重庆一诊单招数学答题技巧

哈喽，大家好，今天给大家讲的是二零二六年重庆医整。那先总体评价一下，相对于九龙坡区医整以及去年医整来说，难度不算高，但是在考场上做不一定好，做题目简单也不等于做的好。 这是很多同学第一次参加大型联考，所以心态方面肯定略有紧张，总体上可能会限制发挥，再加上心态因素，即使这张卷子本身知识难度并不高，但在考场上也可以算是个适中的难度。我们话不多说，直接讲题。第一题， z 等于一加 i 乘以 i， 那 我们可以算出来， z 是 等于个 负一加 i 的， 那我们 z 的 公二就等于负一减 i， 所以 z 加 z 的 公二就等于负二。选 b。 第二题，我们可以画个为 n 图来帮忙理解， 最大的是 u 这里有个 p， 这里面有个 m， 那 么 c u p 是 不是外面这一圈啊？这个环，对吧？ 这个环，那教我们 m 什么是空集吗？对吧？选 a。 第三题， 分层抽样，我们小学老师总共占二分之一，所以分层也应该抽二分之一，所以是二十二人。第四题，离心率 e 等于二分之一，那么我们这里 a 是 等于二的，所以说我们就 c 等于一，那焦距二， c 就是 二。 第五题，我们左边是不是可以把这四提一个，这个把它看成一个二的平方，然后提一个二分之一出去，所以是二分之一。 log 以二为底， x 的 对数大于 log 以二为底， x 的 对数， 所以我们化简一下就会有 log 以二为底， x 的 对数要小于零，所以 x 属于零到一。第六题，已知正四能助，然后告诉我们这些条件，让我们来选一个选项，先把 a、 b、 c、 d 划出来， a 一 b 一 c 一、 d 一， 我们来看 a 选项， b、 c 一、 平行 a、 a 一 c， b、 c 一， 然后 a、 a 一 c， 那很明显是不平行的，因为我们这个平面是不是还包括 c、 c 一 c、 c 一 和我们这个 b、 c 一 是不是有交点，所以 a 是 错的。再来看 b 选项， a、 c、 d 一、 a， c、 d 一、 平行 a， e、 b、 c 一、 在这里，那么发现这条边是不是平行这条边，这条边是不是平行这条边， 那我们就有面面平行了，就是我们可以由这两个线线平行，然后推出其中一个线平行于另一个面，然后再由另外这一边平行于这个线面平行，最后再推出我们面面平行。 c 选项， a、 e、 c 垂直于 b、 c， e， d， a， e、 c。 在 这里 b、 c、 e、 d， b、 c、 e、 d。 那么想知道它垂不垂直，那我们说我们的这个线面垂直，或者说我们的三轴线定律，垂斜线就会垂摄影，对吧？ 那我们这个 b、 c 一 是垂直我们 a、 e、 c 这个斜线的，那就一定垂直它在这个平面里面的摄影摄影是不是就是我们 c、 b 一， 那这两个线很明显是不垂直的，因为我们这边是二，这边是一，它是个长方形，所以 c 不 对。我们再看看 d 平面， a、 b、 c， e， d 垂直于 a， e， b、 e、 c， d， a， b， c， e、 d、 e 然后是 a、 e、 b， e、 c、 d。 那 么说这两个平面肯定不垂直，因为你从侧面看过去，它俩都是一个斜着交的，对吧？所以 d 也不对，所以整个第六题选 b。 我们再来看第七题，已知 a 大 于零， b 大 于零，则 a 大 于 b， 是 我们这个 a 方大于根号 b 的 一个什么条件？那我们说 这个平方和开方主要是以多少为界限啊？主要是是不是以一为界限？我们零一范围里面就是越平方越小，然后一到正无穷呢？是不是越平方越大？那同样的，我们根号是不在零一开，根号是不是越开越大？那一到正无穷是不是越开越小？ 所以你大概就能明白，我们在这两个区间里面是不同的情况，那这里面呢，是越平方越小，越开放越大，这里面呢是越开方越小，越平方越大，所以你想都想出来，他大概就是个既不充分也不必要条件。我们来举两个例子，在零里面，我们不妨来看， a 等于二分之一， b 等于三分之一， 那我们对它进行一个平方 k 方的操作之后，那 a 方就多少？就四分之一吗？根号 b 就是 根号三分之一吗？那是不是换方向了？所以充分性是不成立的。我们再来看必要性， 也就是有 a 方大于根号 b， 一定能推出 a 大 于 b 吗？我们说这事也是不行的，那我们不妨把 a 方就取成一个九，这个根号 b 就 取成八，那我们 b 等于多少？ b 零六十四， a 等于三，对吧？那三很明显小六十四嘛。所以说我们说必要性也不成立，所以是个既不充分也不必要条件。选 d 选项。 我们来看第八题。第八题首先已知 c， 它属于零到二派，然后让我们说这个函数在区间零到二上，尤其只有一个零点，让我们去四大取之范围。其实有一种情况是比较好讨论，就什么呢？就我们不妨先讨论 c， 它属于二分之派 到二分之三派，为什么我说这个是比较好讨论的呢？是因为这个我们绝对值可以直接开出来，因为在这个范围内，我们的 theta， 我 们这个可得 theta 是 不是一定是一个负数？它是一个负数，我 x 又是零到二，那我整个绝对值里面是不是一定是正的？所以此时我们 f x 就 等于派分之一，三派 x 再减掉我们的 x， 加上括号 c， 减掉一个 sign c， 那 我们要让它有零点，或者说有且仅有一个零点，那是不是我们需要端点值的函数值乘积为负，然后我们在这个里面是单调的，我们先求一下导数， 求到等于 cosine x 再减一，那这个是不是肯定是小于等于零的，对吧？那它小于等于零，我们说 f x 就是 单调递减的，单调递减的话，我们来看一下它的零到二的取值， f 零等于， 嗯，带进去就是一个 cosine 减 sine sine f 二呢？就是一个 扩展， theta 减三 e， theta 再减掉我们的二， 那我们说 f 二一定是小于零的，对吧？这个没有什么好说的，所以我们只需要 f 零大于零就行了。所以只需要 f 零大于零，那 f 零大于零我们就可以解出来， theta 应该是属于四分之五派 到二分之三派的，也就是我们这前提要小于等于二分之三派。我们再来看另外情况，也就是 theta 属于零到二分之派，并上我们的 二分之三 pi 到二 pi 的 情况，那这个情况我们说我们的 cos theta 就是 什么呀？就是大于零的，对吧？那 cos theta 大 于零，我们这个绝对值里面就一定会有我们的转折点，对吧？也就是我们的绝对值函数就一定会拐上来，而不是像刚刚的一样，它就可以直接开出来。 所以我们不妨把这个分为两个函数来看，也就是我们的 pi 分 之一 sin pi x 等于我们的 s 减 cos theta 绝对值，再加上我们 cos theta， 那 么右边这个函数它的转折点在哪里？转折点是不是我们的 cos theta 都 cos theta 呀？ 那扩展 size 都算一下，这个点在哪呢？是不是在我们单位员上啊？所以我们就可以把这个图做出来， 我们先画下图，这是我们的一个单位员，然后画一下我们的这个，它是要过这里的， 这是我们的正弦函数这一根，然后剩下是我们单位元，然后在这个单位上取个点，叫口才赛拉，都算一赛拉。然后呢，我们右边这个函数就是这样画的到这个点，然后再转一下， 对吧？那么怎么来看这两个函数它的焦点问题呢？首先在这些比较高的地方，它肯定是没有焦点的，我们往下走，这点往下走，走到哪是刚好临界点呢？是不是刚好 我们的这个口才下三下取，这里取我们的零或者二派啊？ 但是因为我们这里 c 大 是不能取这个零或者二 pad 的 吗？当然这只是个转折点而已。那么在这里的时候，我们来计算一下它的一个切线斜率，计算一下我们三角函数切线斜率，可以计算出来它这个点切线斜率是负一， 那刚好我们如果 cos 大 于 c， 大 于 c 大 于 c， 就 在这里的话，那我们这边斜率是不是也是负一？所以说刚好是它切线，刚好是它切线的话，此时是不是有一个焦点？那么再往下走呢？再往下走长这样， 但是我们需要注意到什么？注意到我们的这里就是我们这个函数啊，右边这个函数它取二的时候的值是多少？ 它取二，我们把 x 加成二，二减 cos theta 的 绝对值加 cos theta 是不是一定是大于等于零的？因为我们口袋法属于零到一，你整个绝对值里面就可以开出来，开出来之后我们就是大于等于零的吗？对吧？大于等于零的话，那我们说我们在这里已经有一个小于等于零的点了， 因为我们的这个 pi 分 之一在 pi x 在 二处的取值是零嘛？然后在一处的取值也是零，所以我们已经有一个小于的点了，所以我们要控制什么？控制左边这段没有交点，对吧？因为右边这段已经有一个交点了，控制左边这段没有交点就行了。控制左边这段没有交点，那我们是不是只需要 我们在零处的取值，我们这个绝对值函数在零处的取值比我们的这个正弦函数要小就行了，所以我们把零带进去，就会有 这个绝对值负的口才 c 大， 那就是口才 c 大， 然后加上我们算一下需要小于零，对吧？就可以解出来，这个 c 大 呢是属于我们的二分之三派 到四分之七派的，这边是 f 零大于等于零，所以我们这边四分之五是取一个 b 曲线，所以我们把两边取一个并集作答，就取个四分之五派， 都有一个四分之七派，左 b 右开，我们来看多项式部分以频率估计概率有 p， 在 y 等于零的条件下， s 等于零的这个概率，那我们 y 等于零，总共是二十一个人，对吧？那我们 s 等于零，那是不是十五？所以二十一分之十五，七分之五正确， 同理就可以得到 b 选项是正确的，就是利用刚才一样的算法，那 c 和 d， 我 们说 d 是 正确的， c 是 不正确的，选 abd 三个，就拿这个卡方跟它比较就可以了。 第十题均为偶函数，我们就会有 f 负 x 等于 f x， 那 进一步，由于 g x 的 偶函数，我们就会有 e x 乘上 f 负 x 加上 e 的 负二 x 次方，就等于 e 的 负 x 次方。 f x 加上 e 的 二 x 次方， 所以我们又由于 f 负 x 等于 f x， 所以 这边就等于 f x， 那 么进一步就可以把 f x 算出来， f x 又等于 e 的 x 次方，加上 e 的 负 x 次方。那哎，那我们的 g x 呢？就同理就可以算出来等于 e 的 二 x 次方，加上 e 的 负二 x 次方。加一。 我们再看我们选项 a 选项 f x 在 里当中无穷大到递增，那除一这个函数，都知道它应该是对的，或者我们求导都知道它是对的。 b 选项 g x 大 于等于四，我们这边呢，是大于等于二，那这里呢，是加个一，所以是大于等于三， 所以 b 不 对。 c g x 等于 f 二 x 加一，这边自己看，它应该是对的。 d g x 等于 f x 平方，那 f x 的 平方呢？它是不是应该加二啊？对吧？所以说 d 不 对，所以这个题呢，我们选择 a c， 我 们再来看我们的十一题，比较常规的这个圆曲线的小题。先画下图， 就是你如果知道结论的话，第十一题基本上是秒做。我们先来看 a 选项，存在点 p， 使得我们的 a e p 垂直 o m， 那 注意到我们这个是 x 方减 y 方等于一，所以这些都是四十五度， 都是四十五度，这里是垂直的，所以我们 a 一 p 要垂直 o m 应该是什么？是不是要平行于我们另一条渐近线啊？那平行于我们另一条渐近线，那是不是肯定不存在点 p 啊？所以我们 a 就 不对。我们再来看 b， a 一 p 等于 np， 就是我们这样的相等，那这个是我们一个常规问题了，应该是非常常考的。我们证明思路也非常简单，只要证明 a e p 和 m n 的 中点是一致的就可以，因为这样的话，我们 a e h 等于 hp， 然后 m h 等于 h n， 然后两个再减掉就可以了。证明思路也比较简单， 我们直接把这个 a e p 的 这个直线可以射出来， x 等于 y 减一，然后我们就可以连立得到我们的 y m 等于一加 t 分 之一， y n 等于我们的 t 减一分之一，然后我们可以再连立尾答，把我们的 p 写出来， y p 就 等于 t 方减一分之二 t， 所以 我们 y m 加 y n 就 等于 y a 加 y p， 那 你把它写成一个中点形式也可以，如果不写的话，我们稍微减下去了， y m 减 y a 等于 y p 减 y n， 那 由于我们在同一条直线上，所以你这两段是不是同桌乘以我们的斜率啊，所以这个相当于他们中的比较差，就是这一段是相等的，那他们斜率都是相等的，所以 am 和我们的这个 am 和我们的 n p 肯定是相等的。 当然你也可以用我们刚说的终点的速度去证明这是我们 b 选项， c 选项 beta 减 alpha 等于二分之派，我们这里是 alpha， 对 吧？这里是 beta， 对 吧？ 那你发现这两个角可以对应我们什么？是不是可以对应我们第三定义啊，就是我们的 k pa 一 乘 k pa 二等于 a 方分之， b 方等于一，那我们 k pa 一 是不是我们探进的 alpha k p a 二是不是负的它的贝塔，所以是它的 r 法乘以它的贝塔等于负一，所以我们就可以得到这个贝塔。这个大的角是等于 r 法加二分之 pi。 当然如果你直接在这里看 time 的 看不出来的话，我们也可以把它换成 sine 或者 cosine， 那 是 sine alpha 乘上 sine beta 等于负的 cosine 法 cosine beta， 那 么再挪个向就可以写出来， cosine alpha 减 beta 就 等于零， 那阿尔法减派等于零，所以它们就等于这个二分之派或者负二分之派。那贝塔比阿尔法大，所以，所以我们这就等于负二分之派，所以我们一样可以得到这个结论，所以 c 也是对的。 d 选项，三角形 p a 一 a 二的面积为负的面积的阿尔法加贝塔分之一， 那么就拿阿尔法和贝塔来表示三角形面积。我们现在有阿尔法，有贝塔，还有我们的 a 一 a 二，所以我们还需要一条边，我们不妨正弦的里算一下 a e p， 所以 我们就有 a 一 a 二就是二的长度嘛，二比上一个三阿尔法加贝塔 就等于 a、 e、 p 比上一个三倍它，所以我们 s 等于二分之一，乘上我们的 a、 e、 r 就是 二，乘上一个 a， e、 p 乘上一个三幺二法，稍微化简一下，就等于 sign 阿尔法加贝塔分至我们的二倍。 sign 阿尔法 sign 贝塔。我们来看我们的这个 food， 它的阿尔法加贝塔分之一是什么东西？ food？ 那 tongue 阿尔法加贝塔分之一是不是就是 food？ 我们的三阿尔法加贝塔上面是可三阿尔法加贝塔。那我们再写一下，那是不是三阿尔法加贝塔 上面是负的可三阿尔法可三贝塔。然后呢？我们再加上三阿尔法三英贝塔。 我们是不是刚刚才说过，我们这个萨尔法萨尔贝塔是等于负的口萨尔法口萨贝塔的，所以我们把这个给换成萨尔法萨尔贝塔，就有 二倍的萨尔法萨尔贝塔。萨尔法加贝塔。虽然我们说 d 选项是成立的，所以这个题选 b、 c、 d 三个选项。 我们再来看填空题，向量 a 和 b 垂直，所以我们就会有 a 点乘 b 等于零，所以我们二 m 减四等于零，我们 m 就 等于二，对吧？ m 等于二的话，我们 b 就 等于 二负四，所以我们 a 加 b， 这个向量就等于四负三，所以它的模长就是五。 若经过圆锥的轴的结面是一个边长为二的正三角形，则该圆锥的体积为多少？ 那由于我们这个轴结面是正三角形，所以这里坐下来是不是底面半径就是一，这个高就是刚好三，因为我们这个是正三角形嘛，对吧？ 所以我们就会有 v 是 等于三分之一 s h， 所以 就等于三分之三排 第十四题，第十四题是以一个四色问题为背景，但是你完全不用知道这个东西，你只需要轻松的每举一下，那么都可以出来。 那 n 等于五三角形区域的个数，那你直接画五个点连一连，你就可以算出来。如果你想要地推推出来 n 个点的情况，那么我们也可以推一下，现在是三个点嘛。那如果我们再加一个点，那是不是肯定落在某个三角形区域内？比如说这里， 那是不是落在这个区内，我们就可以和他的三个顶点相连，形成三个新的三角形，我们就不能连其他的了，因为连其他的是不是必然交叉，所以我们只能与我们这个各自的这个三角形的顶点相连，所以出来三个三角形。出来三个三角形的话， 我们是不是原来是一个，现在变成三个？所以说我们的 a n 加一就等于 a n 加二，那么来看 a 一 是多少一个点？一个正方形一个点，那么是不是可以连出四个三角形？所以说我们 a 一 是不是四， 所以我们地推可以把 a n 都求出来， a n 的 话就等于二 n 加二，所以五个的话就十二。当然你直接画五个点，自己连一连也是非常简单的，下一问，下一问，他考的其实是个组合数学问题，但是你不知道也没事，我们直接没求就行了。 呃，我们先画一个颜色吧，比如说蓝色，蓝色完了之后，边上就不能是蓝色。二二二， 那这边要是红色，我们再用蓝色，这边我们也可以再用蓝色，然后这边也可以再用蓝色，但你发现到最后这三角形的话就怎么样？我们既挨着蓝色，也挨着红色，所以就不行，所以我们就只能用第三种颜色，紫色，对吧？ 那你眉笔之后发现我们无论如何怎么画，我们再调整一下颜色，比如这边不画一，这边用三，其实也没有什么区别，那你至少都需要用到三种颜色，对吧？ 那你至少用到三种颜色，那所以说至少需要三种颜色， ok， 每局就行了，三种是可以的，并且你自己画一下，可以简单的知道他两种是肯定不行的，三种是可以的，所以说至少需要三种不同颜色。 我们来看大题部分，首先十五题竖列，那给了 a 二，还给了我们三倍的 a 三的平方等于 a 一 乘 a 四，并告诉我们谁的等比竖列。所以我们是不是把他的手相 和公比射出来，我们就可以得到它的一个通向公式了，对吧？就是把上面这个条件带进去，把我们的手相和公比给解出来。第二问，求这个的最大值，那求这个最大值。我们有 a， n 是 等于 三的 n 减二十四方分之二，所以我们可以用等比数求和，求出 s， n 是 等于九减上三的 n 减二十四方分之一， 那么就可以把这写出来，不妨记为边那边就等于三的 n 减二次方分之二加十三乘上一个九，减去三的 n 减二次方分之一。 那我们把这看成边之后，我们可以利用边加一减边算出它单调性，或者由于这个题它这里有我们的指数比较难算，有指数比较难算的话，你也可以把它看成一个函数去算，也是可以的。利用求导的方式或者换元， 这里看成二 x， 就是 把这个东西拎成 x， 这边就减 x 也可以的，都可以。不管利用哪种方法，最后算出来结果是一样的，最大值是一百二， 这是我们的十五题，十六题。十六题主要就是一个分类讨论的一个问题，就是说它有几类，你给它分清楚这题就不难。先来看第一问，那 p m 大 于等于 n 有 几种情况呢？是不是？首先 我们 p n 等于零是肯定可以的，因为我只要 n 等于零，我 m 是 多少都是大于它的，所以我们还有我们这个以脱两分 n 等于二， 那么此时是不是需要我们的这个甲投三分或者甲投两分都是可以的，对吧？那我们算一算，这就可以了，那应该是一个，这边是三分之一， 这边是一个三分之二，乘上一个里面是二分之一加四分之一， 总体上就是六分之五。 ok， 这本第一问，第二问，即一轮投篮后，甲乙所得分数之和为随机变量 x 求 x 分 布律及数学期望。 那甲是不是有三种情况，乙是不是有两种情况？所以我们总共是不是六种情况，对吧？但是我们说甲投两分，乙投零分和乙投零分和这个乙投两分，甲投零分的取值是一样的，所以我们总体上只有五个取值， x 就 可能等于零二三四五。所以我们就写一写 p x 等于零，那是两个多的零分，两个多的零分的话，就是四分之一乘三分之一 等于十二分之一， p s 等于二，这是一个两分，一个零分，那我们假投两分以投零分，加上假投零分以投两分，就是三分之一。 我们 p x 等于三，那是甲投三分以投零分，四分之三。哦，不对，四分之一乘上一个三分之一等于十二分之一， 那 p x 等于四，就是甲投两分以投两分，二分之一乘三分之二等于三分之一， p x 等于五，就是甲投三分以投两分，四分之一乘三分之二就等于六分之一。 像我们总理就可以把分布列和期望写出来了，分布列的话，我们写一写， 十二分之一，三分之一，十二分之一，三分之一，六分之一，这么做就可以把期望算一下，期望就是一个十二分之三。十七。 我们来看十七题。第一问，证明 a 等于 c， 我 们看到这个式子，你又有边又有角，那我们最后要证明一个角的式子，这里还有这么多角没有用，所以我们的想法就是往角上面画，所以我们就有三 a 啊，这边是三 b， 可算二 a 加上二倍的三 a 口，三 a 口三 b 等于零，所以我们就会有把这个给它二倍角一下，三 b 口三二 a 加上三二 a 口三 b 等于零，所以我们再利用这个和角公式收起来，就会有三 二 a 加 b 等于零，那么说 a 加 b 等于 pi 减 c 的， 对吧？所以就是三 pi 加 a 减 c 等于零， 那么这个等于零里面有可能等于零，有可能等于 pi， 对 吧？那么说它不可能等于零，因为如果它等于零的话，那是 pi 加 a 减 c 等于零，那 c 就 等于 pi 还大了，所以我们说它只能等于 pi， 所以 说 pi 加 a 减 c 等于 pi， 所以 我们 a 就 等于 c。 第一问整体来说还是比较简单的，我们来看第二问。第二问的话，我们先由这个给个条件可以得出来， b 是 等于四分之 pi 的， 就先定义一下，然后我们来画一下它这个角度关系， 这边是 b， 这边是 a， 这边是 c， 这有个 d， 那 这里是四分之派，因为我们角 b、 a、 c 等于八分之三派嘛，所以这边就是四分之派，这边就是一个八分之派。 有了这些角度关系之后，我们来求这个东西，我们现在要求的是不是 ab 乘 bd 比上 a 地方，所以我们就发现 ab 在 哪里在这里， bd 在 哪里在这里， a、 d 在 哪里在这里。所以他们是不是都在一个三角形内？他们在一个三角形内的话，我们就可以考虑，因为我们这里有这么多角度吗？所以我们就考虑用角度去进行计算，把它全部画到角上面去，那也很简单，我们给它写成 a， b 比上 a， d 乘上 b， d 比上 a d， 那 我们就可以去计算了，它就等于我们 ab 所对的角，正弦定律应该是这个，对吧？那这个的话就是断了的，这个就是八分之五拍， 所以我们就等于一个 sin 八分之五派，除上一个 a、 d 的 话是 sin 四分之派，乘上一个 sin 八分之派， 除上一个三四分之派，那底下这四分之派我们是知道的，那上面这个三以八分之五派乘三以八分之派怎么算呢？第一个是你如果背得到三以八分之派和三以八分之五派值，你可以代进去，对吧？ 第二个呢，是你可以用函数化积公式也可以的。第三个呢，是我们可以把三以八分之五派看作 考上亿八分之派，利用我们的诱导公式，再乘上我们的八分之派啊，上亿八分之派底下呢，就是一个二分之二乘二分之二等于二分之一，那上面是不是我们可以利用我们的二倍角公式，就等于二分之一上亿四分之派， 然后再除以我们分母的二分之一，所以就等于三四分之二等于二分之二。那当然利用合算化机，或者说利用我们的直接八分之五派和八分之派的一个值，都是可以来算出这个题的。 我们接下来看这十八题啊。这十八题跟前几天九龙坡一整的十九题的第二问的第一小问是基本一样的，那这个题呢，我觉得相对还比那题要好算一点。我们先来看下前两位，首先 f 是 零一，先画个图， 这里是 f， 然后 h 是 直线， l， y 等于负一上的一点，然后做这个垂线交 l 一 撇，然后呢，我们 f h 的 垂直平分线交这个 l 一 撇于 m， 然后 g 这个 m 的 轨迹为 c 一，下面再算一下这个 m 的 轨迹啊。首先我们把 h 先射出来， h 部分就是 x， 零负一，所以我们这 l 一 撇就是 x 等于 x 零。然后呢，我们再把 f h 的 中垂先写出来， 那我们把中点先写，写中点部分就做 g， g 就是 我们的二分之 x 零 to 零，让我们再算一算这个 h f 的 一个斜率， 它就等于 x 零分之负二，所以我们就可以把中轴线这个方程写出来， y 就 等于 二分之 x 零，因为我们钟垂线跟我们这个 fh 的 一个斜率，它们两个乘积等于负一嘛，所以我们钟垂线斜率是二分之 x 零， x 减二分之 x 零。 