潍坊初一试卷标准答案

初一数学的期末压轴题二十三题如图，点 p 为线段 ab 上一个动点 ab 的 长为六 点。 p 是 从 a 出发向 b 运动，到达 b 后再向 a 运动，也就是进行往返运动。点 p 在 运动过程中， 运动一个单位后到达 p 一， 那 p 一 尝试 a p 一 是一运动两个单位到达 p 二 好， ap 二是三，那么运动三个单位之后，就是说它是按照一二三这个 规律来进行运动的。第一个求 ap 三，那么 ap 三很简单， ap 三它是等于个，首先运动一个，再运动两个，再运动三个，它是等于六，然后我们这个六是不是是在这个 ab 长度范围内呢？所以说 ap 三就等于六，然后我们再看第二个 p 二 p 四，那我们知道 p 二 p 四实际上就可以通过线段 a p 四减去 a p 二得到，对吧？那么我们看一下 a p 四分别是多少？ a p 四它是等一个一加二加三加上个四，它是等于个十啊，那这个地方十实际上它是大于六的，所以说它会进行往返了，那么的 a p 四实际上不能够表示为十，那么 a p 四就等于什么呢？ 等于哦，它超往返了多少呢？往返了是不是就是十减去六啊？然后我们 ab 的 长度， a b 的 长度是六，再减去它实际上是两倍的 a b， 那 十二减去十，那么 a p 二， a p 四实际上就是二了。那么原来这个结论这样就 不成立了，因为我们的线段长度肯定是大的减去短的，对吧？那么我们的 a p 二是多少呢？ a p 二是等于个一加二是等于个三，所以说在线量上它是应该这样的，这是 a， 这是 b， 我 们呢， a p 四的长度是二， a p 二的长度是三， 那么要我们求的 p 二 p 四，那实际上就等于个 a p 二减去个 a p 四，那它就等于个 三减二，实际上等于个一。然后第二个问，第一个，如果 r 法等于三十五度， o q 一 o q 二 o q 三的位置如图四所示，那么求一下 q 二 o q 三的度数，那么我们看一下， 首先我们要求一下角 m o q 二，它的度数是多少？角 m o q 二，它就等于个一。加上二倍的阿尔法，它就等于三倍的阿尔法，那么阿尔法是等于个三十五度， 那它得到的度数就是一百零五度。然后我们再看角 m o q 三 mo q 三是等于个一加二加三倍的二法，它是等于个六倍的二法，那它是等于的六倍的二法。六乘以三十五度， 它这个地方就等于二百一十度了。二十一，二百一十度是不是已经大于一百八十度了？也就是说我们的 q 三已经反弹了，所以说我们 q 三就不可以利用这个来表示，那么它就等于，那它在二百一十度的基础上是反弹了多少度啊？是不是减掉一百八十度啊？ 然后它真正的度数是不就是在一百八十度的基础上减掉这个反弹的度数啊？它就等于三百六十度减， 减掉二百一十度，等于个一百五十度，那么这个题目就是考察 q 三，它进行反弹了，然后我们的度数从图中就可以直接看出来，角 q 二 o q 三，角 q 二 o q 三，它就等于角 m o q 三。减去角 m o q 二，那么就等于个一百五十度，减去一百零五度，它就是等于个四十五度。 第三问，若 r 法小于三十度，好，我们首先看为什么是三十度呢？当它是三十度的时候，我们这个角 m o q 一 角 m o q 二 角 m o q 三与角 m o q 四，它分别是怎样的？那第一个很简单，它就等于 r 法， 它是小于三十度的。第二个是等于个一加二倍的二法，也就是等于个三二法，它是小于九十度的。第三个是等于个一加二加三，它是等于个六二法，它是小于一百八十度的。那也就说 q 三实际上它还没有反弹，未反弹， 它未反弹的话，很明显我的 q 四就需要反弹了，它是等于一加二加三 加四倍的二法，它是等于十二法，那它是小于多少呢？它是小于三百度，小于三百度，很明显它就是反弹了， 那反弹之后我们就不可以去这样表示了，这个实际上是错误的。那么它应该怎么表示呢？它就等于个一百八十度， 减掉我们的十二法，减掉一百八十度。因为十二法减一百八十度，实际上就是反弹之后的角，然后再再求一下一百八十度，再减去反弹之后的这个角是他真正的角，那他就等于三百六十度， 减去了十倍的二分，这才是它真正的度数。然后我们来看 o q 四平分角 q 一 o q 三，那它的图大致应该是这样的， 然后这是 q 一， 这是 q 二，这是 q 三， q 三没有反弹，然后 q 四反弹之后呢，成了角 q 一 o q 三的角平分线，我们换一个颜色， 大致是这样的， 那么角平分线我们就可以得到角 q 一 o q 四是等于角 q 四 o q 三。然后我们分别利用角的加减表示出角 q 一 o q 三，它就是等于角 m o q 四， 减去角 m o q 一。 好，根据完前面角 m o q 四就等于个三百六十度减去十二分，然后再减去二分。角 q 四 o q 三就等于角 m o q 三，减去角 m o q 四，那么它就等于一个 六二法减去括号里边三百六十度减去十二法。这个地方一定要注意打括号，因为它产生到编号的问题，它就等于十六二法减去三百六十度。然后这两个是相等的，我们列一下等式， 三百六十度减去十倍的二法，减去二法，就等于个十六二法减去三百六十度。那么也就是说三百六十度加上个三百六十度等于个 二十七倍的二法，二法就等于个二十七分之七百二十度。 化简可以除以九，等于三分之八十度。 最后我们再来看一下二十三题压轴题的压轴第四位，若阿尔法小于三十六度，且角 q 二 o q 四等二十度，直接写出所有的取值。所有的取值啥意思啊？就是他有很多值啊，这个题难就难在于他是非常容易做出一两种情况，但是你想去做全这个很难。 出题的意图就是不想让你得满分。那么分析一下啊，它一共有几种情况？那首先它限定了一个小于三十六度，我们看下三十六度，三十六度，我们的 角 m o q 四，它是等于多少度，就是它会不会反弹的问题啊，它是等一个是十二法的，对吧？那它就等于个三百六十度，那也就说它 他，他顶多会从 o m 啊，首先他从 o m 走到 o n， 然后再回一次 o m， 那 也就说走一个八十度，再走一个三八十度，他并不会走第三次。那么也就说这个题他是现在这个地方啊，他没有更难的地方了。然后我们就挨个分析，那么第一种情况好还是第一种情况？第一种情况是怎样的呢？也就说我的 q 四 o q 四，它都未反弹，它只是在第一遍的情况下，那它就很简单了，我们的角 q 二 o q 四，那它就等于角 m o q 四。减去角 m o q 二，它等于多少呢？ q 四是不是等于个十十二分，它就等于十二分减去 q 二 q 二是一加二，减去三二分，它就等于七二分，对吧？然后我们知道七二分是等于二十度，那二分等于多少呢？ 就等于七分之二十度好，这一问是最简单的，因为它都不需要反弹。第二种情况就是我们的 q 四，它反弹了， 反弹之后呢，但是它并没有超过超过 q 二，就是它还没有到达，还没有到达这个 q 二的地方。然后同样的我们的角 啊，同样的我们的角 q 二 o q， 我 们首先分别写一下，角 m o q 二，它是比较简单的，它就等于个一加二倍的二法，它等于三二法。然后我们的角 m o q 四，那么它因为反弹了，它就等于我们前面的结论，三百六十度减去一加 二加三加四倍的二法，就等于三百六十度减去十倍的二法。然后另两个式子相等，啊，不是另两个式子相等，我们去减一下啊，角 q 二 o q 四，那么它就等于角 m o q 四，减去角 m o q 二，它就等于个三百六十度。减去十二法，再减去三十二法，对吧？这个整整个式子是等于多少度呢？它就是等于二十度，然后我们再听谁的，三百六十度减去 十三倍的二法等于二十度，十三二法就等于三百四十度， 阿尔法就等于个十三分之三百四十度，这是第二种情况。第三种情况，第三种情况是怎样呢？就是我 q 四反弹，反弹的这个度数比较大了，它已经越过 q 二了，那么它在这个 图上的关系就发生变化了，就不是 q 四减 q 二，变成 q 二减 q 四了。当然前面的结论仍然是成立的啊，我们的 q 二仍然是等于个三二法，我们的 q 四呢，仍然是等于个三百六十度。减去个十倍的二法， 那这个地方我们就可以得到角 q 二 o q 二减角 m o q 四，两个是不是 位置反了？那他就等一个三二法减去三百六十度，减去十二法。注意这个地方打括号，因为牵涉到 去括号。三百三二法减去三百六十度，加上个十倍的二法，那就等于个十三二法减去三百六十度，那么他是等于二十度的，那么是我们就可以得到十三二法等于三百八十度，等于十三分之三百八。 所以说第三问是有三种可能性的啊，分别是第一个全部未反弹，第二个反弹但是未超越， 第三个是反弹也超越了。三种情况我们需要都考虑的。

