2026北京初三数学考试几何压轴题
二零二六年北京中考的几何综合，这道题的难度非常的大，它比我们近几年考试的难度都大，说句不好听的，它比二零一九年的北京几何的难度还要大，首先呢不好想，其次呢容易出现图形上的误判，我们一起来看一下这道题。 首先呢，我们可以把这个角度给猜出来，这个呢是比较好做的，所以说几宗这道题大部分的学生是能拿到四分的，这是第一个，我们来看一下条件啊，他告诉我们 ab 等于 ac， 这是一个等腰三角形， 然后 b， a、 c 这个角度等于阿尔法点， d 是 a c 的 中点，然后呢，做了一条垂直，有一个垂直平分线，所以这个垂直平分线呀，是很容易误导学生，或者说很容易让学生重视这样的一个条件，导致自己的思路出现一些其他方向的一个偏转。然后告诉我们这两个角是三十度，这两个角是三十度， 所以这道题我们能拿到的特殊的条件就是这里面有一个垂直平分线，然后这边有两个三十度的角，它是一个角平分线。那如果说让我们去做这道题，那我们什么都想不到的情况下，我们能做到哪些事情呢？又如何去证明出这个角度是等于六十度呢？对吧？那我想去证明，六十度我要么放在三十、六十、九十的这样一个直角三角形， 我要么放在一个等边。所以在这道题当中，我们首先要想到的是什么呢？他应该是放在三十、六十、九十的这样一个三角形，如果放在这样的一个三角形当中，那首先我在这里面去想，可能要通过这条边在此处呢做一个小垂直，我们假设这一点是 p， 在这样的一个情况下，我就能得到这个角，它一定是六度，没问题吧？各位，这是我们的一个思考，那也就是说，我接下来只要证明这个角和这个角相等，那我这道题就结束了，那我怎么去证明这样的两个角是相等的呢？ 所以这道题它的难点就在这。那我们再来看一下，还有哪个条件是比较特殊的，我们能用的呢？还有一个三十度和三十度的一个角平分线， 这里我们可以通过这里面呢做一个对称全等，通过这里做一个对称全等，大家可以看一下，假如这个点是 q， 呃，我们在上面呢，截取这个 b q 等于这个 b m， 你 就能得到三角形 m， b， a 就 全等于三角形 q b a， 这是一个对称全等，这个对称全等啊，很多学生拿到了可能能想到的东西依旧不多， 此时大家需要关注一件事情啊，我现在呢，红色的全懂出来了，我不知道该怎么用。然后呢，我还做了一个蓝色的图，这个蓝色图能给我们带来什么东西？ 我们知道的是这个是垂直平分线，所以 a d 他 是不是等于二分之一倍的 ab 的？ 同理，我们又在一个三十六是九十度的这样一个直角三角当中，那么 ap 是 不是也等于二分之一倍的 ab 的？ 所以在这样的一个条件下，我们会发现这一个三角形 和这个三角形它也是全等的，对吧？第二个三角形是什么呢？叫做 a d n， 它全等于三角形 a p n 这两个三角形能给我们带来什么东西？我们就算坐到这也特别容易卡住。 当然对于大部分学生而言，或者说对于几何比较好的学生而言，我们坐到这其实思路就很清晰了，对不对？这个时候我们会发现，你在这里边呢，能得到的一个非常关键的信息叫做 am 等于 a q， 然后呢？这边呢是 a d 等于 ap， 什么意思？ 就是 am q 是 一个等腰三角形，然后 ap 也是一个等腰三角形，顶点都在 a 处，那你就能出手拉手呀，你会发现这个手拉手正好都是我们相连的他和他， 所以这道题虽然说考的依旧是手拉手，但是对于大家来说是非常非常难的，所以我们就可以通过这个条件。第一个条件是 am 等于 a q， 然后得到 第二个条件是什么呢？是我们刚刚所说的叫 ad 等于 ap。 第三个条件应该是一个角角 adm 等于角 apq， 然后我们都就能得到手拉手全等三角形 a m d 全等于三角形 a q p， 我 们就能得到这样的一个全等，得到这样的一个全等，那你会发现这一个角，它是不是就等于 这个角有这两个角相等，对吧？我们把这两个角呢给它给写上去，所以角 m a d 就 等于角 q a p 好， 就这个 q a p 和 m a d 他 俩就相等，他俩如果相等的话，那这个呢是一个公共角，假设这是角一，这是角二，这是角三，这是角四，然后我们又知道的是角一等于角二， 然后呢？后面是什么呢？啊？就我们直接写吧，就能得到角一等于角二，然后等于角三，然后等于角四，对吧？进而所以角 m a n 就 等于角 b a p 就 等于六十度，这道题就做出来了，难度真的非常非常大。 呃，非常心疼今年中考的学生。同理，咱们在做这道题的时候呢，还是容易拿分的啊，各位同学一定要注意，不会，但要尽可能拿分，对吧？怎么拿分呢？就是这个四分是结论的分。然后呢？如果你真的不会啊，我觉得对于大部分的学生而言，在考试的时候，咱们的 这个全等是能写的，这个全等他是这道题的核心，全等，所以说你写出来这个全等是一定能拿一分的，那能拿到五分。所以对于很多学员而言，这道题可能拿不到七分，但能拿到五分也是 ok 的。 好，这就是二零二零年北京中考的几个综合。
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07:06查看AI文稿AI文稿二零二六年北京中考数学已经结束了，嗯，大家都在反馈几宗是近十年来最难的一道几宗，我们现在一起来拆解一下这道题，看一看这道题它的设计到底是什么样子的， 让大家用最基本的知识来解决这道几宗。题目里告诉我们， ab 是 等于 ac 的，是一个等腰三角形，这个角是一个阿尔法 点， d 是 a c 的 中点，并且做了一个垂直，那就说明 a d， 它就等于 c， d。 在 这个地方呢，又告诉我们这个角和这个角呢，是三十度啊，问我们这个角 m， a， n 的 度数， 求角的度数，我们可以先猜后中，我们要去猜它的度数的话，大家一定是猜的是六十度，所以这道题即使很难到此，我们也是应该能拿到四分的 啊。这道题呢，基本分我们就可以把它给拿完了。接下来我们来把这道题的条件给整合一下，这也是咱们在上课的时候对于大家的一个要求， 一定要把题目中的所有的特殊条件，把它给放到一块去加工去处理，这才是几宗综合的地方。 我们会发现你在题目当中呢，给了一个三十度，给了一个六度，让我们去正这个六度，咱们的脑子里应该能快速想到一，第一个，你可以通过等边啊， 看看能不能中出一个六十。第二个，你可不可以通过三十度，六十度、九十度这样的一个三角形中出来一个六十，这是我们常用的能出六十的两个方法。 第二个，题目中又告诉我们有三十度的一个角平分线，那看到了角平分线，我们能得到的一个东西是等角，这个咱就不说了，两边已经告诉我们都是三十度，第二个呢，你是不是就可以去做垂直 啊？你做了垂直之后，这个时候你会发现你就能得流度，然后呢你做对称，做对称呢？咱们这道题也是另外一个思路，对吧？所以这道题的两个思路啊，就是围绕着做垂直和做对称展开的。 那接下来我们都不用去分析第三个条件了啊，你会发现你的第一个条件里边，他和他的契合度数就非常的高， 向两边做垂直是不是就可以出六十度？这是不是也是我们在学全等的时候，最开始学习的最基本的模型叫做角平分线模型。角平分线的一个点到两边的距离相等，所以我们就可以延长边， 我们把 b、 n 呢给它延长出去，通过点 a 向这边做一个垂直假设，这个点呢是 p。 同理我们通过这个 b、 m， 我 们继续往这边做一个， 做一个小的垂直，通过点 a 向这边做一个垂直假设，这一点呢是 q。 好 了各位，此时我们就能直接得到三角形 a、 q、 b， 它是全等于三角形 a、 p、 b 的， 这两个全等了之后，我们还能得到什么呢？这个角它应该是六十度，这个角它应该也是六十度， 我们要中中间的这一个角是六十度，也就是黑色这个角是六十度，那这个时候咱们该怎么中呢？ 对吧？哎，这个时候大家会发现你是在一百二十度的角当中中一个六十度的角，说明什么呢？说明是半角模型， 那我们左边有一半，右边有一半，那这样的话这道题就结束了，而且你会发现你画完图之后，你左边的这个三角形和这个三角形啊，右边的这两个三角形，他就是像全等的，那你会发现这两个中出来之后，这两个呢，他也就像是全等的， 对吧？所以我们这道题的思路呢，就非常的清晰。接下来我们就可以根据 这个 ap， 它是三十度所对的一个直角边等于斜边的一半，等于 ab 的 一半，然后 ad 它是等于 ac 的 一半， ab 等于 ac， 所以 我们能得到这个 ad 是 不是等于 ap？ 第一个条件非常重要，第二个这个是 r 九十度，这个也是九十度，然后呢，有一个公共的斜边，所以你就能得到第二个全等三角形 a、 d、 n， 他 应该就全等于三角形 a、 p、 n， 这样的话呢，假设这个小角是贝塔，那么这边这个小角也是贝塔，同理我们会发现这个边它是等于这个边，这三个边就相等，所以 a、 d， 它就等于 a q， 然后呢这个角九十度，这个角也是九十度，然后这个呢，它又是一个公共的边，所以我们用同样的一个方式，我们就能得到三角形 a、 q、 m， 它就全等于三角形 a、 d、 m。 假设这个角它是 c 塔，那么这个角它也是 c 塔， 我们会发现两个 c 塔加上两个贝塔等于一百二十度，然后角 m、 a、 n， 它是不是等于一个 c 塔加上一个贝塔是不是等于六十度？那这样的话呢，这道题咱们就中出来了， 我们根据角平面线去证明这道题，我们会发现这道题的难度并没有想象中那么大，那为什么大家在考试的时候做不出来？首先第一个因为这个角平面线的对称模型，它不是我们这几年考察的核心模型， 所以很多学生在做这道题的时候都会往手拉手上去凑，会发现这道题的手拉手非常的难凑啊，所以导致在做题的时候呢就不是很顺畅。这第一个， 第二个，这道题他打破了北京前几年都是一次全等的这样的一个逻辑，在这道题当中，我们最起码我在此处用到了两三次全等了 啊。换另外一个方法也是两三次全等，这一点对于很多学生来说确实是一个非常大的挑战，这就是二零二六年北京中考的几宗，他确实很难，但是也确实是咱们几宗当中核心考察的知识点， 希望这个视频呢可以帮助到大家，也希望这个视频可以让即将成为初三的学生能感受到初三几宗和初二几宗的不同之处，也希望呢大家能把几宗学的更好。
545程木其
07:06查看AI文稿AI文稿好几何快，但是稳，新定义还能提智商。大家好，我是双击数学邵建老师啊，哎，这个刚刚拿到手的这个今年北京中考的新定义呢，已经出来了，我给大家呢讲解一下啊。当然呢， 呃，这个题目呢，目前是根据同学回忆的这个版本呢给大家讲的啊。呃，等这个官方啊公布以后，如果题目呢文字数上有些出入啊，大家可以再去确认一下啊， 总之，哎，就这个已经啊流传出来的这样的一个版本的新定义呢，哎，我给大家进行一个分析讲解啊。首先呢，作为这个今年中考新定义啊，在中考考前呢，我已经反复跟大家说了啊，新定义呢啊，咱们呢，猜不到他到底考一个什么图什么一个说法， 但是呢，我们可以一定猜到他一定考多动态啊，那果然这道题肯定是考多动态啊，然后呢，有极大的可能要考诡计源啊，那么同样在这个里面也有诡计源 啊，然后呢，还有一个我在考前也说了啊，几何变换技术考的这道题，虽然没有明显说几何变换，但是它考了一个平行的关系啊，也可以说啊，你需要去理解这个平行啊，就是跟平移类似的这样的一个关系， ok 啊，所以几何变换的这个 啊，理解在这个里面同样要出来啊。当然我也一直在同学们说啊，心里，如果咱们做的有困难，一定要习惯去画图啊，多画图，一个图看不懂就画两个，两个看不懂画三个，多画图一定能看得明白 啊。 ok 啊，那接下来咱们就看看啊，首先呢，咱们要坚信啊，今天一定会考一些咱们陌生的说法，是吧？所以整题一定是陌生的，但是元素一定是熟悉的啊，来体会一下。对于不共线的三点 abc 啊，做一个列弧 bc， 使 bc 所在圆的圆心过点 a， 且与 bc 平行，这是一个长单句啊，是不是？哎？然后乘 abac 和弧 bc 组成图形为弧三角形， 圆心叫做弧心啊，记住，三角形 a 杠和 bc 啊，这这这这全是，后面这一大片都是命题老师的出题手段，都是骗我们的，其实我们怎么办呢？ 管他去呢，咱们随便画个三角形 a、 b、 c 啊，因为 abc 不 攻陷吗？攻陷，那就是啊，这个一个三角形了啊，咱们画的稍微不特殊一点啊，比如说，这样 ok 啊，好，那标上字母啊，随便标啊，随便标啊，比如这 a， 这 b， 这 c， 他的要求是什么呢啊？要求是什么呢？是 bc 弧所在的圆心过点 a， 且与 bc 平行直线。大家看这句话有点长 对不对？哎，但是咱们分开来，且就是有两个要求吗？首先，这个里面是不是与 bc 平行，这个特特别简单， 对不对啊？那很简单，咱们只要过点 a， 做一个 bc 的 平行线，是吧？哎，差不多这样的一根线，那就意思就是说这个圆心在这个红线上， 好理解吧，圆心在这个红线上，而其次是 bc 弧所在的圆。有的同学不熟悉这个 bc 弧，这个怎么去找呀？ 各位？弧它也是圆的一部分，所以考弧就是考圆 啊，说白了就是 bc 是 个弧，也就是圆的弦，那么我们知道圆心一定在弦的垂直平分线上，所以说白了，在过 bc 做出来的中垂线， 对不对？哎，再跟过 a 的 这个平行线相交，哎，你们说这个焦点是不是就是这个圆心？比如交 o 点， 所以那么在这里面这个弧 bc 就是 以 o 为圆心啊，然后呢，这个 o b 或者 o c 为半径，画一个圆啊，然后，哎，这样，那得到的这就这一段弧 啊，他要是个裂弧啊，叫叫叫小于半圆这个弧，那大家看，所以在这个里面，甚至后面那个说三角形 a 杠弧 bc 不 重要 啊，不重要，重要的就是我知道这里有个弧，这个弧的圆心它怎么定啊？这个弧的圆心就是一平行，二中垂中垂 啊，哎，所以一平行，二中垂，他俩相交，这个焦点就圆心，有了圆心了，那么再有了半径了，咱们就能确定这个圆弧了啊，对不对？所以在这里面，只要你能画个图，就能画出他他怎么回事来。 好，那字解读成这样，有同学说，那这就够了吗？够了，下面就可以做题了啊。来看第一小问，点 a 是 负二负一啊，好，我们就在这个这个图啊，负二负一大概就在这，这是 a 点，点 b 是 负三正一啊，那大约在这啊 啊，点 c 是 一逗号，一，来大家体会一下啊，那这个三角形 a b c 是 不是很简单，就是这个 b， c 是 这样的一根长度为四的横线， 是吧？啊， a 呢，在这个下面是个固定的点啊，固定的点啊，它让我们满足这个定义，求弧形的坐标啊，弧形就是这个圆的圆心 啊，哎，就这个圆的圆心，那根据刚才说的很简单吧，首先第一步过 a 做 b， c 的 平行线，就是 y 等于负一， 哎，然后呢，再做 b， c 的 中垂线线到 b c 中垂线再 x 等于负一，是吧？这俩相交，那就得到这个焦点啊，焦点是负一负一是吧？啊，还要求这个弧 b c 的 长，哎，咱们画出这个弧 b c 来看一眼啊， 这段弧啊，它的弧心和 b c 连起来，可以发现刚刚好构成一个等腰直角三角形。 等腰直，所以它这个圆心角是九十度的一个圆弧啊，根据我们这个弧长的这个公式啊，这个弧长就应该等于 啊，或者你记不得公式也没关系啊。哎，考前再到重复提醒啊，记不得公式就是按比例啊，四分之一乘以圆周长总可以吧。四分之一乘以二 pi 乘以这个 r 是 多少呢？哎， bc 是 四，那它半径就是二倍根号 啊，所以等于根号二倍 pi。 哎，这数字确实有点奇怪，但是就这么算它，哎，很轻松吧。好嘞，这就他的第一小问啊，第一小问，咱们就这么搞定了。
