山东潍坊初二的数学下册改版了吗

哈喽大家，八下的新教材我已经拿到了，然后呢我们今天呢来看一下新版教材与老版教材的一个区别，一个对比。 首先呢我们来看一下目录，这是新版教材的目录，四边形，平行四边形以及特殊的平行四边形，这一个与原版改动不大，特殊的平行四边形里面重点考虑矩形、菱形和正方形等，下面二次根式函数， 依次函数以及图形的平移与旋转。最后一张是我们的数据分析，这是老原课本八上的内容，把八上的内容放到这里边来了，但是他多加了一节四分位线与相，四分位数与相线图，一会我会带大家看一下。 这边呢是老版教材，老版教材你看也是平行四边形，同样特殊的平行四边形，这个地方也是考察的是学习的菱形、矩形和正方形， 那么我们的七八张原课本的七八张，现在呢已经放到了八上的学习里面，八上我们已经学过了，然后接下来也是二次根式依次函数图形的平移与旋转，那么这个依次函数里面呢？他的老课本是图像，你看和依次函数是综合 放到一张里面，但是我们的新课本已经把函数拆成了两张，第十张和第十一张函数放到了第十一张。老课本与新课本图形的平移与旋转是没有变动，没有改动的，那么我们来看一下我们新增加的这个四分位数与相线图，这是我们的新增添的指示，是原先老课本里面没有的。 其实各位家长通过我们教材的一个改动呢，也能明确把握的我们的一个重点，在我们八下的学习里面呢，也是尤其重要的。我们都知道初二其实就是分水岭，在我们八下的学习里面重点要掌握四边形的几何图形的一个考察，再一个就是二次根式的一个计算， 尤其尤其重要的就是我们的一次函数也会为我们后来要学习的函数，包括二次函数、反比例函数做一个铺垫。

欢迎大家来到鲁教版五四至七下数学的同步精品课堂，我是咱们的课程主讲老师逍遥子。今天呢，咱们一起来学习第七章二元一次方程组的第一节，认识二元一次方程组。关于本节课呢，有如下四个学习目标，咱们一起来看一下。第一个， 掌握二元一次方程的概念哎，会判断一个方程是否是二元一次方程。第二个，掌握二元一次方程组的概念，会判断一个方程组是否是二元一次方程组。 第三个，理解二元一次方程和二元一次方程组的解。前三课呢，是咱们本节课的哎，重点其实也是咱们 常考的一些考点哎。第四个，会列简单的二元一次方程，解决实际问题。对于第四个问题，随着咱们课程学习的深入，还会有专门的章节来学习二元一次方程的实际应用，咱们本节课呢啊，仅要求会列简单的二元一次方程组就可以了。 好的，那么咱们首先来探讨什么是二元一次方程的概念，那么咱们首先来看一下课本上的定义是如何来叙述的， 他是这么说的，含有两个未知数哎，并且含有未知数的项的次数都是一， 这样的方程叫做二元一次方程，那从字面意思来理解，它包含了两个大的限定条件对不对？那么第一个限定条件就是要含有两个未知数哎，这个比较容易理解，是吧？那么第二个大的限制条件是 哎，对含有未知数的项做了限定，那么含有未知数的项他有什么限定条件呢？那么含有未知数的项他的次数都是一，哎，这样两个大的限定条件，满足这样的方程，咱们就叫做二元一次方程，哎，例如下面这四个方程， 哎，大家可以观察一下，咱们不难发现，这四个方程呢，哎，都是含有两个未知数，那第一个条件都非常容易满足，对吧？那么第二个限制条件，含有未知数的项的次数都是一。咱们以最后一个方程，五 x 加三 y 等于三十四为例来介绍一下， 比如五 x 加三 y 等于三十四，哎，这个方程它首先含有两个未知数，是吧？一个是 x， 一个 y， 哎，这是第一个限制条件，没有任何问题，对吧？ 那么第二个限制条件，含有未知数的项，它的次数都是一。那么咱们首先就要找到含有未知数的项，对不对？然后再来看这一项的次数， 那么对这个方程来讲，含有未知数的项一共就是两项，对不对？其中一项是五 x， 另外一项是三 y， 那 么咱们来看五 x 这一项它的次数，那怎么来看呢？那五 x 明显是一个单项式，对不对？那么单项式的次数， 那怎么着啊？所有字母的指数和对不对？那它只有一个字母 x， 而且它的指数是一，所以这一项的次数就是一。那么三 y 也是一个单项式，它的次数也是一，哎，所以它就满足了第二个限制条件， 含有未知数的项，哎，这一项的次数呢，都是一，哎。所以你首先要找到含有未知数的项是哪些项，再来判断这些项的次数是否都是一。好了，同学们，那么通过这个概念，咱们对二元一次方程的定义，哎，有了一个基本的了解， 那么如何通过这个定义来判断一个方程是否是二元一次方程呢？下面咱们再来做进一步的归纳总结，哎，应对考试当中常见的一些考题， 因为考试当中啊，并不像老师刚才介绍的那么简单，哎，那么明了，那么一目了然，对吧？考试的过程中，他会出现各种变化条件，让你来判断一个方程是否是二元一次方程，那咱们一起再来更深的归纳总结一下。 