数学八下多边形的对角线怎么画
大家想一想，对于一个多边形来说，他有多少条对角线呢？那我们先来想一下什么叫做多边形的对角线。没错，多边形中两个不相邻的顶点之间的连线就叫做对角线。比如说大家想想，这个点 它能连出几条对角线呢？根据定义，它不能与相邻的两个点相连呐，那同时这个点它也不能与自己相连呐。 所以大家说，对于一个 n 边形来说，其中的一个顶点能连出几条对角线呢？没错，一个顶点能连出 n 减三条， 那么这个三里面其实有一个啊，是他自己，而另外两个是与他相邻的两个顶点，所以说 n 个顶点啊，就能连出 n 倍的 n 减三条对角线了。然后我们来观察一下 这条对角线，大家想想，我们以上面的这个顶点作为参考点的时候，是不是计算了一次这条对角线呢？但是当你以下面这个点作为参考点的时候，是不是也计算了一次这条对角线呀？ 也就是说，其实我们这些条对角线里面怎么样啊？每条对角线我们都计算了两遍呐， 也就是应该是用这个总数除以二。最后呀，多边形的对角线调数公式就被我们推导出来了，它是二分之 n 倍的 n 减三，其中这个 n 呢是多边形的边的数量。那关于这个公式的推导过程啊，屏幕前的你听懂了吗？
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13:44查看AI文稿AI文稿亲爱的同学们，大家晚上好，今天我们所学习的内容是八年级下册数学第二十一章第一小节第二部分， 多边形及其内角和。那在进行今天的课程之前，我们先来回顾一下在前面中我们所学习到的三角形的内角和定力。我们知道三角形的三个内角等于一百八十度。第二个针对于特殊的 四边形、正方形和长方形而言。我们在小学的过程中，我们就学过正方形和长方形，每个内角都等于九十度，而且它有四个角，所以因此我们可以得到正方形和长方形。特殊的 四边形中，他们的内角和等于三百六十度。那在昨天我们所学习到的四边形的性质及其内角和的时候，我们也学习到了针对于特殊的 如何到一般的，那任意一个四边形的内角和是否也等于三百六十度呢？我们在昨天的课程中，我们连起对角线，将四边形分成两个三角形，再借助三角形内角和等于一百八，我们是不是能够证明出来，对于四边形 任意一个四边形而言，四边形的内角和都等于三百六十度。这个如果大家不太清楚的，可以再详细的再看看，那我们在这里就不多说了。那当然除了这种方法之外，我们还有其他的方法，比如说我们可以选择在四边形 a、 b、 c、 d 的 内部任选一个点， o 连接 o 点与各顶点，那在这里大家会发现 o 点与各顶点之间的连线是不将这个四边形分成了一、二、三、四四个三角形，那再借助三角形内角和等于一百八，那四四个三角形的内角和是不是四乘 一百八？我们观察我们得到的是四边形的四个内角，那在这里面是不是多出来以 o 点为 共顶点的一个周角？大家知道周角的度数是三百六十度，所以我们就可以得到这里四边形的内角和是不是也可以写成是四乘一百八，减去三百六，那就是三百六十度。 我们在这里讲述了两种来证明四边形的内角和等于三百六十度的方法。那当然今天的课程中四边形不是重点，我们将会学习多边形及其内角和， 那我们从四边形去证明他的内角和等于三百六十度。为启发，他会发现这两种方法而言，相对来说第一种方法是否更为简单？ 所以在后续证明多边形及其内角和的时候，我们沿用的也是第一种方法。问你能否推导出五边形和六边形的内角和。以五边形为例， 我们在想证明四边形的内角和是不是过其顶点做对角线，所以我们就可以以五边形的一个顶点出发。假如以 a 点， 在昨天的课程中我们讲到对角线指的是连接不相邻两个顶点之间，所以过 a 点我们可以做出两条对角线。 那做出两条对角线之后，大家就可以看到我们这两条对角线是不是将三将这个五边形分成了三个三角形。 三角形的一个内角是一个内角和是一百八十度，所以三个内角那就是一百八十度，乘三能接受吧？ 那同样仿照这种方法，我们也可以做出来六边形，那过其一个顶点出发，可以做出三条对角线，那这三条对角线是不将这个六边形分成了四个三角形，一个内角是内角盒是一百八，那四个就是一百八乘四，还行吧。 