安徽数学《基础训练》北师大版六年级

亲爱的同学们，大家好！我是辽宁省沈阳市于洪区国奥小学的张婉婷老师， 很高兴能与大家一同学习北师大版六年级上册第六单元练习五这部分内容。 在这一单元中，同学们探索了有关笔的内容。这节课我们一起结合练习来巩固和深化我们对笔的理解吧。 老师给大家带来了一杯糖水，这杯糖水中水与糖的质量比是七比二，你是怎样理解这个笔的呢？ 这个笔的前项是七，后项是二，就表示水有七分，糖有两分，也可以说糖的质量比。水的质量是二比七。 七比二可以转化成分数。水的质量是糖的二分之七，也可以说糖的质量是水的七分之二。 七比二也可以转化成除法。七比二等于七除以二，结果是二分之七或三点五，表示水的质量是糖的二分之七，也就是三点五倍。 同学们不仅说出了水和糖质量比较的关系，还能结合比与除法分数之间的关系进行理解。那你们能梳理一下比与除法分数的联系与区别吗？ 我用表格梳理了他们之间的联系和区别。比与除法分数联系密切。 比的各部分与除法和分数的各部分是一一对应的，可以互相转化，但它们也有着本质的区别。比表示两个数量相比较的关系，而除法是一种运算，分数则是一种数， 有时也可以表示两个量相比的关系。用表格来整理是个好方法。比与除法分数的联系与区别一目了然，使我们对概念的理解更加深入了。 同学们看，老师又给大家带来了两杯糖水，他们的甜度一样吗？可以怎样比较呢？用学过的知识和方法做一做吧！ 要比较甜度是否一样，可以写出这几杯糖水中水与糖的质量比，看它们化简后是否一样。 第一杯中水与糖的质量比是五十六比十六。利用笔的基本性质，把笔的前项和后项同时除以它们的最大公因数八。 五十六比十六等于五十六除以八比十六，除以八等于七比二。 再化简二十九点四比八点四时，我先把笔的前项和后项同时扩大十倍。二十九点四比八点四等于二十九点四乘十比八点四乘十等于二百九十四比八十四 转化成整数。再利用笔与分数的关系，将笔画成分数等于八十四分之二百九十四，约分后是二分之七，写成笔的形式就是七比二。 你们用了化简笔的方法进行比较，水与糖的质量比都是七比二，看来它们的甜度是一样的。 那下面这个笔你会化简吗？化简五分之二比七分之五时，利用笔与除法的关系，把笔转化成除法。 五分之二比七分之五等于五分之二除以七分之五等于二十五分之十四。写成笔的形式就是十四比二十五， 同学们的形式就是十四比二十五。同学们的方法呢？ 我发现我们不仅可以利用笔的性质来化简笔，还可以利用笔与除法分数之间的关系化简笔。我发现在化简时，我们可以根据题目的特点，选择相对简变的方法。比如化简整数笔时， 我们可以利用笔的基本性质，也可以将其转化成分数进行化简化。减分数笔时，可以将其转化成除法进行化简化。减小数笔时，要先利用笔的基本性质将其转化成整数，然后再化减。 我们还可以比较这两杯水中水与糖质量的比值，把比的前向后向消除，也可以用商不变的规律检验计算，发现这两杯糖水的水与糖质量比，比值都是三点五，所以它们的甜度一样。 在比的化简和求比值过程中，你们能够联想到比和除法分数的联系，在运算中进一步体会出了比的基本性质与分数的基本性质、商不变的规律本质是一致的，可以融合运用， 用学过的知识解决新问题，老师为你们会思考的精神点赞！现在老师又拿来一杯四十二克的水，想要调制一杯和前几杯甜度一样的糖水，应该加入多少克糖？你能帮我做一做吗？ 想要甜度一样，水与糖的质量比较是七比二。我用画图来表示水与糖的质量比，也就是水有七份，糖有这样的两份，有四十二克，水对应的是七份， 要求对应的两份是多少，就要先知道一份，所以先用四十二除以七求出一份，一份是六克，再乘二就求出糖的质量了，所以应该放十二克糖， 我是这样做的。根据比与分数的关系，水与糖的质量比是七比二，可以转化成糖的质量是水的七分之二，糖有四十二克，四十二乘七分之二等于十二，再加入十二颗糖，就和前几杯甜度一样了。 水与糖的质量比是七比二，也可以理解成水的质量是糖的二分之七，水有四十二克，糖的质量是四十二，除以二分之七等于十二克。 同学们真善于思考，将按比分配的问题转化成了学过的平均分，先求一份，再求对应的几份，或者转化成分数问题来解决。 这种转化的思想在数学探究中让问题变得更简单，相信经过前面的探索，你一定收获了不少，让我们带着这些收获来继续解决问题吧！ 请同学们独立完成下面的练习，赶快试一试吧！你们都完成了吗？让我们听听这两位同学的想法。 我的想法是，因为圆的直径是半径的二倍，所以圆的直径与半径的比是二比一。因为圆的周长等于直径乘 pi， 所以 圆的周长与直径的比是 pi 比一。 这个长方形的长是十二厘米，宽是六厘米，所以长方形的宽与长的比是六比十二，也就是一比二。长方形的面积是十二乘六等于七十二平方厘米， 面积与长的比就是七十二比十二，也就是六比一。两位同学带领我们在图形中进一步巩固了笔的意义，说的很完整，要注意的是结果要写成最简笔的形式， 下面用笔来解决实际问题吧。两辆汽车同时从相距三百六十千米的两地相对开出二点四十后相遇， 已知两辆车的速度比是十二比十三，较慢的一辆车每时行多少千米呢？ 先根据路程、速度与时间的等量关系，求出两辆车的速度和速度和等于路程除以相遇时间，也就是三百六十除以二点四等于一百五十千米每时，两辆车的速度比是十二比十三，十二加十三等于二十五， 所以较慢的一辆车占速度和的二十五分之十二。一百五十乘二十五分之十二等于七十二千米每时，所以较慢的一辆车每小时行驶七十二千米。 我是这样想的，两辆车的行驶时间是相同的，那么他们的速度比是十二比十三，说明他们的路程比也是十二比十三， 十二加十三等于二十五。