matlab积分函数trapz

用 smartlink 搭建的同步 box 电路，呃，也就是声压电路，输入电压二十伏，以后目标电压是输出四十伏，呃，反反路的话是 电压环，跟电流牌一起用的，电流内环跟电压外环经过 pid 算法， 我已经在这里已经搭建好了，详细的就不说了，然后直接颜色看，这样就之前玩的，嗯，可以看到电压，呃，跟这个输目标电压是一样的，四十伏。 然后这个 pdm 出来了，看下 pdm， 仔细看一下， pdm 的 好出来了，频率五十 k， 这里就有周期二十微秒，弹弓比百分之五十一，这个上管跟下管，这个是下管， 弹弓频率是四十九点九，弹弓比是百分之五十。然后，呃，下一步直接看怎么实现这种代码， 直接点到 a p p， 然后我还要配置一下模型，配置一下，嗯，这个变步长，变变定步长，然后硬件实现这个，改到 这个，然后按确定，确定到 a p p， 直接点点 c， 然后进来了。生存 优酷有些东西还是要修改一下好，再试一下， 点一下 那个代码，时间比较长好，已经生成了。在这里看到了，点击文件 点一下， 这些都有，详细的都是有的。

欢迎来到期末不挂科系列之六小时速成高等数学本课程覆盖高等数学上册所有考点，欢迎大家追更学习。哈喽，同学们大家好，我们今天呢，来学习一下第三节课不定积分。 呃，主要就是去讲如何算不定积分，那我们的这个讲课顺序也是从高频考点一直到低频考点给大家去讲解的，所以同学们要一个主次之分。 我们先来说一下啊，积分到底是什么？还出现了这么一个符号，这个符号呢，读作积，它是我们的积分符号旁边呢，会有一个函数，我用 f x 去表示， 这里的 f x 叫做被积函数，旁边有一个 b x， 这个 x 叫做积分辨量 好。当你见到这样的式子，他就是求不定积分的题目了啊，他会问你，他等于什么？当然了啊，如果这个式子换一个字母去表示，完全是一样的，也就说这个函数啊，用哪个字母去表示，和这个函数的本身其实没有太大的关系，无所谓。那如何去算呢？ 比如说 a 求完导是 b， 那 反过来 b， 这不是结果吗？这个 b 如果要想求不定积分，它就等于 a 加 c。 我 们先不看这个 c 啊，它里面有个 a， 那 也就说明，如果我们把这个式子里面没有经过求导的 a 叫做圆函数， 求完导之后的这个 b 叫做导函数。原函数，我们一般用大 f x 去表示，这个导函数呢，我们一般用小 f x 去表示，那你会发现大 f x 经过求导就会变成小 f x， 那反过来啊，那你看我们这个式的积分，那就是积小 f x d x 啊，刚好等于 a 加 c 啊， a 是 不是大 f x 大 f x 加 c 啊？求导和积分其实是互为逆运算的一个过程， 对吧？你看求导是不是正着去求，那我们的这个积分你就要想了，谁求导是小 f x 谁呀？大 f x 呀，所以等于大 f x 加 c， 它是一个互逆的过程， 为什么要加 c 呢？那我们来想一下，是只有 a 求完导等于 b 吗？ a 加一求完导是不是也是 b 啊？那 a 减五求完导 也是 b 啊，你会发现求完导能变成 b 的 式子有多少个，有无数个的。那我怎么去表示这无数个元函数呀？那我加一个 c 嘛，如果你在考试的时候啊，不管说你这个 a 求出来有多么的正确，你没有分了，所以同学们一定要记得加 c 啊。 我想去求二 x 的 原函数，我就要想谁求导是二 x 呀，那经过我们的那个导出公式啊，我们之前是背过的呀， x 平方求函数是不二 x， 所以 反过来写二 x 去求不定积分，就等于 x 平方加 c 了。 所以我们这个积分啊，本质上是求导的一个逆运算，找它的一个原函数是谁，说白了就是你去想谁求导是它 x 平方求导好，那就是 x 平方加三，当然了，像这个比较简单，对吧？你像这个公式我们是背过的，再复杂一些可能就不太好想了，所以我们给大家一些公式啊， 这个积分表呢，一共是十一个啊，然后前七个是非常非常常用到的，八九十十一样，我们就简单的去记一记啊，前七个是最常用的。好，那这个积分表我们讲完之后啊，就去用一下它来，我们看 好第一题呢，这个被积函数是 x 的 平方，它是不是一个密函数呀？那我们肯定要用那个密函数的不定积分公式， g x 的 u 次幂 d x， 它应该等于 u 加一分之 x 的 u 加 e 次幂， 再加 c， 它在这里 u 是 不相当于二啊。好，所以我们来写一下，就是 g x 平方， d x 就 等于啥呀，二加一分之 x 的 二加 e 次幂嘛，然后再加 c 嘛，就等于三分之一 x 三次方加 c 啊，所以它的答案是三分之一 x 三次方加 c。 这个是比较简单的， 直接用一个公式，第一步就是观察背记函数，第二步就是选择公式往里面套就可以了。所以前提是什么？把公式背下来。 那第二题呢？第二题啊，同学会看蒙啊老师。三 x 乘以 e 的 x， 这是两个函数啊，这两个函数是可以合在一起的呀，你观察一下背记函数，你看一下，都是 x 次密，所以这个函数是不可以写成三 e 整体的 x 次密啊，就可以用我们的那个指数函数呀， a 的 x d x 是不等于它本身再除上一个零 a 呀，再加 c 呀， a 在 这里相当于三 e 呗。那我直接套公式，就是 g 三 e 的 x 次幂 d x 就 等于三 e 的 x 次幂， 比上 round 三 e 嘛，然后再加一个 c 不 就完事了吗？好，这是我们第二题，就是用公式啊，两步走。那我们来看一下啊，它的一个分析思路和答题过程，观察背记函数，使用积分表。好，这是我们的直接积分法，我们接着往下看了，我们再来看啊，比较复杂一些的积分表，同学们要把它背一背， 我们先说啊，它的前提条件是表中的 a 要大于零，在这里就不多说了，所以你想把这个表格背熟，包括刚才的表一啊，表一和表二，你想背熟前提条件是什么？要把我们第二章当中的导数公式背熟，因为它是个逆运算好回去自己背吧。那我们就来用一下啊。第三题，观察一下背记函数啊， 我们把 d x 放下面来啊，是不是根号下 x 平方加九分之一啊？它是不是可以把这个九写成三的平方啊，也就是根号下 x 平方加上三的平方分之一啊。 你看背记函数是它啊， a 不 就是三吗？我们的积分表用的是它 a 等于三的时候，你就直接往里带这个 a 换成三不就完事了吗？所以前面你就背下来直接抄就可以了，所以原式就等于零， x 加上根号加 x 平方加上三的平方就是九，然后加 c。 哎，这是第三题，积分表，很好用啊，前提要把它背下来。 好，来，我们继续往下看了啊，看一下第四题，背记函数，它是两个部分相减构成的两个函数相减或者相加去求不定积分，你完全可以把它拆开算啊。所以我们是有这个性质的啊， f x 加减 g x， 我 们去求它的一个不定积分啊，你给我拆开，你先去求小 f x 不 定积分，然后再去求 g x 的 不定积分， 好，最后再相加减。那这个式子我不就可以拆开了吗？对吧？我分别去算，我先去算前面啊，一加 x 平方分之三， d x， 那 出现了常数，对吧？球岛里面出现常数是不是直接往前提啊，我们在不定积分里面也完全一样， 所以把这个三就直接给我提到前面去，三倍的积，一加 x 平方分之一 e x 其实就是算它的一个不定积分，你就想谁求到是它呀，阿克丹顿的 x 呀，所以答案就出来了，对吧？好，后面这个呢？根号下一减 x 平方分之二， 把二提前面去二倍的积。根号下一减 x 平方分之一 d x， 谁求到是它呀，不是 x sine 吗？对吧？所以是二倍的 x sine， x 加 c。 然后呢，再把这两部分的结果进行相减，就搞定了呀，关键是被公式。好，我们来看一下。 你看啊，我们把这步已经求完了，所以原式不就这两部分去相减吗？老师，这个 c 和 c， 它不是两个 c 去相减吗？对吧？为什么就只剩下一个 c 了？你注意啊，任意常数运算后，我们就只写一次，我不管是加还是减， 所以我们写一个 c 就 可以了，不管你算出来最后有几个 c， 最后我们只写一个 c。 那 连起来写呢？当你把最后一个积分符号算完的时候，统一加一个 c 就 可以了。 两条性质啊，第一个是可以拆开算啊，你包括啊，你把这个加号变成减号加减法都是可以用的啊。来第二个，如果有常数，你看这个常数 k 了吗？你可以把它完全提到前面去，直算后面，这样可以简化运算，当然 k 在 这里不能为零啊。好，这个是我们的第四题，直接用公式 来四个练习题，回去自己做一下吧，来，答案就给大家了，回去自己算，然后定正第一个啊，直接积分法就讲到这里了，我们一会看第二个了， 来看一下第二个啊，第二个是变形后直接积分。那这个变形后直接积分啊， 他主要用的其实是三角函数的一个转换，一共有七个，就是七个公式，我们应该背一背啊，我们来看一下第五题，第五题其实就是一个变形后直接积分，因为你直接去用公式其实是用不了的，我怎么去分辨？可以直接积，或者说需要变形后再去积，你就观察被积函数， 第一步永远是观察。那你看啊，公式里面有写过一加 cosine 二 x 分 之一的不定积分是谁吗？没有呀，对吧？所以我们要进行一个变形，一加 cosine 二 x 不 就是二倍的 cosine 方 x 吗？ 对吧？好，这就是我们的一个降密公式呀，当然这个式子啊，我们再进行整理， cosine 方 x 等于二分之一加 cosine 二 x， 式子是我们的降密公式， 也可以直接去使用来，接着吧，就使用积分表来呗，不就是求它了吗？好，别忘了啊，有常数二分之一，给我提前面去啊，只需要算 cosine 方 x 分 之一的原函数是谁啊？直接就一步到位啊，二分之一 tan 的 x 加 c。 完事了， 六题，我们要算一下这个函数的原函数是谁？找原函数就是我们积分最大的一个方法以及思路，我们只能把它拆开，那就是原式等于 来 x 平方 x 减一的立方。刚才我们去背了啊，也就是 x 的 三次，然后减去三倍 x 平方，加上三 x 再减一。好，我们把每一项啊都除以 x 平方，把它分开， 拆成四个积分，那也就表示 g， 首先是 x 平方分之 x 三次方，减去 x 平方分之三倍的 x 平方，再加上 x 平方分之三 x， 再减去 x 平方分之一 dx， 整理一下 g x dx， 然后减去 g 三 dx， 加上三倍的 g x 分 之一 d x， 然后减去 g x 平方分之一 d x， 然后我们就去算呗， x 的 原函数，这是 x 的 一次幂吧，对吧？我们用一下那个幂函数找不定积分的公式，那就是二分之一 x 平方，没问题吧，不着急加 c 啊，我们都算完了，加一个 c 就 可以了。来第二项呢，常数常数直接加一个 x 啊，那就是减去三 x， 谁求到是 x 分 之一，是不是零 x 呀？但别忘了啊，我们要保证 x 要大于零，所以加一个绝对值来接着它呢，谁求到是 x 平方分之一，这个得重新导一下啊， 这个是 x 负二次幂，去找元函数啊，那也就是 x 的 负二加一，然后下面是不是负二加一啊，再加一个 c 啊，所以整理完应该是什么呀？嗯，负二加一是不是负一啊？有个符号 x 的 负一次幂啊， 所以接着整理，应该是负的 x 分 之一加 c 呗。好，那也就是减去负的 x 分 之一加 c， 那 也就是加上 x 分 之一呗，然后统一加一个 c 就 可以了，这就是我们的原函数。找到了呀， 最后的结果都可以进行验算。怎么验算？你把你求完之后的这个式子进行求导，你看是不是这个背记函数，如果是，这个题绝对是正确的，两步走，第一个是背记函数，观察之后进行变形，第二步就是使用积分表了。好，来，我们接着往下看了， 我们来看一下第七题啊，我们观察一下 b 基函数，是不是公式当中没有，对吧？很复杂啊，所以我们把它变形一下，你没有别的办法，你就把它乘进去啊。一 cosine theta 乘以探证它 theta， 再加上 cosine theta 乘以 second theta， 然后 d theta 这个摊着它，以及这个 second 是 不是可以展开呀，对吧？这两个我们不常用，我们就往这个散和 cosine 去，往里面去。靠啊，尽可能能约分就把它约掉。好，那也就变成 d cosine theta 乘以三倍 cosine 加上 cosine theta， 再乘以 cosine theta 分 之一啊，那现在啊，这就太好办了，可以约分 cosine theta 分 之一啊，那现在是不是积 方程 c 它，然后是加上 e， d， c 呀，我是不是分别去求它们的原函数就可以了呀，那就很好求了呀，负的 cosine c 呀，它的原函数 e 呀，这不常数吗？直接 e 乘以 c， 它就完事了，所以加上一个 c， 它整体加一个 c 就 搞定了。 这个题啊，它就是一个三角函数的公式，要灵活运用。这第七题啊，那第八题呢？第八题观察一下背景函数啊， 公式里面没有，我们要小小的变形一下，怎么去变啊？这里教给大家一个技巧，观察被记函数，如果你的分子和分母它是同次密，我们要尽可能的加一减一，去凑一下这个分母。 好，那此时我们来看一看啊，变成了 x 平方加一分之 x 平方加一。好，我们不能平白无故加这个一啊，我们把一要减去， 那也就变成了两部分，一减去 x 平方加一分之一 d x 了，没问题吧？那这就会算了呀，分别去算呗，一的原函数啊，它的不定积分是不是就 x 后面这个呢？是不是啊，可摊着它 x 统一加一个 c 就 完事了，能听明白啊，所以就是个灵活运用啊。这个小技巧记一下， 你在答题的时候直接去写啊，从这开始写，从这开始写就完全可以了，一定会给你满分的。一共四个练习题，把这些东西拆开也好啊，去转换一下也好，用用公式也好，把它做一做，做完之后和答案进行定正啊，这些题并不难，回去好好做一做 来。第三个题型叫做第一类换元法，这个方法呢，也叫做凑微分，比如说我们来看一下第九题，第九题我们要算一下二倍 cosine 二 x 的 不定积分是谁？好，那我们现有的公式是什么？ c， cosine x dx， 它等于 sine x 加 c， 这个是我们的积分表中的公式。那现在呀，是 cosine x 这个系数二我们就先不说了啊，因为它比较简单，你可以提到前面去啊。 如果说是 cos 二 x d， 二 x， 二 x 看作整体的话，比如说是 u 啊， u 在 这里是二 x， 那 这个题是不是就相当于变成了积口算 u d u 了呀？ 那也就是谁是不是算 u 加 c 呀？我们再把 u 反带回去，是不是算二 x 加 c 呀？ 这两个我们都会啊，只不过就是把它看做整体。那也就是说凑微分这个方法的灵魂之处在哪？在这个字，凑字，你要凑成 d 前面以及 d 后面的积分辨率保持一致。 你比如说这是 x， 我 就是对 x 取积分，这是二 x， 我 就是对二 x 取积分，你必须要保持一致，那我们就要想办法让这后面的 x 变成二 x， 刚好这是不是有一个二啊？那如果说我把这个二和这个 dx 结合在一起来，你看一下啊，原式等于 积 cosine 二 x 乘以二 dx。 哎，我换个顺序去写啊，我为什么要换顺序？ 二倍 d x 是 不是 d 二 x 啊？所以这个东西啊，你把它结合在 g cosine 二 x d 二 x， 那 现在 积分变量不就保持一致了吗？好，这是那个 u， 这是那个 u， 不 就是我们这个 cosine u d u 了吗？这两个和这两完全是等加的，那现在就可以做题了，相当于是 g cosine u d u 吗？最后答案不就是 cosine 二 x 加对了吗？它算完之后不是 cosine u 加 c 吗？完事能听明白啊，这就是凑微分。所以凑微分的灵魂之处在于这个凑字我们要凑成什么样子，地前和地后的积分变量一定是一致的。我们做地方法就是四步啊，就是找导数配 c 数，第二个是求导部分放地后，第三个是换圆求积分，第四个是换回 x。 所以 简单来讲啊， 你就是把二放到 d 的 后面去，是找他的原函数二 x， 直接就到这一步了。好像这种题呢，一般情况下，你就是到小填空呀，或者小选择呀，如果说单词这里出大题，也只是大题中的某一步，让你去做啊。好，这个是我们的第九题。来，我们继续往下看啊，我们来看一下第十题， 你看，让你求 e 的 五 t 次密的原函数，我们的基本公式是 e 的 次密比 t 等于 e 的 t 次密加 c。 现在是什么 e 的 五 t 次密，我们要把五 t 看作整体， 那 d 后面也必须是五 t， 你 这样的话， d 前和 d 后保持一致，我才能去换原作呀。 d 的 后面如果想变成五 t， 那 我要看一看啊，这个 d 五 t 和我之前的 d 后保持一致，我要看一看啊。 d 的 后面如果想变成五 t 是 不等于 y 导乘以 d x 呀， 那现在只不过把这个 y 变成了五 t， 所以 相应的应该是五 t 的 导数，再乘以 dt 是 不是五倍的 dt？ 你 注意啊，现在是一个 dt 变成了五个 dt， 它不相等，所以为了保证相等，我需要在这个式子的前面干什么？把这个系数消掉吧。怎么消啊？乘五分之一啊， 原式等于啊， g e 的 五 t d 刚才我们已经证明过了啊， d 它是五倍的 d t 前面就一个 d t， 所以 这前面是不是要乘上一个五分之一啊？你这样等号是不是它和原式成立啊？我们的五 t 和五 t 就 保持一致了，那这个式子是不相当于 g e 的 u d u 啊，就是 e 的 u 加 c 了嘛，再把 u 反带回去啊，前面别忘了系数五分之一倍的 e 的 五 t 加 c， 对 吧？所以找宝数配系数，这个系数一定要配好了啊，你这是五倍的底 t， 这个五是多余的，你给我消掉，所以前面要乘上一个五分之一。好，这是我们的第十题啊，来看一下减减过程。完全一样的啊，主要就是把这个系数给我配对了啊。 我们来看第十一题，观察一下这个不定积分的背记函数，它是 x 乘以 cos x 平方。 好，那我们在这里说一个小技巧啊，当你看到背记函数中有两个密函数，两个密函数啊，你看一个是 x 的 一次，一个是 x 的 两次，对吧？而且呢，这个 x 的 次密，它的前后刚好差一次。 我们的做题方法是将次逆逼的往后放原式，就等于我们要想办法把 x 是 不是放后面去啊，那我的背接函数就只剩下 cos 也什么 x 平方了。好，你注意啊， x 往后放啊， x 的 原函数 二分之一 x 平方呀，不管是被积函数中含有常数，还是积分变量中含有常数，只要含有常数，而且是相乘的形式，通通往前放，所以就变成二分之一被的积 cosine x 平方 d x 平方了。你想用公式，你就必须要把 cosine x 平方里的 x 平方看做整体。 那此时这个式子是不是变成了 g 口在 u d u 啦？这个太熟悉了，这是 sin u 加 c 呀，我再把 u 反带回去，这题不就算出来了吗？所以最后答案是不是二分之一倍的 sin x 平方加 c 呀？我怎么验证我算的对不对呀，对这个结果进行求导呀，你求导之后看是不是这个被积函数，如果是，就百分之百是全拿到分数的一个题目，这是它的一个解析过程啊，同学们可以自己看一看啊。 第十二题一样的啊，去观察你的背积函数。背积函数啊，是两个式子相，除是 sine x 比上 cosine 三次方 x， 我 们要尽可能的让 d 前和 d 后的积分变量保持一致。 如果你想把 cosine x 看作整体的话，你 d 的 后面如何变成三 x 其实是不好变的，难道你把 cosine 三次方分之一往后放吗？找不到它的原函数呀，所以我们就要尽可能的 让 d 后面的 x 变成 cosine x， 我 们是不是把这个 sine x 往后放啊？ sine x dx 等于啥？等于 d 负的 cosine x 呀？啊，所以原式就等于 积，被积函数只剩下 cosine 单词方 x 分 之一了。我把 cosine x 往后放，得到的是不是负的 cosine x 没问题吧？好，符号往前提啊，符号相当于系数嘛，负一嘛，提到前面去就是负的积 cosine 三 x 分 之一 d 口三 x。 好， 那现在我是不把这 q 三 x 看做整体了，那整个式子是不变成了一 u 的 三次密分之一 d u 了呗。 好，那现在我们就着力解决它。好，那现在啊， g u 三次方分之一 d u， 我 是不是可以写成 u 的 负三次密 e u 把它转化成密函数啊？那也就是等于 u 的 负三加一次密，是不是负二次密？下面是不是负二？那也就是负的二分之一呗。然后呢，再加一个 c， 这个 u 的 负二次密它是不是 u 方分之一啊？所以是负的二 u 方分之一，再加 c 继续写，是不是应该等于负的二倍的 u 方 u 是 谁？ u 是 cosine x， 所以 是 cosine 方 x 分 之一，然后整体再加上一个 c， 两个符号是不是为正了？所以最后答案， 二倍的 cosine 方 x 分 之一再加上一个 c 啊。来看一下解析步骤 是一样的啊，回去自己看自己整理啊。做题思路已经讲过了，例题三一共是四道题，回去自己好好做一做，然后答案就给大家。这是一二题的答案，你可以去定正一下，做完，然后这个是三四题的答案都在这呢。

