立体几何求余弦答题模板
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00:51查看AI文稿AI文稿好，那么这个立体几何的二面角的一个计算方法要求他的正选指南。我们这里用到了一个向量法，高中立体几何非常重要的一个核心方法， 那用项链法求二面角的一个正弦值或者余弦值。首先我们要求出这两个面所对应的法项量，对吧？这第一步法项量求出来之后呢，我们第二步才是进行一个计算，套用余弦的一个限量公式， 对吧？然后我们求出来余分之后呢，我们可以把它转换成我们想要的这个正弦值就可以了。好，这个题呢就是关于一题结合的一个向量法的一个计算。
41晓数教育邓老师
11:42查看AI文稿AI文稿hello 大家，今天我们详细讲解这道椭圆的解答题。先解决第一问，已知椭圆的左焦点为 f， 右顶点为 a， 我 们画出椭圆 左焦点右顶点标出来， f 的 坐标就为负 c， 逗号零。 a 点的坐标为 a， 逗号零。再往下看， b 为直线 x 等于 a 上的一点， p f 的 斜率为三分之一。我们画出这条直线 x 等于 a， 标出 p 点连接 p f， p f 的 斜率等于三分之一，直线 p f 的 斜率就等于它的起斜角的正切值，所以 tan 角 p f， a 就 等于三分之一。 在直角三角形 p f， a 中摊进它角， p f a 又等于线段 p a 的 长度比上 af 的 长度，所以 p a 就 等于三分之一的 af， 等于三分之一倍的 a 加 c。 再往下看，三角形 p f， a 的 面积为二分之三，三角形的底为 af， 高为 ap。 根据面积公式， 三角形 p f， a 的 面积就等于二分之一。乘以 af 乘以 pa 就等于二分之一。乘以 a 加 c， 再乘以三分之一倍的 a 加 c 等于二分之三。两边同时乘以六，得出 a 加 c 的 平方就等于九。因为 a 和 c 都是正数， 所以 a 加 c 的 和为三。题目中又说，椭圆的离心率等于二分之一，离心率等于 a 分 之 c 等于二分之一。 结合上面的 a 加 c 等于三，所以我们可以得出 a 就 等于二， c 就 等于一。 根据椭圆中 a 方等于 b 方加 c 方的关系，可得 b 方就等于 a 方，减 c 方就等于三。所以椭圆的方程为 四分之 x 方加上三分之外方等于一。 再看第二问，已知过点 p 的 直线与椭圆有唯一公共点 b 点异于点 a。 先确定 p 点的具体坐标，由一知， p 点的坐标是 a， 逗号三分之， a 加 c， a 等于二， c 等于一，所以 p 点的坐标是二，逗号一。 若直线斜率不存在， 直线的方程为 x 等于二，与椭圆的交点就是 a 点 不符合题意，所以舍去， 所以直线的斜率存在。设过点 p 的 直线 为 y 减一等于 k 倍的 x 减二，再连立直线于椭圆的方程。 化简过程咱们写到草稿纸上，先把椭圆的方程两边同时乘以十二，得出三 x 方，加上四倍的外方等于十二减十二就等于零。 将直线代入椭圆的方程，得出三 x 方，加上四倍的 k， x 减二， k 加一的平方减十二等于零。 这里需要用到三个数和的完全平方公式。 a 加 b 加 c 的 平方就等于 a 方加 b 方加 c 方加上二 a， c 再加上二倍的 bc。 将上面的这个式子展开，得到三 x 方，加上四倍的 k 方， x 方加上四 k 方加一减去四 k 方， x 加上二 k， x 减去四 k 减去十二等于零。合并同类项，按高次到低次整理，可以得出，三加四 k 方倍的 x 方，加上 八 k 减去十六 k 方倍的 x 加上十六 k 方，减去十六 k 减去八等于零。 x 的 系数和常数项可以再提取一个八，得出 三加四 k 方倍的 x 方，加上八倍的 k 减二 k 方， x 加上八倍的二 k 方减二 k 减一等于零。