深圳初一数学动点折返解题技巧
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01:06查看AI文稿AI文稿十秒搞定初一数学动点问题期末到了，你是不是一遇到数轴上的动点问题就头疼了？不用担心，今天我就带你用三个核心公式，十秒秒杀这类题 一点的移动公式。记住口诀先写起点左加右减，速度成体。比方说 p 点从负二出发，每秒三个单位向右运动， 那么 t 秒后的位置就是负二加上三 t， 如果向左运动呢？那就是减。第二个就是两点的距离。公式求距离其实很简单，已知左右右减左不知左右加绝对就是。如果知道左右的位置，我们直接用右边的点减去左边点，那就是距离了。如果不确定呢，我们就相减加上一个绝对值， 比方说点和点 b， 那 么距离就是 a 减 b 的 绝对值。第三个就是终点公式了，直接两端点相加，除以二。比方说点和点 b， 终点坐标就是 a， 加 b 再除以二。 我们的核心技巧就是化动为静，动点问题的关键是在运动中找到不变的关系，记得多找几道题练习，熟练运用我们这些公式和口诀就可以轻松搞定啦！跟着亮亮无脑学习！
1.4万理学-亮亮聊思维
09:28查看AI文稿AI文稿冻脚折返跑问题是七年级期末考试难题中的天花板，很多孩子对于复杂的分类讨论根本没有头绪，今天老师教会大家如何结合数轴动点问题去解决这类复杂的冻脚问题。 如图，设线 o m 从 o a 开始，以六度每秒的速度顺时针旋转，那么到达 o b 之后，再以相同的速度逆时针旋转至 o a， 好， 那么这个时候我们 o m 的 速度是六，并且它的旋转方向是什么呢？顺时针，然后从 o b 开始再 转回去，那么这个时候设线 o n， 从 o b 开始，以速度为三，逆时针旋转至 o a， 好， 那么 o n 的 速度方向是逆时针，它的速度是三。 说，当 o n 到达 o a 时，我们 o m 和 o n 同时停止运动，那在这个里面，它其实就涉及到一个 o m 折反跑的问题。那么在整个题中， o n 它不涉及一个折反跑问题 这个题目。我们当角 b o n 等于两倍角 m o n 时， t 的 值是多少？那么角 b o n 等于两倍的角 m o n， 它其实是一个角度关系。有这样的一个等量关系，需要我们去列一个方程， 并且在这个方程里面，你一定要用一个时间梯去把两个角度表示出来，然后我们去解这个方程，才能求出时间梯。那好，你要解决的问题就是我们如何去表示这个角度？ 那在这个里面，其实角 b o n 它很好表示，因为在整个运动过程中，这个 o n 它不涉及到折反跑，那么 o n 的 这个 b o n 的 角度 始终就应该是三 t。 所以 你要讨论的是我们如何去表示这个角 m o n， 因为在整个旋转过程中， o m o n 会重出现重合的情况，那么两个人在相向而行， 中间的角 m o n 的 大小就方向发生了改变。所以我们这个题的难点在于如何去表示角 m o n 大 小，那么涉及到这的时候，我们一定要进行分论讨论，因为 o m 从 o a 开始到达 o b 时，我们 大家注意一个问题，这个平角是一百八十度， m 的 速度是六，那么如果是一百八十度除以六十，第三十秒的时候它到达 o b 的 位置，那这个时候我们可以在脑子里面口算一下，如果是三十秒的时候， o n， 它其实是正好到达一个九十度。好，那么 什么时候停止运动呢？ o n 它的速度是三，它到达 o a 时停止运动，那么停止运动时又一个时间节点，它应该等于一百八十度 除以三，应该等于六十，也就是第六十秒的时候停止运动，那么第六十秒的时候，我们会发现，其实 o m 第六十秒的时候，它已经也旋转到 o a 的 位置了，所以是不是在第二次旋转的时候不出现重合的情况，那么也就是说在第一段 我们零到三十秒的时候出现一个重合的情况。那么有的同学说，老师我根据重合的情况先进行分类讨论，重合后再进行一段分类讨论也可以。那么如何把这个问题简单化，大家可以把它理解成数轴的动点问题，那么大家看我是否可以理解成 一个点 m 从 a 的 位置开始向 b 运动，一个点 n 从 b 开始向 a 运动，一个速度是六，一个速度是三，并且这个 m 点运动到点 b 之后，再重新向 a 运动，数轴动点问题中， 我们线段的距离该如何表示？这个角 m n o n 的 大小可不可以理解成两个动点运动过程中线段 m n 之间的距离？我给大家画一下。 这道题完全可以看成点 m 从零的位置开始向右运动，它的速度是六点 n 开，从一百八十度一百八十的位置开始向左运动，它的速度是三， 那这个角 m n 的 大小不就是相当于这个里面 m n 之间的距离位置吗？对吧？距离，距离怎么表示啊？在运动过程中，这个 m 点的位置应该表示的是六 t 对不对？零加上它向右运动，速度是六，时间是 t， 那 么 n 点表示的位置，它的起始位置是一百八十，一百八十，它是向左运动，向左运动要减 速度是三，时间是 t。 好， 这是 t 点表示的一个动态位置。那么把 m n 两点之间表示的动态位置做差加绝对值，不就是表示 m n 距离的长度吗？对不对？那你如果用同样的方法，我们也去可以解决这类动角问题。那么第一段我们分类讨论的长 时间段应该是 t 大 于零，小于等于三十时，好，等于两倍的角 m o n 角 m o n 怎么表示呢？ 这个点 o m， 我 们可以看作从零度的位置开始运动，那么这个角 a o m 就 应该表示什么？或者说 o m， 它动态的位置应该是什么？就是六 t o m 动态位置是什么呢？是六 t， 那 么 o n 它的动态位置是多少？我们这个点 b 可以 看成一百八十度，因为这个平角是一百八十度嘛，它像逆时针运动，那么 o n 在 动态中的位置是不是可以用一百八十度减 三 t 来表示呢？我这个一百八十度减三 t， 其实是表示设现在动态中的位置并不是我们这个角 b o n 的 大小。 那么这个时候我们角 o m 和 o n， 它形成的角 m o n 的 大小应该怎么表示呢？就是它们两个相减，然后加绝对值。好，那么是等于两倍的六 t 减 一百八十度减三 t 加绝对值，对吧？那么你把这个绝对值方程解出来就可以了吧。我们把 右边化简一下，然后把绝对值去掉，那绝对值去掉其实就需要分类讨论，所以这个里面三 t 等于两倍的括号里面应该是六 t 减负三 t， 那 就是九 t 减一百八十度。好，那么外面有二，我们外面有二的时候，我们可以直接乘过去，或者是直接除过来，这也是可以的啊。这前面是这个是前面的一百八十度，那么左边的三 t 就 应该等于十八 t 减 三百六十度的绝对值，对吧？那么三梯等于十八梯减三百六十度。我们可以分两种情况去讨论，第一种情况， 三梯等于正的十八梯减三百六十度。第二种情况是三梯等于它的相反数，那就是三百六十度减十八梯。 好，那么这种情况下，我们求出来梯等于二十四，或梯等于七分之一百二十，那么七分之一百二十和二十四都是满足我们在零到三十这个范围内。 所以第一种情况就是零到三十的时候， o m 从 o a 开始运动到 o n 的 o b 的 过程中，我们有两个点恰好是满足 b o n 等于两倍的角 m o n， 那么也就是应该是重合之前和重合之后两种情况。好，这是我们 o m 还没有折翻跑的时候，折翻跑的时候应该是第二种情况， t 大 于三十，小于六十是，小于等于六十是。那么这个时候角 b o n， 它的大小始终还是三 t， 那它等于两倍的角 m o n m o n 这个时候怎么表示呢？大家可以去看。如果说 o m 运动到 o b 之后，再开始逆时针旋转，那么我们 o n 到达了这边的某一位置， 这个角度应该怎么表示呢？这个角度是不是就是我们整个的这个角 b o n 减去这段角 b o m 呢？对吧？好，角 b o n 是 等于三 t， 那 么这个角 b o m 怎么表示？ om 它是始终运动了六 t， 那 么 减掉一个一百八十度，是不是是我们剩下的这个角 b o m 的 大小？所以这个角 b o m 的 大小就应该是什么呢？六 t 减一百八十度。好， 这个是我们 b o n 的 大小，这个是 b o m 的 大小。那减完之后是不是就等于我们这个角 m o n 的 大小了呢？ 好，等于三 t 等于两倍的，我们右边这个整个的角表示我们这个角 m o n 的 大小。那么这个方程其其实直接解出来就可以，因为在 t 大 于三十，小于六十的时候，它不存在 o n 和 o m 重合的情况， 因为在第六十秒的时候， o n 它恰好是到达 o a 的 位置，第六十秒的时候 o m 也是恰好到达 o a 的 位置，所以 o m 追上 o n， 它其实是恰好在最后一刻的时候，那这个时候它是不存在中间重合的情况，所以那这边三 t 等于两倍的括号里面应该是 我们的一百八十度减三 t 好， 那么再乘二的话，三 t 应该等于三百六十度减六 t 好， 那这边是九 t 等于 三百六十度， t 等于四十好， t 等于四十是在我们这个零到三，不是三十到六十之间的。那这个题一共有三个答案，第一个是 t 等于二十四秒的时候， 第三个是 t 等于四十秒的时候，我们都满足 b o n 等于二倍的角 m o n 这个关系。所以你在解决这辆的问题的时候，可以去把我们这样的动角问题去给它转化成我们数轴动点之间的一个问题， 那么这个角度问题和我们动点之间的一个距离问题，它其实是一回事。好，那么解决这类动脚问题非常容易个错的地方，大家一定要对于整个的一个运动过程中分析到位，有哪些临界点，有哪些重合的位置，有哪折翻跑的位置，都是需要我们进行分类讨论的问题。
