中职数学书高二上册《立体几何》讲解

来看第五节简单几何体，那么本小节的话，我们将会认识柱体、锥体以及球体的特点，以及它们的表面积和体积的计算。 首先我们先来看多面体啊，那么在日常生活中啊，很多的一些空间的物体啊，有些是规则的，有些是不规则的，对吧？那么很多有些都是我们的几何体的这种组成，对吧？很简单的一个道理，我们比如一个景观，它是一个底面，它是一个长方体， 对吧？我们呢，可以在长方体上面堆积一个锥体 啊，形成这样的一个比较好看的一个形状，对吧？所以呢，在生活中，我们经常能见到很多几何体的一些组合，那这几何体啊，我们可以分成以下类型，一个是多面体啊，一个是旋转体。 那么首先我们先来看一下多面体啊，多面体就是由若干个平面构成的这样的形状，所以呢，像这样的都是多面体，对吧？其中每个面叫做多面体的面啊，相邻的两个面的公共边叫做多面体的棱啊，这个我们前面见到过了啊， 棱与棱之间的点叫做顶点啊，所以呢，像这都是我们常见的一些多面体啊，你看这个上面是一个三角形，四边形，五边形，对吧？这是一个锥体啊，它都是多面体啊。 好，那我们首先来看柱体啊，那多面体上下全都是全等的多边形啊，然后呢，而且呢，他们的面和面之间是相互平行的，其余的面都是平行四边形的，这样的面，我们叫做这样的一个体，叫做多面体，为 棱柱体啊，棱柱体，那棱柱体的话，首先我们最常见的就是这种四边形，对吧？构成的棱柱体啊，四面的棱柱体，它是一个什么？ 至少是一个长方体吧，对吧？特殊点就是他的，他的什么特殊点？这个正方点，对吧？所以两个互相平行的面称作棱柱的底面，然后呢，旁边的叫侧面啊，然后呢，他的叫侧棱，对不对？这都是我们常见的一些概念啊， 那不同平面上的两个点的连线称作对角线，所以呢，这就是我们的体对角线，看到没有啊，好，那么两个底面间的距离称作高啊，所以这就是他的高 啊，所以他的侧棱正好和他的高相等啊，这对于我们这个长方体来说啊，正方也是一样，他的侧棱和他的高正好相等，因为他正好是垂直于底面的啊， 好，那么底面为三角形，四边形、五边形等等啊，分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱，对吧？那一般来说我们可以把它记作什么呢？三角形， a、 b、 c 杠， a 撇， b 撇， c 撇。四棱柱， a， b， c 杠， a 撇， b 撇， c 撇， d 撇，对吧？ 那一般来说侧棱垂直于底面向我们的长方形就是垂直于底面的，我们叫直棱柱啊，他不会歪歪扭扭的。那反过来，如果像这种打斜的有没有见过？我们刚刚是见过这种类型的图形啊？我们这讲前面的证明题的时候，是不是见到过这种图形？ 这种叫什么柱？叫斜棱柱啊？斜棱柱它是打斜的啊，好，那如果底面为正多边形，它叫做正棱柱啊，多边形是个正三角形啊，对吧？像正四面体啊， 等等啊，都是正的图形啊，正四面体不属于正四面体，是正棱锥的啊，那个不行啊，像我们的这个正方体就是一个正棱柱，对吧？嗯， 好，那正龙柱的特点，第一个底面是平行的，而且呢是全等的多边形，而且侧面也是全等的矩形啊，侧棱相互平行，并且垂直于底面，而且侧棱相等，侧棱与高勾相等啊，对吧？所以这就是正龙柱的一些基本的特性啊。要知道 啊，那我们把这个棱柱啊可以展开，就说我们可以把这个图形啊，是不是相当于箱子把它给拆开，那么这个时候可以把它展开成一个侧面肌啊，所以呢，它的展开图是一个什么形状？是一个矩形啊， 它的上下两条对边的长度就是这条边的长度啊，或者说下面这条边的长度就是底面的这一个周长 c， 对吧？然后呢，他的两个侧边的长度正好对应的是他的高，对吧？对应的是直棱柱的高，所以我们可以将棱柱进行展开，形成这样的一个棱柱的侧面展开图啊。 好，那么有了侧面展开图之后，我们实际上是很好的去表达它的侧面积，表面积还有体积啊，我们来看一下，侧面积就应该是底面这个周长乘上它的高吧，是不是这是它的这个侧面的这个矩形的面积，所以是 c h， 好，表面积就应该是 c h 加上两个底面的面积，对不对？因为他们俩相等，所以是二倍的这个面积啊，好，体积，体积应该是底面积乘以高嘛，所以应该是棱柱体的底面积乘以它的高，所以是 s d 乘以高啊， 所以棱柱的计算的公式还是比较基本啊，可以通过这个直观的图形能够快速的反映出来啊。 好，我们来看一道例题啊，已知一个正四棱柱啊，它的底面为二，高为三，我们要去求它的表面积和体积。首先，表面积怎么求？表面积是不是应该是 s 侧加上两倍的 s 底，那么 s 侧应该是多少？ s 侧 侧面积应该是等于底面的周长， 对吧？底面的周长，然后呢，乘以它的高吧，是不是应该是等于 c h 的， 对不对？那底面的周长是不是应该是 它的底面的边长为二，所以周长是不是四个？二， 是不是应该是二乘以四？ 好，高是几？高是三，所以乘以三， 所以它应该是二乘以四，乘以三，对吧？ 好，那接下来侧面积求完了。底面呢，是不是两个这样的面积之和，所以应该是，所以 s 底是不应该是两个这样的面积？上面还有一个吗？ 对吧？所以应该是二的平方是它的面积吧，虽然是二的平方，好几个呀，乘以二两个，对吧？所以这里算出来是三八，二十四，二十四， 这里应该是三个二，相乘等于八，所以答案应该是三十二啊。没错，所以它的表面积三十二啊。好，体积，体积应该是底，面积乘以高，底面积是四，高是三，所以是十二的立方厘米啊。 好，来看第二题啊，某农场为了改善水利设施，需要修建一条横截面为等腰梯形啊，它的这个横截面是 a， b， c， d 这个等腰梯形啊，这个灌的水渠， 那么如图所示，水渠的长度为四百米啊，就一直往下伸长，然后深度是一点五米啊，渠底的宽度是一米，渠面的宽度是 两米。好，第一问，要去求的是修筑水渠需要挖多少平方米的土，这个应该怎么做？是不是要考虑去求它的体积啊？那么体积是不是它是底面积乘以高啊？ 这是它底面积好高，是不是向这边无限延伸？不是，无限延伸长度是四百米， 对吧？所以呢，我们先要去求底面积，底面积是梯形的面积公式，上底加下底的和乘以高除以二，所以应该是 ab 加 cd 这一段加这一段的长度的和 乘以它的高高是一点五吧。上，我们看看这个条件啊，是不是一点五，深度是一点五吗？就这一个东西是一点五吗？好，乘以高除以二，乘以二分之一，算出来等于二点二五啊， 这是底面积好乘以高的四百，所以求出来的结果是几等于九百米啊？九百平方米，所以你要把这个面积填充完毕，需要九百平方米啊。 好，这第一小问，我们来看第二小问，什么意思？如果需要在水渠的底部和侧面铺设水泥板啊，注意清楚，它的意思是底部，所以它需要铺哪里？需要铺这个地方？底下还有两个侧面 啊，底部和侧面去铺这个水泥板，那么它需要铺多少的面积？那就是求这些面积嘛。那来看一下，首先它的表面积啊，怎么去求？ 那我们是不是要先要去求这个 a d 的 长啊？因为我需要知道侧面嘛，那 a d 的 长，这里它是一，这个是二， 所以 d 的 长是不应该是通过这个关系，应该是 c d 减去 ab， 对 吧？它是个等腰梯形嘛，它图形大概是这样子的啊，这是 a b c d？ 好， 那么这是做一条垂线段嘛？这是一，那你来想，这个长度是一，这个长度是二，所以呢， 中间这个数一，那么这两边是各占一，所以 d 一 的长是不是总长的两边的一半是不是二分之一，所以等于二分之一乘以二减一等于零点五啊？好，所以 d 等于零点五，那么 a 又是知道的 勾股定律， a、 d 等于根号二点五啊。所以我们要求的这个表面积怎么求？ 应该是侧面，它是不是有两个侧面，左边一个，右边一个，那也就说我只要求出了一半，求出了一边的面积，乘个二不就行了吗？所以左边的应该是 a、 d 的 长度 乘以多少？是不是乘以四百？乘以它的长度是四百，所以左边的求完了，那右边是不是一样的，是不是乘以二， 对吧？所以是两倍的 a d 乘以 h。 好， 底面是不是也要也要去铺啊？水泥？所以呢，底面是不是 a b 还是乘以？这个长度？是不是加上 a b 倍的 h， 是不是也是 a b 乘以四百？所以通过这样的一个运算，我们就求出了这个结果啊，算出来是约等于幺六六五平方米啊，所以答案等于需要铺大约一千六百六十五平方米的水泥啊。 所以这就是一个应用，通过对几何体的理解，我们可以把这个问题给处理出来。 好，那么我们接下来看锥体啊，能锥，那能锥的话就是他的顶部啊，会收缩在一点上面，对不对？那这个时候能锥有个什么点叫做顶点 点屁点屁点屁都是他的顶点好，旁边的是他的，什么是他的侧棱，对不对？这些是他的侧棱，是不是侧棱？ 好，那测棱的话，这个时候我们说如图所示， p a， p b， p c。 顶点到底面是有个高度啊，所以是有个 p o 啊，看到没有，所以 p o 是 它的高啊， 我们在以前学的不是棱锥。我们以前学过什么锥啊？我们以前是学过圆锥啊，其实本质上是一样的啊， 圆锥它是一个什么体啊？它是个旋转体，它不是多面体，但本质上是一样的，都收缩在了一个点上，对吧？它底面是个圆的时候就是圆锥嘛，所以棱锥和圆锥啊，本质上这个问题是表达同一个问题的一个点啊，所以我们这里通过棱锥认识清楚啊。 好，那么楞锥的记法，那就把它顶点体现出来了啊，所以呢，三楞锥记作 p a b c， 四楞锥记作 p a b c d， 五楞锥记作 p a b c d e 啊，所以这是楞锥的表达式啊， 好，棱锥可不可以展开呢？肯定是可以的啊，我们可以把这个棱锥啊，展开成这样的一个形状，所以此时我们可以得到啊，这个投影在底边上，这里有一条线，这条线 h 一 撇，我们可以叫做它的母线啊， 这个线我们叫做母线啊，这个也可以叫它斜高啊，这一点的话，其实在我们的这个做题过程中可能用的也不算特别多啊，所以了解一下就可以了啊，那注意这个 h 一 撇和它的高， 对吧？就和它里面这个高线啊，你不能认为是相等的啊，它们之间是有有一定的距离的差距，是不是？它们是构成了一个三角形， 对吧？这是 h 一 撇，对吧？这是它的高啊， ok， 好， 那么正棱这有什么样的特点呢？第一个，各条侧棱相等，斜高相等，就刚刚说这个，这个斜高 h 一 撇，而且侧面全是等腰的三角形啊， 顶点到底面的中心的连线是正楞锥的高啊，正楞锥的高，好，正楞锥的高，斜高，还有斜高所在的这个底边上的投影啊，它构成了一个直角三角形啊， 那么正楞锥的高，侧楞、侧楞和底边上的这个投影，它就是一个直角三角形，对吧？所以我们如果需要去计算的话，就完全可以用直角三角形的这些里面的理论把它给算出来啊， 所以这就是正棱锥的基本性质。好，我们来继续往下看，如果把侧棱的侧面沿一条侧棱展开在一个平面上，那么就可以把它得到这种侧面展开图嘛，对吧？