判断一个方程是二元一次方程，化简后呢，必须满足三个条件，哪三个条件呢？咱们一起来看一下。第一个只含有两个未知数，哎， 其实也比较容易理解，但是呢，这里面它有两层含义，那第一层含义它是什么呢？那只含有两个未知数，那就不能含有一个未知数，也不能含有三个和三个以上的未知数，这是它的第一层含义，对吧？ 哎，当你判断一个方程，哎，它里面只含有一个未知数，那它肯定不是二元一次方程。如果它里面含三个和三个以上的未知数，那它肯定也不是二元一次方程，哎，这是它的第一层含义。那它的第二层含义是什么呢？ 那即然只含有两个未知数，那么当你化简以后，哎，就剩下了这两个未知数，那就一定要要求这两个未知数前面的系数不能为零，哎，这是它的第二层含义。 好的，再看第二个限定条件，含有未知数的项，哎，次数都是一，含有未知数的项的次数都是一， 哎，这里需要注意的是，他指的是项的次数，而不是某个未知数的次数。咱咱们举个简单的例子，例如这个方程吧，那么大家来看 他是否是一个二元一次方程呢？咱们先来看前两个条件啊，那只含有两个未知数没有问题，那在这个方程当中，他只含有两个未知数，一个是 x， 一个是 y， 对 不对啊？哎，第一个条件是满足的，那第二个条件是否满足呢？ 含有未知数的项的次数都是一。那么咱们首先要找到含有未知数的项，那含有未知数的项有几项？那明显有两项，其中一项是 x 乘以 y， 另外一项是二 x， 对 不对？那对 x 乘以 y 这一项， 它是一个单项式，那么单项式的次数指的是所有字母的指数和，那么 x 这个字母，它的指数是一， y 这个字母它的指数是一，那所有字母的指数和自然就是二次，对不对？那另外一项就是二 x， 那 么二 x 这一项，它的次数是一，非常容易来判断，对吧？哎，那么到这咱们就忽然发现 这个方程当中含有未知数的项 x y 这一项，它的次数是一，非常容易来判断，对吧？哎，那么到这咱们就忽然发现这个方程当中含有未知数的项 x、 y 这一了，而是二，对不对？哎，你看人家要求的是什么？ 含有未知数的项的次数都是一。就是说但凡含有未知数的项，但凡含有未知数的项，它的次数都必须是一。 而含有 x y 的 这一项，它的次数是二，对不对？它是一个单项四，单项四的次数指的是所有字母的指数和它是二次的。所以对于这个，你乍一看啊，含有两个未知数，哎， x， 这是一， y 这也是一，这个 x 也是一，那它是否是二元一次方程呢？那它明显不是，对吧？因为它不满足含有未知数的项的次数都是一，对吧？也就是下面咱注意当中提到的，哎，注意，是项的次数，而不是指某个未知数的次数，它指的是 项的次数是否都满足是一，对不对？哎，含有未知数的这些项 次数都是一的时候，嗯，那才满足条件，所以这个方程自然不是二元一次方程。好的，这是第二个限定条件。那么第三个限定条件指的是什么呢？其实它隐藏在含有未知数的项的次数都是一这里边， 哎，只不过咱单独把它拿出来做一个介绍，让同学们哎，更明确的用来判断。第三个限定条件是， 方程中的代数式都是整式。也就是说，哎，方程中等号左侧的代数式和等号右侧的代数式都必须是整式，都必须是整式。那咱们在六年级的时候学过整式包括什么？单项式和多项式，对吧？ 那言外之意，哎，就是未知数它不能出现在根号下，也不能出现在指数上，哎， 对不对？比如说，方程当中你出现了 x， 分 之一 i 位置数出现在了分母上。比如说，方程当中出现了根号 x， x 出现在了根号下。再比如说，方程中出现了三的 x 次方， x 出现了指数上，那这些通通都不是二元一次方程。因为咱们要求方程中的代数式都是整式， 但是对于咱们常考的哎，一般是会考这个，哎，是否会出现在分母上？哎，你一旦看到未知数出现在了分母上，那他一定不是二元一次方程。 好的同学们，为了检验大家哎，对二元一次方程这个概念的理解程度，咱们一起来做一道练习，来巩固一下。 好的判断下列方程哪些是二元一次方程，哪些不是？为什么？好，咱们首先来看第一个， x 加三， y 减九等于零， 那这里面含有 x， 含有 y， 那 含有两个未知数，那就满足了第一个限定条件。那第二个限定条件，含有未知数的项的次数都是一，那含有未知数的项一共是两项，一个是 x， 那 这一项的次数是一， 另外一项是三 y， 那 这一项的次数也是一，所以第二个限制条件也满足。那第三个限制条件，方程中的代数式都是等式，那明显的是，哎，左侧是一个多项式，哎，右侧是一个数字零，哎，他是一个单项式，对不对啊？单独的一个数或者字母也是单项式，所以等号左右两侧 都是整数，所以第一个它就是二元一次方程，它满足三个限制条件。那再来看第二个，三 x 方减二， y 加十二等于零，那首先来看第一个限制条件，含有两个未知数，哎，那是否满足呢？ 