因为直线与椭圆只有一个公共点， 所以连立之后的这个一元二次方程的判别式达尔塔应该等于零，达尔塔就等于 b 方减四 a c， 也就是八倍的 k 减二 k 方 的平方减去四倍的三，加四 k 方，再乘以八倍的二 k 方，减去二 k 减一等于零。 我们再将化简过程写到草稿纸上。八的平方是六十四 k 减二 k 方的平方是 k 方，加上四 k 的 四次，减去四 k 的 三次 减去四乘八。三十二倍的六 k 方减去六 k 减三加上八 k 的 四次方，减去八 k 的 三次方，减去四 k 方 等于零。两边同时约掉三十二，展开，得出二 k 的 平方加上八倍 k 的 四次方，减去八倍 k 的 三次方。减去六 k 方，加上六 k 加上三 减去八倍 k 的 四次方，加上八倍 k 的 三次方，加上四 k 的 平方等于零。 八倍 k 的 四次减去八倍 k 的 四次减去八倍 k 的 三，三次加上八倍 k 的 三次。二 k 方加四 k 方，再减去六 k 方都约掉，最终只剩下六 k 加三等于零。 解得 k 等于负二分之一。 将 k 等于负二分之一代入连利之后的这个方程，得出 四 x 方减去八， x 加四等于零。再同时除以四，得出 x 方减去二， x 加一等于零。解这个方程可以得出 x 等于一，这个就是 b 点的横坐标。 再将 k 等于负二分之一带入直线，得出 y 就 等于负的二分之一。 x 加二，将 x 等于一带入直线，可以得出 b 点的总坐标是二分之三，所以 b 点的坐标为一到二分之三。 我们在图中画出 b 点连接 b p b f， 要证 p f 平分角 a f b， 只需证角 b f p 等于角 p f a。 我们的思路是求出这两角的余弦值来判断两角相等。先把相关点的坐标写出来， f 的 坐标是负一逗零 a 的 坐标是二逗零 p 的 坐标是二逗号一。 我们可以用两点的距离公式来计算， p f 的 长度就等于根号下三的平方，加上一的平方等于根号十， a f 等于三。在直角三角形 p f a 中， cosine 角 p f a 就 等于邻边 a f 比上斜边 p f 等于三，比根号时等于十分之三倍根号时，再计算角 b f p 的 余弦值。 角 b f p 又可以看作向量 f b 与 f p 的 夹角。向量 f b 的 坐标为 二，逗号二分之三，向量 f p 的 坐标为三逗号一。所以 cosine 角 b f p 就 等于向量 f b 与 f p 夹角的余弦就等于 f b。 向量点成 f p。 向量再除以两个向量的周长， 等于六，加二分之三，比上根号下二的平方，加上二分之三的平方，乘以根号十，等于二分之十五，比上二分之五乘以根号十。 最终也是等于十分之三倍根号时，因为 cosine 角 p f a 等于 cosine 角 b f p。 角 p f a。 角 b f p 属于零到二分之派，所以角 p f a 等于角 b f p， 即 p f 平分角 a f b。 这道题就完成了，下次再见。拜拜。
67有趣的数学🧮
03:20查看AI文稿AI文稿意面直线加角题是不是你立题几合理的平移噩梦？常规解法得把直线挪来挪去，画辅助线勾三角形，还得防着画错角，画到最后辅助线能把图和成抽象画，算错了还得全推翻重搞。但空间余弦定理一出手，直接读题出答案。 这个大招专门解决意面直线夹角的计算题型，根本不用平移，不用画辅助线，只要把意面直线关联的四条边长算出来，往公式里一套鱼弦值直接蹦出来，连角度长啥样都不用管。 这节我们继续立体几何与空间向量的秒杀技巧学习。第六个技巧是利用空间余弦定里了解夹角问题，那这里的夹角通常是指我们意面直线之间的夹角，那关于二面角的夹角问题，我们前面已经学过了，那这一节主要是学习意面夹角之间的问题， 那他的一个计算公式呢？就是口算引尔法等于后面这么一个魔长绝对值，然后再比上我们的魔长二倍， 那它的记忆呢？很简单，它的推导是由于向量之间的一个加和关系推导出来的，那它的记忆的话，我们可以把它 a、 c 和 b、 d 看为一组，那它的上半部分是一组平方，减去另一组平方。