那我们就可以去研究它的侧面积了， 那这个时候，对于正棱锥来说啊，它的侧面积侧面展开图是由各个等腰三角形构成的啊，都是等腰的三角形，对吧？所以我们可以直接得到它的这个公式啊。第一个，正 棱锥的侧面积应该是二分之一 c h 一 撇， h 一 撇是什么？是刚才的这个斜高嘛？对不对？那它的面积是不应该是什么？ 应该是底面的周长，因为每个底面是不都要去乘以，你看，每个底面都要去乘以这个 h 一 撇，乘以二分之一，就是构成了每个三角形的面积，那把它的周长合并起来，不就是它的一个完整的侧面积吗？对不对？ 同理，表面积应该是底面侧面积加上底面积啊，底面积是一个一个矩形， 对吧？对于正棱锥来说是个矩形啊，所以就可以把它算出来了。好，体积公式，注意啊，这里你不需要知道为什么，但你要知道，正棱锥的体积是底面积乘以高的一的三分之一倍，也就说它是正棱柱的正好的多少？三分之一 乘上三分之一倍，所以这是它的体积公式啊，所以我们这样就求出来了这个棱锥的一个计算的表达式啊。 好，那通过一个例题来反馈一下，如图所示，正四棱锥，好，它底面边长为四，所以它底面是一个正方形啊，对不对？斜高 p 一 等于二倍根号五，这个长度是二倍根号五。 好，要去求正四棱锥的表面积和它的体积啊，那它的表面积应该是什么？ s 表 等于 s 的 侧面积加上 s 的 底面积，对不对？那 s 的 侧面积是不是应该等于二分之一的？ 应该是他的周长吧，周长是不是里面是四？四加四加四加四是不是？四乘四的平方等于十六，是不是应该是二分之一乘以十六加二分之一乘以十六，然后呢？乘以什么？乘以二倍根号五吧， 对吧？好，还要去加上它的底面积，底面积是不是应该是多少？应该是四个平方就十六吧，所以表面积就求出来了啊。 啊，二分之一乘以十六乘以二倍根号五，对吧？然后底面积是十六，所以答案应该是十六倍根号五加上十六。 好，然后去求它的体积，那么求体积的话，我们要去求高，那根据这里的直角三角形关系，大家看这里 poe 是 不是构成了直角三角形，所以可不可以根据勾股定律去求解？ 那这里是二倍根号五， o e 的 长度应该是底面边乘一半吧，对不对？它是个矩形嘛，啊，它是个正方形嘛，所以呢？底面变成了一半， o e 应该等于二吧， 所以这条边是不应该是二倍根号五的平方减去二的平方，对吧？所以它应该是多少？ 应该是，这里是二倍根号五的平方，应该是四乘五等于二十二十，减去它 是不等于十六，所以斜，所以这个直角边这个高的平方等于十六，那高就应该等于四了，对不对？所以 p o 的 平方等于十六，那么 p o 等于四，所以体积应该是三分之一的底乘以高啊，所以答案等于三分之六十四啊， 所以这道题就是一个非常典型的锥体的应用的问题啊。好，接下来我们介绍柱体啊，圆柱体，那圆柱体的话，它是一个旋转啊，对不对？可以看成绕一条弧线旋转形成的旋转体啊，那么圆柱体的话，我们首先要知道的是它的 底面，这个没问题啊，平行于轴的线，我们称作母线啊，圆柱的母线，平行于这条轴的线，就这条线我们叫做圆柱的母线啊，比如说 a a 一 就是它的母线， 好，母线绕这个轴旋转一周所得的这个面叫圆柱的侧面啊，对吧？好，两个圆心之间距离的高叫做高，对吧？长度为高，所以呢，圆柱我们可以叫做 o o e 啊，用两个 圆心所连线表达这个圆柱，所以这是圆柱体的一个特点啊。 那么圆柱体我们来看下性质，第一个，两个底面的半径相等，而且是平行的圆啊，平面平行于底面的横截面与底面的相同的圆啊，都是相同的吧，对不对？然后母线平行啊，且相等，都等于它的圆柱的高， 所以我们要求圆柱的高，你知道母线它就是高。第三个，过轴的结面是长为圆柱的高，然后宽为底面的矩形。什么意思？这个我们画个图来理解一下。好，这是一个圆柱， 什么叫它的结面？我拿着一把横的大刀切一刀，那么切出来的是中间这个这个矩形， 对吧？所以它是一个长为圆柱的高，宽为底面圆的直径的矩形， 所以这就是它的一个结面的特点啊。好，那圆柱体啊，我们可以怎么样，也可以展开嘛？拿个剪刀，这里一剪一展开，它又形成了一个什么矩形吧，是不是？所以我们通过侧面展开图的关系来去推导它的圆柱体的侧面积、表面积和体积公式。 请看圆柱体的侧面积公式，应该是二 pi r 乘以 h， 怎么理解？二， pi r 是 不是底面的这个圆的周长？我们刚刚棱柱体是不是底面的周长？那圆柱体只不过改了形状而已啊，但是思想是不一样的，所以底面的周长就应该是 圆的周长公式二， pi r 好， 它的高是不是 h， 这里高是不是 h， 所以侧面积我们就写出来了啊。然后是表面积，表面积的话，是不是除了侧面积之外还要加上两个底面圆，所以还要加上两个 pi 二平方啊？ 好，体积公式，底面积乘以高，所以是 pi 二平方乘以高，所以这就是圆柱体的三个表面积，平啊，侧面积，还有这个体积的公式啊， 所以掌握这些公式能够算算对就可以了啊。这一块内容还是我认为比较基础啊，就是主要是你能够把这个，呃几何体的图形的面积啊，求对体积求对就可以了。好，我们来看例题四啊，已知圆柱的底面的直径为六，然后高为十， 我们要去求圆柱的表面结合体积，那我们来通过刚刚的讲解就可以快速把它求出来了啊。先画个示意图。 好，那首先求表面积，把它展开，应该是一个矩形 啊，它是个矩形，矩形的话，它的底它的长应该是圆的，就底面圆的周长嘛，所以应该是派地 高就正好知道高，是吧，所以这就是它的面积啊，所以 s 表 等于 s 的 侧面积加上两倍的 s 底，底面都是圆啊，相同的圆，所以是两个相同的相加嘛，所以是二倍的啊，所以应该等于好侧面积的话，应该是派地。他题目给了直径是六码，所以是六派 乘以十，十是他的这个高，加上二倍的底面的面积，应该是派二平方，直径是六，半径是三，所以是三的平方，那么这里是六十派加上十八派，所以等于七十八派 啊，记得要带单位啊。题目给的是厘米，所以是厘米的平方。好体积公式 v 应该等于底面积乘以高 s 底乘以高 h， 它应该等于好底。面积的话，前面求过了，应该是九派吧，是不是九派 乘上高是十，所以应该等于九十派厘米的立方吧，这里应该是， 是吧，所以这道题啊，这套公式啊，公式没搞错，正确写就可以了啊，所以答案是这个啊，没错，好，这是例题式的学习， 我们继续往下看。锥啊，圆锥体，旋转体可以构成圆锥啊，圆锥，其实我们以前是见过圆柱，圆锥应该是很熟悉的啊，所以呢，这些基本的概念应该很清楚。首先这样的几何体是圆锥啊，绕它旋转，然后有一个顶顶点，对吧？ 啊，这里圆锥有个底面还是一个圆，然后呢，侧面它是一个扇形啊，对不对？好，母线还是一样的，高也是有的，所以这个三角形依旧存在， 对吧？顶点连线，然后呢，与这个底面半径还有这个母线构成三角形依旧存在，它和圆柱是一样的，都有的啊，那对于圆锥来说，我们要认识它性质。第一个平行于底面的结面都是圆啊，我们来画一下 圆锥中平行于底面的结面，这些结面它都是圆啊，是这个意思，高，垂直于底面的圆且过圆心，它的高垂直于底面的圆且过圆心。 o 啊，第三个轴结面是个等腰三角形啊，它的，它的腰就是它的母线长， 对吧？腰就是母线长，高是圆锥的高啊，底边长是底面圆的直径，所以它的轴洁面就这个洁面画出来就这个样子，所以这两个都是母线，对吧？这个长度是底面的直径， 这个轴洁面的高就是它的高啊，所以这就是我们说的这个圆锥的基本性质啊。 好，那圆锥侧面展开，它是一个扇形啊，所以侧面积它是扇形的面积公式啊，那么这里已经给了它是等于二分之一的 cl， 这个 c 它是什么呢？这里的 c 啊，它是这个扇形的弧长啊，扇形的弧长我们可以推导完之后得到它结果应该是 pi r l， 因为这个弧长正好是二 pi r， 对 不对？ c 是 不是等于它的二 pi r， 所以 这里带入进去之后，正好就是 pi r l， 所以 圆锥的侧面积公式就是去求这个扇形的弧长对应的这个扇形弧的面积啊。 好，体积公式我们这里直接给出来啊，它的体积应该等于它的这个对应的圆柱的一的三分之一啊，所以是三分之一的底乘以高，所以棱锥和 棱柱是三分之一的关系，圆锥和圆柱也是三分之一的关系啊，所以是三分之一的底面积乘以高。好，我们来看个例题啊，已知圆锥的轴结面是等边三角形来，轴结面是个等边三角形， 四四四，那要去求它的表面积和体积，那通过这个轴结面，我们是不是可以知道它的母线 是四，然后底面的直径圆的直径 为四，对吧？所以呢，我们是不是要把它打开来写， 求它的表面积是不是套表面积的公式，对吧？是不是应该是 pi r l 加上 pi r 平方，对吧？就是我们把它的圆圈画出来啊？好，它一展开来之后是不是这样子的， 所以这个面积加上底面积就它的表面积啊，所以我们先去求它的底面积，底面积应该是 pi r 平方嘛， r 应该等于二，所以是四 pi， 对 吧？ 好，侧面积应该是 pi r l， 那 这道题的 pi 啊，这道题的 r 是 等于几？ r 是 不应该等于 里面的这个二是不是等于二？然后呢，这个它的母线是不是四，所以呢，是，应该是二乘以四等于八， 对吧，所以答案应该是八派加上四派，所以一共是十二个派啊，那么这是它的表面积好体积公式，它应该是三分之一的底，面积乘以高，所以是三分之一的四派，高度的话应该用勾股定来求吧，是不是这个是四啊？我们重新画一下， 这个是四，那么这里是不是应该是二，这个是四，所以根据勾股定律，它应该是等于二倍根号三吧， 所以它的高度应该是二倍根号三，所以答案应该是三分之八倍的根号三。 pi 的 立方厘米啊，好，这是一个圆锥的立体的应用啊， 好，最后我们来看下球体啊，球体我们是很熟悉的，球体是一个半圆绕着它的直径旋转一周得到的一个球啊，那么球体的话，它的半圆弧，首先呢曲面是一个球面啊，对不对？那球面围成了几个几个球体呢？我们剪成球啊， 其中半圆的对应的这个圆心称为球心啊，那么球心到球面上的任意点的连线，我们叫做球的半径，对吧？那一般来说，我们球啊以圆心为标记，所以呢，圆心为 o 的 球，我们叫球 o 啊， ok， 好， 那球的话，我们可以怎么去理解呢？首先用个平面去结，它的结面都是圆啊，不管你怎么去结都是圆，但是呢，经过球心的结面所折的圆叫大圆 啊，那不，经过这个得到的圆是个小圆，看到没有？如果我们在下面这里结一刀，那么这里形成的圆他不如他的大圆大，对吧？所以这里会构成一个三角形的关系啊， 对吧？小二，大二，大二是球的半径，小二是半径的半径，然后这个 d 是 两个心的距离啊，所以这就是一个图形的示意啊。 好，当我们这个结面不经过球心的时候，它有这样的一个特点啊，就构成了一个三角形的关系，对吧？