这一次初一的卷子已经刷完了啊，选择题的最后一题有难度，考的绝对值，填空题的最后一题考的动脚问题啊，也是有难度的。 接下来就是大题，大题的话，其实有难度的就是最后两题，二十六题的话，考的是找规律题啊，规律题也是初一必考的，然后最后一题的话考的是动点啊，这个题目的话也是有难度的。所以这张卷子的话，他的难易比例啊， 简单的题目的话占到百分之四十，中档题的话占百分之四十五，然后难题的话，呃，占百分之十五。对于初一的小孩子来说的话，这一次的试卷相当还是有点难度的。

二零二五到二零二六学年七年级历史期末试卷答案及评分标准二五到二六学年七年级历史期末试卷答案及评分标准 一选择题占比五十分如表，反映的战国时期的主要特征是考察战国特征，多角度理解时代特征。 汉文帝汉景帝是西汉初年著名的皇帝，下面是文帝、景帝时期发布的几条诏令，这体现了他们的治国理念，是考察文景之治。 下图是中国历史上某一时期的形势图，这一局势形成的关键性战役，是考察重点的历史式图。 根据材料二，并结合所学知识解析丝绸之路的作用。结合所学指出材料二种秦朝为解决南方汉越矛盾、北方边境战争不断而采取的措施。 七、上历史期末常考的图片解析观点论述题期末二十个押题常考的易错点九十个 常考的简答题汇总材料题万能的答题模板完整版幺幺幺。

哈喽，同学们，这期视频我们快速刷一套期上期末考试的真题试卷，难度适中，全国适用，不管你现在距离期末考还有几天，认真看完，保证能帮你再轻松提个大几十分。 ok， 先来看我们的第一道题，他问我们绝对值负二零二五的相反数是多少？那大家来想，我肯定要先求这个数吗？这个数它是几呢？负二零二五的绝对值就是二零二五吗？二零二五的相反数不就是负二零二五吗？所以说答案很明显 就是我们的二 b 选项对不对？我们就可以快速求解出来了。再往下看第二个，下列说法正确的是哪个？ a 选项， 它说单项式，这个的系数是负二分之五，这是一道易错题哈，大家看一下自己能不能反应出来它的系数是负二分之五吗？你一定不要忘了这里有一个 pi， pi 是 什么呢？ pi 是 数呀，对不对？所以说它的系数应该是负二分之五 pi 哈， 然后次数的话很明显没有问题嘛，你看 x 的 三次方和 y 两个字母，它们之间的次数加起来三加一正好等于四，所以说这里是正确的。呃，次数是对的，但是系数不对。 再来看 b 选项，他说单项是负二的，系数是负二，次数是一系数的话没有问题。那次数可能是一吗？次数指的是字母前呃，字母上面的那个指数嘛，对吧？但是现在这里没有字母呀， 他是不是没有字母？所以说他的次数应该是零哈。 b 选项也不对。再来看 c 选项，他说这个式子是一个二次三项式。我们来看一下， 首先很明显它是三项的吗？对吧？你看它有三个部分，给大家来画一下哈，一个、两个，三个有三个部分，那它是不是二次的呢？我们来看一下最高次项，最高次项在前面这里， 对不对？前面这里给大家来看一下负二 x 方 y， 那 这个时候呢？它不就是二加一吗？你看 x 方 y x 这里的二加上 y 这里的一，它应该等于三呀，所以说它应该是一个三次三项式。 c 选项也是错误的，那么对应的答案肯定就是我们的四 d 选项了呗，对不对？ 我们来验证一下哈，对于四 d 选项的话，它是不是三项呢？很明显没有问题，所以答案是四 d， ok， 再往下看，再来看第三题，他说如图是一个正方形的表面展开图，则圆正方形中和顺字 所在的面相对的面上标的字是哪个？他现在找的是一个正方形展开图，然后我们要找一下，呃，相对的两个面。 这个这种题呢，咱们有两种解析思路。第一种思路就是直接硬想，比如说看着这个展开图，你直接去想一下这个他再折成正方形的话，应该长什么样呢？ 你看你看这个图的话，我们如果说有点空间想象能力的话，我们应该也能想到，就是我们让这个考字是在这个正方体的底面的，给大家来画一下哈， 你看假如说这是一个正方体的话，那这个正方体的底部哈，底部这里他应该是这个考字，然后你看这个呢，就是背面那个，这个是左边这个，然后他分别都折起来，然后呢这个他是右侧这个，对不对？ 然后这个就是脑袋顶，然后这个呢是前面这个面考字对应的前面这个面，这个面大家来跟着思考一下，看自己能不能想清楚。如果说你空间想象能力好的话，你直接自己想一下，你就能想清楚了，考字是在底面的对不对？然后这个底上面这个顶呢？顶上面写的是这个顺字，你看 最上面这个顶写的是顺字，最下面这个底呢写的是考字，这个大家可以自己去自己去想一下， 如果说我们能这个想清楚的话，那我们就知道了，这个顺字呢是在顶部的，所以说跟它相对的呢，应该是底部，那底部的话不就是考字了吗？所以答案就是 a 选项，就可以快速求解出来，这是一种思路。除此之外还有第二种思路，就是我直接去记结论呀，对不对？我可以直接去记结论。在我们 正方形展开图要求相对面的时候，这里是有一个结论的。第一种思路呢，就是咱们直接找三个的三个连着的小正方形，然后你看两端的这两个就是中间隔一个，对应的 这两个他们就是相对的，大家能理解吗？这两个是相对的，也就是中间隔一个小正方形，这是一种情况。还有一种情况呢，就是 z 字 找一个 z 字，然后 z 字的两端呢，这两个端是相对的，我们来给大家举个例子哈，在这个图里面其实就没有 z 字的情况了 啊，但是我们可以用第一种情况，用相对来看，那考和谁相对呢？就是他再隔一个正方形，然后再找一个，那你看那他左边的话就没有了呗，你看只有一个，那右边的话正好你看可以选三个，那这个考字和这个顺字，他俩是不是是相对的， 大家能理解吗？这是大家需要注意的哈。然后这个 z 字形的话，我们给大家举个例子哈，比如说有一个长的是这样子的，有一个长的是这样子的，那你看这个时候我们就知道了， 这一面和这一面它一定是相对的，为什么呢？为什么这两个面一定是相对的？大家来想一下，因为我们刚讲过了，结论就是 z 字的两岸是相对的，大家可以去记一下这个模型哈，要么你就找三个相连的小正方形，要么你就去找这种 z 字，反正 在展开图里面就这两种情况，然后如果是三个相连的，那你就找两端，如果说是这次的话，那你也找两端就可以了哈。呃，一定要注意这两种情况，大家可以去记一下。 ok， 那 我们再往下看，再来看我们的第四题哈，再来看我们的第四题，第四题呢？它是这么说的，告诉我们什么手工店周边布局了体验工坊和奶茶店，然后呢？如图，如果把手工店记作 a 点， 然后在 a 处观察体验功放记作 b 点，也就是在 a 点观察 b 点的时候点 b， 再点 a 的 北偏西，你看它是在北偏西方向上的，对不对？我们给大家放大，大家来看一下哈，给大家稍微放大一下， 这个时候我们知道了 b 点在 a 点的北偏西，那你看很明显没有问题啊，上北下南，左西右东，对不对？它现在本身就是北偏西，然后四十度十八撇这个方向上，对吧？然后在 a 点处呢？ a 点处观察奶茶店，记作 c 点的时候，我们知道角 b、 a、 c 是 九十度，然后问我们奶茶店也就是这个 c 点在这个 a 点的什么位置？那咱们先来看方向哈，先来看方向，再来看角度，这个时候很明显是北偏东呀，对不对？北偏东的话，那么我们就可以把 a、 c 排除了，剩下的不就是 b、 d 了吗？