较慢的一辆车的行驶的路程占总路程的二十五分之十二，也就是三百六十乘二十五分之十二等于一百七十二点八千米。 较慢一辆车的速度是一百七十二点八，除以二点四等于七十二千米每时，较慢的一辆车每小时行驶七十二千米。 能够先分析出问题中的等量关系，再将笔的问题转化成分数的问题来解决。思路很清晰， 同学们，经过这节课的学习，你收获到了什么？我知道了，笔和分数、除法有着密切的联系，解决问题时可以互相转化， 在画简笔时，可以利用笔的基本性质进行画简，也可以把笔转化成分数或除法进行画简。我们可以根据题目的特点选择合适的方法。 我知道了，在解决按比分配的问题时，不仅可以先求一份的量，再求其他对应的量，还可以根据比与分数的关系，找出一个量是另一个量的几分之几，转化成分数问题来解决。 通过这节课的练习和交流，我们发现了比和除法分数有着千丝万缕的联系，对比这个概念理解的更加深入了， 根据这些联系，我们可以解决很多有关笔的实际问题，希望同学们在今后的学习中继续多思考，多总结，探索出更多的数学奥秘。今天这节课就上到这里，同学们，再见！

小升初必学的百分数题型，六道题教会你核心答题思路，收藏起来。 八是五的百分之几，第二个五是八的百分之几。那你们看一下这道题的话，咱们之前有讲到找哪个字是对，找这个是找到是了，以后怎么计算？ 谁除谁八除以五，也就是说是前面的是不除以是后面的就行了。对啊，记住公式啊，是前面的，只需要除以是后面的就这么简单。所以八是五的百分之几。那就列式就是什么 八除以五对八除以五乘以百分之一百。对八除以五乘以百分之一百等于多少？等于百分之一百六十。 百分之一百六十啊，比较简单，只要你把这个什么咱们规律找到的话，这个很简单。那下来再来看第二个，五是八的百分之几是一样的，还是找到这个式子啊？找到这个式子用是前面的，是不是除以是后面的？对，所以第二个怎么列式？ 五除以八乘以百分之一百啊，是前面的五除以四，后面的八，所以五除八乘以百分之一百等于多少？ 等于百分之六十二点五。好，百分之六十二点五。这是第一个和第二个题，是不是一个类型的？谁是谁的百分之几？ 不管是大数和小数还是小数和大数，它的方法是一样的，都是前面的除以十，后面 这是第一题和第二题。现在我们来看一下第二、第三题和第四题啊。第三题和第四题看比八多百分之二十五的是谁？第四个是八，比谁少了百分之二十五的是谁？ 第四个是八，比谁少了百分之二十五的是谁？第四个是八，比谁少了百分之二十五的是谁？第四个是八，比谁少了。哪个字？ 找笔，对，找笔，笔的后面就是谁。单位一啊，找到这个笔啊，笔的后面就是单位一。 写具体点啊，笔后就是咱们讲的那个单位一，所以我们找到这个单位一的话，单位一知道用什么法？ 用乘法啊，这个单位一，已知啊，已知就是知道单位一，我们用什么法？ 乘法啊？用乘法。好，那你现在看，我们笔已经找到了，笔后面这个八其实就是谁啊？就是单位一，对不对？对，那单位一现在已经告诉我们了，是八，那我们用乘法 好，列式就是八乘十，现在来看，多百分之二十五，多百分之二十五用什么法？加法？谁加谁一加 加百分之二十五。和，对，一加百分之二十五的和啊。所以 b 后面的单位一知道用乘法多用什么法啊？多 多多少，我们就用加法，用加法是谁加谁，就是用一加这个什么百分数啊，用一去加这个百分数就可以。好，那现在第一个式子我们就已经练好了，八乘以一加百分之二十五的和，来算一下这个式子等于多少？ 一加百分之二十五，百分之二十五就是零点二五，再加个一，一点二五，那八乘以一点二五等于十，好，等于十。这是咱们第三个题， 下来看第四个题和它不一样的减在哪里？你看我们八比括号少百分之二十， 同样的，我们找到哪个字比，哎，你看比后面是括号，说明什么？单位一，不知道，单位一是未知的，那单位一如果是未知的话，用什么法？ 除法？对，用除法，所以第一步除法，除法的时候也是一样的，还是谁除八？八。那现在看少了多少？ 百分之二十。少了百分之二十少用什么法？减法？咱们上次咱们已经教过了，少用减法，谁减 一跟加法是一样的，也是一减去这个百分数。所以我们现在可以列式了，八除以谁？ 八除以一减百分之二十的差。对，八除以一减百分之二十的差啊，一减百分之二十差。来算一下，一减百分之二十， 百分之八十，百分之八十变成小数零点八，那八除以零点八 十。好，十，我们就找到这个十了。那你看啊，第三题和第四题了，他两题是属于同一个类型的，第一个就是我们找到这个比比后面的就是单位一，单位一知道用什么法 用乘法，单位一知道用乘法，然后多百分之二十五。用啥法？加法？加法，你只需要用一加这个百分数啊，一加百分之二十五。 那第二个的话，我们找到这个比后，比后面的不知道，也就是单位一不知道用什么法？除法？用除法，八除以谁除以谁少百分之二十 少减法，所以一减百分之二十。这是咱们第三个和第四个啊，属于同一个类型。就是一个是单位，一知道一个是单位一不知道一个是多，一个是少。好，下来我们再来看第五个题和第六个题，属于同一个类型， 八比五多百分之几，谁比谁多了多少，怎么列式？ 嗯，首先我们是不是要算多了多少？对，多了多少怎么算？八减五？对，八减五，也就是大数减小数。然后呢？ 啊，除谁？单位一对除以单位一就行了 啊？除以单位一。那你看同样的，找到这个比比的后面是不是单位一？嗯，所以单位一就是五啊，单位一就是五，那单位一是五的话，我们一会是不是要除这个五？对，那前面的八比五多了多少？三三怎么解释？ 八减五的差，八减五的差，除以五。哎，除以单位一，五就完了，你算出来以后是不是求这个百分数就行了？