小二应该等于根号下的大二平方减去 d 的 平方，所以这就是球体的特征啊，我们要认识清楚。 好，那球体的公式我们直接给出来啊，表面积公式是四派二平方，体积公式是三分之四派二派二立方啊，这两个公式大家把它背下来， 嗯，怎么推导你不需要知道啊，背下来啊，以后等你长大了啊，学更高级的数学以后，你就知道他怎么推导了啊。今天我们可能还讲不了，所以呢，你先把这样公式背下来，能够用好就可以了啊。 好，那我们来看一道例题，已知球的一个球结面半径为三，球心与该球结面的距离为四。好，我们来画个矢图， 好，假设这是球的一个结面，他是个小圆，对吧？那球心在这里，他与球鞋面的结面的距离应该是四， 他的半径是三，所以他通过这个时候可以求出他的球的半径，这个球的半径是不是应该是五？ 共五定零吗？三四五，对不对？好，那这个时候求的半径知道，求的表面积和体积是不是都知道？所以这道题很简单啊，所以求出来求的半径是五，所以表面积四派二平方，所以答案是四派乘以二十五等于一百派的平方厘米。 好，体积公式，三分之四派二立方，所以是三分之四派乘以五的立方，所以是三分之五百派立方厘米啊，所以这道题就考到了这个球，它的结面和球的关系啊，通过勾股定律构造出半径的关系。 好，这是例题题的讲解。 ok， 那 本章书我们就讲这么多啊，那我们学习了例题几何，对吧？我们先从空间中的平面，直线的关系出发啊，概念出发，然后得到的是直线直线的位置关系，直线平面的关系，平面平面的关系，然后我们这里面这两个数字里面有八大 判定以及性质定律， 所以这一块是我们的重点，对吧？然后最后我们介绍了简单几何体的一些应用啊，包括像球表面积啊，球体积，对吧？对于棱柱、棱锥、圆柱、圆锥，还有球体的基本应用啊。 好，那我们这里就学完了整个课程的内容啊，感谢同学们观看，再见。

好，接下来我们来学习第九章关于立体几何的知识，我们在以前的数学的学习中学习过了几何的内容，对吧？几何图形，那么当时学习的我们基本上都是以平面的图形为主，我们学习过三角形的性质， 学习过四边形啊，特别的四边形，像平行四边形，矩形，菱形，还有正方形等等，梯形这样的一些啊，四边形的性质，我们还学习了圆的图形，对吧？ 那我们接下来学习的这个几何啊，要做一个小小的升级，我们不再是研究平面上的图形，而是研究立体的图形，所以立体的图形。 同学们，好，接下来我们来学习第九章关于立体几何的知识。我们在以前的数学的学习中学习过了几何的内容，对吧？几何图形，那么当时学习的我们基本上都是以平面的图形为主，我们学习过三角形的性质， 学习过四边形啊，特别的四边形，像平行四边形，矩形，菱形，还有正方形等等，梯形这些的一些啊，四边形的性质，我们还学习了圆的图形，对吧？ 那我们接下来学习的这个几何啊，要做一个小小的升级，我们不再是研究平面上的图形，而是研究立体的图形， 所以立体的图形，这个时候我们的很重要的一个元素不再是线和点了，而是面， 而且呢，我们会研究的主要是一些基本的平面，所以立体几何的重要元素，它是有点、线、面三个不同的基础的维度组合起来的，所以呢，我们接下来一起来看一下立体几何的相关知识。 本章书我们首先要认识的是空间中的直线与平面，那么这里重点会引入平面的概念啊，那么接下来就会介绍的是像直线和直线的位置关系，直线和平面在空间中又有什么样的位置关系，以及平面和平面的位置关系。 然后呢，我们会介绍简单的几何体，那么几何体中包括了像我们的圆柱体，锥体，对吧？还有呢棱柱体 啊，以及球体等等这样的一些简单的几何体的性质，那我们会认识它的表面积啊，或者说体积的球法啊， 好，那么这就是我们的整个重难点啊，那重点的话是我们的平面的球解，对吧？这个空间中的平面以及直线直线的位置关系，直线平面的位置关系，以及平面平面的位置关系， 还有我们刚说的像表面积和体积的求法啊。那首先我们先来学习第一小节关于平面啊，首先我们来看一下平面的特征， 我们知道构成空间的基本要素，刚说的点、线、面三个重要的元素，那么在平面几何中我们主要学习点和直线。那么接下来我们认识平面啊， 数学中的平面它是有平，对吧？平面它不是曲面，不是弯曲的，所以呢，它是具有平和无限延展的特征。我们一般来说用小写的希腊字母像，而法 贝塔、伽玛等等这些希腊字母来表示平面，当然我们也可以用多边形的顶点的字母来表示平面，比如说我们可以画一个三角形，那么这个三角形所在的平面我们就可以用它的三个顶点 a、 b、 c 来表示了，对吧？ 或者说我们也可以用四边形 a、 b、 c、 d 啊，它的四个顶点的 a、 b、 c、 d 字母来表示，对吧？当然我们可以简化既作 a、 c 啊，这个对角线也可以表达整个平面的特点，所以这就是一个完整的平面的特征以及它的表示 啊。我们来看完了第一个支点之后，然后我们来看一下啊，点和平面的关系啊， 那么考虑到直线和平面都可以看成无限个点组成的点的集合，哎，这个没问题吧，能理解啊，我们把无数个点组合起来，可以构建出一条直线，当然也可以构成一个平面，所以呢，我们可以有以下的特点啊，当点 p 在 直线 l 或者平面 r 缝内，你看点 p 在 直线 l 或者点 p 在 直线 r 反内的时候，我们可以用集合的这种关系啊，元素和集合的关系是属于和不属于的关系嘛？所以呢，我们可以写 p 属于直线 l 以及 p 属于平面 r 反， 那反过来，如果点它不在直线上，或者说这个点不在平面内，它就表示为不属于，所以此时 p 不 属于 l 以及 p 不 属于 r 反。 所以用这样的一个记号，我们就能够知道点和直线或者说点和平面他们的一个基础的位置关系了。好，这就是一个重要的基本表达啊。 那么接下来我们来学习一下公理啊。啊，公理的话，大家知道它和定力啊，是要有一点点区别的啊，公理是我们认识数学，或者说认识我们这个社会，认识我们这个世界的一个 什么公认的道理，他不需要证明啊，就是说我们是认识这个东西之前，我们首先要承认他的存在，如果你不承认他的存在，那你不要去啊，我们没有办法去讨论后面的东西啊。所以呢，对于我们来说，首先要认识这些东西是必然存在，而且要承认 这些事实，所以呢，我们来看一下在立体几何中的一些重要功力。第一条 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，什么意思？我们来看下图，你看 abc 三点显然不共线嘛，很直观的看到， 所以呢，这个三点构成的这个平面阿尔法，它是有且仅有一个的，所以你找不到第二个平面 经过这三点了啊。当然我们把这句话说的更加的明确，直观一点，可以说不共线的三点可以确定一条平面啊， 所以通过这个图，我们是非常直观的可以认识这一个问题啊，那就是公理一啊，经过不在同一条直线上的三点，尤且只有一个平面啊。好，这是第一个问题， 我们来看公里二，如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 哎，这个怎么去理解呢？我们来看一下，当一条直线上的所有点都在这个平面内的时候，我们称这个直线他就是在这个平面内，对吧？或者说这个平面经过这条直线， 因为直线和平面都是由什么构成的？都是有点构成的，是不是刚说到这个问题，所以直线 m， 它在平面内的所有的这个点啊，这个直线 m 它在平面阿尔法内，所以我们是可以写成 m， 它和阿尔法集合和集合的关系， 对不对？是不是子集的关系啊？对吧？那当这个直线不在平面内的时候，我们就可以记忆做的是 m， 它不是阿尔法的子集， 对吧？所以他并没有公共点啊，那么如图可以看出来这个问题啊，所以呢，这就是一个直线 ab， 那 他两点都在这个平面内，所以这个时候直线上他的所有点啊，都会在这个平面内， 对吧？好，那么点 c 的 话，是直线外的一点，他也可以是这个直线上的啊，也可以是个平面上的，对吧？所以呢，不一定说啊，直线他经过这个平面，或者说平面是经过这个直线，或者说直线属于这个平啊，是这个平面子极 啊，那你不能够说所有点都在平面内，那不在直线上的点就不在这个平面上，不可以，你看这个点 c， 它在这个平面内，但是呢，它是不在这个直线上，所以呢，这个地方大家搞清楚它的逻辑关系啊。 ok 啊，这是第二条公里啊， 那么由公里一和二我们可以得到一些推论，我们来看一下，第一条推论，经过一条直线和直线外的一点，有且仅有一个平面，好，经过一条直线 和直线外的一点，有且仅有一个平面的第一条推论。第二个经过两条相交直线，有且只有一个平面，对吧？来，大家想一下，两条相交直线他们只能构成一个平面 啊，你就想嘛，第一个 l， 一， 它能够确定无数个平面。 l 二，它能够确定无数个平面，但是它们异相交之后，只能够锁定它们公共的一个平面，对吧？所以这个时候平面它有且只有一个啊， 好，第二个，经过两条平行线，有且只有一个平面。哎，这个也是一样的啊，这个道理 哎，两颗平行线，对吧？本来这个第一条直线 l， 它可以有无数个平面 l 一， 第二个直线也可以有无数个平面，但是都要经过这个两条直线，那么此时这个平面没有多的，只有一个啊， 好，这是第二个啊，第三个推论啊，所以我们可以通过公里公里二来得到一些重要的推论啊。 好，来看公里三，如果两个平面有一个公共点，来看一下，我们这个图像中，阿尔法它是一个平面，贝塔它是个平面，那此时有一个公共点，那么它只 有一条，对吧？它们有且只有一条经过该点的公共直线，所以这个直线是不是 l， 对吧？经过该点，那这个点是点 a 吧，是不是？所以呢？我们把这样的直线啊，称作两个平面的交线啊，后面我们会去研究这个交线啊。 所以你来看，当平面阿尔法和平面贝塔相交于直线 l 的 时候，我们可以用数学的集合语言中的什么运算啊？是不是交集的运算？阿尔法和贝塔相交等于 l 来表达这个运算的结果， 所以此时我们就能确定他的关系啊，所以这是第三条重要功力啊。 好，那我们来看一个例子啊，判断下列说法是否正确。首先，第一个，经过三个点，有且只有一个平面， 来，这句话是不是典型的错误？我们的公里一怎么说呢？是经过三个不在同一条直线上的点，对不对？所以这个点它要有限制。大家想，如果我是一条直线 l， 那 么它的上面有三个点， a 点 b、 点 c， 那 这个时候 这三个点都在直线 l 上，它经过的平面是不是有无数个？我是不是可以这么画，对吧？我是不是还可以这么画？ 所以平面它有多少个？是不是有无数个，对吧？你可以绕了这个地方，绕了这个 l， 它直接旋转嘛？大家想是不是相当于是一个杆子，然后呢？这个东西让绕到上面去旋转，所以你可以转出无数个平面出来，所以第一个显然是错误的。 我们来看第二条，如果直线 l 与平面阿尔法有三个公共点啊。