04:17查看AI文稿AI文稿这个题背景图形给出来一个等腰三角形，还有一个三十度角以及垂直平分线。第一问里面呢，额外给出来了另外一个三十度，我们先把第一问说一下啊，这有三十度，这有三十度，由于平行可以推出来这有个垂直，那么这时候两个三十度的角就全都在直角三角形里面。那这时候我们就可以写出来， b e 是 等于二倍的 m e， a e 等于二倍的 d e， 那 么 a e 加上 b 就 等于二倍的 b e 加上 m e， 也就是说 ab 是 等于二倍的 md， 所以 第一问就可以直接这样正传。 但是呢，第一问得出来的这个条件呢，在第二问当中可能会应用得到，呃，也可能是给一个提示的一个作用，我们呢，呃，第二问图形会发生一些变化，因为给出来一个新的一个角，我们把这个图形画一下， r 问里面出现了两个三十度的角，看到这儿的时候呢，可以得到角平分线这个条件。 那么有角平分线这个条件呢，当然要考虑角平分线的几个模型。那么首先呢，第一呢，就是往两边做垂直，为什么要往两边做垂直呢？因为 第一角平分线的最主要的性质就像角两边做垂直。第二呢，因为这里面有三十度的角，如果做垂直的话，就可以把三十度的角和直角三角形结合起来，那么这个条件也就能够发挥一些作用。因此呢，我们先来这样去尝试，把 bm 延长， 这两个都延长， b n 也延长。这时候我做两个垂线，假设垂足分别为 p 和 q， 那 这时候根据三十度角所在的直角形的性质，我们可以得到， a p 等于二分之一的 ab， a q 呢，也等于二分之一的 a、 b。 又因为这里面存存在垂直平分线，所以 a、 d 其实也等于二分之一的 a、 b。 因为等于二分之一的 a c， a c， a b 相等，那我们这个时候就可以推出来 a p 等于 a d， a q 也等于 a b， 所以 就可以推出来。由于线段相等，当然是推三角形的全等，再结合角平分的线的性质， a、 p 和 a、 q 它俩相等，所以我们可以推出来三角形 a、 p、 m 全等于三角形 a， d m。 同理，三角形 a、 q、 n 全等于三角形 a， d， n。 由于这三两两个三角形的全等，所以我给推出来角 p a， m 等于角 e a m。 角 d， a， n 等于角 q a n。 也就是说 a n 和 am 分 别是这两个角的角平分线， 这个角和这个角的角平分线。那么我们再来去看这个四边形边形 p a、 q、 b。 这个四边形两边分别有垂直 角 p 与角 q， 它们两个都是九十度，这时候其实它们是一个对角互补的一个四边形，而角 p、 b、 q 是 等于六十度的，所以可以推出来角 p、 a、 q 是 等于一百二十度。又因为 am 和 an 分 别是这两个角的角平分线，所以留在中间的这个角角 m， a、 n 就 等于一百二十度的一半，也就是六十度。 这个是以我们学习的知识体系里面比较容易想到的一个方法。那除了这个方法之外呢？我们也可以把三角形 a、 m、 b 直接翻折过来，这也是角形面的模型之一， abm 直接翻折过来，翻折到这里， 这时候呢可以得出来一个手拉手的一个全等，就是三角形 a q， 假设这个点是 g 吧， a q g 全等于三角形 adm。 但是不管是刚才咱们说的方法还是这个方法，这两个方法呢，都是在角平分线的这个前提下来去思考的。这个是我们解这道题思考的一个起点，关键点就在于 把角平分线的模型应用起来，以及把上一问里面给出来的线段关系，两个两者结合，就能大大提高解出这个题的概率。
24cloke
08:11查看AI文稿AI文稿代数稳心力，还能提智商？大家好，我是双提数学的文奇老师，今天呢，我来给大家讲一下咱们这个双提三摸的几宗啊。首先呢，我们来一起读一下题， 在三角形 a、 b、 c 中， a， c 等于 b， c 有 一个等腰三角形，对吧？并且还告诉你角 a、 b、 c 是 r 法，所以马上标图 延长 bc 至点 d， 使得 d， b 等于 d e， 是 吧？因为它是旋转得来的，然后并且逆时针旋转二 alpha， 所以 在这大家要对顶角为二 alpha 的 等腰三角形特别的敏感， 因为其实这个时候我们就能马上推出他的底角，他的底角是九十度减 r 法，是不是？所以这个时候我们发现，哎，说白了在这有一个九十度， 然后紧接着他又给了一个平行，是不是？所以这个九十度就可以导到这来？所以这块大家要要注意啊，在一个直角三角形当中，如果他给了你一个等腰，你就要想有没有斜边中线， 倒个角就出来了，对吧？因为这个角 c a、 b 是 r 法，所以这是九十度减 r 法，这个角也是九十度减 r 法，对吧？所以我们就可以得到哦。 a c 是 等于 dc 的， 又因为 dc 等于 ac 等于 cb， 所以 在这有一个斜边中线，也就是点 c 是 db 中点，对不对？这是一开始审题的时候我们就应该发现的啊。 然后呢，接下来他说在 ab 上截一点 g， 使得角 c g， b 等于角 e， d， b 啊，那我们知道 e、 d、 b 是 二二法，那这个角也是二二法，所以在这其实有一个小小的等腰，是不是？ 哎，这道题之所以让同学们感到复杂，就是因为它的共端等边设置的很多，是不是？ 好？然后接下来他说将线段 a g 绕着点 g 顺时针旋转一百八十度减四 r 法，哎，又给了一组共端等边。这个时候其实我会特别关注 h g 等于 c g， 因为这可能是命题老师故意的，就他给你，他给你 c g 等于 a g 给你 a g 等于 h g， 其实就是想让你推得到 h g 等于 c g 的， 对吧？所以稍微倒一下就出来了。 然后又因为这个角是一百八十度减去四 r 法，所以这个角是二 r 法，哎，在这还有一个角分线的结构，对吧？ h g c 等于 c g b 啊，然后我们看啊，取 b e 的 中点 k， 哎，在这也有一个中点，所以看到两个中点马上条件反射中位线，是吧？所以把这两个中点一连，你会发现 c k 等于二分之一的 d e， 那又因为 c b 也等于二分之一的 d b， 所以 c k 其实是等于 c b 的， 是不是啊？并且应该很好证， a c k 这三个点应该是共线的，是不是啊？应该是共线的，好， 那我们来看一下啊。第一问，判断 ab 和 ad 的 位置关系。这个很简单，垂直 哎，三线合一就正，呃，这个斜边中线就正出来了，是吧？然后接下来用等式表示 g、 h g b 和 j c 的 数量关系，只要看到三边数量关系，就想到共行或者是共线，你可以判断一下， 哎，一般来说啊，没法直接判断共行还是共线，你造完第一个工具以后，就能判断出它们是共行还是共线的了。 所以这道题这么多共端等边，哎，我们之前在几宗复盘课上也给大家强调过，没有切入点就先找主角三角形，所以这道题的主角三角形是谁啊？ 我是不是可以选择三角形 g c b？ 哎，选它作为主角三角形，对吧？ 选它作为主页三角形，为什么可以选它呢？首先，它含有工具边 g c， 其次，它含有结论边 b g， 是 不是 还有结论边 b g 啊？而且它含有命题老师设的角角 a b c， 所以这个时候我们可以把它转到 g h 这条边上，哎，有同学肯肯定问了，为什么这个 g c 你 不把它转到 a g 这个位置呢？ 其实就是基于我对三边数量关系共行共线的认识，你看啊，因为我关注到角 h g c 等于角 c g b 了，也就是我看出这两个角，哎，各位，这两个角是相等的了，所以我把 g c 一 转， 转到 g h 这个位置上，我能得到什么呢？ 哎，我能得到 g b 这条结论边，它是不是就和 g c 也和 c j 共线了？ 是不是这条边和这条边相等的，这条边一转，哎，它就形成了一个共线关系了，看出来了吗？ 所以这样转完了以后可以构造共线，所以我当然会第一选择这么转，是吧？这个结论边就被转化为 g b 等于 g c 再加上啊 c 这个点，我可以设为 m 加上 c m 啊，因为 g c 就是 g h， 是 吧？所以 g b 等于 g h 再加上 g m， 所以 最后我只需要找到 啊 c m， 所以 我最后只需要找到 c m 和 c 勾啊，和 c 勾的数量关系就行了。那这明显是二倍关系对不对？如果我能证明勾是 c m 的 终点就行了，那为什么它是终点呢？哎，在这应该有一个八字形全等，是吧？ 哎，这个八字型全等是我猜的啊，我来看一下是它是不是这个 alpha 首先通过旋转全等导边导角可以导到这来，是吧？那这个角为什么也是 alpha 呢？哎，刚才我们说 a c k 三点共线应该是比较好正的，为什么比较好？正？因为 c k 连完了以后，它是中位线，所以这儿有平行，是不是所以 r alpha 可以 导到这儿来？然后又因为这个角是一百八十度减 r alpha， 所以 a c k 三点共线 啊，所以这个 alpha 是 不是就可以导到这儿来？哎， h m 和 c k 也是平行的， 并且因为我们知道 c b 这条边转完了以后就是 h m， 而 c b 是 等于 c k 的， 所以 h m 等于 c k， 所以 这两个三角形对边平行且相等，是不是角边角或者是角角边全等，对吧？ 所以我们就可以证明三角形 h m 勾和三角形 k c 勾，它们俩全等 全等完了以后，是不是就可以证明 c m 等于二倍的 c 勾？所以最后的结论关系应该是 g b 等于 g h 加上二倍的 c 勾。
07:44查看AI文稿AI文稿几何快带竖纹新定义，还能提智商。 hello， 大家好，我是彩虹老师，咱们这个视频呢，来讲一下二零二六海淀一模的几何压轴题。这个几何压轴题呢，第一问还是比较简单的，我们就不说了哈， 然后我们看第二问，第二问呢？哎，命题老师是让我们求线段 a b， 还有线段 c d， 还有线段 c e 的 数量关系，然后呢，有同学就说，哎呀，这三边数量关系，这我量了一下，它也不是谁加谁等于谁，这猜不出来呀， 猜不出来我就不知道怎么办，怎么办呢，很慌啊，哎！然后那还有同学说，那这个题目我不会画辅助线，我没有见过，没有练过 哎，那双题的学生啊，一定会提醒自己，那我这考场上的题本来就是陌生的，但是里边的元素一定熟悉的， 所以当我们有点慌的时候，我们就找老乡，我们看哪些条件是我们熟悉的，我们通过读条件也能让自己更淡定一些，对吧？从结论没思路来回去读条件 从结论没思路，我们回去读条件，我们上来就会读到这是九十度，那看到九十度，我们除了倒角，倒角之外，我们也要想到九十度这个直角三角形，它只要翻折就能出等腰，对不对？比如说我们被长 c b 啊，到点 h， 我 们让 b h 等于 ac， 那 么这个时候一旦我们连接 a h， 它是不是一定等于 ac， 对 不对？哎，这是我们很常用的啊，从二五年中考考完之后，大家更熟悉了，是吧？看到正直角三角形可以补，以及看到这个角角，我们立马就倒角，同时也提醒自己，只要有角，那我们呢，就要传染，就要关注它， 哎，关注所有和阿尔法相关的，比如说这个，这是一百八减二阿尔法，那我们说了，只要看到一百八减二阿尔法或者二阿尔法，我们都要知道它在提醒我们等腰的。好，那我们现在可以看到啊，它是这个角是一百八减二阿尔法， 哎，那应该提醒我们等腰三角形啊。在等腰三角形里，如果顶角是一百八减二 r 法，这个就是 r 法，这就是 r 法，以及它的外角这个角也是 r r 法，这就是给我们的提醒。 那我们呢，可以很明显的发现，按理说这两个等腰共顶点应该有旋转，但是这个是一百八减二 r， 它的角不一样，不能直接转，怎么办呢？哎，你要把这角变成一样的怎么办？ 还是那句话，你要观察哦，这个角是一百八减二阿尔法，这个角是二阿尔法，它们俩什么关系？ 互补，互补角，想到什么呀？哎，要么放到一个三角形里，要么就是共线或者平行同旁内角，对不对？ 哎，那我们就给他，哎，共线，为啥呢？因为我们想让这个等腰在一起，就能出我们熟悉的旋转了，对不对？来，我们延长 h a 到点 q， 我 们让 a q 等于 ac， 当然也就等于 h 了， 因为这个 h a c 是 二 r 法，所以现在这个角来，我标清楚，标清楚一下，这个角就是一百八减二 r 等于这个，对不对？ 哎，那这个时候亲爱的朋友们，我们都同时减去中间这个是不是可以得到角 e a c 等于角 d a q 呀？ 对吧？哎，这个角就和这个角相等好，同时这个紫，这个蓝的等于这个蓝的，这个粉的等于这粉的，所以一定会有一个旋转圈等，是不是一定会有个旋转圈等，那么连接谁呀？ 哎，连接 q d 就 出旋转全等了。好，这个时候我们把旋转全等给大家标出来啊，这个三角形和这个三角形，它就是旋转全等，粉边等于粉边，蓝边等于蓝边，叉角等于叉角边，角边就出现它俩全等了。 好，它俩全等，马上转化边，这个 c e 就 跑到这里来了。哎，那这个时候我们发现，哎，它三边数量关系本来不好猜，但现在好猜了，因为我们知道三边数量关系，要么共线，要么共行。 刚刚猜不出来，但是我一造一个工具，发现，这肯定是共行的呀，是不是肯定是共行的呀？那我们就知道了，哎， c e 和 cd 共行了，那所以 ab 一定也 在这个三角形里，所以我们要连接 c q， 而且 ab 一定和 c q 有 关系。好，这个时候你看，我们就可以大胆猜， ab 和 c q 有 什么关系啊？ 对，很明显二倍关系，是吧？哎，我们上工具来正一正，这个 a 现在其实就是 a q 的 中点， 这个 b 呢？哎，我们本来做的就是倍长 c b 嘛，所以 ab 是 h c 的 中点，所以 ab 是 三角形 q h c 的 中位线，那所以这个就是两个 ab 啊，并且，哎，我们呢，再倒倒角哈，这个顶角，这个角 q a c 是 一百八减二 r 法，而且这个角三角形是等腰三角形，等腰三角形顶角知道了两个底角，哎，就能给它算出来是 r 法， 因为这里你看我们标投标多好，这是九十减 r 法，这是 r 法，哎，它俩是垂直的，是不是啊，或者这么说啊，因为这是中微线嘛，中微线它俩就是平行的呀， 那 c q 和 ab 平行， ab 垂直 c d， 所以 c q 也垂直 c d 啊，你看你倒角也能证明 c q 垂直 c d 中微线平行直接也能出这垂直的啊，好，垂直完之后，那这就是一个直角三角形，在直角三角形里，那三边关系就纯粹的是勾股关系， 因为 c q 方加 c d 方等于 q d 的 平方，所以我们把它换成要求的 c q 就是 两个 ab， 那 它的平方就是四 ab 方， 然后 cd 呢，就是我们要求的 cd， q d q d 呢，就是我们的 c e。 好， 所以他们是这样一个关系，你说这关系要让咱猜，咱能猜出来吗？那不好猜，所以在考前呢，我们的点睛班呀，包括我们的押题上就给大家说了啊，如果你猜不出来，不要纠结了，就找熟悉的工具，就从工具下手就可以了。 那关于这类直角三角形不等腰的题目，我们呢也给大家准备了很多同类题，大家联系老师，可以要同类题的啊，练习题可以自己在练，多练五六道，专门把这个给它练熟。 同时呢，这一类型啊，就是我们的几何专题课上，包括正课上也都讲过啊，你看这个也是只要三星不等腰，然后中卫线的。 对，这是完全一模一样的方法，就是变个方向，所以我们的再读生，哎，同学们，你一定要去再关注你的老题，复习的时候就去复习你的老题之前的经题。 嗯，同时我们呢，在一模后也给大家安排了这个几何压轴的专题课啊，你看我开了一个几何加圆中的一个课程，在这个第二节课就会讲到这种题型， 同时，哎，我这个函数和几宗我和肖飞老师上课的内容上面呢，我的第一节课也给大家会讲这种题型，大家呢，如果这种题型做的还不溜，那就可以来跟上我们的几何压轴的专题课，或者是几何加函数压轴的专题课，我们联系老师都可以报名。
