27版基础660答案

哈喽，各位同学，大家下午好。那么在我面前的呢，是我当年考研的时候的写的一本练习册，六百六十题，大家都很熟悉，但是很多同学我觉得他对这本练习册的定位有问题，所以在这里我给大家讲一下。 我们先说结论，六百六十题他适合做衔接段的练习册，他并不适合去作为我们基础阶段，比如说学完某一个章节去做对应的六百六十题，这个是不适合的。那我们接下来呢整体的给大家分析一下。 那对于这本六百六十题呢，高数部分我是都写了的啊，现代部分写了一小部分 啊，概率部分也是写了大概一半啊。主要这本练习册的特色在于它的高数啊，有这么几个特点，第一个就是它的基本计算，比如说求积分， 求导数，以及像这种极限的计算，它是比较基础，但是呢，它又不失贴合考研的这种难度，就是它非常贴合考研的难度。其实大家会发现，考研考的积分，导数， 求极限这些都是比较常规的，所以它整体计算是比较贴合整体的，所以就会让一生人感觉有错觉，说这本练习册太简单了，这是它的第一个特色，第二个特色就是它的概念提出的很好， 真的是概念题出的很好，就是可能会存在那么个别的概念题会比较偏，个别的概念题比较偏 啊，整体的概念题还是出的很好的啊，就是我当时做的时候，有的题也是第一遍不会做，后来看了一下他的解析之后，也是把它弄懂了。好了啊，这是他的主要的两大特点，那么我教大家如何去使用这本练习册，就是我当时使用这本练习册就是属于在衔接段使用， 就是我在学现代的时候，我每天比如说抽十个高数题，我去做限时训练，比如说十个高数题，我限时四十分钟去做限时训练，就找这上面的题，因为它本身呢？呃，它虽然有顺序，但是那个顺序不是按照考点那么明显去排布的，所以也便于去做限时训练，不被 一个考点去固化我们的思考。呃，所以整体而言，这本书是放适合放在衔接段去使用的。那么大家也可以看到这是我当年也是自己全部都写完了，包括，呃，他的一些 上面有一些题我也会出错，比如说这道经典的这个，呃，导数极限的一个概念题，导数极限的这样的一个概念题，整体来说这本书还是比较不错的。好吧，那么在评论区我们抽五十本送给大家。好吧，祝大家学习进步，点个关注送五十本给大家。

我先说明一下吧，虽然说我当时最后考了一百三十七分，但是我也是从零基础开始复习的，所以说我也深知，对于大部分基础比较一般的同学来说，考研数学的复习能够顺利的开个好头，对后面强化有很大的作用。 之前呢，也有很多同学私信我说这个六六零啊，一千题啊，觉得很难，就卡在那，没法推进这个进度。其实我当时也有这种情况吧， 比如说像当时我做一千题的时候，做某些，像现在的某些章节啊，包括像高速里面，像数列极限这种，其实也会卡很久，导致我整个基础阶段结束的也是非常的晚。 我拿到这本书之后呢，首先我看了一下他这个难度问题，就是我觉得他的难度整体是要比一千题和六六零都要小的， 那有些同学可能就比较担心这个难度小的话会不会达不到考研难度。其实这点大家都是不用担心，因为我看了之后，我发现他的题目依然是从往年的一些真题去改编，或者说他就是从往年的真题中拿出来的， 我们可以看一下，比如说像像这一张我们我标出来的二三四题，包括像第五题、第六题，他都是从往年的整体去改编的，甚至就有些就是整体的原题，只是他把这个比较偏比较怪的一些知识点给他去掉了，这样的话让我们在基础阶段复习起来就更加的顺畅。 嗯，下面我们就是从这几点去看一下吧，我列出来这几点去看一下这本书的一个特点。嗯，与此同时呢，我还会结合自己当时刷题的一些技巧，给大家讲一下怎么去用好这本书。 好吧，那首先我拿到这本书之后呢，给我第一印象是他这个排版其实做的挺好的，他整个也有一些留白，方便我们去在旁边记一些东西。尤其是像这种我们做积分的时候，可能会用到各种方法， 呃，我们在旁边可以写一些自己呃容易犯的一些错误，像包括一些积分常用的方法，这样的话有助于我们形成一个 啊系统的一个做题的方法。像我当时刷题的时候，如果比如说像这道题我第一遍不会做的话，我会画一个圈，等到后面复盘的时候，我会重点关注这道题，如果复盘的时候我依然不会做，那我就会用红笔打一个心，说明这道题对我整个 后面的强化阶段有比较大的作用。我后面复盘的时候需要重点关注这道题，这种题你可能每次做的时候都会有一些不同的收获，当然我只是拿它举例子， 如果我们去看解析，可能有时候看的不是很清楚的话，这本书他还提供了一些其他的服务，像这个扫码去听解析，每道题他都有讲解，我觉得这一点也比较好，大家千万不要觉得看解析浪费时间，有时候老师点一下，比你整自己 去思考一个小时可能效果更好啊。提到解析呢，我们也可以看一下他这个解析，我觉得做的也还不错，像这种比较基础的题，他也把整个过程给大家都写出来了，不存在任何的跳步，我觉得这一点对零基础的同学比较友好。除此之外呢，你像针对一些易混淆的点，他也有给写在这个注里面， 比如说洛比达法则这个使用的一些条件，他都写在这里面，我觉得这一点也做的比较细致。学现在的时候呢，我们需要记很多的结论，有时候学了后面的结论还容易忘记。前面的他这本书在解析里面也给大家， 像这种注里面，他会写一些非常重要的一些核心结论，这样的话我们就可以在做题的过程中反复的去复盘这种结论到强化阶段的时候，对这些结论我们就掌握的比较好了，非常方便我们后续的复习。 做账号以来呢，我被问到最大的问题就是啊，关于进度的方面的问题，我觉得大家一定不要只关注进度，忽略这个复习的效果。复习的过程中我们千万不能只往前走，一定要停下来回去复盘。像我刚刚标出来那种错题，这个对你整个基础阶段的复习我觉得非常有意义。我觉得这本书他对计算能力 也是比较重视的，我把这些题挑一些做了一下，我觉得他整个计算量不小，他也符合现在考研对于这个计算能力的考察要求。 除此之外呢，我觉得他这个真的这个重点知识点他出的提量也是足够的。像这个级数方面，我标出来这些题，他其实都是针对这个收敛与收敛区间去出的，这样的话我们就可以通过训练这些题，对一个知识点有比较好的一个掌握。 提量够的同时，我觉得这本书他整个题型丰富度做的也是比较不错的，没有特别多重复的题，这一点我觉得也比较好。 好，最后我们总结一下吧，我觉得看完这本书之后，我觉得它整体还是非常适合我们基础阶段去使用的。尤其是针对像一站某些基础比较薄的一些同学，你直接去做某些像一千题、八八零、六六零这种，可能你还不是很好上手， 大家就可以利用这本基础七百题，在第一轮复习的时候，有效的提升自己的这个对于概念的理解，包括计算能力。这样的话你在后面用一千题或者六六零、八八零这种书去做强化的时候也会更加的顺畅。当然如果你基础阶段有余力的话，你也可以用这本书去结合其他书进行一个使用。好，我们今天的视频就到这里。

