天平砝码谁投给了吴意涵

欢迎来到梧桐老师的数学思维课堂来看这道题。这题有两个小题，我们先来看第一小题， 有四个重量，分别是一克、两克、四克、八克的法码和一架天平。 要求法码只能放在天平的一侧，那么可以称出多少种不同的重量？因为一共只有四个法码，而且法码只能放在天平的一侧， 所以要求一共可以称出多少种不同的重量。我们可以按照用一个法码，用两个法码，用 三个法码，用四个法码来进行分类每举，而这个每举的过程和我们之前学习的题目非常的相似，所以就交给小朋友们自己去完成啦。 除了按照使用法码的个数来进行分类霉菌以外，相信聪明的小朋友们还会发现，用一克、两克、四克、八克这四个法码最多只能称出 一加二加四加八等于十五克。而只用一克的法码可以称出一克。只用两克的法码可以称出 两克。两克再加一克又可以称出三克。只用四克的法码可以称出四克。 四克加一克可以称出五克。四克加两克可以称 出六克。四克加三克，也就是加上两克和一克可以称出七克。接着只用八克的法码可以称出八克。八克再加一克可以称出九克。 八克加两克可以称出十克。八克加三克，也就是加上两克和一克可以称出十一克。八克加四克 可以穿出十二克。八克加五克，也就是加上四克和一克可以穿出十三克。八克加六克，也就是加上两克和四克 可以称出十四克。八克加七克，也就是加上四克。两克和一克可以 称出十五克，说明从一克到十五克，用这四个法码都可以称出来。于是得到用这四个法码一共可以称出十五种不同的重量。 第一小题我们就做出来啦！观察刚刚的美举过程会发现，我们是按照法码的重量从小到大一个一个增加的。当只用一个这一个法码时，只 能称出一克这一种重量。再增加一个两克后，除了称出自身这个两克以外，还可以和一克一起 称出一个三克。也就是说，只用一克和两克这两个法码，可以称出一克、两克和三克这三种不同的重量。再增加一个四克，除了称出自身这个四克， 还可以和一克、两克称出的这三种重量分别相加，称出五克、六克和七克。于是得到只用一克、两克、四克这三个法码，可以称出一克到七克这七种不同的重量。 最后再增加一个八克，除了称出自身这个八克，又可以和一克、两克、四克称出的这七种不同的重量分别相加，称出九克到十五克。虽然这是一个非 非常清晰的媒体过程，我们可以将其推广到其他的情况。接着来看第二小题，如果将四个法码的重量换成两克、三克、五克、八克，答案又是多少？按照刚才的思路， 用两克这一个法码，只能称出两克这一个重量。再增加一个三克，除了称出自身这个三克，还可以加上两克，称出五克。 也就是说，只用两克、三克这两个法码，可以称出两克、三克、五克这三个不同的重量。 再增加一个五克。除了称出自身这个五克还可以和这三个不同的重量分别相加。五加二等于七， 五加三等于八，五加五，也就是加三加二等于十。这里 需要注意，这两个五重复了，需要划掉一个，所以增加五克这一个法码只增加了三种不同的重量， 也就是说只用两克，三克、五克这三个法码可以称出二、三、五、七、八、十这六种不同的重量，最后再增加一个八克， 除了穿出自身这个巴克还可以分别和这六个不同的重量相加。八加二等于十八加三等于十一，八加五等于十三，八加七等于十五， 八加八等于十六，八加十等于十八。同样 需要注意，这两个八重复了，需要划掉一个，这两个十也重复了，需要划掉一个， 所以增加八克这个法码只增加了五种不同的重量，于是得到用这四个法码一共可以称出十一种不同的重量。 第二小题也就做出来了，怎么样按照从小到大的顺序，一个法码一个法码的增加，这样的每举方法你学会了吗？

