高一三角函数讲义

哈喽宝宝们，今天给大家讲一道三角函数题目，已知函数 f x 等于 sin 方 x 加根号三 c x 乘 cos x 提问，求出函数 f x 单调增减弦，首先呢，它这个函数这挺复杂的，我们首先第一步就要化简，怎么化简呢？我们就要用到一些公式，先处理这个 sin 方 x sin 方 x 我们可以用加密公式 c 一 方 x 是 不是等于二分之一键 cosin 二 x， 它这个是由弦的二倍小公式变化来的， cosin 二 x 就 等于一键 二倍的 c 方 x。 然后我们再接着处理后面这个根号三 c x 乘 cos x cos x 乘 cos x， 我 们可以用二倍小公式给它变化成二分之 c 的 二 x f x 是 不是变成了这个 二分之一减 cosine 二 x， 再加上这个乘上括号三，就变成了二分之根号三 c 二 x 接着化简，这边是变成二分之一减 cosine 二 x， 我 们把这个二分之根号三写明，看着顺 f x 就 等于 二分之根号三 c 二 x， 再减去个二分之一 cosine 二 x， 然后这还有二分之一，别忘了再加二分之一二分之根号三是不是等于 cosine 六分之 pi， 二分之一等于 sin 六分之 pi， 那 这两个位置一替换可以用两脚叉的正弦公式，是不是 sin a 减 b 是 不是就等于 sin a 乘 cosine b， 再减上个 cosine 乘 sine b， 那 是不是 a 是 不是就对应的是二 x b 是 不是就对应的是六分之一 cosine 二 x 是 不是能换写成 sine 二 x 减六分之 pi， 那 第一问是不是就变成了 f x 等于 sine 二 x 减六分之 pi 加二分之一是不是让你求这个单调增减？单调增减我们还不好求吗？我们就令令它在 二 k 派减二分之派到二 k 派加二分之派之间就行了。然后 k 是 属于自己的，我们解一下，两边同时加六分之派，再除上二， 是不是变成了 k 派减六分之派，小于等于 x， 小 于等于 k 派加三分之派，然后 k 是 属于自己的，所以说它的单调增序线就有了。 k 派减六分之派到 k 派加三分之派，然后 k 是 属于 z 的， 然后这个就是他的第一问，我们看第二问，我们在左边写，当 x 属于零到四分之派时，求函数 f x 的 最大值，我把这个挪过去，看到方便一些。现在 f x 是 不是就变成了 c 二 x 减六分之派再加二分之一零到四分之派时，那我们首先我们带入进去，当 x 属于零到四分之派时，那 二 x 减六分之派，它的取值范围是不是也有了？带入进去就变成了负六分之派到三分之派，那散引二 x 减六分之派，它的取值范围是不是就分别带入个 sin 负六分之派和 sin 三分之派就能求出来了？ sin 负六分之派的时候，代入是负二分之一，那 sin 三分之派是二分之高三，那所以 f x 起始范围是不是就有了？ sin 二 x 减六分之派 加二分之一，它是属于。我们只需要把这个一开始这个数没有带二分之一，我们加上二分之一就变成零，这边就变成了二分之一加根号三，所以说它的最大值 f x max 就 等于二分之一加根号三。我们看第三问，他让你求这个实数 a 的 起始范围，我们把这个右边挪到左边， 那 f x 属于零到二分之一加根号三十，然后 a 加二乘上 f x 减二， a 再减三大于等于零横乘以对于这种形式就是相当于系数乘上个 系数乘 f x 再加乘数的形式。我们考虑系数的情况，也就是系数是否为零，然后系数不为零时，那这边系数是不是对应是 a 加二，我们就看当系数等于零时，不是 当 a 等于负二时，然后我们代入进去负二，那这边就变成了零加四减三，那就是一大于零，一大于等于零，横乘零，当系数为零时呢？就是当 a 不 等于负二， 是是不是就变成一个一次函数进行讨论。我们把这个 f x 的 取值范围带入 a 加二 乘上角零再减二， a 减三小于等于零，然后这边就是个 a 加二乘上角二分之一加根号三，然后让它减上二， a 减三小于等于零。第一个解的是 a 小 于负二分之三，然后这个是 a 小 于等于 三分之根号三减三，然后他俩取交集，就是 a 小 于等于负二分之三，然后在后面补充个且 a 不 等于负二，这道题最终的取之范围就是负无穷到负二分之三。好了，拜拜了，有什么问题可以留言哈。