由于是绝对值，谁在前谁在后不影响，那我们就先一一对应 ab 的 平方， 然后是 c、 d 的 平方是一组，然后去减去另外一组，那就是我们的 ad 的 平方和我们的 b、 c 的 平方，那最后再比上我们二倍， a c 的 膜乘以 b、 d 的 膜即可。 说我们来求解这么一道例题，那他说我们的角度关系也是有两个六十度，这是一个三棱柱，而且底边边长和侧棱长都相等，那我们就令底边边长和侧棱长记，我们的 a、 a、 e 等于我们的 a、 e、 c、 e 等于一，那这样我们就可以得到它的六十度的这条 对角线就是根号三，同样 a、 b 一 依旧是根号三，但有些就可能就是想当然的以为 b、 c 一 依旧，它的模长等于根号三。那关于 b、 c 一 长度的求解呢？我们通常这里的话没有绝对的关于这个面的角度关系，我们就利用向量的一个加和去算它的模长， 那最终结果的话是根号二，那可以知道这个是一个正方形，而不是一个乘其他角度的菱形。 那我们接下来就是利用我们要求解的 a、 b 一 和 b、 c 一 所乘的夹角，那我们令它的夹角为 r 法，那 cosine r 法就可以等于上面是两两一组平方，再相减另外一组，那我们第一组应该是 a b 模的平方，加上我们 b 一， c 一 模的平方，减去我们 a、 c 一 模的平方，再减去我们 b、 b 一 模的平方的绝对值，再比上我们二倍。 a、 b、 e 的 模乘以 b、 c、 e 的 模，那这里的话它的值都是明了的，那带上去，上面等于二，下面的话是二倍。 a、 b、 e 等于根号三， 那 b、 c 一 这里的求解放在旁边，它等于根号二，那所以最终答案就是六分之根号六。当然这个的话，对于这类的三棱柱，它的另外一边是一个正方体，也可以作为一个二级结论进行使用。
199高考数学--笑笑学姐
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10:12查看AI文稿AI文稿灵感数学，欢迎来到灵感数学，今天我们继续来讲立体几何当中的项链方法。之前跟大家讲了一面直线所乘的角，包括 直线跟平面所成的角还有点到面的一个距离，那这个视频我来讲一下二面角的一个求法。 先来简单的说一下二面角，一个定义二面角，它是由两个半平面所组成的，比如说这边这个阿法跟贝塔这两个半平面，他们就会有一条公共的一条边，然后 那么垂直公共边这条腰的话，这个还有这边再经过这么一个顶点，这样子得出来，这个呢就称出来叫二面角了。那么二面角 其实简单的说就类似于我们平时翻书的时候一样，那我们翻书的过程当中就会有一条折痕， 那么书呢就会有两面，那两面呢所围成那个角呢？就叫我们的二面角，所以说二面角的一个范围是从零度到一百八十度的。 那么如果说用项链的方法去处理二面角的话，我们可以认为就是说这边的 ab 如果说是跟 l 垂直的 cd 呢，也是跟着 l 垂直的话，那分别从这两个面当中找两个项链穿， 那么 ab 项链跟 cd 项链所成的那个角呢，也就是他的一个二面角。但很多时候呢求二面角呢，我们通常是通过面的一个法项量去处理，比如说 图二，包括图三，假如说这两个法项量，他们如果说所在的直线是在同一个面的话，我们这边是对应的垂足，这边也是垂足，如果我们把这个连到这边来，再连到这边二面角呢，显然就指这么一个角，往用一个腮来表示的话， 那这个时候因为这边是垂直的，反向亮这边是垂直的，那如果把这两个项链所在的直线在延伸出去的话，我们就会发现就是说这两个反向亮所成的角，我现在不看这个方向的话，有可能是在这个角， 当然有可能是外面这个角，我们不妨就说把这两个项链锁成的角呢，我们称之为是一个西塔，不管是这个角还是这 个角，如果说这个角跟这边的二面角的话，他们就是互补的关系，假如说是这边这个角呢，他们就相等关系，不管是互补还是相等呢，他们的一个绝对只是相等的，也就是说会有这么一个关系是就是 二面角的一个余弦值的一个绝对值，是会等于两个法项量所成角的一个余弦值的绝对值的。