宁夏中考反比例函数练习题

今天我们要讲一道关于反比例函数的例题，我们来看一下这一道题，已知 a、 b、 c 三点的坐标， d 为 b 点。关于 a、 c 的 对称点， 我们就可以得到这个 a、 c 是 它们的对称轴。反比例函数 y 等于 s， 分 之 k 的 图像经过 d 点，我们来看一下问题。第一题，证明 四边形 a、 b、 c、 d 为菱形，证明它是菱形的话，我们就要证明这四个边都相等，那我们来看一下第一题，我们已知 a 的 坐标是零四， b 的 坐标是负三，逗号零， c 的 坐标是二，逗号零，那我们就可以得到 a、 b 等于根号四的平方，加三的平方等于五， b、 c 等于二，减去负三的也等于五， 那我们还知道 d 为 b 点。关于 a、 c 的 对称点，那我们可以得到对应点到对称轴上任意一点的距离相等，也就是说这个 ab 等于 ab， 那 么 ab 我 们求出来是五，也就是等于五， 然后 c 到 d 的 距离跟 b 的 距离也是相等，那我们也可以得到 c， b 等于 c， d 也等于五，那因此我们得到了 a、 b 等于 b， c 等于 c， d 等于 d， a， 也就是这四个边都相等，所以四边形 abcd 为菱形。 那我们来看一下第二道题，求反比例函数的解析是 y 等于 x 分 之 k， 那 我们就要求出 k， 那 我们怎么求出来呢？我们就通过代入一个坐标来求出这个 k， 我们来看一下，我们从上面的题目中可以得到四边形 a、 b、 c、 d 为菱形，那我们就可以知道 a、 d 是 平行于 bc 的， 那我们已知 a、 d 等于五， a 这个点的坐标是零多少？四，我们可以得到 d 的 坐标就是五多少四，那我们代入 y 等于 k 分 之 s， 就 可以得到 k 等于 s， y 等于五，乘以四等于二十。所以我们反比例函数的解析式就得出来了， 等于 y 等于 s 分 之二十。那我们看一下第三题， 我们已知 n 在 y 等于 x 分 之 k 的 图像上，也就是这里，它在这上面，那么点 m 呢？又是在 y 轴上，在这里我们知道 ab， m， n 可以 构成一个平行四边形，让我们求 m 点的坐标，那这道题我们需要分三种情况来讨论。第一个情况是 m 点为对角线的时候，那我们来试着画一下，我们在这里设一个点 n， 这里 设一个点 n， 我 们来连接一下它，大概是这样的一个角 a， m 是 它们的对角线，然后我们知道了，我们由题目可知呢，我们的 a， b， m， n 为平行四边形， 那平行四边形的性质呢？是对边平行且相等，那我们就可以知道这个 a 点向右移动三个单位，可以得到我们的点 n， 那 么 b 点向右移动三个单位，就可以得到我们的点 m， 那我们可以得到 n 点的横坐标呢？就是三。 那又因为呢， n 点，它是在 y 等于 x 分 之 k 的 图像上，也就是 y 等于 x 分 之二十的图像上，我们代入 x 等于三的时候，可以得到它的纵坐标，就等于 三分之二十，我们得到 n 的 坐标是三，逗号三分之二十，那我们求我们的点 m 的 话呢，我们就利用这个平行四边形的性质，就是 n 移动了多少个点，那么 b 也就移动了多少个点，从而得到这个 m， 那 我们通过他的这个 n 点的坐标可以知道， a 向右移了三个档位， 那他向上呢？又移了我们三分之二十，减去四三分之八个单位的 得到了这个点 n， 那 么我们的点 b 通过平行四边形的性质也可以得到，他也是向右移动了三个单位，向上移动了 三分之八个单位，得到的点 m， 我 们就可以得到 n 点的坐标，就是零三分之八。 那么我们的第二种和第三种情况也是同理的，那我们第二种情况呢？就是 a， b 为对角线时， 那么我们通过上面的方法我们就可以得到， ab 为对角线时， n 为零，逗号负三分之八。 b， n 为对角线时， n 为零，逗号三分之三十二。 讲完今天的例题，我们还给同学们准备了一道相似的例题，那么同学们根据我们今天讲的关于反比例函数的知识点下去试一下吧。

今天这道题是昨天那道题的升级版，这道题的含金量比较高，这道题呢，而且还运用到了呃反比例函数与 相似三角形的结合，所以咱们来看这道题。如图，直线 y 等于四分之一 x 与反比例函数 y 等于 x 分 之 k， 这里 k 不 能等于零，交于 a 等坐标是 m， 逗号 n， b 两点过点 a 做 x， 轴的垂线与过点 b 垂直于 y， 轴的直线交于 l， 交于点 c 这里。且三角形 a、 b， c 的 面积为八点 e、 f 是 第一象限内反比例函数。图像上两点设 e 的 坐标， e 的 横坐标为 a， f 的 横坐标为 b， 这里呢？ a 大 于零，小于 b， 这里 b， 而且要小于 m 是 比较角，这里角是 e， a， f 是 这个角。画出来还有角 e， b， f， e， b， f 是 这个角的大小，那观察这图，这要求的这两个的大小关系， 比较这两个大角，是不是这两个角离得比较远？那这里两个角离得比较远？那咱们首先也要把这些咱们已知的条件也是这样分散的，所以咱们还是要聚拢一下。首先呢，咱们这里有一个 a b 这条线段，它过原点时，也就是 y 等于四分之一 x， 对 不对？ 反比例函数这个 k 不知道，反比例函数这个解析式不知道，所以咱们现在就要去求解这个反比例函数。先把这个反比例函数的解析式求出来，咱们再来看。首先呢，这里 a， 它的点图中 坐标是不是已给？呃，题目已给出了 a 坐标是 m 多少 n， 这里 m 多少 n 是 不是？一般的话，这儿过来做垂直，这边过来做垂直，是不是 m， n 等于 k 啊？ 那 n 它不就等于 m 分 之 k， 那 n 等于 m 分 之 k， 那 咱们干脆把这个点 a 里面的这个 n 带进去，也就是 a 的 坐标是 m， 读好 m 分 之 k。 首先它这里是不是 ab， 它是过原点的一个正比函数啊？那咱们 看发，发现这不是一个中心对称的吗？中心对称，也就是把这个图形旋转一百八十度，他还是原来的图形， 所以这个就中心对称，那中心对称，那这两个点他们的横纵坐标也是互为相反数的，因为嘛，这里他们是不是一个在一相切，一个在二相切，所以互为相反数？所以 b 的 坐标也就是负 m 得号负 m 分 之 k， 其中他是不是给出了 abc 的 面积为八呀？标出来八对不对？ abc 的 这个面积它是等于八，所以呢，这一看就是他说了，这是过垂直下来的平行，所以这里 角 a、 c、 d， 他 是不是等于九十度？等于九十度？那这个面积是不是 b， c 乘以 a， c 再乘以二分之一，就是这个面 a、 b、 c 的 面积等于八， 所以咱们先把 a、 c 给搞出来， a、 c 这里他都是过来做垂直的，而且这里还中心对称，中心对称，这里这条线段是等于这条线段。呃，这个图形画的不太标准， 那么 a c 它是不是等于 m 分 之二 k， 也就是二倍的 m 分 之 k， 然后这里 b、 c， 它是不是就等于二 m 呀？因为这里的 a， 它的横轴是 m， 也就是三角形 a， b、 c 的 面积就等于二分之一乘以 a， c 乘以 b， c 就 等于八。大家换一下，也就二分之一乘以二， m 再乘以 m 分 之二， k 等于八，这里解出来 k 等于四， 看，因为这里的 m， m 都抵消了，所以咱们解出 k 等于四，这里的 y， 所以 这个底息式也就是 y 等于 k 分 之四， 那有了这个 k 分 之四了，那咱们现在可以把 ab 两点的坐标求出来了，是不是四都好一和负四都好负一样， 那现在咱们只有两个点的坐标，两个解析式，而且还有个面积，它现在让判断这两个角的大小，那这怎么算呀？ 它们这些都是在这么零零散散的，所以咱们还是要把它们给汇聚起来，那你看吧，首先它让比较这两个角的大小，那咱们先找， 那这个角是不是在这个大角里面呢？这个角是不是在这个角大角里头？那么咱们可以首先就是利用到， 呃，首先咱们可以利用到相似三角形，因为这里利用到了相似三角形，他们这里都包含角嘛，那这里都包含角，咱们就可以，首先咱们先试试西双四三角形，他们这几个角可不可以求减， 那做相似三角形呢？它首先是做平行线，对不对？最主要的像三角形，它最主要的是不是就是平行线，有了平行线它才有相似嘛？ 所以这里咱们可以先做这个关于 x 的 平行线，咱们先试试 a， 这边是平行线，对吧？ a 这里做完平行线，这里这是点 m， 他做了这个平行线以后发发现没？他这就是这里头底下的，他这里和这全等了，那咱们在 有 a 的 这个垂线，还有这个这垂线，那这还有这个 b 点，那这里咱们是不是可以看出来这是有是个两点两垂线， 那两点两垂线，那么咱们再把这个 e 还有这个 f 都给垂下来，这里两点两垂线，咱们就可以再利用这种垂线，然后构构造成这个相似三角形来求解码。 首先呢，这里咱们这有点 e， 还有 f， 他 说了 e 的 横坐标是 a， f 的 横坐标是 b， 对吧？那么有了解析式这个反比例函数的解析式，那么 e 的 坐标是不是 a 都耗 a 分 之四？ f 的 坐标是不是 b 都耗 b 分 之四？ 那有了这里 e f， 那 咱们这里过来做垂足，是一个是 n， 一个是 q， 这里它们这两个交点是一个 m 和一个 n， 那这里的 n 它是不是就等于都 a 都好负一啊？为啥呢？这里的 n， 它是不是这条线段？ 这条线段也就是向上平移的，才到了这个 e 的 这个横坐标的这条线段，所以它这个 n 的 横坐标不变，前面这里的 b， 它的这个纵坐标不变。前面这里的 b， 它的纵坐标也就是 a， 都好负一， 那这里 q 呢？还是同理可得 q， 也就是 b 都好负一，那这里 m， 它是个焦点吗？焦点它还是在这条上面，也用这个往下平移了，所以横边是 a， 这里还是一，因为他都是在第一象限，也就 a 逗号一，这里 p 也是一样的，是 b 逗号一，那咱们有了点子坐标，现在咱们这里的线段长度是不是也可以求出来了？ b n， 那 首先咱们可以先找到咱们已知的， 首先咱们可以咱们做这个辅助线，是不是要找相似三角形啊？那找相似三角形，咱们可以先观察进去，那这里的可以先观察这里 e b n， 感觉它是一个， 也不是，感觉这里是咱们直接过来做垂，所以咱们 e、 b、 n 首先可以跟他还有 e、 m、 a， 咱们先试试他们可不可以相似，还有这个 f q、 b 能不能和这个 和这个 f p、 a 相似？为啥呢？因为这里假如说它们相似啊，这里假如它们相似了，这是这个角，这个大角刚画出来，这个大角是不是等于这个大角呀？那这样还有这个 f b q 和这个 f、 p、 a 这两个相似，是不是这两个角又相等？那这两个角相等，这两个角相等肯定也是相等的，对吧？ 那么所以咱们首先咱们有了这个明确的思路了，咱们现在可以先把这个线段求出来，然后再去证明它们的这几个全等， 这里要利用它全等，是不是要用到 b n， 像要利用到它们相似，要用到这个 b、 n， 还有这个 e、 n 呢？那首先咱们要把这个 b n 和 e n 这两个点这两条线段求出来。首先 b n， 它是不是这里的 b？ 知道这是四了，这是 a 了，那这样他们这才现在是不是四减 a 啊？这个 e、 n 还要再找到这个 e n， 对 吧？ e n， 这是这条纵的，是不是 a 分 之四，这是一，也就是 a 分 之四，再加上一，这是 e n 的。 哦，这里还咱们是不是还要需要 em 啊？有了 em， 那 它这里 em， 它是不是总体这一段是 a 分 之四，然后这又是一 em， 也就是 a 分 之四减一 am， 它就是四减 a a m， 也就是这是四，再减去一，那有了这四条线段，咱们现在可以看看它们的比值相不相等。首先这里是不是可以先看到这里 b n 比上个 e n， b n 比 e n， 它们是不是 b n 是 不是四减 a， 比上个 e n 是 a， 分 之四加一，再比上我的 e m， 因为咱们刚才说让搞出这个这两个相似，还有这个 e m 比上了这个 a m， 它就是 a， 分 之四减一比上 am 就是 四减 a， 它们两个刚好都化简出来都是 a， 所以 它们这比都是相似的，都是等于的。也就是说咱们现在就可以证明出来了，刚才要求的 e n b 和这 e m a 这两个三角形相似，那刚画的这两个大角是不是也就两个相等了？ 那有了这两个大角相等，那咱们再继续同底这边是不是就可以证明出这个 f q b 相似于这个 f p a 啊？那这，那咱们刚画的这个小角 是不是等于这个角了？那有了这两个角，那在这个大角再减去这个小角，这大角减去这个小角，是不是就等于这两个角？ 因为他们这里的 e b n， 他 是不是等于这个 e a m？ 咱们这里都是减的嘛，也就是 e b n 角 e b n 减去角 f b q， 就 等于角 e a f， 还有这里角 e a m， 再减去角 f p a 就 等于 e p e b f， 这几个角都相同，那这两个最后也是相同的，所以咱们就可以解出角 e a f e a f， 这里是 f 角 e a f 就 等于角 e b、 f， 所以咱们就可以解出它们相同。其实这还有一种第二种解法，咱们这里是用的是贪婪， 贪婪这里咱们可以贪婪四十五度嘛，贪婪四十五度它是不是等于一？贪婪四十五度等于一，那它们的比都是一，这是一，这也是，也就是一比一就可以证明出它们是 直角，呃，等边等腰，直角三角形了，那这里也是一样，还是用三十四十五度，这样就可以，还是用他们两个相似，这里也是同样的办法，也是证明他们相似就可以了。