那 b、 d 哪一个对呢？大家来看， 我们要求的话，其实咱们知道这个角 b、 a、 c 是 九十度，知道这个角呢，是四十度十八撇儿，那咱们直接用九十度减去什么呢？减去四十度十八撇儿不就可以了吗？ 对不对？我们直接做一个减法就可以了，那这个减法怎么去做呢？大家来想一下，其实这个时候呢，你看哈，它这里有一个十八撇，对不对？ 那前面呢，我们是不是肯定要用六十撇减去十八撇的？那这个结尾这个是二，然后这个是四，所以说我们知道它的结尾一定是四十二撇，大家能理解吗？ 因为他最终变成了九十度呀，他俩加起来应该等于九十度呀，所以说这两个撇，这里他俩加起来应该等于一度哈，他俩加起来应该等于六十撇，也就是等于一度，所以说这里是十八撇，那这里对应的肯定是四十二撇了呗， 那这俩你稍微看一下就知道肯定是 b 选项正确了呗。所以说第四题我们也就求解出来了，他应该是我们的二 b 选项。就 大家做题的时候，像这种选择题，你没有必要去计算出来它最终的答案到底是多少哈，你没有必要去精准的计算，咱们只需要排除选项，能选出答案就可以了，这个是咱们考试可以快速做题的一些小方法哈。 ok， 再往下看，再来看我们的第五题，问我们下列等式变形错误的是哪个？ a 选项，如果 a 等于 b， 那 么 a a 乘 c 减一，等于 b 乘 c 减一，大家来看一下对不对呢？ 它其实可以看成左右两边先分别乘了个 c， 写成了 a， c 等于 b， c 啊，对吧？左右两边先分别乘了个 c， 那 它左右两边同时乘 c 的 话，相等吗？ 很明显是相等的呀，没有问题啊，对不对？因为 c、 c 是 一样的呀，左右两边同乘相同的数，没有问题，然后左右两边再同时减一，也没有问题啊，所以 a 选项正确， 再看 b 选项，他说如果 a 乘 c 等于 b 乘 c， 那 么 a 等于 b， 这个对吗？很明显这个是不对的，为什么？因为 c 可能等于零啊，比如说三乘零是不是等于二乘零呢？那 a 也不等于 b 啊，所以说这个 b 选项它肯定是错误的哈。 我们再来看一下 c、 d 选项嘛，给大家讲一下为什么 c、 d 是 正确的哈。首先 c 选项，你看它本身这个式子成立，然后呢，就可以推出 a 是 等于 b 的， 其实这个很明显也是成立的呀，因为你左右两边可以同时乘 c 加一啊，对不对？左右两边同时乘 c 加一，那得到的不就是 a 等于 b 吗？对吧？是不是还是可以得到这个结果的呢？然后 d 选项为什么正确呢？它俩同时除了一个 c 方加一， 这个时候呢？因为它是 c 方加一，所以说它其实肯定是不等于零的，它肯定是大于等于一的嘛，对吧？所以说那对应的这个也就是可以推出来的呀，对不对？不是零分母，不是零就没有问题了嘛。所以说第五道题答案就是二 b 选项了。我们再来看第六题，第六题呢，它说某个商品进价是 a 元， 商店将其进价提高百分之三十作为售价，后来因为市场原因又降价了百分之十出售，问我们此时售价是多少，他其实就是把价格调整了两步，对不对？那我们就一步一步来给大家去讲，首先进价是 a， 然后呢，进价提高了百分之三十作为售价，那我们来想一下哈，它提高百分之三十的话，不就是 a 乘个一加百分之三十吗？对吧？这是我进行了第一次调整后的价格提高百分之三十，那我就是 a 乘个括号里面一加百分之三十，它的意思呢？其实就是 a 加上什么呢？ a 乘百分之三十呀，你看在原来的基础上增加了什么呢？增加了百分之三十呗，然后这是我们调整完第一步的，然后第二步呢，又降价百分之十，那就是在它的基础上我又成了个一减百分之十呗，大家能理解吗？ 一定要注意哈，我是在它的基础上又降价百分之十，那就是 a 乘个一减百分之十，那降了百分之十不就是变成百分之九十了吗？所以就是 这里其实对应的对应的其实不就是百分之九十了吗？这个逻辑大家看一下自己能不能想清楚哈，所以答案选什么？很明显呀，我们的答案就是咱们的 a 选项就快速做出来了。 再往下看，再来看我们的第七题，他说下列几何图形和相应语言描述相符的是哪个？那我们来看一下。首先，图一的话，他说线段 a、 b 经过点 c 经过吗？很明显不经过呀，他在线段外呀。所以 a 选项不对。 再看 b 选项，射线 c a， 那 就是以 c 为端点呗，对不对？他说端点是 b， 那 这个很明显也不对呀。再看 c 选项，如图三，直线 a、 b 和直线 c、 d 相交于点 p， c 选项对不对呢？一定要注意哈，它是两条直线， 那它现在在这个图上很明显交于点 p 啊，所以 c 选项是没有问题的。答案应该是我们的 c 选项。再来看一下四、 d， 为什么不对？他说，如图四，射线 c、 d 和线段 ab 有 交点。 这个，呃，射线 c、 d 是 在这儿的，你看。然后 a、 b 是 在这儿的，它俩很明显没有交点呀，对不对？因为 c、 d 是 一个射线，所以说它们是没有交点的哈，这道题我们就做出来了。再往下看，再来看我们的第八题， 他说某个班级共有 m 位学生，现将 n 个琵琶作为午餐水果分发给学生。如果每个人发两个，还剩十个呢？那还缺三十个。下列有四个方程，问我们符合提议的是什么？ 其实呢，你看，呃，这四个方程，大家先来找规律哈，你会发现第一个和第二个他俩其实长得很像，对不对？然后第三个和第四个长得很像，所以其实他可以分为两类，他是从两种情况来列方程的。 那我们来看一下，那它对应的列的是哪一个方程呢？如果是一二的话，你看哈它是怎么去列呢？你，你来想一下，二 m 是 什么呢？每个人发两个，有 m 位学生，那就是二乘 m 了呗，这，这不就是这里的二 m 吗？对吧？加个十， 所以说你会发现哈，它这里其实没有出现 n， 对 不对？所以说从第一个和第二个我们可以猜到，它应该是以 n 的 个数就是琵琶个数来列方程的，大家能理解吗？就是第一种情况，如果每个人发两个的话，琵琶个数和第三种情况，每个人发三个的话，它对应的琵琶个数，它们之间去列一个等量关系。 那我们来看一下，如果说每个人发两个的话，还剩十个，那就是二 m， 他 现在还剩个十个，那说明还多了十个呗，对不对？所以我，所以我二乘 m 以后，我要再加个十，对应的才是我琵琶的个数，也就是 n 的 值，大家能理解吗？ 这是第一种情况，那他就等于第二种情况，第二种情况是什么呢？每个人发三个，那就是三 m 了呗，现在呢，还缺三十个，那就是，那怎么办呢？大家来想， 如果说每个人发三个的话，还缺三十个，那我是不是三乘 m 再减去三十，我对应的才是琵琶的个数呢？因为你想想， 三乘 m 作为琵琶个数的话，如果每个人都发三个的话，那他是不是刚刚好呢？但是现在实际情况是缺了三十个，所以三乘 m 应该减去三十才是我们 n 个琵琶的个数，大家一定要注意哈， 三乘 m 是 给每个人都发三个以后对应的完美的情况，但是呢，它没有这么完美呀，它是缺三十个的呀，对不对？所以说三乘 m 再减去三十才是 n 个琵琶的个数， 那对应的答案选什么呢？首先第一个，第一个，呃，第一个方程很明显是正确的呀，那么第二个是不是就排除了呢？然后我们再来看三和四，三和四的话，他应该就是从学生个数这里来入手了，对吧？那我们来想哈，如果说每个人发两个，还剩十个，那你想他本来是有 n 个枇杷的， 然后如果每个人发两个的话，是有是有一点多的，对吧？多了十个，所以说我们就用枇杷的个数减去十，再除个二，那他不就是学生人数了吗？对吧？等于什么呢？ 他是不是就等于第二种情况，如果每个人发三个的话，还缺三十个，那我就让 n 加三十呀，我加上三十个不就刚刚好够分了吗？对吧？现在够分以后是每个人发三个，所以我再除个三，那对应的你看一下，应该选哪个呢？ 是哪个方程呢？很明显是我们的四个方程了呗，所以答案就是一和四，也就是我们的 c 选项是不是就快速做出来了？这是我们的第八题哈，大家一定要注意。 ok， 这道题讲完以后，其实你会发现哈，咱们数学里面对应的这些题目，他们都是有答题思路的呀，对吧？