78苏科数学吴老师
04:43查看AI文稿AI文稿一个视频带你快速搞定初一期末的重难点题型之数轴动点问题结合，求线段长度。如图，射线 o m 上有三点， a b c 满足 o a 二十 ab 六十 bc 十 动。点 p 呢，从 o 出发，沿 o m 方向以每秒一厘米的速度再匀速运动。 p 从 o 出发，向这个方向以一厘米每秒的速度再运动动点 q， 从 c 出发，在线段 c o 上向点 o 匀速运动，没有告知咱们速度 点 q 呢？运动到 o 停止运动， p q 同时出发。第一问问，咱们当点 p 和 q 都同时运动到了我们线段 a b 的 终点 终点的时候，求此时点 q 的 运动速度是多少？好啊，我们把这个图呢放大好，我们的点 p 啊，它从这里运动， 点 q 从这里 c 运动，他们都运动到了 ab 的 终点处， ab 是 六十，那么一半就是三十喽， 这段和这段都是三十，那我们看点屁，他运动过去的长度是多少？点屁从这里走到这里，走了这一个二十和这一个三十，所以他运动过去了五十个厘米，他的速度呢，是每秒一厘米，所以说明他走过去这段需要的时间就是五十秒。 我们再看点 q， 它从 c 走到了终点处，先走了这段十，又走了这段四十，所以它其实走过去的路程是四十厘米， 那点 q 走到这和点 p 走到这所需要的时间是一样的，所以说点 p 走了五十秒，说明点 q 也走了五十秒。那你注意，它的速度就应该等于它的路程四十除以它的时间五十秒。哎，我们的速度是不是就来了呀？ 四十是路程，五十秒是时间得到的就是零点八厘米每秒，这个就是我们的第一问，非常简单。再来看一下第二问， 若点 q 运动速度为每秒三厘米时，经过多少时间？ p， q 两点相距七十厘米，典型的一个在数轴上的相遇问题，对不对？那我们看啊，点 p， 从这里我们假设它运动到这点 q 啊，从这运动到这，它们中间相遇相距七十厘米，那很明确， 我们可以把点 p 运动过去的路程表示出来，点 q 运动过去的路程，这段表示出来，再加上这个七十，不就等于总共这段的路程吗？对不对？那我们先看 这段是二十，这是六十，这是十，总共的路程是九十。我们再来表示 p 和 q 运动过去的路程。首先 p， 它的速度是每秒一厘米，那它的时间为 t， 那 这段路程就是一乘 t 就是 t， 这段点 q 的 速度是每秒三厘米，时间是 t， 所以 这段路程呢是三 t， 那 这个式子就非常简单喽， t 加七十加三 t 等于九十。老师在这写一下， 那我们很容易就可以解得 t 要等于的是五，对不对？这是我们的第一种情况，好，有没有第二种情况呢？是有的，你看啊，点 q， 从 c， 如果运动运动它到这个 o， 它是不是要停下来？那我们要先要研究一下它要走多少秒，它就会走到了我们的 o 处停止呢？ 这段路程总和是九十，他的速度是每秒三厘米，所以说他用他从 c 走到 o 需要用到的时间是九十除以三，是不是需要三十秒？ 那他走了三十秒，走到了这里，我们再看屁，他走到了哪里啊？屁，从这里以每秒一厘米的在速度再走，那么他三十秒是不会走三十厘米，也就是屁啊，大概运动到这里， 也就是他走了三十厘米。那你看啊，我们的 q 和 p 同时运动， q 从这里， p 从这里，哎，三十秒的时间， q 到了这里， p 到了这里， 此时他们的距离是不是这段就应该是这个三十？而我想让他距离达到七十，说明 p 还要继续再走四十厘米，是不是才能使他和 q 的 距离达到 七十厘米，对不对？所以说啊，我们此时的时间呢，就是一开始他们走的三十秒，我们要加上，再加上后面点屁创造的这四十厘米，也就是要四十秒的时间加上，那么也就是总共七十秒，我们就会使它第二次相距七十厘米。 好了，这个是我们典型的一个在数轴问题上的一个动点问题，同学们掌握了吗？关注吴老师数学不迷路，记得点赞关注呦！
05:43查看AI文稿AI文稿初一上一期期末考试的动点问题啊，绝对是个难点，他不仅在初一会经常考，等到你初二初三也会常考动点问题，那么对于间断动点问题呢，核心点就是三步，今天我们来看一下这个三步怎么去解决这类问题。第一步，动点位置列时间坐标。 第二步，距离化成绝对值计算。第三步，去解这个距离方程就可以了。来看啊，有一个竖轴，有两个点好，那么我们可以看到呢， a 的 点是负七， b 的 点是正三，两个定点点 p， 从 a 点出发，向左来移动。 那好，我们把这个 p 点呢给它标出来，然后呢，每秒两个单位长度，标一下，速度是二。再来看点 q， 从 b 点出发，向右移动，速度每秒是三个单位长度 同时出发啊，设时间为 t， 问你什么时候 p q 相距二十个单位长度。那么对于这种题来说呢，假设啊，我们暂时先抛开后面的三步法啊，常规的一个解例方法是什么呢？首先啊，第一步你肯定还是要通过时间和速度去表示 p 和 q 的 位置。你比如啊，我们的 p 点的位置好，它从点 a， 也就是负七出发，起始的值是负七，那么它往左运动，那你会发现它的数值呢，会越来越小，比如说，你过了一秒钟啊，它从负七变到了 负九，对吧？好，所以是减去二倍的时间，也就是说这个点往左走呢，它是减号，往右走是加号啊，所以 p 点是负七减二 t， 那么对于 q 点来说呢，同样的道理，起点是正三，好，向右来运动，那么向右是加号，因为越来越大啊， 加上三 t， 那 么这是 p q 的 一个坐标的位置，然后我们再看，他问你 p q 距离为二十个单位长度的时候，那么我们发现你在这样的一个相背运动的方向的时候，无论如何 q 永远在 p 的 右侧，所以同学们呢，会想到，哎，这个距离啊，二十，我们是不是可以用 q 的 坐标三加三 t 啊，减去 p 的 坐标，减去哎，负七减二 t， 你 去解这样一个方程啊，我们稍微来解一下，这个非常简单化简，三加三 t 加上七，加上二 t 啊，等于十加上五 t， 那 么也就是说这个十加五 t 呢等于二十啊， t 呢就等于二，对吧？那么第一个问啊，在这样的一个问题当中，那么我们直接用点去做减法就可以了， 但是你会发现啊，有一些题目呢，他会给我们一些变形，你一旦是到变形了，那么你简单的去列坐标，然后做差的一个方式呢，可能就会带来一些问题。 好，我们来看一下，假设我把这个题做了一点点的变化，刚才我们是说 p 点向左， q 点向右，现在我反了啊，所有的条件全都一样， 如果你是 p 点向右来运动， q 点向左来运动，那么我们会有什么样的一个结果？ 好，我现在的要求啊，还是距离为二十个单位长度。那么在这样的一个条件下，其实你会发现 p 和 q 呢，它的相对位置会发生改变，原来 p 在 左侧， q 在 右侧，那么随着运动的进行，它俩肯定会相遇， 相遇之后再被离，对吧？也就是说后面 p 在 右侧， q 在 左侧，所以你就很难单独用 p 减 q 或者 q 减 p 去解决这样的一个距离问题，那么此时我们就可以用绝对值的概念去代表距离，因为我们回忆啊，绝对值的几何意义 是两个点，无论你这个点谁前谁后，那么它在数轴上的距离长度，所以同样的，我们还是啊去先列时间坐标 p 点，这个时候呢，我们就可以套到这个三步法了。第一步，我们套动点位置，时间坐标好，时间坐标等于起点，然后 左减右加，现在 p 点开始往右，那么就是右加啊，速度是二二 t， q 好 也是一样的，起点三，左减右加，向左减去，速度是三三 t。 第一步解决完了， 第二步，你不用考虑点相对左右的问题，你直接用两个点的坐标做叉，然后化成绝对值就可以， 化成绝对值以后我们的左右关系就可以忽略掉了，因为都包含在绝对值之内了，那么比如说我们就用 p 减 q， 哎，绝对值，那么就是 p q 间的距离啊，无论左右好，二 t 减七减三 加三 t， 它俩一代啊，那么化简一下，等于五 t 减去十，好，我们要求呢，最终是二十， 前边加个绝对值，那么第二步呢，我们结束了距离化成绝对值。那么第三步呢，我们简单的来解一个绝对值方程就行了啊，因为你五 t 减十，绝对值等于二十，那实际上就是五 t 减十等于正二十或者负二十啊，所以呢，简单来去处理一下，第一个五 t 减十， 它等于正二十的时候，那么 t 就 等于，你看五 t 变成了三十啊， t 等于六，这是一个。第二个五 t 减十，它如果等于负二十，那么 t 等于多少呢？等于负二， 但是你会发现啊，尽管我有两个解，但是呢，时间永远不可能是负数，对吧，因为你时间不能倒流啊，所以呢，你只能选 t 等于六这样的一个值 啊。当然，如果我们 a b 的 初始距离再拉长，那么你第二个解呢，可能就变成正数，所以我们根据情况来做取舍就可以。 其实这种题啊，方法很明确，大家只要熟练掌握啊，考试一定能拿到分数。我给大家总结了动点和动脚这两大难题的综合训练，大家可以先关注，然后评论六六六即可领取了。