直线 l 与阿尔法有三个公共点，那么 l 属于阿尔法 l 是 它的子集，对不对？这个应该没问题啊，有三个公共点了， 对吧？这个没问题啊，所以第二个正确啊，满足公里。第三个，用三角板的一个顶点与桌面接触，我们来看一下啊， 什么意思？假设这里有个桌面，好，这有个三角板，好，这是一个直角三角板吧？假设它是一个，对不对？这是一个直角， 那这个时候它是不是这个意思？就是拿那个三角板的顶点与它接触，那这个时候公共点，假如这个平面阿尔法，这个三角板是 a、 b、 c， 好， 那我就拿 c 点去他接触了，那公共点是不是 c 点？所以两个平面，你看三角板是不是一个平面，然后呢？这个阿尔法是个平面，他说这两个平面只有一个公共点，对，还不是还是不对 啊？只有一个公共点，对还是不对？赶快想，肯定是不对的吧。你想这个平面它具有个什么性？这个平面它具有无限的 延展性吗？所以呢，你这个三角板是我们的一个实物，但是呢，它所在的平面是不是应该是无限的延伸的？所以这个时候是不可以把这个平面补充完整一点，是不应该是这样子的啊？当然这只是一个部分啊， 所以这个平面与它是一个什么？它有几个共点？是不是有无数个共点？它们是不是会有一条交线？这条交线啊？这个点 c， 它是经过它的交线，对不对？所以这条线我们把它称作两个平面的交线， 交线上的点就有无数个，所以呢，它不止一个公共点，所以第三句话也是错误的。好，我们来看第四句话，经过直线 m 和 a 和一个点 a 的 平面有且只有一个。 好，那如果是一个直线 l， 对 吧？好，平面外的一点啊，直线外的一点 a， 那 这个好像没问题哦，是不是有且只有一个， 对吧？经过直线 m 和点 a 的 平面有且只有一个，这么说是没问题的。但是我们有一个非常特例的情况，当我的 a 点刚好在直线 l 上， 这个时候是不是又出问题了？他的平面是不是又可以画无数个，对不对？你可以打横着画，也可以打竖着画。所以呢，第四个也是不对的啊，这个点 a 不 能在 点 a， 不 能在平啊，在这个直线上，所以他只有在平面啊，在这个直线外的时候，他们的平面有且只有一个啊，所以第四点是错误的，所以答案应该是正确啊，错误，正确，错误，错误。 ok， 好， 那么这是例题啊，也是我们对于平面的基本概念的一道例题的讲解啊。那么我们第一小节学到这里，同学们再见。

用四大意识，所有高中数学难题都能变简单！大家好，我是老谢，我接下来呢，给大家讲一下特别有意思的啊，我们这是高二西城的啊，倒数第二道题，我还有一个视频讲最后一道题啊，这两道题呢，都有意思，都比较偏难啊，可以说，但是呢，每道题老谢都有两种方法啊， ok， 咱们呢，先看看老谢通过这道题里面提炼出多少营养。这道题说这四个点，在以屁为球心的同一个球面上，同学们可能想象不出来那个球，但是空间向量它的好处就在于，你不需要知道图形长什么样，只要能列式就能往下算。 这句话啊，是老谢教给你们高中数学特别无敌的一句话啊，好好体会。第二个呢，如果你要解一个三元二次方程组，哎，不知道该怎么列，简单啊，实际上怎么列都简单，你只要大胆的往下列。但是呢，如果一开始觉着啊，有点麻烦，用老谢试着结啊，结构是灵魂，你就知道怎么列啊。 第三个呢，我想告诉大家这道题的第二个方法，如果这道题第三问是一个填空题或者直接写答案的题，选择题，那么老谢呢，有一个初二一次函数的方法啊，然后呢，让你们一分钟左右就可以搞定第三问啊，就是直接出答案。好了，我们先看第一个方法。 首先呢，你不是说球心吗？球心的本质是吧，就是到球面上每个点的距离都相等，说白了，这道题就是 p b 等于 p c 等于 pe 等于 p f， 对 不对？这道题给你足够多的方程啊。然后呢，你如果设一个点 p 的 坐标为 abc 的 话，你会发现你只需要三个未知数， 但是这道题呢，能列出来四个方程，没问题啊，足够了。好，那么问题来了，四个方程，我们如果设出来点 p 的 坐标，那么咱们先列哪个呢？ 各位，式子的结构是灵魂，你仔细看一看 b， c， e、 f 这四个点的坐标，你会发现这个和这个 e 和 f， 它们俩的 y、 z 坐标是不是都是一样的？ 所以各位，如果你想这道题做的快一点的话，或者说你觉得烦，你想让自己心情轻松一点的话，各位，你先列 p e 等于 p f， 因为你会发现，在这种情况下啊各位，这个和这个就消了，这个和这个就消了 啊，你会发现，你瞬间就可以解出来 a 等于二分之一，虽然先列哪个实际上是一样的，但是你很快就得到 a， 你 是不是在考场上做题会放松一些啊？然后呢，这个时候 我们还可以再列 p b 和 p f， 为什么呢？因为刚才 e 和 f 呢，是两个坐标一样啊，然后你会发现 b 的 话呢啊， b 啊，大家看一看，然后这个和这个它俩是一样的 啊，然后 x 是 一样的，那么 y、 z 不 一样，然后呢，我们可以快速的解出来 y z 啊，也就是 b 和 c， b 和 c 呢，也非常快的啊，因为这些东西太容易消了，是吧？啊，然后呢，消完以后， b 等于 c， 那 么再带进去，随便带一个，这道题很快就做完了啊，然后呢，就得到了点 p 啊，它的坐标， 他 p 的 坐标到这个球面上，哎， a， 这个 b， c， e、 f 这四个点，任何一个点，算上他们两点之间距离，答案就出来了，是吧？这是第一个方法， 第二个方法呢？如果这是一道选填题，可以玩的非常快啊。你先跟老谢学一学迁移。各位，反正我在学立体几何的时候，只要看到球，我觉得难想的话，我就会，什么呀，我就会想到圆，大家看圆周上的点，他们是到圆心的距离相等，那么你会发现在平面内 啊，然后呢，到 a 和 b 的 距离相等的点，组成了 a、 b 的 垂直平分线，我们称之为叫中垂线。其实大家看一看，你看啊，在空间里边，到 a 和 b 两个点的距离相等，你们能理解它其实是一个中垂面吗？ 甚至你可以理解为这个蓝色的这个面啊，它是一面镜子， a 是 外边的， b 是 里边的对称，各位，你能理解所有的。然后就是说到 a 和 b 的 距离相等的点就在它们的垂中垂面上吗？ 那么也就是说，我们如果能找到三个面，三个面的焦点，他们就是球心，你们能理解吗？你比如说你随便再找一个啊，比如说找到 ab 这个弦的，然后中垂面，再找到这个弦的中垂面啊，比如说再找一个中垂面，三个面 啊，我们就可以讲出来啊，就做出来了。所以这道题如果你首先理解了这个迁移，再有一点呢？这个接下来稍微可能对大家有一点点要求高啊，我不知道你们能不能跟得上。其实涉及到了面的方程，但是你不需要了解面的方程。我问大家一个问题， 因为 e 和 f 这两个点在球面上，所以它俩的中垂面一定过球心，各位看一看啊，就像这个，这个 ab 的 中垂面一定过这个球心一样，你们能理解，你只要找到 e， f 的 中垂面， 球心一定在这个中垂面上。各位能理解，并且和 e， f 的 中点，并且和 e， f 垂直的面，你有没有发现他们的 y 和 z 是 没有限制的 啊？你可以理解为它是一个立着的和 c， d， e 平行的一个面，这个面上可以取到任何一个 y， 可以 取到任何一个 z， 那 么这里边它的 x 是 固定的，因为这个点的 x 对 应的是二分之一，所以你能理解这个红面的 x 等于二分之一吗？各位，如果你能理解的话，你可以一秒钟知道这个球心点 p 的 x 坐标就是二分之一。然后呢，我们接下来只需要求它的 y 和 z。 好，同理，各位请看啊，我们接着再往下来，然后呢，我们再找一下另外一个弦的，比如说大家看啊，这个红色的这个线，它代表的是 e， c 的 中垂面。 各位，你们设想一下子啊， ec， 如果它在墙上和 ec 垂直的面，它是不是和这个 x 轴是平行的，你们能理解吗？就是如果说啊，我这是画了个一维的，因为我把三维的降降为二维的了啊，你可以理解为，也就是说 在 e， d， c 这个平面就是 z， y 这个坐标啊，这个里边这条线 啊，它代表的是和 c， e 垂直并且平分 c， e 的 一个面，这个面上的每个 x 可以 取任意值， 但是你会发现 z。 有 人说，老师这怎么写出来的？因为这个是零逗号，如果把它看成一个红的，看成一个平面，这样左边写二维的话，它是零逗号一，这个 c 呢，是二逗号零，你用初二的知识你就可以求出来这个红线，它的一个方程就是 z 等于二外减二分之三。 同理，我不知道你们能不能理解把 b、 e、 b、 f， 把 b、 f 它俩的垂直平分面。首先也是啊，它其实不算和 x 轴平行啊，它已经包含 x 轴了。然后呢，它的 就是这个蓝面，其实就是这这蓝线啊，我把线面投影到这个 edc 这个面上，你会发现这个蓝面啊，它的方程在这个二维的坐标系里边就是 z 等于 y， 那 么这样的话，你会发现 这个方程和这个方程就是我们初一学的二元一次方程。然后这样的话呢，我们直接就解出来 y 和 z 都是二分之三， 这样的话，这道题做完了。各位啊，如果你在选填题里边第十题或者第十五题，如果考到这种球找球心，你可以利用老谢这种中垂面，并且如果那个面 他是和这三个啊，比如说 x y 面和 y z 面或者 x z 面，各位就是要么是地板，要么这个墙，要么这个墙如果是和垂直的，和这个面是垂直的，你会发现这个面他上面的每个点， 其中一个 x y、 z 的 某一个坐标，它其实可以取全体实数。你只需要像我这个方程一或者方程二一样，设出来一个二维的， 二维里边的这种直线方程就可以表示这个面上所有点的坐标了啊，这个方法呢，稍微有点抽象，但是如果你真学会了，会非常快。