包括大家数学学习也是有方法的哈。我们这里给大家多说一句，如果你现在觉得你数学成绩老是提不起来，你感觉你明明也努力刷题了，但是成绩呢，老是卡 打在一个瓶颈，总是没有办法快速提高个二三十分的话，其实不用想了，你百分之百就是你的学习方法存在问题。那大家如果说你也想快速提分，但是总是不知道怎么去提的话，大家可以通过这里你来添加小猫老师，我来帮你分析一下成绩，我来告诉你，你到底用什么方法去学才能快速提分哈。 ok， 那 这里我们就不多说了，咱们继续再往下看，再来看我们的第九题，这道题呢，稍微有一点点复杂， 嗯，其实也不复杂，计算起来还挺简单的，就是有些同学想不起来怎么去做，我们来给大家讲一下，他说如图是某月的日历，用形如十字形呢，任意框出了五个数，问我们这五个数的和的最大值比最小值大多少？ 就是我们要计算这五个数的和吗？对不对？那这五个数的和什么时候取到最大值，什么时候取到最小值呢？这个十字形它是任意去框出五个数的，比如说，我也可以这样去框呀，比如说我可以这样去框，对不对？我也是框了五个数呀， 他其实就是一个十字架吗？对不对？横着来三个，然后竖着呢？竖着来，竖着也来三个，对不对？那这个时候这道题啊，大家如果说现在没有思路的话，我们给大家讲一下他对应的一个解析思路哈，其实你会发现这五个数他们之间是有关系的，我们先把中心的这个数， 嗯，我们直接以题给的这个为例哈，我们把中间的这个数记成 x 的 话，那么大家来想它左边的数是什么呢？左边的数就是 x 减一了呀，右边的数就是 x 加一了呀，因为它是日历，所以说它左右两边的数它一定是有关系的，对吧？然后再看上和下， 你还是一样的，因为它是一个日历，我们七天是一周，对不对？所以说它上面这个数一定比它要小七，它就是 x 减七，大家能理解吗？不信你看一下，六加七不是等于十三吗？对吧？所以说在日历上面， 他们竖着的每一列，他们之间的一个大小关系呢？是是七的一个关系哈，所以说你再来看下面这个，那下面这个对呢？就是 x 加七了呗。当我们把这五个数表示完整以后，我们就可以来表示一下，这五个数的和它对应的就是什么呢？就是 你看哈， x 减一，加 x， 再加上 x 加一，这是横着的三个数，就是加上 x 减七，再加上 x 加七， 为什么呢？一二三四五五个 x， 所以 就是五 x 了呗。然后这里减一，这里加一，这里减七，这里加七，所以直接消掉了，所以说对应的我们化简出来就是五 x 了呗。要求最大值和最小值，就是看一下 x 的 最大值和最小值吗？ 这里又有一个易错点哈，就是你不要觉得 x 的 最小值是一，最大值是三十一，你这么去想肯定是不对的，为什么这么去想是不对的呢？因为你现在要画的是十字，这个 x 是 十字的中心，对吧？ 所以说我们要让 x 尽可能的小，怎么尽可能的小呢？那你想这个十字它不断的转的话，那它最小肯定是框到这里啊，大家来看一下，能不能理解它最小肯定是走到这里啊， 那你想如果 x 是 七的话，能不能画出这个十字形？画不出来呀，因为它脑袋顶上没有东西了嘛，对不对？那 x 是 六的话也不行， x 是 二的话，脑袋顶上也没有东西了，所以说你可以自己去试一下，你会发现这个 x 最小只能取到八， 所以说对应的最小值就是五乘八等于四十，大家能理解吗？那什么时候取到最大值呢？还是一样的，你就直接来在这个图上自己画一画，不就能清楚了吗？那我肯定是尽可能的想往下面想，往右下角去靠，对不对？那我们就来画，比如说我可以这样去画你，大家来看一下哈，比如说你看， 哎，那我这样句话框出来的是不是，是不是最大的呢？对不对？我现在已经框到啊二十三了，那如果说我想再框二十四的话，那肯定是不行的呀，如果说你中心那个数是二十四的话，右边就缺了， 然后二十五，二十六，二十七，二十八，二十九到三十一的话，他们下边都是缺的，对不对？那就画不了十字形了，所以说最大呢应该是二十三， 然后二十三乘个五呢，三五十五，二五，一十一百一十五，一百一十五呢，再减去这个最小值，再减去四十，这个是五，这个是七，所以说是七十五，也就是四 d 选项我们是不是就快速做出来了，对不对？ 大家看一下自己能不能跟上，所以说这道题呢，他稍微新颖一点，关键看一下自己能不能看清楚。这五个数之间他们是有关系的哈，他们之间是有大小关系的。 ok， 那 么我们继续再往下看了，再来看我们的第十题哈，再来看咱们的第十题， 他说已知 abcd 为常数， p 呢，等于这个， q 等于这个，如果三 p 加 q 的 取值和 x 无关， 一定要注意哈，现在涉及到无关问题了，对不对？那么通过这道题，大家都去想无关问题的解析思路是什么呢？数学里面每一道题都是有解析思路的呀，无关问题对应的解析思路就是我们把 x 全部放到一块，然后呢，把它系数放到括号里面，让它的系数为零， 它的系数为零，那 x 这一项不就为零了吗？不就跟 x 无关了吗？对不对？所以说我们这个时候来化解一下哈，三 p 加 q 等于什么呢？三 p 加 q 就 等于三 a， x 方加上三 b y 再加三 x， 再加个 q 的 话，就是加上六 x 方加三 y 再加 c x， 对 不对？这个时候我们来给它放到一块，它说曲值和 x 无关，那我们先把 x 方以及 x 这两项分别放到一块哈， 三 a x 方和六 x 方放到一块呢？就是 x 方程括号里面三 a 加六，对不对？再加上什么呢？ 加三 x 加 c x， 那 就是 x 乘括号里面三加 c 了呗。然后剩下的这个加三 b y 和加三 y， 其实你直接写到后面就行了，它完全没啥影响，因为咱们现在也不考虑 y 呀，我们现在只想让它跟 x 无关， 所以说我现在要让一次项和二次项分别为分别都为零，大家能理解吗？它们的系数为零，那不就跟 x 和 x 方都没有关系了吗？ 所以说三 a 加六应该等于零，三 a 加六等于零的话，那么呃， a 是 不是就等于负二了呢？然后三加 c 等于零的话，那么 c 不 就等于负三了吗？是不是求出 a 和 c 的 值了，对不对？ 然后我们再往下看再给的条件， p 减二 q 是 不含 y 的 多项式，其实你会发现它跟前面说的与 x 无关是完全一样的， 因为无关型问题其实就是不含型问题，它俩本质是一样的。不含有 y 的 多项式，那不就是跟 y 无关吗？所以说我还是把 y 放到一块，让它的系数为零，大家能理解吗？我们来给大家计算一下哈。 我们来给大家计算一下，这个时候是 p 减二 q， 那 就是 a x 方加 b， y 加 x 减去。 呃，这里老师直接就写最终结果了哈，大家跟不上的，你可以自己再把步骤写详细一点，那就是减十二 x 方 再减六 y 再减二 c x 了呗。然后我们把含有 y 的 放到一块儿，含有 x 的， 这个时候我们就不用管了，因为他又不研究 x 呀，他研究的是不含 y， 所以 说大家不要笔记写得那么工整哈，因为做出题才是关键的。 这个时候我们直接来写 y 就 行了，它是 y 是 什么？ y 乘什么呢？括号里面 b 减六呀，所以说既然不含这一项，那我们就让 b 减六等于零，所以说 b 就 等于六啊，给大家来写一下 b 等于六，是不是把 b 的 值也求解出来了，对吧？然后再往下读题， 他说 b x 减 a 加 d， x 减 c 等于五，横乘以它横乘以什么意思呢？我们先把求出的值都带进去给大家来看一下哈，这个时候 b 是 等于六的，所以也就是六 x， 然后呢，减 a， 那 就是减去负二，也就是加二了呗。再加 d， x 再减 c， 减 c， 减 c， 就是 减去负三，那不就是加三了吗？加三等于五，二加三等于五，左右两边消掉了，所以六 x 加上 d， x 等于零，我们把 x 提出来，就是 x 乘括号里面六加 d 等于零嘛。 你看他说这一项既然是横乘立的，那怎么办呢？其实也很简单呀，我们直接让六加 d 等于零就行了呀。所以说 d 是 等于什么呢？ d 是 等于负六的， d 是 等于负六的。