杨浦区一模数学25题哪些知识点

我又来了，杨浦数学卷平息，不图不快，提醒一下杨浦的家长，数学考完孩子可能会晕晕乎乎的，考前呢，比较期待的是二十二题。这次杨浦卷用的类型真的是杨浦的保留项目，无刻度咫尺做图，王者归来。杨浦很喜欢出这种题目的， 相信做多了杨浦卷子的杨浦啊，肯定不会被这道二十二题难倒。另外呢，就是二十五题，着实是狠了点啊，这图也太多了吧，晕，是真的晕！ 折纸中的黄金举行，这是一道集文化、操作、推理、证明于一体的折纸探求题，这两年的热门类型了，对于同学们平时思维的训练和几何素养要求很高。二十二题的二次函数也没有按套路出牌，居然考了个投篮抛物线 上海卷里面罕见的函数应用题，它其实难度并不大的，不过呢，这个图也是要吓坏胆小的孩子们的。那最后基础题的部分，感谢不杀甄试卷全篇基础题的分数绝对是给足的，从选择题的一到十六、十九到二十一，都是同学们常见的试题，难度适中，你们做起来感受到了出题老师的友善吗？ 总体说来，这张卷子的难度呢，今年仍然会是十六区中的佼佼者，因为他的情景类问题超级多，从填空的十五、十六，解答题的二十一、二十四题，都是以实际背景来命题的。尤其是今年两道大题里面出现了实际背景，这种命题方式在以往的一模一样里面并不常见。 第十五题，那个车门是否会撞墙？第十六题，那个拱桥水面宽度变化，都是融入了数学建模的雏形，有可能预示着后续大题的风格要变方向喽。初三最后的半个学期，在这个地方你们记得要使使劲。还有一个在一模卷里面，不常见的就是新定义类的综合与实践类的题目 变多了，二十二题和二十五题他都是探求一个新的概念，发现规律，再用这个规律来解决一些新的问题。总之整张卷子充满了变化，所以考完觉得晕晕的都非常的正常。欢迎评论区孩子们来发表你的晕晕感言吧！

好朋友们，我们一起来看一下新鲜出炉杨浦一模的压轴题，那么这道题其实考点非常明确，黄金三角笔，我们来一起看一下，题目也比较表述简单，我们来看下。第一问，他说小创小组将一张矩形纸片按图二到图五的方式操作，那么图五中哪些矩形会是黄金矩形？我们直接看到图五， 他说要看他的方式进行一个翻折，对不对？我们看他的方式去进行一个翻折，其中呃，第一步沿图二去翻，也就相当于他找到了一个对角线翻了个正方形，所以我们去对他进行一个标注，比如说是 x x x 对不对？因为是个正方形的关系好，那么他紧接着找中间这个正方形的这个相当于中线一样的位置去进行了一个对折，对不对？好，那我们去标注一下，可能是二分之 x， 二分之 x， 好， 然后他说再沿着 f d 翻直翻折至 f g， 翻折至 f g， 那 么其中因为是翻折，所以 ab 是 等于这条边的，对不对？所以这是 x， 这也是 x， 好，那么这个就是二分之 x， 二分之 x 对 不对？好，那么其中还有的这个边，大家要看清楚，你的 d f 是 不是应该等于你的 f g 的， 对不对？所以说你的这个 d f 和 f g 的 长度其实都可以表示出来， 对不对？那我们就直接看到第五张图了，为了我这个式子表示起来看起来更清爽一些，我选择把这个 系数同时乘以二，也就说 a e 把它变成 x， d e 也变成 x， 对 不对？因为这个步骤跟图三的这个图是保持一致的，所以这样 a b 就 变成两 x， 对 不对？那么 b f 依旧是 x， 这时候我就可以算出来，我的 d f， d f 就 应该是根号五倍的 x， d f 翻到 f g， 所以 你的 f g 实际上是不是也是根号五 x 啊？对不对？对不对？好，那么你的 d h 是 不是也可以算出来了？ d h 是 不是就应该是？大家可以算一下 d h 的 长度应该是多少？你的 d h 是 不是应该等于 a？ 就是 f g 相当于减去 f c 的 长度，是不是 x 啊？所以是不是根号五减一 x？ 好， 大家看，这时候你要证明比 b g h， 就是 说他要证明这个里面哪些是黄金矩形，你指是不是只要找到宽和长的 b 是 二分之，根号减一就可以了，对不对？这时候我发现这不就有现成的吗？ 对不对？一共没多少个矩形，带字母的对不对？那么我就发现了，是不是 d i 以上的这个 h g 是 不是正好就等于二分之根号减一，对不对？这时候他题目都说了哪些对不对？肯定不止这一个，对不对？那你就把字母里面有标注字母的，你再去看看还有没有别的， 就比如说 e、 d， f c 是 不是？那么显然不是，对不对？因为 e d 的 长度是 x， 你 e f 是 二 x， 这样的比值是二分之一， 对不对？那么再看看还有没有别的呀？好，再看看 a， e， b f 是 不是一样的也是二分之一，那么其实没有多少三角形了，是不是只能锁定目标 a、 b、 g h 了？那么你去算一算，在这个四边形 a、 b g h 之内，你的 h g 线是不是变成宽了？ h g 比上你的这个 a、 h、 h g 是 不是两 x， 你 a、 h 的 长度是不是就变成了根号五加一 x？ 好， 这时候上下同时除以多少根号五减一，对不对？好，那么这是不是二？那么分子是不是就根号五减一 x 好， x 就 消掉了，对不对？ 好，这时候你发现是不是找到了两个比值都是二分之，根号五减一，所以综上所述，是不是一个是四边形 d h c、 g 和是不是 a、 b、 g、 h？ 好， 那么第一问就结束了，那么相比于传统的第一问来说，它需要你对图形更加的理解，有些同学可能看到这么多图就已经晕掉了，对不对？ 那么你仔细去看，其实你只要看懂他的每一句话，他都给了很关键的信息， f、 d 则到 f、 g 这些信息，对不对？所以说你只要把这些关键的信息去掌握好，就一定能够把这道题解出来。 好，我们再看这个第二问，他说小智小组将一张正方形纸片如图六，按照图七至图十的方式操作，得到这个矩形 b、 g、 h、 c 这个黄金矩形吗？ 我们来看一眼。那么其实归根到底，看到这道题我就知道最后的目标是不是大概率就是要证 g b 比上我的这个 b、 c 应该要等于二分之，根号五减一，大概率就是做这样的一件事情，对不对？我就告诉我，那么可能会用到的方法是不是就是用一个字母，或者说两个字母把它们产生一个比例关系，大概率就是这样的一个构思，对不对？好，我这时候就去开始思考， 按照他这个图来说，翻折其实就没有第一问翻的那么多了，对不对？那么一样的，我去把 a e 表示 x x， 那 么 dc 就是 两 x， 因为它是正方形，翻折过来 x x 保持不变。好，再看这张图，他说将 dc 啊 翻到 c e 上，我们看 b c 翻到 c e 上，其实说这条边的长度你是表示不出来的，也就说你的 b c 表示成二 x， 翻过来这条边也是二 x， 对 不对？但是你 g c 这条边是表示不出来了， 对不对？是不是 g c 这条边是表示不出来了？好，那我们再回到最后一张图过，点击折出这个矩形 b g h c， 回到这张图，我们来去看一下这张图里面我能够去进行怎样的一个构思吧。那么我的设想是，因为我们在学黄金三角笔的时候，其实我们设的是 x 和 l， 我 不知道大家记不记得 当时是通过两个字母解这个方程的形式，算出来 x 和 l 的 比值，所以我在想，这道题能不能也设两个字母吗？ 对不对？可能你考场上也很吉祥，不出什么辅助线对不对？那不妨我们试看能不能通过代数把这道题给解出来， 那么一样， a e 还是 x， e， d e 也是 x， 所以 dc 就是 两 x， 对 不对？好，我就说，比如说我在说个 b 级是 y， 那 么 a 级应该就是两 x 减 y。 好， 那我试测完之后，朋友们我们要去看这张图里其实隐藏了非常多的一些小 小心思，我们看上面这张图，翻折九十度，九十度，这两个角是相等的，那我们再往后看这个角， g c e 在 第四张图的时候翻折，是不是现在变到这两个角是相等的？但是同学们一定要注意这两个， 这我用三角形表示，这两个角和角 d c e 是 不相等的，大家去看看，仔细看清楚是不相等的，因为这是沿点记去翻的， 对不对？好，那么这两个角相等，我不知道大家有没有感触，大家会想到什么？角平分线加平行线必然会出现什么？必然会出现什么？对，必然会出现很重要的一个模型，等腰，角平分线加平行线，一定会出现等腰， 那么这个具体的证明过程我就不写了，但是我希望大家能够看懂。首先通过翻折角 g c b 和角 e c g 是 相等的，再通过平行角 e c g 和角这个 h g c 又是相等的，所以推出来了 g q 和 q c 是 相等的， 大家听清楚，我可能不会进行具体的一个写写的这个过程了，我就设一下，设 ec 与这个 g h 交于 q 点。 好，具体原因我就不写了，那么我得到的是 g q 等于 q c， 如果这边大家还不懂怎么推，也可以在后台私信我。好，我得到 g q 等于 q c， 那 么这有什么用？这里面还充满了什么？是不是充满了一些比例线段 对不对？首先我做的一件事情，我可以去通过这里面表示一些线段去做一个准备，大家说这个过程是不是可以做到， 对不对？好，首先第一件事情，这个点角的三幺笔你是不是知道的，你的这个 tenet 角 f e c 是 不是等于二分之一？所以说我要去进行一些线段的表示，尤其是跟我的这个 c q 和 g q 相关的， 对不对？所以我的 q h 是 不是应该就等于二分之一 y， q h 等于二分之一 y， 那 么 q c 是 不是应该等于二分之根号五 y 对 不对？ c q 等于二分之五 y， 所以 说即 q 是 不是应该也是二分之根号五 y 对 不对？是不是这么一个道理，对不对？ 好，再看你的 q h， 那 q h 还能怎么表示？那 q h 是 不是可以表示成 b c 减去极 q， 是 不是就是二 x 减去二分之根号 y， 对 不对？因为你 q h 是 不是有两种表示方式 对不对？那么这是这就是现在很精妙的一个地方。所以说二分之一 y 是 不是应该等于两 x 减去两分之根号 y？ 好， 同学们，看一下，我的 g b 比上 b c， 在 我现在表示的这张图里，实际上是不是就是 y 比上两 x 好？ 同学们，看清楚，我把这个 y 大家看清楚，把这个 y 移到一边，那么是不是就是二分之 一加上根号五 y 就 等于两 x 啊，对不对？所以说 y 除以 x 是 不是就应该等于什么？二分之根号五减一，对不对？你只要通过这一步，干嘛 把二 x 除过来？把二分之一加根号五除过去，是不是就得到二分之一加根号五的导数？是不是二分之根号五减一，对不对？所以是黄金矩形？吧啦吧啦，这道题第二个就解出来了， 我觉得他的我想他这道题设计的本意应该是想考一个这种代数加上减三角形的这样一个本意。因为回想一下黄金三角 形这个知识点，当时最开始的逻辑和推理就是通过设 x 和 l 两个未知数去通过 x 和 l 的 比值得到的，所以我猜想他的本意可能是这样。当然这道题也有别的方法，你可以通过延长构造辅助线也是能做的，大家可以自己做一个尝试。 好，那我们看最后这个第三问。第三问这个题目，他说将一张矩形纸片 a、 b、 c、 d， 如图十一， 他说先按下列操作画出示意图，再按要求解决问题。那么首先这个图看着就不太好画，对不对？我们来看一下。他说呢，沿着过点 c 的 直线折叠点 b 要落在这个边 a 边 a、 d 上的这个点 e 处。好，我们来大致去看一下这个图该怎么画，因为是 ab， 这个 ab 落到这个 ad 上，对不对？那么大概率大致画一下好，因为我画的可能不是很精确，大概 e 点就在这个位置，对不对？好，这条线可能可能就是这样 的，我画的可能不是很标准，我只是大概画一下，可能是这样，这个有点太离谱了，那么有可能是这样的一条线，把它进行一个这个翻折。 他说折横交 a、 b 于点 g， 那 么点 g， 我 也是大致去标一标好，大致可能在这个位置好。然后他说沿着过点 e 的 直线折叠，使点 d 呢？能够落在什么？能够落在这个 c e 的 这个 h 处，这时候你肯定要把 c e 连起来，对不对？ 好，那么大致在这个位置好点地要翻在这个 c e 上，相当于就进行了一个像类似于角平分线一样翻折。这个地方可能我画的不是很像，大家可能自己画的话效果会更好一点。 好，那么这个点应该是 h 处好。他说沿过点 e 的 直线再折出这个 e n、 c d 好， 那么大概率这个 n 点呢？就在这个下面，好， ok， 那 么这个图画完之后，他说折痕 e n 交这个线段于这个折痕呢？交 e n 于线段 c 极的这个点 m 处，我把 m 点也表出来，好，那么最后一句话他说如果 m h 垂直于 e n 好， 那么我一看这是不是画的是不是有点太离谱了？所以我是不是得把极 过基的这条直线再去调整一下，对不对啊？所以说，因为我知道 m 点最后是 m h 是 垂直于 e n 的， 对不对？所以我相当于可以提前去进行一个，对不对？因为我通过最后一句话，我知道了 m h 现在是垂直于 e n 的， 所以说我最后这个方的直线 可能就是这样的，对不对？我只是大概画一下 m 点就在这里，好， h 点在这里，这里是一个垂直好图形。画完他说要证明这个基点是线段 a b 的 黄金分割点，那么其实就是 证明 g a 比上你的 g b， 或者说等于你的这个 g b 比上 ab 应该要等于多少？ 二分之根号五减一，是不大概率就是这样？好，那么拿到这道题，他会怎么去思考？好，那么其实大家去想，我无非来说这种套路的题，大概率是不是要进行一个线段的转换呢？是不是要进行一个线段的转换呢？对不对？ 你的 g a 和 g b 要么你能够算出来，要么我把这个线段给转换掉了，对不对？是不是把这个线段转换掉了？好，那我在这里面我先去标一些角，因为这里面存在了非常多应该说这个相等的角，是不是？好，我们来看一下。好，因为这是翻折，所以这个比如说是二， 这个是一，那么这个是三，下面这个是四，这个角是四啊，然后这边有一个角应该是五， 可能比较小，那我到时候可能再会用这个字母去进行一个表示。好，那么大致先这样，我们再看一下，这条线画的不对，应该是交在 c 点，那么我只能再调整一下，调整一下，那么大致是应该交在这个位置， 我把这里重新画一下，我把这张图重新给大家去画的稍微像一点，对不对？因为很影响这个做题一点，在这我最后只要知道我的 m h 应该是一个垂直的关系，对不对？我大致画在这个位置好，那么比如说几点，在这里一点沿着翻上去， m 点落在这个位置， 这个焦点好，因为我知道这个 h 点这个位置是跟他要进行一个垂直的，对不对？ 是不是要进行一个垂直的，对不对？所以这时候你一定要注意把这个 c e 先连起来，对不对？所以你这个 h 差不多应该是在这个位置，这里应该是垂直的， 对不对？这边你是相当于第二句话过点 e 的 直线进行一个翻折，然后点滴落到了你这个 c e 的 h 上， 对不对？实际上这边这个角都是闭环的，因为我这个笔不太好画好，那么我现在去标一下这个角就是一二，因为有翻折，所以我尽量把翻折的这个线也去表示出来了。 三，那么我希望大家明白，我这个点点的浓一点，是因为我把这个线再调整一下吧，那么实际上，实际上我的 m h 应该是这样的一个垂直的这样的一个过程。好，那么这是一二三， 然后下面这里是角四，这里有个小角是五，这里是六和七，实际上这都是交在一起。好，那我们来去看一下。这张图里因为有很多的翻折，所以我尽量把我的思路说给大家去听一下。 首先拿到这种题，翻折，你肯定是要去看很多角相等会里面存在很多的信息，那比如说大家看 你的角一是不是等于你的角二的，对不对？你的 m n 哇？字母再给完善一下，好，那么因为你的这个角四是不是又等于角二的平行，对不对？你的 m n 平行于 ab， 所以 是不是角一等于角四啊？对不对？是不是角一等于角三？你的角四是不是又等于角三？那么所以是不是推出来你的角一等于角三？那么这是第一件事情，是不是推出来了这一个等腰？ e g 等于 em， 对 不对？ 好，大家再去思考一个问题，因为这是翻折对不对？翻折，所以你的 b g 是 不是等于你的这个 e g 等于 e m？ 同学们，记不记得我刚才说的第一句话，我最终的目标，大家别忘了是证明什么？是不是 g a 比上我的这个 g b 对 不对？ 我现在好像就发现了这里面其中一些这个蛛丝马迹，我发现了其中一个蛛丝马迹，什么蛛丝马迹？好像线段经可以进行一个代换了，对不对？比如说我现在的这个 b g 是 不是就可以换掉？ 比如说是不是可以换成 e g， 对 不对？而且我还发现，因为 a b 是 不是等于我的这个 e n， 所以 是不是 a b 减去 b g 等于 e n 减去 e m， 所以 是不是 a g 是 等于 m n 的， 对不对？ 对不对？我这时候就有一个遐想了，我就会在想， a 级比上我的这个 b 级，不会就等于 m n 比上 e m， 对 不对？因为我觉得这两个还挺像的，对不对？这时候我就会去想看看靠近这个方向能不能去进行一个证明， 对不对？好，我们再看，因为这是翻折对不对？咱们大家看翻折这个信息，自己往回去翻。所以是不是角六等于角七？ 是不是角六等于角七？那么这是不是又是一个角平分线加平行线的这个模型？这个大家自己去推，因为我讲了很多遍这个模型了，所以是不是角五等于角七，所以推出来是不是角五等于角六？角五等于角六？往上写啊？地方有点不够。所以 m h 是 不是等于 c h， 对 不对？ 好， m h 等于 c h， 那 么我发现是不是又因为这个也是翻折翻过来的，是不是 e h 也是翻折翻过来的？是不是又因为 e h 是 不是等于你的这个 e d 等于你的？这个 应该是说 c n， 对 不对？因为 e d 和 c n 是 不是在这个矩形里是相等的，对不对？好，我就发现这时候就出现了一个神奇的事情，大家去看你的在一个 a 字形里， m h 平行于 c n， 所以 是不是 m h 等于 e h 比上 e c， 没错，对不对？好，这时候因为 m h 前面是不是正果等于 c h， 所以 说是不是就转换成了 c h 比上你的 n c， 大家看你的 n c 这团长度是不是又可以转换成什么？是不是又可以转换成 e h 前面正果了？ 所以是不是就得到了这样的一个式子？从我们这看，这个是什么？ c h 比上 e a 等于 c c 啊， e h 比上 e c， 这不就是短比长等于长比权吗？所以我得出了一个重要的结论，所以 h 点是黄金分割点，所以我是不是得到了一个重要的结论，就是 c h 比上 e h 等于二分之根号五减一，对不对？那么这点是挺重要的，大家去想怎么接下来的路是不是就很快了？ c h 比上 e h 是 不是等于 a？ 字形里 m n 比上 em 是 不是来了 m n 比上 em 啊？ 好，那么 m n 在 前面是不是正过了，等于 a g 找到了没有？前面 m n 等于 a g 是 不是正过的？那么 m n 是 不是就换成了 a g？ 你 的 e m 前面是不是也正过了，等于你的 b g， 那 么是不是就换出来了？所以 a g 比上 b g 是 不是等于二分之根换五减一？所以 即是巴拉巴拉黄金分割点。这道题就做到现在，那么这道题主要考验的一个是大家能不能在这道题中找到很多的一些等腰，通过翻折找到的角相等，找到了对应的边相等。 第二点，能不能去想到把这个线段笔进行一个转换，那么大家如果对这道题还有别的方法或者说不同的思路，也可以留在评论区或者在后台私信我哦，时间可以改变很多，当然你也可以。