3582清华史大爷数学思维
04:53查看AI文稿AI文稿今天我们来看一下初一期末压轴必考题型，动点问题。动点问题拿到了全班百分之九十五的学生，但是你只要会了老师的线段动点问题的处理，三步走就能轻松拿下。咱们来一起看一下这道题目。 b 是 线段 a、 d 上的一个动点， 沿着 a、 d、 a 这样的路线啊，它是往返运动，速度呢是两厘米每秒，然后 c 点是线段 b、 d 的 中点， a、 d 是 等于十厘米。如果说设 b 点运动的时间是 t 秒， t 的 一个范围是零到十 啊，然后说 b 点是从 a 点出发的，同时啊，咱们先来标示一下 b 从 a， 然后往右去走啊。如果说先是从 a 到 d 往右的话，它的速度呢是两厘米每秒， 那同时呢， e 点呢，也是从 a 点出发往右去运动，它的速度呢是 a 厘米每秒。然后注意哦， a 呢是大于零小于二的，那我们由此能够得到啥，也就是说 e 的 速度他会比 b 的 速度要小， 比如说指示往右去运动的话呢，相当于是 e 去在追 b 的 问题。那我们继续来看说，如果当运动时间 t 满足是在追 b 的 问题，那我们继续来看说，如果当运动时间 t 满足是在追 b 的 问题，那我们继续来看说，如果当运动时间 t 是 简化了一下， 因为我说本来是 t 是 零到十， b 是 这样的往返，但是零到五的时候，其实就是 b， 它只是从 a 往 d 去走，因为 a、 d 它的路程是十，然后 b 的 速度是两厘米每秒的话，整个的从 a 到 d 的 时间就是五秒， 所以在这个零到五的范围内，那 b 就是 从 a 往 d 去走，也就是说是 e 去追 b 的 问题， 那咱往下来看，说线段 e、 c 的 长度啊，它始终是一个定值，让去求这个定值和 a 的 值，这就是我们线段动点问题里边这种定值问题怎么做？那所有的这种线段动点问题呢？咱们都转化成竖轴的动点问题来去解决，我们一起看一下方法。 那首先把线段的动点问题转化成竖轴的动点问题，咱们要先建立一个竖轴，哎，竖轴呢，它是有圆点，有正方向的好， e 和 b 呢，都是从 a 作为起点，所以咱不妨是以 a 为圆点，然后呢，往右为正方向啊， a、 d 所在的直线去建立竖轴，所以 a 对 应的数呢，就是零，然后往右为正方向， 同时 a、 d 是 十厘米的话，所以 d 点对应的数也是十。那我们接下来来看第二步啊，表示动点，那我们知道动点它的一个终点就是起点加减移动距离，那咱们来表示表示这个 b 点和 e 点。首先 b 点是从 a 开始往右去走，那就是零，加上速度乘时间，也就是二 t， 所以 就等于是二 t。 好，那同理来看一点是从 a 开始，也是从零向右运动去加，加上路程就是速度乘时间就是 a t， 所以 这就是 a。 那你看一下题目中问的是线段 e、 c 的 长度，那我们还要表示一下 c 点 c， 它是 b、 d 的 一个中点，那我知道 b 点，知道 d 点，那这个中点怎么去表示？哎，中点就是 b、 d 的 和的一半，哎，也就是二 t 加十，哎， 哎，除以二。好，那我们整理一下，就会发现这就是 t 加五。咱们第二步完成了，表示动点，那往下呢？我们就去表示距离，那问题说的是 e c 的 长度是一个定值，咱们来表示一下 e c， 那 我们知道 e 和 c 谁在左谁在右吗？你会发现在我们题目要求下呢，是 e 去追 b， e 在 b 点后边， 然后 c 点呢，又是 b d 的 中点，所以是 c 点在 b 点的右边，然后那 c 点也一定就在 e 点的右边了。好，那这个时候 e c 的 长度就是用大减小， c 减 e， t 加五去减去 a t， 题目中说啊，它是一个定值，定值，也就说我跟 t 无关，我永远是一个定值，那这种问题就是我们所说的无关不含问题。怎么做呢？就是先把含 t 的 项呢，给它合并一下，把 t 提出来，这是一减 a 倍的 t， 再加五， 这是一个定值的话，与 t 无关。怎么就与 t 无关了？就是让含 t 的 项消失，他怎么就消失了呢？就让他前边的系数为零，因为零乘以 t， 他 是一个零呀，就与 t 无关了， 对吧？所以一减 a 等于零，那咱们就可以得到 a， 就 等于一。同时还让我们去求一下这个定值，也就是 e c， 它就等于是这个五，这就是我们的这种线段动点问题。那咱就注意把所有线段的动点问题转换成竖轴的动点问题。来这三步轻松拿下，你学会了吗？
14:21查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们大家好，欢迎来到我们第十四天的冲刺练习。那好，首先我们来看这个第十题，这个第十题跟我们这一次模拟测试的题型是有一点类似的，它牵涉到动点当中比较复杂的题型，哎，有折返还有变速啊。 那对于这一类比较复杂的动点题型，我们应该怎么样拆解？那接下来老师的仔细讲解一下啊。来，对于括号一来说，点 a 表示的数和点 b 表示的数比较简单对不对？ f 四和八 我们利用绝对值非负性就做出来了啊，所以这两个的位置我就知道了，他说点 o 处现在有一个挡板，然后小球甲是从点 a 处出发，往右运动，然后他运动的速度是一，那时间为 t， 那 运动的路程就应该是 t， 对 不对？ 老师一再强调，看到动点之后，我们就要用箭头把它在竖轴上给表示出来啊。接下来呢，还有一个小球乙，从点 b 处出发，哎，他往左运动，所以画一个向左的箭头，他运动的路程就是三 t。 那 接下来呢？他们俩碰到挡板之后是不都会发生折反呀？那对于小球乙来说，碰到挡板之后，不仅什么折反了，是不？速度变成了零点五，但是至于他折反的路程，这时候这个时间 是不得计算一下对不对？那好，先拿上个括号，那接下来我们再来看这个小球甲，小球甲是不是也发生了折反，到了点 o 之后，哎，他又变成了向左，但是他的速度依然保持为一，那对于他的时间来说，我们一会也要计算一下。 那好，我们来一起来梳理一下，对于发生了折反和变速的这种题型，因为他牵涉到比较复杂的情况讨论，往往就是 咱们同学在分情况讨论的时候，非常容易漏掉某些情况，那在这里呢，老师告诉大家一个非常重要的方法，就是你要去梳理他的关键时间节点，按照他的时间去进行分段， 那在这里很明显关键的时间节点在哪？是不是就是到达这个挡板的时间，对不对？因为他到达挡板之后就要发生折反了，有变速的， 有变方向的，是不是都有啊？对不对？那到达挡板的时间就是他的一个关键的时间节点，那我们就按照这个关键时间节点去进行拆分。那好，对于乙来说，那他到达这个关键时间，也就到达挡板的这个时间， 他的距离是八，他的速度是三，他应该是三分之八秒的时候，他就到达这个档板了，那他的时间是不是就可以分两段啊？对不对？对于第一段来说，那就应该是他从点 b 出发，往左向着档板去进行运动，那这个时候时间范围是不是 t 小 于等于三分之八，大于零的时候，这是第一段， 对于这个时候它这个动点我们怎么表示啊？是不是从它的起始位置开始，对不对？它的起始位置是八，那向左就是减减掉它的路程，哎，那这就是它的表示方式啊。到了第二段上了第二段是不是就要开始折反了？那这个 t 的 范围是什么？ 是不是大于三分之八秒的时候，它就要开始进行折反了？那这个时候我们来看它的起始位置是不是变成了零了？那往右运动就是加，那应该加上它移动的路程，但是这个时候我们是不是缺时间呀？ 那大家来看一下，当它发生折反的时候，对于这个 t 来说，因为 t 表示的是从它一开始运动的时间，那应该 t 减掉谁啊？是不是减掉它前面这一段的运动的这个过程？这段时间是不是都不算在折反之后的时间范围之内呀？ 所以那就应该是 t 减上前面这一段的三分之八，这是接下来它要进行折反之后的移动的这个路程， 那好，我们化简一下，化简一下之后，他就应该是二分之一， t 减去一个六分之八，好，我们现在放在这里，我们再来看看这个假，那我们来看一下他到达挡板的时间，他距离挡板应该是四个单位，然后他一个单位每秒， 那就应该是四秒就到达了。所以对于甲来说，如果分段的话，是不是分成了以四为间隔的两段，对不对？那对于刚开始的第一段，应该是 t 小 于等于四大于零，那这个时候这个甲这个动点我们怎么表示？哎？是不是从负四出发，往右就是加，加上它移动的距离就是 t， 那对于甲的第二段来说，这个时候 t 的 范围是不应该大于四了，对不对？那从哪出发了？哎？是不是从原点出发了，然后变成往左运动，往左就是减掉，那减掉它移动的路程应该是速度还是一，那就应该是乘上它的时间，那它的时间就是多少呀？ 是不是和刚才一样，它的第一段的这个时间不参与在其中，所以那我们就要减掉它在第一段上运动的这四秒， 那这个时候我们化简一下，他就应该是等于四减 t， 那 好，在这里同学们看我们是不是把每一段上动点的表示方式我们都梳理出来了，对不对？没有任何时间节点的遗漏，那好，我们再来看这个具体的题目，我们怎么用啊？ 来这个圈一，这个比较简单，他说当 t 等于三的时候，假小球到原点的距离，那这个时候我们也可以直接往我们刚才找到的这个动点的代数式当中去代，是不是？那也就是负四加 t 应该是负四加三，他现现在运动到负一了，那到原点的距离是不就是负一的绝对值一啊，对不对？ 