至此，我们就把 a、 b、 c、 d 全部求解出来了，它接下来要求 a 乘 d 加上 b 乘 c 的 值，那这个不就很简单了吗？对不对？把这些，嗯，擦掉给大家这里来计算一下哈。给大家来计算一下。 现在我们知道 a 是 等于负二的，所以负二乘负六， d 是 负六嘛，然后再加上 b 乘 c， b 是 六，然后 c 呢？ c 是 负三， 我们来计算一下哈，二六十二，然后再减去十八，那结果呢？结果不就是负六了吗？所以答案就是我们的 a 选项。你看最后一道题，其实也没那么难呀，对不对？都是我们讲过的很经典的模型，无关型问题、不含型问题、横成立问题，本质都是一样的， 就是把这个字母提出来，然后括号里面呢，留的是它的系数，我们让它的系数为零哈，这是我们的第十题。 ok， 我 们继续往下看了哈，再来看我们的填空题部分，先来看十一题，他说某日测得山角的气温是十摄氏度，山顶的气温呢，是负五摄氏度，问我们山角和山顶的温差是多少摄氏度？那么 大家来看一下，十和负五它们之间的差是啥呢？那不就是十减负五吗？十减负五等于啥呢？等于十五呀，所以说十一题很简单哈，十五摄氏度，然后再往下看，再来看我们的十二题。 十二题呢？前面叽里呱啦说了一堆，但是你会发现都没有用，它本质是啥呢？本质就是求一下十八点七 e， 用科学计数法可以表示，为什么？那这个时候它后面的单位是 e， 对 不对？所以说我们要把这个 e 给它转换一下，那这个 e 呢？它是一乘十的几次方呢？大家来想一下， 如果说你没有记过的话，那你就直接自己去推就行了。比如说我们知道一千，你看一千的话，是这个呀，对不对？这个是一千，他是十的三次方呀，对不对？一的后面有几个零，他就是十的几次方，现在一千是三个零，所以他就是十的三次方。一乘十的三次方嘛， 那我们就在它的基础上，我们来写一下 e 呗，对不对？现在是千哈，千完以后呢，就是万呃个十，百千万十万百万、千万亿。那这个时候我们数一下有几个零，你会发现这里四个零，后面四个零，四加四等于八呀，所以说它是一乘十的八次方， 这个大家可以去记一下哈。对于以 e 为单位的，它是一乘十的八次方，那现在它是十八点七亿，所以就是十八点七乘个十的八次方， 现在要用科学计数法进行表示，所以说我们得把前面这个数变成一到十之内的一个数嘛，对吧？所以说小数点要再往左边移一位，也就是一点八七嘛，那右边再多加一个， 呃，多加一个十嘛，多乘一个十，那不就是乘十的九次方嘛。所以说科学计数法进行表示的话，就是一点八七乘十的九次方，大家看一下自己有没有算出来。 ok， 我 们继续再往下看哈，这一块擦掉，然后继续再往下看。再来看我们的十三题，他说已知角 a 的 补角是他的余角的四倍， 那我就基于这个提议来列条件呗，角 a 的 补角呢，是一百八十度减去角 a， 对 不对？角 a 的 余角呢，是九十度减角 a 啊，他说前面是后面的括号里面九十度减角 a 啊。我们把这个拆一下哈，他就是 一百八十度减去角 a 就 等于三百六十度减去四倍的角 a， 然后呢，我们把角 a 移到左边，然后长竖移到右边，就是三倍的角 a， 三倍的角 a 就 等于一百八十度，所以说角 a 就 等于六十度，对吧？ 角 a 等于六十度。现在要求角 a 的 余角一定要注意哈，这里有一个易错点，就是不要直接把六十度写上去，他现在要求的是角 a 的 余角，所以说应该用九十度再减去六十度，应该等于三十度， 这才是我们十三题的一个答案哈。 ok， 我 们继续再来看十四题，他说如果关于 x 的 一元一次方程，这个解是 x 等于三，让我们去求关于 y 的 这个一元一次方程的解是多少。那么咱们刚看到这道题呢，大部分同学可能会有的一个思路就是，哎， 给了一个方程给了解，那这不就是间接回代问题吗？对吧？是不是一个比较常见的思路？如果说按照咱们之前讲的解题方法呢，肯定是用这个，但是你要再去读一下题啊，你看他要让你去求的这个方程，跟上面这个方程是不是长得特别像呢？对不对？是不是长得有点像？ 所以说对于这种方程形式比较像的呢？咱们要考虑一下有没有什么新的方法可以去解呢？大家来看一下，我们来看一下这两个方程它是不是完全呃，同一个类型的哈，你看，这里是二零二五分之一，这里也是二零二五分之一，然后这里乘的是 x， 这里乘的是 y 减一，然后右边呢是三 x， 这里是三乘的什么呢？ y 减一。 所以说如果咱们纯看 x 这一部分的话，你会发现下面这个方程好像是把 x 替换成 y 减 e 了呀，对不对？好像是这样子的，然后你再往下看，这里是加二，这里是减二，这里是减 b， 这里是加 b， 但是这里好像又不太一样呀，对吧？加二变成了减二，减 b 变成了加 b， 好像又不又不是完全相同的，那这个时候怎么办呢？需要你进行转化了，当我们发现不完全一样的时候，你可以考虑进行一下转化呀，因为你会发现这个二变成了负二， 然后这个负 b 变成了 b， 他 们不就是变成相反数了吗？对吧？所以说我可以把这个方程左右两边，这个方程左右两边同时乘负一，得到的就是二零二五分之一乘括号里面一减 y， 注意哈，这个二零二五咱们不变，咱们也不在前面加符号，我们只在括号里面把符号放到括号里面，因为我们想要去凑这个已知的形式， 你看我凑一下哈，那这里就变成了加二就等于三倍的一减 y， 再减个 b 嘛。这个时候你会发现我们得到的这个新方程和原方程长得就很像了，他们的区别就在于，这里乘的是 x， 这里乘的是一减 y， 大家能理解吗？ 对上面的方程，它的解 x 等于三，那么对应的这里的一减 y 其实对应的不就是 x 吗？也就是一减 y 是 等于三的呀，所以 y 是 等于几呢？ y 不 就等于负二吗？我们是不是就快速求解出来了？所以说这道题答案是负二， 大家看一下自己能不能跟上，所以说这道题呢，就是，呃，就是考察大家能不能灵活的反应过来，如果说你要硬算的话，计算量有点大，所以说大家最好一定要去想清楚哈。 ok， 我 们再往下看，再来看我们的十五题，十五题哈， 我们还是给大家稍微放大一点，他说换方呢，是古老的数学问题，我国古代的洛书中记载了最早的换方九宫格，将九个数填入换方的空格中，要求每一个横行 注意每一横行，每一竖列以及两条对角线。两条对角线上的三个数的之和一定是相等的，大家能理解吗？任意的横行，任意的竖行，甚至两条对角线，这三个数相加都是相等的，比如说图一，就是一个换方，举个例子，你看 八加三再加一等于几呢？等于十二呀，对不对？然后竖着再来看，一加六加五是不是也等于十二呢？然后对角线再来看，一加四加七是不是也等于十二呢？对不对？他们都是等于十二的，这个就叫做一个换方，然后图二呢，是一个没有完成的换方，让我们去求得它处应该填的是多少， 那大家来想一下，我怎么去求呢？其实这里咱们就利用一个核心的条件，就是横竖对角线他们对应的三个数的和一定是相等的，那这个时候我们来想一下哈，那既然横竖呃，以及对角线他们对应的和都是相等的，那我就来求一下呗， 对不对？我举个例子哈，比如说你看这个有三个对不对？然后这里呢？那我这个对角线来看一下呗， derta 加 x 再加上，嗯， x 减七，然后中间我设成 a 的 话，那我是不是可以得到 derta 加 x， 再加上 x 减七，就等于 derta 加 a 再加二呢？ 这个时候我是不是就可以把 a 表示出来呢？对不对？因为这个时候它们共同有 derta 哈，所以左右两边可以把 derta 消掉。咱们要找的就是这种的这种的数， 呃，这种的横或者竖，反正就是三个数作加法，三个数的和嘛，我们找哪三个数作和呢？咱们找的就是这种共同含有的它的，你看左右两边都可以把的它消的它消掉呀，然后剩下的 x 其实算是已知的，因为在这个图上它标的就是 x 嘛。 呃，咱们就用 x 来进行表示，它这里也说了，用含 x 的 式子进行表示，所以说 x 你 就可以当成已知的。然后现在这个方程里面有一个未知量 a， 咱们把 a 求解出来不就行了吗？ 