乐乐又卖大米，他带了一个天平和三个法马，如果允许在天平的两边放法吗？那能称出哪些重量的大米呢？ 这不是跟上回一样吗？放一个方法有三种，放两个可以这样，这样和这样也是三种，放三个只有一种，等等，这回两边都能放发吗？刚才只放了一边，还得考虑放两边的情况， 还上各处分类。一个显然放不了两边。放两个时，如果拿一克和两克在这边，再放上一克的大米，两边就平衡了，所以这两个可以撑住一克，也就是这两个防把的差。 看来把马放两边时，要计算差。如果放这两个，就能称出五减一得四克。如果放这两个，就能称出五减二得三克，共三种，接着放三个，要放到两边， 就得一边放一个，一边放两个。如果一刻放这边，另两个放这边，两边的差就是二加五减一得六克，也就是可以撑出六克。如果两克单独放这边，差是一加五减二得四克。如果五克单独放这边，这边加起来才三克，最差是五减三得两克。 这样就没句好了，一共有几种呢？咦，一克有两个重复了，得划去一个，两克也有两个划去一个，同样三克四克，六克都得划去一个，剩下的共八种。 看来两边放反法时，要分别每举只放一边和两边都放的情况，放一边时要计算和放两边时要计算差，最后算总数时别忘了划掉重复的。如果乐乐想要称出的重量更多些，比如要称出从一克到十三克之间的所有整数课， 最少需要几个方法呢？要称一克，得拿个一克的方法再称两克，要直接拿个两克的吗？等等，这回能放天平的两边，再拿三克的，用它减去一克也能称出两克，而且能称出三克， 三克加一克还能抽出四克，看来拿三克比较好，接着抽五克，同样不用直接拿五克的。现在的法马加起来是四克，用九克减去四克就能得到五克，所以拿个九克的方法就行。九减三还能得六克，九加一减三得七克， 九减一得八克，九克也可以，九加一得十克，九加三减一得十一克，九加三得十二克，九加一加三十最大得十三克，所以最少用这三个方法就全搞定了。发现没，他们之间都是三倍关， 如果想称的克数更多，就得拿个九乘三得二十七克的法马了。以上就是两边法马问题，称量时放一边要算合，放两边要算差，要用最少的法马称出从一刻开始的整数克，只要从一刻开始按三倍关系拿法马就行。怎么样，你听明白了吗？

用天平称良物品的重量，用什么重量的法码能够测量出一定范围内的所有重量物品呢？只能在天平一端放法码的前提下称重，需要的法码数值为，一克、两克、四克、八克等等， 是二的 n 次方克。为什么会这样呢？假如我们有一二四、八四个法码，能称出的物品重量范围如下，换句话说，一到十五之间的数值都可以用一二四八这几个数相加得出来。要称十六克重的物品就不行了， 需要一个十六克的法码。每个法码有两种状态，要么在天平上，要么不在天平上。法码在天平上用一表示，不在天平上用零表示。同框内使用法码表示物种，这不就 是二进制数了吗？三克对应的是零零一一表示八、四，两个法码没有用到。 如果要称一到五十克之间的物品，需要哪几种砝码呢？看一下二的，按次方表，一二四八十六克，最多能称到三十一克，再加一个三十二克，称重范围就可以达到六十四的前一个数六十三克了。 所以需要一二四、八十六、三十二六个法码。正常天平称重是左物右马，也就是法码只能放在右边托盘。 如果法码允许放在天平的两个托盘呢？这时候每个法码有三种状态，一不在天平上，二在天平上左边托盘。三 三在天平上，右边托盘。这时候我们要称出连续的重量。九需要一三九、二十七等等三的恩赐方数的砝码了。

一架天平有十克、二十克、五十克的法马各一个，用这三个法马呢，可以在天平上直接称出几种不同重量的物体，法马呢只能放在天平的一端， 天平大致是这么一个形状，就跟翘不翘板差不多， 这是一个支点，让天平两端灵活的上下摆动。这个两臂应该是等长等重，托盘放物品和法码， 在天平没称重量的时候，两臂应该是水平的，然后把物品和宝马给放到不同的托盘里 边，法码呢是这个样子，就是标准的重量做成这么一个便于加尺的这么一个形状，把不同的法码给放到托盘里边， 物品放到这个托盘里边，这样加减法码，使这个天平处于水平状态，那物品的重量就是这个托盘里边所有法码的重量。 这道题呢给出来了，以十克、二十克、五十克的宝马， 用这三个法码可以在天平上直接称出来几 种不同重量的物体啊，他要求是法码只放在天平的一端，就是只能放在这端，如果一个放在这边，一个放在这边再放物品的话，那就是法码相减了，就是不带这种情况。 我们可以呢分成几种情况，一个是只放一个的情况，只放一个斑马，那就可以称出来十克、二十克和五十克这三种情况。 如果这个盘子里边放两个法码呢，那十和二十结合就是三十克，十和五十结合就 是六十克，二十和五十结合就可以是七十克。 放两个法码就有这三种情况，放三个法码呢，全部加起来就是八十克， 所以呢，我们就是按一个法码，两个法码，三个法码，这种组合不重复、不遗漏的，把所有的情况都给列举出来了，一共就有三加，三加一， 一共有七种不同的情况，可以直接称七种不同的重量。