对，好，八减五是三，三除以五， 三除以五。呃，三除以五等于零点六，完，零点六变成百分数。百分之六十，百分之六十啊，百分之六十。 下来看第六个题，五比八少了多少？你看，不管是八比五多了多少，还是五比八少了多少，都是大数，是不是减小数？对，你小数减大数，咱们现在就没学了，减不了，对不对？你看五比八少了多少？还是八减五是不还是八减五， 所以还是大数减小数还是八，减掉五。唯一不同的是什么？看这个笔后面谁变了。单位一对比后面是八，是不？单位一变了？对，那单位一变了，我们把这个单位一给他换了就行了。 第五个题的单位一是五，我们除的是五，那现在单位一变成八了，我们除谁就行了？除八除八就行了。你看除单位一嘛，是不是除单位一对，所以，好，那现在这个单位一比后面的数是八，所以我们除八就行。 来变成百分数给它乘以百分之一百，所以八减五等于三三除以八 m 等于三。零点三七五，零点三七五换成百分数 百分之三十七点五，百分之三十七点五。你看第五题和第六题是不是一个类型？就是求一个数比另一个数多百分之几，或者一个数比另外一个数少百分之几。方法啊，在这 就是大数减小数的差除以谁单位一，现在会了没？会了。

读书，世界就在眼前。不读书，眼前就是世界。读书不一定能前程似锦，功成名就，但至少可以让你出言有尺，嬉闹有度，说话有德，做事有余。 读书不是为了意志文凭，也不是为了一夜暴富，而是为了成为一个有温度，懂情绪，会思考的人，是为了让你在跌宕起伏的生活中拥有处变不惊的内心，让你在未来能独自度过那些漫长幽暗的岁月，而不怨天尤。读书是。

同学们大家好，我是杨老师，很高兴和大家一起学习元单元，练习一这部分内容。 首先我们一起回顾和整理一下本单元的内容。回顾与整理之前，大家对本单元还有什么困惑或问题吗？ 老师，我有一个问题，在这一单元中，我们一开始认识了圆，知道了圆是异中同长，它有无数条半径或直径， 而且直径等于两倍的半径，每条直径所在的直线都是圆的，对称轴正多边形逼近的方法可以趋近于圆等。我的问题是，圆的认识的学习对研究圆的周长和面积有什么帮助呢？ 老师，我也有一个问题，我们已经研究完圆这个曲边图形的周长和面积了。我想知道直边图形研究的经验对研究曲边图形的帮助到底体现在哪些地方？ 屏幕前的你们是不是也有和淘气笑笑同样的问题？那我们带着这样的问题一起整理我们是怎样研究圆的周长和面积的吧，看看你有什么发现？ 怎么样？整理完了吗？我们一起看看下面这几位同学的想法吧！这两位同学整理的思路你能看懂吗？ 我看懂了这位同学整理的思路，他先回忆了研究圆的周长和面积时遇到的困难，比如研究圆的周长时，不能用尺尺直接测量怎么办？用画方格的方法得到圆的面积，不是整格的怎么办？ 为了解决这两个困难，我们想到了用滚圆、绕线、割圆等方法得到圆的周长，将圆等分拼出近似的平行四边形，得到它的面积。整个研究过程中都用到了化取为值的思想。 齐思说的真清楚！听了你的解读，我们更加明白这位同学整理的思路了。在他的思路中提到了研究圆周长和面积时遇到的困难， 这两个困难屏幕前的你们是不是也遇到过？那造成困难的原因是什么呢？ 老师，我是这样想的，以前我们研究的都是长方形、三角形、平行四边形等图形的周长和面积。圆是取边图形，再用直尺直接量圆的周长数方格的方法得到圆的面积，就会出现困难。 妙想真会思考，我们从研究对象和工具方法再来看看这个问题。我们可以用直尺和数方格的方法直接得到直边图形的周长和面积。 本单元研究的圆是取边图形，研究直边图形的这些方法就不适用了，所以我们想到了用滚圆、绕线、割圆等方法来得到圆的周长， 将圆等分拼出近似的平四边形，得到它的面积。但是这样的方法我们当时又是怎么想到的？你们还记得吗？ 当时我想到了研究平行四边形面积的过程，我们把平行四边形转化成了长方形， 借助长方形的面积得到平行四边形的面积。所以我也在想，圆能不能转化成我们以前学过的图形呢？经过尝试，我们利用化曲为直的思想，将圆等分后拼成了近似的平行四边形或长方形。 就像笑笑所说，我们在研究圆时，将圆与其他已经学过的图形建立了联系。 其实不仅仅是圆，我们在研究一个新图形时，都可以用转化的方法建立新图形和已经学过的图形之间联系，从而解决问题。 同学们第一个整理的作品给了我们很多启发，我们一起来看看第二个吧。 这位同学在整理研究圆周长和面积的过程与方法的基础上，还增加了圆的认识的相关知识。他梳理三个方面知识的同时，还发现了圆的认识与圆周长、圆的面积的关系。 老师我给妙想补充一下。其实从这位同学的整理中，我还发现，在圆的认识中，我们知道正多边形变数越多，它的形状就越逼近圆。正是这种正多边形逼近圆的方法，为我们探索圆周长和面积提供了思路。 同学们通过淘气和妙想的发言，我们可以看出，圆的认识对探求圆的周长和面积起到了重要的作用。 我们再来一起看一看，无论我们用圆形纸片滚动一周的轨迹来得到圆的周长， 还是将圆等分拼成近次的平行四边形得到圆的面积，都跟圆一中同长这个特征有关。看来圆的认识的学习是研究圆周长与面积的基础。 同学们通过刚才的整理，我们对圆这单元又有了新的理解与收获。 带着这些理解，我们一起来解决几个问题吧。解决问题一，你能在下面的正方形中画一个面积最大的圆吗？ 大家先不着急，在解决这个问题之前，我们应该思考哪些问题？ 老师，我是这样想的，因为要在正方形中画一个最大的圆，所以我在想画一个怎样的圆，也就是说半径是多大的时候面积最大呢？既然要画圆，圆心又要定在哪里呢？ 笑笑真会思考问题，屏幕前的你们是不是也是这样分析问题的？现在大家按照这样的思路来解决这个问题吧！怎么样，大家解决出来了吗？