如果你现在还有几周几天甚至几个小时就要考试了，那么恭喜你，抖音精选让你刷到我这条视频这十分钟价值能顶上你三个月的学习效果，哪怕你没学，跟着顺一遍，也能拿捏各种难题。话不多说，直接开讲。好，各位同学，大家好，我们今天呢，来讲一下空间向量期末的复习。那 空间向量会考什么样的知识呢？首先第一个，空间向量最重要的就是间隙，怎么样把细把它给建起来特别重要。好吧，那第二个的话就是设点。怎么去设点？那在这里的话，均总给大家提供一个非常重要的方法跟大招，就是在任意的一条线上， 如果我已经知道 a b 两个点，那如果 a 点的坐标是 x 二，多号 y 二，那我想去求中间一个点 x y， 那 p 点 x y 我 应该怎么去设呢？这里有两种不同的情况，如果我已经知道 p a 比上 p b， 应该是等于 number 比 mu 的 话 啊，比如说 p a 是 number， p b 是 mu， 那 么这个时候我们就可以把 p 点的坐标 x y 应该是等于多少啊？ 应该是等于某个固定的系数 a 加上某个固定的系数 b， 那 这个系数是什么呢？它的分母啊，就是 number 加 number， 分 子的话就是找隔壁，也就说 a 对 应的应该是隔壁的 number， 对 应的是隔壁的 number， 所以 我们最终求解出来应该是等于 number 加 mill 分 之 mill 分 之 a， 加上 number 加 mill 分 之 number 的 b。 好 吧，那我举个简单的例子，比如说我已经知道 a 点的坐标是一二， b 点的坐标是三四，那如果我要去求 p 点 x y， 那 这个坐标是等于多少啊？那么假设我告诉大家， p a 比 p b 是 等于五比六，这两个式子 比较好看，那这时候我们可以看到 p a 点 x y 的 坐标应该等于五比六，这两个式子比较好看。那它是等于某个固定的系数 a 加上某个固定的系数 b， 那这个系数是什么呢？首先分母是什么？分母是它的比例之和，应该是五加六。分子的话，找隔壁 a 对 应的是隔壁的六， b 对 应的应该是隔壁的五，所以是十一分之六倍的 a 加上十一分之五倍的 b， 好 吧， ok， 这是第一个 设点，如果我在其中当中某一个固定的点的话，那我就会用这个方法去设出来那特殊的形式。如果 p 为中点的话，那么我可以发现 p 的 坐标应该是等于二分之一倍的 a 加上二分之一倍的 b， 好 吧， ok 啊，这是一个特殊的形式。那第二个，如果我们说 p 为动点呢？也就意味着如果 p 是 在 a b 这条直线上，我 随便的去动，那 p 点的坐标应该等于多少？应该是等于朗达倍的 a， 加上括号下 e 减朗达倍的 b， 好 吧，这是一个特殊情况的设点的 形式。好，那么第三步其实就是什么呢？就是法向量，那法向量有什么样的方法可以快速的把它给找到啊？首先有几个重要的方法，第一个叫做找零法，第二个叫做倒数法，第三个叫做三 点两轴法。好，这是三个非常重要的方法，那么我们待会在题目当中会帮大家把它给用一下。那最后第四个叫做列式，那列式 实际上就是有四种不同的形式，叫做线线角就是一面直线所成的角，那么第二个叫做线面角，那也就说一条直线与一个平面所成的角，第三个叫什么？叫面面角，也就说两个平面所成的角， 第四个叫做点到平面的距离，这是我们固定的常规的情况。我们来看一下这道二零二零年江苏卷的高考题，他告诉我们，在三菱 a、 b、 c、 d 当中， c、 b 等于 c， d 等于根号五，这是等于根号五好， b、 d 等于二二， o 是 b、 d 的 中点，所以 bo 等于 o， d 等于一好，那么 a、 o 垂直平面 b、 c、 d， 那 么 a、 o 等于二。他说一是 a、 c 的 中点，问的是 a、 b 与 d、 e 所成角的余弦值等于多少。那么首先找题目 以 o 为圆点，如图间系好，我们知道 b、 c 的 长度一定等于二 好，那接下来我们就可以发现，他问 ab 与 d、 e 所乘角，假设是阿法，它的余弦值等于多少， 所以口塞眼的阿法等于多少？ ab 向量点乘 d、 e 向量。注意啊，他去求一面直线所乘角要加上绝对值，那么除以 ab 的 摩擦，再点乘 d、 e 的 摩擦好，那么接下来我们可以把 ab、 d、 e 的 坐标把它给找到，那 a 点的坐标是等于零零二 一点的坐标，我们可以得到应该是一零零，所以 ab 向量我们可以求出来，应该是一逗号零，逗号负二，所以 ab 的 摩擦，我们可以求出来是根号下一的平方加零的平方加上负二的平方，应该是等于根号五 好，那么接下来我们来看一下第一点的坐标，应该可以得到应该是负一，逗号零逗号零一点的坐标是多少呢？我们可以知道 a 点的坐标是零点二， c 的 坐标我们可以发现是零二零，可以得到一点的坐标，其就坐标相加除二嘛，那么也就说是等于零一一，那么我们可以得到 d 一， 求出来应该是等于 一一一，也就是说 d 一 的周长，我们可以得到是等于根号下一的平方，加一的平方，加一的平方等于根号三。所以接下来我们可以发现 cosine 的 alpha 就 可以得到应该是等于一 加上零减去二除以根号五，乘以根号三，别忘了加绝对值，那可以得到应该是十五分之根号十五。好，这就是第一问。接下来我们来看一下第二问，他说如果 f 在 b c 上满足 b， f 等于四分之一倍的 b， c 设二面角 f d e， c 的 大小为 c t， 求赛 c t 的 值应该等于多少？好，这题我们告诉了我们， f 在 b c 上，并 并且 b f 等于四分之一倍的 bc， 所以 b f 比上 fc 应该是等于一比三。好。接下来就可以用军总跟他去讲的大招，我们可以发现 f 的 坐标我们可以怎么去设啊？他应该是等于某个系数的 b 坐标加上某个 c 数的 c 坐标。好， b 坐标和 c 坐标它的系数怎么找？首先我们可以把它的比例分母式比例之合一加三，加起来应该就等于四分子的话，找隔壁 b 对 的是隔壁的三 的，对格的是隔壁的一，所以可以得到是四分之三倍的一零零，加上四分之一倍的零二零。好，所以我们就可以得 f 点的坐标是四分之三，逗号二分之一，逗号零。 好，这是 f 点的坐标。好，那么接下来我们来看一下，如果 f 点的坐标有的话，那 f， d， e 和 d， e， c 它的法向量等于多少呢？我们可以知道 d 的 坐标可以得到是零一一， 所以 d、 f 它的向量求出来应该是等于四分之七，逗号二分之一，逗号零， d， e 可以 求出来应该是等于一一一。好，那接下来我们就可以求平面 f， d、 e 它的法向量，那平面 f、 d 的 法向量可以怎么去找啊？很简单，我们用到一个方法叫找零法。 什么是找零棒？我们可以设平面 d， e， f 的 法向量是 n 一， n 一， 怎么去设？首先我们可以先找到一个向量，它是带有零的，那么我们只需要找到这个带有零的向量，它的两个非零的坐标交换位置添一个符号， 也就说我把二分之一和四分之一交换位置添一个符号，可以得到是负二分之一，逗号四分之七。好，加上， 接下来我们再把 n 一 向量跟这个 d 一 点成为零。啊，那我可以得到应该是等于负的二分之一，加上四分之七，再加上 z 等于零，那么我们就可以知道 z 应该是等于负的四分之五， 所以法向量 n 一 求出来是等于负的二分之一，逗号四分之七，逗号负的四分之五。好，注意法向量，我的所有的坐标同时乘以某个数字，它最终得到的还是法向量，所以我把这里的坐标同时乘以四，那么最终可以得到是负二，逗号七，逗号负五， 这就是我们要找的反向量，那么也就是说它的摩擦可以求出来，应该是等于根号下的负二的平方加上七的平方，加上负五的平方，那最终可以得到根号下的七十八。 接下来我们再去求平面 d、 e、 c 它的反向量，那么 d、 e、 c 的 反向量应该怎么去求呢？注意啊， 平面 d、 e、 c， 我 把这个平面扩展，它是不会变成平面 a、 d、 c 和 d、 e、 c 其实就是同一个平面， 所以也就是说我们要找的就是平面 a、 d、 c， 它的法向量 a、 d、 c 的 法向量，怎么去找呢？首先 a 点的坐标是零零二， b 点的坐标是负一零零， c 点的坐标是零二零。注意，这里的话可以用到倒数法。什么是倒数法？只要三个坐标，它的三个点呢？都是在三条轴上啊，那这个时候 它这个平面的法向量怎么去做？我们只需要把这里所有的点，它的坐标取倒数就可以了。也就说它的横坐标就是在 x 轴上的 d 点的这个坐标取倒数就负的一分之一，它的 y， 那 么就等于在 y 轴上面 c 点的坐标，它的这个 y 的 坐标取倒数就是二分之一，它的 c 坐标就是在 c 轴上面的 a 点，它的 c 坐标取倒数就是二分之一。所以同时乘以某个数，它还是法向量，所以这个法向量坐标同时乘以二，那么就等于负二，逗号 一，逗号一，所以 n 二的周长，我们可以求出来是等于根号下负二的平方加上一的平方，加上一的平方等于根号六，所以两个平面的所乘角 zeta， 那 么实际上等于的就是两个反向量的所称，叫 cosine 的 theta， 我 们这个时候加上绝对值 n 一， 向量点乘 n 二，向量 除以 n 一 的魔长点乘 n 二的魔长好，我们就可以发现它们的坐标。点乘可以得到应该是等于四，再加上七 减去五的绝对值除以根号下的六，乘以根号下的七十八，我们就可以直接把直白的给找到，应 应该是等于根号下的十三分之一，那么也就说等于十三分之根号下的十三。好，那么接下来所以三样的 c 塔应该是等于根号下的一减去口算的平方 c 塔 我们可以得到是等于十三分之二倍，根号下的三十九。好，这就是最后的答案，这两个非常重要的大招大家一定要记住，学会了的话大家来看一下这道题，打出你的答案。 顺便麻烦大家帮我去抖音精选 app， 点右下角的推荐大拇指按钮，让我的作品被更多人看见。苦练十年，不如名师指点！每周我都会在抖音粉丝群分享独家的大招资料，需要的话大家可以进群领取。

同学们大家晚上好，今天晚上给大家更新一期立体几何的内容，那么今天的这两问呢？第一问是意面直线所成角啊，第二个是一个线面垂直。好，首先来看第一问， 那么异面直线所成角，我们去找角的时候，是要对这两条异面直线进行一个，哎，找平行线，哎，找到他们相交形成的一个夹角，是不是再去求值啊？好，那现在咱们来看一下啊，要求的是这个 e、 f 与 bc 一， 那很显然，他们两个现在是一个异面的状态啊，没有形成交点，所以我们要进行一个平移， 那么需要平移的啊，是我们的 b、 c 一 啊，这里可以做一条对角线连接对角线 a、 d 一 好，连接 a、 d 一 之后，这个 a、 d 一 和 aed 是 不是刚好相交于点 e 啊？ 所以这个时候我的 a、 d、 e 就 和 e、 f 相交，产生了一个夹角，也就是我们的这个 d、 e、 f 啊，那在这里呢，你要对它进行一个说明。第一问，连接 a、 d e， a， d e 与 a e、 d 相交与点 e， 那 么这个时候呢，因为 d e、 c e 啊，它是平行于我们的 ab 的， 并且 d、 e、 c、 e 还相等于 ab， 所以 我们的 ab， c、 d、 e 为平行四边形， 那么它的另外一组对边就是一个平行的关系啊，所以 b、 c、 e 啊，它就平行于我们的 ad。 一 则 题目中，让你求的 e、 f 与 b、 c、 e 所成角就转变成了，哎，我们的这个角 d、 e、 f。 好， 现在重点是我要来求一下这个假角，那么求这个角的话，呃，用眼睛来看，它好像很像一个等边三角形，对不对？