所以以五边形和六边形为例，你能否得到多边形的内角和。在这里大家可以发现，我们在三角形的时候，三角形过其顶点是不是没有对角线，那对角线的个数就是零，内角和是一百八。 四边形有几条对角线是不是过一个顶点，是不只有一条对角线，那他的内角和是一百八乘二，分成了两个三角形， 那五边形刚刚看到过起一个顶点，可以做出两条对角线，分成三个三角形，所以他的内角和是一百八乘三。而六边形过一个顶点，可以做出来 三条对角线。将四边啊将六边形是不分成了四个三角形，所以内角和是一百八乘四。 由此大家就可以知道， n 边形过一个顶点，你看三的时候是零，四的时候是一，五的时候是二，六的时候是三，那所以 n 边形过一个顶点，可以做 n 减三条对角线， n 减三条，那可以分出来 n 减二个三角形，所以我们的对角内角和就是一百八十度乘上 n 减二。那至于 n 减二是从何而来，大家可以看到三角形是不一百八乘一， 四边形是不一百八乘二，五边形是一百八乘三，所以 n 边形对应的就是一百八乘上 n 减二。 因此我们可以总结得到，一般的从 n 边形的一个顶点出发，可以做出来 n 减三条对角线，它将 n 边形可以分成 n 减二个三角形，那 n 边形的内角和就等于一百八十度乘上 n 减二， 这样我们就得出来了多边形的内角和公式应该是一百八十度乘上 n 减二能接受吧？ 那接着我们再看这道题目，题目中告诉你的是，如果一个四边形的一组对角互补，那另一组对角有怎么样的关系？大家知道四边形四个内角有一组对角互补， 那就意味着角 b 加上角 d 的 和是不等于一百八。同样四边形的内角和等于三百六，那就可以得到角 a 加上角 c 的 和也等于一百八。所以我们就有一个这样的结论，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。 还行，穿插一个四边形的那个知识点，那接下来我们可以来研究一下外角。以六边形的外角为例，这里提到在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的核就叫做六边形的外角核。那六边形的外角核等于多少呢？大家知道我们以角一为例， 角一与我们的角 f、 a、 b 是 不构成一平角对吧？那在这里面总共有多少个平角呢？那角一有一个角二 角三角四角五角六是不是有六个平角？那六个平角大家可可以发现，一个平角的度数是一百八，六个的平角是不这么多，那我们的外角和是不就等于平角的 度数之和，减去其内角和六边形的内角，借助我们刚刚的公式，是不是六减二乘上一百八？所以最终结果我们得到的就是三百六十度 六边形的外角和，那我们就能得到三百六十度，可以吧？啊？这里任意一个外角与他相邻的内角有着怎么样的关系？大家知道。互补第二个六边形的六个外角，计算上与他们的相邻的角所得的和是不六个平角。 上述总和与六边形的内角和和外角和有什么样的关系？我们会发现内角和加上外角和就等于六个平角，所以我们就可以得到像这样的知识。那这种方法也是我们去证明多边形的外角和等于三百六十度的原因。 他说如果将六边形换成 n 边形， n 是 不小于三的任意整数，那可以得到这样的结论吗？以六边形为例，刚我们讲到一个外角与相邻的内角之间是不构成一个平角。 六边形有六个外角和六个内角，那每一个外角与相邻内角之间是不是都构成一个平角？那 n 边形是不是有 n 个外角和 n 个内角，所以相邻的一个内角和外角，它们所构成的平角的个数是不是 n？ 所以我们就能得到内角和加上外角和等于他们平角和的度数。所以内角和 n 减二乘一百八，加上外角和是不就等于他们平角的和，那平角是不 n 乘 一百八，所以以此我们就能得到外角和是不是就等于 n 乘一百八减它，那我们的结果就是二乘一百八十度等于三百六十度。所以大家需要牢记， 对于任意的一个多边形，他们的外角和都是固定的，就是三百六十度。 内角和跟边数之间产生关系，但是外角和对于任意一个多边形，外角和都是三百六十度，请大家记清楚这个知识点。