哎，这有 x， 这有 y， 确实是含有两个未知数，一个 x， 一个 y， 但是再来看第二个条件，含有未知数的项，它的次数是否都是一，那么咱们首先来看它含有哪些项呢？哎，含有未知数的项，那第一个就是三 x 方，那么三 x 方这一项怎么着？ 他的次数就已经是二次了，所以他不满足，对不对啊？哎，二负二 y 这一项啊，他的次数是一不假，但是三 x 方这一项，他的次数是二，所以他就不满足第二个限制条件，就不用再往下看了。那再来看第三个，哎，和第二个其实类似，虽然都含有两个未知数 x 和 y， 但是含有未知数的项， x 立方这一项，哎，他的次数是三次的，所以不满足，哎。要求含有未知数的项，他的次数都是一这个条件，所以三也不是。再来看第四个，哎，那这个就非常明显，老师一再强调过， 方程中的代数式必须是整式，无论是等号左侧的，还是等号右侧的。而言外之意，未知数不能出现在根号下，不能出现在指数上，而这出现在了分母上，所以 他不是正式方程左侧的这个代数不是正式，那自然也不是二元一次方程。好的，再来看第五个， a 等于二分之 b 减一，那咱们把它化简一下，其实就是 a 等于二分之 b 减二分之一，对吧？那到这咱们看， 它含有两个未知数，一个 a， 一个 b， 对 不对啊？啊？含有未知数的项，其中一项是 a， 那 这一项的次数明显是一，另外一项是二分之 b， 这一项的次数也是一，哎，方程中的代数式都是整式，左侧是 a， 哎，是个单项式，左侧二分之 b 减二分之一，是一个多项式，所以左右两侧都是整式，所以它满足二元一次方程的三个条件。再来看第六个， 二， x 加十等于零，哎，那首先他第一个条件都不满足，因为他只含有一个未知数 x， 对 不对？咱们要求他是含有两个未知数，对不对啊？所以六不是。 再来看七， y 等于二， x 加一，那么还有两个未知数，一个 y， 一个 x， 那 么含有未知数的项，其中一项是 y， 另外一项是二 x， 那 么这两项的次数都是一，哎，所以满足第二个条件， 那么等号左右两侧都是整，四也满足第三个条件，所以七没有问题。四，二元一次方程。再来看八 x y 加上 x 加三， y 等于二十。那首先来看第一个限制条件，哎，方程中确实只含有 x y 这两个未知数，对吧？就两个未知数，一个是 x， 一个是 y， 哎，第一个条件满足，那第二个条件是否满足呢？含有未知数的项，它的次数是否都是一呢？ 咱们来看含有未知数的项一共有几项？一共有三项对不对？其中一项是 x y， 另外一项是 x， 哎，最后一项是三 y， 哎，这是含有未知数的三项，对不对？那么这三项当中来看，第一项，哎，第一项是 x 乘以 y， 那 么 这一项的次数是几啊？是二，对不对？他是一个单项四，单项四的次数取决于所有字母的指数和，那明显是二次，那到这你就能判定他不满足第二个限制条件，对不对啊？第二个限制条件说的是含有未知数的项的次数都是一，而这出现了 这一项的次数出现了二次，所以他不是二元一次方程，哎，所以综合以上，咱们就能得到哪些是二元一次方程呢？哎，一五七是二元一次方程，其他的不是，对吧？哎，至于不是的原因，在这咱们一个一个的都进行了分析，对吧？ 好的同学们，那通过这道例题，我相信同学们对二元一次方程的判断已经做到心中有数，应该遇到类似的问题就能轻松的解决掉，对吧？ 好的，那咱们再来探讨另外一个问题，什么问题呢？二元一次方程组的概念，咱们首先还是来看书本上的定义，书本上是怎么说的呢？ 哎，共含有两个未知数的，两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组。那在这里面咱们分析一下它的限制条件或者是关键词对不对？那第一个限制条件就是 共含有两个位置数在这，注意关键字共含有，就是一共含有两个位置数。哎，那怎么着呢？哎，两个一次方程所组成的一组方程 叫做二元一次方程组。那咱们首先来看个小例子，好吧？哎，例如 x 加 y 等于八，哎，是一个方程，然后五 x 加三， y 等于三十四，也是一个方程，这时候在左侧用一个大括号把它们连立起来， 哎，就组成了一个方程组，就组成了一个方程组。咱们首先要知道方程组是什么概念，对吧？哎，你看这是一个方程，下面又是一个方程，左侧用一个大括号把它们连立起来，就组成了一个方程组，对吧？那什么样的方程组它才是二元一次方程组呢？就是刚才 定义中提到的两个条件，共含有两个未知数，这是第一个条件，咱们来看看是不是满足呢？哎，那么这 两个方程当中并不是要求每一个方程都含有两个未知数哈，是要求这两个方程当中一共含有两个未知数就可以了。那么这两个方程当中是不是 一共只含有 x 和 y 这两个未知数啊，哎，这是满足的。那再来看第二个条件，要有两个一次方程，那什么是一次方程呢？哎，在这老师给同学们解释一下，他有两层含义，一层含义是 含有未知数的项的次数都是一，这和咱们二元一次方程里那个限制条件是一样的啊，含有未知数的项的次数都是一，那第二个限制条件是什么？ 