角形 abc 为等腰 三角形，那咱们可以再写。又因为 a、 o 等于 c， o， 这是不是就告诉我 ob 是 中线呢？所以 ob 垂直于 ac， 哎，所以谁呀？ d， e 垂直于 a、 c 吧。所以呢，我的四边形，或者说我平行四边形啊，平行四边形 a， e， c， d 是 菱形， 哎，那证明它是菱形以后我们是不是这回该证明另一条对角线了？也就是 d e， 或者说我直接证明 o、 d， 那 咱们知道谁啊？ c， d 等于五， ac 等于八，那 oc 是 不是等于 四啊？对不对？那 o、 d 我 们显而易见，在这个三角形 o、 c、 d 中，直接勾五定角，勾三股四弦五，那我们就知道 o， d 等于三了，那 d， e 就 等于六呗，对不对？我们直接来证明即可来，因为 c， o， a 等于 o， c， 所以 且写下且吧。 ac 等于八，所以 o， a 等于 o， c 等于四，又因为 c、 d 等于五，所以咱们写下二，再 t。 三角形 o， c， d 中 o， d 等于谁呀？根号下 c， d 方减去 o c 方吧。那我们直接写了集合 o， d 等于三，哎，那所以咱们说 d， e 是 不是就等于六啊？ 所以我们可以直接求了吧，哎。 s 四边形 a， e， c， d 等于二分之一的 a， c 乘上 d， e 等于二分之一乘六乘八。那最终结果二十四就求解完成。 视频的最后呢？大家如果有不会的题目，或者希望郭凯老师讲的题型可以放在评论区或者私信郭凯老师。通辽的小伙伴们如果喜欢学习数学，可以来四中南门对面的星途自习室和郭凯老师一起探讨交流与学习，拜拜！

亲爱的同学们，大家晚上好呀！今天我们所学习的内容是人教版八年级下册数学第二十章第一小节第二部分勾股定律在生活中的应用。 那么在今天的这节课中，主要涉及到的是关于能够运用勾股定律求线段的长度，并解决一些简单的时间问题。第二个， 能够在利用勾股定律解决实际问题的过程中，能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，从而利用勾股定律建立已知边和未知边长度之间的联系，进一步去求出未知边的长。 那通过这两个学习目标，大家也能够知道，我们今天本节课的重点就是利用勾股定律计算线段的长度，那难点也就是勾股定律的应用。 那么首先先回顾一下什么叫做勾股定律。在昨天的课程中，我们进行了勾股定律的猜想、验证 和应用。我们知道如果在直角三角形 a、 b、 c 中角 c 等于九十度，那在这里面直角三角形的三条边我们就满足一个这样的数量关系，也就是 a 方加 b 方等于 c 方 所谓的 abc， 那 我们知道 ab 指的是直角三角形的两直角边，而 c 指的是直角三角形中的斜边，三边之间就存在着这样的数量关系，那勾股定律的应用也通过大家从直角三角形能够得到线段之间的数量关系，因此它的常见用法还有 b 方等，而且 c 方等于 a 方加 b 方，那换而言之， a 方等于 c 方减 b 方等于 c 方减 a 方， 那除此之外，我们经常会用到的就是我们的 b 等于根号下 c 方除以减 a 方，而我们的 c 那 就等于根号下 a 方加 b 方，那同理，我们的 a 就 等于根号下 c 方减 b 方， ok 吧？好，那我们知识理论呢？复习完之后，我们就来看一下简单的应用。这里题目中告诉你下列各图形中所示的线段的长度或正方形的面积为多少，告诉你图中的三角形均为直角三角形， 所以在这里面我们要想去求 a 的 面积，我们知道那 a 的 面积它是不是可以看作是直角三角形中的 e 直角边，所以我们就可以得到的应该是二百八十九，减去六十四等于二百二十五，因此第一个正方形的面积就是二百二十五，那这个正方形的边长就是十五。 接着再看第二个，告诉你在这个直角三角形中一直角边三十六，另外一条直角边十五想求 y， 因此 y 是 不就等于根号下十五的平方加上三十六的平方，大家可以自行去算。