我们一起看看妙想的方法吧！ 因为要在正方形中画一个最大的圆，当圆的直径等于正方形的边长的时候，圆的面积最大，所以圆的直径就是四厘米， 半径就是四，除以二等于两厘米， 圆规两角之间的距离也是两厘米。 确定好半径之后，我们再找圆心，圆心在哪里呢？应该就是正方形的中心点，也就是正方形对角线的交叉点。 现在以正方形的中心点为圆心，两厘米为半径，在正方形中画出最大的圆。 妙想解决问题的思路真清晰，画圆时要知道圆的圆心和半径，利用圆的特征解决了这个问题，你真棒！屏幕前的你们跟妙想的方法一样吗？我们再来试一个吧！ 解决问题二，陶器用两根长度都是六十二点八厘米的铁丝分别围成正方形和圆，它们围成的面积一样大吗？ 跟刚才一样，不着急解决，先分析一下你打算怎样解决这个问题， 怎么样，你们有想法了吗？谁来分享一下？ 老师，我分享一下我的方法。首先根据问题中的信息，我们知道六十二点八厘米表示正方形和圆的周长，要想得到正方形和圆的面积，我们只要知道正方形的边长和圆的半径就可以了。 所以我用六十二点八除以四等于十五点七得到正方形的边长，然后十五点七乘十五点七等于二百四十六点四九平方厘米得到正方形的面积。 接下来求圆的面积，用六十二点八除以三点一四除以二等于十得到圆的半径。然后三点一四乘十乘十等于三百一十四平方厘米得到圆的面积。最后作比较， 二百四十六点四九小于三百一十四，所以得出结论，周长一样的正方形和圆圆的面积最大。 屏幕前的你们跟笑笑的结果一样吗？关于这个问题，还有一位同学是这样想的，我们一起看看吧！ 我用的是推理的方法，假设两根铁丝长度都是四 a， 先求正方形的面积，用周长四 a 除以四等于 a 得到正方形的面积。 再看圆的面积，用周长四 a 除以 pi 再除以二等于 pi 分 之二 a 得到圆的半径。用 pi 乘上圆的半径 pi 分 之二 a 再乘上圆的半径 pi 分 之二 a 等于 pi 分 之四 a 方得到圆的面积。 因为 pi 分 之四大于一，所以正方形的面积 a 方小于圆的面积 pi 分 之四 a 方，所以得出结论，周长一样的正方形和圆圆的面积最大。 同学们，这种方法你们理解了吗？它用四 a 表示实际的长度，利用周长和面积的关系来解决问题。 无论是计算还是推理的方法，我们都得出同样的结论，周长一样的正方形和圆圆的面积最大。 老师，这个结论让我想到生活中一个现象，不管是乔木、灌木还是大树小树，他们的树干都是圆柱形的，很少能见到其他特殊形状的树干。 是不是在相同大小材料的情况下，圆面积是所有形状的面积中最大的呢？妙想从数学联系到生活，真是一个爱思考的孩子， 不知道你们观察过没有，其实不只是树干，我们生活中常见的水管、煤气管等横截面都是圆的。 是不是像妙想思考的那样，在相同大小材料的情况下，原面积是所有形状的面积中最大的呢？ 对这个问题感兴趣的同学，课下可以深入的研究一下。好，今天的课就上到这里，同学们再见！

同学们大家好，我是辽宁省沈阳市于洪区于洪新城第六小学的于雪老师， 很高兴和大家一起学习六年级上册第二单元练习二这部分内容。回顾分数混合运算这一单元的学习过程，大家有什么收获和问题？ 通过这单元的学习，我们知道了分数混合运算的顺序。与整数混合运算的顺序一样，整数的运算率在分数中也同样适用。 我们在这一单元中遇到了很多分数混合运算的实际问题，容易混淆，我们该如何分析和解决这类问题呢？同学们，你们是不是也有同样的问题？ 我们带着这样的问题一起走进今天的数学课堂，请同学们仔细观察这几道算式，你有什么发现？ 我发现第二道题和第三道题可以利用乘法的分配律进行简易计算，第一道和第四道可以按照混合运算的顺序计算。 真是一个善于观察和思考的孩子，在计算之前认真审题，根据算式的特点确定计算的顺序和方法很重要。下面我们一起来算一算。 怎么样？算完了吗？我们一起来交流一下吧。第一道是乘除混合运算，可以把除法转化成乘法，这样几个数的连乘法可以一起约分，最后结果是二分之一。 第二道可以利用乘法的分配率，先分别计算一和十分之一与十的积，再求出和是十一，这样计算比较简易。 第三道也可以运用乘法分配率进行简易运算。两个乘法中有相同的因素三十六， 另一个因素分别是八分之五和八分之三，可以先加起来，正好是一，最后承德的结果是三十六。第四道是除减的混合运算，先算除法，再算减法，运算结果是十分之九。 同学们不仅能够根据混合运算顺序正确的进行计算，还能够灵活运用运算率来简化计算过程。在学习中迁移方法，不断积累经验，是我们在数学学习中的重要策略。 接下来我们再解决两个实际问题吧。学校图书馆有故事书二百本，科技书比故事书多四分之一。科技书有多少本？ 故事书比漫画书多四分之一，漫画书有多少本？ 读懂了题目，就来运用本单元的学习经验，试着做一做吧。科技书比故事书多四分之一， 意思就是科技书比故事书多的本书是故事书的四分之一。所以我先画出一个纸条，用来表示故事书的本书。 把故事书的本书多四分之一，就应该多画一份表示科技书的本书。 从图中可以看出这样的等量关系，故事书本书加故事书本书乘四分之一等于科技书，本书列设为二百加二百乘四分之一，最后算出科技书有二百五十本。 也可以先求出科技书是故事书的几分之几，再求出科技书的本书。等量关系式为，故事书本书乘一加四分之一的和等于科技书本书 列式为二百乘一加四分之一的和，算出科技书有二百五十本。 同学们的交流思路清晰，像这样比一个数量多几分之几的问题，既可以先求出多的部分，也可以先求出这个数是另一个数的几分之几。 两种不同的方法都可以解决第二个问题呢？