好，接着这里提到观察下列动图，请你尝试用另外一个角度去证明，这个多边形的外角和也等于三百六十度。 看到啊，旋转的这个图没有放出来，那既然没有放出来，大家好作为了解。接着我们应用一下我们刚刚得到的结论，如果一个正多边形看到正多边形指的是 每条边是相等的，每条边都相等，那就意味着每个内角也相等，每个外角也相等， 内角和是五百四十度。那大家就知道我们内角和所涉及到的公式是， n 减二乘上一百八十度等于五百四十度，所以 n 减二等于三，那 n 就是 五，那这个多边形是正五边形。接着 第二个刚刚的对角线，我们讲到过一个顶点可以做 n 减三条对角线，那五边形有五个顶点是不乘五， 对吧？我们可以得到五减三，再乘五。需要大家注意的是，就比如说我们以五边形为例，这里 a c 是 不可以看作以 a 为顶点引发所出来的一条对角线，那同样 a c 是 不是也可以看作以 c 为顶点引发出来的一条对角线？所以我们一般情况下，我们要求它的对角线的总条数的时候，我们在这里要除以二。 我们以这道题大家就可以知道，对于一个 n 边形，回顾一下，它的内角和是 n 减二乘一百八，它的外角和是三百六十度。 他过一个顶点做出的对角线的个数是 n 减三条过一个顶点，那他所有的对角线的个数就是 n 乘 n 减三再 除以二，明白不记清楚这个结论。有的时候我们选错题或填空题可能会考你这个知识点，这个讲到利用多边形的内角和列方程去求边数，这个借助的就是 n 减二乘一百八等于他的内角和。 接着第二部分这里想让你去证明角 a 加角 b 加角 c， 角 d 以及 e f、 g。 那 其实在这里大家会发现，我们来看可以直接干嘛？ 连接我们的 b、 f， 连接 b、 f 之后，角 a 加角 g 是 不是就等于我们图中的角一和角二？ 因此那这么多的内角的个数，内角和它实际上是不是就等于这个四边形，那个多边形 d、 c、 b、 f、 e 的 内角和。而这个多边形 d、 c、 b、 f、 e， 它是一个几边形，一二三四五五边形，五边形的内角和是五百四，所以我们这个的题的答案就是五百四，能理解吧。当然这一道题也可以不止这样做哈，方法不为一， 大家也可以了解一下这个做法，剩下的就不说了，这个提到在针对一些不规则的多边形的内角盒的时候，常见的做法要么是连线，就像我们刚刚题目中这里讲到的，要么是将非 凸边形，还记得什么叫做凸边形，什么叫做凹边形吧，我们在昨天的时候，我们讲到四边形的分类的时候，提到了这一点，转化成他的一个问题，那我建议大家呢，还是采用连线的方法去做比较简单。接着 这个介涉及到三角形的多边形的外角，我们刚讲到对于任意一个多边形，它的外角的和都等于三百六十度，所以一个多边形每个外角提到了每个外角都是四十五，那就意味着他一定是一个正多边形， 对吧？所以我们拿三百六十度除以四十五，我们就可以直接得到这道题的答案，应该是三百六除以四十五，同时约去五，那就是九分之 八，是吧？所以这个多边形我们应该得到的，他是一个八边形，那他的内角和就是八减二，再乘上一百八十度就可以了。 我们除了借助我们刚外角的乘数来讲，我们当然这个也可以借助内角，因为每个外角都是四十五，那就意味着他每个内角是不是一百三十五， 那既然是一百三十五，我们就可以设多边形的边数为 n。 看到了，所以我们这种啊方法都是可以的，借助内角和借助外角和都是可以的。 这里提出巧用多边形的外角方便计算，大家知道方。嗯，多边形的外角它总是一个定值，外角和总是一个定值，那无论多边形的边数是多少，它的外角和总是三百六，所以涉及到正多边形，正多边形指的就是多边形的每一条边都相等的情况下， 我们就可以直接利用它去求就可以了。那我们今天所涉及到的关于多边形的一些知识点就讲到这，希望大家能够牢记掌握。
414数学魔法屋
