重庆中考几何压轴题作十二条辅助线
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01:46查看AI文稿AI文稿今天向大家分享一个初中数学里面流氓解法，间隙法。当我们在做几何压轴题的时候，做题没有思路，不知道如何做辅助线，不知道几何模型的情况下，还想把分数拉下，那么这时候推荐大家用一下间隙法来进行暴力求结。 那么间隙法一般适用于平面出现正方形、矩形、平行四边形或含有对称性的等腰三角形、等边三角形等几何图形时，它需要用到的知识储备 分别是两点间距离公式以及中点坐标公式。那么对于此题，正方形 a、 b、 c、 d 边长为六，四个点分别是四条线段的中点，让我们去求 o、 m 长。此题中大家如果完全没有思路，那么我们可以采取间隙法，以点 b 为坐标原理， 以 b、 c、 a、 b 所在的直线为 x 轴，外中构造平面直角坐标系。那么由于 a、 d 等于六，我们根据图形特征可求出 a、 c、 d 三个点的坐标，那么又因为点 e 是 c、 d 中点，根据中点的坐标公式， 我只需要将 c、 d 横坐标、纵坐标分别相加除以二，可得点 e 坐标为六三。那么同样方法， f 为 a、 e 两个点的横纵坐标相加除以二 为三，二分之九。那么重复刚才的操作，我们可得点 o 坐标为三三点 f 坐标为二分之三，四分之九。 那么接下来要求 om 的 长，我们只需要用到两点间的距离公式，将 o 和 m 的 坐标带入即可。那么此时计算过程给大家省略，可轻松求出此题答案为四分之三倍的编号，搞定收工， so easy！
4900初中数学王老师
03:58查看AI文稿AI文稿在中考中的我们关于四边形的综合题，一共有三大类考法，这个大家先要做到成竹在胸，哪三大类考法呢？赶快记下来。第一大类叫做四边形跟勾股定律，还有三角函数结合，考的是几何计算， 这里面出的难一点呢，就是动点的分类讨论了。那么第二大类就像咱们这个题一样，它是跟全等合相似的辅助线结合在一起考的，叫做几何压轴题。那么当然还有第三大类，就是跟函数结合在一起考我们四边形的存在性问题。 这三大类考点在中考之前，大家务必做到承重再凶。那么今天咱就把这个几何辅助线考法毕老师给大家过一下， 说在一个平行四边形中， a、 b 这个边长等于三啊，那平四对边相等，这边自然也得三啊。 bc 这个边长等于四对边相等，这条边也等于四 角， b 这个角等于六十度，并且 e 点是这个图上是这条边上一个点，这边做了一个垂，恰好这个角还等于六十度。最终让我们求 a、 e 这小段的长 还是老生常谈。要想开窍，我们首先从逻辑开始啊，从已知条件开始呢，我们叫做正向思维。咱来用一下说我这个题有什么特征性条件呢？ 大家发现了没？是不是在这一条直线上依然有几个六十度相等啊？哦，两个六十度相等。再搜索一下我们的知识库，是不是我们在相似中学过一个技巧，叫做一线三等角啊？所以当一条直线上有两个角相等的时候，我应该怎么样 啊？自己再造出来一个角跟它相等，从而形成一线三等角。那说这个思路行不行呢？咱们来试一下。嗯，我就把 bc 这边延长一下，过点 d， 搁这做一个六十度，可以吧？那么由于 你是平四，这两边平行，所以这个角马上也是六十啊，所以右边这其实是一个边长为三的等边三角形。 那再来看说，我这个角一加角二，是不是等于一百八减六十啊？也就是一百二十度。我这个角一 跟角三呢，也等于一百八减六十三角形内核嘛，啊，所以它两个相加也得一百二，从而我能得到角三和角二，怎么样？相等 三和二相等两个六度，相等两角等三角形自然就相似，所以这边的小红三角形，那最终相似于这个大红三角形。 那么说到这，这道题实际上已经结束了，为什么呀？在相似中，这条边对应的是它 e f， 这边对应的就是 e d， 而 e f 和 e d 又长在一个特殊的直角三角形中，它的边长比我们是知道的，说你是六十，这就是三十。 三十说对，这二边等于斜边一半，也就是小跟大的相似，比，恰好是一比二。那倒回来，我这条边已经得三了 啊，你跟我是对边，你是我的一半，所以你就是二分之三，那再来整个得四，减掉二分之三，这边还剩二分之五， 二分之五，再加上三，也就是二分之十一，你是二分之十一，对应边就应该是四分之十一。好好，大家这个是四分之十一，整个是三，你说上边那小段 a e 得几啊？是不是就得四分之一 轻松拿下？那最后帮大家总结一下，第一个，你要想学会整个四边形，要注意毕老师说的中考三大考试方向，把他们全部拿下才算四边形已经学会了。 第二个，就几何辅助线这类而言，还是要从本质上掌握开窍的方法，一定要在中考之前把全等和相似的各种必备技巧把它掌握熟练。 如果各位家长发现自己家孩子还不清楚各年级各章节板块那些必备技巧和常见考点，可以下方评论区留言联系老毕。
123跟着毕老师学数学
04:13查看AI文稿AI文稿各位，这道题啊，看起来很简单啊，结果班里边百分之八十的同学都没做出来，我真是服了。我们来看一下，说求三角形 abc 的 面积啊，就这么简单，三个正方形，边长是一， 求 abc 的 面积，这是垂直啊，看到没有，这是垂直，那我们分析一下啊，求这个三角形面积，有几个方案啊？第一个方案 分成两部分，这个面积好求啊，这个长度不都知道吗？你看这个是一，这个是三，那这个是多少？一的平方加一的平方，他是不是根号十呀？这个长 度也好算，他是一，他是一，他是不是根号二啊，对不对啊？这个长度也知道，这是，这是二，对不对啊？可以分成两部分来求结果。算了半天不行，那有的同学还有什么好方法？ 这个长度不知道，你看这个长度未知数不知道。这个长度呢，也不知道， 但是这个角度呢？你看这个角度四十五度，我们知道这个角度四十五度，这个角度不知道。如果用高中的知识啊，那就很简单了，用那个啊， 这个，这个正全值的那个，这个，这个三角函数很容易求出来啊，这个角度能求出来，但这初中题啊，有什么好方法？嗯，想了半天，没什么好方法呀， 通过这个做高这底也不知道呀，这种长度都不知道呀，怎么办？其实这道题会做辅助线的话就特别简单，这个辅助线怎么做？相当于什么？这是个方格题， 方格题的话，你就往上画方格吗？你看接着画，这不是四十五度吗？这个是不是四十五度啊？各位，因为这个也是四十五度，对不对？一条线过去的，你就把这个方格给他补齐，你看看这个题简单不简单啊？你把这方格给他补齐。各位， 补齐以后你发现一个什么问题啊？你发现什么问题了？各位， 这是不是高呀？各位，这个是不是和这个垂直啊？这都正方形，你看全是正方形， 这个道理能不能明白？也就说这这是垂直的，这个高能算出来这个长度。俺也知道呀，但这个总长度不知道，那怎么办？各位，有同学看出来了啊？看出来了，这个三角形，直角三角形，对不对？ 这个也是直角三角形，这不垂直吗？这个角是公共角 r 吧？那这个三角形和这个大直角三角形是不相似呀？ 啊？角度你看一个阿尔法，一个直角，一个阿尔法，一个直角，相似的话对应的边乘比例，你看这个，这个，这个小直角三角形啊，他这个边是多少？他这个边是这个边多少呀？这个是根号二，对不对？这个呢？这个是不是两倍？根号二 对边比邻边是一比二的关系。各位，这个小直角三角形，对边比邻边是一比二的关系。那这个大三角形呢？还是这个角啊？它的对边比邻边是不是也是一比二？ 那他是根号十，你看他是根号十，那他呢？是不是二分之根号十呀？各位，一比二的关系吗？对不对？也是一比二的关系，这相似吗？那他是二分之根号十，那他是多少？ 各位，这个长度是不是能算出来了呀？他是二分之根号十，他的平方是十，他的平方是四分之十， 对不对啊？再开放是不是这个长度？他的平方加他平方再开放，是这个长度等于这么多高是多少高？是根号二，这个长度乘上高根号二 对不对？再乘上二分之一，二分之一底乘高啊？这答案不就出来了吗？这个回头大家化解一下。我不化解了，我怕，我怕我算错了，各位。
5564马老师数学课堂