本次杨浦初三的数学一模也考完了，难度中等偏上。这种知识点综合应用与逻辑推理，先来看看它的考点分布。 第一个，袋鼠板块，二次函数占比最高，包含解析式图像性质跟实际应用，限量性性运算为必考基础。 分式、比例、线段等知识点穿插于基础题中。第二个，几何板块解直角三角形，结合生活场景命题。相似三角形侧重判定与比例，推导四边形与图形变换融合旋转折叠考点。第二十五题，环境句型综合题作为压轴，是区分学生层次的关键。 第三个，统计与概率，本次为单独设题，符合部分区预谋命题的特点。第二题型特点，基础题一到十八题侧重概念公式，直接运用。部分题目呢，设细节陷阱， 比如二次函数的增减性需要结合对乘轴判断。中档题十九到二十四题前调知识跨板块融合，如向量加相似二次函数加实际场景建模。初初数学应用能力的考察。压轴题二十五题以黄金句型为背景，分三小问层层递进，考察逻辑推理与知识迁移能力，对标中考压轴题型。 下面再来看看高频易错点。第一个，解直角三角形易混淆，三角函数边角对应关系，实际场景几何建模能力不足。第二个，二次函数应用坐标转化，顶点式参数易理解不清，导致解析式设定错误。第三，几何综合 折叠变换后线段等量关系梳理混乱，假设三角形判定条件易遗漏。第四，向量运算，数乘系数与方向判定易错。 所以汇总一下它的命题趋势呢，就是突出实际应用与知识融合，注重考察学生的数学建模、逻辑推理等核心素养。压轴题延续综合实践加分层设问的命题风格。需要电子版的家人呢？评论区留言关注王老师，我会持续分享！

杨浦区的教育员老师，你们可真懂审美，这最后一题居然考了黄金分割。那本次杨浦区的一模题型变化其实非常明显，不再一味的以追求难度来难倒孩子们，而是更加注重对这个综合素养的考察， 尤其是第二十四题。二十五题，那全老师带你从头来看啊！第一到十六题，选填部分，考点还是非常全面的，包括相似判定、性质、重心向量、三角比、概念和应用，还有这个抛物线比大小等等。 那考前一天，我专门给孩子们梳理过一份这个细节，提醒，只要你仔细读了，应该看到这些题都不陌生。这七题，它是结合特殊三角形考察的这个比例问题， 接我上一个视频，只要你有特殊三角形做高的思维，那至少这道题你能先任一步找到一些切入点。十八题呢，这个压轴考的是旋转，去年是翻折，今年咱们换个风格考考旋转。 平时练习的时候，我就一直跟孩子们强调说，不管是翻折还是旋转，你都要按照三步法，第一呢，同步信息，第二连对应点，第三要三个找。 那这个刚好能检查检验一下你是学会了还是学废了。十九题啊，十九题，这个没有考计算，但十九题到二十一题呢，其实都不难，怕就怕孩子们这个一激动去跳步，把步骤分给扣掉了。 二十二题啊，二十二题考的是格点三角形无刻度、尺尺作图，这个其实跟去前年二三年杨浦的二十二背景是一样的。不过呢，这个格点问题，其实去年二模考的是考的最多，去年二模 这里考察的是找四十五度角，还有这个做垂直，嗯，二十三相似，将三角形考的是母子型。第二问，换比例。那我考前提醒有专门说过这个换比例，你要想哪里，要多想想。第一问，第一问，那考场上你想到了没有？这道题的方法其实还是比较多样化的。二十四，二次函数 这个压轴题的位置呢，在大考在杨浦第一次出现考情境题的，但是其实这个难度上来看，区分度并不很大啊。考前我恰好跟还有的孩子练过这个投篮问题的。二次函数那道题考察的是平移，比这个难多了。 二十五题啊，此此前一直有放风，就说是考新题型出来了之后呢，确实行考黄金分割，我细称说杨浦江源可真懂审美，那这道题其实和去年黄埔的十八题 风格是比较类似的，题干呢，都是动手翻折，你要跟着题干去理解。设参数总分十四分这道题，嗯，拿个基础的八到九分应该不算难， 但是得有时间去写。好了，那杨浦一模咱们就分析完了，接下来的压力给到了明天的徐汇还有其他各区，那也祝其他各区的孩子们，你们都能旗开得胜，马到成功，加油！

各位同学大家好，我是初中数学 d q 老师，今天跟各位同学分享一下咱们刚考完的杨浦一模压轴题的最后一小问的一个速通方法。 各位同学看到杨浦的这个二十五题，这样长长的一整个篇幅的时候，呃，可能都会被吓到对不对？但实际上呢，他第三问有比较简单的一个方法，可以进行一个疏通，只需要通过什么呢？倒角以及三角笔就可以轻松的证明出来。好，跟着老师一起来看一下好了。 首先咱们看一下这道题哈，他通过一二三三次折叠能得到图中的这一副，对吧？我已经画出来了， 那心系有同学可能有注意到，在这里我少画了一个点，哪一个点呢？就是折横交边 c， d 与点 f， 对 不对？为什么？因为这个 f 点在我们这个速通法里面根本不需要用到。好，咱们回到这幅图，先来看一下 这幅图呢，有一个非常容易发现的一个点，什么点呢？就是从 a、 e、 d 这一条线段，咱们可以看到它是一个典型的一线三垂直。 以前呢，咱们遇到一线三垂直，往往都用来干嘛呢？用来正相似或者正权等，对不对？那同时呢，同学也别忽略了它呢，本质上还有个角的关系，什么角的关系呢？ 就是在这里 a， e， g 呢？这个角对吧？会等于角 m， e， n 又等于角 e， c， d， 对 吧？那么我们为什么要关注到这个角呢？因为这个角它在这里会构建出整整三个直角三角形的一个。三个什么呢？三角比的一个关系。 所以我们在这里先干嘛呢？优先先设设角 g， e， a 等于角 m， e， h 又等于角 e， c， d 等于什么呢？等于 alpha， 好， 我们给它标一下，好，这个是 alpha， 这个也是 alpha， 好，这个也是算法。具体说明过程我就不想写了。好，各位同学应该都能读出来啊。同时呢，我们还要设一条边。设哪条边呢？设 b g 边等于 x。 为什么要设这个 b g 边呢？因为这道题要正的是什么？是 g， 是 线段 a b 的 黄金分割点对不对？所以它本质上求解的什么？求解的是线段 a g， b g 以及 a b 的 一个线段关系。好吧，所以我们在这里先优先设一下 b g 为 x， 那 因为折叠， 我们是不是可以知道什么呢？ b g 是 不是等于 e g 等于 x？ 同时还可以得到一个角的关系，哪个角呢？ b g m 等于 e g e g m 好 来，这两个角是相等的，对不对？好，然后，又因为什么呢？又因为 b g 平行于 n e， 所以什么呀？哎，两直线平行内错角相等，所以角 b g m 又等于角 g m e， 对 吧？好，这两个角相等，从而呢？即角 e g m 等于角， e m g 好 等，角对等边对不对？等？角对等边。所以呢？所以 g e 呢？等于 m e 好 来， g e 是 不是等于什么？因为折叠 g e 是 不是等于 b g 等于 x 呀？对不对？是，所以呢？哎，得到了 m e 也是等于 x 好， 所以呢，我们刚才设的这个 r 法是不是就有用了？在 r t 三角形，什么 e m h 中 好， e m h 中，对吧？好来， e h 呢？是等于什么呀？等于 e m 除以什么呀？除以口算，算法对不对？等于 x， 除以口算算法好，是不是？又同样是因为折叠， 同样因为折叠，所以我们知道什么呀？知道 e h 是 等于 e d 的， 因为为什么？因为 h 点是由 d 点折叠得来的，对不对？是吧？所以 e h 等于 e d， 你 看一下 我们是不是通过 b 去，对吧？等到等于 g e， 然后呢？等角对等边得出什么？ e m， e m 呢？三角笔推出 e h 呢？又因为折叠等于 e d 对 不对？我们最后再用三角笔在 r t 三角形什么呢？ e， d， c 中对吧？在 r t 三角形 e， d， c 中，对不对？好来，我们要求的是不是 dc？ dc 是 不是就等于 e d 除以什么呢？除以 tangent r 法，除以 tangent ec， d 对 不对？好来，那么是不是就等于 e d， e， d 我 们刚才得出来多少呢？ e， d 等于 e h 等于 x， 除以什么呢？ cosine r 法对不对？所以 x 除以 cosine r 法 同时除以什么呀？哎，除以 tangent alpha 是 不是也等于三 alpha？ 除以什么呢？ cos alpha 对 不对？所以得到什么呀？所以得到 x 除以三 alpha。 哎， d c 我 们是不是得到了好？ d， c 是 不是等于什么？等于 e n 又等于 ab 对不对？好，所以 e n 呢？等于 d， c 等于 x 除以三阿法？好，到这里呢，我们需要开始做辅助线了。做什么辅助线呢？延长 g e 延长 g e 哈，延长 g e 然后呢？哎，再延长一下 c b， 好 来延长下 c b。 假设它们交在哪里呢？交在这个点为 k， 好 吧，假设交在这个点为 k， 好， 交在这个点为 k 的 情况下面呢？哎， 你看一下 k b g， 因为 b g 是 不是平行 e n 对 不对？所以呢？ k b g 是 吧？相似于 k m e， 所以呢？ bg 对 吧？ b g 除以什么呢？哎？ b g 除以一 n 对 不对？好？ b g 除以一 n， 对 吧？是不就等于什么呢？等于 x 除以，哎， x x 除以三阿法对不对？从而得到什么呢？它们俩的比值是三阿法，对不对？它们俩比值是三阿法，好来，别忘了啊，别忘了在 r t 三角形。什么呀？在 r t 三角形 a， 在 它 r t 三角形 a g e 中，对不对？是吧？三阿法 同时又等于什么？等于 a g 比去什么呀？比去 g e 对 不对？好？然后呢，咱们 g e 是 因为折叠等于 b g 啊，对不对？所以等于 a g 比去什么呢？ b g 对 不对？所以 g b g 比去什么？ e n 等于什么呢？ b g 比去 ab， 对 吧？又等于什么呢？又等于 a g 比去 b g 啊。所以呢，咱们是不是可以得到了，对不对？即 g。 为什么呀？即 g 是 线段啊， a b 的 黄金 分割点对吧？好哎。