预备开始大学数学救命课第十二期，今天我们来说一下定积分。定积分是什么意思呢？他长得有点像不定积分，跟不定积分有一点点区别，就是不定积分他没有这个 a 和 b 这两个数，而定积分有 a 和 b 这两个数。 那定积分是啥意思呢？非常简单啊，指的就是从 a 到 b f x 的 积分等于大 f x。 我 来一个竖线，上面是 b， 下面是 a， 大 f x 指的是 f x 的 原函数。 然后呢，这个东西怎么算呢？就是大 f b 减去大 fa， 所以 说非常简单。定积分的定义就是我们先找到 f x 的 原函数大 f x， 然后呢，我们用大 f 上面那个数减去大 f 下面那个数，这就是定积分的进行定义，非常简单。比如说我们练几个题来看一下。 第一个题，我们按照定积分的定义，首先先来找一下 x 平方的原函数啊，密函数的原函数应该是一加二分之 x 的 一加二次方，然后啊， 上面是二，下面是一，简单整理一下，就是三分之一 x 的 三次方，上面是二，下面是一，按照定积分的定义往里带 就是三分之一倍的二的三次方，减去一的三次方，非常简单，最终结果等于三分之七。下面那个也是一样，我们还是先找到这个 e 的 x 方的原函数，就是还是 e 的 x 方。然后呢，上面是二，下面下面是零， 也就是最终结果是一的二次方减一的零次方，也就是一方减一，非常简单，这个也是一样，首先我们把根号下 x 变成 x， 二分之一次方，找一下 x， 二分之一次方的原函数就是一加二分之一分之 x 的 一加二分之一次方，简单整理一下就是这个样子。 ok， 然后啊，把这个二和一往这个圆函数里带，也就是三分之二给它提出来倍的二的二分之三四方减去一的二分之三四方， 二的二分之四方，三四方怎么算啊？这个二的三四方开二次根号就可以了，所以最终结果是三分之二倍的啊，根号二减一非常简单，这就是定积分的定义。

接着我们学习定积分的第五课，便上线积分。在本章的第一课，我们学习了牛顿莱布尼斯公式。 根据这个公式，我们不难发现，定积分的结果只与积分上下线有关，与积分变量无关，所以这个 x 可以 换成任意字母。 其实这个性质我们前面也讲过，这里正好从不同的角度再次印证了它的正确性。 好，我们正式开始讲解本节课的内容。既然叫变上线积分，说明积分上限是变化的，不再是这种固定的常数。 比如他就是一个变上限积分，因为 x 取不同的知识，上限会跟着变化，并不是一个固定的数，所以德明变上限。 当我们在考试中遇到被上限积分时，题目的突破点往往都是对它求导，因为求导后你会发现最终结果只剩下个小 f x， 这说明积分上限为 x 时，对变上限积分求导，我们能直接得出答案， 只需把背记函数里的变量换成上限 x 就 完事了。 比如这道题，看到被上限积分，我们的突破点就是对他求导。 看到求导何求极限？你能想到什么？很明显是洛必达法则， 但使用洛必达法则，极限必须得是零比零型或者无穷比无穷型，这个极限满足吗？满足，因为我们将 x 去近的数带入后边的式子，所得出的结果里，分子、分母都趋近于零， 所以极限是零比零型的。那我们就可以使用洛必达法则，对分子求导是他，对分母求导是他， 但现在这个极限仍为零比零型。大家是否还记得求零比零型的极限？我们还有一种更推荐的方法叫等，叫无穷小替换，通过这个方法我们可以将 sin x 方替换成 x 方， 化解一下，很容易可以求得极限结果为三分之一。好，这就是便上限积分的基础体型。 下节课我们继续研究他的推广提醒。