那以小球到原点的距离，那这个时候 t 等于三， t 等于三的话，是不是处在他的第二段上，对不对？那我们是不是应该用这个二分之一 t 减去 六分之八呀？对不对？那二分之一 t 减去六分之八，那就应该等于六分之一，所以那是不是他的距离就是六分之一？好，我们来这看这个圈二啊，他说让我们探求甲乙两个小球到原点的距离是否可能相等，那在这里 因为牵涉到他们要进行折返并且变速运动，所以我们一定要分情况讨论。那这里我们依据什么分情况讨论呢？就是我们刚才找到的这些关键的时间节点，我们把时间进行了分段了， 那注意在分情况讨论的时候，这个时间节点的分段怎么取呢？我们要取最小的分段，比如说第一个，那对于乙来说，最小的分段是不是这个 t 小 于等于三分之八大于零啊？但是对于甲来说，这个最小的这一段是 t 小 于等于四大于零， 那这个时候取谁呢？这一段我们一定要取这个最小的，取 t 小 于等于三分之八大于零，那第二段我们应该取谁？ 第二段你看假的是不是这个到四还没取着啊？对不对？所以应该取 t 小 于等于四，我们应该取三分之八到四这一段了。那第三段对于乙来说是不是已经完全都覆盖，所以只剩下假的这一段了？还剩下 t 大 于四的这一段时间，我们可以梳理出来分情况讨论的这三种情况， 他现在不是让我们找这个甲乙两小球到圆点的距离吗？那这个时候因为在每一个分段上，其实我们现在动点的表达式都有了，我们现在只要把它们列出来就可以了。那好，我们来看第一个时间段，在这个时间段上，对于甲来说， 它的动点的表达式是不是应该是负四加 t 啊？那我们要表示它到原点的距离，我是不是得给它套上绝对值，对不对？那我们又知道，因为这个甲是不是一直在原点的左侧进行运动啊？那你就可以直接给它去绝对值，符号是不变相反数啊，所以它到原点的距离就应该是四 减 t， 那 对于乙来说，它到原点的距离是不是它一直在原点的右侧运动，所以就是本身就是它动点的这个表达式，那对于乙来说，它的第一段就是八减三 t， 那让他俩相等，那好解的第一个 t 是 不等于二，那这个时候解出来时间之后，我们一定要看看在不在我们分类讨论的这个时间范围之内啊？是不是在的，哎，所以说这种情况成立的好。那么第二种情况我们再来看， 那这个时候甲的代数式是不是还是这个负四加 t 啊？对不对？因为甲还处在他的这个时间范围之内，那这个时候他到原点的距离就应该是四减 t， 那 对于乙来说，他是不是换代数式了？乙来说他现在应该取这一段了， 那所以他到原点的距离就应该是二分之一 t 减去六分之八了，这里我们约一下分啊，他就应该是多少，哎，减去个三分之四， 哎，这里没有约分啊，这里应该变成个三分之四。那好，接下来我们又要干什么？让他俩相等是不是就可以了？哎，对，等于二分之一 t 减去一个三分之四，那我们解一下，解的这个 t 是 不应该等于个九分之四，那我们解一下，是不是在我们的时间取之范围之内？哎，也在那就没问题。那好，在 下一个这个时候甲的代数式是不是也要发生变化了？甲是不是变成四减 t 了？因为现在时间大于四了，那对于四减 t 来说，它到原点之间的距离应该是四减 t 的 绝对值，对不对？ 那我们又知道，因为它的原点的左侧，所以那我们去掉绝对值符号，它就变它的相反数，它就是 t 减四，那这个时候乙是不是还是二分之一 t 减去三分之四啊？对不对？因为它这个时候一直处于大于三分之八的这个时间节点， 那我们再建立方程就可以了， t 减四等于二分之一， t 减去这个三分之四，那我们解一下， t 等于三分之十六，也在我们的这个取之范围之内啊。所以最后综上那就有三种情况， t 可以 取 二九分之三十二或者是三分之十六。好，针对这道题型，同学们可以再仔细的梳理一下啊，就是当你遇到折反和变速这样子辅 复杂的情况的时候，我们怎么样把这道题梳理的更清楚，哎，就是找关键的时间节点，按照时间节点之后进行时间划段后，再进行分时间段的情况讨论就可以了。 好，接下来我们来看这个第九题，说这个天然气如果不超过六十平方米的话，是每平方米按照一点五元收费，超过六十的话，就变成两元收费了，是一个阶梯收费的一个题。那接下来说某户十二月的天然气费一百一十元，那知道价格之后， 我们是不是得先去看一下他大概会处在哪一段之内，对不对？那我们来看一下，如果他处在第一段的话，六十乘上一点五，第一段的最高收费是多少？哎，是不是九十元，对不对？那他明显的一百一是大于这个九十元， 所以它应该是处在第二段，那处在第二段的这个时候，我们就可以进行列方程了，我们设这个用户天然气 x 立方米，那它总共用的费用就应该是第一段的钱，再加上第二段的钱，总共等于一百一，对不对？ 第一段是不是就用满了呀？那就是六十乘上一点五，那对于第二段来说，单价是二，这个时候用气量是多少？是不是总共的用气量 x 减去第一段的这个六十啊？那接下来解方程就可以了，那二 x 等于一百四，我们解的 x 应该等于七十，所以说用了七十平方米。 好，接下来这个第八题，他说要用这一个形状啊，来把日历上框出来五个数，然后他先框了一个，说这个核是五十五，然后呢这个形状是不是可以到处移动啊？对不对？ 问我们这个五个数的核的可能是多少？那在这里我们可以先把这五个数来表示一下。对于日历上的这种取数字的来说，我们一个 x， 那 么他对应的上下左右的，我们是不是都可以表示出来？ 那我们经常表示的是什么？是不是对应他上面和下边，这上面这一个应该是 x 减七，下边这个是 x 加七，对不对？那今天他取的是左边和右边的，那这不是 x 减七，再往左边退一天，那不就应该是多少？是不是 x 减八呀，对不对？ 那这边就是 x 减六，那下边这是 x 加七，那这边就应该是 x 加八，那左边就应该是 x 加六呗，对不对？所以说这五个数我们都可以用含 x 加数的和，那左边就应该是 x 加六呗，对不对？所以说这五个数的和，那就把它们加起来呗， 那在这里八八负八六负六是不都就约掉了？那最后化简之后是不是应该得到五 x 呀？ 所以那我们就知道了，当我们圈这个图形最后的和就应该等于五倍的中间数，他问我们五个数的和可能是多少， 那我们就看看这个数能不能被五整除呗，对不对？看看那个中间数能不能找到。那一百一除上五，哎，就应该等于二十二，所以说中间数应该是二十二哎，当它中间数是二十二的时候，可不可以圈出来这五个数，哎，是不可以哎，这样圈， 所以 a 没问题。那我们看一下其他选项是怎么错的啊？八十八除以五，整除不了，对不对？他都不是五的倍数，一百零七除以五也除不了，来，那看这个四十啊，四十除以五，这不是能整除吗？对不对？那为什么不选它呢？那我们来看一下， 当我们框住中间数是个八的时候，我们框这五个数，你看谁框不到呀？是不是左上角这个数框不到啊？他没有数，所以也不能取到八啊？ 所以说对于日历上的题，我们一定要算完之后，再去日历上验证一下这几个数能不能都取得到。 好。第七题，一个数值转换机的题目，他问我们第二零二四次输入，那很明显我们得干什么？看循环规律对不对？那我们就要把输入和输出的都梳理列一下， 那好，刚开始第一次输入的话是一百二十五，那一百二十五应该走 x 不 等于一的这条线路，对不对？那它应该乘上五分之一，所以它就变成了二十五，那二十五现在又干什么？又要输入回来，那又变成输入了二十五，那二十五还不等于一，还走上面这个，那就变成了五 五，然后是不是又输入进来，那就变成了一来，接下来因为它等于一了，所以接下来是不是应该走下面这个线路了，对不对？那好，输入进去一之后，输出就变成几了，哎，是不是输出就变成五了？那输出变成五了之后，是不是又要走上面的了？所以输入 变成五，哎，输出变成一，哎，是不是发现已经在循环了？那很明显他是怎么循环？我们从输出上看，哎，他不是五一五一易循环，对不对？那在这里要注意，谁不参与循环呀？是不是第一个不参与循环呀？那我们要找二零二四次输出，我们要把这个不参与循环的这个减掉， 减掉一个之后再去除上他几次，一循环，两次一循环，我们看看他循环了多少次，还余几？那就得到了二零二三。应该除上二，他就应该等于循环了一一零一一次，最后还余多少？最后还余一次，那我们就去这个循环里面找第一个，第一个是不是五呀？所以选 a 选项 好，第六题这个比较简单。这道题的话我们应该选什么？哎，应该选 c 选项，那这个虚线代表的是什么？哎，是不是这个地方的这两条啊？对不对？他从上面 俯视着看的时候，实际上是看不到他们的，但是它实际存在，我们用什么表示啊？哎，用虚线表示啊，所以这道题选 c。 那 今天的题目讲解就到这里结束了，我们明天再见。