然后我们根据这边法项量我们就得出来这一组公式， 因为二面角有可能是锐角，有可能是钝角，当他是一个锐角之后，他对应的这个勾三人他是会大于零的，如果说他是一个钝角的话，那么扣三人这个值呢？他是会小于零。所以说我们在求解这个二面角这个与弦子之后，我们还得去 判断那个奥面角到底是瑞奥面角还是盾奥面角。那关于这个的话，就需要我们根据图形去看，或者说去想象，当然有时候是比较难想象时候，我就建议同学们就以桌面就看成是他图形的一些底面， 然后呢用我们两个手掌呢就看着是两个半平面，然后我们大概比划一下，当比较难想象出来的时候，我们大概用两个手去比划一下，其实差不多是能判断出来他是一个锐角还是一个钝角的。好，我们通过具体的题目来讲解一下， 我们来看一下一七年全国一卷的一个高考题，智能追 p a b cd 当中 ab 平行 cd， 并且 b a p 等于 cdp 等于九十度，人说这里会是一个垂直的，那边也是一个垂直的关系。第一位让我们证明这个平面 p a b 垂直这个平面 p a d 面面垂直呢，一般是转换到线面垂直去处理的， 那这里面根据所给的条件，包括这个图形，应该是很容易看得出来，就是想办法去正 ab 式垂直那个面 p a d 就可以了。好，那根据题目一个条件已经有一个 b a 是为垂直那个 p a 了， 另外一个条件，这边垂直肯定也是能用上，所以这边的 cd 跟 ab 是平行，也就是说再由这里的 cd 垂直那个 pd， 还有一个 ab 呢，又是平行 cd， 所以我们又得出来，就是说 ab 呢，也是为锤子那个 pd 的好。有这两个条件我自然就会得出来， ab 是为锤子那个面 pad 有了线面垂直呢，就会有一个面面垂直了，详细过程留给同学们去完成。接着我们继续来看第二遍， p a 等于 pd 等于 ab 等于 dc， 也是说这条边，这条边还有这条边，这条边是相等的， 刚才已经说了，这一条跟这样平行，如果说在相等的话，那么他就是一个平式边形， 再加上刚才有了 ab 垂直这个面 pad， 这样垂直个面，他肯定也是会垂直这个 ad 的，所以说这里面 ab 垂直 a ad， 然后呢这一条又跟这条平行且相等，那就说明这个底面 abcd 呢，就是一个矩形，现在要求这个二面角 apbc 的一个余弦值。那关于这里呢，我们要建立一个坐标，细算 建立坐标器的话，那可以以低点作为一个坐标原点，当然了，因为根据这个批点所在位置，我们也是可以说经过这个批点往这边去做一条垂线下来， 往这边做一条垂线垂足，就用 o 来表示，因为这一条边跟这条边是相等的，所以说这个点就是 a d 一个中点，那接下来建立坐标系呢？我们就这样去建立这么一个坐标线，那这边这个点我们不妨就射的是一个一点好，这样子 建立一个坐标系，需要我们特别注意的是，说解的过程当中要去说明 o e 是垂直 a d， 然后还要去说明一个，就很关键就是 p o 是要垂直那个面 a b c d 的， 必须要把这个说明出来，因为不说明的话，我们是不能说以这个 op 作为一个已塞轴的， 因为刚才已有了 ab 垂直这个面，所以他肯定垂直了一条，那 pu 呢，又是垂直这里 ad 的，所以 pu 就会垂直底面。先要说明这部分，如果不说明直接间隙的话，肯定是要被扣分的， 那接下来呢，根据这边的相等，我们就不妨就设这些边为一，这边为一，这边一，这边一，又因为这边是一个垂直，这个用上的话，这边是 一个直角，直角的话，那么 ad 就会等于根号啊， ad 等于二，所以说对应的这里的每一个点的坐标，我们都是可以把它标出来，接着就求发项链， 修完法项亮之后呢，就接着用那个公式去处理就可以了。好，我们来看一下他的一个参考答案。 第一问我就不讲了，我们来看一下第二问，第二问。