接着我们再来看一下这个中 涉及到的是正方形 b 的 面积，那我们可以发现正方形 b 他的其中一条边是不是直角三角形的一直角边，所以他就等于斜边的平方减去其中一直角边的平方，能理解吧。 好，这个大家可以继续的往下做。这个乘的时候，我们在这里没有直接给他撑开，还行吧。那接着再看这个问题， 这个讲到的是观看下面用同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，并结合他和他的做法。对于长竹竿进门之间的问题，你有什么样的启发？我们发现这个长竹竿可以横着去进这个门，横着 那我们也可以竖直竖直拿着去进这个门，或者我们给他斜着来拿这个门，拿着看看能否通过这个门。那通过这个的问题过程中，大家会发现直着的时候，他可能比门的宽度要长， 那斜着的时候发现好像差不多，那再看看竖直的时候 好像也比这个门长，那是不是就意味着我们这个长竹竿就不能通过这个门？那其实这跟我们所学习到的勾股定律是有关的，那我们如何将这个问题转化成我们的实际问题呢？ 大家不难发现，既然这个长竹竿的长比这个门的长和宽都高，那么在这里如果将连接起对角线，也就是说我斜着拿的时候，那我们来看看这个对角线的长度，如果这个对角线的长度比这个长竹竿的长度要长，那就意味着长竹竿可以拿进去。 那如果我们验证的时候发现这个对角线的长度比我们的长柱杆还要短，那就意味着无论我是平着拿，竖着拿还是斜着拿，他都不能通过这个门。 接着来结合一下，我们来看看如何去证明。题目中告诉你一个门框的尺寸，如图所示，一块长为 三米，宽为二点二的长方形木板，能否从这个门框中通过？我们来先看一下这个图呢？这个图姗姗来迟，没事我们来看那这一个长为三米，宽为二点二的长方形薄板， 那我们可以将木板横着或者是竖着，我们发现对比较这个门框的一个长度，发现是不是都不行，那只能斜着，那斜着的时候我们是不是要去求这个门框 ac 的 长度？ ac 的 长度就是我们斜着能通过的最大长度， 那斜着能通过的最大长度，那我们跟长方形，也就是这个长方形的薄木板的长和宽跟谁进行比较呢？那聪明的同学，你一定知道，我们可以只要比长方形薄板的宽 大，是不就能通过这个长方形薄板，你是可以任意调换一下位置的啊。因此我们在借助勾股定底的时候，我们就可以发现，在二 t 三角形 abc 中，一直角边 ab 是 一， bc 的 长是二，因此我们可以得到 斜边 ac 的 平方是不等于五，那我们换而言之， ac 它是不就等于根号五？ 那接着题目中又告诉你，这个长方形薄板的宽为二点二，那是二大，二点二大还是根号五大？那不难发现，我们在这里面根号五它是不是约等于我们的二点二四？二点二四大于二点二，所以可以通过这个 实硕的这个估计，这个是我们当时所学习的内容，希望同学不要忘记。当当这一道题，你可以通过什么我们计算二点二的平方， 对吧？二点二，那是不就是四点八四？发现四点八四是不小于五，因此我们的 a c 根号五就大于二点二，既然大于二点二，所以就可以通过，能行吧。 这个除了在门框上面过拨木板竹竿也可以出现在我们的安检门中，过行李箱问题是一样的哈。那接着我们再来看一下这个问题， 这个问题指的是弧的两端有 a b 两个端点，从 b 啊 b a 的 方向呈直角的 b、 c 方向上的点测得 c i 的 长度是一百三， c b 的 长度是一百二，让去求 a、 b 的 距离，那我们就可以利用在 r t 三角形 a、 b、 c 中， 由勾股定律可知， ab， 它是不等于根号下 ac 的 平方减去我们 bc 的 平方，那就等于根号下一百三十的平方减去一百二十平方，大家可以自行去算，那么得到的这个结果就是我们 a、 c 的 ab 的 长度， ok 吧？ 