00:50查看AI文稿AI文稿已知矩形一边连接三等分点恰好是六十度，求 a、 d 的 长度，暂停思考。 一条线上倒立特殊角，常常考虑一线三等角作角 m， 角 n 等于六十度，由外角关系，角一加上六十度等于角三加上六十度 得到角一角三相等。结合两个六十度，推出粉色、紫色。两三角形相似，对应边乘比例设 a、 d、 b、 c 长度为 t， 由六十度正弦得到 d、 m、 c、 n。 长度 由六十度正切得到 a、 m、 b、 n。 长度。结合其中条件得到 p、 m， p、 n。 长度代入比例关系，得到 t 的 方程。由求根公式得到 a、 d 等于二分之三，加根号三十三。
151尚学有道
10:59查看AI文稿AI文稿我们今天一起来看一道数学题目。在矩形 a、 b、 c、 d 中，点 e 为 a d 边上的一点，连接 b、 e 或点 c 作 c， f 垂直于 b， e 于点 h， 交 a， b 于点 f。 第一问说，当 b、 e 等于 b、 c 的 时候，让我们证明这个三角形跟这个三角形全等。据 我们矩形给的定义，我们可以知道角 a 这个角肯定是九十度的，然后又因为条件已经给了 c f 垂直于 b、 e， 那 么这个角是九十度，这里的角也是九十度，那这两个角就相等了。已知矩形，所以这两条边一定平行，平行这两个角形成内错角，所以 a、 e b 与 e b、 c 这两个角肯定是相等的。 又根据题目已经给了我们这条边与这条边它们是相等的。根据我们全等的判定定例，我们可以通过角角边去证明 a、 e、 b 与 h b、 c 这两个三角形全等。好，我们先来看一下第二问。第二问他说的是当 a、 b 等于四， bc 等于六的时候，让我们连接 a、 h， 求 a、 h 的 最小值。我们一般这种题目的常规做法就是对于一个动点， 我们首先要去看下它的轨迹是怎么样的。根据这个题目我们可以知道一点，应该是 a、 d 上的动点，然后因为 c、 f 要垂直于 b、 e， 所以 才会交于 h， 使得 h 也是一个动 点。我们可以知道它的硬性条件是什么，就是不会根据 h 的 改变而改变的条件。 cf 一定垂直于 b、 e， 那 么这个角一定是九十度。 然后我们也可以知道这个 b、 c 的 这条边，它所对的角一定是九十度，而且这个九十度不会因为 h 的 改变而改变，那么这个一般会形成的轨迹，它就是圆，所以它的轨迹是圆， 以它的中点为它的圆心连接 h o， 这样我们可以知道它的半径应该是以三为主，然后这也是三。那么要求 a h 的 最 最小值，我们只需要将 a o 连接与圆，这里相交的一个点为 h， 此时 a h 就 有最短的。为什么？因为你当 h， 如果在这里的话，你把 o h 跟 a h 连接，你会发现这两条边肯定比这条边要长，因为两点之间直线最短嘛，你这样的话就是折线了。 就在这样的情况之下，求 a h， 首先你可以通过勾股定律，因为 a b 等于三，所以 a o 等于五，然后 a o 等于五的话， 那我们可以知道 h o 肯定是等于三的，因为它在圆上，它离 o 的 这个距离一定是它的半径，所以我们的 a h 和最小值应该就是五减三等于二，所以 h 和最小值就是二。 好，第二问我们已经讲完了，我们一起来看一下。第三问，他说，如图二矩形 abcd 对 角线 a c 与 b d 相当于点 o c f 交 b d 于点 g， 若 b e， 若 b e 平分 a b d， 也就是这两个角相等。然后他叫你去判断一下 o g 与 a h 的 数量关系，并证明。一般其实判断数量关系的话，我们肯定是会带一点猜测去证明的，嗯，用眼睛稍微观测一下的话，其实有点像两倍关系，对吧？如果要求 边长与边长的数量关系，我们一般可能会用相似或者说全等去证明一个数量关系，但这里而我们要探讨 o g a f 之间的关系， o 点呢？是我们 ac 的 中点， 那么我们自然会想到有没有中位线这种可能呢？但是这里 o 点是 ac 的 中点，但 g 点不一定是 fc 的 中点，所以我们不妨构造一个平行线，我们在这里做 o， 我 们做一个 ok 平行于 a f 的 一条线，那么自然而 k 点就是 k 点，就是 f c 的 中点， 那么根据中位线我们肯定还可以知道 o k 应该是等于二分之一的 a f 的， 这就是中位线的条件，我们已经用完了，然后看一下图中还可以获取什么样的信息呢？如果它告诉你角平分线，这两个角是角平分线，又加上这里是一个垂直，那么 又因为这条边相等，所以这两个三角形一定是全等的，这两个三角形一定是全等的。至于全等的话，我们可以得到这样个角跟这样个角肯定是相等的，这两条边跟这两条边也是相等的，这个边跟这个边也是相等的， 这个角跟这个角构成对顶角平行，这两条边不是我们做的平行线吗？那么可以照这样子下来的话，我们这应该是有一个内错角在这里的，这个角一定会等于这个角， 我把它擦掉一下，我们看的更仔细一些，这是 k 点，我们刚刚已经说了，这个角由于等于这个角，因为这两条线平行，然后这个角等于这个角，因为对顶角，然后又因为 刚刚我们已经说过了，这条边等于这条边，那么同样根据相似嘛，因为已经两条两个角相等了，所以呢，这个这条边也等于这条边，所以我们就可以知道 o g 等于 ok， 而 ok 呢等于二分之一 a f， 所以 我们直接可以得到 o g 等于二分之一 a f。 然后我们先来看一下第二问，第二小问，他说连接 e f， 连接 e f， 当 a f a e f 的 面积是矩形这个的十二分之一的时候，求这个比例的值， 一般出现面积与这个的间的关系，要求这个比值的时候，我们一般先不看这个比值。我们一般先讨论一下边长如何去设一些未知数，因为这个题目里面没有告诉你任何一条边长的关系，然后 是让你看就面积这样的关系，让我们可以不妨去设一些未知数，然后用未知数将三角形 a e f 的 面积表示出来，再用矩形也表示出来，然后建立一个等式。 首先由于我们刚刚已经知道了条件，我们不妨就设，因为 o g 它是两二分之一的 f 嘛，我们就设这个为 x， 那 么我们的 a f 就 等于二 x， 那 我们设 b f 等于 y， 这样子的话，我们就可以得到 b o 等于 b o 等于 x 加 y， 那 么又因为 o 点是它的中点嘛，所以 b d 等于两倍的 x 加 y。 此时我们根据勾股定律，我们肯定也可以求出 b c， 也就是 a d， 但是 b c 的 平方会等于 b d 的 平方减去 dc 的 平方，也就是 ab 的 平方 ab 的 平方。然后我们将这些未知数带进去，那就是二 x 加二 y 的 平方减去 ab， 二 x 加 y 的 平方，我们来算一下， 然后通过计算我们可以看到它应该是等于三 y 的 平方加上四 x y 的 bc 的 平方，但是因为这个开不了根，所以我们不妨就先将它保持住，就这样子先写好了，等于 bc 的 平方就等于三 y 的 平方加 c x y， 然后看一下题中他说，因为你要探讨的是 a、 e、 f 的 面积嘛。我，我现在在这里已经设了 a、 f 等于二 x， 那 我想知道 a、 e 等于多少，我肯定想知道 a、 e 等于多少，这样子我可我才可以求出三角形 a、 e、 f 的 面积。嗯，由于这个角是直角，而我们这个角也是直角， 因为角 a、 b、 e 加角 h， bc 会等于九十度，然后角 b、 c、 f 加角 h bc 也等于九十度，那么你就可以知道这两个角肯定是相等的嘛。 所以角 a、 b、 e 等于角 b c f 角 a b、 e 就是 这个角等于角 b、 c、 f 也就是这个角。所以我们可以知道这样个三角形， 这里有两个三角形肯定是相似的，也就是这三角形跟这个三角形肯定是可以得到相似的，那我们不妨就用相似去证明一下 a、 e 如何用 s、 y 去表示一下， 这里就可以有三角形 a、 b、 e 相似于三角形 b、 c、 f。 通过相似我们就可以得到长度的比例关系，那就是 a、 e 比上 b f 等于 a b 比上 bc。 将所有的值都带进去，那就是注意一个 y 等于二 x 加 y 比上一个 bc， 然后我们将这个 a、 e 写出来，那就是二 x 加 y 乘以 y 除以 bc， 那 我们的 a、 e 就 用未知数表达出来了。这个时候我们来写下三角形 a、 e、 f 如何用未知数去表示，那就是二分之一乘以 a f 乘以 a e 等于二分之一乘以二 x。 