05:08查看AI文稿AI文稿大家好，那今天来看一下二六年门头沟二模的第二十七题几何综合的题目啊。那我们一边读题一边看这个图，那么第一问是直角三角形 a、 b、 c 中 啊，这个 b a、 c、 b 是 一个九十度，然后 a、 c、 b 这个角是 r 发 a、 d 连上之后， a、 d 等于 ab， 然后 e 是 bc 上的动点， 连接 a、 e， 将线段 a、 e 绕点 a 逆时针旋转一百八十减去二二发的度数得到 af， 那 么就是 a、 e 等于 af， 而且角 a、 e、 f 应该是等于一百八十减去二二发，那么也就是说这个角 a、 e、 f 和角 f 都是二发， 然后再加上角 a、 c、 b 是 一个 r 发，就比较明显的是一个顶角是一百八十度减 r r 发，然后两个底角是 r 发的，等腰三角形，手拉手啊。然后第一问是如图，一，在点 d， 在 线段 b、 c 上， e 是 b、 c 的 中点的时候 是 b、 d 的 中点的时候，因为 ab 等于 ab， 然后是 b、 d 的 中点，就说明 a、 e 是 垂直于 b、 d 的， 然后这个 a、 e 也平分角 b、 a、 d， 然后正的是 ef 平行于 ab， 那 么这个我们一般就会直接想到平行线的一些判定，同位角、内错角和同旁内角，这些啊，应该不太容易想到平行四边形，那么如果要是找的是同位角，就比如说这个角 f、 e、 c 和这个角 a、 b、 c， 那 这里面是角 a、 b、 c 很 容易看出来，因为角 b、 a、 c 是 个九十度啊，所以角 a、 b、 c 是 九十减二发。 呃，然后这个角 f、 e、 c 需要去求一下，嗯，那么需要先求出这个角 a、 e、 f 是 一个二发角，再用这个 a、 e、 c 这个九十度减去这个二发就得了，还是个九十减二发？ 那么如果找的是内错角呢？是这个 a、 e、 f 可以 更更快的看出来是个 r 发角，要用九十度减去这个 a、 b、 e 这个角，然后得到角 b e 是 个 r 发，那么接着就可以证明 a b 平行 e f 了啊，然后看一下它的第二位， 当点 d 在 bc 的 延长线的时候，然后 f 点在 bc 的 下方，用等式表示 b e、 c、 d 和 cf 之间的数量关系，并证明。那么这个这种类型的问题呢，最主要需要考虑就是这三条线段之间它的一个数量关系是什么？ 猜到关系之后，我们再去猜测的就会有方向，呃，去量了一下之后，我就会发现他这三条边的长度，比如说我量一下这个 b、 e 大 概是零点八， c d 大 概是点七，然后 d f 大 概是零点九， 就非常明显的是一个呃，非常不短的关系啊，也就是 c、 d 应该是等于的是呃 b e 加上 cf， 那么呃，想要证明这个间长补短的关系的话，就是在 c d 上截一段，要么就在这个 b、 e 上加一段，但这个有一个更明显的一个点，就是我们刚才提到的手拉手。 呃，然后这里面这个它这个角 e a、 f 是 一百八十，减去 r 发角 a e f 和角 a f， e 是 r 发角，然后这个角 a、 c、 b 是 个 r 发角， 那就会很容易想到，我们可以在这边，嗯，再做一个，然后等腰条形，让它可以让它和这个 a、 e、 f 拉上，那么这个可以去做这个角 a g、 c 等于 r 八，或者做 a g 等于 a c 啊， 嗯，但这个 a、 f 和 b d 是 不垂直的，然后做完之后我们得到的拉手三角形是三角形 a、 e、 g 应该要全等于三角形 a、 f、 c， 然后就会发现正好就是 c、 f 就 等于 e、 g 了， e g 和 b e 它就共线了， 那么 b、 e 加上 c、 f 就 应该等于的是 b、 g， 那 我们要证的就是 b、 g 等于 c、 d， 那么去正这个可以正的是三角形 a、 b、 g 和三角形 a、 d、 c 全等，或者是三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 d、 g 全等。 那么比如说 a、 b、 g 和 a、 d、 c 里面 ab 它是等于 ab 的， 我们做的这个等腰三角形 a、 g 也等于 ac， 那 么有两条边，容易想到的是 b、 a、 g 和 c a、 d 相等，但实际上这个三角形里面只有这两个角是正起来是比较麻烦的。 这个角 b 和角 d， 因为这个等腰三角形的关系，它本身就是相等的，然后角 b、 g、 a 和角 d、 c、 a， 它其实都是一百八十减去 r 发，因为这个是个等腰三角形，所以这个是个一百八十减 r 发。 那么用这个方法就可以证明这个 a、 b、 g 和呃三角形 a、 d、 c 全等，然后进而得到这个呃 b、 g， 它是等于 c、 d 的， 那么我们最后就可以证明出来这个结论就是 be 加上 c、 f 就 等于 c、 d。
11一对一数学郑
01:39查看AI文稿AI文稿这道几何最值压轴题难度满，得分难！如图，这两个绿色的都是等边三角形， a、 c 是 ab 的 两倍点， p 是 e、 f 中点。如果 bc 是 六，让我们求线段 pc 的 最小值。 你看三角形 a、 b、 c 的 两条边均有等边三角形。出于礼貌与尊重，我们以 bc 为边，同样构建一个白色等边三角形， 此时有三个等边三角形的加持，而且还有共顶点的情况，然后你就会发现这三个橙色三角形全等，那么你可以推导出这两条线段相等，它们也相等。既然有两组对边分别相等，说明黄色的是个平行四边形， 所以 p 点也是对角线 a、 d 的 中点。现在我们把暂时不用的线段去掉，分析一下图形，此时地点是定点， 如果找到 a 点轨迹作为中点， p 点轨迹也就很容易找了。由于 b、 c 是 定线段，这两条线段又存在二倍关系， 所以 a 点轨迹为圆，我们一般通过构造母子相似来找它的轨迹。圆圆心就是这个橙色三角形，与蓝色三角形相似。通过相似比，你很容易能计算出 o、 b 等于二， o、 a 等于四。所以 a 点就是在以 o 为圆心，四为半径的圆上运动，连接 o、 d 构造中位线。那么 p 点就是在以 t 为圆心，二为半径的圆上运动了。然后在粉色三角形中通过三边关系求出 p、 c 最值即可。 线段 tc 你 可能还不会求，那就做两条垂线，然后这也是一条中位线， k 点是 o、 h 的 中点， h 点又是 bc 中点。最后在白色直角三角形中勾股定里，你就搞定了。
622数形大大大
05:06查看AI文稿AI文稿好，今年北京市中考呢已经落下帷幕，我们一起来看一下这个试卷上面的三大主流题型。那么这三道题型呢，分别是北京地区的特色，像几何综合，圆的综合，还有代数综合。那么这三道题呢，也是北京考生能否取得高分的一个三大关键题型。 那么这个题型题目究竟难不难？我们会翻分这个三星视频，把每道题逐一讲一下，讲完以后呢，我们也会做一个评比，大家可以去关注一下啊。我们首先来看一下这套卷子上面的圆的综合这道题目， 这个题目呢，给的是一个圆 o， 它的外面有一个 p 点，引这个圆的两条切线 pa 和 pb。 然后呢，这里面 b、 d 呢，是一条弦，它正好和经过圆经过圆心的这条直径 a、 c 呢，是互相垂直的啊，互相垂直的 a、 c 是 直径，它俩互相垂直。那这一点的话，其实 就能得到很多一些隐藏的信息，这个 e 点呢，一定是 b、 d 的 终点啊，这是垂心的理对吧？好，那么现在呢，再把这个 p c 的 撵起来，和 b d 呢交与这样的一个 f 点。第一个问，让我们求证， a c、 d 和 a o p 他 俩相等， a c、 d 呢？题目中没有给到，也就是这样的一个夹角，他要证明的是他和谁呢？和 a o p 呢，正好是一个对应相等的关系。 这里面我们要明确的就是，首先 a o p 这个角怎么形成的？它是圆外一点和原先的连线，这圆外一点呢，引圆了两条什么切线？所以根据切线长定力或者切线相关那些性质，我一定能够知道。什么这条线 o p 呢，它一定是垂直且平分这条弦 a b 的， 它是一个直角，再加上 a p 是 圆的一条切线吧，所以它和半径呢，又是互相垂直的关系。那么这个位置大家看一下 p a o 还有这个角，这地方有个 h 点啊， o h a 呢，它一定是形成一个 摄影定律的图形，所以我要求的这个角，假如是阿尔法，他一定是等于什么？等于这个角的，他俩都和这个角是一个互余关系嘛，对吧？然后你再来看他俩垂直吧，他这地方也是垂直的，所以 b d 呢，和 a p 本身就是一个平行关系。所以这个阿尔法呢，又进一步等价于这个角 b 啊，不能叫角 b 啊，叫 abd， 他 也是阿尔法。 abd 所对的弧是不是弧 a d 啊？所以在同一个圆里面，同弧所对的圆周角肯定相等，所以这个角呢，他应该也是阿尔法。 那这样的话，这道题就证明出来了呀，对吧？你也是 alpha， 他 也是 alpha， 所以 这两角必然相等啊。当然呢，也还有其他的一方法，这些东西都是比较基础的内容啊。马上看完题目就能想到的第二个小问，他说 cp 呢，和我们这里面的 b d 交于在那个 f 点，假设这个 c e 的 长度等于二， 并且告诉我们 acd， acd 就是 我们最开始的这个 alpha， 它的一个正切值是等于根号二的。求这个 bf 的 长度为多少？ 这个问题怎么去做呀？这个 b f 是 这样的一条边，对吧？它属于 b e 的 一部分， b e 和 d e 正好相等。那我下面可以根据什么？首先，根据这个角的一个正切值是根号二比二，它已经是二了，对吧？所以这条啊，是根号二，这条边呢，正好是二，所以这个 d、 e 的 长度应该是二倍的，根号二， b e 等于二倍，根号 b e 呢，它也是等于二倍的根号二的，它俩因为相等一点，是 b、 d 的 中点，所以我要求 b f， 下面我只要把 e、 f 给它算出来就行了。那 e、 f 的 长度怎样去算呢？你会发现 e、 f 这条边呀，和我们的 a、 p 呢？它其实是一个平行的关系， 对吧？那这个里面很多条件就能算了呀。你看看这个位置，这个地方也是个直角吧，它也是个直角，所以这个 a、 c、 d 还有这个 c、 e、 d 呢，它形成一个射线定律的图形。根据射线定律，我们得到什么 c e 和 a e 的 一个乘积啊，一定是等于 d， e 的 平方， 所以呢，这里面 a 一 的长度就等于几，在这个情况下，应该等于四，它等于四，这条边等于二，所以整个这个直径应该等于几？直径等于三，哎，直径等于六，半径等于三，所以这条边等于几。这条边是一，这条边半径呢，应该是等于几？应该是等于三， 对吧？到了这个位置以后，你要求的是 ef， ef 刚刚说了和 ap 平行，所以 ef 比上这个 ap 呢，它应该是我们这里面 c e 和 ac 的 比值，也就是二比几，二比六，等于一比三。 所以下面你要算这个 e、 f， 你 只要把这个 a p 给它算出来就行了。 a p 在 这个位置，它是不是也是这个摄影定律的一个部分，对吧？阿尔法角的一个正切值是根号二，当我们这两边是三的时候， a、 p 的 长度呢？应该是三倍的根号二，你再把三倍根号带到这里面去， 所以 e、 f 的 长度呢，其实就等于多少？就等于根号二， e、 f 等于根号二，那么这里面 b、 f 的 长度呢，应该是 b e 二倍根号减根号二，最终结果呢？还是多少还是根号二？所以这个题目给我跟我们平时训练的模拟考训练的这些题目来比的话，相对来说难度还是比较低的， 就考了几个，你像生意经理的几个相似关系，对吧？包括这个平行线分析上，谁比利呢？他也是个相似关系啊。所以呢，这个题目单一，这个知识考点还是比较单一的，并不是很复杂啊，这个分数呢，一定是要得到的啊。
147百益说教育
10:18查看AI文稿AI文稿几何快、代数稳、新定义，还能提智商？ hello， 各位同学们，大家好，我是讲函数的肖飞老师，今天这个视频呢，肖老师给大家精讲的是我们二零二六年北京中考的这道函数压轴题啊，今年中考的代宗呢，大家都会反映说问题很新很偏很怪，是吧？又变了，又变了， 哎，通过最近两年，我相信大家应该能感觉到啊，大部分的学生都会感觉到带宗一直在变，其实这也是我们北京中考的一个命，目前啊，包括甚至高考的一个命题方向，就是 他不太会稳定在一个题型上或者一个模式上前进了，而是不断的去哎 创新，然后去所谓的创新啊，去考察同学们更加底层的一些能力，以及更加底层的一些品质和思维能力啊。就像很多同学呢，看到这个题的第一眼，都会感觉这题 真的真的很难。确实，我非常能恭请大家，因为说实话，这道题啊，正常学生在考场上看到，甚至肖老师在考场第一眼看到这个题，我也会觉得很烦， 对吧？你看这经过这点这点，什么时候给过一个 a 分 之一减 a， 这样恶心吧啦的点对不对？包括这种对称轴， a 分 之一抛物线，还给我整两根抛物线啊，又整 c 一， 又整 c 二， 然后这问题更是陌生，若 t 无论为何值抛物线，你让我正过远点，我可能会，你让我正不过，还横不过， 没见过，真没听过哎，所以米小老师说实话，真的挺那啥的啊，通过一系列的这种陌生的这种东西来这个让咱们同学们在考场上面对这个题，没有那么轻松的能够一眼搞定啊，能够顺利搞定， 所以呢，这里肖老师想给我们屏幕前的啊，不管你现在是哪一年的考生，肖老师想跟你们说一说。首先第一个就是啊，就像肖老师经常给大家说的话，数学题都是第一眼陌生的难题， 真的你第一眼看到他的时候就是最陌生的啊，所以同学们不要提前焦虑，走一步看一步，车到山前必有路。 特别是很多同学，以后你们上了高中，高中的很多题更是这样啊，就一看就是个纸老虎，北京高，北京的题目在这方面尤其明显啊，车到山前必有路。第二个就是他的问法再陌生，但是我还是想问大家，他敢超纲吗？ 他敢考和用你完全完全没学过没听过没用过的东西吗？不敢对不对？他顶多就是把一个东西，把一个你熟悉的东西包装成你不认识的，对不对？所以我们要具备的能力就是陌生背后必能化成熟悉的，必能化成简单的 啊。这两句认知也是肖老师平时上课的时候经常给同学们说的啊，因为我们已经看透了，中考高考出题就是考陌生，中考，高考出题，他活就活在他不太会给你用常规的东西了，对不对？那同学们，只要你具备这两个认知，你就能比别人更快的走起来 啊，对不对？你就能比别人更快的安静下来，沉稳下来啊，稳定下来，让自己让这个题走上正规的道路，哎！