记忆公式最好是把公式推一遍，这些公式的推导我在我的合集里都有推过，我整理了一个小口诀，帮助大家记忆。接下来我就解释一下我这个口诀。 前两句左正右与加相乘，平方和是倒三角，它不是积分公式的记忆法，而是三角函数关系的记忆法。左正右与左边正弦正切正割都是正的， 右边余弦余切余割都是余的。还有第一行都是弦函数，第二行正切余切是切函数，第三行正割余割是割函数。 平方和是倒三角。首先我们来说一下倒三角，就是这三个画蓝色的三角形，它们都是倒着的 平方和，这就说明倒三角和平方和有关系。两个在上面的三角函数的平方和就是下面的一个。当然总会有个一，那个一的平方就是一啊。 cosine x 的 平方加 cosine x 的 平方等于一。 ten and x 的 平方加一等于 c and x 的 平方。 cosine x 的 平方加一等于 cosine x 的 平方。 接下来 cctv 正和负， cctv 这个 v 没有什么用，关键是 cctc 指的是 second 和 cosecond， t 指的是 tangent 和 cotangent。 注意，虽然 sine 和 cosine 的 记分公式比较好记，所以 c 只包括它俩，不要记错了。 正和负这里有一个符号，那么就说明 cotangan x 和 cotangan x， 它们两个是电子，带有负电。赫凡是公式里带有它们两个的，有 cotangan 的 负的， cotangan 和 cotangan 也有负的，这都有负的， 下面就没有了，这就是正和负。而我们用 cct 这三个字母把它凑齐，就可以写出公式。 左边有 t， 还差 c c。 当然这个公式可能和大家背的不太一样，我是为了适应我这个口诀，两个 c 嘛，我就写了两个 c， 当然大家可能背的是 line c， 可能 x 绝对值，因为那个 line 二和 c e 组合还是一个常数 构成的， x 的 积分也是两个 c， 可以 和变成一个有 c t 还差 c c t 负的 c， c c 平方就是两个 c， 还差一个 t， c c 负的 t。 比如我的符号和 c c 还差 c t， c 加 c t 加个符号，这里有三个 c， 这就不适用于 c c t 了，因为 c c t 一 共就两个 c， 这里怎么有三个呢？我们就需要通过这个公式把两个凑过去。 我在下面写一下啊， 凑位分，从这下面就是最后一句，分不分式取平均。首先分布，我们凑位分很多时候就是为了分布记分法， 但是如果一味地用分布记分法去记的话，比较的麻烦，我们可以再算一下分式，但是这里并不是分式的公式， 他其实是和这一个有关系的，他的有关系。一会我讲到这个公式时，我会连带着把这个公式一起推的，当然右边的也是相同的，把它们都加上一个扣，前面加上符号 一二三，还有这里的四五六，这六个公式都是对应的负的， 这是分式，这是根式，分式，根式。我们发现分式和根式的形式其实差不多。首先先讲分式， a 方减 x 方，它和我们熟悉的一减 x 方开根分之一，等积分二三 x 比较像，我们就可以 把那个 a 提出来，就变成根下一减 x 比上 a 整体平方， 而提出来的 a 在 分母，也就是 a 分 之一。跑到哪里去了呢？这里是 x 比 a， 所以 d 后面应该有一个 x 比 a， 正好 a 分 之一就跑到这里来了，这就是为什么这里只有分母有 a， 前面没有 接下来对应的根式分布它两相乘分式就是 x sine x b 上 a， 但是要注意不能单纯的去取平均，因为这里还成了一个系数，这里是几就是几，中间的符号取决于 a 的 符号， 最后取平均。二分之一括号，下一个就是这一个，我带大家写一写啊。这是另外一个分式的形式，它和我们熟悉的 根号下 x 的 平方加上一 b x， 这个是比较像的，把它变成 a 了以后加个乘符号就是这种形式。 接下来是它顺带着以后把它推了。根号下 x 方正负， a 方分不分式，正负和这里的正负相投， a 的 平方写前面先写一下这个公式， 二分之一括号，跟我一起吟唱分布它两相乘符号，照抄系数照抄分式 加 c， 接下来该根据这个公式推它了。我们可以进行一个换元，把这里的 a 变为一， 这样子就可以过来， a 等于一，然后 x 等于 tangent 的 t 正负，我们取正号，把 x 等于 tangent 的 t， 还有 a 等于一取正号都带入的话，我们就可以得到。前面应该是 根号下 tangent 的 t 的 平方加上 e， d tangent 的 t， 而 d tangent 的 t 等于 c and t 的 平方 d t， 所以 前面有一个 c and t， 后面还有平方，一共就是三个 c and t 呈在一起。 而无论是定积分还是不定积分，积分的值都与积分变量无关，所以这两个是相等的，我们就可以根据这个公式同样来写。这个公式二分之一括号递前乘递后，后面是 正负，取正 a 的 平方是一，所以加上 like， 根号下 x 方，正负 a 方就是根号下产生的 t 的 平方加上一，也就是 second t， 这里就变成 second x 了。 最后这两个公式是特别常用的两个公式。前面这一个和它的推法很像，先把 a 方提出，但是问题是它没有根号， 这就意味着把 a 方提出来了以后，就是一个 a 方分之一，把后面凑一个 a， 也就是 x 比上 a， 前面还留了一个 a 分 之一。这一个它实际上是列项 a 方减 x 方，就可以用平方差列项 a 方减 x 方，就是 a 减 x 乘 a 加 x 对 它进行列项， 把它们两个分别积分相减，放到 line 里面就是消除，当然就可以得到这个公式了。 总结一下，这些公式上面的都是可以根据 cctv 推得的，而从它往下，这一堆公式本质上都是三减换元，如果对你有帮助，点个小红心。

各位同学大家好，今天给大家带来一道这个定积分的计算难题啊，这个题是我们的粉丝在我们这个考研数学答疑群里面发出来的，这个题拿到手之后呢，首先这么说吧，这个题拿到手之后，我一开始还是做了好一会， 然后后来通过仔细的思考，我才发现啊，原来这个题它的技巧性还是蛮强的，所以呢，我把它分享给大家啊。这个题首先拿到手之后，嗯，看完题目，这个背记函数的形式还挺美观的啊， 大家看一下，它这个被减什么呢？它是 x 分 之 lo in x 四方加四，减去一个这个 lo in x 方加四，对吧？ 我们要算这个积分，这个积分直接算的时候，很明显是不好算的，对吧？不好算的银行找不到，那这样子的话怎么办呢？这样子，哎，我们首先可以想办法进行化解，你看啊，这个里面被减函数里面啊，它，呃，分子有 x 四方，还有 x 平方，那么明显的，我应该把 x 平方作为一个整体，是不是？ 所以这里的话我想到，哎，是不是先去进行一步处理，对吧？进一步换元，就念 t 的 x 方，这样子去做，那么既然想念 t 的 x 方的话，那么这个时候我可以给它干嘛呢？就是分子分母同时乘上一个 x， 好， 我们来做一下减 原式，我们可以把写成什么？我们可以把写成，你看，就是这样写啊，就是写成一到二， 好，分子和同时乘个 x， 你 看啊，分母就变成了，这里是 x 方，对吧？然后分子是 loin x 的 四次方 加四，然后减去一个 loin， 这里是 x 平方加四，再乘上一个 x 的 x， 你 看这样子我们刚好多出一个 x， 这个 x 是 不是测微分就可以测成 x 平方了？然后前面配个二分之一是不就可以了？这样我就可以把这个 x 平方作为一个整体来使用了， 所以这个积分就等于就变成这样子啊，就是二分之一，你看一到二，这样就变成分母是 x 平方，分子就是 law y x x 四次方加四 减去一个 law y， 这里是 x 平方加四，然后 d x 平方 坐这呢，我们来换元，哎，有同学问了，哎，老师，你为什么不把 x 平方加四做一个整体，这样不好啊，这样那个 x 平方加四不好处理，所以只能把 x 方作为整体。 另外还有一个原因就是我这里这个分母它是 x 方，你你把它换成 t 之后，这分母还是很简单的，你千万不要让分母变负，它分母变负，它有时候积分，那即使它在线呢，你也看不出来，一个形式出来，能明白我意思吧，这个非常重要，所以呢，这里我们直接令 t 等于 x 方啊，这样分母减呢就比较好处理一些， 它变成什么了，是不是就变成二分之一，你看啊，这里是一到四了，是吧？然后这里就是变成什么了，是不是 t 分 之 loin， 这个 t 平方加四减去一个 loin， t 加四 提提好了，那么这个时候大家注意啊，这个元函数既然是找不到的，那这个时候怎么办呢？我们可以把一个相对简单的积分给它进行保留，我们把这个相对复杂的积分把它处理一下，看看能不能出现一个部分跟它一模一样，把它消掉， 这就是我们做这种题的一个思想啊，这叫甩锅法，知道吧？甩锅法也就是简单的留下，虽然记不出来，但是形式相对简单，留下，把复杂的往简单的化简，这个方向叫划归，思想很重要的啊， 所以这里呢，我可以把这基本给它拆开，大家看可以把它拆成什么呢？就是二分之一乘上一个一到四，这里是 low y， 这个 t 平方加四 啊，除以一个 t 是 不是？然后是 d t， 是 不是减去一个后面，这个后面是二分之一，你看后面是一到四，这里变成了就是 t 分 之 l y t 加四 d t。 好， 你看啊，这个比较简单，形式比较简单，给它留下， 然后下面就想办法把这个东西往这个上靠就可以了，对不对？好，我们怎么靠呢？来，我们来看一下这个积分怎么做啊？因为啊，这个积分大家看啊，可以怎么处理呢？ 就拉 in t 平方加四啊，除以一个 t， 我 们可以这样处理，你看，呃，首先呢，这个里面它有个 t 方，跟这个地方差一点点，是不是？所以我们可以采取刚刚的策略，就是分分子五通成个 t， 然后凑个 t 方出来，这样子我们可以凑一下，是吧，可以凑一下， 所以这里的话，我们应该是这样做的啊，可以先简单测一下，变成一到四啊，然后这里变成 t 方分之啊， l y t 方加四，看了吧，乘上一个 t， d t 分 子混合成个 t， 这时候呢，就可以测一下变成二分之一，你看就是一到四， 对吧？ l y t 平方加四除以一个 t t 方啊，那 d t 方， 这样子我们可以换元，我们可以令 u 等于这个梯方，你看这时候这形式上就比较像了，就区间不同而已，就变成了二分之一，这里是一到十六，是不是一到十六，然后这里就是什么呢？这里就变成了是这样子，也就是 u 分 之零 u 加四 丢，是吧？变成这样，变成这样，你会怎么去想啊？变成这样了，背记函数终于一样了，是吧？大家看，终于一样了，是不是 那一样了，这个题也不一定做出来啊，因为他这个区间明显的多很多，是不是？所以我们可以这样子去操作，我们可以把那个一到四分给他留下，然后，然后拆成两个积分加起来就可以。所以这里的话我们可以拆成什么呢？拆成二分之一，哎，一到四的积分，这个呢就是 u 分 之 law in u 加四要留下啊，这个地方第二加上一个后面的角二分之一，这里是四到十六，是吧？是 law in u 加四， 比上一个油再乘个 d。 好 了，现在你要想到一点，现在的话，你要想这个东西怎么往上面靠呢？是不是这个东西明显的，你看啊，你发现啊，这个区间是扩大了四倍，是吧？扩大了四倍， 但是有同学就想，老师，对于这个积分我能不能做这么换元，我们来看一下，你看也就是四到十六，这个积分， 你看就小于 u 加四，哎，你发现扩大四倍这个想法是没错的啊，就出一个 u d u， 那 你看，我如果一旦令这个 u 等于四 t 啊， 对吧？那你可以变成就是一到四的积分，那这个里边变成就小于 u 就是 四 t 加四，是吧？比上一个，这里是四 t 乘上一个 d u d u 就 四倍的 d t， 你稍微约一约啊，你约一约，你看你就变成什么了，你就变成了这样。其实就一到四，那分子提个 l e n 四出来是没问题的吧？就加上一个 l e n t 加一是吧？除以一个分母是 t， 再乘个 d t， 哎，请大家观察一下，请你观察一下，这个时候你发现这个 t 分 成 l e n 四是可以记出来的，这没问题，是不是关键问题在这啊， 看到没？看到这，看到了，在这麻烦的事情出现了，在这，这个东西怎么办？这个东西是路由 t 加一，这是路由 t 加一，它和我们要的东西还差着十万八千里，就这个地方， 是不是？这是路由 t 加一，我们想要的是这个地方还是这个路由 t 加四的结构啊？看出来没才能消掉，所以这样的换元明显是不利于我去操作的，是吧？ 是这样的吧，所以大家可以想到一点，这样做是不行的，那么这里我们还可以怎么换呢？为了保持形式不动，我们还可以这样，你看我用如果用十六去除怎么样？比如说我做一个电话，十六除以去除， 对不对？这是我们之前讲过的一个缺人在线的一个方式，是吧？可以把压缩压缩，可以用除的方式， 就反比例函数的这种除的方式，所以的话你看四，如果用十六去除的话，你看就十六除以 u， 那 这样十六除以十六是一没问题，那十六除以四是不是还是四？那这时候我们也可以去试一下。好，我们来不妨来试一下， 因为你看一下这个四到十六，这个积分就是 ln u 加四 除以油递油这个积分，如果我们令这个为它等于什么呢？等于十六除以油，这时候你会惊奇的发现它变成什么了？你看，当油取四的话，那下限是四，当油取十六的话，上限是一，对不对？然后这个分母它变成什么了， 分母就变成了这样子， u 是 不是就十六除以 v 把它带进去，那分子是 lawing， 这里的话就是十六除以 v 加上一个四， 乘上一个就是 d v 啊， d u 是 吧？ d u 其实就是负的这个微方分之十六，然后 d v， 这没问题吧？ 好，写，这以后呢，我们来观察一下，这里我们可以做个约分啊，把这个微分之十六给他约掉一个，看到了吧？然后符号呢？正好交换一下积分上下线，对不对？所以这个积分他就变成这样子， 就变成了这个是一到四，你看啊，就变成这个，正好分完多个为啊，就为分之多少为分之十六加四为吧，十六加四为，提个四出来 是吧？你就发现，哎，就是四倍的这个 v 加四看到了吗？ d v， 好， 这样我们可以简单去拆，一拆就拆成什么了，是不是写成这个一到四，你看啊，这个分母是 v， 再写长一点，分子是不是就变成了 lo in 四，是吧？ 加上一个 lo in， 这个 v 加四看到了吧？再减去一个 lo in v d v。 小赵以后很大家，很明显的，你看这个形式就已经出来了，是吧？这个可以保留其他部分。很开心，为什么开心？我们可以把它记出来， 所以你看它就等于什么呢？这前面这个记出来比较简单哦，就 lo in 四乘上一个 lo in v， 是 吧？在一到四的积分加上一个，这个积分，一到四这个积分，这个留下就是 v 分 之 lo in v 加四，留下 d v 再减去一个后面的后面这个原函数它是多少？它是二分之一的 ln 为方，是吧？在一到四算个积分， 对不对？好，你写到这儿以后，那前面这个其实就是 ln 四的平方了， ln 的 平方了，是吧？然后加上这个就是一到四，是吧？就是微分之 ln 加四， d v 减去一个，那就是二分之一洛音四的平方。好，这样子我们把合并一下，这个也就是二分之一乘以洛音四方吧，洛音四其实是多少？洛音四其实是二洛音二。把这平方一下，是不是就是四倍的洛音二方，那就是其实就是两倍的这个洛音二平方，对吧？ 再加上一个就是一到四，这里就是 v 分 之洛音 v 加四 d v， 好了，这样子我们就把这个积分，哎，就是这么四到十六这个积分，合情合理的把它划到了一到四这个积分，是不是这样子，我们就可以把那个式子表达一下，就是我们这一到四积分可以重新算一下过 这个一到四，对吧？就是 t 分 之这个孬引 t 方加四 d t 这个积分它就变成什么了？就变成前面这个东西，前面这个东西给它留下啊，就二分之一倍的 这个一到四，是吧？就是 t 分 之零一加 t， 这是我们刚刚算的结果，还加上一个什么？加上一个后面的二分之一，是不是就四到十六的？我们已经算好了，就加上一个，是不是就零二的平方，再加上一个，这里是二分之一倍的这个一到四， 然后就是 v 分 之洛音 v 加四 d v， 好， 这样合并一下，其实它就是洛音二的平方，加上一个，你看就是一到四，这里就是，你看就 t 分 之洛音加，因为 d 积分值和积分面无关，后面那个 v 换成 t 也没关系，就像就这样子， 好，这样子一到四这个积分搞好了，那么你看我是不是就会带入到我马上要计算到这个式子里面去了，哪个式子啊？就是我们这个式子， 这个是啥？是吧？因为我前面我已经把它处理好了，把它带进去，所以原式把它乘二分之一就行了，所以原积分 它就是二分之一倍的 loin， 那 就 loin 二的平方是吧？加上一个一到四就是 t 分 之 loin 加 t， 这是前面的部分 d t， 那再干嘛再减去一个，后面的就是二分之一，你看是一到四就变成 t 一 分之 loing 啊，不是，不是一加 t 啊，是四加 t， 点错了啊，这边是四加 t， 然后这边是 loing 四加 t， 对 吧？ d t 看到了吧？是不是？大家看二分之一乘进去之后，这边是不是刚好消掉，是吧？所以这个题的结果它就等于多少，也就等于二分之一乘上一个 lo 二的平方，这个题我们就做完了 啊，这个题呢，它的技巧性还是比较强的，就是大家对于我们这个积分里面一些换元的这个划归与放缩，你能不能很熟悉的去转换，对吧？对于简单的记不出来的形式是否熟悉，然后是否会保留往上面去 话，对不对？这些都是需要一定的这个积分的经验，好吧？好，这个题呢，我就给大家分享到这，大家没事的时候可以整理一下。