而方程中的代数式都是整式，哎，所以与咱二元一次方程当中的第三个限制条件也是一样的，对吧？哎，这就是一次方程它的含义。好的，那通过刚才的介绍，咱们来判断下一个方程组是否是二元一次方程组呢？那咱们一起来看 他是否满足第一个条件，共含有两个未知数。那么来看，第一个方程当中确实含了两个未知数，那第二个方程当中，哎，他就含了一个未知数，但是他 人家要求的是啥啊？共含有两个未知数，他只是要求你这个方程组当中，哎，只要一共含有两个未知数就可以，那明显他满足，对吧？ 哎，虽然下面这个方程它只含有一个未知数，但是上面这个方程它含有两个未知数，这两个综合起来，那它一共还是含有两个未知数，所以它满足第一个限制条件，一共含有两个未知数，哎，那再看一看，它所含的两个方程是否是一次方程呢？ 哎，那么大家来看，含有未知数的项的次数都是一，哎，这一项的次数是一，这一项的次数是一，没有问题。那这一项的次数也是一，也没有问题。满足含有未知数的项的次数都是一 和二元一次方程当中的那个要求是一样的。那第三个方程中的代数式都是整式，那么 x 加二 y 是 一个多项式，那它是整式三， x 是 一个单项式，那也是整式，那数字一和数字四更不用说了，对吧？所以它完全满足二元一次方程组的，哎，这个定义 这里需要提示的大家，它一共含有两个未知数，一共含有就可以了。好的，那么如何利用二元一次方程组的定义来判断一个方程组是否是二元一次方程组呢？咱们再来做进一步的汇总总结，以便同学们考试或者做练习的时候能更好更快的把它解决掉。 咱们一起来归纳一下，判断一个方程组四、二元一次方程组化简后必须满足以下条件，哪些条件呢？哎，那么第一个大的条件刚才咱们已经介绍过了， 共含有两个未知数是吧？那么共含有两个未知数是什么意思呢？哎，它的意思就是组成方程组中的各个方程， 哎，不必都含有两个未知数，只要一共含有两个未知数即可，对吧？就像咱们刚才举到的那道例题是吧，他第一个方程当中含有两个未知数，第二个方程当中只含有三 x 那 一项只含有一个未知数， 但是这个方程组总的来说他仍然是含有两个未知数，对不对啊？所以他要求的是组成方程组的各个方程不必都含有两个未知数即可。哎，这是第一个条件，希望大家能理解。 那么第二个限制条件是只含有两个一次方程，那两个一次方程是什么意思呢？一次方程是什么意思呢？就是含有未知数的项的次数都是一。哎，先看看这些方程当中找出来含有未知数的项，再来看含有未知数的这些项，它的次数是否是一，和咱们二元一次方程当中的 判断方法是一样的。另外一个要求就是方程中的代数式都是整式，哎，这就是第二个限制条件，只含有两个一次方程的意思。所以，哎，如果你只看课本， 你判断二元一次方程组的时候，仍然会有一定的障碍。但是经过这样的归答和总结以后，相信同学们对判断二元一次方程组应该信手拈来，不信的话，咱们做一道练习试一试。 哎，下列方程组是二元一次方程组的是哪一个？哎，那么咱们首先来看 a 共含有两个未知数，没有问题哎， x、 y 两个未知数，对吧？ 那么第二个限制条件，含有未知数的项的次数都是一。那咱来看看。哎，这个方程当中含有未知数的项是 x 乘以 y， 那 么 x 乘以 y， 它的次数是几啊？ 它是一个单项式，那么这一项的次数是二，所以它就不满足，怎么着，含有未知数的项的次数都是一，这个限制条件是不是啊？所以它不是二元一次方程组。 再来看 b 含有两个未知数，哎，第一个限制条件是满足的哎，只含有 x 和 y， 对 吧？第二个限制条件， 含有未知数的项的次数都是一。那么咱们把含有未知数的项通通找出来，第一项二分之 x， 次数是一。第二项负二分之 y， 次数是一。第三项 x 次数是一。第四项 y 次数是一，所以第二个他也满足， 是吧？含有未知数的项的次数都是一。第三个方程当中的代数式都是整式，那没有任何问题。第一个方程左侧是一个多项式，第二个方程左侧也是一个多项式，那右侧都是数字，一也没有问题，所以方程中的所有代数式都是整式，哎！说方程中的代数式，指的是 对每一个方程来讲，哎，等号左侧的代数式，他要是整式，哎，等号右侧的代数式也要是整式，哎，就是这个意思啊，可以减数为方程中的代数式都是整式，所以这三个限制条件 b 都满足，所以他是二元一次方程组。再来看 c， x 加 z 等于一， x 加 y 等于明显出现了 x、 y、 z、 i 三个未知数，那出现了三个未知数，自然不满足第一个条件，是吧？共含有两个未知数，所以它不是二元一次方程，它都含三个未知数了，是吧？再来看 d， 第一个限制条件只含有两个未知数， x、 y 没有毛病，是吧？第二个 怎么着？含有未知数的项的次数都是一，那大家来看第一项 x， 它的次数是一。