那 我这里做一个区分，我就用点二 x 乘以二 x 加 y 乘以 y 除以 bc。 好 了，这个三角形的面积我们就用未知数表达出来了，那么接下来就是矩形的三角形 a b c d， 矩形的 a b c， d 等于长乘宽嘛，所以就是 ab 乘以 bc， 那 就是 bc， 你 也不知道是多少，所以我们先保留 bc， 然后他说他们的面积三角形是矩形的十二分之一，那我们就可以列一个等式，也就是二分之一乘以二 x 乘以二 x 加 y y， b c 等于十二乘以一个二 x 加 y 乘以 b c， 所以我就不详细写这 b c 的 平方会等于十二 x y， 然后你会发现我们这里也有一个 a， 也有一个 b c， 那 么我们把它连列一下，它们俩肯定是相等的嘛，因为都是 b c 的 平方，那十二 x y 就 会等于三 y 的 平方加上四 x y， 这个时候我们就可以把这些挪过去，然后三 y 的 平方等于八 x y， 同时约掉一个 y 的 话，那我们这个 y 肯定是等于三分之八 x， 那 这样子我们就可以得到一个 x 与 y 之间的比例关系式。那么你看文中问的什么，他说 a f 比上 b f， a f 比上 b f， a f 比上 b f， 不 就是二 x 比上 y 吗？那你随便带一个进去就好了。比如说你把 y 带进去，那就是二 x， 二 x 除以三分之八 x， 那 这一比一下，我们就是四分之三，所以这个题目就完成了。嗯，主要用的知识点这里一个就是设未知数， 还有就是要运用比例的关系去用未知数表示，用比例， 然后列等式减方阵组，这个就是这道题目的最终过程。
22year
00:11查看AI文稿AI文稿想搞定初中几何题？二零二六版，万维出的这本资料别错过，全国通用，里面全是几何模型和辅助线解析技巧，帮你快速提升解析能力，学几何更轻松！
06:06查看AI文稿AI文稿来，我们看这个题啊，在在三角形角 b， a、 c 是 九十度啊，九十度， ab 等于 ac 啊，这两个边相等，将线段 ac 绕着点 a 逆时针旋转到 ad， 比如说 ac 和 ad 什么关系啊？哎，旋转过去，线段长度是不变的，是吧？然后这三个边是不是都相等？旋转角为阿尔法，这个角是阿尔法， 对吧？呃，垂直啊。 c e 垂直于 b， d 连接 a e。 第一个，当阿尔法等于五十六度的时候啊，让你求 a c、 e， 求这个角，它是五十六度，这是个直角，请问角 d， a、 b 是 多少角 d， a、 b 是 不是就是五十六加上个九十啊， 等于一百四十六吧。 a、 d 和 a、 c 相等， a、 d 和 a、 b 相等，说明这两个角是不是相等。这两个角，比如说角一和角二， 角一是不等于角二，那就等于多少，哎，那角和吗？就一百八十度，减去一百四十六度，然后再出一个二吧，等于减十七度吧，看着啊，求这个角 a、 c 一 啊，在这个几何里边，你看这是什么形？ 对了，这是不是一个八字型啊？直角，直角对零角，所以说这个角就等于这个角，这个它就是十七度吧。在几何里边，如果让你去求一个狭长的角啊，首先脑海中想到的是什么？哎，就是八字型 啊，八字倒角，八字型， ok， 第一个是七度啊。第二，当阿尔法大于零度小于九十度，让你求证 c e 等于 d e， c e 等于 d e， 哎，让你求两个边相等，是不是让你求这两个角相等？哎，求这两个角相等，你看这个角的呀，是不是在这个大的角 a、 d， c 和这个角 a、 c、 d 里边 啊？这两个角是不相等，因为等边嘛？等边对等角，我只要找到这两个小角相等是不就可以了？好嘞，因为 a c 是 不是等于 a d， 所以 角 a d c， 角 a， d， c 等于角 a， c， d 吧。这个角，比如说这角一，哎，角一和角二相等是吧？ 哎，角二呢？哎，角二和这个角三相等是吧？啊，因为 a， d 等于 ab， 所以 角一是不等于角二 啊？由一知，由一可知，然后角二是不是等于角三，所以这个角一就等于 角三了吧。角一点，角三的话，那么角 a， d， c 这个大角减去这个角一减角一，是不就等于旁边这个 a， c， d 减去个角三，也就是角谁啊？ e， d， c 和 e c， d， 想到了吧？哎，角 e， d， c 等于角，哎， e， c， d 吧，那不就是 c， e 等于 d 了吧？ 哎，好，我们看下第三位，当三角形 a， b， e 啊， a， b， e， 这个三角形等于三倍的三角形， a， c， e 这个三角形和这三角形它三倍， b， e 是 十二，只要你求 a， e 的 长度，那如何去求这样呢？啊，这个三角形是，它 是他的三分之一，看他的三倍，但是这两个三角形是不是没在一起？没在一起，我就想到我经常说的一句话叫什么，哎，同底不等高，是不是同高不等底，这样怎么弄的？哎，你把这个三角形要把它放在这个大的三角形内部，去找找有没有相同的底或者相同的高这一块手，哎，怎么找呢？哎，这个辅助线过 a， e， 过 e， 点 做 a， e 的 垂线，哎，往这做个垂线好，做完垂线，你比如说这个角，这个点是 f， 我 写一下啊，三啊，过点点 a 做 a， e 的 垂线， af 交于 be 于点 f， 是 吧？那这是个垂直吧？啊，所以说这个角 e、 a、 f 就 等于九十度啊，我只要证明这个 a、 c、 e 和这个 abf 就 等于九十度啊，我只要证明这个 a、 c、 e 和这个 abf， 这两个三角形全等是怎么找？ 你看，这有九十度，这有九度。我们说过，在倒角过程中，我们首先经常会常用的是什么思想？是不是互余思想？比如说这个角是阿尔法，这个角是贝塔 啊，这个角是个伽马，嗯，角阿尔法加角贝塔是不是九十多？哎，角贝塔加角伽马是不是也是九十多？所以这个阿尔法是不是等于这个伽马，对吧？还有呢？哎， a、 c 是 不是和 ab 相等啊？ a、 c 和 ab 相等，还有由二可知，这两个角是不是相等啊？角一，角二吧，对吧？ 好，那我们就可以写全等五，好吧，哎，在三角形 a、 c、 e 和三角形 a、 b、 f 中，呃，角一等于角二，角一等于角二，然后 a、 c 等于 ab， 角阿尔法等于角杆嘛，所以这两个三角形全等了吧？ a s a 吧，全等以后，这个 a、 e 是 不是就等于这个 af 了？这是一个直角三角形，这是什么三角形？哎，等腰，它是不是就是一个等腰直角三角形，对吧？等腰，直角三角形，这个时候它的面积三角形，你看，让你说三角形 a、 c、 e， 三角形 a、 c、 e 的 面积是不是就等于三角形 abf 的 面积了？ 好，这时候进来了啊，这个小三角形跑到这个大三角形里面去了，我们找一找他们有没有什么相同的一点，你看三角形 a、 b、 e 的 面积是不是二分之一？乘底乘高，底是谁？是底？他告诉你的， b e 是 十二，我们拿他当底，他有高吗？是不是没有高？没有高我们做个高吧。哎，做个辅助线，过 a a 点做什么啊？ 做个比如说 q 吧。啊，做 a q 啊，过点 a q， 做 a q， 垂直于 b e， 交于 b e 于点 q， 是 吧？这个三角形 a b e 的 面积是不是就是二分之一？乘上个。呃， b e， 再乘上个 a q 啊， 是吧？他说他等于三倍的 a c e， 那 就等于三倍的 abf 吧。三倍的 abf， 那 就是三，乘上个二分之一乘底乘高，他的底是不是就 bf 啊？哎，这是 d， 这是个度角三角形，它高是不是也是 a q 啊？哎，是不是同高了？也就是乘 bf 等于再乘个 a q， 观察一下，这是二分之一， 这有二分之一，这有 a q， 这里也有 a q。 削完以后是不是 b e 就 等于三倍的 b f 啊？好，我往上写啊。啊，所以这个 b e 是 不是等于三倍的 啊？等于三倍的 b f， 那 b f 是 几？哎， b f 是 不是就是三分之一？乘上十二就等于四啊，是吧？ b f 是 四， e f 呢？所以这个 e f 是 不是就等于十？呃，十二减四就等于八了吧。哎， 那 e f 是 八？让你求 a e， 别忘了我刚才说什么 a e 是 不是等于 a f？ 我 们全等出来了。这个三角形，这个三角形 a e q 是 什么？三角形？哎，等腰直角三角形。等腰直角三角形的话，我们说三边比是几？一比一比根号二吧， 对吧？斜边，你知道之一可以求二吧，你知道一个边就可以求出另另外两个边，那 e q e f 是 八，所以这个 a e， 那 不就等于八除以根二吗？是吧？那就等于四倍的根二。 ok， 这个题学会了没有？