所以我们就可以得出来， y 是 等于个四分之 x 零的平方， 所以我们这个 m 就是 x 零，它的很多标是 x 零嘛？然后四分之 x 零平方，所以说它就在我们的 y 等于四分之 x 方这条直线上运动。 我们再来看第二问，证明它是切线，我们就代入把我们这个我们直线，对吧？ 我们这个是我们垂直平分线，这个是我们垂直平分线，我们代入我们的这个抛物线的一个方程代入，我们就会有 x 方等于二倍 x 零， x 减二分之 x 零， 于是我们化简一下，就可以得到 x 减 x 零的平方等于零，所以我们就有 x 等于 x 零。所以说你知道一个解叫 x 等于 x 零，那所以我们直线 m 就是 c 一， 再点 x 等于 x 零处的切线嘛，对吧？ 那最后一问，最后一问，我们说在那个九龙坡一层的时候，我们就说这个我们可以利用切线去进行计算，就是公切线。那我直接稍微写一写， 那首先我们知道在这个交点不妨记作 x 零，交点 a 吧，记作 x 零，就我们这个 c 一 与 c 二的交点，公共点 x 零，四分之 x 的 平方。 那么不妨设这个圆是 x 减 a 的 平方，加上 y 减一的平方等于 a 方，因为它与 y 轴相切于点 f 嘛。所以说它圆形的坐标是不是肯定是一，因为它是相切，相切的话，我们这一段 这个半径是不是要垂直于我们的这个 y 轴，对吧？所以就可以设成这样，设成这样之后呢，由于我们这个 a 也在我们的 c 二上，所以可以把 x 零带进去， x 零减 a 的 平方加上一个四分之 x 零方 减一的平方等于 a 方。那么刚刚说利用公切线斜率也可以，那在这个点，我们的抛物线的切线的斜率是不是二分之 x 零？那我们看这有个圆， 对吧？然后这里有一个二分之 x 零，那圆的切线我们怎么表示呢？虽然我们现在不好表示我们的切线，但是我们来表示这一段是不是很好表示的，就表示我们的半径吗？我们圆心是有的， a 是 有的，对吧？ 圆心不妨就是 a 到一，那我们只需要算它的斜率，你俩既然是垂直的，那我使你俩乘积为负一就好，对吧？ 所以它的斜率呢，就是一个一减上四分之 x 零的平方，除上一个 a 减 x 零就等于负一。所以我们有了这两个方程之后，我们来把这个 x 零还有这个 a 都解出来就可以了。 所以我们由上面这个式子可以得到， x 零方减二 a， x 零加十六分之 x 零的四次方，再减二分之 x 零方 加一等于零。然后下面这个式子呢，我们可以把 a 单独的搞出来， a 就 等于 x 零减二分之 x 零， 再加八分之 x 零三次方，所以我们就可以把这个 a 带到上面去，带上去之后，我们就会得到这样一个方程，叫做三倍 x 零的四次方，加上八倍 x 零的平方减十六等于零。 所以我们就可以推出来我们的 x 零的平方等于三分之四。 由于我们知道我们 c 二的原形，在第一项内，我们又是与这个相切的，所以我们焦点肯定在第一项线，对吧？所以第一项我们 x 是 大于零的，所以我们 x 零就等于根号三分之二。进一步我们就可以推出来 a 是 一个九分之四倍根号三， 然后我们就可以得到我们做的结果，所以我们圆 c 二的方程就是 x 减九分之四倍根号三的平方加上一个 y 减一的平方等于一个二十七分之十六。 ok， 这是我们的十八题，我们再来看十九题，那让我们求这个半非卫星 p 的 坐标， 那这个半飞卫星他是不是匀速运动啊？相当于，你不看他往上升的是不相当于就是绕。这个圆运动相当于就是我们物理的圆周运动吗？然后把我们这运动分解一下， 对吧？在这个水平方向上就是一个圆周运动，在这个数值方向上就是我们的这个匀速直线运动，所以我们就按照这几个量来写就可以了。我们的 a 是 我们的零一零， 那屁呢？由于我们运行一圈所需要的时间为二派秒，我们可以先算一算周期，那二派除以欧米伽等于我们的二派，那欧米伽就是一对吧？ 欧米伽就是一。并且由于我们的 a 是 零一零，那 a 在 这个圆上，所以说我们的这个 a 被三欧米伽 x 加外中的 a 是 不是也是一对吧？ 所以我们 p 就 可以写成什么呢？你要注意它的初十点，它是从 a 开始， a 这里可不是我们这个圆和 x 的 交点，而是 y 轴交点，如果我们正过来看 就是这个样子， x o y， 对 吧？在这里是我们的 a， 它从这里开始的，所以说那我们怎么表示呢？我们是不是很多表示我们的口塞 t 加上二分之 pi 啊？那我们这里是不是如果从 x 轴正半轴这边转过去就是我们 t 就 可以了？但是我们从这里开始的，这里是不是已经走了二分之 pi 的 单位啊？对吧？然后逗 sine t 加二分之 pi， 然后数值方向就是一个 t， 那 我们化简一下，那就是负的 sign t cosine t t 先把五带进去，此时 p 五就是一个负的 sign 五 cosine 五五就是我们第一问 p 的 坐标，第二问我们有了 p 的 坐标之后，我们要求这个所乘角的一个取值范围，那我们要求这样一个角是不是先做摄影下来？比如这里是 p 做摄影下来与我们这个平面有一个摄影，然后再连一下 p a 再连过来，那是不是这个角就是我们所乘角啊，对吧？所以这个角，那我们这个摄影这一段跟这段都好算，所以我们来算一个 tangent 的 阿尔法， tony 的 二法，就等于我们这一段就是 p 的 通坐标 t， 那 下面就是摄影做下来这段的距离，就是我们的 这个根号下负的 sin t 的 平方加上一个 cosine t 减一的平方， 那有了这个之后呢？我们给它化简一下，就等于根号下 t 方除上一个二减二倍的可算于 t， 然后注意这个 t 是 大于零的，那么就要算在 t 大 于零的时候，我们这个东西的取值范围在哪里？ 那如果熟悉我们他的公式的话，这个就是一个口在 t 的 一个，或者说口在 s 的 一个二阶，他的展开吗？我们是不是或者说熟悉我们这个他的相应的放松的话，或者说熟悉我们三点函数放松的话，都知道这个东西就是口在 x 大 于等于一减二分之 x 方，这东西 你知道这个东西的话，这个基本上就秒做了，对吧？你把底下用一个放松全部消掉就可以了。如果你不知道的话，我们就可以立这个 f t 等于一个 二减二，口才 t 分 之 t 方，对它进行求导算它的一个取值范围也是可以的，都是可以的。那用我们刚才的方法的话，就是说你现在 考赛 t 是 大于等于一减二分之一 t 方，那因为我们 t 是 大于零的，这个不等式取等的话是 t 等于零，所以这所以这里严格大于。 那你要先证明一下这个不等式，然后我们对于这个式子就会有一减口算一 t 就 会小于二分之一 t 方，所以我们整个这边是不是就会大于这个再乘以二啊？就大于一个 t 方，除以 t 方，所以我们整个就会大于 我们的一，那又由于我们的 t 是 不是可以无限趋近于零啊？虽然说 t 是 严格大于零的，但是我们 t 是 可以无限趋近于零的，也就是说大于一其实是一个比较严格的一个范围， 就是说我们的贪心达尔法，由于 t 可以 无限趋近于零，所以贪心达尔法也可以无限的趋近于一，所以大于一并不是很宽的一个范围，所以我们就可以得到我们阿尔法的取的范围就是属于一个四分之派到二分之派的， 因为我们线面角是属于零到二分之派的嘛，它本身是带有范围的，我们这里大于一就要大于四分之派。所以我们第二问就是这样一个问题， 我们来看第三位，现在有个 q q 的 坐标，也可以写出来 叫做零 a t， 那 o q 的 向量呢？就是零 a t， 那 a p 向量呢？就是我们的负三 t 考三 t 减一 t， 那 我们说我们这个是不是任意不垂直，对吧？任意不垂直的反面，什么任意不垂直的反面是不是存在垂直？那存在垂直我们怎么去表述呢？就是说 这个东西等于零有解，对吧？那这个东西等于零有解，我们解出来的取值，我们取它的反面是不是就好了？但是你要注意一个前提啊，这前提很容易被忽略掉，就是说由于我们这里发的是监测卫星，那你在零零零这个地方发的是火箭，因为火箭跟监测卫星是不相同的，所以你 a 不 能等于零， 这是一个前提， a 和 t 使得它成， 那我们说存在 t 使得它成立，我们去求 a 的 一个范围，那所以我们把它写出来，那是 a 一 倍的，可算 t 减一，加上 t 方等于零， 那我们看到这个式子，我们想进行分餐，但是分餐前我们需要先说明一下它等不等于零，那由于我们整体是一个 t 大 于零， t 大 于零的话，如果它等于零，那肯定不是 t 等于零，导致它等于零，对吧？因为我们前提是 t 大 于零，那 t 大 于零，它要等于零，那我们是不是不成立啊？因为后面 t 方不是零，所以你这个等式根本就不成立。所以我们说口才 t 减一肯定不等于零， 减一肯定不等于零，不等于零的话，我们就可以分差，那 a 就 等于个 t 方除上一个一减括号再 t， 那 这个函数跟我们第二问讨论的函数是不是一模一样，对吧？它是大于二的， 我们在第二问的时候讨论的它底下是不是多一个二，所以说我们这少一个二，所以它是大于二的。那 a 既然是大于二的，我们说存在一个点，使得它垂直求出 a 是 大于二的，那我们任意的点它都不垂直，我们的 a 的 取值范围干什么？应该是 a 小 于等于二的吧。 但是你要注意，我一开始说了，我们的前提叫 a 不 等于零，所以说整体 a 的 取舍范围就说 a 小 于等于二，且 a 不 等于零。这个十九题，对于近期的 这个十九题，对于放在这个位置的题来说，还是比较温和的。 ok， 那 就是这期视频的全部内容，感谢大家观看，我们下期再见。

哈喽，各位同学大家好，今天给大家带来二零二五年重庆一诊数学试卷的讲解。首先总评下张卷子，张卷子除了十九题第三问之外，其他题难度都相对较低。 单选的第八题呢，考虑一个比较初等的一个殊论的问题，虽然说社交殊论的知识，但是我们通过一些小学数学的知识就可以把它做出来。然后十一题是一个 卵形线的问题，这个也是考的非常多了，然后第十题可能会错，就是很多人可能这个相位这些是没有去记忆的，那这个需要重点记一下，这个是一些基础知识，后面的第十字题呢，其实通过分餐就可以把它做出来，所以十四题并不算一个难题，后面的十七十八都非常简单。 然后十九的前两问呢，我们稍微去代换一下，也是能轻松的做出来的。重点就是第三问会比较难，第三问我也会重点讲，然后前面的题可能就会讲的快一些。 我们先来看第一题，已知集合 a 三到六， b x 小 于等于四，那 a 并 b 取他们的一个或者的部分吧，就是我们可以取 a， 可以 取 b， a 是 这样一个三到六，那 b 是 小于等于四，在这里那整个就小于六吗？对吧？选 b， 已知 a 属于 r， 那 我们这是一个开口向上的二函数，它的解集为 r， 是 不是我们只需要嘚儿它小于零就行了？嘚儿小于零，我们解出 a 是 大于一的，那我们说小可以推大，大不能推小，所以说 a 大 于一可以推 a 大 于零， a 大 于零推不出 a 大 于一，所以重温不必要。 已知 o v 坐标原点点 a 一 根号三，将 o v 绕点 o 逆时针方向旋转三分之派，得到 o v 一 撇，则 o v 减 o v 一 撇的模是多少？我们先画出这样一个 a 点，那么发现它一杠三的话，这里刚好是六十度，所以这边呢，是三十度， 所以我们相当于逆时针方向旋转三分之派，就旋转六十度，是不是相当于这里又转了一个三十度，也就说他是不是对称的？所以我们的 a 一 撇是不是就是我们的负一根号三？ 所以我们 o v 减 o a 撇是不是相当于 a e 撇 a 这个向量，那是不是刚好是二的长度？所以选 a。 四。已知平行六面体的体积为一，若将其截去三轮锥 a a 一 b， e、 d， 则剩余部分几何体的体积为多少？我们先画一个， 这边是 a、 b、 c、 d a、 e、 b e c e、 d e， 那 我们看这里是不是我们的 a a、 e、 b e、 d e， 那 它的体积怎么算呢？它的体积是不是我们的底面积乘上我们的高，再乘上我们的三分之一， 那我们整个平行六面体是不是这个底面积乘上我们的高？所以说我们的底面积是整个平行六面体的二分之一，然后高呢，是相同的，但是我们轮锥是不是要乘三分之一？所以整体来说，他是不是我们这个平行六面体体积的六分之一？ 所以我们剩余部分是不是剩余六分之五？ ok， 这第四题第五题 六贴比较简单，那我们只需要把这边三一方塞塔等于口塞塞塔，给它写成一减上口塞方塞塔等于口塞塞塔，然后这边呢，它等于二倍的口塞方塞塔减一，那我们把这口塞塞解出来，然后再带入这边就 ok， 然后就选择我们的 b 选项。第六题已知三角形 a、 b、 c 角 a、 b， c 的 对边为 a b c 小 a 等于一 b 加 c 等于二 a 等于四分之派，则三 b 加三 c。 很多人看到这个条件可能希望于向量，其实我们这其实没有必要的，我们只需要先把这后面写出来就可以了，对吧？ 那么是不是三 b 就 等于我们 a 除上不 a 分 之三， a 乘上一个 b 啊？那三 c 是 不是也是一样的 a 分 之三， a 乘上一个 c 啊？所以我们根本就不需要算其他任何条件，我们只需要把 a 还有三 a 还有我们的 b 加 c 代入就好了，就知道我们点一下第七题 双曲线先画一下，由于我们 ab 是 不是一个二 a 的 长度，然后我们 abf 的 面积等于 c， 那 我们底边知道我们是不是差一个高就可以表示面积了，说明在这里做一条高， 让我们知道这个高是不是一个 b 的 一个长度，因为我们这里是 c， 对 吧？然后这个角度探进它呢？是我们 a 分 之 b， 所以 我们交点到间接下距离是不是就是一个 b 的 长度， 所以我们的面积是不是等于二？ a 乘上一个 b 乘上二分之一等于 c， 所以 我们是不是有 ab 是 等于 c 的？ 我们又有 a 方加 b 方等于 c 方， 那么 c 方等于 a 方加 b 方大于等于二 a b， 它是不是等于我们的二 c， 所以 我们 c 方大于等于二 c 可以 解出来 c 大 于等于二，所以 c 的 角值是二。第八题， 使得这个 ap 等于 a q 等于负一百二，则那么就把 pi q 带进去，那是不是它就是我们的这个 n 方加上 number n 加一百二等于零的两根啊？ p q 是 不是这个方成两根？因为我们这个其实是一个二次的一个东西，那它等于一百二啊，它等于负一百二，是不是只有两个根便是满足这个方程两根？所以我们是不是 p 加 q 就 等于负，那么的 p 乘 q 等于我们的一百二了，对吧？ 由于我们 p k、 u 是 整数，所以我们是不是要把这个一百二进行一个素因子分解，看它究竟能分解成多少个整数相乘。首先一百二的话，一一百二是不是一组二，六十是不是一组三，四十是不是一组四，三十是不是一组五？ 二十四是不是一组六，二十是不是一组八，十五是不是一组十？十二是不是一组？我们再往下就是反着写上就是十、二十、十五、八，因为我们 p q 就 有对称性，所以你反着写上来没有任何的意义，就我们发现这里有八组，并且这八组算出来这个蓝码都是不相同的， 所以我们总共有八个分层抽样，按比例分配数学被抽到十二人，你总共是两百，数学是六十，所以分层应该是二百分之六十，然后在乘上我们抽了这四十个人，刚好就十二个。 按性别进行分层抽样，则男性可能被抽二十。按性别来说，男性应该是二十分之一百二的吧，你应该抽二十四个， 简单随机抽样就是你随便抽，那抽十个，那不可能吗？你怎么可能是一定呢？简单随机抽样，有可能抽出的全是数学，数学有六十个人，那么要抽四十个，是不是有可能抽出这个四十个全是数学的第十题。那这里主要是频率、正负和相位，这些究竟是什么？我们来看一看。 对于我们一个正弦函数 a 倍三以 omega x 加 five， 那 我们这些东西到底是什么呢？那 a 是 不是我们的正负，对吧？ 那我们说二派除以欧米伽绝对值，是不是我们的这个周期，那周期分之一是不是我们的频率？那么象位是什么呢？象位是欧米伽 x 加 five， 这个整体叫做我们的象位，那么这 five 呢？叫做初象，这就是我们的一些概念。 那知道这个概念就是说我们频率和正负万相同，也就是说我们这个欧米伽和我们的 a 都是相同的，相位恰好相反，就是这个整体，它相差这个 pi 的 基数倍啊，可以， pi 可以 是个基数， 所以说我们这样判断哪些可以化简成它，那首先我们看到两个就肯定画不出来，这个是 c， c 肯定不对，为什么呢？因为这里减六分之 pi， 你 在这个整体上加减这个 k pi， 那是不是你这个负六分之派依然是存在的呀？即使你变成口塞，你变成口塞是不是加减二分之派的一个问题？ 那二分之派跟你这个负六分之派是不是还是消不掉的？你要么加二分之派，要么减二分之派，但是你这个负六分之派加减二分之派之后，你都不可能变成零，所以 c 肯定是不对的。我们还有一个说是肯定不对的， 就是 d 肯定是不对的，因为你想你三影变成可三影是个什么情况？三影变成可赛，你是不是应该是一个加减二分之派的一个情况？因为我们说既变偶不变符号看象限，你二分之派的基数倍才可能变成可赛。但是我们这里是 加减 k 派， k 是 一个基数，也就是说对于二分之派来说，我们加减呢，永远是它的偶数倍，所以你不可能保证里面不变的情况下，你在外面给它变成 cosine， 能明白吗？ 就是里面这个整体不变，这个整体加减二分之 pi 才有可能是 cosine。 但是问题在于你加减的不是二分之 pi， 所以 说 d 也肯定不对，那我们来看 a 和 b a， 这就是前面多了一个符号，那我们说它要相差基数倍，那是不是我们这里加个 pi， 我 们根据基变而不变符号，看一下你加个 pi 是 不是前面加个符号啊，对吧？ 这个是非常简单的变一下这个东西，我们要给它变成这个减六分之 pi 的 一个符号啊，对吧？这个是非常简单的变一下这个东西，我们要给它变成这个减六分之 pi 的 一个形式。所以我们首先是不是 要通过他给他往三分之派上面变，是不是加三分之派，再减二分之派，他是不是等于一个负的四分之三，括号三分之二 x 加三分之派啊？ 那我们再在这个基础上加一个派，是不是几秒不变符号，看象限，我们依然在前面加一个符号，那负负得正就是我们的 b 选项。那么第十题，第十一题， 这是一个卡型的软性线的问题啊，这考的非常多。在平面几何坐标系中，已知点 f 一 f 二，若满足它等于，然后轨迹为 c， 则下列说法正确的是， a 存在 a 大 于零，使得曲线 c 经过圆点 o， 那 我们就看一下 o 是 否满足这样一个方程就可以了。上面写一下 o f 一 乘上一个 o f 二是不是等于一乘上一啊？对吧？它等于 a 的 话，我们 a 等于一刚好是可以的。 b 任意 a 大 于取点 c 既是轴对称图形，也是中心对称图形。我们先画个图， 它大概是长这样的，当然你画不出来也没有关系，大概是长这个样子画的有点丑陋。首先我们判断一下它是否关于 y 轴对称对称过来之后，是不是你的这个，这是 p， 这是 p 一 撇， 你的 p f 二跟我们 p 撇 f 一 的长度是一样的，然后 p f 一 跟我们 p f 二的长度是一样的，相当于你交换一下，但是你这个乘积依然是等于 a 的， 所以说你依然在我们这个卵形线上，那上下对称呢？你没有改变 p f 一 和 p f 二的长度吗？对吧？你现在是 p 两撇 p f 一 就等于 p 两 p f 一， p f 二就等于 p 两 p f 二，所以你关于 x 都也是对称的，那你既关于 y 的 对称，也关于 x 的 对称，你就是一个中心对称图形呗，你对称两边不就中心对称到这来了，对吧？随着我们的 b 选项，这个 c 选项呢？如果你知道卡形的卵形像一个形状，那么它是非常好做的，它又长这样， 长这样之后，我们知道这个 a 等于一点二，然后我们经过计算呢？其实这个点就是 x 等于零，这个点不妨去做 a 吧，这个的面积其实就刚好是五分之根号五， 所以说如果你知道它形状，它边上对于它来说是上升的，那么你就可以算出来，我们这个肯定是错误的，因为你上升的话，你这个呃面积会更大一些。当然你取些特殊值你也可以算出来，比如说你取这个 x 减一或者 x 等于二，我们都会发现它其实是比我们 a 点的纵轴标更大的。 那具体怎么算这最大值呢？给大家提供一个方法，就是可以算出它最大值，但是会非常难算，就是化简的步骤特别特别多，我可能在这倒算个十几分钟，那这里就不再给大家多做 讲解了，如果你们需要的话，可以上网搜一下卡芯软形线，或者利用 ai 可以 搜一下这个过程如何算软形线上坐标最大的点，那这也就给大家提供个思路吧，就是我们可以写出来这个方程，对吧？就是 x 减一的平方加上 y 的 平方，乘上 x 加一的平方，加上 y 的 平方等于我们的 a， 这里是一点二吗？然后我们可以对这东西两边同时平方得到 x 减一的平方加 y 的 平方，然后 x 加一的平方加 y 的 平方等于一点四。四， 因为我们最后需要这个通通标最大值，所以我们是不是重点是要把 y 看作是一个 x 的 一个函数，所以我们可以通过这个去算 y 和 x 的 关系。 那这边其实你可以拆开看，就是 y 方加 x 方加一，再减二 x， 然后 y 方加 x 方加一加二， x 等于一点四四，那么是不是可以看作这两个 的一个平方差呀？那最后你想想，平方它出来之后只会含有什么东西呢？是不是 y 的 四次方向， y 的 平方向， x 的 四次方向， x 的 平方向，那我们是不是可以把它看做一个大 y 的 平方？大 y 就是 我们令大 y 的 一个小 y 的 平方啊？这边是 x 方，这边是 x， 那我们在这样一个方程中要去求 y 的 最大值，应该怎么办呢？因为我们这里的 y 是 直接分不出来的，所以你要求 y 的 最大值，我们只能采用判别式法， 就是说因为它是关于这个一个方程，所以我们必然有 x 满足这样一个方程，那有这样一个大 x 满足这样一个方程，那我们是不是它的系数德塔就必须要大于等于零， 对吧？那系数灯他要大一点，那我们的系数就是一个关于大 y 的 一个不等式，那把这个不等式解出来，就可以知道他的一个最大值了。那这个计算非常非常繁琐，因为你看出来在这里就已经计算量非常大了，你再往下展，那我在这里如果展示这个计算的话，肯定要写个十几分钟，我觉得没有这个必要。 d 选项 a 等于零八式，取元 c 为生的面积大于取元 e 为生的面积，那我们说这种题他肯定不可能是一会大一会小，一会大一会小，因为在我们高中数学的范围内，这种东西的面积是没办法比较的， 对吧？这种东西的面积你就算不出来了，包括这卡芯软件面积算不出来了，所以说我们要比较这面积大小，要么是全部都在里面，就是肯定比它大，全部都在里面，要不就全部都比它小。在高中阶段，只有这样我们才能比面积大小，因为本质上这些图形包括椭圆，它的面积我们在高中都是不知道的， 所以这种就是我们比不出来的，他也不可能来考我们的。所以这种就是我们 p f e 乘 p f 二等于八，然后你又发现 f 刚好是我们这个椭圆的一个这个焦点，那加它的椭圆的焦点我们是不是同理就会有？ p f 一 加上 p f 二等于一个四倍根号二，对于椭圆来讲， 慢慢发现一个是乘，一个是加，你立马想到什么？是不是基本不等式吗？对吧？对于我们的这个卵形线来说，我们的 p f 一 加上 p f 二是不是大于等于二倍根号下？ p f 一 乘 p f 二， 那是不是等于一个四倍根号二？那就是说对于我们卵形线来说，我们上面每一点到焦点的距离都是大于等于四倍根号二的，而我们椭圆是等于四倍根号二的，那是不是就说明我们卵形线的点其实都在椭圆的外面， 那它都在椭圆外面的话，那它最后的面积是不是一定大于我们的椭圆，所以是没有问题的，所以选 abd 十二题， 他甚至亲切的告诉你，这个 i 方等于负一啊，那我们只需要把这个 z 算出来就可以了，那就是一个二加二 i， 所以 z 的 周长二倍杠。二十三题 分别是两个圆上动点，然后让我们求这两个动点之间距离最大值，那就是把这两个圆画出来，然后圆心连线，然后再加上两个半径吗？此时是不是最大的？所以说我们可以把这个圆算一下，这边是 x 加一的平方加 y 方等于一，这边是 x 减二十平方加上 y 减四的平方等于十六，所以我们圆心两个圆心，这样的距离是不是就什么呢？