所以说这边呢，就是二 x 减七就等于 a 加二，所以说 a 不 就等于二 x 减九了吗？是不是就求出中间了呢？我们来表示一下，这个是二 x 减九， 然后同样的道理，我们是不是可以把其他的格也依次表示出来呢？对吧？但是这个时候呢，我们没有必要每一个都解出来哈，因为咱们的目的是求得儿它，那这个时候我们可以怎么去求呢？大家来想一下， 我们刚才是利用对角线，然后得到了他们都还有得他，对不对？那么这个时候咱们还可以用对对角线呀，刚才是这样用了一下对角线，你看，呃，是这样用了一下对角线，那咱们可以这样再用一下对角线呀，你看我可以这样再用一下对角线，然后呢他和谁可以呢？他可以和下面这个呀， 对不对？我可以再求一下下面这个格对应的这个数嘛，对吧？因为对角线是很好用的哈，因为对角线的话，它可以对应到这个角，然后这个角呢又可以横着来，呃，横着来加法，然后这样列方程，列式子的话，我们就可以把这个不知道的这个格给消掉了。比如说这个时候 对应的这个，这个呢，咱们其实直接不用管了，那对应的呢，就是二 x 减九，再加上 x 减七，就等于什么呢？就等于我要求的这个，比如说设成 b 吧， 就等于 b 再加二了呗，所以说化简一下就是三 x 减十六就等于 b 加二，所以说 b 呢，就等于三 x 减十八呀，对吧？我是不是把 b 也求解出来了呢？然后这个时候我把它也表示到我们的式子里面哈，这个是二 x 减九，这个是 三 x 减十八，这个时候要求的它就很简单了呀，为什么呢？因为你看我现在竖着的这一列，我是不是可以进行求解了呢？对吧？ 它是等于啥的呢？它不就等于横着的这一列吗？对吧？所以说我直接这个时候再来列方程，那得它加 x， 再加个 x 减七，不就等于竖着的吗？竖着的我们来呃，这个加一下哈，那就是 x 加上二 x 减九，再加上三 x 减十八，化简一下得它加二 x 减七，就等于什么呢？等于六 x 再减去二十七， 然后德尔泰他就等于四 x 减二十。大家来看一下，我们是不是就求解出来了，德尔泰的值是四 x 减二十。所以说对于这个题呢，还是一样的，考察的是大家，就是你灵活思考的一个能力，因为他给你的条件其实很清晰啊，他就给了你一个条件，就是横行。这里大家来看哈，就是这个 横行竖列以及对角线上的三个数，他们之和是相等的，所以说你只能利用这个条件。大家以后考试会遇到越来越多这种比较新颖的题，对于这种新颖的题，咱们的解析思路就是好好去看题目里给了什么条件，然后尽可能的去给他用上哈。 ok， 这是我们的十五题，然后我们紧接着继续往下看，再来看最后一道题，这是填空的最后一道题哈， 他说如图，点 o 是 直线 a b 上一个点 o c 平分角 a o e， 这个是一个角平分线哈，一定要注意，他平分的是角 a o e， 我 们现在知道角 d o e 呢？是九十度，有以下四个结论，然后问我们这四个结论中正确的是哪个？那我们就依次来看一下呗，对不对？比如说先看第一个 角 a o d 加上角 b o e 等于九十度， a o d 在 这里，然后 b o e 呢？ b o e 在 这里，这两个角加起来等于九十度，正确吗？很明显是正确的呀，为啥呢？因为 ab 是 一个平角呀，然后它们中间夹了一个角， d o e， d o e 是 九十度，那 那么两侧这两个角的和肯定是九十度呀，所以第一个很明显正确，没有问题，对不对？第一个是正确的，我们再来看第二个结论，他说如果角 b o e 等于五十八度，这个角五十八度，让我们去求角 c o e 的 度数，那大家来看哈 c o e 的 度数，这个怎么去求呢？ 其实你会发现哈，这个 coe， 它不就是角平分线呃，得到的角平分线把这个大角 aoe 分 成了两半吗？所以说 coe 不 就是二分之一角 aoe 吗？ aoe 的 度数好求吗？很好去求呀。因为 ab 是 一个平角，所以说我们用一百八十度减去五十八度，这个是二，这个是，这个也是二，一百二十二度嘛， 也就是角 aoe 是 一百二十二度，然后 co 是 平分线，所以说 coe 的 话，那就是一百二十二，再除个二，那就是六十一度了呗。哎，很明显也是正确的呀， 所以说第二个结论也正确。然后我们再往下看，再来看第三个结论哈，这些度数现在就呃，就不知道了，因为它刚才是第二个里面给的条件嘛，那现在这些条件我们全部擦掉。 再来看第三个结论，它说角 b o e 等于二倍的角 c o d， 那 么 b o e 的 话，我们可以给它设成 x 呀，对不对？我们来判断一下这个 c o d 是 不是二分之 x 不 就行了吗？对吧？所以说我比如说我们把它设成 x 的 话，那我可以得到什么呢？ 这个 cod 的 话，它对应的这个角在这里哈，它在这里。那我们这个时候先来想一下哈，呃， b o e 是 x， 那 么我是不是可以求一下 c o e 呢？因为第二个结论不就是已知 b o e 可以 去求 c o e 吗？所以说基于第二个结论，你也能有思路呀，对吧？首先我们可以知道角 a o e， 它是不是等于一百八十度减 x 呢？ 那么对应的角 c o e， 它不就是一百八十度减去二分之 x 吗？ c o e 有 了，然后 cod 呢？ c o d 加上 c o e 是 九十度呀，所以角 c o d 它不就等于九十度再减去角 c o e 吗？那就是九十度再减去个括号里面，九十度减去二分之 x， 那 不就是二分之 x 吗？所以说咱们求解出来了呀， c o d 它就是二分之 x， 所以 说第三个结论很明显也是正确的呀，对不对？ 那么我们再来看第四个，第四个呢？它说 o d 平分角 c o a， 这个对吗？咱们基于第三个结论，我们现在知道，如果说角 b o e 是 x 的 话，那么角呃， c o d 是 二分之 x 对 不对？然后这个角 c o a， 它说平分的话，那对应的这个角 a o d 怎么去表示呢？大家来想一下， a o d 加上角 b o e 是 等于九十度的， 对不对？我们第一个结论就说了，所以说对应的这个角，它其实是九十度减 x， 那 现在我们可以得到九十度减 x 等于二分之 x 吗？其实我们是推不出来的呀，对不对？ 所以说第四个结论我们没有证，我们没有办法证明它是正确的，所以第四个不对，那对应的答案就是圈一、圈二圈三了，大家看一下自己能不能跟上， 这是我们呃，填空题的最后一道题哈，它是一道压轴题，但是你会发现慢慢的推导起来，它也没有那么难。 ok， 那 紧接着我们再进入到我们的大题部分哈，大题第一个让我们来进行计算，大家来看一下，这个 我们一步一步来看吧，先看第一个，第一个呢，我们肯定要给他化减吗？对不对？先画括号里的呗，又有分数又有小数，咱们可以全部转化成小数，也可以全部转化成分数哈，看大家的习惯，比如说我们可以全部转化成分数，那这个时候二点五呢？就是二分之五了呗。所以说就是四乘括号里面， 负二分之一，减去四分之三，再加上二分之五，我来通分一下，那不就是负四分之二，再减四分之三，再加四分之十吗？那不就是四分 之五吗？得到四分之五以后，我们把四分之五你看放上去，那不就是四乘个四分之五，再减去负六的绝对值，就是六了呗。所以就是五减六就等于负一，你看我们是不是就快速求出答案了，对不对？这是第一小问哈。 再来看我们的第二小问，第二小问呢？他说负一的四次方一定要注意哈，他现在是负的一的四次方，所以说第一项他第一项，他对应的结果应该是负一， 为啥呢？因为如果说他写的是负一扩起来的四次方，那么才等于一哈，但现在是负的一的四次方，他俩是先，他俩是放到一块的一的四次方，那不还是一吗？所以结果不就是负一了吗？ 这里是一个容易出错的一个点哈，大家注意，千万不要搞混了。然后我们再往下看，减去什么呢？减去一减零点五，那不就是零点五吗？不就是二分之一吗？所以减个二分之一呗，然后再乘个三分之一，那就是减去六分之一了吗？这里改成六分之一， 然后再减去这个中括号里面呢？