02:34查看AI文稿AI文稿咱们都知道初中孩子做几何题最怕的就是辅助线，每次卡住就会抱怨自己为什么想不到，你一旦告诉他辅助线怎么做的，题目迎刃而解。 结合安徽这些年中考几何压轴题辅助线的分类和我自己的教学经验，我总结了三步，你看完他应付中考没一点问题。第一步， 你要理解辅助线的本质，它就是桥梁和催化剂啊，它的目的就两个，连接已知和未知，把分散的条件啊集中到一个图形里。第二个呢，就是构造出有用的定力模型，你比如要构造全等三角形，直角三角形啊，相似三角形等等这些， 所以你添加辅助线，你得知道是为了哪个目的而去做的。第二步就是建立条件模型的反射库，这个是复习的重点啊，也是需要刻意去练习的，你要明白，每个条件他都不是白给的。你看到特定条件啊，你要想到对应的几种常见的辅助线方向，比如我说几个啊， 条件中要是有终点，那你要想到备上中线，构造中分线啊，连接中线是不是？那如果说条件中提到角平分线，你是不是要想到做双垂线，截取等线段或者做对称？ 如果是求证线段的和差，比如 a、 b、 c、 d 等于 e、 f 这一类的，你要想到截长补短法是不是？要是图形中条件缺乏联系， 那你要想到连接两点，做连接线或者做平行线，构造什么相似或平行四边形等等之类的。第三步就是从模仿 到创造的刻意练习了啊，怎么练习呢？其实也就三个点啊，我也和我的学生经常强调，第一点就是收集归类，把做过的经典题啊经典题 按辅助线的添加动机分类整理，比如说构造全能构造相似啊，化散为整。你做题的时候就在图形旁边标注好这个类别，那复习的时候就是一个分类，一个分类看很省时间。 第二点呢，就是复习题目时，你不用重新做整个题，只需要看好题和图，然后说出来辅助线是在哪里做的。那你为什么这么添加？我预期要构造出什么图形，要达到什么目的这些。 第三点呢，就是一题多添，拓展思维，也就是什么呢，就是一道难题啊，你要尝试用两种以上的辅助线添加方法， 比较一下哪个更好。所以做辅助线的能力啊，他就等于定力模型库的熟练度，加上已知条件的翻译能力，再加上构造意图的清晰度，按照这个逻辑体系，复习到一定程度，做辅助线就会有清晰的方向感，解题目自然就水到渠成。 这个视频让孩子多看两遍，尤其是这个八九年级的孩子。有需要辅助线专题资料的，你可以私我一下。
24张校啊
23:08查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们！历时两个月新中考，初三的几何和二次函数压轴网课终于录完了，电子版学案也整理好了，有需要购买的私信辽宁的考生。如果你是在一百零五分以上，你需要练习压轴题，那么这一个资料基本就能完全满足你的要求。 这里面我一共前面是分了十六个专题，前面这十六个专题是涉及到的方法、总结和讲解的，后面的四个是属于一个专题的汇总，那这里面每一个类型我都放了。后面的这些题总共加起是将近五百道的压轴题， 这里所有的题全是来自于近两年中考的真题以及各趋势的这个模拟题。接下来我将用四期的内容总结一下初中几何压轴题中可能出现的辅助线模型，大家有不明白的或者需要补充的，欢迎评论区留言。咱们上个视频讲过了前三个，那今天咱们讲的是四五六期， 好多同学他其实对我讲的这些辅助线模型是有误解的啊，他们的想法是讲这些东西是需要背下来的，但是数学不是靠背，是要去理解。 那像我上一课讲的，包括这课讲的，你不是要去背这里的图，你需要去理解这里每个辅助线的特点，你知道他的特点了，你遇到题你才能知道往哪个方向去想。比如说以这个边角构造举例子，那边角构造它的特点是已知一组角是相等或互补的，就是首先有一组角的数量关系，它俩相等或互补。 其次这组角的邻边是成比例的，就是他们的比值你是知道的。那出现这种的时候，你如果遇到题，你出现这种了，你就可以去往这个边角角道的方向去想，每个辅助线他都是有这个对应的题型特点的， 你遇到这个东西了，你才需要往这个辅助线上去想，而不是说你拿到一个题，你需要从这么多辅助线里挨个去试，你要去试的话，你考试肯定是没有时间的，所以每个辅助线的重点一定要知道它适用于什么题型。 那首先第一个咱们说的这个特点说完了，咱们看第二个这核心方法，那遇到这种的时候，咱们怎么去边角构造？咱们初二的时候学过一边一角故全等，它的适用范围是非常非常广的， 那初三的时候咱们就变成了一边角的故相似，那同时在几何压轴题里面也是经常会用到初二的边角构造全等的啊。这个大家都要知道， 那核心方法就是你构造角的另一边，让它们比值与已知的相等，那这样就能组成一组 s、 a、 s 的 相似。什么意思呢？咱们下面这个图举例子，比如说 现在已知是由角 b 是 等于角 e 这两个叉角相等，其次还有 a、 b 比上对 e 等于一比 k 的， 那你看已知这组角是相等的，这个角 b 和角 e 它俩角相等。然后你还知道这个角的两个边 a、 b 和对 e 它俩是成比例关系的，那咱们只要让角的另一边 b、 c 和 e、 f 在 它们上截取之后，只要让这一段 b、 c 和 e、 f 在 它们上截取之后， s、 e、 s 相似了， 所以辅助线的做法可以有下面这两种。比如说第一个我可以把这个 b、 c 延长，就把在这个短边上延长，使这里的 b m 比上 e、 f 也等于一比 k。 那 现在三角形 a b、 m 和三角形对 e、 f 是 不就是 s a s 相似？ 或者是你在这个长边上，你截一段，使这个 e n 比上 bc 是 等于 k 的， 那这时候三角形 a、 b、 c 和对 e n 是 不也是 s a s 的 相似？那这个就是边角交道相似的一个方法。 刚才说的是角相等和角的邻边成比例的关系，那咱们看这个边角构造的。第二种就是邻边相等，不是邻边是成比例的，然后他这个角是互补的关系。什么意思？比如说这里的角 b 和角 e， 他 们俩是互补， 那互补的话，咱们几何体的一个常见思路是两个角互补，是不就要推出这个角和它的邻补角相等的？所以角 b 和角 e 的 邻补角是不就是相等的？ 或者是角 e 和角 b 的 零补角是不是也是相等的？那是不就转化成了刚才的角等和零边乘比 e 的 关系？所以它这里的思路就接下来也是有两个。第一个你可以把这 c b 延长，延长之后是不能得到这个角 abm， 这个角等于角， 角 e 就 等于角这的 e f， 那 现在这组角上等邻边 ab 和 d e 是 成比例的比值一比 k， 那 咱辅助线。所以第一个做法是不可以延长 c b 至点 m， 使这个 b m 比上 e f 是 等于一比 k 的， 那这时候是不就有三角形 abm 和三角形的 e、 f， 它俩是 s a s 相似？那第二个方式就是你可以把这个 f e 延长，就是第二个图 f e 延长之后， 只要能使这个 e n 比上 b c 等于 k， 那 现在是不是就能使这个三角形的 e n 和三角形 a、 b、 c， 它们俩是 s a s 相似的。 那边角构造的第三个词组就是对边和角的关系，就是如果两个角是相等的，然后它们的对边是成比例的。 那比如说像我现在画这个图里，就是角 b 和角 e 这俩角相等，然后它们的对边 a c 和 d e、 d f， 它俩是有比值关系的。那对于这种呢，你首先要做的是等腰对称， 也就是说我要把这个 a c 对 称过来，或者说 d f 对 称过来，那怎么对称？你像这种特点你要注意啊，它这角和角的对边的关系。 那比如说第一个，我可以把 a、 c 对 称过来，做一个怎样三角形使 a m 等于 a c， 那 现在是不是就变成了我这个 abm 和这个嘚 e f 的 一个关系了？ 那接下来我只要能证它们俩相似就可以了，你再去根据题里的其他条件，这时候就能证出 abm 和嘚 e f 相似的。