最近有家长在问，杨浦的英文数学跟徐汇的究竟哪个难？先说解乱啊，当然是杨浦的更难喽，难在新题型跟思维门槛上。 徐汇它是计算量大，加上经典难题集中，拼的就是基本功。其实杨浦的这次整体难度跟往年比呢，是有所下降的，但是陷阱呢，却全在细节里面，选填的六十七十八暗藏的玄机。二十二题哦，无刻度直尺作图 超耗时间，还容易丢分，就是拉分的重灾区啊。二十四题倒变简单了，考了二次函数应用题，用代数法就可以解，没有复杂的几何构造，计算量也可控，比往年的几何综合压轴简单了很多。 二十五题，环境分割探讨题呢，前两问就设了审题建模的门槛，也不是那么好拿分了，对知识迁移的能力呢，要求也很高，孩子容易在基础题上面跳步，中档题上面卡壳，压轴题的前两问还容易翻车。 而徐汇呢，题型偏经典，计算量超大，难点集中在核心模块选题的六十七十八，考了折叠、旋转等腰。二四二五题呢，就是传统的几何加函数的综合 压轴问呢，是有难度的，但是思路常规，只要计算稳，时间够，拿分就更可控了。所以对杨浦的娃来说，更怕的是会而不对。中档题和压轴题前两问就拉分明显了，得练新题型加探求模板。 而学会的孩子呢，更怕的是算不完或者算错，拼的是计算速度跟准确率，练的是基本功和时间分配。 那么其他区还没有考一模的娃要注意哪些呢？第一个，基础题，死守正确率不跳步，毕竟百分之七十是基础分啊。第二个专项练吃规，做图，探讨题、审题建模，还有重点练计算跟经典几何函数的综合。第三个压轴题优先保前两问，针对性的刷题型模板， 其他区下周就要考一模了，这几天要试练的现实刷一些新题，保持手感和思维的敏捷度。同时呢，把之前做错的题几十件再刷一遍，因为这些就是你曾经的漏洞啊！如果孩子对某一块的专题特别没有把握的，也可以集中多刷，我这边有专题会编，需要电子版的可以留言关注王老师，我会持续分享。

上海杨浦区初三一模已经考完了，根据这个区的出题形式，其他区可以怎么更好的备考呢？一到十六题的填空选择没有太大难度，属于基础送分题。十七题的考点并不难，但对于学生的知识点综合运用能力较高。 十八题是我们经常在做的旋转压轴考点，依旧是 a 字形相似。二十二题的第二个吻为创新题，出题的方向已经在往中考靠拢，并不是往年常规的知识点考察。 二十四题是一道较为常规的二次函数投篮问题，只是计算量较大。二十五题也不是往年的常考压轴题型，而是一道黄金矩形， 在我们学习黄金分割比时是会有涉及到的。那整体而言，杨浦一模这次的初学形式已经不按照往常的题型套路出牌， 而是偏向于考察学生的实践综合运用及实际问题解决能力，与这次新教改的数学目标高度一致。关注王老师学数学少走弯路！

这一次的杨浦一模数学啊，很多同学呢，考完之后啊，都有点晕乎乎的，整张试卷的出题思路啊，是非常有深度的，是一张含金量很高的试卷，想要看试卷和解析的同学呢，可以私信我要电子版本。首先呢，二十二题啊，使用了无刻度直尺作图， 题型呢，在杨浦卷里非常常见，平时啊，做的多呢，就不会怕。二四题呢，是关于二次函数应用的题目，虽然本身呢并不算难，但涉及到投篮抛物线的应用，很多孩子啊，看到这个图形就会感到紧张，其实啊，他考察的还是函数的基本知识和应用，保持冷静，按照步骤解答即可。 接下来的二十五题，这道题的图形啊，看起来确实呢有一点复杂，涉及到折现的黄金矩形，这是一个结合操作和理论的综合题目，他不仅考察数学思维，还锻炼逻辑推理能力。这种题目，平时练习少的孩子可能会觉得有点手忙脚乱， 但其实呢，只要理清思路啊，就能做对。今年的洋普卷，情景类的问题啊，特别的多，比如第十五、第十六题到二十一、二十四题， 还出现了数学建模，像十五题车门撞墙、拱桥水面宽度的变化，这可能预示着以后大题的命题风格会有一些改变。最后呢，还有一个变化，就是新定义题， 像第二十二题，还有第二十五题啊，都涉及到一个新的概念，你需要先理解这个概念，再利用它来解决新的问题。重题型呢，考察的就是思维的广度和你的综合能力。杨浦同学们，你们考完感觉怎么样呢？欢迎评论区啊，一起聊一下。

好，我们来看下题目，我们把宽与长之比为二分之，根号五减一的矩形称为黄金矩形。丁小问，如图，把这张纸片由图二到图五的方式操作为我们图五中哪些矩形是黄金矩形？让我们直接写出结论， 那我们直接就可以设数字啊，假设边长是一，那么这边折过去，所有的 b、 f、 c、 f 都是二分之一，然后这里 f、 d 又是等于 f、 g 的， 所以我们在图五上面进行一个标注， 可以算出来， f、 d 是 二分之，根号五， f、 g 也是，那么我们就知道 c、 g 的 长度是二分之，根号五减一。那么我们就可以得出 ab 比上 b， g 就 等于一比二分之，根号五加一，也就是二分之，根号五减一。同理， c， g 跟 c、 d 也是二分之，根号五减一。所以我们可以得出矩形 a、 b， g， h 和 c， d， h 为黄金矩形。接着我们来看第二小问， 将一张正方形纸片由图七至图十操作得到矩形 b、 g、 h、 c 让我们证明它是黄金矩形，那其实就是证明 b、 g 比上 b、 c 为二分之，根号五减一。那么我们首先可以设 a， e 跟 a， d 为 a， 那 么所有的正方形边长就是二 a， c， e 就是 根号五 a。 这个时候呢，我们在图十上啊，把图九要复刻上去，也就是 g、 m 垂直于 e、 c， 因为它是翻上来的啊，所以肯定是直角， 所以 e、 m 的 长就是 c， e 减 c， m 也就是根号五减二 a， 那 我们可以很明显看出来，三角形 e、 m、 o 是 相似于三角形 e、 f、 c 的， 所以得出比例是 m o 比 e m 等于 cf 比 e、 f 等于二分之一 e m 的 长度前面有了代入，可以解得 m o 等于二分之，根号五减二 a， 所以 e o 就是 二分之一的极 n， 也就是二分之 a。 接着得出 a g 等于一 n 等于 e o 加上 o n， 那 么也就是三减，根号五 a， 所以 b g 等于 ab， 减掉 a g， 也就是根号五减 e a， 此时 b g 比上 b c 就 等于二分之，根号五减一，证明它是一个黄金矩形。 好来到第三小问，他给了我们非常多的要求啊，那根据他的这些要求，我们可以把这张图变成这样。好。然后他说，如果 m h 垂直于 e n， 让我们证明即是线段 a b 的 黄金分割点。其实跟前面两道题是差不多的啊。首先我们还是先设，我们可以直接设边长为两 a， 那 么此时因为翻折的关系，我们可以知道 d e 等于 e h， b c 等于 e c， b g 等于极 e。 同时也可以知道角 n c g 等于角极 c e 角 b 极 c 等于角 e 极 c。 那 因为很明显啊， em 是 平行于 ab 的， 所以我们可以得出内错角相等角 emg 等于角 b 极 c 也等于角 e 极 c， 所以这三条边也相等。那么剩下的 a g 跟 n m 也相等。再通过 m h 平行于 cd， 又可以得出角 h m c 等于角 m c， n 等于角 m c h， 所以 m h 也等于 h c。 列出比例式， m h 比 c， n 等于 e h 比 e c， 那 我们知道 m h 就是 c h 喽。那 c n 因为是矩形的关系，所以它和 e d 相等，也和 e h 相等，所以 h 不 就是 e c 的 黄金分割点吗？ c h 比上 e m 等于 c， h 比上 e h m n， 我 们知道是什么呀？ a g e m 是 什么呢？是 b g 代入一下就变成了 a g。 比上 b g 不 就是我们要求的这个题目吗？所以它就等于二分之根号五减一。

确实是属于是碰上了，有点运气成分啊。今天杨浦一门二十二题考了个耻辱作图嘛。我在之前讲中考那个帖子里边，我说因为上海地区几个，但就这个新出题目还比较少，你可以拿其他地方教辅先做。然后我推荐了中考数学核心考点， 里边有一个无刻度耻辱作图那个章节我说你可以拿回去先做。那本书其实是针对武汉地区的考点出的，但是武汉考几个还是这个题比上海早了好几年，所以它题库比较丰富。社会杨浦的阴谋卷呢？其实大家今年都看出来有所改革， 但其实你总结下来就三件事情。第一件事是长。原来我们说长题目就放在二十二题，做个情景谈交，今年不二十四二十五，一个题一个场景，每个题一页纸，所以跟教改的速度非常一致嘛， 重视原理的理解和灵活运用，减少死刷题的作用。所以今年在一模到中考之间策略要调整。往年一模结束以后就不再刷一模卷了，就开始刷二模卷了，因为二模的侧重点跟一模的侧重点还是有所区别， 但今年不太一样，今年一模考完以后，长难题新题型各个区一定遍地重。我非常建议大家在刷二模卷的同时，把今年新考的一模卷给刷掉，因为今年明摆着要叫改，肯定要改革，你都不知道中考会考成什么样。 所以说你趁着老师在一模的时候，给你释放信号的时候，你赶紧适应一下各个区老师的风格，然后杨浦一模卷体现出来的第二件事就是各个题目的难度分布有所调整。首先第一个是二十四题，特别简单，已经退出了所谓压轴题的行列。到底是杨浦一个区这样调整，还是说每个区都要这样变化，这个还需要观望一段时间。但是二十五题变难了，他变的点不在于第三位变难了， 他变难的点在于第一问和第二问不送了。自己做这个二十五题的时候，我就有种感觉，就一定会有同学在第一问就卡住，然后整个二十五题一分不得全丢。所以过去的一些老的错题策略像什么记住一全对，然后十八、二十四、二十五，有些题目站着先放弃一些。这个策略现在行不通，因为很简单一个道理，难度比例变化了， 从八幺幺变到七二幺到六三幺之间，所以重大题难题变多了，你再丢就 hold 不 住了。所以总的策略有可能是这样的，第一二四题干练还是练，万一他不改呢？第二十八和二十五不能再战略性放弃了，要开始啃了。那二十五题练什么东西？因为他现在改成探索值的长难题了， 还是练老题，还是练原来的老真题。因为二十五题这个东西，他就算披了一层碳球式的外衣，他换汤不化药，还是考的原来那些老的解散型啊，比例、线段那些东西，讲一点点专业性的东西。其实十八和二十五很多东西一点都下手不了，因为他缺两个东西， 第一个是倒角的功底，第二个是解散型的视角，就这两个学会他就能上手。最后杨浦这个一门卷告诉我们的是给六年级、七年级还有八年级的视角，就这两个学会他就能上手。最后杨浦这个一定是数学的腿， 就是纯粹的数学技巧和数学能力，就是我们常说的像代数推理啊，几何构造啊，甚至说数论啊，组合啊这样的纯数学方面的数学能力。就我念书的时候崇尚一种观点，就说数学是简洁的， 题目越短题目越难，就我们喜欢做那种短难题，但上海呢？你现在还要注重培养第二条腿。很多人觉得是阅读能力，其实不是的， 是常难题背后的数学建模能力弄得高大上的其实没什么太大的用。其实说人话就是你除了去练市北奥金小蓝本以外，你平常做一些长一点的难一点的，新定义的项目之类的题目你也要关注，而且要多练就这一件事。