此号猫讲数学三角函数诱导公式，所有知识点以及题型都在这个视频里面，包含公式之间用条形球换记，在三角形变换中全部拿下，数学启动。 同时三角函数全张的配套讲义以及解析笔记放在了评论区置顶，与本视频使用，效果更佳哦。 首先公式的理解，我将从三角函数的配套讲义以及解析笔记放在了评论区置顶，与本视频使用，效果更佳哦。首先公式的理解我将从三角函数诱导公式， 原因在于呢，遇到公式有很多，你如果死记的话，肯定记不下。第二个呢，就是这三个角度呀，对你后面的学习非常有帮助，包括图像问题以及三角函数的横等编号问题。 那首先第一个，从口诀的角度，既变偶变符号看象限，但凡你学过高中数学肯定都知道这个口诀，那啥意思嘞，一分钟再让你快速拿下。这里面的 g 和 o 指的是 k 的 既有性，而变与不变呀，指的就是三角函数名， 你看我们在化简这类式子哎，三括号里面是一个 k 乘二分之派，二分之派的啊， k 倍再加减阿尔法，其中 k 是 一个整数 z 的 呦， 当 k v 基数的时候就要变了呀，意思是 k v 基数，三角数名称要变三就变成 cos 了， ok， 而 k v 偶数呢，就不变了，这个 cos 保持不变哎，前面是 cos 一 样的， 但是呢，你确定完这个三角函数是长名称之后，他的符号或者说他的正负，你确定吗？当然不确定，有可能这边是正的而法或者负的而法这边也有可能是正负。 那所以最后一个问题就是要确定正负，你看最后一句话嘛，符号看象限。哎，在第一个视频讲过了，三角函数他在每个象限的正负不一样的，那所以你稍微假设个象限就出来了， 就说我假设这个 r 法是第一象限，哎，让我们看一下这个 case， 二分之派加减法所得的象限，从而确定正负。 来，我们实操一下，你看第一个这个散派减 r 法，让你去化减。哦，那首先既变偶不变，这个派是不是相当于二分之派的二倍啊？哎，前面这个二是个偶数，所以偶不变嘛，它化解完应该是个散 r 法， 准确来说呢，是一个正负三 r 法。那最后一步咱们就要确定这个哎，符号了。 ok， 我 先假设这个 r 法呢，是第一项线刚说过的方法。那就看下这个派减法，这一坨他是第几项线？ 呃，如果实在不会的话，你可以直接假设 r 法是四分之派，第一线随便取一个角，四分之派，三分之派，六分之派都 ok。 那 派减四分之派是不是四分之三派呀？他应该在第二线线了吧。哦，第二线线的散值和第一线线的散值，他俩是不是都是正的呀？ 那所以前面你没必要加符号了呀，就是一个正的就 ok 了。哎，三角形的符号一定要熟悉， 那就解决了呀，就这么简单。 ok， 第二个这个散，二分之三派加二法，这也是类似的形式了吧。那首先呢，这是二分之派的三倍 k 等于三即变啊，要给他变的坤要变哦， 因为这个三是一个坤数嘛。那所以应该是个 cos 阿尔法。前面别忘了，正负号需要确定一下同样的办法，我们假设这个阿尔法呀，是第一项线，那这个二分之三派加阿尔法呢？ 哦，二分之派是一个九十度，那加了二分之三派是不是逆时针转了这个三个九十度， 咱从第一象限相当于转了三个象限到了第四象限了呀，哎，一四象限，第一象限的 cos 值，它是一个正的，而第四象限的散值呢，是一个负的，那你希望他们之间取一个等号，这里是不是需要前面加一个负的？那你希望他们之间取一个等号，这里是不是需要前面加一个负的？那你希望他们之间取个等号，这里是不是需要前面加一个负的？那你希望他们之间取个等号，这里是负的 cos 二法 拿下角度二对声形，这个是从三角函数的定义出发，三角函数基本上所有问题大家从定义出发其实都能理解，包括你们后面学的恒等变换图像问题，大家尽量都往定义出发喽 来。比如我们设这个 i p 一 是 x 一 到 y， 它单位上一个点，那么这个角是阿尔法，咱找下这个派减阿尔法在哪里？ 派是一百八十度，那是不是意味着这个角是阿尔法？派的话是这个角，那相当于这个派减阿尔法和阿尔法它们所对应的 单位。原上的这个点是关于外轴对称的，这是个几何问题啊，是一个美术问题，不是数学问题，大家好好画肯定能看出来。那你假设这个 p 一 是 x 一 外一，那对应这个派减阿尔法，它所在的点 p 二是不是就负 x 二负外一呢？ 哦，根据这个定义，那么散而法和咱的这个散派减而法啥关系嘞？ 如图，散而法是咱 p 一 的这个，哎，纵坐标那就是一个 y 一 了嘛。而派减而法呢，是这个 p 二锁定坐标，它俩关于外周对称，所以它也是一个 y 一， 那么我们可以直接画个相等舒服了。 同理，那这个 cosine 派减二法是不是就等于负的 cosine 二法呀？啊，因为它们做坐标是互为相反数的。哦，那就出来了呀。 啊，另外呢，我刚刚是关于 y 轴做了一个对称，那其实还可以关于 x 轴对称，如果一个角二法，一个角负二法，你发现它们是不是关于 x 轴对称呢？因为它们的旋转方向是不同的，一个顺时针，一个逆时针。那这样你也推出来一组公式了呀， 如所示，这个就是从对称型出发，所有到公式都可以有对称性推出来。那最后我还想说一个就性，这个能让你快速出答案，并且对于后续函数三角函数图像的问题理解非常好用。 其实吧，根据这个东西，你可以得出这个函数 y 等于三 x， 它是不是一个奇函数呢？哦，而 cos x 呢，是一个偶函数。 同理， tangent x 也是一个极函数啊，你可以把这个 tangent 负二法等于负的 tangent 法自己按照这个推导，或者看我的这个讲义所定的笔记都是有的， 因为这个式子呀，是对于任意而法都成立，你把这个而法换成 x， 是 不是得到了它是一个奇函数了？哦，那所以我直接这个散括号负而法是不是等于负的散而法出来了？哎，同理， cos 负而法就等于 cos 而法了。 最后 time 赋尔法等于负的 time 赋尔法舒服了，因为你一旦记住这三个函数，它们的基有性呢？咱这个诱导公式能快速的推出来啊，不用你再学这个，即便 v i f o 看象限了，那样推得太慢喽。 再总结一下口诀，对称性、基有性，这几个都能帮助你去理解这个三角函数的诱导公式，并且对于后续的学习非常有帮助。 题型一直接应用，你看第一个，让你直接求这个值，咱学的诱导公式呀，这些角不是锐角，但我们可以给他画到锐角里面 散三百度呢，怎么画嘞？哎，别忘了，咱三百六十度是一圈呀，那所以转了三百六十度，它的三角函数值仍然不变，这是一个最基本的诱导公式。所以第一步，先直接把这个三百度减一个三百六十度来想一下，就是负六十度嘞， 那接着根据它是一个奇函数，我们直接就不诱导公式了，直接开机，那负的三三十度哦，出来，负的三六十度，它就是一个负的二分之根三，舒服了。 ok， 那 接着 tan 的 六百度，这可咋整嘞？ 这里我给大家补充一个诱导公式， tan 的 r 法加一百八十度，还是 tan 的 r 法？原因在于呢， r 法如果第一项线角，那么 r 法加一百八十度，它在第三项线哦。 而贪点法是啥呀？横纵坐标之比一项线，这个散和 cos 是 不是都是正的？横坐标都是正的，而第三项线呢，都是负的，他们是同号的，那所以他们之比都是正的，那我就可以直接划等号了。 也就意味着贪点法呀，他每转这个半圈只是一样的，或者说他的周期为一百八十度啊。周期这个后面也是会讲的，有的学校可能提前学了。 那所以其实我画这个摊位时候，我就以一百八十度为标准，看他转了多少个一百八十度能更接近这个锐角了。先把这个六百八十六百度给他画小一点，不管正还是负，先画小，最后再定这个正负。这是一个思想喽， 来口算一下嘛，一百八十度乘二是三百六十度，一百八十度乘三十一个哦， 五百四十度呀，而六百度和五百四十度之间就差了一个六十度，所以人家直接等于 tangent， 哎，六十度了。 那最终的结果呢？就是一个根三，他俩一加答案直接选 a， 完美。 ok， 我 们再快速算一下，这个一杠二。哎，让你算，这玩意 刚刚是给了具体角度，现在是这个啊，具体是多少分之派？那四号猫，但是大家也快算一下吧，我们再数一下这个公式。那首先第一个，这个六分之五派，好家伙，他是在这个第二项线的，那我们刚说了吗？三，这玩意我直接等于派减去个六分之五派， ok， 即变无变符号。看象限呢，我们先不管它变不变，你先把它写上，因为我需要把它画成一个锐角，锐角的三角数你是知道的，把它画完之后，前面这个正负你再确定一下就 ok 了呀。 哎，因为这个派是一个偶数，是二分之派的偶数呗，不变，那前面正还是负的嘞。刚讲过，这个六分之五派是第一象限 哎，第二项线派减六分之五派是一个第一项线，那所以前面就不用加符号，直接就是一个正的， ok， 同理，那继续这边三分之四派可以看成一个 cos， 哦， 三分之派加上了一个派，哎，那这个派又是二分之派的偶数倍了，所以这一坨呀，它还等于一个 cos 三分之派 几变五变。那第二句符号看象限，三分之派是第一象限三分之派加派第三象限 cosine 值取决于这个横坐标的值一三象限横坐标值是一号的，那所以前面需要加一个符号，也有第二个画出来是负的 cosine 三分之派， ok， 最后一个 cos 负的四分之十五派，哎，其实我根据它这偶函数先把它化成 cos 四分之十五派，哎，我看这个符号不爽，先把符号去掉。那接着呢，别忘了， cos 这玩意，它经过二派的整数倍三角函数值是不变了，那所以二派是减四分之八，那直接，哎，再来一个二派四分之十六，所以它等于这个 cos 四分之十五派，再减了一个四分之十六派， 哦，那就等于靠在负四分之派，或者说靠在四分之派嘛，所以这个整理就是靠在四分之派。 最后带一下是不是就算出来了呀？因为全化成锐角了。那说白了，咱们诱导公式就是把所有的函数先化成锐角，那个正负你最后再确定就 ok 了。那最终的答案就是一个二分之根二， 具体这些特殊角的三角值是多少，我这里就不讲了，这个非常简单。 ok， 那 最后这个一杠三留这个作业题，大家看这个同步讲义，直接就答案 题型二条件求值，就是题目先给了你一个这玩意是多少？这玩意是多少？让求某个式的值。不像第一种题型，我们是直接哎，让你求某个玩意的值， 而是先给他个条件，再求其值。这个东西可能比起第一题稍微有难度，因为人家绕了一个弯。我们先看二杠一嘛，他给了三，这玩意是三分之一，让你敲出来。这 这这，我看看，看不出来呀。即便我变负方和相线，那我是不是需要观察括号里面他相差了二分之派的多少倍啊？ 但是人家也换了一个正负型，发现没有，这边阿尔法前面的系数是一个正的，而这边前面系数是一个负的，所以你不仅是差了一个二分之拍的整数倍，并且呢，还取了一个正负号，给他做了一个这么变换。那这种题最难的就是你要看出它究竟是怎么变的。 有同学可能开始这个整活了，开始瞎写，搞了一顿，但我就送你两个字，咋整呢？我不就是看这两个整体有什么关系吗？ 高中数学把一个东西看这个整体，请把那两个字扣在弹幕里。哎，每天起床啊，五日三省吾身。今天怎么没有换言今天怎么没有换言？今天怎么还没有换原。所以就两个字，换原嘛。我令他为这个 哎， m 吧，应他为 n， ok， 他 俩既然都有个正负 r 法，那我直接你会发现 m 加 n 等于啥呀？ r 法负 r 法消掉了，这是负三分之三派，四分之派，哦，就是一个负的四分之二派就是负二分之派啊。那所以现在这个条件变简单了， 相当于知道三 m 等于三分之一，如果你扣在负二分之派减 m， 这下是不是一目了然了吧。哎，请把六六六扣在弹幕里， 这个变化称之为神奇呢。那接着，呃，这 cosine 咱们说是个偶函数，所以我看符号不爽，先给他化成一个 cosine， 把符号提出来，哎，三角函数值不变，它是偶函数哟， 这个真的很好用，那接下来我只需要二分之派的一倍哦，基本为原符号看象限，它是二分之派的一倍啊，所以是要变的，那就是一个三 m， 那 符号看象限，我假设这个 m 是 第一象限， 三 m 是 一个。哎，第一项也毫无疑问，正的二分之派加 m 是 第二项线，第二项的 cos 是 一个负的了吧。哎，所以前面一定别忘了我加个符号， ok， 那 么最后的答案就是负的三分之一，完美。 所以这个二杠一啊，就是一类稍微复杂的题目，因为需要给大家看出来这两坨之间的关系，这个整体的关系。那咱们的一般思想呢，就是换元。 那接着二杠二，这个其实比二杠一更简单嘞啊，他换人都不需要换。大家大概观察这个题目到底在考啥，你看，前面给了这一坨，看着挺吓人，但是人家是阿尔法，加了一百八十多， 九十多二倍即变偶变，所以不变。那前面化简出来，你先不管正负，他肯定是一个算阿尔法的式子。哎，正负不知道， 那这边考塞加他哦，九十度积变，他要变了，也是关于萨尔法的式子，正负号你先不用管，所以根据这么一坨，你肯定可以把这个萨尔法求出来， 相当于知道萨尔法的式。我要求这坨，那么他肯定是关于一个萨尔法或者考塞尔法的式子，是不是就 ok 了呀？其实他考察的是同角三角函数的关系呢？我知道萨尔法要求这一坨化解一下，还是关于萨尔法考塞尔法的式子，同一个角都是阿尔法， 所以遇到公式只是一个工具，把一个角从一个任意角转化成了锐角，进而用这个同角的三角函数关系就能算了。哟， ok， 那 这个题的答案呀，各位小小猫，我放在了这个同步讲义里面，大家可以在评论区里面领取，学会了 听三化简计算。那首先一个比较常规的三杠一，这种考的太频繁了呀，来，首先原式等于写上， 哎，我不想写这个解了，考一百四十九吧，少个一分， ok， 然后第一个这玩意，哎，我看他这个符号不爽，我先把这个符号提出来吧。那变成了一个负的三阿尔法加上一个二分之派， ok， 那 第二个呢？哎，这个东西我们直接记变五变，因为都是正的，阿尔法是第一项线，然后这个三是一个基数，所以基要变，那应该是个三阿尔法，那前面是正的还是负的嘞？ 哦，我假设阿尔法第一项线，那萨尔法应该是个正的阿尔法，加二分之三派是个第四项线， cosine 也是个正的，那所以这里面就是一个萨尔法，它前面不用加符号， ok， 那 最后这个贪特派减阿尔法，刚说了吗，贪特这个加上派是一样的，那就应该是一个贪特负阿尔法， ok， 而贪特负阿尔法呀，贪特又是一个基数，是基函数，那所以应该是负的贪减阿尔法喽。 那分子我们先摆这，等会再继续化解，然后看分母吧。哎，这是它的负而法减派，我看这个符号不爽呀，你看这两个是不是都是奇函数，所以先把符号提出来，哎，贪着忒 派加尔法以及散派加尔法，接下来根据这个即便为负函数看向线，分母是不是也化解出来了呀？ ok， 那 所以最后这个分子出来这一项，毫无疑问 是 cosine r 法，所以还是负的哎， cosine r 法，这是第一项整体的结果哟，因为即便偶变嘛，咱这个二分之派基数，那所以我应该散变成 cosine。 而二分 r 法加二分之派，它是在第二项线的，第二项线的散值是一个正的， cosine 值也是一个正的。哦，那所以呢，它们就不用加符号了，而前面这个符号你照抄就 ok 了。然后第二个散而法，咱们照抄， 别忘了还有个 tangent 负二法，它是奇函数哎，所以直接什么奇变不变方向线呢，不用管奇函数，直接负的 tangent 二法， ok， 那 这个分母呢？分母进到这一步了呀，然后毫无疑问，这边是 tangent 二法，刚结束过了。 tangent 二法，它是以 pi 为周期的，那所以赚了 pi 的 整数倍不变，那第二个三 pi 加 r 法，呃，这个就要想一想了，既变偶变，那毫无疑问是三 r 法， 但 r 法如果第一项线的话，那这个散 r 法它是一个哎，正的，而 pi r 法第三项线 散，它的话是一个负的，所以前面需要加一个符号，那是不是就好了呀？ ok， 最后你再把啥呀，把这个贪点法画成一个散，除以 cos， 哎，不用画，这边都是 cos 法，直接一消是不是就好了呀？那所以最后的结果就是一个负的 cos 二法，哎，舒服了。 所以这个三杠一啊，就是一个常规的化简计算，还有些不是那么常规的啊，你看下面这个东西吧，五分之派，五分之二派，这我不会算他， 哎，咱也不是上海考试，也没有计算器，也用不了，那咋办呢？观察一下嘛，我们这节课学的是预导公式对不对？所以这个肯定要预导公式，你到了考试时候人家不会告诉你哎，这个题考的是预导公式，所以大家尽量自己多去总结一下这个题型，按照我的这个讲义， ok， 那 首先别忘了，圆是等于 你不想写这两个字，你把题目就抄一遍这个式子，那继续。这乍一看我是真的算不出来哎，但是你再观察一下，五分之一派，五分之二派，五分之三派，五分之四派，这是一个啥呀？ 啊，不要在弹幕里扣等差数列啊。这是高二才学的小二同学，可能小学初中时候接触过我们主要找什么？哎，他和咱们这些和诱导公式的关系。诱导公式不就是二分之派的整数倍吗？那里面有没有哪些式子他和二分之派的整数倍有关系嘞？ 最简单的五分之派，五分之四派，这个四和五是不是就缺了一个耶，随着两个相加，是不就是一个派呢？哦，有思路了吧，我把第一个写成一个 cos 派，减去五分之四派，然后咱再和这个 cos 五分之四派，因为他是个好基友啊，都和派有关系，把它写到一起吧。 那现在能看出来了吗？各位小小猫，这个 cos 拍见五分之四派基本没有符号，看强线，你们自己化简一下，我这里不解释了，它化简了是不是就是负的 cos 五分之四派呢？哎，那我再加它，正好约掉了，开心了呀， 就是一个日常生活中很常见的零了哎，那最后还剩下这个五分之二派，五分之三派是不是一样的呀？他俩相加这个是派，那么他俩其实也互为相反数，所以最后的结果就是零耶，两个零哎，放到一起还是一个零， 最后的结果就是一个大大的零。完美 题型四、三角形相关大家在三角形里面就记住一件事情，三角形 a、 b、 c 中，他们三个内角 a、 b、 c 的 和等于派，好小不小，这个派就是二分之派的整数倍哎，十二分之派的二倍哟。 而在三角形遇到公式里面，咱是不是就研究这种二分之派整数倍的一个关系呢？那所以就会出很多考点了。来，我们直接看题，四杠一，多选题，在三角形 a、 b、 c 中，下列等式一定成立的是哪一个嘞？ 那首先， a 选项这玩意儿，它们相等，哎呦， a 加 c 和 b 它有啥关系嘞？哎，别忘了刚刚是不是说了，三个内角相加是 pi， 那 所以 a 加 c 咱直接写成一个 pi 减 b 哦，那说白了， a 选项是不是想让你证明三 pi 减 b 等于三 b 哦？ s 减 b 等于 s b， 它们等吗？ 他们可太懂了呀，根据三角函数的导公式，结果不推了，前面推了很多次了， ok， 继续。那 b 选项是不是也一样的呀？它还是想让你证明这个 tangent 哎，派减 a 等于 tangent a， 这个是负等于吗？啊，你们可以自己判断一下撒，猫，马上公布答案，那继续，我把每个选项化简一下，要遇到预导公式的，大家自己用一下判断一下那 c 选项，这里也别吓到嘛， a 加 b 还看着一个派减 c 就 好了，那所以人家想让你证明是不是散 二分之派减了一个二分之 c， 咱打一个括号表示呢？它是一个整体，等于这个 cosine 二分之 c， 哎，即便我们用符号看象限，这个肯定是等于的呀， 因为前面是二分之派哎，二分之派一减，那肯定是要变号的，所以散变成一个 cos， 而符号看象限，这个二分之 c 第一象限，二分之派减二分之 c 还是个第一象限呀，那比如二分之 c 这个三十度，那九十度减三十度还是六十度，它还是第一象限的， ok， 大选也是一样的，这个大家自己判断一下吧。四号猫马上公布答案， ok， 可以 点击个暂停键，那四号猫要公布答案喽，四杠一，最后的答案就选 a c 来做对的，小小猫在里面扣一个六六六。 好，我把第一步关键的化简写出来了，接下来是用到诱导公式的环交，大家自行去诱导就 ok 了，把它引诱到咱的这个锐角里面，是不是就挣出来了呢？ ok， 那 这个四根二其实方法一样的，各位，他问你一个三角形形状的问题，这个东西啊，在后面学完平面向量以及解三角形问题考的特别特别频繁，三角式说白了就是为这个解三角形做铺垫的呀， 那我带大家去看一下嘛，他说都是内角了哎，给了这个十字，问你三角 a、 b、 c、 d 是 什么角？我们观察一下，这边是二分之二，他们这个结构这边是一样的，只有这里的分子不一样 啊。左边呢是一个 a 加 b 减 c， 右边是一个 a 减 b 加 c， 我 看它不爽，那我把这个 a 减 b 加 c 和前面形式写成一样的，写成 a 加 c 减 b 吧。那这样是不是都两个相加减去一个数，形式一样了？ 而在三角形里面， a 加 b 加 c 等于派，那所以这个 a 加 b 是 不是可以换成派减 c 了呀？ 而这个 a 加 c 照出画瓢，它是不是换成了一个派减去 b 了呀？ 那最前面这个整体就是派减了二 c， 再出了一个 c。 好， 有了这个思路，我们就可以化简了。那左边这个三，哎，二分之派减二 c 是 不是等于三啊？右边这个二分之派减了一个二 b， ok， 那 根据这个三叉树的导公式，我就不展示了，是不是直接化成一个 cosine c 等于 cosine b 了呀？ 哎，怎么化简呢？有些小猫想知道的，咱们其他会的同学在弹幕里面扣一下嘛，这个很简单哦，是不是把这玩意给它开出来， 那就是一个三。哎，我还是忍不住给大家讲一下，二分之派减了一个 c 呢，他不就等于 cos 吗？一道公式推一下就 ok 了。好，那在一个三角形里面， cos 等于 cos， 必，那毫无疑问，这个 c 应该等于 b 了吧？ 哎，当然这个也不一定嘛， c 可能弄一个 b 加上一个二派也有可能，可是呢，人家是个三角形，意味着咱这个 b 和 c 的 范围是不是属于零到派耶？而在零到派里面，两个角它的 cosine 要相等，它们两个只能相等。 这么去想，首先它们都在这个同一个象限，因为领导派要么第一，要么第二象限，而 cosine 这个东西，它在第一第二象限的值是不一样的， 第一象限是正的，第二象限是负的，它们想相等，那说明 c 和 b 在 同一个象限，首先同一个象限，第二个它们 cosine 之后相等了，那它的横坐标是不是一样的？横坐标一样，相应的 都在一个象限，那其实在单位上的位置都是固定的，那 c 就 等于 b 了嘛，所以毫无疑问就是一个等腰三角形，选 c 舒服开心。 那提醒五，咱们最后压轴出场的综合应用就遇到公式，可能会和前面的同角三角函数的关系结合起来考。 哎，现在还好，等你们学完三角函数的变换，这个综合它更综合了。来，首先看五杠一吧。啊，废话不多说， tan 的 pi 加 c 等于二，那好不容易化解一下，是不是 tan 的 c 等于了一个二呢？哎，刚刚讲过，这个就不多过多赘述了，主要是我这个东西怎么化解呢？ 呃，三的三次方 c 塔，呃，三的 c 塔，呃，这扣在三次方 c 塔，这这这，这咋整呢？观察次数，各位在上个视频讲过，咱们在三三角函数里面有个奇次式的思想。哎，奇次式哟， 那观察一下，这个分母是不是都是一个三次呀？哎，他很齐，而分子嘞，这项是三次，但这项是个一次，他不齐，所以你想办法把这个一次给人家化成一个三次。那我是不是需要再凑一个二次呀？在三角函数里面有个纯天然的二次的式子， 请把那几个东西扣在弹幕里，是不是散放 c 塔加敲再放 c 塔等于一啊？可能这个说法不太好扣啊，不过没有关系，相当于就是一得代换一等于 三 c 的 平方加上 cos 三 c 的 平方， ok， 那 相当于你把一个零次或者一个常数变成二次，无中生有生出来一个二次，那是不是把它旁边配一个三方加 cos 方就行了？哎，三号猫实在是太懒了。这个题是个小题，人家也不看我过程，那我就简写了。 这个式子直接化成了，哎，三的三，三次方 c 塔，我直接抄一个 s 的 三次方，哎，表示三次塔的三次方这个大题不敢这么写啊。那继续这个 s 照抄，我们配了一个 s 方加 c 方，对吧？ ok， 那 接着分母呢？哎， c 的 三次方加上一个 s c 方，那接下来人家是不是个奇次式了呀？ ok， 你 可能看了还感觉不是很好，那我们再化解一下嘛，这个分母照抄 分子和同位相，那是不是二倍的 s 三次方加上 s c 方，这样都是简洁一点，那接下来该怎么操作啊？我知道了， tangent 要求一个关于 s 和 c 的 奇次式，请告诉分子分母做一个什么处理。 哎，同出 cos 塞塞塔的三次方就行了，相当于同除了一个 c 的 三次方，那就等于什么嘞？哎， s 三次方除以 c 的 三次方，是不是等于 tan 三次方呀？那就是二 t 的 三次方。 t 是 啥呀？ t 是 tan 塞塔啊，可以看上一个视频，骑士的思想再加上一个， 哎，这边是一个 t， ok， 这是一个一，再加上一个 t， 那 就舒服了嘛，到了这一步，你再把这个 tanthan 等于二，也就 t 等于二带进去，答案是不是算出来了呀？ ok， 最终的答案考算一下，就选大完美。那接下来我们看一个五杠二， 他给了个阿尔法，是属于负二，分态到零哦，给这个象限说明肯定后面要考虑下正负了，然后来了个这玩意。各位，这啥呀，这是一个，你看一下，都是二次哎，但是呢，我这边是一个贪且，而这边是一个散。那可能有同学这么去想，哎，我把它化成一个散除以 cos 吧， 相当于切化前把这个 t 呢化成一个 s 除以 c， 然后都统一成 s 除以 c， 这也可以，但是你不妨先观察一下，这里面是不是本来没有 cosine， 只有 tan 的 和 tan 呐，它是一个关于 tan 的 和 tan 的 一个二次式，所以我其实能得到 tan 的 和 tan 的 关系。 日思方梦，你在说啥呢？我咋听不懂，哎，那是因为这个数字题目写的太复杂了，我给大家简写一下，你看，我偷工减料，其实偷的挺好的，哎，变成一个 t 方减去三倍的，哎， t s 减去四 s 方等于零， 舒服了，这下你看出来了吗？因式分解，各位，你看，我这么一分，这个 t 方只能分解成 t 乘以 t 了， ok， 那 这边四倍 s 方，那是不是一个是负四倍的 s， 一个是 s， 两个式子一乘哎，中间这个正好凑出来了哦， 舒服了，万事大吉。那所以我化简一下，就是一个 t 减去四 s， 然后乘了一个哎， t 加上 s 等于零，哎，那所以 t 和 s 的 关系呢？得到了， 那这样是不是就舒服了？ ok， 接下来大家操作一下啊，我相信接下来应该不难，并且呢大家再看下这个范围，咱其实可以把一个排除掉，最后呢，这玩意再利用导根式化解一下，答案就出来了。 ok， 那 这个答案呢，我放到咱的同步讲义里面，在评论区置顶领取就好了，但做出来的同学也可以直接把答案扣在咱们弹幕里。 那我们下个视频接着讲这个三角函数的恒等变化问题，以及一些妙招思想。