04:33查看AI文稿AI文稿这道题太难了，就这种动脚问题，难倒了咱们百分之九十的同学。其实我们动脚问题解析是有技巧的，我们原模原样利用之前我教大家数轴上动点问题解析的三要素四部曲，就可以轻松求解这类动脚问题。 那有关于动角问题，这里常考的五大题型，我都给大家做了一个系统的总结，历年的真题都在这了，那么我们动角问题这里五个题型，每类题型都是有方法的，你把通用的技巧搞定了，那这种题目真的咱们是个个能拿满分的，并不难啊。 下面呢，老师就带着大家通过这道题，一起把我说的三要素四步法再来一起复习一下。这里告诉你，角 a o b 这个角呢，是一百二十度哦，它一百二十度。 现在说了，射线 o c 从 o a 开始绕点 o 逆时针旋转， o c 是 这么转过来的，速度为每分钟二十度，那 t 时间它就转动这么大的角度呗。 o d 呢，从 o b 开始绕点 o 逆时针旋转，它就这么转呗，速度为每分钟五度，那 t 时间不就转动这么大的角度吗？ 他说了两条射线同时旋转，旋转的时间在这个范围内， t 为和值时，两条射线重合。 那什么叫做两条射线重合呀？它像不像我们之前那个竖轴的动点问题？这是一个竖轴，这是点 p， 往这动二十 t， 这是点 q， 往这动五 t， 像不像竖轴上的一个锥级问题啊？ 他在角，这他不也是一个追集问题吗？把角拍平了就行呗。所以啊，我教大家用竖轴的思想来解决动角问题，特别容易看，在这我建立一个旋转竖轴，那么同样我把竖轴的圆点标出来，这就是正方向， 那对应 oc， 咱们就可以看作一个从圆点出发，向竖轴正方向运动的点了，我们把射线拍平了再去看，所以射线 oc 运动 t 时间之后的位置，我们就可以用零加二十 t 来表示。 同样啊，我们由于 o b 是 一百二十度，这是那个一百二十度的位置，那我们 o d 对 应这条射线，就是从一百二十度这个位置出发，向正方向运动，用加法运动了五 t 个单位长度， 射线运动 t 时间之后到达的位置咱们都表示出来了，接下来我们要研究两条射线重合，那怎么办呢？让它俩直接相等就可以了，所以我们就有二十 t 就 等于一百二十，再加上五 t， 那 在这啊，我们计算一下，就可以求出 t 等于八。第一个问咱们就很容易的解出来了，继续来看第二个，问问你 t 为何时 c、 o d 等于九十度来？ c、 o d 是 什么？ 是不是由动点 c 和动点 d 组成的这个夹角啊？它其实在竖轴上，不就是让你求这两条动点之间的距离 是九十吗？对不对？所以角的动态问题，我们就把它拍平了，看成点的问题，求角等于多少度，就是在求这两点间的距离呀， 所以对应我们已经把射线运动 t 时间之后的位置表示出来了，那对应这个角 c、 o d 就 可以用它俩求距离。怎么求？距离？已知大减小，未知察觉。对， 看看 o c 和 o d 谁在前谁在后啊？来，这是正方向对不对？刚开始的时候 c 在 后， d 在 前， 但是运动一会，由于 c 的 速度快，他是不是就把 d 给追上了，所以他俩的大小关系是不确定的。那我们要求他们俩之间的距离是不得加绝对值啊，是不是用一百二十加上五 t 再减去二十 t 的 绝对值表示啊？ 那不就是我们一百二十再减十五 t 的 绝对值吗？这就是角 c o、 d 的 度数，我们直接令它等于九十，就可以求出 t 的 值。了 解这个绝对值方程会吧，我们直接分类讨论，第一种，一百二十减十五 t 等于九十。 第二种，一百二十减十五 t 等于负的九十，代入求解，再利用对应的时间进行检验就可以了。那接下来的时工作啊教给大家了，请你来算一算时间 t 到底等于多少吧。
568依依老师讲初中数学
05:05查看AI文稿AI文稿我昨天是给我初一的尖子班，他们动点动脚已经做的挺好的了。我给他们做的是人大附和长郡中学的题， 初一的重点就只有找规律和动点动脚，我给学生去中考就做这种题位训练，比如说第八题，大部分时候考找规律，我就给他题位八就找规律，这是我复习用的资料。然后这个找规律其实很简单，找规律基本上期末考考的都是图形规律， 图形规律的做法就是把图形转成数字规律，就是图形规律不好找，但是按数字找很好找。比如这个他是五个吗？这个是九个吗？这个是十三个吗？没有问题吧？所以是不是一直加四，一直加四，所以可以按照就是 第一个，然后第二十个是不是加了十九个四？就十九乘四就好了呀？就是转成数字规律是很简单， ok， 因为出于所有图形规律，其实都是转数字规律 可以了，难度并不大，但他确实是个压轴题。然后接下来压轴的核心就是动点和动脚。深圳的动点和动脚考的并不算太难。我昨天是给我初一的尖子班，他们动点动脚已经做的挺好的了。我给他们做的是人大附和、长郡中学的题，你们听过这两个学校吗？ 人大附和、长郡中学在全国常年排前五，是中学中的清北，他们才是真的有难度的。但是深圳的反而考的简单啊。动点问题的核心逻辑就是找拐点，就是找变速的点， 找变相的点，就是这个里边又逻辑很简单，因为对于动点问题来说，所有的动点问题的核心就两个公式以及一个表达方式，表达方式就是你要有这个起点，你要有方向，你要有速度，你要有时间。 ok， 所以 这里边其实已经把分类讨论给了，因为只要变方向或者变速度，就意味着这个表达是会发生改变，比如说这个从负二 对吧？负二有一个点 p， 点 p 出使速度是二，然后到了六这个位置以后，速度会翻倍。那么我在这个地方表达的时候，它速度如果是二的话，一定是起点是负二，方向是向右，速度是二，时间是 t， 没有问题吧？到了这个地方因为你的速度不能在二二处理了，所以你只能在这个地方重新开始算，它应该是从六开始，然后加 速度是四，而时间应该前面的四秒已经跑完了，所以是 t 减四就可以了。这里边真正的就是你一旦改变了方向或者速度，就要分类讨论。但是这四个东西里边最复杂的并不是方向和速度，而是 时间。就是我但凡变了一个点，你只要讨论他有没有新起点、新方向、新速度和新时间就好了，而这个新时间是最难的。 然后呢？剩下的就是因为现在的题目呢？如果说基础的动点问题，接下来就会涉及两个，第一个是这个绝对值做差，应该是距离的意思，因为他们特考就是什么时候距离为三，类似于这种。 第二个就是考到，比如说这个二分之 a 加 b 就 考你中点，这是基础版本，但是复杂版本呢？也并不是脱离了这三个啊。复杂版本是因为增加了新的 环境，比如说这个去年实验的题是增加了一个粒子加速器，然后高级的我想想 高级的是增加了一个加速挡板，是两个球速度不一样，然后他要的是在折反之后，到了同一个地方的时候，用的时间刚好是三倍，所以是这是高级那个题。然后深中更变态，深中把动点放到了一个表的 时针和分针上，那个表也在转，然后那个点也在动，所以就是他其实有没有脱离这三个 没有脱离，但是变难了，就深圳考的主要是这种，然后动脚的话其实也一样，因为动脚本身其实比动点还要简单一点，如果从逻辑上来说，动脚他其实还是一样的。比如说我如果给了一个起始方向，这个是 a o b， 这个平角没有问题吧？他说我这有一个 射线 o p， 它是从 o a 开始的，然后顺时针或者逆时针旋转，给个出水速度，它甚至不用讨论歧视点，它只要直接，比如说速度是五，那这个就是五 t 没有问题吧？只是通常会给两个及以上 的动态的射线，然后还会给一些角平分线啊，以及最后问的也不一定是什么时候相遇，可能是问的时候什么时候两个角互余。这个是深圳的考法， 但是这两个都一样，就是他真正在深圳目前考的比较难的点。是因为给了新形态 ok 吗？就给了一个新概念。顺便提一嘴，就昨天那个长郡中学，长郡中学呢？也分类讨论，但他的分类讨论就比我们这个版本要难。 他不是说这个，我问你什么时候互补或者什么时候互补，他是说我的动态过程中，请问这两个角有什么关系？说实话人家母也是有原因的啊，学生可能也是被压迫出来的。他那个题有八种情况，四个结论，每个结论都跟已有的什么不一样，就比如说什么二倍的 alpha 减去 beta 等于二百一十度，就这种关系他让你去 求 arfa 和贝特的关系，但其实有八个形态，然后有四个结论，每个结论都不是我们以前所见过的那种什么互鱼互补或者相等，能理解吗？就是不是这种关系，反正考的还挺变态的，就是全国排名靠前的学校还是真的有东西的。
23大白的数学世界
10:21查看AI文稿AI文稿初一上学期期末考试的压轴题，只可能出三种类型题目啊，第一个动点问题，第二个就是动线段问题，第三个呢就是我们的动角问题，今天我们来看动点问题。 动点问题其实可以分为两类啊，一类就是像这种比较基础的题目，我们一会过一下。第二类呢，就是在点，在运动中涉及到变速以及折反，这个相对来说难一点，但是他的做题方法没有任何的区别，思路都是一样的。好，我们来看这个题目 啊，这个题目三个点啊，欧式圆点 a b 为数轴上的两个点，同时告诉你 o a 和 o b 的 长度之比为二比一，那它的总长度是十五， 二比一我们拆成三份，一份 o a 的 长度就应该是十， o b 的 长度就应该是五。所以这个第一问还是比较简单的， a 表示的数字就是负十， b 表示的数字是五好，那往往第二问和第三问，他的解析思路和方法是五好，那往往第二问和第三问，他的解析思路和方法是五好，那往往第二问问题要做的其实三步，第一步 去表示点，如果点在动，我们需要把它移动之后的点表示出来。第二步呢，就是表示我需要的线段好，第三步就是去列方程 好给方程我们来看第二问好，第二问，他说 ab 两个点变成了一个相遇问题好， a 点的速度是两个单位，每秒往右边动，我们在图上表示一下， b 点呢，是五个单位，每秒往左边运动 好，那 ab 很 明显会相遇吗？那题目问什么时候 ab 两个点相距一个单位，那你要明白相距一个单位是什么意思，也就是说此时线段 ab 的 长度应该是等于 等于一的。哎，我们就围绕这个东西去列方程。