故事书比漫画书多四分之一，意思就是故事书比漫画书多的本数是漫画书的四分之一，所以我先画出一条线段，用来表示漫画书的本数。 故事书比漫画书多四分之一，所以把漫画书的本数平均分成四份，多四分之一就应该多画一份表示故事书的本数，我们就可以写出等量关系了。 漫画书本数加漫画书本数乘四分之一，等于故事书本数。漫画书的本数是未知的数量， 所以我用列方程解决。解设，漫画书的本数为 x， x 加四分之一， x 等于二百， x 等于一百六十。答，漫画书的本数为一百六十本。我写的等量关系式为，漫画书本数乘一加四分之一的和等于故事书本数， 所以我的列式为一加四分之一的和，乘 x 等于二百， x 等于一百六十。 我是用算数的方法做的。从图中可以看出等量关系，漫画书的本书乘一加四分之一的和等于故事书的本书。根据乘法互逆关系，用故事书的本书除以一加四分之一的和， 就等于漫画书的本书。所以我的列式为二百除以一加四分之一的和等于一百六十本。 你们可真棒，既能用画图的方法分析问题，又能采用不同的方法解决问题。我还是有些不明白，两道题都是多了四分之一，为什么解决的方法却不一样呢？ 这两个问题中虽然都有多四分之一，但这两个四分之一的意义却不同。第一题中比较的标准是故事书的本书，也就是多出的本书是故事书，本书的四分之一， 而故事书的本书已知是两百本，我们就可以用乘法解决。第二题中比较的标准是漫画书的四分之一， 而漫画书的本书是未知的数量，我们就要用方程来解决，或者逆推数量关系用除法来解决。 我明白了两个数量比较时，我们分清比较的标准量是谁，这个分数表示的是这个标准量的几分之几， 所以要用这个标准量乘上这个分数，才能表示多出的数量。其实解决关于比一个数少几分之几的问题时，道理也是一样的。我们同样需要确定比较的标准量， 并且用这个标准量乘上相应的分数来表示减少的数量。比如，如果故事书比漫画书少五分之一，那么我们就可以用漫画书的本书乘五分之一来表示故事书比漫画书少的本书。 同学们在交流中比清了解决有关比较的分数混合运算的实际问题的思路和方法。 解决这类问题的关键就是分清标准量与比较量。用画图的方式分析数量间的关系是一个非常有效的策略。这些直观图可以帮助我们找到其中的等量关系。 让我们带着这些收获再来解决一个问题吧！笑笑，录入一份稿件录入七分之五后还剩七百字，这件稿件共有多少字？同学们试一试吧。 录入七分之五，也就是录入这份稿件总字数的七分之五。我先画一条线段来表示这份稿件的字数。 因为录入了七分之五，所以我将这条线段平均分成七份，未录入的两份用虚线表示。 从图中可以看出，等量关系为搞件的总字数，减录用的字数等于剩下的七百字。因为这份搞件的总字数是未知的数量，所以我用列方程解决解设，搞件的总字数为， x， x 减七分之五， x 等于七百， x 等于两千四百五十。答，搞件的总字数为两千四百五十个。我是用算数的方法做的。从图中可以看出，等量关系 搞件的总字数乘一减七分之五的差等于剩下的七百字。根据乘法互逆关系， 用剩下的七百字除以一减七分之五的差，就等于搞定的总字数。所以我的列式为，七百除以一减七分之五的差等于两千四百五十个。 通过这个练习，我们再次体会到了画图分析数量关系的好处，只要我们能够清晰地理解问题中的数量关系，就能够找到解决问题的方法。 希望你们能将这些方法应用到更多的实际问题中去。通过这节课的学习，你有哪些收获？这节课我们再次借助画图解决分数混合运算的实际问题，使我对这样的问题理解更深刻了。 这节课我们把整数、小数、分数混合运算的内容进行了整理比较，其实他们的计算顺序都是一样的，运算率也都适用数学。好多知识都是互相贯通的， 今天大家整理知识的过程对我有启发，我以后也要养成整理知识的好习惯， 同学们的收获可真多。在这节课的练习与整理中，我们把本单元重点学习的关于分数四则混合的计算和解决问题与学过的内容进行了融合梳理， 不仅找到了知识与方法的内在联系，还解决了学习过程中困惑的问题。希望同学们能带着这些学习收获去探索更多的数学问题。这节课就上到这里，再见！

六年级下册数学考点训练，一加三学习模式，一百七十三个考点。 六下数学的考点训练分了一百七十三个考点，采用一加三学习模式，每个考点配备一道典型例题，紧跟三道变式训练，举一反三，核心模型逐个击破，夯实基础。 有人教版、苏教版和北师大版，家长可以给孩子备一份，有空白版可打印。

同学们好，我是浦江县龙峰小学的杨老师。今天我们一起来学习北师大版小学数学三年级下册的练习。五、 同学们通过前面几节课的学习，我们已经学完了第六单元认识分数的知识。 你认为怎么样算已经认识分数了呢？会比较分数的大小，会计算分数加减法，知道分数所表示的意义。看来通过学习和研究， 同学们都从不同的角度认识了分数。那这个单元我们到底是如何认识分数的呢？我们一起来听听同学们的经验分享。 这个单元，我们学会了读写分数，并知道了分数各部分的名称及所表示的意义。 接着我们学习了分数的大小比较，不仅知道了分母相同的分数大小比较方法，而且还知道了分子相同的分数大小比较方法。最后，我们还学习了同分母分数的加减法。 我发现在数的学习中，学习内容和学习方法都很类似，不管是认识整数还是认识小数，或者是认识分数，我们都是围绕数的意义、数的读写、大小比较、数的运算等方面来认识它们的。 这两位同学从不同的角度分享了自己的学习经验， 有的同学将本单元的知识进行了关联，有的同学将以前学过的知识和现在学习的知识进行了关联。屏幕前的你们也关联了吗？ 的确，有观念的学可以让这些零散的知识更加系统化。