是二减去负三的平方是九呀，二减九是负七呀，所以说再减去负七了呗，也就是负一减六分之一呢，那就是负的六分之七了呗，然后减去 负七，那不就是加七了吗？对吧？所以就是负六分之七，再加上六分之什么呢？六乘七等于多少？六六三十六？六七四十二，对不对？所以说就等于六分之四十二减七，那不就是六分之三十五了吗？对吧？ 你看我们是不是就快速求解出来了，这是我们这道题的计算哈，大家注意不要粗心就可以了。然后我们再往下看，再来看这道题解方程。 解方程呢？它是这么说的，第一小问是给了你这个方程，那我直接去括号呗，对不对？负四 x 减二加二 x 应该是等于七加五 x 的， 所以说把 x 移到左边呢，那就是负二 x 再减去五 x， 就 等于七加二，七加二就是九了呗，对不对？ 负七， x 等于九，所以 x 不 就等于负七分之九吗？对吧？我们就快速求解出第一小问的答案了，然后我们我们我们再来看第二小问， 第二小问呢，这个时候它有分数，那我肯定要通分呀，左右两边同乘谁呢？同乘六呀，对不对？然后我们直接来乘，那对应的呢，就是二倍的五 x 加一，再减去二 x 减一。注意哈，一定要加括号，不然容易有些同学直接写成减去二 x 减一，那你就出错了哈，一定要加括号， 然后右边呢是等于六的，这里也容易出错哈，因为很多同学左边成了六，右边就忘记成了，这里也是一个出错点。那我们来化解一下，就是十 x 加二，再减去二 x 再加一，就等于六，也就是八 x 就 等于三，所以 x 呢，就等于八分之三呀，对不对？ 你看我们是不是就快速求解出来了，这是十八题哈，再往下看，再来看我们的十九题，十九题还是一样的，还是我们的计算问题嘛，先化简，再求值，我们一步一步来化简。首先这个东西呢， 我们是不是可以先把里面的小括号来给它去一下，那就是二 a 方减去什么呢？减去我们这里直接，呃，直接先带个括号吧，先带个括号吧，防止有些同学跟不上。那就是二分之一 a b， 再减去什么呢？再减去二 a 方，再加八 a b 括起来，再减去二分之一 a b。 继续化减括号去了二 a 方，减去二分之一 ab， 再加二 a 方，再减八 a b， 再减去二分之一 ab。 你 看我们划到这一步以后，下一步是不是就可以化减了呢？怎么化减呢？就是我们来进行合并同类项呀，对不对？ 看 a 方和 a 方放到一块，二 a 方加二 a 方，那不就是四 a 方了吗？减二分之一 a b， 减二分之一 a b， 不 就变成减 a b 了吗？然后又减了个八 a b， 那 不就是减去九 a b 吗？对吧？合并同类项呀， 就剩下两项了，那现在呢？我们就化简完成了，接下来我们是不是就可以进行求值了呢？求值的话就是把 a 和 b 进行代值吗？那这个时候 a 和 b 的 值是多少呢？ 我们要通过这个式子来求呀，对吧？这里涉及到什么模型呢？它涉及到了一个零零模型。什么叫零零模型？大家想一下自己老师有没有讲过这个模型哈？ 这个模型其实它本质指的就是零加零等于零，什么意思呢？比如说你看他现在给的这个，给的这个方程，给的这个式子哈， 第一项加上第二项是等于零的，并且这个时候你可以发现一个点，平方一定是大于等于零的呀，对不对？他一定是大于等于零的，绝对值一定也是大于等于零的呀。两个大于等于零的数加起来等于零，那对应的只有一种情况，就是这两项分别都为零呗，对不对？ 不然的话正数必须和负数相加才能为零吗？但是这两个都不为负数，所以说必须让这两项都为零，这就是零加零等于零，叫做零零模型。大家看一下这个零零模型自己老师有没有讲过哈？在我们初一的时候呢，大家只需要去记住这个零零模型的平方和绝对值， 这两种情况会去进行考试，他考察的是非复性这个模型，我们在初一的时候主要考的是平方和绝对值，你看在这道题目里面不正好一个平方一个绝对值吗？然后等大家到了初二初三以后会再加一个，叫做什么呢？叫做二次根式， 这三种情况是我们初中阶段要考的。呃，非复性哈，非复性零零模型，初中阶段就考这三个，你就直接记住就可以了。你看数学是不是都是有模型的呢？对不对？大家可以反思一下，你之前有没有按模型去学习呢？有没有老师去给你总结不同的模型，不同题型对你的解析思路呢？ 如果说没有的话，那么你成绩提不起来，其实一点都不奇怪，因为你一直在用呃学习效率低的方法去学数学，跟着老师听听课，做做作业，改改错题。 那你看，这样学下来肯定效率很低呀，因为没有人教你从题目出发去学呀。那如果说大家想跟着老师像老师一样去学这些模型的话，大家可以通过这里你来添加小马老师，我来告诉你 如何去学不同板块的这些题型，如何把这些解析思路我们全部记到自己的笔记本上，考试的时候让你也能一眼看出来模型，用上模型哈，大家如果说需要的话，想提分的话，记得一定要去添加老师哈。 ok， 那 这里呢，我们是不是就可以快速得到 a 加一和 b 减三分之一都应该是等于零的呢？对不对？那么对应的 a 加一等于零，那不就是 a 等于负一了吗？对吧？然后 b 减三分之一等于零，那不就是 b 等于三分之一了吗？然后我们直接带进去，那就是四乘负一的平方，就是四乘一，再减去九乘负一，再乘个三分之一，那就是四加上三了呗，所以说就等于七， 你看这道题，我们是不是就快速求解出来了，对吧？这是我们的十九题哈，再往下看，再来看一道大题，这个大题呢，你会发现它是一道应用题，然后涉及到的是行程问题，对不对？行程问题，老师在我的系统课里面也 也给大家详细的讲过哈，这种问题只要你详细的，只要你详细的学过，那么你后面再遇到都是可以快速做出来的。比如说这道题，我们来看一下，他说从甲地到乙地，汽车原来需要行驶七小时可以到达，现在开通高速公路以后，路程缩短了三十千米，一定要注意哈， 他现在路程 s 变短了，然后车速呢，车速也变快了，这是大家需要注意的点， 就是他开通高速公路以后，不仅路程变了，速度也变了很多，题呢，他只变了一个，比如说什么速度变快了，路程没变对不对？但是这道题呢，他有一个易错点，就是路程和速度都变了哈，大家一定要注意。 然后再往下读题，这个时候呢，只需要四小时即可到达。让我们去求甲乙两地之间高速公路的路程，就是修完这个高速以后，高速的路程是多少呢？那这个时候我们来看一下啊，他说如果设汽车原来的车速是 x， 对于这种题呢，给大家来讲一下哈，不管是销售问题还是行程问题，大家做这种题的时候，你思路不清晰的时候，你就直接列表格就可以了，给大家来想怎么列哈， 如果是行程问题，那他涉及到的不就是时间啊，他涉及到不就是时间 t， 速度 v 以及路程 s 吗？然后你就再写一个，原来现在 你看对不对？是不是都是可以列一个表格的？如果是销售问题的话，那你上面就可以写进价、售价、销量，对吧？你把表格列出来，自己去填充一下，就能帮你把思路梳理清楚哈。那么比如说在这道题目里面，我们来看一下哈， 它原来的车速 v 是 什么呢？ v 是 x 呀，对不对？然后呢，原来行驶七小时可以到达，开通高速公路以后呢，路程缩短了三十， 那这个这俩之间的关系呢？是相差了三十的哈，相差了三十大家一定要注意哈，这个 s 之间相差了三十嘛，对吧？ 我们现在设原来的车速是 x， 现在车速增加了三十的话，那就是 x 加三十了呗，时间变成四小时了，对不对？现在第一小问，让我们去表示高速公路的车速，那不很简单吗？对不对？直接就是 x 加三十呀， 然后再来看后面要求的，根据两地前后的路程关系，可以列方程，列成什么呢？它俩之间的路程关系是三十吗？你看缩短了三十之间是有一个相差为三十的，所以说我们就可以列 原来的 s 呢，是七乘 x， 现在的现在的 s 是 多少呢？现在的 s 是 t 乘 v 吗？那就是四倍的 x 加加三十呀， 然后这个时候它们路程之间的关系呢？是原来是七 x， 现在呢？现在是四倍的 x 加三十，这个时候它应该再加上一个三十哈，一定要注意，为啥呢？因为开速开通高速公路以后，路程缩短了三十，那说明这个路程再加上三十，三十才能是原来的呀，对不对？所以说 列的方程应该是长这样子的哈，大家来看一下自己能不能跟上。