积分方程是含有对未知函数的积分运算的方程。与微分方程相对，积分方程是数学分析中一类重要的方程类型，它将未知函数出现在积分号下的方程形式与微分方程、代数方程等共同构成了数学方程理论的核心内容。 积分方程的研究起源于十八世纪，但直到十九世纪末才由瑞典数学家弗雷德霍姆等人建立起系统的理论框架。随着泛韩分析、算子理论等现代数学工具的发展，积分方程理论在二十世纪得到了长足进步，并在物理学、工程学、 经济学的领域展现出强大的应用价值。从数学形式来看，积分方程可以定义为包含未知函数积分预算的方程，其标准形式可表示为 x 等。 k， x， y， y， d， y 加 f x。 其中符 i， x 是 未知函数， k x， y 称为积分方程的和 f x 是 已知函数，拉姆达为参数。这个看似简单的表达式却蕴涵着丰富的数学内涵。 积分方程与微分方程有着密切的联系，许多微分方程的编制问题都可以转化为积分方程来求解。根据不同的分类标准，积分方程可以分为多种类型。 按照未知函数出现的位置可分为第一类和第二类积分方程。第一类积分方程中，未知函数仅出现在积分号内，形式为 k， x， y， y， d， y 等 f， x。 第二类积分方程则还包含未知函数在积分号外的项，如符 i， x 等。 k， x， y， y， d， y 加 f x。 按照积分界的不同， 又可分为弗雷德霍姆积分方程和沃尔泰拉积分方程，前者具有固定积分线 a 和 b， 后者则具有可变上限 x。 此外，根据和函数的性质，还可以分为退化和积分方程、对称和积分方程、奇异积分方程等。这些分类反映了积分方程理论的丰富性和多样化。 限性积分方程是最为常见且研究最为深入的一类积分方程，在这类方程中，未知函数及其积分都以限性形式出现。福雷德霍姆积分方程是限性积分方程的重要代表， 其标准形式为福 i， x， x， a， x， y， y， d， y 等 f x。 瑞典数学家福雷德霍姆在一九零零年至一九零三年间发表的一系列论文提出了著名的福雷德霍姆则一定律。 这一定律指出，对于给定的拉姆达值方程，要么有唯一解，要么对应的其次方程有非零解。这一结果与现行代数中的现行方程组理论有着惊人的相似之处，体现了数学内在的统一性。 弗雷德霍姆的理论不仅解决了积分方程的基本问题，还为后来的泛韩分析发展砥砺了基础。积分方程的求解方法多种多样，针对不同类型的方程需要采用不同的技巧。积分方程转化为宪性方程、组法、叠代法，积分方程转化为代数方程法、数值方法等。

上节课我们做了这么一道题，它比较简单，会套这个公式就行，但题目要想出的难一点，往往会在这个背记函数上搞事情，比如加一个 x 方，这样我们在求导的时候就没法直接套公式了。那怎么办呢？ 请大家记住，与积分变量无关的字母可以看做常数， 因为它的积分变量是 t， 所以 x 方可以看做常数，而常数可以提到积分外面， 这样我们就可以继续往下做了。其中这个变现积分的导数可以套用这个公式 化解一下很容易，可以求得 g p x 等于它， 那么 g p 零就等于它。 当然，题目要想出的更难一点，还可以把这个 x 放放到括号里，这样就无法将它提到积分外面了。 遇见这种最棘手的情况，我们就要使用秘法还原，也就是把含有两个字母的式子变成一个字母。 如果我们另 u 等于这个式子，那么 t 就 等于 u 加 x 方， d， t 就 等于 d u， 这样原先的 g x 就 会变成积分变量为优的变现积分。在之前的课时，我们强调过，坏人要同步更换上下限。 原先积分变量是 t 十，上限为 cosinex， 下限为 cosinex。 现在积分变量换成了有，也就是 t 减 x 方，那上限就会变成 cosinex 减 x 方，下限就会变成 cosinex 减 x 方， 这样上下线就求出来了。现在这个变现积分的导数你会求了吧？ 化解一下很容易，可以求得 g p x 等于它，那么 g p 零就等于它。

很多同学在遇到三角函数的积分的时候，往往无从下手，那么今天通过这一道题来给大家讲一讲在遇到这样三角函数积分的题目的时候，我们是该怎么样去思考。每天三分钟高数不担忧。大家好，欢迎来到我的播客系列。好的，可以看到黑板上的这道题目，那么这道题目呢，很明显它是包含了两类函数，一类是一次函数，一类是三角函数的一个积分。 同时我们读题，我们可以观察到 x 加三 x， 它的导数是等于分母的，同时呢，分母的导数它跟分子的一部分，这是我们观察到的一些有趣的结论。我们做基本题的第一步就是要观察，通过观察来选择我们要做的方法。好，那么接下来我们可以尝试把它进行一个分开 啊，分开之后呢，我们右边这个函数，它非常容易的可以求的它的解释，呃，负的奈，一加扩散 x， 因为它的分子就是分母的啊，分，分子就分母的导数右边求出来，那么我们来着重的去考虑一下怎么求左边的这样一个积分值。 那么关于左边积分值，大家有什么想法呢？我们第一个想法呢，关于三角函数与其他函数的一个组合的积分，我们通常会使用这样分布积分。 好，那么分母积分我们去试着去记一下，我们可以直接记 x 方，一加 cos x 减去 加 cos x 的 x， 那 么我们把它化简之后呢？一加 cos x 减去 x， 一 加 cos x 加上 x 三 x， 一加 cos x 或 find x。 把它化简之后呢，一加 cos x 减去 x， 一 加 cos x 的 x 减去 x 方三 x 一 加 cos x 方三 x， 那 么我们中间这一项是我们要求的这样的一个式子，但是呢，右边这一项很明显我们把它复制化了， 复制化了之后，我们同样的我们这个 x 没有消掉，我们三点函数还在，所以呢，这种方法我们暂时不会去考虑好，那么我们继续来研究这样一个式子，我们应该怎么去想象它好。 目前我们积分的困难是在于我们的分子分母无法同时去处理它，那么我们考虑一下分母能不能把它变成一个整体，为什么变成整体呢？变成整体之后，我们后面去做一个整体的代化都会比较方便，所以我们考虑一下用整体使用这个二倍二倍角公式，直接转化为二倍 cos 方二分之 x， 那 么原积分就等于了 x 二倍 cos 方二分之 x 的 x， 那 么到这里很多同学就应该已经知道了，分母它是一个函数的导数，我们可以直接等于 x 的 time 进二分之 x， 到这一步我们直接就可以分布积分 减去 x 的 x， 最终的结果呢？是等于 x time 进二分之 x， 加上二位 line cosine 二分之 x， 最终我们的结果 就是等于这个 x。 探险警二分之 x， 对， 就是它，没错，就是它，这是我们最终结果，再减去一个 c， 加上一个 c 就 可以了，这是我们最终结果。那么通过我们这个结果，我们可以找到什么提示呢？来，这是不是跟我们这个万能代换很像？ 所以我们在遇到这样的一个多次项加上三角函数的一个积分的题目时候，我们往往可以直接用 t 等于探险 x， 二分之 x 叫做万能代换，直接把它进行代换进去， 但是他会有一个过程叫就需要去暴力求解，如果你实在没办法，那我们就去暴力求解，如果你有办法，那么我们可以先去尝试着通过其他方法去推出这个积分，该怎么做。