各位小伙伴，我们从现在开始，老师要带领同学们来讲解一下李永乐老师的 二零二七年数学基础过关六六零啊，数二的高数这个部分，当然后续我们也会有数一、数三，高数、现代概率这几个部分，我们在后续的视频里面都会出来。 好，那在讲解试这个试题之前，老师先说一下，我们再去讲的时候，我们除了会去讲我们的这个答案方法，我们还会要去讲我们这道题涉及到的公式，老师有的时候会讲题的时候和我们答案上的方法不一样啊， 那肯定是会更快的一些方法。好，那我们来看一下我们的第一题，填空题的第一题。 好，那我们看一下我们填空题的第一题，很明显这道题有一个什么样的信号呢？就是我们的这一个部分，这叫什么呢？这叫秘制函数。 那所以说大家一定要记住，我们在平时做题的时候，你只要看到了秘制函数的时候，那我们一定要记住，我们想到是什么呢？想到的是要给他进行对数横等式变形。秘制函数啊， 哎， u 的 微次密等于 e 的 微乘以浪于 u， 那 如果说这个密值函数它是 e 的 无穷次密，那它就是有一个单独的公式，就是 e 的 微乘以 u 减一的情况。 好，那对于我们这道题而言啊，我们这道题而言，可以会发现啊，它是什么样的一个形式呢？哎，它就是一个很标准的什么呢？ 密值函数里面的一的无穷次密啊，那所以说对于我们这道题，那我们可以直接套一下密值函数一的无穷次密的公式， 哎，那我们可以直接写成 x 趋近于零 e 的 x 分 之一乘以 x 加上 x 分 之 f x， 那对于这个式子的话，我们可以去进行整理一下，就是 x 确定零 limit e 的 啊， x 分 之 x 加上 x 分 之 f x， 那 我们再进一步把它去进行约分或者是化简，就变成了 e 加 x 方分之 f x。 好，那整体他是不这是平方啊？整体是不等于一的三次幂，根据指数函数的运算法则，那我们是不就可以知道这一部分，哎，是多少啊？是不就是二， 对吧？哎，好，然后我们看一下我们问的这个形式是不是也是一个密值函数，那它也是一个一的无穷次密，所以说，那我们也是要给它进行一个对数横等式变形， 好，那在这里面我们可以直接写成 x 分 一乘以 x 方分之 f x， 啊， f x， 啊，这写错了，这个， 这是 f x， 嗯，所以说，那把整体的一整理这一部分，刚才我们算出来的是不是二，所以说就是一的二次密。 好，那在这里面大家一定要记住，我们对于这道题来说，密值函数进行对数等式变形，那如果是一的无穷次密，那就用它单独的公式就可以了啊， 好，这是我们的这道题，那然后我们再接着往下看，看一下我们的第二小题， 第二小题的话，在这里面啊，非常简单啊，非常简单。什么呢？就是 x 趋近于无穷的时候， limit 根号下一减 x 的 六次密， 开三次方，这里面我们可以直接开它，因为 x 去尽无穷，这个根号里面没有多余的 x， 只有一个 x 六次幂，那它就是抓大头，就是负 x 六次幂嘛，对吧？那你开三次方数，变成负 x 方，所以说圆是 i， 是 不就等于 x 趋近无穷？这应该，如果说标准的话，应该是等价啊，变成负 x 方减 a， x 方减 b 等于零，既然式子等于零，那所以说这个 a 就 等于负，一 b 就 等于零。 好，这就是我们的这一部分，老师刚才说了，如果说这个根号里面再多个 x 的 话，是不能这么开的啊。 好，那我们接下来看一下我们第三小题。第三小题的话，它是一个很标准的极限类型，是什么呢？就是无穷减无穷。那我们之前说了，对于无穷减无穷的这种极限类型，我们有什么样的方法呢？ 首先有分式去进行通分。 哎，那无分式呢？无分式就要进行倒代换。 好，那什么是倒代化呢？就是 x 等于 t 分 之一，或者你也可以直接写成 x 等于 x 分 之一，也没有问题啊。好，那如果说是有根式呢？有根式一定要记住，我们就是要进行的根式有理化。 好，除了根式有理化，还有个方法叫开可法，这个也是非常快速的一个方法啊。 好，那我们观察一下这道题干，它是无穷减无穷的，那没有分式，那没有分式我们就进行倒代换什么呢？零， x 是 不等于 t 分 之一，那原来 x 是 趋近于正无穷的，那在这里面 t 是 不就趋近零正， 所以说，对于我们原来的这个十字 i 是 不就有 i t 了，对吧？ t 去均零正 limit。 好， 变成了 t 的 三次幂分之一。那 line 这一部分，老师写旁边去进行计算啊。 上面通分变成 t 分 之一加 t， 下面通分变成 t 分 之一减 t， 然后上下一除，就变成了 loine 一 减 t 分 之一加 t， 对 吧？嗯，所以说这里面就变成 loine 一 加 t 比上一减 t 好， 再减去二乘以 t 的 平方分之一。好，此时这个式子它就有分式了，有分式怎么办呢？那我们是不是就是要给它进行一个 通分啊？通分完之后就是 t 的 平方 loine 一 加 t 比上一减 t 好， 再减去二 t， 那对于这个极限类型，它是一个零比零的极限类型，可以用等价，但是在这里面如果说想要去用等价的话，它是比较复杂的，所以说在这里面我们可以直接用什么呢？可以直接用洛必达。 好，洛必达什么呢？上下分子分母去同时求导。那既然是同时求导的话，我们看一下，在这里面又会涉及到一个公式是什么呢？就是我们的 loin a 乘 b 可以 写成 loin a 加 loin b， loin a 减啊， loin a 除 b 可以 写成 loin a 减 loin b。 好， 那在这里面大家一定要清楚怎么去用啊？如果你想从这一步到这一步怎么用？哎，求倒的时候用比较好， 那如果说从这到这呢？你用的是什么呢？哎，我们一般算极限的时候用，对吧？啊？算几？那同样下面这个也是一样啊，那所以说在这里面我们可以看一下，那原式里面的 这个 t 趋近于零正啊 limit， 那 我们是不可以写成 long 括号，一加 t 减去 long 括号，一减 t， 再 r t 除以。什么？是不除以 t 方， 对吧？好，那我们看一下，你坐到这块之后啊，我们可以看一下，那直接落笔答上下分子分母干什么？哎，同时去求档啊，同时去求档。 好，那我们除此之外，我们还有一种方法是什么呢？来大家看一下，就是洛必达的话，你就上下分子分同时求导啊，这个没有问题，和我们后面解析是一模一样的，答案等于三分之二啊。好，那还有一种做题的方法是什么呢？就是 我把后面那个二 t 啊，给它拆成两个 t， 一个是 long 括号，一加 t 减去一个 t， 再减去 long 括号，一减 t 减去一个 t。 嗯， 好，那我们看一下这样做啊，可不可以呢？嗯，我们来看一下这样做可不可以，那你会发现在这里面啊， 这一部分它其实是可以用我们的一个公式，叫什么呢？叫，嗯， law。 哎呀，换个笔啊，这就是 x 趋近于零 x 减去 law 括号一加 x 等价于二分之一 x 方 啊，二分之一 x 方，这个没有问题，但是啊，大家一定要记住后面这一部分，你再去做的时候，老师用黄色笔画，你把负号提出来，中间是加号啊，就没有办法用等价公式了，所以说这种情况不太好去做 啊。这是我们对于这道题来说，那对于这道题的话需要大家掌握的知识点就是，首先第一个无穷减无穷的时候怎么去做啊？第二个就是说你看到 long a 乘 b 和 long a 比 b 的 时候，怎么去进行运算。 好，那然后我们再来看一下我们的第四题啊，第四题我们其实可以发现，根据刚才老师讲的，这属于无穷减无穷，对吧？那无穷减无穷的话，我们有一个叫什么叫， 嗯，有根式是不要根式理化或开可法，对吧？那在这里面老师先把根式理化给同学们说一下。根式理化是什么呢？就是我们比较常见的是，比如说啊，根号 a 加 b， 它其实可以写成的是一分之根号 a 加 b， 对 吧？那我中间是加号，那我在上下分子分同时乘个减号， 嗯，是这个样子，那如果这块是减号的话，那其实这些东西它都是一样了，对吧？那这块变成，嗯，减， 这块就变成加，这块也变成加了，但是我们其实可以发现这里面是几次密呢？是六次密， 对吧？那如果用根式理化能做，但是没有那么快。刚才老师说了，无穷减无穷。有根式的话，我们有一个东西叫什么呢？叫开课法， 开课法的话，它其实是很快的啊，开课法是什么呢？它其实就是有一个口诀啊，那这个口诀也很厉害啊，这个口诀也很厉害。 好，那在这里面老师先把我们的口诀说一下。我们的口诀说一下是什么呢？就是我们的。呃，对于这个开壳法来说，对于这个开壳法来说，首先我们看一下，在这里面我先拿一个去举例子。 好，那在这里面你看一下，它其实可以直接写成什么呢？我最大次是六次面，那我六次面开个六次方是不直接出来了， 对吧？哎，就是你先最大的，你先给开出来，然后再怎么办呢？这里面他俩这里面是不是都带 x， 对 吧？他俩系数相比是不是一 对吧？哎，好，但是我这几次密是不是是不开，是不是六分之一次密？比如说系数 乘上什么呢？系数比例乘我这个次幂，哎，是不是六分之一次幂？所以说这块就乘一个，哎，六分之一次幂，好，加上六分之一， 好，那然后我们再接着往下看啊，后面是什么呢？你 x 的 五次幂，你和原来 x 六次幂之间是不是差了一次幂？你开完之后还差一次幂，你这个是 x 一 次幂，那再差一次幂的话，是不是就 x 零次幂是不是就变成了 x 加上 六分之一，对吧？那同样我们再接着来看一下，啊，啊，这个是六， 好，那同样这一部分直接老大先出，对吧？然后它俩的 c 数是负一，再乘以这个六分之一次幂，那就是负的六分之一， 好，同样里面还是差一个一次幂，那我外面看出来还差一个一次幂，那就变成了 x 减去六分之一，啊，六分之一，对吧？那他俩中间什么是减号？那一减就变成了，嗯，六分之一加上六分之一就等于三分之一， 所以说对于这道题，我们用开考法是非常快的。啊。 好，那然后我们来看一下我们的第五题啊，我们的第五题其实在这里面我们可以发现，哎，这里面是不是有根号，对吧？那所以说在这里面我们可以用什么呢？哎，我们就可以用那个刚才老师讲的是根式有理化， 对吧？哎，我们就可以用我们的根式有理化这个方法去做了。 好，那我们来看一下，在跟手理化的时候啊，老师把这个方法讲一遍，当然我们的答案也是用这个方法去讲的。那 x 趋近于零的时候， limit， 那 我上下是不同时乘个，我上面是不？ 呃，这个根号下一加它减 x 减去根号，下一加三 x， 对 不对？那中间是减号，那我就上下同时乘个加号。 嗯，好，那然后大家看一下我分母这块是不是两个指数相减？那我们一定要记住，在这里面我们需要去记住的一个知识点，就是你看到 e 的 方框减去 e 的 三角的时候，要把后面的 e 的 三角提出来，变成 e 的 方框减三角 减 e， 这样的话，这一部分是可以用等价公式的。所以说在这里面我们的分母直接提一个 e 的 sine x， 好， 里面变成了 e 的 tangent x 减， sine x 减一，再乘以一个根号下 e 加 tangent x， 再加上根号下 e 加 sine x， 好， 那我们该化减的化减啊。 嗯，上面分子分母是不直接变成了 tangent x 减去 sine x， 好， 那在这一部分它是不就变成了多少？是不变成了一， 对吧？那这一部分是不就直接等价于 tangent x 减去什么？是不减去 sine x， 好， 那这一部分的话是不可以把零带进去，就变成了一加一，是不就变成了二？ 好？一约分是不是就变成二分之一？好，那在这里面虽然说我们直接化简到这块的时候，但是大家一定要记住，我们还有个公式是什么呢？就是 x 趋近于零啊。 x 减三， x 是 等价于六分之一 x 的 立方， find x 减 x 等价于三分之一 x 的 立方，那根据这两个公式我们就可以得到 find x 减三， x 是 等价于。我算算啊，六分之二， 六分之三，那就是二分之一 x 的 立方啊。有个这个公式好，刚才老师说了这是方法一，那我们其实还有一个方法二， 方法二是什么呢？就是我们其实可以尝试在我们整个这个式子上用这个公式，一加方框的 a 次幂减一，等价于 a 倍的方框，前提是方框趋近零。 好，那我们在上面加一减一根号，下一加 find x 减一，再减去根号，下一加上 sine x 加一， 对吧？那然后分母还是啊？就是延续刚才这两个步骤，就是这个步骤嘛，对不对？那直接老师直接写出来了，呃， e 的 e 的 三 x 还是零，对不对？然后底下就是它进它 x 减三 x， 好， 那然后上面分子我们是不可以直接去等价，对不对？那前面变成二分之一，它进它 x， 嗯，后面再减去二分之一 sine x， 然后分母探进的 x 减 sine x， 哎，直接预约掉就变成二分之一，对吧？就是这个方法老师觉得比更是有理化，它其实会更快一点。 好，这是我们的前五道题啊，然后我们后续的内容老师会每天都更新的啊。