哈喽，同学们，这期视频我们快速刷一套二零二六年上海初三期末试卷，难度适中，全国实用。不管你现在距离期末考还有几天，认真看完，保证能轻松帮你再提个大几十分。 好，我们直接来看一下题啊，我们看第一题，下列个体有一个是正确的选项，他让我们去 求正确的选项，那我们乘比例的，我们知道乘比例它一定有个是谁，内向之积等于外向之积，所以我们在这里面一定有个四四十六，二八一十六。所以我们乍眼一看，这道题一定选的是谁 b， 非常之简单，其他的都不符合内向之积乘外向之积，所以只有选的是谁 b。 我 们看这种题的绝发，就是最小和最大的乘积就可以。好，那第一题选的是 boy。 好，我们看第二题啊，点 c， 在 线段 a、 b 上，那我们说在线段，你随便画一个线段，在线段 a、 b 上点 c， a、 b 等于三倍的 a c， 看这个是谁 c， 它这个 a a、 b 的 长等于三倍的 a c， 那 我就知道他让我去求线段是谁呢？如果线段 a、 b 是 这个向量 a， 他 让我去求向量 b， 向量 b， 显然 看我们在这里面向量 a， b 是 朝这的，那他让我去求向量 b， c 一定是负的，那所以它是占两份。你看 a 和 b， 永远排除掉答案，只能选占三分之二的向量 a， b， 这是 b、 c 的 场吗？所以答案选的是谁 d。 第二题考我们这里面的向量， 一个是向量 ab， 一个向量 bc， 所以 方向相反，一定只能选 d。 好， 我们看第三题。朋友们，我们看这个第三题啊，说在 r t 三角形里面，这是考我们锐角比，这是考我最基础的锐角比的。在 r t 三角形中，那我们就构建就画一个 r t 三角形， 我们就画一个 r t 三角形，看，他告诉我角 c 是 多少度角，这就是角 c 好 不好？角 c 是 九十度，那么就是这个是谁？ a b， 他 告诉我 a， b 是 几三，斜边是三 a c 的 长是几，一下来指正确的是三，用 b 等于三分之一 结论的三一 b， 那 选 a 显然是对的。看对比斜，这里面一定只能选谁？ a， 这是考我们基础的三角笔之间的公式对比斜，所以第三题选的答案选是 a， 那 我们看第四题啊， 说一个传输带地面乘与斜坡的坡比是一比二点四，看到一比二点四，我一定要想成谁五比十二。那我们在这里老师画一个简单的图，我们知道看坡比就是垂直的高度和水平的宽度的比， 这个是几五，这个是谁？十二以后是看到一比二点四，我们就可以把它写成是十比二，十四，就是五比十二，五比十二比三，是不是？他说如果把这个物体从地面送到离地面十米的高处，这个五就变成几十，那么物体所经过的路程显然是几二十六是不是？ 你看这个变成五变成几了，变成一个两倍了吗？那这个经过的路程就是这个斜边那么高，变成了本来是五，变成十，那他的这个斜面一定是变成二十六，答案就直接选的是谁 d， 第四题答案就选的是 d， 那 我们看第五题啊。如果抛五线 y 等于一个 负的 x， 加六加八，向右平移十个单位，向右平移十个单位，那本来这个里面的对称轴是直线 x 加六，那不是减十了吗？左加右减，他这个 抛物线 y 就 等于谁呢？负的 x 减四，括号的平方加八， 与 y 轴的交点，在 p 的 平移的过程中，向右平移是个单位，这个抛物线与 y 轴的交点 p 在 平移的过程中受符合下列哪种情况？那我们刚开始时间， 当 x 与 y 轴的交点坐标，也就是当 x 等于零时，当 x 等于零时， y 的 值是个几是几 负的？看，当我把 x 等于零带进去吧。当 x 向右平移十个单位，或者我们也可以这样去平移，我们画竖形结合也可以啊，我们用图形去画竖形结合去表达，或者用带竖也可以。看 它的初始是谁。 y x 等于负，六加八，它的初始是这样画的吧。当 x 等于零， y 的 值一定是个负的，是这样画的。那向右平移十个单位，在右平移的过程中，向右，它的对称轴顶点是不变的。 看，他是这样子的吧，先往右，他再往跑到这呢，有完轴再往下吧。所以看，本来有完轴节点在这，他在这，有完轴节点在这了，最后 又跑到这来了，一定是先向上再向下。所以答案选的是 c。 这是考我们的，你可以用代入，用 x 等于零，是分别代入的形式，还可以用图像的平移。我们来找出这道题答案，选是选是谁？ c 第五题答案就选的是 c。 好，我们再看第五题啊！第五题已知三角形 a、 b， c 中 d 和 e 在 a b， a、 c 上， d， e 平行于 b c 还 a c、 d 这个角 a、 c、 d 永远等于谁呢？等于角 b， 那 这里面有母子三角形，就是 a、 c、 d 和 a、 b、 c 也是相似的， a、 d、 e 和 a、 b、 c 也是相似的， a、 d、 e 和 a、 c、 d 也是相似的。在这里结论告诉我找错误的，这里面我们身体一定要搞清楚啊，错误的是哪个呢？那我们说看 dc 的 平方比上个 bc 的 平方， acd 比上个 abccd 和 bc 是 对应的等目语，它说等于 a 一 比上个 ac， 它们的面积比等于相似比的平方。是不是因为我知道看 dc 的 平方比上个 bc 的 平方就等于 a、 d 比上一个 ab。 三角形 a、 d、 c 的 面积比上个 abc 的 面积，是不是 a、 d 比 ab 啊？ 它们是同一个高。 a、 d 比 a、 b 是 不是就等于 a 一 比 a、 c， 所以 a 一定是正确的。那我们再看第二个结论啊，第二个结论是 d 一 的平方比上个 d、 c 的 平方， 因为我们知道这个角和这个角是相等，所以现在在这里这个三角形谁 a、 d、 e， 它一定是相似于三角形 a、 c、 d 的 d、 e 的 平方比上个三角形 a、 c、 d 的 面积等于 a 一 比 a、 c 看，那么 a 一 比 a、 c 又等于 a， d 比 a、 b 又转过来，这个是 b 是 正确的啊。好，我们 再看第三个啊， a、 d 的 平方比上个 a、 c 的 平方也等于 a、 d 的 面积比 a、 c 的 面积，他说是等于 a 一 比上个 a、 b， 这是不对的，他没说 a、 b 等于 a、 c， 所以 c 一定是错误的。所以我们的第六题，大家一定是选的是谁 c， 这是考察我们三角形相似之间的转换，所以这道题我们知道就选的是 c。 好，我们看下一题啊，考他的六十度就等于他停的三十度，对吗？他停的三十度就是三分之根号三，这就是需要我们平时记忆出来的，我们特殊角的记忆。三零三十度等于二分之一，考三零三十度，二分之根号三，他停的三十度，三分之根号三等于考他的六十度。 好，那个这里面我可以用笔直，也可以直接把 a 等于二， b 等于三，直接可以写成，对吗？默认为 b 就 等于 c 三， a 等于二，二加三，三分之五，你还可以写成三， a 等于二， b 看到 b 都写成二分之三， a 带进去，也是，我们可以求出三分之五啊。这道题没有任何问题， 已知向量 a， 向量 a 与单位向量 e 的 方向是干嘛？这个相反，范围相反，且它告诉我应该是模。向量 a 的 模等于三，那么 e 一定方向相反呢？一定等于负一，所以就等于负三，向量 e。 好， 这就是我们的第九题。第十题。泡线只要经过圆点，只要经过圆点，泡线 x 等于零， y 的 值一定等于几零，所以我把 x 等于零带进去，我们就知道 y 也是等于零， m 加一等于零，所以 m 的 值一定是减负一，记住，只要胖五线经过原点，它一定经过 x， 零， y 等于零，所以我们就可以就出 m 等于负一。那我们看十一题，这个胖五线开口向上， 开口向上，我们在这里面看这个 a x 平方，当 a 大 于零，图像就开口向上，所以我们在这里我们可以求轻松求出 a 是 干嘛的？大于零开口向上这道题啊，这个胖五线 y 等于负， x 平方加过 c， 他 让我去求我们画一个草图，用增减性就可以求出来了。看，我们画一个，它是负 x 平方加 c， 所以 我无论 c 在 正的负的，我们就这样开口向下， x 等于负一看 x 等于负一在这吧，这是 y 一， x 等于四，四在这吧，所以 x 等于四，这是谁？ y 二， y 二一定小， y 一定是大，所以 y 一 一定是大于 y 二的， 这个就随便你画一个草图，我们都可以来用这个对应图像，就直接写答案了啊。好，我们看十三题。 十三题说在三角形 a、 b、 c 中， a、 d， 中线 a、 d 和中线 c、 e 相交于点 g， ag 比上个 a、 d， 我 们就可以，我们知道重心两个中线嘛，画个任意三角形 a、 b、 c 中 a、 d 是 中点， c、 e 也是一个中点，橡胶与点积积是三角形的重心，那我知道重心到顶顶的距离和它对边的距离比，应该是二比一，他让我去求谁呢？ ag 比上个 a、 d， ag 占两份， g、 d 占一份，那么 ag 一 样是二比三，对吧？ 就是三分之二，所以就是我们的十三题，就是相对来说比较简单考我们基本定义的，那我们看十四题啊， 十四题他是说在三角形 a、 b、 c 中， a、 c 是 几四角， a 是 三十度，他听的 b 等于三分之二，他让我去求 b、 c 的 长，这考我们直角三角形锐角比的计算问题，所以我们就直接画一个角， a 是 三十度，我们把这个 a、 c 角 a 三十度画出来，这是谁角？ a 好， 他听的， b 是 三分之二， 这个是 b 好， 这是 c， 那 么 a， c 告诉我是几来四，这是三十度，我就过点，谁做个谁垂线， 那我知道三十度数 d 的 直角边等于斜边到一半，它的斜边是几四，所以 c h 就是 几二，那么它的 b 又是几来，它的 b 又是三分之二，所以 b h 它的 b 就是 对比邻 对是二，它的邻边就是三，所以呢，这个是几二倍的根号三， b c 的 长，是不是可以求出是二的平方加上三的平方，根号下十三，是不是？所以这就是我们的 b c 的 长， 这是比较简单的，我们看十五题啊，十五题是考我们的一个实践操作的一个理解型的题。看如图是一辆小汽车与墙平行，这个小汽车与这个墙平行的视一图，汽车靠墙一侧， o b 这个长是 o b o b 的 长与 m a 与这个 m a 是 干嘛的？平行且距离是零点八，这个小汽车的门宽 a o 是 谁？一点二，这个 a o 车门宽 是一点二，当 a o b 为多少四十度，看 a o b 为四十度，车门会是否碰到一个墙填。那我这次考察我们锐角比的应用的是不是？所以看 a o 是 几一点二， 所以 a o 是 个斜边，我这样做个谁，垂线做个 a h 用三英四十度，三英四十度等于几？零点六四，所以我们知道三英四十度就等于 a h 比上个一点二， a h 比上一个斜边一点二。好，三一四之度等于几的零点六四，那我们这里面把三一四之度等于零点六四、零点六四写出来啊， 那么 a h 就 等于零点六四，乘上一个一点二，这个时候是否碰到一个墙，这个时间它和谁去比较大小，和零点八去比较大小？如果它小于零点八的话，它一样的就是不会碰到，所以在这里一定是否。 那好，我们看十六题，同学们啊，十六题得考我们二次函数理解应用的一些知识点。这个示意图看，这是个抛物线，我们告诉我这是 x 轴，这是 y 轴经过圆点，所以当拱顶力水平面是几四，水面宽是几八，就是这个是几八，也就说明这个是几四，这也是几四。 那么如果水面上升了多少三？水面上升三米后，那么水面的宽度减少，就变成跑到这了，这个宽度是减少几米，是这样子的， 能理解吧。所以我们知道这个抛物线解析式，我们先把它表达出来。这个抛物线的解析式是不是这样写了，是 y 就 等于 a 的 x 减四，括号的平方加个解四，当 x 等于零时，因为它经过零和零， x 等于零， y 的 值也是零，这个 x 等于零，这个就是十六。 a 加四，所以 a 就 等于负的四分之一，所以那我们知道啊，我们这个的抛物线解析式就是，谁 y 就 等于负的四分之一， x 减四，括号的平方加上几四，他说当水面上升几，上升三，拱顶离水面四米时，水面的宽，这个就是几 八。那现在呢？水面上升几，上升三的话，那这个长就这边就是几了三，就 y 等于几三的时候， y 等于三，那么就是负的四分之一。 x 减四括号的平方就等于几一。 负一，那么 x 减四括号的平方就等于几四，所以 x 减四等于正二。还有 x 减四就等于负二，所以 x 一 就是几六， x 二就是几 二，那么六和二六减二就是一个是六了，一个是二，那他们之间的距离就是几四，所以他的宽度就减少四米，能理解的同学们，哈，那这个就是几六，这个就是几了二，所以六减二，他们之间的距离就变成减少四米。本来是八吗？现在变成四好好， 前面都是比较基础的，我们开始进入了难题的阶段，这个真正拉开差距的就是我们每次的十、七、十八题，还有二十四、二十五，对吧？我们先来看一下，这个是七题。 四边形 a、 b、 c、 d 告诉我 ab 等于 bc 是 等腰三角形，告诉我 abc 还是多少多，这个是六十度，所以我们就知道 abc 是 个三角形，是个什么类型等边三角形好，又告诉我 abc 是 多少多？九十度，这是九十度对角线 a、 c 和 b、 d 相交于点一好， b 一 等于三倍的 d， 这个是 b， 一 比上个 d， 也就是 d 比上个 b 一 是几比几？一比三，他让我去求谁 b、 d 的 长， b、 d 求这个长，那老师说我一定要运用上谁 b、 d 比上个 d 是 三比一这个一个条件， 所以在这里我过点 b 做 a、 c 的 谁垂线正好运用等边平行，三线合一，这个等边平行，他告诉我了，所以我这时候一定要做一个谁，我做一个垂线好不好？做一个 b， h 垂直于 a、 c 等腰等边三角形，三线合一， h 也是 c 的 什么点中点，这个时间 a、 d、 c 又是多少度？九十度，所以我善于联想，我要连接一下，那我给他标个字母，这个是个 h 好 不好，这是个 h， h 一定是 a、 c 的 什么点中点。哎，我在这里面看这有个九十度了， 我现在我还没有求出用上 b、 d 比呃 b， e 比上个 d c， 所以 我在这里我继续延长，谁呢？我继续延长 b， a， b、 e 过点 d 再做一个垂线好不好？做一个垂线， 哎，我这样做一个图形的话，你没发现就是 d g 和 a、 c 是 干嘛的？平行，只要是平行哈，这个和这个是平行。那 b、 e 比上个 d 是 几比几？一三比一。我说 b， e 比上个 e， d 等于 b h 比上一个 g， h 都等于几三比一好， b、 h 是 求出来的 b h， 因为它三根线合一， ab 是 几六， a h 就是 三， b h 就是 三倍的根号三， b h 是 三倍的根号三一一比二比根号三，所以 h g 就等于根号三。好， h， g 是 根号三了吧，斜边上的中线又等于斜边呢一半，那么 d、 h 求出来了， d、 h 的 长是几是三，所以 d、 g 可以 求出来了。 d， g 的 长是几三的平方减去三就是根号六。 那么好，我现在情况下， b、 d 求出来了吧， b、 d 的 长就等于根号下，这是四倍的根号三， 四倍的根号三，括号的平方再加个谁 d， g 的 平方， d， g 的 平方是几？根号六的平方 好，五十四就可以写成是六乘九，三倍的根号六，所以 b、 d 的 场就是三倍的根号六。这道题你看他善于要运用共线，这里面从已知条件我们要学会联想，用到 b、 e 加上 e、 d， 这里面我想到这个直角三角形 a 三线合一，这里面有一个恰好的一个知识点，我们就迎刃而解。 好，我们看一下十八题，也是我们最难的一个知识点，就是每次填选择题的，这就是拉开差距的题啊。好，我们来看一下这个图，已知 abcd， 这是一个平行四边形，告诉我 ab 的 长总共长是几六？ bc 的 长是几五 或点 d 做 d， e 垂直于 a， b， 这是已知条件，垂足是谁呢？ e 垂足是 e。 将 a， d， e 这个三角形绕着点 e 旋转，得到 f， g， e 告诉我点 a 对 应的是落在 f 上了，比如它落在这了， 那么 d 落在这来了，落在 b、 c 的 边上，它大概是这样子，所以就跑到这样的一个直角三角形。好，这个就是 f， g 和 d， e 相交于点谁？ h 在 这了，他让我去求 f， h 比上个 g h 的 值。我们先画一个图，好，我们给它标个字母， 这个 e， a 落在了。看，将 a， d， e 这个三角形旋转， e 落在了 a 对 应的点是 f 落在 a、 d 上，这是谁？ f 点 d 对 应的是谁呢？那么 d 落在了谁呢？落在了这个 g 处，这个是谁？ g 还有一个条件呢，是连接 f， g 和 d， e 相交于点，字母是谁？ h 这个字母就是 h， 他让我们去求谁呢？看 f h 这个比，比上一个 d g， h， f h 比上个 f h， 这两个比。我们在这里面去找等量的关系好不好？我们知道旋转看就是，那么 a， e， f 是 一个顶角，是 a， e， f 的 等腰三角形， d， e， g 也是一个一 d 这个顶角相等的等腰三角形，就是 d， e， d 等于 e g， a， e 等于 e、 f， 这是两个条件。同时我们还知道一个条件是什么呢？看，我们先来给他标一标好不好？把等量的角，那老师说，因为 e、 f 等于以 a， 我 在这里我标个，这是一个圈角，这也一定是个圈角，那这个一定也是个谁圈角， 因为为什么就是一 d 又等于一 g？ 他 们旋转角都是相等的，所以这两个是底角，这个也是个谁圈角，因为平行四边形对角，这也是谁圈角，因为这个是 d e 垂直 ab。 我 试这个是叉，圈加叉一定是多少度？九十，看圈角恰恰角等于 d e a， 那么圈加叉也是九十度，哦，我发现这个也是多少度九十度，这个是圈，这个是叉，圈加叉是九十度。因为 a d 和 c g 是 平行的，所以这也是一个九十度。对内错角相等吗？这个是九十圈加叉九十度，所以这个一定九十度，所以圈加叉永远是九十度，这个也是个谁叉角，我们先把角相等的给找出来了啊，这个也是圈角， 这里面你看我找出那么多的等量关系，我们在这里的情况下，我们就想，哎，看到平行四边形一是上面的一个点，因为他让我去求谁？ d f， 我 想到是个八字模型，如果 f h 比上个 f g 是 不是就等于 d f 比上这边的一个延长线，所以我把 把 d e 和 bc 延长去交一个字母，可以吧，标一个 h， 好 嘞， 好，这个是一个叉角，这个一定也是个谁叉角，因为那错角相等，这是平行的，所以他让我去求 f h 比上个 f g， 我 就构建求 d f 比上个 g h 了吧。八字模型，这里面八字模型，你看我们是怎么去求，我们去分析一下啊，在这里，哎，发现 d g h 是 什么类型？直角三角形， e g 又等于谁？ e d， 这是一个叉角， 这也是一个谁叉角，所以 e g 又等于 e h。 发现 e 是 d h 的 什么点？ e 是 d h 的 中点，那么 e 是 d h 的 中点，我们可以从图形得出来的。那我们知道哪两条形全等，就是 a e， d 和 b h， e 一定是全等的三角形， a， d e 和 b h e 一定是全等的，说明一也是谁的终点？ ab 的 终点， ok， 一 是 ab 的 终点，那我就出来了。原来 a 一 等于 b 一。 好，这道题我截止到现在我就马上迎刃而解了，就顾不见联想吗？他让我求 f h 比上个 f g 就 转换成求 df 比上个 h g 了， f h 比上一个 h g 就 转换成 df 比上一个 g h 了。我只要把 df 这个求出来就可以了。哎，我发现 a 的 长是几三， d e 的 长， ad 的 长是几五，这个 d、 h 的 长是不是几八？三四五吗？三四，这里面还 ad 是 五了吧？看到有三四五的直线三角形，所以因为 d e 就是 四，所以 d、 h 的 长就是几八。我现在只要把 g、 h 给求出来，我们这道题是不是就迎刃而解？在这个三角形里面， d、 c 是 几六， 我们要把 d、 g 给求出来，因为这个已经是八了吗？因为 d h 是 八， d c 是 几六，这还是九十度，所以我就知道 ch 的 长是十， ch 等于十。我现在要求 c g， c g 怎么求？考三用圈角可以吗？考三用圈就等于 c， g 比上个几六， c 级比上个六就等于考三一圈角等于五分之三，所以我们就求出来 c 级的长就等于五分之十八。好，那么 c g、 h 求出来了吧？ g h 就 等于十，减去五分之十八就等于五分之几，五分之三十二。 好，这是 g h 的 长求出来了，我要把 d、 f 的 长再求出这道题，是不是就解任由任解了？那我 d、 f 怎么求呢？在这里我知道 a、 e 是 几三好，我这样做个垂线吧。那么这个比如说是个 m， 那 么 a m 比上一个三， 就等于这个圈角的正弦，那个余弦值依然又等于就等于五分之几五分之三，所以 a、 m 的 长就等于五分之十八 好，那么 df 的 长是不是就等于五？减去五分之十八就等于五分之几七？好，那么 df 求出来了， g h 也求出，那个 g h 也求出来了，所以 df 比上个 g h 就 等于我们要求的 f h 比上个 h， g 就 等于是五分之七，比上个五分之三十二，显然是七比三十二。 当然你用四点共圆，我们这道题也能解出来这种题，因为他给的条件里面，我们善于用习惯用像三角形的构建八字模型，还是相对来说比较简单一些的。关于这就十八题啊，好，我们来看一下十九题。在三角形 abc 这个三角形 看 a、 b、 c 这个三角形好， d 在 b、 c 边上告诉我 a、 d 等于两格 b、 d 设 a， c 的 长是 a， a， d 的 长为 b， 那 么 b、 c 这个用向量表达好求好，比较好求，对吗？他告诉我 a、 c 是 向量 a 是 这个向量 a， 那 么因为告诉我 a、 d 是 几 b， 如果这是一份，这是两份，所以呢，我就知道啊，原来向量 ab 就 等于二分之三 向量的 a、 d， 那 他让我去求向量谁 b、 c， 那 么向量 b、 c， 我 们可以用向量就等于谁。向量比 a 加向量 ac， 可以 吧，向量比 a 加向量 ac， 首尾顺次相连。向量比 a 就 等于谁负的二分之三向量 a、 d、 b 加上向量 a， c 就 加上向量谁 a？ 所以 这道题的答案直接是谁 a 减二分之三向量 b， 对 吧？所以 b、 c 就 等于向量 a 减二分之三向量 b。 你 写负的二分之三向量 b 加向量 a 也是对的。 好，那我们看第二位啊，如果 b、 c、 d 这个角等于角，谁呢？ a 呢？所以在这里你看一角 b 是 公共的角，所以我们一正三角形谁 b、 c、 d？ 它一定相似于三角形 b， a、 c 是 不是 a， d 等于两倍的 b、 d？ 如果 b、 d 是 个 x， a、 d 就是 几个 x， 两个 x。 好， 在这里我们就知道啊， b、 c 的 平方看 b、 c 比上一个 a， b 就 等于 b， d 比上个 b c， b、 d 比上个 b、 c， 所以 我们可以得出 b、 c 的 平方母子形嘛，直接就等于谁 b、 d 乘上一个比 a， 对 吧？好， b、 c 是 几？告诉我是六三十六就等于 b、 d， b、 d 是 x， 乘上一个谁呢？ ab， ab 是 三个 x， 所以 x， 我 们就求出是几 x 平方等于十二，等于二倍的根号三，对吧？ 好，他让我去求 ab 的 长， ab 是 三 x， 所以 我们就知道 ab 等于三， x 就 等于六倍的根号三。我们这道题就是迎刃而解， 好，同学们都听懂了啊！