同学们好，我是你们的数学老师小杨老师，今天的课程我们聚焦于三角函数基础篇，主要给大家讲解三角函数的核心入门知识点， 从定义到三角函数的基本公式，再到简单的应用，全程我们都是干货啊，没有废话，零基础，同学大家也不用担心，跟着我的思路走，轻松我们搞定入门内容。 好，下面我们开始看，我们第一块呢是三角函数的角度制与弧度制，那么第一个我们任意角，我们在这里规定就是逆时针呢，我们把它规定为正角， 我们，呃，我们叫逆时针旋转啊，规定为正角， 然后顺时针旋转规定为负角， 我们这个旋转呢，好在之前呢应该还有一个，我们还有一个始边和中边，我们把这个始呢就是开始的边，我们把它称之为 x 轴正半轴啊，我们就是以 x 轴正半轴为始边， 然后它开始逆时针旋转的时候呢，我们就把它称之为正角了，顺时针旋转时候，我们就把它称之为负角，那么菱角呢，也就说我们就不动了，我们就不旋转了， 就还是 x 轴这个位置，那么它就是菱角了，这是我们的第一个内容。第二个内容呢就是我们这里面的扇形啊，我们在学完这个之后呢，我们就会引入一个扇形， 扇形的面积和弧长公式，那么在引入扇形之前呢，我们会引入一个叫做弧度值，那么弧度值呢，我们这里面呢就简单来叙述它就是说我们首先呢我们人为的规定， 这个二派等于个三百六十度，他这个规定的原因呢，就是说当我们在这个一个圆形角中，他说当我们这个弧长等于半径长的时候，我们就把它归为一个弧度，那么我们一圈呢，他就刚好是二派，所以他就叫二派个弧度。 所以我们这里面呢，就是人为的规定，这个应该是二派个弧度，弧度就是 id， 这个 id 这个单位就叫弧度啊，二派个弧度我们就等于三百六十度，这个呢直接背下来就好了。 那当我们知道二派弧度等于三百六十度之后呢？我们这个二派的这个派呢，依旧是我们的三点一四，所以我们这里面就得到一个弧度，我们就等于三百六十度除以个二派，这样我们就可以算成一个弧度了。那么他除以二派之后呢？派是三点一四呀， 那那三百六十度除以一个三点一四，再乘以二，我们最终化简的结果呢？就是约等于五十七点三度啊，这是我们课本上给的， 这就是弧度和这个角度之间的转换，一个弧度我们就等于五十七点三度，那我就等于五十七点三度，乘以个二，也就等于一百一十四点六度啊，约等于 这是我们这个弧度和角度。那继续，如果我现在说了一个三，呃，说了一个三十度，我们等于多少呢？我们弧度值和角度值相互转化，因为我的二派是等于三百六十度，那么你想想，我二派得三百六十度，那我三十度呢？我们这个将转换成弧度值呢？我们就先让他除一个三百六， 我们再让他乘一个二，盼啊，这就三十度，我们就等于个这个是表达式。那么最后结果呢？我们化简一下，我们就得到一个呃，六分之盼， 让他俩约一下分，因为我们前面的约的是十二分之一，再乘以二就等于六分之一个盼，那么如果是九十度呢？ 那么九十度我们就等于九十度，先除个三百六，你再乘一个二派啊，那么我们约一下分，他就等于个二分之派，当你说除以一百八乘以派也可以啊，我们这里面只是从我们这个定义上来引入了。好，这是我们的第一块内容， 这是我们的角度值和弧度值的相互转化，我们始终要记着第一个公式，我们用换个颜色啊， 就是二派要等于三百六，第二公式呢，就是一个弧度，它是等于五十七点三度的，记住这两个就足够用了啊。对，还有这个我们的定义，这个定义必须要记得啊，我们的顺顺时针旋转，我们是负角，逆时针旋转，我们是正角。 接下来我们来看我们这个第二块内容，第二块内容考的就是我们的扇形， 那么扇形呢？我们从初中开始来回忆一下，这是一个圆，我们从这里抠出来一个 c 叉角，这是个半径。那么在初中呢，我们学过圆的周长， 圆的面积，圆的周长呢，我们等于二 pi r， 圆的面积呢，我们等于 pi r 的 平方，然后我们开始推导变成什么呢？变成扇形的周长和扇形的面积， 那么算扇形的时候呢？我们叫做扇形的周长等于什么呢？ 它，它叫做扇形的这个周长是占总的圆的百分比，所以说我们就用这个 c 叉角除以一个三百六十度，再乘以一个二 pi r， 这是我们的扇形的呃，周长。那我们这个呢？ 扇形的面积呢？我们就是 c 叉角除以一个三百六乘一个 pi r 的 平方，这是我们初中学的， 那我们在晋级，我们到高中的时候，因为我刚才在前面已经铺垫了，我们说了二派，在我们高中里面二派就等于三百六，所以我们在高中的时候呢，我们这个扇形的周长。 呃，这个，这个不能叫扇形的周长，这个说错了，这个叫扇形的弧长啊，这个，这个是弧长。 弧长，这个弧长指哪一段呢？就是指这个 ab， 这个，这这个弧用黑色线给你圈出来啊，它的这个弧啊，是这段，这是个弧长，我们算的是。 好，那我们到这里面，我们这个因为二 pi 等于三百六，所以它们两个就刚好给约掉了，所以我们就只剩一个 c， 它和一个 r 了，那么这个扇形的面积， 我们也只剩一个 theta， 但是三百六，这个 pi 啊是一百八，它只能约掉一个，所以还剩一个二分之一个二分之一个 theta 的 平方。那么这前边这个 theta 和后面这个 theta， 其实它们两个本质上是有一点点小区别的啊，我在这里面再给你换一个度数吧， 那么它们两个有什么区别呢？我们在初中的，我们这个 theta 角呢，我们是度数啊， 比方说三十度、六十度、九十度，我们代式这些锯齿度数。那么到高中我们这个我用的这个 f 呢？它是什么？是弧度值， 比方说它的弧度，一般比方说一个弧度两个弧度，或者说三分之派个弧度，六分之派个弧度，九分之派个弧度，四分之派个弧度等等等等，都是这样的弧度值啊，也就是我们把这个度，这个初中度数要先给他换成弧度值，然后再来计算 好公式。推导完了，我们来看一下我们的第一道题目，他说半径为六，圆心角。好，我们这个阿尔法角等于四分之派。看，我们求弧长，弧长就是 l， 那 l 呢？我们往下一看，它就等于阿尔法。乘一个半 径，那就等于四分之派，乘一个六也就等于二分之三。派，好，这是我们的弧长， 这种的面积，面积就是 s， s 就 等于二分之一 r， r 的 平方也就等于二分之一。乘一个四分之判乘一个半径六的平方， 这二四得八，嗯，约一下吧。二跟它一约还剩个三，四跟它一约剩个九四九三十六，那就还剩二分之九，二分之九。判。 好，我们接着来看第二个，他说他的弧度数，也就说我们这个弧度数是个二扇形的弧，所对的弦长，弦长也是个二，将求散成面积。好，我们现在来画一个， 他说这个弧度数是二，什么是弦长呀？弦长就是我现在画的这个虚线，在圆里面这个直的这个虚线叫做弦长， 他说弦长也是啊，也就这条边。是啊，他让求面积，那么想求面积的话，我们来看一下我刚刚写的公式，等于二分之一阿尔法 的平方。好，那我们这是我们的面积公式，那我们这个面积公式呢？那我们现在想知道的话，我们就要知道这个半径，我们需要把半径给求出来，那半径的话就要用到我们初中学的勾股定律，要给它切割开， 那么这个异向期一切割之后，我们两边呢，这个 r 法角的度数就都变成了一，这个度数啊，就变成了一，而我这个边长呢，也是一。我们接着就要学习我们初中学的这三个对应关系了。第一个 sine theta， 我 们画在旁边画一个直角三角形， 它呢是对边，它呢是邻边，它呢是斜边。那我们的 sin theta 就 等于什么呢？等于个对边比斜边， 它呢被称之为正弦。我们的 cos theta 就是 邻边比斜边， 它呢被称之为余弦。我们的摊进的 theta 就是 对边比邻边， 它呢被称之为正切啊，这三个式子。那所以说，我们发现我们在这个题目里面的 sin alpha， 它的对边呢，其实长度就是一，我们把它起名为 am， 我 们用 a， 先用汉字吧，把这个圆心呢叫做 o， 那 么它的斜边呢，就是 o a， 那么 a m 长度是多少呢？就是长度是一， o a 呢不知道。而 sine alpha 呢，其实我们这个 sine alpha 呢，它就等于多少了，就等于 sine 一， 因为这个一啊，它不是，它不是那个。呃，它不是说那个 啊，长度啊，它指的就是一个度数，是一个弧度，我们这个弧度单位呢，是可以省略的，所以我们平常说的这个一呀二呀，都是弧度值，也就这个一，其实是五十七点三度啊，它大概是五十多度，所以你千万要把它想成是度数，不要把它想成长度什么的。哎，那么就得到这样一个东西， 那我们就交叉一乘，我们就把这个 o a 给它乘， o a 乘一乘一就等于，那么 o a 就 等于一，除以一个三一一， 而 o a 是 谁呢？ o a 就是 我们的半径，我发现，哎，我半径就在求开了，那这个时候我们要算这个扇形的面积呢？我们就等于二分之一 乘以 r 法， r 法在我们这里面是二，半径呢，是一除以一个塞一，它要平方一下，所以最终结果就是一除以一个塞一的平方啊，我们约完之后就等这样了。 好，我们继续看第三道题，他说扇形的周长是六，我们看一下 这还有一个扇形，那么周长指的是哪一段呢？指的是这个半径和这个弧长，这 ab 的 弧长， 而 ab 的 弧长，刚才我们已经说了，它等于 r 法乘以 r， 这个角度呢是 r 法。所以我们现在来推一下。第一个周长， c 就 等于个半径，加上半径，加上 r 法乘以个半径，我们周长就是六。 第二就面积 s， 我 们等于二分之一 r 法 r 的 平方，我们就等于个二。那么求圆形角， 那我们来解方程，解一下。二 r 加上 r 法 r， 我 们就等于六，那二分之一 r 法 r 的 平方，那我发现这个式子呢，不好解，因为它有两个未知数，所以我们消掉一个未知数，我们先用上面把 r 法给表示出来， r 法我就等于个， 我们来看这啊，我们这个叫二，加上 r 法乘一个 r， 我 们就等于个六， 哎，错了啊，我们要求 r 法不用提了，那我们就是 r 法乘以 r， 我 们就等于六减二 r， 所以 说你就得到 r 法就等于六，减去 r， 再除以个 r。 好， 这样我们就可以代入了，那 r 法就等于六减二 r 再除以个 r， 再乘一个 r 的 平方， 我们再化简一下， r 跟 r 一 绝，六除以二就得三，三减去一个 r， 再乘一个 r， 我 们就等于我们最终结果。二啊，这是我们的化简结果。好，接下来我们来解一下方程。 三， r 减去 r 的 平方就等于二啊，一个象 r 的 平方减去三， r 再加上一个二就等于零，所以我们也要推算 r 减一，十字相乘， r 减二，我们就等于零。哎，所以我们也就得到 r 呢，等于个一或 r 等于二。那么在这里推一下，那么当我们的 r 等于一的时候，我们的 r 法呢？ r 法刚我们已经推了六减去二，再除以一个 r， 那 等于六减一，呃，六减二就等于四， r 呢，又是一，所以 r 法就等于四，或者第二种 完了，半截 r 呢，等于个二，那么下面这个 r 法呢，就等于个六减去二乘以二，再除以一个 r 是 二，六减四等于二，二除以二就等于一。所以说我们这个圆心角呢，就是四 或者一，记住，我们这个圆心角呢，它的本质其实是四个弧度或者一个弧度，但这个弧度但我们是可以省略的，在高中里面，所以我们就写成四或者一了啊，好，这是我们。

我们在做题的时候不会做的题，我们是不是应该看答案，但是你看完答案之后，你发现把那个书本一合，答案一盖住，考试的时候我重新考这道题，我的错题依然是错，我不知道大家有没有这种感觉哈？今天我给大家讲一个解析的思路，我们错题本并不是真正的去纠错，而是去疏通它的思路。 来，我们来看期末考试这种题型怎么做啊？这是一个式子，这个式子很明显让你干嘛？让你化解，那我们怎么去化解？我思路往哪去想？好来看啊， 在这里边它出现的是什么？它出现的是根号，是不是啊？我们肉眼可见的是个根号，那根号我要去掉的话，用什么？用平方来去？那平方来去的话，平方在哪里出现过？我们在三角函数里边，第一个平方相当于谁？ c 的 方加上一个口 c 的 方等于一个一，这是第一个平方，那么第二个的话在哪里？在二倍角公式，我们说口 c 二二法等于二倍的口 c 方减一， 所以说我要找这里边的平方的话，从这两个位置去出。那么问题来了，你得把这两个根号化成它俩的其中一个形式，我来看怎么去转化啊？ 第一个根号里边出现的谁，出现的是一，加上一个他，所以在这个一相当于是谁？我们三角函数里边出现一，大家一定要首先去考虑谁，去考虑这里边的基本关系。 那么我们说对这个角度的 r 取正取负，取零无所谓，这个角度到底取几来看这个位置四四除以二是二，换句话这里边是二的被角公式，是不是啊？那它相当于谁？ c 方的二加上一个口 c 方的二，然后的话那个 c 四，我们用背角公式把它打开，耳背的 c 二， 口 c 二， a 方加 b 方加二 ab， 那 么这样根号就去掉了，所以它相当于谁这一项相当于是耳背的 c 二加上一个口 c 二的完全平方，再给它开个根， 一会我们再画第二个，哈，别着急。好，我们继续。那在这里边的话，我们继续再画点一下，我们说同角不同名，考什么？考辅助角，我们把它扶起来，它像谁？ 根号二倍的 c 的 二加上一个四分之，怕取一个 完全平方，这是这一部分。好，那么到这个位置之后的话，基本上答案就出来了，为什么？因为他的取的范围是一个条件，是不是我们说在这里边这个二加四分之派，他一定怎么办？他一定大于零，一是多少？五十七点三度，那二是多少？一百多度，换句话说，他俩怎么加？不会超过派 领导派上的正弦取的是什么？取的是正的。所以在这里边这个括号我们是不是可以直接给他打开？它相当于谁？它相当于是 耳背的平方。根号去掉，它相当于是耳背的 c 二加上一个耳背的口 c 二。好，到目前为止我们画的是第一个根号，那接下来我们来画第二根号啊，第二根号里边是根号下二加上， 所以在这里边的四，第一个根号里边画成二，第二根号，很明显他要画成谁，他要画成二。所以呢，这个位置相当于谁？相当于是四，他就是二，所以他相当于是二加上一个耳背的，在这里边的口 c 四相当于谁？ 二倍的口乘以方二。去掉一个一，那这里面的长竖向是不是消掉了？所以它相当于谁？加上根号下四倍的口乘以方二。我们说一的话是五十七点三度，这个二一定是个钝角，那它是个钝角的话，相当于它取负，所以它取负的话相当于谁 负？二倍的口乘以二，那答案是不是出来了？等于二倍的正弦二。 所以像这种题我们在做的时候哈，一定要去把你看见题目之后，把你的这个所有的信号去压缩，往哪压缩？向我们所学过的已知公式去靠拢。 所以三角函数最难的点在哪？就是它的公式量大。那我们学所有的公式里边的话，你看啊，刚开始我讲这道题是怎么讲的？他是根号，你根号要去掉只能去平方，那平方的话，我们见到平方在三角函数里边去压缩你的信号收缩范围。 三角函数的平方只有两个出处，第一个的话是基本关系，第二个的话是生密降密，那么生密降密是谁与弦的二 b 角公式。所以下次做这种题还能不能做了？哈哈，好，这个题的思路我们就讲解到这里啊。