五，对吧？根据购物定律，加上两个半径，五加一加四等于十， ok， 我 们的十三题， 第十四题，这个函数有且只有一个零点， x 零，且 x 零大于零的指数 a 的 求和，那我们发现这个东西等于零是不是可以分叉啊？ 他如果可以分餐，那我们就很好解决了，对吧？分餐，你直接分餐就行了呗，并且最后分餐出的函数也不复杂，对吧？所以我们对他进行一个分餐。十四，我写上面吧。 十四题， a 就 等于二的负 x 四方加上，呃，减去，不好意思， x 分 之， x 减一绝对值，所以本质上就是要画出这个东西在零到正无穷的图像就可以了，对吧？因为我们这个 x 要大于零，我们只考虑大于零的部分就可以了，所以我们对这个函数 进行一个分段，令它等于 g x， 它要等于我们的二的负 x 四方减一加 x 分 之一， x 大 于等于一，然后这边呢，是二的负 x 减 x 分 之一加一， x 呢？属于我们的零到一，对吧？那其实上面这个情况是比较显然的，因为我们二的负 x 方倒立减， x 分 之一倒立减，所以说我们在 x 大 于零的时候，这个函数是不是倒立减的，对吧？我们先画一画，这里是一， 然后这边是二分之一，它递减到哪里呢？我们发现你 x 趋向于正无穷的时候，这两个是不是都趋向于零的？所以我们整个这个函数就趋向于负一，对吧？这里有个渐近线叫做负一， 那么重点关注前面这个东西，前面的东西我们就需要单独算一算了，对吧？我们不妨 g x 等于一个二的负 x 减一，那么大家求到 g 撇和等于 负 lo in 二乘上二的负 x 加上 x 方分之一，那这个公式我们怎么考虑呢？我们先对它进行通分， x 方负的 lo in 二乘 x 方乘二的负 x 加一，所以我们需要关注的是我们 x 方乘上一个二的负 x 在 零到一上的一个取值，对吧？所以我们再令 h x 等于 x 方乘上一个二的负 x， 我 们再求导，求导之后，它等于 二 x 减上零，二乘 x 方乘上一个二的负 x 方，因为我们 x 属于零一，所以这个里面我们就可以判断出它应该是大于零的， 所以在结合这个二的 f x 大 于零的，所以整体大于零。整体大于零的话，也说我们 h x 是 在这个上面达到递增的，达到递增的话，那我们看它的一个最大值，就是 x 方乘上二的 f x 方最大值，也就是我们这边这个的最小值， 最小是多少呢？我们把一带进去，对吧？一带进去的话，它要等于这个一减上二分之零二，下面是一，这个是不是也大一点的？所以我们 g x 整个在零一上是不是当立正的？ 在零一上当立正的话，我们就可以把左边这段也画出来，大家就长这样，那所以你只有一个零点，那是不是就是 夫穷到我们负一并上一个二分之一单独这个点啊，对吧？所以说第十四题也非常简单，因为它可以分三，并且分三后的函数是很好讨论的，所以它其实也不是一个难题。来看数题， 当 a 等于负一时，求 f x 在 它出的切线方程，那我们就求倒呗， f 撇 x 就 等于 x 方二， x 方加二， a x 加一， 那我们把 a 等于负一代入，然后最后就会有 f 撇一就等于一， f 一 也等于一。对于我们第一问来说，所以最后求的这切线方程， y 等于 x， 第二个 a v 整数 f x 在 二十三上单位解，在四到正无穷上单位解求 a。 那 我们先令一下分子，因为我们分母是很大的，零的，不考虑， 那这是一个开口向上的二次函数，你用十根分布就可以讨论清楚这个东西了。当然我们还有更简明的方法，就说他在二三上需要小于零，在四到正无穷上需要大于零 g 二小于零 g 三小于零 g 四大一点零就可以了。我解一下，为什么这样呢？是因为你二次函数是先减再增的，所以只要我们二和三都小于了零，那二三中间部分一定小于零，因为如果他不小于零的话，他肯定是要增再减，那这个对于我们二函数来讲是不可能的，对吧？ 那至于为什么是记四大一点零呢？因为大一点零的部分，他肯定在我们的右边，因为你左边有二和三小一点零，所以我们对称都肯定在左边，所以我们只要记四大一点零，记四右边一定大一点零。当然如果你想不清楚这个方法的话，你用十个分布去讨论也是可以的。 那最后我们解的这个 a 应该是在负八分之三，十三到一个负四， ok， 做我们的数体十六题的话，因为他已经给出了这个 pa 垂直底面，然后 a、 b、 c、 d 为矩形，也就是这里有个三垂直了，那直接就给出三垂直，那还说啥了？那是不是啊？直接间隙就完事了，对吧？当然我们来说一说，第一问，你如果想用几何法的话，怎么去考虑？ 因为我们现在 p d 跟 c e 终究没有在一起，所以我们想把 p d 跟 c e 搞在一起，要么把 p d 挪过来，要么把 c e 挪过去，你发现 c e 挪过去，挪到后面去了，对吧？这么一个场挪到后面去可能不好算。先把 p d 挪过来，那么在这里把这个矩形给它补齐， 补成这样，那我们是不是可以把它挪过来了，对吧？那就说给这侧面也补成个矩形，然后这里有个 h， 再连过来， 那最后把 e 的 这个位置设出来，最后来求这个十六分之八可以求出来是终点。当然我觉得这个可能还不如间隙方便，那第二问也是间隙就解决了，就不在这里多说了。十七这个题也非常简单，就给大家说一下思路吧。 已知抛物线 y 方等于四， x 过点， f 一 零交于 ab， 然后呢， 与我们的准线交于 m 和轴的垂足一，当 ab 等于三边时，求直线 l 的 方程，那么是不是第一步可以把 l 射出来， 射 l， 那 么分析一下 ab 等于三边什么东西？ ab 在 这三边， b n 是 不是等于 b f？ 所以 相当于我们 ab 等于三倍的 b f， 那 是不是相当于我们 ab 等于二倍的 b f？ 那又有与 abf 是 共线的，所以说是不是 y a 等于个负二倍的 y b？ 那 我们设了 l 之后，是不是得出这个 y a 乘 y b 是 一个定值，对吧？那我们就可以把 y a 和 y b 解出来，这个直线就这样出来了，这是自己算一下。第二问，让我们证明 o a 乘 o b 等于 o m 乘 o n， 那 o a 在 这里， o b 在 这里， o m 在 这里， o n 在 这里。那如果你知道我们过焦点占一个弦与抛物线的一个焦点，它跟我们另一个焦点 到这个准线的垂足，这三点是共线的，你就很快可以做出来。如果你不知道呢？我们稍微分析一下嘛，你这里 o a 乘 o b 等于 o m 乘 o n， 你 现在什么也不知道，所以我们就给它变个形， o v 比上一个 o m 等于个 o n， 比上一个 o b， 你 会发现有这个比值的话，是不是相当于我们只要证明这两个三角形相似就可以了，那你发现这边又是平行的，是不是你会发现？哎？如果我们 m o b 三点共线， a o n 三点共线，那是不是这个比值就天然成立？那这个就比较简单了，因为 你设了 l 之后，你可以把 y a， y b x a x b 都表示出来，然后我们就可以把 m 和 n 表示出来，然后利用三点公式算下去了，所以这个也不多说，这个非常简单式气体。 后面十八题比较简单，第一次抽到优极品的条件下，第二次抽到一极品的概率，我们不妨说 p， 这个在 a 发生的条件下，我们 b 发生的概率，那 a 就是 我们的这个第一次抽到优极品，然后 b 呢？就是我们第二次抽一极品，那 是不是等于我们的 p a， b 比上一个 p a， p a 就是 我们第一次抽优极品的概率，那是不是我们六分之二啊？因为总共六个人抽两个嘛。那第二次抽到一极品，第一次抽到优极品，这两个事件叠起来，那是不是六分之二乘上一个五分之四啊？就等于五分之四。 那么来看下一问，对这六瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出等级的时候才能啊停止检验。 那么先看你这个 x 可以 取哪些值。首先你要区分出六瓶罐头是不是至少检测两次，刚好把这两瓶优极品检验到了，那是不三次、四次、五次都有可能， 那五次是什么情况呢？你检验了三个一极品，然后最后两个优极品是不是刚好检验出来？那六次肯定不可能，因为五次这些肯定能检验出来了，对吧？你要检验五次的前提是一个优极品，三个一极品，那最后你要检验五次的前提是六，所以只有二、三、四、五这四种情况， 就这四种情况的话，我们一个一个算一下，那这个有两种算法，第一种算法就是说我们直接把每一步的概率相乘，就是我们二是什么情况？二，是不是我们前两次都抽出了优极品，那都抽出优极品一个 啊？第一次是我们六分之二，第二次是不是五分之一等于十五分之二？呃， 等于十五分之一，但是我们有另一种算法，就是什么呢？就是说我们总共抽了多少次？那我们抽这两次总有几种可能，是不是总共有 a 六二种可能？因为第一次抽了六个，第二次抽了五个，总共就是 a 六二的情况，那我们抽两个优极品，那是不是 a 二二， 对吧？那这样算是相当于这两个优极品是不同的，就是两个优极品，一个是 a， 一个是 b， 它们是不同的。如果它们是相同的话，其实你对这两个进行一个消序，它的结果是一样的。就是你大家都消序嘛， 这是 p x 等于二，那 p x 等于三， 那我们就用这个来算，因为它会比较好算一点，当然你直接写概率相乘也是没有问题的。那总共有 a 六三种情况，我们想想 x 等于三，什么情况？我们是不是最后一次是一个优级品，前面是一个一，一个优。 那所以说我们是不是先把这个一级品选出来，因为你现在有一个一级品，总共有四个一级品，是不是 c 四一？那你两个优级品是不是我们现在已经锁死了一个在最后面， 对吧？你第三个必须是抽一个优极品出来，那这个优极品抽的是谁呢？我们是不是 c 二一选一个优极品出来，然后最后 a 二二就行了？因为把这个优极品锁死之后，前面这两个的排列是不是就是 a 二二，对吧？ 这是 ps 等于三，那 ps 等于四呢？那是不是底下是 a 六四？ 那分子什么呢？分子？我们想想现在有几种情况，第一个是直接 a 四四，就是你抽的四个一极品，全都把一极品抽出来，直接 a 四四就行了。那如果是两优两一呢？我们是不是还一样的？最后你得确定一个优，那前面是两个一，然后一个优， 那是不是你先把这两个一得选出来， c 十二两个一，然后这个 u 也得锁死，就是他是哪个 u 呢？他反而是 l 幺选一个 u 出来，那前面这些是不是 a 三三排列就行了，对吧？ 那就是 p x 等于四的情况，那 p x 等于五其实也是完全一样的，总共是 a 六五种情况，还是分情况讨论吧。就是三个一，两个 u， 那是不是还是一样的？先把三个一选出来， c 四三，然后两个 u 选一个在最后，然后一个 a 四四，那还有是不是我们的四个一，一个 u， 那 四个一，一个 u， 我 们是不是先 c 二幺把这个 u 选出来？因为 u 有 两个嘛，你选哪个呢？然后四个一，我们是不是 先选一个到最后一，然后前面的来排，所以我们先 c 四幺，把这个一选出来，然后前面 a 四四就行。那我们就认为这两个 u 极品间是不同的，一个是 u 极品 a， 一个是 u 极品 b， 那 当然如果你认为它们是相同的，也可以，我们消一个去就行了，对吧？所以这就是我们做算出来的概率，然后那个期望自己写吧， 那这就不多写了，就是讲思路，但是计算过程就你们这一串，那最后每一次的 u g 频率是 p， 那 十次独立重复抽咽，那是不是相当于是一个二项分布，对吧？ 那二项分布我们直接写写，因为至少有八次嘛，另一个 f p 就 等于至少有八次，那就是八九十三种可能嘛。那我们先写写八次的 c 十八 p 的 八次方，一减 p 的 平方加上 c 十九 p 的 九次方，一减 p 加上 c 十十 p 的 十次方，那就等于 p 的 八次方，三十六倍的平方减八十 p 加四十五， 因为我们要研究它的概率不小于这个的 p 的 取值。那我们是不是首先得知道它的单调性啊？因为我们都不知道它单调性只有取值，你就算算出来，你也不知道它往哪边取，所以我们应该先算一下它单调性， 求个导，它等于一个三百六十倍的 p 七方 p 减一的平方，这个呢是大一点零的，因为 p 属于零到一的，对吧？所以它大一点零， 所以我们 f p 就 在零一上，是单倒立针的，那他在零下倒立针，我们是不是还得把这个值取出来？因为你看到这里是零点七五的九次方，所以你还能取多少？ 你是不是只能去零点七五？因为你去其他的，你这里有个 p 的 八次方，对吧？你这要产生零点七五的九次方，你只能考虑零点七五嘛。所以 f 零点七五进去算一下，刚好等于七乘上零点七五的九次方，但是说不小于它，是不是我们 p 就 会大于等于零点七五，所以 p 的 最小就是零点七五。 ok， 这是我们的十八题来看十九题，十九题的话，我讲我当时就是去年二五年在考场上那个做法， 就不讲答案的做法，但是我这做法呢，最后被扣了两三分，好像是三分吧，因为我最后有些情况没有讨论完，但是我后来下来给他补完整了，就在这里讲一下这方法。我们先读一下题目， 首先它有两种构造，就是说一种是这个偶数的构造，偶数的构造呢，是用这个短直角边为新的短直角边，然后斜边为长直角边，这是我们的偶数的构造，是第一种构造。然后基数的呢，是以长直角边为新的短直角边，这是第二 种构造呢，是往基数方向推。第二个构造呢，是往基数方向推。我们来看一 求 t 的 导公式，因为我们这 t n 全是偶数啊，就是二的 n 减一次方，所以说每一次构造都是以偶数构造来构造的，所以说这个就比较简单了。我们先算一下前几项， t 一 等于 k 一 等于一根号二，根号三， 然后 t 二等于 k 二等于一根号三二。 然后我们来看 t n 啊，因为要求天的创公式，那我们肯定是想着 t n 是 由天减一变来的，所以我们先写递推。 我们 t n 是 不是等于我们的 a 二的 n 减一次方， b 二的 n 减一次方， c 二的 n 减一次方， 那么 t n 减一就等于 a 二的 n 减二次方， b 二的 n 减二次方， c 二的 n 减二次方。我们就要看这两个之间有什么关系。首先 由于我们是偶数，所以是不是我们 t n 减一的一个短直角边，是新的三角形的短直角边。虽然我们是不是有 a 的 二的 n 减二次方，等于 a 的 二的 n 减一次方，也是我们这两个短这边相同的，那相同的，由于这个地推，我们是不是可以一直推下去，一直推到一个 a 一 等于一，是我们是不是就得到了我们所有的 a， 其实都是一， 我们再来看 b 和 c， 那 b 和 c 我 们有什么关系呢？我们这个的长支绕边是不是圆四角形的斜边？所以我们是不是有我们的 b 二的 n 减一次方，等于 c 二的 n 减二次方啊？对吧？那么再来看 c 呢？ c 二的 n 减一次方，是不是就等于我们的这两个的平方和，对吧？那就是根号下 一加上 b 二的 n 减一次方，那是不是我们这个可以平方啊？那是 c 二的 n 减一次方的平方，然后拿这个拿 c 带掉，等于一加上 c 二的 n 减二次方的平方。那么发现 这个东西的平方呢？是不是一个等差数列啊？等差数列我们就可以一直往下推，推到一，那一的话，它的平方是三，所以我们就会有 c 二的 n 减一次方，就等于 n 加二，这是平方啊， 所以我们就可以把这些都写出来了，说明有 t， n 是 等于一，这个 b 呢，等于上一个的 c， 所以 它又等于根号下 n 加一，然后 c 呢？就根号下 n 加二。 ok， 这是我们第一问，第一问相对来说，只要你理解的题还是比较好算的。我们来看第二问， 若 k n 等于这个，让我们求 n， 那 这个东西怎么求 n 呢？ 那我们说我们是不是可以由他来递降啊？就是说，虽然我们不知道这是多少，但是我们可以把它前一项算出来 k n 一 吧，那前项算出来，我们即使不知道，那么是不是还可以算 k n 二，一直算到一个 k n， 呃， m， 那 是不是把这些都算出来之后，我们只知道有一个是知道了，就最后那个我们是知道的，那么再反过来推，是不是就可以推出来 n 等于多少了，对吧？ 下面就来看如何由他来推我们。前一下，也就是说我们现在不知道是以短的这个边还是长这个边作为现在新的这个短直角边，那我们首先知道这个肯定是斜边，对吧？下面斜边肯定是六，然后有一个直角边是五， 那是不是我们可以把剩下一个直角边算出来，就是根号十一，那我们这个用五是用长的还是短的呢？是不是他用的是长的，所以我们就可以看出来他到底是用长的，也就是由第一个 算出来，还有第二个算出来的，那么知道他用的是第一个构造还是第二个构造，那么就可以写出这一个的 n 和上一个 n 的 关系，那么把所有 n 的 关系写出来，然后一个一个往下推，只要能推到一个我们知道的这个 k 上面去，那是不是算出来了，对吧？ 我们写写 k n 是 等于五六，根号六十一的， 那我们 k n 一 是不是等于根号十一五六的？那它是以哪个构造呢？我们现在五是长支绕边作为短支绕边，那是用的是第二个构造了，我们是不是有 n 应该等于二倍的 n 一 加一，对吧？我们再写 k n 二，那是不是根号十一，然后算出来另外一个是根号十四， 那么此时是不是用的短边作为短边，这是不是 n 一 等于二倍的 n 二，我们再往下写 k n 三是不是等于根号三， 根号十一，根号十四，那么是不是有长边做短边？所以 n 二是不是等于二倍的 n 三加一， k n 四等于根号三二倍，根号二， 根号十一，那是不是短边做短边？ n 三等于二倍的 n 四，然后 k n 五等于个 n 三啊？根三根五，然后二倍根二，那么 n 四是不是等于个二倍的 n 五？因为是短边做短边吗？ k n 六就等于根二，根三根五，那是不是长边做短边， n 五等于个二倍的 n 六加一， 那 n 七呢？是不是一跟二跟三，那是不是 n 六等于二倍的 n 七加一？那么发现一跟二跟三是不是就是我们的 k 一 啊？所以我们的 n 七是不是等于一的？ 那我们回推， n 六等于三， n 五等于七， n 四等于十四， n 三等于二十八， n 等于五十七， n 一 等于幺幺四，那么的 n 是 不是等于二二九？ 那由于我们 n 是 怎么往前推的，你是不知道的，因为一会用构造一，一会用构造二，那我们没有办法知道他怎么推的话，那我们是不是就只能一个一个往前推，然后推到一个我们已知量上去，最后就算出来最后这个值是多少？这我们第二问， 我们来讲第三问，第三问答案主要用的是一个反证法，就说如果他们相等会得出什么矛盾，那我主要用的是一个竖规，或者说叫递减的一个思路去解决它， 那就是说我要考虑它怎么生成的，就我考虑它上一项，因为我们所有的都不等，那是我们能不能挣出一个 ai 一 撇，那这个一撇呢？就是我们 ai 的 前一个，就是我们来生成 ai 这个东西的那个 i， 那 b i 一 撇不等于 aj 一 撇，比上一个 b j 一 撇，我们就看这两个东西是否是等价的。 为什么我会这样想呢？主要是一个数学规律法的一个思路吗？如果我这个不等，他等价于我们下面这个不等， 那是不是我一个推一个，一个推一个，他其实都不等，对吧？因为我们对于任意的 ig， 他的前一个不等，他后一个就不等，那前一个不等，我们再往前推，他再前一个都不等，那最后肯定会回到一个基础情况，那只要我们基础情况不等，我们后面就全都不等，对吧？ 所以我是这样一个想法，就是说如果我们能够挣出这样一个事情，然后我们再稍加完善一下，那最后是不是把这事情挣出来了，对吧？所以就这样想，这样想，那我们实操就会发现很难操作， 因为有两种构造，第一个叫基数，这个叫偶数，那我们就想想这事情，或者我们这个，我们不妨把这个记作 r i， 这记作 r j 吧。这我们记一下，记 a i 比 b i 等于我们一个 r i， 那 我们来写写第一个 n 维基数，或者说我们 i 维基数都是没有问题的，那我们 r n， 我 们怎么去表示它呢？我们先写一下 k n k n 就 等于一个 a n b n c n， 那 由于我们基数是不是用这个第二种构造生成的，所以我们就可以把它的前一个写出来，那我们要递推成 k n， 那 前一项一定长，这样叫做根号下 b n 方减 a n 方， 然后 a n b n 他 前一向已经长这样，对吧？我们由这个 k n 递推到 k n 一 撇的话，那长这样，我们说他是用长边，所以说我们的长边一定要大于等于我们根号下 边任方减任方，于是我们就可以解出来，我们此时的这个边任方呢，应该是大于等于我们的 r n， 应该是大于等于 我们的二倍杠。二，由于我们这个 a n 肯定是要小于点 b n 的， 所以我们可以给此时的 r n 一个范围限制， r n 呢，属于二分之根号二。逗，我们的一，那这是奇数的时候，那第二种情况是不是 n 还有可能为偶数， 那偶数时候我们这个 k n 就 等于 a n b n c n， 我们这只是有根一撇，等于 a n 根号下边方减 a n 方都边，对吧？但是二倍的 a n 方要小一点边方，所以我们有这个 r， 因为你把边方出来就可以了，属于一个零到一个二分之根号二。 那又由于这边二分之根号二的情况下是 a n 等于 b n， 所以 我们不妨约定一下，由于我们这边二分之根号二的情况是前一个，这两个相等，那这两个相等的话，我们不妨就约定一下他在这边吧。因为你如果是 a n a n b n 往下递推的话，你说取哪种都是一样的吗？所以我们不妨约定他就是右边这个。那所以我们算出来一个情况，就说如果我们是基数的时候， r n 是 等于这个，如果是偶数的话， r n 属于这个范围，那么要接着往下想， 那么 r n 是 不是我们说要跟前一个挂上关系啊？所以我们要写这个 r n 一 撇， r n 一 撇，是不是我们 a n， r n 一 撇，是不是我们根号下 b n 方减 a n 方除上一个 a n， 它等于什么呢？它它是不是等于 r n 的 平方分之一减一？ 那我们说这个函数是一个单调函数，对吧？我们这里是 r n 方分之一，它是不是一个单调函数？ 单调递减的，那它是一个单调函数，是不是意味着在这种情况下，我们 r i 不 等于 r j， 他 跟我们的 r i 一 撇不等于 r j 一 撇是等价的， 因为我们这是个单调函数，就意味着什么呢？如果我们 r i 一 撇等于 r j， 那 么 r i 等于 r j， 那 么 r i 一 撇也必然等于 r j 一 撇，能理解吧？因为这个函数是单调的， 那同样在这个情况下，我们可以得到 r n 一 撇是等于 a n 除上一个根号下 b n 方减 a n 方的，它要等于我们刚才那个导数根号下 r n 方减一，那我们说这个也是单调的，它单调递增的。所以在我们第二个情况下，我们的 r i 不 等于 r j， 跟我们的 r i 一 撇不等于 r j 一 撇也是等价的， 这个能明白吗？就是我们在这两种情况下，我们的 r i 不 等于 r j， 其实都等价于，它的前一项不相等。第一个呢是 n 为基的情况，第二个呢是 n 为偶的情况。 那其实我们情况没有讨论完吗？我们都是在讨论内部的情况，就这个内部 r i 不 等于 r j， 这个内部 r i 不 等于 r j。 如果说还有情况，就是 我们 r j 和 r i 在 不同的情况呢？那要是说 r i 属于我们的二分之根号二都一， r j 属于我们的零斗二分之根号二，或者我们的 r i 属于我们的零斗二分之根号二， r j 属于我们的二分之根号二斗一。我们说这个情况根本没有讨论的必要，因为这个情况下 r i 就 不等于 r j 啊，我们还需要讨论吗？他们都不在一个区间，对吧？那么说这个情况有 r i 是 不等于 r j 的， 所以说我们总体上就解决了一个问题，就是综上我们解决了一个问题，叫 r i 不 等于 r j， 其实等价于 r i 一 撇，不等于 r j 一 撇，对吧？这个情况就不用考虑这个情况，你 r i 就是 不等于 r j 的， 对吧？你都不在一个区间，我们取折范围都不可能一样，对吧？ 所以总体上我们完成了这个证明的第一步，就是这一步，那我们就要往前递推了， 那往前推我们发现有一个问题，就说你这个 r i 和 r j 继续往前推啊，因为我们现在 r i 一 撇和 r j 一 撇也属于上面的情况嘛，对吧？ 所以说它一定等价于什么？