但是我们要进行一个严格的证明，那我们要去求一下它们之间的边长关系。首先这个 e、 d、 e， 它肯定是等于二分之一倍的 a、 d、 e 的 啊，那么因为这个是正方体，它的棱长我们是不是可以射一下？嗯，射棱长 为一啊，如果能长为一的话，那我的这个 a、 d 一 是不是就等于根号下一加一，也就是根二啊，也就是二分之一乘以根二，等于二分之根二啊，这是一 d 一 已经有了。好，那同理，我的这个 d、 e、 f， 它是不是也是对角线的一半啊？ 啊？ d e、 f 啊，也等于二分之一 d， e、 c 等于二分之根二，那这两个都有了，那 e、 f 啊，还差一个 e、 f， 你 看这个 e 点和 f 点，是不是现在都是中点啊？所以我再连接一下。我这个 a、 c， 那 是不是三角形的一条中线？嗯，又因为 e、 f 为中点， 所以 e、 f 啊，它就等于二分之一倍的 a、 c， 这个 a、 c 是 不是也是一条对角线，所以它也等于二分之根二啊？所以啊，我们这个三角形 d、 e、 f 为等边， 那么我们的所乘九九 d e、 f 是 不是就等于六十度？那这个题是不就证明完了？好，这是第一问，咱们接下来来看一下第二问啊。第二问是一个线面垂直好， e、 f 要证明它垂直于 b， b， d、 d， 它在这里。然后呢， e、 f 要好， e 点和 f 点啊，非常的特殊，它都是中点在三角形 a、 c d e f 是 不是相当于一条中微线啊？所以我们有 e、 f， 它是平行于 a、 c 的， 嗯，那么这个 a、 c 好 像更容易证明它垂直于这个平面是不是？那么对于线面垂直，我们有一个性质定律， 大家还记得吗？ 性质定律啊，是怎么说的呢？如果我已经知道一个线和一个面垂直，那么和它平行的线同样也会垂直于这个平面，所以我只要能够证明 a、 c 垂直于这个平面是不就足够了？嗯，好，那我们一起来证明一下啊，因为 a、 c 它是垂直于 b、 d 的 啊，这个很明显是不是一条了？嗯，那还需要找第二条。又因为 我是一个正常体，所以我的棱是不是都垂直于地面 b、 b 一 啊，就垂直于我的 a、 b、 c、 d。 根据线面垂直的定义，我垂直于这个面，就要垂直于这个面内的任意一条直线啊， a、 c 包含于平面 a、 b、 c、 d， 所以 我的 b、 b、 e 就 垂直于 a、 c。 好， 你看，现在我已经有 a、 c 垂直于 b、 d， a、 c 还垂直于 b、 b、 e。 哎，所以啊，又因为 b、 d 和 b、 b、 e 它们两个都包含于平面 b、 b、 e、 d、 e、 d。 并且 b、 d 啊，交上 b、 b、 e 是 不是有一个点 b 啊，它俩是相交的，所以我就证明了啊， a、 c 它是垂直于我这个蓝色的面 b、 b、 e、 d、 e、 d 的 啊，没有，根据我们刚才的这个 e、 f 平行于 a、 c 啊，根据 线面垂直性质定律， 我们就有 e、 f 啊，它也是垂直于 b、 b 一 d， e、 d 这个平面的啊，那这个题是不就已经证明完啦？

我们这一期来说一说高中数学里很多同学比较头疼的一个点就是空间立体几何和空间向量， 如果你是高一的学生，你只需要把空间立体几何部分看完就可以了，如果你是准高三的学生，建议上下两 期都看完，那么这两模块里面包括哪些知识点呢？首先空间立体几何里面包括了几何体点弦面的位置关系，平行和垂直的证明，而空间向量里面 不仅包括了平行垂直的正比，还包括了夹角跟距离。我们先来看一看第一部分就是空间中的几何体，那么这里面包括了 柱体里面的相关指标，而对于柱体中的侧面积和全面积，我们只需要去记忆值棱柱的相关公式即可，而对于体积来说，棱柱的所有形态都要会，而圆柱其实是在值棱柱的基础上把底面积改成了圆，所以这两个公 是我们对应记忆。同样锥体，关于面积的相关公式，我们只需要去记正棱锥即可，而体积同样不分棱锥的形态， 圆锥也是其实是在正棱锥的基础上把底面改成了圆形，所以公式对应及。再来就是台体，台体的话 公式考察的比较弱，一般情况下会在考试中给出，所以我们对于台体来说只需要会套用公式即可，不需要记忆球体， 球体是考试中非常重要的一个考点，所以我们需要把球体里面的面积体积公式记忆的非常的牢了。接下来就是 空间中的点线面位置关系，其实空间中的点线面位置关系是考试中非常喜欢考察的一个点，但是很多同学并不知道他在说什么，比如说公里一，他其实想说的是 如果一个线和一个面公共点少于两个，那么线就在面外。公里二想说的其实就是如何确定一个面的问题，他给出了一个公里和三个推论。 公里三其实想说的是，如果两个面他的公共点多于一个，那么他的公共点其实就有无数个，那在此基础上， 对于空间中的平行和垂直，其实都包括了线线、线面和面面。这里面给大家总结出来的每一个模块的高频考点，希望大家把每一个模型记清楚。首先线线平行里面包括 以下三个线面，平行里面包括以下两个，而面面平行里面包括以下三个。这里面给大家划出了三个很重要的考试喜欢考的模型，这三个模型都是性质定律得来的，所以大家要知道，对于性质定律 我们其实是可以帮助证明的，同样垂直也是这个样子，垂直里面比较喜欢考察的模型，线线、弦面和面面， 其中很喜欢考察的就是橙色方框里面的两个性质定律，所以大家一定要把性质定律和证明联系起来。 很多同学其实为什么会觉得空间中的立体几何难，是因为我们将三维的几何体拍到了二维的平面中，至使图形变形了，没有办法直观的观察出平行和垂直，所以我们才会觉得空间中几何的方法比较难。 有一种叫做概数的方法告诉我们空间中的平行、垂直、夹角以及距离都是可以计算的。下一期我们就来说一说空间中的项链如何来解决这些问题，记得关注再走。

我们再来看一下第二个问间隙，你要说明一下，就说有一只，就说用水作为 z 轴，是吧？显然是 o a e 作为 z 轴嘛。有一只你说 o a e 是 不是垂直于平面 平面 abc， 它垂直平面 abc 是 不是也是垂直平面 a 一 b 一 c 一 的，是吧？然后并且那些下面也是垂直的嘛，也可以简单写下 o a 也是垂直于 o c 的， 所以说 以 o o a e 为 z 轴， z 轴， o c 为 x 轴这个东西， o a 为 y 轴 间隙，这是已经比较明显的。锤子我就不用证明了，如果他题目当中没告诉你先是锤子的话，你要去证明滴光已经比较明显。如图，间隙 o x， y， z， 如图解析。这个是必须要写啊， x 这个方向为 y， o a， e 的 方向为 z 轴，这就比较看起来比较清晰，是吧？ 那么算些点坐标呢？你看有些点的坐标，我这里点的坐标我就直接写了哈，比较好算到 a 一 点的坐标就是零逗号，零逗号。一 a 点的坐标就是零一零， b 点坐标就是负一零零， c 点坐标就是一零零。把一些该用的点都算上，因为 p 点在 c c e 上动，你看这个怎么写？ 就是令 c p 向量等于那么大倍， c c 一 向量是吧？其中那么大是属于零到一的，如果那么大等于零的话，它就和 c 点重，那么大等于的话就和 c 点重合。 你看可以这样写，由一只它告诉这个面的一个二二面角的一个正弦值，是不是？我是不是可以 算出它这个余弦值？我关心它的一个值就可以了，其实我关心最主要关心它的一个绝对值就可以了。我把这个先把这个说说明一下，因为 c e a b e p 这个二面角的这个正弦值，我们知道是等于三分之根号六，那所所以说 c a e b p 它那个余弦值的绝对值 啊，这些绝对值是不是等于啊？一减三分之根号六的平方嘛？对，一减三分之根号六，这个整体的平方，这是不是等于三分之根号三？我关心它的绝对值就可以了。 下面我集中精力算这个面的一个。呃，这个面加两个面的一个发向量，一个面的发向量不用算。是不是你写下有一只？这刚才其实写过，这里我再写一遍，就是 o a e 向量是 o a e 是 不是垂直于平面 平面 a e c 的？ 所以说 o a e 向量是不是为 平面 a 一 b 一 c 一 法向量是吧？ o a 一 向量很容易表示出来，它就等于零的和零的和一，我算另外一个面的有法向量，这个 p 点在这上面动，是不是 我需要算两条相交相量，我用 a 一 b 相量来表示 a 一 b 相量，注意，因为 b 一 点的坐标不好算。它是不是我用一个平行于 它的一个线段来表示平行且相等的线段来表示，因为相量和位置没关系。 a 一 b 相量是不是就等于 a b 相量？你看这一点特别关键， b 点坐标很难算，我找一个和它相等的项链， a b 项链来替换 a b 项链是不是较好算？因为 a 点 b 点坐标都知道，是不是末点减去十点，这可以快算下，等于负一负一的零。 下面 a p a e p 向量是不是也可以？你看，因为 p 点坐标不知道，并且 c 点坐标也不好算，它是不是我又用个向量的一个加法，等于 a e c 向量加上一个 number c c c 一 向量，是不是 a c 向量找写，因为 c 一 点坐标你不好算，所以说这个地方我又替换找一个和它相等的向量。 c c 一 向量是不是就等于 a a 一 向量？ a a 一 向量。注意方向，不要搞坏了。 这里可以怎么写？ c c 一 a e c 向量是不是等于一？零负一加上一个那么大呗。 零负一一看清楚，这个算出来等于一负那么大，负一加上一个那么大， 表示出来。你看两个相加项链我就表示了射，我可以射平面，后面就是套路哈，就是 a b e p 发项链， 发项链为 n 二项链嘛。 n 二项链可以设为 x 二 y 二 z 二 n 二向量乘一个 a 一 b 一 向量等于零，是不是 n 二向量乘一个 a 一， p 向量也是等于零带进去啊。负 x 二减 y 二等于零，后面就是，嗯， x 二减 numbery 二减 z 二加上 numbery 二，这个等于零，是不是这个你看我另 其中一个等于一，是不是可立马推出这个 x 二等于几啊？代入上面这个数字等于负一啊。 x 二等于负一，代入下面这个数字就是，负一 减去啷门大，减去 z 二加上啷门大呗。 z 等于零，是不是可以快速把 z 二表示反表示出来。 z 二就等于， 是不是啷门大，我看下。把这个移到。呃，把这个移到右边去，除到左边就是啷门大，加上一嘛。除一，然后，嗯，啷门大减一，是不是 这个可以表示出来？所以说 n 二项呢？我就表比我们心比较心宽的表示出来就是负一一那么大，减一那么大，加上个一。我把这个计算过程讲下，因为这个同学们有的计算有问题， 是不是现在我就知道 cosine 加，你看有个 o a 一 向量， o a 一 向量，因为 o a 一 向量就是上面这个面的法向量和 n 二向量，它的 cosine 它的值是不是我就可以表示出来？