第二项，哎，这一项它的次数 y， y 这一项也是一。而对 x 分 之一这一项，哎，它的次数是几啊？哎，大家说了， 它根本就不是正数，对不对？哎！首先不满足第三个限制条件，那么正确的答案应该选择 b， 正确的答案应该选择 b。 好的，同学们，那么研究过二元一次方程和二元一次方程组的概念之后，咱们再来探求二元一次方程和二元一次方程组的解，哎，那么有了概念做铺垫以后，对于解来说，那就相当的容易。那什么是二元一次方程的解呢？非常简单， 使一个二元一次方程左右两边的值相等的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解，一个解。 那么读这句话呢，可能有点绕嘴，咱们稍微把它简化一下。怎么来简化呢？哎，是一个二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值，哎，这样能简单一点，是吧？把这个 圈一圈，哎，可能有这俩字读着就稍微有点绕嘴，如果把它圈起来，把它略掉，哎， 使一个二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 哎，这里面为什么会出现一组？那大家再想一下，咱们都是二元一次方程了，这里面还有两个未知数，一个 x， 一个 y， 哎，所以，哎，这未知数是成组出现的，是不是成组出现的， 哎， x 等于多少， y 等于多少，他们俩共同决定了这个二元一次方程的解是不是所以是一组未知数的值。那咱们通过一个具体的例子，让大家更好的理解什么是二元一次方程的解， 比如这有一个二元一次方程， x 加 y 等于八，哎，这么一个二元次方程，那么咱们不难发现， x 等于六， y 等于二，带入这个方程的话，那么左侧就等于八，对不对？那右侧人家明确已经给的是八，所以就是 二元一次方程左右两边的值相等了，对不对？所以它就满足了二元一次方程解的定义，哎，使一个二元一次方程左右两边的值相等的一组未知数的值，那这一组未知数的值是不是 x 等于六， y 等于二啊？所以这一组未知数的值， 咱们就记住， x 等于六， y 等于二，左侧用大括号把它连立起来，就叫做二元一次方程的一个解，一个解， 所以这句话是绕嘴，但是相信同学们理解起来都非常容易。那什么是二元一次方程的一个解？那就是 x 要寻找的一个值， y 要寻找的一个值，是不是寻找完以后，能使这个二元一次方程左右两边相等，那这一组 x， y 的 值，那就是二元一次方程的一个解，对不对？那么大家 不难发现， x 等于六， y 等于二，是它的一个解。那老师来问，如果 x 等于一， y 等于七，哎，是不是也是它的一个解一个解啊？那没有问题，对吧？一加七等于八，所以 x 等于一， y 等于七，哎，也是这个二元一次方程的一个解，那有的同学又好说了，那么 x 等于二， y 等于六， 哎，那它也等于八，它也是二元一次方程的一个解，哎，这是四的整数，哎，那，那如果说是 x 等负一， y 等九，是不是也是八呀？哎，那么说一说， x 等于负一， y 等九，他也是二元一次方程的一个解，哎，这都是正整数啊，负整数，那咱们还可以试小数，对不对？比如 x 等于零点一，哎， y 等于七点九，那他是不是加起来也等于八，所以 x 等于零点一， y 等于七点九，也是二元一次方程的一个解。那老师写了这么多，想要表达什么意思呢？那就是下面这句话， 一般情况下，一个二元一次方程，他有无数个解，无数个解，对吧？就像上面的举着的这个例子，老师刚才写的这么多，他通通都是 x， y 等于八这个二元一次方程的解，所以一般情况下，一个二元一次方程，他有无数个解， 那什么时候才有有限个解呢？哎，一般是对未知数的取值附加某些限制条件，那么他才有可能出现有数有数个解。 那么什么时候出现什么样的限制条件呢？那么咱们常见的是，比如让你求 x 加 y 等于八这个二元一次方程的正整数解，哎，正整数解什么意思？那就是说 x 和 y 的 取值都必须是正整数， 哎，那这样是不是就对 x y 的 取值附加了限制条件啊？那就就是这句话的意思，哎，如果让你求 x 加 y 等于八这个二元一次方程的 所有的正整数解，那么它解起来，可能它的解就只有有限个解，有限个解。咱们最常见的限制条件是 x， y 的 取值都是正整数，或者说 x， y 的 取值都是负整数，或者说 x、 y 的 取值都是自然数。这是咱们在考察的题目当中最常见的三种限制条件，最常见的三种条件以第一种正整数，哎，出现的居多，出现的居多。后面咱们会讲到啊，类似的题目， 好的，那咱们现在来利用二元一次方程的解做一道小的练习，咱们一起来看，若 x 等于负二， y 等于三四方程， x 减开 y 等于的解，则开的值为多少？