好，那我们回到原来的步骤。第一步，我需要把移动之后的点 a 和 b 表示出来，我们来看一下。 啊。那对于 a 点而言，我们先设一个运动时间为 t 秒。 好，那对于 a 点而言，本身的起点，哎，是负十，这个数字往右边移动了 t 秒，它的速度是两个单位，所以 a 此时对应的数字就是负十，加上一个 二七啊，往左边移是减小，往右边移是增大。哎，这是竖轴。好，那 b 点呢？它从五开始往左边走啊，五减去 五个 t， 那 此时 ab 两个点都有了，我怎么表示 ab 线段的长度？这个就涉及到我们绝对值了。哎，绝对值在竖轴上面表示，是可以表示出两个线段长度的。那我要想表示 ab 线段的长度，只需要用 a 和 b 这两个点对应的数字 做一个减法。那至于是 a 减 b 还是 b 减 a 无所谓，因为我们减完之后都需要加上绝对值， 那我就用 a 减去 b 所对应的数字。好，这个时候有同学还会说，哎，你 ab 相遇的话，有可能 ab 相遇前距离是一，也有可能它们相遇之后 两个点的距离也是一。我需不需要分类讨论呢？不需要啊，注意，不需要，你甚至不需要知道图长什么样子，为什么？因为你的式子已经列出来了，我们就往下求解。 没有问题。好，我们来看一看。那现在 ab 线段长度我们表示出来了，它的长度按照题目要求等于几呢？等于一，我们把这个方程解出来化解。 七 t 减十五的绝对值等于一。好，那这个时候我们再看七 t 减十五的绝对值等于一，那就说明绝对值里面的这部分，七 t 减十五可以等于一，也可以等于负一。好， 七 t 减十五等于正负一，那很容易我们就能解出来第一个时间和第二个时间。他等于一的时候，七 t 等于移向过来，十六 t 等于十六 除以七。那七 t 减十五等于负一的时候呢？移向过来， t 等于十四除以七等于二。好，那这两个就是我们第二问的答案了。 你看，我们做题的思路很简单，第一步表示点，第二步表示线段。第三步，根据线段，根据题目的意思和表示的线段去把方程列出来，就没有问题了。好，那我们再看第三问， 第三问的做法和第二问没有任何区别，我们来看啊。第三问，现在 a、 b 呢？还是保持着二中间的速度，都向右边运动了啊，都向右边运动了， 哎，同时多了一个点 p， 他 从原点出发也向右边运动，那 a 的 速度呢？我写在上面两个单位每秒， b 的 速度呢？是根据题目是四个单位每秒。现在我们要的线段是 a、 p、 b、 p、 o、 p， 那 我要想表示这三个线段，我就需要把构成这三个线段的点都表示出来，也就是哪几个点呢？ a 点， b 点， p 点， o 点。好，看看 a 点现在对应的数字是几？ 从负十开始往右边移动，就是负十加上两个 t。 b 点对应的数字呢？从五开始往右边移动，五加上速度是五。啊，五个 t。 好，那 p 点因为是从原点开始运动，也就是零，加上四期，那 p 点就是四期了，那 o 点因为是原点，其实它就是零，对吧？好，那我们表示出点了。接下来就看看题目让我表示的线段有哪些？ ap， b， p， 还有一个 o p， 这三个线段分别等于什么？那注意哈，我们每个点都已经表示出来了，所以跟刚才一样，两个点之间做减法，加一个绝对值就能把线段表示出来。 但是朋友们，如果这三个线段我都用绝对值表示出来的话，这个方程会变得非常的难解， 哎，这就要牵涉到我们的下一步怎么样让我的方程尽可能简单。我们知道想表示两个点之间的线段距离，我们一般习惯啊，在竖轴上，我们是用右边的点减去左边的点，用大减小。如果我能判断出 a、 b、 p、 o 这几个点 谁大谁小，他们的大小关系，哎，我就不需要加绝对值了，我直接用大的点减去小的点就可以了。那放在竖轴上，就是用右边的减去左边的点就没有问题。好，那我们来看一下， a 点的速度是两个单位每秒， p 点的速度是四个单位每秒， a 不 可能追上 p， 说明 p 一定在 a 的 右边。那这个时候 a p， 我 就直接用 p 减去 a 就 可以了。 p 大 a 小， 大减小，四 t 减去 负十加二 t， 然后把它化减一下， 等于二 t 加十。好，那我们再来看 b 一个道理， b 往右边走，速度是五， p 往右边走，速度是四， b 在 p 的 右边，哎，所以 b p 我 们一样用 b 减去 p 就 可以了， 五加上五 t 减去四 t， 哎，最后得到是五加上一个 t， 那 o p 呢？ o p 就 很简单了嘛， o 是 零嘛， p 再往右边走，所以 o p 的 长度其实就是 四奇。那我们现在 a p， b p， o p 都已经表示出来了。哎，由题目可以得到这个方程，我们写由其可得 啊。三倍的 a p 加上两倍的 p b 减去 m 倍的 o p 什么时候为定值？好，我们先把它 列出来化简。我们在讨论什么是定值。好，我们来看一下。三倍的 a p 就是 三倍的 二， t 加十加上两倍的 p b 在 这里啊，五加 t 擦掉减去 m 倍的，那 o p 是 四 t。 把这个方程先化简，我们再讨论定值的问题。好，拆开化简之后得到 六七加三十加上十，加上二七，减去四 m t， 好， 我们把数字放一起，把字母放一起，数字三十加十字母。哎，含有 t 的， 我们把 t 提出来，六加上二，减去四 m， 乘以 t 加上 四十，这个是我们化简之后的结果啊，这个时候我们看一看，它什么时候才能为一个定值呢？ 里面有字母 m 和 t， 它不可能为定值。是这样的吗？哎，我们多想一步，既然有字母会影响到我的结果，如果字母部分刚好为零，或者说不存在的话， 那这个式子不就是一个定值四式了吗？哎，那什么情况下这个字母部分为零呢？ t， 它是一个未知数，我不知道它是几，但是和 t 相乘的这一部分如果为零，那可太好了，也就是说 八减四， m 等于零，哎， m 等于二，当 m 等于二的时候，这一个式子化解完了之后，答案是等于四十的。哎，四十是一个常数，它就是我们所说的定值。 那注意，我刚才说了所有的动点问题，其实都是这一套思路方法，第一个表示出你需要的点，或者说表示出动点，第二个表示出题目告诉你的线段。第三步根据题目给你的意思，根据题目给你的条件去列方程求解，这个题就做完了。
05:39查看AI文稿AI文稿角度动态问题一定是初一期末考试中的难中之难，百分之九十的同学啊不会做这种题，那其中原因在于有两个难点，第一就在于这个角度动起来之后啊不会画这个图， 那第二呢，需要进行分类讨论了，那么如何去处理呢？利用老师的这个方法，帮助大家直接轻松搞定考试，多拿十分。我们就直接来看这道题，如果角 b o d 是 九十度哎，这是直角角 a o d 呢是十五度， o e 是 平分角 b o d 的 o e 平分了这个九十度的角，所以这一半就是四十度啊，我们可以来标注一下，同时 现在角动起来了，这个角 c o e， 它是绕着 o 点，按照逆时针方向呢，速度是三度每秒进行旋转，那你看这个角动起来该怎么去处理， 那其实我们就可以给它拆解成是这个射线在动，这两根射线都是逆时针旋转，它的速度呀是三度每秒， 在这样一个角相等角 a o e， 这是一个非常典型的角度动态问题，我们说怎么去处理呢？我们就把角度动态问题去转变成竖轴的动点问题来去做，利用这三步轻松搞定， 那知道竖轴里面呢，有圆点正方向，所以在这里我们也是来去确定一个零度线和正方向，那零度线的话咱们自己来规定啊，不妨就选择这个水平的 o b， 它为零度线，然后这个角是逆时针旋转，所以咱们就来 逆时针方向为正方向，以 o b 为零度线，逆时针方向为正方向，这是完成了第一步，接下来来看第二步，最关键的就是表示射线度数，比如说在角度动态问题，类比成竖轴动点问题，那在竖轴里面它是一个一个的点点动起来了， 那么在角度这里呢，也就是我的一根一根的射线相当于这个点，其中呢就有我们的定射线，有动射线， 咱们分别来表示一下它们的一个度数。首先来看一下定折线的度数，这个 o e， 它是在逆时针方向这四十五度，哎，所以 o e 这是四十五度。然后再来看 o c 啊，它是逆时针方向的六十度，同理， o d 表示一下就是九十度， o a 这根射线代表就是一百二十度，这是表示完了定射线。接下来关键的就是来表示动射线的度数，在这里我们的 o c 和 o e 动起来怎么去表示？那动点，我们知道它的终点就等于起点加减移动距离，所以这 这里边我们的动射线呢，它就等于是它的一个起点去加减旋转角度，那我们此时来表示表示这个 o c 和 o e 它的一个射线度数。对于 o c， 它是从六十度开始往逆时针方向旋转，正方向也就是六十度去加，加上一个旋转角度啊，就是速度乘以时间三度 t， 同理我们来看一下 o e， 他是从四十五度开始往逆时针方向旋转，其实位置是四十五度，然后往正方向就是去加，加上他一个旋转角度，就是速度乘时间，哎，三度 t 表示完射线度数了，接下来再来看 第三步，也就说我们再去表示角，再根据题意啊去列关系式题目中说这两个角。首先来看 角 a o c， 那 对于这个角 a o c 怎么去表示啊？如果我们知道谁大谁小，就直接是大减小，那如果不知道谁大谁小怎么办？在动点这里 不知道，就是做差加绝对值，这里也是 o a o c， 如果不知道谁大谁小，哎，我们直接选择做差加绝对值。 