其次就是这道题， 如果你开启做路做题了，你会发现真的挺简单的啊，他用到的就是咱们的双控加五确认就保证能帮你函数满分啊！双控的意思就是 从图像和柿子两个角度去帮大家搞定啊，左手玩图像，右手玩柿子，图像出了图就去从图上挖柿子，挖完柿子背后必有图，再去挖图，只要你能在图像和柿子间不断的反复横跳 啊，你会发现这个题的思路是非常顺畅的啊，一定是可以搞定的。好，那夏老师接着基于双控派的思维，给大家示范一下，这道题我是怎么搞定的啊？ 好，首先第一问，没啥好说的，同学们别带错，往里带就行了。第二问，若 m 在 抛物线上，首先画图对不对？不画图根本看不懂他在说些什么东西啊？首先，函数第一步画出第一图啊，咱们先把第一幅图给画出来。好， 他说点 m 在 抛物线上，那咱们就随便先点一个，点 m， 好， 横坐标为 t， ok， 点 m 的 横坐标是 t 是 吧？好嘞，抛物线 c 二的顶点是 m o， 抛物线 c 二啊，这个是抛物线，它的顶点是 m， 是 不是顶点在这动， ok， 好，抛物线 c 二为抛物线 c 一。 平移得到。什么意思啊？什么意思？也就是说，把我这根灰的平移挪挪挪挪挪挪挪到这就是抛物线 c 二了，是不是平移得到？所以说明什么？ 见到平移立刻条件反射， a 不 变，是不是？所以 c 一 c 二的解析式，它的 a 跟 c 的 解析式，它的 a 是 一样的？好，图画完了。 然后呢？同学们，双控派的高手就是啊，有图就能有式子，对不对？有图就能有式子，尤其是同学们，你再往后看，他说若 t 无论为何值的时候，抛物线 c 二横不过原点？ 什么意思啊？根本读不懂。横不过原点意思我能读懂，这样，但这我怎么保证呢？ 我怎么保证？无论 t 为何止，就无论他在哪，是不是无论他长哪，这个 c 二都不过原点啊？这我怎么敢保证呀？因为 c 一 也在动啊， c 一 也动， c 二也动，还让我正不过原点。说实话，这玩意从图上确实不不那么好看， 对不对？好，那图不好看咱怎么办？咱玩柿子呀，看看柿子是不是好看呢，对吧？哎，好，这个也是向老师常给大家说的啊，图上不好看，咱就柿子表，一切求谁咱就表示谁啊。有 m 的 横坐标了，怎么说？ 那纵坐标稠吗？那太简单了，我初二就会了，有横坐标直接点代入，求纵坐标，对不对？所以立即求出啊。 m 点的纵坐标 a， t 方减二， t 加 a 分 之一减 a 啊。 不要觉得这个柿子坐标长，这个坐标丑就不写。同学们啊，它虽然长，它虽然丑，但它也是个坐标啊，不要觉得它长就不写了啊。好，然后抛物线 c 二的顶点是 m， 对 不对？那又能挖柿子呀， 你都又有 a 了， a 不是 不变吗？你的 a， 我 的 a 都是一个 a， 对 不对？哎，你的 a 是 不变的，然后顶点也是有的，那解析式当然分分钟能写出来了，所以我们用顶点式分分钟能写出 c 二。嗯， 长，确实长啊，确实看着烦，但是没关系啊，反正就写在这呗，对不对？一会用就行了啊。好，他说 m 与 c 一 的顶点重合的时候啊， m 与 c 一 顶点重合的时候，抛物线 c 一 即为 c 二啊。这句话就是给你一个前提限制，他在告诉你，当他俩顶点重合的时候，他俩就是一根 啊，不用排除他了，他俩就一根啊，不用纠结啊，这句话应该就是一个前提限制啊，没什么太大的一个用处。嗯，好， ok， 接着啊。到重头戏了， 这同学说不会了，若 t 无论为何值抛物线横不过原点，懂不懂？ 哎，其实这个也属于肖老师在考前给大家讲过的，这就属于长难句，长难句就拆呀， 对不对？一句话当然读不懂了，就像我上课举的例子，爷爷的爷爷的爸爸的爸爸的妈妈的妈妈的奶奶，你当然读不懂了，你一点点读，你先读爷爷，你再读爷爷的爷爷。哎，你就马上能懂了是不是你一点点读？首先，同学们，过远点有人读不懂吗？我帮你们猜一猜啊。过远点有人读不懂吗？ 过远点有任何人读不懂吗？没有，大家都能读懂过远点，那太好理解了呀。过远点那不就是零零带入吗，对不对？所以过远点都能懂啊，把零零嘎一带。不过远点什么意思啊？不过远点读懂吗？ 不过远点就是零零带入之后或成立呗，对不对？过远点就是零零带入之后，不行 不行，对不对？不等于零，哎，所以不过原点也能顿等。横不过原点，不论 t 是 啥，无论你 t 是 啥，横不过这辈子都不过，什么意思啊？ 那说白了不就这个等式，永远这辈子不能成立吗？这个玩意这辈子不能成立，对不对？那说白了就是这个方程这辈子都是无解的啊。这个方程这辈子都是无解的。 哎，不管 t 是 几，我这方程这辈子都无解，怎么说？读懂了这方程无解什么意思啊？哎，肖老师怎么教大家的？势字背后必有途！ 这个方程家人们你不认识吗？这个方程就是个，虽然它确实看着丑，但它就是个可爱的 二次函数啊，对不对？他就是个可爱的二次函数。那一个二次函数这辈子都没有得零的点，那什么意思啊？ 一个二次函数这辈子没有 y 得零的点。同学们，式子背后必有途，难道不应该长成这德行吗？是不是就说白了，就这二次函数与 s 轴无交点呀， 对不对？与 s 轴没交点呀，只能长成这样啊，不然你长成这样，你就有外得零的点了。你长成这样还有俩外得零的点呢，那不行啊，对不对？我要的是永远与外永远无交点，那就说明它的 怎么着？与 s 轴没交点，与 x 轴没交点，那我初一初三学一元二次方程就学会了与 s 轴没交点，那不就是 der 小 于零吗， 对不对？嘚儿它小于零，所以直接嘚儿它啊！ b 方减四， a， c 小 于零，哎，直接解出 a 小 于二分之一，再再再再再进行前提确认 a 不 等于零，所以答案就是 a 小 于二分之一，且 a 不 等于零。搞定 好，看到了没？同学们，是不是感觉这道题如果你真的能够，哎，按照咱们的这个肖老师给大家强化的认知，没有被这个题目表面的陌生感给打败。家人们，后面是不是还是搜一贼的？ 是不是？后面的话，你就基于肖老师出的双控派，有了图就去图上挖柿子，有了柿子，柿子背后必有图，从柿子背后去挖图，是不是非常轻松？尽管问法再陌生，但咱们用分拆思维也是可以搞定的。
02:05查看AI文稿AI文稿二零二六北十大版本的新初三，天差了啊，以前是二六版本的教材出来了， 新教材改革了，狼真的来了啊，这次啊，你不想学都不行了！山西中考三大难点题型，十五题、二十二题、二十三题对应的相似，三角形和二次函数都放在了九年级上册，我们该怎么办 好？来一条视频说清楚！北师大版本新出三的暑假了解一下北师大版本新教材的章节安排。那么第一张，特殊的平行四边形对应期中考试的压轴题，以及山西中考二十一题和二十三题的考点。 第二张，一元二次方程对应的期中考试必考的应用题、大题，以及中考的二十二题的计算部分。那么第三张图形的相似对应了期中期末考试的十五题以及压轴题，二十三题同样也对应了山西中考的十五题，二十三题 啊！那么第四张投影式图比较简单，问题不大，不作为重点来。第五张，二次函数期末考试以及中考二十二题的必考考点啊！那么第六张概率难度也不大，大多数都以选填或者前置位的大题出现，所以这张也不用纠结。但是到此为止，山西中考的三大难点， 那些在春季复习的时候，以及在模拟考试的时候，普通同学可能会选择放弃，好学生会反复纠结，尖子生也难以保证肯定能拿分的。最大的难点题型都出现在了九年级上册啊， 但是这就完了吗？哎，还不是大家都知道啊！一般情况下，九年级上册为了赶进度，往往不只要讲到上册结束，下册往往要至少学一到两个章节，所以下册的第一章三角函数对应了山西省的中考第二十题，也就是倒数第四道大题 也要在上册学完，所以基本上秋季的五个月就要学完中考的最难的三十七分。时间紧、任务重、难度大、节奏快啊！用最快的速度学这三年最难的知识怎么办？第一。
22:04查看AI文稿AI文稿今天我们学习的是二零二六中考几何压轴串讲之面积，我们说全等相似或者几何变换，它最主要的东西，最主要的作用都是帮助我们去换位置，完成这个线段和角的转化的。那么面积转化常见的方法有哪些呢？啊？我们说面积转化常见的方法， 呃，大家只需要记住三个，就是从最基础的面积转化的题目到压轴题，其实你会这三个就够了。第一就是底边笔，哎，底边笔，比如说这有一个三角形 a、 b、 c， 哎，那么过这个点 a， 切一刀下来，如果底边比，比如说是二 a 三 a， 如果底边比是二比三，那么这两个三角形的面积别，这是二 s， 这一定是三 s， 为什么呢？因为这两个三角形什么是相同的？ 这两个三角形是等高三角形，所以底边比就是面积比。好吧，这是最经典的图了。你比如说我只需要找出什么，比如说这是 a、 b、 c， 我 这么切一刀，假设这是这一，这是三，这个 s 等于四，这个 s 等于几？底边比是一比三，面积比也是一比三啊，所以这是十二 啊。那再比如说，其实底边比等于面积比的核心它是等高嘛？啊？它是等高嘛？那我们再这么来想，比如说这是一个平行四边形， 来，我假设这个面积是六，那么平行四边形的面积是多少？这个东西怎么来想呢？其实核心还是等高，你看这个 s 一， 这个 s 二和这个六，这三个三角形是等高的，那么这个是 a， 这个是 b， 这个 a 加 b， 你会发现 s 一 s 二和这个六，它们等高，它们的底的和又相同，那么面积和自然相同，所以底边比等于面积比的核心还是你要抓住等高这个事，就是要抓住等高这个事。在等高三角形当中，底边比都等于面积比，那么它的最经典的图就是这幅图。 好了，这是第一个转化面积的方式底边比啊。第二，我们来看平行线，平行很很好理解，因为平行线间的距离相等，那么他们如果三角形的底不变底都是以 ab 为底，那么 abpe 一， a b p 二， a b p 三，哎，这些面积都怎么样都相等，因为平行线间的距离相等，这就会使得什么呢？会使得只要有平行线，那么你会发现这个 p 可以 在这条直线上随便的滑动，比如说来到 p 一 撇，哎，它还等于 a b p 撇， 他们的面积全都相等，哎，这就会使得一旦看到了平行线，我想让这个点去哪就去哪。面积不变底边比平行线底边比是进行面积的比例转化的，平行线其实是进行面积的等量转化的。在整个初中阶段，还有一个面积的比例转化的方式是什么？相似比的平方等于面积比。 注意，相似比的平方等于面积比，你首先得看到相似三角形啊，你不要上来，你比如说这，这是底边比就等于面积比了，他就不用平方了，别这个地方也平方是吧？相似比比例的平方等于面积比，他一定是建立在相似的基础上。 好了，这就是整个图层阶段需要我们掌握的面积转化的三种方法。底边比，平行线相似转化三角形面积怎么办呢？四边形一般都是割补成三角形，然后再用三角形面积转化，就是我们 整个初中研究几何，基本上都是把所有的图形最终都整成三角形，你把它哪怕最后研究圆，圆也是最后圆，研究圆里面的三角形啊，也不是直接研究那个圆。在大题里面，你可以说因为这两个三角形等高，所以底边 b 是 多少面积， b 是 多少， 在大题里面你就直接说等高就行了。好，来看题啊，他说在平行四边形当中， c p 平分角， b c d 啊，这是角分线，哎，这里有个角分线，这又是一个平行四边形， 哎，大家会想到什么？有角分线，有平行四边形，大家会想到什么？有角分线，有平行，你看，那你这个角是 r 法，这个角是不是也 r 法？ 哎，那这个角如果也 r 法，那么这两个 r 法相等，那这等腰，这两条线段相等，对吧？这就是第一个点角分线，平行线与角分线要得等腰的啊，这是一个基本意思啊。 好，再接下来又告诉我们， c d 等于 c p， c d 又等于 c p 好 吗？那这是个什么东西？那这就是一个等边三角形，他其实给我们这放了一个等边三角形，并且他告诉我们这条边是八，那这条边也是八，这条边还是八，这还是八，哎，那么也就是说这是一个边长为八的等边三角形。 最后让我们求谁的面积？求 a、 p、 f 的 面积，求这个面积，你要求这个面积，你有没有发现哪个面积其实是已知的？就是这个等边三角形的面积是已知的，这个面积是已知的，我现在要求这个面积， 那我是不是就需要找这两部分面积的关系啊？我现在唯一的任务是不要找这个问号，问号和这个对勾的面积的关系来明确一下，咱现在就是要找 s 问号和 s 对 勾的关系，我只要能够找到这俩关系啊，我就可以把这个问号求出来。为啥我不直接求呢？这个问号啥条件都没有，底高啥条件都没有。这个肯定不是直接求的，是需要我们进行面积转化来。那接下来怎么转呢？那你会发现，无论怎么转， 你如果要这个问号的面积，这个平行四边形，这是八，这是八，这是八，我都肯定绕不开哪条线段，我要进行这个面积转化，我肯定绕不开哪条线段，我必然绕不开 ap 就是 平行四边形的另外一条边，这个平行四边形其实也就缺这一条边了，我就设这是 a 啊，那这就是 a 加八，我肯定得把这条线段设出来， 那么一旦我把这条线段设出来了，你会发现哪两个三角形面积之间关系就有了，这两个三角形之间面积关系就有了。 我就设这个是八个 s， 那 么这就是 a 个 s， 因为底边比 a 比八，面积比 a 比八，这叫由底边比设。为什么要设？首先这两个三角形的底边比出来了， 同时是什么呢？同时是这个是一个啊，我们已知面积，所以我找它和已知面积之间的关系好再来。现在我要由它得到它，由它到它，我就需要哪两条线段比， 我最终要表示这个问号的面积，我已经有了它的面积，那我就考虑它俩之间的关系，由它到它需要哪两条线段比？你看 由它到它是不是这切了一刀，是不是需要这个圈和这个叉的比？哎，也就是说我需要 b p 比 p f， 我 需要这个线段比，而 b p 比 p f 在 哪个里面看你需要这组线段比， 在哪个里面看。这是不是有一个八字呀？因为你平行四边形，是不是要注意这是平行线啊？这平行线，那这里是不是出现一个八字？ 你既然出现了一个八字来，这个圈比差其实就是几倍镜，这就是 a 比八嘛。因为你看这里是 a 比八，这又是一个，哎，红色的八字，那这也是 a 比八， 它两个的比也是 a 比八，这两条线段比也是 a 比八。好，那结束了呗。这两条线段比是 a 比八，那这是 a s， 这是多少？ b s 结束了吗？这是 b s， 这是 b s， 说明这两个三角形面积 s 问号和 s 对 勾相等，就是 s 三角形 a p f 就 等于三角形 pbd， 而 pbd 是 一个等边三角形，等边三角形的面积是四分之根号三乘以边长的平方，哎，就等于十六倍根号三结束， 所以这两部分面积相等结束。再跟马哥来感受一下。首先我得到了这个是八，这个是八，这个是八，我就知道这个面积是已知的，就是三角形 pcd 的 面积是十六倍根号三，这是已知的等边三角形面积啊，这个你是肯定自己会算， 那么既然已知了，又要求这个已知，这个求这个，那我就需要找他俩之间的关系，但是他俩之间关系没法直接找，那我要在这里面进行面积转化，我会发现最缺的线段就是它，我设它为 a， 那 么这两个三角形面积就有关系了。这两个三角形面积底边比 a 比八等高，面积比 a 比八，这是八 s， 这是 a s， 对吧？好，现在我就是要他俩关系，他俩关系就需要这个圈和这个叉的比，这个圈比叉，这不是有平行线吗？