02:36查看AI文稿AI文稿小蜜蜂的蜂窝都是这种六边形的，很明显，每个六边形都有六条边，六个角，那它有几条对角线呢？连一下数数呗，一二三 四五六七八九，这都齐了，一共九条对角线。那我要是问你，十五边形有多少条对角线呢？这要是都画出来数数，那还能看吗？肯定有别的法子。你看刚才这个六边形，咱再画对角线的时候是一二三四五六。哎，为什么是三条一组呢？ 因为从这个点出发，能连出去的对角线就三条，旁边的两个点不成，自己也不成，其余的点都连上，都是对角线， 换个点也是三条。除了自己和旁边的都能连上对角线，再换个点还是三条。不过有一条是重复的，再换个点又是三条，其中有两条是重复的，如果再换点呢？都是在重 重复之前的了。你看，这都是数对角线的诀窍了。对于每个点来说，除了旁边俩点和自己都能连对角线，每个点能连三条六边形，有六个点就能连十八条对角线。但是这里边有重复的， 每条对角线都从这往那和从那往这各连了一次，那就被算了两回，所以十八得再除个二，搁九条，跟刚才数的一样。那咱就一起用这个方法去搞定那个十五边形。十五边形的每个顶点能发出几条对角线呢？ 对了，除了这三点，剩下十二个点都能连对角线，每个点就能连十二条，一共十五个点，就是十二乘十五条呗。别忘了，这里有重复的，每条对角线都被算了两次， 所以得再除个二算，一算就是九十条了，这就是答案。既然方法你懂了，那咱就一起来总结个公式呗，看看 nb 边形有多少条对角线。对于 n 边形来说，每个点出发去连对角线，除了这三点，剩下的 n 减三个点都能连上对角线，这样 n 个点就能连 n 乘 n 减三条。哎，每条对角线都被算了两次，所以别忘了除以二，那 n 边形就有二分之 n 乘 n 减三条对角线了，这就是公式。 如果题目问你二百边形的对角线有几条，你会不是的，你没有看错，不是五边形，不是八边形，是二百边形。二零零二百边形。别嫌这数大，套公式都能算 n 等于二百对角线就有二百乘二百减三，再除以二算一下是一九七零零条。怎么样？公式还挺好用的吧。 题目都讲完了，一起总结一下。多边形的每个零点都可以连出 n 减三条对角线，而每条对角线又可以从两个点分别连出，所以 n 边形的对角线就是二分之 n 乘 n 减三条。记住这个式子，啥题都能搞定！好了，就这样吧，快去做题，拜拜！
75初高中数学胡老师
10:10查看AI文稿AI文稿同学们好，欢迎来到大众数学前一次课呢啊，我们已经认识了这个多边形，是吧？同时呢，我们也认识了这个多边形啊，他跟三角形不同，每个地方他还有内角线， 那么前一次过来，我们也已经化了，那么这个四边形他有几条对角线呢？有两条啊，啊， 五边形呢，我们也画了，他一共有什么五条是吧？那六边形有几条呢啊？我们可以自己下去试一下， 但是如果随着边数不断的增加，我们知道对角线的条数肯定也会增加，是吧？好，那么如果边数比较多的话，那么 我们想通过画图的方式来知道他有多少条对角线，肯定是不现实的，是吧？因此呢，我们得换一个方式啊，就是怎么样啊，把它给算出来。好，那么 算他之前啊，我们现在呢，我们先关心的是从一个点做的有限啊，就从一个点点 做对角线， 看看能够做几条是吧？好，我们看啊，四边形啊，我们可以把它记为四边形 abcd 啊，跟记三角形是一样的。 好，如果我们现在我们只关心这个 a 点，那么从 a 点可以做第几条呢？好，那么那跟 a 不相连的那只有一个点了，是吧？那就是十一点。 好，因此呢，四边形从 a 点只可以做什么？一条是吧？ 好，我们再来看这个五边形啊，我们也关注这个 a 点，那么跟 a 不相连的还有几个点呢？是不是还有 d 和 c 这两个点，是吧？因此呢，我们把它连起来可以做两条，是吧？ 啊，同样的道理呢，这个六边形啊，这个点呢，我们也把它定为黑点啊，其他点 点呢，我们就不标了，那么跟 a 相连呢？是这两个是吧？那跟他不相连的还有几个呢？一二三，平时呢？他可以做几条？三条？ 好，这是从一个顶点做对角线啊，他两条他也可以做三条，是吧？啊？ 那意思如果是七边形，那个四条，八边形就五条，是吧？就这样一直下去，好，那这个我们只是从一个点做， 那并不能计算我们这个种的对角线的条数，是吧？好，然后我们 再来看。