hello， 大家好，我们从今天开始的话给大家来讲解六六零，个人建议大家六六零的话，每一个题都要去自己先做一遍，做了以后然后又来看 哎老师给大家的解析，因为如果直接就来看解析的话，可能很多东西的话，呃，怎么说呢？大家可能不能明确啊，不能明确，所以个人建议大家六六零的话还是要每个题先做一遍，可能就一个周期一个周期的，比如说可能，呃一个阶段做 十几二十个题，然后做完以后相应的又去看相应的这个解析视频，我觉得这样要好一些。好，那么我们就来看一看，来看第一题，第一题的话它是属于什么题呢？就是属于求 f x 的 这种表达式， 这种题的话在考研当中的话，有的时候会直接考，但是直接考的概率并不是很高，可能它更多的就是， 怎么说呢？求出 f x 的 表达式是单中某一个环节，然后另外的话求出 f x 以后，又让大家去求它的极限啊，求积分啊，求各种哎相应的东西，但是求 f x 就 显得尤为关键。 呃，一般情况下的话，可能数二数三这种题的话可能更多一些啊，数一的话会有，但是没那么多。好吧，那么我们来看一看这个题啊，这个题本身也还是不错的，因为它有很多一些知识可以给大家回顾啊，因为我觉得做题大家不能单纯的做题，做题的目的是要去 检验自己掌握这些知识的情况，好吧，然后发现问题再去解决问题，因为我们最终的目的是上考场的时候考一个非常高的分数嘛，对吧？所以平常做题千万不要就是做了对一对答案就过了，这样的话做题 基本上是意义不大的好吧，所以我希望大家就是好好的利用手中的题啊，特别像这些六六零啊，八八零啊，这些题其实都很经典的好吧，还有就是后面做真题，每个题都要认真的去对待，好吧，好，那我们来看看第一题， 首先的话，哎，大家一看题目，哎，得到了三个条件，第一个就是条件一，他说他是富无穷到正无穷，善 哎，周期为二的奇函数，那么首先先掌握了一个细节，就是它是奇函数，并且 x 属于负无穷到正无穷，那么大家就会发现，哎，零是在其中的，那么零在其中，然后它是奇函数，奇函数的话有 f 负 x 等于负的 f x， 那 么说明 f 零等于零 啊，要特别注意的一个问题就是奇函数，只要是奇函数，它在，就说零在它的定义域当中，那么零处的值一定是零，因为奇函数关于零 啊，就是关于圆点对称啊，关于零零那个点了吗？那个圆点对称，所以 f 零是零，这也是很重要的一个条件，有的时候奇函数经常会隐藏这个条件，考研当中的话，这个条件的话用的非常非常的多，所以提醒大家重视它，好吧， 然后条件二，条件二的话，就是它是周期为二，对吧？那么就是 t 等于二，当然这里肯定这个是最小乘周期，那么就有什么东西呢？ f x 加二等于 f x， 那么我们这里就可以得出一个东西来， x 由于属于负无穷到正无穷，那么 x 取零是不是就得到 f 二等 f 零，那么结合条件一，是不是就可以得到 f 二相应的也是零，对吧？我们就把它写出来， 然后另外就是一旦得出一个最小的周期以后，那么二乘上 k 就 说也是它的周期，当然这里 k 是 什么东西呢？整数啊，就是可能啊，我们的四也是它的这个东西，六也是它的这个周期，对吧？啊？各种八也是它的各种周期，这是二的这个整数倍，是吧？ 然后条件三就是他说属于二到三的时候，他 f x 等于这样一个具体的表达式，哎， 那就说明，哎，二到三的时候它有一个具体表达式，然后最后是让大家求什么东西呢？就是求属于 four 到零，哎，这个时候 f x 的 表达式， 那么大家就会发现这里的话是什么东西呢？是 b 区间啊，是 b 区间，现在考研题一定要特别注意这些细节，哎，它是 b 区间，好吧，然后让大家求表达式， 那么其实这样一整理，大家就会发现，由于是求负二到零上 f x 的 表达式，那就说明我是不是只能把负二到零给他往二到三的方向上去调整， 因为题目当中只给出了二到三当中的具体表达式，所以我们是不是要想方设法利用上面这些条件把它往二到三当中去追，对吧？那么这个时候大家就发现，由于周期是二，那我们先来尝试一个二，那么你看 x 属于负二到零， 那么我哎，如果 x 加二属于二到三，那么很明显这个时候解除 x， 哎，两边一搞，是不是属于零到一，对吧？然后 我们当得到 x 属于零到一的时候，但是这个时候他还没有跟最后球的负二到零接近，那么但是他已经很靠近了，但是他没有进入里面，但是很靠近很靠近了，那么这个时候我们再利用这个周期哎再加个二，让他属于零到一，这个时候发现就是来做一种替换。 因为高等数学当中大家非常清楚 x 它是可以随便变换的，特别这种它 x x 加二，那就说明我肯定是要把 x 和 x 加二当成同一种位置的东西来反复替换， 那么这个时候 x 加二属于零到一，一解 x， 大家发现 a 属于负二到负一，这个时候大家发现了它包含在负二到零占当中了，但是它 跟单中的很多东西哎，没有完整的包含，如果说他能负二到哎，得出来以后刚好是负二道理，那就简单了，对吧？那直接可能一步就行了，那么这个时候的话，他跟他有一些差别， 那么这个时候的话就说明一个问题，说明一个什么问题？我们很明显这个 f x 肯定是要分断的， 因为周期我接下来再弄的话不可能了。如果我这里再来弄 x 加二的话，大家发现它已经超越它很远，因为这个时候的话，它已经形成它的一个内部的子区间，这个时候就要停止了， 哎，我们不能反复，你看我刚下单也就是一直在 n g， 对 吧？那么 n g 一 次发现不行，那么就再 n g 一 次，哎， n g 了以后发现它已经包含在所求的那个内部了，那么这个时候我们就停止了，好吧，那么停止了以后，大家发现这个当中跟他，哎，负二到零很明显， 是不是要把它分成负二这个端点，然后负二到负一是我们刚刚周期得出来的这个东西，也就是这个题打开的关键，然后另外负一要当成一个端点，然后负一到零很明显要当成一个端点，零又要当成一个端点， 为什么负一到零也要当成一个呢？是因为这一点当中来了一个什么东西呢？来了一个零到一，那就说明，哎，我们这个时候的话， 哎，如果说 x 属于零到一，那负 x 是 不是就很明显属于负一到零，那就说明这个时候的话，哎， 我们也要把它处处理开，就说也要给它处理开，就说零要单独的当成一个东西，所以这个题我们相应的，哎，分析结束了以后就可以具体来解了，所以拿到题不要着急，好吧，一步一步的来解，不然的话，真的有的时候复杂的题很容易被大家解错，因为大家很多时候解题就是， 呃，不细致，导致上了考场以后，特别考研当中，真的现在特别细节很多，一步错了，步步就错了，好吧，所以我提醒大家重视这些问题，好，那么我们就来具体解一下好了，那么由上 好了，那么我们这样一的就有了，经过分析以后，好，那么我们来看一步一步来搞，对吧，因为做题不要做错，对吧？一步一步的详细的来写它，特别写题，现在，呃，很多同学超级不细心，经常写漏，所以你看我们一步一步来分析好了，那么第一块的话，就是 当我们相应的 a 克斯等于多少呢？负二的时候，你看我们就按刚刚的这个分段，一目了然，对不对？一个一个的来解对不对？好，负二的时候，那么我们相应的，哎，油， 哎，油提，很明显它的那种条件我们刚分析出来了，哎， f 二是，你看油提很明显就是 f 零是等于 f 二 等于零的，然后又因为 f x 的 话，我们相应的为什么？函数呢？为奇函数，对吧？那么 f x 为奇函数，所以我们相应的就会有什么东西 f 负二等于负的 f 二，那么这一点当中一写的话，哎，所以就有一个东西喽， f 负二很明显等于几？等于零是吧？哎，那么也就说明第一部分搞定，哎， f 负二的话等于多少呢？零是吧？好，那我们搞定这一部分， 然后紧接着第二块，第二块的话，我们相应的当 x 在 哪个呢？负二到负一，你看刚刚分析好的这个状况，是不是一个一个来就行了？好， x 在 负二到负一时，那么我们相应的很明显， 哎，通过刚刚的分析，大家发现这一点当中的话，刚好弄了几倍周期呢？两倍，也就说这个跟这个，哎，两个粉宽中间说明是 x 加上了解四，那就说明我们这个时候来解它的时候，直接来 x 属于负一到一时， 我们相应的显然 x 加四，它就刚好属于多少，哎，这一边的话， 哎，两边加四，这个是二四减一，多少呢？三属于二到三，那么又因为我们相应的单 x 属于二到三十， 哎，我们这个 f x 的 话，它等于 x 平方减 x 减一。 好，那么所以这个时候的话，来了这一部分的话，是不是就有 f x 加四， 因为此时 x 加四的话，就扮演了这里 x 的 角色，所以我们给他进行一个替换。 就是在数学当中，大家都非常熟悉，此时这个 x， 这个 x， 这个 x， 这个 x 是 不是就是一些圈圈，所以我们相应的它两个处于一致，所以把这些圈圈全部变成 x 加四，那么就是 x 加四的平方减去 x 加四，然后再减一， 那么这一点全部给它展开，那么就是 x 平方加上这里的话，八艾克斯，然后加上十六。我个人建议大家种慢一点，不然真的有的时候， 哎呀，这种都错了，那就完蛋了，对吧？那太亏了，是吧？所以想细心一点点，越是简单的地方越要细心，真的有的时候不要太快，计算的时候哈，慢慢的来到，都到这一点了，对吧？不用那么快哈， x 平方，然后合起来，这里多少呢？七 x， 然后十六减五，加上多少呢？十一，哎，于是这一部分又被我们搞定了，所以这一点当中的话，一弄的话，也就是说，呃，因为它又是周期吗？对不对？好，那么所以也就是说此时 我们相应的哎，当 x 属于负二到负一时， 我们相应的 f x， 因为它是周期，所以它等于 f x 加四，它就等于多少呢？ x 平方加七 x， 然后再加上十一，对不对？第二部分又求出来了， 是不是？这个题其实还是挺好的，它很代表现在的一些方向，就是可以让我们得到很多很多的东西哈，然后大家看第三题啊，第圆圈三，圆圈三的话，就是当 x 等于负一时好， 负一时，那么我们相应的有哎，有体这个时候就要来分析它了，这一点肯定要利用奇函数和周期， 首先负一的时候，那么如果是利用奇函数，那么就有 f 负一等于负的 f 一， 那么由于它周期是二，那么所以肯定会有负一，哎， f 负一的话，就等于 f 负一加上几呢？二，那么刚好下面是 f 一， 那么这一点当中大家就发现一个问题，说明 f 一 等于负的 f 一， 那么 f 一 等于负的 f 一， 那只能说明一个问题， f 一 等于几零，对吧？ f 负一等于多少零，是吧？所以这样就结束， 哎，那么就得到一个问题，就是 f 一 等于零，那么净额我们相应的是不是就可以解除？ 好，这一步就来了，就可以解除 f 负一的话等于几零，好，又搞定一部分，好又搞定一部分，所以这种东西的话，就是一步一步来啊，一步一步来，真的，现在尤其刚开始， 我个人建议大家解题一定要细心，养成好的习惯，不然的话，真的，哎，一旦考场很乱的，大家，好吧，所以慢慢的平常，哎，把这个思路给他弄得， 呃，怎么说呢，非常清晰，那么一块一块的来解，这样是就不会出问题了，对不对？好来。第四就是负一到零， 那么大家看属于负一到零时，显然我们这个时候属于负一到零，那么就来做一个调整，先把它，你看刚刚说了，这个时候把它弄到零到一，那么负 x 它是不是就刚好属于零到一， 对吧？属于零到一，哎，那么这个时候的话，大家又会发现一个问题，我们现在的话要把它往二到三的方向追， 那么你看这个时候的话，显然这个时候负 x 加二，哎，给他两边加个二，他是不是就属于多少二到三， 那么这个时候不用废话了，哎，这一点当中，那么我们就得到一个东西，就是 f 负 x 加二， 哎，他进入了二到三当中，对不对？那么他就可以直接代我们相应的条件三，对吧？因为现在相当于负 x 加二，属于这个范围，那么这个 x 是 不是就可以变成负 x 加二，所以这一点当中的话，他就变成多少呢？负 x 加二的这个完全平方，对吧？ 然后减去负 x 加二，然后再减一，哎，其实就是刚刚 啊，这里操操作的这一步吗？现在相当于这个圈圈，就是只要它属于二到三，这个后面的蓝色的圈圈就可以变成这一步，这个绿色星星这一块吗？是不是就说这一堆当中，所以显然现在就是这个 f x 加二，对吧？那么我们现在的也是把它给它算出来，好， 好，大家看这一点易写，那么这个时候的话， f 负 x 加二，它就等于这里的话就是 x 的 平方，好，大家看这里得出来，好，这里是 x 的 平方，然后减掉四， x 加四，然后加 x 减二，再减一，所以它就是 x 平方减三， x， 然后再加一，对吧，再加一，好，得到了这样一步啊，这样一步， 那么因为它是周期，所以这个时候的话 f 负 x， 好 吧，因为它是周期嘛，所以 f 负 x 的 话，等于 f 负 x 加二，等于 x 的 平方减去三， x 加一，然后又因为 f 负 x 等于负的 f x， 所以 我们相应的，此时 也就是当 x 属于这个负一到零时，我们相应的就有，哎， f x 它相应的这一点就等于多少呢？按上面这一步，按上面这一步来写的话，呃，这个 f x 它就等于负的负 x， 对 吧？这一点大家看嘛， f x 它就等于负的 f 多少呢？负 x， 所以 这里我们相应的一些的话，就是刚刚求出来这个东西的话，给他添一个符号就可以了哈，就是上面这一步添个符号， 所以这一点当中的话，我们就得到此时 f x 就 等于负的 x 平方加三 x 减一，对吧。哎，这一部分又求出来，好，负 x 平方加三 x 减一，好，这是这一块，哎，那么现在只剩最后一个部分了啊，最后一个部分 好，第五个部分就是当艾克斯等于几时呢？零时，好吧，那么显然 f 零等于几零，对吧？这个是最简单的了啊，那么所以我们最终就得到故， 哎，当艾克斯我们相应的属于负二到零时，哎， 这个时候的话， f x 就 来了，因为大家发现有好几部分是零，所以我们把它最终合起来就行了，那么合起来的话就是 x 在 负二到负一，好吧，负二到负一当中的话是 x 平方，我看刚刚这里写的算出来的话，是加七 x 加十一，是吧？ x 平方加七， x 加十一， 然后 x 负一到零啊，哎，一部分是 x 平方加七 x 加十一，然后负一到零，是负 x 平方，然后加三 x 减一 啊，加三 x 减一，然后最终的话，这几个端点 x 等于负二，然后负一零，它都是零啊，这样就解出来了，好， 这个题的话是一个非常不错的题，就是虽然不会直接考，但是它是当中非常重要的一环，因为现在求 f s 的 表达式的话，在考研当中其实还是挺多的，所以我希望大家还是重视一下啊， 尤其是刚刚的这些分析啊，这些分析我觉得还是大家很有必要去好好看一看，弄一弄啊，因为真的分析清楚，解起题来就会事半功倍啊，不然的话很乱，好吧，所以注意这个问题。好，那我们接着来看第二题， 嗯，第二题的话是让大家干什么呢？就是把两个函数复合在一起的话，我提醒大家就是由外及内，一层一层球就行了， 不过有的时候要注意注意定域域，那么大家刚好发现这个东西的话，你看他一个分式，然后由于分母又是一加 x 平方，那很明显了， x 的 话属于谁？ r， 因为分母绝对不会为零嘛，对吧？所以 x 属于 r， 那 就简单了，那就直接来，那就说明可能不需要去分段啊，不能去，必须要去分段，但是如果说哎，定域域不是 r， 可能要出现很多的问题哈，要注意这个细节哈，那么我们来解他好了，那么一解的话，大家看尤提 好这一点，一起 f f x 其实就跟上一个题一样的，主要就是看这些它所对应的东西，比如说像这一点当中的话，这个 x， 这个 x， 这个 x 是 对应的，所以现在它变成了这个圈圈，所以同样的道理， 我们还不是一样的，把它当中的那些所有的圈圈都变成这个样子就行了，所以这里就是多少，这里的话，我们现在就变成一加 f x， 它的一个什么东西呢？平方，然后 f x， 对 吧？红圈变掉， 那么 f x， 题目当中又告诉大家，它是 x 除以这个根号一加 x 平方，那么又把它继续带进去，所以就是一加根号一加 x 平方，分之 x， 它的一个多少呢？平方，对吧？我们就一块一块的，最终来化简一下就行。 好，那么大家看，我们现在的一化简除以它相当于乘上它的倒数，那么就是根号一加 x 平方，分之 x 除以它相当于乘上它的一个倒数。呃，那么这一点当中啊，不过我们还是先这样啊，把它分母处理一下，又来弄啊，这种尤其要细心，因为 如果这种错了，那真的，哎呀，考试当中太亏了哈，太吃亏了，现在大家就是这样，计算总是出问题，所以慢一点哈，好，那么大家看这里给他慢一点吧，那么这里慢一点的话，平方就是 e 加 x 平方，分之平方 x 的 平方，对吧？ 那么我们相应的再把分母上进行通分整式，加上分式就是通分嘛，对吧？那么一通分的话，就是一加 x 平方，然后一加 x 平方，然后再加 x 平方，然后分子上根号一加 x 平方，分之 x， 对 吧？ 好，那么我们来看它，那么这个时候的话，除以它就是乘以它的一加 x 平方，分之 x， 然后大家就会发现， 哎，这里一搞的话，那么我们就变成根号下一加二 x 平方，然后一加 x 平方，再开根，那么由于分母这个已经显然不为零了，所以我们就可以直接把它干嘛呢？约掉哈，所以 这个步骤的话，也就说这一个跟这一个就可以直接约掉了哈，直接约掉了，因为这里也提醒大家一个问题啊，考研当中经常容易错的一个问题，就是 分母不能为零的时候才可以约的，所以这一点那种显然他两个已经不为零了，所以的话我们相应的才可以直接约掉的，不然的话不能随便约，好吧，所以最终得出来就是多少根号，一加二 x 平方分之 x， 并且 x 是 属于什么呢？啊，对吧？ 这两个题的话，开局的这两个题求函数的表达式的话，反正就是多注意些细节就可以了。好吧，好， 那么我们接下来看一下第三题哈，那么第三题的话是什么呢？第三题的话是函数极限，函数极限的话是考研的重点啊，考研的重点，无论数一数二数三 啊，还是其他的，比如说现在可能现在也有三九六啊，或者其他的很多的一些东西啊，一些数学相关的，其实函数极限的话都非常重要，你看现在 过去的二零二六年的话，这个函数极限啊，考的挺多的，但是大家好像做的都不是很离线，所以我希望大家还是要重视啊。一般 正常情况下来讲的话，函数极限的话，数一数二数三的话都会有五分题啊，都会有五分题，就是直接去考函数极限，但是它 更多的可能啊，更多的可能会在其他一些地方当中用到啊，所以就是可能五分，要么就是五分，要么就是十分。好吧，但是这里我也不就也就不赘述了，好吧， 那么一般函数极限的话就是要先带入，带入以后我们要进行什么东西呢？定型啊，定型，定型的带入的时候要特别注意好，比如说现在这个题，你看我们把它带入很明显 分母单上的话是零，对吧？分子上零这种弄进去螺纹这一点也是零，所以很明显这个就是一个什么东西，零比零型的微定式，对吧？零比零型，所以一定要带进去，因为现在现在的出题的话，他为了考察大家的一些细节点， 所以有的时候他会出一些不是未定时的，那不是未定时的，直接算就行了呀，好吧，直接就出答案了呀，你看这两年还是出现过的好不好，所以代入必不可少，很多东西就是拿到不管，他就开始落笔答了，这了那了的好不好？所以我提醒大家一下，还是多注意一下，因为 考研重点啊，数一数二数三啊，对于怎么说呢，就是数一数二数三，它都比较重要，好吧，这种分式一定要拿到啊，一定要拿到，所以我希望大家还是要重视。 那么代入以后如果是未定式，那么我们就要严格注意一个问题，叫四化问题啊，特别是等价无穷小的简化最为重要，函数极限，其实只要掌握四化其实问题不大的，我们在减啊，这个六六零的过程当中，就让大家能把这个四化充分的给它掌握掉哈。你看，首先这个题 我们明确了以后，我们就可以来做它，哎，首先大家看原式，我一般不太建议大家去落笔答，本来这个题我们可以对它进行落笔答的啊，可以进行落笔答的，但是它分母上，它分母上如果是平翻，不太建议落笔答，本来方法很多 啊，方法很多的，这个题可能有很多很多种方法，但是他这个东西的话，哎，如果说他 x n 次 n 大 于我们，相应的就说大于等于二，这个时候的话一般不要去罗比答，因为可能要多次罗比答，多次罗比答是很容易出问题的，好吧，所以我不太建议大家去罗比答。 好了，那么大家看这个题，我们相应的 e 搞，那么我们可以这样，比如说这个 x 六 n e 加 x， 因为方法挺多的。 好，然后你看我们相应的再减去，然后洛恩多少呢？一加 x， 对 吧？然后可以这样搞哈，然后除掉一个什么东西呢？ x 平方。那么这里的话我要教大家一个问题，就是等价的一个核心，它当中的话大家看， 嗯，当然大家在学基础的过程当中要注意一个细节，就是我们等价它是一个很重要的方法，比如说现在这里的洛恩， 洛恩的话，哎，看到洛恩如果说涉及到洛恩一加 x， 那 么我们就要特别注意一个非常非常核心的问题，就是，哎，洛恩有一个重点的东西，就是 麦克劳林展开，对吧？它是多少呢？ x 减去二分之一 x 的 平方，然后加上三分之一 x 的 三次，一直一直加，加到负一的一个 n 减一 n 分 之一 x 的 n 次，其实这个是一个非常有用的东西， 不论数一、数二、数三，其实这个我个人建议大家都有必要给它牢牢的掌握掉的，因为掌握掉这种东西以后，我们在后面求高阶导啊，各种还会经常用的。然后其次就是等价，等价的话有一个非常非常关键的一个细节，就是 很多同学只是靠背，但是其实它远远啊，超乎超过大家，超乎大家的想象的。等价的一个东西就是如果 f x 它等于一个什么东西呢？ g x， 加上我们现在的 o g x， 就是 如果它等于这样一个东西，那么我们就可以说 f x 等价于 g x， 这个 o 大家通过基础的学习应该还是很有印象的，对吧？就是比它里面高阶，其实如果说衡量到次方的话，那么就是比它的次方要高，对吧？那么它还有一个，它还有一个就是 lemda x 曲线一个框框，然后 f x 啊，就说我们利用这个 f x a 极限的衡量嘛，对吧？除以 g x， 如果他是一个什么东西呢？零比零型好，这一点当中好，大家看除以杰克斯，他零比零算出来一，那么这个时候的话就可以说明艾克斯趋向于这个宽宽时。 我们 f x 的 话等价于什么东西呢？ g x 啊，等价于 g x， 这是一个很基本的东西哈，这是等价。那么我们这里就要重点讲一下上面这个了，比如说我们看哈这一点当中，你看我们可以直接这样搞，我们可以一劳永逸的一个搞一个方法，比如说这里 艾克斯曲线也零时，大家看嘛，他这个已经曲线也零，所以他可以利用第一个，我们来尝试一下怎么去求 g x 好， 这两年的话已经开始考这个基本的 g x 了，但是大家好像不懂啊，大家好像不懂， 大部分同学的话好像只是懂第二个，所以导致这两年很多一些简单题好像错误率非常高啊，非常高，所以极限的话无论如何是一定要拿到的啊，一定要拿到的， 所以大家看，我们不用废话呀，直接你看，一步到位哈。 x， 洛恩一加 x， 然后减去，因为可能大家现在不习惯，习惯了以后他比任何方法都优先，因为我说了这个题可以有很多很多种方法做， 但是我们现在平常就要把选择选到最优的方式去做，而不是说想到什么就来什么，虽然说方法确实多一些是要好的，你想到什么来什么，但是考场当中，现在特别是二一年改革以后，看重大家的是什么，就是用最优的方法去做它， 好吧，所以我们平常还是要多注意一下，因为其他一些方式大家可以多去弄，洛比达各种也行的，不影响。好吧，但是我给你讲一种，给大家讲一种最优的方式。好，大家看把它一般先写个两线，那么写个两线就是 x 减二分之一 x 的 平方，对吧？ 然后减去后面这个是 x， 减二分之一 x 的 平方就是它后面还可以继续写，那么我们的目的只是为了求谁？ g x 减二分之一 x 的 平方就是它后面还可以继续写，那么我们的目的只是为了求谁？ g x 是 什么呢？非零的最低次线， 那么大家刚好发现在这一点当中，这个 x 跟这个 x 是 约掉了，那么现在我们来看看当中的平方能不能约掉，那么大家看这里有个平方，然后后面，哎，有一个 这个负负的正，这个是负 x 平方，所以还剩一个负二分之一 x 的 一个什么东西呢？平方，那么大家会发现，哎，平方其他就没有了，因为这个的话是一个几次三次， 那就说明后面都比平方高，那么我们就可以写成 o x 平方，那么这个时候就说明我们相应的前面这个东西就是 g x， 所以 分子上大家看直接来了 x 趋向于零，分子上直接等价成负二分之一 x 平方，然后除以 x 平方，那么一搞就是多少负二分之一，这就结束了， 好吧，当然我们相应的也可以直接把这个 o 写上，这个可写可不写哈，因为这个对他的话不会产生任何的 啊影响哇，这就是等价的根本，所以很多人没有学会等价的啊，比如说像大家非常熟悉的这一点最接，大家记得最基础的一个，洛恩一加 x 等于 x， 大家看嘛，他第一项 x 后面是不是都比他次方高，那是不是可以用 o x 来衡量？ 那么所以这一点当中的话，我们就可以得出洛恩一加 x 等价于谁 x， 所以 这才是等价， 等价的根本是在求什么？是在求 g x 就是 非零的最低次限，没有什么说。是啊，它上下同阶了，很多同学可能学过什么下面二次，所以麦克劳林展开上面也是二次，然后如果，哎， 如果下面不具体，那么就密次最低，没有那个道理的，不是它的根本是要求什么求 g x， 因为很多同学在使用。 呃，这个是迈克劳伦公式，大家也可以用泰勒，也可以叫泰勒公式。去求极限时经常出的问题就是不知道要展开到哪一项，其实不是展开到哪一项，根本的目的是为了求 g x， 这个 g x 就是 非零的最低次线。 好吧，所以我希望大家通过这个题掌握这个细节啊，当然我们后面讲的过程当中，可能讲着讲着大家对这个就非常熟悉了，所以记住麦克劳林公式以后，当然我个人建议大家麦克劳林公式大家下去是要多推导的，因为它真的非常有用。现在，好吧，然后明确了这个东西以后，这个的话就是我们的谁 x， 那 你看这一点当中就可以得出一个问题，就是相当于这个时候的话，哎，分子上这一块的话，就可以等价乘负二分之一 x 平方了，好吧，所以也就是说，哎，我们直接给他带进去，直接就出来了， 好吧，这才是等价的根本。好，所以大家也可以仔细看一下这个题啊，下去的话再多练一练。本来的话，这个题刚刚我说了它可以使用什么东西呢？它可以使用洛必达啊，洛必达可以的，但是一般多次洛必达我不建议使用。然后其次就是可能很多同学会把它 呃干什么呢？就是会把它呃这个做一部分，然后这个做一部分，就是这两个各种头发给他做一部分，然后去给他分开啊，去给他分开。但是如果说这样去分开了以后，有的时候是会出问题的， 我个人建议大家做极限的话，不要轻易的去给他分开，因为分开很容易把题目做错， 好吧，除非说是实在没有其他思路了，那么我们才去把它分开，好吧，所以一般不要轻易的分开哈。好，那我们来看第四题，有了第三题以后，那么后面我们就，哎好解决了哈，所以极限反正管他还是一样的哈，只不过， 呃，这里出现了三角函数，那么首先进行一个什么东西呢？切割化选，但是刚刚也说了个碰到函数极限，尤其注意带入问题，那么带入问题以后，首先，哎这一点当中的话，大家发现这个和这个的话很明显脱离可探减，后面这个东西的话，很明显是个无穷减，无穷， 那么无穷减无穷的话，一般正常情况下能通分，我们进行通分，好吧，能通分就进行通分了。 那么这一点，首先这个切割化选三点函数过提醒大家碰到什么贪减，可贪减 c 可 c 可立刻转化成 c 赢可 c， 所以 可贪减的话就是 c 乘以 x， 除以谁呢？除以 c 赢 x， 然后后面无穷减无穷，由于能通分，所以我们直接对它进行通分，那么 c 赢乘上 x， 然后这里就是 x 减去一个什么东西呢？ c 赢，然后刚刚讲了上一个题，讲了做极限严格注意四划问题， 那么这一点当中，大家刚好发现 x 趋向于零，这个的话可以等价乘多少 x， 这个也可以等价乘多少 x， 然后这个的话，我们相信的等价有多少？六分之一 x 的 三次，这一点当中的话就是涉及到 c 赢的麦克劳林展开，哎，你看学了刚刚那个 g x， 很多东西就迎刃而解了， 大家看他是三的阶乘 x 的 三次，五的阶乘 x 的 五次，然后一直一直加，加到负一的 n 次，然后二 n 加一的一个阶乘分之一 x 的 二 n 加一，然后继续点点点。所以由上面那个东西的话，大家看 c 赢 它等于 x， 后面是不是都比它高，所以可以写成 o x 吗？这个 o 就是 说表示一个群体就是比它次方高的，比如说三次五次都是比它高，就说只要比 x 一 次高，只要比里面的高就行了。所以这个时候的话，就得到大家非常熟悉的 c x 等加 x， 然后大家非常熟悉，由于这个是在零处展开，所以它可以哎，随便的去变圈圈，对吧？随便的去变嘛，它只是个圈圈，对吧？所以我们才可以对它进行一个推广，就是 c 乘以 f x 等于多少呢？ f x， 对 吧？前提就是这个东西要趋向于零，是吧？那么同样的道理，我们这里还不是一样的好，大家看嘛，我们刚刚得到那一步以后，把 x 移过来， 第一项是谁？三的阶乘是不是六？所以就是六分之一 x 的 三次，对吧？然后后面五次各种的是不是都比它高？所以按刚刚所学的，那就说明 c x 减 x 等价于负六分之一 x 的 一个三次，好吧，所以 倒回来 x 减 c 是 不是就等价于正的六分之一 x 的 三次，对吧？这种的话在考试当中的话还是用的挺多的哈，所以要重视它啊。所以我们刚刚所说的，只要第三题搞明白了，其实其他极限就很简单了，尤其是等价无穷项，简化非常非常的关键。好吧， 那么等价好像现在搞完了，那我们来看看有没有非零因子数字化。非零因子数字化是什么意思呢？比如说这里可乘以零，它就是几呢？一，这就是非零因子数字化。非零因子数字化的意思就是比如说 a 克斯曲线一个宽宽，当然这个宽宽的话有六种，就是 无穷正，无穷负，无穷 x 零 x 零正 x 零负极限的话，主要有六种曲线，然后大家看成道这一堆，就说这种沉沉楚楚 当中，只要有任何一个部分能算出一个 a 来啊，就说算出一个 a 啊，算出一个具体的这个 a 来，那么我们就可以把它写出来，当然这个 a 的 话不能为零或者无穷啊，就说如果零和无穷是不能写出来的，但是如果其他可以写出来，这种沉沉出出， 所以这一点 cosine 我 们是不是就可以把它写成一，那么，哎，于是这里就来了， x 趋向于零，上面六分之一， x 的 三次，下面哎，刚好 x 的 三次，所以一算就是几六分之一，对吧？它比较简单的一个题，所以就是不要把这些题给他做错啊，不要提把这题这些题 做错，然后其次就是这个的话，还是有必要给他记下来的哈。就是 x 减 c 的 话，等价于六分之一， x 的 三次， x 曲线于零， 这个的话，考研数学当中数一数二数三的话都用的比较多，但是呢，哎呀，通过现在理解了以后，其实还是很容易记的好吧，所以还有就是这个三角函数的切割化学考研当中的话也考的非常非常的多啊，所以我希望大家重点掌握一下啊。 好，我们接着来看第五题，嗯，第五题的话，这种造型由于它是一的三次， 一的三次的话，那很明显说明一个问题，就是这个的话肯定是往零走啊，肯定是往零走，因为为什么呢？是因为这个往无穷走，它极限算出来是一的三次，那说明这种肯定只能是一的无穷 啊。肯定只能是一的无穷。就是刚刚讲的七个未定时当中的一啊，一种啊，就是一的无穷，因为它是一的三次，这个极限存在了，这个倒一表示存在， 那么这个又是无穷，那只能说明这个是一的无穷，不然的话不可能算出一的三次的，因为刚说了未定时就七个，好吧，那么一的无穷，我希望大家就是记住这两个模型，当然这两个模型只适用于一的无穷，其他是不 ok 的 啊。不 ok 的， 这两个的话直接记下来的了，好吧。 嗯，你看，比如说像我们这一点当中，哎，有题哎，我们直接来哈，有这两个模型就很快了。艾克斯趋向于零，当然要注意的就是它仅仅只 适用于一的无穷，无穷的零和那种东西的话，还有零的零是不可以的，那么大家看他这个东西的话就可以直接不用废话了。这个就是阿法吗？这个就是贝塔吗？所以他就可以写成艾克斯趋向于零 啊。然后这个就是什么东西呢？ x 分 之一，阿法乘上贝塔吗？是不是直接带了 x 分 之一，然后乘上 x 加上 x 分 之 f。 这里的话其实是借助了一个等价 啊。借助了一个等价，但是呢，直接快速写的了，因为考试当中我觉得时间要用在刀刃上，对吧？呃，上面这一点，上面那个部分哈。上面这个部分的话，它是借助了这个等价。洛恩。 f x 等价与 f x 干嘛呢？减一 好吧，等价于这个 f x 减一就是，当然它有个前提，它的前提就是 f x 的 话要曲线于一啊， f x 的 话要曲线于一，那么它可以等价乘这个 f x 减一啊， f x 减一就是，呃，这一部分啊，这一部分我们详细写一下啊。 嗯，就是如果这个趋向于谁呢？趋向于一十，好吧，然后这里的话是借助了这个罗恩一加阿尔法 x， 然后等价于阿尔法 x， 嗯，这种的话在考验当中啊，反正这几个的话都是一类啊，都是函数极限，所以我就不赘述了。函数极限反正都很重要啊，所以把它弄的很多问题的话，还是要好好的去看一看啊，这个也是这个曲线零就可以了啊，这个曲线零就可以。 好，所以我们得到了这一步好了，那么大家看得到这一步以后，这一点当中把它进行一个通分好了，那么大家看把它通分以后的话，大家就会发现这一点当中一沉，对吧？大家看这里一沉一沉的话就是多少一， 嗯，大家稍等一分钟。好，这一点当中的话就是 一加上什么东西呢？ x 的 平方分之 f x 嘛，然后它要等于多少？一的三次，好吧，它要等于一的三次。 好，它等于一的三次，那么也就说明，所以也就是说明你们打 x 曲线于零， 一加上 x 的 平方 f x 的 话，它等于几呢？等于三，那么 我们由于极限有四则运算法则，这个部分已经存在了十一了，那么所以这一点当中的话就可以得出， a 克斯趋向于零的时候， a 克斯平方分之 f x 的 话，只能等于三减一等于几呢，哦，对吧？ 这一部分的话，它相应的它只能够是个多少呢？哦，好了，那么你看这一部分，把题目的已知的条件分析出来了，那我们就来解后面这个东西好了，然后又因为 你们打 x 曲线于零，然后一加 x 分 之 f x， 然后 x 分 之一， 那么按照刚刚的手段，显然题目当中已经给出了一个细节，就是这个也是往零走的，所以这个也是往零走，所以不用废话了，那么直接我们还不是利用这个一的无穷下面这个模型，对吧？省略这个等价直接一写， 但是还是要判断的哈，有的时候的话，它会出现一些问题，所以这一点当中一搞的话，它就是 x 分 之一乘上 x 分 之 f x 嘛，因为这个刚好往零走了嘛，直接省略这一步的了。好吧，只要是一得无穷， 因为时间真的要用在刀刃上，有的时候节约啊，可能一小段时间，但是大家做题当中就会发现，好像节约了很多很多的时间。好了，那么大家看，这样一搞的话， x 趋向于零，然后 x 平方 f x， 然后这个刚好减到二，所以一的平凡结束，对吧？哎，这就出来了，好吧，所以通过这个题的话，就是希望大家掌握一的无穷啊，把一的无穷的这些相应的东西的话明确掉，因为一的无穷真的非常非常的重要。好吧，好，这是第五题 一的无穷的话，顺便提醒大家一下吧，就是在七个未定时当中，零比零，无穷无穷，然后无穷减无穷， 好吧，就是七个微定时哈，七个微定时啊，无穷减无穷，然后零乘无穷，一的无穷，无穷的零，还有零的零。 呃，其中的话，现在考研当中的话怎么讲呢？就是现考的近几年吧，近几年考的比较多的，零比零，无穷减无穷，然后一的无穷好，现在考的特别的多啊。当然不是说其他几个就不重要了，其他几个也重要的，但是只是说这三个可能 最重要一些啊，最重要一些，因为现在的话，呃，无论是数一、数二、 数三啊，都比较喜欢考啊，都比较喜欢考，特别现现在的话就是无穷减，无穷，考的非常非常的频繁好不好？然后现在一的无穷也比较多啊，所以还是要重视，当然最多他们是零比零啊，最多他们是零比零啊，所以还是要重点看一下啊。