那么非常简单，这道题直接是考察二元一次方程的 解的定义是不是？那么 x 等于负二， y 等于三，是它的解，那么咱们只需要把 x 等于负二， y 等于负三，带入这个方程，那这个方程的左右两边就应该相等，对不对？只需要带入这个方程就可以了，那咱们把它带进去得到什么呢？ x 是 负二， 哎， y 是 三，那自然是减三 k 对 不对？把 y 换成三，把 x 换成负二，负二减三， k 等于一，是不是啊？ 那么咱们就得到了三 k 等于负三，所以 k 等于负一，非常简单的一道题啊，所以 k 的 值为负一。 好，那么接下来有了二元一次方程解的概念，咱们来看二元一次方程组的解是怎么回事？ 咱们来看书本上的定义，二元一次方程组中，哎，各个方程的公共解，那么二元一次方程组中有几个方程啊？那当然就是有两个方程了，他还说各个方程 其实就是二元一次方程组中两个方程的公共解，两个方程的公共解，因为这两个方程对每一个方程来讲，它可能都有无数个解，在这无数个解当中，总有一个解是重合的，总有一个解是重合的，也就是说他们的公共解， 这个公共解呢，就叫做二元一次方程组的解。咱们来看看具体的例子，例如刚才老师讲到的这个例题， x 加 y 等于三十四这个方程组，那么咱们来看 有这么一个解， x 等于五， y 等于三，哎，当 x 等于五， y 等于三，那么代入 x 加 y 等于八，这个方程它是成立的，对不对？那么代入下面这个方程，五 x 加三， y 等于三十四，咱们代一下， 五五二十五，三三得九，一加也是三十四也成立，所以 x 等于五， y 等于三，哎，是这两个方程的公共解，是这两个方程的公共解，那么 x 等于五， y 等于三，就是这个方程组的解，就是这个方程组的解。哎，方程组的解和二元一次方程的解 写法都是一样的，都是用左侧大括号括起来，右侧把 x 和 y 的 值分别写上，分别写上，也就是这种哎表述形式。所以二元一次方程组的解也是理解起来非常容易的，对吧？ 那么关于二元一次方程组的解，他的具体的解的情况是什么样子的？那么咱们一起来看一下。一般情况下，二元一次方程组的解是唯一的，哎，也就是说他们的这个公共解一般情况下是唯一的，但是有的方程组可能有无数个解，也可能无解，咱们 本节课呢？哎，不研究解的具体情况哎，只是让你给出一个解，让你来判断这个解是否是二元一次方程组的解，咱们只研究这种情况，本节课至于如何解这个二元一次方程，解这个二元一次方程，它到底是有 无数个解，还是有唯一的解，还是有还是没有解？那咱们以后讲解的时候再做具体介绍，本节课在这不做介绍啊。 好的，下面咱们来做一道例题，来检验一组数到底是否是二元一次方程组的一个解。那用什么方法呢？自然是用代入法，对吧？ 哎，他给了一组解，咱们就把这组解带进去，看他是否满足二元一次方程组就可以了，对不对？哎，例如 方程组 x 加 y 等于十二， x 加 y 等于十六，它的解是什么？那么咱们一起来看一下 abcd 到底哪一组是它的解啊？ 首先来看 a， x 等于六， y 等于四，咱把它带进去， x 等于六， y 等于四，一带等于十，满足第一个方程，那没有问题。再来看第二个方程是否满足呢？ x 等于六二，六于十二， y 呢？等于四，哎，确实等于十六，那么 a 它就是这个二元一次方程组的解，为什么？因为它是这两个方程的公共解，同时能满足这两个方程，所以 a 就 没有问题了。那么这道题自然选择 a， 哎，剩下的 b， c、 d 就 排除了。那么咱们再用 b 来做一下介绍，为什么他不是，好吧，那么 x 等于五， y 等于六，咱们现在来说 b 啊，那么五加六等于十一，那明显不满足这个方程，因为人家要求的是 x 加 y 等于十，所以 b 自然不是，对吧？ c、 d 都是类似的情况，老师在这不作虚数了，所以正确的答案选择 a 非常简单，用代入法来判断一组数是否是二元一次方程组的解。

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又收到一本他们家的快递了。这回啊，是二六春季新品预习，初二下册。说是呢，同步新版课本 有二十一天预习规划，让我看看到底有多好。先看语文，每周前六天啊，都是三件事，读课，文理知识做练习，学的是必考知识，练的是必考题型。难题啊，就看视频讲解，哪里不会就扫哪里，专业老师带着孩子快速抓重点。数学和英语呢，也是同 样的关键。现在套装价七五折，还送四件赠品和二十一天全程办学，家里有初二学生的千万别错过。