好，我们看这道题说二十题已知二次函数 a， x 平方加 b， x 加 c 函数值 y 与 x 之间的部分对应关系。第一个我们看，从图像里面我们要去找对称哈，当 x 等于一时， y 的 值是零，当 x 等于三， y 的 值也是谁零，那我们知道它的对称轴一定是谁。 x 等于二分之一，加三 就等于几二 a， x 等于二十， y 的 值又是几一？我就发现，当 x 等于 y 的 一，这个是对称轴时，这是它的顶点坐标，所以这个旁边的顶点坐标直接是谁？ a 乘上个 x 减二，括号的平方加个减一， 我再把最简单的那个点，当 x 等于零时， y 的 值等于几三？代入这个抛物线吧。看， x 等于零， y 的 值是三， x 等于零就变成是谁了，零减二就变成是零。四 a 加一，所以我们就求出四， a 等于二， a 就 等于二分之一。那我这个 pi 线对称轴直接写了吧。头 pi 线的解析式就是，谁 y 就 等于二分之一， x 减二的平方加个一，它的对称轴。当然你要写直线 x 等于二，不要忘记直线，这是对称轴。所以这道题是我们就迎而解了，是不是？ 好同学们，这道第一问没问题，那我们先看第二问，第二问的话，他让我去求面积，这里面我们可以画一个草图啊，画一个草图比较好理解说这个二次函数的图像与 x 轴交于谁？与 x 轴交于点 a 与 y 轴交于点 b， 顶点是 c。 那 我们画个草图，我们就比较简单，我们画一下啊， y 的 应该是负二分之一，我刚刚写的正反啊，那么好，这个就是开口向下，对吧？它开口向下，它是图像，是这样画的了。 好，这个是 x 等于几二？这个与 x 轴交于点 a 与 y 轴交于点 b， 顶点是谁？ c， 这顶点是 c？ c 点坐标就是几二和零，二和一。好，这是 c， 他 让我去求谁呢？这是 abc， 这是 b， 这是 a。 那 么我就等于在这个平面直角坐标系里面看，这个是 c 点的坐标 a 在 对称轴的右侧啊，这就是 a， 这是 a。 好， 三和零，那么他让我去求 abc 这个面积。好，这个面积的话，我们去去，直接去用铅锤可以吗？去求，用铅锤的方法去求，或者用面积用胳膊的形式，我们都可以把它求出来，你看我们怎么去求呢？那我在这里 ab 的 直线方程，因为 a 点坐标是三和零，这个是零和负三，所以 ab 这个直线方程一定是谁 y 就 等于 x 减三，这个点 c， 当 x 等于二十，这个点字母有个 g 吧，所以这个点 g 的 坐标就是谁，点 g 的 坐标就是当 x 等于二十，就是二和负一， 所以 c g 的 长就是几二。然后再去求三角形，它的面积就是二分之一，乘上个 c g， 再乘上个 x， a 减去 x， b， 再乘上个几三，所以它的面积 a b 的 面积直接就是二分之几三。 好，这就是我们的二十题的一个解答题啊，那你说我们面积分割，把它求出来，过点 b 做去可以吗？可以的啊，用那个矩形减三个三角形的面积也可以，我们用铅垂比较简单啊， c 级的长就是 x， a 的 坐标减去 x b 的 坐标，用铅垂的方法，我们就把这个面积给求出来，大家可以听得懂啊。这道题我们就结束了， 好，同学们，我们看这道题啊，这道题它是考我们对这个解直角三角形的应用，这道题相对来说还是比较简单，比较直观的。我们先来看一下题啊，为了测量这个学校的 a b 的 这个教学楼的高度， 小慧同学在教学楼 d 处测的 a 的 顶角是这样一一连这个阳角，这个角就是阳角渊，是视线和水平的夹角，就这个是四十五度，再沿着 b、 d 后退了 十六米，到达 c 就是 d， c 的 长是十六，这个时间右侧它的阳角是多少呢？二十二点，二十二度。 好，告诉我， b、 d、 c 这三条是在同一条直线上，让你设计出 ab 的 高度，那这道题我就设 ab 的 高度为个谁呢？就是为个 x， 可以 吗？那老师说，看这道题，这样，记住等值线形吧， abd 这个三角形这段也是 x， 那 么 c b 的 场就是 x 加这段就是整个 b c 的 场，这个是十六嘛？整个 b、 c 的 场就是 x 加十六，这个是十六。所以呢，那我们在这里面连一下哈， 好，就是这个 abc 这个 r、 t 三角形中这个是九十度，只要是垂直的话，那么 t t 呢？二十二度，我们就知道啊，它就考我们 t， t 呢，二十二度的角对吗？就等于谁呢？ ab， x 比上一个 x 加十六， 对比零就等于几呢？他听了二十二度告诉我了等于几，五分之二，我们在这里面呢，他让我去求出 x 的 值几，是我们求的，在这里我们一求 x 等于几呢？约等于哈五分之二吗？在这里精确的零点一米就是小数点，后面保留一位小数，所以他约等于十点七， 这就是这个 ab 的 高度。好，我们看隔点，我们来看一下这个新定义题啊，新定义他是我们最近所有的模拟考和中考考的越来越频繁的一种高频考点题，他考察的我们学生就是理解问题和知识迁移的能力。我们一起来看一下这道题啊。 说第一个有边长为一的，边长为一的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点都称为在格点上，就是叫格点。 在这个 a、 b、 c 的 格点看， a、 b、 c 都在格点上，要求完成下列问题。第一题，它让我们去求三 in b c 的 值，三 in c， 显然我们这道题 他不是让我画图，让我去求值，哎。我们通过自己的分析，我发现看这个长是解四四个格点，这个也是解四个格点，所以我 ab 的 长就可以求出来了。是谁？这是四个格点，是两个格点，我 a c 也可以求出来了， a c 就是 二倍的根号五，对吧？ 所以呢，我可以，如果他让我去求撒引，撒引，那我在这里的话，我没有直角，它也行，所以我要构建一个直角，我做过点 c， 做个 ab 的 垂线， 比如说做个 c 极吧。好在这里我只要求出是谁 c 极的场， c 极的场，我显然用个谁。面积等级法，面积等级法就是三角形， abc 的 面积等于底 bc， bc 是 几？一二三四五六六乘上一个高，一二三四六乘四 就等于 ab， ab 显然是四倍的根号二乘上个 c 极，所以我在这里我就可以把 c 极给求出来了。 c 极的场就等于是谁呢？ 四倍的根号二，除上一个六，乘上一个四，四和四就没有了，所以就变成是谁三倍的根号二，对吧？都乘上一个根号二，这个就变成是三倍的根号二，这就是 c 极的场，所以那么我撒赢这个 b a 奇的场，就等于 c g c g 是 三倍的根号二， 比上一个二倍的根号五分母有理化一下，都乘根号五，就是十分之三倍的根号十。所以我们这一位就比较简单的，各位求出来了， 好，那我们再看第二位，请用无可度的直直尺作图，不要求写做法，保留作图痕迹。 这里面你不能测量，我们要用我们学过的知识去求 a c p 是 一个四十五度，你看你，你不能说我量个四十五度去画起来这个 a c p， 那 不行的，那我在这里你看到四十五度，我们一般情况下用谁做比较好？我们知道我可以用谁 构建等腰直角三角形。如何构建等腰直角三角形？我们这道题是我们考察的对象，所以呢，在这里你看，如果我能构建一个，这边有一个二，这边有一个几四这样的一个三角形，一二一二三四，这边有几个一二三四，这边有个几二，我这样一连， 那么这两个三角形一定是干嘛全等全等的情况下，这个是有个 m 吧？那老师说 a m 和 a c 一定是相等的，看这个角加这个，这个角加这个角是九十度，这两个三角形全等，这个加这个也是九十度，所以这个也就九十度 am 等于 ac， 所以 三角形 m ac 一定是个什么图形？等腰这个图形连接 cm， 是 不是连接一下 cm， 那 我们就知道 m 也在各点上连接 cm， 它和这个 ab 的 这个焦点的坐标一定是谁 p， 这个时间 acp， 这个角一定是四十五度，所以你就说如图 p 就是 我们所求的点，如图二 说在 a c 上求作点谁 q， 使得 b q 垂直于谁 a c。 这里面我就要学会构建直角三角形。怎么构建的？这个是个圈角，它的正切值 是不对边是两个单位，一二三四，邻边是四个单位，二比一，那我知道这个加这个差一定是多少度？九十度，所以我只要勾点一个圈角，也是一连， 等于这个圈角构建这个圈角的正确值是几？一比二，所以我们再看一二三四五六，这是六个，我取三个，一二三取个这个点，老师我取这个点是谁？ h， 你 看我连接一下 b h， 那我在这里有个字母是一个，他让我去求点 q， q 即为所求。我们来分析一下看，因为这是个圈角，这也是个谁圈角，圈加叉是多少度？九十，那这个圈加叉一定是多少度？九十，这个一定是谁？九十 q 即为所求。这里面就保留作图痕迹，写个结论就 ok 了。 好，我们这道题就结束了啊。格点问题是我们最近考试的高频考点题，大家一定要注意啊，它主要是考我们知识迁移的能力。那我们来看二十三题这道题。如图，在这个矩形 a b c d， 这是一个矩形中，一在 a b 的 延长线上过点 a 做 af， 垂直于 c e。 看到这个图里面，我就知道这里面有一定有个谁。九十度，那这是一个圈角，这一定也是个圈角。看到这样的条件我们就知道啊，还有 cf 又等于 ef， f 是 它的终点， 对吧？是斜边 c e 的 终点， af 角必须点 g， 他 让我去求证，是谁呢？ b f 的 平方等于 fa， fa 是 这个三角形， f， g 呢？是这个三角形，所以我们看到 f， g 是 在这个 c g f 中， fa 呢？是在这个大的三角形里面，所以我们就一正如图里面三角形就是 a f 一 a f 一， 它一定是相似于三角形，看，这是个圈角，这是个圈角，和 a f 一 和 c f g 一定是相似，两个角相等，这个角等于这个角，这个是九十度，这个也是九十度，所以我们就知道，看它里面又用 af， af 比上一个 cf， ef 比上一个 gf， 所以我们就可以得出，看， a f 乘 g f， a f 乘上一个 g f 就 等于 e f 乘 c f， e f 乘 c f， e f 是 相等的，所以就等于都等于 b f。 斜边的中线等于斜边呢一半，所以 b f 等于 c f 等于 e f 的， 所以就等于 b f 的 平方。好，第一位就迎刃而解了，转换一下，是不是因为这是斜边的中线，等于 e f 的 一半， b f 等于 c f 也等于 e f， 所以 这里面 就是 e f 乘 c f 就 等于 b f 的 平方。好，我们第一问比较简单，迎刃而解，考相三角形的，那我们看第二题啊，连接 b d 交 a g 一 点， h 这个字母是 h， 如果 ab 等于 bc， 那 么 ab 等于 bc 的 话，就说明它是一个什么呢？它是一个正方形。 看，如果 ab 等于 bc， 说明这个正这边是个矩形，就变成一个正方形。正方形我们就知道啊，这个是个四十五度，这个也是一个四十五度角，平分线互相平分，对吧？那我们刚刚知道了，这是一个叉，这也是一个叉，这两个角原来是干嘛的？相等，这个也是谁叉角，因为斜边的中线等于斜边呢一半， 看，这是个外角吧，这个角是个圈加叉，就是这个角和这个角相等呢，所以在这里有 f b 就 等于 f， 看 这个角等于圈加这个叉，这个也是圈加叉，所以有个 f h 等于 f b， 我 们在这里面先把 f h 等于个 f b 圈加叉好它，让我们去求证是谁呢？哈？ a h a h 是 这个长比上一个 h g a h 比上个 h g 是 不是就等于 a d 比上一个 b g 八字模型在这里， a h 比上一个谁 h g 就 等于。是不是 a d 比上一个 b g 好， a d 又等于谁又等于 a b？ 因为 a d 等于 a b， 我 就写成是谁 a b 比上个 b g 好， a b 比上个 b g 就 等于叉角的余切 就等于 carterton 的 叉，看 carterton 的 叉等于零。比上个斜，对于这个三角形来说，对于 c g h 这个三角形来说，在 r t 这个三角形 c f 极中， c f 极这个三角形中，是不是这个叉角和它的叉角也等于谁呢？邻比斜， c f 比上一个 g f 好， c f 又等于谁嘞？ b f b f 又等于 f g c f 等于 b f b f 又等于 f h 的， 所以我就直接转了。所以等于 f h 比上个 f g g f， 所以 这点出来了吗？ a a i 所以 这两个是干嘛的和这个是干嘛的相等的，它们都是同一个考探的己的值，所以这两个就相等。我们这道题也迎刃而解了，所以我们把等量的关系给找出来，我们这道题就比较简单，我们就做出来了啊。这种锐角比的相似，主要是考无插手我们的，我们转换的一种能力。 好，我们来看一下。呃，二十四题啊。在一场篮球比赛中，运动员小杨在这个四米处跳篮球，运行的路径是个抛物线，这样子是个抛物线的形状，当球运行的水平距离是二点五，达到最高点，那我就知道这个书的顶点坐标 是二点五和三点五这个抛物线的顶点坐标。然后呢，篮圈中心到地面的距离是几？ 三点零五，蓝圈中心那地面的距离是三点零五，就当 x 等于四十， y 的 值等于三点零五。所以我们在这里的话，我就知道这个炮线，你看 这个是当它等于二点五，它是最高点，所以这个炮线的顶点坐标就是二点五三，我就，我就设成谁， ax 减二点五的平方加三点五，我就设成顶点式。这个时候我只要把谁又因为 过来看，当 x 等于四时，把 x 等于四， y 的 值等于三点零五这个顶点，它这个点的坐标是四和。把这个点四和三点零五带入这个抛物线里面，我们可以求出 a 的 值，也就是当 x 等于四时， y 的 值等于三点零五，是不是这个时候我们可以求出 a， 那么这个一写出 a 的 值就等于负的五分之一。那么好，第一个抛物线的表达式我们就求出来了， y 就 等于谁负的五分之一， x 减二点五的平方加上三点五，这就是我们第一位， 那我们再看第二位，如果小杨的身高是多少呢？一点八米就是，这就是他的一点八米。在这次投篮中，球在头顶零点二五，这个球还离他身高是零点二五，那么球出省时，他跳离地面的高度是多少米？ 那就是在这个 y 轴上， x 值等于几零，那我要把 x 等于零带入这个抛物线里面去，是不是 x 等于零，求出 f 零，也就是 y 的 值等于几？ x 等于零，带进去就是六点二五，负的五分之六点二五加上三点五，那我们在这个里面负的零点五加二点五的话，我们就可以求出是几，就 是四分之九。那这个时候我们要写成是谁四分之九减去谁一点八，再减去谁。零点二五就是他跳离的，因为他正好和栏杆是接触到一起的，这个时候我们就可以求出是谁呢？ 一求就是零点二米，这个时间他跳离的地面高度就是零点二。这道题主要考察我们奇异的理解，非常之简单啊。好，我们看第二位，第二位的第二位 说在这场篮球比赛中，另一位运动员小普，另一个运动员，他的炮火线和这个 是不一个炮火线了，已知他球出手时离地面的高度是谁呢？九分之二十，也就是这个坐标是谁？九分之二十与篮圈中心的水平距离是几七？当球出手水平距离为四米时，他的最高点是几？四，在他的顶点坐标是谁？四和四， 他问这次是否能投？那所以这个他的抛物线的方程我们要重新解一下，他就是设成另外一个一个新的 x 减四括号的平方加个减四。这个时候我们要带入是谁呢？把零和谁？零这个，呃零和九分之二十带入，因为这里面有前面看 翘起出手离地面的高度是几？九分之二十，所以我们把这个 x 等于零， y 的 值等于九分之二十。带入这个抛物线，我们可以把 a 求出来， x 等于零的话，十六， a 一 加四，这个等于九分之二十，所以这个时候我们就可以求出 a 一 的长，你看我们一起求一下啊， y 就 等于九分之二十， 呃，那我们一求求出 a 的 值等于负的九分之一，所以我们就可以把这个抛物线九， y 就 等于负的九分之一。 x 减四，括号的平方加个四，这个时候他问你说看 如果这个水平距离是几？七，这个出手水平，当求出手后，水平距离为四米时，达到最高点，当蓝圈中心水平距离为七米时， 四，这是它最高点。这个是篮球运行的，也是成抛物线，所以我这个抛物线给求出来了，所以我要当 x 等于七，看看它是不是等于三点零五，能理解吧。所以我这个时候就是当它是七，是三点零五，这个时候我要把谁把七带进去，也就是当 x 等于七时，把 x 等于七十，代入这个抛物线方程里面。那我求出 f 七，也就是 y 的 值， y 就 等于 f 七等于几呢？这个七负一，负一加三是三，但是呢，他是三是小于谁？三点零五，所以他投不中嘛？他问我是谁，问求能投中这个篮，所以无法投中，投不中就答， 你。这样去理解的话，这道题就满分。他其实考察我们是二次函数对于这个图像和给的条件的一个深度理解和应用的问题，这道题不难啊， 好，同学们，我们来看最后一道题啊，最后一道题他考的我们是实践和综合的操作能力， 这是考我们黄金矩形，在这，因为我们在初初初三里面我们学过黄金三角形，顶角是七十二度的，和顶角是三十六度的，就是腰和底的比，就是较短的，比较长的， 它的比值是定值二分之根号五减一，也学过黄金矩形，就是这个矩形里面，它较短的，比较长的都是二分之根号五减一，这样子的一个都叫做黄金矩形。那 我们也学过黄金分割点，就是较短的边比上个较长的边，它的比值是定值二分之，根号五减一，这叫黄金分割点。所以呢，这是实践操作，和我们黄金矩形结合在一起的。我们来看一下啊，宽和长之比，是二分之，根号五的矩形，叫做黄金矩形。 那么第一个操作，实践操作小创小组将一个矩形的纸片按照二到五的方式操作， 看哪些句型是黄金句型，让我们直接写出来。那我们从体型里面我们分析一下，这个对折，这一定是个谁？正方形，再沿着中间这个直线对折，那我说如果这是一，这是一，这个边一定是几？二好 看这里面一连接，如果这是一，这是二，所以 df 就是 几，根号五， df 一定等于 f g， f g 也一定是根号五，因为它是反折段相等的，那么 f g 是 根号五， c g 就是 c， g 的 长就是根号五减一了吧， 所以在这里 d c、 g、 h 一定是，那么 d c 是 二，所以二分之根号五减一。所以我知道啊，第一个就是谁，这个矩形 dc， g、 h 是 黄金矩形，这是第一个，那么第二个是谁呢？那老师说 c b 的 长就变成谁了，二分之根号五加一， ab 呢，就是二，所以我们知道较短的，比较长的看 较短的在这里是几二，较长的是谁？根号五加一，它就等于谁，较短的在这里是 ab。 比上一个 b c， b、 g， 它化简一下，分母有理化，依然是谁二分之根号五减一，所以我们在这里我知道，哦，原来还有个谁 a b g h 也是一个黄金矩形。第一问，我们就这么轻松地解答出来， 我们看第二题啊，同学们说，小智小组将一个正方形的纸片按照七到十的方式操作，看翻折，那我这个正方形边长老师说，就设为二开，或者设个二，那么如果设个是二开的话，这个就是开，这个就是谁开，这里面也是一样的，看他沿着再次 这样操作，那我知道这个就是谁，根号五 k， 这个是 k， 对 吧？好 d， 将 b c 将 b g 操作，正好落在 c e 上，落在这个直线 c e 上看，或点击做出折线， b g h c b g c h， 它让我去说明，能证明 b g， c h 是 矩形吗？那我们在这里面看，我怎么去证呢？因为我知道，比如说我连接一下谁 c g， 延长一下 c g 和这个底的延长线相交一个字母，是一个积吧。我要去说明，因为 c 一 的长和解 a 的 长一定是干嘛的相等，因为这两个角是干嘛的相等，这个角和这个角是内错，这是一个圈角，所以解 a 和 c 是 相等的，所以 c 一 等于 g 一 减一都等于几根号五，那我说 a 级的长就等于谁根号五减 a 一 减一。好，那我知道， a 级比上一个 bc 就等于二分之根号五减一，它又等于谁？ a g 比上一个 b g， 在 这里 a g 比上个 b g 也等于二分之根号五减一。那我们就知道，哦，原来 b g 比上一个谁 bc 二分之根号五减一，所以我们就知道，哦，它是一个谁矩形，那我们就可以第二位就可以说明出来了啊，那我们看第三位学一致用他。第一个需要我们画图去学会操作，将一个矩形的纸片 a， b， c， d 是 一个矩形的纸片， 先按下列操作，画出示意图，再按要求解决问题。第一个哈，沿过 c 的 直线折叠，是 b， 落在 a、 d 的 边处 e 处，那么沿着折叠就相等，所以我一定要做个谁呢？做一个 c， e 等于 c b 沿着过点 c 的 直线折叠，是 b， 落在 e 处，这个字母就是谁？ e， c， e 等于 c b 折痕交 ab 与点谁？ g， 这个字母是 g。 好，沿过点一到直线，这点 d 落在 c 一 处，那么点和 d 七相交于点 f， 它一定是这样做的，这个字母一定是谁？ f 是 d， 落在 c 一 处，落在 c 一 处的 h 处，那这个字母是谁？ h 折痕交 c， d， 点 f 画出来了过点一的直线，这这底 e， n， c， d， 那 么 e， n， c， d， 我 这样子一定画个矩形，这个是谁？ n 看 e， n， c， d 就是 一个矩形。 e， n 与 c g 相交于点，字母是谁？这个字母是谁？ m， 它说当 m h 以连垂直于 e n 时，那么这个垂直。就说这个直线和这个直线一定是干嘛的？平行的。 好，请说明， g 是 a b 的 黄金分割点，那我就要证明是 a g 比上个 b， g 是 谁？二分之根号五减一，这道题就迎刃而解了。好，我们在这里去找等量的关系， c， e 一定等于 c b， 我 在这里我设谁呢？设 c， b 等于 c， e 又等于谁？这个有个字母是个 i， 好 吧，就等于 e i， 因为翻折的嘛，这两个角是干嘛的？相等，这两个角是内错角相等，所以 e、 i 等于 e， c 又等于 e， b 等于。我是一个字母，用一个字母等于谁？ a， 我是 e， d， e， d 又等于 e、 h， 因为为什么呢？ e、 h 是 e、 d 沿着 e、 f 翻折出来的 e、 d 等于 e， h 又等于 c， a 又等于谁？ c、 n 都等于谁？ b 还有个条件， a， r、 e 也等于个 b， 为什么？你看 a， e 等于 a d， 所以 a、 r、 e 一定等于 e， d 都等于 b。 好，那么 a i 比上个 bc， a， i 比上一个 bc 就 等于 a， g 比上一个 b， g 就 等于谁？ b 比上一个 a。 在 这里我看找 b 和 a 的 等量关系就是 i e 比上一个 c， n 就等于谁？ a 比上个 b 又等于个 e m 比上一个 m， n 又等于 e， h 比上一个 c， h。 对 应线段成比例吗？这个和这个是平行的。那么好，我们在这里面发现， a 比上一个 b 就 等于 e、 h， e、 h 是 谁？ eh 就 等于 b 比上一个 a 减 b， c， h 就是 a 减 b， 总共这个是 a， 这段是 b， 是 不是 a 减 b？ 所以 好，我们在这里面我没得出一个关于 a 和 b 的 关系了吧？就是 a 方减 ab 就 等于 b 的 平方， 我两边通除以 a 方，就变成是一减去 a 分 之 b 就 等于 a 的 平方，分之 b 的 平方。所以我把这里 a 方 b 方加上 a 分 之 b 减一就等于零。然后我一求出 ab 就 等于二分之根号五减一， 所以 a， g 比上个 b， g 等于 a， i 比上个 b c， 二分之根号五减一，所以 g 是 ab 的 黄金分割点。我们这道题就迎刃而解，这道题它主要考察了我们黄金分割点的 计算推论，包括我们用实际操作的一些能力，画图的能力，我们这道题就迎刃而解。