此熊猫讲数学，三角函数变幻，所有的知识点，公式以及重要题型都在这个视频里面，包含两角函数、二角半角函数、幺角函数、三角函数，全部拿下，数学启动。同时三角函数全套配套讲义以及解 析笔记放在了评论区置顶，与本视频搭配效果更佳哦。首先恒等变换，所有的公式我都放到了这页 ppt 放在了评论区置顶与本视频搭配效果更佳哦。 首先恒等变换，所有的公式我都放到了这页 ppt 截图。干嘛赶紧愣着呢？ 这些公式呢，重在记忆以及应用，不需要掌握推导，我简单给大家串一下，也都记在我的同步讲义里面。首先这个两角和差，你记的时候，其实只需要减去前面的首字母就 ok 了，比如说散阿尔法加贝塔，那就是散口加口散， 而散 r 法减贝塔呢，那同理就是散口减口散了。而你注意这个 cos， 它叫变号了，前面如果是加，后面就变成一个减，那相当于 cos 阿尔法加贝塔，等于口口减散散，那如果前面是减，后面就是加了，那 tangent 也是同理的嘛。 二倍角公式呢，你其实只需要呀，把两角和差里面的这个贝塔给它换成 r 法，二倍角公式是不是就出来了呀？哎， 比如散二法啊，你可以把这个二提到前面，这么去记忆，那就是二倍的散成一口。而 cos 二法呢， 大家只需要记住一个口方减散方，因为另外两个呀，都是把里面的哎散方替换成一减口方，根据这个散方加口方，那么一推导出来的。而从而呢，有这两个式子，是不是引证出了咱的绊脚公式了？ 相当于 cosine 二分之二法以及 sine 二分之二法，咱都用这个 cosine 二法去表示了， 但是呢，我们其实只能算出它的平方，所以究竟是正是负，这个需要你根据题目给的象限判断一下。 ok 以及 tan 二分之二法这个式呢，大家容易忽略推倒，我也放到这里，可以快速的记一下，你看，人家其实只需要根据 sine 和 cosine 就 推出来了呀。 最后这个让物理老师天天在数学老师耳边说的辅助角公式，它适用于化解同一个 未知数，但是不同的三角函数名，一个是三，一个 cosine， 但里面都是 x， 同一个变量啊，它前面系数不一样，那么你可以根据这个辅助角公式，都用同一个三角函数来表示，都用这个三来表示了。 因为前面的这个 a 和 b 啊，它都是一个参数，本质是一个常数， x 呢，才是变量，可以看做关于 x 的 函数。 那所以最后化简完前面这个系数，根号下 a 方加 b 方，有点类似于勾股定律了哎，后面这个是 x 加 f， 这个 f 也是个常数，比如 f 动六分之派，三分之派等等。 那这个 f 咋确定嘞？哦，下面这个散放和 cos 放，注意啊，这里有个易错点，散放呢，它其实对应于前面这个 cos 的 系数哎，这个 b 在 除以根号下， a 方加 b 方散对应于 cos 的 系数，而你像这个 cos 放是不是对应于 cos 的 系数了？ 那公式记下来，咱肯定重在应用六大题型，启动 first blood 两角合叉，我挑了同步讲义听一到三里面重点的题型， 因为两角合叉直接的应用太简单了，完全没必要讲，分别从凑角、对比、次数、变形这三个例子来给大家讲解， ok， 那 首先一杠一， 已知两个为锐角，给了 cosar 法，又给了 cosar 法加倍塔，问你， cosar 贝塔，难不成你根据它把它展开吗？ cosar 法加倍塔等于 coco， 再减去散散， 这也求不开 cos 贝塔呀，那咋办呢？凑脚嘛，人家给的是阿尔法加贝塔，这边是阿尔法，而贝塔等于啥呢？我是不是需要根据两个条件得出来呢？它其实就等于阿尔法加贝塔，再减一个阿尔法，哦，把它们看成一个整体，说白了，整体再换思想，那速度又来了呀， 直接这么一凑公式，这么一代开心。其中的 coser 阿尔法以及这个 coser 阿尔法加倍塔咱都知道，那问题在于求他们的散置，哎， coser 知道了怎么求散置嘞？ 直接散方加口方等于一，用这个同角之间的关系求出来了，哎，之前讲过的，并且阿尔法贝塔都是锐角了，所以这个符号咱也确定了吧。那这么一求，他们的散值出来了，再这么一代，答案直接选二分之一， nice， 这里再简单解释一下，因为阿尔法贝塔呢，都是锐角，那所以阿尔法加贝塔它肯定在零到派之间，那零到派之间的散值肯定是正的呀，那所以其实它们的散值都是正的，再往里一带， ok 了，这个就是一个凑脚的思想， 根据题目的条件，把答案让你求的值凑出来。那继续看下一杠二，这个就更恶心了，哎，给了个萨尔法减考塞贝塔，考塞尔法加塞贝塔，让你求萨尔法减贝塔， what the hell？ 因为散尔法减贝塔凑出来是散口减口散，那这两个怎么能凑出它呢？哎，别忘了咱们对比次数，前面两个是不是都是一次呢？而你后面这个拆出来是个二次的， 那所以需要把这俩干嘛呀？平方一下可能就出来了，而原因在于平方一下它其实也可以出来乘积项。那咱们直接平方加死 do it 两个条件分别平放一下 shift 这东西一看这东西，再一看三方加 q 方等于一，这 q 方加三方也等于一，因为是同一个角，并且这两个一加的话， a 三阿尔法姐妹塔就是它的展开式呀。 我滴个亲娘，答案直接出来了呀， but ladies and gentlemen pay attention please！ 这里展开其实是萨贝塔减阿尔法哟。啊，因为前面是萨口减这个口萨，我们前面是不是先写的是贝塔呀？ 咱可以把这个贝塔写到前面那所以其实出来应该这个贝塔在前面。三贝塔减阿尔法等于三口减口三，它贝塔是在前面的嘛。那你要求三阿尔法减贝塔，再取个相反数，答案嘚一下就出来喽。 这个是上节课的诱导公式啊，再减的话我家猫估计都不乐意了。 那接着一杠三，这个我提示一下，直接变形就好了，别忘了 tangent 四分之派等于一的哦。变形完之后可以用 tangent 的 和差公式放到了我的同步讲义里面，当做一个课后练习题吧。 题型二，二倍角公式，它特别喜欢和同角关系结合在一起考。我挑了同步讲题，题三，里面两个重点题型，两个思想，大家感受一下。首先二杠一， 它说这个 theta 角的 tangent 值是满足相加是二零二四啊，一个 tangent 本身，一个是它的倒数，让求三二 theta。 呃，三花猫曾经说过，遇到 tangent 啊，百分之八十的题都需要你把这个正切化成正弦，比上余弦。 三花猫呀，实在是太懒了。这是个小题嘛，我就减写这个符号了，哎，我假它是一倍角， 那三 c 它除以 cos 它加上 cos 它除以三 c， 它等于二零二四。我也想说三二 c， 它是不是求的就是二倍的三乘口呢？这怎么出来三乘口哦，赶紧把它俩统分一下，结一，这么一结合， 发现好巧不巧，分子等于一，那么三乘 cos 呢，就等于二零二四分之一，那别忘了，再乘一个二，就是一个一零一二分之一。 那我猜一下，这个题呢，应该是二零二四年的题。 ok， 继续二杠二给了阿尔法的范围，让散家可知到了，让求 cos 二阿尔法。 cos 阿尔法其实是有三个公式的， 但他最原本的公式是不是口方减散方呀？哎，扣散方而法，再减去散方而法。所以我其实相当于知道散加口，让求口方减散方，这俩啥关系呢？各位小小猫，这个是平方差呀，所以这玩意其实可以直接化成口加散，再乘一个扣减散， q 加三不就在这吗，直接带进去。那其实我只需要根据它把这个 q 减三求出来就 ok 了。这是之前讲过的和气互化呢，大家可以看一下之前的视频算术妙招里面通晓关系的应用。 所以首先用之前讲过的散减 cosine， 散乘 cosine， 即散加 cosine， 也就是合规互化的板块，咱直接一步步是不是就求出来了？并且别忘了，而法是第二项线，那么散减 cosine 应该是个正的，那出来就是三分之根十五了， 那这么这么一代，人家是 cosine 三哦，负的三分之根十五，再乘以前面负的三分之根三，答案直接选 a。 所以各位小小猫呢，中国人不骗中国人撒谎，猫呢，也不骗高中生之前给大家讲的和气话通巧关系里面，后面真的非常非常常用在三两处妙招，那个板块 题型三半角公式，这个板块稍微有点难 对应咱们同步讲义的题型四，分别讲了三种题型，字母具体角度以及正切公式的应用。 那首先三杠一，哎，你看，给了个线线又给了一个啊， cos 在 c， 它所满足的一个等式，问你三方二分之 c 它，那这个就直接应用嘛，公式我就不往这写了，我希望大家能自己背下来啊，今天也不要看那些 ppt， 这个 sum 二分之四它本来是根号下哎，二分之一减去 cosine 呀， 但是呢，这里是平方那所以其实我根本不要根号了，本来是正负，你还不确定平方更舒服了？所以问题的关键呀，就在于关键的问题啊，求这个 cosine 就 ok 了。 cosine 又告诉你个一二四不等式，那是不是答案直接出来了呀，赶紧求一下吧。 前面一二四不等式呀，一二四等方程这么一解呢，出来就是二十五分之二十四，因为负一肯定不得行，它在第一次象限你负一的话，是不是必须在这个 x 轴负半轴上，也就正负一，肯定是要在坐标轴上的啊，因为现在是象限角，那么口诀等于二十五分之二十四。那直接带进去， 答案嘣一下就出来了。五十分之一，那么三个二。这个看起来有点难，其实也不太简单。 那首先人家给的具体的角度，并且两个都挺大的哟，一个一百一十二点五，一个六十七点五。咱之前说过我们这个化简的思想，首先诱导公式给他大，化小吗？大的尽可能化的小一点。那这个很明显里面有个九十度，对吧？所以把九度提取出来， 那后面这个三六十七点五度。有同学说，哎呀，这个已经很小了，那是因为你没有见过更小的，你看四号猫，让它更小一点，更更小， 人家比四十五度大哟。那所以根据预导公式，我可以拿九十度去剪它呀，先把它写成一个哎。九十度剪了一个二十二点五度吗？那这样是不是根据预导公式可以画成 cos 二十二点五度哎，更小了。小小小 来，各位小小猫，觉得这个二十二点五度，它比六十七点五度更小的，请在弹幕里面扣一个小， 所以通过这个大画小运用了一次诱导公式而发现呢，最后其实是二倍的 cosine 二十二点五度，因为统一给它画成最小的，可能就能看出其中的关系了。老同学，这个咋求呀， 还没看出来吗？二十二点五度，他有个点五，我没有学过这个点五的度数哎，他是乘以二，他就是多少嘞。哎，这玩意乘二正好就是四十五度。那其实是二倍角公式的运用，或者说半角公式，因为半角公式的本质啊，就是二倍角公式嘛， 那直接 cosine 二十二点五度等于根号下二分之一加 cosine 四十五度，因为四十五度是二十二点五度的两倍，那最后出来就是根号下哎，二分之二加根二， 可是你别忘了，我们前面有个系数二，所以系数二乘一个它得到最终答案就选 d 开心快乐了。那最后留作一个三个三，大家自己做一下，自己开心一下吧。而这个东西用的是刚补充的正切公式，正切里面的绊脚公式一定要当一个结论记下来哦。其实可以直接出答案的，各位， 公式呢，在第一页 ppt 同时呢，这个答案呢，也放到了同步讲义解析里面详细的笔记以及答案。 接下来题型四哎，物理老师最想让我讲的辅助角公式，因为这个呢，它用起来有点复杂，并且非常重要，所以我还是把这个圆公式写到了旁边，我们运用一下，熟练一下。那首先这个最简单的四杠一的括号一这玩意是不是符合这个形式呢？ 你看人家首先是同一个未知数，都是 x 同一个角的，并且呢是不同的三角函数名，一个 cosine， 一个 sine。 那 直接我们运用公式吧，等于根号下 a 方加 b 方 二分之一的平方加上二分之根三的平方，正好是一个一嘞，所以根号一还是一个一，那就是 sine 哎，还差一个 sine， x 加 sine， 这个斐肯定是要写出来的，因为人家本来就是一个常数嘛。那么可以先把斐的这个散和 cos 值求出来，它的答案自然就水落石出了。 咱刚刚一直强调散斐，它的系数啊，其实是 cos 前面系数这个 b， 再除了根号下 a 方加 b 方， 那所以前面是 cos 呢？ cos 上面是不是二分之一啊？根号 a 方加 b 方等于一，那所以 cos 应该等于二分之一，那同理，这个 cos 派就是另外一个，但别忘了，一定要把这个负号加上哟，那所以是一个负的二分之根三， 因为这里可以看成一个加上负的二分之三嘛，我们这边是一个加号的哟。那么根据这两个条件，各位，咱的 f 是 不是可以取这个六分之五 pi 呀？ 或者更准确的应该是六分之五派加上一个二 k 派，但这个不影响吗？你加入 k 派和他没啥关系，因为本来周一就是二派的，他的值是不变的。那所以我不妨直接利用这个 f 一 等六分之五派。那最后这里化简出来，就是 x 加上一个六分之五派， ok， 也就真正写题的时候，你可以这一步到位啊，中间这个过程都可以省略，这里可以不用写，直接写这儿就 ok 了。 好，那我们再通过这个括号二实验一下来，首先等于根号下 a 方加 b 方， a 方的话，根三的平方是三，这边是一个一根号下三加一哦，是一个二的二倍的三 x 加 f， 那 照葫芦画瓢，其中呢？这个散 f 呀，是等于 cos 的 系数前面一除一个二，二分之一，同理，那 cos 就 等于二分之三了，人家还都是正的。那毫无疑问，这个 f 应该是第一项线角，咱不妨取这个 f 直接等于 cos 二分之一。哎，六分之派， 那赶紧的，这边就是一个三 x 加上六分之派了。那所以下面这个过程你可以在草纸上进行，我这边直接写一个三 x 加上六分之派， 那这就是个最基本的化简了。当然还有些更难的，有时候你算出来这个三外 cosine 不是 一些常见的三角函数值，那么所以说这个 cosine 是 多少度？算不出来，因为你不是上海考生，没办法带这个计算器呢。 哎，不妨看一个这个四杠二，人家说当 x 等于 c 的 时候，这个 f x 取得最小值，则 cosine 等于几？ what the hell？ 这怎么考了一个函数最值？问题啊，哎，辅助角公式考法真的很灵活， 但是 don't worry three flower kite 在 旁边呢，三花猫在旁边哦，所以我们试一下直接实操嘛，让求这个最小值。哎， 这个其实能用辅助角公式呀，你看同一个三角函数啊，同一个 x， 同个变量，但不同的这个三角函数名同角，不同三角函数名直接用。那所以 f x 化简出来，就等于根号下 a 方加平方五十二是一个勾股数。哎，那所以出来应该是个十三， 十三乘以三括号， x 加 f， 那 照出画瓢散散的值。这里 cos 前面的系数负十二啊，除了一个十三，负的十三分之十二，同理， cos 反是一个十三分之五，可是哪个角的 cos 这个散值是十三分之五和负十三分之二呢？散花猫也不知道呢，因为我也没有计算器。可是没关系呢， 这个题肯定不可能让你把 f 的 值求出来，但是我们只需要知道，在这个函数中， x 是 一个变量未知数，而这个 f 呢，是一个参数，或者说它本身上就是一个常数，因为 f 和 cosine f 的 值我们是确定的，它其实应该是一个。 呃， cosine 的 某个角，但具体角度是多少没带计算器不知道呀，不过没关系吧，我们看题目问的啥， 他说当 x 等于 c 塔的时候，他取得最小，问你 cos 等于几？那咱就看一下 x 等于 c 塔，此时此刻 f c 塔是一个最小的，那么 f c 塔应该等于二十三倍的三 c 塔加 f， 它是咱们这个 f x 最小值。那问你这个散的值它最小是多少呀？是不是最小肯定是一个负一的呀？哎，所以你其实可以得到散 c， 它等于一个负一，是我圈圈的这一部分。哦， 那此时此刻问题简化了，相当于我知道了散 c， 它加 f 等于一个，哎，负一，这是其中一个条件， ok？ 另外呢，这个散 c 加 f 值你都知道。第二个条件，咱们来求这个 cosc， 它 这个负一啊，非常的特殊啊，一在咱们数学和生活中都非常的特殊。那么三 c 加 f 等于负一， c 加 f 是 多少度呢？它是不是就是负二分之派加上一个二 k 派？ 所以这个是为什么？各位可以看一下咱们之前讲的三点函数基础的题目，这直接根据三点函数定义推出来的嘛，并且我可以把这个二 k 派去掉，我就假设它们是负二分之派，这个也成立， ok， 那 现在咱求这个 cosine theta， 那 其实此时此刻 cosine 加派是负二分之派了， cosine 你 说怎么化解呢？是不是直接变成 cosine 负二分之派减派？那接下来遇到公式先赋化正，它是 cosine 二分之派加派，这公式我很熟悉，那其实就是负的三派， ok， 那 就是一个哦，十三分之十二答案直接出来了，来听懂的小熊猫弹幕里面扣一个六六六， 但是辅助角公式它的变形应用其实非常多，各位学小猫可以重点练习娃的同步讲义题型五里面有很多这种哎辅助角公式的变形应用， 但随后续也会带来一个思想输出系统的复习课，给大家多讲一下辅助角公式的重点应用题型。 那接着题型五稍微有点儿 crazy 的 综合应用题，分别来自咱同步讲义的题型三的第六题，以及题型六的第三题。那两个还都有起来了， 咱们直接看吧。这个五杠一觉得条件真的非常奇怪了，非常的 weird。 那 前面是 cos 二二法，除了一个三二法减四分之派，是这玩意上面是个二倍角，上面是一倍角减了一个四分之派，让求这个三二法二倍角的正弦值。 呃，能化简，先化简，不能化简，分析结构。那首先我想问大家，这个条件能化简吗？先看一下不能化简，但你先别急，咱分析一下，下面是这个一倍角减去四分之派，四分之派要很特殊呢，而上面这个 cos 阿尔法， 你想想这个 r 法减四分之派和咱诱导公式哪个角特殊呀？因为诱导公式是二分之派的整数倍，而四分之派好巧不小，它是不是就是二分之派的二分之一倍啊？ 而这个 r 法呢，是二 r 法的二分之一倍哎，所以这个 r 法减四分之派，它其实这个整体啊，就是二 r 法减去二分之派的 二分之一倍，而上面的又是关于二阿尔法的。所以其实此时此刻思路就来了呀，你能把它画成一个二阿尔法减二分之派的角度， 即便偶变，因为这里是二阿尔法，这里是二阿尔法减去二分之派，那所以前面这个三角号说明应该要变变成一个三的值啊，具体是正是负，你自己判断一下。所以思路就这么来的。各位 好，请把三扣在弹幕里，有思路的小脚猫， ok， 那 小毛细讲一下，根据刚刚的思路，咱先把这个分子啊，变成一个三二 r 法减去二分之派，再用二倍角公式处理一下， ok， 那 么启动。 但可千万别忘了呀，你这个东西变成它减二分之派的话，根据导公式，是不是需要加一个符号啊？具体为什么，哎，真的不讲了，看下前面这个诱导公式。那继续，我为啥这么变呢？因为这个括号恰好是下面这个括号的二倍，所以你把这个二 t 出来，可能思路就来了， 那它呀，就是这个散的二倍角公式哎，并且散的二倍角公式，散二倍的它是不是等于二倍的散成口，而分母正好是一个散，散和散约掉了，所以你把口算出来了， 那真的是千呼万唤始出来呀。我最终给了这么个条件，我们经过咔咔一顿操作，最终其是把 cos 阿尔法减四分之 plus 值算出来了，哎，注意刚我的分析过程呢， 那相当于我由他来求这个三二阿尔法，哎，你别忘了，这里是一倍角，而这里又是一个二倍角，那此时此刻咋办呢？这里又是一个四分之派啊，所以我再用 c 导公式把这个三二阿尔法变成 cos， 哎，二阿尔法减去个二分之派， 我可以根据到公式，那么这是不是他的一个二倍啊？哦，那现在直接把它一变， 还看不出来？换个圆，前面这个假设是二 x， 后面这个呢，就是二 x， 那 么 cos 二 x 有 这么多的公式， cos 减三方，在这里我们知道 cos， 那 所以直接就是二倍的 cos 减一二倍 cos x 的 平方 再减去一个一把 cos x 带去答案，最后就是负十六分之七，太开心了。 ok， 所以 通过这道题，想给大家提示一下，有时候题目给的这种 r 法减四分之派，其实你把它乘一个二倍，就是二 r 法减了一个二分之派。而众所周知，有了这个二分之派，咱可以利用诱导公式，所以有时候需要你稍微变下形去观察一下，特别这个四分之派，它是二分之派的二分之一哟， 那咱们直接五杠二这些，居然来了一个 tangent 四倍阿尔法，难道考的是四倍角公式？哎呦，真是厉害了，四倍角都出来了，四倍角公式学过没有？没学过呢，但是四是二十二倍啊。所以其实各位 tangent 四阿尔法，你看成 tangent 二倍的阿尔法，你把阿尔法看成一个整体，那是不是还是一个二倍角公式呢？所以其实我只需要先把 tanjitty 二阿尔法求出来。是不是可以把 tanjitty 四倍阿尔法求出来，因为四阿尔法是阿尔法的二倍。 那阿尔法咋求呢？那其实我求的是 tanjitty 阿尔法哦，相当于二倍角用了两次，你把一个二倍变成四倍了。那我直接由前面这个条件求出 tanjitty 阿尔法不就行了吗？ 怎么求呢？各位学长们，这是弹吉他阿尔法加贝塔这是弹吉他贝塔减阿尔法。哎，弹吉他，弹吉他都给我弹不会了。那是弹吉他，弹吉他都给我弹不会了。里面有个贝塔很烦，我想给他扔掉，让他滚一边去，怎么把他放一边呢？ 这两个狮子干嘛呀各位，这是阿尔法加贝塔这是贝塔减阿尔法。这两个狮子一减贝塔都是正的， 所以聪明的三号麦啊，就把这个 tangent 阿尔法给它写成 tangent 阿尔法加贝塔减成一个贝塔减阿尔法。 那如果你还看不出来，我给他画一个圆，前面呢是一个 x， 后面是一个 y， x 和 y 分 别是它们，那么 tangent x 减 y o 就是 tan， 这个 x 减去 tan 这个 y， 再除了个一减， tan x 成了一个 tan y。 你 看，非常写这么简写，但希望大家看得懂啊，这个能节省时间嘛。 那你把这两个分别一代这个 tan 的 二法值算出来了，然后最后再用这个二倍角公式算下 tan 四二法，开心舒服。 那么 last but not least。 三角形形状问题其实三角函数呀，是我们后面解三角形做服务的， 因为高考有个板块，大题的板块就叫做三角函数与解三角形。那这里呢，稍微给大家设计一点点的内容， 同时这些题型也在咱们同步讲义的哎，题型八里面看下六杠一吧，在三角形 a、 b、 c 里面给了个这玩意儿，哎，让你求三角形 a、 b、 c 是 一个什么样的形状？好奇怪的一道题呢？ 其实上个视频咱们讲过了，在三角形里面有个横等式，千万不要忘了人家三个内角和是几啊。 哎，我家猫都知道 a 加 b 加 c 等于 pi， 所以 需要用这个等式给它化解一下，因为这个 pi 恰好是一导公式里面二分之 pi 的 二倍。那所以你看前面吧，都知道散 a 乘散 b 了，然后这边是个烤散 c， 你 看 a 和 b 都在这里，而这边是一个很烦人的 c， 那 把这个 c 变变吧，变成一个 pi 减去 a 加 b 哦，这样里面变量就只有 a 和 b 了，相当于统一变量。那化简的思路就有了呀， 先把这个凡人的二分之一移过去，这里是一个二，那右边这个变成一加上 cos 派减 a 加 b 的 和啊。这玩意直接遇到公式，那就是负的 cos a 加 b， 那 遇到公式，接下来是不是可以用这个两角和差公式了？ 那么这一坨是不是就等于扣扣减散散 cos a cos b 减去散 b 散 a， 但别忘了前面有个符号，所以这个整体那就等于 负的 qq 再加上三三。因为前面有符号嘛，那所以其实这个等式的右边就是一减去它，而前面是个二倍的三 a 三 b， 其实这里可以约分内。哎，不好意思，等上两边同时去化简一下，三 a 三 b 和前面这一个三 a 三 b q q 加三 b q q 加三三，它其实就是一个 q 三 a 减 b 三角形内角，它们相减的 cos 值等于一，那 a 减 b 就 应该等于一个二 k 派了呀，或者零加上二 k 派。人家是三角形内角，你这个 a 减 b 是 不是只能等于零了？哦，那所以 a 等于 b 直接等幺三角形 好，关于这一步怎么来的呀？大家看一下之前讲的这个定义嘛，根据定义啊， cos 是 等于一个应该过单位圆一剁零，那只能是 a 减 b 等于零或者二 k 派，但三角形里面不可能等于二 k 派，因为 abc 的 范围是零到派。我说的有点快，希望大家能记住，如果记不住，你可以慢放再看一看。 那最后这个六杠二有这个作业题是咱们讲一题型八的第二题。 那本节课三角风筝变幻终于是讲完了，二零二六年马上要开始了，可能你看我这个视频的时候已经是二零二六年了，三花猫也祝你二零二六年学习进步，高中生活更加快乐，更加充实。因为自从三花猫在九月份更新第一条视频呢，到现在 也算是二零二五年过了三四个月吧，各位小花粉们陪伴着三花猫，三花猫也陪伴着大家。 到了年底呢，大家学习生活变得忙碌了，快到期末了，四号猫呢，也变得开始忙碌了，但是我还是尽力给大家做最及时的更新，因为只有我一个人的话，有时候真的是应付不过来呐。到了新的一年，我会腾出更多的时间把这个视频打磨的更精彩更好， 我们后面一起学习，加油！那么新的一年，各位再见喽！