那么四边形我们从 a 一做了一条，然后我们这样想啊， a 点跟他不相连的只有一个，是吧？四边形跟他不相连的只有一个，那么从 a 可以做一条，从 b 跟他不相连的呢？是不是也只有一个，是吧？好，我们试一下啊， 你看，从 a 可以做一条，是吧？那么从 b 点呢？也可以做什么？一条， 然后我们从十一点呢，是不是也可以做一条啊？怎么做？是不是跟 a 这里做是吧？好，也可以做一条， 等一下我们再讲。你不是已经化了吗？是吧？等一下我们再来说明一下，这个为什么要这样做啊？好，十一连呢，也可以画一条，就从十一连到 a 来，是吧？同样的道理，第一呢，也可以做一条，因为第一跟 b 是不相连的啊，也就是说 这个四边形的这个四个顶点，每一个顶点都可以做一条对角线，是吧？好，但是刚才我们也看到了， 当你从十一点做的时候，是不是跟 a 一点做过来是同一条了？也就是说他是不是重复了啊？重复了，同样的，你从 b 一点连到 d 的时候，然后你从 d 又连 b 的时候，是不是 也重复了啊？说明这个重复了一次。好，那么四个顶点啊，一共可以做四条，是吧？然后呢，他重复了一次，所以要除以什么？除以二，因此呢，四边形的代表线 又有两个啊，我们是这样思考的啊。好，我们再来看这五边形，你看他一共有五个顶点，按照我们刚才的思路，是不是都可以每一个顶点都可以做两条啊？是吧，每一个顶点可以做两条， 好，所以一共可以做十条，可是呢，我们也讲了，你看比如从 a 连到 c 和从十一连到 a， 是不是重复了啊？所以呢，他也重复了一次， 所有的都重复了一次啊，因此呢，还要注意啊，所以最后五边形的这条线就是五条，是吧？这个跟我们前四个画出来是不是一致的啊？好，同样，我们看一下六边形。 好，那六边形他有六个顶点，是吧？好，六个顶点，每一个顶点呢，可以做几条？刚才我们做了一、二、三，每一个顶点都可以做三条的，是吧？好，但是呢， 跟前面一样，他是重复一次，所以呢，我们要除以二，因此呢，一十八除以二，就是九条啊，不信呢，你去画一下看看，说明六边形有九条对角线。 好，下面呢，我们看按变形。 好，现在呢，他有 n 条边，我们来看看怎么样算的出他的对角线。 好，我们利用刚才这种思路啊，我们知道 n 边形他就有多少点呢，是不是有 n 个点点，那每个点点可以画几条呢？ 好，我们从这来看，刚才我们讲 a 点可以画一条，是吧？那么这个四边形他一共是有四个点，是吧？ 那这四个点里面这个 a 点有几个点不能跟他画，你看 他不能跟自己连吧。好，去掉一个点，还有两个点跟他怎么样啊？相邻啊，又去掉了两个点，所以呢，一个点 画对角线的时候，有几个点跟他是不能相连的，是不是有三个？一个就是他自己，另外两个呢，就是他相连的这两个，是吧？好，所以呢，要剪掉三个点，好，那一是 n 边形里面每个点点 有三个点不能跟他连成这条线，是吧？一个就他自己，还有两个呢，就是跟他相连的那两个，所以呢， 好，每个点点呢，可以画 n 减三条的角线，是吧，听懂吗？啊，除了 剪掉这三是什么意思？剪掉他自己，再剪掉那两个相连的点点，是吧？啊，这里是分别。好，我们刚才讲了， 每个点他都会重复一次，所以呢，我们要怎么样啊？除以二，好，这一个就是多边形被表现公司啊，注意表现。 好，这个带有限公司。好，我们把它写在这里啊。 n 乘上 n 减三，除以二，好，这是多表情的对角线公式，我们用 l 来代替啊。好，那你看 n 不能是多少啊，他一定要比三大吧，是吧？啊，如果 n 等于三了，那就三角形，那就是零，又没有 好，当 n 是四的时候，四减三是一，四除以二等于二，是不是跟我们画的一样？ n 等于五，那就是五乘以五减三是二， 二五一十除以二，这什么是不是一样的啊？六面填压，这是六乘以六减三是什么？三再除以二，三六十八，九十九， 跟刚才我们这样做的是不是一样的？好，那么有了这个公式，我们所有的啊，多边形的对角线，我们只要想知道是不是都可以说 出来，好了，这个呢，就是多边形的对角线公式啊。那么关于多边形的对角线我们就介绍到这里，再见。
57大众数学