这里面先要说明 p f、 p f， 就刚才我们讲那个 f， 刚才我是用 o 来表示，先要说明这一部分， 那接下来呢，我们就说以 f a 还有呢 f 一还有 f p 分别为 f 轴， y 轴以下轴。那这里面我认为他写这个东西还不够严谨，最好我们就写上以 f a， f 一还有 fp， 分别为 x 轴， y 轴以下轴建立。如图所示，空间直角坐标性设这个长度为等于一。 好，那接下来就是描点，描完点之后就把对应的一个项链写出来。注意这里面因为有一个边是公共边，就 pb 是那二面角公共边，所以我们找项链求二面角的时候，我们只需要三个就够了，当然到这里写四个， 我建议同学们就直接写三个项链就够了，因为 pb 是可以公众的，如果去写这项链，我就直接写一个 p a 还有呢 pb 还有 pc 这三个项链出来就可以了。根据 p a 跟 pb 这两个项链呢，我们 是可以直接就有 p a b 的一个法项量出来，那根据 pb 跟 pc 呢，又得出另外一个法项量出来，就没必要写出四个项链出来了。好，接下来呢就是求法项量，而法项量分别求完出来之后呢， 我们接下来就算出这两个法项量的一个余弦值出来。算完出来之后，最后我们要去判断这个二面角到底是锐角还是钝角， 所有人加上这一句话有图可知，或者说因为这个二面角是个钝角，所以说二面角的余弦之就是一个负的值。 这个详细的一个计算过程呢，我还是希望同学们能自己去完成一遍，因为这部分其实讲起来是比较简单的，但自己算可能就会出现很多问题， 只要你算的多，做的多，从做题当中总结出适合自己的那种计算方法，那其实针对这种类型的题目，我们还是可以做的很快的。
107灵感数学
04:16查看AI文稿AI文稿这个视频我们来介绍一下二零零四年中学生联赛的二十平面几何题目。先来看题目，如图，锐角三角形 abc 中角 a 分 别做外接圆的切线 b、 d、 c、 f， 使得 b、 d 等于 c， f 等于 bc， 其中角 a 不是 六十度，这个条件保证了 d 不 会和 f 重合。然后他又说了 a、 b、 a、 c 的 延长线与 d、 f 直线分别交于 g、 h、 c、 g、 b、 d 交于点 m， b、 h、 c、 f 交于点 n。 让我们证明 ab 等于 ac。 接着我们来分析一下，目标是让我们证明这两条边相等，那么有以下几种思路，一、把 a、 m、 a、 n 放在两个三角形里面，通过全等相似等方法来证明。 二、把 a、 m、 a、 n 放在两个容易求边角的三角形中，用于弦定理计算。三、利用坐标复数的代数方法计算出 a、 m 等于 a、 n。 其中思路三有理论上的可能，实际计算起来较为困难。到底用哪一个思路呢？我们观察一下图形来看三角形 abm， 其中角 mba 是 弦切角，它等于弦所对应的圆周角， 也就是这一段弧对的角是 c 的 补角，而 a、 b、 c 的 三边长就可以设成小写的 a、 b、 c 三个角的余弦可以用于弦定理表示，这样 abm 中就有一边 ab 和一角 mba 已知同样的 a、 n 可以 借助三角形 acn 计算， 因此我们选择思路二，那么就需要把 b、 m 表示出来。我们再看图形，可以猜测 b、 c 与 d、 f 有 平行关系，那么 b、 m 比 md 就 等于 bc 比 f、 d， 于是我们需要把 bc 与 f、 d 平行证明出来。这里我来演示一下， 这个平行关系是不变的，那么我们来着手开始证明。 先证明平行关系，由 b、 d、 c、 f 是 切线设，它们相交于一点 k， 则 k、 b 等于 k、 c， 而 b、 d 等于 bc， 把它们作比，就得到 bc 与 df 平行。 接着我们考虑 b、 c 和 d、 f， 看看能不能放在两个相似三角形中。那么就看角 a、 b、 c 等于角 g， 这是一组同位角，而角 g、 d、 b 等于角 d、 b、 c， 这是内错角，角 d、 b、 c 又是衔接角 加的弧， bc 所对的角又是角 a， 所以 角 g、 d、 b 等于角 a。 