八年级的分水岭哈，就在下学期，但凡是不提前去预习的同学，都会在新学期开始吃闷亏。但是下学期的教材呢，他又改版了，你千万不要傻傻的去借课本去预习了，有规划的妈妈早就给孩子准备好了这本，预备初二下学期，他呢，是十一月份刚刚出版的 完全同步改版后的新教材，你看，像数学新增的四边形及多边形数据的四类分数、一次函数， 英语新增的跨文化交际、过去进行时语文的字词古诗词阅读答题模板，物理的历学加强功率等，这些哈，都是新初二下学期的重点，他帮你制定好了三周的预习计划，每一天学什么练什么都安排的明明白白的。 语文读课文，练字词，做练习。数学和物理呢，每天去学习三个知识点，接着呢，做练习，有基础练习提升，练中考真题，练英语呢，学音标，学单词，学语法，不懂的你可以直接去扫码看视频讲解， 就不怕孩子学不会，每天按照这个计划去打卡，不到一个小时就能完成，轻松没有压力。那新的学期哈，你就是班里的天花板，赶紧给孩子去准备一套，寒假利用起来，加油！

请周家长注意，二零二六年中考改革方案落地，现初二学生及家长重点关注此次改革，分数录取时代开启。总分六百三十分，语文、数学、英语各一百二十分，物理、化学合并一百二十分，道法八十分，体育七十分 按总分排名录取。复科方面，历史、地理、生物只公布等级，报考公办高中需打底等级以上民办无限制。具体的各科分数划分表放在视频的最后， 关键信息如下，适用限初二学生道法违访自主命题，其余八科山东统一命题，初二期末进行 what 考试，初三可补考，各高中特长生占比百分之十五。 建议家长和学生调整学习节奏，主科冲高分，副科宝等级，为中考做足准备，需要的话我可帮忙整理备考规划表。

等到放寒假再来买这套预备初二下册！孩子啊，可就跟不上进度了，更没有新华书店的官方优惠了！预备初二下册，二六春季全新升级，同步下学期新改版教材，带有寒假二十一天预习规划。而且呢，还直接把 课文原文搬过来了！每天三个小任务，先读课文，再理知识，背记重点字词，学习课文结构，学一个必考的阅读答题方 方法。然后呢，做练习，背练结合，效率更高，还能免费扫码看讲解，寒假做到高效预习一套三本现代新华书店官方活动价七五折，还送超多学习资源，千万别错过！

今年新版的课堂笔记来了，寒假预习直接用它。你看，拿英语来说，八年级下册英语大改版，难度增加，它增加了跨国文化交流板块，还增加了很多高中的词汇教材，里面没有音标和汉语翻译，基础不好的孩子真的很难看得懂，也很难上课听得懂。 你看，这里面每一课的重要考点，也都给孩子写的清清楚楚。一个好的预习笔记，首先重点突出，清晰明了，一定要有单元知识的梳理，它还有预习方法，怎样去预习，再要有对应的练习。整体来看，今年最好的课堂笔记就属它了，你看它，每个单元都有单元预览， 本节课重点单词、短语、句型和语法都在这里了，遇见不会的，扫码还能听音频，外教老师去纠正你的发音。 课本的内容一比一还原教材内容，重点、难点、易错点以及考点都有单独的批注，特别的详细， 和我们教材上要求的重点能够完全吻合。课后题不仅有答案的精讲解，还告诉孩子怎样应该去思考这类题不理解的地方。他有同步的视频课，相当于直接把一个老师请到家里当家教了。课后细题都是链接的，中考真题， 哪些是长考内容也都有标注。拿到一篇新文章，我们应该怎样去预习？语数英这三科咱家长完全就不用担心了，寒假就用它轻松搞定。寒假的预习，开学之后，孩子就是班里的佼佼者。左下角七年级、八年级都有。

八年级下册大改版，难度进一步提升，预习切记不要买课本，课本上光秃秃的，什么都没有。可以看一下这本课堂笔记，跟课本完全同步，包含课本原文，逐字逐句做翻译，课上老师讲的单词和语法都有重难点批注看不懂，还有免费的视频课， 就连听力音频也是有的。你看这课本后面 reading plus 单词表全部都有，并且单词表还带有批注拓展，用来预习非常好用。快给孩子准备一本吧， 不要补课，不需要大量的刷题，咱们就把这个给落实了，那么您的孩子在班上就是这个，不要给他太大压力，你就做好这四件事， 就能超过百分之八十的同学，也不用贪多，一天用不到一个小时。第一个就是把下学期的语文一百三十九个必考字，九篇必会的古诗文拿下， 再把这十二个阅读答题模板积累下来，那语文我们肯定能稳扎稳打，名列前茅。第二件事情就是数学，下个学期才是正式开启，初中的难度水平，一定要提前做好预习，你就让孩子把这二十九个必考点吃透，实在是想不明白的，咱就去看视频讲解， 每天花二十分钟学完咱就去练，轻轻松松拿捏数学的考点，还有题型，考试高分不在话下。第三就是英语，把每天要背的单词，要学的语法全都给你规划好了，还用思维导图都给你规划整理好了，扫码，它还有专业的外教代读和听写，能够让咱孩子的听说读写全面开花。第四就是物理， 每天只需要干三件事，先扫码，跟名师学知识点，再过典型例题，学解析方法，最后做练习，进行学练结合，巩固所学知识。线下几千块的补课班，其实教的就是这些， 跟着计划走，学习起来很方便，根本不用家长操心，寒假只需要拿出十四天，每天完成这三件事，孩子没有压力，轻轻松松就能建立起主课优势，下个学期直接秒变班级学霸，让所有的人刮目相看！