03:34查看AI文稿AI文稿初中数学几何多边形对角线思路解析，今天我们来看一下多边形的对角线问题啊，如图一，经过四边形的一个顶点，可以做几条对角线，那我们做一下就行了啊，这个四边形比较简单，过这个顶点呢，只能做一条， 是吧？嗯，然后呢，把它分成了两个三角形。如图二，经过五边形的一个顶点，可以做几条对角线，他把五边形分成几个三角形，那我们用这个顶点来看啊，过这个点能做几条对角线？大家要注意一下，什么叫对角线啊？ 多边形的不相邻的顶点之间连线才叫对角线。所以我们来照五边形的这个点啊，过这个顶点有几条对角线的话，其实就是看剩下的这剩下的这四个顶点当中，和他不相邻的顶点有几个，哎，很显然只有这两个，是不是去掉和他相邻的两个，去掉他自己五减三， 哎，正好等于二，这两个顶点和他不相邻。所以呢，我们过这个点可以做两条对角线，分成三个三角形啊， 那我们来看一下六边形啊，六边形过这个顶点能化解他对角线，哎，六个顶点，我们看看和他不相邻的顶点有几个？去掉他自己，去掉和他相邻的两个，剩下三个和他不相邻。所以呢，这个点和他不相邻的三个点的每一个点连起来都可以做一条对角线， 哎，也就是过六边形的每一个顶点可以做三条啊，分成四个三角形。同样的，按这个思路，我们递推到 n 边形啊，一个 n 边形，我们随便画一下一个 n 边形，这边画个省略号啊，代表 n 边形，它有 n 个顶点， 那过 n 边形的一个顶点，比方说过这个顶点能做几条对角线，就是看整个 n 边形的 n 个顶点里和这个点不相邻的顶点有多少个。去掉他自己去掉和他相邻的两个，总共去掉三个嘛，剩下的 n 减三个都和他不相邻， 那这个点和剩下的 n 减三个点，每个点连出来都叫对角线，所以过一个顶点可以做 n 减三条啊。那他把 n 边形分成几个三角形呢？这个我们按前两问，类比一下嘛，分出来的三角形正好比前面这个对角线的条数呢？多个一，是不是？所以呢？分成 n 减二个三角形啊？ 好，第四问。那他告诉我们经过对半线的一个顶点，可以做一百条对角线，我们刚刚刚探索出这个规律来，是吧？就是 n 减三等于一百 n 等于一百零三，他是一个。嗯，他有一百零三个顶点，所以他是一百零三边形啊，边数一百零三。 最后这个 n 边形总共有多少条对角线啊？嗯，我们按这个思路，他总共有多少个顶点，每个顶点处有多少条对角线？按这个思路去理解一下，比方这个五边形啊，他有五个顶点，是不是 每个顶点都可以画两条？你看过点 b 的， 找找和它不相邻的，是不是 b e 和 b d 可以 画两条，过点 c 可以 c a c e 过点 d d b d a 过点 e e b e c 总共几条？哎，很明显总共五条啊。那按我们刚才那个思路啊，他有五个顶点，每个顶点数都两条呀，那是不是应该二乘五呀？ 发现什么了？是不是得除以二？又重复的，是不是？当我们在点 a 处计数的时候， ac 对 角线算了一次，你到点 c 处的时候 ca 又算了一次，所以呢，每条对角线都算了两次，我们得除以二。 那按整个按这个思路的话， n 边形有多少条对角线呢？每个顶点处 n 减三条，总共 n 个顶点，哎，但这个算法呢？每个对角线， 呃，重复计数一次，哎，重复了一次，得除以二啊。这就是我们的对角线公式，二分之 n 乘以 n 减三。
13:27查看AI文稿AI文稿同学们大家好，我是小夏老师，今天我们要开启 八下启航班第二讲教材同步讲解啊，今天要讲的是什么呢？多边形的外角和，大家还记得我们上节课讲了什么？ 是不是多边形的内角和多边形的内角和公式，大家回忆一下是什么？是不是 n 减二乘以一百八十度对不对？ n 减二乘以一百八十度，对吧？这是多边形内角和以及多边形内角和 它公式的推导，还记得吗？它是把一个多边形，比如说一个是，这个是，它分割 对角线看能分成，比如说一个、两个、三个、四个三角形，对不对？然后它通过一系列的推导 发现推出它能 n， n 边形就能分割成 n 减二个三角形，那它每个三角形 的内角和是一百八十度，所以多边形的内角和是 n 减二乘以一百八十度，这是呢上节课的一个内容，那么跟大家稍微回顾一下，那今天我们讲的是多边形的外角和，大家还记得三角形的 外角和是多少吗？