今天我们来讲解一下反比例函数。已知 a、 b、 c 三个点均在这一个 y 等于 x 负 x 分 之五的图像上，则 y 一、 y 二、 y 三的大小关系。那很简单，做这种题，我们第一步一定是把图像画出来。画图， 那怎么画呢？很简单，我们把常考常见的题的图形画出来。首先把当 x 等于一的时候画上去， x 等于 y 带进去，等于负五， x 等于五的时候， y 等于负一，这是我们常考的一个点，那大概画一下一，再负五。好，第一个点在这，第二个点 x 等于五， y 的 时候等于负一，那大概类似我们这个图应该是长这样的。那同理，把另外一边画出来， x 等于负一， y 等于五， x 等于负五， y 等于一把它画出来，那个在这合着，那可想而知，它是在二四象限的一个图，反比例图形。那下一步就很简单了，直接把对应的 x 带进去， x a 点是负二，这里是负一嘛，那我们这里就是负二。把它带进去 y 一， 那刚好我们 b 点负一，那这里就是 y 二，一一在这，他对应的点就是 y 三。很显然，从题目里面我们就知道，最高的就是最大的，最矮的就是我们最小的。直接排顺序， y 二大于 y 一 大于 y 三，这道题我们就解完了。

看一下今天的题目啊，首先先看第一题，嗯，第一题呢，与一个反比例函数有关的问题啊，首先告诉我们了 a 点坐标， a 点坐标呢，是这个 负二负一，然后呢，再一个就是 c 点坐标，那么所以说这个呃第一问比较简单啊，在这里先写一下第一问，第一问，这个 a 点是负二负二一， a 点是负二一， 然后呢，这个 c 点，嗯， c 点，那它就是负一二，嗯，负一二。然后 他问我们这个一次函数的表达式，一次函数 y 等于 mx 加 b， 他 说的是哪一条要看清楚啊，那么 mx 加 b 的 图像呢？过点 a， 并且呢与反比例函数交于另一点 c， 那 么我们就可以求出这个一次函数它的解析式来， a 和 c 嘛，对吧？所以设 y 等于，哎，这个已经设好了啊， y 等于 m， x 加 b， 那 我们代入这两个点，一就等于负二， m 加 b， 然后二就等于负 m 加 b 啊，这样呢，我们就可以求出来这个呃解析式了，那么这个时候算出来， m 是 等于一， 然后呢， b 是 等于三，所以 y 就 等于 x 加三，那么这就是我们的 y 等于 mx 加 b 啊。然后呢，重点看第二个啊，还有个面积， a o m 的 面积，那 a 点知道了，现在缺个 m， 那 m 简单啊， 是不就是与 x 轴交点就负三零，那么所以 s 三角形 a o m 呢，就等于二分之三啊。然后第二问，他说以这个 o a 的 为顶点的三角形与 a b， c 相似，那我们从这个形状上来看的话，看着是不是像直角， 就像这种问题啊，你首先先判断它到底是不是直角，先找一下坐标， a 点是负二一，然后呢， c 点是负一二，嗯，那么这个时候这个呃 b 点， 嗯， b 点 b 点的坐标就是二负一对称嘛，是吧？那么所以现在我们怎么判断它是否是直角呢？我们是不是可以用两点之间距离公式把它们全部算出来，对吧？那我们先写一下， a b 就等于这个负二减二的平方，加上一减负一的平方根号下，那么算出来是二倍根号五，具体过程就不写了啊。然后呢，再写 a c 是 等于根号二，那么再写 b c， 然后就等于三倍的根号二，好了，那么这三个数当中是不 a a b 是 最大的，所以 a c b 恰好是个 九十度啊，所以像这种问题啊，尤其是在相似里边，这个三角形啊，它是一个特殊三角形，是非常关键的。好了，那么所以我们现在就来找 o a d 为定点的三角形， o 已知， a 已知是不 d 并不知道。那这个时候既然是直角三角形，是不是有可能找直角顶点啊？第一种情况， 谁可能为直角顶点啊？对吧？呃， d 为直角顶点， 呃，如果得为直角顶点的话，那它是不是就只能是这个样子了？ 这是第一个点的，嗯，对吧？那么所以说，既然这个 a o 和 b o 相等，所以第一个的点的坐标就很容易写出来了，是不就是 a c 的 中点，对吧？ a c 的 中点，那就是负的二分之三，二分之三，当然中点坐标公式啊，这个二分之 x 一 加 x 二， 然后二分之 y 一 加 y 二，公式不要忘了啊。好，那然后第二种情况，第二种情况，那再有可能谁啊？首先 a 不 可能因为 a o 得得在这条线上，这个角已经固定了，是不是？所以第二种情况就是 这个 o 为直角顶点，那么这个三角形我从这里做一条垂线，那么这个是哪个点的？呃，点的，那换一个颜色，咱们给它标一下啊，也就是说这样的一个三角形了， 这个，哎，这个三角形 o a 的 了，是吧？哎， o a 的。 好了，那我们出来了这个三角形以后呢，我们就可以和原来的三角形 a b c 相似了，也就是现在的第二种情况是 o 为直角顶点， 嗯， o 为直角顶点， o 为直角顶点，其实这个也很好做了，因为你看这个三角形当中有一条边是已知的 a， o 是 不是已知的 a， b c 三边都知道，所以相似就很容易做出来了，我们很容易求出这个得点的这个 o 的 长度了， 那我们列一下比例，那么这个时候你就可以看到，嗯， a 的 比上 ab， a 的 比上 ab 是 不斜边，比斜边啊，那就会等于这个 o 的 o 的 较长的直角边，比上较长的直角边，那它应该比的是 b c， 对 吧？哎，比的是 b c， 那这个时候呢， a 得已知啊， o 的 o 的是不就能求出来了？因为 bc 我 们已经知道了， 对吧？嗯，那么所以呢，我们就可以求出来 o 的 长度呢，等于三倍的根号啊，三倍的根号，具体代入数据自己算一下就可以了啊，那所以我们就可以设出的点的坐标，因为的是在直线上的，所以就是 m m 加三，那么距离知道了， 那么也就是 m 的 平方加上 m 加三的平方，是不是这样等于三倍的根号五啊，对吧？所以我们就可以解出来， m 是 等于三的啊，那么所以得点的坐标就是三，逗号 六，把它带入到一词上表达式就可以了啊。好了，那么这个题目呢，重点是关于这个相似的一个应用，这个相似要注意，你去讨论的时候啊，找到一个特殊的九是比较好讨论的一种方法。 好了，来看第二题，第二题呢，同样是反比零函数综合的一个应用，同样，这里边呢，有几个结论我们需要去知道。首先在这个矩形 o a 等于三，然后 o c 等于六，那第一问当中，他说这个 o a 的 的面积等于二， 那么这个 o a 的 它的面积等于二，那么所以说 k 是 不是就等于四，对吧？这个比较简单啊，那么然后呢， o 的 e 的 面积，那你看这个的点坐标能够写出来了，是 纵坐标是三，那他就是一个三分之四，对吧？然后一点坐标也能写出来了，一点坐标就是六，逗号三分之二。 好了，那求 o 得 e 的 面积，是不是我们最熟悉的用梯形就很好做了，对吧？哎，用梯形就行了啊，哎，然后，所以说 s 三角形 o 得 e 呢，就等于二分之一乘以上，底是三， 然后再乘以高高，是不就是六减三分之四，对吧？把它算出来就可以了啊。最后呢，算出来这个结果呢？九分之七十七，这个数稍微有点大啊。好，那么重点看第二问 啊，第二问，第二问当中呢，他说将三角形得 b e 沿着这个折叠，然后他问我们这个 f 点恰好落到这个 o c 上，问 k 的 值。这个地方有一个这个结论啊，你直接把它记住， 比如我们在这个图当中，现在一个矩形反比例函数经过矩形的两个点，那么你把 a、 c 连接， 嗯，你把 a、 c 连接，这两条线一定是平行的，嗯，一定是平行的，怎么正呢？嗯，你可以表示一下长度，设出这个坐标来，设出这个坐标来，表示一下，它比，它，表示一下，它比它正好相等，那么这俩三角形就相似， 也可以，怎么样？也可以用面积来做，哎，把它连一下，把它连一下，把它连一下，把它连一下。这个咱们之前说过啊，也就说这两个面积相等，那么这两条 线平行也可以啊，所以把它当成一个结论，记住啊，也就是那这个，现在这两个比，他比上他是多少啊？是不是三比上六啊？ 对不？所以这两个的比一定是一比二，哎，他俩的比是一比二，有了这个关系，你的第二问就会非常简单啊。好了，那么这个题具体的过程我们应该怎么来写呢？我们还是先把的和 e 的 坐标设一设，那他是不是就是六六分之 k， 那他呢？就是这个纵坐标是三三分之 k， 那 么所以咱们就可以写出来， b 的 就是六减三分之 k， 那 么这个 b e 就是 三减六分之 k， 对 吧？哎，这两个长度，那我跟你折叠这块长也是六减三分之 k， 这块长也是三减六分之 k。 好 了，你看，即使你看不出来这个这两条线平行的，也就是他俩是个一比二的关系，我写出来是不也能看出来这俩一定是一比二，对吧？那既然直角这么放着了，是不就该 k 形图了，对吧？哎， k 形图了，那所以 这个对应边的比是一比上二，所以这两边是不是也是一比二，这里是个六分之 k， 那 么他的两倍这里就是个三分之 k， 然后呢，这里是个三，好了，你看 在一个三角形当中，把边都找着了，是不就很容易做出来了？所以这个题目我们先设的是三分之 k， 逗号三，哎，这个 e 是 六逗号，六分之 k， 哎，那么所以呢，就可以写出来， b 的 等于的 f 都等于六减三分之 k 啊，那么同理， 这个 b e， 那 就等于 e， f 就 等于三减六分之 k， 那 所以就可以看出来，这个的 f 比上 e f 是 等于一个二比一的，那所以根据相似那的这个 c e， 呃，这个，这个 h f， 我 们写这个啊，这个 h f 比上 c e 也是等于二比一的，那么所以说 h f 呢，就是三分之 k， 那 么我们在这个直角三角形的 f h 当中，根据勾股定律，嗯，那么就是三的平方加上三分之 k 的 平方，就等于这个 六减三分之 k 的 平方，是不是就关于 k 的 方程就可以写出来，对吧？解出来就行了啊？最后 k 呢，等于四分之二十七，但当然中间这个计算过程啊，要把它写完整一些啊。好了，那么对于这个题目来说呢，记住矩形和这个反比例函数它相关的这样的一个结论。