家里有初二学生的家长请注意了，二零二六新版北师大八下数学教材改版，可不仅仅是换了个封面， 而是从知识、逻辑、考点侧重题型设计，全维度更新。不少孩子开学后会出现听课跟不上、做题卡壳的现象， 今天王老师就用五分钟帮你拆透新旧教材的核心差异，找准寒假预习的关键点。第一个核心变化，几何模块逻辑重构 证明的规范性成重点了。这点呢，是紧扣二零二二版义务教学数学课程标准中能规范书写证明过程， 表达论证的过程与结果，这个明确的要求。老板的第一章三角形的证明中，一上来就讲等腰三角形， 而新版教材第一章是讲的三角形内角和定理，并且配有非常标准的例题，书写过程 四不规范，他为什么要这样设计呢？这样设计的目的是把三角形内角和定力前置，先建立证明的逻辑框架，再展开具体图形进行学习，完全贴合课标发展核心素养的导向， 并且给到我们一个信号，就像这个过程，已知求证、证明结论。这个四部的书写非常的重要，在后续第六章平行四边形章节，也需要统一沿用这个证明模板，让规范的书写升级为核心能力。 这可是开学月考的高频考点，也是孩子们最容易丢分的地方。第二个核心变化，代数板块整合重组、弱化计算、强化应用。老板把分式拆成乘除、加减、分式方程三个小节， 知识割裂感比较强。而新版呢，它是按照概念运算应用这个逻辑串联起来的， 他删除了比较复杂的分式化简技巧，而新增了很多生活建模专题，例题的含概面很广，包括消费优惠、工程效率、行程问题等等等等， 非常贴合我们新课标强化知识应用的要求，也能精准的匹配学习和考试的命题趋势。 其实呢，这个是相当于增加了难度的，因为老版的教材他有些脱离生活应用，而新版的教材呢，增加了与生活的联系， 还有不等式与一次函数结合的这些题型，都新增了生活情境，实用性更强。第三个核心变化，就是新增了隐形的难点， 数学思想成为提分的关键，老板每张结尾只是简单的提一嘴，数学方法一笔带过。而新版的每张都增设有反思与拓展这一块内容，明确要掌握三个核心方法， 转化、分类讨论以及类比探究。比如说，在平行四边形章节，用三角形拼接平行四边形的探究题，就能够帮孩子理解几何转化逻辑。 这些内容看似不考之点，实则才是拉开孩子分数差距的关键。这类数学思想单单靠自学很难抓住精髓。但是呢，虽然新教材的调整增加了难度，但更是逆袭的机会。 王老师呢，针对新版教材设计了寒假深度预习内容，十八节直播课，精准对标新老教材的变化内容， 按照新版逻辑拆解核心模块，重点训练孩子几何证明题的规范性以及代数建模这些新考点。并且每节课课后都会提供针对性的练习， 孩子练习完之后，王老师还会逐一批改加反馈，争取让孩子们在寒假都会学有所获，彻底的听懂练透！ 想领取新版教材、课程安排以及试听名额的家长，请在评论区扣预习，我会发你详细的课程安排。好期待在这个寒假与各位同学在课堂上相见！

对不起，我们来晚了！寒假预备初二下册正式上新了！点头像进新华书店官方直播间领取优惠吧！手快的爸爸已经给孩子准备好了这套一本的预备初二下册，语数英三科二十一天打卡！每天预习什么，练习什么都规划好了， 孩子一天一个小时就能完成。比如语文，每天三个小任务，先学常考字词和课文结构，再学一个阅读答题模板，最后做下过关检测，扫码可看每天一节的名师讲解课，把请家教的钱都省了！现在下单还送开学考试卷，开学前练一遍，开学就像复习一样轻松！快去直播间看看吧！

这是二六版八年级下册的初中数学专项培优全书，包括了计算题高效训练以及综合题高效练习两个部分。它题型梳理全面，选择题优质、典型聚焦的都是八年级下册的重难点， 每个小节的题量也非常丰富，借助对同一类题型的专项强化，有助同学们逐个吃透各个题型考点， 循序渐进，提升答题能力。每个小节的例题也配有视频讲解，方便同学们进行自主学习练习的详细解析。单独成册，非常优质的一本资料，特别适合基础不错的同学用来进行同步的培优拔高。

改版后的下册的专项 pdf 啊已经出版了，内容上呢，我们保留了原有的一些经典的专项，初二下册增加了图形的极致问题的四个小专项，增加了一次函数的综合内容，其中呢，一次函数的内容呢，和初三的二次函数的综合内容呢，有着密切的联系。 大家做好这部分内容呢，除了能够突破初二的数学难点以外，还会为初三的二次函数的学习啊积蓄力量。初一下增加了平面直角坐标系中的综合内容，这一部分的综合内容呢，是为了初二的一次函数和初三的二次函数和反比例函数做关键内容的一些铺垫。 数学难点的突破啊，从来不是遇到这个难点的时候再去突破，更有效的方式呢，是要厚积而薄发。 大家在做专项培优的时候啊，可能开始会觉得有一些困难，但是如果我们能够坚持一个专项一个专项的研究好，研究透，你逐步会发现自己的数学能力有了质的飞跃。 临渊羡鱼，不如退而解网，新的学期，新的开始，让专项培优助你登上数学的山顶。