它一定等价于 r i 两撇，不等于 r j 两撇，它一定等价于 r i 三撇，我们再用三吧， r j 三，那一直不等于下去， 那问题又来了，一直不等于下去，它最后的情况是什么呢？我们虽然证明这等价，但是最后最原始的情况是什么呢？我们就发现有问题，因为你 r i 和 r j 的 一个长度可能是不同的，也就是说我 r i 可能是经过了 n 步最后到达的， 那 r j 呢？可能是经过了 n 加二步到达的，也就是说我们最后不一定能一直等价下去，就是你 r i 减一， r i 减一， r j 减一，因为它俩可能长度不一样长， 那长度不一样长，我们怎么等价于基础情况呢？这个也很难搞。那长度不一样长，我们说什么？我们说 r i k， 它与 r j、 k 中至少有一个会 先到我们的这个 r 零有什么？这个最后低降到 r 零那个情况，而后停止， 有时两个可能同时到，但是有可能是有一个先到，所以我们就要证明这个事情。第一个，若 r i k、 r j k 中 仅有一个先到 r 零，那我们说 r 零是等于一的，对吧？ r 零说明的 k 零一一杠二，那它就等于一，那对于 k 大 于等于一来说呢？ 对于 k 大 于等于一来说，那我们说这个 r k 必然是小于一的，为什么呢？因为我们看这个深层，我们是不是深层的是用上一个的这个直角边。然后第二个是斜边，那斜边一定大于直角边，我们说对于 k 大 于等于一来说， r k 必然 小于这个呃，一，所以我们此时不妨 r i k 就 等于 r 零，那我们的 r 零一定是不等于 r j k 的， 这个能明白吗？因为 r， 因为我们此时 r i k 先到 r 零，我们 r j k 还没有到 r 零，他一定在后面，他在后面的话，那由于他是小于一的，他等于一的。这两个一定不等的话，我们由 d 推下去，我们由它生成的所有 r 和 r j 都是不相等的，这个能明白吗？ 那此外还有一种情况，就说如果说我两个链结是一样长的，就是若 r i k 等于 r j k 等于 r 零，那么就发现这个好像有点诡异啊，对吧？ 那么随便写一下，比如说这是零，然后伸出去了就是一，一分出去二和三， 对吧？然后二十分钟是什么？四五，三十分钟是六七。那这个怎么考虑呢？那我们说你链接一样长的话，一定在某一个链接之前是相同的，在某一个链接后是不同的。因为你 i 始终是不等于 j 的， 所以我们必然存在一个 m， 那这个 m 是 什么呢？ m 是 使得这个 r i k 等于 r j k 中最小的 k， 为什么这样考虑呢？就是最小的 k 就是 我往下递减最少次数，它俩是相同的，也就是说在这个 m 之后，我俩就不同了，对吧？在这个 m 之后我俩就不同了。在这个 m 之前我俩是相同的，那 m 之后我俩不同了。那此时是不是 由于我们 i 不 等于 j， 所以我们的 r i m 减一与 r g m 减一，是不是必然 有一个是 r m 就是 我们这个 r i m 吧，经过一构造 得到。然后一个呢？是经过二构造得到。 因为我们说在这个 m 之前，它都是相同的，一起来的，对吧？ m 之后就不同了，但在 m 之后不同，为什么会不同呢？只能一个是一构造，一个是二构造嘛，对吧？那么说一个是经过一构造得到，一个是经过二构造得到。由于我们什么？ 由于我们前面证明了 k 大 于等于一的时候， r k 是 小于一的，那 r k 小 于一的就意味着什么呢？就意味着我们 a n 是 不等于 b n 的， a n 严格小于 b n。 又由于我们递推中这个 c n 是 相同的，所以此时 这有什么？其实我们 r i m 减一必然是不等于 r j m 减一的，那我们再由这里往后递推下去就 ok， 那 于是我们就成功证明了这个命题。于是我们就有 任意 i 不 等于 j， 我 们的 r i 都不等于 r j。 其实整体思路呢，是比较好想的，整体思路就是说我既然是任意的都不等，那我只要前一个不等，我就 那整体思路其实是拿归类或者说叫一个递减的思路去想，就说我对于任意的 i j 都满足，那我这个 i j， 那 我前一个生成他的那个也一定是不想等的，那如果我前一个不想等的退出，后一个不想等，那我这个命题就整完了。于是我们前面就干了这样一个事情， 前一个不相等怎么来推出后一个不相等，或者后一个不相等怎么推出前一个不相等？然后我们证明完这个事情之后，当我们发现他链接可能不一样长，所以我们可能不能归到一个基本情况，所以我们要归一下这个基本情况到底有哪几种情况。 第一个有一个比较长，有一个比较短，然后第二个两个一样长，那我们是不是都说明了，在这个情况下都存在一个 r i k 和 r j k 他 俩是不等的，那在这个 r i k 和 r j k 之后地推地推出来了这个 r a r j 他 依然是不相等的，也就是我们成功的证明了这样一个命题。 那这个证明思路呢？是我去年在考场上写的，因为考场上答题卡不够了，所以这个二期是我没有证，就是我只证到这里，然后就交了，后面这些都没有证，没有证的话这个题被扣了个两三分的样子。 ok， 那 就是我们这张卷子全部内容了，感谢大家观看，我们下期再见。

同学们好呀！刚结束的重庆二零二六高三康德医诊大家感觉怎么样？今天咱们就来好好分析一下这次语数外试卷，看看能从中 get 到哪些备考重点。先来说说语文， 这次语文试卷整体难度适中，但区分度还是挺明显的。论文类文本选材紧跟时代热点，考的不仅是信息筛选能力，更看重逻辑思辨。文学类文本阅读、 情感把握和细节分析是得分关键。有些同学可能在人物心理揣摩上丢了分。作文题在传承中创新，既贴近文化自信的大方向，又给了大家结合自身经历 的发挥空间。不过要写出深度，还得平时多积累素材，注意论证的层次感。建议大家回去后重点看看自己在文言文翻译的踩分点 和诗歌鉴赏的手法分析上有没有疏漏。接着是数学，这次数学卷基础题占比稳定，主要考察大家对基本概念和公式的掌握。选择题前十题、填空题前三题以及解答题的前 四题，都是咱们应该稳稳拿下的分数。不过后面的几道压轴题确实有难度，特别是解析几何和导数题，对计算能力和思维的严谨性要求很高，很多同学反应时间不够用。这提醒我们平时练习时一定要注意答题节奏合理，分配时 错题整理现在一定要做起来，尤其是那些因为思路偏差或者计算失误丢分的题目，把它们吃透，下次就能避免了。最后是英语 听力，部分语速适中，但部分题目干扰项设置比较巧妙，需要大家集中注意力捕捉关键信息。阅读理解 ab 篇相对简单， cd 篇在词汇量和长难句理解上有一定挑战。 平时要多进行现实阅读训练，提高信息定位和推理判断能力。文心填空主要考察诗词辨析和上下文逻辑有些固定搭配和语境理解的题目容易出错。 书面表达部分应用文格式要规范，内容要完整。读后续写则要注意情节的连贯性和语言的丰富性， 多积累一些动作，心里描写的好词好句，能让你的文章更出彩。总的来说，这次一诊是对我们一轮复习效果的一次重要检验，大家要认真分析自己的错题，找到知识薄热点，在接下来的复习中有的放矢。 记住，每一次考试都是进步的机会。同学们，你们觉得这次考试哪科最难？又有哪些题目让你印象深刻呢？欢迎在评论区一起交流讨论，咱们互相学习，共同进步！

树叶一整来了，来看看二六届足球大弟子如何拿下一百四十九高分！对对对对对！前三道与二五年真题保持一致。五题六题小创新，有一定技巧，不注意可能整不出来哦！七题，二二年单招原版真题，九题无难度十题，不要忘记单招有参数方程这个考纲呦！十二题，只去连力也不难。 十三题，第二问要注意向量，这里有个隐藏起来的夹角，不然就 gg 了。十四题，同渐近线，科学方法要学会！为了尽可能让这次测试更能体现单招水平，所以题目难度基本与二五年保持一致，很多题能够看到二五年的影子，甚至超过二五年。 该生今年作为我的首席大弟子，他是努力志存高远，对自己的要求就是每次绝对不下一百四十，这次单招一枕拿下一百四十九，太棒了！送他四个字，一代战神！

单招倒计时六十天，数学还在九十分以下，别慌，三十天拿下重庆单招数学不是梦！首先，死磕基础，把三角函数、正余弦定律、负数运算等差等比数列通向。这些必考公式每天早中晚各默写一遍，不是看一眼就过，是合上书手写加口数推导过程， 公式烂熟于心，解析速度直接翻倍。其次，专项突破，只刷三角函数、加数、列加复数这三大高频模块，用近几年重庆春招专题模拟题，每天限时做一套专项卷，错题当天整理，标出卡壳点，是公式不会还是思路断了？最后，真题实战加提速， 整套试卷限时训练，重点练选填，前十二题加大题，前三问，这些都是你能稳拿的分，目标不是满分，是把该拿的分百分之一百拿下。我已经把重庆近五年专题加公式速记表打包好了，评论区扣上岸免费领！

哈喽，大家好，今天给大家带来九龙坡区一整的简单点评。这次九龙坡区一整延续了九龙坡区的一贯风格，难度低加之创新度低，大部分题目都是原题或者是改编题，题目毫无新意。但前几年的九龙坡区试卷中甚至频繁改变出错题，考完之后才紧急通知有题目出错了。 只能说对于九龙坡学试卷而言，没有错题已经是不幸中的万幸了。这张试卷没有难题，只有简单题或者已经考烂了的中档题，像十八题。第三问，自从天津卷考过一次之后，全国这个考法已经考了不下一百遍了，那我们来一起看一下这张卷子。 首先是第五题，第五题主要考你对经验回归方程，他一定过我们的均值点的话，你把这个 x 均值带进去，就可以把我们的 y 均值算出来。 算出来之后我们再加入一个样本数据，我们可以把新的均值算出来，然后再由斜率，我们就可以把新的计算回归方程算出来，然后 我们就可以把残差算出来，别忘了残差是观测值减预测值。第八题，这个第八题我觉得它的得分率可能比第五题还高。我们首先找到底面的一个外极圆，圆心就在正中心，然后将它升起来，最后再利用勾股定律 o f 等于 o b， 然后就可以把相应的值算出来。算出来之后我们就可以把求 o 的 表面去算出来。实际题 a 和 b 都比较简单， c 的 话，你只需要注意到这个 x 乘上 e 的 x 次方，是 e 的 x 加上 lo x 次方，那你 c 选项就比较简单了，我们换个圆就可以解决 d 选项， 你注意到右边是一条直线，并且直线呢是过二分之一到零的。再由于我们这个 x 乘上 e 的 x 方，它在拐点的右边就是一个 下图案数，所以我们把它过二分之一的两条线找出来，我们把 k 夹在两条线之间就可以了。十四题，第二次取到红球的概率，那第二次取到红球的概率，它依赖于我们第一次取的是红球还是白球，所以我们利用全概率公式把第一次取红球和第一次取白球的算出来，就可以算出第二次取红球的概率了。 第二，空在第二次取到红球的前提下，第三次取到白球概率，那我们已经算出来第二次取到红球的这个概率了，所以我们还需要算一个第二次取红球，第三次取白球的概率，那一样的，他也依赖于你第一次取的是白球还是红球，我们再利用全概率公式算出来就可以了。 第十八题，第二问，我们有 e 的 x 方大于 a x 方加 x 加一，那我们知道这是个泰勒的二级展开，不管你用端点效应还是分餐还是含餐讨论，求二级导都是可以做出来的，是一个比较简单的题。第三问， 自从天津卷考过一次之后，全国各地都在考这个题。那首先第一个做法就是我们利用科七不等式把 a 方加 b 方给它化成这个形式，那就说乘上一个 x 方加撒引 x 平方，我们就会有大于等于 a x 加 b 倍，三 x 平方就等于 e 的 二 x 次方，然后把它除过去就可以。 那第二个呢，是把我们 ab 看作一个点，那我们 a 方加 b 方，也就是我们 ab 到我们零零的一个距离的平方，那我们这个式子呢， 我们把 x 看成参数，它就是一个 ab 这个点的一个直线方程， x 呢，就是我们的 a， 三 x 就是 我们的 b， 这个 e 的 x 方减回来就是我们的 c， 把它看作一个 ab 的 直线方程。那我们要证明 ab 这个点到零零的距离的平方是大于二分之一方的，那它距离最小是什么时候？ 距离最小是不是就是我们零零到我们这个直线的点到直线的距离啊？所以我们一样可以写出这个式子，写出这个式子之后，在一平方就得到跟上面一样的式子，然后有了这个式子之后，我们把三 x 放成 x， 然后再给它进行一个变形，变成我们常见的超越函数，就可以得到它大约等于二分之一方了，然后前面是一个大于号，所以总体说大于二分之一方。 数学题，我们第一问得到了这个 r 与 x 零与 p 的 关系式， 然后第二问给了我们 r， 所以 我们在这里得到了一个 x 零和 p 的 关系式。那由于 a 是 唯一的公共点，所以我们可以写出抛物线在 a 点的切线，然后再写出圆在 a 点的切线，然后利用对应系数相等，就得到 x 零与 p 的 第二个关系式。那有这两个关系式，我们就可以把 x 零和 p 全部解出来。 最后一问，本来考的是个斜率等差这个问题，也就是我们的 kpa 加 kpb 等于二倍 kpf 这个问题，但是你惊奇的发现，我们这个题 a 和 b 都是定点，也就是说我们的变量只有 p 的 纵坐标，所以我们直接把 p 的 纵坐标设出来 负三 t， 那 是不是由于我们 a， f、 b 都是定点，我们可以直接表示 pa， p， f 和 pb 的 一个直线方程，然后直接列 s 等于零，我们算出来这个 g， h i 的 这个坐标都非常简单，对吧？ 所以说这个题你根本不需要知道什么斜率等差的一些东西，你甚至直接去解这个 g h i， 它都不麻烦，因为我们 a、 b， f 都是定点，所以解出来 g h i 之后，我们就得到这个比例的值了， 所以说这纸张卷子都非常简单。当然他也是一张不错的康德医学前的练习试卷，如果大家有需要的话，可以加主页群领取一下试卷，那当然九龙坡去了。试卷的答案一般是在全科考完之后才出，所以说请大家不要着急， 大概会在星期三的晚上或者星期四的白天出答案。那这就是我们这期视频的全部内容了，感谢大家观看，我们下期再见！

好，哈喽，大家好啊，今天晚上赶着把九龙坡坡区一整的数学试卷做完了，那么简单的讲一下这套试卷吧，先略频一下我觉得这套试卷，嗯，我做起来的话，觉得小题的难度还好，考的也比较的基础，但是最后两道大题还是不是特别好，做的挺难算的。 然后第二件事情就是他们的出题风格的话，基本上还是延续了坡区一如既往的一个出题风格，我经常就说是拼好题或者说拼多多， 他们的题目基本上就是在各地找一些陈年旧题，没有什么特别大的创新哈，整套卷子，而且大题里面的几问的各类也特别的严重，并不会像高考一样，他各个问之间有特别连贯的一种数学之美在里面，他基本上是各拼各的， 所以整套卷子来说呢，他历求考的点非常非常多，计算量也比较大，然后同时呢啊啊，同时就是题目比较的陈旧吧，而且二级结论爆多， 连续了。坡区一贯的一个考察风格啊，就是狂考二级结论。每年我都给学生说你坡区最喜欢考二级结论了。康德的话，有些题目还是比较新的，而且计算量阅读量并没有这么大啊，坡区的话就是文字多，强行的给你呃，搞一些特别难的东西，去堆砌计算量，去堆砌阅读量。 好，那我们怎么个看一下这套卷子吧，小题的话，还是和现在的模拟卷的整个风格是比较像的，他小题并没有出特别的难，整个做起来也比较的顺畅。好，我们来看一下，然后我会针对每个题，每一些重要的点呃，去说一下哈。首先第一题集合，你自己注意一下，就这个分母不为零就可以了，然后记住这是一个交集，不要出问题。 这个事情我已已经是我做过答案的一个面板了，所以重要的东西我做一下批注就可以了，或者再做一下讲解，嗯，有需要这个的你可以去翻我其他的一个前面的铺上来的一个那个那个文档去把这个答案下来看，如果还有问题的话可以私下问我， 那么我主要是对你们那些思路，还有对于整体的一个做题的一个逻辑去进行一下强调哈。那么第二题的话，这个东西真的不要去死算，讲了很多遍了，就是模的极等于极的模，同学们， z 一 乘以 z 二的模等于 z 一 的模，乘以 z 二的模， z 一 除以 z 二的模等于 z 一 的模除以 z 二的模。基本上是一个口算的题好吗？不要真的还去做分母有理化，这样子会非常的耽误时间哈，五除以二就秒掉。 第三，你把数据从小到大排列，百分位数的话，你用这个总量乘以百分之几，如果算出来是小数的话，就取比他大的整数，如果算出来是整数的话，就取这个数和下个数的平均数，那因为我这里只排了前面几个数吗？对吧？十乘以百分之二，十五是二点五，因此我取的是第三个数，也是六。 好，第四题这个双曲线白给了就不说了哈。第五题的话，第一个点就是这个，哎，我这个过程写的很清楚了，就是样本的中心的一定会会在回归直线上， 所以他一开始旧的数据里面，他给了个 x 八等于零，我们可以算出旧的一个 y 八就是二点八啊，这是以前那个平均数，他现在加进去一个负三和四以后，你需要把新的 x 八和 y 八算出来，就是新的 x 平均值和 y 的 平均值， 以前的平均值是零，所以我这里是零乘五，加它那个负三，然后再除以六，就是一个新的平均数啊， x 的 平均数，然后新的 y 的 平均数就是用二点八， 他用了二点八乘以五，然后加上了四除以六，那么新的这个样本的中心点都算出来，所以这里新的样本的中心点实际上是负的零点五。逗三对不对？然后新的经验回归方程，他说是负二没错吧，他说是负二， 然后咱就哎把这个新的经验方程设出来，把这个中心点带进去，就可以求出这个 b 了啊。 b 尖， b 尖求出来以后，新的回归方程出来以后，是算这个五负九，这个点所对应的残差，你要记住啊，残差是观测值减预测值，简称观减运啊 官减律。观测值就是真实值嘛，预测值就是用回归直线算出来的值。哎，所以这个题不要减反了好吧， 好。第六题，这个对数比大小的话，他就是考察的也比较的简洁，就只考察的是一个什么呢？是两个常数和这个对数去呃，进行一个大小的一个比较，你相当于 a 选项是以三为点，二的对数和后面这个三分之二比， 以三为底，三的二分之二次方比是非常简单的。然后其他的 b 和 c 在 比的时候，女同学也注意一下，我的处理方式是把后面的这个三分之二给它化成以五为底的一个对数，然后只比真数的大小可以就可以了，因为真数我们可以同时几次方， 你可以通过同时几次方就把那个分母三给它消掉，这样就很好比了哈。好，这就是一到六的一个单选题，还是比较简单的。 然后第七题的这个三角函数题，首先先求我们一港上做等边形得到这个式子，没什么好多说的，那接下来他说是所有的正零点从小到大进行排列，那你肯定很清楚一件事情，在正零点之间肯定是有联系的哈，做这个题的时候我并没有去画图，然后我跟你做一下解释， 你首先你想一件事情，我们要算它的正零点是三 t 等于负的二分之一，你能够想到的就是在零附近那个零点，比如说可以是 二 x 加六分之派等于负的六分之派，对不对？但是负的六分之派，这样你算进去的话，你二 x 算出来是个什么数，是个负数，就不符合我们题目中所说的这个正零点的这个要求了。那因此我就要看下一个它等于负二分之一的位置在哪里？ 你看一下散切的函数图像，等于负二分之一的位置是不在这里，这个位置是六分之七派，这个位置是多少？六分之十一派，我们在做的时候也是把括号里面的二 x 加六分之派当成一个整体哈，这样子我令二 x 加六分之派等于六分之七派，求出了第一个正零点就是二分之派， 令二 x 加六分之派等于六分之十一派，就求出了第二个正零点是六分之五派。然后你肯定很明显的是，你要知道一个周期里面是不是有两个正零点是六分之五派，然后你肯定很明显的是，你要知道一个正零点是有两个零点。说错了， 那是不是有两个，这一个和这一个一三五七九，这几个零点明显是成等差数列的，二四六八十这几个零点也是成等差数列的。 由于我们函数的最小正则是派，所以这个一三五七九任意两个零点之间的距离也是派它成等差数列。所以这 x 一 x 三， x 五， x 一 x 九 x 十一这几个就构成一个以二分之派为首项派为共差的等差数列，所以我这里就对它进行了一个求和， 然后剩下的几个零点就是一个以六分之五派为首项派为公差的等差数列。对这几个进行的求和，好，就不用去画图，不用去一个个去算哈，把它看两个等差数来求和，就把所有零点加起来了， 好。第八题，外接求里记住一件事情好吗？同学，所有的外接求上都可以靠间隙来处理，就是绝大部分你看上去不太规则，或者是一些比较奇奇怪怪的图形，你都可以考虑。间隙的底层逻辑就是第一件坐标系，把所有点的坐标写出来， 你会做大体一体几何，对不对？那你会做大体一体几何，你就可以间隙把所有点的坐标都写出来。哎，只要不是那些特殊模型啊，什么对棱相等的三棱锥啊，哎，我们会有些特殊模型，只要不是这几个特殊模型，你的三棱锥上都可以间隙。间隙，把点的坐标写出来，然后 去定什么？去定外接球的球星。你先记住，先找底面外接圆的圆心。以这个题为例，我底面外接圆的圆心在哪里？就是我的作半圆点 o 啊，就是我的作半圆点 o。 因为底面这个形是不很简单，是个什么形？是个矩形对不对？ 是一个矩形，所以底面外界缘的圆心在正中心，那么球心一定是在过底面外界缘的圆心这条铅垂线上，要么在上面，要么在下面。然后你只需要把球心的坐标给他设出来，再利用球心到 b 点和 f 点的坐标相等，列出方程，就很轻而易举的可以求出球心的坐标了。 你根本不用去几何法去画他个乱七八糟的图，去搞什么勾股定底去一个平面二个平面的看，没必要哈，间隙，直接间隙。好，同学们可以把这看一下啊，如果你对这方面的题还想多做一点的，可以来找我。 好，那么这样子间隙的话，咱们就可以求出这个球形的坐标，它中的标是负的，二分之根号实际上是在下面，你看我画图，我根本不画，我就随便一标的，那算出来是啥就是啥吗？反正回去答案就出来了哈。 好。第九题，就我说坡学喜欢考二级，结论他就是这个样子，他就是喜欢考二级，结论，你这个题，你焦点三角形的面积公式，那个 b 方乘以它减的二分之 c， 它你做的很熟的话，这个题非常快，如果不熟的话，你可能又要去做什么啊？余弦定理呀， 好了哈，所以这个其实没什么好多说的， b 方乘以贪镜，特这里 b 方乘以贪镜的二分之 c 塔就等于我们的面积，所以这个 b 选项可以很快的求出 p f 一 和 p f 二，吃到了它的面积以后，我们就可以求出 p 的 一个坐标嘛。所以 d c 选项我是求了它的坐标就算了，斜率 p 的 坐标有的话 p q 的 长也就轻而易举了哈。 好，十四题的话， a 角三分之派没什么好说的。其实这个啊，模型也非常的常见了，就是三角形里面已知一条边和它所对的一个角， a 边和 a 角的这个模型，那么 a 就 在这个外角圆上运动对不对？ 就当它在正中间的时候，也就是另外两条边相等，是个等腰三角形的时候，它的周长最大，它的面积也最大，它的中线长也是最大的，这个结论大家可以完全把它背下来，是个比较好用的一个结论。那我这里还是比较完整的去写了一下基本不等式的推导过程哈，你可以看一下 c 选项，所以这个周长最大值一点错啊，周长最大是等边三角形的时候，周长最大，它应该是三好大选项的话，就是在考察这个啊。首先我对这个向量 c 乘以向量 c 大 的处理，我的处理逻辑就是我们做 三角形，做向量的话要有这个肌底的思维，像这个题我们是知道 a 角的，所以你尽可能把这个向量全部转成 a 角，也就要转成 c， a， a b 啊这些东西啊，不能用 c b， 所以 这是你的第一个思维，要转成跟 a 角相关的内容。转过去以后，这里求的最大就是 b 方减二分之一。 b， c 啊，其实就是余弦定理的这个条件当约束条件的。那这个在一轮复习的时候，我都会给人归学生说哈，但凡是拿余弦定理这个条件当约束条件去求其他式子的对值，其 在基本不等式里面老师也会讲，就是有几种不同的方法，常见的有什么万能 k 啊，对吧？万能 k 法啊，整体拼凑法。那我比较喜欢用的就是还有什么英式分解双换元哈，如果能英英分双换元， 我比较喜欢用的就是像这个式子是能够配成平方加平方接三角换元，那么做起来就是比较方便的，大家可以看一下这个题目的思路啊，后续的过程。所以这里我是对这个余弦定里进行了个什么呢？进行了个配方， 配方完了以后跟了一个什么东西啊？跟了一个三角换元，跟了一个三角换元以后，就把最后的那个范围给它求出来了哈。好，然后下一个 十一题的这个导数题，嗯，挺陈旧的。好吧，你这个指数对数出现在同一个函数里面，出现在同一个题目里面，映入你脑海的第一个肯定是同够了。 