接下来就让我们从关联的视角一起深入思考，解决问题，进一步学习分数。 我们先来看第一个问题，你能找到每组材料中各负图形的四分之一吗？图一图，想一想有什么发现？ 瞧，老师带来了这些材料，这里的 b 座像和选座像分别是什么意思呢？你知道吗？ 必做项的意思是材料一是必须要做的，选做项的意思是材料二、材料三、材料四，可以自主选择完成。大家听明白了吗？明白了，好，开始活动， 大家都完成了吗？好的，我们先来听听这位同学的想法。 同学们，我认为四分之一是这样找的，只要把一个整体平均分成四份，其中的一份就是它的四分之一。比如把这个六边形平均分成四份， 除了其中的一份，也就是这个六边形的四分之一。同样的道理，把这八个饼平均分成四份， 涂了其中的一份，也就是这八个饼的四分之一。把这个雷字平均分成四份， 涂了其中的一份，也就是这个字的四分之一。把这个风车平均分成四份， 涂了其中的一份，也就是这个风车的四分之一。这位同学表达的真清楚， 还有几位同学是这样涂的，我们一起来看看怎么涂法不同，却都能用四分之一来表示呢？ 你有什么发现？我发现只要把一个整体平均分成四份，其中的一份就是他的四分之一。而这三位同学都涂出了每幅图形中四份中的一份，所以都找对了， 真是善于观察的孩子。是呀，要想找对四分之一，不管形状、大小、数量，只要把这个整体平均分成四份，涂出其中的一份就是他的四分之一。 刚才我们用分数的意义成功找到了材料一中的四分之一，那材料二、材料三、材料四，是不是也能用同样的方法找到四分之一呢？ 材料二中，四份在哪里？一份在哪里呢？同学们看，上面这个大长方形中有八个小长方形，平均分成四份，每份有两个小长方形，一份 两份，三份四份其中的一份在这里。同样，下面这个长方形中有十六个小长方形，平均分成四份，每份有四个小长方形，一份 两份，三份，四份其中的一份在这里。 这位同学，这样一圈，让我们快速地看出四分在哪里，一分在哪里。同学们，你们也是这样找的吗？找对的，给自己鼓鼓掌吧！那材料三呢？ 我把这一整个图形这样平均分， 瞧，一份两份，三份四份，这就是其中的一份。 哇，真厉害！它这样一分，帮大家找到了这个图形背后隐藏着的四份。 最后这份材料四份又在哪一份又在哪呢？我先找到了四分之一，把这个圆平均分成四份， 这就是其中的一份。你们看，这二个八分之一合起来就等于四分之一，所以八分之一加八分之一等于四分之一。同样的，把这个菱形平均分成四份，这样的三个四分之 一，也就等于一个四分之一，所以四分之三减四分之二。 这样一表示我们都听明白了。看来同学们都发现了找四分之一的方法， 怎么找到四分之一？把一个整体平均分成四份，其中的一份就是它的四分之一。是呀，不管是图形加法还是减法中的四分之一， 只要把一个整体平均分成四分，其中的一份就是他的四分之一。 找四分之一的方法我们会了，同学们可真不简单，那五分之二、六分之四，七分之五，该怎么找呢？ 其实很简单，要想找到一个分数，就是把一个整体平均分成几份，再取其中的几份，比如五分之二，我们可以这样找，把一个整体平均分成五份，再取其中的二份，就是他的五分之二，六分之四，七分之五。也是如此。 看来对分数意义的理解能更好的帮助我们解决找分数和加减法的问题。 接下来难度升级，一起来看下一个问题。怎么创造一组有规律的分数呢？来听一听活动要求吧！ 四人小组合作，先选择一组最喜欢的材料，创造一组有规律的分数，然后比一比这组分数的大小，最后想一想你们有什么发现， 现在你明白要做什么了吗？那你们觉得需要几分钟来完成呀？哦，有的说三分钟，有的说八分钟，我们折中一下五分钟，怎么样？好，开始 时间到，大家都完成了吗？我们一起来看看这几位同学的作品。 我们看到这组图形都是把一个大三角形平均分成了九份，所以创造了一组分母，都是九的分数，九分之一，小于九分之三，小于九分之四小于九分之七。分母相同，分子越大，分数就越大。 我跟他的想法是一样的，因为分母相同，也就是平均分的分数相同，每一份的大小一样，那么分子越大，取的分数就越多，所以整个分数也就越大。 我们看到这些长方形平均分的分数不同，但我们都吐出了其中的两份， 所以创造出了一组分子相同的分数，三分之二大于四分之二，大于五分之二大于八分之二。分子相同，分母越大，整个分数就越小，因为分母越大，平均分的分数就越多，那么每一份就越小了。 同学们的思考真是越来越深入了，不仅创造了一组有规的分数，而且对分数大小比较的道理理解的很到位。好，分享，继续。 我们创造了一组都可以表示一半的分数，一半不仅可以用二分之一表示，还可以用四分之二、八分之四来表示。如果把它平均分成一百份，其中的一半就是五十份，也就是一百分之五十。 那这些分数的大小呢？都是一样的，因为他们都表示一半，二分的一半是一分，四分的一半是四分，一百分的一半是五十分，以此类推。 我同意他们的说法。对对对，我也是这么想的。屏幕前的你呢？有像他们那样创造出一组有规律的分数吗？ 是呀，我们不仅可以在分母上找规律，也可以在分子上找规律，还可以在分母与分子之间的关系中找规律。 通过创造一组有规律的分数，相信大家能从平均分的分数和取的分数中更深刻地理解分数大小比较的奥秘。 那生活中又会遇到怎样的数学问题呢？我们一起来看看吧！ 请你静静地完成下面这组问题，并想一想整数、小数、分数加减法，它们计算的道理有什么共同点？好？开始计算。 第一题可以用三十加二十来计算，就是把三个十和二个十加起来，一共是五个十，也就是五十。 我知道第二题可以用十六点八减八点五来计算，在计算时就是用一百六十八个一角减去八十五个一角，等于八十三个一角，也就是八点三元。 