就是现在你是证不出来相似啊，题里肯定会有其他条件，比如说你能倒个角乘等什么的。 那第二个方式，我就可以把这里的的 f 做个等腰，把的 f 做等腰之后，做成一个的 f 等于的 n。 那 现在你再去根据题里的其他条件，比如说题里有一个什么角 f 加上角 c， 他 俩是互补的这种关系的，比如说这种，那你现在做完等腰之后，是不就能得到角 n 等于角 c 了？那所以现在是不就有角这个的 e、 n 和三角形 abc， 他 俩是相似的关系，然后再来看下一种旋转相似那几何的图形运动，平移、旋转、翻折，这三个肯定是考的频率最高的， 平移、旋转、翻折他只是图形运动，但是他里面有一些常见的思路，那咱们看啊，旋转的问题常见思路是什么？咱们初二全等的时候其实就学过旋转，咱们常见的是三个思路，手拉手、对角互补以及一个半角模型。那咱们看这里啊， 先看第一个手拉手，全等里的手拉手咱们大家都知道，就是他的特点是共顶点的双等腰旋转，就两个等腰三角形，他他们的顶点是重合的，那这时候你就能得到全等的手拉手的旋转， 这也是旋转的一个常见的问题的出法，他可能第一问，第二问，他出了一个全等的旋转，那第三分转化成相似的旋转，那咱们全等的旋转呢？就是以下的这几个结论，那个以前都讲过，就不再细说了， 咱们主要看手拉手的相似。相似里面就是只要有两个三角形 abc 和 a 得 e， 只要两个三角形，它俩相似的，相似的话能旋转回这种重合状态。比如说 abc 和 a 得 e， 它们俩是相似的，你只要能旋转回这种重合的 a 字形的状态， 那绕着他们的公共顶点，公共顶点是不是点 a 绕公共顶点旋转的时候，把这俩三角形你旋转，然后你就能组成手拉手相似了。所以你判断判断两个三角形能不能组成手拉手相似，你要先找到是否有两个 三角形才是相似的，这俩相似三角形必须有一个他俩的对应点是重合的，比如这里点 a 是 重合的，然后你想象一下，把他俩旋转能不能旋转回这种重合的 a 字形状态，只要能旋转回重合的 a 字形状态，那他们俩就是相似的。 那接下来怎么找？谁和谁相似？你看在同一边这两个点的，咱们看成是左侧端点， b 看成是左侧端点，然后 e 和 c 都是右侧的点，那接下来不管怎么旋转重合顶点，咱们就看成头，那不管怎么旋转，他就是头。左左 和头右右这两个三角形始终是相似的，这个找法和手拉手的全等找法是一模一样的啊。那全这里的相似之后，你就能得到的第一个结论是 ab 的 和 a、 c、 e 相似。第二个就是 b 的 比上 c、 e 是 等于 k 的， 就是这两个三角形相似之后的手拉手相似。 ab 的 和 a、 c、 e， 他 们俩的左左右右的比值左左和右右，咱们给他看成对边，他俩的比值是等于原来的这个三角形 abc， 他的两个邻边 ab 比 a、 c 的 就等于 k。 然后第四， 除了这两个边，他们的数量关系是比值是 k， 那 这两个边的夹角就是左左和右右的夹角。你看我这个图，第一个图里面画的啊， 左左和右右的夹角，他是这个角 b、 e、 c、 b、 f、 c， 这俩是不是左左和右的夹角？我标一下啊，点 b 是 左，点 d 也是左，点 c 是 右，点 f 点 e 也是右，那左左和右右的交点是不就是角？ b、 f、 c， 那 这里面他俩的夹角 b、 f、 c 等于原等腰的顶角 b、 a、 c 也等于原来的顶角的 e， 这个是都能推出角的数量关系的，那怎么推的话就是很好推啊，就相似，所以这个角 a、 c、 e 等于角 ab 的， 然后把这个角转化到这就可以了。然后第三个， 第三个是你手拉手相似之后，你还能得到谁的谁相等？咱们全等里面全等的话，是不是还有一个角平分线的结论？全等的全等的手拉手里是不是有这个 af？ 就 第一个图啊？是不是有 af 平分角 bfg 这个结论？那在手拉手的相似里，他没有 没有平分这个条件了，也没有平分这个结论了，但是你能得到其他角相等，就是角 a、 f、 b， 这个角等于角 a、 c、 b， 这个角 还等于角 a、 e 的 这个角，这个角是相等的，他们你可以用四点公园去整啊。然后还有这里的角 afg 是 等于角 abc 的， 等于角 abc 也等于角 a、 d、 e， 大家知道这个结论就行，你只要知道它，然后会正就可以了，你不需要去硬背这个图啊，因为这个图是随便换的，所以你要知道这里是谁和谁，哪些角是相等的。那这里 afb， 你 看 a 的 话，指的是不是重合顶点，这两个手拉手相似的重合顶点，重合顶点 f 是 什么？是不是左左和右的焦点？所以 afb 指的是重合顶点与左左右右的焦点这条线，然后这条线与左左右右的夹角，他们俩的组成的这个角，那这个角是等于原来那个手拉手相似的三角形的底角了。 然后咱们再来看下一个，下一个是绊脚魔球，绊脚魔球也是相似你经常用的啊，尤其是在选择题后，有的时候也经常会用的，那在大体里面的话，你也是可以去用到这些结论的，当然前提是你要知道怎么挣。那咱们看一下啊。 首先第一个就是等腰直角三角形中的半角，等腰直角三角形的时候应该会学过，那在这个等腰直角三角形里有一个角对 a e， 它是四十五度的，那这时候首先你要确定什么是半角模型，半角模型就是一个大角的里面有过他一半的角， 那这个就是半角模型。那半角模型所有半角模型你涉及到的方法，旋转旋转的原则你看，首先你要先确定这个大角，比如这个是二倍角，那外面有一个半角。 阿尔法半角模型不是说必须这个二倍角里面夹着一个小的半角，指的是只要这个二倍角 和这个半角他俩是有一个公共顶点的，这两个角的顶点是重合的，你不管这俩角是包含还是在里外的关系，那都是属于半角模型。那接下来旋转的话，咱们旋转的是半角的边与半角边为成三角形， 那比如像我画这个图里，二倍角的边我标上一个左侧边和右侧边，半角的边也标上一个左侧边和右侧边，那咱们旋转的是这个 二倍角的边与半角的边他俩同侧，这两个边所围成三角形。比如说你旋转的就可以是左和左这两条边所围成三角形，或者是旋转的是右和右这两个边所围成三角形。 那咱们所有的旋转，不管是手拉手去还是半角模型，还是对角互补四边形，你旋转的都是绕重合顶点旋转，旋转之后是使相等边重合位置，因为你旋转你要需要确定你到底旋转到哪停，所以咱们是旋转到重合为止。就 比如说在这个等腰直角三角 a、 b、 c 里面，那咱们绕这个顶点 a 旋转，你把 ab 旋转，那是不是把这个 a、 b 旋转到 a、 c 上为止？所以你是绕着这个相重合的顶点旋转到使相等边重合为止，使这个 ab 转到 a、 c 上为止，这就是 d 撇。 那这里涉及到的结论就是有以下的这几个，第一个就是 b 角方加上 e、 c 方等于 d 一 方，指的是这三个边，他们其实是能组成一个直角方形的 那半角模型。这个一个延伸的结论就是，如果一个等腰值里面斜边上有这一点，那这时候你就能得到的是这个 a 得方，二倍的 a 得方等于 b 得方加 c 得方，或者是二倍的 a 一 方等于 b 一 方加 c 一 方。正法都是一样的，大家自己可以尝试去正啊。然后正方形里的半角模型也是这个咱们亚洲体里常用的 那正方形的半角模型，他的结论是比较多的啊，是有以下这些个结论，大家可以自己慢慢去证，你需要知道他有哪些结论就可以了，然后每个结论你自己会证，这个就可以的。 然后咱们再来看下一个，下一个是对角互补四边形，对角互补四边形他的特点很明显啊，对角互补四边形里全等的对角互补指的是两个一个四边形对角互补，并且离面相等，那你旋转之后他就是全等的。那相似里的对角互补指的只要俩一个四边形，他是对角互补的就行。比如说这个第二个里面， 现在角 b 和角对这两个角是互补的，那互补的话，那只要比如说我把这个 b 对 连上， 或者我把 a、 c 点都可以啊，那 b 和 d 是 互补，指着这个 a 和 c 是 不是就是互补的？所以如果咱们连 b、 d 的 话， 我把这个三角形 b、 a、 d 绕点 d 旋转，这时候旋转的话，他是不是就不是像半角，像这个对角互补色形全等一样，他是一边旋转一边给它缩小。就下面这个图里，我把这个 d、 a、 b 绕点 d 旋转，旋转到 d、 c、 e 上来，那所以这俩三角形是不是 相似的一个关系？