今天我们来奖励百利佬第三十三题，他说是有界函数 f x 在 c 大 中求内是可导的，然后元 f x 导函数，它的极限是 b， 让我们求 b 等于多少，那我们来分析一下，你看，如果这个 b 它是一个正数，就说大零的话， 那么它的导函数是不是一直单调地增了，那它就不是有界函数了，对不对呀？ 那就不符合体意了。同理，如果 b 小 于零的话，那么导函数小于零，那就是，但要递减邮寄，它也不是邮寄函数了，对不对啊？所以我们推出 b 只能等于零，是吧？ 或者我们这样想，你看奇偶之题，它给的限制比较少，它会设邮寄函数 f x， 然后在 c 直到中球队可导，但然后它的 一个趋正无穷的时候啊，它的导函数是一个常数，那我们可以直接上写，那我们接另一个 f s， 让它为一个长函数，对吧？比如说随便说等于二，那它是不是有间函数呀？是不是也在隧道中无穷内是可导的呀？那么也是满足这个条件的，对吧？ 那他的函数直接就是零了，对吧？那么直接写零，找一些特殊函数给他代入一下，好吧，好，本题到这里加六百六的。第三十四题，他会使方程确定这个，然后满足 y 一 等于负一，然后在 x 等于一处的某领域内，连续的 在 x 等于一处的某去形领域内是可导的，让我们求他的极限，对吧？ x 去一处的某去形领域内是可导的。让我们先说一个错误的写法哦，有同学都这样想，你看， 就是 x 去一，然后 y 加上一他，他一发现 y 一 是等于负一的，那我可以直接写省 y 减去 y 一， 对吧？然后上面是 x 减一，那直接就是 y 撇一一分之一了，对吧？ 首先这种写法肯定是错误的，因为题目的说，说什么？你看他只说 s 等于一处的某去心领域，那时刻到了，所以我们并不知道在 s 等于一处的这个点处是不可导，明白吧？就是说这个我们不知道它是不是存在的，可能是不存在，不对不对， 所以我们不可以用函数的定义直接写，就导数定义是个直接写，明白吧。那么换一种写法吧，所以这种是错的哦，那就是黎明塔 s 区域一， 然后 a 次减一，比上 y 加一，大家看，当 a 次去一时，上面是不是小于零呀，对不对？你看下面哦， s 去一时，这个是不是负一呀？ y 是 负一，但负一加加一还是小于零呢，对不对？让零比零行吗？可以直接用路币打法则，对不对？ 那我们写下，就是厘米塔 s 去一上面求打，就变成一了，才被求打进入 y 撇了，对吧？ 那这一写我们要求 y 撇，题目还给了这个式子，那直接对两边进行同时求倒，对吧？上面是二，左边是二， x 加上对 x 求了是一，然后乘以 y 对 y 求倒，再乘以 x， 对 吧？ 然后再加上二 y， 再乘以 y 撇，对吧？然后再加上一个 y 撇，等于零，那我们推推一下，那 y 撇就等于，你看这个这个这个，然后写下面就是 x 加上二 y， 然后加上一，然后上面是负的括号，然后是二 x， 对 吧？然后加 y 加 y， 对 吧？然后我们给它代入到这个式子里面，代入一下， 就等出来一密塔 x 区域一，然后负的写前面，然后翻翻一查，就是 x 加二， y 加一，然后下面一是二， x 加上 y， 对 吧？那当 x 区域一时， y 是 不是区域负一的？然后把这一负一代入， 那又我们就得到是等于零的喽。所以本尼答案就是零好长，以六百六的第三十五 t， 他 说是 f x i f 等零处是连续的，然后给了一个极限等于二，让我们求这个曲线 在点零 f 零处的切线方程，对吧？然后让我那要求切线方程，我们肯定要知道一个点的坐标，然后再求它的斜率对不对？再乘以 m 斜率 k， 这样才可以写出切线方程，证明给了 f 零，那么就看一下能不能把 f 零求出来。然后你先整理一下这个式子吧， 那就是 i 等于厘米，它 x 去零，然后分母是一个等加五乘以六分之一 x 的 立方，对吧？ 分母是 f x， 分 子是 f x 加上一，然后乘以 x 平方，那可以消一消，对不对？上下两边可以消一消，一个 x 平方，那又等于厘米，它 x 去零，然后是六分之一 x， 对 吧？ 好，上面去 f x 加上一了，对吧？是等于二的，那我们你看一下，当 x 趋零的时候，下面是不是趋零呀？下面是趋零的，所以上面一定也要趋零，这样才能等于一个二，对吧？ 所以离密塔 x 趋于零，然后 f x 加上 e， 一定是趋于零，是等于零的。 u m f x 带 x 等于零处， x 等于零处连续，对不对？所以这一点的极限 g 就 等于这一点处的 函数，所以我们推出来负零诈一是不等于零，那我们就得到来负零等于负一，没问题吧？所以这个点就是零，负一，对吧？零，负一， 好，我们继续写，知道一点了，我们继续求它的斜率，就求到这点数的导数呗。那我们看一下，还是这个式子，你看 我是不是可以给他写成导数的定义式呀？因为这个一是不是在一级数，是不是减去一个负一呀？而反负零正好等于负一，所以它就等于 厘米，它 s 趋零，我把六写没有，上面是个六，对吧？然后分子是 f x 加 e， 就是 减去一个负一，减去一个 f 零，对吧？然后分母是 x 减去一个零，就等于六倍的 f 片零 等于几等于二，对吧？题目说等于二，那我们得到了 y f p 二，零就等于三分之一喽。那斜率也出来了，那我们写下吧， y 减去 y 零， y 零是负一，就是加一等于 k 倍的 x 减去 x 点， x 零是零，对吧？那我们就推说 y 就 等于三分之一 x， 然后再减去个一，对吧。所以本题的答案就是 y 等于三分之一 x， 然后减去个一。 好，本题倒来讲数一六百六的第三十六题，他如设 n 为曲线，他的在点一竖切线与 s 轴交点的横坐标，让我们求当 n 虚无雄时， n 的 n 次方 等于多少。那我们先看一下，那我们肯定要先把 n 音给求出来，对吧？ n 音是曲线，数点一切线与 s 轴横坐标，那就是先把这个切线给求出来，然后令这个切线的 y 等于零，然后能求出横坐标，就是 n 音，对吧？那我们写一下。 首先我们要知道这个点，那我们继续求它的斜率，就是 y 撇等于 n 倍的是 x 减一次方，对不对？然后答二， x 等于一时， y 撇一是不是等于 n 了？然后一等于减一次方还是 n？ 那 我们写一下这个 奇写， y 减 y 零 y 零就是一等于 k 倍的 n 倍的 x 减去一，对吧？ x 减一，然后这时候我们另外等于零，对吧？另外等于零，那就是负一等于 n， a x 减去一个 n， 那 我们得到 x 就 等于以减去 n 分 之一了。那我们推出，哎， n 是 不是等于减 n 分 之一？ 好，所以厘米糖 n 趋无穷的时候，然后 a n 的 n 次方就等于厘米糖 n 趋无穷，就是以减 n 分 之一括号的 n 次方，对吧？ 我们截取个对数对不对？黎密塔 n 趋无穷，然后 e 的 n 次方乘以，这是个 e 的 无穷次方。 e 的 无穷次方我们曾经在前面讲过，如果是这种形式的话，我们可以给它写成有 u 的 v 四方就等于微倍的 u 减一，明白吧？ 这是可以推导出来的，我前面也推过了，在这里不推了。就等于 n 乘以它，然后减去个一，就是负的 n 分 之一，对吧？就等于厘米它 n 去无穷时，然后 n 和 n 数消掉了，就变成 e 的 负一了，那前面厘米它也不用写，对吧？ 那就等于一分之一，所以就一分之一了。好吧，本期到这结束二期考研数学答疑的方式，可以在你问的问题上进行涂鸦讲解，可以为您录制一个视频， 逐步分析，直到为学弟学妹们讲明白为止。 为您答疑服务期间全天在线答疑，不限制题目次数，七天内有任何任何的不满意，比如为您讲解的听不懂，比如回复速度太慢，均支持七天，无理由全额退款，超过七天不满意，或者是您找到性价比更高的答疑辅导团队， 仍可以按时间比例退款。答疑学长均为九八五 c 九研究生，可提供考研成绩与学信网学历证明。 答疑均包含复习计划制定、督学等服务。复习计划可包含数学、英语、政治。我们会尽全力为学弟学妹们服务！好一个预算法则啊，学弟就是如果这个二这个符号出现在 n 的 右上方，就代 真的真的万不得已的情况下，也可带领着学弟学妹们直播授课。同学们大家晚上好，现在就正式开始咱们零基础导学课的讲解， 每天布置作业，每日一题周测答疑规划与督学。感兴趣的二期考研的学弟学妹们可以主页私信我来试学。