还记得吗？以前七年级下册学过的对不对？是不是三百六十度对不对？ 那我们看多边形，它的一个外角和多边形包括三角形吗？包括的吧，上节课讲过多边形，三角形是最简单的多边形啊，多边形的定义，望的同学再去看一下。 嗯哼，那我们今天学的多边形的外角，你看书上的定义是多边形内角，一边的延长线与另一边所组成的角叫多边形的外角。 比如说这张图里面角 c、 d、 e 是 不是个内角？它一边的延长线对不对？延长线与它 另一边所组成的那个夹角，也就是 e、 e、 d f， e， d f 是 角， c d e 的 一个外角，对不对啊？那 c d e 和 e、 d f 有 什么关系呢？是不是 互补啊？相加，也就是相加等于一百八十度，对不对？这就是我们第二个点，多边形的外角与它相邻的内角互补，这点题里面是会要用到的，大家注意啊这个点。然后我们 大家再思考一下那一个，一个多边形的一个内角，比如说 c、 d e， 它的外角有几个？只有 edf 一个，它是不是还有一个？还有一个？看这张图， 是不是 c d g 也是 c d e 的 一个外角啊？所以我们发现在多边形的外角中，与同一个内角相邻的外角是有两个，这两个角有什么关系啊？是对顶角，对顶角 肯定是相等的，对不对啊？明白了吧？好，那，那如果我们要算 多边形的外角，那我们是不是只要算这个多边形里每一个内角的其中的一个外角？比如说这个是这个，对不对？这个我取这个，这个我取这个，这个我取这个，然后算它的 外角，那外角加起来是多少度呢？它会随着边数改变吗？ n 边形的内角和会随着边数增大而增。嗯， n 边形的内角和是随着边数的增大增加而增大的，对不对？那个， 呃，内角和公式我们刚复习过了， n 减二乘以一百八十度，所以 n 越大，内角和肯定是越来越大的。那外角和呢？那么我们怎么推导而来？我怎么推导的呢？我们刚刚已经说过了，小肖老师刚说过， d、 d、 e 是 多边形的一个内角和它的 相邻的外角 e、 d、 f 是 不是互补啊？互补就是加起来一百八十度，那如果是，这个是几边形？五边形对不对啊？五边形它有五个外角对不对啊？五个外角与它相邻的内角都是互补的。 听懂啊，那么那五乘以一百八代表是什么意思啊？五个内角加外角的度数减去五减二乘以一百八， 是不是多边形？五边形那个内角的度数，那是不是它的外角度数？它可以这么求，那同样的 n 边形是不是也是可以这么求啊？那大家看一下这个推导过程啊，多边形是 n 边形， 因为多边形的任意一个外角与它相邻的内角互补。刚讲过了，那他们的和肯定等于一百八，所以 n 边形的外角加上内角和是等于 n 乘一百八， 那于是 n 边形的外角和就等于 n 乘一百八，代表是内角加上外角减去 n 边形的内角和得到，是不是外角就是这样一个式子啊？ 所以呢， n 边形的外角和就等于三十六度，所以不管 n 怎么变，它的外角和变不变是不变的，明白了吗？ 由此我们得到多边形的外角和定离。多边形的外角和永远等于三百六十度，它是不会随着多边形的变数的变化而变化的，是一个常数。让我们下面看 书本的例题啊。第一道题目很简单的，一个多边形呢，每个外角都是七十二度，那这个多边形是几边形啊？ 任意一个多边形，它的外角和都是三百六十度，那么三百六十度除以七十二，是不是就得到它的边数啊？所以边数等于五 啊。第二题也是简单题啊，已知一个多边形的内角和是外角和的六倍，外角和一个多边形的外角和永远是三百六十度，也就是得到一个多边形的内角和是外角和的六倍，是三百六乘以六就等于什么 n 减二乘一百八，对不对？这个方程 列出来，这个代表内角，这个代表是外角和的六倍，是有等量关系，求出是几边形，这些题都很 easy， 对 吧？那下面看课堂练习。第一个题也是简单题啊，一个多边形的内角和与外角和相等，那是不是直接可以列出 n 减二乘一百八等于三百六，三百六是一个多边形的外角撇出 n 等于四。