看一下今天的题目，首先第一个呢，是一个二次函数的综合题啊，它首先第一问还是来求表达式，那我们把这三个点代入， 把这三个点代入，就可以写出答案来了啊。这个函数的关系式是 y 等于负， x 方加二， x 加三，那这是第一问，然后第二问呢， 让我们求出 p b、 c 面积的最大值，那这是我们非常熟悉的，是吧？以及 p 点的坐标，那么 p b、 c 面积的最大值呢？我们是不是这个 连接这个形成三角形，假设这块是 h， 嗯，这块是 h， 那 么所以我们这个 s 三角形 p b， c 是 不是等于二分之一乘以 p h 乘以 x， b c， 对 吧？那就我们的铅垂高水平宽啊。那我们的任务呢，就是把这个呃 p 和 h 射出来表示出来就可以了啊。 p 点的坐标是 m 逗号，负 m 方加二， m 加三， 嗯， h 点 h 点 m 逗号。你看这条直线是啥？这里是个零三，这里是个三零，那一看四十五度，是不是 k 就是 负一，因为它是个负的，所以说它应该是呃，负 m 加三。那当然了，你写过程的时候一定要先把 b c 写出来啊， b c 直线的解析式 是负 x 加三，能够快速求出它的解析式好了，那么所以我们的 p h 就是 p 点动作标，减去 h 点的动作标，也就是负 m 方加二， m 加三， 然后呢，再加上 m 减三，也就等于负 m 方，然后再加上一个三 m， 对 吧？那么所以我们的 s 就 等于二分之一 乘以负 m 方加上三 m， 然后再乘以 x b c， 也就是 b 和 c 横坐标的距离也就是三了，所以也就等于负的二分之三 m 方，在 这个加上一个二分之九 m， 对 吧？哎，这个呢，就很容易写出来他这个关系式了啊，那么我们就可以求一下他的对称轴， 对称轴，所以说这个对称轴呢，是 m 等于多少？等于二分之三的时候，那我们前面说过啊，一定是在这两个的正中间的时候， 零和三的正中间一定是二分之三的时候啊，那么把它带入这个，呃，所以先写 p 点坐标， p 点坐标就是二分之三，逗号带到你射的那个里边去是不就可以了？那么它的纵坐标是四分之十五， 而我们 s 的 最大值，面积的最大值，最大值呢，就是把我们的这个二分之三数带到这个新函数里面去算出来就行了啊，所以等于八分之二十七。好，那么这是第二问啊，第二问，来看一下。第三问， 那第三问，那第三问是什么呢？第三问，你看看到这个式子是不可能是胡不归，是不？也可能是这个阿式圆，对吧？那么对于这个来说，那你看一下这个二分之根二 cm， 嗯， m 是 在线上动的，所以它应该是我们的胡不归啊。胡不归是啥来呢？ 这里有一个点 a， 这里有一个这个点 b， 那 么如果我要是想去求 pa 加二分之一 bc 最小， 嗯，最小，那么这个屁呢？是这个直线 l 上一个动点，这个怎么办嘞？首先先看见二分之一，那么先想到肾是二分之一，那这个角是多少度呢？三十度。好了，我又过 b 点做一个三十度的角，往哪坐呢？ a 在 上方就往下坐， a 在 下方就往上做，也就是你那根线是和 a 在 内侧的啊，所以我就做一个三十度的角，哎，这就是那个三十度啊，三十度的角，然后呢，从 a 点向这条线做垂线， 那么我们得到的 a h 就是 我们所要求解的答案，嗯，为什么呢？那你看一下，这个点就是点 p 了，所以现在的二分之一 b p， 哎，二分之一 b p 啊，二分之一 b p 是 不是恰好就是这个 ap 啊？对吧？那三十度数的边能斜边一半吗？那么所以就变成了 ap 加 p h 最小，那么它俩 是不是在垂直的时候最短，对吧？就可以了啊。好了，那我们来看到题当中去，我应该怎么办？首先先看到这个是二分之根二，所以阿尔法应该是一个四十五度，也就说我要画一个四十五度的角，在哪画呢？和刚才一样，先找到定点和定直线，定点呢？是 a， c 定直线是谁啊？ c 在 这个动点是 m， m 在 o， c 上动，所以这就是我们的定直线， 对吧？这就是那根线。好了，那我要去做一个四十五度的角，怎么做呢？你看 c 和 p 是 不是在一根线上的，就 c 和 m 是 在一根线上的，所以说一定过 c 点往哪边画呢？是不是 和 a e 侧，所以 a 在 左侧，那就往右侧画，画个四十五度角，而我们刚才在求直线的时候，发现了这个 c 和 b 阎王，是吧？一个零三，一个三零，所以 c b 连起来恰好是四十五度角，这就是要找的那根线，对吧？嗯，那好了，那么所以我们最终答案就是过 a 点向它做垂线， 嗯， a h 是 不是就是我们的答案？是不就可以了？哎，那么这就是，呃，胡伯龟，它不难，但是你要知道它怎么去做啊，这个是零三，这个呢是三，逗号零，那么所以说 ab， 那 我们就知道 ab 的 长度呢，就是三倍的根号二， 对吧？啊？ ab 长度三倍根号二，那这个就还是四十五度，那所以我们的 a h， 那 就等于几了，是不？ a h 就 等于这个， 这是，呃，这个三倍的根号二，对吧？那现在呢，我们要知道 ab， 你 先求 ab 啊，先求 ab， 这是 bc 啊，我要求的是 ab， 这里写错了，改一下啊。好，我要先求 ab， 那 ab 等于啥呢？ ab 这个是 a 点，是负一零，对吧？刚才的三倍根号二是 bc 啊，我需要的是 ab， 所以 ab 等于几？ ab 就 等于四， 那么所以我们的 a h 就 那啥是不？恰好是一个等腰直角三也行啊，四除以根号二就行了啊，所以最后答案等于二倍的根号二，二倍根号二。好了，那么通过这个题目呢，掌握这个什么是胡不归，怎么画图，怎么求解啊？尤其是放到题当中去啊，又能够把这个图画出来啊。 好，那再看第二个题目，那第二个题目呢，是一个反比例函数的综合题。那第一问呢，同样还是先来求我们的这个反比例函数它的关系式以及这里这个坐标。那么首先第一问 a 点的坐标，先看 a 点坐标， a 点坐标是二二分之三，然后呢，当然我要先求出 b 来啊，这个，呃， b， 也就说 y 等于二分之一， x 应该是加上二分之一，这个比较简单，首先先把这个带进去，那也就 b 就是 二分之一嘛，对吧？然后把 a 再带进去，就求出 a 来了，那么所以 k 呢？ 所以 k 就 等于三，也就说反比例函数是 y 等于 x 分 之三，直线是 y 等于二分之一， x 加二。好，那这是第一小问啊，第二小问， 他说这边呢，有一个动点， e 是 动点，然后做外轴的平行线，然后这个 e 的 呢，恰好等于两倍 o b， 那 o b 是 不是二分之一啊？那所以 e 的是不就是一？所以说我们的第二问当中啊，首先我们在这里看一下第二问，首先先得出来 e 的是等于一的， e 得等于 e 以后要求 o e 得的面积，那你看求 o e 得的面积， e 知道了，是不是缺个勾啊，对不对？那这个时候怎么办？那肯定就射，对不对？哎，我射 e 点的坐标是 m 逗号，它在直线上，那就是二分之一， m 加上二分之一，对吧？然后呢，得点呢？在反比例函数，它就是 m 逗号， m 分 之三。好，它俩相减，纵坐标相减是不等于一啊，二分之一， m 加上二分之一， 然后呢再减去 m 分 之三是等于一的，去分母整理一下，那么这个 m 很好修啊， m 一 等于三， m 二呢，是等于负二，这个要舍去了，因为它在右侧，是吧？ 好了，那么所以说这个 e 点和的点是不也就都写出来了，对吧？其实我们需要的就是谁呀？就是一个 m 就 够了，所以 s 三角形 o 得 e 就 等于二分之一，乘以一，再乘以高高，是不就已经找着了，是三吗？所以就等于二分之三，嗯，等于二分之三。 好了，那么这是，呃，这个面积的求解啊。那么看一下第三，那么第三问当中呢，我们做这个题目最重要的目的就是当把一个三角形，或者把一个点，或者把一个函数沿着一条斜着的线进行平移的时候，我们应该怎么解决？ 斜着的线不会平移，但是我们学过的平移是不学过左右平移，对吧？还学过上下平移，这俩我都会，那所以我们只要能够把一根斜着的线变成 这个左右上下平移就好了。那你比如说我们把这根线拿出来，这是 y 等于二分之一， x 加上二分之一，现在呢？我往右移 相当于是不是往右移，往上移了，对不对？那移了多少呢？我们知道现在 k 等于二分之一， k 等于二分之一，是不是贪婪的值等于二分之一嘞，对吧？那么也就是这个角，它俩是不是就是个一比二的关系， 对不对？所以我们假设又移了 m 个单位，那上移了是不是就是二分之一 m 个单位 就可以了？哎，也就说你把这种斜着的平移转成右移和上移，或者我要这个 k 是 个负的时候呢？那就右移和这个下移，对吧？哎，所以你一定要看清楚他沿哪个方向，所以往上走了， 往上走肯定是上移了，往右走了肯定是右移了。好了，有了这个问题我们就可以解决了，那因为 o 点的坐标原来是零多少零，那么平移以后呢？ 是平移以后，哎，平移以后的这个坐标 o 撇，那就是 m 二分之一 m 了，对吧？哎，这就是平移以后的。那平移以后的 o 撇在哪里啊？ o 撇是不恰好在双曲线上，那我们把它代入 y 等于 x 分 之三，那么这样的话就是 m 二分之一 m 就 等于 m 分 之三，对吧？那么所以 m 我 们算出来就等于根号六，当然负的就舍去了，因为 m 是 个正的嘛，同样右移啊，那么所以有了这个东西以后，那么所以它的平移其实就能够看出来了，对，不？就相当于右移 根六个单位，嗯，根六，然后呢？上以二分之根六，那么这样的话就可以解决问题了啊，因为得是啥嘞？得，咱上一位就已经算出来了，对吧？ 得的坐标是这个三逗号一，对吧？哎，得的坐标是三后逗号一，所以平一以后得撇的坐标呢？右移，那就三加根六，上移一加二分之根六就可以了。哎，好了，这就是这个 我们需要去解决的这类问题啊。通过这个题目认识一根斜着的移，无论是函数还是坐标啊，还是这个这个一条线段都一样。嗯，你要平移吗？平移了多少？不知道，不知道就射出来，射出来你才能够去建立关系啊。