本课我们研究变上限积分的推广提现。在上节课大家认识了基础的变上限积分，他求导就是先把背记函数超过了，再把积分变量改成上限。 但在考试时，这个上限有可能不是简单的 x， 而是关于 x 的 复杂式子。遇见这种情况，我们还是先把背记函数抄过来，再把积分变量改成上限，但要额外在后面乘以上限的导数 啊。老师，这个公式怎么来的？上节课讲过这个公式是通过牛顿莱布尼斯公式对等式两边求导得来的， 他也一样求导就是了。通过这个方法，我们可以进一步推出变现积分的公式， 这样在考试时，遇见上下线都有 x 的 积分，我们也会做了。比如这道题，让我们求 g p 零，那先求一下 g p x， 再把 x 等于零带进去就可以了。 因为 g x 是 一个变现积分，所以它的导数可以套用这个公式 化解一下很容易可以求得 g p x 等于它，那么 g p 零就等于它。 好，这就是变上限积分的推广提醒。因为上下线都不是固定的数，所以改名叫变现积分了。下节课我们继续研究变现积分的推广提醒。

我们紧接着看一下定积分的一个存在定理啊，就说如果说函数 f x 在 a 到 b 的 b 区间上，它是连续的，我们就称从 a 到 b 对 f s 关于 s 定积分，它肯定是存在的，这有问题吗？这肯定是没有问题的，那么我们这个题该怎么去分析呢？ 具体该怎么去这这部分知识该怎么去分析呢？我老师刚才一下说成题了，对吧？你看啊，说它在 a 到 b 上连续，我们随便画一个平面直角坐标系吧。你看从 a 到 b， 它是连续的 好， s 等于 a， s 等于 b， 上面这个函数图像就是 f s， 那 么 s 等于 a， s 等于 b 和 f s 以 s 轴，它是不是就围成一个面积？这个面积在不在？面积在，是不是这个定积分它就存在？因为这个面积它是不是也就等于从 a 到 b 对 f x 关于 s 定积分， 对吧？我们再看第二，就说如果说函数 f x 在 a 到 b 的 b 曲线上有界，且只有有限个间断点，那么定积分也肯定存在，这也好说，说是有有限个间断点， 还是随便画一个平面直角坐标系这 s 轴，这是 y 轴，你看，假如这个位置是 a， 可以 吧？从 a 走着走着，嘿，断了，是不是？假如到这个位置， 是吧？然后又断了，然后呢？走着走着又到这个位置加这个位置是 b， 可以 吧？这个是不是就是以两个间断点来表示这个有限的间断点啊？让我们看它最后表示的面积什么呢？ 看好了，这个阴影区域是不是就表示这三段图像和 s 等于 a， s 等于 b， 以及这个关键点处，这个线以及 s 轴所围成的这个不规则的曲边梯形的面积啊，对吧？这时候它还是等于这个面积的， 这个面积存不存在？存在啊，所以说这个定积分是不是也存在？可以吧，我们继续啊。函数 fs 在 区间 a 到 b 的 b 线上可积，那么我们就 知道 fs 在 a 到 b 上是有界的，可有界一定是可积的，可积也一定是有界的。好吧，如果说无界的话，记住就是不可积。举个很明显的例子，就是 fs 等于 s 分 之一，在负一到一这个区间上，它就是不可记的。为什么呢？因为 f s 等于 s 分 之一，它的图像什么样的？这是 s 轴啊，这是 y 轴，位于一四象限吧。 其中零这个位置是不是位于负一到一的中间？零这个位置，它是一个无穷间断点，这就是一部内容，这就是我们这部内容。 好，我们先看定积分的一个几何意义。其实讲这么多的话，同学们对于定积分的一个几何意义你也清楚了，假设 f x 恒大于零，就像我们第一个图像似的，你看 这个曲线进行上方 f s 横大于零啊，那么从 a 到 b 的 一个正向积分。当然正向积分，这不是一个标准说法啊，我只不过是平时我在上线下课，还有一些网络课的时候我给起的名，可以吧？正向积分。什么叫做正向积分呢？正向积分就指的是上限 大于下限，可以吧，你看 b 是 不是肯定比 a 大， b 是 比 a 大， 所以说从下线到上限，对吧？这个正向积分对 f s。 关于 s 定积分，它表示什么？就是这个曲边梯形的面积，就这个曲边梯形面积，如果说 f s 它小于零呢？小零，就像我们第二个图不是是这样的。那么从 a 到 b 对 f s 关于 x 的 定积分呢？ 你看这个整个面积是跑到下面去的呀，而 f x 一 直都是小于零的，它等于这个取边梯形面积的负值，好吧，等于这个取边面积的一个负值。如果说既有大于零，有小于零的呢？你看，从 a 到 b 对 f s 关于 s 的 一个定积分， 首先位于 s 轴上方是正的，下方是负的，上方是不是正的 a 一？ 然后呢， a 二是不是负的？所以说减去 a 二， a 三又位于上方，是不是又是正的？ a 四它位于下方又是负的，所以说就是 a 一 减 a 二加 a 三减 a 四， 对吧？好吧，是指的这些面，就是这个面积的代数，和位于 s 轴上方都是正的，位于下方都是负的，全加到一起。 ok 了， 我们继续利用定积分的几何 e 证明下列等式。为什么说从零到一对二 x 关于 x 的 一个定积分等于一呢？我可不可以先画下 y 等于二 s 图像啊？我就直接画简图了， 这是 s 轴，这是 y 轴，这是 o 点，可不可以啊，让我看啊！当 s 等于一的时候， y 等于二， 它是不是就是 y 等于二 x， 对 吧？ s 等于一。好了，从零到一对二 s 关于 s 零积分，是不是先有一条 s 等于一，也有一条 s 等于零，以及 s 轴和图像围成的这个 面积，这个面积是不是恰好是个直角三角形？这个直角三角形它的底是一，高是二，对不对？那么这个面积呢？这个直角三角形的面积是不是也就是底乘以高除以二或者乘以二分之一，是不是都行？最后结果是不是就是一啊？哎，对上了， 好吧，好，我们再看第二个。第二个是从零到一，对根号下一减去 s 平方。关于 x， 它一个定积分为什么等于四分之派，我们是不是得先画一下 y 等于根号，下一减去 s 平方， 我一看 y 等于根号，下一减 x 平方，意味着它肯定是大于等于零的，没问题吧，是不是？好，我们对这个式子进行啊。 y 大 于等于零，它是不是可以两边同时取平方？怎么倒了， 不好意思啊，不好意思啊，刚才背景倒了一下，我点个逗号， y 等于根号，下一减去 x 平方，是不是大于等于零啊？是不是？好，这个式子我怎么变形呢？我是不是可以两边同时取平方，他就变成了 y 的 平方等于一减去 x 平方， 是吧？我的目标是不是去掉根号才能知道它图形到底什么样的，然后把 s 平方移过去，他是不是就变成了 s 平方，加上 y 方等于一，他是谁啊？他是不是就是一个圆？心在圆点，半径是一，这么个圆，我们画一下啊， 而这个圆我是不是只需要画 s 轴上方的部分是不是就可以了？因为 y 大 于零啊，半径是一啊，好，这样的 负一一一是不是有这个曲线？但是我们知道积分的下限是零，所以说也就是先写出一个 s 等于零来，这也就是 y 轴吗？还有一个什么 s 等于一，上限是不是一啊？等于一和 s 轴 对吧？所围成这个面积是不是有四分之一个圆呢？是不是有四分之一个圆？所以说这个四分之一个圆的面积是多少？ 是不是就是 pi， r 方就是 pi r 方， r 是 一 pi 乘以一个一的平方，然后呢，再乘以四分之一数，白就除以四，最后结果是不是等于四分之 pi 是 不是和它一模一样啊？所以结果就是四分之 pi。 好 吧，这就是我们这部分内容啊，这是我们这部分， 我们几节。再看定积分的相关性质与推论。当 a 等于 b 的 时候，从 a 到 b 对 f s 关于 s 的 一个定积分，它就是零，这个好说吧，你看 还是画我们的图啊。从 a 到 b 对 f， s 关于 s 定积分，它表示是不是？也就是 s 等于 a， s 等于 b， 从 a 到 b 怎么着？对 f x 关于 s 的 逆积分是表示就是 y 等于 f， x 和 s 等于 a， s 等 b 都围成了曲面梯形的一个面积，对不对？如果说 a 等于 b 是， 就意味着 a 和 b 这两条线是无限的靠近，是这样夹着夹着中间是不是就没了呀？所以最后结果是不是等于零？ 可以吧。然后另外这个性质要知道，就是交换积分上限和下线，前面要补一个符号，之前是从 a 到 b 的 积分，现在变成一个从 b 到 a 的 积分，前面要多补一个符号。好吧，这个性质要知道， 我们再看下面的性质啊。被积函数中的常数因子可以提到积分符号外， k 倍的 f s， 从 a 到 b， 一个定积分也等于 k 倍的从 a 到 b， 对 s 关于 s 定积分 一样的。另外呢，好，和差公式。这个是什么呀？积分的和差等于和差的积分， 这个也不说了，行吧，就是 f s 加上或者减去 g s 从 a 到 b 的 积分可以写成什么呀？可以写成从 a 到 b 对 f s 关于 s 积分，再加上或者减去一个从 a 到 b 对 g s 关于 s 积分。 我们再看性质三啊。你看，假设 c 大 于 a 小 于 b， 那 么从 a 到 b 的 一个定积分可以写成从 a 到 c 的 定积分，再加一个从 c 到 b 的 定积分。这个好说，我们先画个图， s y 可以 吧？ y 等 s 图像，哎，画出来上面就是 y 等于 f s 可以 吧？好，左侧的边界是 a， 右侧边界呢？是不是 b， 然后 c 位于中间，哎，我直接写一个 c 可以 吧？好，我们先往右撇，假设左边这阴影区是右撇，可以吧？右边呢是左撇。 我们先看就是从 a 到 b， 从 a 到 b 对 f s 关于 s 定积分是不是有整个曲面题的面积， 而从 a 到 c 的 定积分呢？是不是就右撇的面积，然后从 c 到 b 的 定积分呢？是不是又是左撇的面积？而这左撇加右撇的面积是不是就等于整个面积？所以说这个是不是就成立的呀？这就是我们积分区间里可加性。 然后我们看，如果说函数 f x 横等一三个，就是写掉三个横线，这种等号叫做横等，就一直等的意思，它表示什么呢？看一下啊，它表示的就是一条直线， 说白了不就是 f x 等于一吗？就这样一条直线啊。 f x 等于一，就表示这样一条直线。 那么从 a 到 b 对 e， 关于 s 等于积分什么呢？是不还得把这个下线 s 等于 a 给写出来？上线 s 等于 b 是 不是也写出来， 对不对？上面这个函数和 s 轴围成的区域，是不是就是它来最后这个定积分的一个结果？也就是它是不是也就是这个长方形的一个面积？而这个长方形的面积是不是长乘以宽长很好说，是不是就 b 减去 a 宽呢？是不是就是高度一就，结果就是 b 减去 a， 是 不是就是它呀？可以了吧？好，我们紧接着继续啊。假设区间从 a 到 b 的 b 区间，很明显 a 是 不是肯定是小于等于 b 的 呀？ 而且还有 f x 大 于等于零， f x 大 于零，对于一个大于零的进行正向积分。什么叫正向积分啊？就是上线大于下线正向积分，那么正向积分的结果它肯定也是大于零。好吧，这个也要知道，这也是一个很重要的一个性质，也是一个很重要的一个性质。 来，紧接着我们继续我们看一下，如果说在 a 到 b 的 b 区间上， f x 小 于等于 g x， 那么两边同时取正向积分，也就是上线大于下线，那么最后积分的这个不等号的方向不改变，原先是 f x 小 于等于 g s， 那 么现在也是 f x 积分小于等于 g s， 对 吧？后面这句话，从 a 到 b 对 f x 关于 s 的 绝对值小于等于 f x， 怎么着？绝对值从 a 到 b 关于 s 积分，这可以记看好了啊，积分的绝对值 小于等于什么？绝对值的积分， 可以吧？小于等于绝对值的积分，我们可不可以先画一下 y 等于 f s 图像，我只画 s 轴，我为了省事，行吧，假如这个位置是 a， 这个位置是 b 啊， 其中这个是 a 一 a 二 a 三， a 四， a 五 a 六。然后我们先写一下，先求积分，再写绝对值。那么从 a 到 b 对 f x 关于 s 积分，它的绝对值是什么呢？