n 选项非常的简单，单调递增，然后趋近于零的时候是负无穷，趋近于正无穷的时候正无穷，所以只有一个根， a 是 对的。 b 选项分叉画图很明显啊，它这里漏掉了这个极小值的这个情况，对吧？一个根，所以 b 选项是错的。 c 选项呢？哎，已经使这两个方程相等了，所以我们很自然的想到什么，想到同勾同勾的时候， 然后接一个换元就得到了 e， t 等于 t 加一，我们根据切线放缩是可以得到 e， t 是 大于等于 t 加一的，当 t 等于零的时候取等号。所以这个方程就只有一个解，就是 t 等于零， 但是外层方程一个解不代表内层方程一个解，你一定要保证内层函数是单调的哈。咱们 t 等于零就是 x 加 lone x 等于零，所以大家看，我这上面强调了，就是我们的 x 加 lone x 单调递增的，并且它是属于二的，它什么数都取得到，哎，所以 外层函数一个根，那对应的内层函数也能解出一个根，唯一的根，这个就是对的。大选项看着是个横乘的问题，如果你用分餐做就不行，为什么啊？因为你并不知道 x 比二分之一大还是比二分之一小。所以碰见含餐的横乘的问题，你基本上要钻几个思路吗？第一个，直接分餐 好，不？能直接分餐的话，你考虑一下端点值有没有端点效应，对不对？端点效应，然后，哎，小题的话有可能考半分餐，半分餐的话就是看成个牵线问题，就跟这个题一样。那还有的大题里面，嗯，比如说第一问 做了铺垫，铺垫了就是说让你讨论单调性，那很有可能。第二问的话就可以按照不同的情况讨论的单调性去讨论他的最大最小值啊。直接求导的一种横乘力也是有的，就基本上横乘力大家拿到手上就这么几类，像大体考的比较多的就是端点效应嘛，对吧？那当然也有那种 我说分餐的罗比达的那种，其实就是端校也有端点效应失效的情况，所以大家特别在导数二轮复习的时候，请你自己一定要对我们导数的横成力的常见的类型自己进行一下归类啊，各种类型的题目要多去接触一下 好了，所以这个题没什么好多说的了，我进行的是个半分餐的工作，半分餐就是把左边就是我们的 f x， 然后右边是看成过二分之一零的一条直线，就像咱们这个图一样， 咱们拿这个直线在这里运动的时候就在想，哎，什么时候可以让这个直线永远在咱们这个曲线的下方。临界条件就是相切的时候，那么 相切，我们列出方程组，这个方程组就是我的口诀， y 一 等于 y 二， y 一 一撇等于 y 二一撇。这个方程组的含义就是在切等的这个地方纵坐标相等，然后它的导数值也相等，我们就能够解除。此时 k 的 值刚好是这两个临界条件的值哈， k 就 应该在它中间运动，所以这个答案是对的。 十二题记函数没什么好说的吧。十三题比较简单，先求一个贪婪的算法，然后再做这个那个那个那个，其次是求值哈。扩散两倍 c 塔就不用写了吧，扩方减三方除以扩方加三方，然后分子分母同时出个扩方，就是一减贪方除以一加贪方，把它带进去就可以了。 好，十四题概率题啊，挺喜欢拿概率来压轴的。第一小问明显的是一个全概率公式， 因为他你并不知道第一次取的是什么球，所以我这里分了两种情况，第一种情况就是第一次取红球的概率是十分之四，他又会放两个红球进去，那现在是不是六红六百，那第二次取红球的概率就是十二分之六，记住是乘到一起。 然后第二种情况，第一次取白球，十分之六，取了白球以后，他第二次还要塞两个白球进去，那现在就是四红八百。第二次十二分之四把它算上就可以了啊。答案是五分之二， 后面的这个条件概率在第二次选红球的前提下，第三次取到白球的概率是间 b 是 间 a， 给它设好，然后 p a b 两件事情联系起来去解释去理解。哦，我第二次取红球，第三次取白球，那我第一次仍然是不知道第一次到底取白球还是取红球啊。 所以咱们这里第一次仍然是要进行分类讨论的，所以这里也有一个全概率公式，咱们这里的十分之四实际上是第一次红球，这是第二次红球，第二次红完了以后，他又要塞两个红球过去，所以现在一共是 十四个球，但是里面只有六个白球，所以最后一个是十四分之六， 后面这个也是一百啊，二红，哎，三百。你就注意，每次取到一个球了以后，还要给他，不仅要放回去，还要给他补两个同颜色的球，所以这个概率他会一直变，你做的时候细心一点就可以了。分母就不说了，前面已经算了，答案二分之一。 十五题简单题吧， a n s， 大家把过程自己看一下就可以了啊。然后后面 log 也没考，放松，就是个列项下消，所以这个题咱不多说了啊 啊，十六的例题集合没有什么多的要平的，出的也挺简单的，但他也考虑到就是确实不能每道大题都出这么难呢。这例题几和一没动点， 甚至你第一小问题都可以间歇，如果你真不出来，但是这个也是非常明显的一个终点，有终点的话我们要正线面平行的话也会联想到去跟着取终点， 所以稍微想一下可能把 f 取出来，然后证明面面平行就可以了哈。第二问记住后面是正弦，直接的转一下，不然小心遭扣一分到两分。做的时候细心一点。整个题没有什么多的要说的是非常普通，没有带任何花里胡哨的一道立体几何大题。 此季节第一小问抄几何分布也非常的简单，就不说了啊， c 几几分子 c 几几把它写好是相当简单的。那第二问的这个模型 对吧，近期上过我的课的同学应该都有印象吧，老师上课的时候先给你从小题长这个结论怎么去秒杀那个结论还记得吗？ n 加一乘以 p 对 不对？ n 加一乘以 p 如果是整数的时候，那么最大值是有两个是这个值和前一个值，如果 n 加 p 是 小数的话，你算的就是它整数的部分。所以这个题如果说作为是一道小题的话，你的答案是可以直接写出来的， 然后作为大题的话，你就像我这样去写啊，但我比较喜欢写这种夹逼法，但这种夹逼法我觉得写的应该不会判错吧。比较规范的写法就是坐商后向和前向的比值，或者坐差后向减前一项， 看他什么时候比零大，什么时候比零小，你坐商的话就是什么时候比一大，什么时候比一小，来弄清楚咱们这个 p n 到底什么时候递增，什么时候递减 啊，但是我就这样子写了，好吧，大家看明白就行哈，用不等式组将这个 n 的 值给它加出来就行了。然后大家要注意的是，哎，这个阶乘式一定要把它写清楚啊，这个咱们解这个不等式的时候，是把这个 c 级解成式的话，这个有可能就算不动了。好吧，算不动了哈， 评分最大的时候，它就是比前面大，比后面也大。实际上这里其实稍微有点逻辑不太严谨哈，因为你并不能保证就是说它一定是唯一的一个最大值，所以那种写单调性的方式应该是更加的更加的什么规范的。但是我就这样写，老师也不按扣分吧，很多老师会讲叫假逼法哈，我比较喜欢这样写，好 熟练。第一个题不说了，第二个想问你看，又是一个横乘力，小题考了一个，大题还考一个，对不对？这个横乘力其实你拿到手上的时候，你第一时间就面对这个结果， 他就是拿着泰勒展开的前几项再出题，是一个非常常规的短效啊，短点效应。但凡拿泰勒展开的前几项来出题，就是短点效应。 你自己把那个 x 等于零给他带进去，看一下是不是取等号，那取等号了，那没问题，你就不停的求导，不停的带端点值，直到出现参数为止， 再按照你应该觉得他递增还是递减去讨论这个参数的正负，把下面这个过程给他写清楚就可以了，先说充分性，再挣必要性。有些说清楚在这个范围里面的时候，他是很成立的， 要说清楚另外一个范围的时候，不是很成立的就可以了。这个过程我也写的比清楚了，也是比较常规的一个模型，大家跟着把这个看清楚就可以了哈。 好，然后这里第三问其实也是个套路题，老师承认以前是做过的，所以我没有想太久。这种双变量，我看到这个 a 方加 b 方就想到是 ab 这个点到圆点的距离， 那你这个方程是有零点的，咱们就把 t 给它设成这个零点，设成这个零点以后呢？ ab 是 一个点，最后要正的就是 ab 这个点到圆点的距离是大于根号二分之一的，所以咱们就联想到这个点在直线上转成点到直线的距离最小就可以完成我接下来的所有步骤了。 所以你的核心是理解我前面的这个的处理方式，只要你把这个东西理解了之后，后面的这个求导证明 这不等式相对来说还是比较轻松的。那你要理解的一件事情是，我们是把 a b 设成直线上的一个点，对不对？设设成直线上一个点以后，根号下 a 方加 b 方，就是直线上的某一个点到坐标原点的距离。我现在是要证它的最小值，最小值大于 根号二分之一。那直线上的点到圆点距离什么时候最小呢？那就是圆点到这条直线的距离。哎，这就是咱们这个四字的含义哦，左边是 ab 这个点到圆点的距离，而右边就是圆点到这条直线的距离， 那这里在放缩的时候，实际上我并没有去花太多时间就把它想出来哈，因为我在想，他最后是要证他这个东西大于什么，他要大于那个一方分之二。哎呦，这好像就是 t 等于一带进去了，对不对？所以他一定是用成了一个函数，然后 t 等于是他的极致点， 然后下面有个 t 方，三 t 方你不可能直接去求导的，你带三角函数求不出来的，所以这边用了一个非常常见的一个放缩，直接把它放掉了。三 t 小 于 t 啊， 然后就把这个答案给它记正出来了。好，当然啊，这个东西我不想给大家讲啊，科西不等式，因为你写过程的时候，你如果知道科西不等式的话，也可以一次性的得到跟我这个式子完全一样的结果 啊，没有任何区别啊，我尽量还是不用超纲的方法去给大家讲。好吧，你可以用科西不等式一步也能得到这个结果，但是呢，呃，说白了你那样子也要对这个数形结合的一个观点 好。最后一道大题我也不装，这个题把我做的有点难受的啊，是做的真有点难受，特别是这个第二问，为什么说这个题就是充分展现了颇具出题拼多多的特点。这个第二问，这个方程，第一问跟这个后面的第三小问之间一点关系都没有。 这个第三小问就是一个啊，极点极线的一个模型拿来出了这么一个题， 对吧？一看就是终点，想都不用想，你当你把那个 p 在 这里重合的时候，一看就是终点，他跟前面的第一小问一点关系都没有，他的整个模型所以是割裂开来的，做起来让人很不痛快哈。 嗯，这种就是我所说的拼多多拼好题他把这些东西就给你拼在一起。其实二三问之间没有什么特别大的一个逻辑性，我个人觉得本来就是没问相同的东西。第一小问， 哎，考这种多变量的一个运算哈，蛮有新意的就是不粘腻啊，尽量的直接去算。我真的快算抑郁了。这个我也承认算抑郁了试了很多方法里面甚至出现了第二小题才出现了四次方程。 好第一小问还是这题目怎么说你自己去按照题目的方法把这些式子给它列出来，这里应该还是能看明白的啊。这里我就不做过多解释了，唯独就是最后这一步我开始怀疑了一下了，我说这个 r 和这个 x 的 关系怎么长这样啊，但确实就长这样 啊。嗯，不要去怀疑好吧。然后是只取正数，因为 r 是 一个正数，这里我就没有去取那个负号的这种情况了啊。其实我觉得这个题也不是特别的严谨。 嗯，如果说给定他的第一上线的话你做起来应该会更轻松一点吧。我开始也在这里纠结一下，后来想反正取正数嘛。好，我就只留了这一个答案。 哇第二小问真的把我开始做抑郁了。这是我最后总结出来了个结果。蓝色的这一部分实在没有办法。我用了二级结论的啊。同学你看一下因为他说什么。他说圆 m 和抛物线只有一个公共点吗。唯一的公共点。那我的想法我觉得就是这样子的一个模型， 就这样子，比如说圆在这里和它是相切的，那相切的话，就是圆在这个 a 点的切线的斜率和抛物线的这个点切线的斜率是一样的， 我实在没办法了，所以这里还是用了那个切线半带入的二级结论的，考试的时候如果没实现，你也用吧，应该不会去正吧，这也太变态了。 所以这里第一个的这个是半带入啊，抛线的半带入，半带入了以后呢？然后这是他的切线的斜率，这是圆的半带入，然后这个是圆，这个地方切线斜率相等。哎，我就得到了这里第二个式子和第三个式子。 第一个式子是什么呢？第一个式子是把第一小问的注意啊，这个是 y 乘过去就是这个平方，等于二， y 零啊，二，这是第一个式子。 然后第四个式子就是抛物线的方程， y 方等于二 p x 零，实际上是三个式子，就是咱们的这里是第一个式子，这个二三是一样的，我只是为了方便带入，写成两种形式，以及第三个式子，第四个式子。 我把这几个式子写出来的时候，我就知道我一定解得出来，为什么 r 是 常数， y 零 x 零 r 三个变量，三个方程怎么会解不出来的，肯定解的出来啊，然后把我解抑郁了，好吧，真的快把我解抑郁了。 好，我最后解出来就是这个答案， y 方等于十二 x。 我 把流程写的比较详细的可以看一下，但是我和豆包搜了一下，他豆包答案和我不一样啊，所以我这里有点不放心，我又解了两遍，我还是 y 方等于十二 x， 豆包给的答案是 y 方等于四 x， 所以 我有点纠结。 那后来我又想，第三问给的是 x 等于负三，那负三刚好是十二的一个准线，我就没有去怀疑我的答案了，我到时候看一下标答哈。 好，那这个题第二问我个人觉得是挺夸张的，我不知道有没有更好的方法，或者说更加简编的一些方法哈。我用了应该是用了一下二一结论，然后用的相对比较愚蠢的就是年龄多个方程去解这个屁的一个方法。好， 第三问我没有特别多要说的这个结论像我图一画出来，我就猜出这个答案是一比二了，然后只是比较正常的去写了。接下来这个步骤还是推荐大家把常规的年龄去给他写清楚好吧。呃，就正常写是写的出来的。这个题 第三问我觉得他这个题应该把第三问和第二问对调一下，我还稍微好接受一点啊。其实第三问是挺常规的 呃，唯独这里我处理的时候就这个地方。你们看一下你们说同学，有些同学看到这个式子特别的夸张，我把这个 t 提出来了，就是 t 倍的 x 一 减三，然后 x 一 减三，我写成了 m y 啊，所以它分子分母就消掉了，然后跟一个非对称位答就可以了啊，跟一个非对称位答就可以了。 因为我是提前看出来 gh 是 二分之 gi， 所以 我这里算的是 gh 和 gi 的 一个比值，如果你去算 gh 和 gi 的 一个比值也可以。我为什么这样比？因为我觉得这样结构形式会对称一些，看起来会更加的清楚一些吧，所以我会自我是这样的一些比值。 好了，这是整个这套卷子，我有同学考完之后跟我反映说大部分的同学还是喊比较难。是吧， 那我简单的瑞评一下这套卷子哈，就是保持了颇具一贯的出题风格啊，拼好题，小题强行给你堆一些计算量，然后揉杂啊，把你学的知识全部给你砸到一起。 但是题都是陈年老题啊，没有任何创新大题，这几个涉问之间也没有逻辑性，所以呢，大家练一下手就可以了。好吧，题目的话和新高考我觉得还是比较背道而驰的， 他的小题新高考不会这样出，小题会比他出的更加的简洁啊。绝对会更加的简洁，不会有这么多字，而且问的也比较的简单啊。最后两道大题，这个拼凑的痕迹太严重了。好， ok， 今天就这个样子哈。嗯，加班加点做出了这一期视频，然后大家还有什么想问的，欢迎在评论区留言。哈喽，我是小曹，拜拜。

哈喽，各位同学大家好，今天给大家来讲巴中五，也就是重庆巴中一整模拟这张卷子，哎，总评一下这张卷子，这张卷子我觉得难度中规中矩吧，前面呢，都没有什么难题，像第八题，这个 正四面体里面求相切的问题，也是一个非常常考的问题了。然后像第十一题，第十一题其实他已经给了很足够的提示，他已经告诉你这个边是 a n 分 之一了，然后 c 呢，就是一个竖列放错问题，所以也是一个比较常规的问题，难度也不算大。 然后十四题呢，解答这个问题是非常参考的问题，并且我们说跟那些元相关的，要么就是用 s 点 r p， 要么就是把它每个边按照切点分成两个线段来算，那这个就可以把十四题做出来，所以十四题呢，也不算一个难题， 十五呢是送分的，十六也是送分的，因为我们前两天才讲过那个圆的曲线斜铝合金那个专题，所以十六题相当于可以直接默写十七题，这里非常好解析，所以说也不是一个难题。 十八 t 也是这两年比较热门的一个考点，第一问就是一个二项分布，第二问就是二项分布中最大项的问题。那在二零二三年四月联考那个呃，鱼塘问题之后，就非常喜欢考，到现在也是非常喜欢考这个点，所以它也是非常常见的一个问题， 就是如果大家有学习过这个怎么做，应该是比较简单的。第三个就是个马尔克夫列问题，马尔克夫列求出来这个 p n， p n 减一， p n 减二的一个递推之后，利用我们的二阶梯形递推，可以用代练系数，可以用特制根法把它这个 p n 求出来就完事。所以十八题总体上也算不上一个难题。 虽然这两种思路对于课内的知识来说，他应该是没有讲到的，但是他既然作为一个考这个点的存在，那么绝大部分老师对这些考点应该都是讲过的， 并且很多同学呢，应该对这些考点也是有研究的，所以他其实算不上一个难题。这十九题形式稍微奇怪了一点，但是你不要被这个形式所吓倒。十九题就是一个简单问题，你可以把它看成是一个 x 乘上 f x 的 导数，等于 x 分 之论 x。 如果你会解微分方程呢？那么你可以把 f x 直接解出来，如果你不会解呢？我们直接带着这个走，这题一样可以做出来，因为这个题全程三个问，根本没有任何的参数， 就是让你证明一些简单的不等式问题，因为它没有任何参数，所以我们解决这几个问题其实都比较简单的，我们只需要把这些东西往 x 乘 f x 上面去凑，那这三个问都很好解决。 因为我们知道 x 乘 f x 的 导数，所以不管是哪个问，你都要想到往 x 乘 f x 上面去凑，因为它导数我们是已知的，我们是求完导数就不含 f x 的。 比如说第三问，你第一步就应该在这乘个 x， 这乘个 x， 对 吧？ 因为你乘完之后，我们这个东西求导它就不含 f x 了，那我们去讨论它导数是比较简单的，这是一个总平，就是说这张卷子总体来说难度还是不算太大的，我们一个题一个题来讲， 第一题 z 等于 i 三方加 i 四方，那我们知道 i 三方就是负 i 嘛， i 四方就是一嘛，对吧？一减 i 位于第四象限。第二题，已知集合 a 是 这样一个集合，则下列集合与 a 相等的是，那我们是不是可以化成三加 x， 三减 x 大 于等于零，且我们的三减 x 不 等于零啊，对吧？ 那我们就可以求出来，他应该是一个负三负二，负一零一二，对吧？选 a 第三题第三题是经常考这个考点了，就说我们这个 am 加 an 等于 ai 加 aj， 如果说我们 m 加等于 i 加 j 的 话，也就说我们下标之和相等，我们这几项就相等，前提是项数是一样多的， 所以我们这个就可以变成三倍的 a 二等于负二十四，所以 a 二等于负八，那这个一样的 a 十八就等于 二十四，那么 a 十怎么看呢？那是不是二倍的 a 十就等于 a 二加 a 十八呀？因为我们说在项数相同的情况下，下标之和相等，那么这几项就相等二十，然后十加十也是二十，对吧？就等于十六， 那 a 十六等于八选 b。 第四题，展开式中，常数项为，我们看常数项怎么出来的，因为这个总要选六个嘛，所以说我们这边选两个，这边选四个，是不是就刚好凑成长数了？我们 x 约掉了，所以就是 c 六二，然后二分之一的平方，然后二的四次方，所以我们常用的是一个六十选 c。 第五题，投影向量，那投影向量我们说就是投影再乘上这个 ab 方向的单位向量嘛，所以我们先算一下投影。算投影之前，我们应该把 ac 和 ab 两个相等算一下， ac 是 负一到二， ab 呢，就是一到一，所以我们 ac 在 ab 上投影，就是 ac 点成 ab， 除上一个 ab 的 周长， 它呢就等于二分之根号二。那么说投影向量就是它再乘上一个 ab 方向单位向量吗？那是二分之根号二，单位向量就是二分之根号二到二分之根号二，那就算出来应该是二分之一到二分之一， 所以应该选 c。 第六题，那他给出了十八个月芯片晶体管数目会变成加了两倍，也就是说我们 n 零乘上一个 a 的 十八次方，就等于二倍的 n 零乘上一个 a 的 零次方等于一，对吧？所以我们 a 就 等于 二的十八分之一次方。那同理，我们 m 零乘上 b 的 十二次方是不是等于二分之一？ m 零乘上一个 b 的 零次方就是一，所以我们 b 就 等于二分之一的十二分之一次方， 所以我们就可以算这个什么是 g 了，对吧？那就说我们 m 零乘上一个 a 的 六次方，乘上 n 乘上一个 b 的 六次方，等于多少倍的 m 零乘 n 零呢？那是不是我们是算一下 a 的 六次方乘 b 的 六次方是这里面的哪一个就行了，对吧？ 那 a 的 六次方就是二的三分之一次方，乘上 b 的 六次方就是二分之一的 二分之一次方。那我们看选项都是二分之一的多少次方，所以我们把二改成二分之一的负三分之一次方，所以这东西是不是等于二分之一的六分之一次方呢？所以选 b。 第七题 对任意的 x 小 于等于二分之二都存在 f 除以 r， 使得它很成立，但是一个是任意，一个是存在，所以我们先解决到其中一个，那我们先解决 x， 我 们发现 f x 长这样， f 撇 x 是不是等于一？加上 cosine 的 s 加 f， 那 他是不是肯定大一点零的？因为我们 cosine 是 有界的，对吧？所以我们 f x 一定是单调递增的，所以说对于任意的 s 小 于等于二分之派，那对于 x 这边我们是一个横成立，所以我们是不是应该要算它最大值啊？ 因为任意的 s 小 于等于二分之派，此时是等于一个二分之派，加上一个三 二分之 pi 加 find， 那 么说都存在 find 属于 r 时，它很成立，那所以说这也是个存在，那存在的话，我们是不是要算它最小值？因为只需要存在一个 find 就 可以， 因为我们 find 只需要存在就好了，对吧？那存在是不是意味着算最小呢？对吧？ 那所以说跟 f 有 关的这三二分之差加 f 最小是几？最小是不就是负一啊，对吧？所以说我们对于 f 而言，这个东西的最小值就是二分之 pi 减一，所以我们总体上 a 是 不是 只需要大于等于二分之 pi 减一就好了，这样就既满足任意的 x 小 于等于二分之 pi， 然后存在 f 属于 r 了，对吧？ 那这是我们的第七题，第八题。第八题是非常常见的一个四面体，就是球的问题，由于在前两张卷子已经讲过内切球跟外切球了，所以这个就不多说了，因为我们这个球 o 一 就是一个内切球嘛，对吧？ o 一 它在这里， 然后我们这整个长度呢？是不是三分之根号六乘上我们的 a， 所以 这整个长度应该是二倍根号六，呃，这两个字母吧？ a 这边是一个 h， 那 a、 h 呢？就等于二倍根号六， 然后我们的这个 o、 e、 h， 它离底面的这个长度，也就说它半径呢是一个十二分之根号六。 a 是 不是就是一个二分之根号六？嗯，写这边， 那我们看下面的球二球二，是不是说你既要与这个球一相切，又要与它三个侧面相切？我们不妨球二就在上面，那不妨，这就是我们的 o 二， 所以我们 o 一 o 二的长度是不是就是我们两个半径相加？因为我们说两个球相切，他们两个球心的距离就是两个的这个半径相加，所以是不是 r 加二分之根号六，对吧？ 那他又与这个侧面相切，那肯定是切在中线上的，那是不是我们对于 o 来说，这个长度也应该是 r， 那 既然这些长度我们都有了，我们算一算就好了。那由于这个距离是 r 加二分之根号六，这个距离是不是二倍根号六减二分之根号六减二分之根号六减 r， 所以 是不是一个根号六减 r， 对吧？这一段是根号六减 r， 那 我们在这个三角形中是不是算一下我们的这个正余弦就可以了？因为这个大的三角形我们是知道的，对吧？那我们知道这个角， 这个角的斜边比上对边应该是一个三比一的情况，所以说对于我们这个三角形是不是也是三比一？这边是三，这边是一，所以我们是不是有刚好六减 r 就 等于三 r， 所以 我们 r 就 等于四分之高六， 由于我们 r 一， 哎，这是我们 r 二的半径，那由于我们 r 一 是不是二分之高六，所以比例就是二选 a。 第九题，那我们这个函数最大值是不是 a 加 b， 最小的是不是负？ a 加 b， 那 a 加 b 最大的就是三 a 减 b， 最小就是负一，所以我们可以把 a 和 b 都求出来， a 呢就等于二， b 就 等于一，然后我们发现最低点到最高点是不是二分之 t 啊？就是它周期的一半，那二分之 t 等于二分之 pi， 所以 t 就 等于 pi， 所以 我们就知道 omega 等于二。 那翻译怎么求呢？又给了这么几个值，我们就直接把这值带入就好了。我们带底下这个把 f 十二分之五 pi， f 十二分之五 pi 呢？是等于一个负一，所以我们就有三六分之五 pi 加 pi 是 等于负一的 六分之五 pi 加 pi 是 不是等于负二分之 pi 加二 k pi， 所以 又由于我们 pi 属于零到 pi 的， 所以我们可以把 pi 写出来。 