哈喽，我刚刚做完了这个杨浦的一模卷啊，全网很多人在吐槽杨浦的调研员，我觉得事出反常必有妖，所以我还是要自己亲自来做一下，感受一下。 那么我坐下来，以我个人的角度来讲呢，这份卷子我觉得还是给予肯定的评价吧，他也有一些创新和灵活的地方，那么他和往年有一些不同的变化。我放在视频的最后讲啊， 那么我先从听力开始讲，听力大家会发现这些图片，六个图片，它的辨识度非常高，区别度很大，所以今年的听音选图这样的题目依然是送分题啊，所以难度还是适中的，没有什么变化。 the part two 第二部分依然是词法，词法呢，保留了十五个单选择题，十五个单选择题的难度也是中规中矩的，那么如果非要让我呃挑出有什么不一样的地方呢？就是它用了疯狂动物城二的一个体裁来考你那个 ever 作为最高级的一个 范围词，然后呢，考了一个 escape 这个词逃跑作为名词的用法，其他已经非常正常了。这些语言点我们这个中考班已经不知道刷了多少遍了啊，所以就非常正常，小猫钓鱼也很正常。 呃，那么接下来我要讲一个变化吧，就是今年的阅读题，阅读题的 c 篇，它讲了一个时文阅读，是关于我们前面非常火的一个东西，叫 la 补补啊，这个时文的内容是非常的热门的， 我们的课程当中，从四年级到八年级，一直在刷不同的题材和不同难度的这个食文啊，所以让你们平时刷的时候，你们还是要兢兢业业的去刷啊，这样热门的话题，如果在考试当中你遇到的话，这个首字母可以说是随便填填的啊，非常非常简单了，所以考试考到这样的题，你就偷着乐吧。 今年的变化最大的就是阅读的第一篇，它的内容有点像在 facebook 上面截下来的网友留言，那他有这个网名，还有就是 你回答的时间啊，还有点赞数量啊等等，那么这个内容是非常有趣的啊，但是难度是绝对不难。然后呢，他的回答问题今年有一些非常显著的变化，显著的变化啊，当当当，敲黑板，大家听啊！那么我们以往的这个任务型阅读的回答问题的题目 都是一问一答，最后一个题有点主观的，一般是两个点两分，让你写一些主观对于文章当中人物的评价，这个一般也是可以写满分的。但是今年的这套题目呢？他在最后一个题目的时候，他出了一个让你 根据文章来续写一个 new tip， what's the new tip you can offer amy write a reply to her in no more than thirty words。 就是 用三十个字来写一个小 tip， 大家记不记得我们上周末很多班级就在写一个 不超过三十个字的记单词的 tip， 记不记得哎，如果你那个认真写的话，你看到这个题就是非常非常像的一个题目啊，那么也就是说这是一个新的题型啊，这个以前是没有的，这个叫读后续写，这是新中考明确表示的要考的提醒。但是今年九年级已经上了， 那么全网最大的矛盾点和争议点就在今年的作文，我觉得我个人觉得是非常非常有创意的啊。 好，大家来看到这个是给了你四幅图，他的逻辑性非常强，你一眼就能看到是怎么回事。然后第三幅图呢？他把它抠掉了，让你按照逻辑去补充，那这个题我觉得是比我们平时正常的呃，准备的中考作文要简单非常多的， 为什么呢？因为你看啊，首先从这几幅图上，他的呃逻辑故事性非常强，逻辑也非常非常的清晰，没有任何什么值得争议或者是多思考的地方，而且要求四幅图六十个字， 那么也就是说你每一幅图你用十五个到二十个字把这个图写清楚不就好了吗？它事实上就是一个看图写话题，这是剑桥 ket 的 考小学生的题目哎，对不对？它非常简单，只不过是你在写的时候你要注意就是时态 啊，这是我们大部分中学生会遇到的一个问题，就是他在一激动，对吧？写故事的时候，什么过去时、将来时、进行时就乱，时光穿梭啊，这个是最容易出现的问题，就是你把时态把握好就可以了。那么他比我们平时练的作文啊，比如说我们今年最重点练的是传统文化、 校园生活、关键人物、伴我成长等等，这些是我们需要大批的素材和我们准备了大概大半年的东西，但是现在你会发现这个作文比我们准备的要简单的多的多， 对吧？所以我不知道大家的吐槽点在哪里，我觉得这个题目非常灵活，从今年的读后续写到这种写作的考核方式，让我看到了未来考试的一个趋势就是他有一些记忆的东西 他没有完全摒弃掉，死记硬背，但是他有一些更灵活的，能够让你考验你能够把英语当工具来用的一个能力，那这个我觉得是让我看到了一个英语学习的未来和希望。 针对这样一个趋势，我的建议是，如果现在咱们还在坚持原版读书的小朋友，那你就尽量继续坚持下去，从来没有接触过原版的同学，那你现在就好好的把我们那个拓展题，还有我们给大家拓展的那些时文阅读， 真的要踏踏实实的，好好的练，按照要求好好的练，好好的巩固。那这样难度的题型我们其实是完全可以 handle 的， 完全不需要恐慌。好的，那么这期我们就讲到这里喽， see you。