这两天看到一个号称清北智商线的题，然后就让我想起了这道初中做过的古老题目。如题所示，十三个乒乓球，有一个次品不知轻重， 用一台无法马的天平撑三次，找出次品，感兴趣的同学可以先暂停自己试试。 为了方便大家理解，这里画出了十三个球，分别命名为一至十三，在最下面的两个括号分别表示天平的盘子。 首先第一步，天平左右两边分别放四个球，然后观察天平，如果平衡，则次平。在剩下的五个球之中， 取剩余的五个球中的三个和前面合格球中的三个，继续称。如果还是平衡， 再取其中余下两个当中的一个与合格的称。如果平衡，最后那个球就是次品，不平衡的话，这个球为次品。 好，接下来回到第二步，如果不平衡呢？那次品就在这三个当中，因为右边为合格品，左边的轻重由次品决定，这就能确定次品的轻重。 所以在左右两边各取一个就可以得知结果。 到这里为止，第一步，平衡的可能性就分析完了，接下来是不平衡的可能性。 第一步，如果不平衡的话，四平可能轻，可能重。这个时候的惩罚就非常关键， 取第一次左边四个球中的三个，右边四个球中的一个组成四个球，放在天平左边。然后取剩下没撑的三个球和第一次左边四个球中剩下的那个球放在右边，然后看结果， 如果天平平衡，次品就必然在第二次没称的那三个球当中，并且通过第一次的结果可以知道假球的轻和重。第三次，只需要将没称的三个球取两个，各放在天平的一边便可得出结果。 如果前面第二次天平不平衡的话，这个时候就需要观察天平的景象是否发生变化，因为此时相较于第一次称只有四和五的位置互换， 如果发生变化，次品必然在四和五之间，这个时候只需要将其中一个和合格品相比较，即可得出次品的轻重和位置。 如果天平的景象未发生变化，则次品必然在第一次左边的三个九之中，并且可以知道次品的轻和重，接下来的过程就不用赘述了。什么？你问还有没有简单的方法，有的兄弟有的 取第一次左边四个球中的三个，右边四个球中的两个组成五个球，然后放在天平的左边， 右边是没撑的五个球，然后看结果，首先右边的五个球肯定为合格品，如果天平平衡， 则左边五个球也为合格品。取第一次称左边剩下的那个球和右边剩下两个球中的一个放在左边，右边放两个合格球即可。 平衡的话，次评为未取的那个球。不平衡的话，左边整体的轻重由次品决定就可以知道次品的轻重。带入第一步，我们就可以知道次品来自于左右哪边， 然后次品马上就能确定下来是左右边的哪一个。如果前面五个和五个称不平衡的话，同理就能知道次品的轻重和来自左右哪边。接下来知道次品的两个找一个和三个找一个就不用我追溯了吧。 所以我为什么考不上京北呢？哦，原来我是安徽人啊，我们安徽人是不会离开我们安徽的。嗯，就是这样。