是不是先把绝对值里面的符号是给分给它，算出来绝对值里面的积分结果位于 s 轴上方是正的，也就是 a 一下方是负的，减去 a 二，上方又是正的，加 a。 三、 a 四又为负的，减去 a 四， a 五是正的，加 a 五， a 六为负的，是不是减去 a 六，是不是？然后算出来，最后结果整体再加绝对值，这个是不是就是积分的绝对值，是不是就是它？那么绝对值是积分呢？我们看 从 a 到 b 对 f s 绝对值，关于 s 的 一个积分，它是什么呢？它的结果什么呢？哎，这个绝对值我忘了写了，里面是绝对值，如果说是里面是绝对值的话，里面是绝对值的话，我是不是要先把 f s 的 绝对值给它写出来，就是原先是负的，我是不是都得调成正的， 是不是，对不对？所以说原先的 a 二它就没有负 a 二说法了，是不是一上来就是正的？ a 一 加上 a 二，加上 a 三，再加上 a 四， 加上 a 五，加上 a 六，你看这几个是不是都是相加的关系？因为你里面套的绝对值是不是原先负都是变成正的了，对吧？然后你再把这个位于 s 轴上方的这六块面积加到一起，哎，肯定比上面的什么关系大于等于吧。 好吧，这就是这个题啊，这个就是我们这个推论，不是题，讲题讲习惯啊，所以说有时候性质的时候容易，哎，这个题啊，怎么样的？ 好，我们看一下第一中一道题了，对不对？假设 i 一 呢，是从零到一对 e 的 s 方关于 s 的 零积分， i 二呢是对 e 的 二 s 方从零到一关于 s 的 零积分， i 三呢，是对 e 的 三 s 方从零到一，关于 s 的 零积分， 则下列关系成立的式。我发现不管是在哪个式子中， s 取值范围什么，是不是都是大于等于零，小于等于一？而在这个范围内， e 的 s 方， e 的 二 s 方和 e 的 三 s 方，它们是肯定都怎么样？大于等于零， 并且呢，还有啥？ e 的 s 方是不是小于 e 的 二 s 方还小于的三 s 方是不是在零到一和满足这样的关系， 再结合我们刚才推断好，如果说这三个式子都大于零的话，这三边我同时取正向积分，那么不等号的方向是不改变好？第一部分我是不是可以写成从零到一对一的 s 方关于 s 的 小于。第二部分，从零到一对一的二 s 方关于 s 的 一个积分再小于。第三部分，还是从零到一对一的三 s 方关于 x 的 一个， 没问题吧，是不是？然后呢，我们看啊，其中他是不是就是 i 一， 他呢？ i 二，他 i 三，所以说可以得到 i 一 小于 i 二，是不是小于 i 三啊，也就是 i 三大于 i 二大于 i 一 选四， 可以吧？这就是我们这个题。这样的话是我们这道题的一个答案，同学们可以截图并与同学们沟通。 再往下， f s 和 g s 在 零到一上是连续的，并且还有什么呀？一直都有 f s 小 于等于 b s c 呢，位于零到一之间，所以说 c 它肯定大于零啊， 是不是？是不是 c 肯定是大于零的。问，下列式子中哪个成立？第一个，二分之一到 c？ 对， 呃， g t 关于 t 的 积分。 首先你能够保证两边同时是正向积分吗？你能够保证 c 大 于二分之一吗？上线大于下线吗？ 保证不了吧？你能够保证这个 c 小 于二分之一吗？也保证不了。如果说是 c 怎么样？小于二分之一的话可以变号，但是 c 如果说大于二分之一的话是不能变号啊。如果说我们跟针对 a 想象，若 c 大 于二分之一，当然也可能小于一啊，两边同时取积分，是不是又变成了从二分之一到 c 对 f x 关于 s 积分，它肯定还是小于等于从二分之一到 c 对 g x 关于 x 的 一个积分的吧， 对不对？所以说 a 选项不对啊，但 c 大 于二分之一是不成立啊？好，我们再看 b 选项 b 选项 好了， b 选项还是从二分之到 c 的 一个积分，这个是不是又可以举前面那个例子，就是 c 小 于二分之一的时候， b 选项若 c 大 于零，小于二分之一，小于二分之一，那么从二分之一到 c 对 于 f s 关于 s 积分，是吧？它是不是肯定也就变成大于等于从二分之一到 c 对 g x 关于 s 的 一个 几分了呀？对不对？所以说 b 选项也不对啊，没有看清楚 c 到底是大于二分之一还是小于二分之一的，对吧？如果大于二分之一就是正项，小于二分之一是不是负项的呀？你看从 c 等于一呢？你看 c 啊，从 c 到一呢？从 c 到一， 首先我们知道是不是 c 他 肯定是大于零，小于一的， d 选项是不是也是从 c 到一？所以从 c 到一，他肯定是一个正向积分，所以两边同时补上从 c 到一的一个积分 不变吧，对不对？所以说 c 选项和 d 选项矛盾，我直接选 c， d 是 不就完事了，对吧？ d 选项对 c 选项肯定是错，因为它们完全是不一样的，相反的。好吧，这就是我们这个题，这个题 像是这道题的答案啊。然后我们继续假设大 m 和小 m 分 别是小 f x 在 区间 a 到 b 上的最大值和最小值。这五呢，性质六啊，我们先思考一下，如果说是 这个小 f x 在 a 到 b 上，它是连续的，那么它是不是肯定有最大值和最小值？我假设最大值是大 m， 最小值是小 m， 可不可以？可以吧，那么我是不是就有 小 f x， 那 肯定是大于等于最小值，小于等于最大值，这个没问题吧？是不是？然后呢？ 因为区间是 a 到 b 的 b 区间，所以说 a 是 不是肯定是小于等于 b 的？ 所以说这三边如果同时取正向积分，有积分上限大于下限积分符号，而那个不等号的方向是不改变 来，它可以拆成从 a 到 b， 对 小 m 关于 s 积分，小于等于从 a 到 b 对 小 f s 关于 s 的 积分，然后再小于等于从 a 到 b， 对 大 m， 关于 s， 可以 吧？其中把这个小 m 提出来，是不是就变成了对一从 a 到 b 的 积分是不是就是 b 减去 a 啊？前面有 m 呢，是不是就变成 m 倍的 b 减 a 小于等于从 a 到 b， 对 小 f s， 关于 s 积分再小于等于什么呀？大 m 是 往前提大 m 倍的，从 a 到 b 怎么着？关于 s 积分，我直接写，大 m 倍的就是大 m 倍的对一从 a 到 b 的 积分，我直接写吧，大 m 倍的 b 减 a 啊， 是不是这样话，我是不是可以得到从 a 到 b 减 a 小 于等于大 m b a 是 不是有它？ 可以吧，这个性质六，也是我们这个定积分中的最大至最小至另类，可以吧，这种性质六，同学有什么问题，有什么不清楚的话，可以及时在评论上去的提问，可以吧？私信的话我可能不会回，私信的话可能不会回，因为我平时不看私信， 然后我就清了啊。我们再看信用日期，信用日期是定积分的一个中值定比，如果说函数 f x 在 a 到 b 的 b 区间上是连续的， 则在这个区间啊， a 到 b 的 b 区间上至少存在一点，可 c 使得什么呀？使得 a 到 b 对 f x 关于 s 的 积分等于一个 b 减去 a， 这个公式叫做积分中值定比， 是积分中之公式一样的，那么它是怎么来的呢？好，同学们，我跟同学们说一下，我们还是按往常一样，在平面直角坐标系上画出一个 f s 的 一个图像， 可以吧？然后我们知道啊，这个曲边梯形的一个面积，很简单，曲边梯形的面积， 它是不是就等于从 a 到 b 对 f x 关于 s 的 一个定积分啊？没问题吧，可不可以？好，没问题啊，然后呢，我们接下来对这个事件变形，怎么变形呢？我们就想象啊，假设好了这个黄色的阴影区域， 它现在不是固定了，你把它想成为，想成为流沙，想成流沙，你可不可以把这个上面给它拍平了呀？同学们，可不可以拍平了？拍平了之后，上面拍成个平面之后， 它是不是会变成一个矩形，对不对？而这个矩形的面积是不是和原先曲形、曲边梯形的面积，它是不是一样的， 对不对？同学们，这个矩形的面积是不是和之前曲边梯形的面积是一样的？而矩形的面积是什么？是不是就是长乘以宽，长是什么？长？很简单，是用 b 减去 a 宽呢？宽是不是有这一段这个长度，而这个长度什么呢？这个长度我不知道，但是呢，我们看上面的 这条边长，他是不是肯定和 f s 有 交点，而这个交点的横坐标是不是必然要落在 a 到 b 的 范围之内？我假设这个交点的横坐标是可 c， 可以 吧？那么这个宽我是不是就会看成可 c 处的函数值， 可不可以？所以说，最终我们是又可以得到从 a 到 b 对 f x 关于 x 的 一个积分，它是不是也就等于 b 减去 a 乘一个啊？ b 减去 a 乘一个 f c 啊，就变成它呀？从 a 到 b 对 f x 关于 s 的 一个积分， 等于 b 减去 a 倍的 f c， 没问题吧？同学们，是不是，哎，你看这个十字是不是正好对应上了呀？ 对不对？而这个可 c， 也就是上面这个横线和 f x 个焦点是位于 a 到 b 范围之内，可 c 也肯定是位于 a 到 b 的 开间范围之内的， 可以吧？好，还可以把这个 b 减 a 移过去，可以得到 f c 等于从 a 到 b 对 f x 关于 s 积分，再出一个 b 减 a， 这个就是我们的积分中值定律，也叫平均值定律，也叫什么？积分中值公式，巴拉巴拉很多。 好吧，这就是我们这部内容，这就我们这部内容。 好，我们看一下这道题啊。看这道题 说函数 y 等于 x 除以根号下一减下来平方在零到二分之一上的平均值上。 好了，这个它不是一个变，它是，它不是一个固定的数，它是一个变动的函数在零到一上的平均值。是不是你要先把这个图像和 s 等于零， s 等于二分之一， 这个围成的总面积是不是写一下，写一下，再除以二分之一减零啊，对不对？同学们，是不是我们就可以写成这种这样的一种形式啊？可以写成这样一种形式，那么这个平均值 好，就是总的积攒量，也就是从零到二分之一，对 x 除以一个根号下一减去 s 平方。关于 s 积分再除以 s 变化量从零到二分之一，是不是就是二分之一减去零啊， 对不对？然后呢？继续 s 放在 d 后面，是不是可以出 s 平方，这样无限的来靠近分母分分子部分 是不是零到二分之一？根号下一减去 s 平方，是不是可以写成分之一，可以写成一减去 s 平方，括起来他的负二分之一 s 放在 d 后面，我都说了是不是写成什么呀？是不是写成 s 平方，但是这只是个 s， s 平方，提到前面是不是二倍 d s 前面要补一二分之一，而分母二分之一减零是不是也是二分之一啊？是不是直接就消了，对吧？ s 平方前面可不可以补个符号？可以啊， 一减去 s 平方和起来的负二分之一，次方 b 负的 s 平方，哎，前面补个符号，在负的 s 平方基础上，也就是 d 后面这个式子加上或者减去任何一个常数不变， 对吧？好，我在那个我也说多说一句吧，就是还没有学换元法在定积分中的应用的同学们，听到这一步其实就可以了，听到这一步其实就可以了。 然后我们继续啊，你看啊，这个式子一减去 x 平方，一减去 x 平方，是不是一样的呀？所以说一减去 x 平方的负二分之一次方，它的一个圆函数，什么呀？ 负二分之一次，是不是要写成加一？是变成二分之一次啊，也就是一减去 x 平方，前面这个符号保留啊，写成一个二分之一次， 二分之一。四减一，是不是得负二分之一？但是我们知道对它求导，是不是前面多提了个二分之一，再乘二十就可以了呀？ 然后呢，上线是二分之一，下线是零，对不对？好，第一步我们先把这个二分之一往里去带， 一减去二分之一得什么呀？一减去二分之一平方得什么？二分之一平方四分之一，一减四分之一，是不是得四分之三，是不是就是四分之三，哎，再开个根号对不对？然后把零带着进去呢？一减去零，这个时候就一啊，相当于减去一个负二，是不相当于加，二 来，它是又变成了负二，乘一个根号，根号四，也就是二，然后二分之根号三减去负二，是不是就是加上这个消了，是又变成二减根号三，可以吧？所以是不是就选四 d 了？ 没问题吧？这就是我们这道题，这就这道题，用到了什么？就用到我们几分钟制定里。 好，这是我们这道题的一个答案啊，同学们可以加图，可以，同学们可复习。