今天给大家讲解一个三角函数里面超级重要的公式，辅助角公式，它能把两个相加的式子变成一个正弦型函数，我们来看一看是怎么用的。首先啊，对这个式子提取根号下 a 方加 b 方， 这个时候它会变成 a 笔根号下 a 方加 b 方乘以三 x 加上 b 笔根号下 a 方加 b 方乘以 q 三 x， 这个时候我们来看这俩东西是什么？ 你有没有想到三角函数的定义，你看这里啊，我画一个坐标轴，有一个角的中边呢，假设落在这条线上，我们随便取一个点，坐标是 a b， 这个时候我们就会知道它的三引假设为否吧。三引否就等于 b 笔根号下 a 方加 b 方，而 q 三引否呢？就是 a 笔根号下 a 方加 b 方， 这个时候你看这是啥玩意啊？这是不是 q 三引否？那这个呢？它是三引否？ 哦，那我明白了，你看啊，三 x 扣三 inf 加上扣三 x 三 inf， 于是 f x， 我 直接写过来啊，等于根号下 a 方加 b 方乘以三 x 加上 f。 哎，正弦型函数来了，好玩吧？这个时候我们来看这个 f 有 什么特点，这个是三 in， 这个是 q 三 in， 它俩一相处是贪整，它明白了，那贪整的 f 就 等于 a 分 之 b， 所以 看到两个相加的，可以提取根号下 a 方加 b 方，得到这样一个式子。 好，明白了这个道理以后，再给你们看几个特别常见的辅助角公式的用法。第一个，你比如说 f x 等于 a 倍的三 x 加上 a 倍的 q 三 x， 这个如何使用？ 你会发现这两个其实系数是一样的，都是 a 对 不对？那他要提取多少？提取根号下 a 方加 b 方， 其实根号加 a 方加 b 方是什么？我们思考一下，一个是 a， 一个是 b， 那 根号加 a 方加 b 方，哦，相当于斜边，所以辅助角公式又叫什么？提斜边公式， 那当你想明白这个问题了以后，你看这个是 a， 这个是 a， 那 你说一个直角三角形，你是 a， 你 是 a， 这是不是根二 a 啊？直接提取根二 a， 然后呢？变成三 x， 加上一个 f， 关键这个 f 是 多少？也很简单， 我们知道贪婪的 f 等于它比它，哎，那不就是一吗？哦，贪婪的四十五度是一啊，所以这个 f 啊，直接就是四分之派，只要这两个系数一样的，得到的角就是四分之派。提取根二 a， 再换一个，你比如说 f x 等于 a 倍的三 x， 加上根三 a 倍的扣三 x， 那这个，那变完以后是多少呢？来思考的要快一点啊。提取根号下它方加它方，一个是 a， 一个是根三 a， 那 开出来是二，那提取个二 a， 那 还剩下三 x 加上一个 f， 这个 f 是 多少呢？来看着根三 a 比上 a 是 根三啊， 判断的三分之派是根三，哎，直接出来了，快不快？那明白了这一个，再看这个 f x 等于根三 a 倍的三 x 加上 a 倍的 q， 三 x， 这个提取的也是二 a， 这没问题，是吧？关键是看角度来， x 加多少，它比上它是根三分之一，哎呀，其实它那个六分之派，哎，直接就出来了。同学们，这样，你学会辅助角公式了吗？

同学们大家好，今天咱们来看一道有关三角函数凑角的题型。首先这个题告诉了 c， a 加 b 等于三分之二，当然你可以选择把 c a 加 b 用两角和差公式展开 c 考考 c， 然后又告诉了拷 b 是 负四分之三，然后求拷 a 了。其实这个题就本质上是告诉了 a 加 b 这个角和 b 这个角，尽管这些角不是特殊角，但是它却是已知的角，所以这个题咱们可以先分析一下， 相当于已知了谁 a 加 b 也已知了 b 求谁等于是求 a 角了，无非是把这些角放到什么正余弦里面来做。 咱们可以得到 a 角是可以用已知的两个角 a 加 b 减 b 来替代，所以此时咱们要算的靠 a 完全可以用两个已知的角来 替换了。 cosine 什么 a 加 b 减 b， 此时咱们就可以把它用两角合成公式展开了。 cosine a 加 b 乘 cosine b 加上 cosine a 加 b 乘个 cosine b， 这个时候咱们发现 其中 cosine b 是 负的，四分之三给咱们了，还有 cosine a 加 b 是 三分之二给咱们了，就差这两个了，那咱们把这两个求出来就可以了。首先咱们先看 cosine b 是 负的，四分之三的话， cosine b 很 容易算，方法也特别特别的多， 你可以用 c b 方加 cosine 方等于一来做，所以咱们可以做出来 c b 应该是谁 四分之根七，而且是正的，因为在三角形里面，角都在零到一百八十度之间，所以正弦值肯定是正的。好， c e b 知道了，咱们给这边可以写了四分之根七了。然后咱们再看题中给了 c e， a 加 b 是 三分之二， 是三分之二，此时咱们要算一下谁扣 c e a 加 b 了。 那 cos 加 b 也很好算啊，利用 c 方加 cos 呢？ cos 方等于或者利用三角定义，或者利用直角三角形去走都行，很容易得到，它是三分之十跟五，但是要关注正负呀，三角函数我一直在说，有一半的问题是和正负有关的，不注意正负就是有明显差距的。 首先是刚刚咱们知道 cos 能是负值，说明了 b 肯定也是动角啊，所以 拷 a 加 b， 它相当于肯定是个负值，这一点一定要注意。所以咱们把拷一加 b 写成负的三分之根五，这个时候咱们就得到了这个答案，是十二分之三倍的根五加十二分之二倍的根七， 这个题结果也就出来了。所以咱们由这道题咱们知道凑脚 这个事情，他其实也蛮重要的，因为要把三角和这个角理解为已知的就可以，没必要说一定要是一个特殊的角，这样的时候咱们可以用已知的角来凑我要求的角。再一个就是正负的问题， 知道正弦与弦正切中的其中一个可以立马算另外两个，但是另外两个一定要去关注他的正负问题，也就说里面会卡出要卡这些角的一个所在的一个范围象限，这样能做出正负来。好，这道题咱们就说到这。

对于三角横等变换的题目，我们有三板斧一拆二划三合，要把公式背熟。第二个大家需要注意审题， 看题干里边我要求的是什么，需要求的是什么？那么第三个就是要总结一下关于三角横等变换的技巧啊。 大家好，欢迎来到新课数学，那么今天我们带来的是一道三角恒等变换的题目，有关三角恒等变换，我们先来一块复习一下相关的知识点。 两角和与差的正弦公式，也就是塞引 r 发加减贝特，它打开之后应该是什么呀？应该是塞引 r 发扣塞引贝特加减扣塞引 r 发塞引贝特啊，这第一个公式， 那么两角和与差的余弦公式，口塞耳发加减贝特，它打开之后就是口口减塞塞，也就是口塞耳发口塞贝特，注意这里的符号是减加塞耳发塞也贝特 啊。那么第三个就是正切的公式，弹进弹，二发加减倍，它打开注意我们是有分数线的，在分子上是弹进弹，二发加减弹进弹倍，它在分母上是一减加弹进弹，二发 常见的被套。这里是我们的两角和与差公式，而这个题就是对于两角和与差公式的应用。那么下面我们来看题目，对于三角恒等变换的题目，我们有三板斧一拆二画三和 拆是什么意思？对于题干当中，比如此题，塞尔法加维特，塞尔法减维特，要将它去拆开。第二个去划，将名称进行转化，将我们的角进行转化，比如利用二倍角公式，利用辅助角公式。 第三个是和将能够整合的部分整合到一起，从而去得到更整洁的式子，进行下一步的运算啊， 那么我们现在来看啊，对于这个题，散引 r 发加贝特很显然需要用到，第一招就是拆 散引 r 发加贝特，我给他拆开，那么就是塞引 r 发乘 ko 塞引贝特，再加上 ko 塞引 r 发乘塞引贝特，他拆开拆开之后等于五分之一。 第二个我们有塞 e r 发减比特，把它拆开之后呢，那么就是塞 e r 发 co 塞 e r 减去 co 塞 e r 发塞 e r， 它的结果应该是多少啊？应该是五分之三， 那么这个作为一式，这个作为二式，那么现在我们可以发现，如果将一式加二式的话， 就会产生一个什么样的效果，一式加二式就会将两个 cosine alpha sine beta 约掉，也就变成了二倍的 sine alpha， cosine beta 等于的是五分之四， 那么进一步就会得到 sine alpha cosine beta 等于的应该是五分之二，这是我们的这个式子， 如果将两个式的作差呢？将一式减二式，我们就会发现，此时它俩被减没了， 那么 cosine r 法 sine 被它减去负了它，你就变成了二倍的 cosine r 法 sine 被它等于的是五分之一，减五分之三，负的五分之二，这就可以得到我们的 cosine r 法 sine 被它，答案就应该是负的五分之一。 那么现在呀，我们已经明确了啊，第一个塞耳发扣塞贝特是五分之二，扣塞耳发塞耳贝特是负的五分之一，因此我们想求谈，那么我们就将它们两个作商，塞耳发扣塞贝特再比上扣塞耳发塞贝特， 其中前两项他是不是就是一个弹进的 r 发啊，对不对？而后两项是口比赛，他往出引出的应该是弹进的比特分之一，所以乘进来就变成了弹进的 r 发比弹进的比特， 所以弹进的 r 发比弹进的比特，答案就应该是我的五分之二，在比上负的五分之一，所以答案是负二，那么此题选择的就是 a 项。 总结来看，关于三角恒等变换的题目，我们主要是两大内容，第一个一定要把公式背熟，第二个大家需要注意审题， 看题干里边我要求的是什么？需要求的是什么？那么第三个就是要总结一下关于三角恒等变换的技巧啊。那么今天我们的分享就结束了，下课。

很多同学特别讨厌三角函数，是因为三角函数里面公式太多了，各种七大姑八大姨全扯一块。今天我们通过这个视频啊，把这些七大姑八大姨公式全给你找出关系来 来。首先我们来看三眼阿尔法加 cosine 阿尔法，这是和，第二个是叉，第三个是 g， 第四个二倍角公式。那最后这个呢？也是和角公式，它们之间有什么关系？请看！我把第一个式子，我一平方 展开一看，我会得到三引方加扣三引方等于一，还余了两倍的三引阿尔法扣三引阿尔法，你看，我得到了和与积的关系，同样的道理，我们再把这个叉，哎，我一平方 一展开，我能得到一减二倍的三引阿尔法扣三引阿尔法，我又得到了差与吉的关系。这时候你再看， 我把这两个式再一相加，哎，我会得到三引阿尔法加 cosine alpha 的 平方，加上三引阿尔法减 cosine alpha 括起来的平方等于二，和与差的关系也来了，但是这还不够，我们继续往后走， 你再看，二倍的三引阿尔法扣三引阿尔法，又是谁？又是三引二阿尔法？呦，背角公式又来了哦，它等于一减三引二阿尔法，同样的道理，它等于一加三引二阿尔法， 这还不够，我们再继续看，和他又有什么关系呢？你看啊，三引阿尔法加四分之派，我一拆开，我会得到什么？三引阿尔法扣三引四分之派加扣三阿尔法，三引四分之派，他其实是二分之根。二倍的 三引阿尔法加上扣三引阿尔法，你看，这里又出现了核，那如果这里是减的话呢？哎，这里也是减，所以你会发现核差 背机以及这个东西他们有着千丝万缕的关系。我希望每一位同学都能把这些公式之间相互推导出来，这样你的公式就不会乱了。

有很多同学遇到这种三角函数图像的中心对称和轴对称，题目不知道怎么去做，那么我就结合这题给大家讲一下。首先看题目， f x 的 最小正弦记为 t， 然后这个 t 是 有个范围的。好，我们知道一个东西，这个 t 等于什么？二 pi 除以 omega 的 绝对值，这个 omega 代表什么？是不是代表你这个图像 x 的 一个伸缩？ 你 omega 比如等于 r， 那 就代表你这个 x 怎么样缩小为原来的两倍， 是不是这样？那 omega 如果等于二分之一呢？那你这个 x 所以 值怎么样扩大为原来的两倍。好，我们把这个代入进去，那就是 三分之二 pi 小 于 t， 那 就是二 pi 除以一 omega 的 绝对值 omega 大 于零吗？那这个绝对值符号可以丢掉了。小于 pi 同时除以一个二 pi， 那 就三分之一小于 pi 分 之一， omega 分 之一小于二分之一， 可以退出来，这个是在二到三之间的。好，我们看一下。还有关于点二分之三派逗号二，中心对称。那什么是中心对称呢？我们先看一个图像，哎，对，什么 sin x 像这种点，这种点，这种零二，二派零。 这上面呢？比如这个 x 一， 这个 x 二，它们俩到 pi 的 x 轴距离到 x 至到 pi 的 x 距离是相等的，但是 y 则呢，是相反的，这种点叫中心对称点。那它满足什么条件呢？ 很明显，这个 x 必须要满足 k pi， 那 y 呢？是不等于零，所以它满足的条件就是 k pi 零。 还有一种叫轴对称，什么是轴对称？比如这种，这个是不是 x 等于二分之二，这个 x 是 不是等于 pi？ 像这种可以把函数怎么样？函数图像一分为二的就是 x， 这个 x 三和 x， 二 和 x 一， 它到这个 octa pad 的 距离是相等的，它的 y 值呢？也是相等的，这种角叫轴对称。这个时候 x 码是什么条件？ 是不是按文字派加 k 派？那可能有同学问了，为什么是 k 派，不是二 k 派？那你看它最近的距离是不是等于派？那它不就是 k 派吗？那如果你到这里 二派，那这个就是什么？二 k 派到最近距离吗？ 好，我们把这个点代入进去，也就是二分之三派乘上一个 omega 加四分之派，它是不是要必须满足这里的契派这个条件？你把它当成一个整体， 这个整体是不是必须满足这个条件，它才能说？关于它中间对称对不对？还有这个 b 呢？ 这里是零啊，它为什么这里变成二了？它肯定是等于二嘛，因为 b 等于二，原来的 f x 等于三一， 这个时候是不对， kpi 零，那它为什么是二呢？因为它本来怎么样加二了嘛，所以这个 b 可以 知道等于二。 我把这个值算一下呗，这个 omega 是 在二分之二到三之间，那它就在四分之十三 pi 小 于二分之三，二分之三 pi， omega 到四分之 pi 到四分之十九， 这个数是个什么数？是不是 k pi， 那 它肯定是一个 k 除以整数嘛，所以是一个整数乘以一个 pi 四分之十三到四分之十九之间的一个整数，所以这个 pi 去四， 所以二分之三 pi， omega 加四分之 pi 是 等于四 pi， 那 这个 omega 可以 算出来等于二分之五， 所以我们这个 f x 就 等于三，二分之五 x 加四分之派，那再加二嘛？那可以退出来，二分之派带入进去。 嗯，二分之五乘一个二分之派等于四分之五派嘛。再加个四分之派， 二分之三排再加个二，那就等于负一。加二等于一选项选 a。