好，第二个，同样啊，这是湖也罢，池塘也罢，他们的一个距离啊。池塘边有 a、 b 两点， c 是 与 b i 方向成直角， a、 c 上面一点，那因此我们的二 t 三角形 abc 对 吧？我们就可以由 勾股定律可知。知什么呀？知直角三角形的三边所存在的数量关系。题目中告诉你是 bc 和 ac 的 长，对吧？所以 ab 直角边，那是不就等于根号下我们的斜边？ bc 的 平方减去我们的另一直角边，那就是 ac 的 平方， 因此它就等于六十的平方减去二十的平方，剩下的大家可以自行去做。 那 ok 啊，我们这部分的题目相对来说都不是很难。接着再看，这个是梯子滑倒的问题啊，古古定义在生活中的运用，它分为我们有提到的，我们的小专题中讲到的有梯子的滑动问题，还有风比较大，把事物给折断了，求数的原本的长度，以及在 河中或者在湖中有一只亭亭玉立的莲花或者是荷花，发现它被风 吹歪了，到这的时候，然后他让你涉及到的有一个问题，哦，当然这个是不成立的，你要知道正方形，知道三角形的这一条边不可能等于斜边的长，所以这会涉及到其他的问题。 那有的同学如果遇见这种问题的时候，跟我们这道题是同样的做法。如图，一架长为二点四六米的长的梯子 ab， 那 就说明 ab 的 长度是二点六。 斜靠在一竖直的墙面上，此时 a、 o 的 长度是我们的二点四。如果梯子的顶端 a 沿墙下滑零点五米，问，那么梯子的底端 b 也向外 移零点五米吗？那由这道题，我们是不知道 a、 o 的 长度， ab 的 长度，还知道了我们 ac 的 长度。现在想让你去求 b、 d 的 长度， 那么要想去求 b、 d 的 长度，那我们是不是要求出 o、 d 的 长度减去 o、 b 的 长度？那首先先求 o、 b， 那 就是在二 t 三角形 a、 o、 b 中，由勾股定律可知，我们 o、 b 的 长度，那是不等于根号下 a、 b 的 长度 减去我们 a、 o 的 长度的平方， ok 吧？那题目中告诉你， a、 b 的 长度是二点六， 减去 a、 o 的 长度是二点四。因此大家不妨来计算一下，二点六六六三十六写六进三，二六一，十二，十五，二六一，十二，二二得四，六点七六，二点四的平方 四四十六十六进一，二四得八，九，二四得八，二二得四，五点七六，即一，对吧？那么求出 ob 的 长度。接下来要想去求 o、 d 的 长度，那是不在 二 t 三角形 o、 d、 c 中。由勾股定律可知，我们 o、 d 的 长度，那是不等于根号下我们 c、 d 的平方，减去我们 o、 c 的 平方。那首先由题可知 c、 d 是 不仍然是我们梯子的长度，那 c、 d 的 长度是不应该等于二点六， 而 o c 的 长度，那此时 o c 是 不等于 o a 减去我们的下滑昂，零点五，对吧？那是不就等于 o a 的 长度是 二点四，减去零点五，那等于一点九，那所以 o d 就 等于根号下 二点六的平方减去一点九的平方，那我们来一起计算一下，一点九的平方等于多少？九九八一写一进八，一九得九六加八十七，那接着 一九得九，一一得一，三点六，一六点七六减去三点六一五 一，三点一五，我们发现这里得到的是不是就根号下三点一五，那接着我们 b d 的 长度是不等于根号下三点一五减去我们 o b 也就是一，但是根号下三点五一五，我们是不太好算，那假设，假设我们 b d 的 长度就是零点五，那则此时 o d 的 长度是不等于一加零点五等于一点五。那大家知道 一点五的平方是不是应该等于我们的二点二五，而二点二五是小于三点一五的，那所以我们是不是就可以得到 b d 的 长度应该是大于 零点五的？所以题目中告诉你梯子的底端也向外移动零点五米吗？那我们的答案是否定的，能理解吧？ 好，那我们这一道题就讲到这里，继续能明白吧。