六六零的话我们再看二七的六六零，这是二七的六六零， 哦，对，我还买了数一数二，对，买了数一数二，不同的就是为了判别一下数一数二的区别大不大。比如说有的同学他是，嗯刚开始复习的数一，后来转数二，他的资料要不要换之类的，所以我也买了数一数二的这个七百题的话是数一数二数三通用的，所以你就算是后续换数学科目的话，也不用再重新买资料。但是数一这个六六零的话，我看了一下数一数二区别还是挺大的。 呃，因为他这个是总共六百六十道题，他教六六零就是六百六十道题，像这个七百题他就不是刚好七百道题，他数一数二数三的题目是有有差别的，我这还给大家对比了一下，就是认真的数，到时候待会提量。 嗯，六六零是刚好六百六十道题，所以说他那个数一数三数二的话，高数现在概率的提量差别比较大。所以如果你之前是数一的同学，你后面想换数二，你还得想买，你如果想还写六六零的话，你就还得再买一本。挺，反正做的还是 反馈大家做出来的话，还是觉得作为基础第一本的话肯定是有点难度。我们一般介，我们一般把六六零的一个使用方法给大家推荐的，就是比如说你基础的时候，刚复习第一轮的时候，嗯，你可以用这个题先来做，就是 复习完一张啊，高速的内容看完课，然后你想做练习题的话，可以先用这个啊，基础七百题这种真的只针对基，真的只针对基础阶段的题目来做练习，做完之后你复习现代的时，你在复习现代的时候，你是不是还需要做高速的一个回顾呀？那你做高速回顾的时候，你就可以用六六零这种题， 二期的高数六六零这种题每天做几个来做一个高数基础知识的回顾，因为他就是小题嘛，会比较快。嗯，你做现代的时候就用这个题可以做一下回顾，就像是过度阶段，但他不适合做你的第一本练习基础的第一本练习题，因为他 理解上来说还是有点难度的。你去你去写还是还是比较难的啊？嗯，他的答案反就是也是在上面的嘛。我刚才说了，就是他今年比较大的一个编排的改版。