我是这样想第三题的，可以用七分之四减七分之二来计算，就是把四个七分之一减去二个七分之一，等于二个七分之一，也就是七分之二。 哦，我看明白了，无论是整数、小数还是分数加减法，都是相同计数单位的个数再相加减。 大家真会学习，不仅能解决生活中的问题，还能在解决问题的过程中挖掘出整数、小数、分数加减法计算之间的紧密关联， 它们的本质都是在计算有几个相同的技术单位。 其实整数、小数、分数的关联不止如此。就像有的同学书里的那样，我们认识一种数，都是从知道它们的意义开始， 再去研究数的读写、大小比较以及数的运算等等。 同学们，通过今天这节课的学习，你觉得要想更好的认识分数，最关键的应该是什么呢？知道分数的意义。 是呀，知道分数的意义，我们不仅可以知道平均分的分数和表示的分数，还能利用分数的意义去比较大小，解决相关的加减法问题。 希望大家在今后的数学学习中，也能像今天这样，建立起知识之间的联系，带着关联的思维去更好的学习。 今天这节课我们就上到这儿，同学们，再见！

同学们，我们今天讲一个北师大版六年级上册的练习题，十九题下面是两幅上行统计图，下面说法不正确的。好，我们来看一下要求不正确的。 a 选项，甲斑的男生占全班总人数总人数的五分之三， 假斑我们来看一下，男生是百分之六十，百分之六十是五分之三，所以 a 选羊是正确的。 b、 一般的女生占全班总人数的十分之三，一般的女生是百分之四三十， 百分之三十就是十分之三，所以 b 选项也是正确的。 c、 甲斑的女生一定比乙斑多，我们来看一下甲斑女生占本班人数的百分之四十，乙斑女生占本班人数的百分之三十，他们都 都是占本班人数，但是甲班和乙班的总人数我是不知道的，所以就是无法进行一个比较。 c 选项就是错误的地选下，甲乙两班的男生可能一样多，因为甲班和乙班我们只知道占本班人数的百分数， 我们并不知道他们的人数，所以就是可能一样多，也可能不一样多，所以地选项也是正确的。二十题，在五比八中，笔的前向加时，后向不变，笔直 他考的就是一个比的性质，那么比的基本性质就是比的前向和后向同时乘以或除以一个不为零的数，比之大小不变，那么我们只有乘或出，没有加或减。比的前向是五五 五加十变成十五，那么也就说是扩大了三倍好，扩大三倍，后向不变，那么我们的笔直也是扩大三倍，所以答案选 c。 等腰三角形的顶角和底角的比是三比四，那么三角形是什么？三角形 好，首先我们来画这一个等腰三角形。好，下面两个相等的角我们称之为底角， 上面两个不相等的我们称之为顶角。所以这道题中底角是占三分，三分， 顶角是占四分。三角形内角和总和是一百八十度，那么相当于一百八十度被分成了三加三加四，除以 三加三加四等于十八度。好，然后我要判断他是什么三角形，我肯定选一个最大的角十八度，最大的角占四份等于七十二度，说明他是一个锐角三角形。

咱们我们今天讲一个北师大版六年级上册的练习题。第四题，圣诞节这天悠悠买了一条打八折后，我们来看一下打八折后售价为十五点二元的小围巾，这条小围巾的原价 我们来看一下。注重题，分数应用题或者百分数应用题。首先要找单位一，单位一呢笔是占相当于的，后面得的前面如果没有这些字眼，我们找什么原价原来的。那么第四题中原价是单位一，单位一位置，用除法就是十五点二， 除以百分之八十或者是除以零点八，或者是十分之八都对，就等于十九，所以原价就是十九元。原价单位一，单位一位就用出法。二零二二，卡塔尔世界杯 亚洲区预赛第二阶段，中国与叙利亚、菲律宾、马尔代夫、关岛，我们来看，总共一 二三、四、五五个国家分在 a 区，按规定小区小组赛阶段，每两支球队之间进行一场比赛。啊，那么显然这是一个握手问题，握手问题的方法是什么？我们首先看一下，一共有五个队， 那么比如说中国队不动，剩下的会有四个队给他进行一个比赛，叙利亚不动，剩下的也有四个国家进行一个比赛，所以每个国家之间是， 所以一个国家中间会给其他四个国家进行比赛，但是中国与叙利亚和叙利亚与中国是重复的，所以再除以二，就等于 十场。属于 a 区的 a 组的小组队一共要比赛十场。咱们今年元旦把积攒的零花钱一千元存进银行，定期为一年， 本金一千，定期一年，年利率为百分之一点七五，把利息全部转给希望工程，我们来想一下利息等于怎么算？利息 就等于本金成年利率 再乘时间，这是他的一个公式，那么就等于本金是一千元年，利率是百分之一点七五时间，那么他的一个时间是一年，所以在 乘一，然后结果就等于十七点五，所以到期他可以捐十七点五元。

同学们，我们今天讲一个背时大版六年级上册的练习题，第十六题下面的百分数中有可能大于百分之百的，我们来看一下。如果要做这种题呢，我们首先理解一下 abc 这三个的意义。合格率，首先成活率， 成活率的意思是指成活的棵树占我们总共植树的棵树的百分之几，那么 他肯定是不会超过百分之百的。然后合格率，合格率的意思就是说合格的产品占总数就是抽样的产品的百分之几。 c 商品的增长，商品的销售增长率，那么销售增长率的意思就是销售增长的数量就是我们多增加的数量， 占我们计划销售数量的百分之几。所以根据他们的意义，我们知道有可能大于百分之百的只能可能是 c， 因为成活率我总共成活了，假设我中了多少颗，成活多少颗，那也只能到达百分之百。 合格率，我抽样，假设抽样了一千，我最多也就能够全部合格，是一千，不会超过一千，所以 a 和 b 他的是不可能超过百分之百的。 十七题，甲数是以的百分之八十，如果甲数是二百四十，那么乙数，那么做这种题呢？我们肯定是利用找单位一式的，后面是单位一式的，后面是乙数，单位一位之用除法， 对应量二百四十除以对应分数百分之八十就等于三百，所以以 数就是三百。答案选 b 十八题，玲玲生病了，医生要记录玲玲一天二十四小时的体温变化，用什么统计图比较直观？那么来看一下，我要判断这种题，我的一定要了解一下这三种统计图的一个特点。 首先条形统计图的特特点是看出数量的多少，折线统计图的话是看出数量增减变化， 而上行统计图的是反映的是部分与整体的一个关系， 所以医生要想看出他的一个变化情况，这有一个非常显眼的字变化，那么答案只能选 b。