好，接着这道题告诉你的是，如图，在平面直角坐标系中有两点五斗零和零斗四，让求两点之间距离，那大家就发现 aob 它是不是构成一个直角三角形， 那两点之间距离也就是 ab 的 之间的距离，那 ab 的 距离是不等于 oa 的 平方加上我们 ob 的 平方，那就是四的平方加上五的平方，十六加二十五，根号四十一， 还行吧。这里提到的是我国数学学家著作有一个九章乱术中记载了有一道有趣的问题，那这个问题是，有一个水池，水面是一个边长为十尺的正方形， 在水池的中央有一根新生的芦苇，他高出地面一尺，高出水面，如果把这根芦苇拉向岸边，问他的顶端恰好能够到达岸边的水面，问，求这个水池的深度和这根芦苇的长度。 那水池看这个就跟我们刚刚讲到的说，嗯，河里面有一个荷花是一样的，将他 拉向岸边，那使得它的顶端恰好到达岸边的水面。 那大家就知道，我们此时这个长度不就是芦苇的长度，而这里与我们的水面这个长度和我们水池的宽度是不构成了，有一个三角形，而且这个三角形是不直角三角形。 因此我们在这里面可以假设这为 a 点，这为 b 点，这为 c 点，那在这里面我们可以令水深 为 x 米，当然你也可以设芦苇的长度，那新生芦苇的长度是不是应该等于 x 加一米？ 那我们的 bc 是 不是就是 x 加一，我们的 ab 是 不是就是 x？ 而我们的 ac 是 不是边长为十的正方形，那 ac 是 不是等于五，对吧？因此在二 t 三角形 abc 中， 由勾顶点可知我们此时 ab 的 长度， ab 的 平方加上 ac 的 平方等于 bc 的 平方，那即 ab 水深 a c 五的平方， bc x 加一的平方，化解能接受吗？因此，所以我们可以求得水池的深度是十二尺，而芦苇的长度十二加一就等于 十三尺，还行吗？好，那我们接着继续。那这里我们提到借助勾股定律可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，也可以解决生活或生产中的一些实际问题，对吧？但是勾股定律的使用过程中必须要满足的是，首先它是一个直角三角形， 对吧？其次我们也可以利用勾股定律去构造直角三角形。那么常见的应用类型有化非直角三角形为直角三角形，也就是什么？我想用勾股定律，但是我没有直角三角形怎么办？ 做垂线也罢，或者怎么办也罢，构造直角三角形。第二个，那就将时机问题转化成我们的直角三角形模型，就像刚刚我们提到的梯子的滑动问题，或者这个 水中的芦苇问题，都是可以的。那剩下的题目我们就可以留大家来做了。这里涉及到了有一棵树风太大，风吹树折问题，一棵树应雪灾从 a 处折断，如图所示，侧的树梢离 d 点， bc 的 长度为四米，那 bc 的 长是不？四？ a b 角 abc， 那 这个角是四十五度，那你就知道它是一个等腰直角三角形，它四它四，那它就是四倍的根号。二、这道题选择的就是 a， 那 这里面直角三角形的两直角边长分别是三和五，那第三条边直角边 能做好这名的答案需要大家注意一下，他提到的是两只角边长分别是三和五，那这里的第三条边只能是斜边。这个四，这个条答案应该排除掉。这个 铅笔问题留给大家来做了，大家可以把你的答案打在我们的评论区选项就可以了，那我们今天课就上到这里了，拜拜。

寒假马上来了，有下册学到几何的人教版里面也会学到，特别是北师和苏教版的孩子，那么这块的话就是你在下册的数学中间，呃，他要七下的时候学到我们的几何，那么就一定要提前去给孩子准备这个初中的几何模型图和几何弧度线啊，因为你只要学到几何， 学几何的时候它后面都是，呃，针对我们最后两个压轴体和几何，呃，全等三角形和轴对称图形这两个章节啊，和我们，呃这个啊，来，我们看一下 全等三角形和轴对称图形像这几个章节就是我们几何的一个基础，而且的话最后的模型全部是和动点的问题相结合，那肯定是要去画辅助线的，对吧？