大家好，这里是踏实数学老宋这个视频，我们来看一下天平砝码问题。 天平砝码问题一般有两种题型，第一个题型把砝码固定下来，然后呢问你可以求出什么样的重量啊？比如这个例子， 那么这种题要注意，他给你这些砝码，不代表着这些砝码你都要用到，你可以一次用一个或者两个，或者全用上都可以。然后呢还要注意是在天平的一端放，还在两端放，那如果是一端放的话，那肯定就是一边放物体 一边放砝码， 那物体的重量就等于另外一端砝码的总重量， 那我们就用比较常见的美句法来做，如果放一个法码的话，那就是可以三克、四克或者是六克啊，这里我就不写单位了。如果放两个法码，那就是把两个法码的重量加在一起，可以是三加四等于七克， 四加六等于九，一边算一边注意有重复的啊，如果有重复的话要去掉， 那如果是三个砝码，那就是三加四加六等于十三，这里没有重复的，所以那就是可以称出七种不同的重量， 那如果把它改成可以在两端放法码啊，那这里要注意了，它没有定死，必须两端都放，那你其实也是可以只放一端，也可以两端都放的，所以如果是只放一端的话，那其实和刚才一样，就是那七种情况， 那如果是两端都放的话，那首先我们要称这个物品的重量，对吧？所以如果两端都放的话，那意味着肯定是物体会和一个砝码放在一起， 然后呢另外一端再放一个或者是两个砝码，那这时候呢，这个物体的重量就等于这两端的这个砝码总重量的差，但是在算的时候呢，要注意不要漏了。第一种情况就是一边各放一个， 一边各一个的话，肯定是这边小一点，这边大一点，那么物体的重量就等于大的减小的。那我们其实有三种情况，就是四减三、六减四 和六减三。那这里就要注意，这种情况呢，在我们这个数里面呢，就重复了，因为我们刚才已经通过一个单独的三克，已经可以称出这个三克的重量了，所以这种重复的情况我们把它去掉。 那还有一种情况呢，就是一边放一个，一边放两个。 至于我们的物体到底是跟着这个一个的，还是跟着这个两个的，其实你不用纠结，因为我们的物体肯定是跟着轻的，然后等于那个重的那一边啊，所以我们看一下这两边哪个更轻，哪个更重，反正肯定是做减法就行了。 比方说如果一边放三，另外一边放四和六，那就是四加六等于十，十减三等于七。好，但是这个呢刚才出现过了，在这里， 那如果是把六和三放在一边，把四放在另外一边，那就是五啊五看一下没有出现过，所以这个是可以的。 那还有就是把三和四放在一边，六放在另一边，那这时候呢，就是三加四要大一些，六要小一点，那就是六和物体放在一起，三加四再减六等于一。一之前也出现过这个位置 也重复了。那一周如果两岸都放法码的话，会出现一个、两个、三个三种情况，再加上刚才前面的七种情况，那一共就是十种情况， 这是简单的枚举法。 那另外一种题目呢，就是让你自己设置法码，就你想要用什么样的法码都行，我给你准备好。然后呢你希望用尽量少的法码称出尽量多的重量，那这种题目呢，它就是固定答案了。 固定答案如果是在天平的一端放法码的话，那它其实就是从一开始的一个等比数列， 就是每次乘二、一二、四、八、十六等等。那像我们这个题目是要乘一到三十一，那其实你一到十六就可以了。那我们来验证一下，为什么中间所有的重量都可以乘到？那首先一可以乘一，然后呢把二加进来以后呢可以乘二和一加二， 也就是把一二都算上去的话，就是一到三都可以称了。然后呢把四加进来四，首先它可以单独称一个四，然后因为你刚才在称一二三的时候都只用到了前两个砝码， 我们把刚才的一克、两克、三克这三种情况分别都加四，会得到一加四、二加四和三加四，这样其实就是四到七都搞定了。 当然再配上前面的一到三的话，其实就相当于一到七都搞定了，那再把八合进来，那八自己可以称八，然后刚才不是说了一到七你都搞定了吗？对吧？那么在刚才的一到七的基础上，你分别都加八， 这样呢就可以搞定八到十五，再连着前面的一到七，那其实就是一到十五了。最后这里的所有情况再配上十六，然后十六单独是十六，然后前面已经有一到十五了，把这里每一种情况都分别可以 加上十六，就可以凑出十六到三十一，这样全部连在一起就是一到三十一，所有人都可以称的啊。这就是一个最简单的一个情况， 那么我们就只需要按照这个顺序继续往下写，一直写到题目需要称的这个重量就行了。比方说如果这个题是想要称一到一百， 那你就一直往下写，一二四、八十六、三十二，这个全部加在一起应该等于六十三，那还要再来一个，再来一个就继续称啊，六十四，这个全部加在一起等于一百二十七 啊，所以像我这样子设置的话，可以称一到一百二十七里面所有的情况，那当然一到一百的所有情况我也能称了。这是这种题目的做法， 如果把一端改成两端，那意味着这时候可以做减法了，它其实还是一个等比数列啊，每次就乘三变成一三九，以此类推啊，下一个就是二十七了 啊。那我们一样的来验证一下，像这个题目它是称到十三克，我们就需要三个砝码，一三九就可以了。为什么首先一可以乘一， 然后呢？三加进来了以后，三和这个一可以做减法，三减一这样就得二，然后三自己可以得三，然后三加一能够得四，所以相当于我们把这个三克的加进来以后，可以和前面的一配在一起，可以称出二到四出来， 那就现在一到四我们就都搞定了，然后再来把九放进来，首先九自己可以称九， 然后我们刚才不是说了已经可以乘一到四了吗？对吧？哎，这情况了，然后呢这些全部都可以和九配在一起，首先我们可以配减法，分别是九减四，九减三，九减二，九减一，这样呢就是五到八， 然后呢还可以做加法，九加一，九加二，一直到九加四，这样呢是十到十三，再加上中间的九，其实就相当于是五到十三， 连续的都因为这个九的加入可以乘出来，那么这里五到十三呢，再配上前面刚才说的一到四，连起来了就是一到十三， 所以想要称一到十三的话，那我们就按照这个规律就行了。那如果想要重量更多，那我们就继续乘三九万，就是二十七啊，我们保证能够称的这个最大的重量啊，超过你要求的这个重量就可以了， 比方说现在我要称这个啊三十，那我就再来一个 就行了。当然其实我这时候能称的最大重量就是一加三，加九，加二十七，应该可以称一到四十的所有重量，那你要称一到三十，这样也是可以的，这都属于固定的做法。 以上就是这个视频的全部内容，如果觉得这个视频对你有帮助，欢迎点赞、收藏或者是转发给其他的小伙伴。持续关注我的账号，我们下个视频再见。

如果是单向奔赴，你就会放弃？对，因为确实很累。请陈一佳前往天平处进行心意投递。 你怕淘汰吗？当然怕，但是我觉得淘汰也没有关系，因为这也见象证明可能单向奔赴其实并不是什么好。那如果是单向奔赴，你就会放弃？对，因为确实很累。 请张子正前往天平区进行新意投递。三哥会不会不投我呀？不会的，他肯定熬夜的。