所以你他俩相似的话，他俩的对应边是成比例的，就相当于我一边转一边把这个得 a、 b 是 缩小的 旋转成这样。那你也可以，比如下面这个图里，我也可以绕着这个 ac 旋转，把这个三角形 c、 a、 d 绕着点随意向下旋转也是可以的，一边转一边缩小的一个关系。然后咱们再来看看翻折，翻折的话他其实就和全等那块是一样的了，咱们翻折通常是构造全等，构造全等之后，你再去找其他条件，看能不能推相似的，推相似的，所以翻折他其实全等三角形那块学的。 这也是为什么我之前一直强调就是八年级的全等三角形是对九年级影响特别大的。因为几何题初三几何压轴里面一大部分你用的辅助线都是全等那部分的辅助线和模型。那咱们先看翻折啊，翻折常见的是有四种情况，这四种， 第一种你需要知道遇到哪些东西的时候，他本质考的是这个辅助线，你只有知道这个，你拿到题的时候，你才能往这辅助线上方向去想。 那首先第一个就遇到角平分线，有角平分线表示的就是翻折，这也是前几天有个同学问我的一个问题，就是我写一个题遇到角平分线，我说这个翻折，他问我说，老师为什么角平分线这翻折呀？这个就是就是全等那块学的是有问题的啊。 角平分线他就是以角平分线为对称轴进行的翻转全等。因为角平分线咱们常见的是三个辅助线，就是单锤、双锤和截取等线段，就是我下面这图里一、二、三这三种。你不管是单锤、双锤还是截取等线段是哪种情况，都是相当于以角平分线为对称轴构造的翻转全等，能看出来吧？ 这俩是不全等。三角形都是以角平分线为对称轴的翻折全等。那我下面这俩图里表示的是两种常见的情况，你比如说你像下面这里 a 对 是角平分线，那咱是不就是可以把这个 ab 对 以 a 对 为对称轴翻过来翻成 a 对 e？ 或者是如果这里的 b 对 是角平分线，那咱是不就可以把这三角形 b 对 c 以 b 对 为对称轴，我把它翻到上面去， 所以角平分线表示的是翻折全等啊。那第二个遇到垂直平分线的时候，垂直平分线咱们辅助线是连接垂直平分线点就是连接 e、 b 和 e、 c， 但是其实它的本质其实构造的就是翻折， e、 d、 b 和 e、 d、 c 全等，也可以说是轴对称的全等。那常见的还有第三种，就是等腰三角形和直角三角形，有同学就会说，老师，那这俩东西跟翻折没有啥关系。 其实等腰三角形的翻折也是好多题里会出现的，只是大家没有注意。等腰三角形里有一个辅助线的思路，是以这个等腰三角形，他的角平行或他的对称轴为翻折的这个折痕或说为对称轴，你把这个等腰三角形左右两边进行翻折对称。 那常见的是我上面画的这三种图，比如说第一个啊，第一个图里，咱们可以以这个角 b、 a、 c， 它的顶角，它的角平分线为对称轴进行翻折，那这里面给的啥条件？你看只要给 ab 的 a、 c 了，然后再有一个 e， 我是不是就可以把它进行左右翻折对称，相当于把三角形 b、 a、 e 以这个 af 为对称轴，我把它进行左右翻折对称，把这个 b、 a、 f 翻成三角形对 a、 c 了，能想象出来不，就是把一个这样的三角形，我以它的角平面对称轴翻折，翻到这 翻成这种的。所以这个题是咱们经常遇到的啊，就是好多同学可能没有注意，但是大家回忆一下，有一个这个题，就是肯定是大家有印象的，应该能做过，我就随便画一下，是这种的， 这里面给的题的条件 a、 b、 c、 d， e， 这里给的条件是 ab 等于 a， c 等于 a、 e。 这里的题这个图出去吧。当时咱们做的辅助线是有两种，第一种我可以在 a、 e 上取一点 m， 相当于把这个三角形 a、 f、 e 以这个 c， a、 d 的 角平分线为对称的，就是做了一个 a、 c、 m 和 a、 e、 f 全等，或者是我把这个 a、 c 延长，然后连接做一个三角形 a、 c、 d 全等于三角形 a、 e、 n 他 俩用的辅助线全是这个反折对称， 那第二个和第三个翻折对称就是等腰三角形，是翻折对称，就是比较好理解了。比如说第二个里面是 a、 b 等于 a、 c 是 个等腰，那我就把它左右两边进行翻折对称，相当于把这个 a、 b、 d 翻到了 a、 c、 e 上来。那第三个图也是把三角形四叶 e 翻到了 b、 a、 d 上来，所以这个翻折对称大家其实可以需要专门去练一下的啊。第四个是这直角三角形的翻折，直角三角形也是你遇到直角三角形的时候，你可以采用的翻折方式。如果这题里出的是翻折的问题，不是说所有直角三角形你都要考虑翻折 指的是这题如果是跟翻折有关系的，而且出现直角三角形了，你才需要考虑的是翻折。比如说这题你你已经明确了，第一问考了一个 那个角平行线，第二问考了一个等腰三角形的翻折对称，那第三问出个直角三角形，那说明这题核心考点是不在于翻折上，那你就可以考虑以直角三角形的直角边为对称轴进行翻折对称了。比如说这里的 a、 c、 b 是 个直角三角形，我就可以以 a、 c 为对称轴， 把三角形 a、 c、 b 左右两边进行翻折。比如说咱以矩形这个翻折啊， 那矩形的翻折里面，或者说平行四边形、菱形、矩形、正方形都可以。那这些四边形里翻折的思路都有什么？有以下四点大家需要注意。第一个就是你需要常用的辅助线之一，是对应点的连线，是被对称轴垂直平分的，这里面比如说咱们连接 b h， 那 b、 h 是 被这个对称轴， c、 e 是 垂直平分的。 第二个是四边形翻折的时候，你在四边形翻折的时候，咱们常见的是一个等腰三角形，因为翻折是有对应点相等的，比如说这里面 我翻折之后是不是有角 e a c 有 角 e c b 等于角 e、 c、 h 这两个角相等，同时翻折是不也有对应角相等？比如说这里的角，我设这两个相等角是阿尔法，那角对 f、 c 是 不是就是二阿尔法，对吧？那这里面还有哪些角相等，咱们能推出等腰三角形来？ 这个等腰三角形通常是从折痕这块出现的，比如说这里咱们把这个 c e 延长，你 延长之后与这个的 a 是 相交于点 m， 因为平行的锐角相等，所以这个角 m 是 不等于底下这个角 bce 也是 alpha， 同时你看角 m 是 不还等于角 mcf， 所以 这里是不是出现了一个等腰三角形 fmc 这个等腰， 所以翻折的四边形里翻折是经常会用到这个角分线加平行这个出等腰三角形这个结论的。那咱们再看第三个。第三个就是翻折问题里你的解求边的方式，咱们经常用的方法是勾股引力方程，所以你要记得 单勾股五方程、双勾股方程这些方程。第四个就是矩形和正方形的翻折，因为矩形和正方形翻折是涉及到直角三角形，所以咱们常用的思路之一就是一线三垂的相似，你可以勾到一线三垂，如果是等腰直角三角形，翻折就是一线三垂，全等普通的直角三角形就是一个一线三垂的相似。 第七个问题就是平移问题，平移、旋转、翻折他们放到一起的， 但是咱们通常来说是旋转和翻折考的比较多，这个大家也是比较熟悉。平移很少去学，那平移问题，咱们首先他是容易出现在哪块，他是在四边形里，咱们在以前学四边形这块内容的时候，平行四边形，这开始涉及到平移的问题， 那平移问题的特点是什么？你什么时候考虑用到平移？就是遇到 x 型线段的时候，你可以考虑平移既有两条交叉的相等线段，比如说现在我下面画的这个图里有两条线段 a、 b 和 c、 d， 它俩是相等的，并且是交叉型的、 x 型的， 那这时候你才可以考虑去用平移的方式，比如说我可以把这里的 ab 平移，就是我下面画的这有这四种平移方式啊。比如说第一个我可以把 ab 平移到下面这块来， 平移之后是不能构成一个平行四边形 a、 b、 b 撇的，也就是说这时候我把相等线段 a、 b 和 c 的是不能转化成 b 撇的，和 d、 c 相等了，所以你平移之后的话，这四种平移方式都可以。平移之后你是要构造出俩东西，第一个平行四边形， 平行四边形是不是就对边相等线平行，所以你能把位置关系转化一下。第二个平移之后通常会出现等腰三角形， 所以你平移之后你要注意这个平行四边形和等腰三角形啊，那你平移目的为什么要平移？你平移的目的是为了什么？ 你平移的目的就是为了要构造这个等腰三角形或者是平行四边形转化题里所给的这个边角的关系。那平移的方法主要就分为下面这四种，你不管是平移 ab 还是 c 的 都可以，但是平移之后是要使这个顶点是重合的。比如说我第一个方式，我把 ab 平移，使 a 和 d 重合。 第二个，我是把这里的 ab 平移，使这里的 a 和 c 是 重合的，就我把 a 平移到 c 的 c 的 位置上。 第三个，我是把这里的 a、 c 平移。平移之后啊，我是把这里的 c 对 平移啊，平移之后使这里的对和 a 是 重合的。第四个，我是把这里的 c 对 平移，使这里的对和 b 是 重合的。所以这四个平移方式都可以，你具体通过题去看你要往哪个方向去平移。