好好学习，天天向上，我是你们帅气的浩哥。我们这个视频呢，讲解我们的第十二课，反比例函数。 首先我们来看它的概念，什么是反比例函数呢？我们就是说把能够写成 y 等于 x 分 之 k 的 这种样子的函数呢，我们就叫做反比例函数。然后当然呢，反比例函数的话，必须要求我们就是 x 不 等于零，对应的呢就是我们的分母不为零， ok， 或者说简单点来讲就是如果说两个字母相乘等于一个定值，那么我们就说这两个字母呢，它们就能够互为， 那么这两个字母呢，我们就可以说它们是反比例函数， ok， 那 最常见的一些反比例函数相关的一些等式是什么呢？就比如说我们的三角形的面积，它的底和高 是反比例函数，然后呢，我们的一个平行四边形的一个面积，特别是平行四边形，然后矩形、正方形以及我们的菱形这些，它们呢也是符合我们的反比例，因为它们的面积都等于我们的一个底长乘宽， ok， 我 们来看，他说一个 面积为二零二五的矩形草坪，长为 x， 宽为 y， 然后他说 x 跟 y 的 关系为多少，那所以我们就知道长乘宽等于二零二五，对吧？ 那所以就可以得到 y 等于 x 分 之二零二五，所以它刚好就是符合我们的反比例，那所以它就是我们的一个反比例函数， ok， 然后我们来看反比零函数的图像的特点，它的第一个特点呢就是如果说 k 大 于零的话，那么它就会经过我们的一个一三象限，也就是说会在它的每个象限里面会有 y， x 增大而减小，记住是在每个象限内 y x 增大而减小， ok， 然后如果说有 k 小 于零的话，那么它就会经过我们的二四象限，那么在它的每个象限内都会有 y， x 增大而增大， ok， 当然这里有特别说明了，说他的图像是双曲线，之所以是说双曲线呢，是因为他是有两根线的，然后这两根线呢，都是曲线的形式，所以呢就给他叫做双曲线。当然这是我们初中的学法，到了高中呢，我们还会学真正的双曲线， ok， 然后我们来看题，他说反比例函数是 y 等于 x 分 之 负五，然后下列说法错误的是，那他说图像经过负五斗啊，一斗负五，前面说过了，在我们的函数里面说过，就是函数过点，绝对就是你把点的坐标带进去，看他等式成不成立就可以了，对吧？ 那所以我们就直接把我们的一个 x 等于一和 y 等于负五，把它给带进去就可以了。而 x 等于一的时候， y 等于负五，右边呢，刚好就是一分之负五，对吧？刚好就等于负五，所以就说明这个点确实是在我们函数图像上的， 也就说明图像确实经过这么一个点。然后再来看它的 k 值呢，是等于负五，负五呢是小于零。哎，看左边的图，小于零呢，说明它是在经过我们的一个二四相线的，所以 b 选项也是正确的。然后再来看 c 选项，它说它的图像 既是轴对称图形，也是中心对称图形，这个呢也是正确的， ok， 我们看图就知道了，它既关于原点对称，然后呢又关于我们的直线 y 等于负 x 和 y， 或者说 y 等于 x 对 称，当然如果说哪怕你不知道也没有关系，因为我们看 d 选项，他说当 x 小 于零的时候， y 会随 x 增大而减小， 我们知道 k 小 于零， k 小 于零的话，它是 y x 增大而增大的，所以哪怕你不知道 c 选项，也知道 d 是 错误的，所以这一题选择我们的一个 d 选项。然后再来看，他说当 x 大 于零的时候， y x x 增大而减小，如果说要有 y x x 增大而减小，就说明 k 就 应该小于零 啊，就说明 k 呢应该要大于零，所以我们就随便取一个大于零的数就可以了，比如说就写一就可以了， ok， 然后看知识点三，他说求反比例函数解析式的步骤，对吧？那所以我们就是一样的，就直接设 y 等于 x 分 之 k， 然后把点的坐标给它带进去就可以了， ok， 来，比如说他说点负三逗二在反比例的图像上，所以我们就把负三逗二带进去，所以就二等于负三分之 k， 然后所以等式左右同时乘以一个负三，我们就可以得到 k 就 要等于我们的负六，所以选择我们的一个 c 选项， ok， 然后再来看第二个，他说反比例函数与我们的一次函数相交于一个点，然后焦点的横坐标是三， 那所以也就是说当 x 等于三的时候，假设这个点是 a， 然后它的坐标假设是 a 逗 b， 对 吧？那就说明了一个点，就是 a 点既在一次函数上，又在反比例上， 所以我们就直接把 a 等坐标带入我们的一次函数跟反比例就可以了，比如说如果要带入一次函数，就有 b 就 要等于二减三，以及我们的 b 就 要等于三分之 k， 所以 两个等式，两个未知数呢，我们就一定可以求出这两个 未知数的值的，对吧？所以我们看第一个等式，我们就可以得到 b 角等于负一，然后呢，我们把 b 等于负一带到第二个式子，所以就负一等于我们的三分之 k， 所以 就可以得到 k 角等于我们的一个负三。那所以呢，我们这一题就可以知道了，选择我们的一个 a 选项， ok， 然后再来看 就是 k 的 几何 e， k 的 几何 e 呢？就是在我们反比例里面常考的一个，是常考的一个点， ok， 我 们来看就是假设双曲线上面，或者说我们的反比例上面有一个点 p， p 点坐标是 x y， 对 吧？ 那如果说过 p 点做垂直于 x 轴与 y 轴的两条直线，一个是 a 点，一个是 b 点，那么我们就知道了，在我们 函数在我们前面讲坐标轴的时候，对吧？我们就知道 p a 对 应的就是所谓的 y， 对 吧？然后呢，我们的一个 p b 呢，对应的就是所谓的 x， ok， 那 所以我们就可以知道，这个矩形 o a b p 的 话，它的面积呢，就是要等于 x 的 绝对值，乘以 y 的 绝对值，也就等于 x 乘 y 的 绝对值。而因为 p 点还在我们的反比例上，所以就有什么就 y 等于 x 分 之 k， 也就是说有 k 就 要等于 x y， 所以换句话来说，就一定有 x 乘 y 等于 k， 所以 它就可以写成 k 的 绝对值。为什么要写绝对值呢？因为 k 可能大于零，也有可能小于零， ok， 这是第一种形式的，第二种形式就是什么呢？有些时候就会出现这种 东西，就是它不会存在 a 点，而是让我们直接连接我们的一个 o b 点， ok， 那 所以我们就可以知道哈，如果说是连接我们的一个 o p 点的话，那么这就是我们的三角形 o p b 的 话，它的面积呢？或者说就要等于三角形，我们的 a p o， ok， 因为矩形的对角线平分矩形，所以也就是说会等于二分之一倍 k 的 绝对值， ok， 那所以也就是说在双垂线上面，如果过一个一个点做我们的 x 轴，或者说做 y 坐标轴的一个垂线，然后再连接跟圆点所构成的这个三角形的面积，它就等于二分之一 k， ok， 那 我们来看题，他说 前面说了那么一堆，其实你看不看题已经不重要了，重点就看图，就是过 a 点做了一个垂直于上面的，所以我们就可以知道 s 三角形 a o b， 它的面积就等于二分之一 k 的 绝对值，然后题目说了是等于三，所以它就要等于三，对吧？那所以我们就知道 k 的 绝对值等于六，也就得到了 k 等于正负六，但是因为它经过二四相线，所以就说明 k 呢就应该要小于零，也就是说 k 就 要等于我们的一个负六， ok， 然后再来他说 k 就 要等于我们的一个负六， ok， 然后再来他说了 a 点的坐标为 a， a 小 于零，这句话其实已经没啥特别大的用意， ok， 然后我们来看第五个知识点，就是反比例函数的一个应用，其实就跟我们之前学过的小学啊，学过的那些应用是一样的，就是你只要把等式给写出来就可以了。 ok， 来我们来看题， 他说速度 v 是 m， 是 符合我们的反比例函数，所以也就说明了一个东西，就是 m 要等于 v 分 之 k， 对 吧？ ok， 或者说你把它写成 v 等于 m， 分 之 k 也可以，或者说你再把它写成 v 等于啊， k 等于 v 乘 m 也可以。 ok， 然后所以来看，他说当总质量 m 等于六十的时候， v 就 要等于六，那所以就说明六十就要等于六分之 k， 所以 我们就可以知道 k 等于三百六。 ok， 然后他说， 所以呢，这个解释就是 m 等于 v 分 之三百六，然后他说当 m 等于九十的时候，所以九十就要等于 v 分 之三百六十， 对吧？所以交叉相乘，我们就可以得到九十。 v 角等于三百六十，所以就得到 v 角等于四，所以它的最快速度就是四米每秒。 ok， 我 们来看核心考点， 他说若 a 点坐标是 x 一 逗负一， b 点坐标是 x 二逗一，然后 c 点坐标是 x 三逗五，都在反比例上，所以因为它的 k 值是大于零的，所以来我们画一个草图，大于零就说明经过我们的一个二三啊一三象限，对吧？所以来 他说 a 点的横坐标是负一，所以假设这里是负一，那所以我们就可以这里就是 a 点了，所以我们就知道做垂直 x 轴，那这个位置就是我们的一个 x 一， 然后他说 b 点坐标是 x 二逗一，所以我们就找到一， 然后所以这个位置就是 b 点，然后做垂直 x 轴，所以这个位置就是 x 二，然后他说 c 点坐标是五，所以就找到五，五比一要高，所以他在一的上面， ok， 然后我们再连垂到我们的 x 轴啊，我们的解释式上面去，然后再做垂直 x 轴，所以这个位置就是所谓的 x 三， ok， 那 所以我们就知道了， x 一 要小于 x 三，然后要小于 x 二，所以就知道选择我们的一个 b 选项。当然 这一题就是如果说你不会画图也没有关系，因为它已经告诉我们具体的数值了，我们直接把它带进去去求出 x 一， x 二， x 三都可以， ok， 然后看第七题，他说反比例的图一定要经过哪个点，所以我们可以看到就是 x 乘 y 给他进行变形，就 x 乘 y 等于负十，也就是说只要他的横坐标乘纵坐标等于负十的，那么就一定在我们的反比例的图像上，所以我们就知道 a 选项就错了，因为一乘十不等于负十， 那 b 选项负二乘五呢？刚好就等于负十，所以 b 选项一定是在的， ok， 那 c、 d 呢？也是一样的道理。 然后我们继续来看，他说这个函数反比例的图像在我们的一三象限，所以就说明 k 减一就一定要大于零，对吧？所以就 k 一定要大于一， 那所以他说这个象限，那我们就可以知道了，这个象限这个点的横坐标是大于零的，纵坐标是小于零的，所以他就在我们的第四象限， ok， 然后我们来看第八题，他说如图，我们的一次函数跟我们的反比例函数分别交于 a、 b 两个点，所以 a 点的横坐标是我们的一个负二，那所以换句话来说，就可以把负二带到反比例里面去了，就得到 m 就 等于负二，负二分之我们的八也就要等于四， 所以换句话来说， a 点坐标就是负二到四，然后呢， n 点呢，也在上面，所以就把 b 点坐标也带进去，所以就负一等于负 n 分 之八， 所以交叉相乘，我们就可以知道， n 呢就要等于我们的一个八，所以 b 点坐标就是八到负一， ok， 然后当我们求直线的解析式，所以看 a 点呢，它除了 ab 两个点，它除了在我们的反比例上以外， 它还会在我们的这样子的一个直线上，所以呢，我们就把 a b 两个点代入直线的解析式就可以了，所以就有四等于负二， k 加 b， 然后呢又负一等于我们的一个八 k， 然后呢又负一等于我们的一个八 k 加上 b， ok， 所以 可以知道，从这是一式，这是二式，就又开始变成了九减二元一次方程组了，对吧？所以就通过二式减一式，左边呢就变成了负五，右边就变成了十 k， 所以我们就可以知道 k 等于负二分之一， ok， 然后再把 k 等于负二分之一带入一式，就有四等于负二，乘以我们的一个负二分之一括号，再加上 b， 所以 就四等于一加 b 就 得到 b， 就 要等于我们的一个三， 那所以它的解析式就出来了，就是变成了 y 等于我们的一个负二分之一 x 加上我们的一个三， ok， 然后看他说，若 y 一 大于 y 二，请直接写满足，那所以我们来看哈，假设 a 等于坐标是负二， b 等于坐标呢？是我们的一个八，对吧？ 他说 y 一 要大于 y 二，也就说明我们的依次函数的图像，也就直线的图像要在曲线的图像上面，所以我们可以看到，那就是在 a 点左侧，直线的图像刚好在曲线上面，然后在我们的 下面就是 c 点的右侧，刚好它的图像在我们的曲线的上面。所以我们就可以知道 x 的 取值范围应该是要小于负二，或者我们的 x 要大于零，小于我们的一个八。然后我们来看第三个，他说过点 c， 什么是 c？ 是 直线与 y 轴的交点是 c， 那 所以我们就知道 c 点坐标就是零到三，对吧？因为直线方程是 y 等于负二分之 x 加 b 加三，那所以他说，然后做平行线， 然后交反比例，那所以我们就可以知道 d 点的纵坐标就是三，所以就把三，假设它是 a 到三，所以就把 a 到三带到我们的反比例上面去就可以了。 ok， 那所以把它带进去呢，就有这么一个东西了，就是三就要等于负 a 分 之八，所以我们就可以知道 a 就 等于负三分之八，所以换句话来说，就知道 c、 d 的 长度就要等于我们的一个三分之八。 然后因为 a 点坐标是零斗，是负二斗四， c 点坐标是零斗三，所以就说明 a 点到 c、 d 的 长度， 假设这个是 h， 那 就是要等于我们的一个一，那所以这个三角形的面积就等于二分之一，底底就是 c d 也就是三分之八乘以高高就是一，所以它就等于我们的一个三分之四。 ok， 然后我们来看第九题， 第九题，其实如果说第八题会了，那其实第九题跟第八题是一样差不多的一个东西了，对吧？那所以首先就是把我们的一逗四 代入我们的反比例，所以就四就等于一分之 k 就 可以得到 k 就 要等于四，所以反比例的方程就是 y 等于 x 分 之四， 然后呢， b 点也在上面，所以把 b 点再带进带，带入我们的解释式就可以了。所以就有负一就要等于 n 分 之四，所以就可以得到 n 呢，就要等于我们的一个负四，所以 b 点坐标就是负四到负一， 然后因为 a b 同时还在一次函数上面，所以就把它代入一次函数里面的解析式，就可以得到四就要等于 a 加 b， 然后呢，负一就要等于负四， a 加 b。 ok， 所以 求减一元，二次不等， 所以开始求减二元一次方程就可以了，所以就是一式减二式，左边就是五，右边就是五 a， 所以 就得到 a 就 要等于一， 然后把它带入一式就有四等于一加 b， 所以 就得到了我们的一个 b 就 要等于我们的三，所以我们的一次函数的表达式呢，就是 y 等于 x 加上三，所以第一问就求解出来了。 ok， 所以 写一下， 一个是 y 等于 x 分 之四，一个呢是 y 等于 x 加上三，然后看第二问， 所以来哈 b 点的横坐标，我们前面求出来是负四，对吧？ a 点的横坐标是一，他说了 看，他说 ax 平分， ax 加 b 要小于我们的 x 分 之 k， 对 吧？也就说明了是反比例要在我们的直线上面，也就说明曲线要在直线的上面，那所以我们可以看到曲线在直线上面部分，就是在 b 点的左侧，以及在 圆点的右侧和 a 点的左侧，所以我们就可以直接写出来，这是 x 小 于负四，或者说我们的 x 大 于零，小于我们的一个一， ok， 然后我们来看我们的第三问，他说 d 点在 x 轴上，然后呢说 c 点在反面的图像上面，然后若以 abcd 的 顶点为平行四边形的 为平行四边形，然后让我们去求 c 点的坐标，那所以来我们假设 c 点的坐标是 m， 逗号 m 分 之四，假设它的横坐标是 m， 那 么它的纵坐标就是 m 分 之四， ok， 那 所以首先来 d 点的坐标呢？我们假设它是 x， 那 么它的纵坐标呢？就是零， 所以首先来如果说是以 a、 b、 c、 d 为顶点的平行四边形，那就是第一个就是可以分为以 ab 为对角线， 对吧？如果说是以 a、 b 为对角线的话，那么我们就知道了，就是我们的一个 c、 d 的 中点，就是我们 ab 的 中点，所以首先呢先来求 ab 的 中点，那根据中点坐标， 所以我们就可以知道根据中点坐标公式，对吧？ b 点坐标是我们的一个负四，逗号 负一，然后呢 a 等坐标是我们的一个一，逗号四，所以就说明了负一加四除以二就要等于我们的二分之 m 分 之四，加上我们的一个零，所以二二就约掉， 所以就有三等于 m 分 之四，所以就可以知道 m 呢就要等于我们的一个三分之四，所以 m 如果等于三分之四，所以第一个四点坐标就出来了，它就是三分之四，都三，对吧？然后再来 它除了呢是以 a、 b 为对角线以外，它还可以是以 a、 c 为我们的一个，或者说我们的 a、 d 为我们的一个对角线， ok， 那 如果是以 a、 c 或者 a、 d 为对角线，那就说明了一个问题了，就说明 a、 c 的 中点 要等于我们的一个 b、 d 的 中点，对吧？那 a、 c 的 中点就是我们的二分之 m 分 之四，加上四就要等于二分之零，加上我们的一个负一，所以二二约掉就得到 m 分 之四加四就要等于负一， 所以把负四移到，把四移到右边去，就得到 m 分 之四，就要等于负五，所以 m 呢就等于负五分之四。 ok， m 等于负五分之四，所以就可以知道第二个 c 点坐标就是负五分之四。逗号，我们的一个负五。 同时如果说是以 a、 d 为对角线的话呢，就说明了下一个就是我们的四加零除以二就要等于二分之 m 分 之四，然后再加上 我们的一个负一，所以就四就等于 m 分 之四。加减去一，所以就得到 m 分 之四，就等于五，所以呢 m 就 等于五分之四，所以它的三个 c 点就出来了，那就是五分之四。逗号，我们的一个五。 ok， 那 所以我们就可以知道我们的一个 m 的 c 点的坐标呢，那就是只剩下这三个坐标了，就是三分之四斗三，负五分之四斗负五，以及五分之四斗五， ok， 然后我们来看第十题， 他说上面有这么一个东西，然后呢有平行四边形 a、 b、 c、 o， 然后他说了 它的顶点 a 点在我们的图像上面， o、 c 呢？在 x 轴上面，然后说 b 点的坐标是我们的一个负一到负三，那所以首先来看哈，因为 b 点的坐标是负一到三，对吧？ 然后我们知道 o c 之间的长度，它就要等于我们的 ab 之间的长度。 然后题目要告诉我们说，这个平行四边形的面积等于三，那所以也就说明了 我们的三的这个平行四边形的面积，其实就可以是以 o c 为底，然后呢以过 b 点做垂直做高就可以了， ok， 那 所以就可以知道哈，它的面积呢，就是要等于 o c 乘以高，高就是 b 点的我们的一个 y 轴坐标，也就是 o c 乘以三，就要等于三， 所以就可以得到 o c 就 要等于一，那 o c 等于一的话，就说明 a b 就 要是一 ab 为一呢，所以我们就可以知道了， a 点的横坐标呢，就要等于我们的一个负二， ok， 那 所以并且呢， a 点的坐标就写出来了，就是负二负三，因为 a 点跟 b 点是等高的，所以那么 k 呢，它就等于负二乘三，也就等于我们的一个负六， ok， 然后继续来看第十一题，他说如图在我们的， 然后我们来看第十一题，他说如图 a 点坐标呢是一斗零，所以这个长度就是等于一，然后 b 点在反比例上，他说过 b 点做垂直，然后呢又告诉我们说角 b a c 等于三十度，也就是说下面这个角度是三十度， 然后翻折一下， d 点呢也落在上面，所以上面这个角呢，就也是等于我们的一个三十度，然后他问我们 k 要等于多少？ ok， 那所以我们来看，我们假设 b c 的 长度是 x， 对 吧？根据我们学过的东西，三十度的直角三角形，它的边的比例呢是一比根号三比我们的一个二， 所以呢我们就可以知道 a c 的 长度就是根号三 x， 那 所以因为是翻折，所以 a c 的 长度呢，就也是根号三 x， 然后如果我们过低点做 x 轴的垂线，假设这里是个一点的话，对吧？所以我们就可以知道角 d a e 呢是等于六十度， 所以呢我们就可以知道了， a e 的 长度就是要等于我们的一个二分之根号三 x， ok， 那 所以 d 一 的长度呢，就是要等于我们的一个二分之三 x， 因为直角三十度的直角三角形边的比例一比根号三要比二， ok， 那 所以也就是说我们就可以知道 d 点坐标 就是要等于一加上二分之根号三 x， 逗号二分之三 x， 然后 b 等坐标呢，就是要等于我们的一个一加上根号三 x， 然后逗号 x， 然后因为这两个点都在我们的一个 双曲线上，对吧？或者说都在我们的一个反比例上，所以就说明他们的横坐标乘纵坐标就应该是要相等的，所以就说明一加上二分之根号三 x， 然后再乘以我们的一个二分之三 x， 它就要等于一加上根号三 x， 然后再乘上我们的 x， 等式左右同时有 x， 所以 就可以约掉个 x， 对 吧？然后我们下一步就是再同时乘以一个二，它就变成三倍括号 一加上我们的二分之根号三 x， 括号就要等于右边的二倍一加上根号三 x， ok， 然后所以选择去括号就三加上二分之根号 三倍，根号三 x， 就 要等于二加上二倍根号三 x， 所以 这个时候进行一项，所以就得到三减二就要等于二倍根号三 x， 减去二分之根号三 x， 所以 左边是一，那我们就知道了，右边的值呢，就等于二分之根号三 x， 对 吧？所以我们就可以知道 x 就 要等于我们的根号三分之二，但是，所以看哈这里，其实 其实哈，我们不需要去进行分母有理化， ok， 因为题目问的是 k， 而 k 刚好等于多少？ k 是 不是就等于一加上根号三 x， 再乘以 x， 也就是说它就等于一加上根号三，乘以根号三分之二括号，然后再乘以根号三分之二，根号三跟根号三就约掉了，所以它就等于三乘以根号三分之二， 然后根号三跟三可以约掉剩个一个根号三，所以它的值就等于二倍根号三。 ok， 所以 哈，我们不需要那么急着去进行分布优化，然后再去求出 b 等坐标，然后再让它们去相乘啊什么之类的，没有必要哈。 ok， 那 我们这个视频呢，就讲到这里了，我们下一个视频见，拜拜了您嘞。