高一上期末重难点同角三角函数的基本关系，所有常考题型一条视频搞定！ 三角恒等变换本质就这两个公式，当 r 平方加可算， r 平方等于一就正余弦的平方和等于一 叫做定制。那么你有了这个，你未来在解决很多函数值域问题的时候，有的时候都可以使用三角换元，因为他在表明着一种关系叫平方和为定值。未来你但凡发现了平方和为定值这个结构特征，请所有人记着， 只要发现平方和为定值，考虑使用三角。这是做题的最常见的一个解题的思路，答案是这个代表的叫弦切互换。何为弦切互换？就这个叫弦， 这个叫切。所以在我遇到题目当中，经常需要再去求值，求范围，或者这三角恒等变换的时候，我们都可能会考虑到将弦换成切，或者将切换成弦， 那么弦切互换的本质是这个结构，这个结构叫什么？叫做一次比一次的分式结构，就三个，阿法除以可三幺。比如说当你以后遇到这种东西，三个阿法加上二倍的可三幺，阿法除以三幺，阿法减去可三幺， 让你去化解他，或者告诉你他连阿法等于几，然后让你去求这种题。这就是最典型的方法，叫弦切互换。怎么弦切互换？ 他的解法非常一定，你千万别说老师我贪恋阿法，知道了我把所有三亚法求出来就算，那你要讨论角的取的范围，非常麻烦。而这种题的解析思路永远就一招， 这一招是什么？为什么是除？因为贪恋阿法是三亚法，除可三亚法，它的结构就要天然出现一个分式，就要出现一个三亚法除以可三亚法，所以我只要给这个式子同除可三亚法， 这就变成贪恋阿法加二除以贪恋阿法减一。为什么？因为贪恋阿法除口，贪恋阿法就是贪恋阿法来从这一步到这步化解，能看懂的同学打个六，看不懂的打个五，这就是我们三角恒等变换当中，同角就角不变，什么角不变都是阿法，他不会变成阿法。同角变形当中 必须学会的最简单的技巧，也是唯一的技巧，就这个接着看题，先看这道题，叫做平方关系求参数，啥叫平方关系？就一道题三又给了你，可三让你去贪利，显然他俩的平方和等于一，我就可以求参数范围的。 所以解这道题就很简单，就是 m 减三的平方加上四减二， m 括号的平方就等于 m 加五的平方。 当然你也可以写成是他的平方加他的平方等于一，而他本质上是一样的，他两的平方就 x 平方加 y 平方等于二平方。我是利用这个逻辑也是一样，结果没区别，整理一下就是四 m 平方减去三十二 m 等于零，所以得到 m 等于零或 m 等于八。 好，那考试的时候我能不能就说 m 等于零也行，八也等于也行，我就把三 a c 的 靠三 a c 的 求出来，就去看题了。注意来，所有做三角函数题，出题人给这个东西是为了干什么的？知道 出题人给这个是干嘛的？来说一下出题人为什么要给角？我现在来建立一个意识，怎么样让你防止粗心。 所以所有给 theta 范围的这件事情都是为了让你淘汰。记住了，给你 theta 的 取值范围都是为了你淘汰某个角的。如果 theta 的 范围是在一个象限之内，什么叫一个象限之内？你看二分之派到派是不是叫一个象限之内， 那么一定会淘汰。有的题目会很坏， theta 告诉你是零到派，它的范围更大，那么有的时候我还要综合考虑，想办法再淘汰。 好，但是你记住，只要给你范围，他都是为了淘汰，否则他没必要给你范围，这就是出题人的坏处，知道了吗？所以你要了解一个人出题，他为什么这么设计，你就知道解体该怎么办了。所以给他他，你就知道一定要有一个值被淘汰。那怎么办呢？带过来看看当 m 等于零的时候会发生什么？ 当 m 等于零的时候，我们来注意看看三用 c 它等于什么？来代入就等于负的什么？五分之三，此时已经排除了，数已经排除了。为什么？ c 是 在二分之派的派？第二项线人家是正的结空空，你给我来个负值是不是就再见了？说明 m 就 不等于零，所以 m 只能等于几？那当 m 等于八的时候，我把三 x 它取出来 来。三 x 它等于什么？八加五十三分之五，同学们，你猜。可三 x 它应该等于什么？看到十三这个五数字熟不熟？我是不是都不用算？我都知道五十二十三，可三 x 它一定等于负的十三分之十二，我算都不用算。为什么？因为第二项线， 因为五十二十三。发现这个特殊值了吗？你看今天是不是你的一次偶遇，所以单，所以你看记这些男生数字都是让你做题速度更快的。再看看第十题来，你看，这很简单，不用想 前，这是一次比一次，结构直接同出 cosine alpha， 那 就变成了什么？ tanning alpha 加一，除以一个 tanning alpha 减二就等于二，对不对？带进来， tanning alpha 加一等于二倍，二倍 tanning alpha 减四，所以它等于五， tanning alpha 等于五。选好，搞定好，接下来我们再看二次，其次性求值， 就当我们在做题的过程当中遇到这种二次，其次是怎么去求值？来，你们依然看来这道题没给你范围，说明什么？ 大家要在做题的时候要理解你没给你阿法的取值范围，说明我能确定阿法在哪个象限吗？说明我是不可能把阿法的范围求出来。那既然不行，那么三引阿法是正负扣，三引阿法是负，知不知道？不知道。说明这道题一定的解法不是让你把三引阿法扣三引阿法求出来，然后带带带入的，肯定不是让你这么算的。 所以说明这道题一定可以有一个办法做到闲话，切，这就是我是怎么思考就就这么来的。好，那理解了，我一定要做到闲话。切，那我就明白一件事，这个地方跟这个地方他一定是可以转换过来的，对不对？一定可以转换过来的，那怎么去转换？好，这你就要注意到一件事情，我们刚才讲过， 一次比一次我是可以干什么？我是可以直接除以一个餐厅的，对不对？好，那么现在我这个平方我能不能有办法转化它也是可以的。那这就是要我们观察一件事情， 你看一是不是可以变成三样平方加可三样平方，这是不是等于一？所以我能不能把它除个一，也就除以一个三样平方加可三样平方，它就变成了其次式。所以这道题是不是可以变成三样平方？减去三倍的 cos 平方除以什么 三幺二八平方加可三幺平方。我除个一等于没除，但是当我同除一之后，这个时候你会发现它又变成奇次式了， 那么我就可以谐化切，怎么谐化？切？分子分母同除以多少扣三幺二八的平方，他除以扣三幺二八平方除可三幺平方，那不就是弹性阿发的平方吗？他除他就没了，所以这就变成了五倍的弹性阿发减三除以一个弹性阿发加上一个，一 看到没，那他连 ip 等于二带进去。五乘以一个什么四，就是二十，减去一个三，除以一个什么四的平方，加一就是五，加一就等于什么？ 等于五分之十七加一就等于五分之二十二。所以选 c 搞定，这道题就这么做出来了。所以这就是遇到了二次的其次型结构怎么办？除个一，你就可以构造成这种其次式求值的形式。 来看这道题分式型二次型就知道。这就很简单了，看一下这道题，通除 cosine c 的 平方，这不就直接除了吗？那不就 tanning c 的 平方加什么来注意这个结构特点，你要记住它以后就快了， 跟它约掉一个 cosine c 的， 跟它约掉一个平方， cosine c 的 除 cosine c 的 就等于什么 tanning c 的。 所以你记住这也是二次奇次式， 它除以一个可算式的平方就等于 tan x， 看到没？等于 tan x。 好 了，这个减去一个啊，不就变成这个了吗？原来搞来搞去就这东西，那这不就是四加二减二就等于四选 a， 这不好简单吗，对不对？纠结啥？好了，来，再看这道题，一一代换，不用我提醒。什么意思，转换成其次式就可以了。 来看一下，这不就是这货不就三样算法等于三倍可算算法吗？这不就贪定算法等于三吗？这不一眼能看出来吗？一，当然变成三样算法平方加可算算法平方，这样我才能转化成其次式，对不对？这样我分子分母都是二次式了，然后同除可三算法平方，就贪定算法平方加上一个一出一个二倍的贪定算法减去一个什么一， 不很简单吗？那不就什么三的平方，就九加一出一个二，三的六减去一个一，五分之十就等于二选 b。 来看这道题怎么做？他说这是 a， 是 三角形的内角。好，来一道题目中告诉你三角形的内角目的是为了什么？来，你猜一猜，他为什么会突发奇想？告诉你 a 是 一个三角形的内角， 说明 a 的 范围是在零到派，所以正常情况下，我理论上三 x 三 a 都知道了，理论上是可以求了。一般给你这个东西是为了什么？ 是为了确定范围？还是一个道理，确定范围。接下来我们看看这道题怎么做。来，各位同学想一想，现在这个结构是一次式，但是它不是一次分式，比如说来个三 a 减去一个三 s， 它就可以同除，它可以求它的 f a， 那 现在它不是， 意思是来，各位同学，你们想想，不是分式形，你要想去求出贪恋 a， 我 肯定要想办法变成分式形，对不对？那你们想想，你们能用什么办法？来，各位同学，告诉我，你能用的方法是什么？来想一想，思考一下，你要去求贪恋 a， 我们现在能用的方法是什么？来，我来说两个方法。第一，如果有一个方法叫平方，所以我给他两边同时平方，这就变成什么东西，变成了三 a 的 平方加上 q， 三 a 的 平方加上一个二倍的三 a 乘以 q 三 a 对 不对？他就等于多少？一百六十九分之 四十九，我可以给他再除以一个三 a 平方加可算 a 平方，这个时候是不是只剩下贪恋了？是不是只剩贪恋了，对不对？全部是贪恋 a 平方，他加他被贪恋 a 加上一个一，加什么？化解一下？音质分解可以求出贪恋 a， 这是方法一， 好。方法一，我就讲这来，这个能听懂吗？方法一，听懂的同学打个数字六，没听懂打五，所以方法一就很简单，我就同除，把它二次化就可以了。好， 那接下来，那如果他现在我不去，我不想去除，我觉得这样去因子分解它太累了，我还有没有其他办法？当然有， 我反正都要转化一，我还可以这么办。你看现在看方法，现在三 a 平方加，可三 a 平方是不是就一平方？之后它就是一，所以我就可以直接把二倍的三 a 扣三 a 求出来，就等于一百六十九分之四十九减去一，那就是什么负的一百二。好，各位同学， 那这个时候它是一个复数，说明什么？说明三 a 跟科三 a 是 不是异号？既然是异号，来，所有同学告诉我 a 应该在第几象限？评论区告诉我， 既然三 a 跟科三 a 是 异号， a 又是三角形中的内角，说明 a 一定在哪个象限？回答我，快点快点，咱别耽误时间。 a 必须是在什么第二象限，所以 a 是 在第二象限。你看，这就判断了 a 的 垂直范围， 当我判断 a 的 取值范围，其实这道题做好不好做其实就好做。来，我偷偷教你几个思路。先讲第一个思路，我现在有三 a 加可三 a， 如果我再能求出三 a 减可三 a， 我 是不是可以做出来了？那怎么办？继续平三 a 减可三 a 平方倒着求 三 a 减可三 a 平方等于什么？是不是等于三 a 方加可三 a 方减去一个二倍的三 a 可三 a， 那 不就等于一减去它也就一加上一个什么东西？一百六十九 分之一百，对不对？那不就这个东西吗？我知道这个东西之后，逻辑下来是不是就好弄了？他的一百六十九分之两百八十九， 那所以三 a 减 cos 是 不是就知道了？一百六十九是十三平方，两百八十九十七平方，这个你得知道等于十三分之十七是正的还是负的？因为第二项线 cos 是 正的， cos 是 负的，所以这个一定是正。 好了，接下来我就可以干嘛两个人加减三 a 自然就知道了，等于十三分之十二， cos 自然就知道了。第二项线等于负的十三分之五。好，这是第二个方法，接下来我再告诉你第三个方法。前面 我们讲过一个方法，孪生数字，看到十三熟不熟悉？看到十三熟不熟悉？一定有一个是谁？十三分之五，一定有一个十三分之十二。所以既然是三 a 加口三 a， 那 不就一定是三 a？ 不 就十三分之十二，减去十三分之五，他不就是十三分之七吗？ 所以三 a 就 十三分之十二，扣三 a 就 负十三分之五，直接扣他判定 a。 两个一数，大家选出来 巧不巧？觉得巧妙了，打个数字六六六，听懂了吗？这叫凑。因为我为什么能用这个方法做？或者我怎么想到这个方法做？因为我看到了十三这个数字。根据前面教你的男生数字，勾股数十三分之五，十三分之十二，刚刚好，他能凑出来十三分之二减十三分之五，那我不就自然而然就可以直接口算了？ 他只要是单选题，我就没有任何单选，如果多选题不要用这个方法，但单选题绝对可以用这个，懂了吗？这就是男生数字的好处。

高一数学三角函数的求值，最重要的是要灵活，哎，你要对这个基本公式要非常的清晰，你看到这个式子，你就想到了谁谁谁，是不是就这样的一个原理哈， 嗯，它这个 c， 它等于负二，让我们求这样的一个式子的值，那么其实这个式子的话呢，貌似很难化简，是不是来也不是像我们前面所讲的这个奇次式，你别看我题目是奇次式啊，但是你真的很难观察出来，那我看到了什么呀？括号里边是这个 一加二倍的 sine theta 乘 cosine theta， 那 如果是这样的一个话呢，其实它就很有说头了，你看这个一，我可以看成什么呀？ sine theta 的 平方加 cosine theta 的 平方一的逆用加二倍的 sine theta 乘 cosine theta， 那么它就等于什么了？ sine theta 加 cosine theta 括号外的平方不就是完全平方式吗？是不是？好，那么既然这样的话呢，那所以我们这个原式对吧？哈，我就简写了哈，那就等于 sine theta 乘 sine theta 加 cosine theta 括号外的平方，比上 sine theta 加 cosine theta， 那分子分母就可以约去一个 sin theta 加 cosine theta， 所以 我们就得到了 sin theta 乘 sin theta 加 cosine theta， 是 吧，好，我们给它成开，那就是 sin theta 的 平方加啊，这个什么呀？ sin theta 乘 cosine theta 好， 那么这个式子呢？给出了这个 tangent theta 等于负二，让我们求这个式子的值， 千万不要去列方程组哈，列方程组既要判断符号，那么解起来又比较浪费时间，这里我们用奇次式，你看啊，这个题是又难了，我们再次将它化为奇次式，怎么化呢？把它的分母看成 e， 分 母看成 e， 把这个 e 给它代换掉，那么化成 sine sine 的 平方加 cosine sine 的 平方， 这样的话呢，分子分母的每一项都是二次的，那么它就叫做奇次式，那么这个奇次式我们该怎么办呢？好，我们把上面这个哈，我直接来写到这来了哈，就是分子分母的每一项都除以 cosine cot 的 平方，就可以把弦画成切， 也就是我们说的弦化切。那么它除以 cosine theta 的 平方得 tangent theta 的 平方，它除以 cosine theta 的 平方，得一个 tangent theta， 是 吧？好，它除以 cosine theta 的 平方，得 tangent theta， 它除以 cosine c 的 平方得一，是吧？好，我们来分割一下啊，这个，那等于几呢？把 tan 的 c 的 等于负二往里一带，那这是四减二，比上负二加一，所以下面是上面是二，下面是负一，最终结果 等于负二，是不是非常简单？但这道题的前期的变形也非常的重要啊，那变形到这一步的话呢，你要学会把它转化为其次式，然后利用弦化切 来快速的得到我们的答案。这道题非常非常重要啊，一定要重视，关注老师，学习更多高中数学知识。