所以对于 o c 是 它 o a 是 一百二十度，那么也就是六十度加三度 t 来减去一百二十度的绝对值，此时 整理一下三度 t 减去六十度的绝对值。同样的，我们来看一下角 d o e， 角 d o e 也是我们不知道谁大谁小的话，那就直接做差加绝对值来看， 角 d o e o e 这条射线是四十五度加上三度 t， 然后 o d 这条射线，哎，减去它是减去九十度的绝对值，那整理一下三度 t 减去四十五度的绝对值。 说这两个角度相等，咱就可以直接来列方程了。三 t 减六十的绝对值，就等于是三 t 减四十五的绝对值，相等怎么做呢？那也就是绝对值里边，哎，这两坨他俩 要么相等，绝对值是相等的，那要么呢是互为相反数，哎，绝对值也是相等的， 所以可以得到他俩要么是相等的，要么是互为相反数，也就是和为零。那往下我们进行一个求解，对于左边这个式子，你会发现三梯三梯抵消了，很明显这个式子左右两边不成立啊， 所以是无解的。再来看一下第二个，此时就是六 t， 它就等于是一百零五，所以 t 就 能求出来是二分之三十五，那这个是不是在我们的范围内呢？哎，会发现它在这个范围内，哎，所以我们的 t 它就等于是二分之三十五， 这就是我们的动角问题啊，该如何去处理？就是把所有的角度动态问题都转变成竖轴的动点问题，然后利用这三步来轻松搞定，大家学会了吗？
02:15查看AI文稿AI文稿一天一道压轴题，考试多拿二十分！初一上学期的期末考试，动点相遇问题是其中的一个难点，几乎所有的学校都会考到，很多同学特别容易在这里丢分。今天呢，我们就用一个视频来掌握他的核心思想， 你只需要记住一句话，以后遇到这种问题直接拿下。这个口诀就叫做，先算距离，再看方向，运用公式求时间。 好，我们来看题，竖轴上 a 点代表的数字 a， b 点代表数字 b， 若 p 点从 a 点出发，以两个单位每秒的速度向右运动， q 点以三个单位每秒的速度向左运动，两点同时运动。 问，当 p、 q 相遇的时候，时间是多少？好，那我们先运用口诀。第一步，先算距离 点， a 在 负十点， b 在 二，那么两点的初使距离就是右边的数减去左边的数，也就是大减小，所以我们得到了二减去负十，等于十二个单位。 这里你要注意，那就是数轴上两点的距离永远是大数减小数，这样子可以保证你的结果永远是正数。好，第二步，我们再来看方向， p 点呢，从 a 向右出发，速度是两个单位每秒。 q 点呢，从 b 点向左出发，速度三个单位每秒，他们是属于相向而行，所以啊，相对速度就是他们两个的速度之合，也就是二加三等于五个单位每秒。 这里林老师帮大家补充一下，如果是同向追赶，那么相对速度呢？就是快的减去慢的，而这道题他是面对面走的，所以速度是相加，知道吧？ 好！第三步，距离除以速度就可以得到时间啦！所以相遇的时间就等于促使距离除以相对速度得到 t 等于十二，除以五等于二点四秒。搞定好，这就是数轴上的动点问题的三步法，你学会了吗？
598初中数学林锋老师
07:07查看AI文稿AI文稿大家好，量子纠缠是动点量子中的一类问题，如上图，除了原点之外，其他六个点都是动点。在这里， p、 m 和 m、 n 是 两条动线段，当这两条线段存在一定的关系， 并且是一个低值的时候，我们就可以求出相关的参数。那么具体如何求参数呢？但是问题我们开始下面学习。 这张动点三个法的设为导图，指的是一点、二点三方程，相关的公式在里面已经列去了其内。当位置确定的时候，我们一般用右边的点减去左边的点所对应的数，或者用大数减去小数。 如图，分别 a、 b、 c 三点分别对应指数是负三十、十、十八，它们都是向正方向运动， 速度分别为两个单位每秒，四个单位每秒，八个单位每秒。 线段 o， a 的 中点是 p， 线段 o， b 的 中点是 m， 线段 o， c 的 中点是 n。 若 k 乘 p m 减去，那么 n 为一个常数，则 k 的 值是多少？ 下面我们一起来探讨解题思路。本题要求出 k 的 值，就必须要知道 p、 m 和 m、 n 这两条线段的长度，而这两条线段涉及到了 p、 m、 n 这三个动点，这三个动点我们一群体系可以求出来。 同时在题中分别给出了 a、 b、 c 三个东点，它们的运动速度分别是二、四、八，所以这里就明确了这三个点的位置， p 肯定在 m 的 左边， m 肯定在 n 的 左边，因此本题的这个计算不需要用到绝对值。 好，下面我们来具体解答。解，我们首先要设运动时间为 t， 单位是零。在这里我们说点 a 所对应的数是负三、四，因为它是在以两个单位速度向右边移动，所以加上二 t 点 b， 它对应着是十，也向右边移动，所以单位速度是四，所以就是十加上四 t 点 c， 它对应着数是十八向右边移动，它的运动速度是八个单位每秒，所以就是加上八 t。 那 么点 p 呢？ 点 p 在 这里所对应的数，它是在零和圆点和负三十之间，所以我们就用 负三十加上二 t， 再加上零来除以二来得到减的 t 减十五 点 m 是 o b 的 中点，所以我们在这里就可以得到零加上十，加上四 t 再除以二等于二， t 加五点 n， n 是 o c 的 中点，所以我们可以用零加上十八加上八， t 再除以二就等于四， t 加上九。当我们把 p， m， n 这三点所对应的时候求出来之后，我们就可以开始求线段 p m 和 n 了。 因为题明确的告诉我们是在 p 的 右边，所以我们就用大数减小数，就用 t 加五，再减去 t 减十五，我们来化解，就得到 t 加上二十 m， n 呢，它等于四， t 加上九，再减去 m， 二 t 加五就花减，就得到二 t 加四，再加 k， p， m 减去 m， n 就 等于 k 乘以 cot 加上二十，减去 cot， 二 t 加四，我们发现就得到 k 减二，括号 p 加上二十， k 减四。因为 题目已知条件说 k 乘以 p， m 减 m， n， 它是一个常数， 所以 这里 k 减二就等于零，因为这一个代数式中，它的值与 t 无关，得到的结果 k 就 等于二，这就是一个定值。 好，本题讲解完毕。小结，本题运用了一点二线三方程的假体不出，首先我们给出了六个点所对应的数，接着就计算 p， m， m， n 这两条线段。之所以没有用绝对值，是因为根据题目 abc 它们所处的位置以及它们的运动速度来决定的。最后我们通过 k， p， m 减我们这个代数式来得到了一个以 t 为未知数的一个新的代数式。 题目给出了这个代数式的值，是一个常数，所以我们说 t 前面的系数就应该等于零， 也就是说这一个代数式那个值与 t 无关，最后得到 a 等于二这样一个参数的值。以上就是第一次参数的求法，你有收获吗？
89梁老师图解数学
00:31查看AI文稿AI文稿七上数学最难的动点与角度计算，无非就这九大题型吃透，考试直接拿捏。七上数学动点与角度计算九大题型一共六十道经典题型一，与线段动点有关问题题型二，线段动点中求禁止问题 题型三，在图形中运动的问题题型四，动脚有关问题题型五，三角摆中角度计算问题题型六，几何图形中角度计算问题题型七，实际问题中角度计算问题题型八，角平分线的有关计算完整版二，幺幺。
39奕揽星河
13:31查看AI文稿AI文稿线段上的动点问题，这也是我们接下来会考到的一个重点题型。动点已知点 c 在 线段 ab 上，那这个点 c 就是 一定的，不用分类讨论点 c 的 问题。 a， c 线段 ac 的 长度是十厘米，我们把它标起来，线段 ac 的 长度是十厘米， 嗯， bc 的 长度是六厘米。动点 p、 q 分 别从 ab 出发，点 p 从 a 出发，点 q 从 b 出发， p， 以两厘米每秒的速度沿 ab 方向向右运动，箭头打出来 两厘米每秒，速度乘时间，就是 p 点运动的路程。这个时候我们习惯性的标二 t， 然后终点为 b 点。 q， 以一厘米每秒的速度沿 b a 向左运动，沿 b a 向左运动，速度是一厘米，我们记作 t， 一 乘 t 记作 t， 终点为 a。 当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动。这一句话就是告诉我们他们的一个运动截止的情况， 求运动多少秒时，这个时候我们就设运动 t 秒的时候，然后这个就满足我们的标记了。 那说 c、 q、 p 这三个点，有一点恰好是另外两点为端点的线段的终点。那读到这个问题，我就要知道它一定是分类讨论的。 你看这三个点，有一个点是以另外两个点为线段的这个终点，那么我们就可能知道 c 有 可能是终点， p 有 可能是终点， q 也有可能是终点。所以这道题的难点就是在这里。 那在解决这道题之前呢？我们要做到心中有数，哪哪些数，因为它们是这个 有一个点到到达终点，还有什么呢？还有 c 是固定的，我们也要去分别看一看。 p 到 c 点用的时间， q 到 c 点运动的时间，甚至说他们俩会有一个相遇的可能，相遇的时间， 所以这个时候我们在这个沿草纸上先做到心中心中有数。我们先写，当 p 到达 b 点的时候，就是二 t 走完这个全程的时候， 二 t 就 等于十加六，那 t 就 等于八。