说六六零这个题是基础题吗？嗯，但是为什么我基础课听完以后还做不动呢？正常不正常怎么办啊？大家注意啊， 这个六六零我们叫六，这个基础过关六百六，那为什么叫基础过关六百六呢？啊？因为大家注意啊，作为命题的人，一般说了，这个卷子的题目的排序都是从易到难， 那么大家注意，我们第一大题就是选择题，第二大题是填空题，那么既然选择题和填空题放在前面，那从主观上讲，它是作为基础提出的 啊，这就是为什么选择题选填题，这个六六零都是选择填空题，为什么叫基础公关六六零，就是因为按照命题的这个逻辑关系啊，一般是由易到难，选择题放到第一大题，第二大题，那就是作为基本提出的，所以我们叫基础题。 但是有同学说了，既然是基础题，我们怎么基础阶段课学完以后，现六种人里边有很多题做不出来，正常不正常啊？那到底怎么办？我们说这个基础阶段的课听完以后做六种，有很多题做不了，很正常， 为什么很正常呢？因为大家注意，六六零是基础过关六六零是六基础选择填空题最后应该达到的要求，要么专门训练这个选择填空题，只有这本书啊，所以这个六六零是选择填空题最后应该达到的要求，所以它里面有很多题目 是有难度的，那么有一部分题适合基础阶段做，而有一部分题是适合强化阶段做。 那么所以呢，这个六六零里面有些题目我们在基础阶段课听完以后做不出来很正常，因为有些选择填空题，他所要用到的方法或者知识点，我们在强化阶段才能讲到。 那么所以基础阶段呢？有些题做不了很正常，你可以把它留在强化阶段完了以后再来做，这才是个科学的选择。 所以你看我们现在这个高数基础研，每一张研选题完了以后，我们老师帮大家把六六零里边适合这一张学完以后做的那些题号给他，题号给大家放在这，就希望你在基础阶段把这些六六零做到就行了，没有放在这个地方就适合强化阶段做。 那么这样子呢？就是把这个六六零在基础阶能做的题做掉，做不了的题不要去硬做，因为这个时候你还不具备这个基础，所以你在基础阶段硬要去做，那这个时候可能效率就非常低，我想这个问题应该说清楚了啊。

第一个问题，基础篇严命题六六零怎么用？使用的顺序是什么？这个吴老师刚才已经讲了。那当然先是基础篇，内容立体，然后就按章做相应的基础篇的严选择题， 然后完了以后再做六六零，按章相应的题目。所以呢，这个基础篇严命题六六零使用的顺序按章。首先是基础篇啊，第一章学完了，就做第一章的这个基础篇的严命题，然后再做相应的六六零按章做。 这是一个问题，就基础篇严命题六六零。

汉堡哥二期考研数学基础阶段有没有适合做的好题推荐？有的同学有的，那么提到这个的话呢，就不得不说我当时考研阶段救了我的一本神书叫六六零，对于这本书来讲，我对他的感情呢，可谓是又爱又恨， 因为这本书看似很基础，但是实则是另有深意的。我在刚开始考研基础阶段接触的时候，就发现里面有一些题目看似简单三言两语，但是做下来你还发现它真的不是那么的容易。 无论是这本书对于计算能力的加强，还是对于概念定义的生化，都有很大的帮助。 大家一定要明白，学习的过程和收获是两码事，我们在学习过程中，只有去啃那些难题，去碰硬币，才能在后期的学习中越来越顺。 所以说这本书我也是在基础阶段做的，而且也是亲身体验过的，也在这里给到大家一个相应的推荐。那么关于这本六六零来讲，网上很多大博主或者说某站上面也有很多的讲师都是有对应的一个讲解的， 那么对于这样一本好书，我们应该如何使用呢？首先我认为对于这样的情况是分为两类考生， 第一类就是如果你在基础阶段，你的六六零就可以顺利通关，那么你在强化阶段，你百分之七十的题目大部分都可以得心应手，但是大部分学生呢，在基础阶段刷六六零都会像我一样感觉到吃力。 那么我的建议呢，就是先做伍忠祥老师的高速基础篇，还有他配套的一个严选题，那么这样以来，我们对基础知识有一个很好的把握后，再去做相应的六零的题目，这样一来就能在基础阶段好好打捞。那么今天给大家分享，就到这里，谢谢大家的收听。

来来来，终于到了我们二期考研数学教辅资料横向横向大对比环节，看完这个视频，你今天可以知道考研数学基础阶段题型侧这块你该怎么购买。我们今天主要是对比二期的考研数学基础七百题和 二七的六百六十题，现货大家可以购买，直接写到的就有这两本习题集。我先说七百题，因为他的变动会比较小，因为六六零变动比较大，要花后面比较长的时间讲七百题的话，我们这边是二六二七的都有，他依然是跟去年一样是分的高数分册， 二零二七现代分册和概率分册分别一本。这一个改变呢，也是今年六零六六零做了一个比较大的改变，也是跟七百题一样，他把现代 啊高数和概率论分成了三册，跟七百题一样哈，他们去年是之前以及都是这样全套一本，你看这是二六，好，这是形式上啊。七百题的话跟六六零，六六零的话跟七百题今年就是一样的，都是单独分册。所以如果你是 复习高数技术的时候，你就只拿这一本就行。答案的话是和这个解析的话是和题目在一本上的， 六零零这个解析和题目也是在一本上一本上的，就是跟七百题一样，七百题去年就这个排版。然后的话说一下，七百题今年最大的一个改变就是他的讲解，现在是由 李良老师和于老他们两个亲自在讲的，会对题目的把握也会更好，在讲解的时候也会带着大家对基础知识的理解更透一点。所以你们基础在刷的时候，七百题有这种官方讲解，并且是比较 有讲解经验的老师的话，能帮助大家更好的理解啊，基础的知识啊，不论你们之后买哪种题测做练习，都尽量买有能找到比较便捷能找到讲解的啊。七百题的讲解是购买这个书之后，他就自动就有于老师和李良老师的讲解，然后我们看这个七百题的话，他的 目录分是按这种第一章第二章分选择填空解答也是每种题型都有啊。像他和去年的变化的话，我对比了一下是不大的，因为去年他们就出的比较晚，包括后续刷出来的口碑都还不错，觉得是作为基础比较好的一本练习题，所以我看他们今年的七百题的题改动也不大。 对整体二六来说，因为本来去年的题都是花了比较多心思再弄出来的，作为基础阶段的话就没有做太大的变动，都可以作为基础阶段打基础的一个练习题啊。高数数一、数二数三的话就是这样子的，是数一专二，数一数三专属的字他会列出来，数二的话就不用看 这个七百题是这个样子的一个内容。然后六六零的话我们再看二七的六六零， 这是二七的六六零，哦对，我还买了数一数二。对，买了数一数二，不同的就是为了判别一下数一数二的区别大不大，比如说有的同学他是， 嗯刚开始复习的数一，后来转数二，他的资料要不要换之类的，所以我也买了数一数二的。这个七百题的话是数一数二数三通用的，所以你就算是后续换数学科目的话，也不用再重新买资料。但是数一这个六六零的话，我看了一下数一数二区别还是挺大的。 嗯，因为他这个是总共六百六十道题，他叫六六零，就是六百六十道题，像这个七百题，他就不是刚好七百道题，他数一数二数三的题目是有提量，是有差别的，我这还给大家对比了一下，就是认真的数了数，到时候待会提量。 嗯，六零是刚好六百六十道题，所以说他那个数一数三数二的话，高数现在概率的体量差别比较大。所以如果你之前是数一的同学，你后面想换数二，你还得想买，你如果想还写六零的话，你就还得再买一本。嗯，然后他的话，我觉得他今天的变化特别大啊，就是我给他看下他里面的排版，我看着反正是觉得挺 有点那个花里胡哨的，有点难受，我不知道你们自己喜不喜欢写这种，就是我还是比较喜欢题目页面。就是像这种， 就是稍微干净一点嘛，就是题，或者说像一千题这种。其实我觉得一千题这种也还可以，就这种很简单嘛，就是题，但我这个是我还没买到一千题最新版，然后二七的六六零，我感觉他就是，哎，就是不知道怎么想的，反正就是做的特别花里胡哨。你这个写下来，然后他可能是为了把他这个分出来吧，就是每个题目标分是多少的，他有做一点点区分，就是 让你知道这个题是什么。但是我看了一下，反正挺多都是三颗星。反正也是有一些嘛，就是做了一下，因为他今年没有像去年那样， 你看他今年的这个没有像去年，他去年也是在前年的基础上改的，所以我觉得他们每年都在变。你看他去年是分了什么？一阶二阶吗？为了把难度分出来，他去年是这样，今年是这样，他前年都没有这样，相当于他三年都没有，都还在变，都还没有就是说，嗯，怎么说？就是没有固定到一个好的，觉得还可以稳固的版本吧，所以一直在变。这个也是 他就没有一阶二阶的难度区分了。他这个这个反正就都是只针对基础题哈，所以说他肯定是没有那些什么一阶难度区分的。嗯，然后像像这个的话，他没有一阶二阶难度的区分呢？就直接是在每个题这样给大家 标难度，那么一颗星，两颗星，然后多少分要做，然后位置也是那个啥，反正我是，我是觉得这个有点花哈，不知道里面写的是什么感觉可能单独还是需要再买一个刷，再做一个刷题本吧。然后这个六六你们应该知道都是只有选择题和填空题的啊，没有大题。嗯，这个七百题是有大题的， 他就是概念的考察会很就比较比较深嘛。挺，反正做的还是反馈大家做出来的话，还是觉得作为基础第一本的话肯定是有点难度。我们一般介，我们一般把六六零的一个使用方法给大家推荐的，就是比如说你基础的时候，刚复习第一轮的时候，嗯，你可以用这个体现来做，就是 复习完一张啊，高数的内容看完课，然后你想做练习题的话可以先用这个啊，基础七百题这种真的只针对基，真的只针对基础阶段的题目来做练习。做完之后你复习现代的时，你在复习现代的时候，你在复习现代的时候，你是不是还需要做高数的一个回顾呀？那你做高数回顾的时候，你就可以用六六零这种题， 二七的高数，六六零这种题每天做几个来做一个高数基础知识的回顾，因为他就是小题嘛，会比较快。嗯，你做现代的时候就用这个题，可以做一下回顾，就像是过度阶段，但他不适合做你的第一本练习基础的第一本练习题，因为他理解上来说还是有点难度的。你去你去写还是还是比较难的啊。 嗯，他的答案反就是也是在上面的嘛。我刚才说了，就是他今年比较大的一个编排的改版。我再说一下里面题目变动的问题。嗯，题目变动的话，我大概翻了一下，二七和二六的 都是同样的，都是数一或者数二的这些，因为我都有嘛，我都对比了的题嘛。就是你大概翻下来的话，可能第一个不是去年的第一个题，第二个也不是去年的。其实我觉得你看他去年的排版都要稍微看起来比，这个你们感觉呢？是吧？至少这个看起来没有这么，就是感觉挺密的。嗯， 就是我对比了一下，大概比如说一百三十九的个题，不是今年的一百三十九题不是同样的题，但是他的题可能去年换到另外一个位置，可能题的位置 有变化，但是题本身可能重新做了啊，一些题位置重新做了一些编排，但是题目可能还是那些题目，因为因为他去为了给他们做这种难度区分嘛。啊，嗯，所以而且题量也是一样的，包括说他去年现在有多少个题？今年现在依然有多少个题？去年的高速有多少个题？今年的线高速，嗯，依然有多少个题？就是选填选择、填空的题量都是一样的。 呃，因此呢，如果说哈你手上是比如说从上一届学长那收的这个六六零，我觉得有去年的版本也可以不买，也可以不买纪念的，因为我觉得今年呢，看起来。嗯，不知道同学们自己的喜好吧，可能有的人更喜欢这种编排啊。如果说 你想买新的也可以，因为他确实做的比较大的改动，特别是就翻成就分成了三本嘛，跟七百题一样都分成了这样。三本嘛，大家以后就方便携带，就最近复习现代就只复习现代这一本。嗯，然后说一下价格，价格的话七百题这三本是二十八好像二十八包括讲解啊，包括他们自己的那个， 包括娱乐，你呢？官方的讲解三本是八十二十八，然后两本是二十五，就是数学的话你是只有这两本啊，不对，数二的话是只有这两本，二十五块钱，包括他们官方的讲解。呃，六六零的话好像是四十多来着，还是三四四十左右，反正贵一点，要比这个要比这个要贵一些。 嗯，如果你是基础阶段刚刚开始复习的同学的话，是推荐可以先把啊，先花二十多块钱买一本，买一套这个先把题去做一下的，他比较百搭，就是你做，你跟任何一个老师学高数，你不管是红看蓝看，你都可以先高数开始，你都可以先用这一本 做练习，然后特别是他这个现代和概率的体系出的还不错，因为现代概率的话市面上比较好的基础练习题是很少的。嗯，你们到时候做六六零，你会发现他的精华其实可能都是在那个六六零的高等数学这块高等数学的题目，他高等数学的题目，嗯，选填概念抓的会比较好， 但是他那个概率和现代的题一直来说都不是口碑比较好嘛，所以如果在做现代和概率的那个基础人的话，还是比较推荐这两本的。