131喜欢数学的张张张张
15:43查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们，历时两个月新中考初三的几何和二次函数压轴网课终于录完了，电子版学案也整理好了，有需要购买的私信辽宁的考生。如果你是在一百零五分以上，你需要练习压轴题，那么这一个资料基本就能完全满足你的要求。 这里面我一共前面是分了十六个专题，前面这十六个专题是涉及到的方法、总结和讲解的，后面的四个是属于一个专题的汇总，那这里面每一个类型我都放了。后面的这些题总共加起是将近五百道的压轴题， 这里所有的题全是来自于近两年中考的真题以及各趋势的这个模拟题。接下来我将用四期的内容总结一下初中几何压轴题中可能出现的辅助线模型，大家有不明白的或者需要补充的，欢迎评论区留言。 平行相似这个大家都知道，它很简单啊，主要就是分为 a 字形相似和八字形相似，那这两个相似。这几个结论大家都知道，我就不多说了。那主要你什么时候用到平行相似？因为涉及平行相似的问题，压轴题其实是非常非常多的。 那你什么时候你考虑去做平行？那做平行相似其实指的就是你要么去做 a 字相似，要么就是做八字相似，这俩就是平行。那你什么时候考虑去做平行？那常见的是有以下几个特点的时候，第一个就是出现终点，为什么说终点是跟平行相似有关系？ 因为其实终点也是大部分同学容易忽略的，大部分同学想的是，比如说中线未长或中位线，他很少去往平行相似上去想，但是我们其实想 中线被长，你构造完这个中线被长，这个八字全等之后，这个对边是不一定是平行且相等的关系，那既然有平行，那图里是不就可能会出现平行的 a 字或八字相似？其次，如果你中点的话，你是不也可以考虑去构造中位线， 你如果构造的是中位线，那是不就会出现一比二的 a 字相似？所以中点其实是经常跟平行相似结合到一起的， 那除了终点，第二个就是给你两个编织比，比如说 a、 b 比 c 字，对于这种的，那只要两个编织比是在同一条直线的，咱们也是经常考虑要用平行相似，比如说我就随便找个图啊，比如说这个图里，那在这个图里，假如说题里给了你 b、 e 比上 e、 c 了， 那你看这两个边 b e 和 e、 c 是 不在同一直线呢？两个编织比，在同一直线上的编织比，你就要考虑去构造平行相似，要么是 a 字，要么是八字相似。 不管是给你的已知还是让你去求的，只要是两边在同一直线上的，你都可以考虑去用平行相似。所以其实主要是这两大类出现终点还有同一直线两边之比的时候，咱们经常考虑去用平行相似，然后咱们再看第二类， 然后咱们再继续看啊，通过平行相似是有一个你能推的结论出来的，那平行相似的话，比如说有一个角平分线的结论，现在出现一个角平分线， a 对 是平分角， b、 a、 c 的 平分之后，是不能得到这个结论。 ab 比上 ac 是 等于 b 对 比上 d c 的， 就相当于咱们把 ab 和 ac 看成一组对应边， b 对 和 c 对 看成一组对应边，那对应边之比也是相等的。那这个正法的话就是通过平行相似去正的，所以出现角平分线这个结论的时候，你要知道它也是可以通过平行相似去正，那怎么正？这里那？因为有角平分线， 那这里咱们用的就是构造的是角分线加平行这个等腰三角形过点 c 做一个 ab 的 平行线，那这时候这个角是不是转化到了角 m 上，那这里就变成了一二 m， 这三个角相等的。所以圆体里的 ab 比上 ac， 现在是不是就变成了 a b 比上的 m 比上 c， m 比上这个边，那这里面你看 c， 咱们是不是就把 a c 直接转化成 c m 了？所以你看 a b 比上 c m 是 不是就是这组八字相似的对应边之比就变成了 b 的 比上 c 的， 这个是可以通过平行相似去证，他这里的证法很多，你也可以去做别的相似，比如说过 c 做平行都是可以的，那的那个大家可以自己去合下去证。然后我下面写的这个就是你出现平行，什么时候你出现平行相似，就是出现终点，或者是在同一直线两边之比的时候。那下面的这个题就是前几天前一段时间吧， 大连在期中考试的时候，中山区的一个期中考试题，那这题就基本大家都做过，我就不再去重新讲了，我就拿它给你举个例子，你看这里面为什么你要想到用平行线相似，那这里面你看它是不是出现了 终点，它给的是得 f 等于 e 等于 f， c 出现终点了，咱是不是就可以去考虑勾到中位线？那这里的辅助线其这题里有好多种做法，其中一个做法就是过 c 和 m， 过 c 和 f 向 ab 做垂，你做完垂的话，你是不是就相当于构造的这组的 m f 和的 n、 c 这组平行相似， 就是构造的中位线。这里所以我就拿它举个例子，就出现中点，你可以去考虑构造平行相似。然后咱们看今天第二类，就是这个子母型相似。子母型相似也是基础的子母型，大家其实都知道，就是属于它的特点是共边共角的，指的是有一组公共边，并且一组公共角。你就像下面这个图里，在 abc 里， 这里面假如说有角 b、 a、 d 等于角 c， 那 现在你看这个三角形 a、 b、 d 和三角形 b、 a、 c， 它们俩是不是就有一组公共边 ab， 还有一组公共角是角 b， 那 这时候共边共角，它就是属于子母型的相似。那只要出现子母型相似的，大概率你会用到它下面这个结论。其实这个结论不是什么特殊的结论啊，就是通过这俩相似三角形的对边之比， 只不过你这个结论你要记住的话，它好多时候你会用的比较方便。那这个结论指的是公共边的平方，你看是不是 ab 方，这个 ab 指的是不是就是这俩子母型这个公共边的平方， 所以它是等于公共边的平方，我就我上面这块写了，然后这个 b 段和 bc， b 段和 bc 是 不是这俩字母形相似，在同一边上呢？就等于同一直线上的两个边之积，那这里经常有同学会给它记错，记错成等于 b 段乘 c 段。 你看啊，因为咱们是用对应边之笔相似，对应边之笔推出来的，那所以这四条边它一定是这两相测三角形的边，那 c 对， 你看它根本就不是这两相测三角形的边，所以肯定不是 c 对 啊，是 ab 方等于 b 对 乘 b、 c， b 对 和 bc 是 在同一直线上的这两三角形的边。 那子母型相似，它是有几个变形的。第一个变形就是咱们常见的，尤其是在圆或者说几何牙轴里常见的这个适应定力型的。适应定力型指的就是这种，就是 abc， 是 直角三角形做一个斜边形的高。那其实这里是严格来说是有两组子母型的，一个是 abd 凳， 和这大的 a、 b、 c 字母形相似。还有一个是小的 a、 c、 d 和这大的 a、 b、 c 字母形相似，那这俩字母形相似，你就能分别得到这两个结论，就是 ab 方和 ac 方的这个就是我这写的这个。那还有一个不是字母形，但是它跟字母形很像，就是这里的 a、 b、 d 和 a 对 c， 它俩也是相似的。这俩小直角三角形相似之后，你就能对应边之比，就能得到 a 对 方等于 b 对 乘 c 对， 那这个结论有什么用？你不要光记这个结论，它是没有用的， 你要知道这结论怎么出来的，首先它通过摄影定律推出来的。其次你这个结论你要继承任意一个直角三角形， 任意的一个直角三角形，他斜边上的高，是不是会把斜边分成两段线段，那指的就是结论就是斜边上的高，这高的平方等于你分的这两段线段 之积。你要记的是这个，而不是单纯的记这个图里的东西，你知道这个之后，你在图里你才会去用。然后咱们看下一种啊，下一种它的变形就是 异侧的公共边。什么意思？比如说在这里三角形 a、 b、 c 和 b、 c、 d 它俩相似，那对于这种呢，是经常在圆里面出现的那种，那你看这里它俩相似之后，是不是有一组公共边 b、 c， 那 这时候是不是也是有公共边呢？