这是我们设速度为 x 的 时候，我们列的方程，然后再往下看，他说如果设甲乙两地高速公路的路程是 y 的 话，那么原来两地的路程为多少？这个时候你看我们就要去修改这个表格了，我们先把 刚才得到的这个方程写到上面哈，它就是七 x 等于四倍的 x 加三十，再加三十。然后我们现在要把这个表格进行一下修改，因为现在设的位置量不是速度，而是 s 了。现在设路程是什么呢？ 设甲乙两地之间路程是外，高速公路哈，注意是高速公路路程是外，现在修完高速公路以后路程是外，那么原来呢？原来应该是再加个三十呀，也就是外加三十，对不对？所以说对应的原来的路程就是外加三十了呗。 然后我们要根据速度关系来列方程，我们来表示一下速度，速度就等于 s 除 t 呗，外加三十，除个七，外除个四，它们之间的速度是什么关系呢？ 车速开通高速公路以后，车速增加了三十，对不对？增加了三十，所以说 y 除四，然后呢， y 除四，我们是不是要再减去个三十，才等于 y 加七十除个七呢，对不对？这是我们现在 呃，根据速度关系列的方程这，那么第一小问我们是不是就做出来了？方程也列出来了，这道题其实差不多就已经搞定了，比如说第二小问，让我们去选择一中的一种设原方式解答问题，那这个时候你任意选一个方程就行了，直接去求解就行了。那比如说他现在要求的是什么呢？他要求的是甲乙两地之间高速公路的路程， 所以说我们可以利用第二种方式吗？他设的路程是 y， 那 我们用第二种方式来给大家求解一下哈，我们来求解一下这个方程不就行了吗？左右两边有四有七的话， 那这个时候你会发现他是不是要通分四乘七，要同时乘四乘七，同时乘个二十八呀？其实这里计算量有点大哈，如果说你不想去通分的话，你可以利用上面这个方程去求解，都是一样的。那，那这里呢，我们就用下面这个直接来给大家算了哈。四乘七等于二十八， 左右两边同乘二十七，呃，同乘二十八的话，对应的呢就是七 y 减去二十八乘三十就等于什么呢？就等于四 y 再加上三四十二加上一百二呗，所以也就是三 y 就等于一百二加上二十八乘个三十，所以说 y 呢，就等于这个东西除个三呗。这里我们可以先消一下哈，我们上下先同除个三，消一下。那你看直接消一下不就变成了四十再加上二十八乘十了吗？那不就是四十再加上二百八了吗？ 四十加上二百八呢，是等于三百二的，于是我们就可以求出这道题要求的答案了呀，对不对？呃，甲乙两地之间高速公路的路程就是三百二嘛，对吧？我们就快速做出这道题了哈。 ok， 那 以上就是关于咱们期末考试的一部分真题讲解了，那学会这几道真题呢？其实只是我们提分的第一步，你想快速把分数提起来，最关键的还是你的学习方法。 方法用对了，之前你辛苦几个月提不起来的分数，现在只花几周的时间就能快速提分。所以如果你能看到这里，说明你真的很努力，很优秀，也非常有逆袭提 分的潜质。大家可以通过这里添加小马老师，我来送你一节价值上千的顶尖学霸逆袭方法课，全都是我自己从不及格到很多次满分的保姆级经验分享，看完以后保证你会对数学学习恍然大悟，提分就跟喝水一样简单。

选分析，快收藏起来吧！

来，我们来看一下，稍等啊，先看一下第十五题，十五题， 十五题也是一个函数问题，还是审题啊？这道题涉及到的是函数，第一个函数是非常熟悉的指数函数，他说该函数在一到二上的最大值和最小值， 因为这个函数是单调的，单调的啊，单调增减，不确定它是单调的，单调嘛，要么就增，要么就减，也就说，嗯，它的最大值、最小值不是一带来的，就是二带来的。总的来说，要把一和二带进去， 就能换出来最大值和最小值。那么一分析之后呢，他的最大值有可能就是 a 的 一次方，或者是 a 的 二次方，这样的话，他俩最大最小值乘起来的之积等于八， 那同底数密相除长底数变值数相加，就可以推出 a 肯定等于二。 这是审题的时候上面就出来了，这个其实就是让大家了解一下。嗯，指数函数大家都知道肯定是单调的，所以给了这么个小台阶，正儿八经的是在后面呢，重点研究的是 f x 这个函数，它是 二的 x 次方除以二的 x 次方加一。哇，这么复杂的函数，这个我没有见过呀。这不是我们学的基础函数， 但是呢，它是由一些基础函数组合而成的。那这个大家前面学了第六题，还有第七题的必答案，应该能意识到。这个 小技巧又来了，叫什么分离常数法，就是配凑啊，说白了就是配凑嘛，因为你看分母里边有这一项，那么分子我们也能给他配一个这一项。 其实函数呢，咋说呢，就是做多了，你就会发现这个函数的表达式啊，不能像这样的，嗯， 就遍地开花，你看二的 x 四方，这有个二的 x 四方，分子分母都有这个尴尬的东西，小函数在里边，所以要需要统一整合一下，统一在一个地方出现，不能让它上面有，下面也有，这样一整合， 你们看一下分离常数法就用用，用上了，他就是一减去一，除以二的 x 加一对，就是说这不就让这个，这个小函数只能在一个地方出现啊， 那也就说这个函数就被我们认清楚了，它其实就是一个反比例类型函数，又套了个指数函数在里边，嗯，是这样的，一个函数。好了， 认清楚之后，第一问就顺其自然的完成了。 a 肯定是二 要求，他又顺便捎带了一句，要研究一下该函数的单调性，那么这个单调性，因为这个重点函数出现在这个地方啊。这个函数首先我们知道它是什么的， 增的，嗯，它是增的，那么增函数加上一，不影响还是增的。增函数分之一，所以增函数分之一呢，就是一个减函数了。 这个也比较好理解啊，自己举例子就可以明白了。减函数，那么到了减函数，减函数发现分之一以后，这旁边还有个成了个负系数，那也就是说又会有个结论，负的减函数就是等于什么呀？增函数， 增函数旁边又加个一，最后还是增函数，所以我们判断它，让我们判断了啊，不让证明判断一下，所以 f x 应该是一个增函数， 嗯，定义域内的增函数，定义系数数，单调增函数。来，接下来看第二本， 第二问探，判断是 d x 又给一个新的函数， g x 函数是在原来这个函数身上又减了二分之一，那其实就是在它的基础上又减了二分之一， 那外乎就是多了个小系数而已，就是一变成了多少了。二分之一减去一除以二的 x 次方加一就是这个函数和刚才也差不多少。说这个函数，并证明它的奇偶性， 判断他的基友性，并证明，我们直接给证明一下啊，来证明他的基偶性。说到基偶性，大家应该知道肯定要研究他和谁了，他的关系 一般我们从外观上来定啊，就是相对来说长得比较难看的就是记函数，但什么叫难看好看，你借的多了，慢慢也感觉到了，就它相对来说要复杂一点点啊。那我们 当然了，你要是判断基无穷的话，也可以带一个值吗？你比如说我改个 x 取一和 x 取负一的时候， 嗯，带进去对应的看一下它的 y 值，就是 f 一 和 f 负一的值是否相等或相反， 也很轻松的就判断出来。但是要我们证明的话，我们还是从定义开始来下手啊。定义的话，那就要去认认真真求一下 g x g 负 x 是 多少，那就是二分之一减去一除以二的负 x 加一，对这个地方是 负 x， 那 就把它化解一下吧， 负号有毒，那负号有毒啊，所以我们一除以嗯，二的正 x 则值一加一负数四方这样来处理的。接下来 我们再对这个地方进行通分，一除以二的 x 分 之一，加上二的 x 分 之一，就是二分之一，减去一除以二的 x 分 之 啊。这儿这儿写出二得 x， 一 加二得 x， 除一个数等于乘以它的倒数，这个地方那就是二分之一减去一除以它加二得 x， 它的倒数 就这样化解完成。那这个要跟 g x 函数对比一下， 会发现它应该是相等，不太像。 那应该是让它俩加起来啊，看一下它俩加起来是不是零，发现正好是零。 对，加进去 这俩加七十一，这两个正好分母一样， 就等于零。所以说明是什么函数？ g 函数证明完毕。 ok。

啊。

啊啊。

啊。

临沂阆山七年级期末数学试卷加答案，评分标准全齐，先帮孩子对答案查漏补缺，扫清上学期盲区。 寒假规划提前预习衔接下册更顺畅！开学不掉队，记得关注再走哦！

啊。