pi 又等于三分之二 pi 是没有知道 a 肯定是错的， b 是 对的。 c 的 话，我们看把它取得的值，就把这边翻上来，那翻上来，由于这边高，这边低，这边高这边低，所以是不是它本质上周期还没有改变， 所以说此时它也是 pi， 那 如果没有这个 b， 仅仅是 a 被三引 omega， x 加 five， 那 你取决于值之后它周期是要减慢的。 d 将 f x 图像向右平行三次帕特单位，关于这个点对称，那么写写 f x 是 什么？ f x 就是 二倍三 二 x 加一，那我们平行之后是不是二倍三 二 x， 因为左加右减右减三分之派再乘上前面的二，是不是负三分之二派和三分之二派抵掉了加一， 那它是关于二分之派都一对乘的，没有问题。第九题， b c d 第十题，我们可以根据这个 q 在 c 上就算出来它的一个方程是 x 方，加上四分之 y 方等于一， 那算成这个之后呢？我们就需要注意到，我们此时是不是一个竖着的椭圆，对吧？这个一定要注意啊，这个抵押是 a 方，这个抵押才是 b 方，能明白吗？ 就是这个图案是竖的，千万不要搞错了，这个题只有这一个难点，所以你知道这个之后，那我们 a 选项就是对的，就你注意到它竖着图案中，那 a 选项就对的。变选项 m f 一 分之一加 m f 二分之九的最好值为八，那我们知道 m f 一 加 m f 二是个定值， 很多人可能直接下意识的就给它写到 x 下面去，就说它等于二，那这是完全错误的。因为我们说此处我们的 a 是 y 下面的这个东西，底下这个四对应的才是 a 方，所以它应该等于几？底下这个四对应的是 a 方， a 就是 二，所以我们等于二。 a 是 等于四的， 那我们利用这个乘以法把它乘过去，那最小值可以算出来应该是一个四， 那如果你没有注意到是竖着椭圆，你直接把二带进去了，那就算成是八就错了，对吧？ c 点 p 的 轨迹 点 p 的 轨迹，是不是我们 m 做这个垂线终点，那我们说相关点法就可以了，我们就相关点法，我们直接设 p 为 x 零 y 零，然后把已有的轨迹给它表示出来，那就是我们 m 是 x 零都二， y 零，对吧？那我们 m 的 轨迹是已有的，把它带进去了，那就是 x 零方加上四分之二， y 零的平方等于一，可以解出来 x 零方加 y 零方等于一，那么说 p 就 在这样一个轨迹上面， d p q 最大值为四分之十七，那么 p 的 轨迹有了，我们只需要连接这个 q 和我们的圆心，再加上我们的半径，就是最大值了，对吧？ 那 q 和圆心算一算，因为他给了二分之一和根号三，所以算出来圆心与 q 的 距离应该是二分之根号十三，然后再加上我们半径一， 所以呢，它最大值应该是二分之根号十三加一。那这个四分之十七是怎么来的？为什么会四分之十七呢？你想一想，如果你这里忘了开方，就是你算勾股定律，算这个 o q 这个长度时候，忘了开方，那是不是四分之十三，再加个一是不是四分之十七？ 所以四分之十一。这个答案就是专门来治望开方的人的，就是你算了这个距离，千万别忘了开方，只要你不开方，你记就对了，对吧？十一题，我们昨天才更新了不动点法，求分式递推的通项，那我们根据那个可以直接把通项表达出来，但这里给了提示啊， b n 等于 a n 分 之一， 所以说我们就把它写成一个 a n 分 之一的形式，在这个东西两面都是取倒数，那就是我们的 a n 加一分之一，就等于 a n 分 之一加二，那也就是我们 b n 加一就等于 b n 加二，那结合我们 b e 等于一，我们就可以求出来 b n 是 等于二， n 减一了。 a 是 对的， b 选项 s， n 等于这个，那 s n 是 他第 n 个群众所有的项，所以我们要看 s n 其实从哪开始算的？ 那么发现第一个群是不是有一个？第二个群有两个，第三个群有三个，所以我们前面这 n 减一个群总共多少个数呢？是不是第一个一个，第二个两个，一直到一个 n 减一个呀？对吧？这个是不是总共是二分之 n 乘减一？ 所以说我们前面 n 减一个群总共有这么多项，那我们第 n 个群是不是从这个开始算的？就是我们二分之 n 乘 n 减一加一这一项开始算的？算到哪呢？我们此时加 n 个，是不是一直到我们的 这个 b 二分之 n 乘 n 加一啊？对吧？那我们这是不是我们第 n 个群中的所有的 b？ 虽然我们有 b n 的 这个表达式，所以我们就算一下就行了。那我们知道这总共是 n 个数，对吧？ 所以我们算一下它首项和尾项，因为总共 n 个数，并且它又是一个等差竖列，我们没必要把这样所有项都表示一下，我们继续首项加尾项，这一项除以二就行了，对吧？所以第一项 b 二分之 n 乘 n 减一加一，把它带到这个二 n 减一里面去，就是一个 n 方减 n 加一， 然后最后一项呢？ b 二分之 n 乘 n 加一，把它继续带到那个里面去，就应该等于 n 方加 n 减一，所以我们首项加尾项就是一个二 n 方乘上一个项数，总共是 n 项除以二， 所以我们 s n 就 等于 n 三方，这是我们的 b 选项， c 选项是一个竖列放松问题，就让我们求 n 方分之一的上减。那么常规的想到 n 方分之一会小于我们的 n 乘 n 减一分之一嘛，那这样我们就可以列向了，是吧？等于 n 减一分之一，减去 n 分 之一， 如果我们全部放掉，也就是我们从第二项开始放，那会得到什么样结果？那是不是一加一减二分之一，一直加到最后再减掉 n 分 之一啊？那最后是不是减到一个 n 分 之一啊？它是不是小于二啊？我们发现我们要小于四分之七，但是我们现在是小于二，怎么办呢？ 那这个是不是说我们放松的精度出了问题？在之前的卷子我也讲到过放松精度的问题，精度出了问题，也就说我们这个放太过了，我们要小于四分之七，这里小于了二。那有两种解决方式，第一种呢，就是说换放松， 就直接换一个放缩就可以了。第二个呢，叫前几项不放，到我们 n 足够大的时候，这两个式子之间是不是差距就非常非常小？但是对于我们前几项，他们差距就非常非常大。比如说第二项，这边是四分之一，这边就直接放成二分之一，你直接放了四分之一过去， 那是不是我们精度就会出很大的问题？你这里直接放了四分之一，这是一个非常大的数字了。 所以说我们说你精度不够的问题都在于哪里，都在于你前几项精度太低了，你直接给四分之一放成二分之一了， 所以说要么换放缩，要么留前几项不放，那我们这直接选择第二个就可以了，因为换放缩，你再想一个放缩其实也不是好想，你其实可以考虑 n 减一乘 n 加一分之一这个放缩，但是这个放缩我觉得，呃，不是很好想，因为相对来说这个放缩要好想一点。 那么直接留前几项不放吧，我们第二项也不放，那第一项是不是一，第二项是不是四分之一？那从第三项开始放，是不是就加二分之一，减三分之一，这样加到最后就是减 n 分 之一，那么就发现刚好是小于四分之七的，对吧？ 一加四分之一，加二分之一，等于四分之七嘛？最后减到一个 n 分 之一，然后它会小于四分之七。所以说我们发现一个树叶放缩而言，你放缩的精度其实有两种方式去调整，第一个叫你换一个放缩，第二个呢，叫你前面误差大了，你不放就行了， 这是我们的 c 选项，那当然我们可以再研究一下，再少放一项，它会小于哪个数呢？就是我们对它精度要是再严一点， 第一项是一，第二项是四分之一，第三项我也不放，第三项叫九分之一，然后从下一项开始，那是加三分之一，减上我们的四分之一，一直加到最后减掉一个 n 分 之一，那它会小于多少呢？它的精度是多少呢？ 我们来算一算，这边是一个四分之五，再加上这边一个九分之，我们发现如果我们第三项也不放，我们的精度会来到三十六分之六十一，比我们四分之七要更小一些，对吧？四分之七本质上是三十六，分之 六十三，对吧？所以我们精度会更精确一些，所以说在我们精度不够的时候，我们都是可以考虑这样去调整的。 我们再看 d 选项，叫做 n 的 三次方，分之一这个东西求和放松，那前面在那个应该是九龙坡期中那张卷子吧？我们就讲过这种三项放松的问题。 第一个是你可以考虑放成 n， n 减一， n 减二分之一，然后去调整精度，最后把它调整到一个四分之五上来。第二个就是说我们可以直接写成 n 减一 n 加一，因为这个精度相对要高一些，并且非常的好想， 因为你这个本子上就是 n 方减一乘上一个 n 嘛，对吧？他肯定是比 n 三方要大一些的，这个放缩的精度就比刚刚那个放缩的精度要高一些，但是刚刚那个精度不是说他做不出来，你只需要丢掉前几项就可以了。那具体前面丢多少项呢？我也没算过。那这个东西是不是二分之一 n 减一乘上 n 分 之一， 那我们后面卷子会越讲越快啊？就是因为很多东西我们在前面卷子讲解中都讲过，那既然讲过的话，我们在后面的卷子就可以直接用，就不用太啰嗦了，对吧？ 这个东西就等于第一项不能放一加上二分之一，里面是一个二分之一减六分之一加六分之一，最后减到一个 n 乘 n 加一分之一，那把最后那个放掉，它就会小于四分之五， 因为前面这里是因为前面这是四分之五嘛，四分之五再减上二分之一倍的，它就小于四分之五，那如果你用的时候，我们一开始那个放错，我们调整一下精度，依然可以把它调整到这上面来的。 十二题样本数据方差，我们先求一下平均数，平均数是七，所以方差就是五分之二十六，这个自己算。那十三题看到这个之后，他基本都是可以拆成列项的形式吗？对吧？我们数列做多了，这个都能看出来。 加上一个二分之一倍的 x 分 之一，减 x 加二分之一，对吧？那知道这个时候我们再挪一下向，给它写成一个同勾的形式， f x 加二加上二分之一， x 加二分之一等于 f x 加二分之一 x 分 之一。 那我们不妨把这两个都看成 g x， 那 是不是 g x 加二等于 g x， 所以 我们 g x 是 不是以二为一个周期，所以我们就有了四和一百，我们来写一写，那是不是 g 一 百，它是肯定等于 g 四的，因为它以二为周期，那我们把这两个写开，就是 f 一 百 加上两百分之一，等于 f 四加上八分之一，那是不是我们 f 一 百就是八分之一，因为我们 f 四是两百分之一。 ok， 这是我们的十三题，十四题，那看到这样一个内圈问题，内圈问题我们说要么就用 s 等于 r p， 要么就是把它每个边按照切点分成两段来看，那这个肯定跟 s 等于 r p 没什么关系，所以我们就把它分成两段， 所以由我们这个切线长这里是不是可以设，这是 a， 这也是 a， 这是 b， 这是 c， 这也是 c， 我 们是不是可以按照切点给它分为这三个边来算，对吧？ 那由于我们这个 f 一 f 二是确定的，所以 a 加 c 是 不是等于四啊？那又由于我们这个两边之差是不是等于四啊？那又由于我们这个两边之差是不是等于二点？所以我们有 a 等于三， c 等于一， 所以相当于我们 i 的 横坐标是确定的，它就是跟我们这个右顶点的这个横坐标是一样的。那么下一步 要算我们这两个摊进的比值，摊进的比值是不是这两个的比？这两个我们发现它们对边是不是相等的？然后这个底下这个边我没有知道，所以你可以直接写出来，对吧？它就等于三， 因为我们贪镜的 if 二 f 一， 其实就是我们不妨把这段记作 h 吧，就是 h 比上 c， 也就是 h 比上一，那下面这个贪镜的 if 一 f 二呢？就是 h 比上三嘛，对吧？ a 我 们也知道，所以就等于三， 这我们第一个空，第二个空呢？让我们求这个最小值，也就是让我们求 这两个角的三角是最小值，那其实我们说什么？我们说上一问一定是给下一问做铺垫的，没有无缘无故的第一空，没有无缘无故的第一问。 所以上一问我们知道了这两个角的半角的摊进的比值之后，我们是不是可以用万能公式全部画到摊进的半角上面去？也就说我们这两个三角是不是可以直接画成这两个半角的摊进头？那这两个半角摊进头，我们又知道他们这样的关系，那是不是直接都可以算出来，对吧？ 所以说这个就等于我们直接利用万能公式五倍的下面是不是二 t 除以一加 t 方，对于这个角 p f 一 f 二呢？我们可以直接令它为 t 嘛，上面就是三 t 嘛，所以我们直接用 t 来表示会好看一些，你全部写贪婪的话太多了，对吧？ 加上一个九倍的，你要注意，我们也是万能公式，但是底下是三 t， 所以 现在是六 t 出一个一加九 t 方，那这张九我们化减一下，就等于 t 分 之四， 加上十六 t， 那 他会大于，那他会大于等于十六， ok， 所以 最好值十六十五题，我们根据题目，这个角是不是一个七十五度，然后呢？这个角是不是一个三十度？根据题目来说， 然后这边是十倍根号三，然后这边是一个四十五度， 然后这边有一个六十度。我们来看第一问，求 c 与 a 的 距离，那就是求我们这个长度，我们现在知道了这个角，这个角，这个边，那算这个边还很难吗？不难了，对吧？ 我们直接把这个角算出来，这个角应该是六十度，然后利用正弦定律就可以得到 a c 等于十倍高了，求 ab 的 距离， ab 的 距离在这里呢，对吧？ 那我们发现还有一个地方没用，就说这里还有个六十度，没用，这里六十度的话，这里是不是一百二十度？一百二十度，这里是三十度，所以是不是这个 b、 c、 d 是 个等腰三角形，然后这边就可以算出来是三十， 你知道这里是十倍根号二，这边是三十，这个假角四十五度，我们是知道的，所以我们利用一下圆点，是不是 ab 就 出来了，这里就不再多说了，石头贴不讲了，石头贴问题的话，去看那个斜铝合金的视频， y 方等于二 x， 然后定点是一个四到二来换实际，那他给了这两个角相等，然后又告诉我们底下这两个边是相等的，所以我们可以得到这两个四角形， 就是我紫色这个跟绿色这个，他俩是不是全等的？因为有公共边，有底下这个边相等，他们两个角相等的，所以这两个四角形全等之后，我们是不是这两个边就相等了？ 这两个边相了之后，我们 o 是 不是这个底面的一个中点？所以我们这里是不是肯定是垂直的？那它垂直我们的交线是不是自然就垂直平面了？因为我们这里有面面垂直，所以垂直平面就做出来了，那有了垂直平面，然后再加上我们底面是个等腰直角三角形，所以我们是不是可以直接间隙， 对吧？那间隙的结果我就不多算了。最后答案是一个六分之派。我们来看十八题，若 n 等于三，求 x 分 布力和期望， 那我们支出点数大于四的概率是不是三分之一啊？所以我们 x 是 不是服从于二项分布？三都三分之一了，所以那是不是剩下的这个分布列和期望就很好写了？我在这也就不写了，因为它就是一个二项分布写分布列和期望的问题。 那第二个是什么意思呢？第二个就是说对于我们这个 n 而言，我们 x 等于一，这一项是我们这个二项分布中最大的一项。那我们说求二项分布中最大项，我们是用什么方法去求的呢？我们是不是用 p x 等于 k 与 p x 等于 k 减一去进行作比啊？因为如果它下一项比上一项更大，也就是一个递增的情况， 那如果它小一等于一，是不是就是递减的一个情况？所以根据递增和递减，我们可以求出它里面最大的项是哪项，那么现在要求它是一，所以我们先把它在哪递增哪递减先求出来。 我们把这东西展开，那是不是 c n k 乘上一个二的 n 减 k 次方，下面是一个三的 n 次方，比上一个 c n k 减一，乘上一个二的 n 减 k 减一次方，除上一个三的方，那这东西就等于 n 减 k 加一除上一个二 k， 然后我们要它大于等于一，那么求出来 k 要小于等于三分之一 n 加一意味着什么呢？意味着我们在这个之前都是递增的，在这个之后都是递减的，所以我们这个要卡在哪呢？我们说三分之一 n 加一一定要卡在一和二之间，为什么呢？ 我们来看一看。首先如果他小于一会怎么样？如果他是零点九，那我们说在零点九之前是真的零点九之后是减的，那我们一在零点九之后是不是减下来了，对吧？所以说我们此时零就肯定是最大的，所以就不可能是一， 所以我们至少需要大一点一。比如说我们现在是一点一，那是不是我们在零到一点一是减的，那一肯定是最大的，那同样的我们也不可能最大于二， 因为比如说现在取二点一，那是不是一到二之间还是个递增的呀？那一到二之间是递增的，我们二就一定比一要大，对吧？ 那一就不是最大的，那这里为什么能取等呢？那就说如果这里取等的话，我们是不是这里也取等，这里取等的话相当于这里也取等，那这里取等的话，那是不是就意味着我们此时 ps 等于一和 ps 等于二是一样大的？ 一样大的话，因为我们这里是一个大于等于号，它不是一个严格大于号，所以这个也是可以取的，所以我们就把这个不等式解出来就可以了。所以二小于等于小于等于五。 那同样的这几个问题呢？后面都会给大家做成专题去讲的，所以就放心，但是这个专题我们慢慢跟嘛。第三问是一个马尔克夫列问题， 我们先算一下 p 和 p 二， p 一 肯定是一，因为你只抽了一次，所以他肯定是没有出现连续两次不中奖，所以 p 肯定是一， p 二是不是用一减去，我们连续两次不中奖就可以了，是不是一减掉我们的三分之二的平方就等于九分之五？那么怎么来看 p n 呢？那我们说 p n 我 们可以用全概率公式， 因为我们现在 p n 它的一个曲值就是这个投了 n 次，未出现连续两次不中奖这个事件是不是跟我们前面 n 减一次是有关的？所以我们说 我们把它归到前面的情况去，利用一个竖列递推的一个思想去给这个 p n 求出来就好了。这是我们一个马尔科夫量的一个核心， 就说我们这个事件的第 n 次发生与不发生，是跟我们 n 减一次，或者说 n 减一， n 减二， n 减三，就是前面几次是有关的，那我们就可以考虑给它写成一个竖列递推的形式，然后利用这递推的形式呢？最后就可以求出来我们那个 p n。 那 么就看假设我们第 n 次中奖了， 那第 n 次中奖，是不是只需要我前面 n 减一次都没有出现连续两次不中奖就可以了？因为我这一次中奖了， 他不可能产生新的连续两次不中奖的情况，因为就算我上一次最后那一次第 n 减一次是不中奖的，那我这次中奖了，是不是也不会产生新的情况？所以我只需要前面 n 减一次，里面没有出现连续两次不中奖的情况是不就可以了？那此时的概率是不是 p n 减一？ 那如果我第 n 次没有中奖，也就是三分之二的概率，那是不是我们还得考虑一下其他情况啊？ 因为如果我前面这 n 减一次中，第 n 减一次也是不中奖，这次也不中奖，是不是新造出来一个连续两次不中奖的情况？所以说我们 n 减一次是不是必须要中奖？ 所以是不是三分之一的概率，那 n 减一次必须要中奖？又回到了我们前面这个情况，因为前面我们说第 n 次中奖之后，只需要前 n 减一次中奖，我们这里第 n 减一次中奖了，是不是前面 n 减二次，只要不出现连续两次不中奖的情况，是不是就可以了？ 所以我们就得到这样一个地推，叫做偏等于三分之一偏减一，加上一个 九分之二倍的 p n 减二，那我们说这是一个二阶梯形推，我们可以利用代替计数法或者用特征根法求出来就可以了，那当然后面会给大家更新特征根法的一个专题，那我们代替计数写下吧。我们设 p n 减，那么大倍的 p n 减一，等于喵倍的 偏减一，减拉姆那倍的偏减二。先把拉姆那和喵的解出来，我们展开偏就等于拉姆那加喵倍的偏减一，减掉拉姆那喵倍的偏减二。 下面来把拉姆那和喵解出来，那我们对应系数相等，拉姆那加喵等于三分之一，负的拉姆那喵等于九分之二。那么是不是可以推出来两组解， lama 等于三分之二， miu 等于负三分之一，或者 lama 等于负三分之一， miu 等于三分之二。那我们说我们可以只用一组解或者两组解都用，给大家演示一下吧。 那我们先写第一组解， p n 等于啊， p n 减掉一个三分之二倍的 p n 减一，等于负三分之一倍的 p n 减一，减三分之二倍的 p n 减二。 那我们说这个是不是可以看成一个等比除列，所以我们可以把它同样求出来。 p n 减三分之二倍的 p n 减一， 就等于负三分之一的一个 n 减二次方，注意这里一定是个 n 减二次方啊，因为你第一项什么第一项？是不是 p 二减 p 一， 所以我们是从 p 二推到 p n 的， 并不是从 p 一 推到 p n 的。 从 p 一 推到 p n， 我 们是 n 减一个吗？从 p 二推到 p n， 就 应该是这个 n 减二个， 我们再把里面算一下，就是 p 二减了三分之二的 p 一， 那就是一个负的九分之一，我们这里 p 一 p 二都有，你就带进去好了，负九分之一，我们就给他把这个九分之一塞到三分之一里面去，就是负的 负三分之一的 n 次方，那这个我们说你只用一组解，是完全可以把这个同样求出来的，也就说我们在求出来 p n 减三分之二倍的 p n 减一之后，我们依然可以代替系数减那么大倍的这个负三分之一的 n 次方，等于三分之二倍的 p n 减一。减拉姆拉杯的负三分之一的 n 减一次方。然后我们利用这代练技术，再把这拉姆拉求出来，就再把它看作一个 等比数列，就可以把它的一个通向求出来，那这样来说比较麻烦，因为我们还有一组解没有用呢，总共两组解，对吧？那这个后面讲特征根的时候也会讲到这个是我们特征根的一个原理，那么就有 p n 加上三分之一倍的 p n 减一，是等于三分之二倍的 p n 减一，加上三分之一倍的 p n 减二，那我们可以同上求出来这个东西，它就等于什么？ 就我们的 p n 加三分之一倍的 p n 减一，就等于我们三分之二的 n 次方，或者说我们二乘上一个三分之二的 n 次方， 那这个也是同样跟上面一样的可以求出来的。那这样我们有这样的式子，我们发现我们要求 p n 是 不是只需要把这个呃 p n 减一给消掉就可以了？咱不妨把这个记作一式，这个记作二式，我们只需要一加上二乘二是不就可以了？咱们就有三倍的 p n 就等于负，呃，或者先写下面的四倍的三分之二的 n 次方，减掉一个负三分之一的 n 次方，什么就把 pi 求出来了？ 这就是我们利用两个这个代数，然后去最后利用加减把 pi 求出来这样一个情况， 那 p n 是 不等于三分之四倍的三分之二的 n 次方，减掉一个三分之一倍的负三分之一的 n 次方，那把 p n 求出来了， 那他说当 n 足够大时候， p n 的 实际意义。那么看 n 足够大时候，我们 p n 是 不是趋向于零呢？那趋向于零就意味着什么？意味着这个事情它就不发生， 是不是就是说你当 n 足够大的时候，我们偏去零，也就是说当你 n 足够大的时候，我们一定会出现连续两次不中奖的情况，对吧？所以这是我们实际意义。 ok， 这我们十八题，十九题，我们说这样一个式子，我们肯定想把它凑一凑，对吧？那么发现 x 乘 f x 加上 f x 这个式子是不是非常熟悉啊？就是我们 x 分 之零 x， 那如果你会解微分方程，也就说会给这个式进行积分的话，那么我们 f x 就 可以直接算出来，那当然对于高中生来说，要掌握这个技能还是太难了，所以说我们就仅仅利用这个式子去解决我们下面三个问题，就不用一个求圆函数的思路去写， 那么发现我们有 x f x 的 导数，那是不是我们下面所有的这个方向都是往凑 s f x 的 角度去说呀？对吧？ 那只要我们能测出来 x 乘上 f x 这东西，那我们求完导之后，是不是我们 f x 就 没有了？那是不是我们就可以很好解决了，对吧？ 来看第一问，用 f x 表示 f x， 那 么 f x 等于 x 方 lo x 减上 x f x， 那 我们要求 f x 的 单调区间，那是不是相当于要求我们导函数的正负？那这导函数的正负我们直接看不出来，所以我们是不是要令 g x 等于零 x 减 x f x， 那 我们说这个我们一定可以算出它正负的，为什么呢？因为我们 x f x 的 导数，我们刚才是不是才说过它的导数是知道的？所以我们 g x 求完导之后，就变成一个好看的东西了，就是一个 x 分 之一减掉一个 s 分 之零 x， 那 我们说 g x 是 不是就肯定在我们零到 e 再倒立正 e 到正无穷单调递减 变成我们 g e 是 等于零的结果我们把 f 一 带去算下，就知道那 g e 等于零，我们整个 g x 就 会小于等于零。所以我们 f x 在 零到正无穷 单刀立减？这我们第一问，第二问，若 x 零除以零到一，然后什么切线证明除切点外横在切线上方，那么写下切线方程呢？