圈比叉显然在一个八字里，所以这个圈比叉就是 a 比八， 这个圈比叉是 a 比八，那么底边比 a 比八，面积比 a 比八，这是 a s， 这是八 s， 这是八 s， 这是八 s， 所以 这两个三角形面积相等，所以 s 阴影就等于十六倍根号三， 只要把握住等高三角形，等高三角形，再结合一个求比例，想到相似就结束了，想不想换个想法，再想想这道题，我们不用抵边比了，重新来认识一下。首先这个面积是十六倍根号三，这个是没有问题的，我们不再说了，这是八八八，这个面积十六倍根号三， 那我怎么来想这个事呢？我看到了平行线，平行线，我就想到什么平行线间啊，共底三角形啊，面积都相等。平行线是可以转化面积的， 但是你会发现这个平行的转化面积，这个阴影部分的面积是转不了了，但是我可以让这个，比如说我要求的是 s 一， 我可以让这个阴影部分呢？跟谁合在一起去转化？ 这个 s 一 和 s 二合在一起可以去转化。哎，那你会发现整个这个三角形，这是在平行线间夹着的三角形，那我就可以把这个 f 换到哪去？我把这个 f 就 可以直接换到 c 了， 你会发现，因为共叠这个 a、 f、 c 的 面积就等于 a、 b、 c 的 面积，所以这个 s 一 加 s 二的面积就是三角形 a、 b、 c 的 面积。这是利用什么平行线转化面积？ 平行，再观察这个 a、 b、 c 的 面积，这个 a、 b、 c 这个三角形，它和 s 二和十六倍根号三什么关系？首先， a、 b、 c 和 s 二和十六倍根号三，这三个面积是不是都等高呀？然后呢，这个底是八，这个底是 a， 这个是八加 a。 有没有发现，这个 abc 的 面积就等于 s 二加十六倍刚好三，这是我们刚才讲的那个内容，对吧？这个红色三角形和 s 二和十六倍刚好三，它是等高的，这两个的底的和就是它的底，那自然面积和相等。好，那不结束了吗？来， s 一 加 s 二等于 s， 二加十六倍刚好三，所以 s 一 就等于十六倍，刚好三。 所以你看这道题只用了一次转化啊，就是用一次平线转化，再用一次考虑。你看红色三角形 s 二和这个三角形，它们等高底的和相等面积和相等 结束。那你看这道题，我们既用了平行线啊，也用了底边，别啊，来转化面积，所以这些东西用起来都是非常灵活的方法，听起来极度简单，但是你要不断的上手，自己去实操。好吧。啊，这道题过了啊，对称中心，对角线交点嘛， 然后下来说什么呢？说这个 d、 e 比 a， e 是 一比四，那我就设这是 a， 这是四 a， 注意平四一定要标谁，我设了这两条线段以后，一定要注意去标谁，标对面嘛啊，这是五 a， 然后呢，连接 ec 交 b 等于 f， p 是 ab， 上一点要使得 bpo 等于三倍的 oef， bpo 等于三倍的 oef， 哎，也就是说这个是 s， 这个是三个 s， 使得这两个面积满足这样的关系。最后求的是 ap 比 ab 来感受一下，这个是其实底边比等于面积比的反用了， 这是 s， 这是三 s， 那 我只要能够表示出哪个三角形的面积，这两个底边比就能出来，我只要能够表示这个问号的面积，那么这个问号的面积有了，这个三角形和这个三角形的底边比就出来了， 这叫底边比等于面积比的反用来举个例子，假设这是 s， 这是二 s， 那 么就可以得到这是 a， 这是二 a， 这叫有底边比，也可以反推面积比。 好了，那接下来我们就走嘛，那我们就要想，哎，那如何用这些比例关系结合这些已有的表示的面积去搞到它呢？那我就是需要更多的比例关系嘛，对吧？我看一下能够推出哪些三角形的更多的线段比，你要直接想推这个 s 和这个三 s 都走不了， 我必须要要有这些三角形的底边笔吗？那我可以用什么？这有 a， 这四 a， 这是为我是不是可以先看个八字相似吧，哎，这上下，这有平行线，这有 f 为焦点，你看我如果想转化这个面积，那我最好有能够有这些线段笔啊，或者这些线段笔 是不是都可以，对吧？好了，而这又有一比五，那我是不是来先看一个八字相似，这个相似笔就是一比五，那这是 m， 哎，这是不是就是五 m， 对吧？好相似，比一比五，这是 m， 这是五 m， 但是我需要这一条线段和它的比，那再看什么 o 是 什么点？中点，所以来 b o 是 几个 m， b o 就是 三个 m， b o 是 三个 m， 那 么五 m 减三 m， 这就多少二个 m。 好， 一旦有了这个二 m 了，那么这是 s， 哪个三角形面积就可以表示了？ e、 f、 d 就 可以表示了。看底边比是二比一，那么面积比就是二比一，这个面积就是二分之 s。 我一旦有了这个面积是二分之 s， 这个面积是 s， 那 么哪个三角形又可以表示了？观察一下，哎，也就说整个这个红色三角形就是多少，就是 二分之三 s， 整个红色三角形二分之三 s， 谁就出来了， a、 o、 e 就 出来了。因为这个底边比是一比四，那么这个面积就是二分之三 s， 乘以四，就等于六 s 来。那我一旦有了这些面积，哪个三角形的面积就出来了？这是二分之 s， 这是 s， 这是六 s， 哪个三角形？是我这个整个这个绿色三角形也就有了。整个绿色三角形应该是二分之三 s 加六 s 就是 二分之十五 s， 整个这个绿色三角形面积有了，这是二分之十五 s， 谁就出来了。 a、 o、 d 是 二分之十五 s， 谁就出来了。 a、 b o 不 就有了吗？那 a、 b o 和 a o、 d 来， a o 是 什么线？ o 是 中点， a o 是 中线，中线是不是也等分面积？所以这是二分之十五 s， 那 这个三角形面积，它也是二分之十五 s， 这是二分之十五 s。 减掉三 s， 减掉三 s， 是 不是减到二分之六 s， 这就是二分之九 s 来。目标出现， 最终我们发现这个三角形的面积是二分之九 s 好， 那我们最后要的 ap 和 ab 的 比，不就是这两个三角形的面积比吗？所以 ap 比 ab 就 等于三角形 apo 比三角形 abo， 对 吧？就等于多少呢？就是二分之九 s 比上二分之十五 s 好， 就等于三比五 结束好。所以这道题你看，就在反复的用什么，首先用相似求得一个底边笔，然后反复的用底边笔，不断的去找什么样的图， 不断的去找这样的图，反复的用底边笔去推导面积饼。好吧，看看这个题啊，这个题还挺有意思啊，什么叫中心对称？就是绕着它旋转一百八十度啊，旋转一百八十度，所以这其实只是做了一个中心对称，他说把这个三角形 a、 b、 c 啊，绕着这个 o 转了一百八十度， 转了一百八十度，意味着 b、 c 转一百八十度，转到 b 撇 c 撇好，旋转一百八十度之后，这两条绿色线段什么关系啊？相等且平行，因为转一百八十度嘛， 转一百八十度肯定是啊，平行的嘛啊，同时还怎么样相等？所以他一定是平行且相等。好吧，那同样的，你会发现，绕着 o 旋转，那么这个蓝色线段照样一百八十度转到这个蓝色啊，也是平行且相等。还有最后这个红色线段，转一百八十度，转到这个红色也是平行且相等。 他们都是平行且相等的，所以在里面围出来的这个阴影是一个平行四边形，他现在告诉我们这个阴影部分的面积是什么？ s 阴影， 也就是说 s 小 的平行四边形等于四分之一，而三角形 abc 的 面积是等于 一的，然后又告诉我们 bc 是 等于二的，让我们求什么？求 a 撇 c 的 长，求 a 撇 c 的 长，咱就干啥求 a 撇 c 的 长呢？我就设，我就设它为 x， 那 这边是不是就二减 x？ 好， 那我现在其实就是要找到这些线段和这些面积之间的关系 x 二减 x， 就要找到 x 和这些面积的关系。好，那么现在我要找关系，这又有这么多的平行线，我们可以想什么？相似吗？对吧？有平行咱就可以想相似。你观察一下这个小三角形和这个大三角形是不是一个 a 字相似， 同时是不是还和这个三角形相似，而这三角形来，我假设这个面积是 s 一， 这个面积是 s 二，然后整个大的面积是三角形 a、 b、 c 的 面积， 对不对？那我现在一定可以用这些线段结合什么，有了这些线段，其实这三个三角形的相似比就都有了，那我就可以用相似比来表示面积了。好，来，那你看，那么我们来观察一下，首先我看这两个，首先我来看这两个三角形， 这两个三角形它的相似比多少？相似比就是 x 比二减 x， 这两个三角形的相似比就是 x 比二减 x， 那 么这个我说这个是 s 一， 这个是 s 二，那么 s 一 比 s 二，就应该等于 x 方比二减 x 方， 那我就可以射了，那我就直接射这里面的这个小面积是多少？看好了，那我就直接利用比例来射，这个射的操作非常重要，利用比例来射，我就射这个是 x 方倍的 s， 二减 x 方倍的 s， 二减 x 方倍的 s， 这两个的比是 x 方，比二减 x 方，这就是二减 x 方 s。 好， 来再看，因为这个小三角形和大三角形也相似， 小三角形和大三角形也相似，既然小的和大的也相似，那么小的是 x 方 s， 哎，那么小的和大的就是 s。 三角形 c、 d、 a 撇和三角形 c、 a、 b 的 比 是不是也是相似？比就等于 x 方，比几来，能不能写出来啊？ c p、 a 撇啊，这是 c p c p a 撇和 c、 a、 b 相似，比是多少？ x 方比四。所以当我设了这个小的面积是 x 方以后，那么最大的这个三角形面积是多少？ 就是三角形 a、 b、 c 的 面积就等于四 s， 这用相似比来表示面积小的和大的相似，比是 x 方。比四，面积比就是 x 方 s 和四 s。 那 么到这你会发现，我们要表示的面积已经有了，这个三角形 a、 b、 c， 面积是一，它就等于几个 s， 就 等于四个 s， 而这个阴影部分能不能表示呢？这个阴影部分其实就是大的面积，把这两个减掉，就等于四 s 减 x 方 s， 再减二减 x 方 s， 这个平方在外面啊，没问题了吧？好，那么到这其实方程已经出来了，观察一下，到，这是不是方程已经出来了？这是一，这是四分之一，那它就是它的四倍，所以方程就出来了， 方程就是什么呢？最后我们找等量列方程嘛，就是四个 s， 四 s 是 等于一的，就等于四倍的四 s 减 x 方 s， 再减二减 x 方 s， 它等于四倍的，它因为这是一，这是四四分之一。好了，那这个时候你会发现，你这里面虽然看起来有两个未知数，但是谁就被约掉了， s 就 被约掉了， 对吧？ s 就 被消掉了，这是 s， 这是 s， 这是 s， s 就 消掉了， s 消掉了，然后这是四，这是四也消掉了，也消掉以后呢？其实左边就剩了一个一了，右边就是四减 x 方减 二减 x 方。啊，没问题，那就是一就等于四减 x 方减，这是四加 x 方，再减四 x， 对吧？一就等于四减 x 方减，四减 x 方再加四 x， 这四和四也减掉了，四和四也减掉了，那最后就是二 x 方，二 x 方减四 x 再加一就等于零， 二 x 方减四， x 加一等于零。好，那最后解一下直接代公式吧。 x 就 等于二， a 分 之就是四分之负 b 四加减根号下 b 平方十六减四 a， c 十六减八十八， 对吧？它就应该等于个二分之二加减根号二就求出来。所以 a 撇四的长就是二分之二加减根号二。所以这道题呢，就是一个纯粹的用相似比去找面积关系的， 你最后要的是这两个之间的关系，你要求 x 的 嘛，所以其实它是一，它是四分之一给的，本质上就是一个比例关系，它是它的四倍。 好了，那所以这道题呢，其实你得大胆的设，大胆的去表示，你要一开始头脑清晰，它就给了一个阴影部分的面积，给了一个大三角形的面积，最后让我们求这条线段长，那我就是要用这条线段长去找到什么，找到这些面积关系，其实很容易找。这个小三角形和大三角形有一个面积比，设它是 x 往 s， 它就出来了。 这个小三角形和最大的这个三角形也有一个面积比，那么它是 x 方 s 大 的面积也出来了。好，那最后那你会发现大的面积出来了，一就等于四 s， 对 吧？阴影部分面积就是大的面积，减掉这两个面积啊，那就也出来了。好，最后得到这两个式子。怎么去想呢？它是它的四倍，直接列出方程，结束 两个结果，你看一下都合不合理嘛？二分之二加减根号肯定是合理的嘛，就是这个 x 可以 是长的那段，也可以是短的那段。所以我们最后来回顾一下今天这些题都用到了哪些知识。看，讲了三道题， 别看只讲了三道题来，第一题用到了，是不是用到了平行线转化面积，还用到了等高三角形底和高的笔啊？用到了底边笔，用到了平行线。第一道题用到了底边笔用到了平行线。这是第一题，去感受底边笔和平行线的使用。第二道题是一个纯纯的底边笔的使用， 纯纯的底边比的使用。而第三道题的面积转化又是一个什么呢？因为有了平线，第三道题的面积转化纯纯的相似，纯纯的相似，从小的到他从小的到最大的纯纯的相似。 所以呢，去感受马哥所讲的底边比平行线相似，真正是如何转化面积的。这就是我们今天的主题，所以看起来只讲了三道题，你听懂了根本不算啊。下来通过自己动手反复去感受底边比 平行线相似的使用。你比如说这道题，其实也可以用底边笔来做，你可以下来自己试一下，今天就讲到这儿。
1329马哥数学