当 p 到达终点，一共就用八秒钟，那当 q 到达它的终点 a， 那 它对应的时间就是 t 加 路程是 t 走完十加六，那 t 就 等于十六。那不要问了，我们做完这个地方，我就知道这整道题它的时间一定不会超过八秒钟，因为一个点到达终点，另一点也动也不动了， 所以这是我们看他俩到达终点的时间。其次我们再来看 p 到达 c 点的这个时间， p 走到走完 a， c 这一段是多长时间？那就是用路程二， t 等于十， t 等于五，然后 q 到达 c 点的这个时间是 t 等于六，是 bc 这一段。好，那我们发现是 p 先到达 c 点，当 p 到达 c 点的时候， q 还在 bc 上， 然后最后一个是当 p q 相遇时， 当 p q 相遇时，那么 p 走的这个路程是二 t， q 走的路程是 t， 它们把十六这一段走完了，我们就能算出来 t 等于三分之 十六。好，我们算完这么几个时间节点，接下来我们来去分析一下。第一种情况，我们从视觉上来看，很显然就是当 c 为终点的时候，也就说当 p 没有到达 c 点， 当 p 没有到达 c 点，就是第一种情况，当 t 大 于零，小于 p 到达 c 点的时间是五小于五秒钟的时候，那就是 c 为 p， q 的 中点， c 为 p q 的 中点。好，那我们来表示一下，那这个时候，哎，我们大致划一下，当 p 走到这， q 走到这，那 c 就是 啊 p q 的 终点，那此时 p c 是 不是就等于 q c， 那 我们来表示一下， p c 怎么表示？ q c 怎么表示？我们来看 p 从 a 点走到这个 p 点， 从 a 点走到这里，它的运动的轨迹，运动的路程，我们记作的是二 t， q 是 从 b 点走， q 点是从 b 点运动到这里，它运动的长度是 t， 然后我们就可以表示出来 c q 和 pc 了。我们先来看左边这一部分，那 pc 就 等于 ac 的 长度，减去二 t 就是 a， c 减去，我们也可以写 ap， 减去 ap 这一段，那就是十减二 t。 然后我们再来看 q c q c 就是 bc 这一段，减去 b q 这一段就是 bc 减去 b q， 那 bc 是 六， b q 是 t， 所以 pc 和 q c 都表示出来了，那么我们就可以列方程，根据 pc 等于 q c 十减二 t 就 等于六减 t， 我 们可以算减得 t 等于四， t 等于四是满足零到五之间的，所以这是我们要的一个答案。然后接下来，哎， 在你自己做题的时候，我们要再画一个图哈，然后现在我要把这个图去给它擦掉，擦掉，再分析另一种情况，哪一种情况呢？就是第二种情况，当 t 大 于等于五，就是 p 已经到达点 c 或者超过点 c 的 时候，但是呢，这个 q 点还没有到达点 c， q 点到达点 c 是 六秒，所以是大于等于五秒，小于六秒的。这个时候我们大致把 p 点的位置和 q 点的位置给它标出来， 那很显然，此时你看 p 超过了 c q 还没到达 c， 那 在这种情况下，这三点那点 p 就是 线段 c q 的 终点了。此时现在点 p 就是 线段 c q 的 终点，我们就能得到 p c 等于 p q， 我们只要表示出来 p c 这一段和 p q 这一段的表达式就可以了。好，现在我们来表示 p p c。 来看一下点 p 是 从 a 点到达这里的，是从 a 点走到这里的，它的运动轨迹是不是还是二 t， 那这么长是二 t， 这么长是十，那 p c 怎么写？那很显然， p c 就 等于哎，此时的这个 a p 减去 a p 减去 a c 就是 二 t 表示出来了，我们接下来再来表示一下 p q， 那 思考一下 p q 该怎么表示呢？ 来看 p q 点 p 运动的长度是二 t， 点 q 是 从 b 点运动到这里，这是 t， 我 们来看那 p q 的 长度不就等于全长十加六，减去左边 p 运动的长度，减去右边 q 运动的长度不就行了吗？所以 p q 是 ab 的 长度，减去 ap 减去 b q， 那 ab 的 长度是十加六 a， p 呢是二 t， b q 呢是 t， 所以 这是十六减三 t。 然后我们来看 p q 知道了， p c 知道了，我们就列出来了方程。二 t 减十等于十六减三 t， 那 我们可以解得 t 等于 五分之二十六。来看一下五分之二十六在不在这个范围内，很显然在，这也是我们求的一个其中的正确答案。 好，接下来我们继续分析，看他们的运动情况，接下来是不是就出现了啊？ p q 相遇， p q 相遇，它俩相遇的时间是三分之十六，也就说当 t 大 于三分之十六的时候，小于多少呢？小于来接下来一种情况，就是 q 继续走， 继续往左走， p 往右走，那 q 是 不是就在 c 和 p 的 中间了？所以当大于三分之十六相遇了，但是 q 还没有到达，这个还没有到达 c 点，所以是 t 大 于三分之十六，小于六的情况，我们再来把它擦掉，然后去重新分析， 来看一下。重新分析，那此时 p 和 q 的 位置就是这样的啊。相遇了之后， p 继续往右走，那 q 在 往左走的过程中啊，可能会出现 q 是 c p 的 中点，那这种情况就是 q 为线段， c p 的 中点，那我们写出来就会产生 c q 等于 p q， 那 我们再来表示 c q 怎么表示？ p q 怎么表示？ 先来看 c q， c q 比较简单，就是从 b 到 q q 走到这，那 c q 的 位置， c q 就 等于 c b 减去 b q 的 这个长度啊， c b 是 六，减去它走的长度是 t， 就是 六减 t， 这是比较简单的。 那 p q 此时的长度怎么做呢？实际上你看一下啊，他俩把全程走完了，又错开了，此时是他们走完十六又相距的路程，那你就可以表示出来是什么呢？是二 t 加 t 再减全程十六， 为什么？来看一下啊？画一下，这是 p 点走的路程，是二 t， 这是 q 走的路程是 t。 看二 t 加 t 这一段是不是重复算了？重复算了看见吗？重复算，然后减去全长，就是重复算的这段长度，所以 p q 的 这个距离是三 t 减十六，然后我们又可以列出方程写在这，嗯，就是六减 t 等于三 t 减十六，那解得 t 等于二分之十一， 我们来检验一下二分之十一是不是在这个范围内，呃，这个六是二分之十二，很显然，在这个范围内，那二分之十一就是我们解的另一另一个正确的结果。接下来我们还要继续去讨论。嗯，此时 这种情况下，接下来继续运动， q 就 会超过 c 点，那这个时间就会超过六秒，然后不能小于八秒。呃，不能大于八秒，因为这个最终的时间是 t 等于八秒的时候就结束了，可以写小于等于八秒的时候， 然后这个时候就会发现 c 又成为了 p q 的 中点，然后 c p 就 又等于 c q 了。我们再来表示 c q， c q 很 简单，是 b q 的 长度减去六，就是 c q 等于 t 减六， 那 p c p c 的 长度 p c 的 长度从 a 点运动到这里，长度是二， t 减去十，所以 c p 的 长度是二， t 减十。 然后我们就能列出方程， t 减六等于二， t 减十，那经解得 t 等于四，但是我们发现它的范围是六到八，我们算的 t 等于四，所以这是不符合我们的取值范围的，要舍去， 这种情况下不存在。那分析完了之后，综上所述， 要写上这四个字。综上所述， 当 t 等于四， t 或二分五分之二十六或二分之十一的时候，其中一个点恰好为另外两个点的中点，所以综上所述，说说清楚。然后这道题就到此解完了，综合性非常的强，同学们一定要消化吸收。
29数学朱老师
02:31查看AI文稿AI文稿第一题，当点 c、 d 运动了两秒时，求 a、 c 加 m、 d 的 值。我们要知道点 c 是 从 m 往左运动，那么它的速度是一厘米每秒，所以说它行驶了两厘米，而我们的点 d 是 从 b 开始，所以说它的速度是两厘米，那就运行了四厘米。 那么因为让我们求 ac 加 md 的 值，我们得知道 ac 加 md 是 等于 ab 减 c， m 减 b、 d 的， 我们已经求出来 ab 知道 ab 是 十二，还知道 c、 m 和 b、 d 的 值，代入就能求出来，我们的 ac 加 b， d 是 六零。接着来看第二题， 我们可以设它们运动了 t 秒，因为 md 等于二 a、 c， 我 们就可以知道 md 是 等于多少呢？是等于 mb 减去 bd 的， 也就是说 md 减去 二四二 t 啊，减去二 t， a、 c 等于我们的 am 减去 mc 就 等于 am 减去一 t。 因为我们刚才说过了， md 是 等于二 a、 c 的， 那么我们就可以把上面的式子进行代入，那么 mb 减二 t 就 等于两倍的括号， am 减一 t 进行去括号，然后合并同类项，就能得到我们的 mb 减去二 a， m 等于零，所以说就能得到 mb 等于二 am。 我 们在这里可以假设一下， am 的 值为 x， 所以 mb 呢，就为二 x， 它们相加呀，等于 ab， 也就是说 x 加上我们的二 x 等于十二， 那么由此可以得到三 x 等于十二， x 就 等于四厘米，所以说我们的 am 就是 四厘米。我们来总结下这道题，在以后遇到这种动点题的时候，一定要认真审题，认真做。
20贾老师分享数学