这样我们就得到了 a、 bc 和 d、 g、 b 相似。不过很不巧， bc 和 d、 g 不是 相似对应边，那我们把对应边的比例写出来， 这样 d、 g 长是 a， c 除以 b， b、 m 也能算出来是 ab， 除以括号 b 加 c。 那 么在 abm 中， ab 是 c， b， m 是 ab， 除以括号 b 加 c， abm 的 余弦，我们把它写出来 是角 a、 c、 b 的 余弦，再加一个符号，然后 a、 m 平方写出来是这个样子的，我们把它化简，得到一个关于 b、 c 的 对称式。由于计算 a、 n 平方也用同样的方法算出来是一样的， 这样就证明了 a、 m、 a、 n 相等这道题目。我们先分析图形的特点，选择了鱼弦定里这一方法，顺利计算出了 a、 m 和 a、 n 相等这个视频就到这里，谢谢您的观看。
04:46查看AI文稿AI文稿好，大家好，今天呢给大家讲一道例题几何的小题。 做这种题，一般呢我们就画一个具体的图形，例如正方体啊，长方体啊，呃，我们在说这些问题的时候会更好一点，把一个具抽象的问题具体画。 首先我们假定这个右边这个面是 alpha 底边这一个底面，这一个面呢是 beta， 那 么它的交线就是 l， 就是 这一条。 好，那首先呢，他说阿法内，阿法内右边这个面，阿法内的直线 b 垂直于这个贝塔内的这个直线，例如举个例子是这一条，这条 b b 跟 l 是 平行的，所以 b 是 跟这个 beta 是 平行，所以呢，它不一定啊。好，那首先呢，这里面 alpha 内的已知的直线，已知的直线 b 垂直于 beta 的 无数条，它只是无数条，不是任意， 所以说已知直线。你举个例子说这个 alpha 内，那么是，假如是这一条 就是这条，那么这条我们知道这一条呢？假如这条是 c， c 是 垂直于右边这个面的，也就是垂直于这个 alpha 的， 然后呢，这里面的一个这一条，这一条角对角线呢？是这个面阿法里面，所以这两条直线会互相垂直，那么跟他互相垂直有很多条，例如说只要跟 c 平行，这些所有的线都可以，所以他是允许存在的， 那么他说 alpha 内的任何一条 b 垂直于，那么说错了，应该是，呃，这个与那个 a 呢，有点相似，有点相似， 对不对？可以，假如说找一个 b， b 是 被 alpha 里面的，那么它会被，它不一定是垂直于这个贝塔，反而是平行。 好，然后他说过这个 alpha 内的任何一点， alpha 内的任何一点做与 l 的 垂线，其实我们可以找什么呢？其实我可以过这个点，然后做一条线，假如这一条线是 r d， 这个点呢，确实是在 alpha 内的，然后做了一条过这个点，假如这个点 a a a 在 alpha 内，然后这条 d 的 线，这条线呢，跟这里的 l 是 垂直的，也就是 d 是 垂直 l 的， 且呢这个点 a 呢，是落在面 alpha 的， 但我们可以推出的是这个 d 啊， 确实会跟这个面这个贝塔是平行，不一定垂直，所以这个 d 呢，也就错了。那怎样才会垂直呢？根据我们这个面面的这个 垂直的一个性质定理来说，它是这样的，假如是阿法，这是贝塔，这个是 a 了，我们一定要是过这个点，过这个交线的其中一个任何一个点，然后在阿法内做一条线，垂直于 这个 l， 也就相当于说我在这个 a o 呢，是一定要垂直 l 的， 然后 a o 呢，是落在面 alpha 的 啊，然后这一个两个面已经是垂直了的，然后这两个面的交线是贝塔，那满足这个特征呢？我们确实能够得出 a o 呢，就垂直于面贝塔， 但是呢，对于这个 d 选项来说，就缺少了这条直线到底有没有在这个 alpha 内，也就相当于说 它这个虽然其中有一个点是在这个 alpha 内，但是它并没有说向这个 l 做垂线，所以就不一定好。今天呢，我们就讲到这里。
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