06:54查看AI文稿AI文稿大家好，那今天来看一下二六年大兴的二模几何综合的题目啊。呃，那么，呃，我们一边读题一边看这个题目，然后里面首先给了个 a， c、 b 是 个九十度，然后呃 b 是 r 发，说明后面应该要倒角， 然后 d 是 ab 的 中点，这是个直角三角形，斜边斜边的中点点 e 为 ab， 下方一点呢就是个 点，然后满足 a、 e、 d 等于二二发，这个地方是二二发，然后将线段 e、 d 绕点 e， 顺时针旋转二二发，那么旋转线段的话，角 d、 e、 f 是 二二发，而且 d、 e 应该等于 df， 等于 e、 f 得到线段 e、 f， 而且点 f 恰好落在 a、 b 上，连接 f， c 延长 e、 d 交 c、 f 于点 g， 因为要连接一下 cd， 还要证明一下角 c， d、 g 等于角 d、 a、 e 刚才就会感觉这是个直角上斜边中线，那么连上 c、 d 之后就确实是这个中线了，然后要正这个角 c、 d、 g 等于角 d、 a、 e 看到这么多的 r 发和 r r 发应该能够想到它应该是要倒角的。 倒角主要就是要用 r 发分别表示一下角 c、 d、 g 和角 e、 a、 d， 那 就是比如说 c、 d、 g 减去角 a、 d、 c， 那 么呢用 c、 d、 b 减去角 g、 d、 b， 那这里面比如说我们选的是放角 c、 d、 g， 它等于角 c、 d、 b。 再减去角 b、 d、 g， 那 么这个角 b， 它应该是等于 r 发的，然后这是一个斜边中线，所以这个角 b、 c、 d 也是等于 r 发的， 所以这个角 c、 d、 b， 它就应该等于一百八十度。减去 r、 r 发，然后再减去一个角 b、 d、 g， 那 么接着这个 b、 d、 g 就 没有办法用 r 发来表示了， 这个角啊， d， a， e 呢？我们可以用这个 c a， e 减去角 c a d 或者是这个 a， d， e 这个三角形里面，那么 c， a， d 呢？就呃 c， a， d 呢？就是九十角二法，但这个 c， a， e 这个角它有点不太好表示， 所以我们比较适合用三角形 a， d， e， 然后再减去角 a， d， 然后这个 b， d， g 和 a d， e 它正好是对零角，所以它就等于一百八十度减去角 b， d， g 减去 r r 发，那么最后这两个式子就相同，所以呢，这个角 c， d， g， 它就等于角叠 e， 看它的第二问啊，用等式表示线段 a， e， e， f 还有 d， g 之间的一个数量关系，并证明 那么这三条边它离的比较散，所以我们如果能够知道它的数量关系的话，能够省很多事情，那还是首先去量一下它的长度， 比如说，呃，就是如果它是 a e 等于 e f 加上二倍的 d， g 的 时候，其实呃我们主要的话呢，应该首先要考虑是二倍的 d， g 要怎么处理，呃，因为 d 是 一个中点，然后呃，如果我们想要延长呢？可能会想要把 g d 往下延长，有一个非常中线， 但是呃，如果是 ef， 他 等于 e d 的 情况下，他就会想要往上延长，我让他能够等于 a e， 那 么不管是在 a e 上截一段呢，还是把 d g 给他延长，他都会需要首先得到一个线段相等，然后去证明剩下的一个线段他等于我们， 比如说这把 d g 给他延长，延长到上面之后，然后让他等于 a e 的， 我们就需要去想办法去证明呢这个这个线段，比如说这个地方是 h， 这个 d h 他 等于二倍的 d g， 如果是延长 d g， 然后 是 g h 等于 d g 的， 那就要想办法去证明的是这个 a e 等于 e h， 那 么具体的选择哪一种，要看哪一个和这个题目条件能够对应上，那么主要要用的就是这个全等， 因为它这个第一位有个非常明确的提示，就这个角 c d g 就是 这个角，它是等于这个角 d a e 的， 所以会发现这是有一个边界角邻着的， 所以呢，我们 a e 又需要在上面截一段，它等于 d g， 我 们正常应该截二倍的 d g， 但是呢，呃，这个 d g 和 d e 它是一条线的，所以如果我们截的是一个 d g， 它也可以。 如果我们截的这一段等于 d g 呢，我们就能够让这两个三角形全等，那么这两个三角形全等之后，我们需要去证的就是另外一个边相等，这个比如说叫 h 吧，呃，叫 i 吧，这个 i e， 它应该要等于的是 e g， 然后这里面又有一个 r r 发，然后这个 e d 又等于 e f， 然后如果我们 e i 要等于 e g 的 话呢，就会发现我们要证的就是这个 e d i 和这个 e f g 这两个三角形等就是旋转过来的。 那么具体的话呢，我们首先是 a i 等于 d g， 可以 证这个三角形 d a i， 它应该是等于三角形的，这个 a 应该对应的是 d， 然后 c d 等于 a d， 所以 这应该是 c d g， 然后可以用的是 s a s 全等，那么就可以证明的是角 a i d 应该是等于角 c g d， 就是 这两个角相等，进而可以发现呢，这两个角它也是相等的，所以这个角 d i e 是 等于角 d g f 的， 那接着再去正这个，呃，三角形 e， d i 全等于三角形 e f g 就 可以了。 刚才提到的，如果我们把这边延长到 f 的 话，也可以证明啊，我们可以让这个 d h 等于 a e。 然后正三角形 e， a， d 全等于 e h f， 然后这个 c d 它会等于 h f。 再正一下 c d 平行于 h f， 可以 证明这是个平行四边形，然后去证明这个 h d 它是等于 d g 的 二倍， 然后四边形呢？呃，用平行，用这个角等于这个角，正这个角 d， d， h f 应该等于角 d a e。 那 么最后就可以证明他的这个结论就是 a e 应该是等于 e f， 再加上二倍的 d g。
17一对一数学郑
44:00查看AI文稿AI文稿今天我们学习的是二零二六中考几何压轴串讲之面积计算。我们几何压轴串讲上周讲了面积的转化，今天我们再把最后的个板块给大家讲完了，我们再讲一讲面积的计算啊，这是今天我们要完成的事， 如何计算面积？如何计算面积？首先我们盘点所有的会用到的面积公式，这个面积公式其实不光是初中，高中也非常有用，所以我们一起来盘点一下啊。常见的，首先三角形面积，三角形面积最基础的二分之一抵乘以高， 这个地球人都知道是吧？好了，除了这一个公式以外，大家还知道什么公式，求三角形的面积吗？用三角函数的两边及加角正弦值乘积 二分之一 ab 三以 c 两边及加角正弦值乘积的一半。我们先把公式盘完，然后马哥一个一个给你正啊，还知道啥，还有二分之一的水平宽啊，水平宽乘以铅垂高， 水平宽乘以铅水高。还有一个是二分之一三角形周长乘以内切圆半径，这就是我们从初中到高中可以说你能够用到的所有的三角形面积公式了。 好，来接下来我们说多边形面积的公式呢，多边形如果特殊的四边形，比如说菱形，矩形啊，菱形，矩形啊，正方形还有梯形都有自己的面积公式，这个我们不说了，大家肯定都知道，还有一个什么呢？二分之一哎，看起来跟这个长得一模一样，对角线乘以加角的 积，如果你不能用公式的话，那么四边形面积，多边形面积一般就干什么了，一个四边形啊，我不能用公式计算，那我就一般就要干什么？对，就割补了，这就是所有的面积公式， 二分之一 a， h 二分之一 b 三 c 二分之一 r 内乘以三角形周长二分之一，水平半径乘以千分之高，这是三角形的四边形的特殊四边形的面积公式，通用的面积公式以及各补法， 这就是面积的计算。有了这些计算方式以后，我们就要有一个意识，遇到面积我先想办法去表示，它表示出来能算算不能算，再想办法，接下来我们一个一个证明，证明完了之后，我再给大家一些例子，咱们再来感受一下。好吧，来看第一个就是三角形 abc 中这条边是 a， 这条边是 b， 证明 三角形的面积等于二分之一 a， b 三以 c。 注意啊，所有的面积，我们接触到的无论是三角形还是四边形的面积，都是用二分之一底乘高来证的，都是用这个最基础的公式推出来的，你可以认为所有的公式都是由它生出来的， 对吧？好了，那我现在要证明这个面积公式怎么办？我都是通过这个公式推出来的，那我要证明这个三角形面积等于二分之 a 乘以 b 乘以 c， 怎么办？ 我就坐高嘛，我就坐高就好了，坐了高以后，我是不是要将这个 h 和这个 b 和这个 c 的 正弦值建立联系？那你会发现在这个直角三角形当中，三引 c 等于什么？三引 c 是 不是就等于对边比斜边？就是等于 h 比 b。 直角三角形当中这个角的正弦值等于对边比斜边好了，那么这个 h 就 等于 b 三引 c， 那么接下来就很简单了，三角形的面积是不是就出来三角形 a b c 的 面积等于二分之一 a h 嘛？ a h 好 了，那么二分之一 a h 刚好又是 b 三以 c 好， 那么面积二分之一 a b 三以 c 得正，就这就是如何利用底乘以高去证明这个公式，我们所有的面积公式都是由这个推出来的。第一个公式，我们来证明一下，这个三角形的面积等于内切圆半径乘以三角形的周长。什么是内切圆？ 就是这个圆和这个三角形的三条边都相切，这个圆和三角形的三条边都相切啊。假设这是切点，这是切点，这是切点，那我相切，我就连接圆形和切点就会得垂直，所以这些内切圆半径就是耳内。现在我就要证明整个大三角形的面积等于周长 乘以内切圆半径怎么办？那你想嘛，我们说了，整个三角形的面积都是由二分之一 a h 底升高推出来的，那我现在就让这些想办法，让这些 r 内已经是垂线了，我想办法让它去做什么？ 做三角形的什么？我想办法让他去做三角形的高，好，那么如果他是三角形的高，谁是顶？ a b 就是 顶，所以我就连接 a o 连接 ob 好， 那么这个 r 内就可以表示这个三角形的面积。好，再来，我如果想让他做高，那我连接 oc， 那 么这个 r 内就是底下这个三角形的面积。 最后呢，这个 r 内就是这个三角形的面积，所以总面积会算了吧，这下是吧总面积，这个三角形 abc 的 面积就等于什么？就等于这三个面积之合嘛？这三个面积之合就是二分之一 ab 乘 r 内， 再加二分之一 a， c 乘 r 内，再加二分之一 b， c 乘以 r 内，就是这三部分这三个三角形的面积和。 那么接下来来我要证明这个结论怎么办？我提公因式嘛，我把二分之一 r 内提出来，里面是不是就剩 a b 加 a c 再加 b c 了？ a b 加 a c 再加 b， c 是 啥东西？周长嘛，所以就是二分之一 r 内乘以 c， 三角形 abc 得正。所以你要清楚，所有的面积公式都是由底乘高乘出来的。那我既然已经看到了 r 内这样的垂线，我就想办法让它当高。整个问题结束再来。他说是这啊，这是一个正方形，边长是四，正方形边长是四，然后呢，有一个三角形， 这个 e g 是 垂直于这个正方形的边的，告诉我们这个 s 就是 这个绿色三角形的 s 是 等于六的 s， 三角形 e b f 等于六，求这个 e g 的 长，这怎么办？那你会发现这个 e g 是 不是把这个三角形切成了左右两个三角形，那么 e g 我 就可以让他当左右这两个三角形的什么东西？ e g 我 就可以让他当左右这两个三角形的底。 既然他当了底，我是不是就要找高？那找高也很容易了，因为这是垂直的，我把它 e g 延伸下来，那你会发现这个 b h 就是 h 一， 就是这个 s 一 的高， 那么这边再做垂线，再做垂线，这个 h 二就是这个 s 二的高。你看，我就想办法割补完了以后让它当公共的底，找到这个底对应的高。好，那咱现在就可以干什么表示面积吗？这个三角形 e、 b、 f 就 等于 s 一， 再加 s 二喽。 这个三角形 b、 f 等于 s 一 加 s 二就等于什么？就二分之一 eg 乘以 h 一， 再加二分之一 eg 乘以 h 二。好，我把二分之一 eg 提出来，就是 h 一 加 h 二， 来观察一下 h 一 加 hr 是 几啊？ h 一 加 hr， 看这个是 hr， 这个是不是也是 hr？ 所以 h 一 加 hr 就 刚好是这段四嘛，所以就是二分之一 eg 乘以四就等于 三角形 e b、 f。 人家要告诉我们，三角形 e、 b、 f 等于六，就是六，就等于二分之一 eg 乘以四。好，那你会发现 eg 等于什么？ eg 就 等于三。 那么接下来我们重新再审视一下我们推出的这个结论啊，就是三角形 e、 b、 f 就 等于二分之一的 e g 乘以 h 一 加 h 二就乘以 bc。 最终你会发现这个 h 一 加 h 二就是 bc， 所以 三角形的面积就等于这条铅垂线乘以 b 点和 f 点这两个点的什么 水平距离吗？这个 bc 是 不是刚好是 b 点和 f 点这两个顶点的水平距离？所以这个东西我们就把它称，为什么？称为铅垂高啊？这就是铅垂高，而这个 bc 呢，是水平宽度，我就称为水平宽。 所以呢，这道题的求解过程其实我们就证明出来了，三角形的面积就等于二分之一的铅垂高乘以水平宽。所以你要知道，这个公式你是不能死记硬背的，这个公式就是通过什么法证出来的？就是通过割补法证出来的。那我们重新画一下啊，画一下来，你看，那 我要找这个三角形的铅垂高水平宽怎么办？首先怎么找铅垂高？我过这个点做一个竖线，这个 am 就是 什么？ 就是铅垂高，那水平宽怎么找呢？就是 b 点和 c 点的水平距离。哎，水平距离怎么找？就是这一段距离，这就是水平宽。所以呢，这个面积就是 s， 就 等于二分之一的铅垂高 乘以水平宽，这个公式就得正了，就是一条竖线和一条横线，这个竖线过中间这个点来条竖线，那么这两个点的水平距离就是水平宽，怎么正的？就是 把它用这个铅垂高，把它分成两部分面积，然后这两部分面积和啊去正的啊，还是用底沉高来正好了，铅垂高乘以水平官，咱也正完了。 来，再往下我们正一下这个四边形，四边形的面积等于什么呢？四边形面积等于二分之 a、 b 三以 c， 这是一个四边形，它的对角线一个是 b、 d， 加角是 c 塔。最后这个四边形的面积就是对角线乘以加角正弦之乘积的一半。来，大家想一想，我要搞这个四边形的面积， 你怎么去想？我把它割成三角形就行了，我最终肯定还是通过三角形等于二分之一 a、 h 来正的，这是总体思路，方向就是正好了。那么接下来如果是你，你会选择用谁来把这个四边形割成三角形？ 用哪条线段我就用对角线嘛，用哪条对角线 b、 d， 我 就选 b、 d， b、 d 好 看嘛？对吧？哎，我就来这个四边形面积是不是就等于 三角形 a、 b、 d， 再加上三角形 c、 b、 d， 对 吧？哎，我用它啊，用这个 b、 d 把它割成这两个三角形，有了这两个三角形以后，我要处理三角形 a、 b、 d， 要处理三角形 c、 b、 d， 那 我肯定就是以 b、 d 为底喽。 如果以 b、 d 为底，我又要通过底乘高来证明四边形的面积，那我接下来干什么？我接下来就做高嘛。啊，我就做 b、 d。 这条底边上的高就是过 a 和 c 去做垂线，过 a 和 c 去做垂线之后，那我现在就要想办法。 用什么啊？已经有 b 为底了，那我想办法，是不是要用 a 用 c 塔去表示这个高 h 一 和这个高 h 二。我想办法要用 这个角度的正弦值，把 h 一 和 h 二表示出来。那要用正弦值把 h 一 和 h 二表示出来，那我就得引入哪些线段？大家看一下。比如说，我想用正弦值把 h 一 和这个 theta 表示出来， 我就得引入哪条线段，我就得引入 a o 和 c o 嘛。你比如说在这个三角形当中，我要用它的正弦值表示 h 一， 那我肯定得引入 a o， 那 你会发现这个 h 一 就等于什么？就等于 a o 乘以三 x 值。 在这个直角三角形当中， h 一 比 a o 等于三 e、 c 塔，所以 h 一 就等于 a o 乘以三 e、 c 塔。你要看马克是怎么想的，我为什么会想到用 a o 呢？因为我要用到这个角的正弦值， 这个角的正弦值是 h 一 比 a o， 所以 我要表示 h 一， 肯定得引入 a o。 那 么同样的道理，这个 h 二就等于 b o 乘以三 e、 c 塔， 就等于这条边乘以加角，正弦值就是 hr， 对 吧？在这个直角三角向内看。好，那么现在我有了底了，有了高了，咱就可以干什么了？写错 c o 啊， 我现在是不是就可以去表示面积了？是不是就可以表示面积了？来，咱们就表示一下，那么 abd 的 我们就表示一下，那么 abd 的 面积就等于二分之一 bd 乘以 h， 再加 cbd 的 面积二分之一 bd 乘以 h 二， 好，那么 b d 二分之一 b、 d 就 可以提出来，就是 h 一 加 h 二， 对不对？而 h 一 h 二，咱就表示过了啊，就等于再往进代，就是二分之一 b d 乘以 a o 三 e c， 它 再加 h 二是 c o 三 e c， 它，那么这个三 e c， 它是不是又可以提出来？又可以提出来？就是二分之一 b d 再乘以 a o 加 c o 倍的三 e c， 它 来，那不结束了吗？ a o 加 c o 是 啥？ a o 加 c o 不 就是 a 吗？对吧？这个 b、 d 不 就是 b 吗？所以它就是二分之一 a b 三一 c， 它 到这我们就得证了，二分之 a b 三一得证。