如图，已知坐标轴上有两点， a 和 b， 它们的坐标分别是零四和二零连接 ab， 并且呢过 b 点去做 bc 垂直于 ab， 那 也就说这个地方是垂直的 交反比例函数 y 等于 x， 分 之 k， 在 第一象限的图像于 c 点。 第一问，求反比例函数 y 等于 x， 分 之 k 和直线 o c 的 表达式。 那么这个题中我们要求反比例的函数的表达式，以及一次函数的表达式，需要去找这两个函数图像上的点坐标， 那么反比例上面只有 c 点，而 c 的 坐标呢，给了是一逗号 a， 逗号一，所以我们需要把 c 的 坐标具体的求出来，也就是求出来 a 是 多少，那么直线 o c 呢？准确来说它是一个正比例函数， 那么它只需要一个点坐标就可以了，那这上面呢？哎，我们除了圆点，我们知道的还是 c 点，也就是说无论求反比例还是求这个直线的解析式，都需要把 c 点坐标求出来。 那么如何求 c 点坐标呢？那这个题的信息， a 和 b 的 坐标是有的，那就相当于有 o a 和 o b 的 长度。已知 这两条线段是互相垂直的，那当我们看到这种模型的时候，我们能想到什么呢？那我会想到，如果我过 c 点做一个垂线，那么得到的这两个直角三角形就成了一线三垂直的模型，那显然在这个模型中是用来正相似的。 那么正相似的话呢，比较好理解，因为它们各有一个直角，并且角 o a b 加上角 o b， a 是 九十度，那么因为这里是垂直的，所以角 c b d， 我 们假设这个垂足为 d， 这个角呢，加上角 oba 也是九十度，所以同角的与角相等，可以得到这个和这个两个角相等，那么两组角相等，就可以正两个三角形相似，正完相似之后，我们就可以去列比例式， 那么 o 这个 a， o 比上 b， d 就 等于 o， b 比上 d， c， a， o 和 o， b 分 别是四和二，那么 c， d 因为 c 的 纵坐标是一，所以 c、 d 这一段长度也是一，那么在这个比例式中，我们就可以求出 b、 d 的 长度，那 b， d 等于二， b， d 等于二，所以 c 的 横坐标就是四，也就是 a 是 四。 那有了 c 的 坐标之后呢，我们就可以将 c 点带入两个函数解析式中去，把未知的这个字母给它求出来，所以最终得到呢， k 是 等于四的， 那么我们假设这个正比例函数的解析式是 y 等于 k， x 同样还是将四一带入，可以得到这个解析式是 y 等于四分之一 x。 第二问，将直线 o， c 向上平移二分之三个单位，得到直线 l， 求直线 l 与反比例函数图像的交点坐标。那么首先这是一个简单的函数图像的平移问题， 那么对于这个一次函数来说，向上平移我们就是在他的最后加上平移二分之三，单位呢，我们就加上二分之三，所以直线 l 的 解析式就是 y 等于四分之一， x 加二分之三。 好了，那么要求直线和反比例函数的焦点，求两个函数图像的焦点，那就是将这两个函数图像连立起来，从而去解方程。那我们连立起来之后呢？ 这其实本质上是一个分式方程，那我们要解的话呢，我们需要两边同乘 x 乘完之后它会变成一个 一元二次方程，先对它进行化简，化简成为一般形式。之后呢，我们可以利用十字相乘法解出来。这个方程的结果呢，分别是两个根为，一个是二，一个是负八，那就意味着两个图像交点的横坐标分别是二和负八。 那纵坐标的话，我们可以将两横坐标分别带入这两个函数中，带入一个就可以了，得到最终的焦点就是二二和负八以及负二分之一。

同学们大家好，我是龙博士的胡老师。今天我们来看到反比列函数的一道题目，如图，已知点 a， b。 在 反比列函数 y 等于 x 分 之三的图像上，过点 a 的 一次函数 y 等于 k， x 加 b 的 图像与 y 轴交于点 c， 零一。第一问，让我们求 mn 的 值和一次函数的表达式，我们来看一下， 已知 a 为 e， m， b 为 n e。 当我们用代定系数法将 a、 b， a、 b 代入反比例函数 y 等于 x 分 之三中，那么此时 x 等于一， y 就 等于 m， 那 么 m 呢？就等于三。除以一等于三，再将 b 代入 y 等于一了 x 等于 n， 那 么一就等于三。得到 n 就 等于三。知道了 m 等于三， n 也等于 三。之后，又因为该一次函数过哪两个点 a 和 c， 那么 a 此时是一三， c 此时是零一两点。确定一条直线，将其代入到 y 等于 k， x 加 b 中，即 k 加 b 等于三， b 等于一四式 k 等于二， b 等于一，所以一次函数的表达式为 y 等于二， x 加 e。 好。 第二问，连接 ab， 求点 c 到线段 ab 的 距离， 那么如图，连接 ab 之后，我们再来做一条辅助线连接 bc， 那 么过点 a 做 ad 垂直于做 ad 垂直于 bc， 垂足为点 d。 再过点 c 做一条垂线 c， e 做一条垂线 c， e 垂直于 a， b 垂足为 e， 那 么此时图像长这样， 又因为 c 为零一， b 为三一 bc， 我 们就知道平行于 x 轴对不对？那么此时 bc 的 距离是不是用三减零？ bc 等于三，又因为 a、 d 垂直于 bc， 所以 点 d 呢？又为多少？点 d 就 为 e e a， d 的 横坐标是相等的，那么 c、 d 呢？纵坐标是相等的，所以 d 就 为 e、 e。 那此时我们就知道了 a、 d 等于二， d、 b 也等于二，对不对？用三减一，然后再用三减一。 那么在三角形 a、 d、 b 中，这是不是一个直角？ a、 b 就 等于 a、 d 的 平方加 d， b 的 平方开根号就等于多少二倍的根号二。 那么此时三角形 a、 b、 c 的 面积等于多少？底乘高 等于 c， b 乘以 a， d， d 乘高乘二分之一，那么此时三角形的面积也等于 ab 乘以 c、 e 乘以二分之一。 我们运用等面积法知道了 c、 b， a、 d， c、 b 此时是三， a、 d 此时是二乘二分之一等于多少呢？ a、 b， a、 b 等于二倍的根号二， c、 e 是 我们要求的 c 到线段 ab 的 距离乘以 c、 e 乘二分之一， 那么此时三就等于根号二倍的 c、 e， c、 e 就 等于 三。除以根号二，分母由梨花二分之三倍根号二，即点 c 到 a、 b 的 距离为二分之三倍的根号二。那么本题考察了反比例函数待定系数法，即求一再函数表达式勾股定律与三角形高有关的计算。