杨浦区跟徐汇区的数学一模卷来了，一句话总结今年杨浦区的难度，拉完了。徐汇区的考题很有意思，填选择题当中易错点比较多，考察小朋友的基本概念，尤其是选择题当中的第六题，考察小朋友对于相似三角形的掌 握能力。填空题整体难度一般，但是题量比较大，涉及到的数值呢，相对都比较冷门。填空题当中，第十七道和黄浦区二十五道压轴题 知识点一致，都是考察了黄金分割线当中的黄金矩形问题，如果没有搞懂的小朋友，需要回去好好复习。解答题当中第十九道到二十三道的难度相对比较简单。第二十四题二次函数，考察了平移性问题以及相似三角形的存在性问题，难度相对比较高，属于小压轴题。那 重点来了，第二十五道压轴题，考察了一线三直角的全等模型以及 a 字型全等，更是在第三小问考察了四点公园，虽然没有要求写过程，但是对于完全没有学过的小朋友而言，难度还是非常高的。每天晚上七点给大家在直播间讲初三一模的定位，有需要的家长可以预约我的直播。

各位家长同学们大家好，这里是一如老师徐汇。杨浦、嘉定的数学一模刚刚结束，很多同学都说题目很新很火很难，但是中考数学的风向真的变了吗？别急，今天我们就来仔细看看过往我们总结新教改到底改了什么。其实就是一句话，难度分布从八一一调整到了七二一。 当然并不是说难度，我们只在于十八二四二十五这三道压轴题，而是从大题中去掉了一道送分题，加入一道阅读量非常大的解析难度仅次于压轴题的情景探求题。 那我们再来看刚刚结束的这三个区的一模卷，其实题量和题型都保持高度的稳定，知识模块中图形与几何、 函数与分析还是绝对的主力。但是这里面新教改同样的也带来了两点变化。首先第一点就是阅读和信息的处理量明显增加，所有区的市题中都出现了更长的题干，并且融合了生活的情景、科技的背景或者是数学文化。 比如说我们杨浦区的第二十五题黄金举行，对吧？就是一道生活中应用题，这就要求我们的孩子要具备快速提取关键数学信息以及解决生活中实际问题的能力。 而第二点呢，新定义的考察成为了一个常态。从二零二五届的零星分布到二零二六届，我们三个区的异模中其实都出现了新定义的题目，比如说最佳视野点、黄金分割线，还有阿尔法 k 变换，对吧？这类题型明确指向于考察同学们及时学习和迁移知识 的能力。那我们再来看回压轴题，这里插一句，如果同学们对于压轴题的解法感兴趣，可以等等，我会出一期详细的解析视频。 但总的来说，我们整个的亚洲题里，二次函数还有几何板块，他的地位仍然是无法撼动，是二十四、二十五题的绝对主角， 考察的方向呢，也更加的趋于中性。比如说杨浦区的二十四题和徐汇的二十四题，都要求根据角度相等这些几何条件来求参数，思维链条还是比较长。但如果同学们熟悉我们一些经典的模型，比如说我们的一个三垂直模型，其实这类题也在我们七下八上的时候，是 已经让同学们训练了很多很多次的。徐汇今年的函数压轴题，对于同学们的一个代数变形还有几何直观能力要求是很高，也就是区分同学们优秀和顶尖的一个关键点。 但是函数过定点问题从徐汇区二五年的探讨题演变成了杨浦今年的一个填空题，也体现出热点的问题，他一个往下沉的趋势。 二十五题呢？不管是杨浦的黄金举行，还是徐汇和嘉定的这种常规的几何题，他对于基本功和阅读能力的要求其实都更大于对于同学们解析的要求。 总的来说，命题者通过定义新概念、介绍新背景，去创造一个统一起跑线的公平情境，其实更纯粹的是考察我们同学的理解、转化和应用能力。这类题目中指的是阅读，将新定义转化成熟悉的数学模型或者语言。 这三个区的一模试卷也同样给我们带来一些信号，我们在平时的训练中就需要注意以下这个点，首先就是练习一些阅读量比较长的这种难题或者是中档题，第二点就是培养自己将知识练习实际严谨推理的能力， 最后还希望同学们巩固自己的一个基本功，我们学会去灵活应用所学的知识，那么也期待下周的闵行的一模和普通的一模吧，到时候再和大家一起探讨这些试卷。

我们已经拿到了三个区的一模的数学试卷，我严重怀疑今年的一模我们捅了黄金分割的窝子。这三套卷子分别是杨浦区、徐汇区和嘉定区的试卷。呃，简单的说，杨浦区的卷子很新， 徐汇区的卷子有难度，嘉定区的卷子我就不做评价了，哈哈哈，好，那我们详细的说一说杨浦区这套卷子呢，非常推荐同学们下去认真去研究一下。 他的十七题和十八题是非常有分量的，是我们非常经典的九年级几何的问题。 然后呢，他的心就心在二十四题和二十五题这两道题，我们对传统的函数和几何压轴题做了一个翻天覆地的变化，非常有意思。两道题好在难度并不大， 徐汇区这套卷子呢，相对来说比较传统，那么整个试卷的难度呢，还是不小的，喜欢挑战的同学非常推荐大家去练一练，看一下自己对于这样的试卷能拿到多少分， 被后续的复习啊，做一个基调。那么加进去这道试卷呢，整个来说比较简单 啊，老师就不多太多评价了，同学们下去自己拿捏一下啊，然后找找自信。好，大家记着预约我们的直播，我们后面会在第一时间跟大家分享每个区的一模试卷，直播间见。