好，最后我们就证明了，任意的一个四边形面积就是对角线乘一乘积，对角线乘积，再乘以加角的正弦值。马哥，最后想说的是，我们进行了这么多的面积计算， 最终你要学到什么？你要学到的不是把这些公式背下来，而是去感受这些公式是怎么由二分之一 a h 长出来的，你要在这个过程当中去感受。哎，我拿到任何一个我没有见过的面积公式，我怎么去想 那任何一个没有见过的面积公式，最终我能能够直接处理的就是三角形，三角形就是底乘高，我无非就是想这个底怎么来，如果四边形，我就通过胳膊把它整成三角形，再去想底和高， 不断地去这么去想，你总能搞出来。所以整个这些公式的推导过程是比最后的结论重要的，多得多的东西就是你要知道这所有的面积公式，最后在你看来都是二分之一 a h， 你 就成了。所以千万千万不要想着去背这些结论，不要想着去背这些公式， 你要想着自己如何由最初的，比如说如何去处理一个四边形面积，割成三角形就找底找高，所以割成三角形以后，我找底，我找高，把高表示出来，整个问题结束 好了，那么到这呢，我们把所有的公式就证明完了。最后我们再回来看一眼啊，这里 a h， 你 们会这正了，这正了，这正了，特殊四边形面积公式你们是会的啊，这个也正了，最后割补法我们用了， 那么接下来有时候这个面积是可以算的，但是有时候面积又没有办法直接进行计算，如果面积没有办法直接进行计算，我们就要去想面积的转化，面积的转化上一节其实我们也讲了啊，就是三个，大家还记不记得底边比等于面积比，这是一个利用比例转化，还有什么 平行线，还有最后一个相似非常好。面积转化你就要关注比例平行和相似。什么叫关注比例呢？你比如说左右这两个三角形是什么三角形，它什么相等 高相等等。高三角形底边比就是面积比，所以这个是二 s， 这个就是三 s， 这就叫等高三角形。底边比等于面积比，它的核心是等高三角形，等高三角形一定有底边的比，就等于面积的比， 核心条件是等高。我们随便感受一下。比如说我当我看到了，看到了这个啊，这个一画啊，我告诉你，这是二，这是三，这个 s 等于四，来，这个 s 等于几？六。 因为你一个三角形过顶点切出来，这两个三角形肯定等高啊。以同样的底，这两个三角形肯定等高，所以它的底边比就是面积比。 那我们再想一想，等高，除了可以一个三角形这么切出来以外，等高最常见的情形还有什么？平线非常好，那平线间其实都等高，假设 l 一 与 l 二是平行的。哎，那我这画一个三角形，这再来一个三角形来，我告诉你，这是，这是一，这是三，这个 s 等于二，这个 s 等于几？这个 s 就 等于六。所以核心是什么？核心是等高，只要两个三角形等高，我就一定可以推出底边 比等于面积比，核心是等高。最常见的是这种图啊，类似于这种图，你只要三角形切一刀，肯定等高，这是一，这是三，那么这个 s 等于二，这个 s 就 等于六。三角形切一刀，这是最常见的图， 那同样平行线间，你也要能想得到，它也是等高的。所以最关键的是抓住等高这个东西去转化，这是进行面积的比例转化。接下来我们来看一下面积的等量转化，比如说这个 l 一 和 l 二是平行的，那我们来想一想，这两个三角形什么关系？面积什么关系？面积肯定相等，对不对？它不但共底， 它还等高，因为平行线间的高处处相等，如果在这随便来一个 p， 那 么 p、 b、 c 和 a、 b、 c 和 d、 b、 c 它们的面积都相等，因为它们共底等高，这就是利用平行线来转化面积，你 d 不好用， a 不好用，你把它们的面积转化为 p、 p、 b、 c 的 面积，哎，说不定就好用了，这是利用平行线来转化面积。那么同时呢，我们还可以再往下推一个结论，大家观察一下这个三角形 s 一 和这个三角形 s 二什么关系，哎，也相等，因为它们同时减掉了中间这个叉， 本身 s 一 加叉是等于 s 二加叉的，结果同时剪到这个叉，哎，这像是蝴蝶的两个翅膀的面积相等，所以以后当我们看到，比如说这是一个梯形， 只要是看到梯形，我连对角线之后，这两个翅膀的面积，这个 s 一 和这个 s 二一定相等，哎，这就是梯形。我们常见的啊，叫蝴蝶等面积，它蝴蝶等面积的本质，你要知道它就是平行线间的 abc 和 d、 b、 c 面积相等，再减掉这个叉，得到 s 一 等于 s 二。那么以上我们讲了比例和平行，最后还有相似转化面积。相似转化面积，哎，那我随便画一个，比如说这是一个 a 字相似， a 字相似，这是 a、 b、 c、 d、 e。 来，我告诉你，这是一，这是二，这个 s 等于五，来这个面积等于几。 这里我们就要用到什么面积比等于相似比的平方。我可以因为这是一个 a 字相似，所以我可以得到三角形 a、 d、 e 的 面积和哪个三角形的面积比大。三角形 a、 b、 c 的 面积比，这个面积比应该等于几？比几啊，它就应该等于相似比的平方，就是一比二的平方嘛， 对不对？所以呢，小三角形的面积是五，大三角形的面积就是多少 s 三角形 abc 就 等于二十，对不对？它两个的比是一比四嘛，所以呢，二十把五减掉，最后答案就是 结束。这就是用什么用相似来转化面积，你会发现这些面积不是求出来的，是转化出来的，你但凡相似，都可以用这个面积比等于相似比的平方。好了，那么以上我们讲了什么呢？我们首先讲了面积的计算工具，然后又讲了面积的转化方式， 所以最终处理的结果就是面积的处理就是能计算就计算，不能计算先转化，这两个结合在一起，我们才能处理面积类问题。能计算就计算，不能计算就转化，对吧？如果你感到这个面积很难以处理，那你就要先想办法去转化它，转化成我们觉得可以处理的再处理。 行了，那我们接下来来上几个题，咱们感受一下什么叫做计算加转化处理面积啊？来第一个例题，盘一下条件 告诉我们这个角三十度，告诉我们这条线段是八，这两条线段比是二比根号三，我设这是二 a， 这是根号三 a。 看，这个设非常重要啊，一定要先设出来，最终呢，他让让我们求什么？求这个阴影部分面积的最大值，这个阴影是一个不规则四边形，一个不规则四边形的面积，你要求最大值，你要想到什么？你要想到割补成三角形， 你可以把它看成，哎，这条线段刚好把它割成了 s 一 和 s 二，那么这两个三角形我分别处理，好像也想不到什么办法，你看处理不了，直接处理不了，我就要想转化了。你看你现在要想直接算，这两个三角形也算不了，要想转化， 那这个转化怎么转呢？这里有最重要的一个什么东西？有平行，有平行，你怎么转？有平行哪个就可以转？有平行是不是这个 e、 c、 d 这个面就可以转？ 用这个平行线，我就把三角形 c、 e、 d 的 面积可以转化成谁的面积？大家想一想， b、 e、 d 嘛？因为这个 c 可以 在这条直线上随便走，面积不变嘛，所以这个面积是不是就可以转化到这儿来？看这个面积是不是就可以转化到这儿来？这个面积是不是也是 s、 r， 对吧？ c、 e、 d 就 可以转化成 b、 e、 d， 那 么转化到 b、 e、 d 有 什么好处呢？如果把这个 sr 转化过来，你会发现我最终要求的阴影部分的面积，这个 s 阴影的面积 就变成谁了。 a、 b、 d 嘛，你看原本是这个 s 一 加 s 二，结果这个 c、 e、 d 因为平行可以转化到 b、 e、 d， 那 最后就是这两个面积和不就是这个红色三角形的面积吗？所以我最后要求一个红色三角形 b、 a、 d 的 面积，这就是第一步，先转化 这个 b、 a、 d 的 面积。来，我们来观察一下这个 b、 a、 d 的 面积，相较于原本的那个四边形面积就已经好了非常多了。我最后要找一个三角形面积的最值， 对吧？要找一个三角形面积的最值来。这个三角形有什么？有底吗？有底吗？它的底是八吗？那我就做它的高就好了吗？已知底，我是不是就做高？所以你会发现三角形面积就出来了，就是二分之一乘以八，乘以 b h， 那 么到这一步，我就已经把问题转化成了要求三角形面积的最大值。转化成求高的最大值，我就是要找 b h 的 最大值， 你看，我通过转化把一个四边形转化成三角形，三角形抵已知，我就要去找高的最大值，你要找高的最大值，那你要想想，我们是不是还有一堆条件没有用呢？你比如说这个二比根号三的比例关系还没有用呢， 对吧？这个三十度角还没有用呢，我想把这些条件用起来，我应该怎么办？我这个二 a， 这个根号三 a， 这个三十度都还没用呢， 我想把这些用起来怎么办？你三十度角，我是不是应该特殊角做垂线，对吧？三十度角，特殊角做垂线，看基本习惯，一旦做完垂线以后，哎，那你会发现，这就可以表示了，这叫三十度。所对直角边斜边一半，这就是 a 来，那么这里又出现了矩形，一个直角，两个直角，三个直角，这是矩形，那么这是 a， 这也是 a， 这是根号三 a， 这也是根号三 a， 这个一比根号三的比例关系，你会想到什么？这是一比根号三，这个角就是三十度，那这个角三十度，这个角就是多少度，这个角就是六十度， 一旦这个角六十度出来了，来吧，我要求 b h 的 最大值呢？我有顶角是六十度，我有底边是八，这是一个什么东西？定边定角，上一周我们才讲过的，这是一个定边定角的三角形，我把它给你画出来看，底边是八， 顶角是六十度。点， b 就 在什么上运动点， b 就 在三角形 a、 b、 d 的 外接圆上运动，你只有在这个外接圆上运动，才能保持这个角是六十度吗？对不对？好点， b 在 这个外接圆上运动的过程当中，我现在要求 b h 的 最值怎么办？那我就过圆心做垂线了嘛， 对不对？所以呢， b h 的 最大值就等于 b 撇 h 撇好，那么接下来要求这个 b 撇就很简单了，我就连半径就行了嘛。 啊，那接下来咱就连半径了。哎，你会发现这个圆周角是六十度，那我连半径圆心角就是一百二十度，一百二十度，这又因为垂直，所以平分，所以这两个角都是六十度，这是六十度，那么这就是三十度， 对不对？好了，那么全场是八垂直平分，这就是四四的话，那这就是根号三分之四，对吧？他是他的根号三倍，这是根号三分之四，那么半径就是根号三分之八，所以这也是根号三分之八 来看，他是他的根号三倍，根号三分之四，根号三分之八，所以 b 撇一直撇就是根三分之四， 再加根三分之八，就是根三分之十二，就是四倍的根号三。你考试的时候你在这里面画就行了，我现在是为了让你看的清楚一点，我拿边上给你画， 你考试的时候肯定要在这里面画圆啊，也可以。好吧，所以呢，我现在有了 b h 的 最大值了，我把它带进来，所以三角形面积的最大值就是二分之一乘以八，二分之一乘以八乘以四倍。根号三，答案就等于十六倍根号三结束，所以最终答案就是十六倍根号三。 好，那么这道题其实总体讲下来分几层，就是分两层，第一层就是平行线转化面积，第二层就是定边定角求高的最大。首先我们利用平行线，我利用平行线把一个四边形 e、 c、 d、 a 的 面积转化成 b、 a、 d 的 面积，平行线转化面积 转化完以后发现了一个定边定角的三角形，接下来定边定角求高的最大值，这道题就是由这两个板块组成的，你最终要想这道题你如果没有做下来，第一，平行线转化面积有没有搞定？第二，当你发现了定边定角的三角形，会不会求高的最大值 就是这两个板块，这就是一道标标准准的可以出在中考考场上的亚洲题了。那么通过这道题，有没有感受到马哥所说的先转化再计算， 哎，你通过这道题，你能不能找到这种感觉？先转化再计算，就是面积的处理，往往你要先进行转化，然后才能计算，先转化再计算，再来。第二题，他告诉我们什么呢？告诉我们这个 a、 b 长是十二，然后呢， o、 a、 o、 b 都等于六， 这个 c、 d 弧在以 o 为圆心的圆上，那也就是说这两个长度都是六， c、 d 弧是以 o 为圆心的一段弧，并且告诉我们弧长是二 pi， 最后要让我们求整个这个面积的最大值， 就是这样的一个问题，来吧，兄弟们，我首先问问大家啊，给你这个二派，你能求到什么？你可以求它圆心角吗？有半径，有弧长，你肯定可以求圆心角，我就列个公式就行了，这个弧长公式你根本就不用去记啊，我就设这个角度为 c 塔， 那你就看这个弧长占整个圆的弧长的多少分之，就占三百六十分之 c 塔嘛，也就说三百六十分之 c 塔，乘以整个圆的周长，乘以二派， 再乘以六看，这是整个圆的周长，因为这个圆形角 c 呢？ c， 它比三百六，就是这个弧长 c， d 弧长占整个周长的比例，你把它乘出来就应该等于多少，就等于弧长二倍。 所以这个公式根本不用记，不用去背什么一百八十分之 n 派， r 不 用背那些东西。你你要理解，它其实就是先把圆的周长算出来，再利用圆心角和整个三百六十度的比例关系，就可以求出弧长了。所以呢，我们通过这个式子，我就可以算出来 c 它等于六十度，哎，也就是说这个圆心角是等于六十度的， 这个圆心角是六十度，要求整个的这个面积，整个的这个图形的面积，那你会发现这里面这个扇形的面积已经是一个什么值了，它已经是定值了，那我这个扇形面积已经可以算了，这个扇形扇形面积 还是用那个比例来想嘛，你就是三百六十分之 c 塔，就是扇形占总面积总圆的面积的比，再乘以 pi 乘以六的平方， 这就等于什么？就等于六分之一乘以派，再乘以三十六，就等于六派，所以这个扇形的面积就是六派，那也就是说我已经搞定了这个扇形的面积等于六派了，这个 s 是 六派， 那我接下来其实就是要去找什么，我就是要找这两部分阴影的面积和的最大值。接下来我就是求 s 一 加 s 二的最值，因为这部分面积已经是六派了，我只需要求这两部分面积的最值。 要求这两部分面积的最值，那怎么办？我要求他两面积最值。这有共点等线，你看共着点，等着线，共点等线就可以。干什么？共点等线就可以转，这是共点，这是等线。共点等线我就可以，干嘛就可以转？ 我有时候割，有时候还要把它拼到一起，哎，转来怎么转？我就让这个 s 一 绕着点 o 转到什么？转到 o a 和谁重合就行了，转到 o a 和 o b 重合是不是就 ok 了，对吧？好，咱们来转一下，我把这个面积转下来。 转下来以后，那你会发现，我原本要求这个 s 一 和 s 二合的最大值，这个 s 一 跑这来了，对不对？为什么可以转？你看转完以后 a 和 b 可以 重合吗？所以最终我要求什么？我要求的就是 s 四边形 c、 o、 e、 b 的 最值，我要求这个面积的最值。来，我要求这个面积最值。咱们看下这个四边形已知什么？这个四边形有什么是已知的？我是不是六是已知的， 除了这个六以外，还有没有已知量？你会发现这个角阿尔法加这个角贝塔是等于多少度？是等于一百二十度的，你把它转过来以后，这个阿尔法加这个贝塔也是一百二十度，所以这个角就是一百二十度。一旦你有了这个角是一百二十度， 你会发现谁也是定量这个四边形，还有谁是定量？ c、 e 也是定量，因为这是六，这是一百二十度，所以 c、 e 的 长来 一个等腰三角形，顶角一百二十度，这是六，这是六，这就是六倍根号三。等腰三角形一百二十度，顶角的等腰三角形，底边是腰长的根号三倍，这是六倍的根号三。 你如果不会，你就做垂线，你也能把它求出来。观察一下，我要求这个四边形面积呢？我现在有四边形的两条对角线了， 你想四边形面积可以想哪个公式？你是不是就可以想对角线公式了？它就等于二分之一乘以六，乘以六倍根号三，再乘以这个加角的正弦值，这个加角 theta 再乘以三元 theta。 