我加个绝对值，我不管，它再分，因为我建立个等式就可把那么大解出来了。 它的绝对值是不是应该是等于三分之两三的余弦？则绝对值嘛？那么就开始表示呢？就等于 o a 一 向量乘以一个 n 二向量，这个整条绝对值除以 o a 一 向量， n 二向量，绝对值，是不是？那就上面它就等于 这东西我们看，嗯， o a 一 o a 一 a 一 点坐标， o a 一 向量，是不是这个数比较，这是零啊， 是零零一的零零零零一，这个可表示出来，它是上面，其实就等于那么大，减一那么大，加上个一把里面的向量再表示嘛。 o a 一 向量是一个是 零零一的，这两个相乘是吧？前面两个都等于零了这一个，这，这是绝对值。分母的话就是绝对值， o a 一 相当于等于一嘛，后面 n 二的一个一个母长，它就等于负一的平方，就等于一。再加一的平方是不是等于二？ 二加上一个，那么它减一，那么它加上了一，这个整体的平方，这东西等于多少？等于三分之根号三，你看这个计算还挺可行的，那这个有绝对值，有根号这种怎么说？是同时平方下是吧？ 来这个计算，注意这里计算我算半点。那么大减一那么大加上个一，这个整体的平方分子是吧？分母就是变成二，加上一个那么大减一 那么大加上个一，这个整体的平方。三分之杠三的平方，它等于三分之一，这个算那么大等于啥？是不是交叉相乘相等啊？ 这三倍那么大减一那么大加上个一，这个整体的平方是等于二加上一个 那么大减一那么大加上个一的平方。你看这个减那么大，这个减怎么减？先去分母，左右两边同时乘以那么大减一的平方， 它变成三倍那么大加上了一的平方，等于二倍那么大减一的平方，左右同。左右两边同时乘以那么大减一的平方加上一个那么大加上一的平方。我上面到下面部 等号。左右两边同时乘以那么大减一的平方去分母嘛。这个那么大加一的平方合并下，左边就变成拿到左边来，就是 消一个，就是啷门大二倍啷门大加一的平方等于二倍。啷门大减一的平方二再消掉 二，是不是可以消掉？左边再展开就是啷门的平方加上二，啷门大加上一等右边就是啷门大平方减二。啷门大加上个一，是不是啷门大平方也可以消掉一也可以消到走左边，一到左边呢？就是变成一个四。啷门大等于零了， 可推出那么大等于零，你看千辛万苦终于把那么大算出来。那么大等于零代表什么？是不是 p 与 c 与 p 与 c 点重合？ p 与 c 重合是不是满足条件？ 满足条件 ok 了。

我们来讲一下昨天刚刚考完的浙江高数数学的东航一模的立体几何。首先正方体的棱长为一， p 点是 a 一 到一的中点， q 点是 boy 一 到一的中点，其实 q 点也是 a e c e 的 中点，因为底下是个正方形， 底下是正方形的话， a 一 c 一， 还有 b 一 到一是对角线，对角线的交点就是我们的中点。好，它让你求线面角。第一题， p q p q 就是 这个 p 跟 q 和平面，和平面 a 一 boy 一 c 一 到一就是底下这个面 p q 是 这个绿色线，跟着底下这个平面线面角的步骤看一下，右边我已经写出来了，要去找线面角，首先要找到这个线， 就是这个 p q 嘛， p q 就 这个线，看下这个线，它在这个面，这个面 a 一 波一 c 到，也就是这个蓝色这个面内是哪个点，然后在这个蓝色面外是哪个点，所以 p 点应该是这个蓝色面外， q 点在这个蓝色面内。 首先找到这个线在面内的点，还有在面外点， p 点在这个蓝色面外， q 点这个蓝色面内。然后呢，第二步，从面外点就这个 p 点，从这个 p 点干什么？往这个，往这个平面，就是往这个蓝色平面，这个面 a e 圆一 c 一 到一去做垂线，那你要找到是 p 什么东西垂直这个蓝色平面喽，那我们就想到这是个正方体，正方体的话， a a 一 是垂直整个底面的，对吧？那你 p 点是中点，我们利用中位线，你取那个 a 一 到一的中点，比如说一点 取 a 一 到一中点一连接 p 一 连 p 一， 那这个 p 一， 它 p 点是中点，一点是中点， p 一 是中位线，那 p 一 它就会平行于道道一，道道一是垂直于整个底面的，对吧？这个道道一垂直于整个底面，那 p 一 p 一 就垂直于整个底面。那第二步，我们就找到一个面外的 p 点，往这个蓝色平面做垂线，叫做 p 一， 这个一点是垂足。注意啊，这个一点是垂足，一点是垂足。然后第三步，呃，连接面内的那个点，刚刚那个面内点是 q 点，还有垂足，垂足是一点连接 q 点，跟一点 连接 q 一， 这根线叫摄影。然后呢？第四步，摄影和直线所成的角。什么直线？就题目说这个 p q， 题目说 p q， 摄影和题目说这个 p q 所成角就线面角，所以线面角就角 p q e 角 p q 一 角 p q 一 是四十五度，你们发现了吗？因为 p 一 是中位线嘛，是 p 是 倒到一的一半，倒到一是几二，那 p 一 呢？就是幺， p 一 就是幺，然后 q 一 q 一 是这个 a 一 b 一 的一半， a 一 b 一 是二， q 一 呢？ q 一 就是一，然后这就是九十度的，所以这个线面角是四十五度。第一题就搞定了。然后第二题的二面角很简单啊，真的很简单。他说这个二面角倒杠 a e c， 我 拉一下 倒杠 a c， 发现了吗？倒杠 a e c 一， 这个平面还有 a e c 一 到一， a e c 一 到一，这两个平面的公共交线是 a e c。 你 们有没有发现这两个平面是那个等腰就是蓝色平，蓝色两个边相等，绿色两个边相等，那我们要在这两个面内找到 一个线垂交线，蓝色面找一个线垂交线。首先 q 点是中点，那因为因为这个到 a 一 等于到 c 一 q， q 为 a 一 c 一 中点， q 为 a 一 c 一 中点，所以到 q 垂直于 a 一 c 一。 同样的道理， 同样的道理，我们那个绿色边 a 到一是等于到一 c 一 的，然后 q 为 a 一 c 一 中点，所以呢，所以到一 q 垂直于 a 一 c 一， 那二面角的平面角就是谁，所以角到 q 到一是二面，角到杠 a 一 c 杠到一的平面角，然后他要求正切值的话，那你就摊卷 摊卷角到 q 到 q 到一，呃，对边，对边是到到一零边呢？零边是到一 q 道，道一是几？二道一 q 呢？道一 q 是 对角线的一半，这个是二，这个是二。对角线是二倍根号二，二倍根号二的一半就根号二，然后分母由理化，就是，呃，二分之二倍，根号就是根号二，根号二，所以我们这个比值就是根号二。然后第三题，求体积， 个球体只要换顶点哦，首先它这个三角以 q 为顶点，底面是这个 pa 一 到一啊，这个不用换顶点，不用换顶点，那你就要想办法从这个 q 点往这个底面这个 pa 一 到一去做垂线，那怎么办？你取 a 一 到一的一个中点，比如说 h， 取 a 一 到一终点 h， 那 我们 h q， 它是平行于 a 一 b 一 的 a 一 b 一 垂直于左边的平面， 所以 h q 也垂直于左边的平面，那高就是 h q， 因为我们找到这个 q 点往这个平面做垂线了，就是 h q 三分之一底面积，底面积是这个黄色面 a 一 到一高呢？高就这个 h q， 高就这 h q， 然后这个黄色面的面积会算吗？应该还好吧，你这个黄色面面积底是二，高呢？高是一，这个就是二分之一的二乘一 h q 是 几一，然后做出来的答案就是 四二十四分之一，这就是这这三个题目。陷面角的步骤我已经写的很详细了，要再好好想一下，因为陷面角是我们浙江高中数学今年的重点，今年重点立体几何肯定会考陷面角的。

这个视频我来讲讲向量法，求两条直线的夹角。来看这个题。直三楞柱中， b、 b、 e 等于 ab 等于 bc 角， abc 等于九十度， e 是 b b、 e 的 中点， f 是 ab 的 中点。那直线 ef 和 bc、 e 所乘角的余弦值是多少呢？ 要求向量 e、 f 和向量 b、 c、 e 的 夹角的余弦值 就等于像 e、 f 乘向量 b、 c、 e 比上它俩的膜相乘。接着咱可以用坐标来算出它，由于 b、 b、 e 垂直底面，它俩又是垂直的，所以可以像这样间隔坐标系。 接下来把这相等的三条边长度看成二，然后依次标上 e 点、 f 点、 b 点 c， e 点的坐标像 e、 f， 根据末节去出，就是零一一负一相当， b， c、 e 就是 二零二。 两个向量的坐标都搞定了，接着来算它，它两相乘就等于零乘二，加一乘零，再加负一乘二，结果得负二。向量 e、 f 的 摩就等于根号下一的平方加负一的平方得根号二。 相当 b、 c 一 的模就等于根号下二的平方加二的平方得二根号二，所以口算值就是负二分之一。等等两条直线的夹角范围应该是零到二分之派，但余弦值一定为正，所以这个值得写成正的，得二分之一。搞定。 看来求两条异面直线的夹角可以变成求向量的夹角 e， 只要间隙，用向量坐标算就行，不过注意口塞直，得写成正的。 这道题中，三条直线两两垂直，正好建立直角坐标系，但有时候见坐标系会很麻烦，比如这道题底面是边长为一的菱形角， a、 b、 c、 d 等于六十度， p a 垂直底面 a、 b、 c、 d， 并且 p a 等于 e， 那直线 a、 b 和 p d 所乘角的余弦值是多少呢？要求它俩加角的余弦值可以看成向量 a b 和向量 p d。 加角的余弦值就等于向量 a、 b 乘 p d， 再比上它俩的膜相乘， 这回间隙比较麻烦，咱换个办法来算它。先算向量 a b 乘 p d， 看向量 p d， 它可以写成向量 pa 加 a d， 所以 向量 a、 b 乘 p d， 就 等于向量 a、 b 乘向量 pa 加 a b， 也就是向量 ab 乘 pa， 加上向量 ab 乘 ad。 先看这个向量 ab 和 pa 是 垂直的，所以相乘得零。再看这个向量 ab 和 ab 长度都无一，夹角显然是一百二十度， 所以相乘就是一乘一乘口算一百二十度，结果就等于负二分之一。现在相乘算好了，再看这两个魔，看图， a、 b 的 魔显然就是一 p d 的 魔，这两垂直就是根号一加一得根号二， 但入算式中算一算得负四分之根号二，别忘写成正的，所以答案是四分之根号二搞定。 看来要求向量夹角除了用坐标算，还可以把向量分解了来算。以上就是向量法求两条直线的夹角，你可以建立直角坐标系，用坐标来求向量的夹角间隙比较麻烦时，你可以把向量分解来算。 要注意的是，两条直线的夹角范围是零到二分之派，所以口塞值一定是正的，记得关注再走哦！