好朋友们，我们去看一下这个杨浦新鲜出炉了一抹卷啊，他的这个十八题，这次的十七十八题，总体来说，十七题反而我觉得要比十八题更难一点，当然这个十八题也可能需要一点大家去思考的地方吧。那我们先把题目过一下，他说 ab 等于六， ab 等于六， bc 等于五，好，我把它进行一个标注，因为这是个平行四边形的矩形，过点 d 做 d， 垂直于 ab， 那么这个模型我看来还是很舒服的。他说三角形 a d， e 绕点 e 旋转，得到三角形 f g， e 点 a 的 对应点 f 落在 a d 上，那么我知道 f 点是不是在 a d 上，而且是绕 e 点转，对不对？那么你要知道 a e 是 不是应该等于我的这个 e f 啊？ 所以说你画出来，有些同学说一直不会画，其实画很简单，你就找固定的点，固定的点是不动的对不对？绕点 e 转，所以 e 点不动， 那么你的 e a 是 不是等于 e f？ 因为你旋转完，你对应的边是不是要相等啊？所以你马上标出来 e a 是 不等于 e f， 再找点 d 点 d， 它说落在哪，是不是对应的点记落在 b c 上，那么你是不是只要满足你的这个角 e g， 也就是你的这个角 e 是 不是九十度啊？那么所以你 g 点大概是不是就在这个位置啊？ 那么你也标一下，这里也是一个九十度，那么你把这个图形再连起来，那么大概就可能是长着这个样子， 对不对无所谓，你要画的说特别精确，那也没有必要对不对？好，那么大概就是这样的一个图形， 这个焦点是 h 点，那么他最后说要求这个 f h 比上这个 g h 这种。拿到这种线段笔直的题，其实脑子里大概就有个思路，要么是直接把 f 区 f h 和 h 给我强算出来， 对不对？一般来说不太会这样，对不对？第二种常见的情况是不是要去转换？这是常见的一个思路对不对？就是说把比例线段的位置进行一个转换，就是一个常见的思路。 我们来看一下这道题里面，首先它包含的信息就非常多啊，这两条边相等，也就是旋转完的 a e 是 不是等于 e f， 所以 我标出来的这两个圈角是不应该是相等的啊？我把有用的信息先写一写， a e 是 等于 e f 的 好，然后呢，这个旋转完九十度有个公共部分对不对？所以我去拿叉表示一下，这两个叉角应该是相等的，那么叉加上点是不是应该算九十度啊？所以就是点角旁边这个应该也是一个点角，对不对？ 好，那么我们再去看一下，呃，这个里面我们的别的信息，哎，我发现这是圈角，这是圈角，角 a 是 不是圈角？所以这个角 c 是 不是也是圈角？那么我是不是就发现，哎，这是弧角，我的角 b 应该也是个弧角，对不对？ 好，所以我得出来的第二个结论是不是角 e b g 应该等于角 d f e， 哎，这两个角是相等的，哎，那么我会发现我前面是不是标出来两个点角是公共的？这个证明我觉得我就不多说了，大家自己把图画出来去标注一下，就能够非常简单的看出来， 那么角 d e f 等于角及 e b 好， 那么是不是跟你的这个 e g 是 相等的？ 所以你得到了第一个有用的信息，是不是三角形 d f e 全等于三角形 b e g？ 哎，这时候你是不是就发现得到了非常多的一个结论，对不对啊？我把其他相等的角位去标一标，那么所以是不是 e f 等于你的这个 b e， 对 不对？ e f 等于你的 b e 好， 同学们，再看， e f 是 不是还等于 a e， 那 么所以是不是 b e 等于 a e？ 所以 是 e 是 终点，那么是不是 a e 等于 b e 是 不是就等于三，对不对？这是你得到的第一个有用的信息，对不对？所以 d e 是 不等于这个四啊，对不对？我把能算的先都算出来嘛， 然后回归来看这道题，说 f g f h 比上这个 g h， 嗯，这个一点是个中点，然后我要算这个 f h 比上 h g， 我 就想能不能说把它们放在一个八字形里，因为为什么呢？ f h 它不在直角三角形里，不好算， 且 f h 所含的这个边和 h h 所含的边没有存在，说一个相似的关系，对不对？那么这时候我就想办法说，哎，能不能进行一个转换，那么我一看 e 点又是中点，我想机会来了，那么我把它进行一个延长，对不对？ 比如说这个点是 q 点啊，我选择延长 d e， 延长 c b 交一点 q， 好， 这样的话，所以是不是我可以马上得到 f h 比上我的 g h， 应该是不是就等于我的 d f 比上我的这个 b 啊？ g q 好， 那么如果我这样转换完的话，我发现，哎，如果我要求 d f 的 话，我是不是首先要求出 af， 这样减一减是不就知道了？我觉得这个是比较好求的。为啥？这是不是就在强解一个三角形啊？ 我把这个三角形 a e 是 知道的，是三，你的 e f 也是三， 你的这个圈角的比值是不知道的，这是一个等腰三角形圈角的比值，还知道对不对？所以你在这个里面随便你做一个垂直，那么是不是你的 am 是 不是应该等于 a e 乘以 cosine a 啊？ a e 的 长度是不是三？ cosine a 是 不是等于五分之三？ 所以 am 的 长度是不是五分之九？那么所以 af 是 不是马上就出来是，等于五分之十八？好， af 有 了，那么 d f 是 不就有了？ d f 是 不是就应该等于五？减去五分之十八，那么是不是应该是五分之七？好，那么关键的第一个星期有了 d f 是 五分之七，第二个有用的星期想到去算个 g q， 那 么 g q 对 我来说还是比较好算的，对不对？因为 g q 可以 分成 g b 加上 b q 好，同学们， b q 好 求啊！为啥？因为 a e 等于 b e， 所以 是不是 b q 是 不是就等于你的 ad 啊？同学们说啊， b g 好 难算， b g 这条边怎么算？哎，别忘了 b g 是 不是跟之前正过的有全等啊？ 所以是不是这里 b g 就 等于你的 d f 啊，对不对？好，那么是不是我得到了关键信息啊？ 所以说这个东西是不是就可以转换成什么？转换成是不是 a d 加上 d f 啊？那么是不是就是五分之七除以 a d 的 长度是五 b q 等于我的 a d a d 是 不是刚刚算过，是不是等于五分之七啊？啊？ d f 的 长度是不是五分之七啊？ 那么五加上五分之七是不是五分之三十二？那么最后答案化简一下，是不是三十二分之七？最终答案三十二分之七。 好，那么这就是这次十七十八题的两道题的一个思路和讲解，那么我觉得十八题其实并没有那么并没有那么难，只要你能够看出来这个呃全等，或者说你能够想到去把这个边进行一个转换，这题还是比较好做的。 那么大家如果你有不同的方法，也可以留在评论区，我们一起去探讨一下，或者说呃，去思考一下。 好，那么今天这个十七十八我们就讲到这里，那么如果大家还有相关的这个其他不懂的问题，也可以在评论区或者在后台私信我哦，时间可以改变很多，当然你也可以。

哈喽，大家好，这里是周老师，今天我们要来分享的是二六年一模的第二十四题， 那我们可以看到他不同于以往的，他给的是那种具体的点坐标或者是对声头，他把这个点啊对声头就把它们融化到了我们的生活场景中。但是虽然在二十四题啊，倒数第二道题目，但是他本质上没有特别的难， 第一个就让我们去求的是解析式，第二个就是他问他跳出离地面的高度是多少，然后第二个问他能不能投中这个蓝圈，那首先我们要明确的就是解析式， 你去求抛物线的解析式的时候，我们一般说一般式就是 y 等于 a s 平方加 b， x 加 c， 然后会发现它有三个未知数，那我们最起码要知道三个点，我们才能够去求出 abc， 或者如果我们知道了啊对称轴和一个顶点和或者是一个 点，那我们也可以去求出这个解析式啊，那就是我们什么就是要设的是 a 倍的 x 减 h， 扣住平方加 c 这样的一种形式啊，对称轴和顶点那两种形式。然后在这个题目中他说能不能投中这个蓝圈，那我们通过图像也能够看出来，能不能投中是不是取决于这个点 在不在我们的抛物线上啊？那这个题就很明了了啊，没有说特别的难，那我们来一起来去看一下，第一问他说求这个抛物线的表达式，那我们通过图形也可以看出来他给了有一个什么对称轴顶点，然后以及告诉我们一个 投中了这个球，所以我们能知道四三零五这个点是在我们的抛物线上的，所以第一题的第一问就比较好写，那我们射的应该是顶点对不对？因为知道了对伸肘。 好，那我们来去设一下，就是设出来我们的抛物线就是 y 等于 a 倍的小括号 a， x 减去二点五平方加上三点五啊，开口是向下的，所以 a 肯定是要小于零的，还有过哪个点啊？过我们的，通过图看四 三零五，六点四，三点零五这个点，所以代入我们得出 a 是 等于负五分之一的， 得出 a 是 等于负五分之一的，所以我们的解式就有了，就是 y， 所以 解式 y 等于负五分之一，小括号 x 减去二分之五，括号平方加上二分之七， 这是我们的抛物线。第一问好，第二问，他说如果小杨的身高是一点八，在这次跳投中求在头顶的上方零点二五米，那也就是这段的距离是零点二五， 那么求出手时，他跳离地面的高度是多少米呢？这是他跳离的地面高度，那我们能知道这一个点就是求这个点一定是在我们的抛物线上，对吧？所以我们可以先求出 我们这个点的坐标，当 s 等于零的时候，这个坐标 y 轴啊，那这个是不是就是我们人加球高加上跳高的高度，就是我们整体的这个球的这个纵坐标啊？啊，那所以第二问 就是，当当 x 等于零时，我们能求出 y 是 等于四分之九的，那么此时我们要跳跳的高是不是就应该是整个的高减去它的身高，减去它的求高， 最后算出来结果就应该它跳出来跳了多少高，那就是零点二米。好，那所以第一问就结束了。然后第二个 他说的这个另外一个人又投了个球，他说球出手时离地面高九分之二十米，那也就是这个点是多少啊？零等号九分之二十， 与篮球的中心的水平距离为七米，当球出手时后水平距离为四米时，到达最高点。啊，到达最高点呢？我们能知道了顶点是四四， 然后球篮球运行时的路线也成也成为抛线。问你这个球能不能投中这个蓝圈， 能不能投中这个蓝圈，是不是也就意味着我们的这个点到底在不在我们的抛物线上？如果在我们的抛物线上了，他就能够投中，不在抛物线上他就没有投中这个蓝圈，那这个点是多少？七三点零五啊。那所以根据刚刚我们分析的，那首先第一个我们要先解除我们的这个解析式吧， 那我们可以设我们的解集是 y 还是顶点，是吧？等于 a 一 乘上 x 减对称轴是四减四或者平方加四，同样的 a 也是要小于零的。好， 那这个时候我们应该选择的不是这个点代入了吧，因为我们要去判断的就是我们这个篮球中心的这个点，然后去求出我们的 a 一， 那就是代入 零九分之二十，我们可以得知六 a 一 等于九分之二十减四，那我们能求出 a 一 是等于负九分之一了。那所以我们能知道我们的解析式是 y 等于负九分之一，小括号 x 减四，括号平方加四， 那他能不能投中呢？我们只需要去判定一下，我们当 x 等于七的时候， y 的 值等不等于三点零五就好了，你说当 x 等于七十， y 等于负九分之一，七减四块平方加四等于三吧，我们这个时候我们三是不等于 三零五的，所以不能投中啊。那这个题整体下来其实没有特别难，就是一个二次函数啊，点在不在上面，然后以及求解析式的这样的一个题目，那这道题我们就这个样子，我们下个题再见。

好朋友们，我们一起来看一下今年新鲜刚出炉的杨浦一模的这个十七题，那么这道题我觉得难度还是啊算比较高的，那么我觉得得分率应该不会特别的高， 那么我们来去带入这个我在考场时的这个思路，我给大家去分析一下这道题，我可能呃尽可能的去给大家还原一个思考的这样的一个过程。 那么首先我们看这道题，他说 ab 等于 bc 等于六，好，我对他进行一个标注，角 abc 等于六十度，那么说明第一个三角形 abc 应该是一个等边三角形啊，他是一个等边三角形哦，那么第二个条件，他说角 abc 等于九十度，这个角是九十度角 连接对角线， a c 和 b， d 交于点， e 比 e 等于三倍的 d e。 好， 这时候我就要去思考一个问题了，我们最后要求的是不是边 b d 的 长，他给了一个 b e 等于三倍的 d e， 那 么我大概率会告诉自己，哎，肯定这道题无论怎么样一定会用到 b d 线断这个知识点， 对不对？所以我在第一反应去看这道题，首先我去想求线短的长，无非是求通过相似，这是第一点，第二点无非就是说什么就是解三角形，对不对？那么我拿到这道题，我看如果我不构造辅助线的前提下，我是一个相三角形我都找不到的， 对不对？一个像四角形我都是找不到的，那么我会想能不能去解三角形，那么解直角三角形的话，我发现这个鼻底也不在直角三角形里面啊，对不对？那么我也我要想办法是不是去构造直角三角形，那么如果我去构造直角三角形，最常规最啊简单的思路应该就是这样 往外做一条垂线，那么这时候我就会碰到一个难题，就是，呃，我根本不知道这个三角形，比如说 b d 级里面三角形任何一个啊，角度 或者说边长我是求不了的，所以这个方法被我否决了，那么我会思考，哎，能不能通过比例线段去求， 那么比例线段在这个图形里面，你也要想办法去构造，对不对？所以我想到的第一反应是不是沿这个 e 点做一个 e 级平行于这个 c d 啊？对，我做个 e 级平行于 c d 的 话，这样是不是就可以得到一个比例关系？ eg 比上我的这个 c d 比上我的这个 b c， 对不对？那么其中还等于这个我们给的条件， b e 比上 b d， 应该算下来，应该是等于三比四啊，这样的话，我是不是可以通过这个式子可以去算谁啊？ 可以去算谁啊？是不可以把我的这个 b g 算出来？ b g 的 话，这样应该算出来应该等于六，乘以四分之三，应该算出来等于二分之九。 呃，那么大家去注意 g c 是 不是就算出来了？应该是等于六，减去二分之九就是多少二分之三。好，这时候大家去看三角形 e g c， 在 这个 e g c 三角形 e g c 里面，我 e g 是 不是其实是求不了的？是不是？求不了的 对不对？因为你不知道这个角 b e g 的 度数，所以说这个方法也被我否定了，因为我去转换了比例线段，发现无效，所以我会延伸到我第三个思路， 我在问自己，这时候可能碰到一些困难，我就会问自己是不是有条件没有用上，那么我就会发现，哎，也就是说我的比例线段跟我的这个直角是没有联系的，是不是没有联系的？那么所以我告诉自己，我是不是想办法要让我的比例线段跟这个直角产生联系呢？ 是不是要产生一个联系？好，如果要产生联系的话，那么我想到，哎，这又是一个等边三角形，我总感觉等边三角形会想到什么三线合一，但是怎么样人能跟这个九十度产生一个关系呢？哎，我就想到 过点 b 做一条垂线，比如说这个垂线是 g 点啊，这时候有同学说，这跟这个直角还是没有什么关系啊， 哎，对，但是这个几点很特殊啊，我画的可能不像这个几点是不是一个终点，那么我说了，你是不是还要产生比例线段的关系，所以你继续把它去延长，那么实际上你再做一个 d f 垂直于 b f， 好，那么也就是说我把它构造出了一个 a 字形的这样一个直角三角形的模型，那么所以大家去看，这时候我的 b g 是 不是就可以一下算出来了？那么这个角相当于就是三线合一三十度，那么所以你的 b g 是 不应该等于三倍根号三，这是一下可以算出来的，对不对？ 好，那么你现在是不是 b e 比上你的这个 d e 应该等于你的 b g 比上你的这个 g f 应该等于三。好，那么你的 bg 等于三倍根号三，所以你的这个 g f 是 不是就出来了？ 应该等于根号三， bg 等于根号三也有了，你的这个是三倍根号三，那么现在还有个关键的地方就是怎么求你的这个 d f， 所以 说这道题是不是落回到了最后，我们还是放在直角三角形里去求，那么 d f 该怎么求呢？ 哎，所以很关键，很关键的就是同学们，这道题的关键就是 b 级是什么？垂直于 ac， 并且 b 级还什么呀？等于二分之一 ac， 所以 g 点是不是一个中点？ 所以这时候 b 级点是个中点，你就是可以连接 d 级了，对不对？那么你就会发现， d 级是不是等于二分之一的 ac， 是 不是就应该等于三？ 哎，同学们，这时候你的 d f 是 不是就能求了？所以你的 d f 是 不是应该等于根号六啊？对不对？好，那么所以 d f 就 出来了，等于根号六， 那么这道题是不是就能解了？所以 b d 是 不是就应该等于 d f 平方加上 b f 平方，那么是不是等于六？再加上四倍根号三，是不是就是四十八 再开根，那么也就说根号五十四，那么化简一下，根号五十四应该是九乘六，那么是不是就是三倍根号六？所以最终答案就是三倍根号六。这是我去思考这道题整个的一个呃心路历程，包括说一个思考轨迹吧， 也不是第一眼大家都能想出来，直接去这样去做一条这个呃，相当于中中垂线，然后把它延长，再去补成一个垂直。只是我去想到，根据这道题目所给的条件，我能够去做的事情就是让比例线段和这个九十度尽可能的去产生一个联系， 那么这道题很关键的一点就是这个 g 点，它是一个中点，那么你连接 d， d g 就 相当于是 a c 的 一半，然后去解两个直角三角形。如果大家这道题还有别的思路，你也可以留在评论区，或者在这个后台私信我哦，时间可以改变很多，当然你也可以。