好，今天我们继续讲解我们林永乐老师，嗯，基础过关，六六零数二高数部分的填空题，我们上次课讲到了第十题啊，那各位同学可以发现，然后在写的时候会有，嗯，原本上的这个六六零的这个 练习册，他计算，还有你再去写公式的时候，他不太够地方，所以说老师做了一个做题本是 a 四大小的，然后每一页的话我们都是有， 那每一页的话都是两道题，这个题完全是和六六零题目上是一模一样的，只不过老师重新做了一个做题本，然后给同学们留出更多的嗯空，然后让我们去进行计算，然后整理知识点，如果说有同学需要的话，可以在后台提我，老师会，呃，私信给大家。 好，那我们来进入正题，我们的填空题第十一题，填空题第十一题，它表示的是，哎，这个东西啊，大家一定要清楚， 这个表示的什么呢？是表示的是不超过 x 最大整数部分，对吧？那我们就要清楚，那对于这一部分来说， x 的 取整它有个范围是什么呢？是小于等于 x， 哎，又是大于等于啊，大于啊， x 减一。 好，那在这里面我们需要去算的是这个极限，那我们在这里面知道了， x 取整它有放大缩小的范围，所以说我们再去取这个极限的时候， 我们要想到它对应的知识点，哪个知识点涉及到放大缩小，是不就是我们的假逼准则， 对吧？那加 b 准则是什么呢？是不是就是放大缩小，然后再去取极限？那接下来我们就是要对 x 分 之二这个东西去进行放大缩小，你把这个 x 啊看成一个方框，那这里面是不就是小于等于 x 分 之二，这里面是不就是要 大于 x 分 之二减一，然后我们其实就可以发现了 这样的一个式子啊，这样的一个式子。好，那在这里面我们可以看一下我们要取的是谁的极限，是不就是 x 去进零的时候， limit x 乘以 x 分 之二的一个极限呢？ 对吧？好，那既然是我们想要去求这个极限的话，那我们就可以去进行放缩，你把它放缩，是不？两边同时乘一个 x 其实就可以了， 然后极限符号我不写了，你会发现这一部分算完之后是不就是二，这一部分你把它拆开，是不就是二减 x， x 趋近于零，所以说这一部分也是趋近于二，那根据假币准则，我们就可以折到中间的这个极限也是趋近于二。那在这里面我们需要注意到一个问题是什么呢？老师把这个笔记写到旁边了啊， 注意到的一个问题是什么呢？首先第一个，你看到了 x 的 取整，知道它的放缩范围。 好，既然知道我这道题有放缩，那我们就用的是假逼准则。 好，这是我们的十一题啊，那然后我们再来看一下我们的十二题， 十二题，这里面啊，我们前面说了，在这里面看到这样的一个信号，这叫什么？是不是秘制函数？那这一部分是不是也是秘制函数？那看到秘制函数，我们是不要给它进行什么 i 对 竖横等式变形， 所以说这个圆是我 换个颜色的笔啊，各位同学，所以说这个圆是 对数横等式变形公式，老师在旁边再写一下，大家其实可以发现老师做的这个做题本啊，就是中间留的空很大的，你可以把嗯，自己想要记的公式完全的写在旁边空白处啊，这地方是很够用的。首先第一个就是看到密值函数 是不是 u 的 v 是 不是等于 e 的 v 乘以 line u 好， 那所以说在这里面这个原式啊，它其实就等于的是 x 趋近于零，正 limit i e 的 x 被的 line x， 对 吧？再减去 e 的 x 被的 sine line sine x 好，底下分母那是不直接就是用等价公式啊？等价公式第二个， x 趋近于零， ark 贪近它 x 是 不等价于 x， 所以 说分母我们直接写成的就是 x 的 立方好，那分子上有什么？是不有两个指数相减， 那我们之前在强调的就是，如果说看到一的方框减去一的三角的时候，是不要把一的三角提出来变成一的方框减三角再减一。所以说对于我们这个原式来说啊，直接把后面提出来 变成 e 的 x law in sine x， 再乘以的是 e 的 x law in x 减去 x law in sine x 减 e 好 比上 x 的 立方。那我们先来处理一下这一部分啊， 嗯，这个东西大家一定要清楚， x 趋近于零的时候， x 乘以 lo in sine x 啊，就是我们其实之前背过一个式子，是什么呢？就是 x 趋近于零， x 乘以 lo x 这个极限，它是趋近于零的， 那现在这里面我们可以发现 x 乘以零，三 x 是 不也是同样是区间，因为你三 x 是 可以等价于零的，所以说在这里面 啊啊，三 x 是 可以等价于 x 的。 各位同学，所以说在这里面，老师刚才画红就是画粉色标记的这一部分是多少呢？哎，这一部分是不就是 e 的 零次幂， 对吧？好，那然后这一部分他是不就也是趋近于零的，那我们是不还有就是，嗯，第四个公式啊，第四个公式就把第五个公式了，方框趋近于零，一的方框减一是不等于方框，所以说对于我们这个公式啊，直接去进行化简 一的零次幂是不是等于一，所以说就变成 x 乘以 line x 减去 x 乘以 line sine x 比上 x 的 三次幂 好，那然后我们再进一步来看，我们再进一步来看， 这里面它俩都有，它俩都有 x 都有 x， 所以 说这 x 我 们是不是就可以给它往前提？ 嗯，等会啊，各位同学，我看哈这怎么办？成为会员返回， 嗯，好了，嗯，好，然后我们来看一下啊， x 的 三次幂是不 x 再乘以的？是 line x 减去 line x 啊，之前老师一直一直在强调的一个问题是什么呢？就是小于 a 加小于 b 等于小于 a 乘 b 小于 a 减小于 b 等于小于 a 比 b 好， 这都怎么用啊？如果你想去求极限， 哎，那就这么做，对吧？这么用，如果你想去求导，哎，是不就是这么用，对吧？所以说在这里面我们是不可以把这个式子变成什么， 哎，这个式子是不就可以变成，嗯， x 三次幂，那 x 三次幂上下 x 我 都约掉，就变成 x 的 平方 line x 比上 side x， 那 这一部分它是趋近于一的，对吧？那我们是不还有个公式，是不就是我们的第七个公式就是方框趋近于一的时候， law in 方框是不等价于方框减一。所以说对于我们的 这道题啊，再往后写，是不就等于 x 趋近于零，正的时候， limit sin x 分 之 x 减一，比上 x 的 平方。然后一通分还会涉及到一个公式是第八个，就是 x 减去 x 去近于零， x 减去 sin x 是 等价于六分之一 x 的 立方。那在这里面这个式子一通分啊，就变成了什么呢？就变成 x 的 立方分之 x 减三 x， 那 答案直接用公式就是六分之一。好，那其实大家可以发现老师在做这个， 嗯，做题本的时候啊，你在这个看，大家做题一个习惯，左边可以计算，右边可以去整理笔记。 好，这是我们的十二题，那我们继续来看一下我们的十三题啊，十三题的话，他其实这道题是有一点点的，嗯，难的，有一点点难的， 但是你要说难吧，他也不用，他也不是特别难啊，就是，只是不是特别好去想。首先我们可以看到这里面有个什么样的信号呢？ 哎，就是这个地方，对吧？那我们想一下，我们需要联想的公式是哪些啊？我们需要用的公式是哪些？老师还是把公式写在右侧啊？我们需要用的公式是什么呢？首先第一个就是你要想到 a 一 减根号加 cosm， 对 吧？那你就应该想到的是方框趋近于零， 一加方框的 a 次幂减一是不等价于 a 倍的方框，对吧？但是呢，你会发现这里面它没有 我一加方框，它只是口在，那我们是不可以去凑一个，所以说在这一部分啊，我们是不可以写上一减去根号，下 一加上 cosine x 减一，所以说在这里面这一部分数相当于我们的方框，那老师再进一步写，是不等于的？是一减去括号，一加 cosine x 减一的二分之一次幂。 好，那直接我们等加公式，是不是就等价于负的二分之一 cosine x 减一，那 cosine x 减一也有一个公式，就是一减去 cosine 方框是不等价于二分之一方框的平方，所以说这一部分直接就等价于四分之一 x 的 平方，对吧？但其实哈，我们说实话，不用不用到这一步，为啥呀？因为你看一下我们的分母是不是有一个 e 减口三 x， 哎，其实直接可以约掉，所以说对于这道题的话，我们可以把每一项都哎写到这一步就可以了，写到这一步就可以了， 好，没有问题，是吧？哎，没有问题。好，那然后我们接下来看一下，那你会发现啊，我们分母是一减三，我们这个分子是不是口算减一？那其实它俩是不是就差个符号，是不正好把负二分之一这一部分给它抵消了？ 好，那所以说我们思路已经出来了，那直接来做啊。首先原式等于 好，我第一个部分刚才是不是说了，我们是不是要等价于多少？是不是啊？负的二分之一 cosine x 减一， 对吧？那第二个部分是不等价于负的三分之一多少是不 cosine x 减一，那以此类推，后面是不就等价于负的 n 分 之一多少啊？是不是 cosine x 减一？ 好，那我们再再来看一下，你分母是什么？是不一减口算 x 的 n 减一次幂。 哎，是不相当于 n 减一个，一减口算相乘，那我们是不正好你看一下上面是 n 个吗？上面不是啊，上面是不是从二开始起的， 对吧？所以说上面它其实也是一个 n 减一个，那我们在这里面可以直接把它分开， 我分成每一个啊，一减 cos x， 二分之一 cos x 减一，再乘以一减 cos x， 三分之一 cos x。 我 这应该打括号， 哎，一直加啊，不是不是加啊，不好意思啊，是乘，一直乘，乘到什么呢？一减 cos x 分 之 n 分 之一 cosine， 嗯哼哼哼哼，我把符号约掉的话，上面是不是有有一个书写的错误，这会应该是一减考三 x 啊，不好意思啊各位同学， 就是，其实大家就是能够理解一下，就是，嗯，每个人他都会避免犯错误啊， 计算上的错误，然后是不就等于二分之一乘以三分之一，一直在乘到 n 分 之一，是不相当于是 n 的 阶乘分之一啊。所以说这道题啊，我们涉及到的一个概念和公式啊，就是这一部分要快速的识别出来。 好，那然后我们再接看一下我们的十四题啊，我们的十四题，嗯，我们的十四题的话，其实也是有一点点的复杂，有一点点复杂，这里面大家要清楚的一个问题是什么呢？就是给出了二阶导， 对吧？还给出了极限，那在这里面大家一定要清楚什么呢？就是如果说在做题的时候你看到了什么呢？你看到了导数 i， 还看到了极限，那我们就应该知道这道题有可能用导数的定义去做题， 对吧？ i 导数定义，那在这里面老师把导数定义先写一下 f 导 a 是 不就等于 x 趋近于 a 的 时候， limit f x 减去 fa 比上 x 减 a。 好， 那在这里面的话，我们看一下，不仅仅有一阶导，是不是还有二阶导啊？那二阶导的话，我们再接下来看一下，二阶导的定义是什么呢？是不是 x 趋近于 a， limit f 撇 x 比上 x， a 的 导数比上 x 减 a， 哎，是这个式子，好，那然后我们来看一下啊，我们题中告诉你二阶导存在，但是大家一定要清楚二阶导存在，哎， 是不就意味着这个极限式它是不存在的，对吧？好，那然后我们来往下看，往下看， 那这道题给出一个极限，那这个极限类型是不是无穷减？无穷？我们之前课讲过无穷减无穷，是不是有分式是应该先通分，所以说我们把原式去进行通分， 一定要记住啊，有分式的话，一定要想到的就是先通分， 好，那我上面分子就变成 f x 减去 fa， 对 吧？然后再减去，嗯， f 导 a 再乘以什么？是不是 x 减 a， 好， 做到这一部分的话，那然后我们看一下这里面它是二阶导存在，那我现在有一阶导，那我是不可以用洛必达， 我求一次导是不出能够出现一个二次导的一个方法，对吧？啊，好，那我们就用洛必达来算一下啊， 就是我们对谁求导啊？是不对 f x 求导或 f 导 x 对 不对？那在这里面啊，我们有一个什么样呢？有一个这个式子，大家一定要弄清楚啊， 这个是函数值，你求倒它是不是零，所以说它就没有倒数，对不对？好，那我们看一下，上面分子数变成了 f 到 x， 再减去 f 到 a， 好， 那然后我们看一下分母呢？分母的话就相当于是前倒后不倒， 对吧？哎，然后再加上后导，前部导变成 f， x 减去 fa， 加上 x 减 a， 再乘以 f 导 x， 好， 这个式子啊，那然后我们接下来往下看，既然出现了一阶导，对吧？ 我们是不要去凑导数定义，凑谁导数定义啊？是不去凑二阶导的导数定义二阶导的定义是什么呢？ f 导 x 减去 f 导 a a， 你 看一下这里面是不是出现了，那我们差什么呢？是不差的，分母 x 减 a， 那 所以说在这里面我是不可以上下同除以一个谁啊？是不是 x 减 a， 哎，好，上下同时除以一个 x 减 a 的 话，我们会发现原来的这个分子 其实是什么？是不就是 f 两撇 a 呀，对吧？哎，好，那然后我们再进来看一下我们的分母呢？分母的话是不就是 f 到 a 再乘以的？是，嗯， 这 x 减 a 这一部分它其实就没了，对不对？那就变成了 x 减 a， 分 之 f， x 减去 fa， 哎，然后再加上 f 一 撇 x， 好， 那在这里面我们来观察一下，这一部分是谁呢？ 嗯哼哼，这一部分谁呢？是不是我们的 f 导 a 呀？对吧？那所以说我们把它整理一下，那原式它其实再进一步整理， x 去减去 a 的 时候， limit 上面数变成了 f 两撇 a， 那 你下面呢？数变成 f 一 撇 a， 再乘以 f 一 撇 a， 再加上多少？ 哎，好，我们看一下是不就剩下后面这一部分了？ x 是 不是趋近于 a 的？是不就剩下这一部分了，对吧？那在这一部分的话，我们会发现啊，你把它拆开，老师一步一步写啊。 好，那我们会发现，原来这个分母啊，分母给它拆开了，现在只是拆分母 数变成了 f 一 撇 a 的 平方，加上 f 一 撇 a， 再乘以 f 倒 x。 好， 在这里面别忘了，大家一定要记住，有个细节是 x 是 不是趋近于什么的， x 是 不是趋近于 a 的 f i 这个存在，那是不意味着倒数存在，是不意味着圆函数是连续的，所以说是不意味着 f x 是 不连续的。 连续什么意思？是不该点的极限值等于函数值哈， 对吧？所以说这个 f 到 x 是 不就可以写成 f 到 a？ 那 整理完之后，我们原来分子就是 f 两撇 a 底下比上二倍的 f 一 撇 a 的 平方。好，这是我们这道题啊，那根据这道题的话，大家一定要记住啊。呃，记住什么呢？就是如果说你在做题的时候看见导数和极限，一定要想到去凑导数的定义啊，一定要想到去凑导数定义啊。 好，然后有同学说，老师，我再继续求导，行不行呢？一定要记住，这里面是啊，你 f 两撇 a 存在的，每告诉你三节导存在，所以说在这里面你不能出现三节导的一个问题啊。 好，然后我们接下来看一下十五题啊，十五题，它其实也是非常典型的啊，它有一个什么样的细节呢？就是说，嗯，它让我们去求什么？是不？让我们去求的是 f x， 对 吧？那 f x 呢？其实 f x 有 表达式了呀， 对吧？那各位同学想一下，那我这个 f x 表达式里面哪一个是不知道呢？是不？这一部分是我不知道，如果我把这一部分给它算出来，那我 f x 我 就能求出来了呀。那这一部分是什么呢？是不是极限？极限的本质是不就一个数， 对吧？那所以说像遇到这种题的时候，无论是在这里面去求极限，还是后面再有定积分的时候，一定要记住，还是二重积分的时候，一定要记住。像这种题型，就是你先把这个极限设成一个常数，然后在原来的式子两边同时取极限， 一定要记住啊，这个什么呢？就是做题的一个小技巧， 先设极限为 a， 然后再 题中等式， 按两边同时取极限。 哎，这就是我们的这种题的一个做法。那刚才老师说了，不论是你再去求极限，对吧？后面是不还有什么？是不后面还有定积分，二重积分，哎，也是一样的方法。 好，那我们看一下，在这里面刚才说了，是不是先把这个极限设成 a， 所以 说在这里面我们先设 x 去进一的时候， limit f x 是 不等于大 a， 对 吧？那所以说我们是不就可以得到则 f x 等于 e 的 负二 x 加上，哎，这一部分什么？是不是指数， 对吧？那好，那刚才之前老师是不是说了，指数函数是不要给它进行什么对数，横等是变形，对不对？好， 那一会再变也行，现在变也行。然后我们看说了，先设极限为 a， 然后在题中的等式两边同时取极限，所以说在这里面我们是不在两边同时取极限， 对吧？好，那这个部分是不是还是 a？ 好， 那然后我们再接下来看一下那，嗯，换一个颜色的变，这一部分呢？是不是变成了 x？ 去近于一，是不是变成了 e 的 负二次幂？ 好，后面这一部分啊，这个 a 是 不是常数？是可以到极限符号的？前面来，那刚才老师说了，这一部分是一个密值函数，是不要给它进行对数横等式变形。对数横等变形公式啊，老师再写一遍， 好，它，呃，是可以给它进行对窗的变形。那对窗的变形之前老师说了，你看到一的无穷次密，它是不可以写成 e 的 v 乘以 u 减一的形式， 所以说在这里面 x 的 一减 x 分 之二，它是一个典型的一的无穷次密，它可以写成 e 的 x 乘以一减 x 分 之二减一， 对吧？啊，那这是一啊，各位同学，然后老师给它进行通分啊。嗯，一减 x 分 之二减一，等于都是一减 x 分 之二减一加 x， 那 就等于一减 x 分 之。嗯，一加 x， 对 吧？好，那所以说这个等于一的 x 乘以一减 x 分 之一加 x。 好，那然后我们看一下，在这里面 x 是 不是趋近于多少？ x 是 不是趋近于一的，对吧？好，那既然 x 趋近于一的话，那我们在这里面可以怎么办呢？哎，是不就是 我看看没有抄错题，对吧？嗯，没有抄错题？好，那 x 趋近一的话，是不可以往里面带，那是不就变成了多少？ a 是 不就变成了我们的多少啊？是不变成了 e 的 二次幂，对吧？ a， 那 它就变成了多少，是不就变成了 e 的 负二 e 的 负二次幂啊？ 好，那然后我们再接着往下看啊，那所以说在这里面我们是不可以通过一下把 a 等于多少算出来， 对吧？那 a 等于多少了，我们是不直接往这个式子里面代是不就可以了？那 f x 是 不就等于 e 的 负二？ x 加上 x 乘以一减 x 分 之二，然后再乘以的是 e 的 二次幂减一分之 一，对吧？嗯，这个就是我们的这道题啊，这个就是我们的这道题。但是各位同学，我们来看一下，这块是不是有一点点小的问题呢？ 啊？这块老师这部分写错了，就是各位同学一定要清楚。就是，嗯， 做题啊，还是一定要仔细一点。这个就是 e 的， 嗯，一减 x 分 之二小于 x， 对 不对？嗯，那就是 e 的 x 减一分之乘以，嗯， e 的 无穷次密嘛，对吧？那它其实就可以直接写成的是 x 减一，那就是 e 的 负二次密，对不对？嗯， 好，这个啊是我们今天的。嗯，十一题到十五题啊，五道题。