是 y 减 f x 零就等于 f p x 零， x 减 x 零。所以我们这切线 y 是 不等于 f 撇 x 零 x 减掉 f 撇 x 零 x 零，再加上 f x 零，我们证明曲线横在它的上方，除切点外。 那是不是说我们要证明 f x 大 于等于 f 撇 x 零 x 减掉 f 撇 x 零 x 零加 f x 零除切点外嘛？因为我们切点肯定是相等的，对吧？所以取等 当前，紧当 x 等于 x 零，也就是说除了我们 x 等于 x 零这个点之外，我们其他地方都必须是严格大于号嘛，对吧？ 那不妨就利用我们练过 g x， 我 们练 h x， h x 等于 f x 减 f 撇 x 零 x 减 f 撇 x 零 x 零加 f x 零，那它求导是不是等于 f 撇 x 减掉 f 撇 x 零？我们只需要知道 f 撇 x 是 单调递增的还是单调递减的，是不是就完事了？因为这里有个 x 零嘛。呃，这里 x 属于零到一， 因为它说零到一上图像嘛，所以我们不用管其他区间，所以只管零到一，我们 f x 单调递增还是单调减就行，那我们就对它求二阶导， 那求二阶导呢？我们这里把它看做这样来求导， g x 除上 x 方来求导， 为什么我们把它看成这个东西来求导？就因为 g x 我 们求过了，对吧？求过了，我们就没有必要再去浪费太多时间去考虑 s 三次方 x 乘上 g p x 减掉二倍的 g x， 那我们看这个式子，那 g 撇 x 是 不是在这里？那 g 撇 x 在 零到 e 上是不是大于零的？我们第一问才说明了，那 g x 是 不是小于零的，说明整个式子是不是大于零的？我们整个式子是大于零的话，那我们的 h 撇 x 是 不是在零到 e 上当上递增？ 又由于我们 h 撇 x 零等于零，所以我们整个 h x 是 不是在零到 x 零上是干嘛单调递减的？ x 零到 e 上是单调递增的呀，对吧？ 什么 h x 就 会大于等于 h x 零，但 h x 零是等于零的，对吧？那我们就挣完了，对吧？因为我们本子就挣它大于等于零嘛，就可以变形出来这个东西，对吧？然后我们还说明了你 h x 零是等于零的，你其他点其实都是不等于零的。 这是我们第二问来看第三问，第三问也很简单，只要你看出来了，这个题本质上是给了你一个 x 乘 f x 导数的东西，其实比较简单，下面要证明这个东西， 我们怎么来想呢？因为给的是 x 乘 f x 的 导数吗？所以我们另一个大 f x 等于 x 乘 f x， 减掉 x 加 e 分之二 x。 为什么我们这里选择两边同时乘 x 呢？就是因为乘了 x 之后，我们这个导数就是给定的，所以我们这个东西求导它就没有 f x 了，对吧？ 我们求导就等于 x 分 之六 x 减到一个 x 加 e 的 平方分之二 e。 那我们看到这样一个函数，我们之前讲过什么？我们之前在讲导数的时候，是不是反复强调对数？单身狗指数找基友，也就说我们对数一定要让它单出来，所以我们把 x 分 之一提出来，里面是一个 lo in x 减掉一个 x 加 e 的 平方分之二 e x。 因为我们把对数单出来之后，它求导是不是直接就是 x 分 之一？ 如果它复合了一个函数，那么求导是不是消不掉的？我们求完导之后依然有对数存在，那你分析它导数比较麻烦，那同样的指数找基友，因为你指数乘上一个函数之后，你求导之后，由于你指数是一个很正的东西，所以你也可以把它消掉，所以这个时候我们反复强调很多遍的技巧了。 所以我们立一个大 g x 等于 lo x， 减掉一个 x 加 e 的 平方分之二 e x， 我 们就对它再求到就是 x 分 之一， 再减掉 x 加 e 的 平方分之二， e e 减 x， 那 它是大于零的吗？因为我们 x 大 于 e 的， 所以这个是小于零的，加一个符号是大于零的，然后前面是大于零的，所以它大于零，所以我们 g x 是 当递增的， 所以我们 g x 就 会大于我们的 g e 带去就是二分之一，那 g x 整个都是大于零的，等于二大于 g e 等于二分之一也大于零嘛。所以 g x 大 于零就意味着什么呢？意味着我们 f x 是 不是也是单调递增的？ 那 f x 是 不是就会大于 fe 等于 等于零，对吧？我们把一带去大 f， 也就是零嘛，所以我们就挣完了，对吧？其实整个十九题就是看起来很吓人，但是如果你仔细记下，先来分析，它是一个 x 乘 f x 一个导数，那么几个问都围绕着这里去操作，那其实这个题是非常简单的， 因为他没有带任何的参数，本质只是证明一些不等式而已，就是不含参证。不等式就是我们导师中比较简单的一类题型了，那如果你能看出来，不被这个题的形式所吓到，那这题就可以非常容易就解决掉了。那么这张卷就讲到这里，感谢大家观看，我们下期再见！

重庆高三一等数学康德卷考完了，核心特点就是两级分化明显，简单题超基础，拿分很轻松，难题却让人没思路。突破难，基础送分题占比高，单选一到七题，多选九到十题，掌握知识点就能秒答，注意细节就行。 难点在单选八题，大题第十八题的第三问。综合度高，计算难度还大，基础过关呢。一百加一百二十加，有机会一百三十加难度就拉满了。对比九龙坡卷，他的计算量更大。压轴题呢，风格基本相近，赶紧针对性复盘。

哈喽，大家好，今天想跟大家讲的是如何正确合理的判断高中数学试题的难度。我做了一套相对可以量化并且可以广泛适用的判断标准。首先我认为有四个判断维度，第一个是思维陌生度，第二个是思维练长度，第三个是运算量，第四个是细节扣分点， 那其中每一点都是五分，每题至少四分，至多二十分。那为什么选这四个维度呢？第一个 是看这题新不新，对于你来说他是否是一个新题，这个思考方向你是否有思考过？第二个是这题难不难想？因为如果他思维链长度很长的话，你要想好每一步其实是非常困难的一个事情。第三个是这题难不难算？第四个是这题够不够坑。 我们先来讲什么叫思维陌生度，他应该怎么去复分。简单点说，思维陌生度就是说这个题的思考方式你是否熟悉， 如果他在高考真题以及平时的模拟考试中很少出现，那这个题的这个思考方式对你来说一定是非常新颖的，非常陌生的， 那我们就可以在某种程度上面说这个题很难。所以我在这就给出了几个大致的复分标准，高考考过类似思路，且模考出现频率高，那么就是一分。 高考考过类似思路，模考出现频率高就是三分。 高考没有考过类似思路，模考出现频率低，就是四分，高考没有考过类似思路，且模考几乎也未考过类似思路，就是五分的满分。也就是你要想出一个完全没有用过的思路去解决这个问题，那么这题的难度就非常非常高的，我们接下来来看一下具体的分数失利。 那这个题我们说是蝴蝶模型，那蝴蝶模型在二零二二年假卷考过，并且在模拟考中出现频率较高，所以我们认为从思维陌生度的角度来说，他只有一分。我们再来看这个题， 不管是科一不等式，还是用点到直线距离公式，他都在二零二二年的天津卷考过，并且在平时模拟考中也常有出现，但是出现频率不及刚才那么高，所以从思维陌生度上我们给了两分，当然毕竟考察的频率也不算太低，所以给到一分也是可以的。 我们再来看三分视力，那这个题考察是一个子集中元素求和和子集中最小元素求和的问题，那他虽然在高考中并未考察，但是在模拟考中却常有出现，所以因此从思维陌生度上我们可以给他给到三分。 那由于数学规划法搭配组合数在模拟考试中确实很不常见，所以我们从思维陌生度角度上给这个题给到四分， 最后这个题给他五分，他用的几乎都是竞赛中组合数学的思维，在高考和模拟考中几乎没有考察到过这个题所考察到的思维，所以说这个题的思维陌生度我们给他五分。 我们再来看什么叫做思维链长度，思维链长度是指你从条件到结论之间有多少间接思维量。比如说我条件是 a， 结论是 b， 我 a 是 可以直接推 b 的， 我们就说这个间接思维量为零， 那如果我的 a 只能推 c， 然后 c 又能推 b， 但是对于我们这个题只给了条件 a 和结论 b 而言，你需要自己找到中间这个 c， 那 我们就说这个间接思维量为一， 那我们就依据一个题的间接思维量的数量进行一个思维链长度的一个复分，我在这里也给出每个分数段复分的一些示意。 这个题我们说今天思维量是零，因为直接给了斜率和让我们证明直线过定点，那么我们说这是一个直接推导的一个过程，所以从思维量长度这个维度来判断，他只能得一分。 那这个题我们说建立思维链为一，因为我们要由终点这个条件首先得到斜率和是一个定值，然后再由斜率和定值推出来。我们直线 a b 过定点，那由于题目指给了我们终点，让我们证明的也是直线 a b 过定点，我们需要自己找到斜率和为定值，所以我们在思维链长度上给到两分的分数。 这个题我们给到三分的分数，主要是因为第一个他也需要得到一个斜率和，第二个是他也是要通过斜率和证明我们直线过定点，但是他多出来一个点叫做椭圆是竖着的，你要求的是斜率倒数和，所以这个题我们可以给到三分。 那这个题我们首先要求 x 一 加 x 二大于零，然后还需要 x 二大于根号 e 分 之一，最后我们还要得到 x 二加 x 三大于二倍根号 e。 所以 说这个题有三个我们需要思考到的点，所以这个题给到四分，至于五分不多说，自己看。 这个题有一大堆我们需要思考到或者说注意到的五分。至于运算量这个东西，要考虑的方面太多了， 我这里分析一些势利来说明我是怎么来给运算量这个点给分的。这个题给了三分，原因是两个，第一个是这个尾答代入是比较难算的，第二个是最后这个导数是比较难求的。 那这个题我给到四分，原因是这个题的坐标运算实在是太复杂了，但是为什么没有给满分呢？是因为这个题的运算思路是很清晰的，就是一味的带入化简，所以总体来看计算量也并非不可接受，所以给到四分的分数。 再来看这个题，这个题给到三分的分数，虽然说情况比较多，但是每个情况内部其实是比较好算的，所以总体有一定的计算量，但又不算很大，所以给到一个三分的分数。这个题给到两分的分数， 总体上没有什么运送的难点，并且由于是抛物线，尾答也比较简单，但是还是要算几分钟的，所以说给到一个两分的分数， 那由于方法的选择不同，我们对一个题的运算量的判断可能会不同，但是运算量小的方法往往对应着思维陌生化和思维链长度都是比较高的。比如说一个题你直接表示，那么他的思维链长度内向的得分肯定是低的， 同时思维陌生化这里的得分也是比较低的。但是我们说直接表示的话，计算量通常都会很大， 那如果你想计算量很小，那我们就需要间接的算一些东西，或者说用一些不太常见的方法去运算，所以说总体的得分其实是差不多的，细节扣分点就是说这个题有没有坑，那根据坑的数量来进行一个复分， 所以我们根据这四个维度判断，我们可以大致的判断出这个题是属于简单题，中档题还是难题。总分在四到五分就简单题，六到九分就中档题，十到二十分就是我们的难题。根据我对一些我们公认难度的试卷的分数和进行计算， 最后得出这样一个标准，就是试卷总体难度。将所有题目分数求和，一百分以下就是简单卷，一百零一到一百二就是中档卷，大于一百二就是难卷。那我们接下来来看一些视力这个题从思维陌生中讲轴、点弦、斜率等差，我们可以给到三 思维链长度，主要是二点一小问，我们考虑到公切线去进行代换。第三问呢，直接表示就可以综合一下，我们把思维链长度给到二 预算量上，这个题二点一和二点二都有一定的计算量，综合一下，预算量给到三， 细节扣分点基本没有，这里就给到一就行了，总分九分。再来看这个题，用相似三角形去得到数列 a、 n 的 递推，在所有题中都很难找出第二道，所以我们给思维陌生度给到五思维链长度呢，主要是从条件得到递推，然后再从递推得到通向公式。所以我们给到二 预算量和细节扣分点，这题几乎没有，所以都是一分，总分九分。这题主要考察的还是一个对信息的理解以及一些组合数学的思维， 高考范围内几乎没有见过思维陌生度给到五思维链长度。首先我们要根据递推分成两种不同的情况，然后考虑一个数学规划法的思维，然后就要讨论在每种情况内部以及两种情况交叉会怎么样。 几种情况全部说明完之后，我们还要递推到基本情况，那基本情况也有两种，我们说这些全部证明完了，这个题才算证明完了。所以思维链长度给到五 这题计算量其实不算非常大，只要你每一步都想明白了，还是相对比较好计算的，只是很多运算以及化简方式不太常规，所以在这里运算量给到三， 细节扣分点给到三是因为第一个在证明的时候很有可能忘记交叉项的问题，第二个就是在证明基本情况的时候，有两种情况容易漏掉，两个地推长度是一样长的情况，所以总体得分是十六，属于超级难题。我们再来看这个题， 思维陌生度给到五是因为这个题全称解不出来 f x， 我 们只知道 x 乘以 f x 的 导数，所以我们全程要带着这个走，所以给思维陌生度给到五分。至于思维链长度，因为设问都非常直接，所以给到一分。 这题预算量不算非常大，但是还是有一定的预算量，所以给了两分，细节扣分点没有给了一分。所以当我们做完一个题，我们就可以用这些纬度去衡量这个题的难度。 这四个维度呢，是我认为相对比较合理的一个衡量方式。那这期视频呢，就到这里感谢大家观看，我们下期再见。

科三一整迫在眉睫，但这几天该怎么做才能提个二十分呢？最后冲刺阶段，提分的关键是在于精准高效。不是啊，面面俱到。第一招，拿出最近的考卷，把所有的题目分为三类， 熟练区，稳定拿分的题保持手感即可，不用过度投入模糊区，时对时错，思路不清晰的题啊， 在这短时间当中是提分的黄金区间，需要做专题突破，回归课本的概念，总结同类题型解题的模板困难区，完全不会或耗时极长的压轴题，根据目标分数去决定策略，耗时太长的给个计算过程， 快速猜一个结果也能去蒙。第二招，模拟考试现场做模拟卷。按照严格的考试时间，上午语文，下午数学，使用答题卡，目的是适应节奏，优化时间分配，磨合应试心理。 通过模拟啊，确定最适合自己的答题顺序，各板块时间的分配等等。那第三招，考场细节 考场细节决定了成败，开考前与发卷后的心态调整，给自己积极的心理暗示，告诉自己这是一次宝贵的诊断机会，我只要把会的都做对做好就可以。 用好发卷后的五分钟检查试卷，五五后快速浏览全卷，对题型、数量、难度、分布形成大体的印象，初步的去规划时间。答题的过程当中，给每道大题设置一个软性的时间，要有局的时间观念， 如数学选题不超过四十分钟，一旦超时，果断标记后跳题，绝对不练战。审题啊，要慢细 标，用笔尖逐字读题，圈出关键词，限制条件、否定词等等，不要因审题失误而去丢分。那最后选择题的技巧，充分利用排除法、特殊值代入法等等，对于没有把握的题型，第一感觉往往更可靠。 一诊只是诊断，它并不是终点。好好利用这次机会，关注我，后续为大家分析一诊的康德卷。

接下来我们来看本张试卷的第一道大题，如图所示，以质量为二 m 的 物块放在水平桌面上多摩擦因素呢为缪。木块右侧通过一条不可伸长的轻绳，跨过定滑轮，悬挂一个物块，劈 呃雾块和定滑轮间的倾成水平，取最大的摩擦力，等于滑动摩擦力啊。那么第一问，要保证雾块静止，求雾块 p 的 最大质量啊。那么如果雾块啊木块和这个雾块 p 作为一个系统，它可以保持静止，那这个时候，我们根据整体法，整个系统会受到一个向下的动力，是 m p g 啊，就是 p 的 重力。那整个系统为了保持静止，雾块啊，就会受到一个向左的镜摩擦力， 随着我向下的这个重力越来越大，那么我向左的这个镜摩擦力就要越来越大，直到这个镜摩擦力刚好等于最大镜摩擦力。这个时候我的雾块 p， 他提供的重力刚好等于最大静摩擦力，这就是临界状态，也就是我物块 p 的 最大质量。所以第一问啊，根据整体法，我只需要保证 mu 乘上二 m j 作为最大静摩擦力，此时刚好等于物块 p 提供的重力啊，等于 mp j， 这是一个临界状态，就能求出我 p 的 质量呢，是一个零点四倍的 m 啊，这就是我们的第一问。 接下来再来看这个第二问，那若物块 p 的 质量为三 m， 很 显然三 m 是 大于我们第一问求出来的零点四 m， 所以 整个系统它就会有一个啊向前向下的加速度。这个时候我们还是根据整体法，系统会有一个动力，它的大小是三倍的 m g， 同时系统收到一个阻力，它是一个 mu 乘上二 m g， 整个系统的质量是五 m， 所以 怎么求这个加速度呢？哎，是不是由整体法可知，动力三 m g 减去阻力 mu 乘上二 m g， 就 等于这个系统的总质量， 再乘上加速度。由牛顿第二定律可以求出这个加速度大小为零点五二倍的 g。 好，这就是我们的第十三题，比较简单。再来看本张试卷的第二道大题，如图所示，足够长的水平传送带，这里标记一下，这个比较重要，足够长 啊，然后，呃，顺时针匀速转动，左侧紧邻光滑轨道， amn， 左侧都是光滑的，但传送带它是粗糙的啊。然后右侧又有一个粗糙的平面。 pq 初始时刻 a， 至于 am 上 b 呢？至于 amn 上 c 静止于 p q， 左端 p 点处线将 a 静止释放，那么它就会做一个匀加速运动，加速度呢，是一个 g 三，随它。哎，然后呢？呃，读完题后会发现，在这个 m 点处，它没有能量损失，因此 它就会直接滑到这里，然后和 b 点发生了一个碰撞，并且它们是碰后粘在一起，所以这里发生的碰撞是完全非弹性碰撞，碰后共速。 嗯，且 ab 进入传送带时的动能为 e 零。哎，所以他们作为一个整体，这个时候啊，总的质量呢？根据后面可以得到啊， a 和 b 的 质量均为 m， 所以 a 和 b 构成的这个整体已经粘为一起了嘛。构成一个整体，质量是二 m， 他 向前有个速度为 v 零， 此时他对应的动能是一个 e 零。接下来 ab 构成的整体会在传送带上加速，直到它的动能为九倍的 e 零， 那根据动能和速度平方成正比啊，他是原来动能的九倍，因此速度就会是一个三倍，所以速度是一个三 v 零啊。然后 因为传送带是足够长的，所以他肯定是先加速到了三 v 零，然后做匀速运动，最后到达了 p 处，和 c 发生弹性碰撞， 此后 a b 和 c 恰好未发生下一次碰撞，然后并且从 a b 与 c 碰后到各自停止 a， b 与 c 各自运动的时间之比也告诉你了，为三比一。最后还知道了 a b 与传送带和 p q 之间的动摩擦因素相同啊。那第一问，传送带的速度大小，那么这里我们会发现， a 和 b 作为一个整体，它以 v 零的速度划上传送带，达到共速时，它的速度是三 v 零，就说明我们传送带的速度大小就是三 v 零啊。但这个题里面 v 零它是不知道的嘛， 所以我们要根据动能去反推出速度。一开始的动能是 e 零，所以就会有二分之一乘上二 m 乘上 v 零的平方是动能等于 e 零啊，这样可以反推出用 e 零来表示 v 零，它等于根号下 e 零比上 m， 然后啊，当它的动能为九 e 零时，它的速度变成了三 v 零，那这里二分之一乘上二 m， 乘上 v 平方等于九倍的 e 零， 这时候就能推出我的速度 v， 它其实是等于三倍的 v 零啊，也就等于三倍的根号下 e 零除以 m， 这是我们的第一问，传送带的速度就有了。那关键点就是传送带是足够长的哎，所以物块它划上传带后，呃，达到了这个三 v 零，一定就是传送带的速度， 那再看第二问 a 释放时 g m n 的 高度。那首先我这个高度如果已知了，根据动能定律，重力做的正功 m g h 就 转化为了 a 的 动能， 那 a 的 动能，然后呢？ a 就 会有一个碰前速度，即为 v a 之后 a 和 b 他 们发生完全非弹性碰撞的速度是 v 零。好，所以我们先根据他发生完全非弹性碰撞，碰后速度为 v 零，可以反推出 a 的 碰前速度是两倍的 v 零，好，然后这里我们再根据一个 动能定律，那对于来说，重力做的正功就等于它动能的变化量啊，我们就可以求出 g m n 的 高度 h， 它等于 m j 分 之二倍的 e 零啊，这就是我们的第二问， a 释放时 g m n 的 高度啊。前两位是比较简单的，那么这里主要是第三问会有一点点难，那之后 a 和 b 构成的整体，它的质量为二 m， 并且会以一个三 v 零的速度和 p 啊和 c 发生弹性碰撞，发生弹性碰撞呢，这个过程你就可以写两个方程，这也就必然拿分哎，所以第一个方程就是动量守恒， 二 m v 零等于二 m， 这个整体，它的速度记为 v a b 加上 m 倍的 v c， 然后然后再来一个能量守恒，那就是碰前碰后的动能不变，二分之一乘上二 m v 零平方，等于二分之一乘上二 m v a b 的 平方， 再加上二分之一乘上 m 乘上 vc 的 平方。这个时候根据弹性碰撞动碰镜的公式，我们就可以直接写出碰后它们的速度，那首先这个 v a b， 它的速度就满足是二 m 加上 mc 分 之 二 m 减去 mc 倍的。这里在写碰撞的时候你要注意啊，它碰前的速度呢，是一个三 v 零啊，所以我们前面这里给它改成三 v 零 啊，这里所以动量守恒，这里是二 m 乘上三 v 零等于后面的动量。那碰前的一个动能呢？是二分之一乘上二 m 乘上一个 三 v 零的平方，等于碰后的动能。哎，所以 v a b 它等于这么多倍的碰前速度，应该是乘上三 v 零，那 v c 呢？是不是就等于一个 mc 加上二 m 分 之两倍的二 m 再乘上一个三 v 零啊？因此碰后的速度大小啊，我们就求出来了。 接下来我们要根据 mc 它的质量和二 m 大 小去进行一个讨论。因为我们这里发生的，你看二 m 这个整体，它以一个向前的三倍的速度 和 c 发生弹性碰撞啊，并且是属于动碰镜，所以我们这里我们要进行讨论。首先就是如果 mc 它的质量刚好等于两倍的 m， 这个时候 质量相等动碰镜弹性碰撞，那么它的结论就是速度交换，所以碰后 ab 构成的这个整体就直接静止了，而 c 它会有一个向前的速度，那最终 c 会减速为零。那这个过程当中 你会发现啊，首先它不满足恰未发生下一次碰撞啊，而且 a 和 b， ab 与 c 运动的时间也不是三比一， ab 它够根本就没， 而且 a b 与 c 各自运动的时间，它也没有满足为三比一，因为 a b 这个整体它压根就没有运动，所以 mc 等于二 m 的 情况我们就是不符合题的， 对吧？接下来我们再来讨论，如果 mc 是 小于二 m 以及 mc 如果大于二 m， 首先如果这个质量它是小于二 m， 那 么根据弹性碰撞动碰镜的结论，那碰后的速度都是向右的啊，一个 v a b， 一个向右的 v c， 那接下来呢？呃，对于 a b 构成的整体来说，它在这个后面这个运动受到一个向向左的这个摩擦力，那它的加速度就是缪 a b 乘上 j， 那 对 c 来说，它在向右运动过程当中，它也是有一个向左的加速度是缪 c j。 这里有个重要的问题，就是 a b 这个整体以及 c 它与 p q 之间的动摩擦因素，它相不相等是没有告诉你的，所以这里的加速它是可能不相等的。哎，所以接下来 a b 啊，对这个二 m 的 整体来说， 它最后静止在某个位置了，那对这个 c 这个物体来说，它最后也静止在某个位置了，并且它们应该移动的位移是一样的，为什么呢？因为我们要满足 恰未发生下一次碰撞，对吧？恰好的，这里是要求有一个临界条件，那也就是 c 在 减速为零啊，减速到某个地方，此时 b 呢，它也减速为零，刚好到这个位置 恰好未发生碰撞，就说明它们的位移相等。哎，所以它们的位移是相等的。那这个这个地方有个速度是 a 一， 这里有个加速度是 a 二啊，并且它的这个速度叫 v a b， 它的这个初速度叫做啊 v c。 然后我们还有什么关系啊？运动的时间之比是三比一，所以运动的时间我设成是三 t， 下面设成是 t， 那 根据运动学公式这里我们知道出速度末速度为零啊，为宜和时间。 但加速度我们是没什么条件的，所以我们就选择那个没有加速度的方程。那第一个啊，对于 a b 这个整体，他做匀减速运动为宜，就等于平均速度二分之 v a b 乘上时间三 t， 对于 c， 它匀减速，减速为零，它的位移就等于二分之 v c 乘上 t。 那 虽然这个 x 和 t 它具体是多少都不知道啊，但是 根据这两个方程啊，我们这样这样一比，就可以得到左边这样一比就是一右边这样一比呢，就变成了三倍的 v a b 比上 v c， 它就等于一个三分之一。那再根据我们前面这个方程， v b 比上 v c， 它等于什么？ v a b 比 v c， 它又恰好等于二 m 减上 m， c 比上一个四 m， 最后就可以求出这个 m c， 它刚好等于 三分之二 m， 此时它也刚好符合我们最开始这个假设，就是 m c 小 于二 m 啊，所以第一种情况，那就是 m c 等于三分之二 m， 那 这里啊，我们一个解释，就是 c 在 做匀减速，减速为零，然后此时 b 呢啊， ab 构成的整体，它也做匀减速，并且最终它减速为零的位置和 c 的 一个位置是刚好一样的。那这是为什么呢？是不是它要满足恰好微分碰撞呀啊，所以根据运动学公式，我们就可以推出 mc 等于三分之二倍的 m 了。好，这就是我们的第一种情况， 接下来我们再来关注一下最后一种情况，那就是当 m c 大 于两倍的 m 的 时候，那根据弹性碰撞动碰镜的结论，如果被碰的那个物体，它的质量是大于碰撞的这个物体， 那此后它的运动方向应该是，哎，它是向左的，然后碰撞的物体是向右的，这个时候我们看啊， m c 大 于二 m， 那 么这里我的 v a b， 根据我们刚刚公式求出来的 v a b， 这里二 m 减去 m c， 它是一个小于零的数，整体是小于零的。那这是因为我们根据动量定律，它是带着方向的得到的，它是速度，而不是速度大小。我们以向右为正方向列的动量定律， 那么最后我们求出来的速度如果是负的，就代表它的速度大小是负的 v a b， 并且它的速度方向呢，是向左的，所以这里我们去带带一下这个负的 v a b， 负的 v a b， 此时就是这个速度大小，它应该等于 m c 减二 m， 就 分子颠倒一下，对吧？下面是 m c 加二 m， 然后再乘上一个三微零，所以最后我们这个物体，它就会以一个负的 v a b 的 速度 向左，然后呢，之后呢？减速为零，然后呢？因为传送带它是顺时针转的，因此它会向右运动，直到运动到这个位置，此时它的速度仍然是 v a b， 那 为什么呢？这是因为你会发现啊，负的 v a b， 它是速度大小 根据 m c 大 于二 m， 那 么这里我们能够推出这个速，它是小于三 v 零的， 而我们传送带的速度刚好是三 v 零，那也就是啊，它在有一个向右的缪 j 的 加速度，向左的速度 v 负的 v a b 的 时候 啊，它逐渐减速为零，这个时候它仍然有个新的加速度，是缪 j 再逐渐的匀加速回到这个位置，并且加速到一个 v a b， 这个时候这个负的 v a b， 它仍然是小于三 v 零的啊，也就是它不会有那种什么情况呢？它先到最远点减速为零，再加速，在加速的过程当中达到了 传送带的最大速度，然后呢，再匀速，它不会这种情况，而是会始终有个向右的缜的加速度啊，所以最后 啊，我们这个二 m 这个整体它的一个运动就是始终有一个向右的缜的加速度，然后并且最后呢，它回到这个点时的速度刚好就是向右的一个负的 v a b， 负的 v b 指的是它的速度大小啊，然后紧接着它在后面啊，最后呢，减速为零，到达某个位置啊，对 c 来说，它有一个向前的速度 v c， 最后减速为零，到达某个位置啊，并且很显然这里它们的位应该是一样的，因为你还要满足它们恰好未发生碰撞啊，所以 接下来我们来分析一下，那首先物块以负的 v a b 的 速度大小向右运动并且减速为零的这个过程当中，它的加速度大小和它划上传送带的过程当中的加速度大小是一样的，是向左的一个缪 j， 所以 你看下这个时间，首先它有一个向左的速度， 然后它减速为零，它花的时间是负的 v a b 比上缪 j， 对 不对？好，它再从零逐渐加速到有一个向右的速度，负的 v a b 这段的时间也是负的 v a b 比缪 j， 最后啊，它滑到这个平面上，最后减速为零，这段用的时间它也是负的 v a b 比上缪 j， 正因为 ab 这个整体在传送带上的缪和在地面上的缪是一样的，所以它分成了三个相等的时间。 如果我们记 ab 这个整体，它从一开始运动到最后静止，整个运动过程，它花的时间是一个三 t 零，那么 c 它花的时间就是一个 t 零啊。并且根据我们刚刚的分析， 如果啊这个 ab 这个整体以一个向右的负 a 负 v a b 的 速度，它在地面上运动减速为零的时间，它也是 t 零。好的，所以整个过程当中，你看 c 有 个向前的速度是 v c， 然后呢，他花的时间是 t 零，最后减速为零，谓语是 x， 那 么对于这个 ab 这个整体来说，他有一个先用的速度，负 v a b 经历 t 零的时间，谓语也 v x， 所以 你看这两个过程，呃末速度都是零，谓语和时间相等，所以他的出速度是不是一定相等？ 因此这里我们可以得到一个结论，那就是负的 v a b 要等于 v c， 这时候我们就可以推出负的 v a b， 在 这里 让它等于 vc， 我 们就可以得到分子相等，对吧？所以 mc 减去二 m 就 等于四 m， 因此推出 mc 等于六 m 之后，我们的大前提 mc 大 于二 m 是 吻合的哎，所以我们第二种情况能够求出 mc， 它等于六 m 啊。最后我们综合一下 条件，那两种情况，第一种情况就是 m c 小 于二 m 的 时候，那算出来它的质量应该是三分之二 m。 第二种情况就是 m c 大 于二 m 的 时候，可以算出的质量是一个六 m， 所以 我的质量 m c 啊，就等于六 m 或者是 三分之二 m 啊，好吧，好，这就是我们第十四题的解法。来看本张卷子的最后一题。 通过电磁场可以实现对粒子运动的控制。如所示，间距很小的两个水平金属板长度均为二 d。 然后呢，上极板位于平面直角坐标系的 x 轴上， 其中心小孔位于坐标原点 o 处，下极板邻有外电路，然后上极板带了正电，下极板带了负电， 可从整个下极板的上表面向 x、 o、 y 平面内的各个方向发射各种速度大小为零到 v 的 电子，电子只能由小孔射出。 呃，一去指的是第一项线内和 y 轴正半轴上充满垂直 x、 o y 平面向里的匀强磁场。二去指的是 x 轴下方和数值虚线的右侧，它存在着一个垂直里面向外的磁场点场， 两区域的磁氧强度大小相等。然后其他的啊，不计电子重力，电子间的碰撞及相互作用。那第一问， 求 m 一 n 一 板上速度为零的电子从 o 点射出时的速度大小。那么速度为零的电子从 m 一 n 一 板运动到 m 二 n 二板的上面这个小孔处，那么它相当于是经历了一个加速电压。 根据能量关系或者叫动能定律啊，电场力做功等于动能变化量，而电场力做的正功就等于电压乘以电赫量，它等于动能变化量二分之一。 m v 零平方啊，就可以求出射出时的速度， v 零等于二 u 零 e 比上 m 再开根啊，这就是第一问。那再来看第二问，某次实验时，在两个金属板之间加上了另外一个恒定电压，所以和这个第一问就没有关系了，电压是另外一个电压， 电子经电场加速后由小孔射出时的最小。最大速度之比为一比二啊，遇到比值，你就设这个最小速度是 v 一， 那最大速度你设成二倍的 v 一， 这样就可以消除掉比值了。之后仅经过一区磁场偏转一次后，能从 o 这个位置出射，运动到 a 点， 还能运动到这个 c 点啊，运动到 a c 之间的任何一个点啊，其中 a 点的坐标是二 d， c 点的坐标呢是一个四 d， 然后最后忽略啊其他的条件。然后第一问，求磁感强度的大小 b。 首先我们需要处理一下这个最小速度和最大速度是多少。 这里因为我的 m 一 n 一 板可以发射各种速度大小啊，为零到 v 的 电子，所以在 m 一 n 一 上，我就会有各种出动能的电子，他们经过同一个加速电场加速的能量一定是一样的，所以我的出动能 加上电场提供的能量 u 乘上 e， 其中这个 u 和低位的不一样，等于我最后的这个默动能，那我的默动能越大，我的速度就会越大，所以我怎么才能得到最大的速度呢？是不是我只需要让出动能最大， 所以我应该是在 m e n e 板上发射了速度大小为 v 的 粒子，它经过加速后得到了一个二倍的 v e， 那 么我怎么才能让这个出射的粒子速度最小呢？是不是啊？我在 m e n e 板上 静止发射一个电子，它经过加速电场后得到的速度是一个 v e 啊，哎，所以两个过程我们去列一下动能定律。首先第一个就是由动能定律 u e 等于二分之一 m v e 的 平方， 就是这个粒子从零直接加速到了 v 一。 那第二种情况就是粒子从 v 加速到了两倍的 v 一， 那么啊，根据动量里， u e 就 等于二分之一 m 二 v 一 的平方减去二分之一 m v 的 平方。 那么根据这两个公式，我们就可以去推出 v 一， 它是三分之根号三倍的 v， 两倍的 v 一 呢，是三分之二倍根号三倍的 v， 那 也就是从 o 点出射的例子，速度最小是三分之根号三 v， 而最大是三分之二倍根号三 v。 接下来还有一个比较小小的细节，那就是呃，从 o 点出射的粒子，最小的速度和最大的速度，它的大小有了，那这个速度的方向我们需要讨论一下，那因为我们从 m e n e 板上发射的粒子啊，发射的电子不仅速度大小是不同的，而且它的方向也可以设各个方向的。那么先来讨论 呃，速度最小的这个粒子，他出射时的速度方向只能是数值向上的 v 一， 等于三分之高三倍。为什么呢？因为你要想得到 v 一 这个速度， 那么你在 m 一 n 一 这个板上，你只能去发射一个静止的电子，他才会经过加速电场加速到 o 点，这时候他只会有一个数值向上的速度，即为 v 一。 因为加速电场只会改变数值方向的速度，所以 速度大小为 v 一 的例子，在 o 点发射，它只有一个方向，就是向上的啊 v 一。 然后再来判断一下这个速度最大的例子， 它在 o 点处发射的速度方向是怎么样的？那我要得到二 v 一 的速度，那么我必须在 m e n e 板上发射速度大小为 v 的 例子啊，并且这个方向是任意的。比如说如果我 m e n e 板上发射了一个向上的 v 的 电子，那么随后他会加速，最后会变成一个向上的啊，三分之二倍根号三 v。 但是如果我一开始的速度是一个水平向右的 v， 那 么我加速之后，我得到的速度是三分之二倍根号三 v， 其中要满足三分之二倍根号三 v 这个速度，他水平方向上的分速度刚好就是 v， 这时候我们可以得到这个角度，他是一个三十度， 就是这条边是三分之杠三 v， 这条边是三分之二倍杠三 v， 那 下面这条边就是 v， 所以 我们可以得到一个关系，那就是，呃，速度大小为二 v 一 的粒子从 o 点出射它的，它的这个范围呢是一个六十度。 这就是最后一问需要用到的一个小小的细节。要解决求磁场的磁感强度大小，那还需要一个前置知识，那就是在平行边界的磁场当中， 你的弦长或者叫做偏移量，只和垂直于边界的速度分量有关，那比如我这个速度叫做 v 一， 那这个例子他最后打到了 a 点好，那么只要你的这个数值方案上的分速度 设为一，那么你你只是原形狡辩了，但是你还是会达到 a 点，那再再换一个，如果你的这个速度长这个样子好，那么你这个粒子的轨迹呢？是长这个样子还是会达到 a 点，也就是你的弦长指和垂之于 边界的这个速度分量有关，所以啊，我，我这个打到 a 点是最近的，这个点代表的我这个粒子他数值向上的速度应该是要最小的。那么，呃，你出这的这个粒子数值向上的速度什么时候最小啊？是不是最小就是一个向上的 v 一 啊？哎，所以这个粒子他直接， 哎就做一个半圆周运动打到 a 点就可以了。那么 c 点作为打到的最远点，是不是要要求出射时它数值向上的速度分量是最大的呀？好，最大的速度是二 v 一， 那么啊，也就是三分之二倍根号三 v， 那 么最大的数值方向上的速度分量是多少呢？啊？如果你以一个从 m e n 一 板上一个向上的 v 去出射，那么经过加速后，你会变成一个向上的 二倍的 v 一， 这个时候你是不是数值向上的这个速度分量最大，那么你能打到的这个位置就最远，哎，所以我们就可以求出 最近最近点和最远点的一个轨迹，它满足的条件就是你必须要满足数值放上速度为 v 一， 你才会有一个这个距离是一个二 d， 好， 那么这个半径， 这很很明显是个半圆周运动，所以半径它满足 r 就 等于 d， 而我的这个速度呢，是一个 v 一， 所以我们有几何关系？ r 就是 d， 那 我的，呃，再根据洛伦兹力提供相亲力 q v 一 b 等于 m v 一 的平方除以 r 就 可以求出 b 的 大小了。 最后我们就可以求出磁感应强度大小就是三 q d 分 之根号三 mv。 那 像如果你用这个二 v 一 的这个粒子 啊，他打到 c 点去算，此时他的半径呢，是一个二 d， 那 么速度是二 v 一， 你去求一下这个 b， 求下这个结果和你用 v 一 的这个例子是一模一样的啊，所以我们第二问啊，求完一就可以求出来这个磁感应强度的大小了。 接下来我们来看最后一问，圈二，如果 d 点位于 x 轴上，并且它的外移是三点二 d， 哎，就这个距离呢，是一个三点二 d， 通过 a 点的电子和通过 d 点的电子会在 x 轴上发生相遇， 以电子同时离开 a d 为起点，求电子第一次在 x 轴上相遇的时刻和位置。那么根据我们圈一当中讲过的，只要你垂直于这个边界，它的速度分量确定了，那么你在这个过程当中，它的一个 偏一辆或者叫嫌长就确定了，所以我们先来研究一下。呃，首先根据我们前面知道，只要你这个速度啊，你看这幅图，只要你的这个速度满足，数值方向上的分量等于 v 一 啊，最大的这个速度是二 v 一， 那么他此时他的数值方向上的速度分量只要等于 v 一， 他都会满足，他们会运动到什么？运动到 a 点，那这个距离呢？是一个 二 d， 那 这个绿色的轨迹啊，长这个样子会用到二 d， 红色的轨迹是一个半圆，他长这个样子对不对？那区别就是圆心角不同，而圆心角不同会导致所用的时间不一样，那么我们去画一下绿色的这个轨迹，它的圆心，那么根据几何关系 啊，这里是一个阿法角，这里是垂直，我们就可以求出这个角度是一个二阿法角，所以整个运动过程当中， 我们他花的时间是不是二派分之二阿发位的周期，其中周期 你根据啊二，二派 r 除以 v 啊，除以 v 一 来算啊，根据这个公式来算，可以推出周期，它是一个定值，就是二派 m b b q 嘛，啊，其中这个 b 呢？在这里有，所以我们可以推出周期它等于 二倍根号三派 d 比上 v 啊。所以我们这个过程当中，这个阿法角的如果与水平方向成阿法角的一个速度，它满足数值方向的分量为 v 一， 那么它在这个过程当中运动时间就是一个 t 一， 等于二派分之二阿法倍的 t。 然后我们再来看，哎，如果我要运动到 d 点，这个时候我的偏移量是一个三点二倍的 d， 我 们假设有一个数值向上的粒子，他做半运动刚好运动到 d 这个点，那么我们就可以知道他一个做圆周运动的半径 是不是等于一点六倍的 d。 而我们之前啊，如果做半圆中运动到 a 点，那么它的半径是一个 d， 那 根据半径之比就等于速度之比。所以如果我做半圆中运动到达地点， 那么我出售的这个粒子，他的速度必须是向上的一点六倍的 v e， 哎，所以所有到达地点的粒子，他必须要满足 在出射时数值方向上速度的分量要等于一点六倍的 v 一。 其中我们知道粒子的最大速度是一个二 v 一， 好，所以我们就有了去画一下他们的一个轨迹，他们会，他们会到达一个地点啊，这个绿色的线，他也会到达一个 地点，红色的线，它做半圆周运动也会到地点，唯一的区别就是它们的时间不一样，这是因为它们的圆心角不一样，那如果射一般化的，我们射它的速度是一个 v d， 满足数值放上的分量为一点六倍 v 一， 此时它与水平面的夹角为北塔角，那么它做圆周运动的圆心角就是二北塔， 所以它在这个过程当中，它花的时间就是满足 t 二，等于二派分之二北塔倍的周期。 这里我们可以进一步确定所有能打到 a 点的例子，他在原点出射时的速度，他与水平夹角的一个范围是可以求出来的。 那如果你就数值向上，此时阿法角是不是等于九十度？那么如果你以个最大的速度，并且此时他满足数值方向上速度为 v 一， 此时这个角度是最小的啊。根据二 v 一 平移过来，这里是 v 一， 可以得到 alpha， 是 一个三十度，所以 alpha 的 一个范围，它是三十度 到九十度啊，其中三十度是可以取到的。好，然后再来看北下角的范围，北下角的范围，你看啊，最大的这个角度很明显 就是九十度，那么当我以最大的速度出射，还要满足数值方向上的分，速度为一点六倍的 v 一， 此时你把这个一点六给他移过来，那这很明显是个三四五的三角形，此时北叉角对应的是五十三度，所以北叉角的范围它是一个五十三度到九十度， 所以只要你满足啊。重新说一遍，对于上面这种情况，你怎么才能达到 a 点呢？你只需要出射时的速度，数值方向的分量等于 v 一 就可以，而这样的速度与水平方向的夹角他有一个范围。 好，那你怎么才能打到 d 点呢？你只需要出射的速度在数值方向的分量等于一点六倍的 v 一， 那么这个速度与水平方向的夹角，我们算了是属于五十三度到九十度的。 接下来我们要研究电子第一次在 x 轴上相遇的时刻和位置。首先这个位置是比较好研究的啊，那么，呃，我们经过 a 点的这个电子，我叫做一号电子，那么它就会做一个啊， 圆形角为 r alpha 的 圆周运动，然后在下面点场又做一个圆形角为 r alpha 的 圆周运动，每次它的一个偏移量都是二倍的 d， 啊，都是二倍的 d， 那我穿过 d 点的这个垫子，我记为二号垫子，那么它会做一个圆心角为二倍它的圆周运动，然后在点场里面再做一个圆心角为二倍它的圆周运动啊，划不开了。每次的偏移量都是三点二倍的 d， 那么他们要相遇，首先要保证位移相等，然后还要保证时间相等。那么要为了位移相等，就必须满足，当一号电子它运动 n 个圆心角为二阿法的圆周运动时， 此时下面这个，呃，二号电子它运动了 m 个圆心角为二倍塔的圆周运动， 它们的偏移量要保证恰好相等，所以它既然运动了 n 个圆周运动，它的偏移量就是 n 个二 d， 而它运动了 m 个圆周运动，那么它的偏移量就是 m 个三点二 d， 这样就能推出什么，就能推出五 n 等于 m， 它可以取什么值呢？ n 和 m 它可以取，比如说 n 取八， m 取五，那 n 取十六， m 取十， 以此类推， n 取八的倍数， m 就 取对应的五的倍数，这样就 ok 了。所以你会发现，为了使得位移相等，我必须要满足什么？我必须要满足一号电子他运动八个圆周运动，然后呢？二号二号电子他运动，五个圆周运动，此时他们的轨迹， 哎，就相遇了，懂吗？哎，所以此时我的一个 x 就 等于 n 倍的三点二 d， 这时候你会发现它等于一个 带进去把 n 等于八 k 或者 m 等于五 k 带进去，它等于十六 k d， 所以 这时候我令 k 等于一 k 等于二 k 等于三，就可以得到。 呃，轨迹相交的点是十六 d 三十二 d， 四十八 d， 以此类推。那么第一次相遇的位置应该是最小的这个啊，所以 x 等于十六 d 就是 第一次相遇的位置。接下来我们来讨论一下第一次相遇的时间。 刚刚已经说过了，一号电子在完成一个圆心角为阿尔法的圆周运动，他花的时间是 t 一， 二号电子完成一个圆心角为二倍塔的圆周运动，花的时间是 t 二，那么相遇的位置是十六 d， 此时一号电子需要完成八个这样的圆周运动，那他花的时间就是八 t 一， 而二号 二号电子他要完成五个这样的圆周运动，所以他花的时间就是五倍的提尔。好，根据这个公式，我们还可以得到什么？可以得到八倍的 alpha 等于五倍的贝塔。 那么又知道 alpha 和贝塔的范围分别是啊， alpha 它满足介于三十度到九十度之间，而贝塔的范围属于五十三度到九十度之间。 好，那如果你把这个阿尔法等于三十度给他带进去，那能推出来贝塔是个四十八度啊，这时候不在五十三度到九十度的范围里面啊。所以你就说你把贝塔等于五十三度带进去，可以推出阿尔法角度是一个 八分之二百六十五度，然后你再把这个贝塔等于九十度给他推过去啊，可以得到阿尔法是一个 四分之二百二十五度。哎，所以这是什么意思呢？哎，我任取一个贝塔属于五十三度到九十度的一个数，那我能根据这个公式推出阿尔法的一个值，所以我的阿尔法只需要满足一定的取值，就可以保证我选的这个贝塔 能够让这两个粒子它们相遇，然后我们需要找电子第一次在 x 轴上相遇的时刻，那这里因为我们发射的这个粒子啊，它满足阿尔法角度是遍布在三十到九十度之间的，而我发射的电子呢， 角度也是遍布在五十三度到九十度之间的，这里有无数组阿尔法和贝塔满足这个方程，但是他们的花的时间是各不相同的，花的时间 t 就 等于八倍的 t 一， 等于五倍的 t 二。比如说我们把这个 t 带进来，就可以推出 t 等于 微分之二倍，根号三 d 乘上八阿法，其中阿法我们可以转化为弧度值，那么算出来的这个时间是什么呢？是，如果以它们从 o 点出发为记时圆点，那么一号电子要经历八个圆心角为二阿法的圆周运动， 然后二号电子要经过五个圆心角为二倍的圆周运动，并且它们之后刚好相遇在十六 d 这个位置。但是，哎，我们这里是以 a 啊，以它们离开 a 和 d 作为计时起点， 所以这里我们需要稍微的变形一下。电子离开 a 点以后，那么它还需要再运动七个圆形角为二阿法的圆周运动，因此这个新的时间 t 撇它等于七倍的 t e 同时要刚好等于，因为它们同时离开 a d 点嘛。 二号粒子离开地点后还要再运动四个圆形要为二八二倍它的圆周运动，所以要满足它等于四倍的一个 t 二。所以这里我们可以得到，并不是八法要等于五倍它，而是 七阿法要等于四倍它啊。刚刚没有看到计时起点选的是在哪里。好，既然要满足七阿法等于四倍它，那么再根据阿法和倍它的两个范围，我们就可以求出 其中最小的 alpha 和贝塔它的值满足提议的最小的 alpha 和贝塔应该是，当贝塔取五十三度时，此时 alpha 会取一个七分之四倍的贝塔，那也就是七分之四乘上一个五十三度， 那最后我们这个时间我们随便取一个，比如说我们带这个七倍的 t 一 好，那 t 撇它就等于微分之二倍，根号三 d 乘上七倍的 alpha， 那 么其中 alpha 满足的条件是长这个样子，那就等于 微分之二倍，根号三 d 乘上四，乘上五十三度，其中五十三度，我给它乘一个 一百八十度分之 pi， 我 就可以把这个角度转化成弧度，最后我们得到这个时间就刚好为 四十五 v 分 之一百零六根号三 pi 的 d 好， 那就是我们本题的一个做法。呃，注意要看一下，就是最后的这个时间，它是以电子同时离开 a、 d 为计时起点， 这个时候我需要满足 a， 一 号电子在运动七个二阿法圆心角的圆周运动，他花的时间要等于二号电子运动四个二倍差圆心角的圆周运动所花的时间，而不是像我们一开始列的 八阿法要等于五倍他，而是要满足七阿法等于四倍他，对不对？好，这就是时间的一个求法。那以上就是我们本期视频的全部内容了，我们下期再见。拜拜。

我岳云鹏讲二零二六届重庆一中高三一整的圆锥曲线大题。第一问，根据安点坐标，可得 b 等于一，根据周长条件可求出啊加 c， 再结合 a 的 二次方减 c 的 二次方等于 b 的 二次方等于一，可算出，而减 c， 进而求出啊 c， 写出 c 方长。 第二问，我直接设 l 方程，连力消元，使用维达定力，此时 g 和 p 纵坐标相等，从而 p g 平行 abx 轴。这时候根据 abg 为等腰梯形，可以推出 l 与 qg 倾斜角互补，进而斜率互为相反数 据词，可得三式，根据一和三式，我可以只用 m 表示 y， 一 和 y two 全部代入至二式，可以得到关于 m 的 方程。根据 y 一 大于零，可得 m 小 于零，进而求出 m， 进而可以写出 l 方程。

这次一直考完，好多娃都在吐槽这次数学大题难啊，英语完形填空考蒙了，考地理更像是进了历史的考场。其实模考出的难，出的怪，本身就是给大家在磨练心态的。假设二六年高考的第一天就遇到了这种难题， 你能不能沉得住气，带着稳稳定的这个状态，把后面两天的考试顺顺利利的考完？要知道，高考拼的从来都不只是知识的储备，更心态更是自身的关键。 而且一定要记牢，试卷从来都不是针对你一个人拿的，而是面向所有的考生，大家的分数都会不同程度的下降，分数线也会跟着下降，根本不用慌不用怕， 当下最应该做的事情就是不纠结一整的难题，抱怨考得好不好，而是要把这次当这，而是要把这次的难当做一次抗压训练，要稳得住心态，后续二整三整，稳扎稳打，持续精进，到了高考反而能够在别人慌神失物的情况下稳住节奏，说不定就能够逆风翻盘。