今天我们一块来学习一下反比例函数与几何综合大题当中相似比例面积题型，它应该是怎样做的？我们以二四年的江苏中考真题为例 说如图点 a 是 我们函数 y 等于负 x 分 之一图像上的一个点，过了 o 点作 o， b 是 垂直于 o a 的， 而 b 点正好是我们函数 y 等于 x 分 之四上的一个点。 让你求 o b 和 o a 比值。我们一看到这种题的话，有一条直线，然后直线上有一个九十度角，是我们就会想到一线三垂直的关系，所以这里边不妨我们可以过 b 点和 a 点就分别做我们 x 轴和 y 轴的一个垂线，分别交于我们 c 点和 d 点。 有反比例函数 k 的 几和 e， 可以 知道三角形 a、 o、 d 的 面积是不应该等于二分之一 k 的 绝对值，所以那这里面的 k 是 一，那就是等于二分之一。而我们三角形 b、 o、 c 的 面积是不也等于二分之一 k 的 绝对值，而这个 k 是 不等于四，所以那这里边就是二， 那我们通过 e 线三垂直是不可以减 e 的。 求证出三角形 a、 o、 d 和三角形 o、 c、 b 是 相似的，由相似的性质是不可以知道三角形 o、 c、 b 的 面积比上三角形 a、 o、 d 的 面积是不应该等于它的相似比的平方，那它的相似比是不正好等于 o b 和 o a 的 比值， 那我们由上边得到了二分之一和二了，那所以是我们可以得到 o、 b 和 o a 的 比值的平方就应该等于二，比上二分之一就等于四， 所以那我们之间的比例关系是不是就等于个二，通过我们面积比等于相似比的平方。这一结论是我们可以在不知道 a、 b 的 点的坐标的情况下，直接得出我们相似的比例关系。

好，各位小伙伴大家好啊，今天和大家分享的是一道二次函数与反比例函数相结合的一道综合体，说实话呢，反比例函数和二次函数在我们平时学习的时候呢，都是比较 难处理的点啊，两者结合到一起呢，会更加的难上加难，所以大部分同学对此感觉呢，都 感觉到会束手无策啊，今天我们就来看这样一道一道题好，如图示这个长方形 oabc 在 平面直角坐标系中的位置，如图所示， o a 的 长度等于三， o c 等于二。 呃，好了，我们看一下啊，这个，首先呢，这个长方形他的位置放，这样放的话很明显， a 点呢，在 x 轴上， o 点在圆点，对吧， c 点在外轴上，那么这个时候我们发现 a 点坐标呢，他就是三逗号零， c 点坐标他就是零逗号二，那当然了， b 点坐标呢，就是三逗号二。 好了，下边反比例函数登场，说反比例函数呢， y 等于 x 分 之 k 与 b， c 还有 ab 分 别交于点 e 点 f。 让我们求这个三角形面积的最大值， 那我们大家首先看一下啊，这个三角形的面积啊，说到三角形的面积的话，那么很明显我们最喜欢的是什么呢？这个三角形的边啊，有横平竖直的边对不对？恰好呢， af 就 符合这个条件，它是一个垂直于 x 轴的这个边。 好吧，那这样的话呢，我这个叫什么呢？这个三角形 aef 的 面积， 它很明显的，它会等于什么呢？二分之一乘以底儿，把 a f 当底儿高呢，就是 b e 是 吧，就是 b e 好 了，那么怎么求 a f 和 b e 呢？我们看一下，这是反比例函数与两个线段的交点，对吧？那么 e 点和 f 点呢？首先都在反比例函数图像上，所以我们逐个的来处理啊，看 e 点坐标， e 点坐标，因为 b e 这条线和 x 轴平行，所以它的纵坐标一定是二，考虑到它在反比例函数图像上，所以它的横坐标一定是二分之 k， 那 么同样道理，看 f f 点的坐标，因为 ab， 它是和这个 y 轴平行的时候，所以啊，那么 f 点的坐标和 a 点的 横坐标应该一样，所以是三，那么它的纵坐标必然是三分之 k， 那 这样的话，我们来看，我们往下带这个式子就行了，对吧？它就等于二分之一乘以 a f， a f 是 什么呢？它是垂直于 x 轴的线段，它的长度呢，自然是上减下，所以就是 三分之 k 减去零，对吧？就是三分之 k 啊，所以 b e 平行于 x 轴， 那么 b e 的 长度，我们就应该用右边坐标横坐标减去左边的横坐标，所以是三减去二分之 k。 好 了，大家直观的可以发现一下啊，这个呢，实际上是什么呢？ 它就是一个这，这叫什么呢？啊？它就是个二次函数，对吧？就是个二次函数。好了，那么这个二次函数的话呢，呃，我们可以 为了方便起啊，我们把这个二呢给它提出来，对吧？所以变成十二分之 k 乘以，呃，六减 k 啊，好了，最终我们可以把它化成什么呢？化成这个二次函数的顶点式，应该是负十二分之一乘以 k 减三，括住方， 然后再加上四分之三。好了，看看，这是个二次函数，因为负的十二分之一它是小于零的，所以 k 等于三的时候，这个三角形 a、 e、 f， 它的面积 就有最大值，对吧？最大值是多少呢？最大值是四分之三 啊。呃，说起来了，这个题呢，整个是以长方形为背景的，加上一个 反比例函数，对吧？最后求最大值的时候呢，又用的是二次函数的相关知识啊。如果这三点都明白的话，你这个题做下来应该是没问题的。 ok， 你 听明。

同学们大家好，我是小鹿老师，这节课为大家讲一道我们寒假正在预习的啊，预习初三反比例的内容这块的这个这个知识点，这个题型是很多预习阶段的同学不会做的，然后你看看你自己是否会做，不会做的同学来直接看黑板 说正比例函数它与函数它的图像交于 ab 两点，然后我们看一眼这个图，就是这这个点和这这个点是交点。那其实我们在脑海中应该有这么一个意识，就是 a 和 b 是 关于原点对称的点坐标，因为这是一个正比例函数，它是关于原点对称的，所以 我其实可以理解为这个 a 点，比如说是负 a 点，它的横坐标就应该是负 a， 逗号负 b， 同学们一定要有这个意识。 然后我们再来看这个题，他说各个 b， c 呀， a， c 呀，都是平行于数轴的坐标轴，他说则 x abc， 哦，就是 abc 的 面积是什么？ 那我们就可以从面积入手，这个面积其实在很多题我讲二次函数的时候说过，就是咱们一定要把平行于坐标轴的当底， 就如果你说没有平行坐标轴呢？没有的话就构造，那显然是有的，所以这个面积是不应该等于二分之一乘以 bc 再乘 ac。 那 么难点就来了，这个 bc 的 长，它 ab 的 坐标都没给，那怎么办呀？ 我们不正好解设了吗？那你就直接你看啊，那 bc 的 长度是不是因为 c 和 a， 它是平行于 y 轴的，所以 c 它的坐标是不是就是 a？ 这是负 a， 就是 二 a， 对 吧？ 然后咱们再来看 a c 的 长，这个 a c 是 不是二 b， 所以 你发现这个 s 其实就是二分之一乘以二， a 乘二 b， 那 是不是等于二 a b？ 那 同学们就就会反问了，说这二 a b， 这 a 乘 b 是 啥呀？ 来，这就是反比例这块的一个考点了，反比例函数，如果 a b 这个点就这个大 a， 它是在反比例上的，那是不是证明 a 小 a 小 b 是 在这个一次反比例解析式上的？所以 b 是 不就等于 a 分 之六？那同学们看 a 乘 b 是 不是自然得六了？ 那我们这个题是不是就二乘六？是不是这道题答案出来了？所以这种题这么做，你们很多同学会把这什么拆开照，再拆开照这种我觉得考虑你就麻烦了，所以你就大胆的解设在反比例这块跟面积结合题型的时候。 这个题啊，我建议你预习阶段就腾到你的错题本或笔记本上，听懂的同学可以给小吴老师点个关注。

无论哪个版本的教材，也无论哪个地区，依次函数与反比例函数总和题是必考的题目，如果不能突破类似的题目，在中考中很难取得好成绩。 依次函数与反比例函数的图像交于点 a 与点 b， 养成好习惯，边读题边标记，标出点 a 与点 b 的 坐标， 连接 a o b o a o 的 延长线，交反比例函数图像与点 c 反比的函数图像是中心对称图形，因此点 c 的 坐标为负一，逗负六。 所有的难题，第一问都是赠分的题目，求依次函数 y 一 的表达式和反比的函数 y 二的表达式。 用代定系数法将点 a 与点 b 的 坐标带入一次函数表达式， 解得 k 一 等于负一， b 等于七，所以一次函数的表达式为， y 一 等于负 x。 加七， 将减 a 的 坐标代入反比例函数表达式，解得 m 等于六，所以反比例函数的表达式为 y 二等于 x 分 之六。 再看第二外，当外一大于外二时，写出自变量 x 的 取值范围，在图像上画出示意图，移动点 x， 此时外一等于外二，此时外一等于外二， x 大 于一，小于六十。 y 一 大于 y 二， x 在 负半轴时， y 一 总是大于 y 二，所以 x 的 取值范围是 x 大 于一，小于六或 x 小 于零。请同学们一定要注意，不要漏掉解 所有的难题。第三问是拉距离的题目，突破了第三问才能成为优秀生。 边读题边标记点 p 是 x 轴上的一点，在 x 轴上标出点 p。 当三角形 p a、 c 的 面积等于七分之六，三角形 a、 o、 b 的 面积时，求点 p 的 坐标 构造出三角形 p、 a、 c。 有 一次函数的解析式，得到一次函数有 x 轴， y 轴的焦点坐标为 零斗七、七斗零。怎样得到三角形 a、 o、 b。 的 面积呢？通常用分割法， 三角形 a、 o、 b。 的 面积等于这个大的三角形的面积。减这两个阴影，三角形的面 积底是七，高也是七，能求出它的面积。这个紫色三角形的底是七，对应的高是一，也能求出面积。 绿色三角形的底是七，对应的高是一，也能求出面积。用分割求差法得到三角形 a、 o、 b。 的 面积为二分之三十五，因为三角形 p、 a、 c。 的 面积 等于七分之六，三角形 a、 o、 b 的 面积，从而我们得到三角形 p、 v、 c 的 面积等于十五。 设点 p 的 坐标为 m， 勾零，将这三角形分成红色三角形和黄色三角形。 红色三角形的底为绝对值 m。 为什么要加绝对值呢？因为点 p 可以 在 x 轴的正半轴，也可以在 x 轴的负半轴， 所以底要加绝对值。红色三角形的高是六，黄色三角形的高也是六， 从而我们列出下面的方程， m 的 绝对值等于二分之五，解得 m 等于正负二分之五， 所以点 p 的 坐标为二分之五等于或负二分之五等于。亲爱的同学，你听明白了吗？如果听明白了，就给刘老师点个赞吧！