开始大学数学救命课第九期，今天我们正式来说一下分布积分法。分布积分法是个什么东西呢？非常简单，就是老师写紫色字的这些东西啊，它是用来干什么的呢？它是用来求当两个函数相乘的时候，我们去找它的原函数，举个例子，比如说 x 乘 long x 啊，我想求这一堆的元函数，那这个东西元函数我很难一眼看出来，那这个时候呢，我们就要请出分布级分法的公式啊，什么意思？就是 u 是 其中一个函数， v 是 另外一个函数啊，然后 v 一 撇呢，就是 v 的 导数， u 一 撇就是 u 的 导数啊，大家把这一堆玩意给它背下来就行。好， 所以我们要想利用这个分布积分法，我们就得确定谁是 u， 谁是 v 一 撇。那我们仔细观察啊，这个等号右边的部分。首先我们是不是就得找 v 的 原函数啊，对不对？哎，这是最关键的，所以啊，重点同学们， 我们要想用分布积分法啊，首先你第一步找谁是 u， 谁是 v 一 撇，然后 v 一 撇一定要尽可能的简单 好吗？老师再说一下，你去找的那个 v 一 撇，一定要尽可能的简单啊，就比如啥意思？就是你 v 一 撇啊，我得非常方便找到对应的 v， 就 换。大家说啊，现在的老师圈起来的这个东西，你一定要非常方便，一眼就能找到它的元函数。 都哪些东西能一眼找到它的原函数啊？举个例子，我可以让 v 一 撇等于这个，对吧？这个玩意的原函数是不就他自己啊，我可以让 v 一 撇等于这个，这个东西的原函数是不等于负的口三啊， 我可以让 v 一 撇等于这个，这个家伙的原函数是不是三呢？我可以让 v 一 撇等于 x 的 阿尔法四方，这个家伙的原函数是不是这个呀， 对吧？哎，就完事了。所以核心两点，第一条，大家把紫色的这个公式死记硬背背起来。第二条，大家确定谁是 u 谁是 v 一 撇？第三条啊， v 一 撇一定要尽可能的简单，说白了啊， 尽量让它等于啊 e 的 x 方 sum 或者 cosine 啊，再不就是指数函数这种类型，好吧，啊，再不就是密函数这种类型好吧，哎，就完事，先看一下例题一，例题一就一个 long x， 那 我怎么跟那个分布积分法搭上关系呢？非常简单，我直接让它等于 x 的 零次方不就得了吗？ 对不对？哎，乘上 long x 啊，积分好，根据这个 u v 一 撇等于这个 u v 减去这个 u 一 撇 v 的 积分。好，谁是 v 一 撇，一定要让，尽可能的简单，是不是？所以我们让 x 的 零次方等于这个 v 一 撇，好，那这样的话， v 是 不就是什么呀，是不就是这个直接就是这个 x 呀，对吧？好，那我们按照往这个分组积分法那个公式里头带啊，所以原式就直接等于 x 乘浪 x 减去 u， 那 就是绕 x 了呗。哎，那其实这个玩意 u 的 导数 x 分 之一乘上 x 的 积分好，这个直接约掉就是一，一的原函数是啥？一的原函数，那不就是 x 吗？对不对？好，所以最终结果是这个东西 别忘了加上常数 c 啊，原函数的最后一定要加上常数 c。 再看下例题二啊，根据分布积分法的公式，要让那个 v 一 撇，尽可能的简单。谁是 v 一 撇，那肯定是 x 呀， v 一 撇是 x， 那 v 的 原函数啊，是不就是 二分之一 x 的 平方啊，对不对？好，往封闭积分法的公式里带，那 u 就是 l、 n， x 呗。所以原式等于啊， u 乘 v， 就是 这个东西，减掉 u 的 导数，乘上这个 v， d， x。 好， 这个简单整理一下，就是二分之一 x。 二分之一 x 的 原函数是谁啊？非常非常简单吧，四分之一 x 的 平方。好啊，那最终结果就求出来了，长这个样子，最后别忘了加常数 c。 再看一下例题三啊，我们说还是 分布积文法的公式吧。找一个函数当 v 一 撇，谁最简单？肯定 e 的 x 吗？当然呢，你这个 x 也可以当 v 一 撇，但是不如 e x 简单啊。 e x 怎么找？那不都是他自己吗，对不对？所以我们让 v 一 撇，等于 e 的 x 方， u 等于这个 x 往分布积文法的公式里带啊，这个找到 v 的 原函数还是 e 的 x 往分布积文法的公式里带，就是这个东西减去啊，这个 u 的 导数，也就是一乘上这个 v， d， x 啊，那这一堆的元函数是不是就 e x 自己啊？也就是进一步写，就是这个样子。最后别忘了加常数 c， 非常非常简单。

观众朋友们大家好，我是李米特的大熊老师。这节课我们来讲有理函数积分的几个例子，我们来先看例一，第一样我们给两个比较小的例子，第一个例子呢，是让让我们来求好 x 加一比上 x 平方减五 x 加六的积分， 我们先看这个例子怎么解。首先我们说对于一个有理函数，它的积分的话，我们的第一步需要看这个有理函数是真分式还是假分式。 当然这个题目当中给的分式一定是一个真分式，因为分子是一次的，分母是二次的，这是第一件事情。当然如果你是假分式的话，我们就需要先把它化成多项式，再加一个真分式就可以。第二步呢，我们要看这个分母， 分母它是一个二次多项式，我们要看这个分母能不能分解，如果不能分解的话就需要配方，如果能分解的话，我们就分解之后把它拆成，按照刚才讲的方法，拆成部分分式之合，再积分就可以了。对于这道题目， 我们的分母啊，显然可以分解，所以呢，我们需要把整个分式拆成两个或者是多个部分分式之合。那么我们先来做这件事情啊， x 加一比 x 方减五 x 加六， 显然分母可以分解成 x 减二乘 x 减三，分子是 x 加一。 按照我们刚才的理论的话，既然你的分母是一个 x 减二的一次方和 x 减三的一次方， 那么整个这个式子能够分解成两项之合，同学们想一下对不对呀？这是一次方，一加一等于二，所以分解成两项两项之合，而且这两项分别是以 x 减二为分母的一项 和 x 减三为分母的一项，因为都是一次方嘛，所以每一个分母只对应一项分子要假设成长数，这个我们也知道，因为分母是一次多项式的密，所以把它假设成长数就可以，那么下面来进行通分，通分之后是 x 减二， x 减三分之 a 倍的 x 减三，加 b 倍的 x 减二。痛风完成之后，现在我们左右两端这两个多项式的分母就一模一样了， 现在我们需要让它的分子来相等啊，所以呢，你就会得到左边的分子是 x 加一，右边的分子是 a 倍的 x 减三，加 b 倍的 x 减二。好了，根据这两个分子相等，显然我们就能够得到什么呀， 就能够得到 a 和 b 这两个数的值，从而这个分解就出来了，是吧？好，下面我们来算一下啊，根据这个式子相等啊， 我们很容易解的，因为这个式子是对所有的 x 都成立的，朋友们看啊，对所有 x 都成立，所以为了方便求解 ab 呢，我们带一些特殊的 x 的 值进行计算就可以啊，我们另比方说另 x 等于二， 好，列 x 等于二啊，他的为什么要列 x 等于二呢？因为你列 x 等于二之后，这一项就没有了，那么 a 很 容易就求出来了。好，带进去之后，我们得到 a 应该等于负三，这个很容易解，大家自己解一下啊。同理呢，如果我们列 x 等于三，列 x 等于三的目的是这一项就消失了 啊，解一下，我们得到 b 应该等于多少？ x 等于三，带进去 b 应该等于四，是吧，所以两个式子就分解完成了，也就是说 我们的原积分现在就可算了啊，从而原积分 x 加一比 x 平方减五， x 加六，就等于分解得到的部分分式是 x 减二分之 a 就是 负三了，加上 x 减三分之 b 就是 四吧， 在积分。所以呢，原积分被分解成了两个部分，分式之合的积分。这两个积分相对都比较容易啊，应该是负三倍的孖 n， x 减二的绝对值，加四倍的孖 n， x 减三的绝对值，再加 c 啊，这个积分比较容易，我们就直接求出来了。 好，这样第一小题就解决了，所以以后大家碰见这种题目的话，我们就会了啊，就不用慌了，我们的手中有武器了，来多么可怕的敌人，我们也不用在乎。下面呢，我们来看第二个题目， 第二个小题也不难给的这个题目是这样的，一比上一加二 x 乘上一加 x 的 平方的积分啊，那么啊，这个函数它显然也是一个有理函数，而且是一个有理的真分式，它的 分母这个地方是一个什么？这是一个一次的多项式，这个地方显然是一个不可分解的二次多项式，而且各自都是几次方呢？ 一次方，次方，这也是一次方。那么按照我们的理论，整个这个函数可以被分解成两项之合，分别是以一次多项式为分母的一项和以这个二次多项式不可分解的二次多项式为分母的一项。 好，理论上把握这个东西之后，剩下就是操作的问题啊，我们先来看这个分解的结果，一加二 x 乘一加 x 平方分之一， 我们假设他被分解成了一加二 x 一 项为分母的部分分式和一加 x 平方为分母的一个部分分式。再看分子， 分子前面这一项应该假设为一个常数，这个应该是一个常数，没有问题，是吧？因为下面是一次吗？而第二项上面应该假设成一个一次多项式了， 原因是你的分母是不可分解的二次多项式的密，所以分子必须是一次的， 这样的话，我们再去通分，再把 abc 找出来就可以啊。好，下面通分通分的结果是，一加二 x 乘一加 x 平方，分之 a 倍的一加 x 方，加上 b， x 加 c 乘一加二 x。 好， 这就是我们通分的结果， 让两端的这个分子来相等，把 abc 求出来啊。那么所以我们得到左端的分子一应该等于一端的分子，右端分子啊，我们现在把这个多项式进行一下合并，得到的是 a 加二 b 倍的 x 平方， 这是二次方，然后一次方是 b 加二 c 倍的 x， 常数项是 a 加 c。 好，这两个多项式相等，我们来比较系数，求出 abc 就 可以比较系数的，我们得到 a 加二 b 应该等于零，因为左边没有二次项，同理，左边没有一次项，所以 b 加二 c 也等于零，最后左边的常数项是一，所以右边的常数项也是一 三个变量。三个方程，是不是很容易把 abc 求出来呀？那么求得 a 等于五分之四， b 等于负的五分之二， c 等于五分之一，这个求解的过程就交给大家自己来完成了啊。我们这就不再去老老实实去求解这个东西了，非常简单，求得 abc 之后，我们把这个 abc 啊， 把这个 abc 给他带回去，这个分解是不是就完成了？所以积分就可以做了？下面我们来算积分，所以原先要算的一加二 x 乘一加 x 平方的积分， 就被咱们分解成了两个分式之合，一个是一加二 x 分 之 a， a 是 五分之四， 好，一个是一加 x 平方分之 b， x 加 c， b 是 负五分之二， c 是 五分之一。都超下来之后， 不就分解成了这两个函数的积分了吗？而这两个积分，我想我们都应该会算了，是吧？我们来看一下啊，第一个积分是五分之四倍的一，除以一加二 x。 第二个积分呢，我们把它拆开， 显然要拆开啊，应该是减去五分之二倍的 x， 比上一加 x 平方的一个积分，加上五分之一倍的一加 x 平方分之一一个积分。每个积分都不复杂，先看第一个积分，是以一加二 x 为整体的，把它当做 u， 那么你在这后面再凑上一个二，前面再除以一个二，就变成了五分之二倍 lo n 一 加二 x 的 绝对值。第二项呢，将这个 x 凑到，将 x 凑到微分法后面变成平方，再加一，变成了 u 分 之底 u 嘛，利用公式，所以那么它的结果是五分之一倍的 lo n 一 加 x 的 平方， 最后这个就是一个公式，直接写下来就可以了，而可看见了 x， 最后再加 c， 好， 那么这道题目也就完成了啊，所以大家看呢，对于这种有理的真分式，它的积分我们利用刚才学过的方法来处理的话，应该就是说，呃，完全就是一个模式化的东西， 没有任何需要特别考虑的技巧，只要掌握咱们刚才讲的那个理论，一般来说都是可以的，我们下面再看一下，看一道稍微复杂一点点的题目啊，我们来看列二，列二让我们求这样一个积分。好，大家看， 上面是一个二次的多项式，下面是一个三次多项式，所以这是一个有理的真分式。要求这样一个有理的真分式的积分方法呢？我们刚才已经讲了，我们对于这种分母是三次多项式的， 如果这个三次多项式不能分解的话，我们没有一般性的方法，所以如果我们拿到三次多项式的题目，他一般来说一定是可以分解的， 所以你要做的第一件事情就是对这个三次多项式进行分解，分解成若干的一次或者是二次多项式的乘积。好，那么显然这个题目当中的分母是可以分解的，我们这样来分解啊，首先我们注意到分母啊， x 平方减 x， x 平方减 x， 如果我们提出一个 x 的 话，它变成 x 乘 x 平方减一， 那再加上 x 平方减一，进一步是不是就可以分解了呀？我们就把它分解成为分解成为 x 加一，乘上 x 平方减一，这没有问题是不是？ 那么这样分解之后，你看这是一个一次多项式，而这是一个二次多项式，但是这个二次多项式和第一的第二小题不一样，第二第一的第二小题是 x 平方加一，他不能再分解了，对吧？但是这道题目 x 平方减一，这个二次多项式是还可以再分解的， 所以这个时候我们一定要对它进行分解。朋友们啊，不要直接就假设了，分解的话，分子先抄下来， 分母呢，它可以进一部分解为 x 减一乘 x 加一， 那么这样的话，这个 x 加一和这个 x 加一就合并了，所以合并完了之后是 x 加一的平方乘 x 减一。 所以最后我们发现，事实上这个真分数的分母啊，没有不可分解的二次多项式，只有一次多项式的乘积，下面按照理论把它来分成几项啊，看好啊，这是平方，这是一次方， 所以一共是三项之合。这三项分别是以 x 加一为分母的有两项平方，一项 一次方一项。以 x 减一为分母的有一项，所以一共是三项吧，加起来分子都是常数，因为下面都是一次多项式的密，包括这一个，虽然整个是平方，但是我们不看平方，我们看的是里面是一个几次多项式的密， 上面就少一次来假设常数就可以了，最后将它进行通分，那么通分的结果是 x 加一的平方乘上 x 减一，对吧，所以分子是 a 倍的 a 倍的啊， 大家看好，应该是 x 减一加上 b 倍的 x 平方减一，加 c 倍的 x 加一的平方。这样的话，我们来比较两段的系数，就可以把 abc 是 不是求出来了啊，所以呢，两端分子相等就有七， 我们就有二， x 方加七， x 减一等于 a， x 减一加 b 倍的 x 方减一加 c 倍的 x 加一的平方。通过啊，比较系数可以求得 abc， 这个求的过程呢，我们在这就不再解了啊，直接给大家把结果写出来， 比较系数可知，很容易算得，这个 a 应该等于三， 我们的 b 呢，应该等于零，而我们的 c 呢，应该等于二三个多项式，我们就把它找出来，找出来之后，接下来我们来代入原积分啊，将原积分这个结果给它算出来就可以了。 所以原积分显然就等于三个部分分式的积分之和。三个部分分式分别是 x 加一的平方 之三，加上 x 减一， x 加一分之二加 x 减啊，加上 x 加一分之零，加上 x 减一分之二的积分。当然中间那个分子为零的我们就不要了， 只剩下最后两个积分，一个是 x 加一的平方分之一积分，三倍加二倍的 x 减一分之一的积分。好，这两个积分相对的比较容易，我们就直接得结果了啊，最终的结果是负三倍的 x 加一，加上二倍的 log， x 减一绝对值再加 c， 那 么这道题也就完整的解决了。那么通过这几个例题，我们希望大家能够掌握的真分式的积分呢， 基本上就止于这种难度吧，太过复杂的计算量肯定就会大大的增加，所以我们一般也不会遇到分母太过复杂的情况，掌握咱们一般的方法，会做一些比较简单的例题就可以了。