三角函数是我们高一上学期的重中之重，你只要掌握这三大方向，咱们期末稳稳上一百二、一百三，行不行？行，那我们就本节课直击三角函数的重点。三角函数一共是哪三大方向呢？ 还记得吗？第一个掌握的是要跟基本概念有关的一些东西，哎，角发生了改变， 从而有了什么弧度制，我们再次对三角函数进行了重新的定义，全是跟概念有关的，对吧？对。然后第二个你要把握的就是九大组公式， 以及这些公式的一些经典题型，就我们都会讲到。第三个就是三大图像几个性质上，前面讲过了六大性质， 今天该讲哪一个了？这个讲过，这个讲过，今天就来讲定义好不好？好讲他的定义之前，先说一下初中对于三角函数是怎么定义的，还记得不？第一个先来说初中的定义在哪定义的 角，对了，初中对于三角函数的定义是在直角三角形里面去定义的，是吧？你看， 比如说这个角叫做 cata， 这个叫做对边，这个叫斜边，这个叫临边。 回顾一下吧， sun cata 还记得是什么吗？对比斜， sun cata 等于对比斜。好， call sun cata， 临比斜，临比斜。我先写一下啊，复习一下。临比斜， tanthan theta 一 共三个， tanthan theta 等于对比零，对比零。 哎，我们高中角发生了改变了，这个角放在直角三角形里面，最多 零到多少度？零到九十度，我们高中说这个角可以是任意角是吧？可以是一百八，三百六、七百二，还可以是负的，那这个角度放不到直角三角形里面去了，那咋办呀？ 那这个角的三值靠三值摊着值怎么去计算呢？所以第二个， 既然高中角的定义发生了改变，所以我们要对他的三角函数三个的定义进行拓展。 高中我们在定义的过程中利用了一个工具，这个工具叫什么？叫单位圆，我们在单位圆里面去定义一个角的三角函数值。什么是单位圆？半径为一的圆？把圆心放到这来， 我让这个角的始边，哦，在这不是高中说的旋转产生角吗？哎，我转呀转呀转，它的中边转到这来了，这个角为二法，它与这个圆交于一个点， p， 是 吧？是，那它不是有横纵坐标吗？横纵坐标是 x y， 哎呀，那这个三而法你知道怎么求吗？ 回答，胡老师，三耳法，哎，你是不是还可以把它放到直角三角形里面去啊？是不是跟这边保持统一了？是的，那是不应该等于对比斜，是不应该是 y 比上一单位圆吗？半径为一的圆 cos 耳法呢？ 等于 x 比一是吧？邻比斜吗？是不是来继续摊着的耳法呢？ 等于 y 比 x， 可是这个角稍微一转，假如说我这个角矢边依然在这，我中边转到这来了，哦，噔噔噔噔，尔法变成它了， 咋办呢？我们依然是找到中边与单位圆的交点叫做 p， 这个 p 点的坐标依然是 x y， 它的定义依然是这个，这叫定义。 所以你看我们高中对定义进行了拓展，高中是怎么定义的？找到这个角的中边与单位圆的交点，看到没有？单位圆的交点是不是有横纵坐标两个坐标呀？ x， y 啊三一值就等于 y cosine 值就等于 x， 贪婪的值就是 y b， x 也是拿这个定义去做的，对它进行拓展，这是高中定义。那有人说胡老师一定得在单位员当中吗？ 啊，那不一定，我们教材对这个又进行了进一步的拓展，那如果不是单位员怎么办呢？ 所以你要把这个整个定义是怎么一步一步去拓展的？要把它的本质搞清楚，比如说我再给他画一个圆， 这个圆可不是单位圆了啊，这个圆的半径是 r 可以 吗？可以哎，如果是 r 的 话，你单位圆这里是一吗？就 y 吗？这就是 y， 这就是 x， 明白没有？明白，我今天不是单位圆了，难道要把这个圆单位画吗？那有点麻烦了吧。 依然矢边在这里，比如说找到中边与这个圆的焦点，它的坐标是 x， y 核心就是找到中边与圆的焦点 x， y 怎么去定义的？注意啊，这个角度此时叫而法，我们的三个而法是谁？ 我们的三个耳法等于 y 比一。刚才看 y， y 比一，一是不是叫半径？是的， y 比上 r， r 是 谁半径。所以 r 本质上等于谁？根号下 x 方加 y 方， 根号下 x 方加 y 方。看到没有？来继续 cos。 耳法等于谁？ x 比 r， 摊着它， r 法等于 y 比上 x， 如果这个半径 r 变成一了，就变成他的这种情况了。对，所以这就是整个三角函数定义，从初中到高中，他的一步一步的拓展，你看就打破了角 不一定是零到九十度之内角的这个定义吗？是不是当我的角？哎，你怎么转怎么转都无所谓，我这个角的三角函数值我都能给他求出来，我重点关注的是中边与单位委员交点的横纵坐标是吧？好，那我再问大家， 哎，你发现三值考三值摊着的正负取决于谁？有了定义之后，我们就有了第二个你需要关注的点，因为 r 一 直是正的嘛， 而永远都是正的是不是？你看这个角的三值，靠三值的正负取决于什么？取决于 x， y 的 正负问题。所以就有了我们将要讲的第二个考点，四象线 角度的中边落在四象线的时候，四象线对应的三个三角函数值的正负问题。接下来我们来讲第三个点，叫做 四象限三函数的正负问题。对， 就中间落在不同的象限，对吧？那么这个角的三值 cosine 值， tangent 值的正负问题。我们先来说我画三个，第一个是 sine 的， 第二个是靠三，第三个是摊枕头来，当中边落在哪些象限的时候，它的三值是正的。刚才说三的定义 是不是本质等于 y？ 如果是单位元的话，是不是就是 y， 或者说 y 比二吗？都可以先研究三三的正负跟 y 的 正负是不是保持一致。第几象限它的三值是正的， 一二吧，正，正，这里是负负。所以你的中边，这个角的中边不管转多少圈，一旦中边落在这两个象限，他对应的三一值是不是都等于 y 啊？对，他在这两个象限对应的 y 值是正的， 没有问题吧？没有，来敲三一值，敲三等于谁还记得吗？敲三等于 x 在哪里是正的，中边落在哪的时候，那个 x 值中边与单位圆的焦点横坐标是正的，它就是意思是吧？这里是正的，这里是正的，这里是负，这里是负，没问题吧？没有好，摊着它呢。 摊着的耳法等于 y 比 x， 哪里是正的？ a 不 错嘛，一三都是正的，这里是负的。所以你要对四象限三函数的正负问题要非常清楚来，塞在上面是正的，靠塞右面是正的， 摊着呢，在斜对角是正的。所以我们给大家总结出来，只看正，剩余的是不是叫负的，叫做腮在哪里是正的？腮上靠右摊对角完了 也会让你快速判断这副问题，你要很快速的会判断，而且你也可以通过定义去判断吗？对不对？对，腮伤靠右摊对角。这第三个问题。那么当你知道了这些东西之后来基础入门级的题目，第四个来了，例题，第一个， 我们今天的第四个模块啊，第一个例题，你能不能利用三角函数的定义给我求一下 零度，二分之派以及派以及二分之三派，他们所对应的三个三角函数值 就是三一零考三零，碳成的零，三一塔考三塔，碳成的塔。求他们对应的三个三角函数值。会吗？ 怎么求？拿定义去求啊，来，怎么走？先说零，先说零，拿定义去求。定义是在哪里？研究它的 定义是在单位圆里面，零度说明什么？说明我的起点在这里，我的中边是不是也在这里啊？对， 我的中边与单位元的焦点叫做屁，它的横坐标是一，它的纵坐标是零，我要求这个零度对应的三角函数值来跟上。三零等于多少？ 三零等于谁？等于 y？ y 是 几？零来 cosine， 零 靠，三零等于一。摊着呢？零等于 y， 比上 x 是 不是零？会了没？我再讲一个，剩余的交给你们作业啊。讲哪一个？这三个里面选一个吧。 比如说我们讲个二分之派吧，行不行？行，顺着讲，你自己看啊来。二分之派是啥意思？起点在哪？ 在这角度，二分之派说明中边是不是落在这了。找到中边与单位圆的焦点，这个是零一。 按定义去求啊。来告诉胡老师，三二分之派等于多少？等于它的 y 值是一。靠，三二分之派，这是定义啊，等于它的 x 值是零。摊着的二分之派， y 比上 x， x 是 谁？是零？分母为零，他存在不存在了？ 不存在。有的人只知道他不存在，不知道为什么不存在，这就是定义会了，不会了。好，这是第一个例题，我们来看第二种考法怎么考？你？接下来我们再来看定义 在这种题目里面应该怎么去考。就表面上看，他考的不是定义，实则你只要会定义，直接秒杀。来看题，题目说角尔法和角贝塔均以这个为实边看，这是角尔法的中边。这个蓝线呢？是角贝塔，也就是 脚背呢？是这个大脚啊，脚背的中间没问题吧？有，然后说三个耳法等于五分之四，我把它划到了单位圆里面去，那三个耳法等于五分之四，立马能得到。什么是五分之四 等于谁？三而法指的是谁啊？我们刚刚定义里面讲过了，三而法是不是应该指的是 p 点对应的 y 值啊？对，是不是这一段的长度是五分之四没问题吧？没有，就它的 y 值。哎呦，让我求 cosine 贝塔。 cosine 贝塔是在求谁？ 贝塔的考三值等于什么？等于 x？ 这个点的什么坐标？ 横坐标，是不是你这样咔咔咔咔给他打下来，是不是求的是这段长度？是不是这段长度？是。哎呀，那你看这段长度跟我题目已知的这一段有什么关系吗？ 他给了一个对称，对称的，对称能够得到的是这个角是不等于这个角，这两个角一样不一样？一样的。而且你没发现整个这半拉四十五度，整个这半拉四十五度，你俩一样的，是不是剩余的这边也是一样的了？ 有啥作用？哎呀，看你看到没有，这个角度和这个角度是不一样的，这个角度是不跟这个角度一样的，说明我能够得到这个角，你俩是不是相等的？对，发现没有？发现了，全等三角形吧，或者说相似三角形都可以， 是吧？你看这两个角是一样的，你是直角，我是直角，那剩余的这个角跟这个角不就一样了吗？对，是吧？那这个角对应的，你看这叫什么？对比斜斜是一吗？对比斜 是不是这个角的三一直？那这个角的三一直是不等于对比斜斜也是一八，那咱俩角度是一样的，咱俩的对边是不是应该都是一样的呀？对，能看清楚不？可以，所以说我们的 x 等于五分之四就完了。 会了不会了，就是利用了三角形的全等，或者有时候可能会用到相似的问题。 哎呀，你看这拿定义不难，很快能做出来，但是一旦给到你三角函数比大小， 或者说解三角不等式，你只拿定义去算，你发现很多都是死算，过程就比较复杂了，这个时候就要用到一个高级工具叫做三角函数线， 哎，你会三角函数线，你做题你发现事半功倍。所以呢？还不会三角函数线，也不知道怎么去训练他。胡老师把跟三角函数线有关的专项训练题目全给大家梳理出来了。哎，三角函数线是什么？怎么去用？ 会这个考试妥妥提高十分好不好？好好，如果你需要的话，你找我，我给你安排，我们这节课就到这里了，下课。

三角函数最大难点，考试常常考，做题常常错！ hello， 同学们好，一道题教会你！求三角函数 omega 的 取值范围问题。我是七七老师， 看到这道题已知 f x 等于 sine， omega x 减六分之 pi， omega 大 于零，若函数在区间零到 pi 上，尤且只有两个零点，求 omega 的 取值范围。其实函数不用纠结太多，直接把 omega x 减六分之 pi 看作是一个整体。例， ar 法等于 omega x 减六分之拍，那么这个函数我们就看成 sine 法。 sine 法这个函数再熟悉不过了，它的函数图像是这样的，我们把它画出来，画稍微长一点儿。 好，那么画出来的话是这样子的。这里换元我们要注意一个问题，换元之后要变现题目中 x 的 范围是在零到 pi 之间，那么我们换元之后， r 把的范围呢？就应该是在负六分之 pi 到欧米伽 pi 减六分之 pi 之间。 题目要求这个范围内，尤其只有两个零点，那我们对应图中负六分之 pi 大 概在这个位置。 好，那欧米伽减六分之在哪呢？我们就根据两个零点入手，这里有一个零点，这有一个零点，不能再多了。那么也就是说，欧米伽 pi 减六分之 pi 在 这里，他应该在第二个零点之后，在第三个零点之前这个范围内。那我们就能写出这样一个式子，欧米伽 pi 减六分之 pi 大于派，小于二派。好，这里呢要关乎到一个是否取等的问题，那我们来看一下，其中要求区间零到派，他是一个开区间。那回到我们这个问题，派和二派能不能取呢？看到图中，如果说我们取到派， 派取等的话， omega 派减六分之派等于派，那么此时是只有零这一个零点， 这个派是取不到了，因为他是开局也是取不到的。好，那如果说取二派的话，那我们来看一下 omega 派减六分之派，在二派这个位置，他是取不到二派这个点的，而他前面能够取到两个零点，所以说二派我们是应该能够取等的，一定要注意这个问题。 好，这就是我们求 omega 的 关键一步，也是最后一步了，那么我们最后求解出来 omega 的 范围呢？是大于六分之七，小于等于六分之十三的，所以呢，我们选的是 a 选项。 好了，你学会了吗？欢迎同学们在评论区投稿讨论，我们下期再见！拜拜！

还有三十天气末考试，期末考试一定要把这个题拿下，为什么？因为期末考试他必考。我们来看这种题怎么样快速出答案？已知，求它。那么这种题在做的时候哈，我给大家讲一个方法， 在这个椅子条件也好，结论也好，它出现的是什么？它出现的括号内是两个角，而这个括号内的两个角，不管是和也好，差也好，背水也好，能够出现定值， 两个角的话，不管是加减乘除哈，他能出现定值。那我们用什么样的方法？我们用整体代换。整体代换是什么意思？拿根绳把它捆起来， 我们所说的整体代换就是拿根绳把它捆起来，神圣不可侵犯。来吧，我们来看到底怎么样不能侵犯啊？我把这第一个括号看成一整体，把第二个括号看成一整体。 所以说在这里边，这个 a 对 着谁阿尔法减去一个四分之三派，这个 b 对 着谁四分之派减阿尔法。那么这两个角往那一站， 你会看到什么？你会看到他是个正的，他是个负的。换句话是什么意思？整体代换的目的地就是要削谁， 谁不知道把谁消掉。那么在这里边你不知道谁？阿尔法是几度知道吗？不知道，所以怎么办？消阿尔法来看怎么去消啊？它俩一加，把这个 a 加上个 b， 正的负的没有了，它俩放在一起，相当于是 负的二分之二，所以我要求的，哎，这个一的条件变成谁变成了 c， a 等于一个三，把它一个项 cosine b 定的是 cosine 的 负的二分之 pi 减去个 a。 既变偶不变符号看相线， 这是什么？是不是既变偶不变？在这个位置的话，我们用谁？用诱导公式，它是个 g， 所以 要变，变成谁变成 c a 负二分之 pi 在 y 的 负半轴去掉一个角度跑在第三项线，第三项线的 s 取负，所以它取负。 所以呢？答案去多少负的三分之一是不是很简单？清华考试把它拿下来啊？必拿分，你说这个分都丢掉了咋办？对自己不可原谅。好，这个题我们就讲解到这里。

三角函数求 omega 范围有两种解题方法，点个关注，跟着数学嗨课，学数学带你了解题目底层逻辑，让你轻松学会。 这个视频将带你学会三角函数中的一个重难点，就是我们求 omega 的 取值范围，这个考点在高考已经考了很多次了，所以大家一定要掌握好。 我们会讲五种题型。首先先讲一下题型一，就是我们的单调问题，就是看一下题，他说若函数 f x 等于上一欧米伽， x 加六分之派， 然后在区间负十二分之派到六分之派上面是单调递增的，要么求欧米伽的取值范围。首先这种题型啊，第一种方法就是我们同我们三角函数求单调区间的方法是一样的啊。我们先讲一法一，首先 求值域是不是给了你 x 的 范围，题目就相当于是求负十二分之派到六分之派，对吧？然后我要把括号里面的这一坨的范围也给算出来，是不是因为这个东西是单的递增的嘛，所以我就把左右两个短点就往里面带，就是负十二分之 omega 加六分之派 到六分之 omega 加六分之派，对吧？ ok， 然后我再把这个东西换成 t， 那 题目 就相当于我可以简化成什么呢？ y 等于上一 t 在 t 属于这个负十二分之 omega pad 加六分之 pad 到六分之 omega pad 加六分之 pad， 上面是单调递增的， 对吧？我就把它换成最原始的三角函数，对吧？那这个东西原本原本的单调递增区间是谁呢？是不是就是应该 t 属于负二分之派加二 k 派这个符号啊？然后到二分之派加二 k 派， 对吧，所以我得到了两个区间，那么这是我原本的和我现在题目给你的单对区间，是不是肯定下面的要比较大一点，对吧？所以应该是下面的要包含上面，所以应该他们符合的应该是这么一个关系，对吧？ ok， 那 这里我们就可以利用集合的关系，我们就可以列两个等式，不等式啊，就是我上面的左边端点肯定要比下面的这个端点要稍微大一点或者相等嘛，那么上面的右边端点 是不要比下面的就小于等于了，对吧？ ok， 那 这个东西我们就可以解嘛，然后去解出来之后应该是，嗯， omega 小 于等于，我看一下啊， 应该有个八减二十四 k， 还有一个是二加上一十二 k， 好 吧，然后这里的 k 啊，都是属于整数的，这里我就不去写了啊。 ok， 到了这里我们就可以代值了，因为步骤都很固定啊，然后下一步就代值， 代值代谁呢？我 k， 记住了啊， k 代的值要由题目的 omega 这个来决定，题目说了， omega 大 于零，所以我 k 本身可以代零一二三四，然后负一负二，负三负四， 对吧？那代入之后我要满足 omega 要大于零才可以，好吧，所以我代入，比如说我代入一个 k 等于零， 试一下，那上面就是 omega 小 于等于八，下面就是 omega 小 于等于二，可以，对吧？然后再带一个可以等于一，试一下 可以等于一，带一下应该就是，呃， omega 小 于等于啊，这个就不行了，因为一的话它就为负了，对吧？然后带负一，你们也可以试一下，我们看一下啊，如果 k 等于负一负一的话，上面是正的，对吧？那下面呢？又为负了？ 负一啊，带的负一啊就不行，所以我这里只有可能带 k 等于零，懂了不？这个只能自己去带啊，所以这两个东西我一算出来，所以可得 题目有个 omega 是 大于零的，然后这两个因为是不等式组嘛，对吧？所以我是不是应该取的是从小取小嘛，懂了吧，所以就出来了，这个就是法一啊，就是我们按照三角函数求值域的方法。 怎么求呢？就是我要你先求出来这个题目给你这个函数的单调递增区间，那是不是应该就是这么去算的？就是把它放在这个二分之派加二 k 派到二分之派加二 k 派之间，然后再把 x 去解出来， 对不对？ ok， 这里减一下，应该就是负的三分之二派加上二 k 派，然后再除一个 omega， 然后这边也是一样的，就同时先减掉个六分之派嘛，就是三分之派吧，然后加二 k 派，再除一个 omega， 懂吧？这是记住了，这是我本来的，然后思路就跟左边一样的，这是我本来 的单调递增区间。那么现在题目给你的是谁呢？是大于等于负一十二分之派， 然后小于等于六分之派，然后同样的这两个区间他也是有一个子期的关系，所以我还是可以列一个等式，就是不等式组出出来嘛，是不是上面的这个应该是比较大的，这个东西是不是比较大的， 对不对？所以它还是符合一个这样的包含关系在里面啊？好吧，所以我列等式一样的，就是 omega 分 之负三分之二 pi 加上二 k pi， 然后它就要比它要小，就是这样子的 对不对？然后右边端点就是三分之 pi 加二 k pi 除以 omega 和六分之 pi 是 不是 就大于等于了？然后一样的，你们也能解出来左边这个式子，然后再去代值，好吧，只是我习惯性啊，就是用这个法一， 好吧。然后接着我们讲第二种题型，就是零点问题。零点问题是高考已经考过的啊，也是经常会涉及到的一个题型。 首先他说已知 f x 等于向量， omega x 减去根号三倍的可向量 omega x 加 e。 首先看到这种题目对吧？我们先降降次，或者用辅助角公式，但这里我们没办法降，所以直接可以用辅助角公式。 我就先把它合并呗，对不对？所以合并之后应该就熟练，之后应该就是两倍向量的 omega x 减掉一个三分之 pi， 再加一个 e， 对不对？所以它说它在上面只有五个零点 o， 肯定它等于零呗。 然后这个数字它其实就会变成上以欧米克 x 减掉三分之派，然后等于负二分之一吧，所以题目就还变成了它在零到二派上，嗯，只有五个零点， 对不对？然后我这里就还是用法一的那种方法，好吧。所以 x 它是属于零到二 pi 的， 所以括号的范围，括号就是 omega x 减掉三分之 pi 的 范围应该是属于，嗯，负三分之 pi 到二 omega pi 减掉三分之 pi， ok， 题目就变成了， 嗯，把这个东西换成 t 啊，写的详细点，所以就变成上一 t 等于三分之一，在 t 属于这个负三分之派到二二欧米伽派减掉三分之派上有五个，对吧？然后我们就可以画个图去理解了啊， ok， 所以 从负三分之派开始，应该是这样子的吧， 对吧？一直到后面嘛， ok， 呃，这是负三分之派啊，负的三分之派。 ok， 然后要有五个零点，然后等于负二分之一，要，等于，对吧？那负二分之一在哪里呢？我不知道，我先画一条线， 我另这一条线就是 y， 等于负二分之一，好吧？然后我们再去求一下，然后上引负三分之派， 我们先算一下这个值啊，它万一等于那个负二分之一呢，对吧？然后我们会知道啊，上引就是上引负的三分之派，其实它就是负的 上引三分之派嘛，就上引六十度，应该就负的二分之根号三，对吧？所以这个点应该就是 负二分之二三，把一些特殊点都标一下啊。 ok， 那 么我第一个零点是不是我这个点就算我的第一个零点，然后数呗，然后第二个，第三个，第四个，第五个，对吧？第五个在这里，这是第五个，然后这是第六个，然后这是第四个， 对吧？然后我们就把这些值是不是都能标的出来，对吧？然后我们要用到的啊，其实就是这个，我们先把第四个这里标一下，然后第五个这里也标一下。第五个，这里应该是几啊？看一下啊，有几个周期？一个， 嗯，应该是六分之二十三派吧，这里应该是有很多同学可能这里不太会算啊，这里我就写详细一点，就比如说我把第一个零点先标出来，第一个零点应该是负的六分之派， 然后注意了，他到第三个的时候是不就是一个周期，然后再到第五个的时候就第二就是第二个周期嘛，对不对？一个周期是二派，所以两个周期应该是四派，所以就是负六分之派加上一个四派，所以就是六分之二是三派，是这么来的啊， 好吧，然后这个点，这个点去算的时候也有技巧，我们可以用这个对称轴去算呗，假如你那个点就不想去算了啊，我用对称轴，那这个我们知道，第一根这里 应该就是二分之派吧，然后这里应该就是二加一个二派嘛，应该就是二分之五派嘛，所以这里应该就是二分之九派，所以这两个点就第五和第六个的这个坐标相加一个等于九派， 对不对？所以应该这里就是六分之三十一派，懂吗？所以 计算这个有很多方法去可以算的出来的啊。所以到了这里啊，我们就会知道，我左边端点确定了，那右边端点它要包含五个零点，那右边端点我就可以知道，二 omega pi 减掉三分之 pi， 就是 我右边这一条中指线，应该是不是要在第五个零点的右边呢？ 对不对？所以它一定会大于六分之二是三 pi， 那 么我可以到第六个吗？ 我是不是如果我的右边，你看我右边的中直线，如果在这里，但是我右边这是一个不含等于的括号，所以我第六个零点也取不到，所以我是不是要小于等于六分之三十一派， 对吧？所以是左边不能去等，右边可以去等啊，所以取等的这种时刻，有的同学也是搞不懂的啊。好吧，然后我们就能算出来， omega 应该是大于十二分之二十五的，然后小于等于四分之一十一的，好吧，所以这个题目不就出来了， 然后你们感兴趣的可以自己用那个法二去做啊。好吧，只是法一，因为我们可以用最原始的三角函数去理解，就会简单一点。然后就第三种题型，那么第三种题型这里有了高阶的，是不是先把它 去用辅助角，应该就是两倍的？我用 cos 啊，就是 omega x 加六分之派了，然后再加一个 e， 然后他说他在这个上面存在最小值，但无最大值，你看怎么做啊？我还是一样的， x 属于零到二分之派，那么我就能知道括号的范围了吧，就是 omega x， 欧米伽 x 加上六分之派，应该是属于六分之派到二分之欧米伽派加六分之派的，所以题目就转变成了什么呢？就就会转变成 y 等于两倍，可算以 t 加一，再 t 属于六分之派到二分之欧米伽派加六分之派上面的， 然后就到了老套路呗，然后他说他在上面存在最小值，但无最大值，对吧？我们可以画个图去理解吗？因为这个加一我们可以就不要了啊，因为加一就是上下平移吗？跟我的最值的 x 是 没有关系的好吧，然后画一下， 这是可上移的啊，可上移， ok， 六分之派在哪里呢？这是二分之派，那六分之派一定在这里就是六分之派， ok， 那 么他说存在最小值，但无最大值，所以就看我们右边短点能到哪里嘛，对吧？那最小值我们是不是先要把它给画出来，应该这里就是派，对吧。然后下一个最大值呢？下一个最大值应该就是二派， 也标一下， ok， 那 么一样的道理，那我右边是不是肯定右边中指线肯定要在 pad 和 pad 之间，然后我们再去考虑哪边可以去等呗，对吧？所以就是二分之 omega， pad 加上六分之 pad。 应该是 我先等一下去考虑取等，反正应该是派和二派，对吧？然后同样道理，我这个区间的右边是一个小括号，它不含等于号，所以它肯定要比派要大，但是不能取等，如果取了等，这个派就取不到了，所以同样道理，二派这里可以取等，所以算出来 omega 是 大于 三分之五，小于等于三分之十一的啊，好吧，所以你看熟练之后就很快了。然后第四种题型就是对称性的问题，就是对称轴啊， 也是一样的。嗯，他说可上以 omega x 减去四分之派，在区间零到派上面尤其仅有三条对称轴，求 omega 的 取值范围，那还是一样的嘛，对吧？那这里我还我用法二，好吧，给你们讲一下， 法医刚讲了几题了啊，那么这里我们就先可以把它的对称轴，对吧？对称轴就 k 派，我们可以算得出来嘛，所以算出来应该就是 x 等于看一下啊，应该就是 四欧米伽，然后上面应该就是一加四 k 倍的派， 对吧，应该是没问题的，所以我就算出来我这个东西本来的对称轴应该是他，对吧？然后继续呗，然后他说他在零到派上面尤其仅有三条对称轴，所以就相当于一 加上这个四 k 的 派，除以四 omega 就 要肯定要他是大于等于零嘛，然后要干嘛要小于等于派上有三个 k 要符合，对吧？就是它要有三个减，那我是不是就可以相当于有三条对中轴了？就是比如说 k 等于零啊， k 等于一啊， k 等于二， 对不对？ ok， 然后去呗，然后去把它算一下，算一下应该就是一加四， k 就 会大于等于零，然后小于等于四 omega 吧，你看是这样子的，然后它说它要有三个减，这个 k， 记住了，这个 k 是 属于 整数的吗？那他要是有三个减，那只有可能 k 是 等于负一就不行了吧？负一的话他为负的吗？所以零可以，一可以，二可以，没问题吧？应该是可以的，如果零带进去就是 k， 如果等于零呢？就是零是大于等于。呃，一小于等于零。嗯啊，这是四 omega， 四 omega， 看错了，应该是这样子的， 对吧？然后 k 等于一，应该就是零小于等于五，然后小于等于四 omega， 然后 k 等于二，就是零小于等于九吧，然后小于等于四 omega， 然后去解出来不就可以了， 对不对？然后应该解出来看一下啊。这边就是欧米伽会看一下就会大于等于四分之一吧，然后下面呢？欧米伽大于等于四分之五，下面就是欧米伽大于等于四分之九， 没问题吧？嗯，所以一起算出来，结果应该就是 omega 大 于等于四分之九了，对不对？ ok， 那 是啊，你算的这里完没完？没有完。为什么呢？是不是我 k 等于三就不符合了， 对吧？那不符合，我是不是也要算一下？所以把 k 等于三代入，应该就是零小于等于一十三，对吧？ 嗯，然后再小于等于。嗯，四欧米伽，那这个东西算出来应该就是欧米伽要大于等于四分之一十三， ok， 那 么这是它符合的时候， 那不符合的时候呢？是不是欧米伽要先把这边加上啊？是不是要小于四分之一十三呢？ 对不对？所以你看一样的出来的，所以这题会比前面的题都要难一点点，对吧？因为他出的只有三个符合，那这个东西就不符合，对不对？ ok， 是， 嗯，首先这个题啊，看到这个东西，这个题目就要将次了，对吧？那将次看一下啊，应该是等于二分之根号三倍的上以二欧米克 x 吧，然后再加上二分之一倍的口上以二欧米克 x， 再加一个一， 就用那个二倍角啊，然后再用辅助角，公式应该就是上引二 omega x 加六分之派，再加一个 e 啊， ok， 那 么这个就相当于变成了它要在零的派上面只有一个零点和两个最大值点，所以这个就是把它们的去综合起来了， 对不对？所以算法肯定是一样的好吧，所以一样的 x 属于零到 pi， 那 么二 omega x 加六分之 pi 应该是属于六分之 pi 到二 omega pi 加六分之 pi 的， 对不对？它只有一个零点呗， ok， 那 是不是就变成了 y 等于三，以 t 加一等于零，在 t 属于六分之派到二欧米伽 x omega 派啊？加六分之派上面只有一个零点， 对吧？ ok， 然后它还有个两个最大值啊，我们先先把它算出来啊，所以它就变成上一 t 要等于负一，对吧？然后我们可以在右边画一个图去理解一下， 所以竖形结合，竖形结合是非常重要的啊，然后从六分之派开始这样子的， 对吧？然后他又等于负一，那么负一就是最下面这个，对吧？这个就是负一嘛，这个就是负一嘛，对吧？ ok， 然后这个点是六分之派， ok， 第一个零点在哪里呢？第一个零点在这里吧，应该就是二分之 三派吧，因为他等于负一的点，第一个在这里， ok， 那 最值的我们现在可以考虑了，最值的话就是这里会有个最值，就是二分之派， 对吧？然后这里有个坠子是二分之五拍， ok， 两个坠子都画出来了，然后，但是啊，第二个零点在这里啊，这是第二个零点， 所以我这个右边这个端点肯定不能超过这个第二个零点，不然他就不会只有一个零点了，对吧？所以我们只用把这个第二个零点也表示出来，应该是二分之七拍吧，他的是二拍吗？ 对不对？所以一样的，那右边区间，所以就可以有个二欧米伽派加上六分之派，那他肯定要大于这个二分之五派， 这是我的第二个最大值，这是我的第二个最大值嘛，等一下再考虑。等于啊，然后小于那个二分之七派吧，然后我们再看，这个是个小括号，这里，对吧？所以左边这里不能取，等，右边这里可以取，等， 懂了吧？然后去解出来 omega， omega 应该是大于六分之七，小于等于三分之五的，好吧，所以这个视频就相当于把一些常考的求 omega 范围题目都交给你们，你们大家一定要掌握好啊，因为这个东西是高考的一个 考了很多年的一个知识点，好吧？好的，然后这个视频我们就讲到这里，然后或许我们也会发视频去讲一些高考的场考知识点啊，一些重难点，好吧，大家点个关注。