同学们，我们今天讲一个北师大版六年级上册常考的一些零一题。第二十七题，比四十五千克多三分之二，比的后面是单位一，四十五千克。单位一只用乘法四十五，乘上多就用一加三分之二， 就等于七十五千克。所以第一题的答案是，七十五千克。六十比多少少六分之一，比的后面是单位一，单位一位置用除法六十除以一减六分之一，就等于七十二， 就等于七十二。二十八题，在三比四中，如果前向加 a， 要使比之不变，后向应该加多少？这是利用了比例的基本性质，比的前向和比的后向同时乘以 除以一个不为零的数，笔直的大小是不变的。但是他的家，那么我们就要想办法把他的家变成他的城，所以原本是三比四，那么现在呢？前向加上 a， 后向呢？我假设需要加上 x， 就是四加 x， 那么也就是说，根据内相机等于外相机，所以我就可以得到 三 x 就等于四 a， 所以 x 就等于三分之四 a， 所以我的后项要加上三分之四 a。 好。第二十九题，一个数增加百分之十后是四十四，增加百分之十说明是增加原来的百分之十。 那么单位一位置用除法四十四除以增加，就用一加一加百分之十就等于四十，所以答案就是四十。第三十题，一种花生油的出油率是 百分之四十到百分之四十五，为了保证榨出两百千克的纯花生油，至少需要多少千克的花生米。我们知道花生油的出油率就等于花生油的质量， 除以花生米的重量。那么这道题呢？让我们求花生米，花生米就等于花生油， 除以我们的出油率，他问的是至少，所以我们就按照最少的来，二百除以百分之四十就等于五百千克。所以正确答案选 d。

同学们，我们今天讲一个北师大版六年级上册的一个参考练习题，如图。第一题，根据如图中的阴影部分与整个图形的关系，将等式填写完整，我们来看一下。首先我们可以看一下，这个图形分成了 一二三四五六七八八份，那么来看一下，如果我把它看成四分成了八份的话，我们来看一下，正好两个是一份，所以是八分之二， 那么这空就填八分之二，然后等于九比多少。我们来看一下，二到九是乘了二分之九，那么八也要乘二分之九，等于多少？三十六都要乘二分之九。分子和分母同时乘 一个部位零的数，分数大小不变。好，我们继续。八到二十四是乘三，所以二也要乘三变成六，那么八分之二就是四分之一，四分之一就是零点二五，零点二五就是百分之二十五。 第二题，夫妇生日这天，为了接待好朋友，将糖与水的比是一比四的方案，制成了三千克糖水，然后将所有糖水平均倒在十个杯中， 每杯水的含糖率。我们知道，含糖率就是用糖除以糖水就是含糖率。那么看这道题我是按照一比四的方案去制定的，不管我制定了多少糖水，然后我们把它平均分配在十个杯子里面，他们的含糖率都是不变的，所以我直接就是用 用一比四去做这道题，但也就是说，糖是一，水是四，糖水就是用糖， 含糖率就是用糖除以糖水的一加四，所以就等于五分之一，五分之一，也就是百分之二十零点二。 第三题，要剪一个周长是十二点五六厘米的圆形纸片，至少需要面积是多少平方米的正方形纸片？那么来看一下，如果我在正方形纸片里面剪一个圆形纸片，我肯定是贴着他的边角，也就是说这个正方形的 这个正方形的边长就是这个圆的直径，那么我们的圆的周长是派第，就等于十二点五六， 所以 d 就等于十二点五六，除以三点一四就等于四厘米，因为它的直径是四，直径是四，所以它的边长也是四，那么它面积就是四乘四，等于十六平方厘米。

对吗？我们今天讲一个北师大版六年级上册的另一题，第十三题，在一个周长为一百厘米的正方形纸片内，要减一个最大的圆，这个圆的半径是。我们来看下做重题， 一个正方形，如果我里面减一个最大的圆，那么来看一下。首先正方形的周长是一百厘米，那么我用一百除以四， 周长除以四等于边长，所以他边长是二十五厘米，那么来看一下正方形的边长刚好又是这个圆的直径，就是这个 最大的圆怎么剪？一定要贴着每条边去剪，比如说这个二十五正方形的边长又刚好是这个圆的直径， 那我要求半径肯定是有二十五除以二等于十二点五，所以答案选 c。 这个是比较基础的一道题了。十四题两端都在圆上的线段，他是什么样的？我们来看一下两端都在圆上， 但是这道题他没有告诉我通不通过圆心，所以两端都在圆上，他有可能是什么直径，有可能不是直径。我们说过，直径的概念一定要包括，第一两端在圆上， 直径两端必须在圆上，第二必须是过圆心，第三必须是线段。满足三个条件才能说它是圆的直径，所以这道题答案选第一，无法确定。十五题，一条绳子，第一次截去 他的五分之一，五分之一，第二次截去剩下的五分之四，注意这里是剩下的五分之四。问，你第一次截去 的与第一次结下的与第二次结下的相比，我们来看一下这个题，第二次结下的是剩下的五分之四，那么既然第一次是五分之一，说明剩下的应该是一减五分之一 等于五分之四，有时候剩下就是五分之四，那么剩下的五分之四就是五分之四乘五分之四， 等于二十五分之十六，也就说第二次结下了二十五分之十六，第一次结下了五分之一，进一个通分就等于二十五分之五， 也就说明了第一次结下的是二十五分之五，第二次结下的是二十五分之十六。所以第二次结下的较长。答案选 c。