大家好，我们今天讲一道高二上学期的立体几何题，主要想给大家讲的就是建立直角坐标系的一些要点。 首先呢，我们把这道题读一读，说 p o 是 圆锥的高，然后呢， p o 是 四， 然后 a o b 是 一个扇形儿，扇形儿呢，角 o a 是 二，那么 o b 也是二。底面儿这个 a o b 这个角儿是九十度， c 是 ab 这条弧上的中点。然后第一问，我们要正平面儿 p a b 和平面儿平面儿 p o、 c 是 垂直的， p a b p o c 这两个平面儿是互相垂直的。首先呢，如果我们用高一下学期的知识来证明它书写起来要简单得多， 我们怎么正呢？我们不详细说哈，因为它比较简单啊，只要我们能够正这个 a b 这个条线段是垂直于 p o、 c 这个面的，那么 a b 所在的平面就和这个 a b 所在的平面不是 p a b 吗？它就和这个 p o、 c 是 互相垂直的了。 所以我们根据知识， p o 是 根据条件， p o 是 不是一个那个高吗？所以说来讲， p o 就 垂直于底面的任何一条直线， p o 就 垂直于 ab 了 啊。第一个条件是 p o 垂直于 ab， 然后我们还需要得到一个 p a b 垂直于这个 p o c 中的另一条线段 啊，最好得到的就是那个 o c 了，因为它在一个平面上，你要是来讲去正 a b 和 pc 的 话来讲，你还需要经过平移，不管是把 pc 往这个方向啊平移，还是把 a b 往外面平移，它还需要涉及平移 啊，比较麻烦。如果不需要平移的话，直接选 o c， 那 就比较简单了啊， a b 和 o c 垂直就好了， 那这底面来讲，它不正好是一个九十度的这个等腰直角三角形吗？所以说我们把它这个面单独拿出来，它其实想要正的就是这个东西啊，这是 a b， 这是 o， 然后要和这个 o c 这个垂直 啊，那很显然它不是这个我们初中学的这个圆弧上的一些相关知识吗？它这个不是中点吗？这个平分的 ab 这个弧，那么两面不都是四十五度了吗？ 啊？这块来讲，就你挣个全等也好啊，还是用一些那个就是等腰三角形三线合一的角度来讲，很容易就得到这块垂直了啊，然后我们这个 a b 就 垂直于 o c 了，所以还有个 o c 垂直 ab 两个都符合来讲， ab 就 垂直于这个那个面 p a p o c 了。然后再说 ab 是 在这个 p a b 这个平面里边，所以说这个两个面就垂直了，很简单。 然后你呢？我们再看第二个，第二个来讲，说什么说让你正 p c 和这个面 p a b 这块呢？所成的角的正弦值 啊？当然我们也可以用高一下学期的知识来挣，但是我们现在高二上学期了，所以我们这用这块的知识来去做的话来讲，我们就涉及到一个间隙，那间隙呢？我们就要把这个坐标系找到。 我们首先从基础上来说，你要来间隙必须是这样的一个方向啊，这个是 x， 这个是 y， 这是 z， 没有第二个考虑的方向，你不能像以前来讲，好几年前来讲，我们这个老师可以允许你这面是 x， 这面是 y 还是这面是 z 啊？这这个都不行啊，所以说现在对这一块的细节是有一些的要求的，所以说我们只能这这么样去间隙 一定要注意哈，这是重点哈，一定要这样来间隙。那么在这样间隙的话来讲，我们这块来讲其实也没有太多更好的选择，最好的选择就是往这个方向来做， x 这个方向是 y 啊，这个方向就是 z 的。 然后呢，我们把这里边的坐标表达一下啊， a 点的坐标是二零零啊， b 点坐标是零二零， p 点坐标零零四啊， c 点坐标根号二，根号二点啊， 它里边就出现了这些点啊，对，还有 o 点坐标零零点啊，这总共它就给你五个点，我们就先把这些点都表达出来，然后你要去表达这个 p， 这个这两个乘的假角，那肯定这个直线 p c， 你 得表达出来啊，直线 p c 啊，就是根号二，根号二负四。 然后呢你要表达的什么？就是 ababb 这个面啊，法向量， 那法向量怎么求呢？你要找到这个面里的两条相交直线，嗯，我们可以选这两条相交直线的任意一个啊， p a 也行， p b 也行， ab 也行啊，必须选两个。我们这块选的什么是 ab 啊？就是负二二点， a， p 是 负二零四啊，这样，然后我们就设这个法向量 n、 n 怎么样呢？是 x、 y、 z， 那 然后呢，给它建立出这样的一个向量的这个方方程， n 向量和 ab 向量相乘，乘完了之后呢， 法向量不和这个平面是互相垂直吗？乘完就是等于零了吗？所以说我们带进去，把 x、 y、 z 这个带进去啊，和这个东西都带进去。第一个来讲就是负二， x 减去二， y 等于零， z 是 乘零等， z 和零相乘等于零，那这块呢，是负二， x 减四， z 等于零， 然后我们取什么呢？取这里边的任意一个，比如说取 x 等于多少， y 等于多少， z 等多少，我们为了这块取着取 z 等一吧啊，然后就可以得到。把这个 z 等一带进去， x 就 求出来了， x 带进去外就求出来。这个来这一块哈， z 取取 z 等于一，还是取 x 等于一，还是取 y 等于一来讲不影响， 取谁都行。最后来讲得到的就是一个 n 是 二二啊，就算完了。 然后呢，最后来讲我们怎么样呢？再求这个夹角，塞塞它，塞塞呢？就是 cosine 这个 n 和 pc 啊，这样的一个它俩的这个向量的夹角 啊，嗯， pc 的， 这我们求了啊，然后带进去是 n 乘以 pc， 然后 n 乘以 pc， 把数都带进去，四倍根号二减四啊，六倍根号五，然后经过化简是十五分之二倍，二倍根号十减去二倍根号五。道题就算完了啊，这道题算完了。然后这一块呢， 有一个在求这块的东西，是求这个法向量的话，是有一个好的一个方法。这块介绍一下啊，怎么怎么做呢？就是把 ab 和这个 ap 这个两个向量给它写一下， 负二二零啊，负二二零，下面这写的，下面负二零四和负二零四，然后第一行和最后一行不要了。 这一块呢，都是交叉相乘，交叉相乘怎么样呢？是它乘以它，减去它乘以它。你说举个例子，二乘四减去零乘以零 啊，算完是八，这个呢就是 x 相等，然后这块呢， d 是 零乘以负二 减去负二乘以四，得到的也是八，这就是 y。 第三个啊，负二乘以零，减去负二乘以二 啊，算完了是四，这是 z， 所以 这块的 n 向量呢，就是八八四，跟我们这块算的二二一是一样的 啊，我们可以把它缩小嘛？这个可以扩大嘛？所以这一块来讲就可以往下扩变成二二一，这样的话答案就是一样的。

大家好，这是一个关于立体几何的题目，现在我们看一下，它说有个三楞柱， a、 b、 c a e b c e， 然后这个 a e、 c 垂直于这个平面 a b c， 然后这个角 a、 c b 呢？然后等于九十度，然后这里有两问了，第一问是证明这个平面 a c c 一 a 一 垂直于平面 b b e c e c， 然后第二位呢，他给了这个 ab 等于 a 一 b a 一 b， 然后又给出这个 a 一 a a 一 的长度是二，然后让你求这个四楞锥 a 一 b b 一 c 一 c 的 这个高。 现在我们把这个已知条件跟这个题目要求啊，一条条列一下，然后这个已知条件里面，他说这个三楞柱刚才我们已经说过了，然后这第一个条件呢，就说这个，呃， a a 一 平行于 b b 一 c 平行于 c c 一， 这个是什么意思呢？这个是三楞柱的这个本身的这个一个性质，然后同时这个 ab 又平行于 a 一 b 一 ac 平行于 a 一 c 一 bc 平行于这个 b 一 c 一， 这也是一个三楞柱的这个性质。 然后这个四边形 a c c 一 a 一 b b 一 c 一 c 都是平行四边形，然后第二个已知条件呢，说这个 a e c 啊，垂直于平面 abc， 然后记这个直线 a e、 c 垂直于这个底面，实际上就是。然后这第三个呢，他又给了这个 a c、 b 等于九十度，这个，然后实际上就是相当于 a c 垂直于 bc， 然后这个第四个这个已知条件呢，就是说这第二万里面的额外给出来的一个就是 ab 等于 a e b， 然后且 a a e 等于二。 题目要求啊，他证明这两个平面互相垂直，然后一般这个判定啊，就是如果平面内有一条直线垂直于另一个平面的话，则这两平面垂直，这是我们来证明这个题目用的这个定力， 所以说我们就可以尝试在这个平面 b、 b、 c、 c、 e， a e 里面找一条直线，比如说这个 b c， c e， a e。 就 可以了。 然后第二问呢，他是求这个四楞锥的这个高，然后实际上就是求这个 a e 啊，到这个底面 b， b、 e、 c， e， c 的 这个距离， 然后我们这也可以用这个第一问这个结果了。这个第一问里面这两平面如果垂直的话，所以说我这个点到这个平面的这个垂线可以落到另一个落在另一垂直平面内，实际上就是我们把这个空间问题转化成为平面问题了。 现在第一问这个证明两平面垂直。刚才我们已经说了，我们是用的这个定力的，然后具体怎么证明啊？我这里写的很详细了，我们就不赘述了。同学们，点暂停，然后一二三四，然后一共四步，一步步看一下 关于这个第二问，他说求这个四棱锥的这个高啊，然后我们也是一步一步来啊，首先第一步，然后把这个复杂问题啊，我们拆成这个一步一步的这种简单问题，这样的话就好解。 然后第一步，首先我们把跟这个高啊转化成为点到直线的距离，就是刚才我们说的把这个空间问题转化成为这个平面问题， 这具体怎么来转化？同学们，点暂停，然后一步步看一下，然后我这里写的很详细了，实际上我们做出来这个这个高啊， a、 e、 h 垂直于这个 c c 一 就可以了。 然后这个第二步呢，这是由这个 a b 等于 a、 e、 b 啊，然后推出来这个 a c 等于 a、 e、 c， 这个具体怎么推的同学们也看一下，然后那个我这里写的很详细。 然后这个第三步呢，我们就是通过这个 a 一 a 一 等于二，然后求出来这个 a c 就 可以了，然后最后求出来这个 a c 啊，然后是等于这个根号二，所以呢这个 a、 e、 c 呢？也等于根号二。 然后第四步，在这个平面 a、 c、 c 一 a 一 里面求这个 a 一 到 c c 的 这个距离，也就是刚才我们说的那个 a e、 h 嘞， 然后最后可以求出来 a 一 h 等于一，这样的话，这四棱锥的高我们就求出来了。最后结果是一 这个题目这个核心知识点是什么呢？就是这个面面垂直的这个判定，然后这是求第一问，然后第二问呢，实际上面面垂直时，如果点到这个平面的距离，可以转化成为点到交线的距离，这样的话相当于把这个空间问题转化成为这个平面问题，就大大会降低这个难度。 这就是刚才我说的两个平面垂直时，如果想求这个点到其中一个平面的距离，可以把它转化成为这个平面问题，就是点到这个两平面交线的距离了。