咱们高一上的家长同学们大家好啊，这个现在咱们这个马上到期末了，咱们人教 a 版的，是不是很多的同学们已经到了三角函数这块了，是不是？张老师给你们说一下子，咱们一直到期末，三角函数这一块大家想学好， 我们要学会哪一些东西？从前到后我们要学会哪一些东西啊？他不是说光背的是不是？现在是不是发现我现在我光背公式有些题我还是不会做，是不是？那我应该到底要怎么去学会这些知识点？要学会这些知识点哪些的用法啊？ 那首先第一块我们先从啥呀？针一角 这个东西，我就发现脚这个东西大家都发现，注意一下东西就是转圈嘛，脚的中边这个转圈， 然后转圈怎么样去表示我们头一次注意啊， k 派二 k 派二 k 派， k 属于 z， 这是个啥意思？二 k 派是啥东西？实际上写成什么？ k 乘以二派， k 派呢？ k 乘以派，这是啥东西？ 你们要学会去理解，把这个二 k 派和 k 派理解成干啥？怎么去转圈？二派是啥意思？原地转一圈是不是？ k 赛是整数？啥意思？转整圈是不是 因为转圈的话，我转整圈意味着啥？中边回原位是不是啊？对吧？而 k 乘以派呢？所谓的加派呢？相当于是啥？我一个角 转多少圈？派是多少？半圈是不是？转半圈是不是？转半圈的整数？也就是一圈里头转两转，几次转两次，是不是啊？大家要记着要理解这个东西啊， 然后大家要学会的东西无非就是啥，我怎么样，我在任意角的时候给我一个任意角，我能判断出核心是啥，这里的核心是啥？判断角中边的象限， 无论它以什么形式给你的啊，给直接给我一个角，或者给我一个什么什么加 kpi 啊，加二 kpi 啊，让我们就把它的中边到底给我画出来，到底是什么样子啊？这一块是你要大家需要注意的，因为这块东西你搞不定的话，你后边三角函数 相切，你判断不了是吧？然后这是第一块，第二块的话就到哪了。三角函数定义是吧？ 三角函数定义塞口弹， 这个塞口弹记着点啊，在哪个里头画出来？在单位圆里头学会画出来它 一个角中边是吧？单位圆里头，单位圆半径为一啊，角 c， 它塞口塞弹进， 这是干啥呀？尤其这这是弹性，它都无所谓，主要是塞口干啥？我要构造出三角形来，我要知道三角函数线 在哪，然后这样子的话，在象限里头做的话，这样子我就知道了啊，用三角函数线，我一下子就很直观的理解出来 角象限和三角函数值正负的这个关系了，你看这里头啊，塞塞它，口塞塞它啊，二象限，这一象限，三象限，四象限，我塞的角在塞的角，在第二象限的时候，塞沿值还是为正是吧？对应 y 轴正半轴就是正， 口塞沿在 s 轴，负半轴啊，口塞沿为负是吧？ 你把这些东西理解了，然后我们三角函数值这块儿还有一个啥呀？我们三角函数这块儿的东西还有什么东西？ 一个最重要的东西，两个公式，其实就两个公式， size c 比上 cosine c 等于弹性 c 是 吧？第二个是什么？塞方加口方等于一是吧？ 我们要把这个做了，这个东西它们两个结合起来之后， 比如说老师，这两个公式太简单了，核心是干啥？切弦互化， 弦切互化， 还有一个啥？构造分是做，其次是算值， 干啥？二次 sin r 法， cosine r 法，然后加上什么 cosine r 法， 给你个弹性 r 法，那这东西怎么算？塞方 r 法加上 cosine 方 r 法，利用这个东西它等于写 e， 然后干啥？上下同除。 cosine r 法我给你，比如说我给你弹性 r 法，让你求谁求？这个 是吧？这是 同角，三角，三角关系这块，然后紧接着还有一个啥，再往上右导公式 啊，既变不变符号看象限是吧？我刚才上一个前一个已经，是不是我已经判断好那个象限了，那现在开始什么了？我要开始玩右导公式了，是不是 三幺二的话加二分之派是吧？等于啥？积变偶不变积是什么？积偶是指的是什么？我一个角加的是什么？这个角我当第一象限角，这个流程就是啥？这个角我作为一象限角， 然后加的加减的这个东西是谁啊？是二分之派的积偶倍数，是不是啊？然后判断一象限角加减积偶倍数之后， 这个角的中间在哪个象限，是不是我们前面说了你看见没？你前面学完了你后边才能学，看见没有，什么叫支点的衔接，是不是啊？然后说鸡变偶变 鸡，偶首先变的是啥呀？名是不是塞口？他们是一对的塞口弹弹弹进的，口弹进的是吧？对应的名是吧？变名变号不？ r 加二分之派， e 象限角加个二分之派是不是加个直角啊？ 正向加个直角逆时针，是不是啊？二象线了，二象线三也为正，是不是刚才前面那个讲讲的是不是啊？二象线三也为正，所以说呢啊，变名不变号是吧？三也还为正嘛，对不对？ 偶不变的一样的。核心就是啥？首先他基偶这块好判断，我变名的时候变名变名不变名啊，这个东西是二分之派除以二分之派是基是偶。这个很简单，核心就在于这个符号看象限，首先你得判断出这个角为 一象，限角的时候加加减这个二分之派的奇偶倍数之后，它的中边在哪一个象限，你得判断出这个来，然后在这个象限里头原名的这个它到底是正是负，往后边一写就完事了，是吧？ 这是诱导公式，然后诱导公式的用法，用法是反着用，很少有正着考你的，都是凑干啥。给你一个角让你求角，比如说我给你一个赛耶 r 法减去六分之派，然后让你求一个什么， 再利用什么同角同角关系式让你求什么？那个呃，头赛耶 r 加三分之派， 你要自己去找到他们之间的这个关系，是不是跟二分之派有多有什么样的关系？是加派啊，加二分之派啊， 是吧，你要自己去凑这个角之间的关系去，你要自己先把这个角算一下子他们之间有什么样的关系，然后找到对应的月老公式，然后再去啥求对应的值去。 也就是这个题啊， r 法减六分之派和 r 法加三分之派是啥意思？这个角如果是 r 法的话，这角如果是 theta 的 话，那 theta 加上六加上二分之派是 等于这个角是不是啊？那也就是说这个角我换出来是啥？是 cosine theta 加上二分之派这个角是什么？ cosine theta 给塞塞的让你求口，塞塞的加二十派，这个东西变名不变名，变号不变号啊。给塞塞的求复，塞塞的 看见没有？你要自己去凑，去 把一个角，你甭管它啥东西，把它当做整体之后，你看这两个角之间它们有啥样的关系， 是吧？一下就能换，换出来，换出来之后，然后这个月老公式是不就出来了？然后再利用月老公式把它换出来，这样子是不是就好丑了？我到底是要求这个是你看给 size 求复 size 可以 是给 size 求父口， size 也没问题是吧？也能求是不是？ 这是月老公式的？下一块儿咱们再说一块儿。 我们刚开始学啊，咱们现在学东西的时候就是这些基本的东西，你得先知道一下子是吧？来 sin， 然后下一块到哪？ 三角函数性质，三角函数性质这块的东西啊，咱们都是从基本的啊， sin x 图像， cosine x 图像，贪心的 x 图像的基本性质 有哪些呢？定域值，域 最大值最值了。然后啥呀？对称轴，对称中心， 零点，对吧？这两个基本上是一样的。对称轴和中对称轴和零点这个是一样的啊，对称中心和零点这两个是基本上是一样的，是吧？然后 我只要不做上下平移，对称中心和零点就是统一的，是吧？然后还有啥呀？单调曲线， 先熟悉这些它们对应的这些基本的性质，然后干啥？做平移伸缩， 先做平移，研究平移以后的就是，那就是什么 sin x 加 f 是 吧？ cosine x 加 f 是 吧？一层一层做是吧？然后干啥啊？ y 方向上做伸缩的话， 你这个不影响啥，是不是？然后我现在，然后再是啥？再往下走是 a 倍的赛欧米伽 x 加赛干啥呀？ 在 x 方向上做伸缩，也就是说把 f x 变成什么 f 二 x， f 三 x 这种东西啊，然后它的定域值，它的什么这个值域啊？周期啊，对称轴，对称中心怎么样去变化？从函数性质那里头去研究它们去， 我们函数性质在前面，是不是？前面讲了平行伸缩是不是左加右减，是不是啊？从这个角度去做，他们去啊， 去研究函数的性质，去研究这个三角函数的性质，别硬背啊，因为他们出题的时候是啥？这些东西和题里边这些参数之间是不是来回去给，让你来回去推啊？ 给你一个，让你求这些，给你这些东西，让你求他去，是不是啊？这个里头还加一个周期重要的东西啊，但周期其实是最好求的，是吧？ 对吧？然后这里头周期的话，我们在题目中给条件的时候都是啥啊？周期怎么样？用对称轴和对称中心他们之间的 这个位置来表示出来，相邻的对称轴就是半个周期，是不是啊？我只是赛口函数，是不是？相邻的对称轴就是半个周期，是不是啊？对吧？相邻的对称轴和对称中心就是多少啊？四分之一个周期，是不是啊？也就是对不对？ 这样子，是不是？相邻的对称轴，这是半个周期？相邻的对称轴和对称中心，这是四分之一个周期，是不是？哎，是吧？相邻的对称轴和对称中心，这是四分之一个周期，是不是啊？ 然后再通过平移和伸缩，我们函数性质的方东西 f x， 我们 f x 怎么到 f x 加 a 呀？然后 f x 怎么到 f 二 x 啊？ 平移伸缩怎么去做的呀？啊？我们说了所有的平移和伸缩都是对 x 进行操作啊， 要把这些东西搞清楚啊，这些是基本的东西，你们要搞清楚啊，三角，三角函数这些基本东西脑想把三角函数学好，先把这些东西先弄好了。你们说老师那三角函数和三角函数变换的东西，那是后头的东西了，你们先把这些东西先吃掉去， 然后三角函数变换是干啥？用三角函数变换是啥？三角函数变换用三角函数变换的方式 和差背角公式往这个形式上去推，我们现在说的是三角以函数的状态 从塞，从这个东西通过平行伸缩到这，这是另外一两，这是两条路线啊，先把这些吃掉去，听明白了吗？啊？