因为这里面的 c、 d 是 可以动的嘛，随着 c、 d 动的话，那你会发现什么？你会发现这个点 e 的 位置在动，就是 c e 这条线段，它其实是可以转的， 这条线段可以转，转的过程当中，这个 cta 角是可以发生变化的。那么这个 cta 角什么时候三 e cta 最大？三 e cta 的 最大值是几？三 e cta 的 最大值是一，对吧？当 cta 等于九十度时，三 e cta 的 最大值等于一， 那你会发现面积的最值就出来了吗？ s 这个四边形 c、 o、 e、 b 的 最大值，因为它只有三 x， 它在变，就是二分之一乘以六，乘以六倍根号三，再乘以三 x t 的 最值乘以一，就等于十八倍根号三。 好，那么它的面积最大值是十八倍根号三，再加上原本这个面积最大值是多少？就是六派加十八倍根号三。结束 来，我们来盘一下这道题有几个关键点。首先求这个面积我们就不说了，这是定制。这道题的解决其实就是两个关键点，第一个关键点是什么？当我要求这个 s 一 和这个 s 二，面积和的时候，我想到共点等线转，当我想求这两个面积和的时候，我想到共点等线转。 第二，当我发现一个四边形对角线都已知的时候，那我就是要求 sin theta 的 最大值一转化二计算，你看还是一个转化 加计算的逻辑。那很多小伙伴问我，那马哥，我，我这个公式不知道怎么办？或者说公式不让用怎么办？马哥，前面不是都给你证明了吗？ 对吧？那个证明的过程你证一下不就可以用了吗？我们来看最后一道题吧，他说已知线段 d e 是 二十，也就是这个圆，给了一个直径是二十，告诉我们这段是二，那我们就知道这是八至十啊，半径是十，他过这个点 f， 随便画了一个 a c， 然后连接 c e 和 a e， 让我们求这个面积的最大值，来， 这个面积的最大值，大家有什么想法？这是八，这是十，你会想到什么？那我们这个时候我们先这么想一想嘛，哎，这是一个四比五，对不对？来，我给你这么画，你来感受一下。 如果这是四，这是五，要求这个面积，你会有什么想法？你是把它一连，这是四个 s， 这是五个 s 看，看到了这样的比例关系，看到了这样的比例分点，我把它一连，是不是就会有四比五的面积比？所以呢，你看你用底边比，很多时候你需要自己去造出来这样底边比的比例关系来，以后你看到一个三角形，你要处理面积，来给你个这 a， 这三 a， 对 吧？你会想到这是 s， 这是三 s 那。 但是如果现在没有给你这个这条线，但是人家给你了，这是 a， 这是三 a， 你应该怎么去想？你连谁？我就连接 a、 d 嘛，我连接 a、 d， 这是 s， 是 不是三 s？ 所以 当你已经看到了这样的哎，这有一个比例的分点，那我是不是就可以把 co， 把 a、 o 都连接起来， 而且 c o 和 a o 都是半径都是十，那么接下来，那你就会发现，我看左边这个三角形，他被切开了底边比四比五，面积比四比五，所以这是四 s 一， 这是五 s 一。 那么看右边这个三角形，这是四 s 二，这是五 s 二。 也就是说整个这个大三角形 s， 三角形 a、 e、 c 是 几个 s， 就 等于九倍的 s 一 加 s 二， 而这个小三角形 a、 o、 c 就 等于四倍的 s 一 加 s 二，这是 s 二啊，四倍的 s 二和五倍的 s 二。那么这样的话，我整个大三角形 a、 e、 c 是 不是就可以转化成 四分之九倍的 a、 o、 c？ 我 为什么要把 a、 e、 c 的 面积转化成 a、 o、 c 的 面积？因为 a、 o、 c 很 明显，什么？定量更多吗？对不对？这个 a、 o、 c 是 不是很明显定量更多？它的两条边都是十 来一个三角形，两边已知。你现在要求 a、 c、 e 的 面积，我是不是转化成 a、 o、 c 的 面积，而 a、 o、 c 两边已知。你会想到什么？ 你是不是就应该想那个三角函数的公式了？你这个 a、 o、 c 是 不等于二分之一乘以两边乘以三角 a、 o、 c 这个红色三角形的面积是等于二分之一乘以两边再乘以这个角度的正弦值的，这是 a， 这是 c， 那 么 s 等于二分之一， a b 三 c。 当你发现两边已知的时候，这两边已知的时候，我肯定要看这个加角了。到这，哎，那你会发现我要求 a、 o c 的 值，是不是就是求这个加三角函数的值了？三角函数的值是多少？ 我们刚才已经说了嘛，当角 a、 o c 等于九十度的时候，这个三角函数取得最大之一嘛，所以 a、 o、 c 的 最大面积就等于五十，就是把一带进去 a、 o、 c 的 最大面积等于五十。你 a、 o、 c 的 最大面积出来了，那我带进去 a、 c、 e 的 最大面积等于四分之九倍的 a、 o、 c 最大面积就是二分之二百二十五。结束 来是不是又是一个先转化再计算，对吧？又是一个先转化再计算。第一步，第一步，利用底边笔进行转化。 我原本要求这个 eac 这个三角形面积的最大值，你会发现 eac 里面没有定量， eac 里面没有定量怎么办？我看到了底边比我去连接， 连接完以后，我得到了四 s 一 五 s 一 四 s 二五 s 二，从而将 aec 这个大三角形面积转化成这个红色三角形的面积。然后第二步，红色三角形的面积计算，选定合适的公式。当两边已知的时候，我只看它夹角的最大正弦值就 ok 了， 先转化再计算。来，那我换一个角度来理解，我就给你换一个角度来理解，这是十，这是十，这是三角形 abc。 我 们现在假装不会那个公式，假装不会那个公式，你要三角形 abc 面积的最大值，你是不是等于二分之一乘以十乘以什么高的最大值吧？ 那接下来我要求高的最大值，你会发现这是一个定边十。在这个直角三角形当中， h 是 不是小于等于十？所以 h 的 最大值是不是就是十？所以他的最大值是不是就二分之一乘以十乘以十就等于五十？ 好，那为啥是九十度？那你就想一想，什么时候取等，什么时候取，等什么时候这个高才能等于十，什么时候取等，是不是就是高和 ac 重合的时候？如果高和 ac 重合，你会发现你画下来这个三角形是不是就长这样？这是 a， 这是 c， 这是 b， 这是十，这个高就等于十， 就是这两条线垂直的时候，就是这个夹角九十度的时候，这是假装你不会那个公式，你照样能退出来。所以这就是为什么两边确定的时候，当夹角等于九十度，夹角等于九十度的时候，就是高曲最大。 但是你以为这道题到这完了吗？到这还没有完，这会有一个问题，接下来这个讨论才是这道题最难的点。会有一个问题，什么问题？ a、 o、 c 能不能取得九十度？什么意思啊？你去感受一下，还真有不能取得九十度的时候。你比如说我这有一个点，这个点是那个点 f 来， 如果这是那个 c， 这是 a， 这是 o， 你 会发现，哎，你自己去感受一下，你会发现这个 a、 c 绕着定点 f 怎么转这个角都不会是九十度。就是如果这是那个定点，你感受一下 a、 c 绕这个点怎么转？这个角 a、 o、 c 角 a、 o、 c 都会大于九十度， 根本就取不到九十度，刚才那道题你自己想一想，那转是一定能转到九十度的，没有东西限制他，但这道题是是有可能转不到九十度的，你下来可以把那道题再感受一下。那么接下来我们就说怎么正的问题，我们接下来任务就是要验证角 a、 o c 能否取到九十度。我们接下来要干这个事， 干这个事我们先要学会一个东西啊，就是其实过定点的弦，过定点，假设这个 f 是 定点，过定点的弦，这个 a c 一定小于等于谁一定小于直径，过定点的弦必然小于直径，小于等于直径，这是没有问题的，但是它有没有最小值？过定点的弦有没有最小值，它是有最小值的。垂直的弦，这就是过定点弦的最小状态。 所以呢，就是如果 a c 过定点 f， 那 么一定有 a c 大 于等于 a 撇 c 撇就是垂直的时候最小。来接下来我们来证明一下。接下来我们证明一下，就是当 a 撇、 c 撇过定点且和直径垂直的时候最小。我们来证明一下怎么正，我想正它最小怎么正，因为你会发现你要正的是一条弦的最值， 与弦有关。咱就做垂镜，一旦做了这个垂镜 o h 之后，你会发现弦谁大谁小不知道，但是这两条弦的弦心距谁大谁小是确定的。 弦心距一定是 o h 小 于等于 o f， 弦心距一定是 o h 小 于 o f。 在 这个三角形当中， o f 始终是斜边， o h 是 直角边，与弦有关，非常棒啊，这是一个非常棒的意识，与弦有关。这个辅助线怎么来的？与弦有关， 做垂径，这就是我们讲的基本辅助线。 o h 小 于等于 o f， 那 么接下来我要找 a c 和 a 撇 c 撇谁大谁小，我是不是要建立它俩和它俩的关系怎么建立？我是不要找弦和弦心距之间的关系怎么建立，哎，我就勾股就好了嘛。来，你看 这个 a c 是 不是半径，所以你会发现这个 a c 是 不是半径，所以你会发现这个 a c 是 不是半径，所以你会放到这里面勾股定力的，所以 ac 就 等于两倍的 a h 就 等于两倍的。看 a h 放到这个直角三角形当中，勾股定律，它就等于两倍的根号下 r 方 r 方减 o h 的 平方。 好来，再看 a 撇 c 撇是不是也可以表示了？我要表示 a 撇 c 撇是不是也和它的弦心距，再连个半径，放到这样的直角三角形当中， a 撇 c 撇等于两倍的根号下 r 方减 o f 方。 来，写到这看出来了没？那你会发现这个 o h 小， 这个 o f 大， 看 o f 是 大于等于 o h 的， 那么 r 方同时减到一个小的，减完以后是不是大？ r 方减到一个大的，减完以后是不是小？所以你会发现 a c 大于等于 a 片， c 片得正，所以就是垂直的时候最小得正，这个减的小它是不是就大，这个减的大它是不是就小？也就是说呀，我们通过以上的讨论， 我们知道这个弦长是有最大值，最小值的， ac 是 小于等于直径，就是这个过定点的弦 ac 是 小于等于直径，大于等于垂直的时候的 这个弦长，过定点的弦长是有范围的。那么现在回来我们到这里，我要验证这个角能不能取到九十度。 来，我们现在说一下逻辑，我要验证这个角能不能取得九十度，那我假设它能取得九十度，那么九十度是不是对应一个弦长？九十度对应的弦长是十倍的根号二，那我是不是就验证什么？我就只需要验证 a、 c， 哎，能否取到十倍根号二就结束了。来，我假设九十度的时候，你可以算出来对应的弦长是十倍根号二，那我要看它能不能等于九十度。那你只需要去验证 a、 c 能否取到十倍根号二。我为什么要这么转化？因为这个角度我不会验，但是这个弦长的范围我刚才已经知道该怎么去找了。 那我们来想一想嘛，这个 a、 c 的 范围是什么？我验证 a、 c 是 否能取得十倍根号二， a、 c 它最大最大是多少？来看一下这个 ac 绕着 f 转的过程当中，它最大最大是多少？最大最大是二十，最小最小。是不是垂直的时候最小最小是垂直的时候最小最小。它大于等于 a 撇、 c 撇，对吧？那我是不是把这个 a 撇、 c 撇求一下就行了？ 来， a 撇 c 撇，那其实也很好求了，那我只需要连接半径吧。连接半径，我们来看一下，在这样的直角三角形当中，这是十，这是八，那这就是六，那这也是六，所以它最小是十二。 来， a、 c 最小是十二，最大是二十，能不能取到十倍根号二？哎，显然可以嘛。这个十倍根号二约等于根号二，是一点四一四嘛，这是十四点多嘛，所以它显然是大于等于十二，小于等于二十的，所以可以取到十倍根号 ac， 能取得十倍根号二，那么角 aoc 就 能取得九十度，到这整个问题结束。所以最后这里我们用到了一个非常重要的问题，转化。我们要看圆心角，我不会看圆心角，我不知道能不能取得九十度， 我看他对应的弦长能不能取到。只要你能够取得这样的弦长，那么这个时候的圆心角一定是九十度。这个转化非常的关键，这是圆内的圆心角和弦长的转化。来这道题我们从头到尾看一下，从头到尾看一下， 首先咱们先不考虑取不取得到的问题，先不考虑取不取得到的问题。你要先理解底边比，进行面积的转化，将大三角形转化为小三角形。 转化为小三角形以后，因为两边已知，两边已知，那么只需要讨论加角的正弦值，加角的正弦值取到最大一，那么面积的最大值就出来了。这是这道题的主体框架，先转化底边 b 转化，再计算。这是一个板块， 这个板块结束以后，你需要去考虑这个 aoc 能否取到九十度，讨论 aoc 能否取到九十度。我们先给大家了一个基本知识，就是过定点的弦是有范围的，最小的时候就是垂直的时候，垂直时候最小。 那么既然过定点的弦有范围，那么过定点的弦所对的这个圆心角肯定也是有范围的。怎么办呢？我不去考虑角度范围了，我直接把这个什么，我直接把这个角度能不能取到九十度，转化为弦长能不能取得十倍根号二，而这个弦长的范围，我们知道的 弦长的范围就是小于直径，大于垂直的时候，弦长的范围有了，我就知道弦长可以取得十倍括号，弦长只要能够取得十倍括号，整个问题结束。今天讲的这些题目啊，你真的不是说你听完一遍你就觉得你行了下来一定要反复去揣摩，反复去揣摩几个事呢？第一个事， 什么叫做先转化，再计算，你会发现我们今天处理稍为复杂一点的题目，你会发现什么叫做先转化，就是底边别 平行线相似，先利用这些几何元素去进行面积的转化，转化完了以后，再选合适的公式，合适的公式去进行计算。你任何一道有点技术含量的面积类问题，基本上任何一道有点含量的面积类问题，基本上都要经历这两步。 第二呢，今天我们讲的题目都非常综合，对于这种综合题，一定要有结构化的思维。什么叫结构化思维？比如说第一步我利用平行完成 转化，第二步我利用定边定角求最值，这就叫结构化的思维。就是你在思索一道复杂的综合题的时候，你千万不能啊，一步一步一步来，记了二十步，那你就疯了， 你最后要想明白，其实就是这两件事，你把这两件事分别弄懂了，这道题你就通透了，你只有这么去想，才真正能把一道综合题去分析明白，那我们今天的面积计算和转化就全部讲完了。
1651马哥数学
01:08查看AI文稿AI文稿这道题正确率不超过千分之一，即使是学霸可能也不知道该如何下手。如图，矩形 a、 b、 c、 d 的 面积是十二点， p 是 矩形，那一点 p b 是 二， p c 是 四，让我们求 pa 的 最小值。 你看矩形的面积，既然是十二，就说明这两条边的乘积为十二。相信你能想到定角定积，因为 p b 等于二，我们不妨做一条 p b 的 垂线，让 b k 等于六，那么这两个白色三角形就边角边相似了。 相似以后你再看，因为 p c 是 p b 的 两倍，所以 a k 也就是 ab 的 两倍，加上 b k 是 定值六。如果你对阿式圆稍有了解的话，你就会知道 a 点就是在这个圆上。 前面的视频说过，我们通常是构造母子相似来找这个圆的圆心。在这道题中，就是构建绿色三角形，和这个蓝色三角形相似。通过相似比，你可以轻松解出 b t 等于二， a t 等于四。 这时你会惊喜地发现，黄色的是个直角边为二的等腰直角三角形，所以 p t 就 等于二倍，根号二。最后，在橙色三角形中，通过三边关系，你就可以计算出 p a 的 最小值了。
688数形大大大