讲一下这道有关反比例函数的压轴题啊！在讲这道题之前，先给大家总结一个在反比例函数当中经常用的一个小方法啊，这个方法我把它叫做什么呢？双点列方程啊，双点列方程 什么意思呢啊？大家应该能清楚这么一个基础知识，就是在反比例函数上，如果有某个点，我记作点 a， 它的横纵坐标是 ab 的 话啊， 那 a 乘 b 一定是一定等于什么，一定等于它的 k 值吧。有 a 乘 b 一定等于 k， 那 同样的道理，我再找一个点 m n 对 吧？那同样我们可以得出 m n 也应该等于什么，也应该等于 k。 这个小知识点大家都应该能清楚，但是一旦遇到类似这样的压轴题，有些同学往往很难想到去列方程， 所以下次啊，大家再遇到一个反比例函数上出现两个点式，就像这个问题，出现两个点式，那么我们一定可以得出什么，就是这两个点的横纵坐标的乘积是一定 一定想等他，哎，也就是 a 乘 b 一定等于 m n， 因为他们都等于反比例的 k 值。哎，这个小方法啊，我就把它记作双点列方程了啊，好，大家一定要记住啊，遇到反比例函数，看到双点，大概率都可能会用到这个等量关系的。 好了，有了这个等量关系，实际上这道题呢，处理起来也不是很难了啊，来，我们看一下吧，给了我们三角形 a b c 是 一个等腰直角三角形，并且 ab 所在的直线是与 x 轴垂直的，其中 bc 就是 反比例上的两个点。 还告诉我们，一个三角形的面积 o a b 等于五，只要给面积，那往往这个等量关系就不难想了，那你一定要去找这个三角形的底与高二分之一底乘高等于五啊，再加上刚才我说的看到两点，我们根据这两点呢，也可以去列一个方程 哎，所以这道题呢，他有两个等量关系，那我们就可以去设两个未知数，列两个方程，最终解方程中的答案解决啊。 好了，那为了表示这个点的坐标，我们如何来处理，如何设未知数 能方便一些呢？那既然有等腰直角三角形啊，那我们要联想这个横平竖直做辅助线，实际上你就去利用三线合一，过点 c， 向它的底做一个垂线 c h， 哎，做 c h 垂直于这个 ab， 你 只需要设 a h， 我 用小写字母 a 来表示，那么 c h 和 b h 都应该等于这个 a 吧，都应该等于 a 啊。然后它还告诉我们 o a 这条直线解析式是 y 等于三分之二 x， 所以 我可以设点 a 的 横坐标，就用 m 来表示啊，那么它的纵坐标带入这里就是三分之二 m。 好，在这里边我一共设了两个位置数啊，那接下来你只需要表示出 bc 的 坐标，以及这个三角形的底与高，最后根据双点列方程以及这个面积啊，列两个方程，列两个方程解方程组就可以搞定的啊。 好，那我们看下点 b 坐标怎么表示，点 b 跟点 a 坐标横坐标应该是一样的，也是 m 吧，对不对？而他的纵坐标啊，是在 a 的 纵坐标三分之二 m 的 基础上是不多了。两个 a 啊， 加上 ab， 两个 a 啊，也就是三分之二 m， 再加个二 a 啊，这是点 b 的 坐标，而点 c 呢？ 它的横坐标应该比 a 的 横坐标是吧？多了 a 值啊，长了这么一个 c h， 所以 它的横坐标就是 m 加 a 都什么？而纵坐标是在 a 的 纵坐标三分之二 m 的 基础上，再多加个 a 就 好了，对吧？再多加个 a， 所以呢， bc 两点坐标我们表示出来了，我就可以列出第一个方程，两个点都在反比例上，所以这两点的横纵坐标的乘积，也就是 m 乘以谁啊？三分之二 m 加上二 a， 好， 第一个横纵坐标相乘等于第二个点 m 加 a， 这个横坐标乘以它的纵坐标三分之二 m 加个 a 啊， 好，这是第一个方程，那么第二个方程就根据这个面积去列了。找一下，这个三角形的底实际上就是 a b， 也就是二 a 吧，就是二 a 啊，再乘以谁，他的高是 o a， 而这个 o a 实际上就是 a 的 横坐标 m 啊， 他应该等于五啊，等于这个面积。我们先整理下下面这个方程啊，二分之一和二约掉了，你就可以得出 am 等于 am 等于五，好，得到这么一个关系啊， 而上面这个方程呢，你看似繁琐点，实际上去掉括号啊，也很简简单了啊，通过化简来，我们去个括号前面可以变成三分之二， 三分之一 m a， 对 吧？应该等于 a 方，其中这个 m a 啊，我们通过这个方程已经得出了 m a 就是 五，所以我把它替换成五，也就是三分之五等于 a 方，好，我们能得出 a 方等于三分之五。而这道题让我们求的这个三角形 a b c， 就是 这个等腰直角三角形，它正好是二分之一，谁啊？底 底是这个二 a ab 啊，乘以高高是 c h， 那 也是 a， 恰好是 a 方，化解之后恰好是 a 方，对不对？ a 方是三分之五，所以最终这个面积就是三分之五啊。所以通过这道题啊，主要给大家总结的一个小结论啊，是引含的一个等量关系，下次遇到了一定要要想得到啊，就是反比例当中出现两点，一定要想到双点列方程。

搞定一次函数和反比例函数，难题只有四个核心大招，第一招，看到直线夹角，立即联想斜率等于角的正切值。 第二招，反比例函数图像上的图形面积，想与系数 k 相关的面积模型。第三招，出现双曲线上的点，过该点做垂直构造双线模型。第四招，出现一次函数与反比例函数的交点， 想线段相等模型。理解这四个核心大招，解析思路会清晰很多，希望这个小书里对你有所帮助。

hello， 大家好，我是小静老师，今天和大家分享的是天利三十八套常考基础题，练习练习八、反比例函数，这是强化训练的第四题，我们看这个题，先来看题，如图，这个图 o 是 坐标原点 r t 三角形 o， a、 b 就 直角三角形 o a、 b， 它的直角顶点 a， 这里是直角 o a、 b， 这个是直角。在 x 轴的正半轴上， ab ab 它是二， ab 的 长度是二角， a， o、 b 等于三十度， a、 o、 b 这个角是三十度。 反比例函数 y 等于 x 分 之 k， k 大 于零，也就是这个曲线反比例函数，它的图像经过斜边 o b， 它的中点 c， c 是 斜边， c 点是 o b 的 中点。 然后第一问问的是 k 是 等于多少 k 的 话，这个相对来说比较简单。这个反比函数 y 的 x 分 之 k， 我 们要求 k， 我 们只需要知道它的一个点带入进去，把 x y 这个值带入进去就知道了。 那这个点我们唯一可能知道的就是 c 点，它和这个三角形 o、 a、 b 有 一个交点 c 嘛，所以我们需要知道 c 点的坐标，因为它讲了 c 点是三角形 o、 a、 b 的 斜边上的中点，所以 o， c 等于 bc 等于 ac， 然后告诉我们 o、 b 它的长度是二，而且还告诉我们角 a、 o、 b 是 三十度，三十度对应的这个边 a、 b 是 斜边 o b 的 一半，也就是二，就是 o， b 是 四，然后 o a 它应该是二倍根号三， 这个这一段 o， a 是 二倍根号三， o、 b 是 四，也就是说 bc 它是二， oc 也是二， ac 也是二，我们知道的这基本上都知道。那 c 点坐标呢？我们可以把 c 点向 c 点向下，做一个 x 轴的垂线， 那这个三角形，假设这个地方是 abcd， 假设这个地方是 e 点 e， 那 c、 e， 它就平行于 ab， 这是个三角，相似三角形，而且 c 点是三角形 oab 的 一个斜面上中点，所以 c、 e 平行于 ab， 是 ab 的，是 ab 的 一半，但是它的中位线相当于是 ab 是 二，那 c、 e 就是 一。也就是说 c 点的横，这个外折， 这个是。假设这个是 f 点过点 c 向外轴做一个垂线， f 交于 f 点，那 c、 e 是 ab 的 一半，就是 c， e 是 二，那也就是说 o f 等于一啊一 ab 是 二， c e 是 一，因为它是三角形 o、 ab 的 中位线， 所以这个 c 点的坐标纵坐标就是 y， 那 横坐标呢？横坐标我们可以看一下，那就是说 o e， o e 是 多少呢？ o e， 它，它也是因为三角形的中位线定律吗？因为 c、 e 是 它的一个中位线，它平行于 ab， 所以 o、 e 它也是 o a 的 一半，就是就是 o， e 是 根号三，因为 o a 是 二倍根号三嘛， o e 是 根号三，那我们就可以知道 c 点的坐标就是根号三， o e 是 根号三，然后是 f 一， 然后把 c 点坐标代入 y 的 x， 分 之 k 就 可以知道，就可以知道这个 k 就是 根号三。 第一问就算出来比较简单，我们看第二问，第二问稍微有点难问。 d、 d 点是该反比例函数图像上的一点，这个 d 点，若 b、 d， 它是平行于 a， c 就是 a、 c 和 b d 平行， 问 ob 的 平方， o、 b 的 平方减去 b、 d 的 平方，它值是多少？他让我们求这个，那我们必须是不是得求出来 ob 和 b、 d 的 长是多少，也就是 ob 是 多少？ b、 d 是 多少？ ob 我 们刚才已经算出来了， ob 应该是四，它就是因为三十度，就是，怎么说呢？就是三三十度， 三三十度，也就是说三三十度就等于 a、 b 比上 o、 b， a、 b 是 多少呢？ a、 b 是 二，那 o、 b 呢？三三十度等于二分之一，那 o、 b 多多少多少呢？ o、 b 就 等于四，我们就可以知道 o、 b、 o、 b 是 四四的平方，减去 b、 d， 我 们现在要求 b、 d 是 多少， 怎么求 b、 d 呢？ b、 d 是 和它平行的， 我们要求 b、 d， 那 我们就可以就是先过点 d， 把这个 b、 d 延长延长，和 x、 x 轴相交于点 m， 然后把过点 d 做一，向 a、 b 做一个垂线，假设这个地方是交于 n 点 m、 n， 那 因为 b、 d 的延长线就是 bm， 它和 c、 a 是 平行的，所以这个角角 omb， 它和角 oac 这两个角是相等的。然后另外一点呢，这个角呢？ 因为我们刚才知道中位线定律，可以知道 o、 c 等于 c、 a 都是二，那角 c、 a、 o， 它就等于角 c、 o、 a 等于三十度，因为它是一个，它是一个等腰三角形，所以这个角角 ob， 它也是三十度，这个角是三十度。 然后呢，因为我们做了个垂线， d、 n 和 x 轴平行，所以呢，角 b、 d、 n 这个角它也和下面这个 b、 m、 o 相相等，也是三十度，因为它们平行嘛， 那我们就可以知道，那我们就可以知道了。你想想这个， 那也就是说，嗯， tanning 三十度， tanning 三十度就是这个，这个角的 tanning 指就是 b、 n、 b、 n。 再除以 b、 n 比上 d n， 就等于它内三十度是三分之根号三 b n 比上，用 b n 比上 d n， b， n 我 们不知道， d， n 目前也不知道，但是呢，我们可以因为这个地点它是过反比例函数， y 的 x 分 之 k 的， 那 k 等于。第一问，我们求出来 k 是 根号三，也就是说我们可以设 地点是，假设它是 m， 地点，横坐标是 m， 那 就把它带进去，那外值是多少呢？ m 分 之根号三， 那就设这个 d 点是 mm， 分 之根号三。 d 点坐标我们已经设出来， d 是 mm， 分 之根号三。那么那么 d， d， n， d， n 就 等于多少呢？ d， n 就是 d 点的横坐标，减去 a 点的或者 a 点的横坐标 a 点是多少呢？ o， a 是 二倍根号三，所以 d 点的横坐标 d 的 横坐标是 m， 那 么我们就可以知道 d， n 就 等于 d， n 就 等于 m， 减去 o， a 是 二倍根号三，也就是 d 点的横坐标 o 到 d 到这个地方，我们就可以根据 d 点设的坐标 mm 分 之根号三，我们就可以知道 那 d n 就 相当于是用 d 点的横坐标的长度。减去 o， a， 也就是 m， 减去二倍根号三，就是 d n， 那 b， n 是 多少呢？ b， n 就是 这一段 b， n， 它就相当于是 ab， 减去 a n， a， n 就是 d 点的纵坐标，那也就是 b， n 就 等于二，减去 m 分 之根号三。 这下我们就知道可以用设点 d 的 坐标，可以把 d， n 和 d， n 表示出来，然后代入上面这个贪心三十度，等于 b n， b， n 比上 d， n 等于三分之根号三，我们可以算一下这个，这个解起来会有点麻烦。 二、减去 m， 分 之根号三，然后比上 d n 是 m， 减去二倍根号三，就等于三倍根号三，我们先让它交叉相乘再相等，那就是 m 减二倍根号三，那就是根号三 m 减去二倍根号三，二倍根号三，乘以根号三，那就根号三乘根号三，那就是二乘三就等于二。减去 m 分 之。根号三再乘三，那就是二，三得六，六减去 m 分 之三倍，根号三， 交叉相乘再相等。然后呢，那我们就可以知道这里是减，这里是减六，我们把它合并同类项，这就是根号三 m， 这边是减 m 分 之三倍，根号三加放到这边是加上 m 分 之三倍根号三，就等于这是减六，放到这边就是十二 根号三 m 加上三倍根号三，这个 m 它肯定不等于零，所以我们就可以把消，把下面这个 m 乘一个 m 消掉，那就会变成根号三 m 平方，再加上三倍根号三，等于十二 m， 所有项目同乘以 m， 因为 m 不 可能等于零，对吧？那然后呢？然后我们再算，那就是根号三 m 平方，这边是加十二 m， 再加上三倍根号三就等于零。 我们先要判断一下，看德尔特等于多少，德尔特等于 b 平方，负十二的平方，那就是一百四十四，减去 b 方减四 a c 四乘 a 是 根号三四 a c 三倍根号三就等于 三，根号三乘根号三是三，三乘以三，三得九，九乘九四九三十六，那就一百四十四减去三十六，它是大于零的，所以它是有解的，那我们直接用这个， 直接用公式法，然后计算算一下这个方程， x 等于二 a 分 之二 a 二倍杠三二 a 分 之负 b， 那 就负的负十二十二加减上杠一下， b 平方减四 a c， b 平方减四， a c 上面已经算过，那就是一百四十四减三十六，那也就是说是 一百四十四减三十六，那就是一百零八，刚好要一百零八，那等于多少呢？一百零八开根号。嗯，我们先看啊，一百零八除以二是五，十四，再除以二是五，十四是二十七， 再除以二十七，能除谁呢？能分解成四除以三是九，三九二七再除以三是三，他相当于是两个二和三个三相乘。最后一百零八，那我们就开，可以开出来二乘二，那就是可以开出来一个二，外面可以开出来一个三，二乘三，然后根号下 把二乘二开出一个二，然后三乘三开出一个三，那就是三刚好三，也就是说它等于六倍刚好三，六倍的刚好三。我们还原一下平方，一下六六三十六，三十六乘以三，那就是一百零八嘛，对吧？没算的，没毛病。六倍刚好三，那就是十二加减六倍刚好三，然后再除以二倍，刚好三。 啊，那怎么办呢？我们先把它消掉一个，先把它这个消掉一个，根号三分之六加减三倍根号三，然后等于多少呢？六加上三倍根号三除以根号三， 六除以根号三，下面乘个根号三，上面乘个根号三，那就是根号三乘根号三， 也就是说它是三消掉，那就二倍杠三、二倍杠三，再加上三倍杠三除以二倍杠三等于三，也就二倍杠三加三。第一个 x 就是 二倍杠三加三，然后第二个呢？是， 那就是二倍杠三减三，因为哦，就是这个 x 相当于就是 m 这个值了嘛？ m m 他 肯定是大于二倍根号三的，因为 d n 是 m， 减二倍根号三，所以他必须是二倍根号三加三，这个二倍根号三减三，去掉舍去，这个答案不对，因为 d、 n 是 m， 减去二倍根号三嘛，对吧？他必须大于二倍根号三，他才能是个正正的值， 那这下我们就可以知道 m 的 值，我们设设这个 dm， 那 个 d 的 坐标就是 m， m 就是 二倍根号三加三，二倍根号三加三，然后呢，这个外值是多少呢？那就是我们可以算一下，那就根号三除以二倍根号三，根号三除以二倍根号三减三， 那这个要怎么算呢？我们要乘以一个二倍根号三加三， 那就是用那个平方差公式，二倍杠上三的平方减去三的平方，二倍杠上三的平方就是四乘三等于十二，十二，再减去三的平方九，那就是说十二减九等于三，那就是三分之根号三乘二倍杠上三，那就是二乘三是六六加上三倍根号三， 然后再除以下面这个三，那就等于二加上根号三，二加根号三，一点的坐标就是二倍根号三， 二倍根号三加三，然后是二加上根号三，这就是 d 的 坐标， d 的 坐标我们知道了，那 b、 d 是 多少呢？ d n 那 d 点坐标知道了，那 n 点的坐标， n 点坐标，我们就可以求出来，对吧？因为 o a 是 o， a 是 二倍根号三，那 d 点的横坐标是二倍根号三加三， 那 d n 是 多少呢？ d n 就 等于二倍杠三加三，再减去二倍杠三，那就是三。 d n d n 这一段它是三，那 b、 d 是 多少呢？ b、 d 就 等于 cos， 相当于是 cos 三十度， 我们就可以用这个 d、 n 比上 b、 d， d， n 比上 b、 d， 就 等于 cos 三十度， cos 三十度是二分之二三， d， n 是 三，那 b、 d 是 多少呢？ b、 d 我 们就可以知道是 b、 d， 我 们就可以算出来了。三乘二， 二三是六六，再除以根号三，就等于乘以一个高六倍根号三。下面乘一个根号三，那就是三分之六倍根号三，就二倍根号三， b、 d 是 二倍根号三， 那我们现在就终于可以求最后这个值了。 ob 的 平方就是四的平方，那就是十六减去 b、 d 的 平方。 b、 d 是 二倍根号三，二倍根号三的平方是多少呢？二的平方是四，根号三的平方是三，三、四十二，十二，十六减十二，就等于四，所以最后就可以算出来， ob 的 平方减去 b、 d 的 平方，最后这个值是四。 这个题主要就是第二问有一点难，就是其实其实根据你根据这些三角形，三角形的中位线定律相关的这些，还有这个三角函数值相关知识，以及反比例函数， 他的图像的性质，我们就可以求出来。但是就是计算量比较大，我们经常要涉及到根号，根号在分母上的情况，你需要想办法把它消掉，会会用到很多计算的技巧以及计算量，你看整个的计算量，还有解二次方程，带根号的二次方程，整个计算量非常大，所以说这这个题不是很好拿分。 呃，这个大家如果比较熟练的话，是可以解出来的，因为它计算量非常大，不过如果是大家成就是没有那么熟练的话，这个计算量会非常大，可能需要二十小、二十分钟、十五分钟、二十分钟才能计算出来，这个啊不一定要求大家完全掌握， 就是你的分数比较高的话，一百分以上的话，你可以尝试去搞定这个题。好，这个题就讲到这里。