所以有公共边的这种，它其实是属于一个子母形相似的一个变形。那这时候能解得到的结论就是这个公共边的平方 b、 c 方是等于 b a 乘 b 地了。 那下一种就是子母形里面内含等腰三角形的这个，这个是在压压轴题里经常会出现的，而且好多同学他都看不出来。这里面你看啊，比如说现在给的条件是 b、 a、 d 这个角是等于角 c， 所以 首先是不是有一组三角形 b、 a、 d 相似于三角形 b、 c、 a 这个子母形相似。 其次还给了 a 对 儿等于 a、 e， 有 a 对 儿等于 a、 e 之后，咱们就可以去推出这俩小的 a、 b 对 儿和 c、 a、 e， 它们俩是相似的，怎么推？就是你子母型相似之后，对应边乘比例，然后 把这个相等的边 a、 d 转化一下， a、 d 转化成 a、 e 之后，你就能得到 s、 a、 s 相似了。具体怎么正我就不说了，大家可以去正一下。首先先用原来的字母形相似推出对应边之笔，然后把这里的 a、 d 转化成 a、 e， 并且这里还有这两个角是相等的，那这里比较简单的正法，我给大家说一下。 最简单的正法是你看首先有 a、 d 等于 a、 e、 d 这俩角相等，它俩的邻补角是不就相等了？ 再加上已知给的这个 b、 a、 d 和角 c 这俩角，那现在是不是就能得到这组字？不是字母形就能得到这这组三角形相似，那这个是利用导角，你利用导边也可以去正，但是就比较麻烦了。 然后咱们再看最后一种，然后咱们再看第三个解三角形。解三角形是最容易被同学们忽略，也是我今天讲的里面最重要的东西。 因为不管是二四年的那个中考，还是二五年的中考，还是一模二模的话，你会发现你做的卷多的话，你会发现解三角形占的比例是非常非常非常大的。 解三角形它的意思指的就是你在三角形里面去求一个边长，比如说我在这个 abc 里面，我要求其中一个边长，那这就是解三角形的意思，你会发现好多题都是跟解三角形有关系的，所以你要知道什么时候可以解三角形，那咱们先看啊，解三角形指的是你要求这个三角形的边角或者是它的面积， 边指的是求边长，角指的是如果是特殊角，你可以去求这个角的三角函数，那求面积也是属于解三角形。 那咱们什么时候可以去解？咱们想啊，三角形一共是有六个条件，三个边，三个角，那这里面是存在知三退三的关系的，但是只有已知三个角的情况是不能解三角形的，是不能求边的， 只要不是，只要这三个条件不是三个角，就是比如说两边一角、两角一边，只要涉及到边和角，你都可以去解三角形。那常见的分类方式的话，第一种 就是咱们是用三角函数去解三角形，那你用三角函数解三角形的情况的话，那一共分为四类情况。第一个是已知三边，已知三边的情况，咱们是去可以求这个三角形的面积以及它三个角的，比如说这里我已知 ab 是 三， bc 是 六， ac 是 五， 那我这时候过点 a 线下做高做一个，比如说做一个 a e， 我 是不是就可以用双勾股去求出 a e 的 值，以及 b e 和 c e， 那 怎么双勾股？我就直接设 b e 是 x， c e 是 不是就六减 x？ 所以 a e 方是不就等于 ab 方？三的平方减去 x 平方 还等于 a c 方五的平方减去 c e 方就是六减 x 平方，你这时候是不是就能解出 x 值？ x 值有了，是不就能去求出这个 a e 的 值？ 那也就说这里的 bc， 他 俩的三角函数是不是都可以求，面积也都可以求，所以已知三边，你是可以求面积和三个角的，和求这三个角三角函数。那第二种情况，已知两边一角，两边一角指的是你一个三角形，你只要知道它的两个边长和一个角，这个角指的是可以是特殊角，比如说三十六、十四、十五， 或者是这个角三角函数值都可以，那只要知道两边一角，你都可以去求这个三角形的其余两个角和它的边长，那通常是用来求第三边长的，那比如说 在下面我画的这个图里， ab 是 二， bc 是 四，然后贪婪的 b 是 二，那知道两边一角的时候，只要知道角去解三角形，咱们做法都是要做这个特殊角。这个角去解三角形，咱们做法都是要做这个特殊角。 b， 那 就过 b 所对的高， 直接做一个 a e 垂直，那既然贪婪的 b 是 二，那就设 b， e 是 x， 然后 a e 是 二 x， 那 你发现在 a、 b、 e 里购物，对，你是不是能求 x 了？ x 求完 a、 c 是 不是也能知道了？然后咱们再来看第三种。 第三种是已知两角一边两角一边一样的，指的是知道两个特殊角或者是两个角差角函数值，然后再再知道 e 边长，你就可以去求其余的边长。 比如说这里已知 a、 b 是 三，那贪婪的 b 和贪婪的 c 知道了，那知道这两个角，只要知道角去求边长，你都是做这个特殊角所对的高，所以直接过 a 做垂就行。过 a 做垂，贪婪的 b 是 三，那就设这个 b， e 是 x， a e 是 不是三 x， 然后贪婪的 c 是 二分之一，那所以 c e 是 不是就六 x？ 那 接下来你是不是就可以在 a、 b、 e 里勾五顶点方程去求 x x 求完之后，在 a、 c、 e 里面再勾五顶点方程，是不是就可以求 ac？ 这个都很简单啊。然后第四种是一边一角和另外两边数量关系。一边一角和另两边数量关系，指的是已知一个角的度数或三角函数值和一个边长 和另两边数量关系。那两边数量关系一定是他俩相加等于几相，或者是相减等于几，而不是说他俩谁加谁的平方，这种的就不能带平方，因为你带平方就很不好算了。 那比如说你像下面这种呢，已知两边，已知一边一角和两边数量关系，那这里知道角 b 是 一百五，那所以它的特殊角是不是就对的是三十度， 所以延长变成特殊角三十，那这里 b c 是 三， a c 加上 ab 是 十二，那知道特殊角之后，继续做这特殊角所对的高做 a e 垂直。那既然有特殊角三十度，咱是不是就可以设 a e 是 x， 所以 a b 是 二 x， a c 是 不是就是十二减二 x？ 然后你再看 b e 是 不是跟三 x， 那 在三角形 a、 c、 e 里面是不是就可以勾股定底去求 x 值了？ x 值求完 a b 就 知道了。 然后咱们再看解三角形的下一种情况是双勾股。双勾股其实是八年级学的勾股定底，但是在九年级的时候，不管在圆三角函数里，它都是经常能用的上的。 然后咱们看双勾股啊，你什么时候可以双勾股？既然是双勾股，指的就是必须要有两个直角三角形，那通常是这俩直角三角形有一组公共边的情况。比如说我下面画的这俩 a d c 和 a b c 这两个直角三角形， 它俩是不就有一组公共边？ a c， 你 就以这个公共的直角边为等量关系确定方程。那比如说像我这个例题啊，它给的角 c 加三，那 c 的 设成 x b 的是不就三加 x， 然后 ab 是 八， 那你在小三角形 a、 c、 d 里面勾股定底方程 a、 c 方是不就是五方减 x 方，然后在大三角形 a、 b、 c 里面 a、 c 方是不就是八方减去三加 x 再加 x 的 平方 就是 ab 方，减去 bc 方，你用这个公共的直角边来列等量关系，就能解除其余的边长。这个是双勾股，你出现两个直角三角形，有公共边的时候双勾股，你像下面这个图里也是两个直角三角形，有公共边，你也可以双勾股，或者是还有这种的，这是一个直角，然后这种还有一个直角 再画一下，比如说在这这还有一个直角不是矩形，他有一个公共的斜边，你也可以以这个公共斜边为等量关系去列方程。 所以双钩股，两个直角三角形出现公共边的时候，你都可以考虑能不能用双钩股。那最后一种就是比较简单的解三角形啊，就是直接单钩股就能解。这个单钩股不是指的已知两边，求第三边啊，这个单钩股指的是这个直角三角形，已知一条边长和另两面数量关系。 比如说有一个这样的，现在在三角形 a、 b、 c 里面，我已知 ab 是 五，然后 ac 加 bc 等于七，那所以 bc 是 x， ac 是 不是七减 x 就 已知一条边和另两边相加或相减的数量关系，你就可以设未知数去解勾股定律方程，这个就可以了。
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