好，这个第二题也是很简单的，就和刚这个例题是一样的啊，这我不讲了，过程 大家自己看一下。然后习题里面的话，第一题的第一问是个简单题，直接套公式，不讲了，过程在旁边。第二题也是个简单题，直接套公式，不讲了。第三题我还是要再强调一下的，昨天在讲一课一练的 一节内容的十一题吧，我把这个知识点又讲了一下，今天再过一下啊，如果过多边形的一个顶点，共有八条对角线， 我们昨天是不是总结过了过东边多边形的一个顶点，他有几条对角线，是不是 n 减三？那一个多边形是有 n 个顶点，所以他总共每 n 个顶点，每一个顶点引出来的 对一角线都是 n 减三， n， n 个顶点就是 n 减三乘以 n， 但是有一半是重重复的，就要除以二，对不对？这是这个代表是多边形 对角线轴数对不对？ 好啦，那今天这道题目我说的是什么？从一个顶点共有八条对角线，一个顶点出发，那射它是 n 边形，也就是 n 减三就等于八喽， n 就 等于十一，然后 它题目要求的什么？求它的是几边形，十一边形内角和这些套公式吗？算出来一二六零。好的， 这题目啊，然后第二期中题目也是很简单的，对不对啊？他说四个内角度数是角 a、 角角 b， 角 c， 角 d 是 二比三比四比三，对不对啊？ 呃，那四边形内角和是几度？三百六十度，那是不是相当于三百六十乘以一共是几分？二加三加四加三，对吧？那么 a 就 占了二加三加四加三分之二份。同理， b、 c、 d 都是这么求的，这题也比较简单。 好。第三题是同书本刚那个例题吧。呃，这个也是同例题的，不讲了，都一样的，大家如果基础比较薄的学生，自己都好好练练，这些都是很基础的题目，就是每一点都不能丢分的。 好。第五题我们前面都没做过对不对？那这个题我们要讲一下，如图，五边形的每个顶点为圆心，对不对？每个点点为圆心，以一为半径画圆，也就是说这个半径都是一。 那这些源于五边形重合的部分涂色部分，那就是哪边这个涂色没给涂大家，我给大家涂上啊。 那这道题目的关键是什么？那你是不是他直接这样求？求他的涂色部分肯定不好求。那怎么求呢？那我们是不是想着这些涂色部分拼在一起，他和他是几个圆 或者几分之几个圆，那怎么求？那图所那一个圆是一圆，周长是三百六十度，那我们是不是只要算出这五块所对应的圆周角，也就是这个 五边形的内角和内角和是几度啊？五边形内角和五百四、五百四，它一个圆是三百六，所以它是， 呃，三百六十分之五百四分之个圆，对吧？那一个圆的面积是 pi 乘 r 方 r 是 一，所以算出来是二分之三。 pi 这道题目就是要通过转化 把这些圆拼在一起，但它拼在一起是几个圆，就关键就看它的圆周角，这几个圆周角加起来，这几个圆周角就是这个多边形的内角和啊。十六题这种题目， 第一种题目我们也经常做的，他说我发现一个多边形内角是两千度，他说小发的说法对不对？ 那我们如果是一个多边内角和是两千度，是不是可以套公式算出两千，那 n 算出来是一个九分之一百十八，那肯定是 n， 肯定，一般多边形都是 n， 是 一个什么 正整数，对不对？那他这个横数肯定显然是不对的，所以小华说法肯定是错的，对吧？那么小海的说法是对的，那小海怎么说？他说这是不可能的， 你一定是把一个外角当做内角在大家一起了。有时候小华什么意思啊？他说这个两千度里面肯定有一个外角，呃 呃，两千度里面包括了所有的内角加上一个外角，是这个意思吗？那我们就算一下有一种方法，那么外角的有一种方法，就是每一个外角它的度数是不是零到一百八之间？那我们可以把 那设是 n 边形两千减去 n 减二乘一百八，就代表外角外角的度数是零到一百八，减这个不等式可以算出来，这个算下来比较麻烦的，那么 n 就 等于算出来 n， 取 n 的 范围是这样，那 n 是 正等于取十三，这样算出来就算出这个多边形的， 懂的那角和两千，减去懂的那角和就是个外角度数。还有一个直接用算数做嘛，两千除以一百八就等于十一与二十余的那个角不就是外角的度数？其中 n 减二是不是就等于 n， 也是等于四十三？两种方法大家都理解一下， 那今天的教材同步解析课就上到这边，感谢大家的收听。