小明 小明。 小明， 小明，小明。

百分之九十的学霸都不知道反比例函数中的这条结论。平行结论，我们来看看。反比例函数上面任取两个点 a、 点 b 分 别过点 a 去往外轴 x 轴上做垂直，过点 b 往外轴 x 轴上做垂直。我们得到四个交点， d、 e 还有 g、 h。 平行结论指的就是 ab， 它会平行于 d， e 平行于 g、 h。 同样的，如果 a、 b 这两个点在双曲线的两支上面，它也同样会满足 d、 e 平行于 a， b 平行于 h， g。 为什么会有这个结论呢？我们来快速证明一下。 a、 b 为什么平行于 d、 e。 我 把 a、 o 连接起来， s 三角形 a， d、 o 根据我们之前学的 k 的 几何， e， a， d、 o 的 面积会等于二分之一 k 的 绝对值，我把 b、 o 也连接起来，那么 s 三角形 b、 o， e 也会等于二分之一 k 的 绝对值。那我们再观察一下三角形 a、 d、 e 和 a、 d、 o 是 什么样的关系呢？ 等底同高，所以它们的面积也是相等的，因为它们也是等底同高的， 所以我们就能得到 s 三角形 a， d、 e 等于 s 三角形 b、 d、 e。 那 这两个三角形它们又是等底的，所以它们的高会相等。也就是说， a 点到 d、 e 之间的间距和 一点到 d、 e 之间的间距是相等的，我们平行线间的距离才会处处相等，所以我们就能证明 a、 b 是 平行于 d、 e 的。 至于其他几条线之间的平行关系，我们也都可以用相同的方法来证明，大家可以自己尝试一下。学校数学没吃饱来找饭饭开小灶，记得关注哦！

这是一道中考题，反比例函数 y 的 x 分 之六图像分别位于哪几个象限？ 首先，反比例函数表达式为 y 等于 x 分 之 k， 那 么说明 k 等于六大于零， k 大 于零。我们知道图像经过一、三象限，如果 k 小 于零，图像经过二、四象限，那么在这里 k 大 于零，所以图像经过一、三象限，弹选 a。

今天跟着田老师一块掌握一种反比例函数与几何综合题型当中的一个结论，掌握这个结论，那么我们在解答题当中的求正题，乃至让你求线段长度的题都会做了，那是什么结论呢？就是 已知 ab 两点为反比例函数解析式上的任意两个点，然后 ab 延伸出来是直线，它与我们的 x、 y 轴交于 m、 n 两点， 然后过 a 点和 b 点分别做了我们 x 轴和 y 轴的垂线交于 e、 f 两点，然后连接了 e、 f， 它的结论是什么呢？结论就是 am 的 长度等于 b、 m 的 长度。 那我现在是不是需要证明这个结论？好，那我们先看一下三角形 a、 e、 f 这个三角形，我们通过以前的一个求证方法是不可以知道 a、 e、 f 的 面积是不应该等于三角形 a、 e、 o 的 面积是不应该都等于二分之一个 k 的 绝对值。那么同样道理是，我们的三角形 b、 f、 e 的 面积是不也等于三角形 b、 f、 o 的 面积是不也等于二分之 k 的 绝对值？ 那我们是不可以得到结论就是三角形 a、 e、 f 和三角形 b、 f、 e 是 相等的， 我们会发现两个三角形它的底是共同的，那么也就是说这两个三角形的高度是不应该是一致的。 那我们不妨设三角形 a、 e、 f 的 高为 h 一， 那我们三角形 b、 f、 e 的 高是为 h 二，那则 h 一 和 h 二相等。只要知道了 h 一 和 h 二这两个高相等是，我就可以得到我们的 m、 n 数平行于 e、 f， 那 既然是我们这两条线是平行的了，所以这我们就可以得到四边形 a、 e、 f、 m 为平行四边形，所以 a， e 的 长度和 f m 的 长度是相同的，那同理， b， f， e， n 是 不也为平行四边形？ e， n 的 长度是不跟 b f 的 长度是相同的？那这个时候我们发现了 a e， n 和三角形 f m， b 中 n， e 的 长度跟 b f 的 长度相同，然后又知道有两个角度是九十度垂直， 然后 e a 的 长度是不跟 f m 的 长度相同，所以我们可以得到两个三角形是全等的。利用 se s， 所以 是不就可以得到 a n 等于 b m？ 那 如果这道题里边已知 a n 或者已知 b n 的 整个长度，其实我就可以知道 b m 的 长度了，那么我们可以应对它的求证的题目，或者让你求线段的长度都可以啊。

今天我们来跟同学们讲与将军姨妈有关的最值问题，那我们来看下面这道题， 如图，依次函数 y 等于 k， x 加 b， 与范围内函数 y 等于 x 分 之 n 的 图像交于 a， 一 逗号四 b， 四逗号 n 两点， 那从这句话我们就可以知道， a 点和 b 点都是在依次函数和反比例函数之上，且适用于它们的表达式。我们来看第一个问题，求反比例函数的解析式， 那我们已知反比例函数是 y 等于 x 分 之 n， 那 我们要求出它的解析式，就需要解出这个 n， 解出它呢，我们就需要带入一个点的坐标， 那我们来看第一题，我们已知 a 点是一等号四，那我们代入 y 等于 s 分 之 n， 就 可以得到 n 等于乘以四等于四， 所以我们得到它的解析式就是 y 等于 x 分 之四。 那我们来看一下第二题，求一次函数的解析式，那我们知道一次函数是 y 等于 k， x 加 b， 如果我们要求出它的解析式，我们就需要解除两个未知数 k 和 b， 那 解除两个未知数，我们就需要代入两个点，那我们已知 a 点是一逗号四， b 点是四逗号 n， 那 我们 b 点也是在反比例函数之上，我们就可以利用反比例函数 y 等于 s 分 之四代入我们的这个。当 x 等于四时， 可以求出 n 等于一，我们就得到了 b 点的坐标是四逗号一，那么已知两点的坐标。把 a 和 b 都代入 y 等于 k， x 加 b， 就 可以得到 两个式子，一个是一等于四， k 加 b， 第二个是四等于 k 加 b， 那 我们就可以解出 k 等于负一， b 等于五，我们可以得到一次函数的解析式，就是 y 等于负 x 加五。 那我们来看一下第三道题，点 p 是 x 轴上的移动点，是确定 p 并求出它的坐标，使 pa 加 pb 最小。 那我们遇到这种问题的时候，直接求是很难解出来的，一般这种情况，我们用将军饮马这个模型，那我们在讲之前，先来了解一下将军饮马这个模型。 那我们这里有一个河，我们这里有这个点上有一匹马，他要过到这个河对面去喝水，然后再返回另一个点，那么让我们求最小的路径。这个问题就是将军引马， 那我们来设这个点为点 b， 这个点为点 a， 这个点为点 p， 我 们来做关于点 p 这条直线的对称点，我们设为 b 一 撇， 那我们就会通过对称的性质可以得出这个 b p 这条线和 b p 一 撇这条线是相等的，那我们从 求 ap 加 p b 这个值的问题就可以转换成 ap 加 p b 一 撇，而且 三点共线直线最短，所以这个时候 ab 一 撇就是它最短的距离。那我们同样的来看一下我们这道问题， 那我们已知点 p 是 s 轴上的移动点，我们要求 pa 加 pb 最小的时候，也就是他们三点共线的时候，我们第一步就要先做对称， 我们来做 b 关于 s 轴的对称，我们设它为 b 一 p 二，由于它关于 s 轴对称，我们可以得到它的这个 坐标是四逗号负一，因为它是关于 s 轴对称的， s 轴不变，我们 y 就 要变成相反的， 那我们连接 a b 一 撇二，我们就可以得到这个 p 点，它就是在这里，它在 s 轴上， 我们就知道 ab 一 撇是它最短的直线，那我们求这个点 p 的 坐标，我们就设它的 s 轴为 m， 那 它的 y 坐标是为零，那我们通过 a 一 逗号四， b 一 撇 四逗号负一，我们通过两点可以求出 a b 一 撇这条直线的解析式， 我们代入数据就得到 y 等于负三分之五， x 加三分之十七， 那我们已知这个直线的表达式，我们又知道了 y 是 等于零的，我们把 y 等于零带入进去就可以得到 s 就 等于 五分之十七，我们就求出了当 p a 加 p b 最小的时候， p 的 坐标也就是五分之十七，逗号零。 那我们在平时遇到这种两点一线求最小距离的题目的时候，就要先考虑用将军引马的模型，而我们用这个模型最常用的解决办法也就是做对称。