这两本书是我们几何的基础啊，所以说，呃，你在寒假的时候用这个去打好你的基础，呃，把模型每个都去啃透，一本用到三年， 模型图里面是包含了我们初中一共要用到的四十九个模型图啊，而且每个模型里面他都会从我们的最基础开始去讲，概念去讲，然后也带视频课啊，证明模型图。 然后还有一个就是我们的核心母题，核心母题也有讲解，嗯，后面的话就会有我们的证明过程，对吧？母题的分析。还有一个就是，呃，给你讲例题以后，然后后面会有很多实战演练， 实战演练的题型不管是大题还是小题，他都是一题一码啊，方便我们的孩子去对应的练习。这个就是我们的几何模型图，然后买的话一定要去两本一起带啊，把几何学好，呃，然后你才能决定你初中数学的地位。好，加油啊。

尊敬的各位专家、各位老师，大家好，我是柳州市第三十九中学的数学教师蔡金美。今天我说课的题目是十七点一勾股定律基于测量证明的实验探究。 接下来，我将从以下四个方面进行描述，一、教学分析本节课选自人教版八年级下册第十七章第一节。从单元整体结构来看，本章以勾股定律与勾股定律的逆定律构建成了互逆的逻辑体系。 定力的本身由形定数结实了直角三角形三边的数量关系，而逆地理则由数论形提供了判定直角三角形的重要方法。 而从知识地位来看，勾股定力是连接形与数的重要桥梁，是在三角形基本性质和时数运算的基础上的升化， 又为后续学习勾股定律的逆定律、解直角三角形以及高中阶段的两点间距离公式、向量模长和立体几何等砥砺了基础， 在中学数学体系中起着承上启下的作用。从育人价值来看，本节课通过引导学生经历观察、猜想、证明的完整过程，有效渗透从特殊到一般、塑形结合和转化化规等数学思想， 着力培养逻辑推理、直观想象、数学建模等能力。同时通过数学史的介绍，培养了学生的民族自豪感。基于以上分析，我确定了本节课的重点是探索并证明勾股定律。 八年级的学生已经掌握了直角三角形面积计算等基础，也具备一定的动手操作和合作探讨能力。他们的思维活跃，但是代数与几何的转换能力较弱。 因此，我确定了本节课的难点是勾股定律的探索与证明。基于以上分析，我确定了如下的教学目标， 二、教学策略新课程标准明确要求探索勾股定律及其逆定律，并能运用它们解决一些简单的实际问题。关键词探索决定了本节课不能只是结论的灌输， 而新课程标准对这个主题的教学强调可以通过实验探索、直观发现、推理论证来研究几何图形。因此，我的设计理念是以数学实验为主体，重构了知识发生过程，实现感性认知到理性建构的飞跃。 与传统的地板砖引入方式不同，我采用的是四阶递进式的实验探索策略， 从动手测量在冲突中发现数学，到网格计算，在特例中体验数学，再到拼图验证，在操作中理解数学，最后解决问题。在探索中运用数学 整个过程以实验导学为基础，用问题链驱动了思维，引领学生从感性发现到理性论真的全过程，有效促进了深度学习和数学核心素养的达成。接下来，我重点介绍我的教学过程。 先从回顾三角形一般研究路径切入，聚焦直角三角形，通过对比角的性质一致，而边的关系未知 引发了认知冲突，明确了本节课核心探讨的实验问题。紧接着引导学生自主设计实验方案，是学生亲历数学研究的完整路径，掌握从特殊到一般的核心思想方法，培养了科学探讨能力。请看视频 实验问题，直角三角形的三边满足什么数量关系？任何一个伟大的科学发现都始于一场清晰的实验方案，那么今天我们要研究的对象是 直角三角形，从实验遵循着从特殊到一般的研究路径，从变来看，特殊的直角三角形是 等腰直角三角形，所以今天我们可以先研究等腰直角三角形，再研究一般的三角形。那么最关键的实验步骤是什么？先来说一说啊，请你。 我认为我们可以画出不同的直角三角形，运用尺子测量他们的三边长度，然后得出数据后进行分析。说的很不错，那其实规范起来就是我们的四个步骤，分别是 画图、测量、记录、分析。为了确保同学们所画的三角形是直角三角形，今天我们采用的是每隔边长为一厘米的方格纸进行作图，那么就让我们沿着这样的实验步骤开启我们的实验。