关于这样的变上限积分求导还不会求，今天一个视频给你讲清楚。 关于变上限积分求导，我们一般有三种形式，第一种呢，是常见的一般形式，它是只有在上限或者是下限有一个 x， 我们在求解的过程中呢，直接把它带进去就就可以了，如果是下线在 x， 那 么我们只需要前面加一个符号就可以了。 但是呢，我们在考试的过程中，一般遇到的是这样的一个形式，我们的上下线都是 x 的 一个函数，那么只需要遵守这样的一个规则，我们就可以解出来。看例题， f 或 x 方乘以 x 方的导数二二 x 减去 f e x 乘以 e x， 导数 e x， 那 么这样就可以写出来了。在我们实际做题的过程中呢，我们只需要对 f x 将它进行这样的一个规则的应用 好，当然我们实际过程中的题目他可能没有这么简单，在我们的啊背记函数中呢，可能是一个 x 与 t 的 一个和函数， 那么这个时候呢，就用了第一个可分离，像这道例题，这是一个很明显的可分离的变商线积分函数求导，那么我们可以在里面将这个 x 方和这个 t 方给它分离出来， 再去求导，就会方便很多。而当不可分离的时候呢，我们也可以第一个用公式法， 我们在里面对 x 求偏导，或者我们叫换元法，我们加 x 乘 t， 用 u 来代替它，就会等于 那 x 啊， t 是 从零到一，所以 u 呢，是从 x 到 x 加一在一个范围，所以下限是 x， 上限是 x 加一，然后里面变成 f u， 然后的于的 x， 所以 就直接的 u， 就 通过换元法，我们将 x 和 t 换成了一个统一的一个 u， 这样子我们再对它进行一个求导的时候就会方便很多。好，最后一种呢，是我们的上下线和我们的背记函数，它都有这个参数，那么怎么办呢？第一个公式法，同样的我们联系上面上面的这两个公式， 后面这是最开始的，最开始的这个这个公式 它就是两个公式进行一个嵌套。当然我们在考试过程中，或者是我们在写题的过程中，不一定会记得这个公式，怎么办呢？我们一般都是用换元或者加加上可分离 来做题。好，看到这道例题，对于这个积分，我们首先要换元法令 u 等于二 x 减 t， 那 么 u 的 范围就属于二 x 到 x t 就 等于二 x 减 u 的 t 等于负的 u， 所以 原来的这样一个积分 零到 x tf 二 x 减 t 的 t， 它就可以等于二 x 下线到上限 x t 是 等于二 x 减 u f u， 然后得 t 变成了负的 u， 在 这里呢，我们的这个负和积分的上下线可以进行一个作用，作用，然后就变成了等于 x 到二 x 二 x 减 u f u 的 u。 好， 那么这个时候我们可以看到前面的二 x 减 u 是 可分离的， 变化一下就等于二 x x 到二 x 减啊 f u 的 u 减去 x 到二 x u f u 的 u。 好 的，右边是等于二分之一阿克泰基 x 方， 这时候我们要求的一到二 f x 在 这个题目中暂时还不能完全求出来，所以我们需要为什么不完全出来，因为这个地方我们求不出来，所以我们需要对他进行依次求导，变成什么呢？好，这里先对二 x 求导，变成二倍 x 二 x f u 得 u， 然后再对后面求导，加上二 x。 好，后面这部分怎么求到来？代入 f 二 x 二 x 求到是二，减去 f x x 求到是一，就不用加了。 ok， 就 等于这个。后面呢，我们也是一样的，就变成了 f 啊，就变成了这个二 x f 二 x 再乘以二，加上这个 x f x。 好， 这里是四 x f x， 这里也是四 x f x， 所以 它和它抵消掉了，这里是减二 x f x 加一就变成了减一，所以就等于了二 x 二 x f u 的 u 加上啊，对不起，是减上 x f x。 好， 等于是右边 它的导数是等于什么呢？等于二分之一二乘以 x 方分之一，再乘以 x 方的导数乘以二，所以抵消下就等于一加 x 方分之 x。 好，这时候我们代入 x， 等于一，就变成了二倍一到 f u 得 u， 减 f 或一是等于二分之一的，所以我们知道 f 一 是等于二分之一的，所以二倍一到 f u 得 u 等于一，所以我们要求的这个是等于二分之一。 好，让我们再看到第二道题，第二道题是道求极限的题。那么在这里，首先对于分母，我们可以知道，一减 cos 等于 x 是 等价于二分之一 x 方的，所以我们先对它进行一次转化，原式等于 limit x 去零，分母变成什么？二分之一 x 三次方，对不对？分子还是一样的写上哦，这里省时先不写好。过一次， 我们在写极限的题目，看到分子或者分母中它含有变上限积分，那么一定是要求倒的，也就是一定要用诺必达，这是一个很明显的提示，一般来说不会挖坑。好，我们落一次是二分之三 x 方， 这层倒掉之后就变成了零到 x 方，阿克探进一加 t 的 得 t， 那 那么这外面又是一个变上限积分，我们再落一次，另一次 x 去零，再落一次就变成了三 x。 上面的是什么？ ar 碳晶一加 x 方，同时 x 方基本上是二 x， 约掉约掉就等于三分之二厘米。 s 去零， ar 碳晶一加 x 方，此时可以直接带进去，就变成了三分之二 ar 碳晶一就等于三分之二，乘以四分之二，等于六分之二。好，同学们，通过这两道题型，大家应该掌握了这个怎么求了？

兄弟们，要考试了吧，让我来试着拯救一下你的考试，咱们拯救期末之常考题型，今天咱一口气讲三种常考题型。首先题型一，有理函数积分，对于有理函数积分，关键就是你把这个分式想办法拆开。常见有好用的办法就是给分子加上一个数，再减掉这个数，想办法在分子里凑出含有分母的部分，然后分离常数，就把这分数给拆开了。 这个题它分子是 x 立方，分母是一加 x 方呢？那我就想到给分子加个 x， 再减个 x， 那 就变成这样， 然后我给这个 x 立方加 x， 我 提个 x 出来，就变成 x 乘一加 x 方了，这样我就可以直接把分式拆下来，那就变成 x d x 减去一加 x 方分之 x d x 前面直接就是二分之一 x 方吧，后边的话我再给他凑一下微分，把 x 拿到 d 后边去，那就变成减去二分之一倍的一加 x 方分之一 d x 方， 然后把 x 方后面直接加个一 d x 方，直接变成 d x 方加一。因为 x 方和 x 方加一它导数是一样嘛，所以我可以直接这么变，那最后结果就是 二分之一 s 方减二分之一位的 line， 一 加 s 方，再加 c， ok。 第二种题型，用三角函数的公式加上分布积分。当一个积分里出现三角函数的时候，你第一反应想到的是不是以前高中就学过的一些三角函数公式啊，比如说万能公式啊，背角公式。那咱用这个题来试一下呗，这个式子还是它合在一起太复杂，那咱先给他拆开吧，变成了这样， 然后观察到分母有一个 e 加 cos x， 那 cos x 用不加公式？它整个这数就等于二倍的 cos 二分之 x 方了。二 cos 二分之 x 方，它是谁的导数？它是 tanne 的 二分之 x 导数，所以说第一部分就给它变成 e 的 x d tanne 的 二分之 x， 那 第二部分虽然它分母也是 e 加 cos x， 但分子还有个 sin x， e 加 cos 分 之 sin， 哎，正好是 tanne 的 二分之 x 吧。 所以这个分母呢，不给它换了，那就直接是 e 打 x 乘弹进二分之 x dx， 那 把 e x 拿到 d 后边去，就变成弹进二分之 x d， e 打 x， 然后对这部分给它用分布积分公式，它就等于 e x 弹进二分之 x， 减去 e x d 弹进它二分之 x 吧。哎，这俩一加一减数正好约掉了，那最后结果就是 e x 弹进它二分之 x， 再加 c， 那么好，第三种题型直接组合积分法，这个直接能秒了这种。你先观察它的分母是啥，这里是三三 s 加四口三 s 吧，那么它的分子一定能用 a 倍的分母加 b 倍分母导来表示，那就是分子七口三减三 s， 就 一定等于 a 倍的分母加上 b 倍分母导，然后再把它导出来，化简一下就变成这样， 然后用代入系数法就可以把它系数 ab 给求出来了。三 a 减四 b 等于负一，四 a 加三 b 等于七吧，然后解出来 ab 都等于一的，那么这个式子就写成这样，然后咱就拆开就能算出来了吧。那就是 d x 再加上 三三 x 加四 cos 分 之一，然后 d 它这个分母吧，那就直接写出来了，就是 x 加上三三 x 加四 cos 值，再加 c。