这些练习题应该说最难的是六百六十题，那么大家注意这个六百六十题呢，虽然叫数学基础过关六百六，但是你就会发现它里边有很多题是有相当的难度，那又是基础过关，为什么很多题有相当的难度呢？ 那么大家注意啊，因为这个六六零里边都是选择填空题，他是选择填空题最后要达到的要求， 但是为什么又叫基础过关呢？因为作为面题的人，一个基本原则是题目应该由易到难，那么这样的有利于大家把政治水平发挥出来。那么大家注意，我们考卷里边第一题 十个选择题，第二大题是六道填空题，那么由于选择和填空题处在第一大题和第二大题，所以人们就认为它应该是基础题， 所以那么这个地方叫基础过关。但是事实上每年考下来选择填空题这个地方丢分丢的非常严重，所以我们这个数学基础过关六六零呢？那他应该是选择填空题最后应该达到的目标，所以他里边有很多题有难题， 所以大家注意，不要求在基础阶段把六六零全部拿下，能拿下多少就拿下多少，有的这个做不出来，放到强化阶段去做，这个才是一个科学的选择。 因为六六零里边有很因为他是选择巅峰的最后一大的要求，所以他里面有很多题所要用到的一些方法，一些知识点，可能我们的基础阶段还没讲到，在强化阶段才能讲到， 那么你基础阶段你就要把它拿下，这样子就花了大量的时间，但效率就会比较低，所以六六零吴老师认为基础阶段能做多少做多少，做不了的画个记号放在强化阶段，强化完了以后再做，这是一个科学的选择。

二七考研数学基础阶段必须先做六六零吗？大家好呀，今天我想分享一下关于基础阶段做题的一些感想。六六零是一本很不错的基础题型测，但是呢，我觉得大家不用特别有压力，非要一上来就写六六零。 我写下来的感受是，六六零他的高数比较好，而且高数里面概念题比较多。我觉得一开始确实大家对概念题都会有点模模糊糊的，特别是很多题还需要反证法，刚开始学根本积累不到那么多。所以你可以刚开始的时候先写一些重视计算的基础题，多多熟悉知识点， 比如像讲一例题或者基础七百题，这些题他就会更加直白一些，你做起来也会更有信心一些。然后咱们有感觉了，再去集中写六六零的高数概念题，效果肯定会比前面磕磕绊绊的做的好很多。加油大家！

基础版的严选题的答案连解析都不给，这种行为真是极其离谱。只有一个简略的答案，在去年的时候，跟着伍忠祥老师学高数基础的同学根本就坐不动六百六十，导致只能去坐盘子里的学习包或者七百题。 今年你们开悟了，知道大部分人根本没法搭配六六零了，所以你们出了基础版严命题，但是基础版严命题竟然只有答案没有解析，更过分的是，只有在盘子里才能看到解析， 还是部分题目的解析。也就是说，那些买正版书但是没买正版课的，就没法正常看到有解析的严命题是吗？买正版书却只能看其三分之二，三分之一的部分要报全程班， 这对吗？这对吗？一本书没制作完整就打印销售了吗？这对吗？大家都知道，一本好的考研书学习题测有两个很重要的因素就是它的解析不能太烂， 其次就是网上有很多讲解视频，这两者缺一不可，真是不知道为什么会这样做，红开的同学也真是苦了。

有很多同学问我，复习到极限基础，听课的时候需要刷题吗？答案是肯定的，二六考研真题已经给咱们提了个醒，压根难题没有多少，好多人丢分也都是因为基础不扎实，简单题踩坑，然后概念题模棱两可。作为老学长，真心劝二七考研的学弟学妹，基础阶段千万不要着急去赶进度， 配合讲义和基础课程，然后把这个六六零题给刷明白，数学的底子立住了，然后后期复习会轻松很多。我觉得啊，他这个六六零都是选择和填空，但是呢，他是和真题比较适配的这个小题。 基础阶段其实很多大题和最后大题的这个形式是完全不一样的，前期多做点小题也是挺好的，然后充分去巩固基础的定义，定义务必要记住，不会就去想定义。但是啊，咱们第一遍做六六零的高速部分的时候，可能会有一点痛苦， 稍微有一点难度。基础阶段，如果说做六六零比较困难，可以先做这个高等数学基础篇，配套的这个基础选择题， 然后再做六六零和这个真题。真刷的基础篇都是可以的，因为六六零看着都是小题，却大多都是 考研常考的考点，还藏着真题里面的常见的陷阱，然后刷一遍下来，哪些知识点没吃透还是非常清楚的。这个确实比 刷这个偏题怪题要九用六六零适配这个基础阶段的复习节奏，把红开关彻到底，学长确实是红开粉。然后把吴忠祥高出的基础篇，李永乐现在基础篇学完一章节，然后刷六六零的对应的题型 学点结合，然后把所学的知识点立马就能得到及时的巩固，把计算速度和这个准确率练上来，后期做大题的这个基础就会特别牢固。考研数学百分之七十都是基础题，所以说咱们不要总想着去啃难题偏题，把这个基础打牢才是最关键的。

考研数学习题测难度大，公开看看哪一本最适合你？先说公认的难度，天花板一千题和八八零题难度不分伯仲。 接着是几乎人手一本的八八零题，题目质量确实在线，不过难度也偏高，连基础篇都不轻松。然后是题量巨头一千八题题型重复率不低， 但胜在题多，覆盖面广，刷起来有种题海战术的踏实感。再说说基础，六六零题名字虽然叫基础，但是题目挑战性不低，刚开始复习的同学大概率会写得比较痛苦。 最后是适合打底的基础，七百题真正从零开始题型基础适合基础一般或刚开始复习的同学用来建立信心和框架非常合适。

二期考研的同学们可以看过来，我想说一句，数学基础阶段，基础才是重中之重。结合近几年的真题呢，考研数学的基础概念，基本定律，还有基本方法的重要性越来越突出，不管你是一站还是二站，不管你跟哪个老师，我都推荐你做六六零这本 ct 测。今年的六六零呢，进行了分测编排，高数现代他们独立成册， 方便我们进行专项学习。内容方面呢，延续了之前一道题一道答题取语的模式，但是比往年难度上升了，考察的知识点也更深了，能够帮你更好的规划基础阶段所学习到的知识点， 并找到基础阶段的薄弱项，从而呢加以巩固。学完一节高数基础篇，直接做一节对应的六六零，能够帮你的基础打得更牢。关于六六零的使用呢，如果你感觉有些吃力，你可以先做武忠祥的高等数学基础篇的严选题， 搭配六六零的一星二星题目，等到开始现代的时候，所有的知识点在大脑里成体系以后，就可以把剩下的六六零全部做完， 不会占用你太多时间。而且呢，也可以避免了你在学习限行代数的时候忘掉高等数学的情况。基础阶段不要急于求成，脚踏实地，把基础阶段应该搞懂的知识点和题目全都搞懂，加油考研人！